中学受験対策青本 算数 数量編

表紙

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■ 目 次 ■ 第 1 章 マルイチ算 １．消去算 □□□ □ 1 基本問題 1 （p.8）

□□□ □ 4 標準問題 2 （p.11）

2 基本問題 2 （p.9） □□□ □

□□□ □ 5 応用問題 （p.12）

3 標準問題 1 （p.10） □□□ □

2．過不足算 □□□ □ 6 標準問題 1 （p.13）

10 応用問題 2 （p.17） □□□ □

7 標準問題 2 （p.14） □□□ □

11 応用問題 3 （p.18） □□□ □

8 応用問題 1 （p.15） □□□ □

□□□ □ 12 発展問題 1 （p.19）

□□□ □ 9 標準問題 3 （p.16）

13 発展問題 2 （p.20） □□□ □

3．仕事算 □□□ □ 14 基本問題 1 （p.21）

18 応用問題 1 （p.25） □□□ □

15 基本問題 2 （p.22） □□□ □

19 応用問題 2 （p.26） □□□ □

16 標準問題 1 （p.23） □□□ □

□□□ □ 20 発展問題 （p.27）

□□□ □ 17 標準問題 2 （p.24）

4．ニュートン算 □□□ □ 21 基本問題 （p.28）

24 応用問題 1 （p.31） □□□ □

22 標準問題 1 （p.29） □□□ □

25 応用問題 2 （p.32） □□□ □

□□□ □ 23 標準問題 2 （p.30）

□□□ □ 26 発展問題 （p.33）

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第 2 章 割合と比 １．相当算 □□□ □ 1 基本問題 1 （p.34）

□□□ □ 7 標準問題 2 （p.40）

2 基本問題 2 （p.35） □□□ □

□□□ □ 8 標準問題 3 （p.41）

3 基本問題 3 （p.36） □□□ □

□□□ □ 9 応用問題 1 （p.42）

□□□ □ 4 基本問題 4 （p.37）

10 応用問題 2 （p.43） □□□ □

□□□ □ 5 基本問題 5 （p.38）

11 応用問題 3 （p.44） □□□ □

□□□ □ 6 標準問題 1 （p.39）

12 発展問題 1 （p.45） □□□ □

2．割合 □□□ □ 13 基本問題 1 （p.46）

16 食塩水基本 2 （p.51） □□□ □

14 基本問題 2 （p.47） □□□ □

17 食塩水基本 3 （p.53） □□□ □

15 食塩水基本 1 （p.49） □□□ □

3．比 □□□ □ 18 基本問題 1 （p.55）

□□□ □ 23 基本問題 6 （p.60）

19 基本問題 2 （p.56） □□□ □

24 標準問題 1 （p.61） □□□ □

20 基本問題 3 （p.57） □□□ □

□□□ □ 25 標準問題 2 （p.62）

□□□ □ 21 基本問題 4 （p.58）

26 標準問題 3 （p.63） □□□ □

□□□ □ 22 基本問題 5 （p.59）

27 発展問題 （p.64） □□□ □

4．年齢算 □□□ □ 28 基本問題 （p.65）

31 標準問題 3 （p.68） □□□ □

29 標準問題 1 （p.66） □□□ □

32 応用問題 1 （p.69） □□□ □

30 標準問題 2 （p.67） □□□ □

□□□ □ 33 応用問題 2 （p.70）

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5．食塩水 □□□ □ 34 基本問題 4

（p.71）

□□□ □ 39 標準問題 4 （p.78）

35 基本問題 5 （p.73） □□□ □

□□□ □ 40 標準問題 5 （p.80）

36 標準問題 1 （p.75） □□□ □

□□□ □ 41 応用問題 1 （p.81）

□□□ □ 37 標準問題 2 （p.76）

42 応用問題 2 （p.82） □□□ □

□□□ □ 38 標準問題 3 （p.77）

43 発展問題 （p.83） □□□ □

6．売買算 □□□ □ 44 基本問題 1 （p.85）

50 標準問題 4 （p.91） □□□ □

45 基本問題 2 （p.86） □□□ □

51 標準問題 5 （p.92） □□□ □

□□□ □ 46 基本問題 3 （p.87）

□□□ □ 52 応用問題 1 （p.93）

□□□ □ 47 標準問題 1 （p.88）

53 応用問題 2 （p.94） □□□ □

48 標準問題 2 （p.89） □□□ □

54 応用問題 3 （p.95） □□□ □

49 標準問題 3 （p.90） □□□ □

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第３章 速さ １．速さ入門 □□□ □ 1 速さ入門① （p.96）

□□□ □ 3 速さ入門③ （p.98）

2 速さ入門② （p.97） □□□ □

□□□ □ 4 速さ入門④ （p.99）

2．出会い算・追いつき算 □□□ □ 5 出会い算 1 （p.100）

10 池のまわり 1 （p.105） □□□ □

□□□ □ 6 出会い算 2 （p.101）

11 池のまわり 2 （p.106） □□□ □

7 追いつき算 1 （p.102） □□□ □

□□□ □ 12 応用問題 1 （p.107）

□□□ □ 8 追いつき算 2（p.103）

13 応用問題 2 （p.108） □□□ □

9 追いつき算 3 （p.104） □□□ □

3．速さのつるかめ算 □□□ □ 14 標準問題 （p.109）

4．速さと比 □□□ □ 15 基本問題 1 （p.110）

18 標準問題 2 （p.113） □□□ □

16 基本問題 2 （p.111） □□□ □

19 平地・上り・下り （p.114） □□□ □

17 標準問題 1 （p.112） □□□ □

5．速さの特殊算 □□□ □ 20 電車回廊 1 （p.115）

23 動く歩道 1 （p.118） □□□ □

□□□ □ 21 電車回廊 2 （p.116）

24 動く歩道 2 （p.119） □□□ □

22 歩幅と歩数 （p.117） □□□ □

6．流水算 □□□ □ 25 基本問題 1 （p.121）

27 標準問題 （p.123） □□□ □

26 基本問題 2 （p.122） □□□ □

28 応用問題 （p.124） □□□ □

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7．通過算 □□□ □ 29 基本問題 1 （p.125）

□□□ □ 31 標準問題 （p.127）

30 基本問題 2 （p.126） □□□ □

□□□ □ 32 応用問題 （p.128）

8．平均の速さ □□□ □ 33 標準問題 1 （p.129）

34 標準問題 2 （p.130） □□□ □

9．ダイヤグラム □□□ □ 35 グラフを読み取る （p.131）

□□□ □ 37 間隔を表すグラフ 1（p.135）

36 グラフを描く （p.133） □□□ □

38 間隔を表すグラフ 2（p.137） □□□ □

10．時計算 □□□ □ 39 基本問題（p.139）

43 針の入れ替わり （p.143） □□□ □

40 標準問題 （p.140） □□□ □

44 狂った時計 1 （p.144） □□□ □

41 傾く時計・左右対称（p.141） □□□ □

45 狂った時計 2 （p.145） □□□ □

□□□ □ 42 角の 2 等分線 （p.142）

11．図形上の点の移動 □□□ □ 46 標準問題 1 （p.147）

47 標準問題 2 （p.149） □□□ □

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第 4 章 場合の数と規則性 １．平均算 □□□ □ 1 基本問題 （p.151）

□□□ □ 3 標準問題 2 （p.153）

2 標準問題 1 （p.152） □□□ □

2．つるかめ算 □□□ □ 4 【解説】解法集 （p.154）

□□□

□□□ □ 5 基本問題 （p.155）

10 3 つのつるかめ算 （p.160） □□□ □

6 損益算 （p.156） □□□ □

□□□ □ 11 書き出す場合 1 （p.161）

□□□ □ 7 加点と減点 （p.157）

12 書き出す場合 2 （p.162） □□□ □

9 割合をそろえる □

（p.159）

8 個数を逆にする （p.158） □□□ □

3．倍数と約数 □□□ □ 13 素数と素因数分解 （p.163）

□□□ □ 19 倍数と約数 6 （p.169）

14 倍数と約数 1 （p.164） □□□ □

20 連続する数の積 （p.170） □□□ □

15 倍数と約数 2 （p.165） □□□ □

□□□ □ 21 書き出す場合 （p.171）

16 倍数と約数 3 （p.166） □□□ □

□□□ □ 22 ベン図の応用 （p.172）

□□□ □ 17 倍数と約数 4 （p.167）

23 約数の個数 （p.173） □□□ □

□□□ □ 18 倍数と約数 5 （p.168）

□□□ □ 24 ユークリッド互除法 （p.174）

4．分数 □□□ □ 25 単位分数 （p.176）

□□□ □ 27 倍数と約数 （p.178）

26 分数の大小 （p.177） □□□ □

28 分数の計算の工夫 （p.179） □□□ □

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5．場合の数 □□□ □ 29 書き出す場合 1 （p.180）

38 サイコロの目 （p.190） □□□ □

30 書き出す場合 2 （p.181） □□□ □

39 最短距離_平面 （p.191） □□□ □

特 【解説】場合の数 （p.182） □□□ □

40 最短距離_立体 （p.192） □□□ □

31 階段の上り方 1 （p.183） □□□ □

□□□ □ 41 図形の個数 1 （p.193）

□□□ □ 32 階段の上り方 2 （p.184）

□□□ □ 42 図形の個数 2 （p.194）

33 3 けたの数の作り方（p.185） □□□ □

43 図形の個数 3 （p.195） □□□ □

34 男女の並べ方 （p.186） □□□ □

44 試合数 （p.197） □□□ □

□□□ □ 35 親子の並べ方 （p.187）

45 選挙の得票数 1 （p.198） □□□ □

36 果物の詰め合わせ （p.188） □□□ □

46 選挙の得票数 2 （p.199） □□□ □

37 重複順列 （p.189） □□□ □

6．規則性 □□□ □ 47 循環小数 （p.201）

□□□ □ 58 N 進数 2 （p.217）

48 数列 1 （p.202） □□□ □

59 N 進数 3 （p.218） □□□ □

49 数列 2 （p.203） □□□ □

60 N 進数 4 （p.219） □□□ □

50 数列 3 （p.204） □□□ □

□□□ □ 61 カード 1 （p.221）

□□□ □ 51 表数列 1 （p.205）

62 カード 2 （p.222） □□□ □

52 表数列 2 （p.206） □□□ □

□□□ □ 63 直線の交点の個数 （p.223）

53 表数列 3 （p.208） □□□ □

□□□ □ 64 分割した領域の個数 （p.225）

□□□ □ 54 分数列 （p.210）

65 対角線_平面 （p.226） □□□ □

□□□ □ 55 パスカルの三角形 （p.211）

66 対角線_立体 （p.227） □□□ □

56 フラクタル図形 （p.213） □□□ □

67 空きビン交換 1 （p.228） □□□ □

特 【解説】N 進数 （p.215） □□□ □

68 空きビン交換 2 （p.229） □□□ □

57 N 進数 1 （p.216） □□□ □

69 空きビン交換 3 （p.230） □□□ □

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第 1 章 マルイチ算

１

レベル★☆☆

消去算① ― 基礎

【例題】A 君と B 君の年令の和は 32 才，B 君と C 君の年令の和は 21 才，A 君 と C 君の年令の和は 31 才です。このとき，B 君の年令を求めなさい。

【類題】3 つのおもり A，B，C があります。A と B の重さの和は 270g，B と C の重さの和は 200g，A と C の重さの和は 230g です。このとき，A のおも りの重さを求めなさい。

解答【例題】11 才 【類題】150g 解説 https://youtu.be/IHcE3S4u3WI

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第 1 章 マルイチ算

２

レベル★☆☆

消去算② ― 基礎

【例題】4 つの整数 A，B，C，D の平均は 20 です。また，A と B の平均は 15，B と C と D の平均は 22 になります。このとき，A と B を求めなさい。

【類題】あるテストで，算数と国語の平均点が 79 点，算数と理科の平均点が 75 点，国語と社会の平均点が 76 点，国語と理科の平均点が 68 点でした。 このとき，算数，国語，理科，社会の点数を求めなさい。

解答【例題】A…14，B…16

【類題】算数 86 点，国語 72 点，理科 64 点，社会 80 点

解説 https://youtu.be/IHcE3S4u3WI

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第 1 章 マルイチ算

３

レベル★★☆

消去算③ ― 標準

【例題】ボールペン 1 本と消しゴム 4 個を買うと 1080 円で，ボールペン 1 本 の値段は消しゴム 5 個の値段と同じです。ボールペン 1 本の値段はいくら ですか。

【類題】鉛筆 5 本と消しゴム 6 個は合わせて 1170 円で，鉛筆 4 本と消しゴム 3 個の値段は等しくなります。このとき，消しゴム 1 個はいくらですか。

解答【例題】600 円 【類題】120 円 解説 https://youtu.be/QqWFtT5Bwfk

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第 1 章 マルイチ算

４

レベル★★☆

消去算④ ― 標準

【例題】りんご 3 個とみかん 4 個を買うと 690 円です。りんご 1 個の値段が みかん 1 個の値段より 90 円⾼いとき，りんご 1 個とみかかん 1 個の値段は それぞれいくらですか。

【類題】りんご 1 個はみかん 1 個より 20 円⾼く，りんご 6 個とみかん 4 個は 合わせて 720 円になります。このとき，りんご１個とみかん１個はそれぞれ いくらですか。

解答【例題】りんご…150 円，みかん…60 円 【類題】みかん…60 円，りんご…80 円 解説 https://youtu.be/QqWFtT5Bwfk

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第 1 章 マルイチ算

５

レベル★★★

消去算⑤ ― 応⽤

【例題】ノート 3 冊と鉛筆 2 本買うと 500 円，ノート 5 冊と鉛筆 3 本買うと 810 円になります。ノートは 1 冊いくらですか。

【類題】消しゴムを 2 個，ボールペンを 3 本買うと 640 円になり，消しゴムを 3 個，ボールペンを 5 本買うと 1030 円になります。このとき，消しゴムは 1 個いくらですか。

解答【例題】120 円 【類題】110 円 解説 https://youtu.be/GcMzR8kntVo

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第 1 章 マルイチ算

６

レベル★★☆

過不⾜算① ― 標準 1

【例題】クラスの全員に鉛筆を配ります。⼀⼈に 3 本ずつ配れば 16 本余り， 4 本ずつ配るには 12 本⾜りないとき，鉛筆は全部で何本ありますか。

【類題】クラスの全員に鉛筆を配ります。⼀⼈に 3 本ずつ配ると 40 本余り， 5 本ずつ配ると 12 本余るとき，鉛筆は全部で何本ありますか。

解答【例題】100 本

【類題】82 本

解説 https://youtu.be/7V7x2b6zU78

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第 1 章 マルイチ算

７

レベル★★☆

過不⾜算② ― 標準 2

【例題】クラスの全員に鉛筆を配ります。⼀⼈に 2 本ずつ配ると 13 本不⾜ し，5 本ずつ配ると 76 本不⾜するとき，鉛筆は全部で何本ありますか。

【類題】クラスの全員に鉛筆を配ります。⼀⼈に 3 本ずつ配ると 90 本余っ たので，⼀⼈に 6 本ずつ配ると最後の⼀⼈に 3 本しか渡せませんでした。 ⽣徒の⼈数は何⼈ですか。

解答【例題】29 本 【類題】31 ⼈ 解説 https://youtu.be/7V7x2b6zU78

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第 1 章 マルイチ算

８

レベル★★★

過不⾜算③ ― 応⽤ 1

【例題】1 冊の問題集を１⽇ 15 問ずつ解いていくと，1 ⽇ 10 問ずつ解いてい くよりも 8 ⽇早く終わらせることができます。問題は全部で何問ですか。

【類題】Ａ，Ｂの 2 ⼈は同じ⾦額ずつお⾦を持っていましたが，毎⽉Ａは 700 円，Ｂは 400 円ずつ使ったので，何か⽉かの後，A の残⾦は 1000 円，B の 残⾦は 2200 円になりました。初めに 2 ⼈はいくらずつお⾦を持っていまし たか。

解答【例題】240 問

【類題】3800 円

解説 https://youtu.be/K8bGYogLrD4

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第 1 章 マルイチ算

９

レベル★★☆

過不⾜算④ ― 標準 3

【例題】クラスの⽣徒が⻑いすに座るのに，1 つのいすに 5 ⼈ずつ座ると 4 ⼈ が座れなくなり，1 つのいすに 6 ⼈ずつ座ると，最後のいすには 2 ⼈が座る ことになりました。このとき，⻑いすの数と⽣徒の⼈数を求めなさい。 スヒント

1 脚とおく。 ⻑いすの数を○

【類題】クラスの⽣徒が⻑いすに座るのに，1 つのいすに 4 ⼈ずつ座ると 5 ⼈ の⽣徒は座れなくなり，5 ⼈ずつ座るといすは 2 つ余ります。⻑いすの数と ⽣徒の⼈数を求めなさい。

解答【例題】⻑いす 8 脚 ⽣徒 44 ⼈ 【類題】⻑いす 15 脚 ⽣徒 65 ⼈ 解説 https://youtu.be/mDFQhonHfvo

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

10 過不⾜算⑤ ― 応⽤ 2 【例題】クラスの⽣徒が⻑いすに座るのに，1 つのいすに 4 ⼈ずつすわると， ⻑いすがちょうど 21 脚不⾜し，1 脚に 5 ⼈ずつすわらせると最後の 1 脚に は 1 ⼈だけがすわり，他に⻑いすが 13 脚余りました。⻑いすの数と，⽣徒 の⼈数を求めなさい。 スヒント

1 脚とおく。 ⻑いすの数を○

【類題】クラスの⽣徒が⻑いすに座るのに，１つのいすに３⼈ずつすわると， すわれない⽣徒が 20 ⼈でました。そこで１つのいすに５⼈ずつすわらせる と，最後のいすに３⼈すわって，さらにいすが６台あまりました。⻑いすの 数と⽣徒の⼈数を求めなさい。

解答【例題】⻑いす 153 脚 ⽣徒 696 ⼈【類題】⻑いす 26 脚 ⽣徒 98 ⼈ 解説 https://youtu.be/_gyP-oA1Elo

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

11 過不⾜算⑥ ― 応⽤ 3 【例題】1 個 80 円のりんごをちょうど買えるお⾦で，1 個 60 円のみかんを 買うと 15 個多く買えて，100 円余りました。このとき，買ったみかんの個 数と，⽤意したお⾦を求めなさい。 スヒント

1 個とおく。 りんごの個数を○

【類題】持っているお⾦でりんごを買うと 8 個買えて，40 円残ります。また， りんごより 50 円安いみかんを買うと 15 個買えて，20 円残ります。このと き，持っていたお⾦は何円ですか。

解答【例題】みかんの個数 65 個 お⾦ 4000 円 【類題】920 円 解説 https://youtu.be/BaQ0fAhWQf4

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★★

12 過不⾜算⑦ ― 発展 1 【例題】りんごとみかんがあります。みかんはりんごの３倍だけあります。り んごを 1 ⼈に２個ずつ配ると 30 個余ります。みかんを 1 ⼈８個ずつ配ると 12 個不⾜します。⼦どもの数とみかんの個数を求めなさい。

【類題】兄は 1 本 100 円の鉛筆を，弟は 1 本 80 円の鉛筆を買いました。買っ た本数は兄の⽅が 4 本多く，代⾦は 520 円多かったそうです。それぞれ何本 ずつ買いましたか。

解答【例題】⼦ども 51 ⼈．みかん 396 個

【類題】兄 10 本 弟 6 本

解説 https://youtu.be/rk1eSn1H9Sc

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★★

13 過不⾜算⑧ ― 発展 2 【例題】⽣徒全員に鉛筆を何本かずつ配ったところ，690 本余りました。そ こで，男⼦にはあと 3 本ずつ，⼥⼦にはあと 2 本ずつ配ろうとしたところ， 183 本不⾜することが分かりました。このため，男⼦にはあと 1 本ずつ， ⼥⼦にはあと 3 本ずつ配ったところ，21 本余りました。男⼦⽣徒の数と ⼥⼦⽣徒の数を求めなさい。

【類題】⿊⾊と⾚⾊のボールペンがあり，⿊⾊と⾚⾊の本数の⽐は 4：3 です。 ⽣徒⼀⼈に⿊⾊ボールペンを 5 本ずつ配ると 8 本⾜りず，⾚⾊ボールペンを 3 本ずつ配ると 30 本余ります。⽣徒の⼈数と⿊⾊のボールペンの本数を求め なさい。

解答【例題】男⼦ 183 ⼈，⼥⼦ 162 ⼈【類題】⽣徒 48 ⼈，⿊⾊のボールペン 232 本 解説 https://youtu.be/XnYupsCuMBY

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第 1 章 マルイチ算

レベル★☆☆

14 仕事算① ― 基本１ 【例題】⽬的地まで 2 時間の列⾞に乗って，3 ⼈で出かけました。座席が 2 席しか空いていなかったとき，3 ⼈が同じ時間ずつ座るには何分ずつ座れば よいですか。

【類題】⽬的地まで 1 時間の列⾞に乗って，5 ⼈で出かけました。座席が 4 席しか空いていなかったとき，5 ⼈が同じ時間ずつ座るには何分ずつ座れば よいですか。

解答【例題】80 分 【類題】48 分 解説 https://youtu.be/Z2o-_bISIh4

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第 1 章 マルイチ算

レベル★☆☆

15 仕事算② ― 基本 2 【例題】1 ⽇に 6 ⼈ずつ働くと 30 ⽇かかる仕事があります。はじめの 10 ⽇ 間は 9 ⼈でしていましたが，その後は 5 ⼈で終わらせました。全部で何⽇か かりましたか。 スヒント

まず「全体の仕事量」を求める。

【類題】8 ⼈で働くと 35 ⽇かかる仕事を，最初は 4 ⼈で働き，その後は 14 ⼈ で 12 ⽇働いて終わらせました。4 ⼈で働いたのは何⽇ですか。

解答【例題】28 ⽇ 【類題】28 ⽇ 解説 https://youtu.be/MyMwoOpvtjQ

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★☆

16 仕事算③ ― 標準 1 【例題】ある仕事をするのに，A 君は 20 分，B 君は 30 分かかります。この 仕事を 2 ⼈ですると何分で終わらせることができますか。 スヒント

最⼩公倍数を「全体の仕事量」とする。

【類題】ある仕事をするのに，A 君は 12 分，B 君は 15 分，C 君は 20 分かか ります。この仕事を 3 ⼈ですると何分で終わらせることができますか。

解答【例題】12 分 【類題】5 分 解説 https://youtu.be/9ratwbs192s

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★☆

17 仕事算④ ― 標準 2 【例題】ある仕事をするのに，A 君は 12 ⽇，B 君は 15 ⽇かかります。最初の 5 ⽇間は 2 ⼈でやっていましたが，その後は A 君 1 ⼈で終わらせました。A 君は全部で何⽇間仕事をしましたか。

【類題】ある仕事をするのに，A 君は 10 時間，B 君は 12 時間かかる仕事が あります。この仕事を 2 ⼈で 4 時間して残りは B 君だけで終わらせました。 B 君は全部で何時間何分仕事をしましたか。

解答【例題】8 ⽇間

【類題】7 時間 12 分

解説 https://youtu.be/5cdaOWLRes0

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

18 仕事算⑤ ― 応⽤ 1 【例題】ある仕事をするのに，A 君は 12 ⽇，B 君は 18 ⽇かかります。最初は A 君 1 ⼈で，途中から B 君 1 ⼈でしたら 15 ⽇で終わりました。B 君は何⽇ 働きましたか。

【類題】ある仕事をするのに，A 君は 12 ⽇，B 君は 16 ⽇，C 君は 48 ⽇かか ります。最初は 3 ⼈で働いていましたが，途中で A 君が休んでしまったの で，全部で 7 ⽇かかりました。A 君は何⽇休みましたか。

解答【例題】9 ⽇間

【類題】2 ⽇

解説 https://youtu.be/YtV5bqyUNGU

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

19 仕事算⑥ ― 応⽤ 2 【例題】A 君 1 ⼈では 18 ⽇，B 君 1 ⼈では 36 ⽇，C 君 1 ⼈では 24 ⽇かかる 仕事があります。この仕事を，A 君，B 君，C 君の 3 ⼈で 4 ⽇，A 君，B 君 の 2 ⼈で 2 ⽇仕事をした後，残りは A 君 1 ⼈ですることになりました。A 君 は合計で何⽇間働いたことになりますか。

【類題】A 君 1 ⼈では 12 ⽇，B 君 1 ⼈では 18 ⽇かかる仕事があります。この 仕事を，A 君，B 君，C 君の 3 ⼈で⼀緒にすると 4 ⽇で終わりました。この 仕事を C 君だけですると何⽇かかりますか。

解答【例題】12 ⽇間 【類題】9 ⽇ 解説 https://youtu.be/5ZDjS4Nd0i4

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★★

20 仕事算⑦ ― 発展 【例題】A 君 1 ⼈では 18 ⽇，B 君 1 ⼈では 21 ⽇かかる仕事があります。こ の仕事を最初は A 君が，後で B 君が，それぞれ 1 ⼈で働き完成させました。 働いた⽇数は B 君が A 君より 8 ⽇間多いとき，A 君と B 君はそれぞれ何⽇ 働きましたか。

【類題】ある仕事をするのに，A 君と B 君の 2 ⼈ですると 3 時間，B 君と C 君の 2 ⼈ですると 4 時間，A 君と C 君の 2 ⼈で仕事をすると 6 時間かかり ます。 ①

この仕事を 3 ⼈ですると，何時間何分で終わらせることができますか。

②

この仕事を B 君 1 ⼈ですると，何時間何分かかりますか。

解答【例題】A 6 ⽇，B 14 ⽇

【類題】① 2 時間 40 分 ② 4 時間 48 分

解説 https://youtu.be/yKPFi7Ztr3U

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第 1 章 マルイチ算

レベル★☆☆

21 ニュートン算① ― 基本 【例題】80 ⼈並んでいる⾏列に，さらに毎分 4 ⼈ずつ加わってゆきます。窓 ⼝を 1 つ開けると，80 分で⾏列がなくなります。各⼈の受付に要する時間 は同じとします。 ①

窓⼝ 1 つから 1 分間に出る⼈数は何⼈ですか。

②

窓⼝を 2 つ開けると，何分何秒で⾏列がなくなりますか。

スヒント

まず，1 つの窓⼝を 1 分間で何⼈通過するかを求める。

【類題】240 ⼈が並んでいる⾏列に，さらに毎分 40 ⼈ずつ加わってゆきます。 窓⼝を 2 つ開けると，12 分で列がなくなりました。各⼈の受付に要する時 間は同じとします。 ①

12 分間に 2 つの窓⼝を何⼈通過しましたか。

②

1 分間に 1 つの窓⼝を何⼈通過しましたか。

③

窓⼝を 3 つにしていたら，何分何秒で列はなくなりましたか。

解答【例題】① 5 ⼈ ② 13 分 20 秒 【類題】① 720 ⼈ ② 30 ⼈ ③ 4 分 48 秒 解説 https://youtu.be/3YWqKqoVeWI

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★☆

22 ニュートン算② ― 標準 1 【例題】ある学校の⼊学願書受付開始時刻にはすでに 200 ⼈の⾏列ができて いて，受付開始後も 1 分間に 3 ⼈の割合で⾏列に加わる⼈がいます。受付 の窓⼝を 1 つにして受付を始めたら，ちょうど 100 分間後に⾏列はなくな りました。もしこのとき，受付の窓⼝を 3 つにしていたら，何分で⾏列は なくなりましたか。ただし，各⼈の受付に要する時間は同じとします。

【類題】開園前の遊園地の⼊場⼝に 1800 ⼈の⼈が並んでいます。この遊園 地は，開園後も 1 秒間に 1 ⼈ずつの割合で新たに⼈が並びます。ただし， ⼊場⼝にある⾨は 1 秒間に⼊場できる⼈数がどれも同じであるとします。 ①

⼊場⼝の⾨を 1 か所だけ開けると，⾏列がなくなるまでに 30 分かかり ます。⼊場⼝の⾨を２か所開けると，何分で⾏列がなくなりますか。

②

3 分以内で⾏列がなくなるためには，⼊場⼝の⾨を少なくとも何か所開 ければよいですか。

50

解答【例題】 3 分 【類題】① 10 分 ② 6 か所 解説 https://youtu.be/6UIeP4Xn5ZQ

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★☆

23 ニュートン算③ ― 標準 2 【例題】泉に，はじめ 360ℓの⽔がたまっていて，毎分 4ℓの割合で⽔がわき 出ています。1 台のポンプを使ってこの泉の⽔をくみ出したところ，20 分 で泉は空になりました。 ①

このポンプは，毎分何ℓの⽔をくみ出しますか。

②

このポンプを 2 台使って⽔をくみ出すと，泉は何分で空になりますか。

【類題】泉に，はじめ 400ℓ の⽔がたまっていて，毎分 20ℓ の割合で⽔がわ き出ています。この泉には，400ℓ を超えて⽔はたまらないものとします。 ①

1 分間に 15ℓ の⽔をくみ出すポンプを 3 台使って⽔をくみだしたら， 何分で⽔は空になりますか。

②

10 分で空にするためには，①のポンプは何台必要ですか。

解答【例題】① 22ℓ

② 9 分 【類題】① 16 分 ② 4 台

解説 https://youtu.be/l0KCPxxKAmM

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

24 ニュートン算④ ― 応⽤ 1 【例題】あるコンサートの受付開始時刻に 252 ⼈の⾏列ができていて，その 後も⼀定の割合で⾏列に加わる⼈がいました。1 つの窓⼝で受付をすると， 1 時間 3 分で⾏列がなくなりました。受付は 1 分間に 5 ⼈の割合で受け付け るものとします。 ①

⾏列に加わる⼈は毎分何⼈ですか。

②

受付窓⼝を 3 つにすると，⾏列がなくなるのに何分かかりますか。

【類題】10 時開店の窓⼝があり，開店前に 36 ⼈のお客が待っていて，開店 後に毎分 1 ⼈の割合でお客が来ます。2 か所の窓⼝でお客に対応すると， 36 分で待っているお客がいなくなります。各窓⼝でお客に対応する速さは 同じとします。 ①

3 か所の窓⼝でお客に対応すると，待っているお客がいなくなるのは 何時何分ですか。

②

10 時６分で待っているお客がいなくなるためには，何か所の窓⼝でお 客に対応すればよいですか。

解答【例題】① 1 ⼈ ② 18 分 【類題】① 10 時 18 分 ② 7 か所 解説 https://youtu.be/kMrvBPWCHGw

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第 1 章 マルイチ算

レベル★★★

25 ニュートン算⑤ ― 応⽤ 2 【例題】ある⽔そうに⽔が 1600ℓ ⼊っています。今，⽔道のじゃ⼝から毎分 きまった量の⽔を⼊れながら，同時に 1 台のポンプで毎分きまった量の⽔を くみ出すと，40 分後に⽔そうは空になります。この場合ポンプを 2 台にし てくみ出すと，16 分後に空になります。 ① 1 台のポンプでは毎分何 ℓ の⽔をくみ出せますか。 ② ⽔道のじゃ⼝からは毎分何 ℓ の⽔を注いでいますか。 ③ ポンプを 3 台にすると何分後に空になりますか。

【類題】⽔そうに⽔が 300ℓ ⼊っています。⽔道の蛇⼝から，⼀定の割合でこ の⽔そうに⽔を⼊れます。それと同時に，この⽔そうから，１台のポンプで ⼀定の割合で⽔をくみ出すと 15 分後に⽔そうは空になり，同じポンプを 2 台使ってくみ出すと 6 分後に⽔そうは空になります。このポンプを４台使う と何分後に⽔そうは空になりますか。

解答【例題】① 60 ℓ ② 20ℓ

③10 分

【類題】

解説 https://youtu.be/OqGz6pgyU4A

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30 分 11

第 1 章 マルイチ算

レベル★★★★

26 ニュートン算⑥ ― 発展 【例題】⼀定量の⽔が絶えず流⼊している池の⽔を 5 台のポンプでは 240 分 でくみ尽くし，12 台のポンプでは 80 分でくみ尽くします。9 台のポンプを 使うと何分で⽔をくみ尽くしますか。 スヒント

１台のポンプで１分でくみ出す⽔の量(1 分で減る量) を①とおいて，1 分間に⼊る⽔の量を求め，次に，もとの⽔量を求める。

【類題】ある池の⽔をすべてくみ出すのに，ポンプ 3 台では 20 時間，4 台で は 10 時間かかります。6 台のポンプでは何時間かかりますか。ただし，こ の池には⼀定の割合で⽔がわき出てくるものとします。

解答【例題】112 分

【類題】5 時間

解説 https://youtu.be/MdcWGhIBusc

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第２章 割合と⽐

１

レベル★☆☆

相当算① ― 基礎 1

2 【例題 1】A 君が持っている⾦の 3 が 2000 円だとすると，A 君が持っている お⾦はいくらですか。

【例題 2】B 君が持っているお⾦の

3 が 900 円だとすると，B 君が持っている 4

お⾦はいくらですか。

3 【類題 1】C 君が持っているお⾦の 5 が 2250 円だとすると，C 君が持ってい るお⾦はいくらですか。

5 【類題 2】D 君が持っているお⾦の 7 が 2250 円だとすると，D 君が持ってい るお⾦はいくらですか。

解答【例題 1】3000 円 【例題 2】1200 円 【類題 1】3750 円 【類題 2】3150 円 解説 https://youtu.be/WM7w1oFm8go

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第２章 割合と⽐

２

レベル★☆☆

相当算② ― 基礎 2

3 【例題 1】A 君が持っている⾦の 4 を使ったところ，180 円残りました。 A 君がはじめ持っていたお⾦はいくらですか。

2 を使ったところ，240 円残りました。 3 B 君がはじめ持っていたお⾦はいくらですか。

【例題 2】B 君が持っているお⾦の

3 を使ったところ，480 円残りました。 5 C 君がはじめ持っていたお⾦はいくらですか。

【類題 1】C 君が持っているお⾦の

4 を使ったところ，1230 円残りました。 7 D 君がはじめ持っていたお⾦はいくらですか。

【類題 2】D 君が持っているお⾦の

解答【例題 1】720 円

【例題 2】720 円 【類題 1】1200 円 【類題 2】2870 円

解説 https://youtu.be/9w41cyPV4cM

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第２章 割合と⽐

３

レベル★☆☆

相当算③ ― 基礎 3

1 【例題】A 君はある本を読みました。最初の⽇に全体の 2 を読み，次の⽇に 2 残りの 3 を読んだところ，36 ページ残りました。 ① A 君は 2 ⽇⽬に何ページ読みましたか。 ② この本は全部で何ページありますか。

3 【類題】B 君はある本を読みました。最初の⽇に全体の 7 を読み，次の⽇に 3 残りの 5 を読んだところ，48 ページ残りました。 ① B 君は 2 ⽇⽬に何ページ読みましたか。 ② この本は全部で何ページありますか。

解答【例題】① 72 ページ ② 216 ページ

【類題】① 72 ページ

解説 https://youtu.be/RYMWTBnq6hA

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② 210 ページ

第２章 割合と⽐

４

レベル★☆☆

相当算④ ― 基礎 4

3 【例題 1】A 君が持っているお⾦の 4 より 60 円多く使ったところ，残ったお ⾦が 240 円になりました。A 君が持っていたお⾦はいくらですか。

3 【例題 2】B 君が持っているお⾦の 4 より 80 円少なく使ったところ，残った お⾦が 1260 円になりました。A 君が使ったお⾦はいくらですか。

2 【類題 1】C 君が持っているお⾦の 5 より 60 円多く使ったところ，残ったお ⾦が 1080 円になりました。C 君が持っていたお⾦はいくらですか。

5 【類題 2】D 君が持っているお⾦の 9 より 80 円少なく使ったところ，残った お⾦が 1880 円になりました。D 君が使ったお⾦はいくらですか。

解答【例題 1】1200 円 【例題 2】3460 円 【類題 1】1900 円 【類題 2】2170 円 解説 https://youtu.be/uWu9-C0OU9M

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第２章 割合と⽐

５

レベル★☆☆

相当算⑤ ― 基礎 5 1

【例題】A 君はある本を読みました。1 ⽇⽬に全体の 4 を読み，2 ⽇⽬に

1 147 ページを読んだところ，残りは全体の 6 になりました。この本は全部 で何ページありますか。

1 【類題】B 君はある本を読みました。1 ⽇⽬に全体の 5 を読み，2 ⽇⽬に 1 110 ページを読んだところ，残りは全体の 4 になりました。この本は全部 で何ページありますか。

解答【例題】252 ページ 【類題】200 ページ 解説 https://youtu.be/9LVlwxG2cF4

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第２章 割合と⽐

６

レベル★★☆

相当算⑥ ― 標準１

3 5 【例題】男⼦は全体の 5 より 90 ⼈少なく，⼥⼦は全体の 7 より 130 ⼈少な いとき，⽣徒は全部で何⼈ですか。

1 2 【類題】男⼦は全体の 5 より 93 ⼈多く，⼥⼦は全体の 3 より 135 ⼈多いと き，⽣徒は全部で何⼈ですか。

解答【例題】700 ⼈

【類題】855 ⼈

解説 https://youtu.be/6c0PjTslidY

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第２章 割合と⽐

７

レベル★★☆

相当算⑦ ― 標準 2

2 2 【例題】1 ⽇⽬に持っているお⾦の 5 より 90 円多く使い，2 ⽇⽬に残りの 3 より 30 円多く使ったら，180 円残りました。初めに持っていたお⾦は何円 ですか。

2 【類題】1 ⽇⽬に持っているお⾦の 5 より 90 円少なく使い，2 ⽇⽬に残りの 2 より 30 円少なく使ったら，180 円残りました。初めに持っていたお⾦は 3 何円ですか。

解答【例題】1200 円 【類題】600 円 解説 https://youtu.be/AL1sYjYhhsI

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第２章 割合と⽐

８

レベル★★☆

相当算⑧ ― 標準 3

【例題】A は本を読むことにしました。1 ⽇⽬に 24 ページ読み，2 ⽇⽬は残 3 2 りの を読み，3 ⽇⽬には，2 ⽇⽬までに読み終わった残りの を読みま 4 5 した。すると 12 ページ残りました。この本は何ページですか。

2 1 【類題】1 ⽇⽬に所持⾦の 4 を使い，2 ⽇⽬に残りの 3 を使い，3 ⽇⽬にま 1 たその残りの 3 を使いました。最後に残ったのは，2 ⽇⽬に使ったお⾦より 400 円少ない額でした。初め，何円持っていましたか。

解答【例題】104 ページ 【類題】1200 円 解説 https://youtu.be/IEJa0V4vwDw

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第２章 割合と⽐

９

レベル★★★

相当算⑨ ― 応⽤ 1

2 5 だけはね上がるボールがあります。 ① ⾼さ 5m のところからボールを落としたら，3 回⽬には何㎝はね上がり

【例題】落とした⾼さから ますか。 ②

2 回⽬にはね上がった⾼さが 48cm のとき，初めに何 m の⾼さからボー ルを落としましたか。

③

⼿を離してから 3 度⽬にはね上がった⾼さまでの間に，ボールの動い た距離が 546cm であったとき，初め，ボールを何㎝のところから落とし ましたか。

2 【類題】A 球は落下する距離の 3 の⾼さまではね返り，B 球は落下する距離 3 の の⾼さまではね返ります。 4 ① A と B を同じ⾼さから落とすと，それぞれの球の 1 回⽬にはね返った ⾼さの差が 3m だったとき，何 m の⾼さから球を落としましたか。 ②

A をある⾼さから落とし，B を A より 3.4m 低い⾼さから落とすと，そ れぞれの 2 回⽬にはね返った⾼さが同じだったとき，A を何 m の⾼さか ら落としましたか。

解答【例題】① 32cm ② 3m

③ 250cm 【類題】① 36m

解説 https://youtu.be/JGW-c2g0Dxc

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② 16.2m

第２章 割合と⽐

レベル★★★

10 相当算⑩ ― 応⽤ 2 【例題 1】A，B，C の 3 ⼈が 3510 円を分けるのに，B は A の

5 ，C は A の 8

1.3 倍にしました。C はいくらもらえますか。

3 2 7 【例題２】A，B，C の 3 ⼈の貯⾦は，A は C の 4 ，B は C の 9 で，A の 9 1 は B の 7 より 1000 円多いです。C の貯⾦は何円ですか。

【類題】A，B，C，D 4 ⼈の貯⾦の平均⾦額は 4550 円です。A の貯⾦は B の 3 5 3 貯⾦の ，B の貯⾦は C の貯⾦の ，D の貯⾦は C の貯⾦の あります。 5 6 4 A の貯⾦はいくらですか。

解答【例題 1】1560 円 【例題 2】18000 円 【類題】2700 円 解説 https://youtu.be/QJw5ly1s9g4

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第２章 割合と⽐

レベル★★★

11 相当算⑪ ― 応⽤ 3 1

2

【例題】A の 3 は B の 7 に等しく，B が A より 600 円多いとき，A の値段 は何円ですか。

1 【類題】プールに 2 本の棒をまっすぐに⽴てたところ，⻑い⽅の棒は 3 ，短 2 い⽅の棒は が⽔に濡れました。2 本の棒の⻑さの差が 42cm のとき，プー 5 ルの深さは何 cm ですか。

解答【例題】3600 円

【類題】84cm

解説 https://youtu.be/dUVfcEy2XGk

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第２章 割合と⽐

レベル★★★★

12 相当算⑫ ― 発展 【例題】A，B，C が旅⾏をしたとき，交通費のうち，A は電⾞料⾦だけを， B はバスの料⾦だけを，C は船の料⾦だけを⽀払いました。旅⾏後，それ ぞれが⽀払う交通費を同じにするために，B は A に 540 円，C は A に 360 円を返しました。電⾞の料⾦がバスの料⾦の 3 倍だったとき，1 ⼈分の交 通費は何円ですか。

【類題】A，B，C，D の 4 ⼈が遊園地にゆき，A は 4 ⼈分の往復の交通費， B は 4 ⼈分の⼊場料，C は 4 ⼈分の乗り物代，D は 4 ⼈分の昼⾷代を払い ました。翌⽇，１⼈分の費⽤が同じになるように計算して，A は B に 200 円，D に 400 円，C は D に 1400 円⽀払いました。交通費にかかった費⽤ が昼⾷代にかかった費⽤の半分であるとき，１⼈分の⼊場料と乗り物代は それぞれ何円でしたか。

解答【例題】1260 円 【類題】⼊場料 800 円，乗り物代 400 円 解説 https://youtu.be/ySsgiDg7ghQ

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第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

13 割合① ― 基礎 1 【例題 1】次の⼩数を百分率に，百分率を⼩数に直しなさい。 ① 0.12

② 0.3

③ 1.5

④ 35％

⑤ 25.4％

⑥ 120％

割合 百分率 歩合

1 100％ 10 割

0.1 10％ 1割

0.01 1％ 1分

0.001 0.1％ 1厘

【例題 2】次の⼩数を歩合に，歩合を⼩数に直しなさい。 ① 0.23

② 0.125

③ 0.5

④ 1割5分

⑤ 2割5分4厘

⑥ 3割5厘

【類題】次の百分率を歩合に，歩合を百分率に直しなさい。 ① 62.5％

② 30%

③ 5分5厘

解答【例題 1】① 12％ ② 30% ③ 150% ④ 0.35

④ 3割1分2

⑤ 0.254

【例題 2】① 2 割 3 分 ② 1 割 2 分 5 厘 ③ 5 割 ④ 0.15 【類題】① 6 割 2 分 5 厘 ② 3 割 ③ 5.5% 解説 https://youtu.be/nCoZUYSMkqE

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④ 31.2%

⑥ 1.2 ⑤ 0.254 ⑥ 0.305

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

14 割合② ― 基礎 2 【例題 1】40 ⼈学級のうち，30 ⼈が出席しています。出席者の割合は何%で すか。

【例題 2】40 ⼈学級のうち，75%の⼈が出席しています。出席している⼈は何 ⼈ですか。

【例題 3】出席した⼈は 16 ⼈で，これはクラス全体の 40％にあたります。ク ラス全体の⼈数は何⼈ですか。

- 47 -

【類題 1】40 ⼈学級のうち，35 ⼈が出席しています。出席者の割合は何%です か。

【類題 2】40 ⼈学級のうち，85%の⼈が出席しています。出席している⼈は何 ⼈ですか。

【類題 3】出席した⼈は 28 ⼈で，これはクラス全体の 70％にあたります。ク ラス全体の⼈数は何⼈ですか。

解答【例題 1】75％ 【例題 2】30 ⼈ 【例題 3】40 ⼈ 【類題 1】87.5% 【類題 2】34 ⼈ 【類題 3】40 ⼈ 解説 https://youtu.be/cPaWkg0bqJw

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第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

15 ⾷塩⽔① ― 基礎 1 【例題 1】⾷塩⽔ 300ｇに溶けている⾷塩が 18ｇのとき，この⾷塩⽔の濃さは （

）％です。

【例題 2】4%の⾷塩⽔ 150ｇに含まれる⾷塩の量は（

【例題 3】3%の⾷塩⽔（

）ｇです。

）ｇに⾷塩は 15ｇふくまれています。

- 49 -

【類題 1】7%の⾷塩⽔ 400ｇに含まれる⾷塩の量は（

）ｇです。

【類題 2】⾷塩⽔ 200ｇに溶けている⾷塩の量が 16ｇのとき，この⾷塩⽔のこ さは（

）％です。

【類題 3】8%の⾷塩⽔（

）ｇに⾷塩は 36ｇ含まれています。

解答【例題 1】6％【例題 2】6ｇ【例題 3】500ｇ【類題 1】28ｇ【類題 2】8％【類題 3】450ｇ 解説 https://youtu.be/7CKej7b8D64

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第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

16 ⾷塩⽔② ― 基礎 2 【例題 1】20%の⾷塩⽔ 600ｇに⽔ 200ｇを混ぜると（

）％の⾷塩⽔にな

ります。

【例題 2】10％の⾷塩⽔に⽔を（

）ｇ加えて 500ｇにしたところ，3%の

⾷塩⽔になりました。

【例題 3】10%の⾷塩⽔ 120ｇがあります。20ｇの⽔を蒸発させると⾷塩⽔の こさは（

）％になります。

- 51 -

【類題 1】12%の⾷塩⽔ 200ｇに⽔ 100ｇを加えると（

）％の⾷塩⽔にな

ります。

【類題 2】15％の⾷塩⽔に⽔を（

）ｇ加えて 500ｇにしたところ，12%の

⾷塩⽔になりました。

【類題 3】8%の⾷塩⽔ 350ｇから 70ｇの⽔を蒸発させると（ ⽔になります。

解答【例題 1】15％ 【例題 2】350ｇ 【例題 3】12% 解答【類題 1】8％【類題 2】100ｇ【類題 3】10% 解説 https://youtu.be/kBK9RDnR92c

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）%の⾷塩

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

17 ⾷塩⽔③ ― 基礎 3 【例題 1】6%の⾷塩⽔ 450ｇに⾷塩を（

）ｇ混ぜると 10%の⾷塩⽔にな

ります。

【例題 2】5%の⾷塩⽔ 200ｇと 8%の⾷塩⽔ 400ｇを混ぜると（

）％の

⾷塩⽔になります。

【例題 3】6%の⾷塩⽔ 400ｇと（

）％の⾷塩⽔ 200ｇを混ぜると，5%の

⾷塩⽔になります。

- 53 -

【類題 1】5%の⾷塩⽔ 480ｇに⾷塩を（

）ｇ加えると 8.8%の⾷塩⽔にな

ります。

【類題 2】7%の⾷塩⽔ 200ｇと 4%の⾷塩⽔ 300ｇを混ぜてできる⾷塩⽔の濃 度は（

）％です。

【類題 3】6%の⾷塩⽔ 350ｇと（

）％の⾷塩⽔ 450ｇを混ぜると，10.5%

の⾷塩⽔になります。

解答【例題 1】20ｇ【例題 2】7％【例題 3】3% 【類題 1】20ｇ【類題 2】5.2％【類題 3】14% 解説 https://youtu.be/25CRS0pim0k

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第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

18 ⽐① ― 基礎 1 【例題】次の⽐を最も簡単な整数の⽐に直しなさい。 (1) 4：16

(2) 18：12

(3) 50：120

(4) 36：48

(5) 1.8：2.8

(6) 0.3：2.7

(7) 0.25：0.45

(8) 3.3：0.09

(9) 1.2：4

【類題】次の⽐を最も簡単な整数の⽐に直しなさい。 (1) 9：12

(2) 24：42

(3) 45：54

(5) 3.5：8.4

(6) 2.16：1.98

(7) 1：1.5

(4) 38：57

解答【例題】(1) 1:4 (2) 3:2 (3) 5:12 (4) 3:4 (5) 9:14 (6) 1:9 (7) 5:9 (8) 110:3 (9) 3:10 【類題】(1) 3:4 (2) 4:7 (3) 5:6 (4) 2:3 (5) 5:12 (6) 12:11 (7) 2:3 解説 https://youtu.be/rytxMvaLB7s

- 55 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

19 ⽐② ― 基礎 2 【例題】次の⽐を最も簡単な整数の⽐に直しなさい。

(1)

7 1 ： 5 15

(4) 3

(2)

1 3 ：4 2 8

2 3 ： 3 4

(3)

(5) 1.75 ： 2

3 12 ： 4 18

1 4

【類題】次の⽐を最も簡単な整数の⽐に直しなさい。

(1)

7 5 ： 12 6

(4) 6.48 ： 5

(2)

2 5

解答【例題】(1) 3:7

6 1 ： 9 6

(5) 0.45 ：

(3) 4 ： 1

1 1 ：1 20 5

(2) 8:9

(3) 9:8

(4) 4:5

(5) 7:9

【類題】(1) 10:7 (2) 1:4

(3) 5:2

(4) 6:5

(5) 9:4:21

解説 https://youtu.be/qO7GiqVXKeo

- 56 -

3 5

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

20 ⽐③ ― 基礎 3 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

1 A 君の所持⾦は B 君の所持⾦の 1 3 倍です。A 君と B 君の所持⾦の⽐を 求めなさい。

(2)

A 君の所持⾦は B 君の所持⾦の 2 倍，C 君の所持⾦は B 君の所持⾦の 3 倍です。A 君，B 君，C 君の所持⾦の⽐を求めなさい。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

(2)

5 A 君の所持⾦は B 君の所持⾦の 8 倍です。A 君と B 君の所持⾦の⽐を求 めなさい。

A 君の所持⾦は B 君の所持⾦の 3 倍，C 君の所持⾦は A 君の所持⾦の 1 2 倍です。A 君，B 君，C 君の所持⾦の⽐を求めなさい。

解答【例題】(1) 4 : 3 解説

(2) 2 : 1 : 3

【類題】(1) 5 : 8

https://youtu.be/l2OqrZrLkRk - 57 -

(2) 6 : 2 : 3

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

21 ⽐④ ― 基礎 4 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

A 君と B 君は合わせて 96 個のビー⽟を持っています。A 君のビー⽟の個 数は B 君のビー⽟の個数の倍です。A 君と B 君のビー⽟の個数をそれぞれ 求めなさい。

(2) A 君と B 君と C 君の所持⾦の⽐は 4：6：5 で，合計は 2100 円です。三⼈ の所持⾦はそれぞれいくらですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

A 君と B 君は合わせて 110 個のビー⽟を持っています。A 君のビー⽟の個 3 数は B 君のビー⽟の個数の 1 倍です。A 君と B 君のビー⽟の個数をそれ 4 ぞれ求めなさい。

(2)

3 つの空の容器 A，B，C があります。これらの容器に 6.5ℓの⽔を 4：2： 7 の⽐になるように分けました。それぞれの容器の⼊っている⽔の量を求め なさい。

解答【例題】(1) A 君 40 個, B 君 56 個 【類題】(1) A 君 70 個, B 君 40 個 解説

(2) A 君 560 円, B 君 840 円,C 君 700 円 (2) A 2ℓ, B 1ℓ,C 3.5ℓ

https://youtu.be/ykHfjnx_ZJM - 58 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

22 ⽐⑤ ― 基礎 5 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

1 A：B＝7：6 で，C は B の 1 3 倍です。A：B：C を求めなさい。

(2)

3 つの整数 A，B，C があり，A：B＝4：5，B：C＝3：1 のとき，次の問 いに答えなさい。 ①

A と B と C の和が 160 のとき，C はいくつですか。

② A と B の差が 18 のとき，C はいくつですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1) A：B＝5：16 で，B は C の 2

(2)

2 倍です。A：B：C を求めなさい。 5

3 つの整数 A，B，C があり，A：B＝2：3，B：C＝5：3 のとき，次の問 いに答えなさい。 ① A と B の差が 20 のとき，C はいくつですか。

② A＋C と B の差が 52 のとき，C はいくつですか。

解答【例題】(1) 7 : 6 : 8 【類題】(1) 15 : 48 : 20

(2) ① 25 ② 30 (2) ① 36 ② 117

解説 https://youtu.be/VfRqB79mtK4

- 59 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

23 ⽐⑥ ― 基礎 6 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

A の 3 倍と B の 4 倍が等しいとき，A：B を求めなさい。

(2)

A の 2 倍と B の 3 倍と C の 4 倍が等しいとき，A：B：C を求めなさい。

【類題】次の問いに答えなさい。

3 倍と B の 1.2 倍が等しいとき，A：B を求めなさい。 4

(1)

Aの

(2)

A の 2 倍と B の 3

1 倍と C の 2.5 倍が等しいとき，A：B：C を求めなさ 3

い。

解答【例題】(1) 4 : 3 解説

(2) 6：4：3

【類題】(1) 8 : 5

https://youtu.be/abSRakKoKfg - 60 -

(2) 5：3：4

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

24 ⽐⑦ ― 標準 1 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 2500 円，弟の所持⾦は 1500 円でした。兄が弟にいく らかお⾦をわたしたところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 3：7 になりました。兄が 弟にわたしたお⾦はいくらですか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 2：1 でしたが，兄が弟に 250 円をわたした ところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 7：5 になりました。はじめ兄の所持⾦はいく らですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 3500 円，弟の所持⾦は 2000 円でした。兄が弟にいく らかお⾦をわたしたところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 9：11 になりました。兄 が弟にわたしたお⾦はいくらですか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 4：3 でしたが，兄が弟に 1200 円をわたした ところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 16：19 になりました。はじめ兄の所持⾦は いくらですか。

解答【例題】(1) 1300 円

(2) 2000 円 【類題】(1) 1025 円

解説 https://youtu.be/a_-UOjq8OII

- 61 -

(2) 6000 円

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

25 ⽐⑧ ― 標準 2 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 3000 円，弟の所持⾦は 2400 円でした。兄と弟が同じ ⾦額を使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 7：5 になりました。兄と弟はい くらずつ使いましたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 2：1 でしたが，兄と弟が 400 円ずつ使った ところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 9：4 になりました。はじめ兄の所持⾦はいく らですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 2880 円，弟の所持⾦は 3600 円でした。兄と弟が同じ ⾦額を使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 7：10 になりました。兄と弟は いくらずつ使いましたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 4：3 でしたが，兄と弟が 500 円ずつ使った ところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 11：8 になりました。はじめ兄の所持⾦はい くらですか。

解答【例題】(1) 900 円

(2) 4000 円 【類題】(1) 1200 円

解説 https://youtu.be/ucM_4kAC_7s

- 62 -

(2) 6000 円

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

26 ⽐⑨ ― 標準 3 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 1400 円，弟の所持⾦は 1200 円でした。兄がお⾦をい くらか使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 5：6 になりました。兄はいくら 使いましたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 5：4 でしたが，兄が 700 円使ったところ， 兄と弟の所持⾦の⽐は 9：10 になりました。はじめ兄の所持⾦はいくらです か。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄の所持⾦は 2080 円，弟の所持⾦は 1560 円でした。兄がお⾦をい くらか使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 1：2 になりました。兄はいくら 使いましたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 7：3 でしたが，兄が 500 円使ったところ， 兄と弟の所持⾦の⽐は 3：2 になりました。はじめ兄の所持⾦はいくらです か。

解答【例題】(1) 400 円

(2) 2500 円 【類題】(1) 1300 円

解説 https://youtu.be/i9DZkswqSLo

- 63 -

(2) 1400 円

第２章 割合と⽐

レベル★★★

27 ⽐⑩ ― 応⽤ 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 3：2 でしたが，兄が 300 円使い，弟が 900 円使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 5：1 になりました。はじめの兄の所 持⾦はいくらでしたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 6：5 でしたが，兄と弟が 4：3 の割合でお⾦ を出し合って 1 つのゲームソフトを買ったので，残りの所持⾦は⼆⼈とも 1600 円になりました。ゲームソフトの値段はいくらですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 8：9 でしたが，兄が 400 円もらい，弟が 180 円使ったところ，兄と弟の所持⾦の⽐は 32：15 になりました。はじめの兄 の所持⾦はいくらでしたか。

(2)

はじめ兄と弟の所持⾦の⽐は 7：6 でしたが，兄と弟が 5：3 の割合でお⾦ を出し合って 1 冊の本を買ったので，残りの所持⾦は兄が 480 円，弟が 540 円になりました。本の値段はいくらですか。

解答【例題】(1) 1800 円

(2) 5600 円 【類題】(1) 560 円

解説 https://youtu.be/G7KekCtt0l4

- 64 -

(2) 800 円

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

28 年齢算① ― 基本 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

現在，太郎君の年令は 9 才で，⽗の年令は 41 才です。⽗の年令が太郎君の 年令の 3 倍になるのは今から何年後ですか。

(2)

私は⺟が 32 才のときに⽣まれました。今から 5 年後に⺟の年令は私の年令 の 3 倍になります。現在，⺟は何才ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

現在，太郎君の年令は 4 才で，⽗の年令は 32 才です。⽗の年令が太郎君の 年令の 5 倍になるのは今から何年後ですか。

(2)

私は⺟が 30 才のときに⽣まれました。今から 4 年後に⺟の年令は私の年令 の 2.5 倍になります。現在，⺟は何才ですか。

解答【例題】(1) 7 年後 解説

(2) 43 才 【類題】(1) 3 年後

https://youtu.be/18scxzzeGSo

- 65 -

(2) 46 才

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

29 年齢算② ― 標準 1 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

現在，A さんと B さんの年令の和は 72 才で，A さんの年令の 5 倍と B さ んの年令の 3 倍は同じです。A さんの年令が B さんの年令のちょうど半分だ ったのは今から何年前ですか。

(2)

現在，⽗の年令は 37 才で，2 ⼈の⼦どもの年令は 5 才と 3 才です。⽗の年 令が⼆⼈の⼦どもの年令の和の 2 倍になるのは今から何年後ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 現在，A さんと B さんと C さんの年令の和は 80 才で，A さんの年令の 3 倍 と B さんの年令の 2 倍が等しく，B さんの年令の 5 倍と C さんの年令の 9 倍が 等しくなっています。A さんの年令と C さんの年令の和が B さんの年令と等し かったのは今から何年前ですか。

解答【例題】 (1) 9 年前 解説

(2) 7 年後 【類題】 8 年前

https://youtu.be/qy4l_KErhLQ

- 66 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

30 年齢算③ ― 標準 2 【例題】次の問いに答えなさい。 (1)

現在，⽗の年令は 43 才で，三⼈の⼦どもの年令は 11 才と 9 才と 7 才で す。三⼈の⼦どもの年令の和が⽗の年令と等しくなるのは今から何年後です か。

(2)

現在，⽗の年令は 43 才で，三⼈の⼦どもの年令は 12 才と 9 才と 8 才で す。⽗の年令が三⼈の⼦どもの年令の和の 2 倍だったのは今から何年前です か。

【類題】次の問いに答えなさい。 (1)

現在，⽗の年令は 38 才で，三⼈の⼦どもの年令は 12 才と 10 才と 6 才で す。三⼈の⼦どもの年令の和が⽗の年令と等しくなるのは今から何年後です か。

(2)

現在，⽗の年令は 38 才，⺟の年令は 36 才で，三⼈の⼦どもの年令は 14 才と 13 才と 7 才です。三⼈の⼦どもの年令の和が⽗と⺟の年令の和と等し くなるのは今から何年後ですか。

解答【例題】 (1) 8 年後

(2) 3 年前 【類題】 (1) 5 年後 (2) 40 年後

解説 https://youtu.be/8M1NL94Zj80

- 67 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

31 年齢算④ ― 標準 3 【例題】次の問いに答えなさい。 現在，三⼈の⼦どもの年令はそれぞれ 9 才，8 才，6 才です。8 年後に⽗の年 令は 3 ⼈の⼦どもの年令の和に等しくなります。三⼈の⼦どもの年令の和が⽗ の年令の 2 倍になるのは今から何年後ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 現在，三⼈の⼦どもの年令はそれぞれ 14 才，13 才，9 才です。3 年後に⽗の 年令は 3 ⼈の⼦どもの年令の和に等しくなります。三⼈の⼦どもの年令の和が ⽗の年令の 2 倍になるのは今から何年後ですか。

解答【例題】 55 年後 【類題】 48 年後 https://youtu.be/ciMc5jONGw4

- 68 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

32 年齢算⑤ ― 応⽤ 1 【例題】⽗は⺟より 2 才年上で，現在，⽗と⺟と太郎君の年令の合計は 84 才で す。8 年前は⽗と⺟の年令の和が太郎君の年令の 9 倍でした。現在，⺟は何才 ですか。

【類題】⽗は⺟より 2 才年上で，現在，⽗と⺟と太郎君の年令の合計は 91 才で す。8 年後は⽗と⺟の年令の和が太郎君の年令の 4 倍になります。現在，⺟は 何才ですか。

解答【例題】 34 才

【類題】37 才

解説 https://youtu.be/1ngkkqJGnds

- 69 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

33 年齢算⑥ ― 応⽤ 2 【例題】太郎君の家は，兄と両親の 4 ⼈家族です。兄は太郎君より 3 才年上で， 現在の 4 ⼈の年令の平均は 27 才です。4 年後，両親の年令の和は，太郎君と 兄の年令の和の 3 倍より 8 才少なくなります。現在，太郎君は何才ですか。

【類題】太郎君の家は，兄と両親の 4 ⼈家族です。兄は太郎君より 2 才年上で， 現在の 4 ⼈の年令の平均は 26.5 才です。5 年後，両親の年令の和は，太郎君 と兄の年令の和の 4 倍より 4 才少なくなります。現在，太郎君は何才ですか。

解答【例題】 11 才

【類題】7 才

解説 https://youtu.be/fufmKmcbBKU

- 70 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

34 ⾷塩⽔④ ― 基礎 4 (てんびん算) 【例題 1】6%の⾷塩⽔ 450ｇに⾷塩を（

）ｇ混ぜると 10%の⾷塩⽔にな

ります。

【例題 2】5% の⾷塩⽔ 200ｇと 8% の⾷塩⽔ 400ｇを混ぜると（

）％の

⾷塩⽔になります。

【例題 3】6% の⾷塩⽔ 400ｇと（

）％の⾷塩⽔ 200 ｇを混ぜると，5%

の⾷塩⽔になります。

- 71 -

【類題 1】5% の⾷塩⽔ 480ｇに⾷塩を（

）ｇ加えると 8.8%の⾷塩⽔に

なります。

【類題 2】7% の⾷塩⽔ 200ｇと 4% の⾷塩⽔ 300ｇを混ぜてできる⾷塩⽔の 濃度は（

）％です。

【類題 3】6% の⾷塩⽔ 350ｇと（

）％の⾷塩⽔ 450 ｇを混ぜると，

10.5%の⾷塩⽔になります。

解答【例題 1】20ｇ【例題 2】7％【例題 3】3%【類題 1】20ｇ【類題 2】5.2％【類題 3】14% 解説 https://youtu.be/uUhBcjRfWgQ

- 72 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

35 ⾷塩⽔⑤ ― 基礎 5 (てんびん算) 【例題 1】20%の⾷塩⽔ 600ｇに⽔ 200ｇを混ぜると（

）％の⾷塩⽔にな

ります。

【例題 2】10％の⾷塩⽔に⽔を（

）ｇ加えて 500ｇにしたところ，3%の

⾷塩⽔になりました。

【例題 3】10%の⾷塩⽔ 120ｇがあります。20ｇの⽔を蒸発させると⾷塩⽔の こさは（

）％になります。

- 73 -

【類題 1】12% の⾷塩⽔ 200ｇに⽔ 100ｇを加えると（

）％の⾷塩⽔にな

ります。

【類題 2】15％の⾷塩⽔に⽔を（

）ｇ加えて 500ｇにしたところ，12%の

⾷塩⽔になりました。

【類題 3】8% の⾷塩⽔ 350ｇから 70ｇの⽔を蒸発させると（

）% の⾷

塩⽔になります。

解答【例題 1】15％【例題 2】350ｇ【例題 3】12%【類題 1】8％【類題 2】100ｇ【類題 3】10% 解説 https://youtu.be/ztKkTsZXtL4

- 74 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

36 ⾷塩⽔⑥ ― 標準 1 【例題】18％の⾷塩⽔が 300ｇあります。この⾷塩⽔から，⾷塩⽔を 100ｇ取 り出し，その容器に 100ｇの⽔を加えたら何％の⾷塩⽔ができますか。 1 解法 1

てんびん図

1 解法 2

⾷塩の量に注⽬する

【類題】12％の⾷塩⽔が 100ｇあります。まず，20ｇの⾷塩⽔を捨て，⽔を 20ｇ⼊れます。次に 10ｇの⾷塩⽔を捨て，⽔を 10ｇ⼊れます。このとき， ⾷塩⽔のこさは何％になりますか。

解答【例題】12%

【類題】8.64％

解説 https://youtu.be/r18OmB0IbcA

- 75 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

37 ⾷塩⽔⑦ ― 標準 2 【例題】15％の⾷塩⽔が 600ｇあります。この⾷塩⽔から⾷塩⽔を何ｇか取り 出し，取り出した⾷塩⽔と同じ量の⽔を加えたら，8％の⾷塩⽔ができまし た。取り出した⾷塩⽔は何ｇですか。 1 解法 1２

1 解法 2２

1 解法 3２

【類題】20％の⾷塩⽔のいくらかをこぼしたので，こぼした⾷塩⽔と同じ重さ の⽔を加えたところ 16％の⾷塩⽔になりました。加えた⽔の重さは⾷塩⽔の 最初の重さの何倍ですか。

解答【例題】280ｇ

【類題】

1 5

倍

解説 https://youtu.be/w17VqUUez0E

- 76 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

38 ⾷塩⽔⑧ ― 標準 3 【例題】濃度 3％の⾷塩⽔ A が 100ｇ，濃度 4％の⾷塩⽔ B が 150ｇあります。 A と B から同じ重さの⾷塩⽔を同時に取り出し，A から取り出したものを B へ，B から取り出したものを A に⼊れると，A と B の⾷塩⽔の濃さは同じに なりました。取り出した⾷塩⽔の重さは何ｇですか。 【ポイント】⼀部を⼊れ替えたら同じ濃度になったということは，2 つの容器に同じ⾷塩⽔が⼊っ ている状態になる。だから，A と B を全部混ぜて 250g の⾷塩⽔を作り，それを 2 つの容器に分 けたのと結果的には同じである。

【類題】容器Aには6％の⾷塩⽔が400ｇ，容器Ｂには8％の⾷塩⽔が600ｇ⼊っ ています。 ①

それぞれの容器から同じ量だけくみ出してそれぞれに移しかえたとき， 容器Aの⾷塩⽔の濃度は6.4％になりました。それぞれの容器からくみ出し た⾷塩⽔は何ｇですか。

②

それぞれの容器から同じ量だけくみ出してそれぞれに移しかえるとき，2

つの容器の⾷塩⽔の濃度を同じにするには，それぞれの容器から⾷塩⽔を 何ｇくみ出せばよいですか。

解答【例題】60ｇ

【類題】① 80ｇ ② 240ｇ

解説 https://youtu.be/wXY3q3EqkXM

- 77 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

39 ⾷塩⽔⑨ ― 標準 4 【例題】ビーカーA，B に濃度の異なる⾷塩⽔がそれぞれ 200ｇ，300ｇ⼊って います。もし，A と B の⾷塩⽔を全部あわせてよくかき混ぜたならば，濃度 は元の A の濃度の 2.5 倍になります。 ①

ビーカーA，B の⾷塩⽔の濃度の⽐は何対何ですか。

ビーカーA，B の⾷塩⽔からそれぞれ同じ重さの⾷塩⽔を取り出して，A か らのものは B に，B からのものは A に⼊れてよくかき混ぜるという作業を考 えます。次の②，③のようにするためには，ビーカーA，B からそれぞれ何ｇ ずつの⾷塩⽔を取り出して⼊れかえればよいですか。 ②

ビーカーA，B の⾷塩⽔の濃度が等しくなる。

③

ビーカーA，B の⾷塩⽔にふくまれる⾷塩の重さが等しくなる。

- 78 -

【類題】ビーカーA，B に濃度の異なる⾷塩⽔がそれぞれ 360ｇ，540ｇ⼊って います。もし，A と B の⾷塩⽔を全部あわせてよくかき混ぜたならば，濃度 は元の A の濃度の 2.5 倍になります。 ①

ビーカーA，B の⾷塩⽔の濃度の⽐は何対何ですか。

ビーカーA，B の⾷塩⽔からそれぞれ同じ重さの⾷塩⽔を取り出して，A か らのものは B に，B からのものは A に⼊れてよくかき混ぜるという作業を考 えます。次の②，③のようにするためには，ビーカーA，B からそれぞれ何ｇ ずつの⾷塩⽔を取り出して⼊れかえればよいですか。 ②

ビーカーA，B の⾷塩⽔の濃度が等しくなる。

③

ビーカーA，B の⾷塩⽔にふくまれる⾷塩の重さが等しくなる。

解答【例題】① 2：7

② 120ｇ ③ 170g

【例題】① 2：7

解説 https://youtu.be/I6f5rHW486c

- 79 -

② 216ｇ ③ 306g

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

40 ⾷塩⽔⑩ ― 標準 5 【例題】容器 A には 6%の⾷塩⽔が，容器 B には 16%の⾷塩⽔がそれぞれ 200ｇ ずつ⼊っています。いま,容器 A から何ｇか取り出して，容器Ｂに⼊れてよく かき混まぜました。次に，容器Ｂから，容器 A から取り出したのと同じ重さ の⾷塩⽔を取り出して，容器 A に⼊れてよくかき混ぜたところ，8%の濃さに なりました。 ①

交換後，容器 B の⾷塩⽔の濃さは何%になりましたか。

②

また，容器Ａから取り出した⾷塩⽔の重さは何ｇですか。

【類題】容器 A には 6%の⾷塩⽔が，容器 B には 12%の⾷塩⽔がそれぞれ 300ｇ ずつ⼊っています。いま，容器 A から何ｇか取り出して，容器Ｂに⼊れてよ くかき混まぜました。次に，容器Ｂから，容器 A から取り出したのと同じ重 さの⾷塩⽔を取り出して，容器 A に⼊れてよくかき混ぜたところ，8%の濃さ になりました。 ①

交換後，容器 B の⾷塩⽔の濃さは何%になりましたか。

②

また，容器Ａから取り出した⾷塩⽔の重さは何ｇですか。

解答【例題】① 14％

② 50ｇ

【類題】① 10％ ② 150ｇ

解説 https://youtu.be/NR_LR4l_Bxg

- 80 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

41 ⾷塩⽔⑪ ― 応⽤ 1 【例題】2 種類の⾷塩⽔ A と B があります。A と B を 2：3 の⽐でまぜると 7%の⾷塩⽔ができます。また，A と B を 3：2 の⽐でまぜると 8%の⾷塩⽔ ができます。 ①

このとき A の⾷塩⽔は何%ですか。

②

A と B を混ぜて 6%の⾷塩⽔をつくるとき，A と B の重さの⽐を求めな さい。

【類題】3 種類の⾷塩⽔ A，B，C があります。A と B を 4：1 の割合で混ぜる と，4％の⾷塩⽔になり，A と B を 2：3 の割合で混ぜると 8％の⾷塩⽔にな ります。 ①

A，B の⾷塩⽔の濃度は，それぞれ何％ですか。

②

A と B と C を 1：2：7 の割合で混ぜると 5.4％の⾷塩⽔になります。C の⾷塩⽔の濃度は何％ですか。

解答【例題】① 10％ ② 1：4

【類題】① A 2％，B 12% ② 4%

解説 https://youtu.be/M5sk7Ot7w7Q

- 81 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

42 ⾷塩⽔⑫ ― 応⽤ 2 【例題】10%の⾷塩⽔ 80ｇと，6%の⾷塩⽔ 40ｇと，7%の⾷塩⽔を何ｇまぜる と，7.4%の⾷塩⽔になりますか。

【類題】2 つの容器ア，イに⾷塩⽔がそれぞれ 200ｇ，150ｇはいっています。 アの⾷塩⽔の半分をイに移し，そこに⽔を 100ｇ加えてよくかきまぜたら， 濃度がアの 2 倍になりました。最初にイにはいっていた⾷塩⽔の濃度は最初 のアの濃度の何倍ですか。

解答【例題】380ｇ

【類題】4 倍

解説 https://youtu.be/7bwu-mVAnsc

- 82 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

43 ⾷塩⽔⑬ ― 発展 【例題】⾷塩⽔ A，B，C がそれぞれ 100ｇずつあります。A から B へ 20ｇ 移し，B から C へ 20ｇ移し，C から A へ 20ｇ移すと，濃さは A が 5%，Ｂ は 7.5%，Ｃは 10% になりました。A，B，C の初めの濃さはそれぞれ何% ですか。 A (ア)100ｇ，□％

B (エ)100ｇ，□％

C (キ)100ｇ，□％

A→B (イ)80ｇ，□％

(オ)120ｇ，7.5％ B→C (カ)100ｇ，7.5％

(ク)120ｇ，10％ C→A

(ウ)100ｇ，5％

100ｇ，7.5％

- 83 -

100ｇ，10％

【類題】A，Ｂ，Cの3つ容器に⾷塩⽔が200ｇずつ⼊っています。AからBへ 100ｇ移してよくかき混ぜます。次に，ＢからCへ100ｇ移してよくかき混 ぜます。次に，CからＡへ100ｇ移してよくかき混ぜます。以上の操作後の 容器Ａ内の⾷塩⽔の濃度は5％，容器Ｂ内の⾷塩⽔の濃度は，初めに容器Ａ 内にあった⾷塩⽔の濃度の2倍，容器Ｃ内の⾷塩⽔の濃度は，初めにＢ内に あった⾷塩⽔の濃度の2倍でした。 ①

初めに容器Ｂ内にあった⾷塩⽔の濃度は，初めに容器Ａ内にあった⾷塩

⽔の濃度の何倍ですか。 ②

はじめに容器Ａ，Ｂ，C 内にあった⾷塩⽔の濃度は，それぞれ何％です か。

解答【例題】A 3.75%，B 8.25%，C 10.5% 解答【類題】① 2.5 倍

② A 1

2 1 5 %，B 4 %，C 10 % 6 3 6

解説 https://youtu.be/yuCL99bBu3g

- 84 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

44 売買算① ― 基本 1 【例題】ある品物を原価 800 円で仕⼊れてきました。 ①

利益が 400 円となるように定価をつけると，定価は何円になりますか。 またこのとき，利益は原価の何％ですか。

②

1000 円の定価をつけたとき，利益は何円になりますか。またこのとき 利益は原価の何％ですか。

③

原価の 1 割 5 分の利益があるように定価をつけると，定価は何円になり ますか。

【類題】ある品物を原価 1000 円で仕⼊れてきました。 ①

利益が 350 円となるように定価をつけると，定価は何円になりますか。 またこのとき，利益は原価の何％ですか。

②

1600 円の定価をつけたとき，利益は何円になりますか。またこのとき 利益は原価の何％ですか。

③

原価の 3 割 3 分の利益があるように定価をつけると，定価は何円になり ますか。

解答【例題】① 1200 円，50％ 【類題】① 1350 円，35％ 解説

② 200 円，25%

③ 920 円

② 600 円，60% ③ 1330 円

https://youtu.be/ud4tgV383XY - 85 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

45 売買算② ― 基本 2 【例題】1250 円で仕⼊れた品物に原価の 2 割の利益を⾒込んで定価をつけま したが，売れなかったので，定価の 1 割引で売りました。 ①

売値はいくらでしたか。

②

実際の利益はいくらでしたか。

【類題】ある品物に 1800 円の定価をつけました。 ①

原価の 2 割の利益を加えて定価をつけたとき，原価はいくらでしたか。

②

この定価ではこの商品が売れなかったので，定価の 1 割 2 分引きの値段 にしたところ売れました。実際の売値は何円でしたか。また，このときの 実際の利益は原価の何％でしたか。

解答【例題】① 1350 円 ② 100 円 【類題】① 1500 円 ② 1584 円，5.6% 解説 https://youtu.be/XZHM4nEE0u

- 86 -

第２章 割合と⽐

レベル★☆☆

46 売買算③ ― 基本 3 【例題】2000 円で仕⼊れた品物に 2 割の利益を⾒込んで定価をつけましたが， 売れなかったので，定価から 50 円引いたら売れました。このとき，利益は 原価の何％でしたか。

【類題】ある品物に仕⼊れ値の 3 割の利益を⾒込んで定価をつけたが売れない ので，定価から 50 円引いたところ売れて，そのときの利益は原価の 10％で した。この品物の仕⼊れ値はいくらですか。

解答【例題】17.5% 【類題】250 円 解説 https://youtu.be/UvRgUPSrNtw

- 87 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

47 売買算④ ― 標準 1 【例題】ある品物に原価の 3 割 5 分の利益を⾒込んで定価をつけましたが，売 れなかったので，定価の 3 割引の 1890 円で売りました。このとき，原価は いくらですか。

【類題】仕⼊れ値の 2 割 4 分増しの定価をつけた品物を 1 割 5 分引きで売った ところ，270 円の利益がありました。このとき，仕⼊れ値はいくらですか。

解答【例題】2000 円 【類題】5000 円 解説 https://youtu.be/rtuX8frkrB8

- 88 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

48 売買算⑤ ― 標準 2 【例題】定価の 2 割引で売ってもなお 1 割 2 分の利益があるように定価をつ けるには，定価を原価の何割増しにすればよいですか。

【類題】ある品物に仕⼊れ値の 2 割 5 分の利益を⾒込んで定価をつけました。 ところが売れなかったので定価より割り引いて売ることにします。このとき， 売値が原価を割り込まないようにするには，最⼤で定価の何割引きまで可能 ですか。

解答【例題】4 割増し 【類題】2 割引き 解説 https://youtu.be/QfPKY3GVIUY

- 89 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

49 売買算⑥ ― 標準 3 【例題】ある商品を定価の 2 割引で売ると 40 円の利益になるが，定価の 3 割引 で売ると 60 円損をします。この商品の仕⼊れ値は何円ですか。

【類題】ある商品を定価の 2 割引で売ると 100 円の利益になり，定価の 3 割引 で売ると 60 円の利益となります。この商品の仕⼊れ値は何円ですか．

解答【例題】760 円

【類題】220 円

解説 https://youtu.be/eZ0Lo_CKoy8

- 90 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

50 売買算⑦ ― 標準 4 【例題】ある品物を 100 個仕⼊れ，600 円の定価をつけて売り出しました。初め 15 個しか売れなかったので，残りは定価の 1 割引で売ったところ全部売れて， 総利益は 19900 円でした。この品物の 1 個の仕⼊れ値を求めなさい。

【類題】1 個 240 円で仕⼊れた品物を，1 個 400 円で売れば，20 個売れなかっ たとしても，16000 円の利益があります。仕⼊れた個数を求めなさい。

解答【例題】350 円

【類題】150 個

解説 https://youtu.be/kXBwdZNtN4o

- 91 -

第２章 割合と⽐

レベル★★☆

51 売買算⑧ ― 標準 5 【例題】定価 200 円の商品を，初めは定価で売り途中から 2 割引で売ったとこ ろ，全部で 80 個売れて，総売上が 15000 円になりました。定価で売れた個数 は何個ですか。

【類題】ある商品を 100 個仕⼊れ，仕⼊れ値の２割 5 分増しで定価をつけて売 り出しました。何個か売れ残ったので，売れ残った商品を 1 個につき 40 円引 きで売ったところ，全部売れて利益の合計は 4000 円でした。これは最初に⾒ 込んだ利益のちょうど８割にあたります。これについて次の問いに答えなさ い。 ①

商品１個の定価はいくらですか。

②

値引きして売った商品は何個でしたか。

解答【例題】55 個 【類題】① 250 円 ② 25 個 解説 https://youtu.be/h2tA6gaz1Zc

- 92 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

52 売買算⑨ ― 応⽤ 1 【例題】ある商品に仕⼊れ値の 30%の利益を⾒込んで定価をつけましたが，20% が売れ残ってしまいました。このとき，利益は仕⼊れ値の何%になりますか。

【類題】ある品物を 150 個仕⼊れ，４割の利益を⾒込んで定価をつけて売り始 めました。仕⼊れた品物の 30％が売れ残ったので，残りは定価の 2 割引にし て全部売りつくしたところ，利益の総額は 37920 円になりました。この品物 の 1 個の仕⼊れ値は何円ですか。

解答【例題】4% 【類題】800 円 解説 https://youtu.be/NxTgdhLrvhs

- 93 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

53 売買算⑩ ― 応⽤ 2 【例題】仕⼊れた商品の個数の 4 割が傷んでいたので，傷んでいない 6 割を仕 ⼊れ値の 4 割増しで売り，傷んでいた商品を仕⼊れ値の 2 割引で売りました。 全部売れたときの総利益が 9600 円だった場合，仕⼊れ総額は何円になります か。

【類題】仕⼊れた商品に 2 割増しの定価をつけました。ところが仕⼊れた個数 の 4 分の１が売れ残ったので，残りは定価の 2 割引で売ったところ，全体で は 14000 円の利益がありました。仕⼊れ総額はいくらでしたか。

解答【例題】60000 円 【類題】100000 円 解説 https://youtu.be/NBeM3-WBheY

- 94 -

第２章 割合と⽐

レベル★★★

54 売買算⑪ ― 応⽤ 3 【例題】ある商品を原価の 5 割増しの定価をつけて売ったところ，全体の 3 分 の 1 が売れ残りました。残りを定価の何割引で売れば，総利益は 3 割 5 分に なりますか。

【類題】ある美術館の⼊場料は 1500 円でしたが，いくらか値下げしたところ， お客の数はいつもの数の半分だけ増え，さらに収⼊もいつもの 35%増えまし た。この美術館はいくら値下げをしましたか。

解答【例題】3 割引 解説

【類題】150 円

https://youtu.be/PZ4qwdjd5D4 - 95 -

第３章 速さ

１

レベル★☆☆

速さ⼊門①

【例題 1】秒速 4m の速さで進むとき，30 秒で進むことができる道のりは 何 m ですか。 【例題 2】分速 250m の速さで進むとき，15 分で進むことができる道のりは 何 m ですか。 【例題 3】時速 36km の速さで進むとき，3 時間で進むことができる道のりは 何 km ですか。

【類題 1】秒速 6m で進むとき，25 秒で進むことができる道のりは何 m です か。 【類題 2】分速 68m で進むとき，12 分で進むことができる道のりは何 m です か。 【類題 3】時速 45km で進むとき，4 時間で進むことができる道のりは何 km ですか。

解答【例題 1】120m 【例題 2】3750m 【例題 3】108km 【類題 1】150m

【類題 2】816m

【類題 3】180km

解説 https://youtu.be/9F-R8t5lgb8

- 96 -

第３章 速さ

２

レベル★☆☆

速さ⼊門②

【例題 1】分速 150m で進むとき，1 時間で進むことができる道のりは何 km で すか。 【例題 2】秒速 13m で進むとき，1 分 2 秒で進むことができる道のりは何 m で すか。

【類題 1】分速 75m で進むとき，300 秒で進むことができる道のりは何 m で すか。 【類題 2】分速 280m で進むとき，1 時間 40 分で進むことができる道のりは 何 km ですか。

解答【例題 1】9km【例題 2】806m 【類題 1】375m【類題 2】28km 解説 https://youtu.be/blAxrjLtbyY

- 97 -

第３章 速さ

３

レベル★☆☆

速さ⼊門③

【例題 1】時速 50km で進むとき，200km 進むのにかかる時間は何時間ですか。 【例題 2】分速 80m で進むとき，12km 進むのにかかる時間は何時間何分です か。

【類題 1】1720km を時速 300km 進むとき，何時間何分かかりますか。 【類題 2】18km を分速 72m で進むとき、何時間何分かかりますか。

解答【例題 1】4 時間 【例題 2】2 時間 30 分 【類題 1】5 時間 44 分 【類題 2】4 時間 10 分 解説 https://youtu.be/oQpE0uz3CkY

- 98 -

第３章 速さ

４

レベル★☆☆

速さ⼊門④

【例題 1】600m を 24 秒で進みました。秒速何 m ですか。 【例題 2】403m を歩くのに 4 分 20 秒かかりました。分速何 m ですか。 【例題 3】270km 進むのに 3 時間 36 分かかりました。時速何 km ですか。

【類題 1】360m 進むのに 2 分 15 秒かかりました。分速何 m ですか。 【類題 2】714m 進むのに 6 分 48 秒かかりました。分速何 m ですか。 【類題 3】55km 進むのに 1 時間 50 分かかりました。時速何 km ですか。

解答【例題 1】秒速 25m 【例題 2】分速 93m 【例題 3】時速 75km 【類題 1】分速 160m 【類題 2】分速 105m 【類題 3】時速 30km 解説

https://youtu.be/SY3-pRc5_FQ

- 99 -

第３章 速さ

５

レベル★★☆

出会い算・追いつき算①

【例題】A 地点にいる太郎と，A 地点から 600m 離れた B 地点にいる次郎が 向かい合って同時に出発し，太郎は 12 分おきに，次郎は 15 分ごとに往復 します。 ①

出発してから 1 回⽬に出会うまでに 2 ⼈が進んだ道のりの和は何 m で すか。

②

2 ⼈が 1 回⽬に出会うのは，出発してから何分後ですか。

③

2 ⼈が 1 回⽬に出会う地点は A 地点から何 m ですか。

【類題】例題に続いて，次の問いに答えなさい。 ①

1 回⽬に出会ってから 2 回⽬に出会うまでに 2 ⼈が進んだ道のりの和は 何 m ですか。

②

2 ⼈が 2 回⽬に出会うのは出発してから何分後ですか。

③

2 ⼈が 2 回⽬に出会う地点は A 地点から何 m ですか。

解答【例題】① 600m ② 3 解説

1 1 分後 ③ 333 m 【類題】① 1200m ② 10 分後 ③ 200m 3 3

https://youtu.be/FE16SDUTfiE

- 100 -

第３章 速さ

６

レベル★★☆

出会い算・追いつき算②

【例題】A 地点にいる太郎と，A 地点から 1.5km 離れた B 地点にいる次郎が 向かい合って同時に出発し，それぞれ 1 往復します。1 回⽬に出会った地点を C， 2 回⽬に出会った地点を D とするとき，次の問いに答えなさい。 ただし，太郎の速さは時速 6km，次郎の速さは時速 4km とします。 ①

2 ⼈が 1 回⽬に出会うまでに何分かかりましたか。

②

1 回⽬に出会ってから 2 回⽬に出会うまでに何分かかりましたか。

③

CD 間の距離は何 m ありますか。

【類題】A 地点にいる太郎と，A 地点から 1.5km 離れた B 地点にいる次郎が 向かい合って同時に出発し，それぞれ 1 往復します。2 ⼈は出発してから 20 分後に初めて出会い，2 回⽬に出会ったのは A 地点から 300m の地点で した。太郎の速さは分速何 m ですか。

解答【例題】① 9 分 解説

② 18 分

③ 600m

【類題】分速 45m

https://youtu.be/c6L1SjxJ7sE - 101 -

第３章 速さ

７

レベル★★☆

出会い算・追いつき算③

【例題】A は分速 80m，B は分速 100m で，同じ地点から駅へ出発します。 ①

A と B が同時に出発するとき，10 分後には 2 ⼈の距離は何 m 離れます か。

②

A と B が同時に出発するとき，2 ⼈の間の距離が 1.2km になるのは何分 後ですか。

③

2 ⼈が同時に出発して，B が A より 10 分早く駅に着いたとすると，出発 地点から駅までの距離は何 km ですか。

【類題】A は分速 80m，B は分速 100m で，同じ地点から駅へ出発します。 ①

A が出発して 10 分後に，B が A を追いかけたとき，出発地点から何 km のところで追いつきますか。

②

A が出発して 10 分後に，B が A を追いかけたところ，B は A よりも 15 分早く駅に着きました。出発地点から駅までの距離は何 km ですか。

解答【例題】① 200m ② 60 分後 ③ 4km

【類題】① 4km ② 10km

解説 https://youtu.be/OS6-3SZ4os0

- 102 -

第３章 速さ

８

レベル★★☆

出会い算・追いつき算④

【例題】A は時速 13.5km，B は時速 6km で同時に同じ場所を出発し，反対の ⽅向へ進みました。出発してから 54 分後，A が引き返して B を追いかける と，出発してから何時間何分何秒後に A は B に追いつきますか。

【類題】A から P が，B から Q が向かい合って出発します。P の分速は 80m， Q の分速は 100m です。P が出発して 4 分後に Q が出発したところ，2 ⼈は AB の真ん中で出会いました。A から B まで何 m ですか。

解答【例題】3 時間 14 分 24 秒 【類題】3200m 解説

https://youtu.be/EsiYYV1cY04

- 103 -

第３章 速さ

９

レベル★★☆

出会い算・追いつき算⑤

【例題】A から P が， B から Q が向かい合って同時に出発します。P の分速は 75m， Q の分速は 100m です。2 ⼈は AB 間の中間地点から 250m 離れた地点で出会 いました。A から B まで何 m ですか。

【類題】A 地点と B 地点があります。太郎君は分速 80m，次郎君は分速 60m で 同時に A 地点を出発しました。次郎君は B 地点に向かう途中で，先に B 地点 を折り返してきた太郎君に出会いました。 ①

AB 間の道のりが 1400m のとき，2 ⼈が出会ったのは出発してから何分後 ですか。

②

B 地点の 150m ⼿前で 2 ⼈が出会ったとすると，2 ⼈が出会ったのは出発 してから何分後ですか。

解答【例題】3500m 【類題】① 20 分後 解説

② 15 分後

https://youtu.be/j9ljt2ToI6Q

- 104 -

第３章 速さ

10

レベル★★☆

出会い算・追いつき算⑥

【例題】池のまわりに 1 周 120m の道があります。A は分速 96m，B は分速 84m で歩きます。A と B が同時に同じ地点を出発し，池をまわります。 ①

反対⽅向に出発すると，出会うのは何秒後ですか。

②

同じ向きに出発すると，A がはじめて B を追いこすのは何分後ですか。

【類題】1 周 1800m の池があります。この池のまわりを太郎と次郎がそれぞれ 同時に同じ場所から反対⽅向に歩き始めると，15 分後に 2 ⼈は出会います。 また，同時に同じ場所から同じ⽅向に歩き始めると，90 分後に太郎が次郎を 追い抜きます。太郎と次郎の歩く速さはそれぞれ分速何 m ですか。

解答【例題】① 40 秒 ② 10 分 【類題】太郎… 分速 70m，次郎…分速 50m 解説 https://youtu.be/BVQO2TmDUQ4

- 105 -

第３章 速さ

11

レベル★★★

出会い算・追いつき算⑦

【例題】1 周 990m の池の周りを太郎と次郎は左回りに，花⼦は右回りに同じ 地点から同時に回り始めました。太郎，次郎，花⼦の歩く速さがそれぞれ 毎分 100m，55m，80m のとき，次の問いに答えなさい。 ①

太郎と花⼦が出会うのは，出発してから何分何秒後ですか。

②

太郎と花⼦が出会ったとき，次郎は太郎の何 m 後ろにいますか。

【類題】ある池の周りを太郎と次郎は左回りに，花⼦は右回りに同じ地点から 同時に回り始めたところ，花⼦は太郎と出会ってから3分45秒後に次郎と出 会いました。太郎，次郎，花⼦の歩く速さがそれぞれ毎分100m，55m，80m のとき，この池の周りの⻑さは何m ですか。

解答【例題】① 5 分 30 秒後 解説

② 247.5m

【類題】2025m

https://youtu.be/chG5Voy3NSE

- 106 -

第３章 速さ

12

レベル★★★

出会い算・追いつき算⑧

【例題】同じ地点から A，B，C が同じ⽅向に向かって進みます。まず，A が 正午に出発し，その 1 時間後に B と C が出発します。C が A に追いついた 後すぐに引き返すと，C は何時何分に B と出会いますか。A，B，C の速さは それぞれ時速 3km，時速 4km，時速 12km です。

【類題】A と B は学校から公園に向かって，C は公園から学校に向かって同時 に出発しました。A，B，C の速さはそれぞれ時速 12km，時速 4km，時速 3km です。A と C が出会ってから 30 分後に B と C が出会いました。学校 から公園までの距離は何 km ですか。

解答【例題】午後 1 時 30 分

【類題】 6

解説 https://youtu.be/AjxPb4MzOHM

9 km 16 - 107 -

第３章 速さ

13

レベル★★★

出会い算・追いつき算⑨

【例題】A と B が池のまわりをまわることにしました。A は 1 周に 12 分かかり ます。2 ⼈が同時に出発して反対の⽅向に⾏くと 2 ⼈は 4 分おきに出会うそう です。 ①

B は池の周りを 1 周するのに何分かかりますか。

②

2 ⼈が同じ⽅向に同時に出発すると何分おきに B は A を追い抜きますか。

【類題】A，B，C が同じ地点から出発して，池のまわりをまわります。A と B が同じ⽅向に，C が反対の⽅向に同時に出発しました。A と C は出発後 12 分 後に出会い，B と C は出発後 20 分後に出会いました。A が B を追い抜くのは 出発して何分後ですか。

解答【例題】① 6 分 ② 12 分 【類題】30 分後 解説 https://youtu.be/vjrFNVOjA_0

- 108 -

第３章 速さ

14

レベル★★☆

速さのつるかめ算

【例題】A 地点から B 地点までは 2320m あります。電⾞の時間に間に合うため には 15 分で駅に着かなければなりません。歩く速さは分速 120m，⾛る速さ は分速 250m とすると，15 分で駅に着くには何分間⾛ればよいですか。

【類題】A 地点を出発して途中の B 地点を通り，A 地点から 2400m ある C 地 点まで進みます。A 地点から B 地点までは分速 100m で進み，B 地点から C 地点までは分速 140m で進むと，全部で 22 分かかります。A 地点から B 地点 までの距離は何 m ですか。

解答【例題】4 分 【類題】1700m 解説

https://youtu.be/oNRx28RrYgA

- 109 -

第３章 速さ

15

レベル★★☆

速さと⽐①

【例題】家から公園まで⾏くのに，時速 12km で⾃転⾞をこいでゆくと予定時 刻より 5 分遅刻しますが，時速 30km の⾃動⾞で送ってもらうと予定時刻よ り 13 分早く着きます。家から公園までの距離は何 km ですか。

【類題】家と公園を往復するのに，⾏きは 30 分かかりました。帰りは⾏きより 速さを毎分 15m 遅くしたので，38 分かかりました。このとき，家と公園の間 の距離は何 m ですか。

解答【例題】6km 解説

【類題】2137.5m

https://youtu.be/O-OGGIUBMjU

- 110 -

第３章 速さ

16

レベル★★☆

速さと⽐②

【例題】⽚道 6.4km あるサイクリングコースを，⾃転⾞で往復したら 56 分かか りました。帰りは⾏きの 4 分の 3 倍の速さでであったとすると，帰りの速さは 時速何 km ですか。

【類題】A は 100m を 16 秒，B は 100m を 14 秒で⾛ります。2 ⼈が 100m ⾛ をしました。B がゴールしたとき，2 ⼈の間の距離は何 m ですか。

解答【例題】時速 12km 【類題】12.5m 解説

https://youtu.be/_NN2XYEt6NM

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第３章 速さ

17

レベル★★☆

速さと⽐③

【例題】P 地点から Q 地点へ向かって A 君が毎時 4.5km の速さで出発しまし た。出発して 30 分経ったときに速さを毎時 3.5km に落としたため，Q 地点 に着くのが予定よりも 8 分おくれました。このとき，P，Q 両地点間の距離 を求めなさい。

【類題】A から P が，B から Q が向かい合って同時に出発します。2 ⼈は A， B 両地点の真ん中から 30m はなれた地点で出会いました。P と Q の速さの ⽐は 5：3 です。A から B まで何 m ですか。

解答【例題】4.35km

【類題】240m

解説 https://youtu.be/ahgGEXH8na0

- 112 -

第３章 速さ

18

レベル★★☆

速さと⽐④

【例題】⾏きは時速 3km，帰りは時速 5km で⼭の⼭頂まで往復したら 4 時間 かかりました。⼭の⼭頂までの距離は何 km ですか。

【類題】ある⼭を時速 3km で登り，⼭頂で 1 時間休憩した後，時速 6km でふ もとまで下ったところ，全部で 7 時間かかりました。ふもとから⼭頂までの 距離は何 km ですか。

解答【例題】7.5km

【類題】12km

解説 https://youtu.be/vs1CH1i8bPI

- 113 -

第３章 速さ

19

レベル★★★

速さと⽐⑤

【例題】A から B まで平地を進み，B から C まで登った後，同じ道を A 地ま で戻りました。平地は時速 4.5km，上りは時速 3km，下りは時速 7.5km で 進んだところ，⾏きは 72 分，帰りは 60 分かかりました。平地の距離は何 km ですか。

【類題】⼭のふもとの A 地点から⼭頂の B 地点まで登った後，A の反対側に ある⼭のふもとの C 地点に下ると 4 時間かかりました。反対に，C 地点から B 地点，B 地点から A 地点へ進むと 5 時間かかりました。上りは時速 3km， 下りは時速 7.5km で進むとき，A 地点から B 地点までの距離を求めなさい。

1 km 7 https://youtu.be/BX1YR_5hXHg

解答【例題】3.9km 解説

【類題】 7

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第３章 速さ

20

レベル★★☆

電⾞回廊①

【例題】線路に沿った道を，⾃転⾞が分速 200m で⾛っています。上りと下り の電⾞がどちらの⽅向にも等しい間隔をあけて，時速 30km で運転されてい ます。⾃転⾞と電⾞が 3 分ごとにすれちがうとき，電⾞は何分ごとに⾃転⾞ を追い抜きますか。ただし，電⾞と⾃転⾞の⻑さは考えないものとします。

【類題】線路に沿った道を，⾃転⾞が分速 200m で⾛っています。電⾞は上り も下りも⼀定の間隔で⾛っています。⾃転⾞が 3 分ごとに電⾞に出会い，12 分ごとに電⾞に追い越されるとき，電⾞の速さは時速何 km ですか。ただし， 電⾞と⾃転⾞の⻑さは考えないものとします。

解答【例題】7 分 【類題】時速 20 km 解説 https://youtu.be/C4rwTupUFQ4

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第３章 速さ

21

レベル★★★

電⾞回廊②

【例題】線路に沿った道を，⾃転⾞が分速 200m で⾛っています。この⾃転⾞ は 12 分間隔で運⾏している電⾞と 10 分おきにすれ違いました。電⾞は時速 何 km で⾛っていますか。ただし，電⾞と⾃転⾞の⻑さは考えないものとし ます。

【類題】線路に沿った道を，⾃転⾞が分速 200m で⾛っています。この⾃転⾞ は 12 分間隔で運⾏している電⾞に 22 分おきに追いぬかれました。電⾞は 時速何 km で⾛っていますか。ただし，電⾞と⾃転⾞の⻑さは考えないもの とします。

解答【例題】時速 60km 【類題】時速 26.4 km 解説 https://youtu.be/Nq5QEDdvb88

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第３章 速さ

22

レベル★★☆

歩幅と歩数

【例題】A が 5 歩あるく間に B は 4 歩あるき，また，A が 4 歩あるく距離を B は 3 歩であるきます。 ①

A と B の速さの⽐を求めなさい。

②

A が 180m あるく間に，B は何 m あるきますか。

【ポイント】距離＝速さ×時間，距離＝歩幅×歩数

【類題】太郎が 3 歩であるく距離を次郎は 4 歩であるきます。また太郎が 3 歩 あるく間に次郎は 2 歩あるきます。次郎が 360 歩あるいたあと，太郎が次郎 を追いかけました。太郎は何歩あるくと次郎に追いつきますか。

解答【例題】① 15：16 解説

② 192m

【類題】540 歩

https://youtu.be/RUOQLtDSAg0 - 117 -

第３章 速さ

23

レベル★★☆

動く歩道①

【例題】太郎は⻑さ 156m，秒速 1.2m の動く歩道の上を歩き始めてから終点 に着くまで 1 分 18 秒かかりました。太郎の歩く速さは秒速何 m ですか。

【類題】ある駅の⼿前 168m のところに歩道に並んで動く歩道があります。太 郎は歩道を秒速 1.4m の速さで，花⼦は動く歩道を太郎と同じ速さで同時に 歩きました。花⼦が駅に着いてから 36 秒後に太郎が駅に着きました。動く 歩道は秒速何 m で動いていますか。

解答【例題】秒速 0.8m 【類題】秒速 0.6m 解説 https://youtu.be/x2yUF66WkC0

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第３章 速さ

24

レベル★★★

動く歩道②

【例題】まっすぐな通路に沿って，P から Q に向かって⼀定の速さで進む動く 歩道があります。A と B が動く歩道の上を P から Q に向かってそれぞれ⼀定 の速さで歩いたところ，A は 128 歩，B は 108 歩で Q に着きました。2 ⼈の 歩幅は同じで，B 君の歩く速さは A の歩く速さの 4 分の 3 倍です。 ①

A と B が Q に着くのにかかった時間の⽐を求めなさい。

②

A の歩く速さと動く歩道の進む速さの⽐を求めなさい。

③

B が P から Q までの通路を歩いた場合，何歩で Q に着きますか。

A 徒歩

歩道

速さ 時間 距離

- 119 -

B 合計

徒歩

歩道

合計

【類題】A 地点と B 地点があり，その間を⼀定の速さで進む動く歩道がありま す。兄と弟がこの動く歩道を，A 地点から同時にそれぞれ⼀定の速さで歩き 始めます。弟が 3 歩あるく間に兄は 4 歩あるき，弟の歩幅は 48cm で兄の歩 幅の 0.8 倍です。兄はちょうど 80 歩で B 地点につき，弟は兄より 16 秒遅れ て B 地点に着きました。もしもこの動く歩道が⽌まっていたならば，兄は A 地点から B 地点までちょうど 112 歩で歩きます。 ①

この動く歩道の速さは毎秒何 cm ですか。

②

弟は動く歩道を A 地点から B 地点まで何歩で歩きましたか。

兄 徒歩

歩道

弟 合計

徒歩

速さ 時間 距離

解答【例題】① ８:９ ② 4：5 ③ 288 歩 【類題】① 毎秒 48cm ② 84 歩 解説 https://youtu.be/brfhN98_lKI

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歩道

合計

第３章 速さ

25

レベル★★☆

流⽔算①

【例題 1】ある川を船が上りを時速 23km，下りを時速 31km で進みます。このと き，静⽔時の速さと川の流れの速さはそれぞれ時速何 km ですか。 【例題 2】ある川に沿って上流に B 町，24km 離れた下流に A 町があります。静⽔ 時の速さが時速 9km の船が，A 町から B 町に着くまでに 4 時間かかりました。 この川の流れの速さは時速何 km ですか。

【類題 1】ある川を 54km 上るのに 3 時間かかり，同じところを下るのに 2 時間か かりました。この川の流れの速さは時速何 km ですか。 【類題 2】ある船が 36km の川を上るのに 3 時間かかりましたが，下るときは， 川の流れの速さが上りのときの半分になったため，2 時間かかりました。この 船の静⽔時の速さは時速何 km ですか。

解答【例題 1】静⽔時の速さ…時速 27km，流⽔の速さ…時速 4km 【例題 2】時速 3km 【類題 1】時速 4.5km 解説

【類題 2】時速 16km

https://youtu.be/B1IS5Mf3Xdo

- 121 -

第３章 速さ

26

レベル★★☆

流⽔算②

【例題】ある船が川を 24km 上るのに，いつもは 2 時間かかりますが，途中で エンジンが 30 分間⽌まったので，2 時間 40 分かかりました。この川の流れ の速さは時速何 km ですか。

【類題】川を 65m 上る時間と 75m 下る時間が同じな船が 13km はなれた AB 間を往復するのに 56 分かかります。ある⽇，この船が川を上っている途中 で，何分間かエンジンが停⽌してしまい，往復するのに 1 時間 24 分かかり ました。 ①

川の流れの速さは時速何 km ですか。

②

エンジンが停⽌したのは何分間ですか。

解答【例題】時速 4km 【類題】① 時速 2km ② 26 分間 解説 https://youtu.be/jEA95lSn6ME

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第３章 速さ

27

レベル★★☆

流⽔算③

【例題】ある川に沿って AB 間を船が往復しています。ある⽇，川が増⽔したため， 川の流れの速さが普通の⽇の 2 倍になりました。このため，A から B までの 上りに 1 時間 12 分，下りに 40 分かかりました。 ①

普通の⽇の川の流れの速さと，静⽔での船の速さの⽐を最も簡単な整数の ⽐で表しなさい。

②

普通の⽇，B から A までの下りにかかる時間を求めなさい。

【類題】21km はなれた川の A 地点と B 地点を船で往復しました。A から B へ 上るときには 2 時間 6 分かかり，B から A へ下るときには，川の流れが上り のときより 1 時間あたり 1.4km 早くなっていたので，1 時間 15 分ですみました。 ①

この船の静⽔時の速さは時速何 km ですか。

②

B から A へ下るときの川の流れが，もし上りのときより 1 時間あたり 0.4km おそくなっていたとすると，下りにはどのくらいの時間がかかりま すか。

解答【例題】① 1：7

② 45 分【類題】① 時速 12.7km

解説 https://youtu.be/QlzXp6sqj1E

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② 1 時間 24 分

第３章 速さ

28

レベル★★★

流⽔算④

【例題】川下の A 地点から川上の B 地点まで 9.5km あります。A を出た船が 毎分 50m の速さで B に向かって進んでいたところ，10 分後に川下から上っ てきたモーターボートに追い越されました。それから 70 分後に，ふたたび 下ってくるモーターボートに出会いました。モーターボートは，B で休まな いで引き返し，川を上る速さと下る速さの⽐は 36：55 でした。 モーターボートの静⽔時の速さと，川の流れの速さを求めなさい。

【類題】ある船が下流の A 地点から上流の B 地点に向かって出発しました。出 発してから 5 分後に下流からやってきたモーターボートにぬかれました。そ れから 20 分たった後，B 地点までいってすぐ折り返してきたモーターボート に出会いました。この船の静⽔時の速さは分速 160ｍ，また流れの速さは分速 60ｍ，モーターボートの上りの速さと下りの速さの⽐は 2：3 として次の問い に答えなさい。 ①

このモーターボートの静⽔時の分速を求めなさい。

②

A 地点と B 地点の距離は何 m ですか。

解答【例題】静⽔時の速さ… 毎分 227.5m，川の流れの速さ… 毎分 47.5m 【類題】① 分速 300m ② 4180m 解説

https://youtu.be/rnKeH0COYII - 124 -

第３章 速さ

29

レベル★★☆

通過算①

【例題】ある列⾞が 150m の鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに 15 秒かか り，240m のトンネルを⼊り始めてから出終わるまでに 20 秒かかりました。 この列⾞の⻑さは何 m ですか。また，速さは時速何 km ですか。

【類題】ある列⾞が 198m の鉄橋をわたり始めてから渡り終わるまでに 17 秒か かり，810m のトンネルに⼊り終えてから出始めるまでに 46 秒かかりました。 この列⾞の⻑さは何 m ですか。また，速さは秒速何 m ですか。

解答【例題】120m，時速 64.8km

【類題】74m，秒速 16m

解説 https://youtu.be/FdN5zU1zXhQ

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第３章 速さ

30

レベル★★☆

通過算②

【例題】⻑さ 230m で時速 90km の急⾏列⾞が⻑さ 210m の普通列⾞とすれち がい始めてからすれちがい終わるまで 11 秒かかりました。普通列⾞の速さ は時速何 km ですか。

【類題】⻑さ 168m の A 列⾞と⻑さ 72m の B 列⾞があります。A 列⾞が B 列 ⾞を追い抜くのに 1 分かかり，すれ違うのに 4 秒かかります。それぞれの列 ⾞の秒速を答えなさい。

解答【例題】時速 54km 【類題】A 列⾞…秒速 32m，B 列⾞…秒速 28m 解説 https://youtu.be/DsBbhSvxKYk

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第３章 速さ

31

レベル★★★

通過算③

【例題】ある急⾏列⾞が 516m の鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまで 24 秒 で通過し，⻑さ 276m の通過駅を鉄橋を渡るときの速さの 0.8 倍の速さで⼊ り始めてから出終わるまでに 20 秒で通過しました。急⾏列⾞の速さは秒速 何 m ですか。

【類題】あるトンネルで，列⾞の先端が⼊ってから先端が出るまでの時間を計っ たところ，特急列⾞は 3 分 45 秒，貨物列⾞は 6 分でした。特急列⾞の速さ は，貨物列⾞の速さより毎時 45km 速いです。このとき，トンネルの⻑さは 何ｍですか。

解答【例題】秒速 30m 【類題】7500m 解説 https://youtu.be/bjXEMZWrBu8

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第３章 速さ

32

レベル★★★

通過算④

【例題】上りの貨物列⾞Ａと下りの貨物列⾞Ｂが，それぞれ⼀定の速さで平⾏ に⾛っています。ある地点 P で A と B の先頭同⼠がちょうどすれ違い，6 秒 後に A の最後尾と B の先頭がすれ違いました。さらにその 4 秒後に，地点 P から 150m 離れた地点 Q で，A の先頭と B の最後尾がすれ違い，その後， 地点 P から上り列⾞の進む⽅向に 78m 離れた地点 R で A と B の最後尾同⼠ がすれ違いました。 ①

A と B の最後尾同⼠がすれ違ったのは，先頭同⼠がすれ違ってから何秒 後ですか。

②

Ａ, Ｂの速さはそれぞれ毎秒何 m ですか。また，Ａ，Ｂの⻑さはそれぞれ 何 m ですか。

【類題】列⾞Ａ，Ｂはそれぞれ⼀定の速さで，並⾏する線路の上を逆向きに⾛ っています。ある地点を列⾞の先頭が通過してから最後尾が通過するまでの 時間は，Ａが 15 秒，B が 20 秒です。また，ＡとＢがすれ違うのに要する 時間は 18 秒です。列⾞ＡとＢの速さの⽐と⻑さの⽐をそれぞれ求めなさい。

解答【例題】① 16 秒後 ②

A…秒速 15m，⻑さ 162m，B…秒速 12m，⻑さ 270m

【類題】速さの⽐ 2：3，⻑さの⽐ 1：2 解説 https://youtu.be/EOYENImnSeM

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第３章 速さ

33

レベル★★☆

平均の速さ①

【例題 1】A 地から C 地までは 6km あり，A 地と C 地のちょうど真ん中の B 地 までは時速 3km，B 地から C 地までは時速 6km で進みました。A 地から C 地 まで進んだときの平均の速さは時速何 km ですか。 【例題 2】家から駅まで 1.2km あります。⾏きは分速 100m で進み，往復の平 均の速さが分速 150m であったとき，帰りに進んだ速さは分速何 m ですか。

【類題 1】900m の距離を，はじめ 300m まで分速 60m，残りを分速 40m で 歩くと，平均の速さは分速何 m ですか。 【類題 2】1600m の⼭道を上りは毎分 40m，下りは毎分 160m で歩くと，平均 の速さは分速何 m ですか。

解答【例題 1】時速 4km 【例題 2】分速 300m 【類題 1】分速 45m 【類題 2】分速 64m 解説 https://youtu.be/pNriPsQPpE0

- 129 -

第３章 速さ

34

レベル★★☆

平均の速さ②

【例題 1】AB 間を⾏きは時速 12 km，帰りは時速 8 km で歩くと，平均の速さ は時速何 km ですか。 【例題 2】ある⼭を時速 3km で登り，⼭頂で 1 時間休憩した後，時速 6km で ふもとまで下ったところ，全部で 7 時間かかりました。ふもとから⼭頂まで の距離は何 km ですか。

【類題 1】AB 間を往復するのに，⾏きは時速 3km で歩いたところ，往復の平 均の速さは時速 3.5km になりました。帰りは時速何 km で歩きましたか。 【類題 2】⾃動⾞で隣町まで⾏くのに午前 8 時に家を出ました。途中，予定外 の休憩を 10 分とったので，家から隣町までの平均の速さは予定の 9 分の 7 になりました。隣町に着いたのは午前何時何分ですか。

解答【例題 1】時速 9.6km 【例題 2】12km 【類題 1】4.2km 【類題 2】午前 8 時 45 分 解説 https://youtu.be/VhGpJarO0CA

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第３章 速さ

35

レベル★★☆

ダイヤグラム①

【例題】下の図は，A 駅と B 駅を往復するバスの運⾏のようすを表しています。 バスは，A 駅を出発し，B 駅ですぐ折り返し，A 駅にもどってきて 10 分間 停⾞した後，また B 駅に向かいます。バスの速さは⼀定とします。 ある⽇，太郎は 9 時 10 分に A 駅を⾃転⾞で出発し，毎時 12km の速さで B 駅に向かいました。9 時 26 分に B 駅で折り返してきたバスと初めて出会い， その後もバスに追いこされたり，出会ったりして B 駅に着きました。 ①

A 駅と B 駅の間の距離は何 km ですか。

②

太郎がバスに追いこされたのは，何時何分でしたか。

③

2 度⽬に B 駅で折り返してきたバスと太郎が出会ったのは，B 駅まであと 何 km の地点ですか。

- 131 -

【類題】A 町と B 町は 5040m 離れています。花⼦は A 町を出発して，⼀定の 速さで歩いて B 町との間を 1 往複しました。また，太郎は花⼦が A 町を出 発してから 63 分後に B 町を出発して A 町まで⼀定の速さで歩き，A 町に着 くとすぐに B 町までそれまでの速さの l.5 倍の速さで⾛って B 町に戻りまし た。このとき，2 ⼈は同時に出発した町に戻ってきました。下のグラフは， 花⼦が A 町を出発してからの時間と 2 ⼈の A 町からの距離との関係を表した ものです。これについて，次の問いに答えなさい。 ①

グラフのアにあてはまる数を求めなさい。

②

グラフのイにあてはまる数を求めなさい。

解答【例題】① 12km 解説

② 9 時 50 分

③ 2.4km

https://youtu.be/SJdUsBaWJEc - 132 -

【類題】① 4320m

② 168 分

第３章 速さ

36

レベル★★☆

ダイヤグラム②

【例題】A から太郎が，B から次郎が向かい合って同時に出発しました。太郎 は次郎が A を折り返してから 6 分後に A に戻り，次郎は太郎が B を折り返し てから 12 分後に B に戻りました。 ①

太郎は A から B まで何分かかりますか。

②

2 ⼈が 1 回⽬に出会ったところと 2 回⽬に出会ったところが 840m 離れ ていたとすると，A から B までの距離は何 m ですか。

- 133 -

【類題】太郎は⾃転⾞で，次郎は徒歩で，A 町を同時に出発し，B 町へ向かい ました。太郎と次郎の速さの⽐は 5：1 です。太郎は途中の P 地点で忘れ物 をしたことに気づき，A 町へ向かって引き返したところ，その 4 分後に次郎 とすれちがいました。A 町に戻って，再び B 町へ向かったところ，Q 地点 で次郎に追いつき，B 町には，太郎は次郎より 24 分早く着きました。2 ⼈は それぞれ⼀定の速さで移動するものとして，次の問いに答えなさい。 ①

太郎が P 地点で引き返したのは出発してから何分後ですか。

②

A 町から Q 地点までの距離が 800m とすると，A 町から B 町までの距離

は何 km ですか。

解答【例題】① 8 分 解説

② 3780m

【類題】① 6 分

https://youtu.be/09Uf0jTbUwo - 134 -

② 2.4km

第３章 速さ

37

レベル★★★

ダイヤグラム③

【例題】太郎が家を出た後，しばらくして次郎が家を出発し，2 ⼈とも駅に向 かいました。次郎は途中で太郎を追い抜き，次郎が駅についてから 2 分後に 太郎が駅に着きました。下のグラフは 2 ⼈の距離を表しています。これにつ いて次の問いに答えなさい。 ①

次郎が家を出発したのは何分後ですか。

②

次郎の分速は何 m ですか。

③

家から駅まで何 m ありますか。

- 135 -

【類題】太郎と次郎の 2 ⼈が，家を同時に出発し 1200m 離れた公園まで遊び に⾏きました。太郎は公園に着くと忘れ物に気づき，すぐに家まで戻りまし た。下のグラフは，家を出発してからの時間と太郎，次郎の 2 ⼈の距離の関 係を表したものです。 ①

太郎と次郎の速さはそれぞれ分速何 m ですか。

②

2 ⼈が出会うのは，家を出発してから何分後で，その場所は公園から 何 m の所ですか。

解答【例題】① 5 分後

② 分速 80m

③ 1680m

【類題】① 太郎 分速 200m，次郎 分速 120m， ② 7.5 分後，300m 解説

https://youtu.be/STGpEfjLea8 - 136 -

第３章 速さ

38

レベル★★★

ダイヤグラム④

【例題】A は⾃転⾞で，B は徒歩で反対⽅向から通学しています。ある⽇，2 ⼈は 4 時に⼀緒に校⾨を出てそれぞれの家に帰り始めましたが，A は途中で B に借りていた本を返すため，B を追いかけました。本を渡した後，A はそ れまでと同じ分速 250m で，B はそれまでより少し急いで⾃分の家に帰りま した。下のグラフは 2 ⼈が校⾨を出てからの時間と，2 ⼈の間の距離の関係 を表したものです。 ①

B が校⾨を出たときの速さは毎分何 m ですか。

②

どちらが何分早く家に着きましたか。

③

A が B に追いついた時刻は何時何分ですか。

④

B の家は学校から何 m 離れていますか。ただし，本を受け取っていると き，2 ⼈は⽴ち⽌まっているものとします。

- 137 -

【類題】A と B が同じ家から図書館まで⾏きました。A は歩いて，B は A より 出発が遅れたので⾃転⾞で出発しました。途中，B は A を追い抜きましたが， その後，⾃転⾞がパンクしたので，⾃転⾞を置いて歩いて図書館に⾏きまし た。下のグラフは，A が家を出発してからの時間と 2 ⼈の間の距離の関係を 表したものです。 ①

このときの A と B の歩いた速さはそれぞれ分速何 m ですか。

②

2 ⼈の家から図書館まで何 m ありますか。

解答【例題】① 分速 50m ② B の⽅が 5 分早い ③ 4 時 10 分 【類題】① A 分速 80m，B 分速 60m

② 2160m

解説 https://youtu.be/Rx8VNTuSlQA

- 138 -

④ 680m

第３章 速さ

39

レベル★★☆

時計算①

【例題】次の時刻において，⻑針と短針の間の⾓度のうち⼩さいほうの⾓度を 求めなさい。 ① 6 時 30 分

② 10 時 15 分

【類題】次の時刻において，⻑針と短針の間の⾓度のうち⼩さいほうの⾓度を 求めなさい。 ① 3 時 45 分

② 2 時 27 分

解答【例題】① 15 度 ② 142.5 度 【類題】① 157.5 度 解説 https://youtu.be/mcEOQfZOBMI

- 139 -

② 88.5 度

第３章 速さ

40

レベル★★☆

時計算②

【例題】次の問いに答えなさい。 ①

5 時と 6 時の間で，短針と⻑針が重なるのは，5 時何分ですか。

②

9 時と 10 時の間で，⻑針と短針がつくる⾓が 180 度になるのは，9 時 何分ですか。

③

7 時と 8 時の間で，⻑針と短針がつくる⾓が 90 度になるのは，7 時何分 と，7 時何分ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

1 時と 2 時の間で，⻑針と短針が重なるのは，1 時何分ですか。

②

3 時と 4 時の間で，⻑針と短針が⼀直線になるのは，3 時何分ですか。

③

4 時と 5 時の間で⻑針と短針は 2 度直⾓になります。1 度⽬から 2 度⽬ まで何分かかりますか。

6 9 4 3 分 ② 16 分 ③ 21 分， 54 分 11 11 11 11 8 5 1 【類題】① 5 分 ② 49 分 ③ 32 分 11 11 11

解答【例題】① 27

解説 https://youtu.be/NmBqMqiYAX4

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第３章 速さ

41

レベル★★☆

時計算③

【例題】次の問いに答えなさい。 ①

下の図 1 は傾いている時計で，⻑針は⽂字盤の時刻を⽰すある⽬盛りを ちょうど指しています。⻑針と短針がつくる⼩さいほうの⾓度が 40 度で あるとき，時計が指している時刻を求めなさい。

②

下の図 2 は，10 時台に⻑針と短針が 12 時と 6 時を結ぶ線について左右 対称になった様⼦を⽰したものです。時計が指している時刻を求めなさい。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

下の図 1 は傾いている時計で，⻑針は⽂字盤の時刻を⽰すある⽬盛りを ちょうど指しています。⻑針と短針がつくる⼩さいほうの⾓度が 140 度で あるとき，時計が指している時刻を求めなさい。

②

下の図 2 は，3 時台に，⻑針と短針が 12 時と 6 時を結ぶ線について左右 対称になった様⼦を⽰したものです。時計が指している時刻を求めなさい。

3 分 13 7 【類題】① 11 時 20 分 ② 3 時 41 分 13

解答【例題】① 5 時 20 分

② 10 時 9

解説 https://youtu.be/yasDkZaLx2I

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第３章 速さ

42

レベル★★☆

時計算④

【例題】12 時と 12 時 30 分の間で，⻑針と短針が⽂字盤の 3 をはさんで等しい ⾓度をつくる時刻は何時何分ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

3 時と 4 時の間で，⻑針と短針が⽂字盤の 3 をはさんで等しい⾓度をつ くる時刻は何時何分ですか。

②

1 時と 1 時 30 分の間で，時計の⻑針の⽅向と 12 時の⽅向とのなす⾓を 短針が 2 等分する時刻を求めなさい。

10 9 17 分 ② 4 時 10 分，4 時 41 分 23 13 23 11 【類題】① 3 時 13 分 ② 1 時 12 分 13

解答【例題】① 12 時 27

解説 https://youtu.be/Xg_0K-qVUb0

- 142 -

第３章 速さ

43

レベル★★★

時計算⑤

【例題】午前 10 時台に家を出て午後 1 時台に帰宅しました。家を出た時刻と 帰ってきた時刻では，時計の短針と⻑針がちょうど⼊れ替わっている状態で した。家を出たのは 10 時何分ですか。

【類題】午後 1 時台に家を出て，午後 4 時台に帰宅しました。家を出た時刻と 帰ってきた時刻では，時計の短針と⻑針がちょうど⼊れ替わっている状態で した。家を出た時刻を求めなさい。

解答【例題】 9

3 80 分 【類題】午後 1 時 20 分 13 143

解説 https://youtu.be/QfT-mkddYno

- 143 -

第３章 速さ

44

レベル★★★

時計算⑥

【例題】⼀定の割合で遅れる時計があります。朝□時□分に正しい時刻に合わ せましたが，同じ⽇の朝 8 時 10 分のチャイムでは，8 時 2 分を，昼 12 時 30 分のチャイムでは 11 時 56 分をさしていました。□に⼊る時刻を求めなさい。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

ある時計を 5 時の時報に合わせましたが，7 時の時報のとき，7 時 6 分 を指していました。この時計が 8 時 30 分を指しているときの正しい時刻 を求めなさい。

②

3 時の時報のとき，2 分遅れていた時計が，正しい時刻で 8 時 50 分の とき 5 分進んでいました。この時計が正しい時刻を指していた時刻を求 めなさい。

解答【例題】6 時 50 分 【類題】① 8 時 20 分 ② 4 時 40 分 解説 https://youtu.be/IeqBTR4ygBw

- 144 -

第３章 速さ

45

レベル★★★

時計算⑦

【例題】進み⽅のずれのある 3 つの時計 A，B，C があり，この 3 つの時計を 午前 8 時に合わせました。A が 11 時を指したとき，B は午前 11 時 1 分を指 していました。また，A が正午を指したとき，C は午前 11 時 57 分を指して いました。 ①

B が 20 時 4 分のとき，A が指していた時刻を求めなさい。

②

C が 19 時 51 分のとき，A が指していた時刻を求めなさい。

③

A が翌朝の 8 時を指していたとき，B と C は何分ずれていますか。

- 145 -

【類題】A，B，C の 3 つの時計があります。3 つの時計はいずれも 1 ⽇に 15 分以内のくるいがあります。ある⽇，午前 7 時に時報を聞いた時に，時計 A はちょうど 7 時を指していて，時計 B と時計 C はちょうど 7 時 4 分を⽰し ていました。次に午前 11 時に時報を聞いた時に，時計 B は 11 時 5 分を⽰ していて，時計 A と時計 C は同じ時刻を⽰していました。最後に午後 11 時 に時報を聞いた時に，時計 A と時計 B は同じ時刻を⽰していました。3 つの 時計はそれぞれ⼀定の速さで動いています。 ①

時計 B は 1 ⽇に何分，早くなる，あるいは遅れますか。

②

午後 11 時に時報を聞いた時に，時計 A と時計 B は何時何分を⽰してい

ましたか。 ③

午後 11 時に時報を聞いた時に，時計 C は何時何分を⽰していますか。

解答【例題】① 20：00 ② 20：00 ③ 26 分 【類題】① 6 分早くなる ② 午後 11 時 8 分 ③ 午後 10 時 56 分 解説 https://youtu.be/e1yWYBulz7w

- 146 -

第３章 速さ

46

レベル★★★

図形上の点の移動①

【例題】下の図のような⻑⽅形 ABCD があります。点 P，Q が頂点 A，C を同 時に出発し，⻑⽅形の辺上を点 P は A→D→C→… の順に，毎秒 4cm の速さで， 点 Q は C→B→A→… の順に毎秒 5cm の速さで進みます。このとき，次の問 いに答えなさい。 ①

直線 PQ が初めて辺 AB と平⾏になるのは，出発して何秒後ですか。

②

直線 PQ が初めて辺 AD と平⾏になるのは，出発して何秒後ですか。

- 147 -

【類題】下の図のように，⻑⽅形 ABCD の辺 AB，CD 上に点 E，F があり， EF は AD と平⾏です。点 P，Q，R はそれぞれ点 A，F，B を同時に動き始 め，点 P は AD 上を毎秒 1cm の速さで A から D まで動き，点 Q は直線 EF 上を F→E→F→E と 1 往復半し，点 R は辺 BC 上を B→C→B と 1 往復し ました。3 点 P，Q，R は⼀定の速さで動き，動き終わる時間は同じでした。 ①

3 点が同時に動き始めて 6 秒後の三⾓形 PQR の⾯積は何 cm2 ですか。

②

点 Q が 1 往復して F についた後，3 点が 1 直線上にならぶのは点 Q が 1 往復してから何秒後ですか。

解答【例題】① 20 秒後 解説

② 50 秒後

【類題】① 690cm2

https://youtu.be/4HUf2buPc2Y - 148 -

② 8 秒後

第３章 速さ

47

レベル★★★

図形上の点の移動②

【例題】下の図のように，⾓ A，⾓ B が直⾓の台形 ABCD があります。この 周の上を点 P が D を出発し，毎秒 2cm の速さで A，B を通って C まで動き ます。 ①

三⾓形 PCD の⾯積が台形 ABCD の⾯積の半分となるのは，点 P が D を出発してから何秒後と何秒後ですか。

②

①の状態になるときに，点 P がいる地点を順にＳ，T とし，辺 CD 上 に点 R をとるとき，三⾓形 RST の⾯積を求めなさい。

- 149 -

【類題】下の図 1 のような台形 ABCD があります。点 P は A を出発して， 毎秒 1cm の速さで辺上を B の⽅向に進み C まで動きます。図 2 は，このと きの P が動き始めてからの時間と，三⾓形 PCD の⾯積の変化のようすを表 したものです。これについて次の問いに答えなさい。 ①

辺 AD，BC の⻑さはそれぞれ何 cm ですか。

②

三⾓形 PCD の⾯積が 66cm2 になるのは，点 P が動き始めてから何秒 後と何秒後ですか。

解答【例題】① 17.5 秒後， 35 秒後 【類題】① AD 10 cm，BC 12 cm 解説

② 300 cm2 ② 6 秒後と 13 秒後

https://youtu.be/Bvxk4HLLbe8 - 150 -

第 4 章 場合の数と規則性

１

レベル★☆☆

平均算①

【例題】次の問いに答えなさい。 ①

36 ⼈のクラスで算数のテスト(100 点満点) をしました。クラス全体の 平均は 72 点で，⼥⼦ 20 ⼈の平均は 76 点です。男⼦の平均点は何点です か。

②

これまで何回か⾏われた算数テスト(100 点満点) で，Ａさんの平均点 は 77 点でした。今回 95 点をとったので平均点が 80 点になりました。今 回のテストは何回⽬ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

あるクラスで算数のテスト(100 点満点) をしました。男⼦ 20 ⼈の平 均は 56 点，⼥⼦の平均は 62 点，全体の平均は 58 点でした。⼥⼦は何⼈ いますか。

②

これまで何回か⾏われた算数テスト(100 点満点) で，Ａさんの平均点 は 83 点でした。今回 95 点をとったので平均点が 85 点になりました。今 回のテストは何回⽬ですか。

解答【例題】① 67 点 ② 6 回⽬

【類題】① 10 ⼈

解説 https://youtu.be/13phAVrvn2g

- 151 -

② 6 回

第 4 章 場合の数と規則性

２

レベル★★☆

平均算②

【例題】56 ⼈のクラスで算数のテスト(100 点満点)を⾏いました。男⼦の平均 は 88 点，⼥⼦の平均は 56 点，全体の平均は 68 点でした。男⼦は何⼈いま すか。

【類題】40 ⼈のクラスで算数のテスト(100 点満点) を⾏いました。男⼦の平 均は 62 点，⼥⼦の平均は 66 点，全体の平均は 65 点でした。⼥⼦は何⼈い ますか。

解答【例題】21 ⼈ 【類題】30 ⼈ 解説 https://youtu.be/lHlWcaZ1SrI

- 152 -

第 4 章 場合の数と規則性

３

レベル★★☆

平均算③

【例題】あるお店では 1 本 120 円のジュースを 40 本まとめて買うと 4400 円 にしてくれます。また，41 本⽬から 50 本⽬は 1 本 100 円にしてくれます。 さらに 51 本⽬からは 1 本 80 円になります。1 本が 90 円になるのは何本買っ たときですか。

【類題】ノートをまとめて買います。代⾦は 30 冊で 3500 円，31 冊⽬から 50 冊までは 1 冊 100 円，51 冊⽬からは 1 冊 70 円です。 ①

80 冊買うと，1 冊平均何円になりますか。

②

何冊買うと，1 冊平均 75 円になりますか。

解答【例題】140 本 【類題】① 95 円

② 400 冊

解説 https://youtu.be/wCPZjmp-I2k

- 153 -

第 4 章 場合の数と規則性

４

レベル★★☆

つるかめ算① 解法集

【問題】つるとかめが合わせて 50 います。⾜の数は，全部で 146 本です。 つるとかめはそれぞれ何⽻・何匹ずついますか。 【解法 1】置き換える⽅法①

【解法 2】⾯積図を使う⽅法

【解法 3】てんびん図を使う⽅法

【解法 4】置き換える⽅法② つる 2 本 合 計 50

→

｜

つる 2 本 ｜

つる 2 本

→

つる 2 本

かめ 4 本

→

つる 2 本

｜ かめ 4 本 →

｜ つる 2 本 000

146 本

解説

https://youtu.be/0DDYxd4plQ8

- 154 -

第 4 章 場合の数と規則性

５

レベル★★☆

つるかめ算② ― 基本

【例題】1 個 70 円のりんごと，1 個 50 円のみかんを合わせて 40 個買って， 2120 円をはらいました。りんごは何個ありますか。

【類題】1 円⽟と 10 円⽟が合計 316 枚あり，その総額は 703 円です。10 円⽟ は何枚ありますか。

解答【例題】6 個 【類題】43 枚 解説 https://youtu.be/DO4w6ZfqAz8

- 155 -

第 4 章 場合の数と規則性

６

レベル★★☆

つるかめ算③ ― 損益算

【例題】定価 4800 円の商品をはじめは定価で売りましたが，なかなか売れな いので途中から 15％引きで売ったところ，全部で 40 個売れ，売り上げは 174000 円になりました。定価で売れたのは何個ですか。

【類題】1 個 200 円の品物を 100 個仕⼊れ，5 割の利益を⾒込んで定価をつけ て売りました。売れ残った分があったので，これは定価の 2 割引きで売り， すべての品物を売り切りました。すると利益は 6400 円となりました。定価 で売れたのは何個ですか。

解答【例題】15 個 【類題】40 個 解説 https://youtu.be/Q5ArBKbLou4

- 156 -

第 4 章 場合の数と規則性

７

レベル★★★

つるかめ算④ ― 加点と減点

【例題】1 題合えば 4 点もらえ，1 題間違えると 2 点引かれる計算問題を 100 題解いたところ，得点は 340 点になりました。間違えたのは何題ですか。

【類題】全部で 21600 円で仕⼊れたみかんを，2 割 5 分の利益を⾒込んで， １個 40 円で売ることにしました。ところが，そのうちの何個かはくさって いて売ることができませんでした。残っているみかんを全部売ったところ， 3600 円の利益になりました。くさっていたみかんは何個でしたか。

解答【例題】10 題 【類題】45 個 解説 https://youtu.be/YJ9ZKJxabsA

- 157 -

第 4 章 場合の数と規則性

８

レベル★★★

つるかめ算⑤ ― 個数を逆にする

【例題】1 個 70 円のりんごと 1 個 30 円のみかんを合わせて 14 個買う予定で したが，個数を逆にして買うと予定していたお⾦より 80 円多くかかります。 みかんを買う予定の個数と，⽤意したお⾦を求めなさい。

【類題】ある店には，商品 A とそれより 60 円値段の⾼い商品 B があります。 A と B を合わせて 20 個買うための代⾦ 5520 円を持ってでかけました。とこ ろが，A と B の個数を逆にして買ってしまったため，代⾦は 5280 円でした。 商品 A の代⾦はいくらですか。

解答【例題】8 個，660 円 解説

【類題】240 円

https://youtu.be/pTyLTeNy7JM

- 158 -

第 4 章 場合の数と規則性

９

レベル★★★

つるかめ算⑥ ― 割合をそろえる

【例題】初め，姉と妹の持っているお⾦の合計は 2600 円でした。その後，姉 は持っているお⾦の 50％を使い，妹は持っているお⾦の 25％を使ったので， 2 ⼈の持っているお⾦の合計は 1400 円になりました。初めに姉が持ってい たお⾦は何円ですか。

【類題】5 年⽣と 6 年⽣が合わせて 290 ⼈います。 5 年⽣の

3 2 と 6 年⽣の 7 3

が男⼦で，男⼦は 2 学年合わせて 155 ⼈います。6 年⽣は何⼈いますか。

解答【例題】2200 円 【類題】129 ⼈ 解説 https://youtu.be/thsw_iAw6YY

- 159 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

10 つるかめ算⑦ ― 3 つのつるかめ算 【例題】Ａ君は 1 冊 80 円のノートを，Ｂ君は 1 冊 60 円のノートを，Ｃ君は 1 冊 70 円のノートをそれぞれ何冊か買いました。Ａ君，Ｂ君，Ｃ君が買っ たノートは全部で 27 冊で，その合計⾦額は 1840 円でした。Ｂ君はＣ君よ り 4 冊多く買いました。Ｂ君が買ったノートは何冊ですか。

【類題】消しゴム 1284 個を，12 個⼊りの箱と 8 個⼊りの箱と 5 個⼊りの箱 の 3 種類にすき間なく⼊れて分けたところ，合計 150 箱になりました。12 4 個⼊りの箱数が，5 個⼊りの箱数の 3 倍であるとき，12 個⼊りの箱，8 個 ⼊りの箱，5 個⼊りの箱はそれぞれ何箱ですか。

解答【例題】12 冊 【類題】12 個⼊り：48 箱 8 個⼊り：66 箱 5 個⼊り：36 箱 解説 https://youtu.be/7cxU3HfMqLo

- 160 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

11 つるかめ算⑧ ― 書き出す場合(1) 【例題】1 個 120 円のりんごと 1 個 50 円のみかんを何個か買いました。 ①

代⾦の合計が 3900 円で，りんごとみかんの個数の合計が 43 個のとき， 買ったりんごの個数は何個ですか。

②

代⾦の合計が 3900 円で，みかんの個数がりんごの個数より 10 個多い とき，買ったりんごの個数は何個ですか。

③

買った個数の合計が 57 個で，みかんの代⾦とりんごの代⾦の差が 300 円のとき，買ったりんごの個数は何個ですか。

【類題】1 個 50 円の商品 A と，1 個 90 円の商品 B があり，合わせて 50 個 買ったところ，A の代⾦の合計の⽅が B の代⾦の合計の和よりも 400 円⾼ くなりました。このとき，A は何個買いましたか。

解答【例題】① 25 個 ② 20 個 ③ 15 個

【類題】35 個

解説 https://youtu.be/_AChMLY0bXM

- 161 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

12 つるかめ算⑨ ― 書き出す場合(2) 【例題】１個 48 円の商品Ａと１個 36 円の商品Ｂと１個 24 円の商品Ｃをあわ せて何個か買ったところ，合計代⾦が 240 円になりました。買い⽅は全部 で何通りありますか。ただし買わない商品があってもよいものとします。

【類題】4 才，5 才，6 才の園児がいる幼稚園で，全員の⼈数は 75 ⼈，全員 の年令の合計は 393 才です。 ①

4 才と 5 才の園児の⼈数の⽐が 5：9 であるとき，6 才の園児は何⼈です か。

②

6 才の園児の⼈数で考えられる場合は全部で何通りありますか。

解答【例題】14 通り 【類題】① 33 ⼈

② 28 通り

解説 https://youtu.be/o1qluBE3N2k

- 162 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★☆☆

13 倍数と約数① 【例題】次の問いに答えなさい。 ①

1 から 100 までに素数はいくつありますか。

②

45 を素因数分解しなさい。

③

132 を素因数分解しなさい。

【類題】次の整数を素因数分解しなさい。 ①

196

②

222

③

解答【例題】① 25 個 ② 3×3×5

455

③ 2×2×3×11

【類題】① 2×2×7×7 ② 2×3×37 解説

③ 5×7×13

https://youtu.be/8RFWxudrlPA

- 163 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★☆☆

14 倍数と約数② 【例題】次の整数の最⼤公約数と最⼩公倍数を求めなさい。 ①

(16，20)

③ (14，21，28)

②

(18，27)

④ (16，24，32)

【類題】次の整数の最⼤公約数と最⼩公倍数を求めなさい。 ①

(52，65)

②

(51，68)

③

(27，36，54)

④

(12，30，15)

解答【例題】①

最⼤公約数 4，最⼩公倍数 80

②

最⼤公約数 9，最⼩公倍数 54

③ 最⼤公約数 7，最⼩公倍数 84

④

最⼤公約数 8，最⼩公倍数 96

【類題】① 最⼤公約数 13，最⼩公倍数 260 ② 最⼤公約数 17，最⼩公倍数 204 ③ 最⼤公約数 9，最⼩公倍数 108 解説 https://youtu.be/m2FJBlQuU8A

- 164 -

④ 最⼤公約数 3，最⼩公倍数 60

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

15 倍数と約数③ 【例題】最⼤公約数が 7 で，和が 84 になる 2 つの整数の組をすべて求めなさ い。

【類題】48 との最⼤公約数が 12 である 2 けたの数の中で，⼤きい⽅から 2 番 ⽬の数は何ですか。

解答【例題】(7，77) (35，49) 【類題】60 解説 https://youtu.be/2HX8lOlvlHA

- 165 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

16 倍数と約数④ 【例題】次の問いに答えなさい。 ①

６で割っても 8 で割っても 3 あまる 3 けたの整数のうち，もっとも⼩ さい数を求めなさい。

②

48 で割ると 33 余り，60 で割ると 45 余る最も⼩さい整数を求めなさ い。

③

100 から 200 までの整数のうち，12 で割ると 9 あまり，9 で割ると 6 余る数をすべて求めなさい。

【類題】100 から 1000 までの整数を⽤いて，次の整数の和を求めなさい。 ①

12 で割っても 20 で割っても 1 余る数の和。

②

12 で割ると 9 余り，9 で割ると 6 余る数の和。

解答【例題】① 123 ② 225 ③ 105，141，177 【類題】① 8115 ② 13425 解説 https://youtu.be/rruGyh3rO8Q

- 166 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

17 倍数と約数⑤ 【例題】100 から 1000 までの整数を⽤いて，12 で割ると 9 余り，7 で割ると 6 余る数の和を求めなさい。

【類題】100 から 1000 までの整数を⽤いて，3 で割ると 1 余り，7 で割ると 3 余り，11 で割ると 2 余る数の和を求めなさい。

解答【例題】6303 【類題】2098 解説 https://youtu.be/1LX53EGQotY

- 167 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

18 倍数と約数⑥ 【例題】6 を⾜すと 15 で割り切れ，15 を⾜すと 6 で割り切れる最も⼩さい 整数を求めなさい。

【類題】7 を⾜すと 11 で割り切れて，11 を⾜すと 7 で割り切れるような整 数があります。このような整数で，もっとも⼩さい数と，もっとも 1000 に 近い数をそれぞれ求めなさい。

解答【例題】9

【類題】59，983

解説 https://youtu.be/IosecREBZqg

- 168 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

19 倍数と約数⑦ 【例題】次の問いに答えなさい。 ①

245 を割ると 5 余るような整数はいくつありますか。

②

110 を割ると 14 余り，160 を割ると 16 余るような整数のうちもっとも ⼩さい数を求めなさい。

③

51 を割っても 63 を割っても余りが同じになる整数をすべて求めなさい (ただし，割り切れる場合を除く)。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

81 を割ると 9 余り，100 を割ると 4 余る整数をすべて求めなさい。

②

89，206，359 を 1 以外のある整数で割ると余りは同じになります。あ る整数を求めなさい。

解答【例題】① 15 個 ② 24 ③ 2，4，6，12

【類題】① 12，24

解説 https://youtu.be/Jv0KNgTU2dM

- 169 -

② 3，9

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

20 倍数と約数⑧ ― 連続する数の積 【例題】1×2×3×……×40 までかけた数があります。 ①

この数を 3 で割り続けていくと，何回⽬に初めて 3 で割り切れなくな りますか。

②

1 の位から何個 0 が続きますか。

【類題】1×2×3×……×200 までかけた数があります。 ①

1 の位から何個 0 が続きますか。

②

この数は 27 で何回割り切れますか。

解答【例題】① 19 回 ② 9 個

【類題】① 49 個

解説 https://youtu.be/SkLPvHFK4lE

- 170 -

② 32 回

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

21 倍数と約数⑨ ― 書き出す場合 【例題】1 から 100 までの整数のうち，2 または 3 のどちらか⼀⽅でしか割れ ない整数はいくつありますか。また，そのような整数を⼩さい順に並べると 50 は何番⽬になりますか。

【類題】300 から 500 までの整数のうち，3 でも 5 でも割り切れない整数はい くつありますか。また，そのような整数を⼩さい順に並べたとき，50 番⽬に なる数は何ですか。

解答【例題】51 個，25 番⽬

【類題】107 個，392

解説 https://youtu.be/8ldgq2yzcl8

- 171 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

22 倍数と約数⑩ ― ベン図の応⽤ 【例題】40 ⼈のクラスで算数と国語のテストがありました。算数のテストが 70 点以上の⼈は 23 ⼈，国語のテストが 70 点以上の⼈は 19 ⼈いました。 このとき，算数も国語も 70 点以上の⼈は，何⼈以上，何⼈以下ですか。

【類題】30 ⼈のクラスで，夏休みに海にでかけた⼈は 13 ⼈，⼭にでかけた ⼈は 10 ⼈です。両⽅とも⾏っていない⼈は何⼈以上何⼈以下と考えられ ますか。

解答【例題】2 ⼈以上 19 ⼈以下

【類題】7 ⼈以上 17 ⼈以下

解説 https://youtu.be/7UGUWLJtoig

- 172 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

23 倍数と約数⑪ ― 約数の個数 【例題】50 までの 2 けたの整数について、次の問いに答えなさい。 ①

約数が 3 個である整数を全て求めなさい。

②

約数が 4 個である整数は全部で何個ありますか。 約数の個数 1個

1

2個

2、3、5、7、11、13、17、19

3個

2×2（4） ，3×3（9）

4個

2×2×2（8） ，2×3（6），2×5（10），2×7（14），3×5（15）（15）

5個

2×2×2×2（16）

6個

2×2×3（12）、2×2×5（20）、3×3×2（18）

【類題】A を 2 以上の整数とし，<A>で整数 A の約数の個数を表します。例 えば，35 の約数は 1，5，7，35 なので，<35>＝ 4 です。 ①

<30> を求めなさい。

②

2 から 20 までの整数 P で，<P>＝2 となる整数はいくつありますか。

③

2 から 100 までの整数 Q で，<Q>＝3 となる整数はいくつありますか。

④

2 から 100 までの整数 N で，<<N>＋2>＝2 となる整数はいくつあり ますか。

解答【例題】① 25，49 ② 13 個 【類題】① 8 ② 8 個 解説 https://youtu.be/zFwSPtChMTY

- 173 -

③4 個

④8 個

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

24 倍数と約数⑫ ― ユークリッド互除法 【例題】⻑⽅形からできるだけ⼤きい正⽅形を切り取ります。次に，残った⻑ ⽅形からできるだけ⼤きい正⽅形を切り取ります。これを何度か繰り返すと， 最後に正⽅形が残ります。この作業をするとき，次の問いに答えなさい。 ①

縦 616 cm，横 1170 cm の⻑⽅形からは何個の正⽅形ができますか。ま た，できた正⽅形の周の⻑さの和は何 cm ですか。

②

縦 288cm，横 176cm の⻑⽅形からできる正⽅形のうち，最後の正⽅形 の 1 辺の⻑さは何 cm になりますか。また，これは元の⻑⽅形の 1 辺の⻑ さとどのような関係にありますか。

- 174 -

【類題】⻑⽅形をできるだけ⼤きな正⽅形を使って切り分けることを考えま す。例えば，２辺の⻑さが 82cm，38cm の⻑⽅形があったとき， 82＝38×2＋6 なので, 図 1 のように, １辺の⻑さが 38cm の正⽅形２個と， ２辺の⻑さが 38cm，6cm の⻑⽅形Ａに切り分けられます。さらに， 38＝6×6＋2 なので，図 2 のように，⻑⽅形Ａが，１辺の⻑さが６cｍの正 ⽅形６個と，２辺の⻑さが６cｍ，２cｍの⻑⽅形Ｂに切り分けられます。 さらに，６＝２×３なので，図 3 のように，⻑⽅形Ｂが，1 辺の⻑さが２cｍ の正⽅形３個に切り分けられます。このことから，１辺の⻑さが 38cm， ６cｍ, ２cｍの３種類の正⽅形が，それぞれ２個, ６個, ３個の合計 11 個 できます。このとき, ①

次の問いに答えなさい。

次の(ア)〜(エ)にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 ２辺の⻑さが 4588cm, 2109cm の⻑⽅形をできるだけ⼤きな正⽅形を 使って切り分けると，正⽅形は全部で(ア)種類, 合計(イ)個できます。こ のとき，２番⽬に短い辺をもつ正⽅形の１辺の⻑さは(ウ)cm となり, こ の正⽅形は全部で(エ)個できます。

②

4588 と 2109 の最⼤公約数を求めなさい。

解答【例題】① 27 個，7136cm ② 16cm，最⼤公約数 【類題】① (ア) ５ (イ) 13 (ウ) 111 (エ) ２ ② 37 解説 https://youtu.be/EkKZab5wXrw

- 175 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

25 分数① ― 単位分数 【例題】次の□に⼊る数字を求め，⼩さい数字から順に答えなさい。 ①

1 1 2 ＝ ＋ 5 □ □

②

1 1 3 ＝ ＋ 5 □ □

③

1 1 1 4 ＝ ＋ ＋ 5 □ □ □

④

1 1 1 1 4 ＝ ＋ ＋ ＋ 6 12 5 □ □

【類題】次の□に⼊る数字を求め，⼩さい数字から順に答えなさい。 ①

2 1 1 ＝ ＋ 7 □ □

②

3 1 1 ＝ ＋ 8 □ □

③

8 1 1 1 ＝ ＋ ＋ 9 □ □ □

④

11 1 1 1 ＝ ＋ ＋ 12 □ □ □

解答【例題】① 3，15

② 2，10 ③ 2，4，20

④ 2，20

【類題】① 4，28 ② 3，24 ③ 2，3，18 ④ 2，3，12 解説 https://youtu.be/3gpSyBYM50E

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

26 分数② ― 分数の⼤⼩ 【例題】次の各問いに答えなさい。 ①

1 3 6 より⼤きく， 5 より⼩さい，分⺟が 30 の分数は全部で何個あり

ますか。 ②

5 4 8 より⼤きく， 5 より⼩さい，分⼦が 3 の分数を求めなさい。

③

1 1 5 より⼤きく， 4 より⼩さい分数で，分⺟と分⼦の和が 40 である

約分できない分数を求めなさい。

【類題】次の各問いに答えなさい。 ① ② ③

7 9 8 より⼤きく， 11 より⼩さい，分⼦が 11 の分数を求めなさい。 17 23 45 より⼤きく， 56 より⼩さい，分⺟が 210 の分数は何個ありますか。 3 13 5 より⼤きく， 18 より⼩さい分数で，分⺟が 60 である約分できな

い分数を求めなさい。

解答【例題】① 12 個 ②

3 4

③

7 33

【類題】①

解説 https://youtu.be/rWWTfadWQow

- 177 -

11 13

② 7個 ③

41 43 37 ， 60 ，60 60

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

27 分数③ ― 公倍数と公約数 【例題】次の各問いに答えなさい。 ①

35 14 27 をかけても， 36 をかけても，その積がともに整数となる分数の

中で最も⼩さい分数を求めなさい。 ②

2 21 1 44 で割っても， 33 で割っても，その商がともに整数になる分数の

中で最も⼩さい分数を求めなさい。 ③

2

1 1 を割っても，1 を割っても答えがいずれも整数になる分数があ 13 17

ります。このような分数のうちで最も⼤きい分数を求めなさい。

【類題】次の各問いに答えなさい。 ①

5

25 13 をかけても， 144 で割っても，その積がともに整数となる分数 15

の中で最も⼩さい分数を求めなさい。 ②

2 7 21 1 を割っても， を割っても， 33 を割ってもも答えがいずれも 22 44

整数になる分数があります。このような分数のうちで最も⼤きい分数 を求めなさい。

3 解答【例題】① 15 7

6 ② 9 11

9 ③ 221

3 【類題】① 9 8

解説 https://youtu.be/KmTq7qwShzY

- 178 -

7 ② 132

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

28 分数④ ― 計算の⼯夫 【例題】次の計算をしなさい。 ①

1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ 3×4 4×5 5×6 2×3

②

1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ 3×5 5×7 7×9 1×3

③

1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ 42 56 72 90

【類題】次の計算をしなさい。 ①

1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ 1×4 4×7 7×10 10×13

②

2 2 2 2 ＋ ＋ ＋ 3 15 35 63

1 解答【例題】① 3

4 ② 9

1 ③ 15

4 【類題】① 13

解説 https://youtu.be/SCxOj1lQSCY

- 179 -

8 ② 9

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

29 場合の数① ― 書き出す場合(1) 【例題】100 円⽟が 1 枚，50 円⽟が 2 枚，10 円⽟が 3 枚あります。これらの 硬貨を 1 枚以上使ってできる⾦額は何通りありますか。ただし，使わない 種類の硬貨があってもよいものとします。

【類題】500 円⽟，100 円⽟，50 円⽟，10 円⽟がそれぞれ 1 枚ずつあります。 これらの全部または⼀部を使って⽀払うことができる⾦額は何通りあります か。

解答【例題】19 通り 【類題】15 通り 解説 https://youtu.be/noiZ6MCgAh0

- 180 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

30 場合の数② ― 書き出す場合(2) 【例題】5 円と 7 円の 2 種類の切⼿がたくさんあります。この 2 種類の切⼿ の⼀⽅または両⽅を組み合わせていろいろな⾦額を表すことができますが， 6 円，11 円のように，どのように組み合わせてもできない⾦額があります。 このような「表すことができない⾦額」は全部で何通りありますか。

【類題】3 と 7 のカードがたくさんあります。その中から何枚か取り出して， 出た数の合計を得点とします。 ①

カードを 6 枚取ってできる得点のうち，⼤きい⽅から 3 番⽬は何点ですか。

②

できない得点もありますが，カードの数を限らないならば，ある点以上 の得点は必ずできます。それは何点以上ですか。

解答【例題】12 通り 【類題】① 34 点

② 12 点以上

解説 https://youtu.be/t5dofjlD_Bc

- 181 -

第 4 章 場合の数と規則性

特

レベル★★☆

特別講座 ― 「リレー型」と「当番型」

【問題】次の問いに答えなさい。 ①

6 ⼈の中から 3 ⼈のリレー選⼿を選ぶ⽅法は何通りありますか。

②

6 ⼈の中から 3 ⼈のそうじ当番を選ぶ⽅法は何通りありますか。

解説 https://youtu.be/o1ykow2H2r4

- 182 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

31 場合の数③ ― 階段の上り⽅(1) 【例題】階段を上るとき，1 段上がりと 2 段上がりの⼀⽅，または両⽅を⽤い て上ります。例えば，2 段上るには，1 段→1 段，2 段の 2 通りあります。 また，3 段上るには，1 段→1 段→1 段，1 段→2 段，2 段→1 段の 3 通りあ ります。 ①

5 段上るには，何通りの上り⽅がありますか。

②

7 段上るには，何通りの上り⽅がありますか。

【類題】下の図のような 6 段の階段があります。サイコロを振って，出た⽬の 数に合わせて階段を上り下りします。1〜4 の⽬は，それぞれ出た⽬の数だけ 上り，5 の⽬は 1 段下り，6 の⽬は 2 段下ります。サイコロを 3 回振って初 めて 6 段⽬を踏むのは何通りありますか。

解答【例題】① 8 通り ② 21 通り 【類題】13 通り 解説 https://youtu.be/-QISlJuPl7E

- 183 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

32 場合の数④ ― 階段の上り⽅(2) 【例題】10 段からなる階段があり，1 段上がりと 2 段上がりの⼀⽅，または 両⽅を⽤いて上ります。これについて，次の問いに答えなさい。 ①

2 段上がりをちょうど 3 回⽤いたとき，階段の上り⽅は何通りありますか。

②

階段の上り⽅は全部で何通りありますか。

③

7 段⽬をふまないで階段を上る⽅法は何通りありますか。

【類題】10 段の階段を次の上り⽅を⽤いて上ります。 A：1 段ずつ上る

例：1 段⽬の次は 2 段⽬に着く。

B：2 段ずつ上る

例：1 段⽬の次は 3 段⽬に着く。

C：3 段ずつ上る

例：1 段⽬の次は 4 段⽬に着く。

下りたり，他の上り⽅はしないとき， ①

4 段⽬まで上る上り⽅は何通りありますか。

②

10 段⽬まで上る上り⽅は何通りありますか。

解答【例題】① 35 通り ② 89 通り ③ 26 通り 【類題】① 7 通り 解説 https://youtu.be/t0x3X2E8VTE

- 184 -

② 274 通り

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

33 場合の数⑤ ― 3 けたの数のつくり⽅ 【例題】0，1，2，3，4 の 5 個の数を 1 回ずつ使って 3 けたの数をつくりま す。 ①

3 けたの数は全部で何通りできますか。

②

3 けたの偶数は何通りですか。

③

3 の倍数は全部で何通りですか。

【類題】6 個の数字 0，1，2，3，4，5 を 1 回ずつ使って 3 けたの整数をつ くります。 ①

3 けたの整数は全部で何個できますか。

②

偶数は何個できますか。

③

5 の倍数は何個できますか。

④

3 の倍数は何個できますか。

⑤

340 より⼤きい数は何個できますか。

解答【例題】① 48 通り ② 30 通り ③ 20 通り 【類題】① 100 個 ② 52 個 ③ 36 個 ④ 40 個 ⑤ 47 個 解説 https://youtu.be/y6qyjXayb7Y

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

34 場合の数⑥ ― 男⼥の並べ⽅ 【例題】男⼦ 4 ⼈，⼥⼦ 5 ⼈の班があります。 ①

班⻑，副班⻑の選び⽅は何通りありますか。

②

当番 3 ⼈の選び⽅は何通りありますか。

③

男⼦ 2 ⼈，⼥⼦ 2 ⼈の当番の選び⽅は何通りありますか。

【類題】男⼦ 3 ⼈，⼥⼦ 3 ⼈が 1 列に並びます。このとき次の問いに答えなさい。 ①

⼥⼦ 3 ⼈が続く並び⽅は何通りありますか。

②

両端が男⼦である並び⽅は何通りありますか。

③

男⼦と⼥⼦が交互になる並び⽅は何通りありますか。

解答【例題】① 72 通り ② 84 通り ③ 60 通り【類題】① 144 通り 解説 https://youtu.be/SmaNnoNqf_A

- 186 -

② 144 通り ③ 72 通り

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

35 場合の数⑦ ― 親⼦の並べ⽅ 【例題】両親と 3 ⼈の⼦どもが⼀列に並びます。 ①

両端が両親である場合は何通りありますか。

②

両親が隣り合う場合は何通りありますか。

③

両親が隣り合わない場合は何通りありますか。

【類題】両親と 4 ⼈の⼦どもの合計 6 ⼈が１列に並ぶとき，次のような並び ⽅は何通りありますか。 ①

両親がとなり合わない並び⽅。

②

両親が 1 ⼈も端にならない並び⽅。

③

両親のうちの 1 ⼈だけが端になる並び⽅。

解答【例題】① 12 通り ② 48 通り ③ 72 通り 【類題】① 480 通り ② 288 通り ③ 384 通り 解説 https://youtu.be/Souny8Ghap8

- 187 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

36 場合の数⑧ ― 果物の詰め合わせ 【例題】メロン，リンゴ，ももを合わせて 6 個買います。 ①

買わない果物があってよいことにすると，全部で何通りの買い⽅があり ますか。

②

どの果物も最低 1 個は買うとすると，全部で何通りの買い⽅があります か。

【類題】かき，なし，みかんの 10 個⼊りの詰め合わせを作ります。 ①

どの果物が何個⼊ってもいいとすると何通りの詰め合わせ⽅があります

か。ただし，⼊らない果物があってもよいものとします。 ②

どの果物も最低 1 個は⼊るとすると何通りの詰め合わせ⽅がありますか。

解答【例題】① 28 通り ② 10 通り【類題】① 66 通り 解説 https://youtu.be/TTDka7HOE-I

- 188 -

② 36 通り

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

37 場合の数⑨ ― 重複順列 【例題】次の各問いに答えなさい。 ①

1 から 5 までの数字を使って 3 けたの数は何個できますか。ただし，同 じ数字は何度⽤いても良いとします。

②

8 冊の異なる本の中から本を選ぶ⽅法は何通りありますか。ただし，1 冊も取らなくても良いとします。

【類題】次の各問いに答えなさい。 ①

同じ種類の６冊のノートを３⼈に配る配り⽅は何通りありますか。ただ

し，１冊も配られない⼈がいてもよいとします。 ②

異なる種類の 6 冊のノートを３⼈に配る配り⽅は何通りありますか。た

だし，１冊も配られない⼈がいてもよいとします。

解答【例題】① 125 通り ② 256 通り【類題】① 28 通り ② 729 通り 解説 https://youtu.be/oG0MRecbBZI

- 189 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

38 場合の数⑩ ― サイコロの目 【例題】サイコロを 3 回振って，出た⽬の数を下の式の□の中に⼊れます。 □＋□ ＝ 整数 □ 数を⼊れた式を計算したときに整数になるのは何通りありますか。ただし， 3＋5 5＋3 と は 1 通りとします。 4 4

【類題】サイコロを振って，3 回同じ⽬が出たら終了し，それまでに出た⽬の 数の合計を得点とします。 ①

最⼤何回まで振ることができますか。

②

4 回⽬で終了し，得点が 10 点になる⽬の出⽅は何通りありますか。

③

得点が 10 点となるのは全部で何通りありますか。

解答【例題】54 通り【類題】① 13 回 ② 6 通り ③ 72 通り 解説 https://youtu.be/JYF3Jvc4WZ8

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

39 場合の数⑪ ― 最短距離(平⾯) 【例題】下の図について，次の各問いに答えなさい。 ①

図 1 で，A 地点から B 地点まで最短で⾏く⽅法は何通りありますか。

②

図 2 で，A 地点から C 地点を通って B 地点まで最短で⾏く⽅法は何通り

ありますか。 ③

図 3 で，A 地点から B 地点に向かう最短の⽅法のうち D 地点を通らない

ものは何通りありますか。 図1

図2

図3

【類題】下の図について，次の各問いに答えなさい。 ①

図 1 で，A から B まで最短で進む⾏き⽅のうち，CD を通る⾏き⽅は

何通りありますか。 ②

図 2 で，A から B まで最短で⾏く⽅法は何通りありますか。

③

図 3 で，A から B まで最短で⾏く⽅法のうち，進む⽅向を右か上か斜め

右上だけにすると，進み⽅は何通りありますか。 図1

図2

図3

解答【例題】① 210 通り ② 90 通り ③ 150 通り 【類題】① 30 通り ② 11 通り ③ 63 通り 解説 https://youtu.be/Bqrxm-DP0vE

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

40 場合の数⑫ ― 最短距離(⽴体) 【例題】下の図で，A から B まで最短で⾏く⽅法は何通りありますか。

【類題】次の各問いに答えなさい。 ①

下の図 1 で，A から B まで最短で⾏く⽅法は何通りありますか。

②

下の図 2 で，A から B まで最短で⾏く⽅法は何通りありますか。 図1

解答【例題】20 通り【類題】① 30 通り

図2

② 25 通り

解説 https://youtu.be/9K-JdKpKXW8

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

41 場合の数⑬ ― 図形の個数(1) 【例題】下の図のように，1 辺の⻑さが 1cm の⼩さな正⽅形を 16 個はり合わ せて⼤きな正⽅形を作りました。 ①

図の中に正⽅形は⼤⼩合わせて何個ありますか。

②

図の中に，正⽅形以外の⻑⽅形はいくつありますか。

【類題】1 辺の⻑さが 9cm の正三⾓形があり，その各辺を 9 等分した点を結ん で下のような図を作りました。 ①

1 辺の⻑さが 9cm の正三⾓形の中に正三⾓形は全部で何個ありますか。

②

太線の正六⾓形の中に正六⾓形は何個ありますか。

解答【例題】① 30 個 ② 70 個 【類題】① 235 個 ② 27 個 解説 https://youtu.be/_5cVhDePvv8

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

42 場合の数⑭ ― 図形の個数(2) 【例題】下の図の三⾓形には，各辺に 1cm 間隔で点をふってあります。頂点 A，B，C を除く 8 個の点のうち 3 点を結んでできる三⾓形は何個できますか。

【類題】下の図の⻑⽅形には，各辺に 1cm 間隔で点をふってあります。図の A 〜N の 14 個の点から 3 点を選んで三⾓形を作るとき，三⾓形の⾯積が 3cm2 になるものは何個ありますか。

解答【例題】 54 個 【類題】 42 個 解説 https://youtu.be/rajJJqEv1nc

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

43 場合の数⑮ ― 図形の個数(3) 【例題】縦と横に等しく 1cm ずつの間かくで並んでいるいくつかの点から，4 個の点を選んで正⽅形を作ります。 ①

図 1 のような 16 個の点の場合に，周囲の点線の上にある 12 個の点から

4 個の点を選ぶとすれば，何個の正⽅形ができますか。 ②

図 2 のような 25 個の点の場合に，25 個の点から 4 個の点を選ぶとすれば，

何個の正⽅形ができますか。また，そのうち⾯積が 5cm2 のものは何個あり ますか。 ③

図 3 のような 30 個の点の場合に，30 個の点から 4 個の点を選ぶとすれば，

何個の正⽅形ができますか。

【ワークシート】

- 195 -

【類題】下の図のように，ある規則にしたがって，点を等間かくに書き加えた 図形を作ります。6 番⽬に作った図形について 3 点を選び，それを頂点とす る正三⾓形を作るとき，正三⾓形はいくつできますか。

【ワークシート】

解答【例題】① 3 個

② 50 個，8 個 ③ 70 個 【類題】70 個

解説 https://youtu.be/mxaBFVkwX5E

- 196 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

44 場合の数⑯ ― 試合数 【例題】次の①②に⼊る数を答えなさい。 12 チームで野球をするときの全試合数は，各チームが 1 試合ずつの総当 り戦(リーグ戦) では( (

②

①

) 試合で，勝ち抜き戦(トーナメント戦) では

) 試合です。

【類題】あるサッカーの⼤会に 32 チームが出場しました。⼤会は，初めに 4 チームずつのグループに分かれて，総当たり戦で予選が⾏われ，次に，各グ ループの上位 2 チームが本戦に進んで，勝ちぬき戦で本戦が⾏われました。 この⼤会で，サッカーの試合は全部で何試合⾏われましたか。

解答【例題】① 66 ② 11 【類題】63 試合 解説 https://youtu.be/JXOxGYHZeOU

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

45 場合の数⑰ ― 選挙の得票数(1) 【例題】ある⼩学校 6 年⽣ 125 ⼈の中から委員を 3 ⼈選ぶ選挙を⾏うことにな りました。A，B，C，D，E，F の 6 ⼈が⽴候補して，125 ⼈全員が 1 ⼈ 1 票 ずつ 6 ⼈のうちだれかに投票をします。無効票はないものとして次の問いに 答えなさい。 ①

確実に委員に選ばれるためには，最低何票取らなければなりませんか。

②

ちょうど 100 票まで開票したところ，下の表のような途中経過になりま

した。B が確実に選ばれるためにはあと最低何票取らなければなりません か。 ⽴候補者

A

B

C

D

E

F

得票数

11

15

17

28

16

13

【類題】Ｎ中学校の全⽣徒数は 200 ⼈です。今，学校の代表 3 ⼈を選ぶ選挙 をすることになり，A〜 G の 7 ⼈が⽴候補しました。下の表は 170 票まで 開票したときの得票数です。D はあと何票獲得すれば，当選確実になりますか。 なお，この選挙は 1 ⼈ 1 票投票するものとし，無効票はないものとします。 ⽴候補者

A

B

C

D

E

F

G

得票数

42

35

29

25

21

12

6

解答【例題】① 32 票 ② 10 票 【類題】15 票 解説 https://youtu.be/mXYsH3mKauo

- 198 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

46 場合の数⑱ ― 選挙の得票数(2) 【例題】6 年⽣ 134 ⼈の中から 1 ⼈で 1 票ずつの投票をして 2 ⼈の委員を選ぶ ことになりました。⽴候補したのは A，B，C，D，E の 5 ⼈です。次のそれ ぞれについて，A が確実に当選するには，あと何票とればよいか答えなさい。 なお，無効票はないものとします。 ① 1 票も開票していないとき ② 50 票まで開票したとき ⽴候補者

A

B

C

D

E

得票数

7

13

2

17

11

③ 100 票まで開票したとき ⽴候補者

A

B

C

D

E

得票数

13

14

4

50

19

- 199 -

【類題】ある学年の委員 3 ⼈を次の 2 回の選挙で決めることにしました。 ［選挙 1］各クラスの中から代表を 1 ⼈決めます。 ［選挙 2］各クラスの代表の中から学年の委員を 3 ⼈決めます。 ただし選挙のときは，候補者のだれか 1 ⼈に必ず投票し，⽴候補した⼈ は⾃分に投票するものとします。全体で 5 クラスあり，どのクラスの⼈数も 40 ⼈です。次の①〜③の問いに答えなさい。 ①

［選挙 1］で，あるクラスでは 2 ⼈が⽴候補しました。少なくとも何票 とれば，必ずクラスの代表に選ばれますか。

②

［選挙 1］で，あるクラスでは 4 ⼈が⽴侯補しました。少なくとも何票 とれば，必ずクラスの代表に選ばれますか。

③

下の表は［選挙 2］で，130 票まで開票したときの 5 ⼈の得票数の様⼦ です。E が委員に選ばれるためには，少なくともあと何票必要ですか。 ⽴候補者

A

B

C

D

E

得票数

52

26

13

4

35

解答【例題】① 45 票 ② 34 票 ③ 21 票

【類題】① 21 票 ② 20 票 ③ 14 票

解説 https://youtu.be/oixzLRaVBqQ

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★☆☆

47 規則性① ― 循環⼩数 【例題】次の問いに答えなさい。 1 ① 7 を⼩数になおしたとき，⼩数第 25 位の数字は何ですか。 ②

7 を 50 回かけた数の⼀の位の数字は何ですか。

【類題】次の問いに答えなさい。 11 ① 28 を⼩数になおしたとき，⼩数第 50 位の数字は何ですか。 ②

17 を 100 回かけた数の⼀の位の数字は何ですか。

解答【例題】① 1

② 9 【類題】① 4

②1

解説 https://youtu.be/lWRzWwrB0JQ

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

48 規則性② ― 数列(1) 【例題】1 から 100 までの整数があります。 ①

奇数の和を求めなさい。

②

3 の倍数の和を求めなさい。

【類題】1 から 100 までの整数があります。 ①

偶数の和を求めなさい。

②

5 の倍数の和を求めなさい。

解答【例題】① 2500 ② 1683

【類題】① 2550 ② 1050

解説 https://youtu.be/KCDKeFvcodY

- 202 -

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

49 規則性③ ― 数列(2) 【例題】1，4，7，10，13，… の数列について次の問いに答えなさい。 ①

30 番⽬の数は何ですか。

②

124 は何番⽬の数ですか。

③

10 番⽬から 50 番⽬までの数の和を求めなさい。

【類題】2，9，16，23，30，… の数列について次の問いに答えなさい。 ①

25 番⽬の数は何ですか。

②

114 は何番⽬の数ですか。

③

15 番⽬から 55 番⽬までの数の和を求めなさい。

解答【例題】① 88 ② 42 番⽬ ③ 3608 【類題】① 170 ② 17 ③ 9840 解説 https://youtu.be/fpfhAq1zO0g

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

50 規則性④ ― 数列(3) 【例題】次の問いに答えなさい。 ①

2，3，6，11，18，27，… という数列の 50 番⽬の数を求めなさい。

②

1，1，2，3，5，8，… という数列の 10 番⽬の数を求めなさい。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

3，5，9，15，23，33，… という数列の 50 番⽬の数を求めなさい。

②

1，1，2，4，7，13，24，… という数列の 10 番⽬の数を求めなさい。

解答【例題】① 2403 ② 55 【類題】① 2453 ② 149 解説 https://youtu.be/KAdVse1djAs

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

51 規則性⑤ ― 表数列(1) 【例題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。 ①

1 段 100 列の数字は何ですか。

②

100 段 1 列の数字は何ですか。

③

5 段 10 列の数字は何ですか。

④

100 は何段何列の数字ですか。

【類題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。 ①

1 段 100 列の数字は何ですか。

②

100 段 1 列の数字は何ですか。

③

5 段 10 列の数字は何ですか。

④

200 は何段何列の数字ですか。

解答【例題】① 5050 ② 4951 ③ 101 ④ 6 段 9 列 【類題】① 4951 ② 5050 ③ 96 ④ 10 段 11 列 解説 https://youtu.be/WrvPIR0zyGg

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

52 規則性⑥ ― 表数列(2) 【例題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。 ①

1 段 15 列の数字は何ですか。

②

25 段 30 列の数字は何ですか。

③

30 段 25 列の数字は何ですか。

④

200 は何段何列の数字ですか。

⑤

510 は何段何列の数字ですか。

⑥

1 段 1 列の数字から 10 段 11 列の数字までの和を求めなさい。

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【類題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。 ①

1 段 15 列の数字は何ですか。

②

35 段 40 列の数字は何ですか。

③

50 段 45 列の数字は何ですか。

④

300 は何段何列の数字ですか。

⑤

610 は何段何列の数字ですか。

⑥

1 段 1 列の数字から 10 段 11 列の数字までの和を

求めなさい。

解答【例題】① 225 ② 876 ③ 866 ④ 15 段 4 列 ⑤ 20 段 23 列 ⑥ 6215 【類題】① 197 ② 1556 ③ 2456 ④ 11 段 18 列 ⑤ 25 段 16 列 ⑥ 6105 解説 https://youtu.be/tRWZuIDRku4

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

53 規則性⑦ ― 表数列(3) 【例題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。ただし，表の中で，8 は 1 段 3 列の場所にあるので，8＝(1，3)と表します。同じように，14＝(4，2) と表します。 ①

(11，1)＋(13，16) を計算しなさい。

②

500 は何段何列の数ですか。

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【類題】下の表数列について，次の問いに答えなさい。ただし，表の中で，8 は 2 段 3 列の場所にあるので，8＝(2，3)と表します。同じように，14＝(4，3) と表します。 ①

(12，15) の数は何ですか。

② 1000 は何段何列の数ですか。 ③

対⾓線の位置に並んでいる 1，3，7，… のうち，1 番⽬から 10 番⽬の数 の和は何ですか。

解答【例題】① 337 ② 23 段 17 列 解答【類題】① 214 ② 32 段 25 列 ③ 340 解説 https://youtu.be/XEnL3GuM4y4

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

54 規則性⑧ ― 分数列 【例題】次のように，あるきまりで数が並んでいます。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , , , , , , , ・・・ 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4

①

初めから 36 番⽬までの数の中に，約分すると整数になるものは何個あ りますか。

②

初めから 190 番⽬までの数の中に，約分すると整数になるものは何個あ りますか。

【類題】次のように，あるきまりで数が並んでいます。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , , , , , , , ・・・ 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6

①

99 100 は初めから数えて何番⽬の数ですか。

②

初めの

③

1 99 から までのすべての数の和を求めなさい。 2 100 1 99 2 初めの から までの数のうち， より⼩さい数は何個ありますか。 2 100 3

解答【例題】① 14 個 ② 46 個 【類題】① 4950 番⽬ ② 2475 ③ 3300 個 解説 https://youtu.be/SarNtq2l74g

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

55 規則性⑨ ― パスカルの三角形 【例題】下の図は，ある規則にしたがって整数をならべたものです。 ①

5 段⽬の数の和を求めなさい。

②

6 段⽬の数の和を求めなさい。

③

ある段の数の和が初めて 1000 をこえました。その段は何段⽬ですか。

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【類題】⿊と⽩の 2 種類のご⽯が三⾓形に並べられています。ご⽯には，下 の図のようにある規則に従って数字が書かれており，その数字が奇数ならば ⽩，偶数ならば⿊のご⽯が並べられています。次の各問いに答えなさい。 ①

8 段⽬の左から 5 番⽬の数は何ですか。

②

58 段⽬の左から 3 番⽬にあるご⽯に書かれた数を求めなさい。

③

並んでいる数の和が 2048 になるのは何段⽬ですか。

④

252 が初めて現れるのは何段⽬の左から何番⽬ですか。

⑤

両端も含めて，すべて奇数になるのはどの⾏ですか。ことばで答えなさい。

⑥

両端以外が，すべて偶数になるのはどの⾏ですか．ことばで答えなさい。

⑦

1 段⽬から 31 段⽬まで，⿊いご⽯は全部で何個ありますか。

解答【例題】① 16 ② 32 ③ 11 段⽬ 【類題】① 35 ② 1596 ③ 12 段⽬ ④ 11 段⽬の左か ら 6 番⽬ ⑤ 2 を何個かかけ合わせた⾏ ⑥ 2 を何個かかけ合わせた⾏の下の⾏ ⑦ 285 個 解説 https://youtu.be/YlinuzOYq24

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

56 規則性⑩ ― フラクタル図形 【例題】下の図のように，直⾓をはさむ 2 辺の⻑さがそれぞれ 64cm の直⾓⼆ 等辺三⾓形から，順々に辺の⻑さが半分の⼤きさの直⾓⼆等辺三⾓形を取り 除いていく操作を繰り返してゆきます。 ①

5 回⽬の操作の後の，ぬられた直⾓⼆等辺三⾓形の⾯積の和を求めなさい。

②

ぬられた直⾓⼆等辺三⾓形が 6561 個できるのは，何回⽬の操作の後で

すか。

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【類題】⾯積が 4374cm2 の正三⾓形があります。正三⾓形の各辺を 3 等分し て，まん中の部分にその⻑さを 1 辺とする正三⾓形をつなぐと図 1 のような 図形になります。図 1 の図形の各辺を 3 等分して，同様にまん中の部分に同 じ⻑さの正三⾓形をつなぐと図 2 のような図形になります。このような操作 をくり返すとき，次の問に答えなさい。 ①

図 1 の図形の⾯積を答えなさい。

②

図 2 の図形の⾯積を答えなさい。

③

図 2 の図形から，同様の作業を 2 回した後の図形の⾯積を答えなさい。

解答【例題】① 486cm2 ② 8 回⽬ 【類題】① 5832cm2 ② 6480cm2 ③ 6896cm2 解説 https://youtu.be/z4APxHgFoVc

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第 4 章 場合の数と規則性

特

レベル★★☆

特別講座 ― Ｎ進数

【問題】1 から 16 までの 10 進数を，それぞれ 2 進数，3 進数，5 進数で表し なさい。 10 進数

2 進数

3 進数

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

解説 https://youtu.be/aUCF9g9rTME

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5 進数

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

57 規則性⑪ ― Ｎ進数(1) 【例題】0 , 1 , 2 , 3 の 4 種類の数字を使ってできる 1 以上の整数を次のように ⼩さいほうから順にならべます。 1 , 2 , 3 , 10 , 11 , 12 , 13 , 20 , 21 , 22 , 23 , 30 , … このとき次の問いに答えなさい。 ①

123 番⽬の数を求めなさい。

②

1213 は何番⽬の数ですか。

【類題】0 , 1 , 2 , 3 , 4 の 5 種類の数字を使ってできる 1 以上の整数を次のよう に⼩さいほうから順にならべます。 1 , 2 , 3 , 4 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 20 , 21 , 22 , 23 , … このとき次の問いに答えなさい。 ①

123 番⽬の数を求めなさい。

②

1213 は何番⽬の数ですか。

解答【例題】① 1323 ② 103 番⽬ 【類題】① 443 ② 183 解説 https://youtu.be/LWSCqqpJ8gE

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

58 規則性⑫ ― Ｎ進数(2) 【例題】0，1，2 の 3 つの数字のみを使って数をつくり，次のように⼩さい ほうから順に並べます。 1，2，10，11，12，20，21，22，100，101，… ①

122 番⽬の数は何ですか。

②

2222 は初めから数えて何番⽬になりますか。

【類題】0，1，5 をそれぞれ何個か⽤いて作られる数を⼩さい順に並べると， 0，1，5，10，11，15，50，51，55，100， … となります。 ①

はじめから数えて 27 番⽬の数は何ですか。

②

50105 ははじめから数えて何番⽬の数ですか。

解答【例題】① 11112 ② 80 番⽬ 【類題】① 555 ② 174 番⽬ 解説 https://youtu.be/Cx4IVLfSzk0

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

59 規則性⑬ ― Ｎ進数(3) 【例題】0，1，2，3，5，7，10，11，12，13，15，17，20，… のように 0， 1，2，3，5，7 だけで作られる数を⼩さい順に並べます。2007 は何番⽬の 数ですか。

【類題】どの位にも１や７の数位が現れない整数を２から⼩さい順に， ２，３，４，５，６，８，９，20，22，23，24，25， 26，28，29，… と並べます。次の問いに答えなさい。 ①

このような２けたの整数 20，22，23，…，99 はいくつありますか。

②

999 は何番⽬の整数ですか。

③

2012 番⽬の整数は何ですか。

解答【例題】438 番⽬ 【類題】① 56 個

② 511 番⽬

解説 https://youtu.be/X6mGm4UA5vU

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③ 4945

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

60 規則性⑭ ― Ｎ進数(4) 【例題 1】下の図のようにマスに⿊⾊をぬって整数を表し表します。このとき， アの図が表す数は何ですか。

【例題 2】下の図のようにマスに⿊⾊をぬって整数を表し表します。このとき， イの図が表す数は何ですか。

- 219 -

【類題】下の図のようにマスに⿊⾊をぬって整数を表します。このとき，次の 問いに答えなさい。 ①

アは，いくつを表しますか。

②

このぬり⽅で 13 を表すように，イのマスをぬりなさい。

③

このぬり⽅で，0 からいくつまでの整数を表すことができますか。

④

同じように並んだマスを⽤いて，0 から 129 までの整数を表すには，最 低いくつのマスを並べる必要がありますか。

解答【例題 1】13 【例題 2】70 【類題】① 21

②

解説 https://youtu.be/Sh6rGjm5hMU

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③ 31

④ 8個

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

61 規則性⑮ ― カード(1) 【例題】1，2，3… と番号を書いたカードが，上から番号の⼩さい順に重ねて あります。『⼀番上のカードを捨てて，その次に⼀番上になったカードを残 りのカードの⼀番下に⼊れる』という作業をくり返します。 ①

カードの枚数が 128 枚のとき，最後まで残るカードの番号はいくつです

か。 ②

カードの枚数が 150 枚のとき，最後まで残るカードの番号はいくつです

か。

【類題】1 から順に番号を書いたカードが 1 枚ずつあり，このカードを 1 から 番号順に時計回りに並べます。そして，1 の番号がついているカードから 1 枚おきに時計回りに取り除き，最後に残る番号について考えます。例えば， カードが 10 枚では，取り除くカードは順番に，1→3→5→7→9→2→6→10→8 となり，最後に残るカードは 4 です。カードの枚数を変えて，同じ約束でカー ドを取り除くとき，最後に残るカードの番号について次の問いに答えなさい。 ①

12 枚のカードを並べるとき，最後に残るカードの番号を答えなさい。

②

並べるカードの枚数が 20 枚以上 100 枚以下のとき，最後に残るカードの 番号が 2 に なるようなカードの枚数をすべて答えなさい。

③

2007 枚のカードを並べるとき，最後に残るカードの番号を答えなさい。

解答【例題】① 128 ② 44

【類題】① 8 ② 33 枚，65 枚 ③ 1966

解説 https://youtu.be/8TZ1V1T4t1A

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

62 規則性⑯ ― カード(2) 【例題】1 から 16 までの番号を書いた 16 枚のカードがあります。下の図のよ うに，ある規則にしたがって並べ替える作業を繰り返します。 ①

3 回の作業後，2 は左から何番⽬ですか。

②

2011 回作業をした後， 左から 10 番⽬のカードに書かれた数字は何ですか。

【類題】横⼀列にたくさんのカードを並べ，次の規則にしたがって，左から右 へ順番に数を記⼊してゆきます。 [規則 A]

1 番左のカードと左から 2 番⽬にカードには「1」を記⼊する。

[規則 B]

左から奇数番⽬のカードにはその左隣のカードに記⼊した数に 1 を加えた数を記⼊する。

[規則 C]

左から偶数番⽬のカードには，そのカードより左にあるすべての カードのちょうど真ん中にあるカードに記⼊したのと同じ数字を記 ⼊する。

この規則にしたがって数を記⼊すると次のようになります。 1，1，2，1，2，2，3，1，2，2，… ①

初めて「8」という数字を記⼊するカードは左から何番⽬ですか。

②

左から 4000 番⽬のカードに記⼊する数は何ですか。

解答【例題】① 9 番⽬ ② 4

【類題】① 255 番⽬

解説 https://youtu.be/4UUX6ZqU1Tw

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②6

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

63 規則性⑰ ― 直線の交点の個数 【例題】下の図のように，どの 2 本の直線も必ず交わり，どの 3 本の直線も同 じ点で交わらないように直線を引きます。直線を 10 本引くとき，交わる点の 数は何個ですか。

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【類題】下の図のように，⻑⽅形の紙に，直線を 1 本ずつ重ならないようにか きます。例えば，まっすぐな線 3 本を図 1 のようにかいたとき，交点の個数 は 3 個です。 ①

直線を 4 本かいたとき，交点は最も多くて何個できますか。

②

直線を何本かかいたとき，100 個以上の交点ができました。かいた線の

本数として，考えられるもののうち，最も少ない本数を答えなさい。 次に，図 2 のような，1 回折り曲げた線を考えます。⻑⽅形の紙に折り曲 げた線を，1 つずつ，重ならないようにかきます。2 つの折り曲げた線でで きる最も多い交点の個数は 4 個で，たとえば図 3 のようにかいた場合です。 ③

折り曲げた線をいくつかかいたとき，100 個以上の交点ができました。

折り曲げた線をいくつかきましたか。考えられるもののうち，最も少ない 数を答えなさい。

解答【例題】45 個 【類題】① 6 個 ② 15 本 ③ 8 個 解説 https://youtu.be/LzLnCwMWdP8

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

64 規則性⑱ ― 分割した領域の個数 【例題】7 本の直線を紙の上に引くとき，その紙は最⼤で何個の部分に分かれ ますか。

【類題】下の図のように円周上に 6 個の点をとり，それらをすべて直線で結び ます。円の内部においてどの 3 直線も 1 点で交わらないとき，円の内部は 31 個の部分に分けられています。同じように円周上に 7 個の点をとり，それら をすべて直線で結びます。円の内部においてどの 3 直線も 1 点で交わらない とき，円の内部は何個の部分に分けられますか。

解答【例題】29 個 【類題】57 個 解説 https://youtu.be/fhxqLTUESZI

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

65 規則性⑲ ― 対角線(平⾯) 【例題】同じ⼤きさの正⽅形を敷きつめて⻑⽅形を作り，図の直線 PQ が何 個の正⽅形を通るかを考えます。図 1 の場合は 4 個の正⽅形を通り，図 2 の場合は 2 個の正⽅形を通ります。 ①

縦に 3 個，横に 4 個の正⽅形を敷きつめて図 3 のような⻑⽅形を作った 場合，何個の正⽅形を通りますか。

②

縦に 12 個，横に 16 個の正⽅形を敷きつめて図 3 のような⻑⽅形を作っ た場合，何個の正⽅形を通りますか。

③

縦に 12 個，横に 17 個の正⽅形を敷きつめて図 3 のような⻑⽅形を作っ た場合，何個の正⽅形を通りますか。

【類題】縦 2cm，横 3cm の⻑⽅形の紙⽚が 200 枚あります。この紙⽚を同じ 向きにすき間なく並べて正⽅形を作ります。 ①

200 枚から何枚か取り除いて，できるだけ⼤きい正⽅形を作るには何枚 取り除けばよいですか。

②

①でできる正⽅形の 1 辺の⻑さは何 cm ですか。

③

①でできた正⽅形の 1 つの対⾓線が通った⻑⽅形は何枚ですか。

解答【例題】① 6 個

② 24 個 ③ 28 個

【類題】① 50 枚 ② 30cm ③ 20 枚

解説 https://youtu.be/TJQ4ziUgldw

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

66 規則性⑳ ― 対角線(⽴体) 【例題】同じ⼤きさの⽴⽅体を積み重ねて直⽅体を作り，下の図のように，直 線 PQ が何個の⽴⽅体を通るかを考えます。図 1 の場合は 3 個の⽴⽅体を通り， 図 2 の場合は 2 個の⽴⽅体を通ります。 縦に 7 個，横に 9 個，上に 8 個の⽴⽅体を積み重ねて図 3 のような直⽅体 を作った場合，何個の⽴⽅体を通りますか。

【類題】次の問いに答えなさい。 ①

1 辺の⻑さが 1cm の⽴⽅体の箱を 60 個⽤意して，縦 4 個，横 5 個，⾼ さ 3 個の直⽅体を作りました。直⽅体の 1 つの対⾓線は何個の箱の中を通 りますか。 また，直⽅体の 1 つの対⾓線が通った箱だけからできる⽴体の表⾯積は 何 cm2 になりますか。

②

3 つの辺の⻑さが，縦 3cm，横 2cm，⾼さ 5cm の直⽅体がたくさんあり ます。この直⽅体を同じ向きにすきまなく並べたり重ねたりして，⼀辺の ⻑さが 30cm の⼤きな⽴⽅体を作ります。このとき，⼤きい⽴⽅体の 1 つ の対⾓線は，何個の⼩さい直⽅体を通りますか。

解答【例題】22 個 【類題】① 10 個，42cm2 ② 22 個 解説 https://youtu.be/-qCCiRvVo_U

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

67 規則性㉑ ― 空きビン交換(1) 【例題】あるお店では，ジュースの空きビン 3 本とジュース 1 本とを交換して くれます。では，ジュースを 27 本買うと何本のジュースを飲めるでしょう か。

【類題】ある店でジュースを 77 本買いました。このジュースの空きびん 5 本 は，この店でジュース 2 本に交換してもらえます。この交換を利⽤すると， ジュースは最⼤で何本飲めますか。

解答【例題】40 本 【類題】127 本 解説 https://youtu.be/YizemDBgGqM

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第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★☆

68 規則性㉒ ― 空きビン交換(2) 【例題】あるお店では，ジュースの空きビン 5 本とジュース 1 本とを交換し てくれます。 ①

100 本のジュースを買えば，最⼤で何本のジュースを飲めますか。

②

100 本のジュースを飲むためには，最低何本のジュースを買えばよいで

すか。

【類題】A 社は新発売したジュースの空きビン 3 本でそのジュース 1 本を交換 するサービスを始めました。たとえばジュースを 5 本買ったとき，空きビン は 5 本になりますが，そのうちの 3 本で 1 本もらえます。その空きビンと前 の残りの 2 本の空きビンでさらにもう 1 本もらえて，全部で 7 本のジュース を飲むことができます。次の問いに答えなさい。 ①

ジュースを 20 本買ったとき，全部で何本飲めることになりますか。

②

全部で 100 本のジュースを飲むためには，少なくとも何本買えばよいで すか。

解答【例題】① 124 本 ② 81 本 【類題】① 29 本 解説 https://youtu.be/HOf8ThqKukI

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② 67 本

第 4 章 場合の数と規則性

レベル★★★

69 規則性㉓ ― 空きビン交換(3) 【例題】ジュースの空きビン 4 本を持っていくと，ジュース 1 本と交換して くれるお店があります。太郎君の家には今，81 本の空きビンがあります。 太郎君は，この空きビンを元に全部で 32 本のジュースを飲みました。太郎 君はもっとも少ない場合で，何本のジュースを買ったでしょうか。

【類題】ある店では 1 本 150 円のジュースを 5 本まとめて買うと 2 本おまけ してくれます。また，空きびんを 10 本持っていくと 1 本のジュースと交換 してくれます。太郎君は弟と 2 ⼈で 7 ⽉と 8 ⽉の 2 ヶ⽉間，毎⽇ 1 本ずつ 飲みました。このとき代⾦はいくらかかりましたか。最も少ない⾦額を求め なさい。

解答【例題】4 本

【類題】12000 円

解説 https://youtu.be/fxzYsrn0H70

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