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APPUNTI DI MATEMATICA

GLI INSIEMI NUMERICI • I numeri naturali • I numeri interi • I numeri razionali • Teoria degli insiemi (cenni)

ALESSANDRO BOCCONI

Indice 1 L’insieme N dei numeri naturali

4

1.1

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Caratteristiche dell’insieme N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

L’addizione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

La moltiplicazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

La sottrazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

La divisione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7

Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8

La priorit` a delle operazioni e le parentesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9

L’uso delle lettere, e la propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. 14

1.10 Le potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11 Divisori, multipli, e numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.12 Criteri di divisibilit` a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.13 Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo. . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.14 Il sistema di numerazione posizionale in base dieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.15 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.16 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.17 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 L’insieme Z dei numeri interi

39

2.1

La nascita dei numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2

Caratteristiche dell’insieme Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3

Le operazioni coi numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4

L’addizione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5

La sottrazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6

La moltiplicazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7

La divisione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8

Le potenze nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

2.9

La priorit` a delle operazioni, le parentesi e le espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.10 Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali . . . . . . . . . . . 55 2.11 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 L’insieme Q dei numeri razionali

61

3.1

L’insieme delle frazioni di numeri Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2

Significato “descrittivo” delle frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3

Frazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4

Frazioni ridotte ai minimi termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5

Addizioni e sottrazioni fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6

Frazione di numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7

La moltiplicazione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8

La divisione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.9

La potenza di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.10 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 Semplificazioni fra potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.12 Potenze con esponente negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.13 La notatazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.14 Le frazioni e i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.15 Le proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.16 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.17 Le frazioni e i numeri decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.18 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.19 Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.21 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4 Gli insiemi (cenni)

106

4.1

Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2

Rappresentazione degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3

Cardinalit` a di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo . . . . . . . . . . . . 108

4.4

I sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5

Operazioni fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6

Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn . . 112

4.7

Alcuni risultati importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2

4.8

Il prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.9

Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Capitolo 1

L’insieme N dei numeri naturali 1.1

Introduzione

L’esigenza di contare e quantificare `e presente nella vita quotidiana sin dalle origini dell’umanit` a: il concetto di numero ha sempre accompagnato l’uomo durante la sua evoluzione. Le propriet` a, le notazioni e i risultati che incontreremo sono frutto del lavoro di studiosi nel corso dei secoli.

Quanto ci apprestiamo ad affrontare `e una sintesi di una parte di questo lungo e paziente lavoro ed ha lo scopo di porre le basi di una scienza in continua evoluzione: la matematica.

1.2

Caratteristiche dell’insieme N

L’insieme dei numeri naturali `e costituito da: N = {0; 1; 2; 3; 4; .......} Evidenziamo alcune caratteristiche dell’insieme N: 1. L’insieme N ammette naturalmente una relazione d’ordine, cio´e un criterio che ci permette di stabilire, presa una qualunque coppia di elementi di N, quale elemento viene prima. La relazione d’ordine in questo caso `e: essere minore di.... Ad esempio, scelti gli elementi 3 e 27, l’elemento 3 viene prima dell’elemento 27 in quanto 3 `e minore di 27; 2. L’insieme N `e costituito da infiniti elementi.

3. L’insieme N `e illimitato, cio´e non esiste un elemento di N che non `e minore di nessun altro elemento di N. Osservazione. In base alle caratteristiche di N possiamo affermare che esiste il primo elemento dell’insieme (cio´e lo zero che `e minore di tutti gli altri) ma non esiste l’ultimo.

Osservazione. La migliore rappresentazione grafica dell’insieme N `e, in base alle sue caratteristiche, una semiretta orientata (cio`e che ha un ordine in cui cresce indicato dalla freccia) come quella rappresentata in figura 1.1.

Alessandro Bocconi

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Figura 1.1: La semiretta dei numeri Naturali

1.3

L’addizione nei numeri naturali

Il concetto di addizione di due numeri naturali `e cos`ı intuitivo che, darne qui una definizione, risulterebbe soltanto un inutile appesantimento. Quindi non spiegheremo ad esempio cosa vuol dire 3 + 5 e perch´e il suo risultato sia 8, lasciando a queste domande l’intuitiva risposta che il lettore pu`o darsi.

Ci soffermeremo per` o sulla terminologia: il risultato di un’addizione si dice somma, e i due numeri che compongono l’addizione si dicono addendi. Prendendo ad esempio l’addizione 3 + 5; 3 e 5 sono addendi, e 8 `e la somma.

Anche se l’addizione `e un’operazione fra due numeri, si utilizza spesso l’espressione somma di pi` u numeri. Con tale espressione si intende il risultato che si ottiene sommando i primi due addendi, al risultato si somma il terzo e cos`ı via.

Propriet` a dell’addizione: 1. Propriet` a commutativa: scambiando fra di loro i due addendi la somma non cambia (Esempio la somma di 3+5 `e uguale alla somma di 5+3) 2. Propriet` a associativa: La somma di pi` u numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui le addizioni vengono eseguite.

Esempio: 3+7+5 Eseguiamo prima l’addizione fra 3 e 7 che ha risultato 10: 3 + 7 + 5 = 10 + 5 = 15 Adesso eseguiamo prima la seconda addizione (fra 7 e 5) che ha come risultato 12: 3 + 7 + 5 = 3 + 12 = 15 Si osserva che il risultato finale non cambia e conferma la propriet`a associativa dell’addizione.

Osservazione. La propriet` a associativa pu`o risultare estremamente utile per facilitare il calcolo di una somma. Si consideri ad esempio: 49 + 97 + 3

Alessandro Bocconi

6

Effettuare, come viene naturale, prima la somma fra 49 e 97 non `e molto semplice soprattutto se dobbiamo eseguirla a mente. Molto pi` u semplice `e determinare 97 + 3 = 100 e poi effettuare la somma con 49: 49 + 100 = 149.

Osservazione. Se in un’addizione uno dei due addendi `e zero la somma `e l’altro addendo.

Esempi: 5 + 0 = 5;

0+5=5

1.4

La moltiplicazione nei numeri naturali

Chiariamo con un esempio l’espressione “sommare un numero pi` u volte” che ci servir`a per la definizione di moltiplicazione: sommare 4 volte il numero 3 significa: 3| + 3 {z + 3 + 3} 4 volte La definizione di moltiplicazione deriva dall’addizione: Definizione di moltiplicazione: moltiplicare fra loro due numeri vuol dire sommare il primo numero tante volte quanto `e il secondo numero.

Esempi: 5 · 3 = |5 +{z 5 + 5} = 15 3

volte

7 · 6 = |7 + 7 + 7 {z + 7 + 7 + 7} = 42 6

volte

I due numeri che compongono una moltiplicazione si chiamano fattori, mentre il risultato di una moltiplicazione si dice prodotto. Nel primo esempio 5 e 3 sono i fattori mentre 15 `e il prodotto.

Problema Mettendo delle palline una sopra l’altra abbiamo formato delle colonne costituite da queste palline (supponiamo che le palline stiano in equilibrio una sull’altra). Ciascuna colonna `e formata da 3 palline, e le colonne sono 5 (figura 1.2). Quante palline ci sono in tutto?

La risposta `e molto semplice: 3 palline nella prima colonna, pi` u 3 palline nella seconda e cos`ı via fino ad arrivare alla quinta. Quindi: numero di palline = 3| + 3 +{z 3 + 3 + 3} = 15 5 colonne

Ma sommare 5 volte il numero 3 `e, per definizione, il prodotto 3 · 5. Quindi il problema `e risolto moltiplicando il numero delle palline in ciascuna colonna (primo fattore) col numero delle colonne (secondo fattore).

Alessandro Bocconi

7

.

.

Figura 1.2: 3 palline per ciascuna delle 5 colonne Osservazione importante. La definizione di moltiplicazione perde chiarezza nei casi in cui il secondo fattore `e 1, oppure 0. L’esempio delle palline messe in colonna ci aiuta ad analizzare questi due casi: • Secondo fattore uguale a 1. Il prodotto `e equivalente al seguente problema: abbiamo un certo numero di palline (primo fattore) messe in un’unica colonna (secondo fattore). Quante palline abbiamo in tutto? Ovviamente la risposta `e che abbiamo tante palline quante ci sono nell’unica colonna. Quindi il prodotto di due fattori di cui il secondo `e 1 `e uguale al primo fattore.

Esempio: 8 · 1 = 8 • Secondo fattore uguale a 0. Considerando come prima le palline e le colonne, in questo caso, dato che il secondo fattore `e 0, non abbiamo nessuna colonna. Se non ci sono colonne non ci sono neppure palline (cio`e 0 palline), e quindi il prodotto `e uguale a 0.

Esempio: 8 · 0 = 0

Come per la somma, definiamo il prodotto di pi` u fattori, come il risultato che si ottiene moltiplicando i primi due fattori fra loro, al risultato si moltiplica il terzo e cos`ı via.

Propriet` a della moltiplicazione: 1. Propriet` a commutativa: scambiando fra di loro i due fattori il prodotto non cambia.

Verifichiamolo ancora con l’aiuto delle palline: in figura 1.2 abbiamo messo 3 palline in ciascuna delle 5 colonne, e abbiamo visto che il numero totale di palline `e data dal prodotto 3 · 5.

Supponiamo adesso di ruotare il rettangolo dove sono contenute le palline, in modo da appoggiarlo sul lato pi` u corto (figura 1.3).

Adesso abbiamo 5 palline per ciascuna colonna, e le colonne sono 3. Quante sono le palline?

La risposta `e data dal prodotto 5 · 3. Ma ovviamente il numero delle palline `e rimasto lo stesso nelle due figure, e quindi i due prodotti devono dare lo stesso risultato, quindi: 3·5=5·3 Considerando che tale procedimento `e indipendente dalla scelta del numero delle palline e delle colonne, abbiamo verificato la propriet`a commutativa della moltiplicazione.

.

8

.

Alessandro Bocconi

Figura 1.3: 5 palline per ciascuna delle 3 colonne u fattori non cambia, cambiando l’ordine con cui le 2. Propriet` a associativa: il prodotto di pi` moltiplicazioni vengono eseguite.

Verifichiamolo con un esempio: ad un istruttore viene commissionato un corso che gli verr` a retribuito 20 euro all’ora, e dovr` a lavorare per 5 ore al giorno, per 3 giorni. Quanto guadagner` a l’istruttore?

Riscriviamo l’accordo con l’istruttore: 20 euro all’ora per 5 ore al giorno per 3 giorni.

Il problema si traduce quindi in 20 · 5 · 3 In realt`a a noi non interessa quanto guadagna, ma che allo stesso risultato possiamo arrivarci in (almeno) 2 modi diversi. (a) Calcoliamo quanto guadagna al giorno e poi si moltiplica per il numero dei giorni: visto che guadagna 20 euro all’ora e lavora 5 ore in un giorno, al giorno guadagna 20 · 5 = 100 euro. I giorni di lavoro sono 3 quindi il guadagno totale `e 100 · 3 = 300. (b) Calcoliamo quante ore di lavoro effettua nei 3 giorni, e poi moltiplichiamo per il compenso orario: visto che lavora 5 ore al giorno per 3 giorni, il numero di ore lavorative `e 5·3 = 15 ore. Dal momento che riceve 20 euro all’ora, il guadagno totale `e 20 · 15 = 300.

Nel primo caso abbiamo effettuato prima la prima moltiplicazione (20 · 5) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 3. Nel secondo caso abbiamo effettuato prima la seconda moltiplicazione (5 · 3) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 20. Dal momento che il risultato `e lo stesso nei 2 casi (e non potrebbe essere altrimenti visto che il compenso finale deve essere lo stesso comunque lo si calcoli), abbiamo dimostrato che il risultato non cambia, cambiando l’ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni.

Osservazione. Come gi` a visto per l’addizione, la propriet`a associativa pu`o risultare estremamente utile anche per calcolare un prodotto. Si consideri ad esempio: 79 · 5 · 2

Alessandro Bocconi

9

Effettuare, come viene naturale, prima il prodotto fra 79 e 5 non `e molto semplice soprattutto se dobbiamo eseguirlo a mente. Molto pi` u semplice `e determinare 5·2 = 10 e poi effettuare il prodotto con 79: 79 · 10 = 790.

Tenuto conto dell’osservazione importante e della propriet`a commutativa della moltiplicazione possiamo affermare che: 1. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione `e 1, il prodotto `e uguale all’altro fattore.

2. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione `e 0, il prodotto `e 0.

1.5

La sottrazione nei numeri naturali

Anche la definizione di sottrazione deriva dall’addizione: Definizione di sottrazione: eseguire una sottrazione fra due numeri vuol dire determinare quel numero che sommato al secondo dei due, ha come risultato il primo.

Esempio: eseguire la sottrazione 10-6 vuol dire determinare quel numero la cui somma con 6 `e ` corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 − 6 = 4 `e dato dal fatto che uguale a 10. E 4 + 6 = 10.

Il primo numero di una sottrazione si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza. Nell’esempio precedente 10 `e il minuendo, 6 il sottraendo e 4 la differenza.

Esempi 7 − 2 = 5 infatti 2 + 5 = 7; 6 − 6 = 0 infatti 6 + 0 = 6; 9 − 0 = 9 infatti 0 + 9 = 9; 5−8 non si pu` o fare perch´e non esiste nessun numero naturale che sommato a 8 ha come risultato 5.

Dall’ultimo esempio si ricava la seguente importante: Osservazione. Si pu` o eseguire una sottrazione nei numeri naturali solo se il minuendo non `e minore del sottraendo.

Per la sottrazione non valgono n´ e la propriet` a commutativa, n´ e quella associativa.

Verifichiamolo con degli esempi: • 7 − 5 = 2, se valesse la propriet` a commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il minuendo col sottraendo, la differenza rimane la stessa, mentre invece 5 − 7 non ha nessun risultato.

Alessandro Bocconi

10

• Per vedere che non vale la propriet`a associativa consideriamo 11 − 5 − 2 se eseguiamo prima la prima sottrazione (11 − 5 = 6) otteniamo: 11 − 5 − 2 = 6 − 2 = 4 Se valesse la propriet` a associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordine delle sottrazioni, mentre invece eseguendo prima la seconda sottrazione (5 − 2 = 3) si ottiene 11 − 5 − 2 = 11 − 3 = 8 che `e un risultato finale diverso dal precedente.

1.6

La divisione nei numeri naturali

La definizione di divisione deriva dalla moltiplicazione (che, come ricorderemo, a sua volta derivava dall’addizione): Definizione di divisione: Eseguire una divisione fra due numeri vuol dire determinare quel numero che moltiplicato al secondo dei due, ha come risultato il primo.

Esempio: eseguire la divisione 10 : 5 vuol dire determinare quel numero che moltiplicato per 5 ha ` corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 : 5 = 2 `e dato dal fatto che come risultato 10. E 2 · 5 = 10.

Il primo numero di una divisione si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente.

Nell’esempio precedente 10 `e il dividendo, 5 il divisore e 2 il quoziente.

` importante notare che, come per la sottrazione, non sempre `e possibile effettuare Osservazione: E la divisione fra due numeri: ad esempio 8 : 3 non ha alcun risultato nei numeri naturali, in quanto non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 ha come risultato 8.

Esempi 1.

15 : 3 = 5, infatti 3 · 5 = 15

2.

9 : 9 = 1, infatti 9 · 1 = 9

3.

8 : 1 = 8, infatti 1 · 8 = 8

4.

0 : 5 = 0, infatti 5 · 0 = 0

5.

16 : 5 non ha risultato perch´e non esiste un numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 16

Alessandro Bocconi

11

Osservazioni. Dalla definizione di divisione possiamo concludere che: • La divisione di un numero (diverso da 0) per se stesso ha sempre quoziente 1 (secondo esempio).

• La divisione di un numero per 1 ha sempre come quoziente il numero stesso (terzo esempio).

• 0 diviso qualunque numero (diverso da 0) ha sempre come quoziente 0 (quarto esempio).

La divisione per zero.

• Consideriamo adesso una divisione in cui il dividendo sia diverso da zero e il divisore uguale a zero, ad esempio 5 : 0. Il quoziente di questa divisione, se esistesse, dovrebbe essere un numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 5, mentre sappiamo che qualunque numero naturale moltiplicato per 0 ha come risultato 0 (vedi paragrafo 1.4).

• Studiamo ora il caso in cui anche il dividendo `e 0, cio´e la divisione 0 : 0. In questo caso siamo di fronte a una forma indeterminata: infatti potremmo affermare che 0 : 0 = 1 infatti 0·1 = 0, ma potremmo anche dire che 0 : 0 = 2 infatti 0 · 2 = 0, oppure 0 : 0 = 18 infatti 0 · 18 = 0, oppure 0 : 0 = 0 infatti 0 · 0 = 0 e cos`ı via per tutti i numeri naturali. In altre parole la divisione 0 : 0 non ha un unico risultato ma ne ha infiniti. Per questo viene chiamata forma indeterminata: perch´e non `e possibile determinare un’unica soluzione dato che qualunque numero `e soluzione di quella divisione.

In ogni caso quindi non ` e mai possibile eseguire una divisione in cui il divisore sia 0.

Per la divisione, come per la sottrazione, non valgono n´ e la propriet` a commutativa, n´ e quella associativa. Verifichiamolo con degli esempi: • 16 : 2 = 8, se valesse la propriet` a commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il dividendo col divisore, il quoziente rimane lo stesso, mentre invece 2 : 16 non ha nessun risultato.

• Per vedere che non vale la propriet`a associativa consideriamo 24 : 6 : 2 se eseguiamo prima la prima divisione (24 : 6 = 4) otteniamo 24 : 6 : 2 = 4 : 2 = 2 Se valesse la propriet` a associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordine delle divisioni, mentre invece eseguendo prima 6 : 2 = 3 si ottiene: 24 : 6 : 2 = 24 : 3 = 8 cio´e un risultato finale diverso dal precedente.

Alessandro Bocconi

1.7

12

Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni.

` utile effettuare un confronto fra le varie caratteristiche e propriet`a che hanno le quattro operazioni.

E • Innanzitutto presa una qualunque coppia di numeri naturali ´e sempre possibile effettuare la loro addizione e la loro moltiplicazione. Lo stesso non si pu`o dire per la sottrazione e le divisione in quanto esistono coppie di numeri per le quali non esiste n´e la differenza n´e il quoziente.

• Inoltre la moltiplicazione e l’addizione godono sia della propriet`a commutativa che quella associativa, a differenza della divisione e della sottrazione che non godono di nessuna delle due. Si osservi a tal proposito che per l’addizione e la moltiplicazione i due numeri si chiamano allo stesso modo (addendi per l’addizione e fattori per la moltiplicazione), mentre per la sottrazione e la divisione il primo numero ha un nome diverso dal secondo (minuendo e sottraendo per la sottrazione e dividendo e divisore per la divisione). Ci`o `e dovuto al fatto che, godendo della propriet` a commutativa, i termini della moltiplicazione e dell’addizione possono essere scambiati, mentre quelli della divisione e sottrazione no.

• Se ad un numero addizioniamo o sottraiamo 0 il numero rimane invariato. Per questo si dice che 0 ` e l’elemento neutro per l’addizione e la sottrazione.

• Se moltiplichiamo o dividiamo un numero per 1 il numero rimane invariato. Per questo si dice che 1 ` e l’elemento neutro per la moltiplicazione e la divisione.

1.8

La priorit` a delle operazioni e le parentesi.

Chiameremo espressione numerica, una serie di numeri legati fra di loro da delle operazioni.

Affrontiamo ora il caso di dover risolvere un’espressione, partendo da un esempio: 5+3·4−1 ` facile osservare che il risultato di tale espressione cambia a seconda dell’ordine in cui effettuiamo E le singole operazioni; se ad esempio scegliamo di partre da sinistra a destra si ottiene: 5 + 3 · 4 − 1 = 8 · 4 − 1 = 32 − 1 = 31 Se invece scegliamo l’ordine inverso otteniamo: 5 + 3 · 4 − 1 = 5 + 3 · 3 = 5 + 9 = 14 E avremmo ottenuto ancora un risultato diverso se avessimo scelto un ordine differente rispetto ai due precedenti (ad esempio prima la moltiplicazione poi la sottrazione e infine l’addizione). Dal momento che in matematica le espressioni devono avere un unico risultato (altrimenti perderebbero senso), si `e reso necessario fissare una priorit`a delle operazioni, cio´e una classifica dell’ordine in cui le operazioni devono venire effettuate. E questa `e la classifica: • Primo posto: moltiplicazione e divisione a pari merito.

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• Secondo posto: addizione e sottrazione a pari merito.

Con la regola che, se due operatori hanno la stessa priorit`a (cio´e lo stesso posto in classifica) si effettua prima quello pi` u a sinistra. Quindi per risolvere un’espressione si risolvono prima tutte le moltiplicazioni e le divisioni presenti, una per ogni passaggio, partendo da sinistra a destra.

Quando non ci sono pi` u n´e moltiplicazioni n´e divisioni si passa alle addizioni e sottrazioni, sempre una per volta, e sempre da sinistra a destra.

Esempi .

Risolvere la seguente espressione: 5+3·4−1=

c’´e un’unica moltiplicazione che ha priorit`a maggiore degli altri operatori e quindi si svolge per prima: 5 + 12 − 1 = ci sono due operatori di uguale priorit` a, si effettua quindi per primo quello pi` u a sinistra: 17 − 1 = 16 Quindi il risultato finale `e 16. .

Risolvere la seguente espressione: 18 − 8 : 2 · 4 =

Le moltiplicazioni e le divisioni hanno priorit`a maggiore, si effettua in questo caso prima la divisione perch´e `e pi` u a sinistra: 18 − 4 · 4 = Adesso la moltiplicazione: 18 − 16 = 2 Quindi il risultato finale `e 2. .

Risolvere le seguenti espressioni: 1. 20 − 12 − 4 + 3 20 − 12 − 4 + 3 = 8 − 4 + 3 = 4 + 3 = 7 2. 10 + 16 : 4 : 2 10 + 16 : 4 : 2 = 10 + 4 : 2 = 10 + 2 = 12

Per cambiare l’ordine delle operazioni, l’unico strumento che esiste ` e l’uso delle parentesi. Infatti se un’espressione contiene delle parentesi, prima si risolvono le parti di espressione dentro le parentesi fino a che non rimane solo un numero. A quel punto si tolgono le parentesi e si procede come prima.

Esempio Risolvere la seguente espressione: 6 + (7 − 2 · 3) · 4 =

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prima si risolve la parte di espressione dentro le parentesi, ricordando che, all’interno di una parentesi valgono le priorit` a descritte in precedenza, quindi: 6 + (7 − 6) · 4 = 6 + (1) · 4 dentro le parentesi `e rimasto solo un numero e quindi possono essere tolte: 6 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10 Quindi il risultato finale `e 10.

Pu`o essere necessario, all’interno di una parentesi aprirne e chiuderne altre. In questo caso, per evitare confusione, si usano parentesi diverse da quelle tonde, e precisamente le parentesi quadre e, se necessario, le parentesi graffe. Per convenzione le parentesi tonde stanno dentro le quadre che a loro volta stanno dentro le graffe. In un’espressione con parentesi graffe, quadre e tonde, prima si risolvono tutte le tonde, poi tutte le quadre, e in ultimo tutte le graffe.

Esempio Risolvere la seguente espressione: 12 + {20 : [(7 − 5) · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 = 12 + {20 : [(2) · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 = 12 + {20 : [2 · 8 − 6] + 4 · 3} : 7 = 12 + {20 : [16 − 6] + 4 · 3} : 7 = 12 + {20 : [10] + 4 · 3} : 7 = 12 + {20 : 10 + 4 · 3} : 7 = 12 + {2 + 4 · 3} : 7 = 12 + {2 + 12} : 7 = 12 + {14} : 7 = 12 + 14 : 7 = 12 + 2 = 14.

1.9

L’uso delle lettere, e la propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma.

In matematica si usano molto frequentemente le lettere al posto dei numeri. Il motivo risiede nel fatto che con le lettere possiamo effettuare delle affermazioni che hanno carattere generale, cosa non possibile usando invece i numeri.

Chiariamo quanto detto con un esempio: presi i numeri 3 e 5 vale che: 3·5=5·3 Quanto appena scritto afferma che la moltiplicazione gode della propriet`a commutativa? La risposta `e no, perch´e si potrebbe obiettare che ci`o che vale per i numeri 3 e 5, non necessariamente deve valere per tutti i numeri.

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Se invece scriviamo: siano a e b due numeri naturali qualunque. Vale che: a·b=b·a In questo modo abbiamo enunciato la propriet`a commutativa della moltiplicazione, in quanto a e b sono due qualunque numeri naturali, e quindi l’uguaglianza vale per tutti i numeri naturali.

Tale esempio dimostra quanto pu` o essere conveniente usare le lettere al posto dei numeri.

Possiamo adesso enunciare una propriet` a estremamente importante che lega la moltiplicazione con l’addizione: La propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di una somma per un fattore `e equivalente alla somma dei prodotti fra ciascun addendo e il fattore stesso.

In formule: (a + b + c + ....) · k = a · k + b · k + c · k... dove i puntini stanno a significare che la somma pu`o essere composta da un qualsiasi numero di addendi.

Chiariamo, e verifichiamo, questa propriet`a tramite un esempio.

Esempio (5 + 2 + 8) · 4 (si noti che tale espressione deriva dalla formula letterale scritta sopra, scegliendo al posto di a il numero 5, al posto di b il numero 2, al posto di c il numero 8 e al posto di k il numero 4).

Per la propriet` a distributiva deve valere che il risultato della precedente espressione `e uguale a quello della seguente espressione: 5·4+2·4+8·4 (cio`e, riprendendo sempre la formula letterale, a · k + b · k + c · k).

Verifichiamolo: (5 + 2 + 8) · 4 = 15 · 4 = 60 5 · 4 + 2 · 4 + 8 · 4 = 20 + 8 + 32 = 60 e quindi la propriet` a `e verificata.

1.10

Le potenze.

Consideriamo la seguente espressione: 2| · 2 ·{z 2 · 2 · 2} 5 volte ` possibile, e preferibile, Osserviamo che si tratta di un prodotto in cui i fattori sono tutti 2. E scrivere tale espressione in forma pi` u compatta che prende il nome di potenza, cio´e 25 . Si dice che 25 `e una potenza di base 2 ed esponente 5.

Il concetto di potenza `e fondamentale nella matematica, ed `e cos`ı definito:

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Definizione di potenza nei numeri naturali: sia a un numero naturale e n un numero naturale maggiore di zero. Con l’espressione an (che si legge a elevato ad enne, o pi` u semplicemente a alla enne) si intende una potenza di base a ed esponente n, che equivale a: an = a a · a....} | · a ·{z n volte Esempi: 1. 34 `e una potenza di base 3 ed esponente 4, si legge tre alla quarta ed equivale a: 34 = |3 · 3{z · 3 · 3} = 81 4 volte 2. 72 `e una potenza di base 7 ed esponente 2, si legge sette alla seconda ed equivale a: 72 = |{z} 7 · 7 = 49 2

volte

3. 14 `e una potenza di base 1 ed esponente 4, si legge uno alla quarta ed equivale a: 14 = |1 · 1{z · 1 · 1} = 1 4 volte 4. 05 `e una potenza di base 0 ed esponente 5, si legge zero alla quinta ed equivale a: 05 = |0 · 0 ·{z 0 · 0 · 0} = 0 5 volte 5. 81 `e una potenza di base 8 ed esponente 1, si legge otto alla prima ed equivale a: 81 = |{z} 8 =8 1

volta

Osservazioni: Dalla definizione di potenza e dagli esempi possiamo facilmente osservare che: • Qualsiasi numero naturale elevato alla prima equivale al numero stesso (vedi esempio 5).

Quindi qualsiasi numero naturale pu`o essere visto come una potenza avente come base il numero stesso e come esponente uno (ad esempio 7 `e equivalente alla potenza 71 ).

• Zero elevato a qualunque numero maggiore di zero `e uguale a zero (vedi quarto esempio).

• Uno elevato a qualunque numero maggiore di zero `e uguale a uno (terzo esempio).

Si noti inoltre che tramite le potenze possiamo esprimere con numeri relativamente piccoli, anche numeri molto elevati, ad esempio: 67 = 279936. A tal proposito si legga con attenzione il seguente racconto.

La nascita degli scacchi e i chicchi di riso. Narra la leggenda che gli scacchi furono inventati in India da un bramino (un sacerdote) di nome Sissa. Egli era cos`ı orgoglioso della sua invenzione che la port`o in dono al suo sovrano. Anche il sovrano rimase entusiasta del nuovo gioco e, per ricompensare il bramino, disse che avrebbe potuto chiedergli in dono qualunque cosa: denaro, stoffe preziose, terre, gemme ecc.

Il bramino fece una richiesta piuttosto insolita: “mio sovrano per determinare la mia ricompensa dovr`a essere messo un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, 2 nella seconda, 4 nella

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terza, 8 nella quarta e cos`ı via fino all’ultima casella. Quello che ti chiedo `e di darmi il contenuto dell’ultima casella” Il re rise a quell’insolita richiesta pensando di essersela cavata con pochi chicchi di riso. Quando per`o i suoi consiglieri determinarono la quantit`a di riso che spettava al bramino non ebbe pi` u alcuna voglia di sorridere: per esaudire la richiesta non sarebbero state sufficienti le scorte di riso di tutto il regno.

Vediamo perch´e: innanzitutto sappiamo che le caselle di una scacchiera sono 64. La richiesta del bramino era di un chicco sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza e cos`ı via. Mettiamo questi dati in tabella: casella 1 2 3 4 5 . . .

numero di chicchi 1 2 4 8 16 . . .

Si osserva che nell colonna a destra sono tutte potenze del 2 (a cominciare da 1 che `e 20 come vedremo nel prossimo paragrafo) quindi possiamo riscrivere la tabella come: casella 1 2 3 4 5 . . .

63 64

numero di chicchi 20 21 22 23 24 . . .

262 263

quindi la 64-esima casella corrisponde a 263 chicchi di riso cio`e 9.223.372.036.854.775.808 chicchi. Per rendersi conto dell’enormit` a di tale numero si pensi che un chicco di riso pesa circa un quarantacinquesimo di grammo, quindi il peso di tutti quei chicchi `e superiore a 200 miliardi di tonnellate.

Considerando che nel 2006 la produzione annuale di riso del pianeta `e stata di 636 milioni di tonnellate ci sarebbero voluti pi` u di 300 anni per produrre una tale quantit`a di riso!!

Capiamo bene quindi che se dovessimo effettuare il prodotto 67 · 610 calcolando prima 67 poi 610 , e poi moltiplicando fra loro i numeri ottenuti, avremmo come minimo bisogno di una calcolatrice (e anche piuttosto potente). Per questo ci vengono in aiuto le fondamentali propriet`a delle potenze.

Le propriet` a delle potenze.

1. Il prodotto fra due potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Verifichiamo tale propriet` a con un esempio:

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3 · 3 = |3 · 3 · 3 ·{z 3 · 3 · 3 · 3} = 37 35 · 32 = |3 · 3 ·{z 3 · 3 · 3} · |{z} 5 volte 2 volte 7 volte Quindi il risultato ha la stessa base dei fattori (cio´e 3) e come esponente la somma degli esponenti (cio´e 5 + 2 = 7).

2. Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base, in cui la prima (dividendo) deve avere l’esponente maggiore della seconda (divisore), `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Verifichiamo con un esempio: 57 : 54 Dal momento che il quoziente `e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 54 ha come risultato 57 . Grazie alla prima propriet` a possiamo affermare che 53 · 54 = 57 , e quindi 53 `e il risultato cercato.

Quindi il risultato ha la stessa base del dividendo e del divisore (cio´e 5) e come esponente la differenza degli esponenti (cio´e 7 − 4 = 3).

3. La potenza di una potenza `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Verifichiamo tale propriet` a con un esempio: (35 )2 = 3| 5{z · 3}5 = per la prima propriet` a = 35+5 = 310 2 volte dove la parentesi iniziale sta a indicare che prima si determina 35 e poi si eleva alla seconda.

Quindi il risultato ha la stessa base iniziale (cio´e 3) e come esponente il prodotto degli esponenti (cio´e 5 · 2 = 10).

4. Il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi.

Verifichiamo tale propriet` a con un esempio: 24 · 34 = |2 · 2{z · 2 · 2} · 3 · 3 · 3} = per la propriet` a commutativa della moltiplicazione | · 3{z 4 volte 4 volte = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = |6 · 6{z · 6 · 6} = 64 | {z } 4 volte 4 volte Quindi il risultato ha la stesso esponente dei fattori (cio´e 4) e come base il prodotto delle basi (cio´e 2 · 3 = 6).

5. Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi.

Verifichiamo con un esempio: 87 : 27 Dal momento che il quoziente `e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 27 ha come risultato 87 . Grazie alla quarta propriet` a possiamo affermare che 47 · 27 = 87 , e quindi 47 `e il risultato cercato.

Quindi il risultato ha lo stesso esponente del dividendo e del divisore (cio´e 7) e come base il quoziente delle basi (cio´e 8 : 2 = 4).

Potenza con esponente zero. Dalla definizione che abbiamo dato di potenza risulta che non ha senso una potenza con esponente zero: infatti, nella stessa definizione, abbiamo specificato che l’esponente fosse un numero naturale maggiore di zero. Risulta per`o estremamente utile dare un significato, e quindi un valore, ad una potenza, di base maggiore di zero, il cui esponente `e zero.

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Si `e deciso di adottare la seguente convenzione: Convenzione. La potenza avente come esponente 0 e come base un qualunque numero naturale maggiore di 0 vale 1.

Esempi 50 = 1;

30 = 1;

10 = 1

Osservazione. La scelta di attribuire il valore 1, ad una potenza di esponente 0 `e, come gi` a detto, una convenzione. Risulta per` o estremamente utile osservare che, fra tutti i valori che avremmo potuto attribuire, 1 risulta la scelta migliore per conservare alcune propriet`a delle potenze estendendole all’esponente 0.

Chiariamo quanto detto con due esempi. . Ammettiamo l’esistenza di una potenza ad esponente 0, ad esempio 30 , e consideriamo il seguente prodotto: 35 · 30 applicando la prima propriet` a delle potenze risulta: 35 · 30 = 35+0 = 35 quindi 35 (ma avrebbe funzionato con qualunque potenza del 3) moltiplicata per 30 resta 35 , quindi 30 funziona come elemento neutro della moltiplicazione. Allora, essendo 1 l’unico elemento neutro della moltiplicazione, deve risultare che 30 = 1. . Come secondo esempio consideriamo la divisione 25 : 25 . La divisione fra due numeri uguali (siano essi potenze o meno), ha come risultato 1 (vedi paragrafo 1.6). Quindi deve risultare: 25 : 25 = 1 Ma se vogliamo estendere la seconda propriet`a delle potenze al fatto che dividendo e divisore possano avere lo stesso esponente deve risultare che: 25 : 25 = 25−5 = 20 Quindi la divisione 25 : 25 ha come risultato sia 1, sia 20 . Dal momento che il risultato deve essere unico, l’unica possibilit` a per non entrare in contraddizione `e che 20 = 1, in accordo con la nostra convenzione.

0 elevato a 0. Attribuire un valore a 00 , qualunque esso sia, porterebbe a delle contraddizioni con altri risultati della matematica (purtroppo non abbiamo strumenti sufficienti per dimostrare questa affermazione e dobbiamo prenderla per buona). Per questo si `e stabilito che: 00 non ha significato (cio´ e non vale nessun numero).

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Osservazioni sulle propriet` a delle potenze.

Analizziamo adesso alcuni casi.

Di fronte alla addizione: 35 + 34 , possiamo usare la prima propriet`a delle potenze e affermare che il risultato `e 39 ? La risposta `e ovviamente no, perch´e tutte le propriet`a delle potenze riguardano la moltiplicazione o la divisione o l’elevamento a potenza e non sono quindi applicabili per l’addizione e la sottrazione.

Di fronte alla precedente addizione ci sono quindi due sole possibilit`a: o si calcolano le due potenze (in questo caso, dato che 35 = 243 e 34 = 81, si ottiene 35 + 34 = 243 + 81 = 324), oppure si lascia cos`ı com’´e (quest’ultima ipotesi `e senz’altro da preferire se siamo di fronte a potenze grandi).

Consideriamo la moltiplicazione: 35 · 26 , possiamo applicare qualche propriet`a delle potenze? La risposta `e ancora no, perch´e in una moltiplicazione si pu`o applicare la prima propriet`a se le basi sono uguali, e la quarta propriet` a se sono uguali gli esponenti, ma in questo caso non si verifica nessuna delle due condizioni. Quindi o si calcolano le potenze e poi si esegue il prodotto, oppure si lascia cos`ı com’´e.

Lo stesso discorso appena fatto per la moltiplicazione si pu`o applicare alla divisione

Osservazione. Consideriamo la divisione: 85 : 35 . Avendo uguali gli esponenti si potrebbe applicare la quinta propriet` a. Ma in questo caso si osserva che 8 : 3 `e una divisione che non ha quoziente nei numeri naturali, e quindi non si pu`o applicare la propriet`a citata, e scriveremo che tale divisione non ha risultato nei numeri naturali.

Le potenze all’interno delle espressioni. Nel paragrafo precedente abbiamo stabilito un ordine di priorit`a per le quattro operazioni all’interno di un’espressione. La domanda che ci poniamo `e come si colloca l’elevamento a potenza nella classifica delle priorit`a. La risposta `e che l’elevamento a potenza ha priorit` a maggiore di tutte le altre operazioni.

Esempio 3 + 12 : 22 · 5 = Prima di tutto l’elevamento a potenza, quindi: 3 + 12 : 22 · 5 = 3 + 12 : 4 · 5 = Poi si prosegue come gi` a visto nel paragrafo precedente: = 3 + 3 · 5 = 3 + 15 = 18

Anche in caso di espressioni con le potenze, le parentesi possono cambiare l’ordine delle operazioni: Esempio (1 + 2)4 = La parentesi ci impone di effettuare prima la somma, e poi l’elevamento a potenza: (1 + 2)4 = 34 = 81 Si osservi che senza le parentesi l’espressione precedente diventa:

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1 + 24 ed in questo caso dovremmo effettuare prima l’elevamento a potenza e poi la somma ottenendo un risultato diverso.

Osservazione importante. Quando `e possibile bisogna sempre applicare la propriet`a delle potenze invece di calcolarsi la potenza: questo semplifica e velocizza notevolmente lo svolgimento di un’espressione.

Esempio Risolvere la seguente espressione: 4 + 57 : 55 . ` da considerare sbagliato (anche se formalmente non lo `e) calcolarsi 57 e 55 e poi effettuare la E divisione, in quanto `e possibile applicare la seconda propriet`a delle potenze che ci permette di calcolare con estrema semplicit` a, il quoziente di quella divisione che `e 52 . Quindi 4 + 57 : 55 = 4 + 52 = 4 + 25 = 29

1.11

Divisori, multipli, e numeri primi.

Torniamo all’operazone della divisione vista al paragrafo 1.6.

Abbiamo osservato che non tutte le divisioni hanno un risultato; ad esempio non esiste il quoziente di 9 : 5, mentre la divisione 15 : 3 ha come quoziente 5.

Possiamo adesso definire: Definizione di multiplo e di divisore. Un numero a `e multiplo di un numero b (e allo stesso tempo b `e divisore di a), se la divisione a : b ha un quoziente.

` facile osservare che fra i divisori di un numero ci sono sempre uno e il numero stesso. Possiamo E adesso dare una fondamentale definizione: Definizione di numero primo. Un numero maggiore di 1 si dice primo se ha come divisori soltanto 1 e se stesso.

Si osservi che il numero uno ha come divisore soltanto uno, e quindi “avrebbe diritto” ad essere considerato un numero primo. Per convenienza `e stato scelto di escluderlo dai numeri primi, inserendo nella definizione che il numero deve essere maggiore di uno.

Scopriamo i primi numeri primi: Divisori di 2: 1; 2 quindi 2 `e un numero primo Divisori di 3: 1; 3 quindi 3 `e un numero primo Divisori di 4: 1; 2; 4 quindi 4 non `e un numero primo perch´e fra i divisori c’`e anche 2 che non `e n´e 1 n´e il numero stesso Divisori di 5: 1; 5 quindi 5 `e un numero primo

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Divisori di 6: 1; 2; 3; 6 quindi 6 non `e un numero primo perch´e fra i divisori ci sono anche 2 e 3 che non sono n´e 1 n´e il numero stesso I primi numeri primi (che conviene imparare a memoria) sono: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; 29....

Due caratteristiche dei numeri primi: 1. I numeri primi sono infiniti.

2. I numeri primi diventano sempre pi` u rari al crescere dei numeri stessi (si osservi ad esempio che nei primi 10 numeri naturali ci sono ben 4 numeri primi, mentre fra 110 e 120 ce n’`e soltanto uno).

Significato di scomposizione in fattori primi: Scomporre un numero in fattori primi vuol dire scriverlo come un prodotto di fattori che sono numeri primi, o potenze di numeri primi, e tale scomposizione `e unica.

Chiariamo quanto detto con un esempio: il numero 18 pu`o essere scomposto come 18 = 2 · 32 . Il fatto che tale scomposizione `e unica significa che il numero 18 non pu`o essere scomposto in fattori primi diversi da quelli trovati.

Come si scompone un numero in fattori primi. Si traccia una linea verticale e in alto a sinistra della linea scriviamo il numero da scomporre. Accanto a tale numero, dalla parte destra della linea, cerchiamo un numero primo che sia divisore del numero da scomporre. Conviene partire dal primo numero primo, cio`e 2. Se il numero da scomporre `e divisibile per 2, scriviamo 2, e sotto il numero da scomporre scriviamo il quoziente fra il numero da scomporre e 2. Se non `e divisibile per 2, proviamo con 3 e cos`ı via finch´e non troviamo un numero primo divisore del numero da scomporre. Si ripete quindi il procedimento considerando questa volta il quoziente appena trovato, e cercando un numero primo che gli sia divisore; in questa ricerca si parte dall’ultimo numero primo utilizzato nella precedente divisione. Il procedimento termina quando il quoziente `e 1. La scomposizione del numero `e data dal prodotto di tutti i fattori primi a destra della linea.

Chiariamo con alcuni esempi. .

Scomporre il numero 18: 18

18 `e divisibile per 2 che `e il primo dei numeri primi. Scriviamo quindi 2 nella colonna a destra accanto a 18; e sotto 18 il numero 9 che `e il risultato della divisione 18:2.

18 9

2

Si considera adesso il numero 9. 9 non `e divisibile per 2, si prova quindi col numero primo successivo cio`e 3; 9 `e divisibile per 3, e si scrive 3 nella colonna a destra accanto al 9, e sotto 9 il numero 3 che `e il risultato della divisione 9:3.

Alessandro Bocconi 18 9 3

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2 3

Il numero 3 `e divisibile per 3. Quindi scriviamo 3 nella colonna a destra, accanto al numero 3, e sotto il 3 il numero 1 che `e il risultato della divisione 3:3.

18 9 3 1

2 3 3

quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 2 una volta e il 3 due volte. La scomposizione risulta essere quindi 18 = 2 路 32 .

Scomporre il numero 175: 175

` divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, 175 non `e divisibile n麓e per 2 n麓e per 3. E accanto a 175. Sotto 175 scriviamo 35 che `e il risultato della divisione 175:5.

175 35

5

35 `e ancora divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, accanto a 35. Sotto 35 scriviamo 7 che `e il risultato della divisione 35:5.

175 35 7

5 5

7 non `e divisibile per 5, ma per 7 che `e il numero primo successivo; scriviamo quindi 7 nella colonna a destra, accanto a 7. Sotto 7 scriviamo 1 che `e il risultato della divisione 7:7.

175 35 7 1

5 5 7

quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 5 due volte e il 7 una volta. La scomposizione risulta essere quindi 175 = 52 路 7 .

Scomporre il numero 176: 176

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176 `e divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 176. Sotto 176 scriviamo 88 che `e il risultato della divisione 176:2.

176 88

2

88 `e ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 88. Sotto 88 scriviamo 44 che `e il risultato della divisione 88:2.

176 88 44

2 2 2

44 `e ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 44. Sotto 44 scriviamo 22 che `e il risultato della divisione 44:2.

176 88 44 22

2 2 2

22 `e ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 22. Sotto 22 scriviamo 11 che `e il risultato della divisione 22:2.

176 88 44 22 11

2 2 2 2

11 non `e divisibile n´e per 2 n´e per 3 n´e per 5 n´e per 7; `e divisibile per 11. Scriviamo quindi 11 nella colonna a destra, accanto a 11. Sotto 11 scriviamo 1 che `e il risultato della divisione 11:11.

176 88 44 22 11 1

2 2 2 2 11

Quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 2 quattro volte e 11 una volta. La scomposizione risulta essere quindi 176 = 24 · 11 .

Scomporre il numero 13:

13 `e un numero primo quindi `e gi` a scomposto

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Osservazione. Nella colonna a destra devono comparire soltanto numeri primi.

1.12

Criteri di divisibilit` a.

Come abbiamo visto, pu` o essere molto utile sapere se un numero `e divisibile o meno per un altro.

Scopo di questo paragrafo `e quello di fornire dei criteri per stabilire se un numero `e divisibile per qualche numero primo.

Innanzitutto effettuiamo alcune precisazioni: se consideriamo il numero 735, 735 `e appunto il numero, mentre 7, 3 e 5 sono le cifre che compongono il numero. Per convenzione il numero, come le parole, si legge da sinistra a destra, quindi, in questo caso, 7 `e la prima cifra, 3 `e la seconda e 5 `e la terza e ultima (allo stesso modo nella parola cane, c `e la prima lettera, a la seconda e cos`ı via).

Quando si dice di sommare le cifre di un numero fino a ottenere un numero di una sola cifra si intende il seguente procedimento: prendiamo sempre ad esempio il numero 735: sommare le sue cifre vuol dire ottenere: 7 + 3 + 5 = 15. 15 ha due cifre quindi ripetiamo il procedimento: 1 + 5 = 6.

6 ha una sola cifra e quindi ci fermiamo.

Fatte queste precisazione introduciamo i seguenti criteri di divisibilit`a: Un numero ` e divisibile per 2 se la sua ultima cifra `e 0 o 2 o 4 o 6 o 8.

Esempi .

2754 `e divisibile per 2 perch´e la sua ultima cifra `e 4.

. 739 non `e divisibile per 2 perch´e la sua ultima cifra `e 9 (e quindi non `e n´e 0, n´e 2, n´e 4, n´e 6, n´e 8).

Definizione di numero pari e di numero dispari. Un numero si dice pari se `e divisibile per 2. Si dice dispari se non `e pari.

Un numero ` e divisibile per 3 se sommando le cifre del numero fino a ottenere un numero di una sola cifra, tale numero `e 3 o 6 o 9.

Esempi . 2754 `e divisibile per 3 perch´e se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una sola cifra otteniamo: 2 + 7 + 5 + 4 = 18; 1 + 8 = 9; . 791 non `e divisibile per 3 perch´e se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una sola cifra otteniamo: 7 + 9 + 1 = 17; 1 + 7 = 8.

Un numero ` e divisibile per 5 se la sua ultima cifra `e 0 o 5.

Esempi .

2725 `e divisibile per 5 perch´e la sua ultima cifra `e 5.

Alessandro Bocconi .

26

659 non `e divisibile per 5 perch´e la sua ultima cifra `e 9 (e quindi non `e n´e 0, n´e 5).

Prima del successivo criterio di divisibilit`a chiariamo che una cifra all’interno di un numero `e di posto dispari se `e la prima o la terza o la quinta o la settima (e cos`ı via) cifra del numero. Si dice che `e di posto pari se `e la seconda, o la quarta, o la sesta (e cos`ı via) cifra del numero.

Per verificare se un numero ` e divisibile per 11 si procede nel seguente modo: si sommano fra loro le cifre di posto pari, e fra loro le cifre di posto dispari. Si calcola la differenza fra la somma maggiore e quella minore. Se tale differenza `e un numero con pi` u di una cifra si ripete il procedimento. Al termine se la differenza `e 0, il numero `e divisibile per 11.

Esempi . 92818 `e divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 9 + 8 + 8 = 25; sommando le cifre di posto pari otteniamo: 2+1 = 3. Si effettua la differenza fra la somma maggiore (25) e quella minore (3) e otteniamo: 25 − 3 = 22. 22 ha due cifre e si ripete il procedimento: abbiamo una sola cifra di posto dispari che `e 2 (e quindi la somma delle cifre di posto dispari `e ovviamente 2) e abbiamo una sola cifra di posto pari che `e 2 (e quindi la somma delle cifre di posto pari `e ovviamente 2). Calcoliamo la differenza 2 − 2 che `e 0 e quindi il numero iniziale `e divisibile per 11. . 792630 non `e divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 7 + 2 + 3 = 12; sommando le cifre di posto pari otteniamo: 9 + 6 + 0 = 15. Si effettua la differenza fra la somma maggiore (15) e quella minore (12) e otteniamo: 15 − 12 = 3. Il numero quindi non `e divisibile per 11, perch´e la differenza non `e 0.

1.13

Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo.

Supponiamo di dover risolvere il seguente problema: abbiamo 36 cioccolatini al latte e 60 cioccolatini fondente. Con questi cioccolatini vogliamo riempire dei sacchetti con queste condizioni: 1. I sacchetti devono contenere cioccolatini di un solo tipo (o fondente o al latte) 2. Tutti i sacchetti contengono lo stesso numero di cioccolatini 3. Non deve avanzare nessun cioccolatino 4. Vogliamo mettere pi` u cioccolatini possibile in ciascun sacchetto La domanda `e: quanti cioccolatini dobbiamo mettere in ciascun sacchetto?

Ovviamente il numero che cerchiamo dovr´a essere un divisore sia dei cioccolatini al latte (quindi di 36) sia di quelli fondente (quindi di 60), perch´e se cos`ı non fosse non potremmo mettere lo stesso numero di cioccolatini in ciascun sacchetto senza farne avanzare nessuno. In pratica il numero che cerchiamo deve essere un divisore comune a entrambi i numeri.

Abbiamo quindi ristretto il campo. Proviamo allora a elencare tutti i divisori di 36 e di 60: Divisori di 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; Divisori di 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30, 60;

Alessandro Bocconi

27

Per soddisfare anche la quarta richiesta dobbiamo individuare il divisore comune pi` u grande (perch´e in ciascun sacchetto vogliamo mettere il maggior numero di cioccolatini) che in questo caso `e 12.

Il problema `e quindi risolto mettendo in ciascun sacchetto 12 cioccolatini.

Possiamo ora dare la seguente definizione: Definizione di Massimo Comun Divisore MCD. Il massimo comun divisore fra due o pi` u numeri `e il pi` u grande fra i divisori comuni a tali numeri.

Il problema precedente `e quindi risolto determinando il MCD fra 36 e 60. Il problema `e che non `e molto agevole trovare tutti i divisori di un numero, confrontarli e poi individuare quello pi` u grande.

Molto pi` u efficace `e il seguente: Metodo per la determinazione del Massimo Comun Divisore. Per determinare il MCD fra due o pi` u numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il MCD si ottiene dal prodotto dei fattori primi comuni a tutte le scomposizioni, presi con l’esponente minore.

Osservazione importante. Dal momento che tutti i numeri sono divisibili per 1, e quindi hanno 1 come divisore, il massimo comun divisore esiste sempre (al minimo `e 1). ` quindi sbagliato dire che non esiste il massimo comun divisore fra due o pi` E u numeri.

Esempi. .

Determinare il MCD fra 36 e 60 (si indica con MCD(36;60).

La scomposizione di 36 (effettuata col metodo descritto nel precedente paragrafo) `e: 36 = 22 · 32 , mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.

Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni (e quindi 2 e 3, visto che 5 `e presente solo nella seconda scomposizione), con l’esponente minore: il 2 `e alla seconda in entrambe le scomposizioni, mentre il 3 `e alla seconda nella prima scomposizione e alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l’esponente minore prendiamo 31 cio´e 3.

Quindi MCD(36; 60) = 22 · 3 = 12. .

Determinare MCD(1200; 1760).

Scomponendo in fattori primi otteniamo: 1200 = 24 · 3 · 52 ; 1760 = 25 · 5 · 11 quindi MCD(1200; 1760) = 24 · 5 = 80 .

Determinare MCD(50;63).

Scomponendo in fattori primi otteniamo: 50 = 2 · 52 ; 63 = 32 · 7 Non c’`e nessun fattore comune nelle scomposizioni e quindi MCD(50; 63) = 1. .

Determinare MCD(36; 54; 40).

Scomponendo in fattori primi otteniamo: 36 = 22 · 32 ; 54 = 2 · 33 ; 40 = 23 · 5; quindi MCD(36; 54; 40) = 2

Alessandro Bocconi

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Supponiamo di dover risolvere adesso il seguente problema: due amici fiorentini lavorano fuori da Firenze. Uno ritorna a casa ogni 20 giorni, e l’altro ogni 25 giorni. Dal momento che si sono incontrati oggi, fra quanti giorni si riincontreranno nuovamente a Firenze la prossima volta?

Il primo amico ritorna dopo 20 giorni, poi dopo 40, dopo 60 eccetera. Il secondo amico ritorna dopo 25 giorni, poi dopo 50, dopo 75 eccetera. In pratica il primo amico ritorna ogni multiplo di 20 giorni e il secondo ogni multiplo di 25 giorni. Per scoprire quando si riincontrano bisogna trovare un multiplo comune di questi 2 numeri e, dal momento che a noi interessa la prossima volta che si incontrano (e non tra 10 anni), ci interessa il pi` u piccolo fra i multipli comuni. Scriviamo adesso alcuni dei multipli dei due numeri: Multipli di 20 : 20; 40; 60; 80; 100; 120; ...

Multipli di 25 : 25; 50; 75; 100; 125; 150; ...

I puntini in fondo significano che i multipli di un numero sono infiniti (a differenza dei divisori che sono sempre un numero finito).

Il multiplo comune pi` u piccolo `e 100, e i due amici si riincontreranno fra 100 giorni.

Possiamo ora dare la seguente definizione: Definizione di minimo comune multiplo (mcm). Il minimo comune multiplo fra due o pi` u numeri `e il pi` u piccolo fra i multipli comuni a tali numeri.

Il problema precedente `e quindi risolto determinando il mcm fra 20 e 25. Il problema `e che non `e molto agevole trovare un certo numero di multipli sufficientemente grande da trovarne uno in comune e poi individuare quello pi` u piccolo. Molto pi` u efficace `e il seguente: Metodo per la determinazione del minimo comune multiplo. Per determinare il mcm fra due o pi` u numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il mcm si ottiene dal prodotto dei fattori primi presenti in almeno una delle scomposizioni, presi con l’esponente maggiore.

Osservazione importante. Dal momento che il prodotto di due o pi` u numeri `e un multiplo comune dei numeri che abbiamo moltiplicato, il minimo comune multiplo esiste sempre (al massimo `e proprio il prodotto fra tali numeri).

Esempi .

Determinare il minimo comune multiplo fra 36 e 60 (si indica con mcm(36; 60).

La scomposizione di 36 `e: 36 = 22 · 32 , mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.

Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in almeno una delle due scomposizioni (e quindi 2, 3 e 5), con l’esponente maggiore: il 2 `e alla seconda in entrambe le scomposizioni, mentre il 3 `e alla seconda nella prima scomposizione e alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l’esponente maggiore prendiamo 32 . 5 `e presente solo nella seconda scomposizione con esponente 1 e quindi prendiamo 51 cio´e 5.

Quindi mcm(36; 60) = 22 · 32 · 5 = 180.

Alessandro Bocconi .

29

Determinare mcm(56; 98).

Scomponendo in fattori primi otteniamo: 56 = 23 · 7; 147 = 3 · 72 quindi mcm(56, 98) = 23 ·3·72 (quando i numeri sono molto alti possiamo lasciare il mcm scomposto in fattori primi). .

Determinare mcm(50; 63).

Scomponendo in fattori primi otteniamo: 50 = 2 · 52 ; 63 = 32 · 7 quindi mcm(50, 63) = 2 · 32 · 52 · 7

Osservazione. Non bisogna stupirsi del fatto che per il Massimo Comun Divisore prendiamo gli esponenti minori, mentre per il minimo comune multiplo gli esponenti maggiori. Possiamo darci una spiegazione osservando che un multiplo comune di 2 numeri (diversi fra loro) `e sempre maggiore di un divisore comune degli stessi 2 numeri. Quindi per determinare il mcm consideriamo gli esponenti maggiori che individueranno quindi un numero maggiore, mentre per il MCD consideriamo gli esponenti minori che quindi individueranno un numero minore.

1.14

Il sistema di numerazione posizionale in base dieci

Siamo cos`ı abituati ad usare il nostro sistema di numerazione che spesso ci `e difficile immaginare che ne esistono altri. In questo paragrafo analizzeremo alcune caratteristiche del nostro sistema confrontandole con quelle di altri sistemi di numerazione diversi.

Un sistema numerico posizionale. Il sistema di numerazione che adottiamo `e un sistema di numerazione posizionale in base dieci. L’aggettivo posizionale indica che le cifre all’interno di un numero hanno un significato diverso a seconda della loro posizione, e quindi due numeri composti dalle stesse cifre ma messe in posizioni diverse, sono diversi.

Prendiamo ad esempio 835 e 358: entrambi i numeri sono composti dalle stesse cifre (3; 5 e 8) ma in posizione diversa, e i due numeri sono ovviamente diversi.

Tale considerazione pu` o apparire ovvia ma non lo `e se teniamo conto del fatto che esistono sistemi di numerazione non posizionali: prendiamo ad esempio un pastore che rappresenta con una | una pecora e con cinque pecore. Se ha 13 pecore potrebbe rappresentarle con: ||| infatti 5 + 5 + 1 + 1 + 1 = 13.

Ma il risultato non cambierebbe se si cambiassero le posizioni dei simboli. Ad esempio: | || Rappresenta sempre 13 pecore. ` facile osservare che il nostro sistema Il sistema numerico del pastore non `e quindi posizionale. (E di numerazione `e pi` u evoluto di quello del pastore: si immagini ad esempio le difficolt`a a definire ed eseguire le varie operazioni col sistema del pastore, rispetto ad eseguirle col nostro).

Alessandro Bocconi

30

Il “cubettino”

Il “lungo”

Il piatto

Figura 1.4: Gli oggetti per imparare a contare Un sistema numerico in base dieci. Un tempo, per imparare a contare, si usavano degli oggetti di legno: un “cubettino” che rappresentava un’unit`a, un “lungo”, che era una barretta costituita da 10 cubettini, un “piatto” che era un quadrato costituito da 10 lunghi, e un “blocco” che era un cubo costituito da 10 piatti (figura 1.4).

Per rappresentare il numero cinque, si prendono 5 cubettini; per rappresentare il numero sei si prendono 6 cubettini e cos`ı via fino al numero nove. Arrivati a rappresentare il numero dieci non si prendono 10 cubettini, ma un lungo e nessun cubettino. Il vantaggio `e evidente: per rappresentare dieci in questo modo `e sufficiente un solo oggetto e non dieci.

A questo punto se aggiungiamo al lungo un cubettino otteniamo il numero undici, se ne aggiungiamo un altro otteniamo dodici e cos`ı via fino al numero diciannove. Per ottenere il numero venti si tolgono tutti i cubettini e si prende un altro lungo.

Si deduce allora che al decimo cubettino si tolgono tutti i cubettini (quindi ne rimangono zero) e si aggiunge un lungo. Lo stesso vale per i lunghi rispetto ai piatti: arrivati al decimo lungo si tolgono tutti i lunghi e si aggiunge un piatto. E cos`ı per i piatti rispetto ai blocchi. Quindi nella rappresentazione di un numero non ci sono mai dieci oggetti uguali, perch´e arrivati al decimo si tolgono tutti e al loro posto si mette l’oggetto “superiore” (il lungo al posto di dieci cubettini, il piatto al posto di dieci lunghi e cos`ı via).

Ci` o avviene sempre ogni dieci oggetti uguali e per questo il sistema di numerazione ` e in base dieci.

Un sistema numerico posizionale in base dieci L’uso dei cubettini, lunghi, piatti e blocchi `e senz’altro istruttivo per imparare il procedimento sopra descritto. Non `e tuttavia molto pratico, e per numeri grandi diventa ingestibile: si pensi che dopo il blocco non c’`e un oggetto che rappresenti dieci blocchi e quindi ci sarebbe impossibile rappresentare, con le regole viste, ad esempio il numero ventottomilasettecentocinquantatre.

Molto pi` u agevole `e ovviamente usare i numeri come facciamo abitualmente. Osserviamo che essendo un sistema in base dieci sono necessari, e sufficienti, dieci simboli per rappresentare qualunque numero: i dieci simboli sono, come ben noto, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Si osservi che, ad esempio 10

Alessandro Bocconi

31

non `e un nuovo simbolo ma la combinazione del simbolo 1 col simbolo 0. Il cubettino di legno viene sostituito dalle unit` a, il lungo dalle decine (perch`e un lungo contiene 10 cubettini), il piatto dalle centinaia (perch`e un piatto contiene 100 cubettini) e il blocco dalle migliaia (perch`e un blocco contiene 1000 cubettini).

Il numero 3864 `e quindi costituito da 3 migliaia, 8 centinaia, 6 decine e 4 unit`a. Ma dato che 3 migliaia vuol dire 3 volte mille, cio´e 3 moltiplicato mille, il numero 3864 `e uguale a: 3864 = 3 · 1000 + 8 · 100 + 6 · 10 + 4 · 1 il numero 28753 `e uguale a: 28753 = 2 · 10000 + 8 · 1000 + 7 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1 La notazione polinomiale L’uso delle potenze ci permette di evidenziare ulteriormente che questo sistema di numerazione `e in base 10. Infatti osservando che: 10000 = 104 ; 1000 = 103 ; 100 = 102 , ed inoltre, riguardando il paragrafo sulle potenze, 10 = 101 ; 1 = 100 possiamo riscrivere il numero precedente in quella che viene definita notazione polinomiale, cio´e: 28753 = 2 · 104 + 8 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100 Sistemi di numerazione con basi diverse da 10. La notazione appena vista ci permette di dare qualche accenno a sistemi di numerazione con basi diverse: abbiamo visto che nel sistema di numerazione in base dieci, sono utilizzati dieci simboli, e nella notazione polinomiale compaiono le potenze del dieci. Se prendiamo ad esempio un sistema in base cinque (qualunque numero naturale maggiore di uno pu` o essere base di un sistema di numerazione), ci aspettiamo di trovare cinque simboli, e nella notazione polinomiale le potenze del cinque. Tale aspettativa `e giusta. Quindi nel sistema di numerazione in base cinque abbiamo i simboli: 0, 1, 2, 3, 4. Consideriamo adesso un qualunque numero in base cinque, quindi composto unicamente da 0, 1, 2, 3, 4, ad esempio 241 (che non va letto duecentoquarantuno, perch´e tale lettura presume che la base sia dieci; va letto: due quattro uno). Il numero 241 in base cinque (scritto pi` u sinteticamente (241)5 ), non rappresenta, ovviamente, lo stesso numero in base dieci. Chiariamolo scrivendo (241)5 in notazione polinomiale: 241 = 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50 Se calcoliamo l’espressione a destra dell’uguale con i metodi che conosciamo (e quindi in base dieci), otteniamo l’equivalente in base dieci di (241)5 . Dato che: 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50 = 50 + 20 + 1 = 71 possiamo affermare che: (241)5 = 71(in base 10).

Esempi .

Determiniamo l’equivalente in base 10 di (3572)8 (cio´e 3572 in base 8).

Scriviamo (3572)8 in notazione polinomiale: 3572 = 3 · 83 + 5 · 82 + 7 · 81 + 2 · 80 = 1536 + 320 + 56 + 2 = 1914 quindi l’equivalente in base 10 di (3572)8 `e 1914. .

Determiniamo l’equivalente in base 10 di (10010110)2 .

Scriviamo (10010110)2 in notazione polinomiale: 10010110 = 1 · 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 128 + 16 + 4 + 2 = 150 quindi l’equivalente in base 10 di (10010110)2 `e 150.

Il sistema in base due `e detto binario, ed `e il sistema con cui lavorano tutti gli elaboratori elettronici.

Alessandro Bocconi

32

` giusto chiedersi come mai, fra tutte le basi possibili, `e stato scelto, a livello Osservazione. E internazionale, di adottare la base 10. La risposta ci viene contando le dita delle nostre mani: con esse impariamo a contare e ad eseguire le prime operazioni, e tale modo di procedere `e corretto proprio perch´e il sistema che adottiamo ha la base uguale al numero delle dita delle nostre mani.

Concludiamo questo paragrafo con una considerazione: ad un certo punto della trattazione abbiamo abbandonato gli oggetti di legno per passare ai simboli numerici, quasi fosse una libera scelta fra due possibilit`a sempre esistite. Come abbiamo detto nell’introduzione, l’esigenza di contare `e sempre esistita nella storia dell’uomo, e i metodi con cui farlo sono invenzioni e conquiste dell’evoluzione umana. I primi metodi erano estremamente rudimentali (anche se spesso sufficienti per gli scopi a cui dovevano servire): si veda ad esempio il sistema del pastore. La scoperta dei moderni sistemi di numerazione cos`ı come li conosciamo ai giorni nostri `e dovuta agli arabi ed `e arrivata a noi dopo il mille dopo Cristo: centinaia di anni dopo le prime civilt´a evolute della storia.

Tale scoperta viene considerata come una di quelle che maggiormente ha influito nella storia dell’uomo.

1.15

Domande

Paragrafo 1.2 1. Esiste una relazione d’ordine nei numeri naturali? Quale?

2. Perch´e l’insieme dei naturali `e illimitato?

3. Qual’`e il primo elemento di N? Paragrafo 1.3 4. Come si chiamano i numeri che compongono l’addizione?

5. Come si chiama il risultato di un’addizione?

6. Di quali propriet` a gode l’addizione?

7. Enuncia la propriet` a commutativa dell’addizione.

8. Enuncia la propriet` a associativa dell’addizione.

9. Quanto `e la somma di due addendi di cui uno `e 0?

Paragrafo 1.4 10. Cosa vuol dire moltiplicare fra loro due numeri?

11. Come si chiamano i numeri che compongono la moltiplicazione?

12. Come si chiama il risultato di una moltiplicazione?

13. Quanto `e il prodotto di due fattori di cui uno `e 0?

14. Quanto `e il prodotto di due fattori di cui uno `e 1?

15. Di quali propriet` a gode la moltiplicazione?

Alessandro Bocconi

33

16. Enuncia la propriet` a commutativa della moltiplicazione.

17. Enuncia la propriet` a associativa della moltiplicazione.

Paragrafo 1.5 18. Cosa vuol dire eseguire una sottrazione fra due numeri?

19. Quando non `e possibile eseguire una sottrazione?

20. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la propriet`a commutativa.

21. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 1.6 22. Cosa vuol dire eseguire una divisione fra due numeri?

23. Mostra con un esempio che non sempre `e possibile eseguire una divisione.

24. Come si chiamano i numeri che compongono la divisione?

25. Come si chiama il risultato di una divisione?

26. Quanto `e il quoziente di un numero diviso per se stesso?

27. Quanto `e il quoziente di un numero diviso per 1?

28. Quanto `e il quoziente di 0 diviso un numero (diverso da 0)?

29. Perch`e non `e possibile eseguire una divisione in cui il dividendo `e diverso da 0 e il divisore uguale a 0?

30. Perch`e non `e possibile eseguire una divisione in cui sia il dividendo che il divisore sono uguali a 0?

31. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la propriet`a commutativa.

32. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 1.7 33. Quali operazioni nei numeri naturali possono sempre essere eseguite?

34. Perch´e lo 0 `e l’elemento neutro della addizione e della sottrazione?

35. Perch´e 1 `e l’elemento neutro della moltiplicazione e della divisione?

Paragrafo 1.8 36. Quale `e la priorit` a delle operazioni?

37. Quale `e l’unico strumento per cambiare la priorit`a delle operazioni?

Paragrafo 1.9 38. Perch´e in matematica talvolta si usano le lettere al posto dei numeri?

Alessandro Bocconi 39. Enuncia la propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Paragrafo 1.10 40. Come `e definita la potenza dei numeri naturali?

41. A cosa equivale un numero elevato alla prima?

42. A cosa equivale un numero maggiore di zero elevato alla zero?

43. A cosa equivale uno elevato a qualunque numero?

44. Enuncia le cinque propriet´ a delle potenze.

45. Perch´e si `e scelto che un numero elevato a zero sia uno?

46. Quanto fa zero elevato a zero? ` possibile usare le propriet` 47. E a delle potenze in un’addizione fra potenze?

48. Come si colloca la potenza nelle priorit`a delle operazioni?

Paragrafo 1.11 Qual’`e la definizione di multiplo e di divisore?

49. Quando un numero si dice primo?

50. Scrivi i primi dieci numeri primi.

51. Cosa vuol dire scomporre un numero in fattori primi?

Paragrafo 1.12 52. Enuncia il criterio di divisibilit` a per 2.

53. Enuncia il criterio di divisibilit` a per 3.

54. Enuncia il criterio di divisibilit` a per 5.

55. Enuncia il criterio di divisibilit` a per 11.

Paragrafo 1.13 56. Definisci il Massimo Comun Divisore.

57. Come si determina il Massimo Comun Divisore.

58. Perch`e esiste sempre il Massimo Comun Divisore fra due numeri?

59. Definisci il minimo comune multiplo.

60. Come si determina il minimo comune multiplo.

61. Perch`e esiste sempre il minimo comune multiplo fra due numeri?

62. Presi 2 numeri qualunque, `e possibile che il loro MCD sia maggiore del loro mcm?

Paragrafo 1.14 63. Perch`e il nostro `e un sistema numerico posizionale?

64. Perch`e il nostro `e un sistema numerico in base 10?

34

Alessandro Bocconi

1.16

35

Esercizi

Paragrafo 1.2 1. Determinare un numero naturale che precede 2.

2. Determinare un numero naturale successivo a 1231.

3. Determinare cinque numeri naturali che precedono 5.

4. Determinare una coppia di naturali di cui uno precede e l’altro `e successivo al numero 3.

Paragrafo 1.3 Verificare la propriet` a associativa per le somme: 5. 5 + 1 + 19;

12 + 4 + 1

Eseguire le seguenti addizioni: 6. 0 + 4;

0 + 0;

7 + 0;

1 + 1;

86 + 196 + 4

Paragrafo 1.4 Verificare la propriet` a associativa per i prodotti: 7. 5 · 2 · 4;

1·6·2

Eseguire le seguenti moltiplicazioni: 8. 0 · 4; 9. 1 · 92;

0 · 0; 15 · 10;

7 · 0;

15 · 1

10 · 15;

41 · 25 · 4

Paragrafo 1.5 Svolgere le seguenti sottrazioni: 10. 18 − 18;

1 − 0;

4 − 6;

20 − 2 − 5;

8 − 5 − 3;

Paragrafo 1.6 Svolgere le seguenti divisioni: 11. 18 : 2; 12. 8 : 0;

0 : 5; 0 : 0;

6 : 6; 8 : 4 : 2;

20 : 1;

14 : 5

36 : 3 : 3

64 : 8 : 4 : 2

Paragrafo 1.8 Svolgi le seguenti espressioni: 13.

2 · 6 + 50 − 2 + 8 · 5 − 5 · 7 − 2 · 4 : 2 + 11

[72]

14.

1 + 8 · 6 + 35 : 7 − 5 − 15 + 10 : 5 − 2 + 4

[38]

15.

15 : 3 − 5 + 10 · 2 − 16 + 2 − 3 · 2

[0]

16.

100 − 70 − 25 + 5 · 4 : 10 · 3 + 11

[22]

17.

20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1

[10]

7−0−6

Alessandro Bocconi

36

18.

0 : 8 · 65 + 50 − 42 + 8

19.

7 + 28 : 4 · 3 − 7 · 4 + 2 · 3 · 5 − 4 · 6

20.

(4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2)

21.

(10 − 2 · 3) · (13 − 5 · 2) : (0 + 3 · 2)

22.

2 · 6 + 50 + 30 − (2 + 8 · 5) + 5 · (7 − 1 · 4) − (3 + 3 · 2 · 2) · 4

23.

36 : 6 : (1 + 5) + 39 − 5 · 4 · (8 − 7) · (7 · 6 − 5 · 8)

[0]

24.

(14 + 4 · 5 − 4) : 10 + 10 : (5 + 5) + 2 · (7 − 3 · 2)

[6]

25.

[(4 · 1 + 1) · 3 · (7 − 2 · 2 + 1) − 10] : [3 · 16 − (2 · 3 + 1) + (2 + 1) · 3]

26.

13 − {8 + [20 − (4 + 3) · (1 + 17 : 17)] : 3}

[16] [6] [9] [2] [5]

[1]

[3]

Paragrafo 1.9 Svolgi le seguenti espressioni sia utilizzando la propriet`a distributiva sia non utilizzandola e verifica che il risultato non cambia.

27.

(3 + 1 + 10) · 5

28.

3 · (6 + 2)

29.

(2 + 1 + 3 + 1 + 10) · 4

30.

7 · (4 + 0 + 8) Paragrafo 1.10 Calcola le seguenti potenze:

31. 25 ;

31 ;

14 ;

54 ;

02 ;

70

Risolvi le seguenti brevi espressioni 32.

1 · 32 ;

25 · 0;

33.

164 : 24 : 44 ;

0 + 43 ;

26 + 2

25 · 23 : 22 : 26 ;

[(32 )3 ]4 ;

104 : 34

Esegui le seguenti operazioni usando quando possibile le propriet`a delle potenze: 34. 34 · 39 ;

57 : 56 ;

(31 )3 ;

272 : 92 ;

72 · 70 ;

32 + 33

Risolvi le seguenti espressioni usando quando possibile le propriet`a delle potenze: 35.

43 : 42 − 1 + 2 · 22 · 23 : 24 − (4 · 3 − 5)

36.

{(4 + 1) · [60 · 22 − 7 · 2 + 4 · (35 : 35 ) − 5 · (23 · 2 − 22 )] − 10 · 80} : 50

37.

[2 + (2 · 22 )2 : (23 )2 ]3 : [(3)4 : 33 ]2

38.

{1 + 14 − [3 + 36 : 33 : 32 · (34 : 33 )2 ] : [(32 )2 : 33 ]} · 2 − 23

39.

(24 · 74 · 34 ) : (23 · 73 · 33 ) − 25 − [(32 )2 ]2 : 36

40.

4 · 7 + (26 : 24 )0 − 252 : 52 + (3 · 7 − 4 · 5) · (53 : 52 )

41.

[(52 − 32 ) · 43 : 28 + 10] : [32 − 5 + 22 − 14 ]

42.

3 · 5 · [(122 : 32 ) : 22 ] − [(2)2 ]2 + 20 + 1 − (206 : 46 )0 − 213 : 73

[0]

[3] [2]

[1] [9]

[2] [37]

[1]

Alessandro Bocconi

37

43.

[(62 )3 : 36 : 24 ] + {(32 · 34 )3 : [(32 )3 ]2 } : 35 − 7 + 1

44.

{[(2 + 5 − 4)6 ]2 : 39 + 3} : {[(102 · 10)3 : (5 · 2)7 : 10]} + 10 − 7 + 1

45.

{[(24 − 22 ) : 22 − 30 ]2 − 1}3 − {(122 : 62 − 1) · [(34 )3 : (36 )2 ]5 }2

46.

4 · {[(34 )2 : (32 )3 + 54 : 52 + 2] : (72 − 52 − 3 · 5)} − [11 · (114 · 113 ) : 116 : 11]

47.

(2 − 1)7 + [(3 · 2)5 : 25 · 34 ]4 : (23 − 5)35 − 22

[1] [7] [18] [5]

[0]

Paragrafo 1.11 Determina tutti i divisori, e almeno 4 multipli dei seguenti numeri: 48. 10;

16;

23;

4;

9;

1

Scomporre in fattori primi i seguenti numeri: 49.

96;

50.

110;

51.

24;

54;

17;

66; 68;

39

14; 1000;

243 121

Paragrafo 1.13 Determina il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti gruppi di numeri: 52.

8, 12;

53.

16, 16;

54.

1, 25;

4, 6, 12; 5, 10, 20; 10, 5, 2;

22, 44;

15, 9, 24

81, 18; 8, 15;

100, 90, 40 16, 32, 24

Paragrafo 1.14 Scrivere in notazione polinomiale in base 10 i seguenti numeri: 55. 293;

12444;

35;

9876;

4;

1000

Trasformare in base 10 i seguenti numeri (la cui base `e indicata dal numero in basso fuori dalla parentesi) 56. (142)5 ;

1.17

(13212)4 ;

(1001110)2 ;

(6543)7 ;

(1202)3

Problemi

Dei seguenti problemi, imposta l’espressione corrispondente e risolvila.

1. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi si ferma, sale di altri 3 metri poi si ferma e infine sale di altri 25 metri. A che altezza si trova lo scalatore?

2. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi scende di 40 metri, poi sale di 1 metro poi sale ancora di 11 metri infine scende di 24 metri. A che altezza si trova lo scalatore?

3. Mario esce di casa con 30 euro, fa un bancomat dove prende 100 euro, compra due magliette dal valore ciascuna di 22 euro, presta 16 euro ad un amico e compra 3 ricariche telefoniche ciascuna da 5 euro. Con quanti soldi torna a casa Mario?

Alessandro Bocconi

38

4. Ad un muratore viene commissionato un lavoro retribuito 22 euro all’ora, e dovr`a lavorare per 8 ore al giorno per 7 giorni. Quanto riceve il muratore per questo lavoro?

5. 8 amici vanno a cena fuori e spendono in tutto 126 euro. Uno di loro si `e dimenticato a casa il portafoglio e quindi gli altri devono coprire anche la sua quota. Quanto spende ciascuno di loro?

6. In una casa ci sono 7 stanze. In ciascuna stanza ci sono 7 scatole e in ciascuna scatola ci sono 7 palline. Tutte le palline vanno distribuite in ugual misura fra 7 bambini. Quante palline toccano a ciascun bambino?

7. Un imbianchino deve imbiancare 5 case. Tre di queste case hanno 5 stanze e le altre 2 ne hanno 4. Per ogni stanza imbiancata viene pagato 450 euro. Quanto guadagna l’imbianchino?

8. Un coniglio femmina fa 3 cucciolate l’anno ciascuna composta da 8 coniglietti. coniglietti partorisce in 5 anni?

Quanti

9. Tre amici vanno a cena fuori. Dal momento che il proprietario del ristorante li conosce decide di regalargli la cena. Quanto spende ciascuno dei 3?

10. Sette amici vanno a cena fuori. Il conto `e di 91 euro, ma al momento di pagare scappano tutti. Come si risolve il problema?

11. Ci sono 72 tifosi juventini e 96 tifosi della Fiorentina. Bisogna dividerli tutti in gruppi uguali fra loro (ovviamente nello stesso gruppo non possono stare tifosi di squadre diverse), in modo che ciascun gruppo abbia il maggior numero possibile di persone . Quanti tifosi ci sono in ciascun gruppo?

12. In un anno un signore ha comprato un gratta e vinci da 3 euro, 5 volte alla settimana per 50 settimane all’anno. In tutto l’anno ha vinto una volta 45 euro e una volta 70 euro. Alla fine dell’anno quanti soldi in pi` u avrebbe se non avesse comprato nessun gratta e vinci?

13. Una ragazza fuma 10 sigarette al giorno tranne nei 10 giorni in cui `e in vacanza dove fuma 20 sigarette al giorno e nel giorno di Natale che non fuma. Considerando che in un anno ci sono 365 giorni e che un pacchetto di sigarette costa 4 euro e contiene 20 sigarette, quanti soldi “brucia” in sigarette all’anno?

14. Due grattacieli verranno costruiti uno accanto all’altro. Un grattacielo avr`a ciascun piano alto 10 metri, mentre l’altro avr` a ciascun piano alto 12 metri. A che altezza minima dal suolo il soffito del primo grattacielo sar` a allineato col soffitto del secondo?

15. Da quante caselle `e composta una scacchiera?

16. Un cinema ha 18 file composte da 20 poltrone ciascuna, e 10 file composte da 12 poltrone ciascuna. Quanti posti a sedere ha questo cinema?

17. Un motorino percorre 16 km con un litro di benzina. Il suo serbatoio contiene 5 litri. Quanti chilometri fa con un pieno?

Capitolo 2

L’insieme Z dei numeri interi 2.1

La nascita dei numeri interi.

Nel precedente capitolo abbiamo visto che non tutte le sottrazioni, nei numeri naturali, possono essere effettuate. Questa limitazione risulta essere molto pesante e quindi, nel corso degli anni, si `e cercato di dare una soluzione ad una sottrazione che avesse il sottraendo (secondo termine) maggiore del minuendo (primo termine).

Si consideri ad esempio la sottrazione 2 − 5, che, per quanto ne sappiamo adesso, non ha alcun risultato. Cambiamo adesso prospettiva e supponiamo invece che 2 − 5 abbia un risultato anche se per ora non sappiamo qual’`e n´e tantomeno come scriverlo. Per darci una risposta consideriamo il seguente: Esempio Un commerciante possiede 2 monete, e, per un accordo precedente, deve dare 5 monete ad un banchiere. Il problema cos`ı come `e posto non ammette soluzione, e in effetti non ne ha se il banchiere vuole essere pagato immediatamente. Ma se consideriamo la possibilit`a che il banchiere conceda qualche giorno al commerciante si possono trovare delle soluzioni: innanzitutto il commerciante segna sul libro contabile (dove annota il suo patrimonio) quanto deve al banchiere: 2 monete le ha restituite, per saldare il debito ne mancano 3, e quindi segna 3. Il giorno dopo il commerciante conclude un affare che gli frutta 6 monete: pu`o cos`ı saldare il debito e gli rimangono 3 monete.

Sul suo libro contabile segna nuovamente 3. Appare evidente che il 3 del giorno prima non ha lo stesso significato del 3 che segna il giorno dopo: nel primo caso gli mancavano 3 monete mentre nel secondo possiede 3 monete.

Per poter effettuare tale distinzione, nascono i numeri col segno: il commerciante il primo giorno segner`a ad esempio −3 per distinguerlo dal secondo giorno quando segner`a +3.

Coi numeri col segno possiamo quindi effettuare qualunque sottrazione, anche quelle in cui il minuendo ` e minore del sottraendo.

La precedente affermazione si basa sul fatto che abbiamo creato un nuovo insieme numerico in cui ogni numero (eccetto lo 0 ma lo vedremo dopo) ha un segno: tale insieme `e chiamato l’insieme degli interi Z; ed `e cos`ı costituito: Z = {.......; −3; −2; −1; 0; +1; +2; +3; .........} Definizione di numeri negativi e numeri positivi. I numeri preceduti dal segno meno si

Alessandro Bocconi

40

dicono negativi, quelli preceduti dal segno pi` u si dicono positivi.

Osservazione. Il numero 5 non appartiene ai numeri interi in quanto sprovvisto di segno. Ai numeri interi appartengono i numeri −5 e +5. L’unico elemento di Z sprovvisto del segno `e 0.

Definizione di valore assoluto. Il valore assoluto di un numero intero `e il numero privato del segno.

Esempi: il valore assoluto di +7 `e 7, di −3 `e 3, di 0 `e 0.

Definizione di numeri concordi e discordi. Due numeri con lo stesso segno si dicono concordi fra loro, due numeri con segno diverso si dicono discordi.

Esempi: −2 e −11 sono concordi, +7 e −10 sono discordi.

2.2

Caratteristiche dell’insieme Z.

Enunciamo le principali caratteristiche dell’insieme Z: • Anche l’insieme Z ammette una relazione d’ordine, cio´e un criterio che ci permette di stabilire, presa una qualunque coppia di elementi, quale elemento viene prima. La relazione d’ordine `e: essere minore di.... Si deve tenere conto del fatto che: 1. Ogni numero negativo `e minore di qualunque numero positivo.

2. Ogni numero negativo `e minore di 0, che a sua volta `e minore di ogni numero positivo.

3. presi due numeri negativi `e minore quello che ha il valore assoluto maggiore (ad esempio −7 `e minore di −3).

4. presi due numeri positivi `e minore quello che ha il valore assoluto minore.

• Z ha infiniti elementi.

• Z `e illimitato. .

Osservazione. In base alle caratteristiche di Z possiamo affermare che non esiste n´e il primo elemento dell’insieme (mentre nei numeri naturali era lo 0), n´e l’ultimo.

Osservazione 2: la migliore rappresentazione grafica dell’insieme Z `e, in base alle sue caratteristiche, una retta orientata come quella rappresentata in figura 2.1.

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41

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

Figura 2.1: La retta dei numeri interi

2.3

Le operazioni coi numeri interi.

In modo simile a come abbiamo fatto per i numeri naturali, definiamo nell’insieme dei numeri interi le varie operazioni.

Osservazione importantissima. Nel definire le operazioni `e fondamentale tenere conto di un aspetto: abbiamo creato i numeri interi per poter effettuare qualunque tipo di sottrazione. Non vogliamo per`o, a fronte di questo indiscutibile vantaggio, perdere le propriet`a che erano valide per i numeri naturali (la propriet` a commutativa e la propriet`a associativa per l’addizione e la moltiplicazione, e la propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione). Se cos`ı non fosse avremmo ottenuto un miglioramento da una parte (il poter effettuare qualunque sottrazione) ma un peggioramento da un’altra (la perdita delle propriet`a citate sopra).

Nei prossimi paragrafi vedremo che tale pericolo `e scongiurato.

2.4

L’addizione nei numeri interi

Regola per l’addizione di due numeri concordi. La somma di due numeri concordi `e un numero intero che ha lo stesso segno degli addendi e come valore assoluto la somma dei valori assoluti.

Esempi . (+4) + (+8) sono entrambi positivi, quindi la somma ha segno positivo e valore assoluto 12 in quanto sommando il valore assoluto del primo addendo (4) col valore assoluto del secondo addendo (8), si ottiene 12.

Quindi: (+4) + (+8) = +12 . (−3) + (−6) sono entrambi negativi, quindi la somma ha segno negativo e valore assoluto 9 in quanto sommando il valore assoluto del primo addendo (3) col valore assoluto del secondo addendo (6), si ottiene 9.

Alessandro Bocconi

42

Quindi: (−3) + (−6) = −9

Regola per l’addizione di due numeri discordi. La somma di due numeri discordi `e un numero intero che ha il segno dell’addendo in valore assoluto maggiore, e come valore assoluto la differenza fra il valore assoluto maggiore il valore assoluto minore.

Esempi . (+4) + (−7) l’addendo che ha il valore assoluto maggiore `e −7, quindi la somma ha segno negativo e valore assoluto 3 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (7) e il valore assoluto minore (4), `e 3. Quindi: (+4) + (−7) = −3 . (−5) + (+11) l’addendo che ha il valore assoluto maggiore `e +11, quindi la somma ha segno positivo e valore assoluto 6 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (11) e il valore assoluto minore (5), `e 6. Quindi: (−5) + (+11) = +6 . (−3) + (+3) In questo caso i due addendi hanno uguale valore assoluto e segno diverso. Tali numeri si dicono opposti e la loro somma `e 0. Quindi: (−3) + (+3) = 0

Dagli esempi ci accorgiamo che: • La notazione `e pi` u pesante di quella in uso per i numeri naturali, e ci`o `e ovviamente dovuto al fatto che i numeri interi sono numeri con il segno. Si confronti un’addizione nei numeri naturali, ad esempio 3 + 5, con una nei numeri interi (+3) + (−8) e si osservi quanti simboli in pi` u si sono resi necessari per la seconda somma. ` necessaria una distinzione: nella somma sopra considerata compare due volte il simbolo +, • E ma con significati diversi: il + dentro la parentesi rappresenta il segno del numero intero +3, mentre l’altro `e il consueto operatore dell’addizione, che indica che il contenuto della prima parentesi va sommato col contenuto della seconda.

• Le parentesi sono obbligatorie: in particolare non deve mai accadere che due simboli di operazioni (+; −; ·; :) si trovino accanto: devono essere separati da una parentesi.

Alessandro Bocconi

43

Un buon metodo per comprendere (e ricordare) la somma di due numeri interi `e quello di utilizzare la rappresentazione di Z di figura 2.1. Si osservi che i numeri positivi sono a destra dello 0, mentre i negativi sono a sinistra dello 0. Per determinare la somma di due numeri interi associamo uno spostamento a destra se l’addendo `e positivo, e uno spostamento a sinistra se l’addendo `e negativo.

Il punto di partenza `e lo 0, il punto di arrivo `e il risultato. Chiariamo quanto detto con degli esempi: . (+2) + (+5) Il primo addendo `e positivo, ci spostiamo quindi a destra di 2, arrivando a +2. Da qui, visto che anche il secondo addendo `e positivo, continuiamo a spostarci a destra di 5, arrivando a +7 che `e il risultato dell’addizione. . (−3) + (−7) Il primo addendo `e negativo, ci spostiamo quindi a sinistra di 3, arrivando a −3. Da qui, visto che anche il secondo addendo `e negativo, continuiamo a spostarci a sinistra di 7, arrivando a −10 che `e il risultato dell’addizione. . (+4) + (−6) Il primo addendo `e positivo, ci spostiamo quindi a destra di 4, arrivando a +4. Da qui, visto che il secondo addendo `e negativo, ci spostiamo a sinistra di 6, arrivando a −2 che `e il risultato dell’addizione.

Osservazione. Il metodo appena descritto diventa meno praticabile se i numeri sono elevati: ad esempio (+89) + (−147). In questo caso diventa estremamente laborioso disegnare una retta che arrivi almeno fino a +89 e poi contare gli spostamenti.

Per come `e stata definita l’addizione nei numeri interi, risultano ancora valide le seguenti: Propriet` a dell’addizione nei numeri interi.

• Propriet` a commutativa. Cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia. Verifichiamolo con degli esempi: . (+3) + (+4) = +7;

(+4) + (+3) = +7

(−5) + (−4) = −9;

(−4) + (−5) = −9

(−5) + (+8) = +3;

(+8) + (−5) = +3

.

. (si verifichi con le regole imparate in questo paragrafo che tali addizioni sono corrette)

Alessandro Bocconi

44

u numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui le • Propriet` a associativa. La somma di pi` addizioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi: Esempi . (+5) + (−3) + (−7) Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda: (+5) + (−3) + (−7) = (+2) + (−7) = −5 Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima: (+5) + (−3) + (−7) = (+5) + (−10) = −5 Quindi si ottiene lo stesso risultato (−5). . (−4) + (−6) + (−5) Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda: (−4) + (−6) + (−5) = (−10) + (−5) = −15 Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima: (−4) + (−6) + (−5) = (−4) + (−11) = −15 Quindi si ottiene lo stesso risultato (−15).

2.5

La sottrazione nei numeri interi

Nei numeri interi, la sottrazione “assomiglia” all’addizione. Tale somiglianza emerge dalla seguente: Regola per la sottrazione. La differenza fra due numeri interi `e equivalente alla somma del minuendo (il primo termine) con il sottraendo (secondo termine) cambiato di segno.

Quindi per effettuare una sottrazione la trasformiamo in una addizione cambiando il segno del sottraendo, e poi seguiamo le regole studiate nel precedente paragrafo.

Esempi . (−4) − (+3) Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo: (−4) + (−3) a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri concordi: seguendo le regole gi`a viste si ottiene −7. Quindi: (−4) − (+3) = (−4) + (−3) = −7 . (−4) − (−8) Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo: (−4) + (+8) a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri discordi: seguendo le regole gi`a viste si

Alessandro Bocconi

45

ottiene +4. Quindi: (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4

2.6

La moltiplicazione nei numeri interi

Regola per la moltiplicazione di numeri interi. Il prodotto di due numeri interi `e un numero intero che ha segno positivo se i due fattori sono concordi, e segno negativo se i due fattori sono discordi. Come valore assoluto ha il prodotto dei valori assoluti. Se uno dei due fattori `e 0 il prodotto `e 0.

Riassiumiamo questa regola tramite la seguente tabella: 1o fattore + + − −

2o fattore + − + −

prodotto + − − +

Esempi . (+7) · (+4) i due fattori sono concordi (sono entrambi positivi) quindi il prodotto ha segno positivo e come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 7 · 4 = 28, risulta: (+7) · (+4) = +28 . (−6) · (−3) i due fattori sono concordi (sono entrambi negativi) quindi il prodotto ha segno positivo e come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 6 · 3 = 18, risulta: (−6) · (−3) = +18 . (+4) · (−5) i due fattori sono discordi (il primo `e positivo e il secondo `e negativo) quindi il prodotto ha segno negativo e come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 4 · 5 = 20, risulta: (+4) · (−5) = −20 .

(0) · (−5) uno dei due fattori `e 0, quindi `e 0 anche il prodotto: (0) · (−5) = 0

Alessandro Bocconi

46

Osservazione. Ci si potrebbe chiedere (e sarebbe estremamente utile farlo) il motivo per cui vale la regola che il prodotto di due numeri concordi `e positivo, mentre di due numeri discordi `e negativo. In altre parole ci poniamo le seguenti domande: 1. Perch´e il prodotto di due numeri positivi `e positivo?

2. Perch´e il prodotto di un numero positivo con uno negativo (o viceversa) `e negativo?

3. Perch´e il prodotto di due numeri negativi `e positivo?

Per rispondere a queste domande bisogna ricordarsi la propriet`a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, introdotta nel paragrafo 1.9 per i numeri naturali, e l’osservazione importantissima del paragrafo 2.3 per cui noi pretendiamo che le propriet`a introdotte nei numeri naturali, siano ancora valide nei numeri interi.

Rimandiamo per adesso la risposta della domanda 1, e prendiamo per buono che il prodotto di due numeri positivi `e positivo.

Con questa premessa le domande 2 e 3 hanno la stessa risposta: perch´ e continui a valere nei numeri interi la propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

La dimostrazione di quanto detto si trova nel prossimo (facoltativo) capoverso sulla regola dei segni.

La risposta a perch´e il prodotto di due numeri positivi `e positivo (la domanda 1) si trova nel successivo paragrafo 2.10.

Regola dei segni del prodotto (facoltativa).

Il prodotto di due numeri discordi ` e negativo (risposta alla domanda 2).

Sappiamo che il prodotto fra 0 e qualunque numero intero `e 0. Quindi, ad esempio: 0 · (+5) = 0 Ma sappiamo anche che la somma di due numeri opposti `e 0, e quindi deve essere 0 il risultato della seguente espressione: [(+3) + (−3)] · (+5) (infatti [(+3) + (−3)] = 0, quindi [(+3) + (−3)] · (+5) = 0).

Affinch´e valga la propriet` a distributiva, deve risultare che: [(+3) + (−3)] · (+5) = (+3) · (+5) + (−3) · (+5) quindi anche (+3) · (+5) + (−3) · (+5) deve essere uguale a 0.

Ma (+3) · (+5) = +15 quindi il prodotto (−3) · (+5) deve essere tale che, sommato a +15 ha come risultato 0. Ma l’unico numero che sommato a +15 ha risultato 0 `e −15. Quindi (−3) · (+5) = −15.

Tale dimostrazione pu` o essere ripetuta per qualunque numero intero e quindi possiamo affermare che il prodotto di due numeri discordi `e negativo.

Alessandro Bocconi

47

Il prodotto di due numeri negativi ` e positivo (risposta alla domanda 3).

Consideriamo ora l’espressione [(+3) + (−3)] · (−5) che sappiamo deve avere come risultato 0. Affinch´e valga la propriet`a distributiva, deve risultare che: [(+3) + (−3)] · (−5) = (+3) · (−5) + (−3) · (−5) quindi anche (+3) · (−5) + (−3) · (−5) deve essere uguale a 0.

Ma abbiamo visto prima che (+3) · (−5) = −15 quindi il prodotto (−3) · (−5) deve essere tale che, sommato a −15 ha come risultato 0. Ma l’unico numero che sommato a −15 ha risultato 0 `e +15.

Quindi (−3) · (−5) = +15. Tale dimostrazione pu`o essere ripetuta per qualunque numero intero e quindi possiamo affermare che il prodotto di due numeri negativi `e positivo.

Si osservi che la dimostrazione di entrambe le affermazioni si basa sul fatto che abbiamo scelto che il prodotto di due numeri positivi `e positivo. Come gi`a detto tale scelta sar`a giustificata nel paragrafo 2.10.

Concludiamo il paragrafo, evidenziando che, per come `e stata definita la moltiplicazione nei numeri interi, risultano ancora valide le seguenti: Propriet` a della moltiplicazione nei numeri interi.

• Propriet` a commutativa. Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. Verifichiamolo con degli esempi: . (+3) · (+4) = +12;

(+4) · (+3) = +12

(−5) · (−4) = +20;

(−4) · (−5) = +20

(−5) · (+8) = −40;

(+8) · (−5) = −40

.

.

• Propriet` a associativa. Il prodotto di pi` u fattori non cambia, cambiando l’ordine in cui le moltiplicazioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi: . (+5) · (−3) · (−4) Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda: (+5) · (−3) · (−4) = (−15) · (−4) = +60 Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima: (+5) · (−3) · (−4) = (+5) · (+12) = +60 Quindi si ottiene lo stesso risultato (+60). . (−2) · (−4) · (−5)

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Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda: (−2) · (−4) · (−5) = (+8) · (−5) = −40 Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima: (−2) · (−4) · (−5) = (−2) · (+20) = −40 Quindi si ottiene lo stesso risultato (−40).

2.7

La divisione nei numeri interi

Significato della divisione nei numeri interi. Una divisione fra due numeri interi ha lo stesso significato che ha nei numeri naturali: infatti anche in questo caso eseguire una divisione vuol dire determinare quel numero intero che moltiplicato al secondo (il divisore), ha come risultato il primo (dividendo).

Vale quindi la seguente regola: Regola della divisione nei numeri interi. Il quoziente della divisione fra due numeri interi `e un numero intero che ha segno positivo se i due numeri hanno segno concorde e negativo se i due numeri hanno segno discorde, e come valore assoluto il quoziente fra i due valori assoluti.

Osservazione. Si osservi che la regola dei segni valida per la moltiplicazione `e identica per la divisione. Ci`o `e una conseguenza del significato della divisione fra numeri interi. Verifichiamolo tramite esempi: . (+8) : (+2) dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato +8. Affinch´e il prodotto con +2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo, moltiplicandolo per +2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, dato che il quoziente fra i valori assoluti `e 4 (8 : 2 = 4), il risultato `e: (+8) : (+2) = +4 . (+8) : (−2) dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato +8. Affinch´e il prodotto con −2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo, moltiplicandolo per −2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, dato che il quoziente fra i valori assoluti `e 4 (8 : 2 = 4), il risultato `e: (+8) : (−2) = −4 . (−8) : (+2)

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dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato −8. Affinch´e il prodotto con +2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo, moltiplicandolo per +2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, dato che il quoziente fra i valori assoluti `e 4 (8 : 2 = 4), il risultato `e: (−8) : (+2) = −4 . (−8) : (−2) dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato −8. Affinch´e il prodotto con −2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo, moltiplicandolo per −2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, dato che il quoziente fra i valori assoluti `e 4 (8 : 2 = 4), il risultato `e: (−8) : (−2) = +4

Osservazione. Come nei numeri naturali, non tutte le divisioni nei numeri interi hanno un risultato. Si prenda ad esempio (−8) : (+3), non esiste nessun numero intero (positivo o negativo) che moltiplicato per +3 abbia come risultato −8.

2.8

Le potenze nei numeri interi

Una potenza nei numeri interi ha come base un numero intero e come esponente un numero naturale.

La sua definizione `e uguale a quella nei numeri naturali. Anche tutte le propriet`a delle potenze definite nel paragrafo 1.10, restano valide per le potenze dei numeri interi.

Analizziamo alcuni esempi per capire il comportamento delle potenze dei numeri interi.

Esempi 1. Calcolare (+2)4 ` una potenza di base +2 ed esponente 4, quindi: E (+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) | {z } 4 volte Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto della regola dei segni: (+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = (+4) · (+2) · (+2) = (+8) · (+2) = +16 Quindi: (+2)4 = +16 2. Calcolare (+3)3 ` una potenza di base +3 ed esponente 3, quindi: E (+3)3 = (+3) · (+3) · (+3) | {z } 3 volte

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Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto della regola dei segni: (+3)3 = (+3) · (+3) · (+3) = (+9) · (+3) = +27 Quindi: (+3)3 = 27 3. Calcolare (−2)4 ` una potenza di base −2 ed esponente 4, quindi: E (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) {z } | 4 volte Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto della regola dei segni: (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = (+4) · (−2) · (−2) = (−8) · (−2) = +16 Quindi: (−2)4 = +16 4. Calcolare (−5)3 ` una potenza di base −5 ed esponente 3, quindi: E (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) | {z } 3 volte Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo conto della regola dei segni: (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = (+25) · (−5) = −125 Quindi: (−5)3 = −125 5. Calcolare 04 ` una potenza di base 0 ed esponente 4, quindi: E 04 = |0 · 0{z · 0 · 0} = 0 4 volte 6. Calcolare (+7)0 ; (−5)0 Adottiamo la stessa convenzione usata nei numeri naturali, per le potenze ad esponente 0.

Quindi: (+7)0 = +1 (−5)0 = +1 7. 00 non ha significato.

Dai precedenti esempi deduciamo la seguente: Regola delle potenze dei numeri interi.

• La potenza di un numero intero avente base positiva ha sempre segno positivo (esempi 1 e 2)

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• La potenza di un numero intero avente base negativa ha: – segno positivo se l’esponente `e pari (esempio 3) – segno negativo se l’esponente `e dispari (esempio 4) • La potenza che ha per base 0 e per esponente un numero diverso da 0 `e sempre 0 (esempio 5) • La potenza che ha per base qualunque numero intero diverso da 0 e come esponente 0 `e sempre (+1) (esempio 6) • 00 non ha significato (esempio 7) Osservazione. Nelle regole appena viste abbiamo affermato che qualunque numero intero diverso da zero, elevato a 0, `e uguale a +1. Che il valore assoluto sia 1 viene dalle osservazioni fatte per le potenze nei numeri naturali. Ci si potrebbe allora chiedere perch´e non −1. Una delle possibili risposte consiste nel fatto che una potenza con esponente pari, qualunque base abbia purch´e diversa da 0, ha segno positivo. Essendo 0 un numero pari, una potenza con esponente 0 deve avere segno positivo.

Le propriet` a delle potenze dei numeri interi. Le propriet`a delle potenze dei numeri naturali (vedi paragrafo 1.10) rimangano invariate nei numeri interi, con la differenza che, in quest’ultimo caso, le basi delle potenze sono numeri interi. Effettuiamo alcuni esempi: . (+2)4 · (+2)3 Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base. La prima propriet`a delle potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 4 + 3 = 7 si ha: (+2)4 · (+2)3 = (+2)7 = +128 (se la potenza rappresenta un numero elevato si pu`o lasciare sotto forma di potenza e non `e necessario calcolarla. In questo caso quindi possiamo lasciare come risultato (+2)7 ) . (−1)2 · (−1)3 Come nell’esempio precedente, si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base.

Il prodotto `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 2 + 3 = 5, si ha: (−1)2 · (−1)3 = (−1)5 = −1 (Osservazione. Si noti che l’ultimo esempio non `e in contraddizione con la regola dei segni: infatti all’obiezione che (-1) moltiplicato (-1) ha come risultato (+1), si risponde col fatto che non va effettuato il prodotto delle basi, ma applicata la prima propriet`a delle potenze. Quindi, dato che la base delle due potenze `e −1, anche il risultato deve avere la stessa base cio`e −1). . (−5)7 : (−5)5 Si tratta di una divisione fra due potenze aventi la stessa base. La seconda propriet`a delle potenze ci dice che il quoziente fra due potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti; quindi, dato che 7 − 5 = 2 si ha: (−5)7 : (−5)5 = (−5)2 = +25

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. [(−2)3 ]2 Applicando la terza propriet` a delle potenze che dice che una potenza di potenza equivale a una potenza con la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti, si ottiene: [(−2)3 ]2 = (−2)6 = +64 . (+2)3 · (−3)3 Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quarta propriet` a delle potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi; quindi, dato che (+2)·(−3) = −6 si ha: (+2)3 · (−3)3 = (−6)3 = −196 (come gi`a detto, se la potenza rappresenta un numero elevato si pu`o lasciare sotto forma di potenza) . (−12)4 : (+4)4 Si tratta di una divisione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quinta propriet`a delle potenze ci dice che il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente `e una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi; quindi, dato che (−12) : (+4) = −3 si ha: (−12)4 : (+4)4 = (−3)4 = +81

Osservazione. Da quanto visto `e facile osservare che due potenze che hanno lo stesso esponente pari, e basi opposte sono uguali, come emerge dai seguenti esempi: . (+2)4 = (−2)4 infatti entrambe le potenze sono uguali a +16. . (−5)2 = (+5)2 infatti entrambe le potenze sono uguali a +25 e cos`ı via.

Chiarito questo, consideriamo adesso il seguente prodotto: (+2)7 · (−2)4 possiamo applicare le propriet` a delle potenze? La risposta `e negativa in quanto le due potenze hanno diversi sia la base che l’esponente. Si osserva per`o che le basi sono opposte e che una delle due ha esponente pari. Il precedente prodotto `e quindi equivalente a: (+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4 adesso possiamo applicare la prima propriet`a delle potenze ottenendo: (+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4 = (+2)11

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53

Possiamo quindi affermare la seguente regola: Regola del prodotto fra due potenze di basi opposte. Il prodotto fra due potenze aventi basi opposte, di cui almeno una con esponente pari, si effettua cambiando il segno alla base della potenza con esponente pari, e applicando la prima propriet`a delle potenze. Se entrambe le potenze hanno esponente pari, il segno va cambiato ad una sola delle basi (in genere quella di segno negativo).

Esempi . (+5)6 · (−5)3 = (−5)6 · (−5)3 = (−5)9 . (−3)2 · (+3)4 = (+3)2 · (+3)4 = (+3)6

Osservazione. La regola del prodotto fra due potenze aventi basi opposte si applica allo stesso modo per il quoziente.

Esempio (−4)7 : (+4)6 = (−4)7 : (−4)6 = (−4)1 = −4

2.9

La priorit` a delle operazioni, le parentesi e le espressioni

Come abbiamo fatto nei numeri naturali, per poter risolvere delle espressioni `e necessario definire una priorit`a delle operazioni. Come prevedibile, la priorit`a delle operazioni `e la stessa di quella definita nei numeri naturali. Quindi: 1. Elevamento a potenza.

2. Moltiplicazione e divisione.

3. Addizione e sottrazione Fra due operazioni di uguale priorit` a si effettua prima quella pi` u a sinistra.

Come per i numeri naturali, l’unico modo di cambiare l’ordine delle operazioni `e tramite l’uso delle parentesi.

Esempi {[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (−5)2 ]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) Concentriamoci sulla parte di espressione all’interno delle parentesi quadre: in essa c’`e un elevamento a potenza che va svolto per primo: = {[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (+25)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) = Sempre dentro le parentesi quadre ci sono due moltiplicazioni, possiamo svolgerle nello stesso passaggio:

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{[(+36) + (+12) + (+5) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) = Adesso nelle parentesi quadre ci sono solo operazioni che hanno la medesima priorit`a. Svolgiamole una per ogni passaggio nell’ordine che va da sinistra a destra: {[(+48) + (+5) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =

{[(+53) − (+50)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) =

{[(+3)]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) = Le parentesi quadre contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamo toglierle: {(+3)8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) = Invece di elevare a potenza, applichiamo la seconda propriet`a delle potenze: {(+3)2 } − (+2) · (−1) =

{(+9)} − (+2) · (−1) = Le parentesi graffe contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamo toglierle: (+9) − (+2) · (−1) = Adesso si effettua il prodotto e infine la sottrazione: (+9) − (−2) = +11 . {[(−5)2 · (−5)3 : (−5)4 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 = {[(−5)5 : (−5)4 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 = {[(−5)1 ]2 }3 : [(−5)2 ]3 = {(−5)2 }3 : (−5)6 = (−5)6 : (−5)6 = (−5)0 = +1

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2.10

55

Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali

(Nel titolo del paragrafo abbiamo usato il termine non negativo invece che positivo per poter comprendere anche lo 0).

Come possiamo osservare le espressioni con i numeri interi hanno una notazione piuttosto pesante, con un massiccio uso di parentesi. Per poter alleggerire questa notazione `e stata stabilita la seguente corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi: Corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi.

• Ad ogni numero intero positivo corrisponde il numero naturale uguale al suo valore assoluto (Esempio: al numero intero +3, corrisponde il numero naturale 3).

• Ad ogni numero naturale corrisponde il numero intero positivo che ha come valore assoluto quel numero naturale (Esempio: al numero naturale 7, corrisponde il numero intero +7).

• Allo 0 dei numeri interi corrisponde lo 0 dei numeri naturali, e viceversa.

Si osservi che si tratta di una corrispondenza biunivoca, cio`e ad ogni numero intero non negativo corrisponde uno e un solo numero naturale e viceversa. Tramite questa corrispondenza abbiamo identificato l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri interi non negativi.

Prima di procedere, possiamo finalmente spiegare il motivo per cui il prodotto di due numeri interi positivi `e positivo.

Il prodotto di due numeri interi positivi ` e positivo. Supponiamo di dover effettuare il prodotto (+3) · (+5). Tramite la corrispondenza appena vista possiamo affermare che tale prodotto `e equivalente nei numeri naturali a 3 · 5 che ha come risultato 15. Ma il numero naturale 15 corrisponde nei numeri interi a +15. Quindi deve risultare che: (+3) · (+5) = +15 che spiega perch´e `e stato scelto che il prodotto di due numeri positivi sia positivo.

Alla luce di quanto visto, vediamo come si trasformano le espressioni: • Se all’intero di una parentesi abbiamo un unico numero intero e la parentesi `e preceduta dal segno + oppure −, si levano le parentesi e come unico segno si segue la regola dei segni del prodotto fra il segno che precede la parentesi e quello all’interno della parentesi.

• Al posto di un numero intero positivo scriviamo il numero naturale formato dal suo valore assoluto.

• Nel caso di un numero intero negativo all’inizio di un’espressione, si pu`o scrivere tale numero senza le parentesi.

Esempi .

(+3) + (+7) = +10

diventa

3 + 7 = 10

. (+3) + (−7) = −4 diventa 3 − 7 = −4 (perch´e +(−7) diventa −7 in quanto, per la regola dei segni del prodotto, “pi` u per meno uguale meno”).

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. (−3) − (−6) = +3 diventa −3 + 6 = 3 (perch´e −(−6) diventa +6 in quanto, per la regola dei segni del prodotto, “meno per meno uguale pi` u”).

Vediamo adesso come si trasforma l’espressione trattata nel paragrafo precedente {[(+36) + (−3) · (−4) + (+5) − (+2) · (−5)2 ]8 : (+3)6 } − (+2) · (−1) con le convenzioni sopra descritte: {[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · (−5)2 )]8 : 36 } − 2 · (−1) Osservazione. Notiamo che la rappresentazione della seconda espressione `e certamente meno pesante della prima. Questo purtroppo non vuol dire che sia pi` u facile risolvere la seconda piuttosto che la prima: anzi `e necessario prestare maggiore attenzione sia alla regola dei segni, sia alle priorit` a delle operazioni.

Osservazione. Si osservi che nell’espressione abbiamo lasciato la parentesi nel (−5)2 . Questa scelta `e obbligatoria, infatti `e diverso scrivere (−5)2 da scrivere −52 . Chiariamo perch´e: (−5)2 ´e una potenza di base −5 ed esponente 2. Le parentesi indicano che anche il meno fa parte della base e quindi valgono le regole per le potenze dei numeri interi con esponente pari. Quindi risulta che: (−5)2 = 25 Invece in −52 , non essendoci parentesi, per la priorit`a delle operazioni va effettuata prima la potenza e poi considerato il segno negativo. Quindi: −52 = −25

Osservazione. Si osservi che nella parte di espressione 3 · (−4) abbiamo lasciato le parentesi al numero intero −4. Anche in questo caso non possiamo fare altrimenti perch´e `e sempre sbagliato scrivere due segni di operazione accanto se non separati da parentesi (non possiamo quindi scrivere 3 · −4).

Dopo queste osservazioni, risolviamo l’espressione: {[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · (−5)2 )]8 : 36 } − 2 · (−1) = {[36 − 3 · (−4) + 5 − 2 · 25]8 : 36 } − 2 · (−1) = {[36 + 12 + 5 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) = {[48 + 5 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) = {[53 − 50]8 : 36 } − 2 · (−1) = {[3]8 : 36 } − 2 · (−1) = {38 : 36 } − 2 · (−1) =

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57

{32 } − 2 · (−1) = 32 − 2 · (−1) = 9 − 2 · (−1) = 9 + 2 = 11

2.11

Domande

Paragrafo 2.1 1. Cos’`e il valore assoluto di un numero intero?

2. Quando 2 numeri interi sono fra loro concordi? Quando discordi?

Paragrafo 2.2 3. Qual’`e la relazione d’ordine in Z? 4. Presi 2 numeri negativi come si stabilisce chi `e il minore?

5. Z ha un elemento minore di tutti gli altri?

6. Quale numero intero `e minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i numeri negativi?

Paragrafo 2.3 7. Perch´e sono stati creati i numeri interi?

8. Quali propiriet` a che sono valide in N vogliamo che restino valide in Z? Paragrafo 2.4 9. In un’espressione con i numeri interi il simbolo + pu`o avere 2 significati. Quali?

10. Come si effettua la somma di 2 numeri concordi?

11. Come si effettua la somma di 2 numeri discordi?

12. Quando 2 numeri si dicono opposti?

13. Di quali propriet` a gode l’addizione fra numeri interi?

Paragrafo 2.5 14. A cosa `e equivalente la sottrazione di 2 numeri interi?

Paragrafo 2.6 15. Come si determina il segno del prodotto di 2 numeri interi?

16. Come si determina il valore assoluto del prodotto di 2 numeri interi?

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58

17. Supponendo vero che il prodotto di 2 numeri positivi `e positivo, si risponda alla domanda: perch`e il prodotto di un numero positivo con uno negativo `e negativo?

18. Di quali propriet` a gode la moltiplicazione fra numeri interi?

Paragrafo 2.7 19. Perch`e la regola dei segni della divisione `e uguale a quella della moltiplicazione?

Paragrafo 2.8 20. Quale `e il segno di una potenza avente base positiva?

21. Perch`e una potenza di base negativa ed esponente pari `e positiva?

22. Perch`e una potenza di base negativa ed esponente dispari `e negativa?

23. Perch`e una potenza di base diversa da 0 ed esponente 0 `e +1 (e non −1 ad esempio)?

24. Le propriet` a delle potenze valide in N valgono anche in Z? 25. In quali casi `e possibile applicare le propriet`a delle potenze ad un prodotto fra potenze di basi opposte?

Paragrafo 2.9 26. La priorit` a delle operazioni in Z `e la stessa di N? Paragrafo 2.10 27. Che corrispondenza `e stata stabilita fra N e Z? 28. Che tipo di corrispondenza `e?

29. A che scopo `e stata creata questa corrispondenza?

30. Perch´e il prodotto di 2 numeri positivi `e positivo?

31. Perch´e `e obbligatoria la parentesi nella potenza (−4)2 ?

2.12

Esercizi

Paragrafo 2.2 1. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: +2; −6; −2; 0; +1 2. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: −25; −26; −24; −110; 0 Paragrafo 2.4 Esegui le seguenti addizioni: 3. (+7) + (+7);

(−3) + (−4);

(−3) + (0);

4. (−2) + (+8);

(−4) + (+4);

(+7) + (−6);

5. (+6) + (−3) + (−4);

(−2) + (+1);

(+5) + (−10) (0) + (−5)

(−13) + (−4) + (+13);

(−3) + (0) + (+4)

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59 −100; +14; 0; +9

6. Determina gli opposti dei seguenti numeri:

7. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la propriet`a commutativa.

8. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 2.5 Esegui le seguenti sottrazioni: 9. (+7) − (+7);

(−3) − (−5);

(−3) − (0);

10. (−4) − (+8);

(−4) − (+4);

(+9) − (−6);

11. (+6) − (−3) − (−4);

(−2) − (+1);

(+2) − (−10) (0) − (−5)

(−13) − (−4) − (+13);

(−3) − (0) − (+4)

12. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la propriet`a commutativa.

13. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 2.6 Esegui le seguenti moltiplicazioni: 14. (+3) · (+1);

(−11) · (−2);

15. (+3) · (0) · (+1); 16. (−13) · (−1);

(−8) · (0);

(−11) · (+2) · (−2); (0) · (0);

(−1) · (−1) (+32) · (−8) · (0);

(−4) · (+1) · (+1);

(−1) · (−1) · (−1)

(−1) · (−11)

Risolvi le seguenti espressioni sia utilizzando la propriet`a distributiva sia non utilizzandola e verifica che il risultato `e uguale: 17. [(+6) + (−3) + (−4)] · (+2);

(−4) · [(−2) + (+1)]

18. [(−6) + (−2) − (−4)] · (−2);

(−3) · [(−3) + (+3)]

19. [(−13) + (−4) + (+13)] · (−6);

(−3) · [(−3) + (0) + (+4)]

20. [(−12) − (−14) + (−2)] · (−5);

(0) · [(−3) + (+1) + (+4)]

21. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la propriet`a commutativa.

22. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 2.7 Esegui le seguenti divisioni: 23. (+3) : (+1);

(−12) : (−2);

24. (+21) : (−7) : (−3); 25. (+13) : (+4);

(−8) : (0);

(−24) : (−2) : (−2);

(0) : (0);

(−1) : (−1) (+32) : (−8) : (0);

(−4) : (+1) : (+1);

(0) : (−5) : (−10)

(0) : (−11)

26. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la propriet`a commutativa.

27. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la propriet`a associativa.

Paragrafo 2.8 28. Calcolare:

(−2)3 ;

(−4)2 ;

(+2)3 ;

Effettuare le seguenti operazioni:

(0)5 ;

(−9)0 ;

(+7)0

Alessandro Bocconi 29. 05 : (+3)5 ; (0)3

60 (−1)7 ·(−1)4 ;

(−6)5 : (−2)5 ;

(+2)3 +(+2)2 ;

(+7)2 : (0)2 ;

(+4)2 ·

Effettuare le seguenti operazioni: 30. [(+4)5 ]1 ;

[(−2)3 ]2 ;

31. (+4)5 · (−2)5 ;

[(+14)0 ]9

(+8)2 − (+4)2 ;

(+11)1 · (+11)0

Effettuare le seguenti operazioni: 32. (+12)6 · (−12)3 ;

(−2)10 · (+2)7 ;

33. (−7)5 : (+7)2 ;

(+8)2 : (−8)2 ;

(−5)4 · (+5)2 (−2311)0 · (+2311)5

Paragrafo 2.9 Risolvi le seguenti espressioni 34. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13)

[−1]

35. [(−5) · (+3) + (+15)] · (+127) : (+7) − [(+4) − (−2) · (+1)] : (−1)

[+6]

36. (−4) + (+3) · (+5) : {(+7) − [(+4) − (−2) · (+1)]} − {(+15) + (−8) + (+7) · [(+8) : (−4)] − (+4)} [+22] 37. {(−4) + (−3) − [(+9) · (+1)]} + {[(−2) · (−3)] + [(+1) · (−2)]} − {0 − [(+6) − (−3)]} 38. {[(−3)4 · (−3)3 · (−3)2 ] : [(−3)0 · (−3)4 ]} : [(−3)2 · (−3)1 ]

[−3]

[+9]

39. {[(+17) − (+19)] · (−2)2 }3 : [(−2)3 ]2 − [(+3) · (−4)]2 : [(+15) − (−3) · (−1)] 40. {(+2)3 − [(+1) − (+11)]2 : (−10)2 }3 : [(−2)3 + (+1)]2 − [(+7) − 0 − (−2) + (−2)]

[−20] [0]

Paragrafo 2.10 Adottando le convenzioni del paragrafo 2.10 trasforma le seguenti espressioni e poi risolvile 41. {[(+17) − (+19)] · (−2)2 }3 42. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13) 43. (+3) · (−4) : [(+15) − (−3) − (+16)] Risolvi le seguenti espressioni 44. 32 · 2 − 33

[−9]

45. [(27 · 29 ) : (−2)14 ]3

[26 ]

46. −{(−3) · (−7 + 8) · (−5) + [−2 · (−3) + 4 − 8] · (−1)} + (−5) : 5 47. (−2)6 : [3 · (−1)2 + (−4) · (−1) − 32 ]5

[−2]

48. (−7 + 4 − 8) · (−2) + 6 + [−4 · (1 + 7 − 5)]

[16]

49. {3 − 5 − [5 − (−2)2 · 3 + (−3)2 · (−2)] · (8 − 32 )7 }3 : (−3)7 50. [−2 · 15 + (−2)2 : 2] : [(−7)2 : 7]

[−14]

[9]

[−4]

51. [(−4)3 · 93 : (−36)3 − (8 − 11 − 22 · 3)]6 : (−4)6 : 45

[4]

52. 34 : (−3)2 + (−2)3 : 22 · [(−3)2 + 3 · (−4)] : (−6) − 2 · (−5)

[18]

Capitolo 3

L’insieme Q dei numeri razionali 3.1

L’insieme delle frazioni di numeri Naturali

Nel primo capitolo abbiamo osservato che: 1. non si poteva sempre eseguire la sottrazione fra due numeri naturali (ad esempio 2 − 7) 2. non si poteva sempre eseguire la divisione fra due numeri naturali (ad esempio 8 : 3) Nel secondo capitolo, tramite l’insieme dei numeri interi, abbiamo risolto il primo punto: infatti, nei numeri interi, possiamo eseguire qualunque sottrazione. ` lecito aspettarsi che in questo capitolo si crei un nuovo insieme numerico, quello dei razionali E appunto, in cui si risolva anche il secondo punto e cio`e che presi 2 numeri, esista sempre il loro quoziente. Tale aspettativa `e giusta (o quasi).

Supponiamo di prendere i numeri 8 e 3, e ci chiediamo quanto `e il quoziente 8 : 3. La risposta a questa domanda ce la siamo gi` a data nel primo capitolo, ed `e che tale quoziente non esiste perch´e non esiste un numero naturale (e neppure intero) che moltiplicato per 3 dia come risultato 8. Dal momento che non esiste lo creiamo noi: il quoziente 8 : 3 `e 83 (si legge otto terzi).

Quindi 83 `e quel numero che moltiplicato per 3 ha risultato 8 (cio`e 38 · 3 = 8); cos`ı come, ad esempio, 9 e quel numero che moltiplicato per 4 ha risultato 9 (cio`e 94 · 4 = 9), oppure 27 `e quel numero che 4 ` moltiplicato per 7 ha risultato 2 (cio`e 72 · 7 = 2).

Abbiamo cos`ı inventato un’infinit` a di nuovi numeri che racchiudiamo in un insieme chiamato insieme delle frazioni di numeri Naturali: a F = { , con a, b ∈ N, b 6= 0} b Questo modo di scrivere, che comprenderemo meglio nel prossimo capitolo, significa che l’insieme delle frazioni di numeri Naturali `e costituito da oggetti del tipo ab dove a e b sono due numeri naturali con b diverso da 0.

Nella frazione ab , che si legge a fratto b, a `e il numeratore, b il denominatore e la linea orizzontale che separa a da b `e detta linea di frazione.

Osservazione. Il lettore attento si chieder`a perch´e b deve essere diverso da 0. In effetti dal momento che abbiamo creato ad esempio 83 che `e quel numero che moltiplicato per 3 ha come risultato 8, perch´e non possiamo creare, sempre ad esempio, il numero 80 cio`e quel numero che

Alessandro Bocconi

62

moltiplicato per 0 ha come risultato 8. La domanda `e perfettamente lecita e la risposta `e che la a nascita del numero 80 (o qualunque altra frazione con denominatore 0) invaliderebbe la propriet` distributiva; dal momento che non vogliamo rinunciare a tale propriet`a `e stato scelto che una frazione non pu` o avere denominatore 0. La dimostrazione di questa affermazione `e spiegata nel prossimo facoltativo paragrafo.

Perch´ e una frazione non pu` o avere denominatore 0 (facoltativo). Supponiamo che esista 8 la frazione 0 cio`e quel numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 8. Allora varrebbe che: 8 ·0=8 0 e ovviamente, dato che 0 + 0 = 0 possiamo scrivere che: 8 · (0 + 0) = 8 0 Applichiamo adesso la propriet` a distributiva all’espressione

8 0

· (0 + 0). Si ottiene:

8 8 8 · (0 + 0) = · 0 + · 0 = 8 + 8 = 16 0 0 0 Cio`e un risultato diverso e quindi la propriet`a distributiva non risulta valida. Per scongiurare questo problema, come gi` a detto nell’osservazione, `e stato scelto che una frazione non pu`o avere denominatore 0.

Osservazione. A differenza che al denominatore, una frazione pu`o avere 0 al numeratore. Dal momento che 0 diviso qualunque numero ha come risultato 0; una frazione con 0 al numeratore `e 0.

Esempi 0 5

= 0;

0 1

= 0;

0 123

= 0;

Osservazione. Possiamo stabilire una corrispondenza fra l’insieme dei numeri naturali e quello delle frazioni. Infatti se consideriamo la divisione 8 : 1 il risultato `e 8. Se ragioniamo per`o dal punto di vista delle frazioni si ottiene che 8 : 1 = 18 . Quindi risulta che 81 = 8. Possiamo quindi associare ad ogni numero naturale, la frazione che ha al numeratore il numero naturale stesso e al denominatore 1.

Esempi . Al numero naturale 5 corrisponde la frazione 51 . Viceversa alla frazione naturale 5. . Al numero naturale 12 corrisponde la frazione numero naturale 12.

12 1 .

5 1

corrisponde il numero

Viceversa alla frazione

12 1

corrisponde il

Alessandro Bocconi

63

Figura 3.1: I

3.2

2 5

di una torta

Significato “descrittivo” delle frazioni

Nelle scuole medie per introdurre il significato delle frazioni spesso vengono fatti degli esempi figurativi. Consideriamo ad esempio una torta e ci chiediamo cosa rappresenta la frazione 25 di una torta: la risposta `e che si taglia la torta in 5 fette uguali (perch´e il denominatore ´e 5) e se ne prendono 2 (perch´e il numeratore ´e 2) (figura 3.1).

Se il numeratore `e maggiore del denominatore l’esempio entra un po’ in crisi perch´e, se consideriamo ad esempio la frazione 76 diventa difficile tagliare una torta in 6 fette e prenderne 7! Si aggira questo inconveniente prendendo pi` u torte, tagliandole tutte in 6 parti uguali e prendendo alla fine 7 fette.

La domanda che dobbiamo porci adesso ` e se queste rappresentazioni sono in accordo col significato che abbiamo dato alla frazione nel precedente paragrafo. La risposta `e affermativa e per verificarlo torniamo alla frazione 52 : nell’esempio della torta la frazione rappresenta 2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Nel precedente paragrafo 25 rappresenta il risultato della divisione 2 : 5 ossia quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2.

Vediamo allora se 2 : 5 rappresenta anche le 2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Per verificarlo prendiamo 2 torte da dividere in 5 parti uguali. La grandezza di ciascuna parte equivale ovviamente al quoziente 2:5. Si tagliano quindi entrambe le torte in 5 fette ciascuna ottenendo in totale 10 fette. Per avere 5 parti uguali dividiamo il numero di fette (10) per il numero delle parti(5). La risposta `e quindi 2 fette. Quindi le 2 fette della torta tagliata in 5 parti rappresentano anche il risultato della divisione 2 : 5, che `e quello che volevamo verificare.

Poniamoci adesso il seguente problema: 20 persone sono arrivate all’appuntamento. Dopo 5 minuti i 43 se ne vanno. Quante persone sono andate via?

La risposta sta nel calcolare i 34 di 20, e per farlo ci comportiamo come nell’esempio della torta: dividiamo le 20 persone in 4 parti uguali (gruppi), e di questi 4 gruppi ne prendiamo 3. Quindi: 20 : 4 gruppi = 5 persone per gruppo. Prendiamo 3 gruppi, quindi: 5 · 3 = 15. Quindi i persone sono 15 persone.

Esempi .

Determinare i

4 9

di 27.

27 : 9 = 3

quindi

4 9

di 27 `e uguale a 12.

3 · 4 = 12

3 4

di 20

Alessandro Bocconi

64

I sei ottavi di una torta (indicata dai pallini)

I tre quarti di una torta (indicata dai pallini)

Figura 3.2: Le 2 frazioni rappresentano la stessa quantit`a di torta .

Determinare i

quindi .

7 2

5 8

di 10.

10 : 2 = 5

5 路 7 = 35

32 : 8 = 4

4 路 5 = 20

di 10 `e uguale a 35.

Determinare i

quindi

7 2

5 8

di 32.

di 32 `e uguale a 20.

3.3

Frazioni equivalenti

Consideriamo adesso le seguenti due divisioni: 14 : 7 e 10 : 5. Entrambe hanno lo stesso risultato cio`e 2. Dal punto di vista delle frazioni le due divisioni si rappresentano rispettivamente come 14 7 e 10 5 . Dal momento che queste due frazioni rappresentano lo stesso numero ci chiediamo se esiste un legame fra di loro. La risposta `e che queste due frazioni sono equivalenti come appare chiaro dalla seguente definizione.

Definizione di frazioni equivalenti. Due frazioni

a b

e

c d

si dicono equivalenti se a 路 d = c 路 b.

Significato di frazioni equivalenti. Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantit`a.

Nella figura 3.2 si osserva che, anche se la prima torta `e divisa in 4 parti e la seconda in 8, la quantit`a di torta rappresentata dalle 2 frazioni `e uguale.

Alessandro Bocconi

65

Esempi .

Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:

14 7

e

10 5 .

Si applica la formula della definizione con a = 14, b = 7, c = 10 e d = 5: 14 · 5 = 70;

10 · 7 = 70

quindi 14 · 5 = 10 · 7 e le frazioni sono equivalenti. .

Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni:

8 6

e

12 9 .

Si applica la formula della definizione con a = 8, b = 6, c = 12 e d = 9: 8 · 9 = 72;

12 · 6 = 72

quindi 8 · 9 = 12 · 6 e le frazioni sono equivalenti. .

Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni: 15 · 3 = 45;

15 9

e 53 .

5 · 9 = 45

quindi 15 · 3 = 5 · 9 e le frazioni sono equivalenti. .

Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni: 14 · 2 = 28;

14 8

e 52 .

5 · 8 = 40

quindi 14 · 2 6= 5 · 8 e le frazioni non sono equivalenti.

Osservazione. Data una frazione se ne possono trovare infinite ad essa equivalenti: infatti basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero e si ottiene una frazione equivalente a quella assegnata.

Esempi . Consideriamo la frazione 10 6 , e moltiplichiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero, ad esempio 2: 10 · 2 = 20, 6 · 2 = 12. Otteniamo cos`ı la frazione 20 e 12 . Verifichiamo che ` 10 equivalente a 6 : 10 · 12 = 120; 20 · 6 = 120 quindi le frazioni sono equivalenti. . Consideriamo sempre la frazione 10 6 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per 30 3: 10 · 3 = 30, 6 · 3 = 18. Otteniamo cos`ı la frazione 18 . Verifichiamo che `e equivalente a 10 6 : 10 · 18 = 180;

30 · 6 = 180

quindi le frazioni sono equivalenti. . Consideriamo sempre la frazione 10 6 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per 60 . Verifichiamo che `e equivalente a 10 6: 10 · 6 = 60, 6 · 6 = 36. Otteniamo cos`ı la frazione 36 6 : 10 · 36 = 360;

60 · 6 = 360

quindi le frazioni sono equivalenti.

Alessandro Bocconi

66

Data una frazione, risulta molto utile determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore assegnato. Per ottenerla si usa il seguente: Metodo per determinare una frazione equivalente con denominatore assegnato.

Spieghiamo tale metodo con un esempio: data la frazione equivalente avente denominatore 20.

3 5

determinare una frazione ad essa

1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (20) e il denominatore originale (5). Si ottiene il numero 4.

2. Si moltiplica il numero trovato (4) per il numeratore (3). E si ottiene 12 che `e il numeratore della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 12 20 Verifichiamo che

3 5

`e equivalente a

12 20 :

3 路 20 = 60

5 路 12 = 60

e quindi le 2 frazioni sono equivalenti.

Osservazione. Una frazione equivalente di denominatore assegnato esiste soltanto se il denominatore assegnato `e un multiplo del denominatore originale.

Esempi .

Data la frazione

9 2

determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 10.

1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (10) e il denominatore originale (2). Si ottiene il numero 5.

2. Si moltiplica il numero trovato (5) per il numeratore (9). E si ottiene 45 che `e il numeratore della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 45 10 .

Data la frazione

4 7

determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 21.

1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (21) e il denominatore originale (7). Si ottiene il numero 3.

2. Si moltiplica il numero trovato (3) per il numeratore (4). E si ottiene 12 che `e il numeratore della frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 12 21 .

Data la frazione

9 2

determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 5.

Dal momento che 5 non `e multiplo di 2, non esiste una frazione equivalente a 5.

9 2

avente denominatore

Alessandro Bocconi

3.4

67

Frazioni ridotte ai minimi termini

Definizione di frazione ridotta ai minimi termini. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore hanno come unico divisore comune 1.

Esempi .

10 3

`e una frazione ridotta ai minimi termini perch´e 10 e 3 hanno come unico divisore 1.

.

15 6

non `e una frazione ridotta ai minimi termini perch´e 15 e 6 sono entrambi divisibili per 3.

.

20 5

non `e una frazione ridotta ai minimi termini perch´e 20 e 5 sono entrambi divisibili per 5.

Riduzione di una frazione ai minimi termini. Ridurre una frazione ai minimi termini vuol dire determinare una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata.

Per ridurre una frazione ai minimi termini si determina il Massimo Comun Divisore fra il numeratore e il denominatore, e si considera la frazione che si ottiene dividendo numeratore e denominatore per il Massimo comun Divisore trovato. Tale procedimento si chiama semplificazione.

Esempi .

Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione

16 24 .

Il MCD fra 16 e 24 `e 8. Dividiamo quindi per 8: 16 : 8 = 2;

24 : 8 = 3

La frazione 16 e 32 . Per esercizio verifichiamo che queste due frazioni sono 24 ridotta ai minimi termini ` davvero equivalenti come vuole la definizione.

16 · 3 = 48;

2 · 24 = 48

Quindi le due frazioni sono equivalenti. .

Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione

45 27 .

Il MCD fra 45 e 27 `e 9. Dividiamo quindi per 9: 45 : 9 = 5; La frazione .

45 27

ridotta ai minimi termini `e

27 : 9 = 3

5 3

Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione

Il MCD fra 12 e 7 `e 1. Quindi

12 7

12 7 .

`e gi` a ridotta ai minimi termini.

Un altro metodo per ridurre ai minimi termini una frazione. Nonostante il precedente metodo sia perfettamente valido, in genere per semplificare una frazione si usa il seguente procedimento che spieghiamo tramite un esempio: .

Semplificare la frazione

36 60 .

Si osserva che 36 e 60 sono entrambi divisibili per 2. Effettuiamo quindi la divisione del numeratore e del denominatore per 2: 36 : 2 = 18; 60 : 2 = 30

Alessandro Bocconi

68

` Otteniamo cos`ı la frazione 18 e numeratore e denominatore 30 . E ridotta ai minimi termini? No perch` sono ancora divisibili per 2: 18 : 2 = 9; 30 : 2 = 15 9 ` ridotta ai minimi termini? No perch`e numeratore e denominatore . E Otteniamo cos`ı la frazione 15 sono entrambi divisibili per 3: 9 : 3 = 3; 15 : 3 = 5

Otteniamo cos`ı la frazione

3 5

che `e la frazione di partenza ridotta ai minimi termini.

Spesso, quando si effettua una semplificazione si adotta il seguente modo di scrivere: 2 6 6 62 = 3 = 9 69 3 Osservazione. Questo metodo `e composto da pi` u passaggi rispetto al precedente. In compenso per`o consente di non dover calcolare il Massimo Comun Divisore.

3.5

Addizioni e sottrazioni fra frazioni

Poniamoci ora il problema di effettuare delle operazioni fra le frazioni, cominciando dall’addizione e la sottrazione. Innanzitutto cerchiamo di capire cosa vuol dire sommare due frazioni tramite un esempio.

Esempio .

Effettuare l’addizione

2 5

+

1 5

Dal punto di vista della torta la frazione 25 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 2, mentre la frazione 15 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 1. Se sommiamo le fette otteniamo 3 fette di una torta divisa in 5 parti, cio`e la frazione 53 . Quindi: 2 1 3 + = 5 5 5

Possiamo quindi dedurre che la somma di 2 frazioni aventi ugual denominatore ` e una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

Esempio .

Effettuare la sottrazione

5 7

−

3 7

Dal punto di vista della torta la frazione 57 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 5, mentre la frazione 37 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 3. Se dalle 5 fette ne sottraiamo 3 otteniamo 2 fette di una torta divisa in 7 parti, cio`e la frazione 27 . Quindi: 5 3 2 − = 7 7 7

Alessandro Bocconi

69

Possiamo quindi dedurre che la differenza di 2 frazioni aventi ugual denominatore ` e una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei numeratori.

Il problema si pone quando sommiamo o sottraiamo frazioni con denominatore differente. Prendiamo ad esempio la somma 3 5 + 10 6 Tagliando la torta in 10 parti otteniamo delle fette che sono diverse da quelle ottenute tagliando la torta in 6 parti, e quindi non possiamo sommare fra loro fette diverse.

Per effettuare la somma dobbiamo trasformare le due frazioni in frazioni equivalenti alle originali ma con lo stesso denominatore, per poi poter effettuare la somma come nei due esempi precedenti.

3 Scriviamo quindi alcune frazioni equivalenti a 10 : 6 ; 20

9 ; 30

12 ; 40

15 ; ...

50

e facciamo lo stesso per 56 :

15 20 25 30 10 ; ; ; ; ; ...

12 18 24 30 36 3 Ci accorgiamo che fra le frazioni equivalenti a 10 e quelle equivalenti a 9 25 uguale denominatore: 30 e 30 .

La somma precedente,

3 10

5 6

c’`e una coppia che ha

+ 56 , `e quindi equivalente alla somma:

9 25 + 30 30 che sappiamo calcolare in quanto le 2 frazioni hanno uguale denominatore. Quindi: 3 5 9 25 34 + = + = 10 6 30 30 30

Il lettore si sar` a accorto che 30 `e il minimo comune multiplo fra i denominatori 10 e 6. Questa non `e una coincidenza e ci fornisce il seguente: Metodo per l’addizione fra frazioni. Illustriamo il procedimento per passi 1. Se le frazioni non sono ridotte ai minimi termini vanno semplificate 2. Si determina il minimo comune multiplo fra i denominatori 3. Si trasformano tutte le frazioni della somma in frazioni ad esse equivalenti avente come denominatore il minimo comune multiplo appena trovato (vedi il metodo per determinare una frazione equivalente con denominatore assegnato alla fine del paragrafo 3.3).

4. La somma originale `e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore: vanno quindi sommati fra loro i numeratori lasciando al denominatore il minimo comune multiplo.

Applichiamo adesso questo metodo nei seguenti esempi: Esempi .

2 3 + 7 5

Alessandro Bocconi

70

1. Le frazioni sono gi` a ridotte ai minimi termini.

2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori `e 35.

3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimo comune multiplo appena trovato: si ottiene 10 35 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo:

21 35 .

5. La somma originale `e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore: 2 3 10 21 10 + 21 31 + = + = = 7 5 35 35 35 35 .

6 5 + 8 6 1. La prima frazione non `e ridotta ai minimi termini, e va quindi semplificata. Si ottiene precedente somma diventa: 3 5 + 4 6

3 4

e la

2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori `e 12.

3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimo 9 comune multiplo appena trovato: si ottiene 12 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo

10 12 .

5. La somma originale `e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore: 6 5 3 5 9 10 9 + 10 19 + = + = + = = 8 6 4 6 12 12 12 12 .

5 +4 2

Sappiamo che 4 `e equivalente a 41 , quindi l’addizione diventa: 5 4 + 2 1 1. Le frazioni sono gi` a ridotte ai minimi termini.

2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori `e 2.

3. Si divide il minimo comune multiplo (2) per il primo denominatore (2) ottenendo 1. Si moltiplica 1 per il primo numeratore (5) ottenendo 5. La frazione equivalente cercata `e in questo caso uguale all’originale cio`e 52 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione: 2 : 1 = 2; 2 · 4 = 8. La frazione equivalente cercata `e 82 .

5. La somma originale `e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denominatore: 5 4 5 8 5+8 13 + = + = = 2 1 2 2 2 2

Alessandro Bocconi

71

.

3 5 + 10 4 65 1 3 1 3 2+3 5 + = + = = 610 2 4 2 4 4 4

3 1 3 + + 8 6 2

3 1 3 9 + 4 + 36 49 + + = = 8 6 2 24 24

Il metodo per la sottrazione `e equivalente a quello dell’addizione, soltanto che all’ultimo punto invece di effettuare la somma fra i numeri trovati, si effettua la differenza.

Esempio 3 2 − 5 7 21 − 10 11 3 2 − = = 5 7 35 35

3.6

Frazione di numeri interi

Supponiamo adesso che il numeratore ed il denominatore siano numeri interi, cio`e numeri dotati di segno.

Esempi −3 ; +7

−2 ; −5

+9 −2

Per convenzione si preferisce scrivere queste frazioni come frazioni di numeri naturali precedute da un segno, usando la regola dei segni vista per il prodotto e il quoziente di numeri interi. Spieghiamoci meglio con degli esempi (negli esempi viene usato spesso il termine “rapporto” che ha lo stesso significato di quoziente).

Esempi . La frazione −3 e il rapporto fra il numero negativo −3 e il numero positivo +7. Dal momento +7 ` −3 che meno diviso pi` u ha come risultato meno, la frazione +7 si scrive in modo equivalente come − 37 .

Alessandro Bocconi

72

. La frazione −2 e il rapporto fra il numero negativo −2 e il numero negativo −5. Dal momento −5 ` 2 che meno diviso meno ha come risultato pi` u, la frazione −2 −5 si scrive in modo equivalente come + 5 2 (o pi` u semplicemente 5 ). . La frazione +9 e il rapporto fra il numero positivo +9 e il numero negativo −2. Dal momento −2 ` 9 che pi` u diviso meno ha come risultato meno, la frazione +9 −2 si scrive in modo equivalente come − 2 .

9 . La frazione − −2 `e il rapporto fra il numero positivo 9 (perch´e sappiamo che un numero sprovvisto di segno va considerato positivo) e il numero negativo −2. Dal momento che pi` u diviso meno 9 ha come risultato meno, la frazione −2 ha segno negativo. In questo caso per`o la frazione `e preceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno che precede la frazione 9 moltiplicato meno perch´e la frazione `e negativa ha come risultato pi` u). Quindi − −2 si scrive in 9 9 modo equivalente come + 2 (o pi` u semplicemente 2 ).

e il rapporto fra il numero negativo −5 e il numero negativo −2. Dal momento . La frazione − −5 −2 ` che meno diviso meno ha come risultato pi` u, la frazione −5 o −2 ha segno positivo. In questo caso per` la frazione `e preceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno che precede la frazione moltiplicato pi` u perch´e la frazione `e positiva ha come risultato meno). Quindi − −5 si scrive in modo equivalente come − 52 . −2

Con questa convenzione possiamo applicare in maniera identica alle frazioni di numeri interi, i concetti di equivalenza, riduzione ai minimi termini, addizione e sottrazione visti per le frazioni di numeri naturali. Per quanto riguarda le frazioni equivalenti dobbiamo tener conto della seguente: Osservazione. Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno (che ovviamente non vuol dire che due frazioni che hanno lo stesso segno sono per forza equivalenti!!).

Chiariamo quanto appena detto con degli esempi: Esempi .

6 Le frazioni − 15 e − 10 25 sono equivalenti, infatti:

6 · 25 = 150

15 · 10 = 150

e le due frazioni hanno lo stesso segno. .

Le frazioni − 46 e

3 2

non sono equivalenti, infatti, nonostante che: 6 · 2 = 12

4 · 3 = 12

le due frazioni non hanno lo stesso segno e non possono quindi essere equivalenti. . Le frazioni risulta:

6 4

e

3 5

non sono ovviamente equivalenti anche se hanno lo stesso segno perch´e 6 · 5 = 30

4 · 3 = 12

3.7

La moltiplicazione fra frazioni

Chiediamoci adesso cosa significa moltiplicare fra loro due frazioni, partendo dal seguente esempio: Esempio 8 2 · 3 5

Alessandro Bocconi

73

Ipotizziamo che il risultato di questa moltiplicazione sia una frazione il cui numeratore `e il prodotto dei numeratori e il denominatore `e il prodotto dei denominatori. Cio`e: 8·2 16 8 2 · = = 3 5 3·5 15 Quindi, se la nostra ipotesi `e giusta, il prodotto delle due frazioni `e moltiplicato per 15 ha come risultato 16.

16 15 ,

cio`e quel numero che,

Verifichiamo che `e davvero cos`ı: come ben sappiamo 83 `e quel numero che moltiplicato per 3 ha come risultato 8 cio`e 83 · 3 = 8 e 25 `e quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2 cio`e 2 5 · 5 = 2. Per verificare che 8 2 16 · = 3 5 15 8 2 bisogna moltiplicare il prodotto 3 · 5 per 15; se il risultato `e 16 la nostra ipotesi `e verificata e abbiamo quindi trovato cosa significa e come effettuare il prodotto fra frazioni.

8 2 · 3 5 Moltiplichiamo per 15: 8 2 · · 15 3 5 Ma 15 = 3 · 5 quindi: 8 2 8 2 · · 15 = · · 3 · 5 3 5 3 5 Per la propriet` a commutativa della moltiplicazione: 8 2 8 2 · ·3·5= ·3· ·5 3 5 3 5 Ma

8 3

· 3 ha come risultato 8 mentre

2 5

· 5 ha come risultato 2. Quindi:

8 2 · 3 · · 5 = 8 · 2 = 16 3 5 che verifica la nostra ipotesi.

Possiamo quindi enunciare la seguente: Regola per la moltiplicazione fra frazioni. Il prodotto fra 2 o pi` u frazioni `e una frazione il cui numeratore `e il prodotto dei numeratori, ed il denominatore `e il prodotto dei denominatori. Se le frazioni sono dotate del segno, il segno del prodotto segue la stessa regola del prodotto fra numeri interi.

Esempi .

Eseguire il prodotto: (+ 58 ) · (− 43 )

La prima frazione `e positiva e la seconda `e negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno negativo, quindi: 8 4 8·4 32 (+ ) · (− ) = − =− 5 3 5·3 15 .

Eseguire il prodotto: (− 38 ) · (− 53 )

La prima frazione `e negativa e la seconda `e negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno positivo, quindi: 8 5 8·5 40 40 (− ) · (− ) = + =+ = 3 3 3·3 9 9

Alessandro Bocconi .

Eseguire il prodotto:

74 8 3

· (− 25 )

La prima frazione `e positiva (non avendo il segno `e sottinteso che sia positiva) e la seconda `e negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno negativo, quindi: 2 8·2 16 8 · (− ) = − =− 3 5 3·5 15 .

Eseguire il prodotto:

20 16

·

3 5

La due frazioni sono entrambe positive (non avendo il segno) quindi anche il prodotto `e positivo e si pu`o lasciare il segno sottinteso: 20 3 20 · 3 60 660 30 630 15 615 3 3 · = = = = = = 40 20 4 16 5 16 · 5 80 680 640 620 4

Nell’ultimo esempio si osserva che il risultato trovato ( 60 e ridotto ai minimi termini e quindi 80 ) non ` l’abbiamo dovuto semplificare fino ad arrivare a 34 .

Questa osservazione ci suggerisce un metodo pi` u veloce per effettuare le moltiplicazioni fra frazioni: Metodo per la moltiplicazione di frazioni.

1. Si riducono ai minimi termini le frazioni che costituiscono il prodotto (se ovviamente non sono gi`a ridotte ai minimi termini) 2. Si effettuano, se possibile, le semplificazioni fra numeratori e denominatori di frazioni diverse (le cosiddette semplificazioni incrociate) 3. Il prodotto `e dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatori semplificati Esempi .

Eseguire il prodotto: 1.

20 16

20 16

·

3 10

non `e ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo: 20 620 10 610 5 5 = = = 8 4 16 616 68 4

3 10

`e gi`a ridotta ai minimi termini e quindi si lascia come `e. Il prodotto `e diventato: 5 3 · 4 10

2. Si effettuano le semplificazioni incrociate: il primo numeratore (5) pu`o essere semplificato col secondo denominatore (10), ottenendo: 5 3 65 1 3 1 3 · = · = · 2 4 10 4 610 4 2 3. Il prodotto `e dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatori semplificati 1 3 1·3 3 · = = 4 2 4·2 8

Alessandro Bocconi

75

(Osservazione. Se possibile `e sempre conveniente effettuare le semplificazioni prima di effettuare il prodotto). .

15 14 )· 7 5 Le frazioni sono gi` a ridotte ai minimi termini. Passiamo alle semplificazioni incrociate: (−

(−

3 2 15 14 615 3 614 2 )· = (− 1 ) · 1 = (− ) · 7 5 67 65 1 1

Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno delle frazioni: 3 2 3·2 6 (− ) · = − = − = −6 1 1 1·1 1 .

8 7 (− ) · (− ) 6 2 La prima frazione non `e ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo: 4 8 68 4 = = 6 66 3 3 quindi la moltiplicazione diventa: 4 7 (− ) · (− ) 3 2 Passiamo alle semplificazioni incrociate: 4 7 64 2 7 2 7 (− ) · (− ) = (− ) · (− 1 ) = (− ) · (− ) 3 2 3 62 3 1 Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno delle frazioni: 2 7 2·7 14 14 (− ) · (− ) = + =+ = 3 1 3·1 3 3

3.8

La divisione fra frazioni

Premettiamo la seguente definizione.

Definizione di reciproco. Il reciproco di un numero, `e quel numero che moltiplicato con il primo ha come risultato 1.

Metodo per la determinazione del reciproco di una frazione. Determinare il reciproco di una frazione `e molto semplice: `e infatti sufficiente scambiare fra loro numeratore e denominatore della frazione, lasciando inalterato il segno.

Esempi . Il reciproco di 34 `e 34 . Infatti, dalla definizione di reciproco, il prodotto dei due numeri deve essere 1. Verifichiamolo: 4 3 64 1 63 1 1 1 1·1 1 · = 1· 1 = · = = =1 3 4 63 64 1 1 1·1 1

Alessandro Bocconi

76

.

2 Il reciproco di − 11 e − 11 (verificarlo).

2 `

.

Il reciproco di 7 `e

.

1 `e − 10 e −10 (verificarlo).

Il reciproco di − 10 1 cio`

1 7

(infatti sappiamo che 7 =

7 1

e quindi il suo reciproco `e 71 ) (verificarlo).

Consideriamo adesso la divisione 8 : 5 che come sappiamo ha risultato 85 . Se scriviamo la precedente divisione sostituendo ai numeri 8 e 5 le rispettive frazioni equivalenti 18 e 51 si ottiene: 8 5 8 : = 1 1 5 ma avremmo trovato lo stesso risultato se avessimo effettuato la moltiplicazione: 8 1 8 · = 1 5 5 Questo ci suggerisce la seguente regola per la divisione fra frazioni: Regola per la divisione fra frazioni. La divisione fra due frazioni `e equivalente al prodotto fra la prima frazione (il dividendo) e il reciproco della seconda frazione (il divisore). Se le frazioni sono dotate del segno, il segno del quoziente segue la stessa regola del quoziente fra numeri interi.

Esempi .

Effettuare la divisione

Il divisore `e

2 5

4 3

:

2 5

e il suo reciproco `e 52 . La precedente divisione `e quindi equivalente alla moltiplicazione: 2 5 2·5 10 4 5 64 2 5 · = · 1 = · = = 3 2 3 62 3 1 3·1 3

Quindi 4 2 10 : = 3 5 3 2 Per verificare che tale risultato `e giusto si moltiplica il quoziente ottenuto ( 10 3 ) per il divisore ( 5 ): 4 se otteniamo 3 , la divisione che abbiamo effettuato `e esatta: 10 2 610 2 2 2 2 4 · = · 1 = · = 3 5 3 65 3 1 3 .

Effettuare la divisione

9 12 : 10 5

Procedendo come in precedenza 9 12 9 5 69 3 65 1 3 1 3 : = · = · = · = 2 4 10 5 10 12 610 612 2 4 8

3.9

La potenza di frazioni

Consideriamo adesso una potenza la cui base sia una frazione. Vale la seguente: Regola per determinare le potenze con base frazionaria. Per determinare una potenza la cui base `e una frazione si eleva il numeratore e il denominatore all’esponente della potenza. Se la

Alessandro Bocconi

77

frazione `e dotata di segno, il segno della potenza segue la stessa regola delle potenze dei numeri interi.

` immediato intuire che tale regola deriva dalla regola della moltiplicazione. Si Osservazione. E veda il seguente esempio: 2 2 2 2 2·2·2·2 24 2 = 4 ( )4 = · · · = 3 3 |3 3{z3 3} 3 · 3 · 3 · 3 4 volte

Esempi .

.

Determinare ( 53 )2

9 32 3 ( )2 = 2 = 5 5 25

Determinare (− 23 )4

Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari. Il risultato `e quindi positivo.

2 24 16 16 (− )4 = + 4 = + = 3 3 81 81 .

Determinare (− 23 )3

Si tratta di una potenza di base negativa e esponente dispari. Il risultato `e quindi negativo.

2 23 8 (− )3 = − 3 = − 3 3 27 .

Determinare (− 59 )0

Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari (0 `e un numero pari). Il risultato `e quindi positivo.

5 50 1 (− )0 = + 0 = + = 1 9 9 1

Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce che le potenze con base frazionaria e esponente 0 sono sempre uguali a 1.

Per le potenze di frazioni valgono le propriet` a delle potenze viste nei precedenti capitoli.

Alessandro Bocconi

3.10

78

Espressioni con le frazioni

Un’espressione contenente le frazioni va risolta rispettando la stessa priorit`a delle operazioni gi` a vista per i numeri naturali e numeri interi, come possiamo osservare dai seguenti esempi: Esempi .

Svolgere la seguente espressione: 2−

1 3 1 6 + [ + ( − )] − 1 = 4 4 5 10

Prima di tutto semplifichiamo eventuali frazioni non ridotte ai minimi termini, subito dopo svolgiamo le parentesi tonde:

2−

1 3 1 66 3 +[ +( − )] − 1 = 4 4 5 610 5

2−

3 1−3 1 +[ +( )] − 1 = 4 4 5

2−

1 3 −2 + [ + ( )] − 1 = 4 4 5

2−

3 2 1 +[ − ]−1= 4 4 5

2−

1 15 − 8 +[ ]−1= 4 20

2−

1 7 +[ ]−1= 4 20

2−

1 7 + −1= 4 20

40 − 5 + 7 − 20 35 + 7 − 20 42 − 20 622 11 11 = = = = 10 20 20 20 620 10 .

Svolgere la seguente espressione: 2 25 4 15 5 ( − 22 )2 : + (3 − ) · ( − ) = 3 9 5 11 11

Conviene portare gli interi a frazioni con denominatore 1.

2 25 3 4 15 5 ( − 4)2 : +( − )·( − )= 3 9 1 5 11 11

Alessandro Bocconi

79

2 4 25 3 4 15 5 ( − )2 : +( − )·( − )= 3 1 9 1 5 11 11

(

2 − 12 2 25 15 − 4 10 ) : +( )·( )= 3 9 5 11

(−

10 2 25 11 10 ) : + · = 3 9 5 11

100 25 611 1 610 2 : + 1 · = 9 9 65 611 1

2 100 6 4 69 1 4 2 6 · + = + = =6 69 1 625 1 1 1 1 1 .

Svolgere la seguente espressione: 5 3 1 3 [(− )3 ]2 · ( − 2)5 : [(− )5 ]2 − (− )3 = 4 4 4 2 3 5−8 5 3 1 [− ]6 · ( ) : [(− )]10 − (− ) = 4 4 4 8 3 −3 3 1 [− ]6 · ( )5 : (− )10 + = 4 4 4 8 3 3 3 1 (− )6 · (− )5 : (− )10 + = 4 4 4 8 3 3 1 3 1 3 1 −6 + 1 −5 5 (− )11 : (− )10 + = (− )1 + = − + = = =− 4 4 8 4 8 4 8 8 8 8

3.11

Semplificazioni fra potenze

Supponiamo di trovarci di fronte ad un’espressione che porti al seguente risultato: 38 32 L’espressione `e da considerarsi terminata oppure possiamo effettuare qualche semplificazione? Per rispondere proviamo a riscrivere la precedente frazione in forma estesa: 38 3·3·3·3·3·3·3·3 = 2 3 3·3

Alessandro Bocconi

80

In questa frazione possiamo prendere un 3 del numeratore e un 3 del denominatore e semplificarli fra loro: 38 6 3 1 · 6 3 1 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 32 6 3 1· 6 3 1 Al numeratore sono rimasti 6 fattori uguali a 3 e al denominatore `e rimasto 1. Quindi: 38 36 = = 36 32 1

Possiamo quindi dare la seguente regola: Regola per la semplificazione di frazioni di potenze. In una frazione avente al numeratore e al denominatore potenze con la stessa base `e possibile adottare la seguente semplificazione: al posto della potenza con esponente minore si scrive 1, al posto della potenza con esponente maggiore si riscrive la stessa base e come esponente la differenza fra i 2 esponenti. Se i 2 esponenti sono uguali la frazione `e 1.

Esempi .

Semplificare la frazione: 84 87

La potenza con esponente minore `e 84 : al suo posto scriviamo quindi 1. La potenza con esponente maggiore `e 87 : al suo posto scriviamo una potenza con la stessa base (8) e come esponente la differenza degli esponenti (7 − 4 = 3). Quindi: 84 1 = 3 7 8 8 Come notazione, per evidenziare il ragionamento, si scrive: 84 86 4 1 = 3 = 7 6 7 8 83 8 .

.

Semplificare la frazione:

Semplificare la frazione:

56 513

26 2

56 56 6 1 1 = 7 = 13 613 5 57 5

5

26 26 6 25 = 1 = = 25 2 62 1 .

.

Semplificare la frazione:

Semplificare la frazione:

45 45

45 46 5 = =1 45 46 5

42 ·74 45 ·73

42 · 74 4·4·7·7·7·7 6 4 1· 6 4 1· 6 7 1· 6 7 1· 6 7 1 · 7 71 7 = = = = 3 5 3 1 1 1 1 1 3 4 ·7 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 7 · 7 · 7 6 4 · 6 4 · 4 · 4 · 4· 6 7 · 6 7 · 6 7 4 4 .

Semplificare la frazione:

45 73

Alessandro Bocconi

81

Le 2 frazioni hanno basi diverse e non si possono semplificare. .

Semplificare la frazione:

45 23

Anche in questo caso le 2 frazioni hanno basi diverse: a differenza di prima per`o ci accorgiamo che la base del numeratore (4) `e uguale alla base del denominatore (2) elevata alla seconda. Riscriviamo allora la frazione precedente mettendo al numeratore 22 al posto di 4: (22 )5 210 27 45 = = = = 27 23 23 23 1

3.12

Potenze con esponente negativo

Abbiamo introdotto le potenze nel capitolo dei numeri naturali, dando la definizione di potenza con esponente positivo. Successivamente abbiamo esteso il concetto anche a potenze con esponente 0. Proviamo in questo paragrafo ad estendere il concetto anche a potenze con esponente negativo.

La seconda propriet` a delle potenze viste nel primo capitolo afferma che il quoziente fra 2 potenze aventi la stessa base `e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Per essere valida tale propriet`a deve risultare che l’esponente del dividendo non deve essere minore dell’esponente del divisore.

Proviamo a togliere questa limitazione e consideriamo il seguente esempio: 56 : 59 Applicando la seconda propriet` a: 56 : 59 = 56−9 = 5−3 Che significato diamo a 5−3 ? Continuiamo a considerare il solito esempio e scriviamo la stessa divisione sotto forma di frazione: 56 : 59 =

56 5·5·5·5·5·5 = 9 5 5·5·5·5·5·5·5·5·5

Ciascun 5 che compare al numeratore pu`o essere semplificato con un 5 del denominatore: 56 : 59 =

65 ·65 ·65 ·65 ·65 ·65 1 1 1 = = 3 = ( )3 6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 · 6 5 ·5 · 5 · 5 5·5·5 5 5

Quindi 1 5−3 = ( )3 5

Sappiamo quindi come definire le potenze ad esponente negativo in modo che continuino a valere le propriet`a delle potenze: Definizione di potenza con esponente negativo. Una potenza con esponente negativo `e equivalente a una potenza che ha per base il reciproco della base e esponente uguale in valore assoluto all’esponente, ma col segno positivo.

Esempi .

Determinare ( 23 )−2

Alessandro Bocconi Il reciproco di

2 3

`e

3 2

82 quindi, dalla definizione di potenza con esponente negativo, otteniamo che: 3 9 2 ( )−2 = ( )2 = 3 2 4

.

Determinare 4−3

.

Determinare (− 25 )−2

.

.

1 1 4−3 = ( )3 = 4 64

Determinare (− 13 )−3

2 5 25 25 (− )−2 = (− )2 = + = 5 2 4 4 1 3 27 (− )−3 = (− )3 = − = −27 3 1 1

Risolvere la seguente espressione: 3 5 4 [( )−3 ]2 · ( − 2)−5 : (− )9 4 4 3

Il primo esponente negativo pu` o essere subito trasformato: 4 5 − 8 −5 4 [( )3 ]2 · ( ) : (− )9 3 4 3

4 3 4 ( )6 · (− )−5 : (− )9 3 4 3 Adesso anche il secondo:

4 4 4 ( )6 · (− )5 : (− )9 3 3 3 Per poter applicare le propriet` a delle potenze le basi devono essere uguali. Cambiamo quindi il segno alla prima potenza (lo possiamo fare perch´e ha esponente pari) 4 4 4 4 4 4 4 16 (− )6 · (− )5 : (− )9 = (− )11 : (− )9 = (− )2 = ( )2 = 3 3 3 3 3 3 3 9

3.13

La notatazione scientifica

Quando si hanno numeri estremamente grandi o estremamente piccoli, risulta molto efficace la notazione scientifica. Tale notazione consiste nel rappresentare un numero come la moltiplicazione di un numero compreso fra 1 e 10 e una potenza (positiva o negativa) del 10. Ricordiamo che: 10−1 = 0, 1;

10−2 = 0, 01;

10−3 = 0, 001;

10−4 = 0, 0001;

10−5 = 0, 00001;

...

quindi il numero 0, 000000001 (1 al nono posto dopo la virgola) si scrive in notazione scientifica: 1 · 10−9 .

Esempi .

Scrivere in notazione scientifica il numero 60000000 (6 con 7 zeri dopo).

Risulta che:

Alessandro Bocconi

83

60000000 = 6 · 10000000 = 6 · 107 .

Quindi 60000000 scritto in notazione scientifica `e 6 · 107 . .

Scrivere in notazione scientifica il numero 374000000.

Abbiamo detto che il numero che moltiplica la potenza del 10 deve essere compreso fra 1 e 10, quindi: 374000000 = 3, 74 · 1000000000 = 3, 74 · 108 (perch´e 8 sono le cifre che seguono il 3).

Quindi 37400000000 scritto in notazione scientifica `e 3, 74 · 108 . .

Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000003 (3 `e al settimo posto dopo la virgola).

Risulta che: 0, 0000003 = 3 · 0, 0000001 = 3 · 10−7 Quindi 0, 0000003 scritto in notazione scientifica `e 3 · 10−7 . . Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000258 (il primo numero diverso da zero dopo la virgola `e al quinto posto dopo la virgola).

Risulta che: 0, 0000258 = 2, 58 · 0, 00001 = 2, 58 · 10−5 Quindi 0, 0000258 scritto in notazione scientifica `e 2, 58 · 10−5 .

3.14

Le frazioni e i numeri razionali

Abbiamo intitolato il capitolo “L’insieme dei numeri razionali”, ma finora non abbiamo ancora ` il momento di chiarire il legame usato il termine razionale, usando invece l’insieme delle frazioni. E fra frazioni e numeri razionali. Per ora sappiamo che per ogni frazione, esistono infinite frazioni ad essa equivalenti. Di queste infinite frazioni equivalenti fra loro, una sola ` e ridotta ai minimi termini. Tramite quest’unica frazione ridotta ai minimi termini possiamo definire l’insieme dei numeri razionali: Definizione di insieme Q dei numeri razionali. L’insieme dei numeri razionali `e l’insieme delle frazioni fra numeri interi ridotte ai minimi termini. Ciascuna di queste frazioni ridotte ai minimi termini `e la rappresentante delle infinite frazioni ad essa equivalenti.

Quindi non dobbiamo pensare che una frazione non ridotta ai minimi termini non faccia parte dell’insieme dei razionali: quella frazione `e rappresentata nell’insieme dei razionali dalla frazione ad essa equivalente ma ridotta ai minimi termini. Vale quindi la seguente corrispondenza: Corrispondenza fra frazioni e numeri razionali. Ad ogni numero razionale (cio`e ad ogni frazione ridotta ai minimi termini) corrispondono le infinite frazioni equivalenti a quel numero razionale. Viceversa ad ogni frazione `e associato un numero razionale che si ottiene riducendo ai minimi termini la frazione stessa (figura 3.3).

Esempi u semplicemente 34 ). Quali sono le frazioni ad esso . Consideriamo il numero razionale + 43 (o pi` associate?

Alessandro Bocconi

84

3 4

3 4

.

.

30 40

9 12

. .

.

6 8

.

5 2

Insieme dei razionali

.

.

25 10 3 4

.

15 6

10 4

Insieme delle frazioni

Figura 3.3: La corrispondenza fra numeri razionali e frazioni La risposta `e: tutte le infinite frazioni equivalenti a 34 , cio`e: 6 8;

.

9 12 ;

15 20 ;

30 40 ;

etc. etc.

Consideriamo la frazione − 10 6 . A quale numero razionale corrisponde?

La risposta si ottiene semplificando la frazione: 5

610 5 − 10 6 = − 6 63 = − 3

quindi il numero razionale corrispondente `e − 53 .

3.15

Le proporzioni

Definizione di vettore. Un vettore `e un insieme ordinato di numeri.

Esempi . L’andamento del prezzo del pane negli ultimi 2 anni `e un vettore, infatti supponiamo che nel 2008 il prezzo fosse 4 euro al chilo, nel 2009, 6 euro e nel 2010, 7 euro. Il vettore “andamento del prezzo del pane negli ultimi 2 anni” ordinato in senso cronologico `e costituito dai 3 numeri: 4; 6; 7. . Mario ha 2 bambini di 8 e 11 anni. Il vettore “et`a dei figli di Mario” ordinato per et`a crescente `e costituito da 2 numeri: 8; 11. . Nel mese di Gennaio a Firenze `e piovuto per 11 giorni, a Febbraio per 15 giorni, a Marzo per 14 giorni e a Aprile per 7 giorni. Il vettore “giorni di pioggia nei primi 4 mesi dell’anno” ordinato in senso cronologico `e costituito dai 4 numeri:11; 15; 14; 7.

Alessandro Bocconi

85

Definizione di vettori direttamente proporzionali. Due vettori costituiti dallo stesso numero di valori sono direttamente proporzionali se il rapporto fra i loro valori ordinati `e costante.

Esempi . Si consideri il vettore A costituito dai numeri 15; 18; 48 e il vettore B costituito dai numeri 5; 6; 16. Questi 2 vettori sono direttamente proporzionali? Usiamo la seguente tabella: A 15 18 48

B 5 6 16

Dalla definizione bisogna determinare il rapporto fra gli elementi ordinati di A e B e vedere se `e costante. Il rapporto fra gli elementi ordinati vuol dire semplicemente dividere il primo elemento di A con il primo di B, il secondo elemento di A con il secondo di B e il terzo di A con il terzo di B. Se tali divisioni danno lo stesso risultato i due vettori sono direttamente proporzionali. Dal momento che: 15 : 5 = 3;

18 : 6 = 3;

48 : 16 = 3

A e B sono direttamente proporzionali. .

Verificare se i vettori A = 12; 9 e B = 6; 3 sono direttamente proporzionali: A 12 9

B 6 3

12 : 6 = 2;

9:3=3

quindi A e B non sono direttamente proporzionali.

(Osservazione. Come ben sappiamo non sempre il rapporto fra numeri interi `e un numero intero ma una frazione. In questo caso, per verificare se due vettori sono direttamente proporzionali, basta verificare se le frazioni sono equivalenti). .

Verificare se i vettori A = 8; 18 e B = 12; 27 sono direttamente proporzionali: A 8 18

B 12 27

8 : 12 =

8 12 ;

18 : 27 =

Verifichiamo se

8 12

e

18 27

18 27

sono equivalenti: 8 · 27 = 216

12 · 18 = 216

quindi le due frazioni sono equivalenti e A e B sono direttamente proporzionali.

Possiamo adesso dare la seguente: Definizione di proporzione. Si dice proporzione l’uguaglianza fra 2 frazioni equivalenti.

Esempio

Alessandro Bocconi . Abbiamo appena verificato che l’uguaglianza:

86 8 12

e

18 27

sono equivalenti. Quindi, in base alla definizione, 18 8 = 12 27

`e una proporzione.

Se adesso riscriviamo la precedente uguaglianza sostituendo alla linea di frazione la sua operazione equivalente cio`e il diviso, otteniamo: 8 : 12 = 18 : 27 che ` e la forma in cui si scrive una proporzione. L’espressione precedente si legge: “8 sta a 12 come 18 sta a 27”.

Propriet` a fondamentale delle proporzioni. 4 numeri: a; b; c; d, formano una proporzione se e soltanto se vale la seguente uguaglianza: a·d=b·c in tal caso si scrive: a:b=c:d

Prima di passare agli esempi, diamo la seguente terminologia. Nella proporzione a : b = c : d si dice che: • a e d sono gli estremi (infatti stanno alle “estremit`a”).

• b e c sono i medi (infatti stanno “nel mezzo” accanto all’uguale) • a e b sono i primi termini (stanno prima dell’uguale) • c e d sono i secondi termini (stanno dopo l’uguale) In base a questa terminologia risulta che: • a `e il primo estremo • b `e il primo medio • c `e il secondo medio • d `e il secondo estremo Esempi Verificare se i numeri: 14; 21; 6; 9, formano una proporzione e, in caso affermativo individuare il secondo medio e il primo estremo.

Usiamo la propriet` a fondamentale delle proporzioni: 14 · 9 = 126;

21 · 6 = 126

quindi i 4 numeri formano una proporzione e si scrive: 14 : 21 = 6 : 9 Il secondo medio `e 6 e il primo estremo `e 14.

Alessandro Bocconi

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Osservazione. L’ordine in cui vengono dati i 4 numeri `e fondamentale. Questo significa che mentre 14; 21; 6; 9 dati in questo ordine formano una proporzione, non `e detto che cambiando l’ordine questi numeri formino ancora una proporzione: ad esempio 6; 21; 14; 9, non formano una proporzione (verificarlo per esercizio).

Nonostante quanto appena affermato alcuni “scambi” fra termini di una proporzione sono leciti.

In altre parole se 4 numeri formano una proporzione, si ottiene ancora una proporzione: • Scambiando fra loro i medi.

• Scambiando fra loro gli estremi • Scambiando fra loro sia i primi termini, sia i secondi termini.

Esempio Consideriamo la seguente proporzione: 3 : 5 = 6 : 10 Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro i medi: 3 : 6 = 5 : 10 (verificarlo) Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro gli estremi: 10 : 5 = 6 : 3 (verificarlo)

Alessandro Bocconi

88

Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini: 5 : 3 = 10 : 6 (verificarlo)

Proporzioni con l’incognita. Le proporzioni sono principalmente usate nel seguente problema che ha moltissime applicazioni pratiche: dati 3 numeri, determinare il quarto proporzionale.

Affrontiamolo con vari esempi.

Esempi Determinare x affinch´e valga la seguente proporzione: 8 : x = 12 : 9 Per soddisfare la propriet` a fondamentale delle proporzioni, x deve essere un numero che, moltiplicato per 12, ha come risultato il prodotto fra 8 e 9 cio`e 72. Ma quel numero che moltiplicato per 12 ha come risultato 72 si ottiene effettuando 72 : 12 = 6. Quindi 6 `e il numero cercato.

Questo esempio ci suggerisce la seguente: Regola per la determinazione del quarto proporzionale. Per determinare il valore incognito in una proporzione si procede: • Se il valore incognito `e un medio, per determinarlo si effettua il prodotto fra gli estremi e si divide per l’altro medio.

• Se il valore incognito `e un estremo, per determinarlo si effettua il prodotto fra i medi e si divide per l’altro estremo.

Esempi .

Determinare il valore di x nelle seguenti proporzioni: 1. 20 : x = 15 : 3 2. 6 : 5 = 18 : x 3. x : 3 = 9 : 6 1. in questa proporzione x `e il primo medio: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare il prodotto degli estremi fratto l’altro medio. In frazioni: x=

620 4 · 3 4·3 4· 6 3 1 4·1 20 · 3 = = =4 = = 3 1 15 615 3 63 1

quindi x = 4.

2. in questa proporzione x `e il secondo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare il prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni: x= quindi x = 15.

5 · 18 5· 618 3 5·3 = = = 15 1 6 66 1

Alessandro Bocconi

89

3. in questa proporzione x `e il primo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuare il prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni: x=

3 · 9 63 1 · 9 1·9 9 = = = 2 6 66 2 2

quindi x = 92 .

Problemi risolvibili con le proporzioni. Le proporzioni rivestono grande utilit`a nella risoluzione di vari quesiti. Si considerino i seguenti esempi: . Una ricetta di una torta per 10 persone prevede l’utilizzo di 6 uova. Se volessimo preparare la torta per 15 persone, quante uova dobbiamo utilizzare? ` utile L’incognita del problema `e il numero di uova per 15 persone. Chiamiamo x tale numero. E costruire la seguente tabella: uova 6 x

persone 10 15

Si osservi che 6 e 10 sono sulla stessa riga perch`e 6 uova sono per 10 persone, e anche x e 15 sono sulla stessa riga perch`e x uova sono per 15 persone.

Dal momento che il vettore “uova” e il vettore “persone” devono essere direttamente proporzionali deve valere che: 6 : 10 = x : 15 che `e una proporzione che sappiamo risolvere: x=

6 · 15 6· 615 3 6 6 3 · 3 3·3 = = = =9 2 1 10 610 62 1

quindi il numero di uova nella ricetta per 15 persone `e 9. . In 2 litri d’acqua sono presenti 46 milligrammi di calcio. Quanti mg di calcio ci sono in 5 litri di acqua?

L’incognita del problema sono i mg di calcio in 5 litri di acqua. Quindi: acqua (l) 2 5

calcio (mg) 46 x

Dal momento che il rapporto acqua/calcio `e costante, risulta: 2 : 46 = 5 : x Da cui ricaviamo: x=

46 · 5 646 23 · 5 23 · 5 = = = 115 1 2 62 1

quindi in 5 litri d’acqua ci sono 115 mg di calcio.

Alessandro Bocconi

3.16

90

Le percentuali

Si consideri il seguente esempio: un prodotto A viene scontato di 20 euro, e un prodotto B viene scontato di 30 euro. Quale dei due prodotti `e maggiormente scontato? Rispondere B perch´e 30 euro sono pi` u di 20 non `e una risposta utile n´e sotto molti aspetti corretta. Supponiamo infatti che il prodotto A sia un golf del valore di 80 euro e B un motorino del valore commerciale di 3000 euro. Ottenere uno sconto di 20 euro su un articolo del valore di 80 euro `e un ottimo affare, mentre non `e certo un granch´e ottenere uno sconto di 30 euro su un valore commerciale di 3000.

La domanda era quindi mal posta perch´e non ci diceva il prezzo degli articoli ma solo il loro sconto.

Tramite le percentuali troviamo uno strumento per valutare i 2 sconti: infatti le percentuali servono proprio per avere dei dati confrontabili.

Definizione di percentuale. Data una frazione (cio`e un rapporto fra 2 numeri) la percentuale `e la frazione ad essa equivalente avente 100 al denominatore (cio`e un rapporto fra 2 numeri in cui il secondo `e 100).

La definizione ci d` a lo strumento per determinare le percentuali. Si consideri, dall’esempio precedente, lo sconto di 20 euro sul golf di 80. Consideriamo allora la frazione 20 e 80 : la percentuale ` una frazione equivalente a questa col denominatore 100. Dobbiamo determinare il numeratore che indichiamo con la x. Deve allora valere: 20 x = 80 100 che con il linguaggio delle proporzioni diventa: 20 : 80 = x : 100 da cui x=

20 · 100 620 1 · 100 1· 100 6 25 = = = 25 4 80 680 64 1

Quindi lo sconto in percentuale `e di 25 su 100 che si indica con 25%.

Consideriamo adesso l’altro sconto, quello di 30 euro sul motorino che vale 3000 euro, e calcoliamo lo sconto in percentuale. Deve valere che: x 30 = 3000 100 che nel linguaggio delle proporzioni diventa: 30 : 3000 = x : 100 da cui: x=

30 · 100 30· 100 6 1 630 1 · 1 = = =1 30 3000 3000 6 630 1

e quindi lo sconto `e “solo” dell’ 1% Esempi . Il partito “Viva la Costituzione” ha ottenuto 810 voti in un paese di 4500 persone. Che percentuale di voti ha avuto?

Dobbiamo trovare una frazione equivalente a

810 4500

avente denominatore 100. Quindi:

810 x = 4500 100

Alessandro Bocconi

91

in proporzione: 810 : 4500 = x : 100 da cui: x=

810 · 100 810· 100 6 1 810 6 162 · 1 162 6 54 654 18 = = = = = 18 45 4500 4500 6 645 9 69 3 63 1

quindi la percentuale di voti ottenuta dal partito `e il 18%. . Un giubbotto ha il prezzo di 84 euro ma durante i saldi viene scontato del 25%. Quanto costa il giubbotto?

Conosciamo lo sconto in percentuale, e dobbiamo trovare a quanti euro corrisponde. Quindi l’incognita x questa volta `e lo sconto in euro. Quindi: x 25 = 84 100 in proporzione: x : 84 = 25 : 100 da cui: x=

684 21 · 1 84· 625 1 = = 21 100 6 4 64 1

Quindi lo sconto `e di 21 euro. Per sapere quanto costa il giubbotto basta fare la differenza fra il prezzo non scontato e lo sconto. Quindi: Prezzo del giubbotto = 84 − 21 = 63 euro. . Un televisore nel 2009 costa 280 e nel 2010 costa 294 euro. Che aumento percentuale ha avuto il televisore rispetto al prezzo del 2009?

Bisogna innanzitutto vedere l’aumento che ha avuto in euro: aumento in euro = prezzo del 2010−prezzo del 2009= 294 − 280 = 14 Quindi l’aumento in euro `e pari a 14. L’incognita x `e l’aumento in percentuale, deve allora valere: 14 x = 280 100 in proporzione: 14 : 280 = x : 100 Da cui x=

14· 100 6 10 614 2 · 10 6 2 1 · 10 1· 6 1 05 = = = =5 280 6 28 628 4 64 2 62 1

Quindi l’aumento in percentuale `e del 5%. . Un tavolo del valore di 96 euro viene venduto scontato a 84 euro. Che sconto percentuale `e stato applicato al tavolo?

Bisogna innanzitutto vedere lo sconto in euro: sconto in euro = 96 − 84 = 12 Quindi lo sconto in euro `e pari a 12. L’incognita x `e lo sconto in percentuale, deve allora valere: 12 x = 96 100 in proporzione: 12 : 96 = x : 100

Alessandro Bocconi

92

Da cui x= Quindi lo sconto in percentuale `e del decimale, cio`e 12, 5%).

612 1 ¡ 25 25 12¡ 100 6 25 = = 24 2 696 624 2 25 2 %

(nel linguaggio quotidiano si preferisce usare la forma

3.17

Le frazioni e i numeri decimali

Quando eseguiamo una divisione con la calcolatrice pu`o capitare che il risultato sia un numero intero, oppure che sia un numero decimale con alcune cifre dopo la virgola, oppure che le cifre decimali riempiano tuto il display della calcolatrice: bisogna sapere che, anche se il display fosse molto pi` u grande e contenesse un numero elevatissimo di cifre, le cifre decimali riempirebbero tutto lo spazio anche del display pi` u grande. Il motivo `e che ci sono numeri decimali che hanno infinite cifre dopo la virgola.

Risulta pertanto utile la seguente classificazione: Classificazione dei numeri decimali. Possiamo dividere i numeri decimali in 2 categorie: 1. I numeri decimali limitati (quelli che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola) 2. I numeri decimali illimitati (quelli che hanno infinite cifre dopo la virgola) Osservazione sulla rappresentazione dei numeri decimali illimitati. Ovviamente `e impossibile rappresentare le infinite cifre decimali dopo la virgola di un numero decimale illimitato. In questo caso, dopo alcune cifre, metteremo dei puntini di sospensione che stanno a significare che, dopo le cifre indicate, ce ne sono infinite altre.

A loro volta i numeri decimali illimitati si dividono in 3 categorie a seconda che: • Dalla prima cifra decimale, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice che il numero `e un numero decimale illimitato periodico puro. • Dopo un certo numero di cifre decimali, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice che il numero `e un numero decimale illimitato periodico misto. • Non accade mai che un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice che il numero `e un numero decimale illimitato non periodico.

Esempi . Il numero 14, 3754 `e un numero decimale limitato (perch`e ha un numero finito di cifre dopo la virgola). . Il numero 8, 373737373737..... `e un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significare che ci sono altre infinite cifre), periodico puro perch`e le due cifre 3 e 7 si ripetono infinitamente dalla prima cifra decimale. . Il numero 0, 2395555555555.... `e un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significare che ci sono altre infinite cifre), periodico misto perch`e il gruppo di cifre che si ripete infinitamente (in questo caso solo il 5) `e preceduto dalle cifre decimali 2, 3 e 9.

Alessandro Bocconi

93

. Il numero 2, 356749682164873.... `e un numero decimale illimitato non periodico perch´e nessun gruppo di cifre si ripete infinitamente.

Definizione di periodo. In un numero decimale illimitato periodico (puro o misto) si definisce periodo il gruppo di cifre che si ripete infinitamente. In un numero illimitato periodico il periodo `e evidenziato da una linea orizzontale sopra di esso.

Esempi .

Il numero 8, 373737373737..... si scrive 8, 37.

.

Il numero 0, 2395555555555.... si scrive 0, 2395.

Definizione di antiperiodo. Le cifre decimali che precedono il periodo costituiscono l’antiperiodo.

Affrontiamo adesso le regole per trasformare i numeri decimali in frazioni. Come vedremo le regole sono differenti a seconda del tipo di numero decimale. La dimostrazione di tali regole verr`a data alla fine del paragrafo.

Trasformazione di un numero decimale limitato in una frazione ad esso equivalente.

Un numero decimale limitato `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e il numero senza la virgola, e il denominatore `e un numero costituito da 1, seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola.

Esempi .

Determinare la frazione equivalente a 7, 583.

7, 583 `e un numero decimale limitato con 3 cifre decimali. Per la regola ora vista `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e il numero senza la virgola, e quindi 7583 e al denominatore un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questo caso 3, e quindi 1000. Quindi: 7, 853 =

7853 1000

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza). .

Determinare la frazione equivalente a 0, 16.

0, 16 `e un numero decimale limitato con 2 cifre decimali. Per la regola ora vista `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e il numero senza la virgola, e quindi 16 (ovviamente 016 non si scrive), e al denominatore un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questo caso 2, e quindi 100. Quindi: 616 4 4 0, 16 = = 25 100 6 25 (si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).

Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico puro in una frazione ad esso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico puro `e equivalente ad una frazione

Alessandro Bocconi

94

il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola e la parte intera del numero, e il denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.

Esempi .

Determinare la frazione equivalente a 1, 5858585858.......

1, 5858585858...... `e un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 1, 58. Il numero scritto senza virgola risulta essere 158 e la sua parte intera (cio`e il numero costituito dalle cifre prima della virgola) `e 1. Per la regola ora vista questo numero decimale `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 158) e la parte intera del numero (in questo caso 1); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 2 cifre e quindi 99). Quindi: 1, 5858585858...... = 1, 58 =

158 − 1 157 = 99 99

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza). .

Determinare la frazione equivalente a 372, 4444444444444.......

372, 4444444444444...... `e un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 372, 4. Il numero scritto senza virgola risulta essere 3724 e la sua parte intera `e 372. Per la regola ora vista questo numero decimale `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 3724) e la parte intera del numero (in questo caso 372); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 1 cifra e quindi 9). Quindi: 372, 44444444444...... = 372, 4 =

3724 − 372 3352 = 9 9

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).

Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico misto in una frazione ad esso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico misto `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo, e il denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Esempi .

Determinare la frazione equivalente a 4, 35858585858.......

4, 35858585858...... `e un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 4, 358. Il numero scritto senza virgola risulta essere 4358 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo `e 43. Per la regola ora vista questo numero decimale `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 4358) e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo (in questo caso 43); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 2) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (in questo caso 1), e quindi 990. Quindi: 4, 35858585858...... = 4, 358 =

863 4358 − 43 4315 6 863 = = 198 990 990 6 198

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).

Alessandro Bocconi .

95

Determinare la frazione equivalente a 0, 02777777777.......

0, 02777777777...... `e un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 0, 027. Il numero scritto senza virgola risulta essere 27 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo `e 2.

Per la regola ora vista questo numero decimale `e equivalente ad una frazione il cui numeratore `e la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 27) e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo (in questo caso 2); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 1) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (in questo caso 2), e quindi 900. Quindi: 0, 02777777777...... = 0, 027 =

27 − 2 1 625 1 = = 36 900 900 6 36

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).

Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale limitato.

Prendiamo ad esempio il numero decimale limitato 2, 153. Per la regola gi`a vista risulta che: 2, 153 =

2153 1000

Mostriamo come tale frazione deriva dal seguente ragionamento.

Sappiamo che moltiplicare un numero decimale per 10, equivale a spostare la virgola di un posto a destra; moltiplicare per 100 equivale a spostare la virgola di due posti a destra, moltiplicare per 1000 di 3 posti a destra e cos`ı via. Dal momento che nel nostro esempio abbiamo un numero con 3 cifre decimali, risulta che: 2, 153 · 1000 = 2153 e osserviamo che il risultato non `e un numero decimale ma intero. Torniamo adesso al problema di determinare una frazione equivalente a 2, 153. Innanzitutto vale la seguente uguaglianza: 2, 153 =

2, 153 1

(perch´e un numero `e ovviamente uguale al numero stesso diviso per 1).

Il termine a destra non `e una vera frazione perch`e sappiamo che sia il numeratore che il denominatore devono essere interi. Nel paragrafo 3.3 abbiamo visto che per trovare una frazione equivalente ad una assegnata basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero. Ma abbiamo appena visto che per trasformare 2, 153 in un intero bisogna moltiplicarlo per 1000, quindi se moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1000 otteniamo una frazione fra numeri interi equivalente a quella ora vista. Cio`e: 2, 153 · 1000 2153 2, 153 = = 1 1 · 1000 1000 che prova la regola enunciata in precedenza.

Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale illimitato periodico puro(facoltativa).

Consideriamo il numero 1, 4444444444444..... Possiamo scriverlo come 1, 4 e la frazione ad esso equivalente (trovata tramite la regola vista in precedenza) `e: 13 9 .

Alessandro Bocconi

96

Mostriamo adesso che a tale frazione si pu`o arrivare tramite il seguente ragionamento: supponiamo che il biglietto di un cinema costi 1, 44444444444..... euro. Se dobbiamo comprare 10 biglietti ci vogliono 10 · 1, 44444444444..... euro, cio`e 14, 44444444444..... euro. Se adesso effettuiamo la differenza fra il costo di 10 biglietti e il costo di un biglietto otteniamo il costo di 9 biglietti. Quindi il costo di 9 biglietti `e dato da: costo di 9 biglietti = costo di 10 biglietti−costo di un biglietto = 14, 44444444444..... − 1, 44444444444..... = 13.

Quindi il costo di 9 biglietti `e 13 euro. Per arrivare al costo di ciascun biglietto dobbiamo allora dividere per 9, ottenendo: costo di un biglietto =

13 9 .

Ma il costo di un biglietto `e 1, 4 euro per cui deve risultare che: 1, 4 =

13 9

in accordo con la regola vista.

Trasformare i numeri decimali in frazioni pu`o risultare estremamente utile come vedremo nei seguenti esempi: Esempi .

Svolgere il seguente prodotto: 0, 02777777777.... · 3, 27272727272727....

scriviamolo con la notazione periodica: 0, 027 · 3, 27 Visto cos`ı il prodotto non si presenta affatto semplice. Trasformiamo i 2 fattori in frazioni: 0, 027 =

1 ; 36

3, 27 =

324 6 36 36 = 11 699 11

quindi il precedente prodotto diventa: 1 636 1 1 · = 1 636 11 11 .

Svolgere la seguente somma: 0, 3636363636.... + 1, 6363636363....

scriviamola con la notazione periodica: 0, 36 + 1, 63 Trasformiamo i 2 addendi in frazioni: 0, 36 =

636 4 4 = ; 11 699 11

1, 63 =

162 6 18 18 = 11 699 11

quindi la precedente somma diventa: 4 18 4 + 18 6 2 22 + = = =2 11 11 11 6 1 11

Alessandro Bocconi

3.18

97

I numeri reali

Osserviamo che nel precedente paragrafo non `e stata data una regola per determinare una frazione equivalente ad un numero decimale illimitato non periodico. La ragione `e molto semplice: non esiste una frazione equivalente ad un numero decimale illimitato non periodico.

Nel paragrafo 3.14 abbiamo definito l’insieme dei numeri razionali come l’insieme delle frazioni ridotte ai minimi termini. Ne deduciamo quindi che: • Un numero decimale limitato, essendo equivalente ad una frazione ridotta ai minimi termini (vedi precedente paragrafo) `e un numero razionale.

• Un numero decimale illimitato periodico, sia puro che misto, essendo equivalente ad una frazione ridotta ai minimi termini (vedi precedente paragrafo) `e un numero razionale.

• Un numero decimale illimitato non periodico, non essendo equivalente a nessuna frazione, non `e un numero razionale.

Possiamo quindi dare la seguente definizione: Definizione di insieme dei numeri irrazionali. L’insieme dei numeri decimali illimitati non periodici costituisce l’insieme dei numeri irrazionali.

Possiamo adesso definire: Definizione di insieme dei numeri reali. L’insieme dei razionali, unito all’insieme degli irrazionali, costituisce l’insieme dei numeri reali (che si indica con R).

(nel prossimo capitolo capiremo meglio il significato della parola “unito”).

Per i numeri reali vale la seguente importantissima propriet`a: Propriet` a di continuit` a dei numeri reali. Se disegnamo una retta, `e possibile stabilire la seguente corrispondenza fra tale retta e i numeri reali: • ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale; • ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta ; per questo motivo, essendo la retta continua (cio`e priva di “buchi”), questa propriet`a si dice di continuit`a dei numeri reali.

Osservazione. La propriet` a appena vista per i numeri reali non vale ad esempio per i numeri naturali: si pensi infatti alla rappresentazione di figura 1.1: ad ogni numero naturale corrisponde un punto su una retta, ma non `e vero che ad ogni punto sulla retta corrisponde un numero naturale (si prenda ad esempio un punto fra 1 e 2 a cui non corrisponde nessun numero naturale).

Alessandro Bocconi

3.19

98

Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale

Nell’effettuare delle misurazioni inevitabilmente si commettono degli errori. Risulta estremamente utile darsi dei parametri per capire l’entit`a dell’errore commesso. Questi parametri sono l’errore assoluto, l’errore relativo e l’errore percentuale.

Definizione di errore assoluto. L’errore assoluto `e la differenza fra la misura esatta e la misura realizzata (o osservata). Tale differenza va presa sempre col segno positivo.

Esempio . Un ingegnere deve realizzare una strada di 200 km. Alla fine la strada risulta lunga 202 km.

Che errore assoluto ha commesso l’ingegnere? misura esatta = 200 km; misura realizzata = 202 km. differenza = misura esatta − misura realizzata = 200 − 202 = −2 km errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 km

L’errore assoluto risulta spesso un indicatore poco utile. Per rendersene conto si consideri il seguente: Esempio . Ad un artigiano viene commissionato un tavolo di 3 metri di lunghezza. Al termine del lavoro il tavolo `e lungo 2 metri. Che errore assoluto ha commesso l’artigiano? misura esatta = 3 m; misura realizzata = 2 m. differenza = misura esatta − misura realizzata = 3 − 2 = 1 m errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 1 m

Confrontando i 2 esempi sembra che l’ingegnere abbia commesso un errore molto pi` u grande in quanto ha sbagliato di 2 km mentre l’artigiano di un “solo” metro. L’errore relativo evidenzier` a che questo non `e vero.

Definizione di errore relativo. L’errore relativo `e il rapporto fra l’errore assoluto e la misura esatta. L’errore relativo non dipende dall’unit`a di misura

Calcoliamoci allora l’errore relativo dell’ingegnere e quello dell’artigiano: 6 21 assoluto 1 errore relativo ingegnere = errore = 100 6 100 misura esatta = 200 assoluto 1 errore relativo artigiano = errore misura esatta = 2 Grazie all’errore relativo vediamo che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggiore dell’ingegnere.

Alessandro Bocconi

99

Simile all’errore relativo `e l’errore percentuale: Definizione di errore percentuale. L’errore percentuale `e uguale all’errore relativo moltiplicato per 100. Anche L’errore percentuale non dipende dall’unit`a di misura.

Continuiamo con l’esempio precedente e calcoliamoci gli errori percentuali dell’artigiano e dell’ingegnere: errore percentuale ingegnere = errore relativo ·100 = errore percentuale artigiano = errore relativo ·100 =

1 100 1 2

· 100 = 1%

· 100 = 50%

Che conferma che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggiore dell’ingegnere.

Esempi . Un microprocessore misura 21, 37 millimetri di lunghezza. Se approssimiamo con 21 millimetri, che errore assoluto, relativo e percentuale commettiamo? misura esatta = 21, 37 mm; misura approssimata = 21 mm. differenza = misura esatta − misura approssimata = 21, 37 − 21 = 0, 37 mm errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 0, 37 mm 0,37 assoluto errore relativo = errore misura esatta = 21,37 = 0, 0173... errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 0173 · 100 = 1, 73%

. Sono stati assegnati 12 esercizi di matematica e Mario ne ha fatti solo 10. Che errore assoluto, relativo e percentuale ha commesso? misura esatta = 12 esercizi; misura realizzata = 10 esercizi. differenza = misura esatta − misura realizzata = 12 − 10 = 2 esercizi errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 esercizi assoluto errore relativo = errore misura esatta =

2 12

=

1 6

= 0, 16

errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 16 · 100 = 16, 6%

Leggermente diverso il caso in cui bisogna misurare un oggetto o un altro fenomeno (e quindi non abbiamo una misura esatta con la quale confrontarsi). In questi casi, soprattutto se vogliamo misurare con una certa precisione conviene effettuare pi` u misurazioni. L’errore assoluto `e qui definito come: errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta. mentre per l’errore relativo si calcola la media aritmetica delle misure effettuate (somma di tutte le misure fratto il numero delle misure effettuate) e si calcola: errore assoluto media delle misure L’errore percentuale si ottiene, come in precedenza, moltiplicando per 100 l’errore relativo. errore relativo =

Chiariamo con il seguente

Alessandro Bocconi

100

Esempio . Per misurare la larghezza di un televisore sono state effettuate 3 misurazioni: la prima ha dato come risultato 53,1 cm, la seconda 50 cm la terza 50,4 cm. Determinare errore assoluto, relativo e percentuale. errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta = 53, 1 − 50 = 3, 1 cm la media aritmetica delle misure si ottiene sommando fra loro tutte le misure diviso il numero delle misure effettuate (in questo caso 3). Quindi: 53,1+50+50,4 3

media aritmetica= errore relativo =

153,5 3

=

= 51, 16

errore assoluto = media delle misure

3,1 51,16

= 0, 06

errore percentuale = errore relativo ∗ 100 = 0, 06 ∗ 100 = 6%.

3.20

Esercizi

Paragrafo 3.1 1. Esegui le seguenti moltiplicazioni: 9 5

1 7

· 5;

13 2

· 7;

0 3

· 2;

9 1

· 3;

·1

Paragrafo 3.2 2. Determina i

3 5

dei seguenti numeri: 20; 5; 35; 40 e 50.

3. Determina i

9 4

dei seguenti numeri: 20; 8; 36; 40 e 4.

4. Determina i

3 3

dei seguenti numeri: 21; 3; 33; 42 e 51.

Paragrafo 3.3 Determinare se sono fra loro equivalenti le seguenti frazioni: 5.

12 9

e 86 ;

1 9

e

3 27 ;

10 6

6.

10 2

e 5;

4 5

e

12 14 ;

0 3

e

e

5 2

0 6

7. Determina 5 frazioni equivalenti a 64 .

8. Determina 5 frazioni equivalenti a 03 .

Delle seguenti frazioni, determina, quando possibile, una frazione equivalente avente il denominatore indicato nella parentesi 9.

3 10

8 6

(30);

10.

3 2

11.

15 3

(6);

3 2

(2);

12.

3 1

(30);

6 8

(12);

(5);

6 7

7 5

(24); (7);

3 4

(10).

(40).

3 8

(12).

3 5

(45).

Paragrafo 3.4 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:

Alessandro Bocconi

101

13.

8 14 ;

5 20 ;

16 8 ;

5 3

14.

4 70 ;

12 4 ;

10 15 ;

7 7

15.

1 100 ;

2 4;

9 15 ;

17 34

Paragrafo 3.5 Esegui le seguenti somme e differenze di frazioni: 16.

8 5

+ 57 ;

8 5

− 57 ;

3 4

17.

8 5

+ 47 ;

6 4

− 21 ;

5 16

18.

11 18

+

5 12 ;

19.

7 25

+

5 100 ;

3 2

− 4;

3 4

11 4

+

+

3 12

2+

3 5

− 52 ;

4 16

3 12

−

Paragrafo 3.6 Trasformare le seguenti frazioni fra numeri interi in frazioni equivalenti fra numeri naturali, precedeute dal segno.

20.

−5 −11 ;

+2 −7 ;

−22 +7

+4 +8 ;

21. − +5 −6 ;

−5 + −11 ;

− −3 +8 ;

− −22 −7

−5 22. − −10 ;

5 + −7 ;

− −3 8 ;

−2 + −17

Paragrafo 3.7 Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni: 23.

8 5

· 57 ;

3 5

· (− 57 );

7 24. − 27 · (− 10 );

25. − 11 5 · 10; 26.

21 5

8 2 3 2

· (− 87 );

20 − 10 ·

7 · (− 16 );

6 · (− 33 );

13 2

11 4

1 − 10 · 11

− 27 ·

· 10;

11 12

−3 ·

20 21

Paragrafo 3.8 Determina il reciproco delle seguenti frazioni: 27.

8 5;

7 5;

3 8;

− 17 1 ;

28. 8;

− 78 ; 1 8;

20 − 11 ;

− 83 ;

1 4

−20;

4 4

Esegui le seguenti divisioni di frazioni: 29.

8 5

: 57 ;

3 5

: (− 76 );

30. − 27 : (− 14 21 ); 5 31. − 11 : 10;

32.

21 5

: (− 78 );

8 2

33 − 10 :

: (− 16 5 );

6 : (−8); 15 2

: 10;

11 4

−3 :

1 − 10 : 11

− 27 :

3 10

11 12

Alessandro Bocconi

102

Paragrafo 3.9 Calcola le seguenti potenze: ( 14 )3 ;

33. ( 32 )2 ;

(− 35 )2 ;

(− 21 )5 ;

( 15 )3

Esegui le seguenti operazioni fra potenze di frazioni 34. ( 23 )3 · ( 32 )5 ;

( 14 )6 : ( 14 )5 ;

35. (− 23 )5 · (− 23 )5 ;

[( 23 )3 ]4 ;

(− 14 )6 : ( 41 )5 ;

( 43 )3 · ( 38 )3 ;

[(− 32 )3 ]4 ;

3 4 ( 72 )4 : ( 14 )

(− 43 )3 · ( 38 )3 ;

3 4 (− 27 )4 : (− 14 )

Paragrafo 3.10 Risolvi le seguenti espressioni 36. 6 − [(5 + 37.

1 3

−

38. [ 43 ·

1 12 15 12

1 5

3 4

−

+ ( 18 −

− 4) − ( 75 − 7 +

23 9 )

+ ( 23 − 15 ) · 23 ] + ( 53 − 5 −

11 7 )

40. {[( 43 −

3 5

5 3

−

42.

2 5

+ {[( 34 − 14 ) · (− 15 13 + 4) −

1 2

+ (1 + 14 ) ·

− ( 32 )2 −

2 24

45. 1 + ( 74 )3 : [( 43 − 25 ) ·

[ 29 ]

12 5 ]

1 4

−

5 3

+ [( 23 :

·

1 3

+ ( 19 : 34 ) +

15 6 ]

:

7 4

15 8 ]

−

4 3 15 )

− 23 } ·

11 27

4 9

−

3 5

5 9

: ( 52 )2 ] :

1 16

[ 43 ]

+3

[ 15 ] [1]

3 7

[3]

[4]

Paragrafo 3.11 Semplifica le seguenti frazioni di potenze 46.

211 ; 25

72 ; 75

47.

311 ; 97

24 ·72 ; 2·79

(−3)4 ; 35

39 ; 39 39 ; 57

52 ·47 54 ·42

22 ·34 ; 65

55 253

Paragrafo 3.12 Calcola le seguenti potenze 48. ( 23 )−2 ;

( 14 )−3 ;

(− 35 )−2 ;

(− 21 )−5 ;

5−3

Risolvi le seguenti espressioni 49. {[( 34 )2 ]−1 · ( 29 )−2 } : ( 61 )−3

[4]

50. {[( 23 )2 : ( 32 )3 ]−2 · ( 94 )2 } : ( 23 )−1

8 [ 27 ]

51. {[( 14 )3 · ( 23 )3 ]−1 · ( 16 )4 }−1 : [( 45 )3 · ( 25 )3 ]−1

[ 34 ]

Paragrafo 3.13 Scrivere in notazione scientifica i seguenti numeri: 52. 300000000;

[1]

[−2]

43. [(2 + 75 ) : (1 + 89 )] · ( 54 ) − [( 23 )3 : ( 23 )] − 44. −1 +

3 − ( 20 + 41 )

4 9

31 30 )

− 23 ] : 2} ·

41.

2 3

6 5

[−1]

: ( 72 − 21 ) ·

− [ 12 +

− 12 )] +

− [ 38 + ( 31 − 52 ) − 16 ] +

39. ( 25 − 61 ) · ( 57 − 5)

3 2

3 4

0, 00008;

9000

[− 10 9 ]

Alessandro Bocconi 53. 830000;

103

0, 0027;

54. 434100000000; 55. 7650000;

0, 0000000019

0, 00002843;

0, 0000111;

98100

0, 0334

Paragrafo 3.14 56. Elenca 5 frazioni associate al numero razionale − 53 .

57. Quale numero razionale corrisponde alla frazione

20 15 ?

Paragrafo 3.15 58. Determina se i seguenti vettori sono direttamente proporzionali fra loro • A = 5; 15; 20 e B = 3; 9; 12.

• A = 12; 9 e B = 4; 3.

• A = 15; 12 e B = 4; 5.

• A = 5; 15; 20; 30 e B = 10; 30; 40; 60.

Determina se le seguenti quaterne di numeri formano una proporzione: 59. (2; 8; 6; 24);

(14; 4; 21; 6);

(4; 8; 4; 2);

(4; 2; 8; 4)

60. Data la quaterna (2; 8; 6; 24), scamba in tutti i modi possibili i termini fra loro in modo che le nuove quaterne formino ancora una proporzione.

Determina l’incognita x nelle seguenti proporzioni: 61. 2 : x = 6 : 24 62. 5 : x = 1 : 4

14 : 4 = 21 : x 12 : 2 = 24 : x

4:2=x:4 3:2=x:3

x : 16 = 8 : 8 x:

3 2

=8:4

Paragrafo 3.16 Determina la percentuale delle seguenti frazioni: 63.

20 50 ;

4 5;

45 60 ;

1 4;

3 20 ;

8 30

Paragrafo 3.17 Determinare le frazioni equivalenti ai seguenti numeri decimali: 64. 1, 35;

5, 3333333 . . . ;

0, 021;

12, 234444444 . . . ;

2, 234234234 . . .

65. 1, 352525252 . . . ; 0, 33 . . . ; 0, 021212121 . . . ; 2, 270707070 . . . ; 1, 0022222222 . . .

Risolvi le seguenti espressioni dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni: 66. (0, 83 − 0, 16) · 1, 2

[ 45 ]

67. (0, 27 + 1, 72) : 1, 3

[ 32 ]

68. 2, 6 · 1, 2 − 2, 2

[1]

69. (0, 2916 + 0, 125 + 0, 083) : 0, 16

[3]

Alessandro Bocconi

3.21

104

Problemi

1. Una comitiva di 30 persone arriva ad un bivio. I sinistra?

2 5

vanno a destra. Quante persone vanno a

2. Dei 1350 euro di premio, Sara ha deciso di devolvere i beneficienza?

2 9

in beneficienza. Quanti euro d` a in

3. Luigi ha dimenticato 40 soldatini su una panchina. Passa Leo e ne porta via i 34 . Dopo passa Nicco e, dei rimanenti, ne porta via 35 . Quando il povero Luigi ripassa dalla panchina quanti soldatini trova?

4. In un rettangolo ABCD, AB misura 10 cm e BC i del rettangolo.

4 5

di AB. Determinare perimetro e area

Problemi con le proporzioni 5. Una lumaca impiega 2 ore a percorrere 120 metri. Quante ore impiega a percorrere 300 metri?

6. Una lega Nichel-Zinco `e composta da 6 grammi di nichel ogni 14 grammi di zinco. Se abbiamo 35 grammi di zinco, quanti risultano essere i grammi di nichel?

7. Nel paese di Collecchio nascono 6 femmine ogni 10 nascite. Nel 2009 si sono avute 135 nascite.

Quante femmine sono nate?

8. Un macchinario fabbrica 10 chiodi alla volta, ma di questi 3 sono sempre difettosi. Dopo un certo numero di volte la macchina si ferma: in quell’istante si contano 63 chiodi ben fatti.

Quanti chiodi difettosi ci sono?

9. Un gelataio ogni 5 gusti ne mette sempre 2 alla frutta. Un giorno gli viene commissionato un gelato di ben 25 gusti. Quanti gusti alla frutta metter`a?

10. Un orologio a pendolo batte 10 rintocchi ogni 3 ore. Quanti rintocchi batte in una giornata?

11. Il deserto avanza di 2 metri ogni 8 mesi. Dopo un anno di quanti metri `e avanzato?

Problemi con le percentuali 12. Un paio di scarpe da 60 euro viene scontato del 20%. A quanto viene messo in vendita?

13. Un venditore durante una promozione vende un divano del costo di 800 euro, a 560 euro. Che sconto percentuale ha applicato?

14. Nell’anno 2000, il costo di un biglietto dell’autobus pass`o da 1500 a 2000 lire. Che aumento percentuale ebbe?

15. Il 90% del peso di un uomo `e dovuto all’acqua. Quanti chili di acqua ci sono in un uomo di 90 chili?

16. In una scuola di 160 allievi, 120 non sono stati mai bocciati. Che percentuale c’`e di ripetenti?

17. Ad un esame di scuola guida 9 ragazzi vengono bocciati e 21 promossi. Che percentuale di bocciati c’`e stata?

Problemi di approssimazione 18. Un insegnante, a occhio, stima che gli allievi in palestra siano 54. In realt`a sono 50. Che errore assoluto, relativo e percentuale ha commesso?

19. Se un prezzo di 14,65 euro viene arrotondato a 15, che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

Alessandro Bocconi

105

20. Ad un artigiano viene commissionata una porta alta 225 centimetri. Ala fine del suo lavoro fa una misurazione e scopre di aver costruito una porta alta 234 centimetri. Che errore assoluto, relativo e percentuale ha commesso?

21. Il numero 3,142 viene approssimato a 3. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

22. Per misurare il tempo di caduta di una sfera di ferro vengono fatte 5 misurazioni che danno i seguenti esiti: 8, 3 secondi; 8, 9 secondi; 7, 9 secondi; 8, 0 secondi; 8, 5 secondi. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

23. Per misurare l’altezza di Maria vengono fatte 4 misurazioni che danno i seguenti esiti: 168 cm; 170, 5 cm; 167 cm; 168, 5 cm. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

Capitolo 4

Gli insiemi (cenni) 4.1

Notazioni

Dopo aver affrontato 4 insiemi numerici (Naturali, Interi, Razionali, Reali) diamo qualche accenno sul concetto di insieme e di teoria degli insiemi. Innanzitutto premettiamo il significato di “concetto (o ente) primitivo”.

Significato di concetto primitivo. Un concetto primitivo `e un concetto che non si pu`o ulteriormente spiegare e definire, ma viene lasciato come intuitivo.

Osservazione. Si noti che nel primo capitolo abbiamo lasciato come intuitivo il concetto di somma, e successivamente tramite la somma abbiamo definito le altre operazioni. Nella nostra trattazione quindi la somma `e un concetto primitivo mentre, ad esempio, la moltiplicazione no.

L’insieme, e gli elementi che appartengono ad un insieme sono concetti primitivi.

Notazione. Gli insiemi si rappresentano con la lettera maiuscola, gli elementi di un insieme con la lettera minuscola.

Quando si dice: “dato un insieme A” si intende che viene dato un criterio col quale si pu` o univocamente stabilire se un elemento vi appartiene o meno.

Esempi . Le persone nate nel 1995 costituiscono un insieme, in quanto il criterio dato (essere nati nel 1995) permette di stabilire univocamente se un elemento ci appartiene o no. . I ragazzi simpatici dell’istituto Gramsci non costituiscono un insieme in quanto “l’essere simpatico” non `e un criterio univoco. .

I numeri naturali pari costituiscono un insieme.

Alessandro Bocconi

4.2

107

Rappresentazione degli insiemi

Nel paragrafo 1.2, abbiamo definito l’insieme dei numeri naturali, mentre nel paragrafo 3.1, abbiamo definito l’insieme delle frazioni di numeri naturali. Si osservi la differenza delle due notazioni: in quella dei numeri Naturali, abbiamo indicato alcuni elementi dell’insieme (essendo infinito era impossibile indicarli tutti), mentre nell’insieme delle frazioni abbiamo indicato la caratteristica che deve avere un elemento per appartenere a quell’insieme. Il primo modo si dice rappresentazione tabulare, il secondo rappresentazione caratteristica.

Riassumendo: • si ha una rappresentazione tabulare quando si elencano (fra parentesi graffe) tutti o alcuni elementi dell’insieme.

• si ha una rappresentazione caratteristica quando, fra parentesi graffe, si descrive la caratteristica che deve avere un elemento per appartenere all’insieme.

Esempi . Supponiamo che nella classe II C di un certo istituto ci siano 3 ragazzi con altezza maggiore di 180 cm, che si chiamano Alberto, Francesca e Roberto. Se vogliamo indicare l’insieme di questi ragazzi possiamo usare: • la rappresentazione tabulare: {Alberto; Francesca; Roberto} • la rappresentazione caratteristica: {I ragazzi della II C pi` u alti di 180 cm} .

L’insieme dei numeri Naturali pari: • la rappresentazione tabulare: {0; 2; 4; 6; 8...} • la rappresentazione caratteristica: {I numeri Naturali pari}

Osservazione importante. L’ordine in cui vengono elencati gli elementi di un insieme `e indifferente. Ad esempio {a; b; r; s}, e {r; b; s; a} rappresentano lo stesso insieme in quanto costituiti dagli stessi elementi anche se in ordine diverso.

Una terza rappresentazione degli insiemi ` e quella di Eulero-Venn, che consiste nel disegnare una linea chiusa con all’interno tutti gli elementi (o alcuni) dell’insieme.

Due simboli ricorrenti. Nel linguaggio degli insiemi si usano spesso dei simboli che hanno lo scopo di rendere chiaro e sintetico il concetto che si vuole esprimere. Tali simboli sono: • ∈ che significa “appartenente”, e la sua negazione 6 ∈ che significa “non appartenente” • | che significa “tale che” Esempi .

Nell’esempio dei ragazzi della II C la rappresentazione caratteristica diventa: {x ∈ IIC|x > 180cm di altezza}

.

Se vogliamo rappresentare l’insieme dei numeri naturali minori di 8 possiamo usare:

Alessandro Bocconi

108

1 2

0 7 5

6

.

3

4

.

Figura 4.1: La rappresentazione di Eulero-Venn • la rappresentazione tabulare: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} • la rappresentazione caratteristica: {x ∈ N|x < 8} • la rappresentazione di Eulero-Venn (figura 4.1).

4.3

Cardinalit` a di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo

Definizione di cardinalit` a di un insieme. Si definisce cardinalit`a di un insieme, il numero di elementi che lo costituiscono. Se A `e un insieme, la cardinalit`a di A si indica con |A|.

Esempi .

A = {pippo; pluto; paperino};

.

A = {x ∈ N|x < 10};

|A| = 10

.

A = {x ∈ N|x > 10};

|A| = ∞

|A| = 3

Negli esempi appena visti il simbolo ∞ significa infinito.

Definizione di insieme vuoto. Un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica col simbolo ∅.

Esempi .

L’insieme degli esseri umani pi` u alti di 3 metri `e l’insieme vuoto.

.

L’insieme dei maschi in una classe tutta femminile `e l’insieme vuoto.

Osservazione. L’insieme vuoto ha cardinalit`a 0.

Alessandro Bocconi

109

Definizione di insieme Universo. L’insieme Universo `e l’insieme formato da tutti gli elementi che stiamo considerando. Generalmente si indica con la lettera U .

Esempi . L’insieme dei numeri Naturali minori di 7. In questo caso l’insieme universo `e costituito da tutti i numeri naturali. . L’insieme dei ragazzi della II C pi` u alti di 180 cm. In questo caso l’insieme universo `e costituito da tutti i ragazzi della II C. . I cittadini di Firenze nati nel 1969. In questo caso l’insieme universo `e costituito da tutti i cittadini di Firenze.

4.4

I sottoinsiemi

Definizione di sottoinsieme. Un insieme B `e sottoinsieme di un insieme A se qualunque elemento di B `e anche elemento di A. In simboli: B ⊆ A. Esempi .

Sia A l’insieme dei numeri Naturali e B l’insieme dei numeri naturali pari.

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7....}

B = {0; 2; 4; 6; 8; 10; ...}.

Risulta che B ⊆ A in quanto ogni elemento di B `e anche elemento di A. .

Siano A = {a; b; d; e; f ; h; z} e

B = {a; b; c}.

Risulta che B non `e sottoinsieme di A, in quanto esiste un elemento di B (in questo caso c) che non appartiene ad A.

Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce facilmente che l’insieme vuoto `e sottoinsieme di qualunque insieme. Infatti, nell’ultimo esempio, B non `e sottoinsieme di A perch´e esiste un elemento di B che non appartiene ad A, ma questo non pu`o accadere all’insieme vuoto in quanto non ha elementi. Quindi ∅ `e sottoinsieme di qualunque insieme.

Osservazione. Dalla definizione segue che ogni insieme `e sottoinsieme di se stesso.

Dalle osservazioni fatte, segue che qualunque insieme A ha sempre almeno 2 sottoinsiemi: l’insieme vuoto e se stesso. Questi 2 sottoinsiemi generalmente non sono considerati interessanti; per evitarli si `e data la definizione di sottoinsieme proprio.

Definizione di sottoinsieme proprio. Un sottoinsieme B di A `e un sottoinsieme proprio se: • B non `e vuoto.

• Esiste almeno un elemento appartenente ad A che non appartiene a B.

Alessandro Bocconi

110

In simboli, se B `e sottoinsieme proprio di A, si scrive: B ⊂ A.

Quindi A `e sottoinsieme di se stesso, ma non `e sottoinsieme proprio di se stesso. L’insieme vuoto `e sottoinsieme di qualunque insieme, ma non `e sottoinsieme proprio di nessuno.

4.5

Operazioni fra insiemi

Risulta estremamente utile definire alcune operazioni fra insiemi.

Definizione di intersezione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’intersezione fra A e B, che si indica con A ∩ B, `e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. Esempi .

Si considerino gli insiemi:

A = {3; 7; 5; 11; 15; 228} e

B = {1; 4; 5; 9; 11; 12}

La loro intersezione `e data da: A ∩ B = {5; 11}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {vocali dell’alfabeto italiano} e

B = {d; z; i; b; r}

La loro intersezione `e data da: A ∩ B = {i}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {x ∈ N|x < 22}

e

B = {x ∈ N|x > 25}

La loro intersezione `e data da: A ∩ B = ∅ (infatti A e B non hanno nessun elemento in comune).

Due insiemi che non hanno elementi in comune (come quelli visti nell’ultimo esempio) si dicono disgiunti.

Definizione di unione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’unione fra A e B, che si indica con A ∪ B, `e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno fra A e B. Esempi .

Si considerino gli insiemi:

A = {3; 7; 5; 11}

e

B = {1; 4; 5; 11; 12}

Alessandro Bocconi

111

La loro unione `e data da: A ∪ B = {3; 7; 5; 11; 1; 4; 12}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {vocali dell’alfabeto italiano} e

B = {e; i; b; r}

La loro unione `e data da: A ∪ B = {a; e; i; o; u; b; r}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {roma; torino}

e

B = {f irenze; roma}

La loro unione `e data da: A ∪ B = {roma; torino; f irenze}.

Definizione di complementare di un insieme. Sia A un insieme; il complementare di A, che si indica con A, `e l’insieme costituito da tutti gli elementi dell’Universo che non appartengono ad A. Esempi . Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri pari. complementare di A `e l’insieme dei numeri dispari. .

Risulta che il

Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri maggiori di 5 cio`e:

A = {x ∈ N|x > 5}.

Risulta che: A = {x ∈ N|x ≤ 5} (il simbolo ≤ si legge “minore o uguale a” e in questo caso significa che nell’insieme ci sono numeri minori di 5 e anche il 5 stesso. Si osservi che se ci fosse stato solo il minore, 5 non sarebbe appartenuto all’insieme).

Definizione di differenza di 2 insiemi. Siano A e B due insiemi, la differenza fra A e B, che si indica con A−B, `e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B. Esempi .

Si considerino gli insiemi:

A = {3; 7; 5; 11}

e

La loro differenza `e: A − B = {3; 7}

B = {1; 4; 5; 11; 12}

Alessandro Bocconi .

112

Si considerino gli insiemi:

A = {a; b; e; r} e

B = {a; b; s; r; t}

La loro differenza `e: A − B = {e} .

Si considerino gli insiemi:

A = {16; 22; 23; 1}

e

B = {2; 3; 4; 5; 6}

La loro differenza `e: A − B = {16; 22; 23; 1}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {Italia; Francia; Canada} e

B = {stati dell’unione europea}

La loro differenza `e: A − B = {Canada}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {cane; gatto}

e

B = {stati dell’unione europea}

La loro differenza `e: A − B = {cane; gatto}

.

Si considerino gli insiemi:

A = {5; 7; 13}

e

B = {insieme dei numeri primi}

La loro differenza `e: A − B = {cane; gatto}

4.6

Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn

In figura 4.2, possiamo osservare le operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn:

Alessandro Bocconi

113

A B

A∩B A B

.

.

A∪B

U

A _ A

Figura 4.2: Le operazioni fra insiemi tramite Eulero-Venn

4.7

Alcuni risultati importanti

1. Se B ⊂ A allora risulta che A ∩ B = B. Dimostrazione (figura 4.3).

Esempio: Sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, e sia B l’insieme degli allievi della II C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B `e sottoinsieme di A cio`e B ⊂ A. L’intersezione A ∩ B `e formata dagli allievi che stanno in entrambi gli insiemi, e quindi dagli allievi della II C, che `e l’insieme B. 2. Se B ⊂ A allora risulta che A ∪ B = A. Dimostrazione (figura 4.4).

A∩B A

B

.

.

Figura 4.3: Se B sottoinsieme di A allora A ∩ B = B

Alessandro Bocconi

114

A∪B

A

B

.

.

Figura 4.4: Se B sottoinsieme di A allora A ∪ B = A Esempio: Come nell’esempio precedente sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, e B l’insieme degli allievi della II C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B `e sottoinsieme di A cio`e B ⊂ A. L’unione A ∪ B `e formata dagli allievi che stanno in almeno uno dei 2 insiemi, e quindi dagli allievi dell’istituto Gramsci, che `e l’insieme A. 3. Il complementare dell’insieme vuoto `e l’insieme universo. In simboli: ∅ = U .

Dimostrazione: il complementare di un insieme A `e composto da tutti gli elementi dell’Universo escluso quelli che stanno in A. Ma se A `e l’insieme vuoto, non contiene nessun elemento, e quindi il suo complementare `e l’insieme Universo.

4. Il complementare dell’insieme Universo `e l’insieme vuoto. In simboli: U = ∅.

Dimostrazione: il complementare dell’insieme Universo `e composto da tutti gli elementi dell’Universo escluso quelli che stanno nell’insieme Universo. Quindi da nessun elemento. Quindi il complementare dell’insieme Universo `e l’insieme vuoto.

4.8

Il prodotto cartesiano fra insiemi

Estremamente utile risulta essere il concetto di prodotto cartesiano fra insiemi.

Definizione di prodotto cartesiano fra insiemi. Dati 2 insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano fra A e B, l’insieme AXB i cui elementi sono tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene a A e il secondo a B. Esempi .

Si considerino gli insiemi:

A = {a; b; c}

e

B = {2; 3}

risulta che AXB = {(a; 2); (a; 3); (b; 2); (b; 3); (c; 2); (c; 3)} .

Si considerino gli insiemi:

A = {3; 5; 9}

e

B = {3}

risulta che AXB = {(3; 3); (5; 3); (9; 3)}

Osservazione. Abbiamo detto che l’ordine degli elementi `e ininfluente. Nell’esempio precedente non sarebbe cambiato niente se avessimo scritto (9; 3) prima dell’elemento (5; 3). Quello che `e

Alessandro Bocconi

115

4 3

(2;4)

. .

(4;4) (5;4)

. . . .

(4;3)

(2;3)

(5;3)

. .

(7;3)

2

4

5

7

(7;4)

Figura 4.5: Il prodotto cartesiano fra 2 insiemi importante `e l’ordine all’interno della coppia: il primo elemento deve appartenere ad A e il secondo a B e quindi sarebbe sbagliato scrivere, ad esempio, (3; 5) al posto di (5; 3).

Osservazione. Dal momento che nel prodotto cartesiano AXB ogni elemento di A forma una coppia con tutti gli elementi di B, risulta che la cardinalit`a di AXB equivale al prodotto della cardinalit`a di A con la cardinalit` a di B. Esempi .

Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 3 e |B| = 2, risulta che |AXB| = 6.

.

Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 1 e |B| = 5, risulta che |AXB| = 5.

. Se A e B sono 2 insiemi e B = ∅, allora anche AXB = ∅. Ci`o `e in accordo con l’osservazione sulle cardinalit` a, infatti: |AXB| = |A| · |B| = |A| · 0 = 0 quindi AXB avendo 0 elementi `e l’insieme vuoto.

Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano di due insiemi. Supponiamo che A e B siano 2 insiemi numerici. Costruiamo un piano cartesiano, cio`e 2 rette orientate fra loro perpendicolari (chiamate assi) che si incontrano in un punto detto origine. Riportiamo ciascun elemento di A sull’asse orizzontale rispettando l’orientamento della retta e riportiamo ciascun elemento di B sull’asse verticale rispettando l’orientamento della retta. Da ogni elemento di A si tracci una retta parallela all’asse verticale, e da ogni elemento di B si tracci una retta parallela all’asse orizzontale.

Le intersezioni di tali rette rappresentano graficamente gli elementi del prodotto cartesiano fra A e B. Esempio .

Siano A = {2; 4; 5; 7}

e B = {3; 4}.

Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano fra i 2 insiemi (figura 4.5).

Dalla rappresentazione grafica si deducono gli elementi che compongono AXB: AXB = {(2; 3); (2; 4); (4; 3); (4; 4); (5; 3); (5; 4); (7; 3); (7; 4)}

Alessandro Bocconi

4.9

Domande

Paragrafo 4.1 1. Cos’`e un concetto primitivo?

2. Gli insiemi e gli elementi di un insieme sono concetti primitivi?

3. Cosa si intende con l’affermazione “Dato un insieme A”?

Paragrafo 4.2 4. Illustra i 3 modi di rappresentare un insieme.

5. Quando abbiamo una rappresentazione tabulare?

6. Quando abbiamo una rappresentazione caratteristica?

7. L’ordine in cui vengono scritti gli elementi di un insieme `e importante?

Paragrafo 4.3 8. Cos’`e la cardinalit` a di un insieme?

9. Quando un insieme `e vuoto?

10. Cos’`e l’insieme Universo?

Paragrafo 4.4 11. Definisci il sottoinsieme.

12. Un insieme ha sempre almeno 2 sottoinsiemi. Quali?

13. Definisci il sottoinsieme proprio.

Paragrafo 4.5 14. Definisci l’intersezione fra insiemi.

15. Quando 2 insiemi si dicono disgiunti?

16. Definisci l’unione fra insiemi.

17. Definisci il complementare di un insieme.

18. Definisci la diferenza fra insiemi.

Paragrafo 4.8 19. Definisci il prodotto cartesiano fra insiemi.

116

Alessandro Bocconi

4.10

117

Esercizi

Paragrafo 4.2 1. Rappresenta tramite rappresentazione caratteristica i seguenti insiemi: • {2; 4; 6; 8; 0} • {−1; −2; −3; −4; −5; ..................} • {a; e; i; u; o} • {Luned`ı; Marted`ı; Mercoled`ı; Gioved`ı; Venerd`ı; Sabato; Domenica} • {Luned`ı; Marted`ı; Mercoled`ı; Gioved`ı; Venerd`ı} Paragrafo 4.4 2. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {0; 1} 3. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {0; 1} 4. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {a; b; c} 5. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {a; b; c} Paragrafo 4.5 Determina l’unione e l’intersezione dei seguenti insiemi: 6. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8} 7. A = {20; 31; 16}; B = {16} 8. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅ 9. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6; 9; 7; 3} 10. A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”} 11. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo} 12. A = { capoluoghi di provincia della Toscana }; B = {Milano; Firenze; Livorno; Pistoia} Determina i complementari dei seguenti insiemi, dopo aver evidenziato qual’`e l’insieme universo: 13. A = { pesci; ariete; vergine} 14. A = { Luned`ı; Marted`ı; Mercoled`ı; Domenica} 15. A = { Numeri naturali dispari} 16. A = { cittadini di Firenze nati prima del 1969} 17. A = { cittadini di Firenze nati nel 1969} Determina la differenza A − B fra i seguenti insiemi: 18. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8} 19. A = {20; 31; 16}; B = {16}

Alessandro Bocconi

118

20. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅ 21. A = {2; 3; 6; 9}; B = {1; 5; 7} 22. A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”} 23. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine} Paragrafo 4.6 Tramite i diagrammi di Eulero-Venn rappresenta le seguenti operazioni fra insiemi: 24. A ∩ B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8} 25. A ∩ B con A = {20; 31; 16}; B = {16} 26. A ∩ B con A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”} 27. A ∪ B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅ 28. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6; 9; 7; 3} 29. A ∪ B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo} 30. A con A = { pesci; ariete; vergine} 31. A con A = { Luned`ı; Marted`ı; Mercoled`ı; Domenica} 32. A − B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = {6; 4; 8} 33. A − B con A = {20; 31; 16}; B = {16} 34. A − B con A = {2; 3; 6; 9}; B = {1; 5; 7} 35. A − B con A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”} 36. A − B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine} Paragrafo 4.8 Determinare il prodotto cartesiano dei seguenti insiemi (dopo aver evidenziato che |A| · |B| = |AXB|) 37. A = {2; 3; 6}; B = {6; 4; 8} 38. A = {20; 31; 16}; B = {12} 39. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9}; B = ∅ 40. A = {2; 3; 6; 9}; B = {2; 6} 41. A = {s; c; i}; B = {d; o}

Sillogismi Il sillogismo `e un tipo di ragionamento deduttivo tale che, date due affermazioni (le premesse), ne segue una terza (la conclusione).

Esempio Premesse: 1. Tutte le nazioni hanno dei confini.

2. Lâ&#x20AC;&#x2122;Italia `e una nazione Conclusione: Lâ&#x20AC;&#x2122;italia ha dei confini.

Dei seguenti sillogismi vengono date le premesse e il lettore dovr`a fornire la conclusione.

1. (a) Solo il ladro `e entrato nella stanza. (b) Mario `e entrato nella stanza 2. (a) Sono state selezionate le ragazze pi` u alte di un metro e sessanta (b) Francesca `e stata selezionata.

3. (a) Chi pesa di pi` u di 80 chili sfonda la bilancia (b) Stefania, pesandosi, non ha sfondato la bilancia.

4. (a) Per leggere quel cartello alla distanza di 20 metri ci vuole una vista perfetta. (b) Roberto vede quel cartello alla distanza di 20 metri.

5. (a) Francesco `e alto come Roberta. (b) Roberta `e alta come Simona.

Sillogismi matematici 6. (a) un numero diverso da 1 moltiplicato per 52 non pu`o avere come risultato 52 (b) 50 moltiplicato per 52 ha come risultato 52 7. (a) Se un insieme numerico non ha un elemento maggiore di tutti gli altri significa che ha infiniti elementi (b) N non ha un elemento maggiore di tutti gli altri.

8. (a) Un sistema numerico `e posizionale se un numero cambia cambiando lâ&#x20AC;&#x2122;ordine dei simboli che lo compongono.

Alessandro Bocconi

120

(b) Nel sistema numerico del pastore un numero non cambia cambiando lâ&#x20AC;&#x2122;ordine dei simboli.

9. (a) Un numero `e primo se `e divisibile solo per 1 e per se stesso. (b) 112081 `e divisibile per 17 10. (a) Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno. (b) F e G sono 2 frazioni aventi segno diverso 11. (a) Due frazioni rappresentano lo stesso numero razionale solo se sono equivalenti (b) F e G sono 2 frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale 12. (a) F e G sono due frazioni fra loro equivalenti (b) G e H sono due frazioni fra loro equivalenti