Digimat_1_Layout 1 23/12/10 15:19 Pagina 1
Il numero
1
Il libro
Un metodo collaudato per l’acquisizione di solidi fondamenti, che porta la matematica vicino agli studenti, ora anche grazie agli strumenti digitali. Il corso è caratterizzato da: • lezioni affiancate da verifica immediata • esercizi strutturati per obiettivi e graduati • materiali per la preparazione alle prove INVALSI. Il CD-Rom per LIM e PC/MAC
• • • •
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lezioni interattive con test di verifica per la LIM software e-Tutor per la erogazione, la modifica o la creazione di verifiche con correzione automatica (per il docente) e di esercizi con autocorrezione (per lo studente).
1
1
Anna Monte Montem murro urro
CD-ROM CD-ROM
Anna Montemurr Montemurro
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2 22
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DigiMAT Aritmetica 2 + Geometria 2 + Quaderno Palestra INVALSI 2 + CD-Rom studente 2 ISBN 978-88-418-6098-4
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DigiMAT Algebra 3 + Geometria 3 + Quaderno Palestra INVALSI 3 + CD-Rom studente 3 ISBN 978-88-418-6099-1
con test e attività interattive
Il numero
DigiMAT Aritmetica 1 + Geometria 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1 ISBN 978-88-418-6097-7
Anna Montemurro Montemurro
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Anna Montemurro Montemurro
CD-ROM
DigiMAT
Anna Montemurr Montemurro
1 DigiMAT Anna Montemurro
Il Sito
lezioni animate sugli argomenti fondamentali test, autoverifiche e esercizi per la preparazione alla prova nazionale, interattivi e con autocorrezione laboratori informatici con software matematici materiali per l’eccellenza.
Composizione del corso Anna Montemurro Montemurro
Anna Montemurro
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Altre opzioni di vendita DigiMAT Aritmetica 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1
ISBN 978-88-418-6530-9
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DigiMAT Aritmetica 1 + Geometria 1 + Quaderno Palestra INVALSI 1 + CD-Rom studente 1 (4 elementi indivisibili)
1
Il numero
Anna Montemurro
DigiMAT Il numero
internet: www.deagostiniscuola.it e-mail: redazione@deagostiniscuola.it
Redattore responsabile: Tecnico responsabile: Progetto grafico: Copertina: Realizzazione editoriale e tecnica: Disegni:
Alessio Delfrati Marco Grilli Maura Santini Maura Santini BaMa, Vaprio d’Adda (MI) Antongionata Ferrari, Valter Casiraghi, BaMa, Vaprio d’Adda (MI)
Art Direction:
Nadia Maestri
Proprietà letteraria riservata © 2011 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2011 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Foto De Agostini Editore Picture Library Foto copertina: iStock, Dreamstime. L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori.
Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941, n. 633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da: AIDRO – Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano e-mail: segreteria@aidro.org; www.aidro.org
Stampa: La Tipografica Varese - Varese
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2011
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2013
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DigiMAT - © De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara
Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore.
presentazione ai docenti
H
o realizzato questo corso di matematica rifacendomi alla particolare struttura espositiva che caratterizza i precedenti corsi pi greco, Sistema matematica, Destinazione matematica e Teorema, perché credo che questo metodo di lavoro renda più efficace l’apprendimento.
Ogni unità del corso, infatti, sviluppa in modo compiuto i vari argomenti mediante “lezioni” attentamente organizzate: la teoria ((Apprendo) viene esposta nella pagina a sinistra, le conoscenze sono immediatamente messe in pratica tramite esercizi appropriati per il rapido riscontro dell’apprendimento nella pagina a destra (Verifico). Fidandomi della mia esperienza didattica, sono convinta che questa organizzazione particolare della disciplina, all’insegna dell’essenzialità e della operatività, contribuisca a: rendere più semplice lo studio – solitamente ostico – della matematica; far acquisire un metodo di studio innovativo e proficuo; promuovere un lavoro organizzato e cadenzato secondo ritmi di apprendimento ben sperimentati. La teoria è spiegata in modo chiaro, lineare, preciso ed esauriente con un linguaggio accessibile ai ragazzi/e di questa fascia scolare. Generalmente ho usato il metodo induttivo: partendo da una situazione problematica familiare, giungo alle definizioni, alle proprietà di un’operazione, di una figura geometrica, alle regole e, infine, all’acquisizione dei concetti astratti. Le vignette che illustrano le “lezioni” non sono fini a se stesse. Le didascalie, infatti, sintetizzano – spesso mediante domanda e risposta – i punti salienti dell’argomento svolto,contribuendo a stimolare la capacità di osservazione e le capacità intuitive dell’alunno/a. Inoltre, la costante presenza di “amici”, rappresentati da un particolare tipo di disegno, suggeriscono l’avvio di esercizi e problemi particolarmente impegnativi. Vastissimo è il repertorio di esercizi presenti nel volume base, suddivisi per argomento e graduati per livello di difficoltà: esercizi e problemi di applicazione per accertare le capacità operative di calcolo; esercizi e problemi di riepilogo e consolidamento per ripercorrere in modo organico gli argomenti di ciascuna unità; esercizi per il recupero e ripasso sotto forma di schede, per recuperare gli obiettivi minimi prefissati o per ripassare gli argomenti trattati; test di autoverifica con 20 domande a scelta multipla con griglia di autovalutazione in decimi. Ciascuna unità si chiude con una mappa concettuale che evidenzia i collegamenti tra i diversi argomenti dell’unità stessa. Questo nuovo corso si intitola DigiMAT perché le caratteristiche didattiche di questo metodo ampiamente sperimentato sono state potenziate grazie all’apporto degli strumenti digitali. Innanzitutto, l’informatica è strettamente integrata nel testo dello studente e con gli argomenti del programma di matematica. Infatti, alla fine di ciascun volume troviamo il laboratorio interattivo con interessanti schede a carattere interdisciplinare corredate di attività da svolgere sia su carta sia con il computer, e un prontuario di informatica relativo ai programmi Excel per l’aritmetica e GeoGebra per la geometria, con indicazioni per l’uso di Word come editor di testi matematici (Equation Editor). Inoltre, a ogni volume è allegato un CD-ROM per lo studente che contiene lezioni animate da vuisualizzare sul PC o la LIM, test e autoverifiche interattive per argomenti con autocorrezione, test per la preparazione alle prove INVALSI, videolezioni ed esercitazioni sui software per la matematica, schede stampabili di integrazione e di ripasso. Particolare attenzione è stata infine posta alla preparazione della Prova Nazionale, non solo nel CD-ROM, ma anche negli appositi fascicoli allegati a ciascun volume, che contengono simulazioni di prove nazionali, prove INVALSI ufficiali, esercizi di Arricchimento per l’eccellenza. Spero di essere riuscita a fornire un corso di matematica innovativo e moderno, capace di soddisfare le esigenze dei colleghi e dei ragazzi/e. settembre 2010 Anna Montemurro III
IL NUMERO indice
UNITÀ
1
0 SCOPRIAMO… GLI INSIEMI
1
0.1
Concetto di insieme
2
0.2
Rappresentazione di un insieme
4
0.3
Sottoinsiemi
6
0.4
Intersezione di insiemi
8
0.5
Insiemi equipotenti esercizi
UNITÀ
1 NUMERI NATURALI E DECIMALI
10 12
Test interattivi
15
Lezioni animate
1.1
I numeri naturali
16
1.2
Confronto e ordine di numeri naturali
18
1.3
Rappresentazione dei numeri naturali
20
1.4
Il sistema di numerazione decimale
22
1.5
Valore assoluto e valore relativo
24
Numeri pari e numeri dispari
24
1.6
Scrittura polinomiale di un numero
26
1.7
I numeri decimali
28
1.8
Il valore dello zero
30
Confronto e ordine di numeri decimali applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
30 32 52 59 60 61
UNITÀ
2 LE QUATTRO OPERAZIONI FONDAMENTALI 63
2.1
L’addizione
64
2.2
L’addizione in colonna con i numeri naturali e decimali
66
2.3
Le proprietà dell’addizione
68
2.4
La sottrazione
70
2.5
La sottrazione in colonna con i numeri naturali e decimali
72
2.6
Le proprietà della sottrazione
74
2.7
Un cenno ai numeri relativi
76
2.8
Espressioni aritmetiche e uso delle parentesi
78
2.9
La moltiplicazione
80
2.10
La moltiplicazione e l’insieme N
82
La moltiplicazione in colonna
82
Le proprietà della moltiplicazione
84
2.11
IV
Schede di integrazione
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Lezioni animate
indice 2.12
Moltiplicazione di un numero per 10, 100, 1000, ...
86
Espressioni con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni
86
2.13
La divisione
88
2.14
La divisione in colonna
90
Divisione esatta e approssimata
90
2.15
Le proprietà della divisione
92
2.16
Divisione di un prodotto per un numero
94
La divisione e l’insieme N
94
Divisione per 10, 100, 1000, ...
96
Espressioni con le quattro operazioni
96
2.18
Risolvere problemi matematici
98
2.19
Risolvere problemi con diversi metodi applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
2.17
100 104 154 160 161 162
165
3.1
3 LA POTENZA
Il concetto di potenza
166
3.2
Le proprietà delle potenze
168
3.3
Espressioni con le potenze
172
Radice quadrata e cubica
172
La notazione esponenziale
174
L’ordine di grandezza applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
174 176 196 201 202 203
UNITÀ
3.4
UNITÀ 4.1
4 LA DIVISIBILITÀ
205
I multipli di un numero
206
I divisori di un numero
206
4.2
I criteri di divisibilità
208
4.3
Numeri primi e numeri composti
212
4.4
Scomposizione in fattori primi
214
4.5
Criterio generale di divisibilità
216
4.6
Massimo Comune Divisore
218
4.7
Alcune osservazioni sul M.C.D.
220
4.8
Minimo comune multiplo
222
4.9
Alcune osservazioni sul m.c.m.
224
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Lezioni animate
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Lezioni animate
V
indice
4.10
M.C.D. e m.c.m. di due o più numeri
224
Risolvere problemi con M.C.D. e m.c.m. applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
226 228 250 255 256 257
UNITÀ 5.1
5 LE FRAZIONI
259
L’unità frazionaria
260
La frazione come operatore
260
5.2
Frazioni proprie, improprie e apparenti
262
5.3
La frazione come quoziente
264
5.4
Frazione complementare
266
Frazioni improprie e numeri misti
266
5.5
Frazioni equivalenti
268
5.6
L’insieme dei numeri razionali assoluti
270
5.7
Riduzione di una frazione ai minimi termini
272
5.8
Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato
274
5.9
Riduzione al m.c.d.
276
5.10
Confronto di frazioni
278
5.11
Risolvere problemi con le frazioni applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
282 284 312 317 318 319
UNITÀ
6 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
321
6.1
Addizione di frazioni
322
6.2
Sottrazione di frazioni
324
6.3
Espressioni con addizioni e sottrazioni di frazioni
326
6.4
Moltiplicazione di frazioni
328
6.5
Divisione di frazioni
330
6.6
Potenza di una frazione
332
6.7
Frazioni a termini frazionari
334
6.8
Espressioni con le quattro operazioni e le potenze di frazioni
336
6.9
Problemi con somma e differenza applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
338 340 376 383 384 385
VI
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Lezioni animate
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Lezioni animate
Test interattivi
Autoverifica interattiva
indice UNITÀ
7 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
387
7.1
Ideogrammi
388
7.2
Areogrammi
390
7.3
Istogrammi
392
7.4
Diagrammi cartesiani applicazione riepilogo e consolidamento SINTESI Test di autoverifica recupero e ripasso
394 396 407 409 410 411
LABORATORIO INTERATTIVO
413
414 415 417 420 421
digilab 1 – I numeri degli antichi 2 – Amministra il tuo budget 3 – Con 1 e 0 si può fare tutto 4 – Il mistero dei numeri primi 5 – La musica delle frazioni 6 – Il quadrato magico 7 – Torri, torte e diagrammi
424 426 428 430 432 434 436
risposte glossario tavole
Test interattivi
Autoverifica interattiva
Laboratori informatici
414
Prontuario di informatica introduzione a Excel Il foglio elettronico: Excel I principali strumenti di Excel Operazioni e funzioni con Excel Costruire una tabella Creare grafici
APPENDICE
Lezioni animate
439 440 441 443
VII
... verifico
La teoria è organizzata in lezioni. Una serie di lezioni forma un’unità. Ogni lezione affronta un argomento nella pagina di sinistra (Apprendo) e propone una esercitazione immediata nella pagina di destra (Verifico). In questo modo è più facile studiare e verificare le tue conoscenze.
1
2
........................
........................
..............
.
......
........................
......
.............
3 4
5
Le vignette, spesso all’inizio di ogni lezione, ti aiutano a “scoprire nella realtà” un po’ di matematica.
UNITÀ
5.4
a? mento è rimast 2 frazione di seg suoi 5 . Quale e considera i cm 15 di nto me Disegna un seg Quanto misura? a? i disegni. Come si chiam aiutandoti con 7 uenti frazioni, 6 2 ntari delle seg 12 2 ni compleme 12 zio fra 3 le a 11 2 9 Determin 4 15 b. 3 5 4 11 5 7 3 8 6 10 a. 5 9 ne indicata. fica della frazio gra e ion taz ...... presen ........................ se e fai una rap parte .................. una da Completa la fra ta ma perché è for ....................... to ...... mis 3 ...... ero ...... a num ............ 1 + si chiam ia, che è ............ L’espressione 5 parte frazionar ...... , e da una ........................ che è il numero
Apprendo..
=
+
7
uenti Osserva le seg 7 = 7: 3 3 6 2 1
interi resto
parte colorata. corrisponde alla = ............... +
...................
= 2 + .............
+
ottengono. ri misti che si i e scrivi i nume trasformazion 11 ................. = 11 11: 4 = 4 4 8 2 interi 7 2 + ........... ressto = 3 3
rie. frazioni improp alle seguenti corrispondono meri misti che 12 nu i ivi Scr 8 8 10 5 LTO 5 a. 3 ESERCIZIO SVO 6 4 30 =9: 5 11 15 4 9 1+ 24 11 intero quindi: = 9 b. 8 5 .... 5 7 ...... ............ .... ............ ......to ......res
Le frazioni
Frazione re complementa
di una frazio mplementare La frazione co tero. l’in a let mp parte che co
misto che ura il numero di ciascuna fig Scrivi a fianco
6
..................
io pria, per esemp una frazione pro l Consideriamo ppresentato da (ra o ter l’in di e 3 ch si dividono una barretta . Essa esprime che ne Lara e Carlo e 1 Carlo li ua ug rti e 8 8 pa in ne prende iso Lara . olato div no ciocc to eg sta dis 4 cerchio) è senape nel 3. se 3 (in giallo sono state pre mangia tutto il resto, cioè 4 preso o nd ave e, a fianco). tari. ch si nota sono frazioni complemen ura e fig (in la 5 e do • o rimast Osservan ll’intero, ne son de rti pa 8 lle 3 de 5 no), ossia 8. verde nel diseg tare ne complemen si chiama frazio e la Questa frazione a che esprim
ESEMPIO
ne propria è
quell
2 . mplementare di 9 e la frazione co Vogliamo trovar e: ch o te e osserviam mo graficamen 2 7. La rappresentia è di e tar en lem 9 9 la frazione comp
291 e 292 ESERCIZI pp.
Esercizi guidati e svolti
Negli argomenti più difficili sei aiutato da Esercizi (o problemi) guidati, che ti suggeriscono il modo di risolverli, e Esercizi (o Problemi) svolti, che forniscono un esempio per la risoluzione.
i misti antità magoprie e numer Frazioni impr pria indica, come abbiamo già dematto,diununa qu numero natu-
Esempio
Il testo è ricco di esempi che ti permettono di capire immediatamente come applicare un concetto.
ne impro sa dalla som Qualsiasi frazio ò essere espres o, pertanto pu giore dell’inter a. pri pro 3 ne zio dell’intero. rale e di una fra 7 formata da 1 intero e da 4 è ne zio fra 4 Per esempio, la + 3 dell’intero 3 7 1 intero 4 o: = 1 + 4 Quindi scriviam 4 7 numero misto. o ne sta della frazio 4 dice forma mi procedimento: 7 Tale scrittura si amo il seguente frazione , usi lla de sta mi ma 4 for la ere en ott 3 Per si ottienee: 1 + 4 isione 7 : 4 e 7 si esegue la div =7:4 4 1 intero 4 3 resto -
nume sto si divide il un numero mi te delimpropria in ero il quozien una frazione e numero int isione. are com div rm e lla sfo um de tra ass r to Pe e e si a il res tor pri na pro mi ne no de zio ne impropria. della fra ratore per il e numeratore pria è lo stesso della frazio com e ne isio pro la div ne e della frazio Il denominator
266
VIII
........................
...... l’ ........................ 5 3 Completa. ché completa re di 8 è 8 per complementa ........... ........................ a. La frazione ........................ ........................ ........... perché ntare di ............ 6 me ple com ti. ne i colora b. 9 è la frazio de ai quadrett antità? In che modo che corrispon qu esprime tale ura la frazione tero? Come si di ciascuna fig ...... Scrivi a fianco i mancano per ottenere l’in ........................ ett Quanti quadr ............. è chiamata?
Vignetta
.
Come È fatto il tuo libro?
Le lezioni
Regola Le regole, scritte in maniera
chiara ed evidenziate in colore, ti aiutano a memorizzare i concetti chiave.
7 67 26
il libro unità
La divisibilità Conoscenze
4
GLI ESERCIZI Gli esecizi sono organizzati secondo un criterio di completezza e gradualità.
Abilità
multipli e sottomultipli criteri di divisibilità numeri primi e numeri composti scomposizione di un numero in fattori primi criterio generale di divisibilità Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo
calcolare i multipli e i divisori di un numero applicare i criteri di divisibilità scomporre un numero in fattori primi applicare il criterio generale di divisibilità calcolare il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo tra due o più numeri
a post la ris dola Indica dividuan : , in te esatta le propos el tra qu
Conosci le operazioni aritmetiche? A 141
C 714
B 35
C 72
D 45
Conosci le potenze e le loro proprietà?
e. Se A =
A B
C 2¥2¥2¥
C
B 4¥4
D 4+4+4+4
D {c, d, f }
NUMERI E REALTA ` i estive si Le olimpiad ni, mentre ogni 4 an svolgono anni. ali ogni 3 rn ve in e quell sono l 2006 si Poiché ne le altre, le une sia svolte sia terranno si be am entr nel 2018.
applic
odotti.
40 0
80 ¥ 40
6 ¥ 300
00 146 ¥ 50 0 25 ¥ 60 200 11,33 ¥
00
0,34 ¥
12,6 ¥
273
ESEMPIO
276
a Complet
35 ¥ 0,1
= (35 x
mente
12 ¥ 11 =
277 278
15,4
400
¥
= 421 = 0,09
318
5000
0,1 0,01 0,001
otti.
12 = 132 = 120 + 23 ¥ 11 64 ¥ 9
10
3
4
7
6
5
volum 2 do al in fon ottenuta. io 1 e ortate elle rip la votazion Eserciz con qu ee risposte parazion 3 le tue ello di pre onta liv nfr 2 Co o il tuo denzian
e. Per
11
10
9
8
ogni ris
posta
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13
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5
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19
20
. I color i sotto
i evi-
10
9
8
7
6
18
17 riport ore”
1
Voto
5
Le frazioni
125 ¥ 11 32 ¥ 11
1
In quante parti è stato diviso il quadrato? Considera la parte colorata. Come si definisce?
2
Rappresenta con dei disegni le unità frazionarie
3
Considera i mesi dell’anno che iniziano con la lettera L. Quale frazione di anno essi rappresentano? E i mesi il cui nome comincia con M? Nella parola “arcobaleno” quale frazione rappresentano le vocali rispetto a tutte le lettere?
4
3 Disegna un segmento lungo 15 cm. Applica l’operatore indicandolo con un tratto verticale. 5 Descrivi il procedimento che hai usato.
5
Rappresenta con dei disegni le seguenti frazioni:
6
Disegna un segmento di 20 quadretti e opera su di esso con la frazione ottenuto e misura la sua lunghezza in centimetri.
7
Colora e scrivi sotto a ogni disegno la frazione corrispondente alla parte colorata.
8
1
34 ¥ 10
16 ¥ 99
3
SO
Domand
a
• due terzi ................................
Come si l’unità ottiene fraziona ria?
•
di
Come op la frazio era ne?
• Risposta
. Disegna il segmento
Se non test pe hai superato rarti sug r l’autoverific con successo a, o se il li arg prova a rispon omenti di qu devi prepaesta un dere all ma col ità on e sta nel na. Se non ci domande ne , la secon lla pririe da colon sci, trovi la risp na. La terza col oon-
L’unità fra l’intero zionaria si ott in una qu parti uguali iene dividend alsiasi. o e prend endone 1 5 indica 1 parte
su 5
Indica sponde a quale unità fra la parte del cerch zionaria corriio color ata in
La frazio e ne co ne divide l'inter nsidera o in pa una rti ugua li
o più. Hai ottenuto quantità uguali o diverse? Perché? Motiva la risposta.
A
•
9
g.
h.
Quaderni invalsi
3 5 6 , , . 7 12 11
ERO E RIPAS
Dati i segmenti
10
312
4 divide l’u 7 nità in 7 parti e ne co uguali nsidera 4. Sì. La fra divisione zione è il quoz denomi tra il numerat iente della natore: ore e il 2:3= 2 Quando 3 si dice una frazione pr Propria, improp opria, se ria, ap parente? del denomi il numeratore è mino natore: re 2 5 2 Sottolin 5 7 ea le fra 11 zioni pro prie. Improp 9 12 3 del denoria, se il nume 7 4 11 ratore è minator 2 3 5 Scrivi cin maggior e: 9 13 6 9 4 qu e e frazio 8 ni propri 2 4 Sottolin e. ea le fra 5 zioni im proprie. Apparen 15 8 del deno te, se il nume 4 ratore è minator e: multiplo 4 12 4 3 5 Scrivi cin 15 que fra zioni im 4 3 Sottolin proprie. 5 ea le fra Quando zio ni appa renti. si dicon due frazioni 10 o equiv 6 5 16 3 12 12 alenti? Se rappresen 20 tano la di uno 10. Scrivi 4 5 6 20 4 ste ste 5 cinque moltiplica sso intero. Si ssa quantità frazioni termini ndo o divide ottengono apparen 11. Comp ti. leta la tab numero di una frazionendo entramb ii ella. fraz. diverso per uno ¥2 ¥ 2 ¥3 da zero: stesso ¥ 4 fra 2 3 z. ¥2 ¥ 6 3 ¥4 5 5 5 = 10 1 6 ¥2 8 4 3 9 4 3 5
Dati i segmenti
Le ampie batterie di esercizi che seguono le lezioni Applicazione) sono strutturate per argomento e per difficoltà. Gli esercizi marcati da sono i più difficili, quelli con hanno difficoltà media e quelli senza contrassegno sono i più facili.
I tre quaderni INVALSI contengono simulazioni di prove nazionali per la preparazione alle prove INVALSI, prove ufficiali sottoposte agli studenti negli anni passati ed esercizi di arricchimento per sviluppare ulteriormente le tue capacità matematiche.
1 1 1 , , . 4 6 9
RECUP
modo che sia
17 ¥ 21
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27 ¥ 10
falso? Vero o = 10 ¥2¥2 a. 2 + 2 = 48 +6¥6 b. 6 + 6 ¥5 ¥5=6 c. 2 + 4 3 = 18 ¥ 3 + d. 3
5 4
20
9
Agli esercizi per argomento seguono altri due livelli operativi: esercizi di Riepilogo e consolidamento ed esercizi di Recupero e ripasso.
13 ¥ 19
280
C
......................................................................................................................................................
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15 ¥ 9
124
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= 4190
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= 254,3
41,9 ¥ = 110,5 ente. mentalm calcoli i do en a esegu la tabell
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1,105 ¥
= 387
0,387 ¥
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1,8 ¥ 90
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5,6 ¥
ESEMPIO
3,45 ¥
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= 34 3,4 ¥ 10
274 275
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125,2 ¥
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1,239 ¥
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16,7 ¥
40
1,25 ¥
0,6 ¥ 50
271 272
19 ¥ 60
71 ¥ 40
9
riepilogo e consolidamento
30 ¥ 80
269 270
I test sui prerequisiti sono strutturati su domande a risposta multipla, secondo i criteri delle prove INVALSI.
UNITÀ
50
40 ¥ 20
267 268
e B sono:
riepilogo e consolidamento
rapida
265 266
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11
ione a fraz è un naria le a 1 azio tà fr 12 e ugua uale a 1 L’uni erator ug a0 il num minatore le ua il deno eratore ug 7 il num ende a così: ne pr de 5 e oper li ugua e ne pren ne 13 li azio 5 parti 2 La fr e l’intero inin 7 parti ugua 5 divid l’intero o per e divid lica l’inter della tato moltip il risul ca indi ne azio ¥ 11 3 La fr tiplicazione66 mol 14 11 è: ria se prop dice ne si io fraz ll’unità 4 Unamaggiore denità 15 le all’u e: ugua dell’unità sempr e ria è minor prop ne im frazio tà 5 Unauguale all’udenill’unità ore 16 e: maggi dell’unità sempr e nte è minor pare ne ap ità frazio 6 Unaminore dell’oun turale na ità mer ro 17 se: un nu ore dell’un o inte lenti o stess uiva maggi no eq antità di un ni so qu e frazio stessa inator 7 Dueesprimono laesso denomeratore st m lo 18 nu o hann lo stesso rente o appa hann 3 è: ibile ne riduc azio fr 19 8 La ibile irriduc
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A fine unità, la Autoverifica ti consente di valutare il tuo livello di preparazione, grazie a un righello misuratore fornito anche in digitale nel CD-ROM.
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Sai riconoscere gli elementi comuni di due insiemi?
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TEST SUI PREREQUISITI
a. 23 ¥ 7 = …
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La frazio ne è il risult ato di una divisio ne?
319
IX
Questo nuovo corso si chiama DigiMat perché l’informatica è strettamente integrata nel testo attraverso i Laboratori digitali.
Prontuario d’informatica
Costruire una tabella
Excel offre la possibilità di creare una tabella a partire da uno o più elenchi di dati scegliendo tra due diverse modalità. Se per esempio le informazioni che hai sono le seguenti: Pianeta
laboratorio...
Raggio equatoriale
Massa
Distanza dal Sole
Mercurio
2440 km
0,05 MT*
0,4 UA**
Venere
6052 km
0,81 MT
0,7 UA
Terra
6378 km
1 MT
1 UA
Marte
3396 km
0,10 MT
1,5 UA
Giove
71.492 km
317,80 MT
5,2 UA
Saturno
60.268 km
95,16 MT
9,6 UA
Urano
25.559 km
14,54 MT
19,1 UA
Nettuno
24.776 km
17,15 MT
30 UA
* Massa della Terra. ** Unità astronomica: è la distanza media tra la Terra e il Sole.
Puoi procedere in due modi: per inserire una tabella in uno stile predefinito seleziona le celle che contengono questi dati, poi nel gruppo Tabelle della scheda Inserisci, fai clic su Tabella; per formattare invece i dati come tabella, seleziona le celle con i dati, e nel gruppo Stili della scheda Home clicca su Formatta come tabella. Scegli lo stile e il colore che preferisci e la tabella verrà inserita automaticamente.
In ogni tomo è presente un Prontuario di informatica, un manuale pratico per l’uso dei programmi dotati di funzioni matematiche (Equation Editor, Excel, GeoGebra). Figura 1.5
Da questo momento in poi è possibile modificare le caratteristiche della tabella selezionando dalla scheda Strumenti tabella, i vari comandi presenti nei gruppi Proprietà, Strumenti, Dati tabella esterna, Opzioni stile tabella, Stili tabella. I dati presenti nella tabella possono essere numeri, parole o simboli. I dati numerici possono essere formattati in modi differenti. Per esempio, la data 20 febbraio 2010 può essere scritta nel formato 20/02/2010, 20-02-10, 20-feb-2010, 20 febbraio 2010 e in modo che in tutta la tabella ogni data sia visualizzata così. Nella Tabella i dati sono soprattutto numerici. In particolare nella colonna massa ci sono numeri con un’estensione decimale di 2 cifre, e nella colonna diUNITÀ stanza dal Sole ci sono numeri con una sola cifra decimale. Per troncare i Le quat tro oper a una determinata cifra deciazionnumeri i fo
2
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420
Il CD-ROM
Insieme al corso sono forniti numerosi strumenti digitali off line su CD-ROM: • lezioni animate per studiare gli argomenti fondamentali; • esercizi interattivi su tutte le unità del corso; • autoverifiche di fine unità presenti nei volumi con valutazione automatica; • laboratori informatici per fare matematica con Excel, Equation Editor, GeoGebra; • test INVALSI interattivi per allenarsi anche sul PC alle prove nazionali; • integrazioni e ripasso, schede di approfondimento, esercizi e ripasso degli argomenti dell’anno precedente.
X
ATOR
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il tuo Shoppi In un su ng di ie budg p ri: lega et prodott ermercato ogn capelli Due gi (e 1,90 i, mentr i orni fa )e e altri si giorno arriva a tenere galato io, Lisa a Laura no nuo esaurisc il e Camill co n un vi M to o sce? Esi erenda a abbiam portam a on stono p di ciò che arriva no. Come si fa sc o reete (e uola: og patatine 24 gestire rogram ni ,6 e ciò ch il m 20 euro (60 cent. ognu giorno un pa 0). cc !! archivi flusso dei pro i costruiti ad e finino) pe r 4 gg. hetto di Spesa sc !! in do h Paghet uola: 2 ciò che cui si tiene no tti. Sono com oc per ta: quader to pen e grand arriva o ta di ciò ni (e 1, rosso (e i gni giorn e del g 75 ch 2, ci e 90 as finis ). cuno), u o tratpuò esse adagno. Anch , dei costi, del ce e di le e di ques re usato per an il programm spese Per to tipo. av a notare e gestire Excel da Excere un riscontr o si el conti Il porta assegna ( Prontuario curo, Sara si fa monete ). Sara ap monete un nome a un Lancia il progr aiutare re il su di Sara foglio d Sa amma, ra o portam chi. Ci . Su struisce i so una tab questo foglio lavoro: portaquasi si no dei soldi in onete e sgran te e i so ella dove elettron a cura!) 5 m g li en ld ic o i ricevu o, manca cdi aver euro. L’ ti, poi sa trascrive le spes o cono u n rà Excel e portam otato quanti so ltima volta che (ne è Un a fare i faton a conti! euro! P ete è stato cin ldi erano prese ricorda La p iuto da Excel er prim rima tab q n u ti e gi n el o a cosa ciò che ella ch delle sp prova ad rni fa: c’erano h ese fatt e Sara costru 7 un negli ult a comprato e annotare e (si isce ti a pre qu imi cinq ue giorn anti soldi ha ri tutto a Exc confezionata può scegliere ene nota el la da cevuto i. di singolo spesa moltiplicExcel). Poi fa ca usarne prodott lcolare ando il o Fig. 1). per il numer prezzo di ogn o di pez i zi acqu i-
LABOR
Come È fatto il tuo libro?
Gli strumenti Il digitali
Attivi
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Prova anche tu ad am spendi min , de Poi cost lle cose che ac istrare il tuo budget ruisci un quisti e . Pe de se e un foglio a per le Excel, co l loro prezzo r i prossimi tr . Segnat e entrat me qu e (di 3 ello us i anche giorni tieni il giorni at conto o i so da Sara consec Attivit di quel . In part ldi che ricevi utivi) e lo che à2 e quelli icolare una ta che ha crea un bella pe i già. a r tabella il conto Excel no per le fi na le. n serve spesolo a colare gestire le med so ie delle pagelle ldi e budget . Puoi us dei gioc are le op atori di 426 erazio calcio. ni di so mma e division e per ca l-
I programmi informatici sono sfruttati per lavorare in chiave laboratoriale su approfondimenti, collegamenti interdisciplinari, storia della matematica, nei DigiLAB.
unità
Scopriamo... gli insiemi Conoscenze
0
Abilità
concetto di insieme rappresentazione di un insieme sottoinsiemi, intersezione, insiemi disgiunti insiemi equipotenti
riconoscere e formare un insieme matematico rappresentare insiemi e sottoinsiemi eseguire l’intersezione di due insiemi riconoscere e rappresentare due insiemi equipotenti
TEST SUI PREREQUISITI Hai dimestichezza con le lettere, le sillabe e le parole dell’alfabeto italiano?
b. Da quante sillabe è formata la parola
“matematica”?
a. Quali sono le lettere che compongono la
parola “luce”?
A 3
B 4
C 5
D 6
c. Quante sono le lettere dell’alfabeto
A l, u, c, e
C l, c
italiano?
B u, e
D l, e
A 30
B 21
C 15
D 20
NUMERI E REALTA `
DigiMAT - © De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara
e Un insiem i di elefant “branco”. si chiama
Vuoi saperne di più sugli insiemi? Troverai tutto il materiale necessario per approfondire le tue conoscenze ed esercitarti con gli insiemi nel CD-ROM allegato.
UNITÀ
0.1
Scopriamo... gli insiemi
Concetto di insieme
Nel linguaggio comune usiamo la parola “insieme” per indicare un raggruppamento di persone, di animali, di oggetti ecc.
Apprendo...
In matematica, un qualsiasi raggruppamento costituisce un insieme solo se gli oggetti che ne fanno parte, detti elementi, elementi sono distinti l’uno dall’altro e ben definiti. In pratica, si deve poter stabilire con assoluta certezza se un oggetto appartiene all’insieme considerato oppure no.
La stella polare, che indica la direzione del Nord, appartiene all’insieme delle stelle della costellazione dell’Orsa Minore (o Piccolo Carro)? • Certamente sì!
Per esempio, i quadri esposti in una sala definiscono un insieme, mentre i quadri belli non definiscono un insieme. Infatti, non è possibile stabilire con certezza quali tra essi fanno parte dell’insieme “quadri belli” perché il concetto di bellezza è soggettivo, cioè varia da persona a persona.
Un insieme, in senso matematico, è un raggruppamento di oggetti distinti l’uno dall’altro, tale da poter dire con precisione se un certo oggetto, comunque scelto, appartenga o no al raggruppamento considerato.
Un insieme è generalmente indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto: A, B, C, C ... e ogni suo elemento con una lettera minuscola: a, b, c, ... oppure con il suo nome o con il suo simbolo. Per esempio, l’insieme dei colori del semaforo può essere indicato con la lettera A e i suoi elementi, cioè il rosso, il giallo e il verde, con le lettere a, b, c. Per indicare che un elemento a appartiene all’insieme A, si scrive: A a• c•
a ŒA, dove il simbolo Œ si legge “appartiene a”. b•
Per indicare che un elemento b non appartiene all’insieme A, si scrive: b œA, dove il simbolo œ si legge “non appartiene a”. Per esempio, dato l’insieme A delle lettere della parola “ uva”, si ha: u ŒA
v ŒA
a ŒA
r œA
Un insieme si dice: finito, se i suoi elementi sono limitati; infinito, se sono infiniti; vuoto, se è privo di elementi. Un insieme vuoto si indica con il simbolo Δ. Per esempio, l’insieme delle note musicali è finito, l’insieme delle stelle è infinito, quello delle oche con quattro zampe è vuoto.
2
... verifico 1
Rispondi. a. Come si può chiamare un raggruppamento di persone, di animali o di cose? .................................. b. Come si può chiamare un insieme di soldati? E un insieme di api? ..................................................
2
Completa. a. Un insieme in senso matematico è quello i cui elementi sono ......................... l’uno dall’altro e ben ......................... . Esempio: ............................................................................................................ b. La tua classe è un ......................... di alunni; ciascuno di loro costituisce un ....................... dell’insieme. c. Le città europee costituiscono un ......................... e Venezia, Madrid, Parigi, ........................., sono ......................... di tale insieme. d. Uno ................................... è un insieme di uccelli. e. Una ............................... è un insieme di calciatori.
3
I tuoi insegnanti costituiscono un insieme in senso matematico?
4
I ragazzi più simpatici della tua classe costituiscono un insieme in senso matematico? sì no
5
Da quanti elementi è composto l’insieme delle lettere della parola “albero”? Scrivili qui di seguito. ...................................................................................................................................................
6
Se le lettere r, r s, t, t x formano un insieme, quali sono gli elementi di tale insieme?
7
Da quanti elementi è composto l’insieme delle lettere della parola “sacco”? Quante volte hai considerato la lettera c? Perché? ............................................................................................................................
8
Barra con una crocetta la risposta corretta. Gli elementi che formano l’insieme delle lettere della parola “rosso” sono: A r, o, s, s, o
9
10
B r, o, s
sì no
C o
Scrivi l’insieme delle lettere che compongono ciascuna delle seguenti parole: a. silenzio ................................................................ b. quadro ................................................................ c. isola .................................................................
L’insieme delle lettere della parola “abaco” ha come elementi: a, b, c, o La lettera a è stata scritta una sola volta perché
Leggi le seguenti scritture e illustrane il significato. a ŒA • b ŒA • c œA • d ŒB • e œ C • f œA • r Œ C • x œ B
11
Quanti sono gli elementi che costituiscono l’insieme dei numeri della tombola? Si tratta di un insieme finito o infinito? Scrivi, usando i simboli appropriati, che i numeri 8 e 45 appartengono a tale insieme e che 99 non appartiene a esso.
12
Dato l’insieme A delle lettere della parola “denaro”, inserisci opportunamente nei quadratini i simboli insiemistici “appartiene a” oppure “non appartiene a”. d
A•p
A•s
A•e
A•m
A•o
A•n
A•a
A•u
A•r
A
13
Leggi le scritture:
14
Scrivi alcuni esempi di insiemi vuoti, nominali con una lettera maiuscola dell’alfabeto e poi indicali con il simbolo appropriato.
A=Δ •
B=Δ •
C=Δ
ESERCIZI p. 12
3
UNITÀ
0.2
Scopriamo... gli insiemi
Rappresentazione di un insieme
Apprendo...
Ogni insieme si può rappresentare in tre modi diversi, che descriviamo qui di seguito.
Rappresentazione per elencazione o tabulare
Questo tipo di rappresentazione consiste nell’elencare, tra due parentesi graffe, tutti gli elementi dell’insieme considerato, separati da una virgola. Prendendo, come esempio, l’insieme A delle note musicali, si ha: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
Rappresentazione per caratteristica
Anche l’insieme degli oggetti del mio rappresentare in tre modi diversi? zaino si può • Certamente sì!
Questa rappresentazione consiste nell’individuare una proprietà comune a tutti gli elementi dell’insieme. Nel nostro esempio, la caratteristica comune che possiedono gli elementi dell’insieme A è quella di essere note musicali. Quindi si scrive: A = {x | x è una nota musicale}
La sbarretta | si legge “tale che”.
e si legge: “A è l’insieme formato da tutti gli elementi x, tali che x è una nota musicale”. La rappresentazione per caratteristica si usa quando gli elementi di un insieme non si possono elencare tutti, perché troppo numerosi.
Rappresentazione grafica
L’insieme dato si può rappresentare anche disegnando una linea semplice chiusa, di qualsiasi forma, all’interno della quale si scrivono gli elementi dell’insieme contrassegnati da un punto. Tale tipo di disegno è chiamato diagramma di Eulero-Venn: A
do • re • si •
la • mi • fa •
sol • fax • Gli elementi situati all’interno della linea chiusa appartengono all’insieme A, mentre quelli situati fuori della linea stessa non appartengono all’insieme considerato. Così nella figura si osserva che la parola “fax” non appartiene all’insieme delle note musicali. 4
... verifico 1
Rispondi. a. In quanti modi si può rappresentare un insieme?
..............................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
b. La scrittura A = {pollice, indice, medio, anulare, mignolo} è una rappresentazione per
..........................
................................ delle ...............................................................................................................................................
2
Rappresenta per elencazione ciascuno degli insiemi dati.
ESERCIZIO SVOLTO
Se l’insieme A è formato dalle lettere della parola “altare”, abbiamo:
A = {a, l, t, r, e}
...........................
a. Lettere del verbo “volare”: ....................................................................................................................................... b. Consonanti della parola “artigiano”: .................................................................................................................... c. Sillabe della parola “fotografo”: ............................................................................................................................ d. Consonanti della parola “vecchio”: ....................................................................................................................... e. Lettere della parola “alfabeto”: ..............................................................................................................................
3
Leggi la scrittura: A = {{x | x è una consonante}. Rispondi alle domande. a. Come si chiama questo tipo di rappresentazione? ............................................................................................. b. In quali casi è conveniente usarla? ..........................................................................................................................
4
Esprimi i seguenti insiemi con la corrispondente rappresentazione per caratteristica.
ESERCIZIO SVOLTO
A = {a, e, i, o, u}
A = {x | x è una vocale}
..........................................
a. A = {primavera, estate, autunno, inverno} b. B = {est, ovest, nord, sud} c. C = {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}
5
d. D = {giallo, rosso, verde} e. E = {verde, bianco, rosso}
Che cos’è un diagramma di Eulero-Venn? ...................................................................................
6
Scrivi gli elementi che formano l’insieme A e di tale insieme dai una rappresentazione per caratteristica. ................................................................................... ...................................................................................
A • novembre • gennaio • febbraio marzo aprile • • • maggio • luglio • ottobre • giugno • dicembre
• settembre • agosto
...................................................................................
7
8
Rappresenta i seguenti insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn. a. A = {x { | x è un colore della bandiera italiana} b. B = {x { | x è una vocale della parola “aiuola”} c. C = {x { | x è una consonante della parola “cavallo”} d. D = {x { | x è un giorno della settimana} Rappresenta l’insieme A formato dalle lettere della parola “elefante” in tre modi diversi: A
a. per elencazione; A = {e, ................................} b. per caratteristica; A = {x { | ...............................} c. con un diagramma di Eulero-Venn.
ESERCIZI p. 13
5
UNITÀ
0.3
Scopriamo... gli insiemi
Sottoinsiemi Se consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d} e B = {a, d},
Apprendo...
osserviamo facilmente che ogni elemento di B è anche un elemento di A. Si dice che l’insieme B costituisce un sottoinsieme di A. Si scrive: B à A, dove il simbolo à si legge “è incluso”. Possiamo anche dire che: “B è un sottoinsieme di A”. Il simbolo à è il simbolo di inclusione. La rappresentazione grafica mediante diagrammi di Eulero-Venn è la seguente: A
L’insieme B dei mammiferi che volano sottoinsieme dell’insieme A di tutti i è un mammiferi.
b• c•
B a•
d•
Un insieme B si dice sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche un elemento di A. In simboli: B Ã A
Dato un qualsiasi insieme, si considerano suoi sottoinsiemi anche l’insieme stesso e l’insieme vuoto. Per esempio, i sottoinsiemi dell’insieme A = {m, a} sono: {m}, {a}, {m, a}, Δ propri
impropri
Questi due ultimi sottoinsiemi, cioè {m, a}, Δ, si dicono sottoinsiemi impropri, per distinguerli dagli altri che si dicono propri. I sottoinsiemi propri e impropri di A formano l’insieme delle parti di A; in simboli si scrive �A. L’insieme delle parti di un dato insieme A è quello formato da tutti i suoi sottoinsiemi propri e impropri e si indica con il simbolo
Se consideriamo gli insiemi: A = {a, l, t, e, r, o} e B = {a, l, t, i} osserviamo che B non è un sottoinsieme di A perché non tutti i suoi elementi sono compresi in A. Si scrive: B À A, dove il simbolo À si legge “non è incluso”. Il simbolo À è detto di non inclusione. 6
... verifico 1
Completa e rispondi. a. L’insieme B = {1, 2, 3} è un .................................... dell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} perché
...............
.............................................................................................................
b. L’insieme B = {a, b, c} non è un .................................... dell’insieme A = {a, b, s, t} perché
........................
c. Quando un’insieme B si dice sottoinsieme di A? .................................................................................................
2
Quale tra i seguenti simboli è quello di inclusione? π
3
Barra con una crocetta la risposta corretta. L’insieme A = {o, r, a} è un sottoinsieme di:
4
Δ
A B = {r, a, n, e}
B C = {p, o, r, i}
Œ
C D = {c, a, r, o}
Osserva le tre seguenti rappresentazioni grafiche e stabilisci quale si riferisce alla scrittura S Ã T. T
S T
S T
5
Ã
T S
Confronta le seguenti coppie di insiemi e, dopo aver scelto quelle in cui B è un sottoinsieme di A, rappresentale con diagrammi di Eulero-Venn.
ESERCIZIO SVOLTO
A = {3, 4, 5, 6, 9} B = {4, 5, 9} BÃA
A B
•6
•3 • 4• 5•9
a. A = {x | x è un mese dell’anno} dell’anno e B = {febbraio, febbraio, marzo, giugno} giugno b. A = {6, 4, 5, 9, 7, 11} e B = {6, 8, 13, 4, 7} c. A = {x | x è una moneta} e B = {euro, dollaro}
6
Scrivi tre sottoinsiemi di ciascuno dei seguenti insiemi e rappresentali mediante diagrammi di Eulero-Venn.
ESERCIZIO SVOLTO
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} B = {1, 5, 7} C = {3, 9, 11} D = {1, 3, 7, 9}
A
•
C
• •
•11 •9 •3
D
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} B = {sole, luna, cielo, stelle, mare, pioggia, neve, vento} C = {il, lo, la, i, gli, le}
7
Dato un insieme A, si può dire che A è un sottoinsieme di se stesso? Come si chiama questo tipo di sottoinsieme? .........................................................
sì
no
8
Un insieme vuoto si può considerare sottoinsieme di un qualsiasi insieme? Come si chiama questo tipo di sottoinsieme? .........................................................
sì
no
9
Completa, scrivendo tutti i sottoinsiemi propri e impropri dell’insieme A = {i, o}. Come si chiama l’insieme formato dai sottoinsiemi propri e impropri di A? Come si indicano in simboli? a. I sottoinsiemi propri di A sono: {i}, {............}, ...................................................................................................... b. I sottoinsiemi impropri di A sono: {i, ............},
.....................................................................................................
ESERCIZI p. 13
7
UNITÀ
0.4
Scopriamo... gli insiemi
Intersezione di insiemi
Apprendo...
Osserviamo i seguenti insiemi A e B: essi hanno due elementi in comune, evidenziati in rosso. A = {Gigi, Nicola, Isa, Elena} B = {Luca, Isa, Marco, Gigi} I due elementi comuni ad A e B formano un nuovo insieme che chiamiamo C = {Gigi, Isa}, al quale si dà il nome di intersezione di A e B. Si scrive:
A = {x | x è una rosa} B = {x | x è un fiore giallo} Qual è l’intersezione tra A e B?
• C = A « B = {è una rosa gialla}
C = A « B, dove il simbolo « si legge “intersezione”. L’intersezione di due o più insiemi è data dall’insieme degli elementi comuni a essi.
La rappresentazione grafica mediante diagrammi di Eulero-Venn è la seguente. C A
Nicola Elena
Gigi Isa
Luca Marco
Gli elementi comuni si scrivono nella parte comune ai due insiemi. Nella figura, l’intersezione di A e B è di colore
B
Se ora consideriamo gli insiemi: A = {a, b, c} e B = {d, e, f, g} osserviamo che non hanno alcun elemento in comune; pertanto, la loro intersezione è un insieme vuoto. In casi come questo, i due insiemi A e B si dicono disgiunti e per indicarli si usa la scrittura: A«B=Δ Graficamente, si disegnano i relativi diagrammi separati l’uno dall’altro. A
B
a• b•
c•
d•
f•
e•
g•
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune. L’intersezione di due insiemi disgiunti è un insieme vuoto.
8
... verifico 1
Gli insiemi A e B hanno tre elementi in comune. Quali sono? Evidenziali con un colore. Come si chiama l’insieme che essi formano? A = {rosa, giglio, orchidea, garofano}
2
B = {gardenia, rosa, tulipano, garofano, ciclamino, giglio}
Completa. L’intersezione di due insiemi A e B è formata dagli elementi ........................................ a essi.
3
Elenca gli elementi che costituiscono l’intersezione degli insiemi A e B dopo averli evidenziati con un colore. A = {3, 5, 4, 8, 13, 9, 11, 7}
B = {2, 3, 8, 14, 7, 11, 13}
...............................................................................................................................................................................................
4
Quale delle seguenti scritture si usa per indicare l’intersezione degli insiemi A e B? A AÃB
5
B A ŒB
D«E=F
C«D=Δ
Scrivi da quali elementi è formata l’intersezione degli insiemi A e B della figura.
ESERCIZIO SVOLTO C = A « B ={i, s, a}
A
•n
•i •s •a
•p A •q
7
D A«B
Leggi le seguenti scritture. C=A«B
6
C A»B
•s
•u •r
•m
•o
•e •a
•c •t
Considera gli insiemi A e B; prima scrivi gli elementi che costituiscono ciascun insieme e poi quelli che formano l’intersezione di A e B. Posiziona questi ultimi nell’insieme C = A « B. A = {x | x è una lettera della parola “architetto”} A = {a, ................................................................... } B = {a,
8
B
B
C •o •z
•t
B = {x | x è una lettera della parola “alfabeto”} A
B
................................................................... }
Completa. Due insiemi si dicono disgiunti quando non ............ ................... alcun in ......................... Esempio:
9
C
................................................................
..............................................................................................................................................
Si può rappresentare l’intersezione di due insiemi disgiunti? Motiva la risposta.
10
I due insiemi A = {io, tu, egli} e B = {noi, voi, loro} sono disgiunti. Sai spiegare il perché? Sai rappresentarli graficamente con diagrammi di Eulero-Venn?
11
Fai un esempio di insiemi disgiunti e rappresentali con diagrammi di Eulero-Venn.
12
Dati gli insiemi A e B, rappresentali con diagrammi di Eulero-Venn e scrivi in simboli la loro intersezione. A = {f, o, c, a}
B = {l, u, m, e}
ESERCIZI p. 14
9
UNITÀ
0.5
Scopriamo... gli insiemi
Insiemi equipotenti
Consideriamo l’insieme A delle vocali e l’insieme B dei nomi degli organi di senso dell’uomo:
Apprendo...
A = {a, e, i, o, u} B = {vista, udito, gusto, tatto, olfatto} Se li rappresentiamo con diagrammi di EuleroVenn, e colleghiamo tra loro gli elementi, ci accorgiamo che a ogni elemento di uno dei due insiemi è associato un solo elemento dell’altro insieme e viceversa. A sono equipotenti, perché hanno entrambi cinque elementi.
•a •e •i •o •u
B
• vista • udito • gusto • tatto • olfatto
Gli uomini primitivi, quando dovevano contare le pecore che uscivano o entravano in un recinto, inconsapevolmente si servivano di due insiemi equipotenti: una pecora, un sassolino; due pecore, due sassolini; tre pecore...
Ciò si verifica perché l’insieme A ha tanti elementi quanti ne ha l’insieme B. I due insiemi A e B hanno la stessa quantità di elementi cioè la stessa potenza, perciò si dicono equipotenti. La potenza di un insieme si chiama anche cardinalità o cardinale dell’insieme. Per esempio, l’insieme dei colori del semaforo ha cardinalità 3. Due insiemi si dicono equipotenti se gli elementi di uno di essi sono tanti quanti gli elementi dell’altro.
Se indichiamo con un simbolo quanti sono gli elementi contenuti in un insieme e in qualunque altro insieme a esso equipotente, avremo che la cardinalità dell’insieme: A = { } è 0; B = {elefante} è 1; C = {cavallo, cane} è 2; D = {giraffa, tigre, leone} è 3.
A
B
C
D
Il numero è il simbolo che esprime quanti sono gli elementi di un insieme e di ogni altro insieme a esso equipotente.
Due insiemi si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi (non è importante l’ordine in cui compaiono), disuguali in caso contrario. Per esempio, l’insieme delle vocali della parola “amore” e l’insieme delle vocali della parola “cometa” sono uguali perché entrambi sono costituiti dalle vocali “a”, “o”, “e”. 10
... verifico 1
Spiega perché gli insiemi A = {3, 8, 13, 18} e A = {#, §, H, §} sono equipotenti.
2
Qual è il significato della parola “equipotente”?
3
Completa. a. La cardinalità dell’insieme A = {a, e, i, o, u} è ..................................................................................................... b. La cardinalità dell’insieme delle lettere della parola “petalo” è c. L’insieme delle note musicali ha cardinale uguale a
..........................................................................................
d. Il cardinale dell’insieme delle consonanti dell’alfabeto italiano è e. L’insieme delle “zebre a pois” ha cardinale
.....................................................................
.......................................................................
.........................................................................................................
f. Il cardinale che esprime l’insieme degli alunni della tua classe è ....................................................................
4
Gli insiemi A = {u, v, a} e B = {v, i, n, o} sono equipotenti oppure no? Motiva la risposta.
5
Fai alcuni esempi di insiemi “singoli” o “unitari” cioè con cardinalità uguale a 1.
6
Fai un esempio di insieme con cardinalità 4.
7
Quando un insieme ha cardinalità 0?
8
Stabilisci quali tra i seguenti insiemi sono equipotenti e di ciascuno scrivi il numero che ne indica la cardinalità. A = {x | x è una stagione dell’anno} B = {s, e, t, a} C = {x | x è una vocale della parola “palude”} D = {3, 5, 7} Potenza e cardinalità E = {r, e, m, o} di un insieme sono la stessa cosa? Uhm! Completa la tabella.
9
10
insiemi
equipotenti
non equipotenti
A = {rosso, giallo, verde}
.................................................. ...................................................
B = {blu, bianco, nero}
.................................................. ...................................................
A = {ago, filo, stoffa}
.................................................. ...................................................
B = {est, ovest, nord, sud}
.................................................. ...................................................
A = {a, e, i, o, u}
.................................................. ...................................................
B = {r, s, t, w, z}
.................................................. ...................................................
A = {x | x lato di un esagono}
.................................................. ...................................................
B = {x | x dita di una mano}
...............................................
................................................
Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, sono necessariamente uguali (contengono cioè gli stessi elementi)? Giustifica la risposta con degli esempi. ...............................................................................................................................................................................................
11
L’insieme delle consonanti della parola “facile” e l’insieme delle consonanti della parola “falce” sono uguali o disuguali? Prima di rispondere fai la rappresentazione grafica mediante diagrammi di Eulero-Venn.
12
Che cosa s’intende per numero? Fai un esempio, partendo da due insiemi equipotenti. ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................
ESERCIZI p. 14
11
UNITÀ
0
Scopriamo... gli insiemi
Esercizi
esercizi
Concetto di insieme RICORDA
1
2
[U0.1 p. 2]
• Si dice insieme un raggruppamento di elementi distinti l’uno dall’altro e definiti in modo tale che si possa stabilire con assoluta certezza se un elemento appartiene (simbolo Œ) o non appartiene (simbolo œ) all’insieme considerato. • Un insieme si dice finito se i suoi elementi sono in numero limitato, infinito in caso contrario, vuoto se è privo di elementi (simbolo Δ).
Stabilisci se i seguenti casi definiscono un insieme nel senso matematico oppure no. a. I mari che bagnano l’Italia. b. I pianeti del Sistema Solare. c. Gli oggetti che si trovano
sì sì
no no
nel tuo zaino. d. I fiori più profumati.
sì
no
sì
no
e. I punti cardinali.
sì f. Le parole con tante vocali. sì g. I quadri più interessanti. sì h. I francobolli della tua collezione. sì i. Gli animali carnivori. sì
no no no no no
Scrivi gli elementi che formano l’insieme: a. dei nomi dei tuoi nonni
............................................................................................................................................
b. delle stagioni dell’anno
............................................................................................................................................
c. delle province della Campania d. delle dita della mano e. delle note musicali
...............................................................................................................................
................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
f. dei satelliti della Terra
...............................................................................................................................................
g. delle lettere della parola “sera”
.............................................................................................................................
h. dei cognomi degli alunni della tua classe che iniziano per “M” i. dei numeri naturali minori di 17
...................................................................
............................................................................................................................
l. delle sillabe della parola “melodico”
.....................................................................................................................
3
Scrivi un insieme che abbia sette elementi.
4
Completa le frasi, poi scrivi a fianco il simbolo appropriato (Œo œ). a. Aprile appartiene all’insieme dei
....................................................................................... ................................
b. “Cristina” non appartiene all’insieme dei
maschili. c. La storia appartiene all’insieme delle ........................................................... di studio. d. Il Danubio appartiene all’insieme dei ............................................................. europei. e. Il cavallo non appartiene all’insieme dei .......................................................... bipedi. f. Il mar Tirreno appartiene all’insieme dei ............................... che bagnano l’Italia. g. Il mar Baltico non appartiene all’insieme dei ............... che bagnano ..................... ...................................................
................................ ................................ ............................... ...............................
...............................
Risolvi i seguenti problemi mediante rappresentazione con gli insiemi.
12
5
In un club sportivo 20 persone praticano nuoto, 24 tennis e 9 si dedicano a entrambi gli sport. Quanti sono gli iscritti a quel club? [35]
6
In una comitiva di 22 ragazzi, 15 conoscono solo lo spagnolo, 4 il tedesco e lo spagnolo e gli altri solo il tedesco. Quanti sono i ragazzi che conoscono solo il tedesco? [11]
esercizi
Rappresentazione di un insieme RICORDA
[U0.2 p. 4]
• L’insieme A dei giorni della settimana si può rappresentare così: • per elencazione (o rappresentazione tabulare): A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} • per caratteristica: A = {x | x è un giorno della settimana} • con un diagramma di Eulero-Venn: A • giovedì • venerdì
• lunedì • martedì • mercoledì • domenica • sabato
7
Scrivi la proprietà caratteristica degli elementi presenti nei seguenti diagrammi di Eulero-Venn.
8
Si può dare una rappresentazione per caratteristica dei seguenti insiemi? Motiva la risposta. A = {sale, foca, uva} B = {Perugia, Terni} C = {7, 8, 9, 10} D = {b, s, q}
9
Completa la rappresentazione grafica sotto, sapendo che: rŒA sœA oŒA cŒA mœA tŒA nŒA bŒA lœA uŒA
A
• Genova • Savona • La Spezia • Imperia A = {x | x ................................................................ } B
• Potenza
A
• Matera
•r
B = {x | x ................................................................ }
10
Individua la proprietà comune agli elementi di ciascuno dei seguenti insiemi e rappresentali per proprietà caratteristica. A = {Est, Ovest, Nord, Sud} B = {vista, udito, gusto, olfatto, tatto} C = {Romolo, Numa Pompilio, Tullo Ostilio, Anco Marzio, Tarquinio Prisco, Servio Tullio, Tarquinio il Superbo} D = {cuori, quadri, fiori, picche} E = {Europa, Asia, Africa, America, Oceania} F = {bastoni, coppe, denari, spade}
11
Rappresenta i seguenti insiemi sia per elencazione sia con i diagrammi di Eulero-Venn. A = {x | x è un mese dell’anno che inizia con la lettera a} B = {x | x è una cifra del numero 743.260} C = {x | x è una capitale europea} D = {x | x è un mammifero che vive nell’acqua} E = {x | x è un mese di 30 giorni} F = {x | x è una provincia della Toscana} G = {x | x è una consonante della parola “numero”}
Sottoinsiemi 12
[U0.3 p. 6]
Le seguenti coppie di insiemi sono tali che B è un sottoinsieme di A. Rappresenta ciascuna di esse con i diagrammi di Eulero-Venn. a. A = {x | x è un pittore} B = {Raffaello, Picasso, Caravaggio} b. A = {x | x è un fiore} B = {rosa, giglio, garofano, margherita} c. A = {x | x è un anfibio} B = {rana, rospo, raganella, tritone} 13
UNITÀ
13
0
Scopriamo... gli insiemi
Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn ciascuna delle seguenti situazioni.
ESERCIZIO SVOLTO
esercizi
A = {r, t} Ã B = {x | x è una lettera della parola “ruota”}
•r •o
A
•t
B
•u
•a
A = {p, c} Ã B = {x | x è una lettera della parola “pace”} C = {1, 3, 7, 4} Ã D = {1, 3, 6, 4, 8, 7} E = {a, t, e, r, s} Ã F = {a, p, r, s, z, t, e}
14
Rappresenta graficamente la relazione di inclusione tra gli insiemi: A = {a, b, c, d, e} B = {a, c, e} C = {a, e}
Intersezione di insiemi
[U0.4 p. 8]
15
Completa il diagramma di Eulero-Venn, collocandovi opportunamente gli elementi degli insiemi A e B. A B A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
16
Ripeti l’esercizio precedente con i seguenti insiemi, disegnando i diagrammi sul quaderno. A = {p, u, l, c, i, n, o} B = {p, u, l, i, t, o}
17
Considera e rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn A « B « C i seguenti insiemi: A = {x | x è una lettera della parola “cavalletto”} B = {x | x è una lettera della parola “pittore”} C = {x | x è una lettera della parola “artista”}
RICORDA
18
• Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.
Scrivi quali dei seguenti insiemi, considerati a coppie, sono disgiunti, motivando la tua scelta. A = {r, s, t, u} C = {a, e, i, o, u} B = {o, e, b, c, f, g} D = {b, c, d, e}
19
Insiemi equipotenti RICORDA
14
Dati i seguenti insiemi, che cosa significa che A « B « C = Δ? A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} B = {Anna, Marta, Claudio, Nicola} C = {rosa, geranio, giglio, margherita} [U0.5 p. 12]
• Due insiemi si dicono equipotenti se hanno lo stesso numero di elementi. • Il numero degli elementi contenuti in un insieme è la cardinalità dell’insieme stesso.
20
Due insiemi A e B si dicono equipotenti se: A il numero degli elementi di A è minore di quello degli elementi di B B il numero degli elementi di A è maggiore del numero degli elementi di B C hanno lo stesso numero di elementi
21
Indica quali dei seguenti insiemi hanno uguale potenza. A = {Palermo, Catania, Caltanissetta} F = {Po, Ebro, Volga, Tamigi} B = {cane, gatto, tartaruga, canarino} G = {miglio, orzo, segale, avena}
22
Indica la cardinalità di ciascuno dei seguenti insiemi e stabilisci quali sono equipotenti. A = {Po, Arno, Volga, Danubio} B = {7, 14, 21, 28, 35} C = {Dante, Leopardi, Foscolo} D = {oro, incenso, mirra} E = {Europa, Asia, Oceania, Africa} F = {musica, matematica, scienze, storia, geografia} G = {stella, Sole, Luna, cometa}
unitĂ
Numeri naturali e decimali Conoscenze
1
AbilitĂ
i numeri naturali il sistema di numerazione decimale la scrittura polinomiale i numeri decimali
scrivere e leggere numeri naturali, saperli ordinare e rappresentare scrivere la forma polinomiale di un numero scrivere e leggere numeri decimali, saperli ordinare e rappresentare
TEST SUI PREREQUISITI Sai leggere e scrivere i numeri? a. 907 si legge:
b. milletrecentodue si scrive:
A novantasette
C settantanove
A 2031
C 1320
B novesette
D novecentosette
B 1302
D 1023
NUMERI E REALTA `
DigiMAT - Š De Agostini 2011 - Deagostini Scuola S.p.A. - Novara
aturali, I numeri n zero, tranne lo i i inventat sono stat i. ini primitiv dagli uom
UNITÀ
1.1
Numeri naturali e decimali
I numeri naturali I numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Apprendo...
si chiamano naturali perché si usano naturalmente per contare; essi si ottengono, a partire dallo zero, aggiungendo 1 e poi sempre 1 al numero ottenuto, all’infinito. Per questo motivo si susseguono secondo un ordine stabilito che prende il nome di successione dei numeri naturali. Nicolò ha nel suo cassett Il loro raggruppamento si chiaÈ vero che rappresentan o cinque biglie numerate da 1 a 5. o i primi cinque numeri na ma insieme dei numeri naturali? È falso, perché i primi cin • que numeri naturali sono: turali e si indica con la lettera 0, 1, 2, 3, 4 ! N (iniziale, appunto, di naturali turali).
L’insieme dei numeri naturali escluso lo zero si indica con il simbolo N0.
Se osserviamo attentamente la successione dei numeri naturali notiamo che un numero qualsiasi ha sempre un numero che lo precede (escluso lo zero) e un numero che lo segue. Per esempio, se consideriamo il numero 5, il suo precedente è 4, mentre il suo successivo è 6. Perciò si dice che l’insieme N è ordinato. Due numeri naturali, uno successivo all’altro, come per esempio il 2 e il 3 oppure il 16 e il 17, si dicono consecutivi. Nella successione dei numeri naturali ogni numero ha un precedente, escluso lo zero, e un successivo.
Spesso i numeri si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, x, n, … perciò, se indichiamo con n un qualsiasi numero naturale, il numero che lo precede sarà n – 1, mentre quello che lo segue n + 1. numero
precedente successivo
n
n–1
n+1
160
159
161
I numeri naturali si possono utilizzare anche quando si vuole indicare l’ordine secondo cui un certo elemento si presenta in una successione. Si dice: primo, secondo, terzo, quarto, ... e si scrive: 1°, 2°, 3°, 4°, ... ESEMPIO
In un torneo di tennis si ha la seguente classifica: Mario, Luigi, Paolo, Antonio, Pietro. Paolo è stato il 3° classificato. A questi numeri si dà il nome di numeri ordinali, mentre i numeri naturali che si usano per contare si chiamano numeri cardinali.
16
... verifico 1
Rispondi. a. Qual è il primo numero della successione dei numeri naturali? Michele dice che è 0, mentre Carla Michele
afferma che è 1. Chi ha ragione? b. Con quale lettera si indica l’insieme dei numeri naturali?
Carla
...............................................................................
c. Perché si dice che l’insieme dei numeri naturali è ordinato? Fai un esempio.
............................................
..........................................................................................................................................................................................
d. Quando due numeri naturali si dicono consecutivi? Fai un esempio. ............................................................ ..........................................................................................................................................................................................
2
Completa. a. A partire dallo zero, la successione dei numeri naturali si ottiene aggiungendo sempre 1 al numero ............................................. ,
cioè: 0, ......................... . L’insieme N è:
.....................................................................
b. L’insieme N, escluso lo zero, si indica con il simbolo .................... c. ll precedente di 409 è ……… - 1 = ……… d. Il successivo di 409 è ……… + 1 = ………
3
Qual è il numero naturale che precede 3000? A 2910
B 2199
C 2999
D 3001
4
Scrivi i primi quindici numeri naturali. …………………………..............………………….............…………………… Hai incluso lo zero oppure no? Considera ora il numero 9 e stabilisci qual è il suo precedente e qual è il suo successivo.
5
Completa la tabella.
7
numero n precedente n – 1 successivo n + 1
78
............................
.............................
920
............................
.............................
299
............................
.............................
1045
............................
.............................
…………................…............................…..............…
8
9
Scrivi i numeri naturali che precedono il 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 7: ..............................................................................
A 12
B 13
C 14
D 11
ESERCIZIO SVOLTO
Scrivi i numeri naturali compresi tra 5 e 6, 7, 8 9: .............................................................................
Scrivi con il simbolo matematico appropriato che “agosto è l’ottavo mese dell’anno”. …........................................................................……
10 Scrivi i numeri naturali che precedono il numero 13. Quanti sono? Contali e barra la risposta corretta.
Leggi e scrivi in lettere i seguenti numeri ordinali. 5° • 3° • 12° • 27° • 60° • 75° • 140°
ESERCIZIO SVOLTO
6
Scrivi i numeri naturali compresi tra 13 e 17; tra 41 e 48; tra 64 e 75.
Traduci in simboli. settimo
............................
quindicesimo
............................
settantesimo
............................
decimo
............................
quarantanovesimo
............................
seicentotrentacinquesimo
............................
ESERCIZI p. 32
17
UNITÀ
1.2
Numeri naturali e decimali
Confronto e ordine di numeri naturali
Apprendo...
Scriviamo la successione dei numeri naturali e osserviamo la loro posizione reciproca: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Un numero naturale è minore (simbolo <) di un altro se lo precede nella successione. Per esempio, 6 < 11 perché 6 precede 11; si legge: “sei è minore di undici”. Un numero naturale è maggiore (simbolo >) di un altro se lo segue nella successione. Per esempio, 8 > 4 perché 8 segue 4; si legge: “otto è maggiore di quattro”. Questi tipi di scritture si dicono disuguaglianze. Due numeri naturali vengono detti uguali (simbolo =) se occupano lo stesso posto nella successione. Per esempio, 9 = 9 si legge: “nove è uguale a nove”. Una scrittura come questa si chiama uguaglianza. Se due numeri non sono uguali, si dicono diversi (simbolo π). Per esempio 34 π 43; si legge: “trentaquattro è diverso da quarantatré”.
< minore di > maggiore di = uguale a π diverso da £ minore o uguale a ≥ maggiore o uguale a
Per indicare che il numero 8 è maggiore del numero 3 ed è minore del numero 10, si scrive: 3 < 8 < 10 e si legge: “otto è compreso fra tre e dieci” Oltre a questi, esistono altri due simboli: £ si legge: “minore o uguale” ≥ si legge: “maggiore o uguale”
ESEMPIO
Se indichiamo con n un numero naturale qualsiasi, la scrittura n £ 5 significa che n è minore o uguale a 5, perciò può assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5. Invece la scrittura n ≥ 8 significa che n è maggiore o uguale a 8, quindi può essere 8, 9, 10, 11, ... Ordinare un gruppo di numeri naturali in ordine crescente significa disporli dal più piccolo al più grande; ordinarli in ordine decrescente vuol dire disporli dal più grande al più piccolo.
ESEMPIO
18
Consideriamo il seguente gruppo di numeri: 11 • 14 • 6 • 17 • 4 • 1 • 18 • 8 Per disporli in ordine crescente scriveremo: 1 4 6 8 11 14 17 18 Invece per disporli in ordine decrescente scriveremo: 18 17 14 11 8 6 4 1
... verifico 1
Leggi le seguenti scritture. 14 < 17
2
26 > 13
7 < 11 < 15
18 π 81
32 < n < 37
Completa la tabella traducendo in numeri e simboli le seguenti relazioni. sette è minore di diciannove
...............................
dodici è maggiore di cinque
............................
venti è uguale a venti
...............................
sedici è diverso da sessantuno
............................
ESERCIZIO SVOLTO
Scrivi in numeri e simboli “tredici è compreso tra dieci e quindici”:
3
4
5
6
Completa la tabella traducendo in numeri e simboli le seguenti relazioni. nove è compreso tra sei e undici...............................
due è compreso tra uno e tre ...................................
trenta è compreso tra venti e quaranta...................
sette è maggiore di quattro e minore di otto .......
Completa la tabella traducendo in lettere i numeri e i simboli delle seguenti relazioni. 15 > 13
quindici è ...........................................
9 < 12
.............................................................
32 < 36
.............................................................
21 > 7
.............................................................
5 < 8 < 11
.............................................................
18 > 15
.............................................................
6 < 9 < 16
.............................................................
2<6<8
.............................................................
Inserisci opportunamente i simboli < (minore) o > (maggiore) tra le seguenti coppie di numeri. a. 14
18
41
47
232
320
b. 625
643
579
578
159
105
c. 1522
1255
1110
1109
999
1000
d. 1781
1871
1118
1038
240
239
Se n è un numero naturale, che cosa significa la scrittura n £ 7? Quali valori può assumere n? A 1, 2, 3, 4, 5, 6
7
10 < 13 < 15 .................................................
B 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
C 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
D 7, 8, 9, 10
Se n è un numero naturale, quali sono i numeri che soddisfano la relazione n ≥ 4? A 1, 2, 3, 4
B 5, 6, 7, 8 , …
C 4, 5, 6, 7, …
D 0, 1, 2, 3, 4
8
Che cosa significa disporre un gruppo di numeri in ordine crescente? E in ordine decrescente? Fai un esempio, scrivendo un gruppo di numeri a tuo piacere e ordinandoli prima in ordine crescente e dopo in ordine decrescente.
9
Caccia all’errore a. Giorgio, nel disporre in ordine crescente i numeri naturali del seguente gruppo, ha
commesso degli errori. Individuali e correggi l’ordine.
4 • 17 • 41 • 64 • 56 • 98 • 99 • 96 • 46 • 74 .................................................................................................. b. Valentina, nel disporre in ordine decrescente i numeri naturali del seguente gruppo, ha
commesso degli errori. Individuali e correggi l’ordine.
565 • 304 • 199 • 266 • 83 • 91 • 87 • 6 • 5 ....................................................................................................
ESERCIZI p. 33
19
UNITÀ
1.3
Numeri naturali e decimali
Rappresentazione dei numeri naturali
Apprendo...
L’insieme dei numeri naturali può essere rappresentato: per elencazione, scrivendo i suoi elementi, cioè i numeri, in parentesi graffe, così: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }; per caratteristica: N = {x | x è un numero naturale}
I puntini stanno a indicare che l’insieme N è infinito.
si legge: “N è l’insieme formato da tutti gli elementi x, tali che x è un numero naturale”; graficamente, inserendo i numeri in una linea chiusa detta diagramma di Eulero-Venn: N
. .. . . .. . 0
4
1
5
6
Sulla semiretta orientata, il punto di partenza O a quale numero corrisponde? • Allo zero!
2 3 7 ...
Inoltre, poiché i numeri naturali sono ordinati, possiamo rappresentarli su una semiretta. Vediamo in che modo. Disegniamo una semiretta di origine O e fissiamo un segmento a nostra scelta come unità di misura, che indichiamo con u, per esempio: u
u = 1 cm Riportiamo ora sulla semiretta l’unità di misura da noi scelta, dall’origine O consecutivamente verso destra, segnando i punti A, B, C, C D, ...
O •
O
Facciamo corrispondere a ogni punto, a partire da O, un numero della successione naturale: 0, 1, 2, 3, 4, ...
• 0
A
•
A
• 1
B
•
B
• 2
C
•
C
• 3
D
•
D
• 4
Operando in questo modo abbiamo effettuato una rappresentazione grafica dei numeri naturali, detta rappresentazione cartesiana. Osserviamo che: i punti O, A, B, C, D, ... si dicono immagini rispettivamente dei numeri 0, 1, 2, 3, 4, ...; la semiretta che abbiamo costruito è una semiretta orientata (perché possiede un verso, indicato dalla freccia) e graduata (perché divisa in segmenti uguali, corrispondenti all’unità di misura). L’unità di misura può essere scelta a piacere. Ecco, per esempio, un’altra rappresentazione, con un’unità diversa da quella precedente. u O • 0
20
A • 1
B • 2
C • 3
D • 4
... verifico 1
Completa ciascuna rappresentazione dell’insieme N. Per elencazione
N = {0, ............................................................ }
Per caratteristica
N = {x |
........................................................... }
N
Mediante un diagramma di ..................................................................
2
Quando una semiretta si dice orientata e graduata? Spiega il significato delle due parole, aiutandoti anche con un disegno.
3
Nella seguente rappresentazione, ai numeri naturali 2, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 10 associa i punti che sono le loro immagini.
ESERCIZIO SVOLTO
Al 2 associo il punto B, al 5
O • 0
4
5
6
A • 1
B • 2
C • 3
D • 4
il punto E ................................
E • 5
Sulla base della rappresentazione a fianco, stabilisci quali sono i numeri naturali che corrispondono rispettivamente ai punti A, C, C G, D, H. Che cosa s’intende per immagine di un numero naturale? Nella rappresentazione a fianco quali sono le immagini dei numeri 4 e 7?
F • 6
G • 7
H • 8
I • 9
u
L • 10
u O • 0
A • 1
B • 2
C • 3
D • 4
E • 5
F • 6
G • 7
O • 0
A • 1
B • 2
C • 3
D • 4
E • 5
F • 6
G • 7
H • 8
u
Completa. Sulla semiretta disegnata qui sotto: u O •
A •
B •
C •
D •
E •
F •
a. il punto A è l’immagine del numero naturale
G •
H •
I •
L •
M •
....................................
b. il punto C è ........................................................................................................................... c. il punto ..................... è .................................... del numero naturale 10. d. i punti C, C E, M sono rispettivamente le .................................... dei numeri naturali ......................................
7
Dopo aver rappresentato su una semiretta orientata i numeri 10, 7, 12, 0, 8, 4, 5 riscrivili disponendoli in ordine crescente. ...............................................................................................................................................................................................
8
Dopo aver rappresentato su una semiretta orientata i numeri 3, 11, 5, 8, 7, 1, 13 riscrivili disponendoli in ordine decrescente. ...............................................................................................................................................................................................
ESERCIZI p. 36
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