Transformaciones Lineales y Sus definiciones Las transformaciones Lineales intervienen en muchas situaciones en Matemática y son algunas de las funciones más Importantes. En Geometría modelan las simetrías de un Objeto. En Análisis sirven para aproximar localmente funciones. En Algebra, que es el tema a estudiar a profundidad en esta ocasión, se pueden usar para representar ecuaciones, y funciones con ciertas propiedades especiales. Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. En síntesis, podemos dar la siguiente definición: Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene: T (a + b) = T (a) + T (b) T (k a) = k T (a) Se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad. Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T. Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. En cuanto a los Tipos de Transformaciones, tenemos:
Reflexión: El proceso de se resume en los siguientes puntos: Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas. Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia. • Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado. • Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original. Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) Dilatación: Es una transformación que incrementa distancias. Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con más precisión: para CC>c >0, la transformación Cd x, = (cx, y escala las coordenadas x en un factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas y. Si 0<c <1 se trata de una compresión en la dirección del eje x positivo. Si c>1, se refiere a una expansión. También se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por Cyx, igual c; para c>o
Contracción: es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2.