deagostini_9788841860977b_preview by ELVIRA USSIA

Digimat_1 Geom_Layout 1 23/12/10 15:18 Pagina 1

la geometria

Il libro

Un metodo collaudato per l’acquisizione di solidi fondamenti, che porta la matematica vicino agli studenti, ora anche grazie agli strumenti digitali. Il corso è caratterizzato da: • lezioni affiancate da verifica immediata • esercizi strutturati per obiettivi e graduati • materiali per la preparazione alle prove INVALSI. Il CD-Rom per LIM e PC/MAC

• • • •

• •

lezioni interattive con test di verifica per la LIM software e-Tutor per la erogazione, la modifica o la creazione di verifiche con correzione automatica (per il docente) e di esercizi con autocorrezione (per lo studente).

Anna Montemurr Montemurro

Anna Monte Montem murro urro

C CD-ROM D-ROM

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2 22

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Anna Monte Montem murro urro

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CD-ROM CD-ROM

DigiMAT Algebra 3 + Geometria 3 + Quaderno Palestra INVALSI 3 + CD-Rom studente 3 ISBN 978-88-418-6099-1

Altre opzioni di vendita DigiMAT Aritmetica 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1

ISBN 978-88-418-6530-9

DigiMAT Aritmetica 2 + Quaderno Palestra INVALSI 2 + CD-Rom studente 2

ISBN 978-88-418-6532-3

DigiMAT Algebra 3 + Quaderno Palestra INVALSI 3 + CD-Rom studente 3

ISBN 978-88-418-6534-7

DigiMAT Geometria 1

ISBN 978-88-418-6531-6

DigiMAT Geometria 2

ISBN 978-88-418-6533-0

DigiMAT Geometria 3

ISBN 978-88-418-6535-4

Per il docente DigiMAT Guida per l’insegnante DigiMAT Pen drive con libro digitale per LIM e PC/MAC

ISBN 978-88-418-6097-7-C

ISBN 978-88-418-6100-4 ISBN 978-88-418-6581-1

DigiMAT Aritmetica 1 + Geometria 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1 (4 elementi indivisibili)

la geometria

DigiMAT Aritmetica 2 + Geometria 2 + Quaderno Palestra INVALSI 2 + CD-Rom studente 2 ISBN 978-88-418-6098-4

3 3 3

Anna Montemurro Montemurro

Anna Monte Montem murro urro

CD-ROM CD-ROM

DigiMAT Aritmetica 1 + Geometria 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1 ISBN 978-88-418-6097-7

Anna Montemurr Montemurro

Anna Montemurro Montemurro

DigiMAT

Anna Montemurr Montemurro

1 DigiMAT Anna Montemurro

LA geometria

Il Sito

lezioni animate sugli argomenti fondamentali test, autoverifiche e esercizi per la preparazione alla prova nazionale, interattivi e con autocorrezione laboratori informatici con software matematici materiali per l’eccellenza.

Composizione del corso Anna Montemurro Montemurro

Anna Montemurro

DigiMAT

DigiMAT - ÂŠ De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara

internet: www.scuola.com e-mail: redazione@deagostiniscuola.it

Redattore Responsabile: Tecnico Responsabile: Progetto grafico: Copertina: Realizzazione editoriale e tecnica: Disegni:

Alessio Delfrati Marco Grilli Maura Santini Maura Santini APV Vaccani s.r.l. Milano Antongionata Ferrari, Valter Casiraghi, APV Vaccani s.r.l.

Art Director:

Nadia Maestri

Proprietà letteraria riservata © 2011 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2011 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Foto De Agostini Picture Library Foto copertina: iStock, Dreamstime. L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941, n. 633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da: AIDRO – Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano e-mail: segreteria@aidro.org; www.aidro.org

Stampa: La Tipografica Varese – Varese

Ristampa

0 1

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Anno

2011

2012

2013

2014

2015

2016

presentazione

ai docenti

o realizzato questo corso di matematica rifacendomi alla particolare struttura espositiva che caratterizza i precedenti corsi pi greco, Sistema matematica, Destinazione matematica e Teorema, perché credo che questo metodo di lavoro renda più efficace l’apprendimento. Ogni unità del corso, infatti, sviluppa in modo compiuto i vari argomenti mediante “lezioni” attentamente organizzate: la teoria ((Apprendo…) viene esposta nella pagina a sinistra, le conoscenze sono immediatamente messe in pratica tramite esercizi appropriati per il rapido riscontro dell’apprendimento nella pagina a destra (… Verifico). Fidandomi della mia esperienza didattica, sono convinta che questa organizzazione particolare della disciplina, all’insegna dell’essenzialità e della operatività, contribuisca a: rendere più semplice lo studio – solitamente ostico – della matematica; far acquisire un metodo di studio innovativo e proficuo; promuovere un lavoro organizzato e cadenzato secondo ritmi di apprendimento ben sperimentati. La teoria è spiegata in modo chiaro, lineare, preciso ed esauriente con un linguaggio accessibile ai ragazzi/e di questa fascia scolare. Generalmente ho usato il metodo induttivo: partendo da una situazione problematica familiare, giungo alle definizioni, alle proprietà di un’operazione, di una figura geometrica, alle regole e, infine, all’acquisizione dei concetti astratti. Le vignette che illustrano le “lezioni” non sono fini a se stesse. Le didascalie, infatti, sintetizzano – spesso mediante domanda e risposta – i punti salienti dell’argomento svolto, contribuendo a stimolare la capacità di osservazione e le capacità intuitive dell’alunno/a. Inoltre, la costante presenza di “amici”, rappresentati da un particolare tipo di disegno, suggeriscono l’avvio di esercizi e problemi particolarmente impegnativi. Vastissimo è il repertorio di esercizi presenti nel volume base, suddivisi per argomento e graduati per livello di difficoltà: esercizi e problemi di applicazione per accertare le capacità operative di calcolo; esercizi e problemi di riepilogo e consolidamento per ripercorrere in modo organico gli argomenti di ciascuna unità; esercizi per il recupero e ripasso sotto forma di schede, per recuperare gli obiettivi minimi prefissati o per ripassare gli argomenti trattati; test di autoverifica con 20 domande a scelta multipla con griglia di autovalutazione in decimi. Ciascuna unità si chiude con una mappa concettuale che evidenzia i collegamenti tra i diversi argomenti dell’unità stessa. Questo nuovo corso si intitola DigiMAT perché le caratteristiche didattiche di questo metodo ampiamente sperimentato sono state potenziate grazie all’apporto degli strumenti digitali. Innanzitutto, l’informatica è strettamente integrata nel testo dello studente e con gli argomenti del programma di matematica. Infatti, alla fine di ciascun volume troviamo il laboratorio interattivo con interessanti schede a carattere interdisciplinare corredate di attività da svolgere sia su carta sia con il computer, e un prontuario di informatica relativo ai programmi Excel per l’aritmetica e GeoGebra per la geometria, con indicazioni per l’uso di Word come editor di testi matematici (Equation Editor). Inoltre, a ogni volume è allegato un CD-ROM per lo studente che contiene lezioni animate da visualizzare sul PC o la LIM, test e autoverifiche interattive per argomenti con autocorrezione, test per la preparazione alle prove Invalsi, videolezioni ed esercitazioni sui software per la matematica, schede stampabili di integrazione e di ripasso. Particolare attenzione è stata infine posta alla preparazione della Prova nazionale, non solo nel CDROM, ma anche negli appositi fascicoli allegati a ciascun volume, che contengono simulazioni di prove nazionali, prove Invalsi ufficiali, esercizi di Arricchimento per l’eccellenza. Spero di essere riuscita a fornire un corso di matematica innovativo e moderno, capace di soddisfare le esigenze dei colleghi e dei ragazzi/e. settembre 2010 Anna Montemurro III

LA GEOMETRIA indice

UNITÀ

0 SCOPRIAMO... LE GRANDEZZE E LE MISURE

Schede di integrazione

0.1

Misura di una grandezza

0.2

Misure di lunghezza

0.3

Misure di superficie

0.4

Misure di volume

0.5

Misure di capacità

0.6

Misure di massa

0.7

Il peso specifico

0.8

Sistemi di misura non decimali

0.9

Riduzione in forma normale

0.10

Operazioni con le misure sessagesimali esercizi

20 22

Test interattivi

Lezioni animate

UNITÀ 1.1

1 GLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

Dalla realtà alle figure geometriche

Il punto

1.2

La linea, la retta e la semiretta

1.3

Il piano, il semipiano e lo spazio

1.4

Gli assiomi della geometria

1.5

Un piano particolare: il piano cartesiano applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

36 38 45 47 48 49

2 I SEGMENTI

Il segmento

Segmenti consecutivi e adiacenti

2.2

Confronto di segmenti

2.3

Operazioni con i segmenti

2.4

Problemi con le misure dei segmenti (1a parte)

2.5

Problemi con le misure dei segmenti (2a parte) applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

60 64 76 80 81 82

UNITÀ 2.1

Test interattivi

Autoverifica interattiva

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

indice UNITÀ

3 GLI ANGOLI

3.1

L’angolo

3.2

Angoli consecutivi e angoli adiacenti

Bisettrice di un angolo

3.3

Confronto di angoli

3.4

Vari tipi di angoli

3.5

Addizione e sottrazione di angoli

Multipli e sottomultipli di un angolo

Angoli opposti al vertice

3.6

Angoli complementari, supplementari ed esplementari

3.7

Problemi sulle misure degli angoli

parte)

3.8

Problemi sulle misure degli angoli (2a parte) applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

100 104 119 123 124 125

4 LE RETTE NEL PIANO

127

UNITÀ

(1a

4.1

Rette incidenti e coincidenti

128

4.2

Distanza e proiezione

130

Asse di un segmento

130

4.3

Rette parallele

132

4.4

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

134 136 145 147 148 149

UNITÀ 5.1

5 I POLIGONI

151

Generalità sui poligoni

152

Il perimetro

152

5.2

Classificazione dei poligoni

154

5.3

Diagonali di un poligono

156

Relazione tra i lati di un poligono

156

Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

158 160 170 174 175 176

5.4

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

indice

UNITĂ&#x20AC;

6 I TRIANGOLI

6.1

Il triangolo

6.2

Classificazione dei triangoli

179 180

rispetto ai lati e agli angoli

182

6.3

Altezze di un triangolo e ortocentro

184

6.4

Mediane di un triangolo e baricentro

186

6.5

Bisettrici di un triangolo e incentro

188

6.6

Assi di un triangolo e circocentro

190

6.7

Osservazioni sui punti notevoli del triangolo e su particolari triangoli rettangoli

192

6.8

I criteri di congruenza dei triangoli applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

194 198 219 225 226 227

UNITĂ&#x20AC;

7 I QUADRILATERI

231

7.1

Il quadrilatero

232

7.2

I trapezi

234

7.3

Classificazione dei trapezi rispetto ai lati obliqui

236

7.4

I parallelogrammi

238

7.5

I rettangoli

240

7.6

I rombi

242

7.7

I quadrati applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

244 246 267 273 274 275

UNITĂ&#x20AC;

8 LE ISOMETRIE

279

8.1

Trasformazioni: congruenza e isometrie

280

8.2

La traslazione

282

8.3

La rotazione

284

8.4

La simmetria assiale

286

8.5

La simmetria centrale

288

8.6

La simmetria nelle figure geometriche

290

8.7

Composizione di isometrie applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso

292 294 307 312 313 314

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

Lezioni animate

Test interattivi

Autoverifica interattiva

indice LABORATORIO INTERATTIVO

317

Prontuario di informatica: introduzione a geogebra Disegnare con GeoGebra Enti geometrici semplici Il poligono Rette parallele e perpendicolari Gestire un foglio di lavoro di GeoGebra

318 318 321 323 324 325

digilab 1. Le forme della realtà 2. Da “A” a “B” e ritorno 3. Il tempo fatto a pezzi 4. Quando due rette si incontrano 5. Crea un cartamodello 6. I triangoli non crollano 7. La scienza dei lanci 8. Le simmetrie dei viventi

326 328 330 332 334 336 338 340

APPENDICE risposte glossario TAVOLE

Laboratori informatici

343 344 344 346

VII

Come È fatto il tuo libro?

Le lezioni La teoria è organizzata in lezioni. Una serie di lezioni forma un’unità. Ogni lezione affronta un argomento nella pagina di sinistra (Apprendo) e propone una esercitazione immediata nella pagina di destra (Verifico). In questo modo è più facile studiare e verificare le tue conoscenze.

Vignetta

Le vignette, all’inizio di ogni lezione, ti aiutano a “scoprire nella realtà” un po’ di matematica.

Esercizi guidati e svolti

Negli argomenti più difficili sei aiutato da Esercizi (o problemi) guidati, che ti suggeriscono il modo di risolverli, ed Esercizi (o Problemi) svolti, che forniscono un esempio per la risoluzione.

Esempio

Il testo è ricco di esempi che ti permettono di capire immediatamente come applicare un concetto.

VIII

Regola Le regole, scritte in maniera

chiara ed evidenziate in colore, ti aiutano a memorizzare i concetti chiave.

il libro GLI ESERCIZI Gli esercizi sono organizzati secondo un criterio di completezza e gradualità.

I Test sui prerequisiti sono strutturati su domande a risposta multipla, secondo i criteri delle prove Invalsi.

A fine unità, il Test di autoverifica ti consente di valutare il tuo livello di preparazione, grazie a un righello misuratore fornito anche in digitale nel CD-ROM.

Agli esercizi per argomento seguono altri due livelli operativi: esercizi di Riepilogo e consolidamento ed esercizi di Recupero e ripasso.

Le ampie batterie di esercizi che seguono le lezioni (Applicazione) sono strutturate per argomento e per difficoltà. Gli esercizi marcati da sono i più difficili, quelli con hanno difficoltà media e quelli senza contrassegno sono i più facili.

Quaderni Invalsi

I tre quaderni Invalsi contengono simulazioni di prove nazionali per la preparazione alle prove Invalsi, prove ufficiali sottoposte agli studenti negli anni passati ed esercizi di arricchimento per sviluppare ulteriormente le tue capacità matematiche. IX

Gli strumenti digitali

Come È fatto il tuo libro?

Questo nuovo corso si chiama DigiMat perché l’informatica è strettamente integrata nel testo attraverso i Laboratori digitali.

In ogni tomo è presente un Prontuario di informatica, un manuale pratico per l’uso dei programmi dotati di funzioni matematiche (Equation Editor, Excel, GeoGebra).

Il CD-ROM

Insieme al corso sono forniti numerosi strumenti digitali off line su CD-ROM: • lezioni animate per studiare gli argomenti fondamentali; • esercizi interattivi su tutte le unità del corso; • autoverifiche di fine unità presenti nei volumi con valutazione automatica; • laboratori informatici per fare matematica con Excel, Equation Editor, GeoGebra; • test Invalsi interattivi per allenarsi anche sul PC alle prove nazionali; • integrazioni e ripasso, schede di approfondimento, esercizi e ripasso degli argomenti dell’anno precedente.

I programmi informatici sono sfruttati per lavorare in chiave laboratoriale su approfondimenti, collegamenti interdisciplinari, storia della matematica, nei DigiLAB.

unità

Scopriamo... le grandezze e le misure Conoscenze

Abilità

misura di una grandezza sistema metrico decimale misure di lunghezza, superficie, volume, capacità, massa peso specifico sistemi di misura non decimali: misure degli angoli e del tempo

acquisire il concetto di misura di una grandezza conoscere le misure di lunghezza, superficie, volume, capacità, peso acquisire il concetto di peso specifico e sapere risolvere i relativi problemi conoscere i sistemi di misura non decimali

TEST SUI PREREQUISITI Sai moltiplicare un numero per 10, 100, 1000? a. 18 ¥ 100

Sai dividere un numero per 10, 100, 1000? c. 345 : 100

A 180

C 1800

A 34,5

C 0,345

B 0,18

D 1,8

B 345

D 3,45

b. 3,14 ¥ 100

d. 14,2 : 100

A 314

C 3140

A 1,42

C 142

B 31,4

D 31.400

B 0,142

D 1420

DigiMAT - © De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara

GEOMETRIA E REALT Á

aè La stader ncia a il b un’antica isuso) d (ormai in per che serve certa a n u misurare i merce. d quantità

Vuoi saperne di più sulle grandezze e le misure? Troverai nel CD-ROM allegato al tomo Il numero 1, tutto il materiale necessario per esercitarti su questo argomento.

0.1

UNITÀ

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misura di una grandezza

Apprendo...

In questa unità riprenderemo le nozioni riguardanti le grandezze e le loro misure, che certamente ricorderai dalla scuola primaria. Il termine grandezza indica tutto ciò che può essere misurato. Per esempio, sono grandezze: la lunghezza di una strada, la superficie di un tavolo, il volume di una stanza, la capacità di un bicchiere, il peso di un sasso... Due grandezze si dicono omogenee se sono della stessa specie, per esempio la lunghezza di una matita e la lunghezza di una penna, la superficie di una scrivania, la superficie di un pavimento e così via. Due grandezze si dicono eterogenee se non sono della stessa specie, per esempio la lunghezza di un bastone e la superficie di un quadro. grandezze omogenee? La statura e il peso sono e diversa. • No, perché sono di speci

Due grandezze omogenee si possono confrontare, sommare o sottrarre, mentre tali operazioni non si possono eseguire con due grandezze eterogenee.

Supponiamo ora di voler misurare la lunghezza AB di una corda. Per fare ciò, scegliamo un “campione” di riferimento CD, della stessa specie della grandezza da misurare, detto unità di misura (che indichiamo con u) e confrontiamo la lunghezza della corda con la lunghezza dell’unità di misura scelta. B.

Osserviamo facilmente che la lunghezza della corda è quattro volte quella dell’unità di misura, quindi AB = 4 u. Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra omogenea, detta unità di misura, e stabilire quante volte quest’ultima è contenuta nella grandezza data. I simboli che indicano le unità di misura devono essere scritti con le lettere minuscole, a eccezione di megagrammo (Mg). I simboli che si riferiscono alle unità di misura devono seguire il numero (es. 7 m e non m 7). I simboli delle unità di misura non devono essere seguiti dal punto (es. 10 m e non 10 m.).

Anticamente le unità di misura erano diverse da popolo a popolo, pertanto la stessa grandezza era espressa con numeri diversi a seconda del modo con cui era stata effettuata la sua misurazione. Oggi quasi tutte le nazioni della Terra adottano il sistema metrico decimale che è l’insieme delle unità per la misura delle lunghezze, delle superfici, dei volumi, dei pesi e delle capacità... Nel sistema metrico decimale, per ogni tipo di grandezza esistono: l’unità principale; le unità secondarie che si ottengono dall’unità principale moltiplicandola o dividendola per 10, 100, 1000...

... verifico 1

Rispondi. a. In geometria e nelle scienze, che cosa si intende per grandezza?

.....................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

Fai un esempio. b. La lunghezza di uno spago e la tua altezza sono grandezze omogenee o eterogenee? .....................................................................................................................................................................................................

c. La superficie di una lavagna e il peso di un quaderno sono grandezze omogenee o eterogenee? .....................................................................................................................................................................................................

Completa. a. Due grandezze si dicono omogenee se sono della b. Due grandezze si dicono eterogenee se

.................................................................................................

......................................................................................................................

c. Il peso di una penna si può confrontare con il peso di un quaderno perché

.................................................

.....................................................................................................................................................................................................

d. Il volume di una stanza non si può confrontare con il peso di un blocco di ghiaccio perché

..................

.....................................................................................................................................................................................................

Gigi afferma che la capacità di una bottiglia si può confrontare con quella di un bicchiere. Marco dice che ciò non è possibile. Secondo te, chi ha ragione? Gigi Marco

Completa. Per misurare una grandezza si sceglie un’…….……….. di ……………....................……. a essa omogenea e si conta quante volte quest’ultima è contenuta nella ………................................……. data.

Determina la misura del segmento AB rispetto all’unità di misura CD indicata. Osserva che il segmento è sempre lo stesso ma, cambiando l’unità di misura, cambia anche la sua misura!

C . u D.

A. C .

B. u

D .

È corretta la scrittura AB = 9 per indicare la misura di un segmento AB? Motiva la risposta.

Disegna i segmenti richiesti tali che:

u u u

AB = 5u 5 AB = 3u 3u AB = 8u 8

Disegna un segmento AB a tuo piacere e misuralo con tre unità di misura diverse.

Nel sistema metrico decimale, per ogni grandezza esistono l’unità ………......................…………….……. e le ………......................…………..........................................................................….……. Fai alcuni esempi.

..........................................................................................................................................................................

ESERCIZI p. 22

UNITÀ

0.2

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misure di lunghezza

Nel sistema metrico decimale per misurare una lunghezza si usa il metro (simbolo m che è unità di misura principale) o un suo multiplo o un suo sottomultiplo.

Apprendo...

I multipli del metro sono il decametro (1 dam = 10 m), l’ettometro (1 hm =100 m) e il kilometro (1 km = 1000 m). I sottomultipli del metro sono il decimetro (1 dm = 0,1 m), il centimetro (1 cm = 0,01 m) e il millimetro (1 mm = 0,001 m). Nella seguente tabella abbiamo evidenziato che le misure di lunghezza vanno di 10 in 10. Ogni unità vale 10 volte l’unità immediatamente inferiore e la decima parte dell’unità immediatamente superiore. × 10

× 10 kilometro km

ettometro hm : 10

× 10 decametro dam

: 10

× 10 metro m

: 10

× 10 decimetro dm

: 10

× 10 centimetro cm

: 10

millimetro mm : 10

Quindi, per trasformare una misura di lunghezza espressa in una certa unità in un’altra di ordine inferiore, si moltiplica la misura data per per 10, 100, 1000... a seconda che i posti che separano una unità dall’altra siano rispettivamente uno, due, tre... Per trasformare una misura di lunghezza espressa in una certa unità in un’altra di ordine superire, si divide la misura data per 10, 100, 1000... a seconda che i posti che separano un’unità dall’altra siano rispettivamente uno, due, tre... × 10

ESEMPIO

× 10

dam

× 10 m

4 hm = 400 m

2 posti verso destra : 10

× 10 cm

3,24 dm = 324 mm

2 posti verso destra

: 10

125 cm = 1,25 m

2 posti verso sinistra

: 10

: 10 dam

215,8 m = 0,2158 km

3 posti verso sinistra

Leggiamo ora le seguenti scritture: 10,235 m si legge: “10 metri e 235 millimetri”; 0,006 dam si legge: “0 decametri e 6 centimetri”; 1,1507 km si legge: “1 kilometro e 1507 decimetri”. corsa dalla luce finito come la distanza per Attualmente il metro è dedi tempo pari a 1/299792458 di secondo. nel vuoto in un intervallo

Viceversa, scriviamo sotto forma di numero decimale una misura di lunghezza: 5 metri e 4 millimetri, in cifre si scrive 5,004 m.

... verifico 1

Completa. a. Lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂ principale per la misura delle lunghezze Ă¨ il

................................................................................................

b. I multipli e i sottomultipli del metro sono: kilometro

........................

dam

metro m

........................

Le misure di lunghezza vanno di 10 in ..............................

Rispondi. a. Quanti decimetri ci sono in 1 m?

.....................................

b. Quanti millimetri ci sono in 1 dm?

..................................

c. Quanti metri ci sono in 1 km? ...........................................

Trasforma i kilometri in metri. km

dam

1,256 km = ............ m

Trasforma i centimetri in metri. m dm cm

8 157,9 cm = ............ m

Trasforma i metri in millimetri. m dm cm

0,12 m = ............ mm

Trasforma i metri in kilometri. hm dam km

Trasforma in metri ciascuna delle seguenti misure. 215 cm

..............................................................

8 km

..............................................................

25,6 dm

..............................................................

2345 mm

..............................................................

472 dam

..............................................................

Trasforma in centimetri ciascuna delle seguenti misure. 4,36 m

..............................................................

5,7 dm

..............................................................

76 mm

..............................................................

0,82 dam

..............................................................

9,3 hm

..............................................................

17 km

..............................................................

Scrivi in cifre.

ESEMPIO 6 metri e 4 centimetri si scrive: 6,04 m 2145 m = ............ km

15 metri e 12 centimetri

.................

4 ettometri e 18 metri

.................

16 decametri e 28 decimetri

.................

7 metri, 3 centimetri e 4 millimetri

.................

3 kilometri, 8 metri e 7 centimetri

.................

Leggi le seguenti scritture. 10,325 m

si legge

................................................................................................................................................................

5,08 dam

si legge

................................................................................................................................................................

3,125 hm

si legge

................................................................................................................................................................

14,97 m

si legge

................................................................................................................................................................

ESERCIZI p. 22

0.3

UNITÀ

Apprendo...

1 m2 1m

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misure di superficie

Nel sistema metrico decimale l’unità principale per la misura delle superfici è il metro quadrato (simbolo m2) e rappresenta la misura della superficie di un 1 m quadrato che ha il lato di un metro. La misura di una superficie si dice area; quindi si dirà, per esempio, che l’area di un’aiuola è 10 m2 o che l’area di un campo è 750 m2. I multipli del metro quadrato sono il decametro quadrato (1 dam2 = 100 m2), l’ettometro quadrato (1 hm2 =10 000 m2) e il kilometro quadrato (1 km2 = 1 000 000 m2). I sottomultipli del metro quadrato sono il decimetro quadrato (1 dm2 = 0,01 m2), il centimetro quadrato (1 cm2 = 0,0001 m2) e il millimetro quadrato (1 mm2 = 0,000001 m2). Nella seguente tabella abbiamo evidenziato che le misure di superficie vanno di 100 in 100. Ogni unità vale 100 volte l’unità immediatamente inferiore e la centesima parte dell’unità immediatamente superiore. × 100

× 100

kilometro quadrato

ettometro quadrato

decametro quadrato

km2

hm2

dam2

metro quadrato m2

: 100

× 100

: 100

× 100

decimetro quadrato

centimetro quadrato

millimetro quadrato

dm2

cm2

mm2

: 100

Quindi, per trasformare una misura di un certo ordine in un’altra di ordine inferiore si moltiplica il numero che la rappresenta per 100, 10 000, 1 000 000... a seconda che tra un’unità e l’altra ci siano uno, due, tre... posti.

Qual è l’area della tenda 2 • Area = 12 u

2 se l’unità di misura è u ?

Per trasformare una misura di superficie espressa in una unità di un certo ordine in un’altra di ordine superiore si divide il numero che la rappresenta per 100, 10 000, 1 000 000... a seconda che i posti che separano un’unità dall’altra siano uno, due, tre…

× 100

ESEMPIO m2

dm2

650 mm2 = 6,50 cm2 • 1,47 m2 = 147 dm2

9 m2 = 900 dm2

Leggiamo ora le seguenti scritture: 2,7 m2 si legge: “2 metri quadrati e 70 decimetri quadrati”. 2 6,1205 dam si legge: “6 decametri quadrati e 1205 decimetri quadrati”. Viceversa, scriviamo sotto forma di numero decimale una misura di superficie: 6 m2 e 8 dm2 in cifre si scrive 6,08 m2. Le superfici dei terreni sono misurate con particolari misure dette misure agrarie, riportate qui a lato.

ettaro (ha) = 1 hm2 ara (a) = 1 dam2 centiara (ca) = 1 m2

... verifico 1

Rispondi. a. Qual è l’unità principale per la misura delle superfici? ............................................................................................ b. Quali sono i suoi multipli? Scrivi i loro simboli.

.........................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

c. E i suoi sottomultipli? Scrivi i loro simboli.

..................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

Completa. a. L’area è la ........................... di una ........................... b. Le misure di superficie vanno di 100 in ............................ c. Misurare una superficie significa confrontarla con un’unità di .................... omogenea ..................... e

stabilire quante volte quest’ultima è contenuta nella

............................................................................................

Usa il quadretto u2 come unità di misura e calcola l’area delle figure. Usa poi q2 invece di u2 e calcola l’area delle stesse figure. Che cosa puoi osservare?

Trasforma i metri quadrati in centimetri quadrati. m2

dm2

Trasforma i millimetri quadrati in decimetri quadrati.

cm2

dm2

2,45 m2 = .............. cm2

1720 mm2 = .............. dm2

dm2

0,56 dm2 =

.........................

dam2

1327 m2 = .................................. hm2

...........................

dam2

43 cm2 =

...............................

b. 5,41 cm2 = c. 74,5 m2 =

................................

.....................................

mm2 2600 dam2 = ................... hm2 13 km2 =

.............................

mm2 815,6 mm2 =

..................

dm2

Leggi le seguenti scritture. 6,5 m2

mm2

Completa le seguenti uguaglianze. a. 62 m2 =

cm2

•

8,35 dm2

•

7,36 m2

•

0,5 hm2

•

20,145 dam2

•

0,48 dm2

Scrivi le seguenti misure sotto forma di numeri decimali.

ESEMPIO 3 metri quadrati e 21 decimetri quadrati si scrive: 3,21 m2 a. 4 metri quadrati e 45 decimetri quadrati b. 18 decametri quadrati e 1120 decimetri quadrati c. 27 metri quadrati e 135 millimetri quadrati d. 5 m2 e 40 dm2

3 m2 e 8 dm2

e. 40 m2 e 20 cm2

9 m2 e 7 mm2

f. 7 m2, 2 dm2 e 18 mm2

8 m2, 36 dm2 e 9 cm2

g. 12 m2 e 5 mm2

2 dm2 e 12 cm2

h. 26 m2, 4 dm2 e 32 cm2

10 dam2 e 1025 dm2

ESERCIZI p. 22

UNITÀ

0.4

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misure di volume

Apprendo...

Il volume di un solido è la misura della sua estensione (cioè dello spazio che esso occupa). Nel sistema metrico decimale l’unità principale per il volume è il metro cubo 1 m (simbolo m3) cioè il volume di un cubo che ha lo spigolo di un metro.

1 m3 1m

I multipli del metro cubo sono il decametro cubo (1 dam3 = 1000 m3), l’ettometro cubo (1 hm3 = 1 000 000 m3) e il kilometro cubo (1 km3 = 1 000 000 000 m3). I sottomultipli del metro cubo sono il decimetro cubo (1 dm3 = 0,001 m3), il centimetro cubo (1 cm3 = 0,000001 m3) e il millimetro cubo (1 mm3 = 0,000000001 m3). Nella seguente tabella abbiamo evidenziato che le misure di volume vanno di 1000 in 1000. Ogni unità vale 1000 volte l’unità immediatamente inferiore e la millesima parte dell’unità immediatamente superiore. × 1000

× 1000

kilometro cubo

ettometro cubo

decametro cubo

metro cubo

decimetro cubo

centimetro cubo

millimetro cubo

km3

hm3

dam3

dm3

cm3

mm3

: 1000

Quindi, per esprimere un volume in un’unità immediatamente inferiore si moltiplica per 1000 il numero che lo rappresenta; analogamente, lo si divide per 1000 per esprimere quel volume in un’unità immediatamente superiore. × 1000 m3

dm3

5 m3 = 5000 dm3

5 m3 = 5000 dm3 perché tra il metro cubo e il decimetro cubo c’è un solo posto da sinistra verso destra e quindi si moltiplica il numero 5 per 1000. Allo stesso modo si ragiona per le altre equivalenze.

Leggiamo ora le seguenti scritture: “3 metri cubi e 147 3,147 m3 si legge: decimetri cubi”. 8,156 dam3 si legge: “8 decametri cubi e 156 metri cubi”. Viceversa, scriviamo sotto forma di numero decimale una misura di volume: 12 m3 e 84 dm3 si scrive: 12,840 m3.

i, si esprime quello di tutti i solid e m co , ule ba un di ult sottom ipli. Il volume i relativi multipli o n co o bi cu ri et m in 8

DigiMAT - © De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara

ESEMPIO

... verifico 1

Rispondi. a. Qual è l’unità principale per la misura dei volumi? .................................................................................................. b. Quali sono i suoi multipli? Scrivi i loro simboli.

.........................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

c. E i suoi sottomultipli? Scrivi i loro simboli.

..................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

Completa. a. Il volume è la misura dell’estensione di un

.................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

b. Le misure di volume vanno di 1000 in c. 1

.........................................................................................................................

corrisponde a ............................... decimetri cubi.

d. 1 cm3 corrisponde a ............................... decimetri cubi.

Calcola il volume dei seguenti solidi, considerando come unità di misura il cubetto riportato in a.

Trasforma i metri cubi in centimetri cubi. m3

dm3

cm3

Trasforma i centimetri cubi in decimetri cubi. dm3

cm3

0,4 m3 = .............. cm3 1798 cm3 = .............. dm3

Trasforma ciascuna delle seguenti misure in metri cubi. 25,8 dam3 • 1545 mm3

• 1620 dm3

...............................

b. 7,5 mm3 =

.........................

c. 3,4 cm3 =

...........................

d. 42,53 m3 =

• 0,6 mm3

........................

dm3

4,2 dam3 =

1235 dm3 =

......................

135,6 m3 = ........................... dam3

3,81 hm3 =

.......................

km3

dam3

215 cm3 = ............................. mm3

3,47 dam3 =

hm3

14,6 dam3 =

208,127 mm3 =

...........................

........................

dm3

..................... ..............

m3 dm3

Leggi le seguenti scritture. 5,713 m3

• 431,5 m3

Completa le seguenti uguaglianze. a. 13 m3 =

• 1476 dm3

Trasforma ciascuna delle seguenti misure in centimetri cubi. 32 m3

• 3,64 hm3

• 16,831 hm3 • 2,450 dm3 • 0,006 dam3

Esprimi le seguenti misure sotto forma di numeri decimali.

ESEMPIO 4 m3 e 250 dm3 si scrive 4,250 m3

a. 2 m3 e 210 dm3

3 m3 e 128 dm3

16 m3 e 35 cm3

b. 1 m3 e 146 cm3

40 dm3 e 212 cm3

13 dm3, 7 cm3 e 231 mm3

c. 12 m3, 16 dm3 e 24 cm3

6 m3 5 dm3 e 15 cm3

85 m3 e 127 dm3

ESERCIZI p. 23

UNITÀ

0.5

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misure di capacità Per misurare il volume di alcuni recipienti cavi, per esempio quello di una bottiglia, si ricorre alle misure di capacità.

Apprendo...

Nel sistema metrico decimale l’unità principale per la misura delle capacità è il litro che corrisponde al volume di un decimetro cubo e si indica con la lettera �. I multipli del litro sono il decalitro (1 dal = 10 �), l’ettolitro (1 hl =100 �) e il kilolitro (1 kl = 1000 �). I sottomultipli del litro sono il decilitro (1 dl = 0,1 �), il centilitro (1 cl = 0,01 �) e il millilitro (1 ml = 0,001 �). Nella seguente tabella abbiamo evidenziato che le misure di capacità vanno di 10 in 10. Ogni unità vale 10 volte l’unità immediatamente inferiore e la decima parte dell’unità immediatamente superiore. × 10 kilolitro kl

× 10 ettolitro hl

: 10

× 10 decalitro dal

: 10

× 10 litro

: 10

× 10 centilitro cl

decilitro dl : 10

× 10

: 10

millilitro ml : 10

Quindi, per trasformare una misura di capacità espressa in una certa unità di misura in un’altra di ordine inferiore, si moltiplica la misura data per 10, 100, 1000... a seconda che i posti tra un’unità e l’altra siano uno, due, tre... Per trasformare una misura di capacità espressa in una certa unità in un’altra di ordine superiore, si divide la misura data per 10, 100, 1000... a seconda che i posti tra un’unità e l’altra siano uno, due, tre... : 10

ESEMPIO dal

14,8 � = 1,48 dal perché tra il litro e il decalitro c’è un solo posto verso sinistra perciò bisogna dividere 14,8 per 10. Allo stesso modo si ragiona per le altre equivalenze.

�

14,8 � = 1,48 dal

270 dl = 27 � Ricorda Le misure di volume vanno di 1000 in 1000.

0,156 hl = 15,6 �

3 dl = 300 ml

Esistono semplici relazioni tra le misure di volume e le misure di capacità che sono: 1 m3 = 1 kl

ESEMPIO 14 m3 = 14 kl

cm3

= 12 ml

1 dm3 = 1 �

1 cm3 = 1 ml

3 dm3 = 3 � 72 cl = 720 ml = 720 cm3

Per misurare le capacità si usano recipienti graduati di varie forme. La capacità di una siringa si misura in centimetri cubi, indicati spesso con il simbolo cc. 10

... verifico 1

Completa. a. Per capacità di un recipiente si intende il ............................. dei liquidi o di ......................... che il recipiente

può contenere. b. L’unità principale per la misura delle capacità è il ........................... , i suoi multipli sono ................................ e

i suoi sottomultipli sono

...............................

................................................................................................................

c. Se un recipiente ha la capacità di un litro, può contenere il volume di ............................................................ d. Le misure di capacità vanno di 10 in ........................

Rispondi sul tuo quaderno. Il simbolo cc si usa soprattutto in medicina. 1 cc = 1 cm3

a. Quanti millilitri sono contenuti in 10 cl? b. Quanti litri sono contenuti in 1 hl? c. Che cosa significa che una bottiglietta contiene 50 cc di sciroppo?

Completa le seguenti uguaglianze. a. 17 l = ........................ dl

35 � = ..................... hl

0,25 hl = ....................... �

b. 2,5 cl = ..................... �

11,6 cl = ................ dal

1252 ml = ..................... dl

c. 0,47 dal = ............... cl

220 dl = ................. dal

0,00283 hl = ............... ml

d. 125,3 dl = ............... hl

0,09 cl = ................ dal

82,4 dal = ..................... �

Cristina, a colazione, prende una tazza di latte la cui capacità è di 175 ml. A quanti litri di latte corrisponde tale quantità? A 0,0175 �

B 0,175 �

C 1,75 �

D 175 �

C 180 ml

D 0,18 ml

A quanti millilitri corrispondono 18 cm3? A 18 ml

ESEMPIO 6,75 � si legge 6 litri e 75 centilitri

Leggi le seguenti scritture. 2,619 �

si legge:

..................................................................................................................................................

24,58 dal

si legge:

..................................................................................................................................................

0,67 dl

si legge:

..................................................................................................................................................

Esprimi le seguenti misure sotto forma di numeri decimali.

ESEMPIO 8 � e 2 cl si scrive 8,02 �

a. 6 � e 4 dl

18 � e 3 cl

15 dal e 28 dl

b. 4 hl e 132 ml

60 � e 19 cl

43 dl e 7 ml

Completa le tabelle. dal

....................

3,4

....................

150

....................

�

B 1,8 ml

�

....................

...................

....................

0,501

...................

....................

0,45

....................

7,3

Completa le tabelle relative 100 dm3 1 hl alla corrispondenza tra le misure ............................. 1 dal di volume e quelle di capacità. 1 dm3 1�

.............................

2 hl

4 dm3

............................

.............................

3 dl

ESERCIZI p. 24

UNITÀ

0.6

Scopriamo... le grandezze e le misure

Misure di massa

Apprendo...

Nel sistema metrico decimale l’unità principale per la misura delle masse è il kilogrammo (simbolo kg) che è definito come il peso di un cilindro di platino-iridio conservato a Sèvres in Francia. Nota La massa di un corpo è la quantità di materia che lo costituisce, invece il peso è la forza con cui la Terra lo attrae. Dato che nel linguaggio comune la massa di un corpo è detta peso, per non creare è Il kilogrammo “campione”esso (pr s vre confusione, d’ora in poi useremo il termine “peso”. Sè a ato deposit igi) nell’Ufficio i e delle Il multiplo del kilogrammo è il megagrammo o Par Internazionale dei pes 3 di acqua dm ti tonnellata (1 Mg = 1000 kg). misure. A quan nde? distillata a 43°C corrispo I sottomultipli del kilogrammo sono l’ettogrammo • 1 kg � 1 dm (1 hg = 0,1 kg), il decagrammo (1 dag = 0,01 kg), il grammo (1g = 0,001 kg), il decigrammo (1 dg = 0,0001 kg), il centigrammo (1 cg = 0,00001 kg) e il milligrammo (1 mg = 0,000001 kg). Nella tabella che segue puoi osservare che le misure di massa vanno di 10 in 10, però fai attenzione! Tra il kilogrammo e il megagrammo c’è un salto di due posti che erano occupati da due unità di massa ormai in disuso: il miriagrammo che corrisponde a 10 kg e il quintale (1 q = 100 kg). Noi alcune volte useremo “il quintale” solo a scopo didattico. × 1000

× 10

megagrammo kilogrammo ettogrammo decagrammo o tonnellata

Mg o t

kg : 1000

hg : 10

dag : 10

× 10 grammo

× 10

decigrammo centigrammo m milligrammo

g : 10

× 10

dg : 10

cg : 10

: 10

Per trasformare una misura di peso espressa in una certa unità di misura in un’altra di ordine inferiore, si moltiplica la misura data per 10, 100, 1000... a seconda che i posti tra un’unità e l’altra siano uno, due, tre... Fa eccezione il passaggio tra il megagrammo e il kilogrammo. Per trasformare una misura di peso espressa in una certa unità di misura in un’altra di ordine superiore, si divide la misura data per 10, 100, 1000... a seconda che i posti tra un’unità e l’altra siano uno, due, tre... Fa eccezione il passaggio tra il kilogrammo e il megagrammo. ESEMPIO 3 kg = 300 dag

2,96 cg = 29,6 mg

2700 g = 27 hg 65,4 dg = 0,0654 hg

Leggiamo ora le seguenti scritture: 4,36 kg si legge: “4 kilogrammi e 36 decagrammi”. 0,61g si legge: “0 grammi e 61 centigrammi”. Viceversa, scriviamo sotto forma di numero decimale una misura di peso: 9 kg e 15 dag si scrive 9,15 kg. 12

3 kg = 300 dag perché tra il kilogrammo e il decagrammo ci sono due posti verso destra, perciò bisogna moltiplicare 3 per 100. Allo stesso modo si ragiona per le altre equivalenze.

... verifico 1

Completa. a. L’unità principale per la misura della massa si chiama ............................... e si indica con il simbolo ................. .

Invece del termine “massa” noi useremo ..................

b. Il kilogrammo-campione è definito come il peso di un ...................... di platino-iridio ed è conservato

a ............................ in ............................. c. I multipli e i sottomultipli del kilogrammo sono

.......................................................................................................

d. Le misure di peso vanno di 10 in .................. , però tra il megagrammo e il .................. c’è un salto

di .................. , perciò 1 Mg = 1000 ..................

Rispondi. a. Quanti grammi sono contenuti in 10 dag? b. Quanti milligrammi sono contenuti in 1 hg?

Trasforma i grammi in milligrammi. g

Trasforma i grammi in kilogrammi. kg

1,35 g = .............. mg

1250 g = .............. kg

• 14,5 dg

• 11 kg

Trasforma ciascuna delle seguenti misure in decigrammi. 3,32 g

dag

Trasforma ciascuna delle seguenti misure in grammi. 1325 mg • 127 cg

• 19,8 cg • 0,84 dag • 48 mg

Completa le seguenti uguaglianze. a. 148 dag = .............. dg

43 hg = ................. kg

510 cg = ................ g

b. 3,15 hg = ............... g

265 dg = .............. dag

1,122 q = .............. kg

c. 0,34 Mg = .............. kg

2,5 g = .................. mg

15,6 kg = .............. hg

Esprimi le seguenti misure sotto forma di numeri decimali.

ESEMPIO 5 g e 3 dg = 5,3 g

a. 25 g e 6 dg

50 g e 223 mg

43 hg e 138 cg

b. 121 g e 18 cg

17 hg e 134 mg

136 dag e 7 cg

c. 11 g, 8 dg e 5 mg

62 hg, 7g e 3 cg

233 dg, 9 cg e 2 mg

Completa le tabelle. kg

.....................

290

.....................

dag

146,5

.....................

3,6

.....................

5,15

.....................

132

15,8

.....................

20,03

.....................

6500

.....................

ESERCIZI p. 24

UNITÀ

0.7

Scopriamo... le grandezze e le misure

Il peso specifico

Apprendo...

Costruiamo con materiali diversi due cubi, avente ciascuno il volume di 1 cm3. Se li pesiamo, osserviamo che, sebbene il volume sia lo stesso, cioè di 1 cm3, i loro pesi sono diversi: variano a seconda del materiale che abbiamo usato. Se, per esempio, i due cubi sono uno di ferro e l’altro di sughero, il loro peso sarà, rispettivamente di 7,8 g e 0,25 g. Volumi uguali di sostanze diverse hanno pesi diversi.

1 cm3 di ferro pesa di più di 1 cm3 di sughero.

Dall’esperimento che abbiamo fatto scaturisce che ogni sostanza è caratterizzata da un numero che si chiama peso specifico della sostanza e si indica con il simbolo ps. Nel nostro esempio il peso specifico del ferro è 7,8 e del sughero è 0,25. Il peso specifico di una sostanza si calcola dividendo il peso del corpo per il suo volume. Perciò, indicando con P il peso di un corpo, con V il suo volume e con ps il peso specifico, abbiamo la seguente formula: ps = P : V. V Il peso specifico di una sostanza è il peso dell’unità di volume di quella sostanza. ps = P : V

In fondo al libro troverai una tabella con i pesi specifici delle principali sostanze.

Fai attenzione. Se il peso è espresso: in grammi, il volume è in centimetri cubi e il peso specifico in g/cm3; in kilogrammi, il volume è in decimetri cubi e il peso specifico in kg/dm3; in megagrammi o tonnellate, il volume è in metri cubi e il peso specifico in Mg/m3. Nel seguente prospetto riassumiamo le corrispondenze tra le misure di peso, di volume e di capacità. peso (P)

ESEMPIO

volume (V)

capacità (C)

¨Æ

cm3

¨Æ

dm3

¨Æ

�

¨Æ

Ricorda Il simbolo Mg indica il megagrammo.

Calcola il peso specifico del vetro sapendo che un blocco di tale sostanza pesa 75 kg e ha il volume di 30 dm3. ps = P : V = 75 : 30 = 2,5 (kg/dm3)

... verifico 1

Rispondi. a. Se pesiamo 1 cm3 di marmo e 1 cm3 di alluminio otteniamo pesi uguali o diversi?

...................................

.....................................................................................................................................................................................................

b. Che cosa s’intende per peso specifico di una sostanza? Con quale simbolo si indica? ............................. .....................................................................................................................................................................................................

c. Il peso specifico di una sostanza varia a seconda della quantità che si considera?

.....................................

.....................................................................................................................................................................................................

Completa. a. Se 1 dm3 di acqua distillata pesa 1 kg, 1 cm3 peserà .............. e 1 m3 .............. , quindi il peso specifico

dell’acqua distillata cioè senza sale è ps = ..... b. Se 1 dm3 di alcol pesa 0,8 kg, 1 cm3 peserà .............. e 1 m3 .............. c. Se 1 cm3 di una certa sostanza pesa 5,4 g, 1 dm3 della stessa sostanza peserà ............. e 1 m3 .............. d. 5 dl di acqua distillata pesano ...................................... e. Il peso specifico di una sostanza è uguale al quoziente tra il .............. e il ............. , quindi ps = P : ..........

Rispondi. a. Il peso specifico del rame è 8,8 g/cm3. Quanto pesa 1 cm3 di rame? ............................................................... b. Il peso specifico del gesso è 1,4 g/cm3. Quanto pesano 2 dm3 di gesso? ....................................................... c. Il peso specifico dell’argento è 10,5 kg/dm3. Qual è il peso di 3 dm3 di argento? E il peso di 2 cm3? .....................................................................................................................................................................................................

Completa le tabelle inserendo al posto dei puntini la misura corrispondente a quella indicata, tenendo conto che i dati si riferiscono all’acqua distillata ((ps 1). volume

peso

13 cm3

volume

.....................

14,8

30 dm3

.....................

..................... cm3

75 g

..................... m3

2 kg

.....................

peso

dm3

2,5 kg

cm3

.....................

8 Mg

..................... dm3

3,5

40 kg

.....................

A quanti kilogrammi corrispondono 3 dm3 di acqua distillata ((ps 1)? A quanti litri?

Completa le tabelle, i cui dati si riferiscono all’acqua distillata ((ps 1).

ESEMPIO Calcola il peso in grammi di 1350 mm3 di acqua distillata (ps 1).

In questo caso occorre trasformare 1350 mm3 in centimetri cubi perché il peso deve essere espresso in grammi. Quindi: 1350 mm3 = 1,350 cm3 ↔ 1,35 g volume

peso

15 m3 1430 0,54

mm3

.....................

120 kg

.....................

cm3

200 dg

..................... dm3

Fai attenzione alle unità di misura.

18 kg ESERCIZI p. 25

UNITÀ

0.8

Scopriamo... le grandezze e le misure

Sistemi di misura non decimali

Apprendo...

Occupiamoci ora dei sistemi di misura non decimali. Questi tipi di sistemi di misura sono caratterizzati dal fatto che i multipli e i sottomultipli dell’unità di misura principale non si susseguono secondo le potenze di dieci.

Se ciascuna coppia di rag consecutivi di una ruota gi formasse un angolo di 1°, di bicicletta quanti raggi avrebbe la ruota? • 360, perché tale è il nu angoli di 1° contenuti in unmero di angolo giro.

Misure degli angoli L’unità principale per misurare l’ampiezza degli angoli è il grado (simbolo “°”). Il grado è la 360a parte dell’angolo giro oppure la 180a parte dell’angolo piatto o anche la 90a parte dell’angolo retto. I sottomultipli del grado sono indicati qui di seguito (ciascuno con il proprio simbolo tra parentesi): primo (¢) = sessantesima parte del grado, cioè (1/60)°; secondo (≤) = sessantesima parte del primo, cioè (1/60)¢.

Invece di dire “misura dell’ampiezza di un angolo” si può dire, più brevemente, “misura di un angolo”.

Poiché il primo è la sessantesima parte del grado e il secondo è la sessantesima parte del primo, questo sistema di misura è detto sessagesimale. L’angolo ha una sola dimensione, l’l’ampiezza, la cui misura è espressa in gradi e nei suoi sottomultipli. Per esempio, la scrittura: 56° 27 27¢ 5≤ indica che l’angolo a cui si riferisce misura 56 gradi, 27 primi e 5 secondi. La misura degli angoli si esegue con il goniometro o rapportatore che è un cerchio graduato da 0° a 360° oppure un semicerchio da 0° a 180°. Per misurare l’ampiezza dell’angoB B ˆ lo AOB AOB, si dispone il goniometro 50° in modo che il suo centro coincida con il vertice O dell’angolo e che la sua base coincida con il lato OA O A O 0° A dell’angolo. Il lato OB, passando per un punto della graduazione del goniometro, ci darà la misura dell’angolo AOB AOˆB, che nel nostro esempio è di 50°. Misure del tempo Il tempo impiegato dalla Terra per compiere un giro completo attorno al proprio asse è chiamato giorno solare medio, o semplicemente giorno; in pratica la durata del giorno medio è la media della durata dei giorni di un anno. L’unità principale per la misura del tempo è il secondo (simbolo s) che rappresenta la ottantaseimilaquattrocentesima parte del giorno solare medio. Di seguito sono riportati i multipli del secondo (ciascuno con il proprio simbolo tra parentesi).

anno commerciale (a) = 360 giorni = 31 104 000 secondi mese commerciale (ms) = 30 giorni = 2 592 000 secondi giorno (g) = 24 ore = 86 400 secondi ora (h) = 60 minuti = 3 600 secondi minuto (m) = 60 secondi secondo (s) 16

La scrittura: 3g 13h 40m 28s si legge: 3 giorni, 13 ore, 40 minuti e 28 secondi.

... verifico 1

Rispondi. a. Quale differenza c’è tra un sistema di misura decimale e un sistema di misura non decimale?

............

.....................................................................................................................................................................................................

b. Qual è l’unità fondamentale per la misura degli angoli? .......................................................................................

Completa. a. Il grado è la ………… parte dell’angolo retto oppure la 180a parte dell’angolo …...……...……… o la …...……...………

dell’angolo giro.

b. I sottomultipli del grado sono:

........................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

c. Il sistema di misura per le ampiezze degli angoli è detto

Completa lo schema che indica come esprimere la misura di un angolo in diverse unità di misura. ..... × 60 gradi

primi .....

Servendoti di un goniometro misura le ampiezze dei seguenti angoli.

Disegna alcuni angoli sul tuo quaderno e, usando un goniometro, determina le misure delle loro ampiezze.

Completa il seguente schema. × 60 .....

secondi .....

Rispondi. a. Da quanti primi è formato 1°?

......................................................................................

.....................

b. Da quanti secondi è formato 1¢?

.................

c. Da quanti secondi è formato 1°?

................

ora

Scrivi in numeri e simboli. a. Ventuno gradi ..................................................................................

b. Sei gradi, nove primi e quindici secondi

.....

Scrivi in simboli le seguenti misure.

..................................................................................

Scrivi in simboli le seguenti misure. a. 26 gradi, 30 primi e 11 secondi b. 58 gradi, 45 primi e 20 secondi ..................................................................................

c. 97 gradi, 39 primi e 25 secondi ..................................................................................

d. 11 gradi, 17 primi e 15 secondi ..................................................................................

e. 20 gradi, 2 primi e 23 secondi ..................................................................................

f. 31 gradi, 26 primi e 10 secondi ..................................................................................

: 60

Rispondi sul quaderno. a. Che cosa s’intende per giorno solare medio? b. Qual è l’unità principale per la misura del tempo? c. Quanti minuti ci sono in 4 ore? d. Quanti secondi sono contenuti in 2 minuti?

c. Ventotto gradi e trentasei secondi

..................................................................................

secondo

..................................................................................

minuto

a. 15 mesi, 9 giorni, 3 ore, 15 minuti,

34 secondi ..................................................................................

b. 14 anni, 5 mesi, 13 giorni e 7 ore ..................................................................................

c. 8 anni, 17 giorni, 19 minuti e 35 secondi ..................................................................................

d. 18 mesi, 7 giorni, 6 ore e 8 minuti ..................................................................................

e. 11 anni, 3 mesi, 21 giorni, 14 ore

e 9 minuti ..................................................................................

ESERCIZI p. 26

UNITÀ

0.9

Scopriamo... le grandezze e le misure

Riduzione in forma normale

Apprendo...

Ora impariamo a trasformare una misura del sistema sessagesimale in un’altra equivalente ma scritta in forma normale, cioè in una forma in cui il numero dei secondi e quello dei primi non superi 59. Consideriamo la misura 6h 75m 64s e procediamo nel modo seguente. Dividiamo il numero dei secondi (64) per 60 e otteniamo per quoziente 1, che è il numero dei minuti, e per resto 4 che è quello dei secondi: 64s : 45 = 1m con resto 4s. Sommiamo il numero dei minuti ottenuti con quelli dati: 1m + 75m = 76m.

È corretto dire che il tempo per la registrazione di una canzone è stato di 4m 68s? • No, perché i numeri delle misure sessagesimali si scrivono sempre in forma normale.

Dividiamo il numero dei minuti (76) per 60 e otteniamo per quoziente 1, che è il numero delle ore, e per resto 16 che è quello dei minuti: 76m : 60 = 1h con resto 16m. Sommiamo il numero delle ore ottenute con quelle date: 1h + 6h = 7h. Possiamo ora scrivere il numero dato in forma normale: 7h 16m 4s. Quindi:

6h 75m 64s = 7h 16m 4s

Nella tabella qui sotto sono riportate le riduzioni in forma normale di alcune misure relative a sistemi di misura non decimali. Verificare l’esattezza dei calcoli, eseguendoli sul tuo quaderno. misura

trasformazione in forma normale

57° 5¢ 69≤

57° 6¢ 9≤

9h 83m 10s

10h 23m 10s

5° 12¢ 134≤

5° 14¢ 14≤

29h 15m 100s

1g 5h 16m 40s

73° 215¢ 85≤

76° 36¢ 25≤

Attento! 134≤ : 60 = 2¢ con resto 14≤.

... verifico 1

Che cosa significa ridurre in forma normale una misura del sistema non decimale? .......................................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................

Riconosci quali tra le seguenti misure non decimali sono scritte in forma normale e quali non lo sono. 12° 21¢ 23≤

sì

17° 37¢ 71≤

sì

61° 76¢ 8≤

sì

20° 100¢ 120≤

sì

15h 30m 5s

sì

3h 19m 74s

sì

14h

sì

29h

60m

20s

sì

24m

19s

Alessandra afferma che 11° 59¢ 59 ≤ è una misura non decimale ridotta in forma normale. Invece Carlotta asserisce il contrario. Chi ha ragione? Alessandra Carlotta Quando una misura non decimale si dice ridotta in forma normale?

Descrivi il procedimento che consente di ridurre in forma normale la misura angolare 10° 41¢ 65≤.

Individua fra le seguenti uguaglianze quelle errate e correggile. a. 71¢ = 1° 11¢

30h = 1g 6h

A 35° 76¢ 17≤

34g = 2ms 4g b. 128¢ = 2° 8¢

120s c.

96m

B 36° 16¢ 17≤

125m = 2h 5m

30m

= 136m = 2h 36m

C 36° 17¢ 16≤

87¢ = 1° 27¢

Completa la tabella riducendo in forma normale le seguenti misure non decimali. misura non decimale

Indica la corretta riduzione in forma normale della misura angolare 35° 77¢ 16≤.

Completa le seguenti uguaglianze, riducendo in forma normale le misure indicate. 35° 77¢ = .................................................................... 5h 70m =

.....................................................................

forma normale

33° 86¢ 34≤ =

32° 18¢ 70≤

..........................................

17h 64m 80s = ...........................................................

10° 65¢ 82≤

..........................................

67¢ 98≤ = ....................................................................

9° 10¢ 75≤

..........................................

120m 86s =

13h 10m 125s

..........................................

10h 150m 95s

..........................................

18° 40¢ 120≤

..........................................

7h 12m 150s

..........................................

...........................................................

................................................................

ESERCIZI p. 26

UNITÀ

0.10

Scopriamo... le grandezze e le misure

Operazioni con le misure sessagesimali

Apprendo...

L’addizione Vogliamo addizionare le misure angolari 5° 18¢ 27≤ e 12° 32¢ 48≤. Per fare ciò, disponiamo in colonna le misure date in modo tale che le unità dello stesso ordine si corrispondano e poi addizioniamo separatamente i secondi con i secondi, i primi con i primi, i gradi con i gradi.

5° 18¢ 27≤ + 12° 32¢ 48≤ = 17° 50¢ 75≤≤ In questo caso il risultato deve essere ridotto in forma normale: 17° 50¢ 75≤ è uguale a 17° 51¢ 15≤.

La sottrazione si esegue analogamente all’addizione. Però, fai attenzione al caso b.! Poiché 16¢ < 18¢, si prende nel minuendo 1° da 35° (che diventano 34°) e lo si trasforma in primi: 1° = 60 60¢. I 60¢¢ ottenuti si aggiungono a quelli già presenti nel minuendo, cioè a 16¢ (che diventano 76¢¢). Quindi si esegue la sottrazione 76¢ – 18¢ = 58¢.

La sottrazione Eseguiamo insieme le sottrazioni:

26¢ 48≤ – a. 30° 26

20° 9¢ 32≤ = 10° 17¢ 16≤≤

34°

76¢

16¢ 19≤ – b. 35° 16

10° 18¢ 10≤ = 24° 58¢ 9≤≤

La moltiplicazione Moltiplichiamo una misura angolare per un numero naturale:

15° 13¢ 42≤ ¥ 2 = 30° 26¢ 84≤≤

Riduciamo ora il risultato in forma normale: 30° 26¢ 84≤ = 30° 27¢ 24≤.

La divisione Dividiamo una misura angolare per un numero naturale:

32° 20¢ 28≤ 32° 20¢ 28≤ = = =

4 8° 5¢ 7≤≤

Con le misure del tempo si possono eseguire le quattro operazioni, con un procedimento simile a quello visto per le misure degli angoli. ESEMPIO

9h 30m 8s + 5h 7m 7s = 14h 37m 15s 2h 12m 25s ¥ 2 = h m 4 24 50s

80m

20m 45s – 4h 30m 10s = 1h 50m 35s

40h 10m 35s 40h 10m 35s = = =

5 2m

7s L’orologio scandisce il tempo in ore, minuti e secondi.

... verifico 1

In che modo si può eseguire la seguente sottrazione? 15° 10¢ –

......................................................................

9° 12¢ =

......................................................................

Completa la tabella e riduci di volta in volta il risultato in forma normale, se ciò è possibile. Esegui i calcoli sul tuo quaderno. Completa la tabella. Esegui i calcoli sul tuo quaderno. +

6° 8¢ 10≤

12° 16¢ 20≤

35° 41¢ 56≤

11° 5¢ 13≤

................... ...................

...................

2° 27¢ 40≤

................... ...................

...................

80° 20¢ 15≤

................... ...................

...................

31° 58¢ 48≤

................... ...................

...................

–

15° 20¢ 35≤ 8° 18¢ 40≤

10° 50¢ 50≤

72° 58¢ 42≤

...................

19° 25¢ 52≤

...................

60° 39¢ 55≤

...................

90°

...................

..................

180°

...................

....................

Attenzione! 90° – 5° 7¢ 10≤ si esegue così: 89°

59¢

90° 60¢ 60≤ – 5° 7¢ 10≤ = 84° 52¢ 50≤

Esegui le seguenti moltiplicazioni.

a. (8° 3¢ 5≤) ¥ 3 = .......................................................................................................................................................................

(10° 3¢ 6≤) ¥ 5 = b.

¥2=

(1h

4s)

(4g

16m)

....................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

¥7=

...................................................................................................................................................................

c. (6° 13¢ 21≤) ¥ 6 =

.................................................................................................................................................................

(11° 12¢ 4≤) ¥ 10 = ............................................................................................................................................................... d. (7° 5¢ 2≤) ¥ 4 = .......................................................................................................................................................................

(12° 4¢ 8≤) ¥ 8 =

....................................................................................................................................................................

Esegui le seguenti divisioni.

ESEMPIO 24° 35¢ 1≤ : 7

24° 21°

3° × 60 =

35¢

1≤

7 3°

180¢ 215¢ 210¢ 5¢ × 60 = 300≤ 301≤ 301≤ ===

30¢

43≤

a. (20° 12¢ 30≤) : 2 = .................................................................. b. (40h 15m 20s) : 5 = ................................................................. c. (60° 25¢ 15≤) : 3 = .................................................................. d. (55° 33¢ 22≤) : 11 = ............................................................... e. (63h 49m 42s) : 7 = ................................................................. f. (99° 46¢ 3≤) : 9 = ....................................................................

ESERCIZI p. 26