Editorial Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria. Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar. Esta revista, tiene como finalidad brindar la información necesaria sobre este tema tan relevante, de una manera divertida y con un estilo único. Esperamos que disfruten del contenido y puedan aprender leyendo. Su equipo editorial de VerSolAnEr.
VerSolAnEr (Verona Santiago, Solimar Torres, Anyela Arteaga, Erick Neves)
Integrantes Verona Santiago CI 17.455.891 Escuela 42 Solimar Torres CI 15.175.951 Escuela 42 Anyela Arteaga Pino CI 24.196.522 Escuela 42 Erick Neves CI 16.882.423 Escuela 42
Contenido Definici贸n y tipos de transformaciones lineales. Autor: Solimar Torres CI 15.175.951 Escuela 42
Propiedades de las transformaciones lineales. Autor: Erick Neves CI 16.882.423 Escuela 42
Teorema de las transformaciones lineales. Autor: Anyela Arteaga Pino CI 24.196.522 Escuela 42
Aplicaciones de las transformaciones lineales. Autor: Verona Santiago CI 17.455.891 Escuela 42
Ejercicios generales. Autor: Trabajo Colaborativo del equipo editorial.
Transformaciones Lineales Definiciones y Tipos Solimar Torres P.
Las transformaciones Lineales intervienen en muchas situaciones en Matemática y son algunas de las funciones más Importantes. En Geometría modelan las simetrías de un Objeto. En Análisis sirven para aproximar localmente funciones. En Algebra, que es el tema a estudiar a profundidad en esta ocasión, se pueden usar para representar ecuaciones, y funciones con ciertas propiedades especiales. Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. En síntesis, podemos dar la siguiente definición: Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene: T (a + b) = T (a) + T (b) T (k a) = k T (a) Se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad. Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T. Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
En cuanto a los Tipos de Transformaciones, tenemos: Reflexión: El proceso de se resume en los siguientes puntos: Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas. Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia. • Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado. • Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original. Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0)
Dilatación: Es una transformación que incrementa distancias. Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con más precisión: para CC>c >0, la transformación Cd x, = (cx, y escala las coordenadas x en un factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas y. Si 0<c <1 se trata de una compresión en la dirección del eje x positivo. Si c>1, se refiere a una expansión. También se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por Cyx, igual c; para c>o
Contracción: es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2.
TeOrEmA de las transformaciones lineales. Autor: Anyela Arteaga Pino CI 24.196.522 Escuela 42 Teorema de Rango: Para toda Rango A + nulidad A = cantidad de columnas de A.
matriz A se
verifica
Teorema de la Dimensión: Si T : V W es una Transformación Lineal de un Espacio Vectorial V de dimensión finita, a un Espacio Vectorial W, entonces: Nulidad (T) + Rango dim(NT (T) ) + dim (Rec (T) ) = dim (dominio T)
(T)
=
Dim
V
TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso, dim(V) = nulidad(T) + rango(T). Demostración Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos L(V, W) = {T : V W | T es una transformación lineal}. Si T, U L(V, W) y a F, definimos aT + U : V W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F. Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V W, las siguientes condiciones son equivalentes:
T es inyectiva N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0) Para todo S V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) W es linealmente independiente
También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva. Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo. LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} W, existe una unica transformación lineal T : V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.
Demostración TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W). Demostración Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x V, existen escalares únicos a1, ..., am F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a como a1 [ x ] = ( : ), am Es fácil ver que el mapeo x | [ x ] constituye un isomorfismo : V Mn x 1(F). Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas y como
[T]
= ( [T(x1)] ... [T(xm)] ).
Por otro lado, dada una matriz A Mn x m(F), la función LA : Fm Fn definida por LA(x) = Ax, es una transformación lineal (ejercicio). TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y = {y1, ..., yn} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo : L(V, W) Mn x m(F). Más aún, para toda A Mn x m(F), se tiene que -1(A) L(V, W) es tal que [-1(A)] = A. Demostración Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas y de V y Wrespectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relación entre estas matrices. TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si , ' son dos bases ordenadas de V y ' son dos bases ordenadas deW, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo : L(V, W) Mn x m(F). Más aún, para toda A Mn xm(F), se tiene que 1 (A) L(V, W) es tal que [-1(A)] = A. Bibliografía Utilizada: http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html http://www.academia.edu/8141413/Transformaciones_lineales
Propiedades Autor: Erick Neves Propiedades básicas de las transformaciones lineales. Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2,..., αn: i. T(0) = 0 ii. T(u - v) = Tu - Tv iii. T(α1v1, α2v2, ..., αnvn) = α1Tv1+ α2Tv2+ ... + αnTvn Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2, ..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi = wi para i = 1, 2, ..., n. Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v. Es decir T1 = T2. Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ..., vn}. Sea también W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2, ..., wn. Entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, ..., n.
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformaci贸n lineal de V en W, es una funci贸n
tal que:
i) . ii)
.
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”. Observaciones:
Si,
Es una transformación lineal, entonces:
.En efecto
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que
.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)
Es lineal si y solo si
.
Si T lineal, entonces
. Inversamente, supongamos que
. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:
a)
b)
N贸tese que usamos el hecho de que
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii) Es lineal si y solo si
. La demostración se hace por inducción sobre n.
a)
Si,
Entonces, por la condición (ii) de T.
b)
Supongamos válido para n. Probemos para
:Por la condición (i) de T, tenemos que,
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
Así que podemos concluir que,
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observaci贸n (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea:
tal que
. Entonces T es lineal, ya que
, y por otro lado
. Por lo tanto, vemos que
Esta transformaci贸n recibe el nombre de la transformaci贸n cero y se denota como
Aplicaciones de las transformaciones lineales Autor: Verona Santiago
Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Rm. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. 2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). 4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3). El primer paso para esto es determinar los vectores base.
Por lo tanto, podemos afirmar que,
Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2 R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que,
La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que,
Esto produce, De manera similar, la imagen del vector base resulta ser
Y tenemos la matriz de transformación lineal final como,
Ejemplo: Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz: Cubierta dura
Cubierta blanda
Cubierta de Lujo
300
500
800
40
50
60
Papel Material para la cubierta
Deja que
represente el vector producción, donde x1, x2,
x3 representan el número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectivamente, que se publican. La transformación lineal T:
R3 → R2 definida por T(x) = Ax nos da el vector
, donde y1representa la
cantidad total de papel requerido y y2 la cantidad de material para la
cubierta. Suponga que
, entonces,
Referencias Bibliográficas: ____________ (s/f), Ejemplos de Aplicaciones de las Transformaciones Lineales. Documento en
línea,
disponible
en:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic%20transformacion%20lineal.htm Soto(2013), Aplicación De Las Transformaciones Lineales. Documento en línea, disponible en: http://mitecnologico.com/igestion/Main/AplicacionDeLasTransformacionesLineales