1
■ 目 次 ■ 第 1 章 平面図形 １．角度 □□□ □ 1 三角形の外角１（p.5）
□□□ □ 6 折り返し 1 （p.10）
2 三角形の外角 2（p.6） □□□ □
□□□ □ 7 折り返し 2 （p.11）
3 多角形の内角 （p.7） □□□ □
□□□ □ 8 複合図形 （p.12）
□□□ □ 4 多角形の外角 （p.8）
□□□ □ 9 角度の和 1 （p.13）
5 平行線と角 （p.9） □□□ □
10 角度の和 2 （p.14） □□□ □
2．面積 □□□ □ 11 三角形の面積 1 （p.15）
□□□ □ 16 円の面積 3 （p.20）
□□□ □ 12 三角形の面積 2
□□□ □ 17 円の面積 4 （p.21）
（p.16）
□□□ □ 13 三角形の面積 3 （p.17）
□□□ □ 18 円の面積 5（p.22）
14 円の面積 1 （p.18） □□□ □
19 円の面積 6 （p.23） □□□ □
15 円の面積 2 （p.19） □□□ □
20 円の面積 7 （p.24） □□□ □
3．図形の移動 □□□ □ 21 外周・内周 1 （p.25）
26 直線上の回転 2 （p.33） □□□ □
□□□ □ 22 外周・内周 2 （p.27）
27 直線上の回転 3 （p.34） □□□ □
□□□ □ 23 直線上の回転 1 （p.29）
□□□ □ 28 点を中心に回転 （p.35）
□□□ □ 24 円周上の円の回転 1（p.30）
□□□ □ 29 応用問題 1 （p.36）
□□□ □ 25 円周上の円の回転 2（p.32）
□□□ □ 30 応用問題 2 （p.37）
4．底辺と高さの比 □□□ □ 31 標準問題 1 （p.38）
□□□ □ 34 メネラウス型図形 1 （p.41）
□□□ □ 32 標準問題 2 （p.39）
□□□ □ 35 メネラウス型図形 2 （p.43）
□□□ □ 33 標準問題 3 （p.40）
□□□ □ 36 応用問題 （p.44） -1-
5．直角三角形の相似 □□□ □ 37 基本問題 （p.45）
□□□ □ 41 折り返し 2 （p.49）
□□□ □ 38 標準問題 1 （p.46）
42 折り返し 3 （p.50） □□□ □
39 標準問題 2 （p.47） □□□ □
43 反射 2 （p.52） □□□ □
□□□ □ 40 標折り返し 1 （p.48）
□□□ □ 44 反射 3 （p.53）
6．三角形の相似 □□□ □ 45 基本問題 1 （p.55）
50 標準問題 3 （p.60） □□□ □
46 基本問題 2 （p.56） □□□ □
□□□ □ 51 応用問題 1 （p.61）
47 基本問題 3 （p.57） □□□ □
52 応用問題 2 （p.62） □□□ □
□□□ □ 48 標準問題 1 （p.58）
53 応用問題 3 （p.63） □□□ □
□□□ □ 49 標準問題 2 （p.59）
7．円の相似 □□□ □ 54 基本問題 （p.64）
□□□ □ 56 標準問題 2 （p.66）
□□□ □ 55 標準問題 1 （p.65）
8．平行線で分割する問題 □□□ □ 57 標準問題 1 （p.67）
□□□ □ 59 応用問題 （p.69）
□□□ □ 58 標準問題 2 （p.68）
9．正６角形 □□□ □ 60 標準問題 1 （p.70）
□□□ □ 63 応用問題 2 （p.74）
61 標準問題 2 （p.72） □□□ □
□□□ □ 64 応用問題 3 （p.75）
62 応用問題 1 （p.73） □□□ □
10．相似のくり返し □□□ □ 65 標準問題 1 （p.76）
□□□ □ 66 標準問題 2 （p.78）
-2-
第 2 章 空間図形 １．立方体の展開図と切断 □□□ □ 1 立方体の展開図 1 （p.79）
□□□ □ 7 立体の切断 4 （p.89）
2 立方体の展開図 2 （p.81） □□□ □
□□□ □ 8 立体の切断 5 （p.90）
3 立方体の展開図 3 （p.82） □□□ □
□□□ □ 9 立体の切断 6 （p.91）
□□□ □ 4 立体の切断 1 （p.84）
10 立体の切断 7 （p.93） □□□ □
□□□ □ 5 立体の切断 2 （p.86）
11 立体の切断 8 （p.95） □□□ □
□□□ □ 6 立体の切断 3 （p.88）
2．正四面体と正八面体 □□□ □ 14 発展問題 （p.100）
□□□ □ 12 基本問題 （p.97） 13 標準問題 （p.98） □□□ □
3．積み木 □□□ □ 15 基本問題 （p.102）
□□□ □ 19 応用問題 2 （p.108）
□□□ □ 16 標準問題１ （p.104）
□□□ □ 20 応用問題 3 （p.110）
□□□ □ 17 標準問題 2 （p.105）
□□□ □ 21 応用問題 4 （p.112）
18 応用問題 1 （p.106） □□□ □
3．光と影 □□□ □ 22 標準問題 （p.114）
23 応用問題 （p.116） □□□ □
4．円すい □□□ □ 24 基本問題 1 （p.117）
□□□ □ 26 最短距離 （p.119）
25 基本問題 2 （p.118） □□□ □
□□□ □ 27 展開図 （p.121）
5．回転体 □□□ □ 28 基本問題 1 （p.123）
□□□ □ 30 標準問題 1 （p.125）
29 基本問題 2 （p.124） □□□ □
31 標準問題 2 （p.126） □□□ □ -3-
6．水量 □□□ □ 32 基本問題 1 （p.127）
□□□ □ 36 応用問題 1 （p.135）
□□□ □ 33 標準問題 1 （p.129）
□□□ □ 37 標準問題 4 （p.137）
34 標準問題 2 （p.131） □□□ □
□□□ □ 38 応用問題 2 （p.139）
35 標準問題 3 （p.133） □□□ □
-4-
第 5 章 平⾯図形
１
レベル★☆☆
角度① 三角形の外角 1
【例題】下の図のア〜ウの⾓度を求めなさい。
【類題】下の図のアの⾓度を求めなさい。
解答【例題】ア 142°, イ 112°, ウ 42° 【類題】58° 解説 https://youtu.be/tlfc1dsbUSg
-5-
第 5 章 平⾯図形
２
レベル★☆☆
角度② 三角形の外角 2
【例題】下の図のアとイの⾓度を求めなさい。
【類題】下の図のアとイの⾓度を求めなさい。
解答【例題】ア 122°, イ 36°【類題】ア 37°, イ 21° 解説 https://youtu.be/HA07bOwmMAI
-6-
第 5 章 平⾯図形
３
レベル★☆☆
角度③ 多角形の内角
【例題】下の図のア〜エの⾓度を求めなさい。
【類題】下の図のア〜エの⾓度を求めなさい。
解答【例題】ア 90°イ 81°ウ 108°エ 118°【類題】ア 120°イ 124°ウ 135°エ 150° 解説 https://youtu.be/sSc1ronMziY
-7-
第 5 章 平⾯図形
４
レベル★☆☆
角度④ 多角形の外角
【例題】下の図について，次の問いに答えなさい。 ①
ア〜ウの⾓度の和を求めなさい。
②
エの⾓度を求めなさい。
【類題】下の図について，次の問いに答えなさい。 ①
ア〜カの⾓度の和を求めなさい。
②
キとクの⾓度をそれぞれ求めなさい。
解答【例題】① 360°② 72°【類題】① 360°② キ 60° ク 45° 解説 https://youtu.be/aMuQbosOSXk
-8-
第 5 章 平⾯図形
５
レベル★☆☆
角度⑤ 平⾏線と角
【例題】下の図のアとイの⾓度を求めなさい。
【類題】下の図のように，平⾏な 2 本の直線に，正五⾓形が接しています。ア の⾓度を求めなさい。
解答【例題】ア 63° イ 30°【類題】14° 解説 https://youtu.be/sdA8Q5hhbTQ
-9-
第 5 章 平⾯図形
６
レベル★★☆
角度⑥ 折り返し 1
【例題】下の図は，⻑⽅形と正三⾓形の紙を折り返したものです。ア，イ，ウ の⾓度を求めなさい。
【類題】下の図は，⻑⽅形と正三⾓形の紙を折り返したものです。ア，イ，ウ の⾓度を求めなさい。
解答【例題】ア 71°イ 70°ウ 20° 【類題】ア 46°イ 70°ウ 38° 解説 https://youtu.be/lgd6OZJZVQY
- 10 -
第 5 章 平⾯図形
７
レベル★★☆
角度⑦ 折り返し 2，角の倍数算
【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，正⽅形 ABCD を AE を折り⽬にして折り，D と F を直線 で結んだものです。アの⾓度を求めなさい。
②
下の図 2 のイの⾓度を求めなさい。ただし，●どうし，○どうしの⾓度
はそれぞれ等しいものとします。 図1
図2
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図は，正⽅形 ABCD を DE を折り⽬にして折り，A と F を直線で
結んだものです。アの⾓度を求めなさい。 ② 下の図 2 のイの⾓度を求めなさい。ただし，●どうし，○どうしの⾓度 はそれぞれ等しいものとします。 図1
図2
解答【例題】① 20°② 125° 【類題】① 25°② 40° 解説
https://youtu.be/lQ2_EIDtlSQ
- 11 -
第 5 章 平⾯図形
８
レベル★★☆
角度⑧ 複合図形
【例題】下の図は，正⽅形と正三⾓形を組み合わせたものです。アとイの⾓度 を求めなさい。
【類題】下の図 1 は正⽅形と正三⾓形，図 2 は正⽅形と⼆等辺三⾓形を組み合 わせたものです。アとイの⾓度を求めなさい。 図1
図2
解答【例題】ア 150°イ 60° 【類題】ア 75°イ 45° 解説 https://youtu.be/otGzTeU2n3o
- 12 -
第 5 章 平⾯図形
９
レベル★★☆
角度⑨ 角度の和 1
【例題】下の図のア〜オの⾓度の和を求めなさい。
【類題】下の図のア〜オの⾓度の和を求めなさい。
解答【例題】180 ° 【類題】180° 解説 https://youtu.be/QMXlpbSJz4M
- 13 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
10 角度⑩ 角度の和 2 【例題】下の図のア〜キの⾓度の和を求めなさい。
【類題】下の図のア〜キの⾓度の和を求めなさい。
解答【例題】540 度
【類題】540 度
解答 https://youtu.be/Hd4ZCTXt9lY
- 14 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★☆☆
11 ⾯積① 三角形の⾯積 1 【例題】下の図 1，図 2 のぬられた部分の⾯積をそれぞれ求めなさい。 図1
図2
【類題】下の図 1，図 2 のぬられた部分の⾯積をそれぞれ求めなさい。 図1
図2
解答【例題】(図 1) 225 cm2 (図 2) 200 cm2 【類題】(図 1) 114 cm2 (図 2) 300 cm2 解説 https://youtu.be/vGx2YJy63SY
- 15 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
12 ⾯積② 三角形の⾯積 2 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
図 1 のぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
図 2 で，三⾓形 DBC の⾯積は，三⾓形 ABD の⾯積の 3 倍です。AD
の⻑さを求めなさい。 図1
図2
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
図 1 の三⾓形 AED の⾯積を求めなさい。
②
図 2 で，台形 ABED の⾯積は，三⾓形 DEC の⾯積の 3 倍です。AD の
⻑さを求めなさい。 図1
図2
解答【例題】① 270 cm2 ② 10 cm 【類題】① 360 cm2 ② 10 cm 解説 https://youtu.be/uyJTkEIXKHo
- 16 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
13 ⾯積③ 三角形の⾯積 3 【例題】下の①と②の三⾓形 ABC の⾯積を求めなさい。 ①
②
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
図 1 の三⾓形 ABC の⾯積を求めなさい。
②
図 2 のように，⼀辺の⻑さが 10cm の正⽅形 ABCD を 30 度回転さ
せました。五⾓形 ABCFG の⾯積を求めなさい。 図1
図2
解答【例題】① 25 cm2 ② 12.5 cm2 【類題】① 10 cm2 ② 150 cm2 解説 https://youtu.be/pY9gzKXMhK4
- 17 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★☆☆
14 ⾯積④ 円の⾯積 1 【例題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，⼀辺の⻑さが 10cm の正⽅形の 4 つの辺の中点 A，B，C， D を中⼼として半円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 は，正三⾓形の 3 つの頂点 A，B，C を中⼼として，半径の⻑ さが 10cm の半円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
【類題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，1 辺 10cm の正⽅形の 4 つの頂点 A，B，C，D を中⼼と して四分円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 は，正三⾓形の 3 つの頂点 A，B，C を中⼼として半径 10cm の円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 57 cm2 ② 157 cm2 【類題】① 57 cm2 ② 157 cm2 解説 https://youtu.be/ue4rcDKl5-g
- 18 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
15 ⾯積⑤ 円の⾯積 2 【例題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm の直⾓三⾓形の 3 辺を 直径として半円をかいたものです。ぬられた分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 の四分円の中のぬられた部分の⾯積を求めなさい。
図1
図2
【類題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，縦 5cm，横 10cm の⻑⽅形の 4 つの頂点が接する円と， 4 つの辺を直径とする半円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求め なさい。
②
下の図 2 の円の中のぬられた部分の⾯積を求めなさい。
図1
図2
解答【例題】① 24 cm2 ② 9.42 cm2 【類題】① 50 cm2 ② 18.84 cm2 解説 https://youtu.be/jxuRf52Tcnc
- 19 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
16 ⾯積⑥ 円の⾯積 3 【例題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は半径 15cm の半円と斜辺の⻑さが 34cm の直⾓⼆等辺三⾓形 を組み合わせた図形です。アの部分の⾯積とイの部分の⾯積の合計が 326.25cm2 のとき，アの部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 は⼀辺 4cm の正⽅形の中に半径 4cm のおうぎ形をかいたもの です。アの⾯積とイの⾯積の差を求めなさい。
図1
図2
【類題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，縦 10cm の⻑⽅形と 2 つの四分円を組み合わせたものです。 アとイの⾯積が同じとき，⻑⽅形の横の⻑さを求めなさい。
②
下の図 2 のように，横の⻑さが 30cm の⻑⽅形の 4 つの頂点を中⼼とし てそれぞれ円の⼀部をかいたところ，HG の⻑さが 12cm になりました。 AE：EB＝7：5 のとき，DH の⻑さは何 cm になりますか。
図1
図2
解答【例題】① 195.25 cm2 ② 9.12 cm2 【類題】① 15.7 cm ② 4 cm 解説 https://youtu.be/LHOkaVOXTl0
- 20 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
17 ⾯積⑦ 円の⾯積 4 【例題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 の円の直径が 24cm のとき，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 は，1 辺の⻑さが 10cm の正⽅形を 4 つ組み合わせたものに， 半径 20cm のおうぎ形をかいたものです。直線 AB とおうぎ形の弧でかこ まれた部分( ぬられた部分) の⾯積を求めなさい。
図1
図2
【類題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，中⼼⾓が 60 度で半径の⻑さが 6cm のおうぎ形の中に内接 円をかいたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 は，AB＝12cm，AC＝6cm の直⾓三⾓形と，半径 6cm のおう ぎ形を組み合わせたものです。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
図1
図2
2 解答【例題】① 73.68 cm2 ② 4 3 cm2 【類題】① 12.56 cm2 ② 9.42 cm2 解説 https://youtu.be/JXY1wFChKN0
- 21 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
18 ⾯積⑧ 円の⾯積 5 【例題】下の図は，半径 6cm の円周を 12 等分したものです。円周率を 3.14 として，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
【類題】下の図は，半径 6cm の半円の弧を 6 等分したものです。円周率を 3.14 として，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
解答【例題】 27.84 cm2 【類題】21.84 cm2 解説 https://youtu.be/-Jr3SpCdasE
- 22 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
19 ⾯積⑨ 円の⾯積 6 【例題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のように，半径 5cm のおうぎ形の中に正⽅形が内接していま す。ぬられている部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 のように，おうぎ形の中に⼀辺の⻑さが 4cm の正⽅形が内接 しています。ぬられている部分の⾯積を求めなさい。 図1
図2
【類題】円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のように，半径 3cm と半径 4cm の半円を組み合わせた図形が あります。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 のように，⻑⽅形 ABCD の中におうぎ形 AED を書きました。 点 E が辺 BC の中点であるとき，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。 図1
図2
解答【例題】① 7.125 cm2 ② 9.12 cm2 【類題】① 11.56 cm2 ② 27.93 cm2 解説
https://youtu.be/0t8A3yQz11s
- 23 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
20 ⾯積⑩ 円の⾯積 7 【例題】下の図のように，対⾓線の⻑さが 8cm の正⽅形に円が内接しています。 円周率を 3.14 として，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のように，円に対⾓線の⻑さが 10cm の正⽅形が内接し，正⽅ 形の 1 辺を直径とする半円が 2 つあります。円周率を 3.14 として，ぬられ た部分の⾯積を求めなさい。
解答【例題】3.44 cm2 【類題】64.25 cm2 解説 https://youtu.be/Cy-ZF3Cofas
- 24 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
21 図形の移動① 【例題】下の図のような⻑⽅形をつなぎあわせた図形のまわりを，半径 1cm の 円が回転しながら 1 周します。円周率を 3.14 として次の問いに答えなさい。 ①
円の中⼼が通ったあとの⻑さは何 cm ですか。
②
円が通ったあとの⾯積は何 cm2 ですか。
【ワークシート】
- 25 -
【類題】下の図のような⻑⽅形をつなぎあわせた図形の内側を，半径 2cm の円 が回転しながら 1 周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
円の中⼼が通ったあとの⻑さは何 cm ですか。
②
図形の内側で，この円が通らなかった部分の⾯積は何 cm2 ですか。
解答【例題】① 33.85cm ② 67.485cm2 【類題】① 39.14 cm 解説 https://youtu.be/w7bvrUf9gTY
- 26 -
② 15.74 cm2
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
22 図形の移動② 【例題】下の図のように，1 辺の⻑さが 8cm の正三⾓形まわりを，半径 2cm の円が回転しながら⼀周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えな さい。 ①
円の中⼼が通ったあとの⻑さは何 cm ですか。
②
円の中⼼と正三⾓形の辺とで囲まれる部分の⾯積は何 cm2 ですか。
【ワークシート】
- 27 -
【類題】下の図のような中⼼⾓ 144 度，半径 5cm のおうぎ形のまわりを，半 径 2cm の円が回転しながら 1 週します。円周率を 3.14 として，次の問いに 答えなさい。 ①
円の中⼼が通ったあとの⻑さは何 cm ですか．
②
円が通ったあとの⾯積は何 cm2 ですか．
解答【例題】① 36.56cm ② 60.56cm2 【類題】① 35.12cm ② 140.48cm2 解説 https://youtu.be/wDB5sz4g7vs
- 28 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
23 図形の移動③ 【例題】下の図のように，たて 4cm，よこ 3cm，対⾓線 5cm の⻑⽅形 ABCD を，①の位置から④の位置まで直線上でころがしました。このとき，A が動 いてできた線の⻑さは何 cm ですか。
【類題】下の図のように，たて 4cm，よこ 3cm，対⾓線 5cm の⻑⽅形 ABCD を直線上ですべらないようにころがしました。まず，C を中⼼に回転して① から②へ，続いて D を中⼼に回転して②から③へというようにして，㉝まで ころがしました。このとき，A が動いてできた線の⻑さは何 cm ですか。
解答【例題】12.56cm 【類題】150.72cm 解説 https://youtu.be/SXYCXxmO31w
- 29 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
24 図形の移動④ 【例題】下の図のように，半径 10cm の円 O の外側を，同じ半径の円 P が接 しながらすべらないように回転します。 ①
円 P の①から②→③→④の順に移ったとき，円 P の円周上の点 A が移 った点の位置を，それぞれ図の②③④の周上にかきなさい。
②
図 P が円 O の回りを 1 回転して元の位置にもどったとき，円 P は何回 転していますか。
- 30 -
【類題】下の図で, 円 O の半径は 15cm，円 O1 の半径は 3cm，円 O2 の半径は 2cm です。円 O1 と円 O2 が円 O のまわりを回転しながら⼀周すると，それ ぞれ何回転しますか。
解答【例題】① 右上の図 ② 2 回転 【類題】円 O1 … 6 回転，円 O2 … 6.5 回転 解説 https://youtu.be/hgz6vLwaVRg
- 31 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
25 図形の移動⑤ 【例題】下の図のように，半径の等しい 2 つの円 O1 , O2 が図のように接して おり，その外側を同じ半径の円 P が接しながらすべらないように回転します。 このとき，円 P は元の位置にもどるまでに，何回転していますか。
【類題】下の図のように，半径 2cm の⽩い円を 6 個ならべ，そのまわりを同 じ⼤きさのぬられた円が回転しながら⼀周します。 ①
回転した円の中⼼が通った⻑さを求めなさい。
②
回転した円は何回回転しましたか。
2 解答【例題】 2 3 回転 【類題】① 50.24cm 解説 https://youtu.be/yG35RnFam3Y
② 4 回転
- 32 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
26 図形の移動⑥ 【例題】下の図のように，半径 2cm，中⼼⾓ 45 度のおうぎ形を直線上にそっ てアの状態からイの状態まですべらないように回転させました。このとき， おうぎ形が通った部分の⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のように，半径 10cm，中⼼⾓ 90 度のおうぎ形を直線上にそっ てもとの状態にもどるまで 1 回転させました。 ①
O が動いた⻑さは何 cm ですか。
②
O が動いてできる図形と下の直線でかこまれる⾯積は何 cm2 ですか。
解答【例題】9.42cm2
【類題】① 47.1cm ② 314 cm2
解説 https://youtu.be/XNzumzVfJPY
- 33 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
27 図形の移動⑦ 【例題】半径 10cm の半円と直⾓⼆等辺三⾓形を組み合わせた下の図形を，直 線上をすべらないように 1 回転させます。このとき，半円の中⼼ P が動いた あとの⻑さを求めなさい。
【類題】下の図のような半径 10cm のおうぎ形を，直線上にそってもとの状態 にもどるまで 1 回転させたとき，中⼼の通ったあとの⻑さを求めなさい。
解答【例題】62.8cm
【類題】62.8cm
解説 https://youtu.be/mQiZYP1TtWQ
- 34 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
28 図形の移動⑧ 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は，⼀辺の⻑さが 6cm の正⽅形を 60 度回転させたものです。 ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
②
下の図 2 において，⾯積が 72cm2 の正⽅ ABCD を，B を中⼼に 30°回 転しました。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。 図1
図2
【類題】下の直⾓三⾓形 ABC を点 B を中⼼として，時計回りに 45°回転させ ると，辺 AC が通過した部分の⾯積が 169.56cm2 になりました。このとき， 辺 BC の⻑さは何 cm ですか。
解答【例題】① 19.68cm2 ② 37.68cm2 【類題】12 cm 解説 https://youtu.be/V-PWoWanZfc
- 35 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
29 図形の移動⑨ 【例題】下の図のように，対⾓線の⻑さが 14cm の正⽅形があります。この正 ⽅形を頂点 C を中⼼として時計回りに 90°回転させたとき，三⾓形 AOD が 通過した部分の⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のように，1 辺の⻑さが 10cm の正⽅形を，直線上にそって辺 BC が再び下になるまで 1 回転させます。このとき，直線 AC が通過した部 分の⾯積を求めなさい。
解答【例題】139.895cm2 【類題】364cm2 解説 https://youtu.be/xtquDFB6j6I
- 36 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★★
30 図形の移動⑩ 【例題】下の直⾓三⾓形 ABC を，頂点 B を中⼼として 1 回転します。このと き，辺 AC が通過した部分の⾯積を求めなさい。
【類題】右の図のような，三⾓柱 ABC-DEF があります。辺 AB，辺 AC，辺 DE，辺 DF の⻑さはいずれも 5cm で，辺 BC，辺 EF の⻑さはいずれも 6cm です。また，辺 AD，辺 BE，辺 CF の⻑さはいずれも 3cm です。点 H は辺 BC の中点であり，AH の⻑さは 4cm，DH の⻑さは 5cm，⾓ AHB の⼤きさ は 90°です。 ①
辺 BC を軸に三⾓柱を１回転したとき，辺 AD が通過してできる図形の ⾯積は何 cm2 ですか。
②
辺 AD を軸にして，三⾓柱を１回転したときに，⻑⽅形 BCFE が通過し てできる⽴体の体積は何 cm3 ですか。
解答【例題】32.1536cm2 【類題】① 28.26cm2 ② 84.78cm3 解説 https://youtu.be/mdiEO3LtsiI
- 37 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
31 底辺と⾼さの⽐① 【例題】下の図で，AD：DB＝2 : 3，AE：EC＝2 : 1 のとき，三⾓形 ADE の⾯ 積は三⾓形 ABC の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の三⾓形 ABC の⾯積は 50cm2 で，AF：FC＝3：2，BE：EC＝1：1 です。 ①
三⾓形 ABE の⾯積を求めなさい。
②
三⾓形 AEF の⾯積を求めなさい。
③
BD：DF を求めなさい。
4 倍 【類題】① 25cm2 ② 15cm2 ③ 5：3 15 解説 https://youtu.be/2vNAGdJTtI8 解答【例題】
- 38 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
32 底辺と⾼さの⽐② 【例題】下の図で，AF：FD＝4 : 1，BD：DE＝5 : 1，CE：EF＝3 : 1 のとき， 三⾓形 ABC の⾯積は三⾓形 DEF の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図で，AF：FD＝4 : 1，BD：DE＝5 : 1，CE：EF＝2 : 1 のとき， 三⾓形 ABC の⾯積は三⾓形 DEF の⾯積の何倍ですか。
解答【例題】60 倍 【類題】50 倍 解説 https://youtu.be/1eyKkFm3jI4
- 39 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
33 底辺と⾼さの⽐③ 【例題】下の図のように，三⾓形 ABC を⾯積の等しい 5 つの三⾓形に分けま した。AC の⻑さが 15cm のとき，CG の⻑さを求めなさい。
【類題】下の図のように，直⾓三⾓形 ABC を⾯積の等しい 5 つの三⾓形に分 けました。AB＝6cm，FC＝5cm として，次の問いに答えなさい。 ①
三⾓形 ABC の⾯積を求めなさい。
②
AD：DG：GC を求めなさい。
③
点 B と点 G をむすんだとき，三⾓形 BGD と三⾓形 BEG の⾯積の⽐を 求めなさい。
解答【例題】 8cm
【類題】① 40 cm2 ② 3：4：8 ③ 2：1
解説 https://youtu.be/J-Sp2qbPU6Q
- 40 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
34 底辺と⾼さの⽐④ 【例題】下の図の三⾓形 ABC において，AB を 4：3 に分ける点を D，AC を 2：5 に分ける点を E とします。CD と BE の交わる点を P とし，AP の延⻑ と BC の交わる点を F とします。 ①
三⾓形 CAP と三⾓形 CBP の⾯積の⽐を求めなさい。
②
BF：FC を求めなさい。
③
三⾓形 ABC と三⾓形 PBC の⾯積の⽐を求めなさい。
【ワークシート】
- 41 -
【類題】下の図の三⾓形 ABC において，BC を 3：5 に分ける点を F，AC を 2：3 に分ける点を E とします。AF と BE の交わる点を P とし，CP の延⻑ と AB の交わる点を D とします。三⾓形 APE と三⾓形 PBF の⾯積の⽐を 求めなさい。
解答【例題】 ① 4：3 ② 3：10 ③ 41：15 【類題】 32：27 解説 https://youtu.be/V8uq4mMussk
- 42 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
35 底辺と⾼さの⽐⑤ 【例題】下の直⾓三⾓形で，AD＝6cm，DB＝3cm，AE＝4cm，EC＝6cm の とき，三⾓形 FBC の⾯積を求めなさい。
【類題】下の直⾓三⾓形で，AE＝2cm，EC＝3cm，CD＝6cm，DB＝2cm の とき，四⾓形 FDCE の⾯積を求めなさい。
3 7 cm2 【類題】 10 cm2 11 11 https://youtu.be/7Sr9mUBMnOw
解答【例題】 12 解説
- 43 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
36 底辺と⾼さの⽐⑥ 【例題】下の図について，次の問いに答えなさい。 ①
AD：DB＝2：1，BE：EC＝2：1，CF：FA＝2：1 とします。三⾓形 DEF の⾯積は三⾓形 ABC の⾯積の何分のいくつですか。
②
さらに DG：GE＝2：1，EH：HF＝ 2：1，FI：ID＝2：1 とするとき， 三⾓形 GHI の⾯積が 5cm2 になりました。三⾓形 ABC の⾯積は何 cm2 で すか。
【類題】下の図は，三⾓形 ABC の辺 AB 上を 3 等分，辺 BC 上を 4 等分，辺 CA 上を 6 等分したものです。 ①
三⾓形 ADG の⾯積は，三⾓形 ABC の何分のいくつですか。
②
四⾓形 DEFG の⾯積が 25 のとき，三⾓形 ABC の⾯積を求めなさい。
1 1 解答【例題】① 3 ② 45cm2 【類題】① 3 解説 https://youtu.be/eAKIWs5wC-w
- 44 -
② 75cm2
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
37 相似① 直角三角形の相似 1 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 で，AD，BD，CD の⻑さをそれぞれ求めなさい。
②
下の図 2 で，BE，DE の⻑さをそれぞれ求めなさい。
図1
図2
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 で，AC，AD の⻑さをそれぞれ求めなさい。
②
下の図 2 で，CE，DE の⻑さをそれぞれ求めなさい。
図1
図2
解答【例題】① AD 12cm，BD 16cm，CD 9cm ② BE 12cm，DE 9cm 【類題】① AC 45cm，AD 27cm ② CE 5cm，DE 3cm 解説 https://youtu.be/ccKonQJslso
- 45 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
38 相似② 直角三角形の相似 2 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 で，AB の⻑さを求めなさい。
②
下の図 2 で，三⾓形 ABC の⾯積を求めなさい。 図1
図2
【類題】下の図で，四⾓形 GEFI の⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 15cm ② 6cm2 【類題】23cm2 解説 https://youtu.be/ggzHdPj0Md0
- 46 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
39 相似③ 直角三角形の相似 3 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は⻑⽅形 ABCD の中に垂直に交わる直線をかいたもので，E は BC 上にあります。CE の⻑さを求めなさい。
②
下の図 2 は直⾓三⾓形 ABC の中に正⽅形 CFDE をかいたもので，D は AB 上にあります。正⽅形 CFDE の⾯積を求めなさい。
図1
図2
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 は直⾓三⾓形 ABC の中に正⽅形 CFDE をかいたもので，D は AB 上にあります。正⽅形 CFDE の 1 辺の⻑さを求めなさい。
②
下の図 2 は直⾓三⾓形 ABC の中に正⽅形 DEFG をかいたものです。正 ⽅形 DEFG の⾯積を求めなさい。
図1
図2
解答【例題】① 30cm ② 51.84cm2 【類題】① 12cm 解説 https://youtu.be/HZRRrWCDBpM
- 47 -
102 ② 42 1369 cm2
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
40 相似④ 直角三角形の相似 4 【例題】下の図のように，⻑⽅形の ED を折り⽬として折り返して A が BC 上 に重なった点を F とすると，BF＝6cm，CD＝18cm になりました。このとき， 三⾓形 DEF の⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のように，⻑⽅形 ABCD を対⾓線 AC で折り返したところ，三 ⾓形 CDF の各辺の⻑さが CD＝12cm，DF＝9cm，FC＝15cm になりました。 ①
BC の⻑さは何 cm ですか。
②
三⾓形 ABE の⾯積は何 cm2 ですか。
解答【例題】150cm2 【類題】① 24cm
② 57.6cm2
解説 https://youtu.be/JPaaby6PTec
- 48 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
41 相似⑤ 直角三角形の相似 5 【例題】下の図は，⻑⽅形 ABCD の EF を折り⽬として折りかえして A が CD 上に重なった点を H としたものです。①〜⑧の⻑さをそれぞれ求めなさい。
【類題】下の図は，⻑⽅形 ABCD の EF を折り⽬として折りかえしたものです。 DE の⻑さを求めなさい。
解答【例題】① 50cm ② 36cm ③ 45cm ④ 27cm ⑤ 21cm ⑥ 35cm ⑦ 28cm ⑧28cm 【類題】24cm 解説 https://youtu.be/IWE5Ec8vbPQ
- 49 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
42 相似⑥ 直角三角形の相似 6 【例題】下の図は，BC＝36cm，CD＝24cm の⻑⽅形を EG を折り⽬として折っ たときの図です。BE＝5cm，BF＝12cm，AF＝6cm です。 ①
CH の⻑さを求めなさい。
②
AG の⻑さを求めなさい。
③
台形 GHCD の⾯積を求めなさい。
- 50 -
【類題】下の図は，1 辺 6cm の正⽅形 ABCD と⻑⽅形 EFGH を組み合わせた ものです。頂点 E は辺 AD の真ん中にあり，点 I，J は３等分点です。また頂 点 C は辺 GH の上にありました。 ①
LC の⻑さを求めなさい。
②
正⽅形と⻑⽅形が重なっている部分の⾯積は何 cm2 ですか。
解答【例題】① 17.5cm ② 28.5cm ③ 300cm2 【類題】① 解説 https://youtu.be/V8iHmtn7fj8
- 51 -
3 11 cm ② 24 cm2 2 12
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
43 相似⑦ 直角三角形の相似 7 【例題】下の図のような⻑⽅形において，点 E から辺 AD に向けて球を打ち出 します。図のように球が反射して，点 B のところで⽌まりました。DF の⻑さ を求めなさい。
【類題】下の図のような⻑⽅形において，点 E から辺 AD に向けて球を打ち出 します。図のように球が反射して，点 J のところで⽌まりました。DG の⻑さ を求めなさい。
解答【例題】45cm
【類題】24cm
解説 https://youtu.be/HLL3Iabz8r8
- 52 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
44 相似⑧ 直角三角形の相似 8 【例題】下の図のように，⻑⽅形 ABCD の辺上に点Ｓ，E，F，G があり，⾓ AES＝⾓ DEF＝⾓ CGF＝⾓ BGA，⾓ DFE＝⾓ CFG です。ここで，点 P が S を出発し，毎秒１cm の速さで，S→E→F→G→A と動いていきます。S から E まで５秒かかったとして，次の問いに答えなさい。 ①
三⾓形 CFG の⾯積は何 cm2 ですか。
②
点 P が S を出発してから A に着くまでに何秒かかりますか。
- 53 -
【類題】下の図のような⻑⽅形の中で，点 A から打ち出した球が，点 E，F， G で反射して，点 H で⽌まりました。CE の⻑さが 40cm，AE の⻑さが 134.5cm のとき，次の問いに答えなさい。 ①
CF の⻑さを求めなさい。
②
AH の⻑さを求めなさい。
③
球が A から H まで動いた⻑さを求めなさい。
解答【例題】①
3 cm ② 30 秒後 【類題】① 36cm ② 72cm ③ 376.6cm 2
解説 https://youtu.be/PbZMwgqvXIw
- 54 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
45 相似⑨ 三角形の相似 1 【例題】下の図で BC と DE が平⾏のとき，ア〜ウの⻑さを求めなさい。
【類題】下の図で BC と DE が平⾏のとき，ア〜ウの⻑さを求めなさい。
解答【例題】ア 16cm イ 27cm ウ 12cm
【類題】ア 7.5cm イ 10cm ウ 5cm
解説 https://youtu.be/UN3-dCG2ZZg
- 55 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
46 相似⑩ 三角形の相似 2 【例題】下の図で BC と DE が平⾏のとき，ア〜ウの⻑さを求めなさい。
【類題】下の図で BC と DE が平⾏のとき，ア〜ウの⻑さを求めなさい。
解答【例題】ア 15cm イ 18cm ウ 33cm 解説
https://youtu.be/l_xCfW89-nc
【類題】ア 3.6cm イ 8cm ウ 7 7 cm 8
- 56 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
47 相似⑪ 三角形の相似 3 【例題】下の台形 ABCD において，AD＝8cm，AE＝6cm，BD＝ 20cm， BC＝12cm です。 ①
EC の⻑さを求めなさい。
②
EB の⻑さを求めなさい。
【類題】下の⻑⽅形の中で，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 9cm
② 12cm 【類題】81cm2
解説 https://youtu.be/t1bXGqq2NSc
- 57 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
48 相似⑫ 三角形の相似 4 【例題】下の図は，1 つあたりの⾯積が 6cm2 の正三⾓形を組み合わせた図形で す。 ①
AI：IC の⻑さの⽐を求めなさい。
②
ぬられている部分の⾯積の和を求めなさい。
【類題】下の図は，1 つあたりの⾯積が 6cm2 の正三⾓形を組み合わせた図形で す。ぬられている部分の⾯積の和を求めなさい。
解答【例題】① 3：1
② 14cm2 【類題】9cm2
解説 https://youtu.be/JDajYq2_RfY
- 58 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
49 相似⑬ 三角形の相似 5 【例題】下の三⾓形で，D は AB の中点，AE：EC＝3：4 です。 ①
BF と FE の⻑さの⽐を求めなさい。
②
DF と FC の⻑さの⽐を求めなさい。
【類題】下の図で，AD＝3 ㎝，DB＝4 ㎝，AC＝5 ㎝，CF＝9 ㎝です。 ①
三⾓形 ABC と三⾓形 ADF の⾯積の⽐を求めなさい。
②
三⾓形 BED と三⾓形 EFC の⾯積の⽐を求めなさい。
解答【例題】① 7：4
② 3：8
【類題】① 5：6 ② 160：243
解説 https://youtu.be/u0QXhj6K6fI
- 59 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★☆
50 相似⑭ 三角形の相似 6 【例題】下の⻑⽅形について次の問いに答えなさい。 ①
AG：GH：HC の⽐を求めなさい。
②
三⾓形 GHD の⾯積を求めなさい。
【類題】下の⻑⽅形の中で，ぬられた部分の⾯積の和を求めなさい。
3 解答【例題】① 6：4：5 ② 6.4 ㎝ 2 【類題】401 7 cm2 解説 https://youtu.be/kOneOixlNOI
- 60 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
51 相似⑮ 三角形の相似７ 【例題】下の平⾏四辺形で，AF：FD＝DE：EC＝4：3 です。 ①
BG：GF の⻑さの⽐を求めなさい。
②
三⾓形 AGF と平⾏四辺形 ABCD の⾯積の⽐を求めなさい。
③
AG：GE の⻑さの⽐を求めなさい。
【類題】下の平⾏四辺形で，AE：EB＝2：3，AF：FD＝2：1 です。 ①
FG：GB の⻑さの⽐を求めなさい。
②
EG：GC の⻑さの⽐を求めなさい。
解答【例題】① 49：16 ② 32：455 ③ 28：37 【類題】① 4：3 ② 2：5 解説 https://youtu.be/7dmuv7gMYiM
- 61 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
52 相似⑯ 三角形の相似 8 【例題】下の⻑⽅形について，次の問いに答えなさい。 ①
EH：HG の⻑さの⽐を求めなさい。
②
四⾓形 HFCG の⾯積を求めなさい。
【類題】下の⻑⽅形について，次の問いに答えなさい。 ①
EG：GD の⻑さの⽐を求めなさい。
②
FG：GC の⻑さの⽐を求めなさい。
③
四⾓形 EBCG の⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 2：3 ② 27.9cm2 【類題】① 5：4 ② 1：2 ③ 14.5cm2 解説 https://youtu.be/AL-EZarlFlQ
- 62 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
53 相似⑰ 三角形の相似 9 【例題】下の正⽅形 ABCD の中の四⾓形 AFED の⾯積を求めなさい。
【類題】下の台形で，F が CD の中点であるとき，次の問いに答えなさい。 ①
BG：GF の⻑さの⽐を求めなさい。
②
AG：GE の⻑さの⽐を求めなさい。
解答【例題】18cm2 【類題】① 10：7 ② 12：5 解説 https://youtu.be/L-pF7MtXEVU
- 63 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
54 相似⑱ 円の相似 1 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のように，正⽅形に円が内接・外接しています。⼩さい円の⾯ 積は⼤きい円の⾯積の何倍ですか。
②
下の図 2 のように，正三⾓形に円が内接・外接しています。⼩さい円の ⾯積は⼤きい円の⾯積の何倍ですか。 図1
図2
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のように，正⽅形に円が内接・外接しています。「⼤きい正⽅ 形の⾯積」と「円の⾯積」と「⼩さい正⽅形の⾯積」の⽐を求めなさい。
②
下の図 2 のように，正⽅形に円が内接・外接しています。1 番⼤きい正 ⽅形の 1 辺の⻑さが 10cm のとき，ぬられた部分の⾯積を求めなさい。 図1
図2
1 1 解答【例題】① 2 倍 ② 4 倍 【類題】① 200：157：100 解説 https://youtu.be/B2iY4uQa0xE
- 64 -
② 18.75 cm2
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
55 相似⑲ 円の相似 2 【例題】下の図のように，正六⾓形に円が内接・外接しています。⼩さい円の ⾯積は⼤きい円の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図 1 のように，正三⾓形に円が内接，外接しています。また，下 の図 2 のように，正三⾓形に円が，円の中に正六⾓形が内接しています。 図 1 の⼤きい正三⾓形と，図 2 の正三⾓形が同じ⼤きさであるとき，図 1 の ⼩さい正三⾓形の⾯積と，図 2 の正六⾓形の⾯積⽐を求めなさい。 図1
図2
3 倍 【類題】1：2 4 解説 https://youtu.be/nxQy6FPjBiY 解答【例題】
- 65 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
56 相似⑳ 円の相似 3 【例題】下の図は四つの半円を重ねたもので，AB，BO，OC，CD の⻑さは 等しくなっています。直線と曲線で区切られたアとイとウとエの⾯積の⽐を 求めなさい。
【類題】下の図は，中⼼⾓が 90 度のおうぎ形を 4 枚重ね(OA＝AB＝BC＝CD)， さらに，中⼼⾓を三等分したものです。 ①
アとイとウとエの⾯積の⽐を求めなさい。
②
⽩い部分とぬられた部分の⾯積⽐を求めなさい。
解答【例題】 6：5：4：1
【類題】① 1：3：5：7
解説 https://youtu.be/HEiGyE3aQyQ
- 66 -
② 13：11
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
57 平⾏線で分割する① 【例題】下の図で，E，F はそれぞれ正⽅形の辺の中点です。ぬられた部分の ⾯積は，正⽅形 ABCD の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図は，1 辺 6cm の正⽅形を 12 枚並べたもので，M，N は正⽅形 の中点です。ぬられた部分の⾯積を求めなさい。
1 解答【例題】 4 倍 【類題】 144cm2 解説 https://youtu.be/9nUls_4xp64
- 67 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
58 平⾏線で分割する② 【例題】下の図は正⽅形の各辺に中点をとったものです。ぬられた部分の⾯積 は，正⽅形 ABCD の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図は，正⽅形の各辺を 3 等分したものです。四⾓形 PQRS の⾯ 積は正⽅形 ABCD の⾯積の何倍ですか。
1 2 解答【例題】 5 倍 【類題】 5 倍 解説 https://youtu.be/P5RX-LHIR9Y
- 68 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
59 平⾏線で分割する③ 【例題】下の図は，正⽅形の各辺を 3 等分したものです。四⾓形 PQRS の⾯積 は正⽅形 ABCD の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図は、正⽅形の各辺を 4 等分したものです。四⾓形 QRST の⾯積 は正⽅形 AEIM の⾯積の何倍ですか。
1 1 解答【例題】 13 倍 【類題】 25 倍 解説 https://youtu.be/l-OYzhSDhP4
- 69 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
60 正六角形① 【例題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 で，三⾓形 ACG と三⾓形 FGE の⾯積の⽐を求めなさい。
②
図 2 で，CG：GD＝1：3 のとき，四⾓形 ABCG と五⾓形 AGDEF の ⾯積の⽐を求めなさい。
- 70 -
【類題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 で，G は BC の中点，FH：HE＝1：2 のとき，五⾓形 ABGHF と 五⾓形 GCDEH の⾯積の⽐を求めなさい。
②
図 2 で，G が CD の中点のとき，四⾓形 ABCG と四⾓形 AGDE の⾯積 の⽐を求めなさい。
解答【例題】① 3：1
② 1：3 【類題】① 4：5 ② 2：3
解説 https://youtu.be/K4inZp3xl1M
- 71 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
61 正六角形② 【例題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 で，三⾓形 ABG と四⾓形 GCDF の⾯積の⽐を求めなさい。
②
図 2 は，⼤きさの異なる正六⾓形を 3 枚重ねたものです。三⾓形 GHI と 正六⾓形 ABCDEF の⾯積の⽐を求めなさい。
【類題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 の三⾓形 BCG と四⾓形 GCDH の⾯積の⽐を求めなさい。
②
図 2 の四⾓形 GHIJ と正六⾓形 ABCDEF の⾯積の⽐を求めなさい。
解答【例題】① 1：10
② 1：54 【類題】① 4：11
解説 https://youtu.be/KS9r1l2tgBM
- 72 -
② 2：9
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
62 正六角形③ 【例題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 で，BG：GA＝1：2 のとき，四⾓形 GCDE と四⾓形 GEFA の⾯積 の⽐を求めなさい。
②
図 2 で，G が CD の中点，H が FE の中点であるとき，三⾓形 IJK と正 六⾓形 ABCDEF の⾯積の⽐を求めなさい。
【類題】下の図 1，図 2 の図形 ABCDEF は正六⾓形です。次の問いに答えな さい。 ①
図 1 で，BG：GC＝2：1，H が FE の中点のとき，三⾓形 AGH と四⾓ 形 GCEH の⾯積の⽐を求めなさい。
②
図 2 で，G が FE の中点のとき，三⾓形 CGH と正六⾓形 ABCDEF の ⾯積の⽐を求めなさい。
解答【例題】① 10：7
② 2：45 【類題】① 13：10
解説 https://youtu.be/5hEzXFq5FF8
- 73 -
② 1：9
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
63 正六角形④ 【例題】下の図のように，正六⾓形 ABCDEF の 6 本の辺上に 3 等分点をとり， 正六⾓形 GHIJKL を作りました。正六⾓形 GHIJKL の⾯積は，正六⾓形 ABCDEF の⾯積の何倍ですか。
【類題】下の図のように，正六⾓形 ABCDEF の 6 本の辺上に，3 等分点 GJ， 4 等分点 LI，5 等分点 HK をとり，六⾓形 GHIJKL を作りました。六⾓形 GHIJKL の⾯積は，正六⾓形 ABCDEF の⾯積の何倍ですか。
7 19 解答【例題】 9 倍 【類題】 24 倍 解説 https://youtu.be/eq3Gx1mcWDw
- 74 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
64 正六角形⑤ 【例題】下の正六⾓形 ABCDEF において，点 G は AB の三等分点，点 H は FE の 4 等分点です。四⾓形 AGHF と六⾓形 GBCDEH の⾯積の⽐を求めなさい。
【類題】下の図の正六⾓形で，AG：GB＝1：3，CH：HD＝1：3，I は FE の 中点です。このとき，三⾓形 GHI の⾯積は正六⾓形 ABCDEF の⾯積の何倍 ですか。
37 解答【例題】13：59 【類題】 96 倍 解説 https://youtu.be/X2TB7ulhnfc
- 75 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
65 相似のくり返し① 【例題】下の図について，次の問いに答えなさい． ①
図 1 の直⾓三⾓形の⾯積を求めなさい。
②
図 2 は，正⽅形 ABCD の内側に，4 つの頂点がそれぞれ正⽅形 ABCD の 辺の上にあるような正⽅形 EFGH をかいたものであり，ぬられた⾓の⼤き さはすべて 15 度です。三⾓形 AFE の⾯積が 5cm2 であるとき，正⽅形 EFGH の⾯積は何 cm2 ですか。
③
図 3 は，正⽅形 LMNO の内側に，4 つの頂点がそれぞれ正⽅形 LMNO の辺の上にあるような正⽅形 PQRS をかき，同じようにして次々と正⽅形 を書いたものです。正⽅形は LMNO を含めて全部で 4 つあり，ぬられた 部分の⾓の⼤きさはすべて 15 度です。正⽅形 TUVW の⾯積が 10.8cm2 の とき，正⽅形 LMNO の⾯積は何 cm2 ですか。
- 76 -
【類題】下の図のように，正⽅形の中に正⽅形が内接しています。E は AD の 3 等分点，J は EF の 3 等分点であるとき，AB と JK の⻑さの⽐を求めなさい。
解答【例題】① 0.5cm2 ② 40cm2 ③ 36.45cm2 【類題】 9：5 解説 https://youtu.be/TTk7YCxVVRc
- 77 -
第 5 章 平⾯図形
レベル★★★
66 相似のくり返し② 【例題】下図のように，正三⾓形の中に正三⾓形が内接しています。D は AB の 3 等分点，G は DE の 3 等分点であるとき，AB と GH の⻑さの⽐を求めなさ い。
【類題】下の図のように，3 つの⾓の⼤きさが 30°, 60°，90°の直⾓三⾓形 を，点 O のまわりにすきまなく並べてゆきます。OA の⻑さが 10cm のとき， 次の問いに答えなさい。 ①
OC の⻑さを求めなさい。
②
三⾓形 OAB を 1 番⽬として，9 番⽬の直⾓三⾓形の最も短い辺の⻑さを 求めなさい。
149 解答【例題】3：1 【類題】 ① 7.5cm ② 1 256 cm 解説 https://youtu.be/q-E51sK-YaA
- 78 -
第６章 空間図形
１
レベル★☆☆
⽴⽅体の展開図①
【例題】⽴⽅体の展開図は全部で何通りありますか。ただし，回転して重なる ものは 1 通りとします。 適当な辺を 90°回転させて（180°はダメ）， 基本形になるかどうかを考える。
- 79 -
【類題】次の①〜⑮の図のうち，⽴⽅体の展開図とはならないものをすべて 選びなさい。
解答【例題】11 通り 【類題】④，⑧，⑩，⑪，⑫ 解説 https://youtu.be/of2suVWiUwI
- 80 -
第６章 空間図形
２
レベル★☆☆
⽴⽅体の展開図②
【例題】下の展開図で⽴⽅体をつくります。 ①
C と重なる点はどれですか。
②
D と重なる点はどれですか。
③
辺 DE と重なる辺はどれですか。
④
辺 KJ と重なる辺はどれですか。
⑤
[⾯う]と平⾏になる⾯はどれですか。
【類題】⽴⽅体 ABCD-EFGH があるとき，その展開図あ〜こ は，それぞれ A〜H のどの頂点となりますか。
解答【例題】① 点 I ② 点 H
③ 辺 HG
④ 辺 AB
⑤ ⾯お
【類題】あ−A，い−E，う−H，え−E，お−A，か−G，き−F，く−E，け−F，こ−G 解説 https://youtu.be/EFuVtytIJaQ
- 81 -
第６章 空間図形
３
レベル★☆☆
⽴⽅体の展開図③
【例題】⽴⽅体 ABCD−EFGH があります。M，N はそれぞれ辺 CD，辺 GH の中点です。 ①
点 A，C，H を結んでできる辺 AC，辺 CH，辺 HA を解答欄 1 の展開図 に書き⼊れなさい。
②
この⽴⽅体を 3 点 A，M，N を含む平⾯で切ったとき，その切り⼝の線 を，解答欄 2 の展開図に書き⼊れなさい。
- 82 -
【類題】下の⽴⽅体において，辺 AB の中点 P，辺 AD の中点 Q をとります。 この⽴⽅体を 3 点 P，Q，G を通る平⾯で切ったとき，切り⼝の線を展開図 に書き込みなさい。
解答【例題】①
②
【類題】
解説 https://youtu.be/OhhZd_R4MIs
- 83 -
第６章 空間図形
４
レベル★★☆
⽴体の切断①
【例題】下の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。ただし，I〜Q の各点 は辺の中点とします。 ①
∠ADG の⼤きさは何度ですか。
②
∠ADN の⼤きさは何度ですか。
③
3 点 B，D，G を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
④
3 点 I，M，N を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
⑤
3 点 A，M，G を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
- 84 -
【類題】下の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。ただし，I〜 Q の各点 は辺の中点とします。 ① ∠DBE の⼤きさは何度ですか。 ②
∠IJP の⼤きさは何度ですか。
③
3 点 F，I，L を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
解答【例題】① 90 度 ② 90 度 ③ 正三⾓形 ④ ⻑⽅形 【類題】① 60 度
② 90 度
③ 等脚台形
解説 https://youtu.be/XhS1vN3WTsM
- 85 -
⑤ ひし形
第６章 空間図形
５
レベル★★☆
⽴体の切断②
【例題】下の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。ただし，I〜Q の各点 は辺の中点とします。 ①
3 点 A，P，Q を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
②
3 点 I，M，P を通る⾯で切断したとき，切り⼝の形は何になりますか。
③
3 点 B，D，G を通る⾯で切断したときの切り⼝の図形の⾯積は，3 点 J，K，N を通る⾯で切断したときの切り⼝の⾯積の何倍ですか。
④
3 点 I，J，N を通る⾯で切断したときの切り⼝の図形の⾯積は，3 点 J，K，N を通る⾯で切断したときの切り⼝の⾯積の何倍ですか。
- 86 -
【類題】下の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。ただし，I〜Q の各点 は辺の中点とします。 ①
∠MJK の⼤きさは何度ですか。
②
∠IQL の⼤きさは何度ですか。
③
3 点 B，D，Q を通る⾯で切断したときの切り⼝の図形の⾯積は，3 点 J，K，G を通る⾯で切断したときの切り⼝の⾯積の何倍ですか。
解答【例題】① 五⾓形 ② 正六⾓形 ③ 4 倍 ④ 6 倍 【類題】① 120 度 ② 30 度 ③ 3 倍 解説 https://youtu.be/Tt6f8cXBMRU
- 87 -
第６章 空間図形
６
レベル★★☆
⽴体の切断③
【例題】下の⽴⽅体において，BC の中点を M，CD の中点を N とします。 平⾯ MGN で切断し 2 つに分けられた⽴体のうち，頂点 C を含む三⾓すい の表⾯積が 36cm2 でした。 ①
残った⽴体の体積を求めなさい。
②
残った⽴体の表⾯積を求めなさい。
【類題】1 辺が 8cm の⽴⽅体から，下の図のような三⾓すい B−ACD を切り 取ります。ただし点 A，C は辺を 4 等分した点，D は辺の中点です。 ①
三⾓形 ACD の⾯積は何 cm2 ですか。
②
⽴⽅体のすべての頂点から同じ三⾓すいを切り取りました。残った⽴体 の表⾯積は何 cm2 ですか。
解答【例題】① 207cm3 ② 207cm2 【類題】① 6cm2 ② 352 cm2 解説 https://youtu.be/6YIT0gB53Bs
- 88 -
第６章 空間図形
７
レベル★★☆
⽴体の切断④
【例題】下の図のように，1 辺が 8cm の正⽅形の折り紙の頂点を各々ＡＢＣＤ とし，辺ＡＢ，辺ＢＣの中点をそれぞれＥＦとします。この折り紙をＤＥ， ＥＦ，ＦＤで折り曲げて三⾓すいを作ります。このとき，この三⾓すいの 底⾯である三⾓形ＤＥＦに対する⾼さは何 cm ですか。
【類題】下の 1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体を B，D，E の 3 つの点を通る平⾯ で切り，次に C，F，H の 3 つの点を通る平⾯で切ります。頂点 A を含む ⽴体をア，頂点 G を含む⽴体をイ，残りの⽴体をウとします。ウの⽴体の 表⾯積は 172cm2 でした。 ①
ウの⽴体の体積は何 cm3 ですか。
②
アの⽴体で，頂点 A から切り⼝の平⾯に垂直に下ろした直線の⻑さは 何 cm ですか。
2 3 cm 【類題】① 144cm3 ② 3 cm 3 8 解説 https://youtu.be/zmtg_4US4oE 解答【例題】2
- 89 -
第６章 空間図形
８
レベル★★★
⽴体の切断⑤
【例題】下の図は 1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体です。辺 FG，GH の中点をそれ ぞれ M，N とします。平⾯ BMND でこの⽴体を切るとき，2 つに切断され た⽴体のうち⼩さい⽅の体積は何 cm3 ですか。
【類題】下の図は 1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体です。BF 上に B から 2cm のと ころに P，CD 上に C から 3cm のところに Q をとります。3 点 A，P，Q を 通る平⾯で切って 2 つに分けたとき，頂点 E を含む⽴体の体積は何 cm3 で すか。
解答【例題】63cm3
【類題】 195cm3
解説 https://youtu.be/in1g7scdLAI
- 90 -
第６章 空間図形
９
レベル★★★
⽴体の切断⑥
【例題】下の図は 1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体です。辺 FG，GH の中点をそれ ぞれ M，N とします。3 点 A，M，N を通る⾯で 2 つの⽴体を切り分けまし た。 ①
C を含む⽴体と E を含む⽴体の表⾯積の差は何 cm2 ですか。
②
E を含む⽴体の体積は何 cm3 ですか。
- 91 -
【類題】下の図は 1 辺の⻑さが 12cm の⽴⽅体です。点 P は辺 CD 上にあっ て CP：PD=1：2 で，点 Q は辺 EF の中点です。この⽴⽅体を 3 点 A，P， Q を通る平⾯で切って 2 つの⽴体に分けるとき，次の問いに答えなさい。 (1) 切り⼝の断⾯を次の 2 通りで作図しなさい。 ①
辺 BC を C の⽅向に延⻑する⽅法
②
Q を通り AP に平⾏な直線を引く⽅法
(2)
2 つの⽴体のうち点 B を含む⽴体の体積を，(1)の①②の 2 通りで求め なさい。
(3)
できた 2 つの⽴体の表⾯積の差を求めなさい。
解答【例題】① 45cm2 ② 75 cm3
【類題】(1) 解説参照 (2) 724 cm3 (3) 94cm2
解説 https://youtu.be/YXaBBmZ5C-8
- 92 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
10 ⽴体の切断⑦ 【例題】下の⼀辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。 ただし，I〜L の各点は辺の中点とします。 ①
3 点 A，J，G を通る平⾯で⽴⽅体を切って 2 つの⽴体に分けるとき， ⼤きくない⽅の⽴体の体積を求めなさい。
②
⾯ ACF，⾯ ACH で⽴⽅体を切断するとき，⾯ EFGH を含む⽴体の体 積を求めなさい。
③
⾯ ACF，⾯ BDG で⽴⽅体を切断するとき，⾯ EFGH を含む⽴体の体 積を求めなさい。
④
⾯ ACF，⾯ ACH，⾯ BDE，⾯ BDG で⽴⽅体を切断するとき，⾯ EF GH を含む⽴体の体積を求めなさい。
- 93 -
【類題】下の⼀辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体について，次の問いに答えなさい。 ただし，I〜T の各点は辺の中点とします。 ①
3 点 A，B，N で通る平⾯で⽴⽅体を切って 2 つの⽴体に分けるとき，
⼤きくない⽅の⽴体の体積を求めなさい。 ②
3 点 I，R，S で通る平⾯で⽴⽅体を切って 2 つの⽴体に分けるとき，
⼤きくない⽅の⽴体の体積を求めなさい。 ③
⾯ AQT，⾯ BRQ，⾯ CRS，⾯ DST で⽴⽅体を切断するとき，⾯ AB
CD を含む⽴体の体積を求めなさい。 ④
⾯ AQT，⾯ BRQ，⾯ CRS，⾯ DST，⾯ EIL，⾯ FJI，⾯ GKJ，⾯ HLK
で⽴⽅体を切断するとき，⽴⽅体の中⼼を含む⽴体の体積を求めなさい。
解答【例題】① 108cm3 ② 144cm3 ③ 153 cm3 【類題】① 54cm3 ② 108 cm3
④ 108cm3
③ 180cm3 ④ 153cm3
解説 https://youtu.be/U1PqEQBc7f8
- 94 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
11 ⽴体の切断⑧ 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のような，底⾯の対⾓線が 8cm で⾼さも 8cm の正四⾓すい OABCD があります。この⽴体を 4cm の⾼さのところで底⾯に平⾏な平⾯ で切ったとき，C をふくむほうの体積を求めなさい。
②
①で体積を求めた⽴体をさらに図 2 のように AIGJ をふくむ⾯で切った とき，C をふくむほうの体積を求めなさい。ただし，HJ＝FI とします。
- 95 -
【類題】下の図は，底⾯の 1 辺が 6cm，⾼さが 5cm の正四⾓すいです。 辺 OA，OB，OC，OD，AD，BC の中点をそれぞれ E，F，G，H，I，J と します。次の問いに答えなさい。 ①
4 点 E，F，G，H を通る平⾯で正四⾓すいを 2 つに切るとき，頂点 A
を含む⽴体の体積を求めなさい。 ②
4 点 E，F，J，I を通る平⾯で正四⾓すいを 2 つに切るとき，項点 A を
含む⽴体の体積を求めなさい。
8 2 解答【例題】① 74 3 cm3 ② 56 9 cm3 解説 https://youtu.be/6PysCDIhQAk
【類題】① 52.5cm3 ② 18.75cm3
- 96 -
第６章 空間図形
レベル★★★
12 正四⾯体と正⼋⾯体① 【例題】下の図は，⽴⽅体の 6 つの⾯の対⾓線を辺とする⽴体(正四⾯体) で 9 す。この正四⾯体の体積が cm3 であるとき，⽴⽅体の⼀辺は何 cm ですか。 8
【類題】下の図は，⽴⽅体の 6 つの⾯の中⼼を結んだ⽴体(正⼋⾯体) です。 この正⼋⾯体の体積が 36cm3 であるとき，⽴⽅体の⼀辺は何 cm ですか。
3 cm 【類題】 6cm 2 解説 https://youtu.be/-0BywOcxwhM 解答【例題】
- 97 -
第６章 空間図形
レベル★★★
13 正四⾯体と正⼋⾯体② 【例題】下の図 1 は 8 つの正三⾓形で囲まれた⽴体です。この⽴体の内部を 通って点 A と点 F を結ぶと，その⻑さは 12cm になります。図 2 は，図 1 の⽴体の展開図です。 ①
図 1 の四⾓形 BCDE の⾯積は何 cm2 ですか。
②
図 1 の⽴体の体積は何 cm3 ですか。
③
図 1 の⽴体を 3 つの点 A，C，F を通る平⾯で切ったとき，図 2 の⾯ク と同じ側になる⾯をア〜キの中からすべて選び，記号で答えなさい。
- 98 -
【類題】すべての辺の⻑さが等しい三⾓すい ABCD の各辺のまん中の点を， 下の図のように P，Q，R，S，T，U とします。また，PS の⻑さは 6cm です。 ①
この三⾓すいを，3 点 P，Q，R を通る平⾯で切ったとき，⼤きい⽅の
⽴体の体積はもとの三⾓すいの体積の何分のいくつですか。 ②
①の⽴体をさらに，3 点 P，U，T を通る平⾯，Q，U，S を通る平⾯，
R，T，S を通る平⾯で切ったとき，⼀番⼤きい⽴体の体積を求めなさい。
7 解答【例題】① 72cm2 ② 288cm3 ③ イ，カ，キ 【類題】① 8 解説 https://youtu.be/MslaW6_cWZE
- 99 -
② 36cm3
第６章 空間図形
レベル★★★★
14 正四⾯体と正⼋⾯体③ 【例題】下の図は，1 辺の⻑さが 9cm の⽴⽅体です。 ①
三⾓すい ABCD の体積を求めなさい。
②
図のように，⽴⽅体の辺の上に点 A から 6cm はなれた点 P，Q，R を とり，点 B から 6cm はなれた点 S をとりました。次の(ア)(イ)のような 平⾯で，それぞれ三⾓すい ABCD を切ったときにできる 2 つの⽴体のう ち，点 A を含む⽴体の体積をそれぞれ求めなさい。 (ア)
3 点 P，Q，R を通る平⾯
(イ)
3 点 P，S，R を通る平⾯
- 100 -
【類題】すべての⾯が正三⾓形で，1 辺の⻑さが 6cm の三⾓すい ABCD があ ります。下の図のように，辺 AB，辺 BC，辺 CD の上にそれぞれ点 P，点 Q，点 R があり，AP＝3cm，BQ＝4cm，CR＝1cm とします。 ①
辺 AＣの上に点 S があります。PS の⻑さと SR の⻑さの和が最も⼩さ
くなるとき，AS：SC を最も簡単な整数の⽐で答えなさい。 ②
2 点 P，Q を通る直線と，2 点 A，C を通る直線が交わる点を T としま
す。このとき，AC：CT を最も簡単な整数の⽐で答えなさい。 ③
3 点 P，Q，R を通る平⾯と，2 点 A，D を通る直線が交わる点を U と
します。このとき，AU：UD を最も簡単な整数の⽐で答えなさい。
解答【例題】① 243cm3 解説
② (ア) 9cm3
(イ) 171cm3 【類題】① 3：5 ② 1：1
https://youtu.be/Jg3_ZNOjFsc - 101 -
③ 2：5
第６章 空間図形
レベル★★☆
15 積み⽊① 【例題】下の図のように，⼩さな⽩い⽴⽅体を積み重ねて⼤きな⽴⽅体を作り， ⼤きな⽴⽅体のすべての⾯に向かい合う⾯がちがう⾊になるように⾚と⻘の ⾊をぬりました。 ①
⼤きな⽴⽅体の⼀番上の段に積まれた 16 個の⼩さな⽴⽅体について， ⽩い⾯が 4 つ以上あるものは何個ありますか。また，それらの⽩い⾯の数 を合計すると何個ですか。
②
⼤きな⽴⽅体に使われたすべての⼩さな⽴⽅体について答えなさい。 (ア)
⾚い⾯と⻘い⾯が 1 つずつあるものは何個ありますか。
(イ)
6 つの⾯すべてが⽩いもの，5 つの⾯が⽩いもの，4 つの⾯が⽩い ものの個数の⽐を最も簡単な整数で表しなさい。
【ワークシート】
①
②
- 102 -
【類題】1 辺の⻑さが 1cm の⽴⽅体を下の図のように床の上に積み上げました。 ①
⽴⽅体は何個ありますか。
②
表⾯積を求めなさい。
③
床に画している部分を除き，表⾯全体にペンキをぬりました。 (ア) 何も塗られていない⽴⽅体は何個ですか。 (イ) 3 つの⾯に塗られている⽴⽅体は何個ですか。
解答【例題】① 12 個，52 個 【類題】① 30 個
② (ア) 12 個 (イ) 1：3：3
② 72cm2 ③ (ア) 5 個 (イ) 9 個
解説 https://youtu.be/C0ITDYZ4hEg
- 103 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
16 積み⽊② 【例題】下の図は⼩さな⽴⽅体を積み上げた⽴⽅体です。図中の 3 点(●)を通 る平⾯で切断したときに，切断される⼩さな⽴⽅体の個数をそれぞれ求めな さい。
【類題】下の図のように，⼩さい同じ⼤きさの⽴⽅体 216 個を積み重ねて，⼤ きな⽴⽅体を作ります。3 つの頂点 A，B，C を通る平⾯でこの⼤きい⽴⽅体 を切ったとき，切られていない⼩さい⽴⽅体の個数は何個ですか。
解答【例題】① 9 個 解説
② 24 個
③ 15 個
【類題】162 個
https://youtu.be/uwbhckz1Gx4 - 104 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
17 積み⽊③ 【例題】下の図のように，同じ⼤きさの⼩さな⽴⽅体 64 個を積み重ねて，1 つ の⼤きな⽴⽅体を作ります。真上，正⾯，横から 4 本ずつぬられた部分に針 を刺してゆきます。針は⾯に垂直に⼤きな⽴⽅体の向かいの⾯に達するまで 刺すものとします。このとき，⼩さな⽴⽅体のうち針の通っていないものは 何個ありますか。
【類題】下の図のように 1 辺の⻑さが 1cm の⽩い⽴⽅体と⿊い⽴⽅体が，合 わせて 64 個あります。⿊い⽴⽅体は反対側まで突き抜けています。 ①
⿊い⽴⽅体はいくつありますか。
②
3 点 A，B，C を通る平⾯で切ったとき，切断される⿊い⽴⽅体はいく つありますか。
解答【例題】26 個 【類題】① 26 個 ② 5 個 解説 https://youtu.be/Y7IZoariTd8
- 105 -
第６章 空間図形
レベル★★★
18 積み⽊④ 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
図 1 のように，1 辺が 3cm の⽴⽅体があります。それぞれの⾯には図の ように 1cm ごとに直線が引いてあります。ぬられた部分を⽮印の⽅向にそ れぞれ反対側までくり抜いてできる⽴体の体積と表⾯積を求めなさい。
②
図 2 のように，1 辺が 5cm の⽴⽅体があります。それぞれの⾯には図の ように 1cm ごとに直線が引いてあります。ぬられた部分を⽮印の⽅向にそ れぞれ反対側までくり抜いてできる⽴体の体積と表⾯積を求めなさい。
図1
図2
【ワークシート】
- 106 -
【類題】1 辺 1cm の⽴⽅体を重ねて下の図のような 1 辺 5cm の⽴⽅体を作り ました。次に図のぬられた部分を反対の⾯までまっすぐくり抜きます。 ただし，くり抜いても⽴体はくずれないものとします。 ①
くり抜いた後の⽴体の体積を求めなさい。
②
くり抜いた後の⽴体の表⾯積を求めなさい。
【ワークシート】
解答【例題】① 体積 20cm3，表⾯積 72cm2 解答【類題】① 98cm3
② 体積 81cm3，表⾯積 270cm2
② 232 cm2
解説 https://youtu.be/c9sTR1vYEJE
- 107 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
19 積み⽊⑤ 【例題】下の図は⼀辺が 3cm の⽴⽅体の各⾯のまん中の正⽅形の部分をまっ すぐ奥までくり抜いたものです。ぬられた部分は図形が在しないことを表し ています。 ①
この⽴体を B，D，G を通る平⾯で切ったときにできる切り⼝の⾯積は， 三⾓形 BDG の⾯積の何倍ですか。
②
この⽴体を P，Q，R を通る平⾯で切ったときにできる切り⼝の⾯積は， 三⾓形 BDG の⾯積の何倍ですか。
【ワークシート】
- 108 -
【類題】下の図は⼀辺が 3cm の⽴⽅体の各⾯のまん中の正⽅形の部分をまっ すぐ奥までくり抜いたものです。ぬられた部分は図形が在しないことを表し ています。 ①
図 1 の体積と表⾯積を求めなさい。
②
図 2 のように点 B，G，D を通る⾯でこの⽴体を切ったとき点 A を含む
⽅の体積を求めなさい。 ③
図 3 のように点 P，Q，R，S，T，U を通る⾯でこの⽴体を切ったとき，
点 A を含む⽅(図 4)の⽴体の体積を求めなさい。
2 倍 ② 1倍 【類題】① 20cm3，72 cm2 ② 16 cm3 ③ 12.5 cm3 3 解説 https://youtu.be/USShX-SO40M 解答【例題】①
- 109 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
20 積み⽊⑥ 【例題】下の図のように，1 辺 3cm の⽴⽅体を下段に 3 個，上段に 2 個すき まなくはり合わせます。また，4 点 A，B，C，D を図のようにとります。 ①
４点 A，B，C，D を結んでできる三⾓すいの体積を求めなさい。
②
三⾓形 BCD の⾯積を求めなさい。
③
3 点 B，C，Ｄを通る平⾯でこの⽴体を切断するとき，切り⼝の図形の ⾯積を求めなさい。
- 110 -
【類題】下の図は，1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体 5 個をはり合わせてできた⽴ 体です。この⽴体を，3 点 A，B，C を通る平⾯で切断して，2 つの⽴体に 分割しました。 ①
切り⼝が辺 DE と交わる点を P とするとき，DP の⻑さは何 cm ですか。
②
切り⼝が辺 FG，辺 GH と交わる点をそれぞれ Q，R とするとき，4 個
の点 C，Q，R，G を結んでできる三⾓すい CQRG の表⾯積は何 cm2 で すか。 ③
2 つに切り分けられた⽴体のうち頂点 I を含む⽴体の体積は何 cm3 で
すか。
解答【例題】① 9cm3 ② 13.5cm2 ③ 37.125cm2 【類題】① 3cm ② 36cm2 ③ 531cm3 解説 https://youtu.be/ZunqFFsWQvs
- 111 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
21 積み⽊⑦ 【例題】1 辺の⻑さが 6cm の⽴⽅体があります。この⽴⽅体に下の図のよう な⼆等辺三⾓形の⽳を正⾯から反対側の⾯までまっすぐにあけます。さらに 図のような半径 1cm の円の⽳を上の⾯から下の⾯までまっすぐ にあけます。できた⽴体の体積を求めなさい。
- 112 -
【類題】下の図 1 のように 1 辺 10cm の⽴⽅体を 3 ⽅向からⅠ〜Ⅲの順にく り抜きます。 (Ⅰ)
A(⼿前)の⾯から⾒て，図 2 のように 1 辺 4cm の正⽅形の形でくり抜 く。
(Ⅱ)
B(上)の⾯から⾒て，図 3 のように直径 4cm の円の形でくり抜く。
(Ⅲ)
C(右)の⾯から⾒て，図 4 のように 3cm，4cm，5cm の直⾓三⾓形の 形でくり抜く。
次の①〜③の値を求めなさい。 ① (Ⅰ)まででくり抜かれて残った⽴体の表⾯積 ② (Ⅱ)まででくり抜かれて残った⽴体の体積 ③ (Ⅲ)まででくり抜かれて残った⽴体の表⾯積
解答【例題】155.44 cm3 【類題】① 728cm2 ② 764.64cm3 ③ 801.12cm2 解説 https://youtu.be/TMjRycsjmn0
- 113 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
22 光と影① 【例題】電球までの⾼さが 6m の街灯から 6m 離れたところに，下の図のよう な縦 4m，横 5m の⻑⽅形の板が地⾯に垂直に⽴てられています。BC と CE が垂直に交わっており，板の厚さは考えないものとします。 ①
影の部分の⾯積は何 m2 ですか。
②
影の空間部分の体積は何 m3 ですか。
- 114 -
【類題】電球までの⾼さが 6m の街灯から 6m 離れたところに，下の図のよう な縦 4m，横 5m の⻑⽅形の板が地⾯に垂直に⽴てられています。BC と EF が垂直に交わっており，E は BC の中点とし，板の厚さは考えないものとし ます。 ①
影の部分の⾯積は何 m2 ですか。
②
影の空間部分の体積は何 m3 ですか。
解答【例題】① 120 m2 ② 200 m3
【類題】① 120 m2
解説 https://youtu.be/dI0tE_EuUec
- 115 -
② 200 m3
第６章 空間図形
レベル★★★★
23 光と影② 【例題】下の図のように，⽔平な地⾯に直⽅体のコンクリートブロックと，地 点 A から垂直に⽴つ街灯があります。 ①
街頭に灯りがついたとき地⾯にできる影の部分(コンクリートブロック の置いてある地⾯はのぞく) の⾯積は何 m2 ですか。
②
影の空間部分の体積は何 m3 ですか。
【類題】下の図 1 のように平らな机の上に直⽅体の箱を置きます。辺 AB の 真ん中の点から 4cm のところに垂直に 8cm のスタンドを⽴て，⾖電球をつ けました。すると図 2 のような影ができました。箱の体積は何 cm3 ですか。
解答【例題】① 40.5 m2 ② 56.7 m3
【類題】192 cm3
解説 https://youtu.be/yDAEULTYBYM
- 116 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
24 円すい① ― 基本公式(1) 【例題】下の円すいについて，円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
体積を求めなさい。
②
表⾯積を求めなさい。
③
展開図をかいたとき，側⾯のおうぎ形の中⼼⾓は何度ですか。
【ワークシート】
【類題】下の図は円すいの頂点を通り，円すいの体積を 2 等分した⽴体です。 この⽴体の表⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 37.68cm3 ② 75.36cm2 ③ 216 度 【類題】49.68cm2 解説 https://youtu.be/H7grhKKy55E
- 117 -
第６章 空間図形
レベル★★★
25 円すい② ― 基本公式(2) 【例題】下の図のように，底⾯の半径が 2cm，⺟線の⻑さが 7cm の円すいを， 頂点を中⼼にしてすべらないように元の位置まで転がします。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。 ①
円すいは何回転しましたか。
②
円すいが A の位置までふくめて元にもどるのは，何回転したときですか。
【類題】円すいを頂点を中⼼にしてすべらないようにして元の位置まで転がし ます。 ①
円すいの底⾯の半径が 4cm，4 回転して元のところへ戻ったとき，この
円すいの側⾯積は何 cm2 ですか。 ②
8 回転して元の位置に戻り，円すいが通った部分の⾯積が 379.94 cm2 の
とき，円すいが通った部分の⾯積は円すいの底⾯積の何倍ですか。
解答【例題】① 3.5 回転 ② 7 回転 【類題】① 200.96 cm2 ② 64 倍 解説 https://youtu.be/gatMBJszqEw
- 118 -
第６章 空間図形
レベル★★★
26 円すい③ ― 最短距離 【例題】次の問いに答えなさい。 ①
下の図 1 のように，直⽅体上の点 A から G まで，⻑さが最も短くなる ように⽷をまきました。このとき，BP の⻑さを求めなさい。
②
下の図 2 の円すいで，底⾯の円周上の点 A から，⻑さが最も短くなる ように，⽷を側⾯上で 1 周させました。この⽷によって側⾯積が 2 つに 分けられます。この 2 つの⾯積のうち，⼩さい⽅の⾯積を求めなさい。
- 119 -
【類題】次の問いに答えなさい。 ①
図 1 の三⾓すい ABCD は，同じ⼤きさの正三⾓形 4 つをはり合わせて できた⽴体です。この⽴体の辺 BC の中点 M から，辺 AC の上の点 P， 辺 AD の上の点 Q を通って点 B までひもをかけ，ひもの⻑さが最も短く なるようにするとき，MP：PQ：QB の⽐をもっとも簡単な整数の⽐で 表しなさい。
②
図 2 は，底⾯の半径が 10cm，⺟線の⻑さが 24cm の円すいです。直線
OA の中点 P からひもを点 A に向かって最も短くなるように巻きつけま した。この円すいの展開図の側⾯で，直線 PA と 2 つの半径で囲まれる 三⾓形の⾯積を求めなさい。
1 cm ② 114cm2 【類題】① 2：1：3 ② 72cm2 3 解説 https://youtu.be/ZlDevaOL5-0 解答【例題】① 5
- 120 -
第６章 空間図形
レベル★★★★
27 円すい④ 【例題】下の図 1 のような展開図をもつ⽴体について，次の各問に答えなさ い。ただし，円周率は 3.14 とします。また，必要ならば，図 2，図 3 の 直⾓三⾓形を利⽤しなさい。 ①
図 1 の A から B までの太線の⻑さを求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
③
この展開図により，2 つの異なる⽴体を作ることができます。⼤きい ⽴体と⼩さい⽴体の体積の差を求めなさい。
- 121 -
【類題】下の図 1 のように，底⾯の直径が 4cm，OA の⻑さが 24cm の円すい があります。図 2，図 3，図 4 のようにそれぞれ 1 本のひもで，ひもの⻑さ がもっとも短くなるように点 A から点 A までまきつけます。このとき，次 の各問いに答えなさい。また，必要ならば右の図 5 の三⾓形を利⽤しなさい。 ①
図 2 ではひもを 2 回まきつけてあります。そのひもの⻑さを 1 辺とする
正⽅形の⾯積を求めなさい。 ②
図 3 ではひもを 3 回まきつけてあります。そのひもの⻑さを 1 辺とする
正⽅形の⾯積を求めなさい。 ③
図４ではひもを４回まきつけてあります。円すいの側⾯のうち，１番上
にあるひもより上のぬられた部分の⾯積を求めなさい。ただし，答は⼩数 第 2 位を四捨五⼊して⼩数第 1 位まで求めなさい。
解答【例題】① 56.52 cm ② 1978.2 cm2 ③ 2034.72 cm3 【類題】① 576 cm2 ② 1152 cm2 ③ 39.1 cm2 解説 https://youtu.be/9tWdCwIWsPY
- 122 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
28 回転体① 【例題】下の図のような⻑⽅形を直線ℓを軸に 1 回転させたときにできる⽴体 について次の問いに答えなさい。ただし円周率は 3.14 とします。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のような⻑⽅形（ぬられた部分）を直線ℓを軸に 1 回転させた ときにできる⽴体について次の問いに答えなさい。ただし円周率は 3.14 とし ます。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 141.3cm3 ② 150.72cm2 【類題】① 329.7cm3 ② 351.68cm2 解説 https://youtu.be/GzhIVhaVBdM
- 123 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
29 回転体② 【例題】下の図のような直⾓三⾓形を直線ℓを軸に 1 回転させたときにできる ⽴体について次の問いに答えなさい。ただし円周率は 3.14 とします。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のような直⾓三⾓形を直線 ℓ を軸に 1 回転させたときにできる ⽴体について次の問いに答えなさい。ただし円周率は 3.14 とします。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 37.68cm3 ② 75.36cm2 【類題】① 3768cm3 ② 1318.8cm2 解説 https://youtu.be/HRR9xvGxwv4
- 124 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
30 回転体③ 【例題】下の三⾓形 ABC を直線ℓを軸として⼀回転させてできる⽴体につい て次の問いに答えなさい。 ①
体積を求めなさい。
②
表⾯積を求めなさい。
【類題】下の図のように，直⾓に交わる 2 本の直線ℓ，m と四⾓形 ABCD が あります。この四⾓形 ABCD を直線ℓのまわりに 1 回転させてできる⽴体の 体積と，直線 m のまわりに 1 回転させてできる⽴体の体積の⽐を最も簡単な 整数の⽐で答えなさい。
解答【例題】① 602.88cm3 ② 602.88cm2 【類題】 3：5 解説 https://youtu.be/8U_FJjcoMng
- 125 -
第６章 空間図形
レベル★★★
31 回転体④ 【例題】⼀辺が 2cm の正⽅形を下の図のように 5 つ並べた図形を，直線ℓを 軸として 1 回転させてできる⽴体を考えます。次の問いに答えなさい。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
【類題】⼀辺が 2cm の正⽅形を下の図のように 7 つ並べた図形を，直線ℓを 軸として 1 回転させてできる⽴体を考えます。次の問いに答えなさい。 ①
この⽴体の体積を求めなさい。
②
この⽴体の表⾯積を求めなさい。
解答【例題】① 326.56cm3 ② 401.92cm2 【類題】① 477.28cm3 ② 552.64cm2 解説 https://youtu.be/EA8wQXqS3nQ
- 126 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
32 ⽔量① 【例題】下の図のような三⾓柱の形をした⽴体(それぞれの⾯は直⾓三⾓形か ⻑⽅形)の中に⽔が⼊っています。⾯ BCFE を下にして⽔平な机の上に置い 1 たら，上から 3 まで⽔が⼊っていました。このとき，次の問いに答えなさ い。 ①
⽔は何ℓ⼊っていますか。
②
⾯ ABC を下にすると，⽔⾯の⾼さは何 cm になりますか。
③
⾯ ACFD を下にすると，⽔⾯の⾼さは何 cm になりますか。
- 127 -
【類題】下の図のような三⾓柱の形をした⽴体(それぞれの⾯は直⾓三⾓形か ⻑⽅形)の中に⽔が⼊っています。⾯ BCFE を下にして⽔平な机の上に置い 2 たら，上から 3 まで⽔が⼊っていました。 ① ⽔は何ℓ⼊っていますか。 ②
⾯ ABC を下にすると，⽔⾯の⾼さは何 cm になりますか。
③
⾯ ABED を下にすると，⽔⾯の⾼さは何 cm になりますか。
④
辺 BE を机につけたままこの⽴体を回転し⽔⾯が辺 CF と重なるように
します。⽔⾯と辺 AB の交点を T とするとき，BT の⻑さは何 cm になり ますか。
7 1 1 2 cm ③ 4.8cm【類題】① 0.8ℓ ② 8 cm ③ 5 cm ④ 6 cm 9 3 3 3 https://youtu.be/y32mzMv4tnU
解答【例題】① 0.96ℓ ② 17 解説
- 128 -
第６章 空間図形
レベル★★☆
33 ⽔量② 【例題】下の図 1 のような⼀辺の⻑さが 10cm の⽴法体の容器があります。 ①
この容器にいっぱいの⽔を⼊れ，図 2 のように辺 CG を床につけたま まかたむけたところ，20％の⽔がこぼれました。AI の⻑さを求めなさい。
②
この容器にある量の⽔を⼊れ，図 3 のように傾けたところ，LG＝5cm， KC＝3cm になりました。⼊れた⽔の体積を求めなさい。
③
②のとき，JF の⻑さは何 cm ですか。
- 129 -
【類題】下の図 1 のような直⽅体の容器に，深さ 7cm まで⽔が⼊っています。 ①
図 2 のように，辺 CG を床につけたまま⽔がこぼれないようにかたむけ
ると，BI の⻑さは何 cm になりますか。 ②
図 3 のように，点 G を床につけたまま⽔がこぼれないようにかたむけ
たところ，JB＝4cm，KC＝6cm になりました。このとき，EL は何 cm で すか。
解答【例題】① 4cm
② 250cm3 ③ 2cm 【類題】① 4cm ② 2cm
解答 https://youtu.be/eVuCLSvFodU
- 130 -
第６章 空間図形
レベル★★★
34 ⽔量③ 【例題】下の図 1 のように，内のりが縦 12cm，横 15cm，⾼さ 15cm の直⽅体 の容器と，図 2 のように，縦 6cm，横 13cm，⾼さ 5cm の直⽅体のおもりが あり，容器には深さ 7cm まで⽔が⼊っています。 ①
おもりを図 2 のようにアの⾯を下にして，容器の底まで全部沈めたとき， 容器の⽔⾯の⾼さは何 cm になりますか。
②
①の後，容器の中に沈んでいるおもりを図 3 のようにおこしたとき，容 器の⽔の⾼さは何 cm になりますか。
③
②の後さらに，同じおもりをもう 2 つ，②と同じ向きに容器の底まで沈 めたとき，容器 A の⽔の⾼さは何 cm になりますか。
- 131 -
【類題】下の図 1 のように，内のりが分かっていない直⽅体の容器と，縦 6cm， 横 13cm，⾼さ 5cm の直⽅体のおもりがあり，容器には⽔が⼊っています。 図 3 のように，おもりをウの⾯を下にして容器の底まで沈めたところ，容器 の⽔の深さが 10cm になりました。また，図 4 のように，おもりをアの⾯を 下にして，アの⾯と容器の底⾯を平⾏に保ったままアの⾯から 3cm のとこ ろまで沈めたところ，容器の⽔の深さが 9.4cm になりました。 ①
容器の底⾯積は何 cm2 ですか。
②
容器に⼊っている⽔の体積は何 cm3 ですか。
③
図 3 の状態から，おもりと容器の底⾯を平⾏に保ったまま，おもりを
5cm 引き上げると，容器の⽔の深さは何 cm になるかについて，太郎は 次のように考えました。 ア）おもりを 5cm 引き上げると，おもりの体積のうち，6×5×(10−5) ＝150cm3 が⽔の中に沈む。 イ）すると，⽔の体積と⽔中に沈んでいるおもりの体積の和は「150＋800 (⽔の体積)」で求まる。 ウ）したがって，容器 B の⽔⾯の⾼さは「(150 ＋ 800)÷110(⽔そうの底 ⾯積)」で求まる。 この太郎の考え⽅は間違っています。ア〜ウのうち，どこから間違っていま すか。また，正しい答えは何 cm ですか。
1
解答【例題】① 9 6 cm ② 8.4cm ③ 13.5cm【類題】① 110cm2 ② 800cm3 ③ ア，8.125cm 解説 https://youtu.be/_mwmFjnTCO8
- 132 -
第６章 空間図形
レベル★★★
35 ⽔量④ 【例題】下の図のように，たて 20cm，よこ 30cm，⾼さ 80cm の直⽅体の⽔ そうに 40cm の深さまで⽔が⼊っています(図 1)。この中に，⾼さ 40cm の 直⽅体のおもりを⽔そうの底まで沈めたら，⽔の深さは 60cm になりました (図 2)。 ①
おもりの底⾯の⾯積は何 cm2 ですか。
②
図 3 のように，おもりを⽔⾯から 20cm だけ沈めたとき，⽔の深さは 何 cm ですか。
③
⽔の深さが 55cm になったとき，おもりは⽔⾯から何 cm 沈んでいます か。
- 133 -
【類題】下の図 1 のような⽔の⼊った直⽅体の⽔そうがあります。この⽔そう に，図 2 のようなたて 6cm，よこ 10cm，⾼さ 20cm の鉄の直⽅体のおもり を沈めたとき，次のことが分かりました。 ①
⾯積が 60cm2 の⾯を底⾯として沈めたところ，⽔の⾼さは 12.5cm にな
りました。また，⾯積が 120cm2 の⾯を底⾯として沈めたところ，⽔の⾼ さは 14cm になりました。このとき⽔そうの底⾯積は何 cm2 ですか。 ②
⾯積が 60 cm2 の⾯を底⾯として沈めたところ，⽔の⾼さはおもりの⾼さ 1
の 4 になりました。また，⾯積が 120 cm2 の⾯を底⾯として沈めたとこ ろ，⽔の⾼さとおもりの⾼さが同じになりました。このとき⽔そうの底⾯ 積は何 cm2 ですか。
解答【例題】① 300cm2 ② 50cm ③ 30cm 【類題】 ① 300cm2 ② 180cm2 解説 https://youtu.be/droblEKlQiE
- 134 -
第６章 空間図形
レベル★★★
36 ⽔量⑤ 【例題】下の図 1 のように，⾼さ 15cm の細い四⾓柱と，⾼さ 10cm の太い 四⾓柱を組み合わせた形の容器があります。図 2 のように，この容器に⾼さ 13cm まで⽔を⼊れてふたをしてさかさまにしたら，⽔⾯は 9cm 上がりまし た。その後，図 3 のように⽔を減らして同様のことを⾏い，⽔⾯の上昇を調 べました。容器の厚さは考えないものとして，次の問いに答えなさい。 ①
太い四⾓柱の底⾯積は，細い四⾓柱の底⾯積の何倍ですか。
②
図 3 のとき，⽔⾯は何 cm 上昇しましたか。
- 135 -
【類題】下の図 1 のように直⽅体を 2 つ重ねた⽴体があります。この⽴体を 図 2 のような底⾯積が 800cm2 の直⽅体の形をした容器の中に沈めたところ， ⽔の深さは 50cm になりました。 ①
毎秒 1cm でこの⽴体を引き上げるとき，平⾯ A が⽔⾯に現れるのは引
き上げ始めてから何秒後ですか。 ②
①のように引き上げるとき，⽴体が⽔から完全に出るのは，引き上げ
始めてから何秒後ですか。
解答【例題】① 4 倍
② 11.25cm 【類題】 ① 28 秒 ② 33 秒
解説 https://youtu.be/GyINq7IDp-4
- 136 -
第６章 空間図形
レベル★★★
37 ⽔量⑥ 【例題】下の図 1 のような⽔そうに⼀定の割合で⽔を⼊れます。図 2 のグラフ は，⽔を⼊れ始めてからの時間と⽔の深さの関係です。 ①
⽔は毎分何 cm3 ずつ⼊りますか。
②
図 1 のアの⻑さは何 cm ですか。
③
⽔そうの容積は何ℓですか。
- 137 -
【類題】下の図 1 のような⽔そうに，毎分 6ℓの割合で⽔を⼊れます。⼊れ始 めてからしばらくして様⼦を⾒ると，⽔のたまり⽅が悪かったので，⽔そう の底にあるせんを調べたら，そこから⽔がもれていることが分かりました。 あわててせんをしめ直したのが，⼊れ始めてから，ちょうど 5 分後でした。 図 2 のグラフは，⽔を⼊れ始めてからの時間と底からの⽔⾯の⾼さの関係を 表したものです。 ①
⽔を⼊れ始めてから 5 分の間，⽔は毎分何ℓずつもれていましたか。
②
図 2 のグラフにあるアとイにあてはまる数を求めなさい。
③
始めから⽔がまったくもれていなかったら，この⽔そうは何分間でいっ
ぱいになっていましたか。
解答【例題】① 3000cm3 ② 50cm ③ 126ℓ【類題】 ① 2.4ℓ (2) ア 8 イ 26 ③ 24 分 解説 https://youtu.be/goL_aMGTKiU
- 138 -
第６章 空間図形
レベル★★★
38 ⽔量⑦ 【例題】下の図 1 のような⾼さ 40cm の直⽅体の空の⽔そうに，側⾯に平⾏な ⻑⽅形の仕切りを 2 枚⽴てて，⼀番左側に⼀定の割合で⽔を⼊れました。⽔ を⼊れ始めてからの時間と，⼀番左側の⽔⾯の⾼さとの関係をグラフにする と図 2 のようになりました。ただし，AD＝90cm とし，また仕切りの厚さは 考えないこととします。 ①
AB の⻑さは何 cm ですか。
②
⽔⾯の⾼さが 36cm になるのは，⽔を⼊れ始めてから何分何秒後ですか。
- 139 -
【類題】下の図 1 のような⽔そうに，1 分間に 24ℓの割合で⽔を⼊れます。 ⽔を⼊れながら途中で，図 2 の⽴体を傾けずにゆっくり⼀定の速さで⽔そう に⼊れて，その底⾯が⽔そうの底に着くまでおろしました。そして，⽔そう が満⽔になるまで⽔を⼊れ続けました。この⽔そうの⽔の深さのようすをグ ラフに表すと，図 3 のようになりました。 ①
図 1 の⽔そうの底⾯積は何 cm2 ですか。
②
図 3 の A は何分を表していますか。
③
図 2 の⽴体の体積は何 cm3 ですか。
解答【例題】① 40cm ② 32 分 24 秒 【類題】 ① 12000cm2 ② 50 分 ③ 360000cm3 解説 https://youtu.be/KFnfoXO_inE
- 140 -
- 141 -