Matemรกtica Aplicada
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Matemรกtica Aplicada Autor: Luiz Carlos Martins das Neves Colaboradores: Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome Nome
Professora conteudista: Luiz Carlos Martins das Neves Luiz Carlos Martins das Neves é, desde 2003, professor titular do curso de Farmácia da Universidade Paulista. É líder das disciplinas: Matemática Aplicada, Bioestatística, Química Geral, Física Aplicada, Físico-Química e Métodos Instrumentais de Análise, sendo responsável pela elaboração do conteúdo on-line, assim como do plano de ensino e roteiros de práticas ligadas a essas matérias. Graduado no curso de Engenharia Química pelo Centro Universitário da Fundação de Ensino Inaciano (FEI) em 2000, possui mestrado (2003) e doutorado (2006) pela Faculdade de Ciências Farmacêuticas da Universidade de São Paulo, na área de Tecnologia Bioquímico-Farmacêutica, e pós-doutorado em Biotecnologia pela Escola de Engenharia de Lorena, USP. Acumula como experiência a pesquisa científica na área de Processos Biotecnológicos, Fermentativos e Enzimáticos. Atua como pesquisador colaborador nos grupos de pesquisa de Microbiologia Industrial e Aplicada da Faculdade de Ciências Farmacêuticas da USP e de Fisiopatologia da Escola Paulista de Medicina da Universidade Federal de São Paulo (Unifesp).
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Z13
Zacariotto, William Antonio
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Informática: Tecnologias Aplicadas à Educação. / William Antonio Zacariotto - São Paulo: Editora Sol. il. 1.Informática 3.Pedagogia I.Título
e
tecnologia
educacional
2.Informática
681.3
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista.
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Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Luanne Aline Batista da Silva
Sumário Matemática Aplicada Apresentação.......................................................................................................................................................7 Introdução............................................................................................................................................................7 Unidade I
1 Operações Matemáticas............................................................................................................................9 1.1 Conjuntos numéricos..............................................................................................................................9 1.2 Sistemas de numeração...................................................................................................................... 12 1.3 Operações básicas................................................................................................................................. 13 2 POTENCIAÇÃO.................................................................................................................................................... 16 2.1 Regra geral ............................................................................................................................................. 16 2.2 Propriedades principais....................................................................................................................... 16 2.3 Cálculos envolvendo potências....................................................................................................... 17 3 Radiciação....................................................................................................................................................... 18 3.1 Propriedade geral da radiciação...................................................................................................... 19 3.2 Produto de raízes quadradas............................................................................................................ 19 3.3 Quociente de raízes quadradas........................................................................................................ 19 3.4 Adição e subtração de radicais........................................................................................................ 20 3.5 Potenciação em radicais..................................................................................................................... 21 Unidade II
4 Logaritmo........................................................................................................................................................ 27 4.1 Logaritmos de base dez ou decimais............................................................................................. 27 4.2 Principais propriedades do logaritmo........................................................................................... 28 5 Frações.............................................................................................................................................................. 30 5.1 Propriedade fundamental das frações.......................................................................................... 32 5.2 Classe de equivalência de números racionais............................................................................ 33 5.3 Redução de frações a um mesmo denominador..................................................................... 33 5.4 Comparação entre frações (números racionais)....................................................................... 35 5.5 Adição e subtração de frações (números racionais)............................................................... 35 5.6 Multiplicação de frações (números racionais)........................................................................... 36 5.7 Divisão de frações (números racionais)........................................................................................ 36 5.8 Potenciação de frações (números racionais).............................................................................. 36 5.9 Radiciação de frações (números racionais)................................................................................ 37
Unidade III
6 Funções Matemáticas.............................................................................................................................. 43 6.1 Funções e equações de primeiro grau.......................................................................................... 43 6.2 Inequações de primeiro grau............................................................................................................ 51 6.3 Sistemas de equações de primeiro grau...................................................................................... 52 6.4 Funções quadráticas e equações de segundo grau................................................................. 55 6.5 Funções exponenciais e equações exponenciais...................................................................... 61 6.6 Funções modulares............................................................................................................................... 63 7 Razão, Proporção e cálculo de fracionamento.................................................................. 65 7.1 Razão.......................................................................................................................................................... 66 7.2 Proporção................................................................................................................................................. 66 7.3 Propriedades das proporções........................................................................................................... 67 7.4 Grandezas diretamente proporcionais......................................................................................... 68 7.5 Grandezas inversamente proporcionais....................................................................................... 70 7.6 Regra de Três Simples.......................................................................................................................... 72 7.7 Regra de Três Composta..................................................................................................................... 73 7.8 Percentagem e cálculos de percentagem.................................................................................... 75 7.9 Cálculos de Diluição e Fracionamento......................................................................................... 76 7.9.1 Unidades de medida principais.......................................................................................................... 76 7.9.2 Cálculos de concentração.................................................................................................................... 77 7.9.3 Cálculos de diluição................................................................................................................................ 79 7.9.4 Cálculos de doses orais e fracionamento de dose...................................................................... 81
Apresentação
Esta disciplina pretende apresentar os fundamentos relacionados à Matemática mais aplicados na área farmacêutica. Assim, tem como objetivos gerais: 1. desenvolver no aluno o domínio dos conceitos e das técnicas do cálculo e a aplicação na resolução de problemas das atividades acadêmicas desenvolvidas na profissão farmacêutica; 2. conhecer e compreender a aplicabilidade da Matemática nas diversas áreas farmacêuticas; 3. avaliar criticamente textos matemáticos, redigir formas alternativas e desenvolver o pensamento criativo; 4. interpretar dados, elaborar modelos e resolver problemas, integrando a Matemática e a ciência farmacêutica no dia a dia do profissional. Sendo assim, caro aluno, na unidade I, relembramos os conceitos fundamentais dos conjuntos numéricos, dos sistemas de numeração, assim como das operações matemáticas. Na unidade II, passamos aos cálculos de logaritmos e frações, conhecimentos estes fundamentais para compreensão de alguns conceitos físicos e químicos presentes no currículo de nosso curso. Já tendo percebido a relevância desta disciplina para a área farmacêutica, uma vez que os cálculos estudados fazem parte da rotina clínica, analítica e do planejamento em geral dentro de nossa área de atuação, na unidade III, aprofundamonos mais nas equações matemáticas e cálculos de diluição, proporção e fracionamento, tão comuns no ambiente laboratorial e hospitalar. Assim, esperamos que tenha bons estudos e que aproveite esse conhecimento para sua melhor formação! Introdução
Na rotina diária de qualquer profissional ligado à saúde, a Matemática faz-se presente, mesmo quando disfarçada em um simples cálculo de proporção, ou Regra de Três. Em questões simples, como quando pensamos em quantas caixas de um medicamento necessitaremos até o final de um tratamento, passando por situações nas quais nos vemos obrigados a preparar uma solução, um reagente a ser utilizado em uma análise ou mesmo durante o preparo de uma formulação farmacêutica, e chegando à discussão de um resultado clínico específico, utilizamos de diferentes ferramentas matemáticas. Como exemplo, na rotina laboratorial, vemo-nos diante de diferentes técnicas analíticas, sejam elas químicas ou mesmo instrumentais. Independente da técnica utilizada, será sempre necessário efetuar um cálculo ou uma conversão matemática para alcançarmos o nosso resultado final, procedimento este subsequente à técnica analítica, mas que assume importância equivalente a ela. Costumamos, dentro de nossa área, ouvir falar de maneira constante sobre concentração, dose, volume, tempo, massa, entre outras expressões tão comuns quanto estas que representam grandezas físicas e químicas de fundamental importância para nós, e todas, inevitavelmente, são calculadas de alguma forma. Fenômenos como a morte celular, a degradação de um fármaco, a eficiência de um 7
tratamento ou a produção de radiação por um átomo são também explicados por meio de modelos matemáticos e, portanto, cálculos estarão sempre a eles relacionados. Desta forma, são tantas as situações nas quais a Matemática se mostra uma ferramenta importante, seja na compreensão de fenômenos físicos e químicos, seja mesmo para resolvermos problemas que podem aparecer durante nossas atribuições do dia a dia de trabalho, que se faz necessário iniciarmos este curso com uma disciplina que oportunize a revisão e/ou ensino desta matéria, aplicada à área farmacêutica. Essa abordagem possibilitará a você assimilar conceitos matemáticos fundamentais para o melhor desenvolvimento do curso de graduação e, posteriormente, para maior sucesso em sua atividade profissional. Neste livro-texto, focamos, portanto, os principais tópicos de Matemática relacionados à rotina do profissional farmacêutico, fornecendo, além disso, uma base para a melhor compreensão de conteúdos a serem abordados em outras disciplinas do curso, como Física Aplicada, Química Analítica, Métodos Instrumentais de Análise, Microbiologia, Tecnologia Farmacêutica, Controle de Qualidade, entre tantas outras.
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matemática aplicada
Unidade I 1 Operações Matemáticas 1.1 Conjuntos numéricos
A necessidade de justificar, de maneira aceitável, o conceito de infinito fez com que surgisse em meados do século XIX a chamada Teoria dos Conjuntos, que aborda uma série de conceitos ditos primitivos, ou seja, que são aceitos mesmo sem uma definição a seu respeito. Assim, as noções de conjunto e elemento de um conjunto foram elaboradas sem maior conceituação teórica. Podemos relacionar um conjunto com uma coleção, e cada componente desta será, então, chamado de elemento. A principal representação de um conjunto é a chamada tabular, em que os elementos são representados entre chaves e separados por vírgulas. Exemplo: um conjunto chamado “X” e que é formado pelos elementos 1, 2, 3, 4 e 5 poderá ser representado como: x = {1, 2, 3, 4 e 5} Um conjunto pode ser formado por vários subconjuntos, ou seja, grupos de elementos que fazem parte do conjunto, mas que não o representam inteiramente. Podemos dizer, portanto, que um conjunto hipotético Y será um subconjunto de X se, e somente se, todo elemento de Y fizer parte, ou seja, pertencer ao conjunto X. Assim, para o exemplo anterior, podemos citar um subconjunto Y formado pelos elementos 1, 2 e 3. y = {1, 2 e 3} Uma vez que Y apresenta elementos do conjunto X, podemos dizer que: Y ⊂ X (lemos: Y está contido em X, logo, Y é subconjunto de X). Existem quatro operações básicas possíveis de serem realizadas em quaisquer conjuntos com que se queira trabalhar. Temos a chamada união de conjuntos, ou seja, uma reunião de todos os elementos que fazem parte de dois ou mais conjuntos diferentes. Exemplo: x = {1, 2, 3, 4 e 5} z = {1, 6, 12, 24} 9
Unidade I X ∪ Y = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 12 e 24} Observação Lê-se X união Y, ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X ou Y. Temos a intersecção de conjuntos, que é capaz de representar todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a dois ou mais conjuntos estudados. Exemplo: X = {1, 2, 3, 4 e 5} Z = {1, 6, 12, 24} X ∩ Y = (1} Observação Lê-se X intersecção Y, ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X e Y. A operação de diferença é aquela cujos elementos pertencem a um conjunto, e não a outro, quando citarmos dois ou mais conjuntos estudados. Exemplo: X = {1, 2, 3, 4 e 5} Z = {1, 6, 12, 24} X – Y = (2, 3, 4 e 5} Observação Lê-se X menos Y, ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X, e não a Y. Os números foram criados como forma de representar uma quantidade na sociedade, tendo surgido, por exemplo, da necessidade de registrar o resultado de uma contagem. Os primeiros números surgidos 10
matemática aplicada deram origem ao conjunto dos números naturais e, desde então, outros conjuntos numéricos foram criados diante da necessidade de expressar outras formas de resultados. Atualmente, podemos classificar os números em cinco diferentes conjuntos numéricos, quais sejam: – Números Naturais: conjunto de números resultantes de uma contagem simples. É indicado pelo símbolo N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...} – Números Inteiros: conjunto que consegue expressar, por meio de seus elementos, contagens com resultados envolvendo números negativos. É indicado pelo símbolo Z. Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Lembrete Números negativos são sempre menores que zero e, por isso, são sempre representados à esquerda dele. Observe também a ordem crescente do conjunto. Assim, -4 é menor que -2, que, por sua vez, é menor que 0, que, por sua vez, é menor que 2. – Números Racionais: conjunto que consegue expressar, em qualquer situação, o resultado de uma divisão numérica. Engloba todos os números chamados decimais finitos e também as chamadas dízimas periódicas. Os números racionais também podem ser representados pelas denominadas de frações e são representados pelo símbolo Q. Exemplo 1: 5 : 2 resulta em um número racional que pode ser representado pela fração decimal 2,5.
5 2
ou pelo número
Exemplo 2: -23 : 9 resulta em um número racional que pode ser representado pela fração periódica -2,555555... .
−
23 9
ou pela dízima
– Números Irracionais: conjunto que engloba as chamadas dízimas não periódicas, que seriam aqueles numerais com infinitas casas decimais. São representados pelo símbolo Q’. Lembrete O mais famoso dos números irracionais é o quociente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Recebeu o nome de “pi” (p). p = 3,141592653589... 11
Unidade I – Números Reais: conjunto que engloba todos os números racionais e irracionais. É representado pelo símbolo R. 1.2 Sistemas de numeração
Um sistema de numeração é a forma como, efetivamente, contamos os elementos de um conjunto. Em nosso caso, o sistema de numeração mais utilizado é chamado de decimal, pois contamos os elementos de um conjunto em grupos de dez. Entretanto, é comum, em determinadas situações, utilizarmos outros tipos de sistema de numeração, como: – dúzia: contagem em grupos de doze elementos; – minuto: contagem em grupos de sessenta segundos. No sistema decimal, utilizamos os dez números básicos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) para representação de qualquer elemento. A cada grupo de dez elementos, estabelecemos uma ordem numérica que recebe um nome específico, conforme a tabela em seguida: Tabela 1 Ordem Nome
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
unidade
dezena
centena
milhar
dezena de milhar
centena de milhar
milhão
dezena de milhão
centena de milhão
bilhão
Assim, tendo-se como exemplo o número 2.386, as ordens numéricas presentes deverão ser visualizadas da direita para a esquerda: 6 – ordem 1 (unidade simples); 8 – ordem 2 (dezena); 3 – ordem 3 (centena); 2 – ordem 4 (milhar). Chamamos de base de uma contagem ao número de elementos do agrupamento que se estabelece quando desejamos contar os elementos de um conjunto. Para o sistema decimal a adotada é chamada de base dez. Para escrever ou ler um numeral, devemos agrupar as diversas ordens em classes de três e iniciando pela direita do numeral. Assim, temos as classes das unidades simples, milhares, milhões, bilhões etc. Cada classe é separada por pontos. Então, o numeral 8256 será: 12
matemática aplicada 8.256, sendo: – 8, pertencente à classe do milhar (lê-se como oito mil). – 256, pertencente à classe das unidades simples: 6 será a unidade, 5 a dezena e 2 a centena (lê-se como duzentos e cinquenta e seis). Vejamos outro numeral: 23.285.562. – 562 → 2 (unidade), 6 (dezena), 5 (centena) → 500 + 60 + 2 (lê-se como quinhentos e sessenta e dois) – 285 → 5 (unidade de milhar), 8 (dezena de milhar), 2 (centena de milhar) → 200 + 80 + 5 (lê-se como duzentos e oitenta e cinco mil) – 23 → 3 (unidade de milhão), 2 (dezena de milhão) → 20 + 3 (lê-se como vinte e três milhões) Assim, lê-se o número em questão como vinte e três milhões, duzentos e oitenta e cinco mil, quinhentos e sessenta e dois. 1.3 Operações básicas
Para o desenvolvimento de qualquer operação básica de soma e subtração, devemos sempre levar em conta quatro propriedades estruturais que veremos em seguida. – Fechamento: a soma de dois números naturais sempre resulta em um número natural. Da mesma forma, a soma de dois números inteiros sempre resulta em um número inteiro. Exemplo: 20 + 7 = 27 2,54 + 2,60 = 5,14 6,40 + 3,60 = 10,00 – Comutativa: a ordem das parcelas do cálculo não altera o resultado. Exemplo: 7 + 5 = 12 5 + 7 = 12 Entretanto, ao se levar um numeral para uma posição oposta na igualdade, esse numeral também deve ser transformado em seu oposto. 13
Unidade I Assim: 7 + 5 = 12 7 = 12 – 5 – Associativa: a adição ou subtração de três ou mais parcelas pode ser feita pela associação em pares, seja em relação aos primeiros ou aos últimos componentes do cálculo. Exemplo: 22 + 5 -12 (22 + 5) – 12 = 27 – 12 = 15 ou 22 + (5 – 12) = 22 + (-7) = 22 – 7 = 15 – Elemento neutro: é sempre zero (0), na soma e subtração, pois ele não altera o resultado final do cálculo. Exemplo: 25 + 12 – 7 + 0 = (25 + 12) – 7 + 0 = 37 – 7 + 0 = 30 + 0 = 30 Para o desenvolvimento de qualquer operação básica de multiplicação, devemos manter atenção a quatro propriedades estruturais básicas com algumas diferenças básicas em relação às mencionadas para adição e subtração: – Fechamento: só é válido para a multiplicação. Assim, o produto de dois números naturais é um número natural e o produto de dois números inteiros também é um número inteiro. Exemplos: 5 x 2 = 10 2,5 x 2,0 = 5,0 Observação O mesmo não vale para a divisão, pois: 5 : 2 = 2,5 (saímos de um número natural para um resultado expresso em número inteiro). – Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto da multiplicação. Exemplo: 2 x 5 = 10 5 x 2 = 10 14
matemática aplicada
Observação O mesmo não vale para a divisão, pois: 2 : 5 = 0,4 5 : 2 = 2,5 – Elemento neutro: é, na multiplicação, o número 1, não existindo, porém, no caso de divisão (nem mesmo o zero). Exemplo: 2 x 1 = 2 – Associativa: a multiplicação de três ou mais parcelas pode ser feita pela associação em pares, seja em relação aos primeiros ou aos últimos componentes do cálculo. Exemplo: 5 x 2 x 8 = (5 x 2) x 8 = 10 x 8 = 80 ou 5 x 2 x 8 = 5 x (2 x 8) = 5 x 16 = 80 Lembrete Na divisão, também não vale a Propriedade Associativa. Assim, 2 : 8 : 4 Se associarmos os dois primeiros elementos, temos: (2 : 8) : 4 = 0,25 : 4 = 0,0625 Se associarmos os dois últimos elementos, temos: 2 : (8 : 4) = 2 : 2 = 1 Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação entre os elementos são dados pelos parênteses, colchetes e chaves e devem ser observados atentamente durante a resolução do cálculo. Mostra-se interessante sempre iniciar o cálculo a partir dos elementos mantidos no interior dos parênteses. Exemplo: 15
Unidade I (20 – 5) + 12 – 4 = (15) + 12 – 4 = 27 – 4 = 23 20 – (5 + 12) – 4 = 20 – (17) – 4 = 3 – 4 = -1 Lembrete Propriedade Distributiva: o produto de uma soma ou subtração pode ser obtido ao se multiplicar cada elemento da soma ou subtração por esse elemento. Exemplo: 2 x (3 + 7) = 2 x (10) = 20 ou
2 x (3 + 7) = 2 x 3 + 2 x 7 = 6 + 14 = 20
Os cálculos envolvendo expressões e sentenças numéricas devem obedecer a uma ordem de resolução que deve se iniciar pelas multiplicações e divisões, seguida pelas somas e subtrações. Além disso, devem sempre ser iniciados pelo interior dos parênteses. 2 POTENCIAÇÃO
A Potenciação é a propriedade matemática que permite multiplicar um número real (base) por ele mesmo n vezes, sendo “n” chamado de número natural (>1). Portanto, a potência representa o número de vezes que multiplicamos um determinado número real. 2.1 Regra geral
an = a . a . a
n é igual a 3, pois estamos multiplicando a base “a” por três vezes. 2.2 Propriedades principais
I – Qualquer base elevada a 1 assume o próprio valor: an = a
n=1
II – Qualquer base elevada a 0 assume como resultado o valor 1: an = 1
n=0
III – Qualquer base elevada a um número natural negativo pode ser transformada em fração: 1 a-n = a
16
n
a≠0
matemática aplicada Exemplos: a) 31 = 3 assim como 181 = 18 b) 30 = 1, assim como 180 = 1 3-1 =
c)
1 1 , assim como 18-1 = 3 18
2.3 Cálculos envolvendo potências
I – Multiplicação com mesma base: am . an = am+n II – Multiplicação e divisão de bases de mesma potência: (ab)n = an . bn n
an a = b bn
III – Divisão com mesma base: am n
a
= am−n
IV – Potência sobre potência: (am)n = am.n Exemplos: a) Divisão de potências de mesma base 32 3
3
= 32-3 = 3-1 =
1 3
b) Multiplicação de potência sobre potência (x3)5 = x3.5 = x15
17
Unidade I c) Multiplicação de bases de mesma potência (2 . x)4 = (24) . (x4) = 16 . x4 d) Multiplicação de potências de mesma base x2 . x3 = x2+3 = x5
Saiba mais Muitas vezes, em cálculos pertinentes à nossa área, nos depararemos com o número irracional e, descoberto por J. Napier quando inventou os chamados números logarítmicos (assunto abordado na unidade II), mas somente foi introduzido no cálculo matemático em 1739 por Euler. O número e relaciona-se com a expressão exponencial (1+x)1/x. As calculadoras do tipo científica costumam apresentá-lo como uma segunda função (ex) e a aproximação racional aceita é 2,7183. Procure a segunda função ex em sua calculadora e faça o teste do cálculo dessa função assumindo diferentes valores de x. Você pode estudar mais sobre as funções exponenciais e o número e no livro que indicamos em seguida: ROCHA, L. M. Cálculo I. 11 ed. São Paulo: Atlas, 1994. v. 1. 3 Radiciação
Para todo inteiro n > 1, um número x é uma raiz enésima de um número a se:
xn = a Pode-se escrever a expressão como número irracional: n
a
em que: a = radicando n = índice da raiz 18
matemática aplicada 3.1 Propriedade geral da radiciação
Quando se eleva ao quadrado um número positivo ou negativo, o resultado será sempre um número positivo. Exemplo: 92 = 81 (– 9)2 = 81 Assim, todo número real possui duas raízes quadradas (positiva e negativa). Exemplo: o número real 81 possui como raízes os valores +9 e – 9. 81= 9 ± − 81= -9
81 = ± 9
3.2 Produto de raízes quadradas
Se a ≥ 0 e b ≥ 0 então: a.b = a . b
Com essa propriedade é possível, portanto, simplificar várias expressões envolvendo radiciação. A simplificação consiste em encontrar o menor radicando possível para a raiz (Ex: 2 ou 3). Para isso, é importante fatorar o radicando. Essa propriedade permite também que, ao se trabalhar com um produto de duas raízes, estas possam ser transformadas em uma única raiz. Exemplo:
a) 5 . 7 = 5 . 7 = 35 b) 11 . 3 = 11 . 3 = 33 3.3 Quociente de raízes quadradas
Se a ≥ 0 e b ≥ 0, então:
a = b
a b 19
Unidade I Exemplo:
a)
b)
3 = 5 6 7
=
3 5 6 7
3.4 Adição e subtração de radicais
Para resolver ou simplificar equações envolvendo radicais, é necessário observar se os radicandos são iguais ou diferentes na equação. I – No caso de radicandos iguais, deve-se aplicar a propriedade distributiva. Exemplo:
9 2 + 6 2 = 2 . (9 + 6) = 15 2 II – No caso de radicais diferentes, deve-se deixar indicada a soma ou subtração, tentando sempre fatorar o radicando em potência de 2.
Saiba mais Um dos mais famosos entre os números irracionais é o chamado número Pi, que, simbolizado pela letra grega equivalente p, representa o resultado da razão entre o comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro correspondente. O número p está relacionado a variados fenômenos naturais e também pode ser utilizado para explicar diversos efeitos gerados em construções e tecnologias inventadas pelo homem. Ele também pode aparecer nas chamadas funções trigonométricas e, portanto, em cálculos envolvendo seno, cosseno e tangente dentro de nossa área. Assumimos o número p como uma dízima periódica 3,141592.... Procure estudar duas aplicações do número p em nossa área. Primeiro, busque informações sobre a distribuição normal de probabilidades em um livro de Estatística Básica. Indicamos este: MOORE, D. A estatística básica e sua prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. Depois, se quiser reforçar mais
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matemática aplicada ainda seu conhecimento sobre aplicações desse número irracional, pesquise em um livro de Física sobre a propagação dos campos eletromagnéticos. Você descobrirá que o número p ajudou a formular tanto a teoria da distribuição normal de probabilidade, importante para explicar diversos fenômenos e situações em nossa área, quanto para a discussão sobre o campo eletromagnético e, consequentemente, as radiações eletromagnéticas. Indicamos esta obra: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. Mecânica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. v. 1. 3.5 Potenciação em radicais
É possível converter uma expressão em potência para uma expressão em radical. Exemplo:
2 . 2 . 2 = 2 . 2 . 2 = 23 2 . 2 . 2 = ( 2 )3 ( 2 )3 = 23 Assim:
2 . 6 . 2 . 2 . 3 = 22 . 3 = 22 . 3 = 2 . 3 2 . 8 = 2 . 23 = 2 . 23 = 24 = ( 2 )4 Resumo A associação entre os elementos de uma expressão matemática, quando da sua resolução, deve observar uma ordem: deve-se iniciar pelos elementos mantidos no interior dos parênteses, seguindo pelos contidos entre colchetes e, então, por aqueles entre as chaves. O mesmo deve ser observado quanto às operações: primeiro, devem-se efetuar as multiplicações e divisões para depois os cálculos envolvendo as somas e as subtrações. As potências matemáticas relacionam-se a uma propriedade que permite multiplicar um número real (base) por ele mesmo “n” vezes, sendo “n” chamado de número natural (>1). Portanto, a potência representa o 21
Unidade I número de vezes que multiplicamos um determinado número real. Para a resolução de expressões envolvendo potências, é importante lembrar-se das regras relacionadas a esses cálculos: qualquer base elevada a 1 assumirá seu próprio valor como resultado; qualquer base elevada a 0 assumirá o valor 1 como resultado; qualquer base elevada a um número negativo poderá ser transformada em fração; a multiplicação de potências de mesma base pode ser simplificada por uma base elevada pela soma das potências envolvidas; cada elemento (numerador e denominador) de uma fração elevada a qualquer expoente pode ter seu expoente multiplicado individualmente por ambos (numerador e denominador); a divisão de potências de mesma base pode ser simplificada pela base elevada à subtração dos expoentes; uma base elevada a dois ou mais expoentes pode ser simplificada pela multiplicação desses expoentes. Os números irracionais são importantes para diversas situações envolvendo cálculos matemáticos, e podemos utilizar as regras da radiciação para sua resolução. Pela regra geral, um número x é uma raiz enésima de um número a, se o valor de “x” elevado ao expoente “n” for igual a um valor “a”. Nesse caso, podemos escrever “x” como igual à raiz enésima de a. É importante lembrar que não existe resposta para raízes negativas, ou seja, nesse caso, “a” é sempre de valor positivo. Entretanto, é possível efetuar cálculo com raízes de sinal negativo (sinal fora da raiz, portanto, não pertencente ao radicando). Para a resolução de expressões envolvendo raízes é importante lembrar-se das regras relacionadas a esses cálculos: o produto de dois radicandos dentro da raiz pode ser desmembrado como a multiplicação de duas raízes; o quociente de dois radicandos dentro de uma raiz pode ser desmembrado na divisão entre duas raízes; é possível efetuar a soma e a subtração de duas raízes com mesmo índice e radicando. Exercícios Questão 01. Resolva o cálculo: 42 : (15 x 2) + 4. Assinale a resposta de resolução correta: A) 1,8. B) 2,4. C) 3,5. D) 5,4. E) 8,9. 22
matemática aplicada Resolução: 42 : 30 + 4 = 1,4 + 4 = 5,4 Resposta: alternativa D. Questão 02. Resolva o cálculo: 28 : 4 + 2 x 5 + (32 – 8). Indique a resposta correta: A) 12. B) 26. C) 28. D) 41. E) 65. Resolução: 28 : 4 + 2 x 5 + (24) = 7 + 10 + 24 = 17 + 24 = 41 Resposta: alternativa D. Questão 03. Resolva o cálculo: 12 x 5 + 23 – 14 –(4 x 3 – 2). Marque a resposta correta. A) 59. B) 64. C) 72. D) 126. E) 230. Resolução: 12 x 5 + 23 – 14 – (12 – 2) = 12 x 5 + 23 – 14 – (10) = 60 + 23 -14 – 10 = 83 – 14 – 10 = 69 – 10 = 59 Resposta: alternativa A. 23
Unidade I Questão 04. Resolva o cálculo: 124 – 12 x (12 : 6). Escolha a opção correta: A) 25. B) 50. C) 100. D) 150. E) 250. Resolução: 124 – 12 x (2) = 124 – 24 = 100 Resposta: alternativa C. Questão 05. 1. Efetue o cálculo das potências em seguida, observando as definições e propriedades estudadas: I) 400. II) 02. III)
1 2
−1
.
A resposta correta será na sequência: A) 1; 1; 0. B) 1; 0; 2. C) 1; 2; 0. D) 0; 1; 2. E) 0; 1; -2. Resolução: I) = 1. Justificativa: qualquer base elevada a expoente zero será igual a 1. II) = 0. Justificativa: base zero mantém o valor independente do expoente. 24
matemática aplicada III) = 2. Justificativa: expoente negativo indica inverso da base. Resposta: alternativa B. Questão 06. O valor da expressão (-1)0 + [(-6) : (-2)] – 24 é: A) -10. B) -20. C) +10. D) -12. E) +12. Resolução: usando as propriedades das potências, aliando-as às regras para resolução de operações matemáticas, devemos iniciar, pela divisão, a resolução: = (-1)0 + [+3] – 24 = 1+ 3 -16 = 4 – 16 = -12 Resposta: alternativa E. Questão 07. Simplifique
8.
Assinale a resposta correta: A) 2. B) 8. C) 2 . 2 . D) 2 . E) 1. Resolução: 8 2 4 2 2 2 = 22x2 Assim:
8 = 22 . 2 = 22 . 2 = 2 . 2 25
Unidade I
Simplifique 12 6 3 1 Assim,
12 :
2 2 3 = 22x3
12 = 22 . 3 = 22 . 3 = 2 . 3 .
Resposta: alternativa C. Quest達o 08. Simplifique a express達o: 4 48 - 3 12 + 2 80 , assinalando, em seguida, a alternativa correta. A ) 10. 3 . B) 8. 3 . C) 10. 3 + 8. 3 . D) 10. 3 + 8. 5 . E) 0. Resolu巽達o:
4 48 - 3 12 + 2 80 = 4 24 . 3 - 3 22 . 3 + 2 24 . 5 = 4 . 22 . 3 - 3 . 2 . 3 + 2 . 22 . 5 = 16 3 - 6 3 + 8 5 = (16 - 6) 3 + 8 5 =10 3 + 8 5 Resposta: alternativa D.
26
matemática aplicada
Unidade II Olá, caro aluno! Bem-vindo à unidade II da disciplina Matemática Aplicada. Vamos nos aprofundar agora mais nos cálculos de logaritmos e frações, conhecimentos estes fundamentais para a compreensão de alguns conceitos físicos e químicos presentes no currículo de nosso curso. Esperamos propiciar-lhe bons estudos e que aproveite esse conhecimento para sua melhor formação! 4 Logaritmo
Permite transformar uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração. Existe uma relação direta entre a forma logarítmica e a forma de potência de uma equação: logb a = x
bx = a
em que: a = logaritmando; b = base do logaritmo; x = logaritmo de a na base b. Observação Como resolver um cálculo envolvendo logaritmo? Exemplo: calcular o logaritmo de 16 na base 2. Para esse cálculo, é necessário, inicialmente, fatorar o logaritmando para que se transforme em uma potência com a mesma base do log. Assim, log2 16 = x 2x = 23
2x = 16 x=3
4.1 Logaritmos de base dez ou decimais
Napier criou a tabela de logaritmo decimal ou de base dez que fica subentendida no log. Portanto, todo log com base omitida, automaticamente, terá base igual a 10: 27
Unidade II Exemplos: Log 2 (Log de 2 na base 10) Log 2 → 10x = 2 b) Log 45 (Log de 45 na base 10) Log 45 → 10x = 45 Uma das aplicações do logaritmo dentro de nossa área está na escala de acidez conhecida também como escala de pH, que nos ajuda a expressar o grau de acidez ou basicidade de uma substância química, sendo um parâmetro muito importante dentro do setor químico e farmacêutico. Para efetuarmos o cálculo do pH, utilizamos a seguinte expressão: pH =– log [H+] em que [H+] representa a concentração molar (em mol/L) de íons hidrogênios presentes. Quanto maior a concentração de íons hidrogênio presentes, menor será o resultado da expressão. Assim, enquanto o pH do suco de limão assume um valor médio de 2,3, o leite de magnésia assume valor médio de pH 11. Isso indica, de acordo com a tabela de acidez, que o suco de limão é ácido e o leite de magnésia é básico. A escala de pH vai de 0 a 14, sendo considerado como neutro o pH igual a 7. A cada uma unidade de pH que se decresça, a solução se tornará dez vezes mais ácida. Exemplo: uma solução de pH igual a 5 será dez vezes mais ácida que uma solução de pH igual a 4.
Saiba mais Busque mais informações sobre a escala de pH em livros de Química Geral e Inorgânica e veja como é fácil efetuar o seu cálculo a partir da expressão envolvendo o log citada anteriormente. Indicamos este: USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. 12. ed. Saraiva: São Paulo, 2006. v. 1. 4.2 Principais propriedades do logaritmo
a) log2 2 = 1
2x = 2
b) log2 1 = 0
2x = 1
c) log2 102 = 2 = 2 . log2 10 28
matemática aplicada d) log2 3 . 5 = log2 3 + log2 5 e) log2
1 = log2 1 – log2 16 16
f) Regra da mudança de base:
log3 25 =
log10 25 log25 = log10 3 log3 Observação
Existe um caso particular para as propriedades dos logaritmos que pode nos auxiliar na resolução de questões. Tendo os valores a e b como reais positivos (diferentes de 1), é possível relacioná-los pela regra da mudança de base, assim: I) logab =
logb b 1 = logb a logb a
II) loga b x logb a = 1 Alguns fenômenos podem ser explicados por meio de cálculos envolvendo as chamadas funções logarítmicas. Considera-se uma função como logarítmica quando esta obedece a expressão: f(x) = logab. Graficamente, uma função logarítmica assume sempre a seguinte configuração:
Figura 1
29
Unidade II Um exemplo de situação em que se aplica o modelo matemático da função logarítmica é a fase de máximo crescimento microbiano. Quando uma determinada bactéria é semeada em um meio líquido de composição apropriada e incubada em temperatura adequada, o seu crescimento segue uma curva definida e característica chamada curva de crescimento. Nela, têm-se todas as fases de crescimento que o microrganismo atravessará ao longo do tempo. Uma das principais fases é justamente o crescimento máximo, a chamada fase log, por ter o crescimento equacionado por meio dessa função matemática.
Log10 do número de bactérias viáveis
10
Fase Log
Fase Logarítmica
Fase Estacionária
Fase Declínio
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ................... Tempo (horas) Figura 2
Saiba mais Leia mais a respeito da fase logarítmica de crescimento celular em: BARBOSA, H. M; TORRES, B. B., FURLANETO, M. C. Microbiologia básica. São Paulo: Atheneu, 1999, e veja como a Matemática nos ajuda a prever e quantificar o crescimento de um microrganismo no meio. 5 Frações
Frações são pares ordenados de números naturais, com o segundo elemento diferente de 0. Exemplo: Qual a fração que representa a parte sombreada?
30
matemática aplicada
2 partes em cinco Ou seja, 2 5
Figura 3
As frações são formadas por duas partes bem caracterizadas: a b
numerador denominador
De acordo com a relação entre os valores do numerador e do denominador, uma fração pode ser classificada como: I – Fração Própria: numerador < denominador II – Fração Imprópria: numerador > denominador III – Fração Aparente: numerador é múltiplo do denominador Exemplos: a) 2/5: trata-se de uma fração própria, pois o numerador (2) é maior que o denominador (5). b) 3/2: trata-se de uma fração imprópria, pois o numerador (3) é maior que o denominador (2). c) 8/2: trata-se de uma fração aparente, pois o numerador (8) é múltiplo do denominador (2). No caso, as frações aparentes podem dar origem a um número inteiro. No exemplo: 8/2 = 4. Além dessa classificação, ainda podemos considerar outros dois grupos característicos de frações: Equivalentes e Decimais. Frações Equivalentes são aquelas que representam a mesma parcela do todo. Exemplo: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. Frações Decimais são aquelas cujo denominador é um múltiplo de dez. Elas podem ser convertidas em valores decimais, sendo interessantes na resolução de equações em que frações e decimais estejam presentes. 31
Unidade II Exemplos:
a)
2 = 0,2 10
b)
6 = 0,06 100
c)
3 = 0,003 1000 Lembrete As frações são lidas de forma diferente de acordo com a classificação. Vejamos. Frações Próprias e Impróprias, em que o denominador é menor que dez, por exemplo, 2/5 lê-se como dois quintos. Frações Próprias e Impróprias, em que o denominador é maior que dez, por exemplo, 1/20 lê-se como um vinte avos. Frações Decimais, por exemplo, 1/10 ou 2/100 leem-se respectivamente como um décimo e dois centésimos. Obs.: 1/1000 seria um milésimo.
5.1 Propriedade fundamental das frações
I – Multiplicar o numerador e denominador por um mesmo número não provoca alteração em seu valor final: Exemplo: 33 3 3x 2x 2 6 6 3 3 →→ == == 44 4 4x 2x 2 8 8 4 4 Mediante essa propriedade, pode-se inverter o sinal de qualquer um dos dois termos da fração algébrica ao se multiplicá-la por -1. Dessa forma, 3x (-1) −3 3 = =4 4 4 32
matemática aplicada ou 3 3 3 = =4 x (-1) -4 4 II – Podemos escrever frações de denominador 1 ou numerador 0: 3=
3 1
0=
0 5
5.2 Classe de equivalência de números racionais
Trata-se do conjunto de frações equivalentes a uma fração dada. Cada classe de equivalência é chamada de número racional. Por exemplo, a classe de equivalência para a fração 1/3 será: 1 2 3 4 5 6 , , , , , , ... 3 6 9 12 15 18 5.3 Redução de frações a um mesmo denominador
Um grupo de frações com denominadores diferentes pode ser transformado em frações de mesmo denominador por meio do cálculo do denominador comum por mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Exemplo de Aplicação
Encontre o denominador comum para as frações 2/5, 3/8 e 4/9. a) 120. b) 320. c) 460. d) 360. e) 720. Resolução: Devemos encontrar o m.m.c entre 5, 8 e 9. 33
Unidade II 5, 8, 9 5, 4, 9 5, 2, 9 5, 1, 9 5, 1, 3 5, 1, 1 1, 1, 1
2 2 2 3 3 5 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360
Portanto, o denominador comum às três frações será 360. Para encontrar as frações de mesmo denominador, devemos dividir o m.m.c pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. Assim, as frações reduzidas a mesmo denominador ficarão: • para a fração
2 5
360 : 5 = 72 72 x 2 = 144 Portanto, 2 = 144 . 5 360 • para a fração
3 8
360 : 8 = 45 45 x 3= 135 Portanto, 2 = 135 . 5 360 • para a fração
4 9
360 : 9 = 40 40 x 4 = 160 4 160 . = 9 360 144 135 160 Resposta: , , 360 360 360 Portanto,
34
matemática aplicada 5.4 Comparação entre frações (números racionais)
Para comparar de maneira eficiente duas frações, é necessário que estas contenham o mesmo denominador. Assim, a maior fração ou número racional será aquela com maior numerador. Exemplo de Aplicação
Colocar em ordem decrescente as frações 6/12, 10/12 e 9/12. Estando as três com o mesmo denominador (12), é possível ordená-las apenas pelo numerador. 6 6 1010 9 9 1010 9 9 6 6 Assim, , , , , →→ >> >> . 1212 1212 1212 1212 1212 1212 No caso de frações com denominadores diferentes, devem ser reduzidas ao menor denominador comum (m.m.c). 2. Colocar em ordem crescente as frações 3/4 e 7/10. Por apresentarem denominadores diferentes, deve-se, inicialmente, encontrar o m.m.c e transformar as duas frações a um mesmo denominador. 4, 10 2, 5 1, 5 1, 1
2 2 5 2 x 2 x 5 = 20
Portanto, 3 15 = 4 20 7 14 = 10 20 Sendo 15 > 14, a ordem correta será: 7/10 < 3/4.
5.5 Adição e subtração de frações (números racionais)
Valem as seguintes propriedades aritméticas: Frações com mesmo denominador: mantém-se o denominador e somam-se ou subtraem-se os numeradores. 35
Unidade II Exemplo: 5 2 5+2 7 + = = 8 8 8 8 Frações com denominadores diferentes: deve-se reduzir ao fator comum (m.m.c) antes da realização do cálculo. Exemplo: 1 2 5 4 5-4 1 = = = 2 5 10 10 10 10 5.6 Multiplicação de frações (números racionais)
O produto de duas frações é uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores. Exemplo: 1 3 1x 3 3 x = = 2 5 2 x 5 10 5.7 Divisão de frações (números racionais)
Para efetuar a divisão entre frações, pode-se usar a técnica dos números inversos, em que uma inversão entre denominador e numerador em uma das frações transforma a divisão em multiplicação. Exemplo: 3 7 3 10 30 15 ÷ = x = = 4 10 4 7 28 14 5.8 Potenciação de frações (números racionais)
Para efetuar cálculo envolvendo potenciação de números racionais, especialmente quando frações estiverem presentes, devem ser aplicadas as seguintes regras: I – Para elevar uma fração à potência, devem-se elevar o numerador e o denominador a essa potência:
36
matemática aplicada Exemplo: 3
23 8 2 = = 3 27 33 II – Potência de expoente 1 é igual à própria base: Exemplo: 1
21 2 2 = = 3 31 3 III – Potência de expoente 0 é igual a 1: Exemplo: 0
20 1 2 = 0 = = 1 3 1 3 5.9 Radiciação de frações (números racionais)
Para extrair a raiz de uma fração, deve-se extrair a raiz do numerador e do denominador. Exemplo: 4 = 9
4 2 = 3 9
Lembrete Existe relação direta entre potência e raiz, e esse recurso pode ser utilizado para simplificar expressões. Assim, o inverso da potência de expoente 1/2 será a raiz quadrada, assim como o inverso da potência de 1
expoente 1/3 será a raiz cúbica. Ex: 5 3 = 4
5 = 4
5 5 = 2 4
37
Unidade II
Resumo O logaritmo permite transformar uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração. Existe uma relação direta entre a forma logarítmica e a forma de potência de uma equação, de maneira que um logba será lido como logaritmo de b na base a e poderá ser convertido na potência a = bx. A resolução do logaritmo permite, portanto, encontrar o expoente ao qual a base será elevada. Para a simplificação ou resolução de expressões envolvendo logaritmos, podem ser observadas as seguintes regras: o expoente do logaritmando é o próprio valor ao qual se multiplica o log, mantendo-se a base e o logaritmando sem o expoente; a multiplicação no logaritmando pode ser desmembrada como a soma de dois logaritmos de mesma base e cada um dos logaritmandos individualmente; a divisão no logaritmando pode ser desmembrada como a subtração de dois logaritmos com mesma base e cada um dos logaritmandos individualmente; todo logaritmo pode ser convertido no quociente entre dois logaritmos de base dez, sendo o antigo logaritmando no log do numerador e a antiga base no log do denominador. Em frações, é possível multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número sem que se provoque alteração do valor final. Ao mesmo tempo, podemos igualar o denominador de diferentes frações, encontrando um denominador comum pelo cálculo de seu m.m.c. Essa redução ao mesmo denominador mostra-se importante para conseguir identificar a maior ou menor fração entre diferentes valores apresentados, assim como em toda vez que se desejar efetuar uma soma ou subtração de frações. Os cálculos envolvendo multiplicações podem ser efetuados apenas multiplicando, separadamente, os numeradores e os denominadores das frações. Enquanto isso, os cálculos de divisão de frações podem ser mais bem solucionados, transformando-se a divisão em multiplicação, ou seja, invertendo o numerador e denominador em uma das duas frações envolvidas na divisão. Exercícios Questão 01. Sabendo que log2 = 0,3 calcule o valor de log 5 16 A) 0,50. B) 0,24. C) 0,34. 38
.
matemática aplicada D) 0,10. E) 1,40. Resolução: Primeiro, devemos fatorar 16 de forma a transformá-lo em uma potência na base 2: 128 = 27 5
Portanto, = log 24 . Seguindo as propriedades da radiciação é possível converter em potência a raiz à quinta: = log
4 25
Usando a propriedade da potência no logaritmando é possível converter o log na seguinte expressão: =
4 . log 2 5
Como log 2 = 0,3, teremos: =
4 . 0, 3 5
= 0,24 Resposta: alternativa B. Questão 02. Sabendo que: log6 5 = 0,898, calcule log6 5 . Assinale a resposta correta em seguida. A) 0,880. B) 0,449. C) 0,324. D) 0,962. E) 1,025. Resolução: Devemos transformar o radical em potência e aplicar as regras de log aprendidas: = log6
1 2 5
39
Unidade II
=
1 . log6 5 2
=
1 . 0,898 2
= 0,449 Resposta: alternativa B. 2 Questão 03. Simplifique a expressão 10 . a . x , identificando, em seguida, a resposta correta. 15 . a3 . x A) 2 . x . 3 . a2
B) x . 3 C) 2 . x . 3.a D) x . a2 E)
2 . 3 . a2
Resolução: =
=
10 . x 15 . a2 2.x 3 . a2
Resposta: alternativa A. Questão 02. Simplifique a expressão x - y - 1 ÷ x - y + 1 . Em seguida, indique a x+y x+y alternativa de resposta correta. -y A) . x 40
matemática aplicada B) -1 . x C) -2y . x D) -3y . 4x E) y . x Resolução: x - y - 1 . (x + y) x - y + 1 . (x + y) ÷ = x+y x+y x - y - x - y x - y + x + y ÷ = x+y x+y -2 . y 2.x ÷ = x + y x + y Aplicando a propriedade do quociente e produto em frações: -2 . y x + y = x x + y 2 . x Cancelando os termos x+y: -2 . y = 2 . x -y = x Resposta: alternativa A. 41
Unidade II a . b + a . c Questão 03. Simplifique a fração = 2 2 , marcando, em seguida, a alternativa de resposta b -c correta. A) a . b B) a . c C)
3a . (2b - c)
D)
a . (2b - 2c)
E)
a . (b - c)
Resolução: Nesse caso, mostra-se conveniente fatorar os termos: =
a . (b + c) (b + c) . (b - c)
=
a (b - c)
Resposta: alternativa E.
42
matemática aplicada
Unidade III Olá, caro aluno! Bem-vindo à unidade III da disciplina de Matemática Aplicada. Você já deve ter percebido a relevância dessa matéria, uma vez que os cálculos aqui treinados fazem parte da rotina clínica, analítica e do planejamento em geral dentro de nossa área de atuação. Vamos agora nos aprofundar mais nas equações matemáticas e cálculos de diluição, proporção e fracionamento, tão comuns no ambiente laboratorial e hospitalar. Esperamos que aproveite esse conhecimento para sua melhor formação! 6 Funções Matemáticas
Equações são expressões matemáticas que buscam encontrar um valor desconhecido, tendo por base algumas informações. Exemplo: Um automóvel custa R$20.000,00. Parte do pagamento foi efetuada com uma entrada de R$15.000,00, e o restante, em 10 parcelas iguais. Qual o valor das parcelas? Entrada Prestação Total ↓ ↓ ↓ 15.000 + 10.X = 20.000 10 . X = 20.000– 15.000 10 . X = 5000 X = 5000 : 10 X = 500 (ou seja, R$500,00) Representaremos como função a expressão f(x), sendo x a incógnita, ou valor variável da função. 6.1 Funções e equações de primeiro grau
Também chamadas de função afim, são representadas pela forma f(x) = a . X + b, em que a e b são constantes reais, e X é a incógnita. Para que essa função e equação matemática sejam válidas, é necessário que o valor de a seja diferente de zero. Diversas situações dentro da área farmacêutica podem se configurar como função de primeiro grau. Por exemplo, situações em que dois parâmetros estão proporcionalmente relacionados podem 43
Unidade III ser discutidas como uma equação de primeiro grau. Da mesma forma, diversas técnicas instrumentais que utilizamos em laboratório são tratadas como equações ou sistemas de primeiro grau. Exemplo: a espectrofotometria, uma técnica muito empregada em análise clínica (dosagem de glicose, colesterol, entre outros), é baseada em um resultado lido no aparelho, que se chama absorbância. Por sua vez, essa absorbância é dada em função da concentração da substância analisada (glicose, colesterol etc). Essa relação é um entre muitos exemplos de uma função de primeiro grau. O termo a presente nas funções é chamado de coeficiente, enquanto o termo b é denominado de termo constante ou independente. Observação Especificamente para as funções de primeiro grau, o termo a pode ser chamado de coeficiente angular, e o termo b, de coeficiente linear da função. A igualdade mantém-se mesmo ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número em ambos os lados da equação de primeiro grau. Exemplo 1: f(x) = 2 . x + 3 Observando a equação, é possível obter o valor de a igual a +2 e o valor de b será correspondente a +3. Exemplo 2: f(x) = – 4 . x + 5 Analisando a equação, é possível obter o valor de a igual a -4 e o valor de b igual a +5. Exemplo 3: f(x) = -
3 .x-8 4
Observando a equação, é possível obter o valor de a igual a -3/4 e o valor de b igual a -8. Graficamente, qualquer função de primeiro grau, ou função afim, será representada por uma reta ascendente ou descendente em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical). O eixo das ordenadas 44
matemática aplicada assume os valores de f(x), enquanto o eixo das abscissas assume os valores da incógnita “x”. Assim, qualquer função afim passa a ser representada pelos eixos X e Y do plano cartesiano: Exemplo 1: f(x) = 2 . x + 3 Exemplo 2: f(x) = – 4 . x + 3 Exemplo 3: f(x) = -
3 .x-8 4
y=2.x+3 y=–4.x+5 y=-
3 .x-8 4
O termo a, ou coeficiente angular de uma equação de primeiro grau, pode ser graficamente representado como a inclinação da reta em relação ao eixo X, sendo esta ascendente para valores positivos de coeficiente angular e descendente para valores negativos de coeficiente angular. O termo b, ou coeficiente linear, representa o valor da ordenada onde a reta corta o eixo Y. Para esse ponto, consideramos x = 0. Para representar graficamente uma equação de primeiro grau, são necessários, pelo menos, dois pontos bem caracterizados. A melhor maneira de fazer tal representação é escolhendo como primeiro ponto característico aquele em que a abscissa (x) seja zero e, como segundo ponto, aquele em que a ordenada (y) seja zero. Assim, a representação gráfica dos exemplos citados será: Exemplo 1: y=2.x+3 Para x = 0: y = 2 . 0 + 3
y=0+3
Para y = 0: 0 = 2 . x + 3
–3=2.x
y = +3 – 3/2 = x (+3, 0)
x (0, -3/2)
0 Figura 4
Exemplo 2: y=–4.x+5 45
Unidade III – Para x = 0: y = -4 . 0 + 5
y=0+5
y = +5
– Para y = 0: 0 = -4 . x + 5
-5 = -4 . x
+5/4 = x
y (0, +5)
x 0
(+5/4,0) Figura 5
Exemplo 3: y=-
3 .x-8 4
– Para x = 0: y = -3/4 . 0 - 8
y=0–8
y = –8
– Para y = 0: 0 = -3/4 . x – 8
+8 = -3/4 . x
+8/(3/4) = x
8 . 4/3 = x
12/3 = x
y
x
0 (+4 ,0)
(0 ,8) Figura 6
Existem dois casos especiais de funções de primeiro grau: função linear e função constante. Função Linear: nesse caso, o termo independente (b) será igual a zero. 46
+4 = x
matemática aplicada f(x) = a . X Exemplos: a) f(x) = 5 . x b) f(x) = – 4 . x c) f(x) =
2 .x 3
Graficamente, a função linear pode ser representada por uma reta inclinada e de posição ascendente ou descendente em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical). A principal característica, entretanto, para um gráfico de função linear é que ele cruzará sempre o eixo das ordenadas (eixo Y, vertical) e o eixo das abscissas (eixo X, horizontal) em zero. Assim, para esses exemplos, a representação gráfica será: a) f(x) = 5 . x y
0, 0
x
Figura 7
b) f(x) = -4 . x y
0, 0
x
Figura 8
47
Unidade III
c) f(x) =
2 .x 3
y
0, 0
x
Figura 9
Lembrete A função linear cruza na coordenada (0,0) do plano cartesiano (ordenada zero e abscissa zero) devido à ausência do termo b na equação. Assim, tomando como exemplo a equação f(x) = 5 . x e buscando os dois pontos do gráfico, como ensinado anteriormente, teremos: – Para x = 0: y = 5 . 0
y=0
– Para y = 0: 0 = 5 . x
0/5 = x
0=x
Função Constante: nesse caso, o termo constante (a) será igual a zero. Assim, o valor da função será sempre igual ao termo independente (b). Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = – 2 c) f(x) = -
2 3
Graficamente, uma função constante será sempre paralela ao eixo das abscissas, podendo coincidir com ela toda vez em que o termo independente (b) for igual a zero. Assim, para a função f(x) = 5, a representação gráfica será:
48
matemática aplicada y 5
0, 0
x
Figura 10
Observação O ponto central do plano cartesiano (0,0) ajuda a indicar o sinal dos valores nos eixos das ordenadas e abscissas. Assim, de maneira geral, temos: y Ordenada: +
Ordenada: +
Abscissa: –
Abscissa: + 0, 0
Ordenada: –
Ordenada: –
Abscissa: –
Abscissa: +
x
Figura 11
A resolução de uma função de primeiro grau passa pelo cálculo da chamada raiz ou zero da função de primeiro grau, o que acontece pela transformação da função em uma equação matemática (chamada de primeiro grau) ao se definir f(x) = 0. Exemplo de aplicação
1. Determine a raiz para a função y = 4 . x + 2, marcando em seguida a resposta correta. a) +4. b) -1. c) -0,25. d) +0,54. e) -0,5. 49
Unidade III Resolução: 0=4.x+2 É o mesmo que: 4 . x + 2 = 0 Deve-se isolar a incógnita x na igualdade: 4 . x = -2 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, deve-se inverter o sinal). x = –2/4 x = -1/2 ou -0,5. 2. Determine a raiz para a função y = 9 . x – 3, indicando, em seguida, a resposta correta: a) +0,333. b) +0,999. c) -3. d) -3/9. e) -1. Resolução: 0=9.x–3 É o mesmo que: 9 . x – 3 = 0 Deve-se isolar a incógnita x na igualdade: 9 . x = + 3 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, devemos inverter o sinal). x = +3/9 x = +1/3 ou +0,333... (dízima periódica) Observação Em cálculos com resultados positivos, o sinal positivo faz-se desnecessário. Portanto, reportando-nos ao exemplo, podemos considerar x = 1/3 ou 0,333... 3. Determine a raiz para a função y = 2 . x + 8, assinalando a alternativa de resposta correta.
50
matemática aplicada a) -3. b) -2. c) 0. d) +3. e) -5. Resolução: 0=2.x+8 É o mesmo que: 2 . x + 6 = 0. Deve-se isolar a incógnita “x” na igualdade: 2 . x = –6 (ao invertermos a posição do valor na igualdade, devemos inverter o sinal). x = –6/2 x = –3
6.2 Inequações de primeiro grau
Trata-se de funções matemáticas de primeiro grau caracterizadas por uma desigualdade de forma a desejar resultados maiores (>) ou menores (<) relacionados à equação. A resolução pode ser alcançada isolando-se os termos que possuem a incógnita em questão (x) em um dos lados da desigualdade, enquanto os termos que não possuem a incógnita (“números puros”) ficam no outro lado. Exemplo de aplicação
1. Resolva a inequação 5 . x – 8 < 3 . x + 12, marcando em seguida a alternativa de resposta correta. a) x > 10. b) x < 10. c) x > 5. d) x < 0. e) x > -7. Resolução: Isolam-se os termos com incógnita em um lado da inequação: 5 . x – 3 . x < 12 + 8 51
Unidade III 2 . x < 20 x < 20/2 x < 10 2. Resolva a inequação 12 . x + 4 – 2 . x > –4 . x + 20, indicando em seguida a alternativa de resposta correta. a) x > 1,14. b) x > 11,4. c) x > 42,1. d) x > -2. e) x > 0,24. Resolução: Isolam-se os termos com incógnita em um lado da inequação: 12 . x – 2 . x + 4 . x > 20 – 4 (12 – 2 + 4) . x > 16 14 . x > 16 x > 16/14 x > 1,14
6.3 Sistemas de equações de primeiro grau
Diversas situações dentro da área farmacêutica podem representar casos nos quais se aplicam resoluções de sistemas de equações de primeiro grau. Tais sistemas são possíveis quando duas funções de primeiro grau estão relacionadas entre si. Nesse caso, o sistema conterá duas incógnitas, geralmente expressas por x e y. A melhor forma de resolução para um sistema de equações é pelo método da substituição. Lembrete Método da Substituição: consiste em isolar uma das incógnitas na primeira equação e substituí-la na segunda equação. 52
matemática aplicada Exemplo de aplicação
1. Resolva o sistema de equações a seguir, encontrando os valores das raízes de x e y.
x+2.y=4 2.x–6.y=3
a) x = 4 e y = -1. b) x = 3 e y = -1/2. c) x = 4 e y = 1/2. d) x = 1 e y = -1. e) x = 2 e y = -4. Resolução: Devemos isolar o x na primeira equação: x=4–2.y Em seguida, devemos substituir o x da segunda equação: 2.x–6.y=3 2 . (4 – 2 . y) – 6 . y = 3 Aplicando a regra da multiplicação distributiva: 8–4.y–6.y=3 Isolando os termos que contêm a incógnita y: –4 . y – 6 . y = 3 – 8 (lembrando que, ao trocar a posição de algum dos termos da equação na igualdade, devemos inverter o sinal). –10 . y = –5 y = -5/-10 (lembrando que, pela regra de sinais, a divisão entre dois números negativos gera resultado positivo, assim como em multiplicações). y = +1/2 ou +0,5 (lembrando que números positivos não precisam ter o sinal indicado).
53
Unidade III Então, y = 1/2 ou 0,5. Para encontrarmos a raiz de x, devemos retornar à primeira equação e substituirmos o valor encontrado de y: x=4–2.y x = 4 – 2 . (0,5) x=4–1 x=3 2. Resolva o sistema de equações a seguir, encontrando os valores das raízes de x e y.
+3 . y – 4 = 12 2 . x + 4 . y = 24
a) x = 2 e y = 2. b) x = 3 e y = -1. c) x = -2 e y = 4. d) x = 4 e y = 4. e) x = 0 e y = 0,5. Resolução: Isolando x na primeira equação: x = 12 + 4 – 3 . y x = 16 – 3 . y Substituindo o x na segunda equação: 2 . (16 – 3 . y) + 4 . y = 24 32 – 6 . y + 4 . y = 24 –6 . y + 4 . y = 24 – 32 –2 . y = –8 54
matemática aplicada y = –8/–2 y = +4 ou, simplesmente, y = 4 Retornando com o valor de y na primeira equação: x = 16 – 3 . y x = 16 – 3 . (4) x = 16 – 12 x=4
6.4 Funções quadráticas e equações de segundo grau
As funções quadráticas (também conhecidas por funções polinomiais de segundo grau) são toda e qualquer função dentro do conjunto dos números reais (R), que é dado por uma lei na forma f(x) = a.x2 + b.x + c, em que a, b e c são constantes reais e x é a incógnita. Em toda função quadrática, o termo constante a assume o valor que multiplica a incógnita x elevada ao quadrado, o termo constante b assume o valor que multiplica a incógnita x e o termo constante c é aquele não multiplicado pela constante x. O sinal de cada uma dessas constantes deve ser observado para que não ocorra erro durante a resolução da equação ou interpretação do gráfico da função. Exemplos: f(x) = 2 . x2 – 3 . x + 4 em que a = 2, b = –3 e c = 4. f(x) = -4 . x2 + 12 . x – 8 em que a = –4, b = 12 e c = –8. f(x) = 1/2 . x2 – 6 . x + 5 em que a = 1/2, b = –6 e c = 5. Graficamente, toda função quadrática é representada perfeitamente por uma parábola, cuja definição matemática é a de um conjunto de pontos equidistantes em relação a um ponto qualquer chamado foco. Pode-se dizer, assim, que a distância de qualquer ponto de uma parábola em relação ao foco desta será sempre constante. As parábolas geradas pelas equações de segundo grau podem ter 55
Unidade III sua concavidade voltada para cima (ocorre quando a constante a é positiva) ou para baixo (quando a constante a é negativa). Exemplo: a) f(x) = a.x2 + b . x + c y
x
Figura 12
b) f(x) = –a . x2 + b . x + c y
x
Figura 13
A resolução de uma função quadrática dá-se pela determinação de seus “zeros” ou “raízes”. As raízes de uma função quadrática representam os valores da incógnita x, onde a função f(x) é nula (ou seja, igual a zero). As raízes de qualquer função quadrática são obtidas a partir da fórmula de Bháskara: -b ± ∆ 2.a Sendo ∆ = b2 – 4 . a . c x=
56
matemática aplicada Exemplo de aplicação
Encontre as raízes da função quadrática e esboce a parábola resultante para a função. 1) f(x) = 2 . x2 + 3 . x + 1 a) -1 e -0,5. b) +1 e -0,5. c) +1. d) 0. e) Não tem raiz. Resolução: a=2 b=3 c=1 Substituindo na fórmula do D: D = (3)2 – 4 . (2) . (1) D=9–8 D=1 Substituindo na fórmula de Bháskara: x=
-b ± ∆ 2.a
x=
-3 ± 1 2.2
x=
-3 ± 1 4
Teremos duas raízes: 57
Unidade III Raiz x1: x1 =
-3 + 1 4
x1 =
-2 4
x1 =
-1 , ou -0,5. 2
Raiz x2: x2 =
-3 - 1 4
x2 =
-4 4
x2 = –1 Graficamente, a parábola resultante terá sua concavidade voltada para cima (a constante a é positiva) e cruzará o eixo x em dois pontos (-1/2, 0) e (-1, 0). Lembrando que as raízes encontradas são os pontos onde a função é nula; y, portanto, é igual a 0. y
(– 1 ,0)
(- 0,5 ,0)
Figura 14
2) f(x) = 4 . x2 + 4 . x + 1 a) -1 e -0,5. b) +1 e -0,5. 58
0 ,0
x
matemática aplicada c) +1. e) -0,5. f) Não tem raiz. Resolução: a=4 b=4 c=1 Substituindo na fórmula do D: D = (4) . 2 – 4 . (4) . (1) D = 16 – 16 D=0 Substituindo na fórmula de Bháskara: x=
-b ± ∆ 2.a
x=
-4 ± 0 2.4
x=
-4 ± 0 8
Essa função apresenta apenas uma raiz real: x=
-4 8
x = –1/2, ou -0,5.
59
Unidade III
(-1/2, 0)
0 ,0
Figura 15
3) f(x) = 2 . x2 + 5 . x + 7 a) -1. b) +1 e - 0,5. c) -2. d) 0. e) Não tem raiz. Resolução: a=2 b=5 c=7 Substituindo na fórmula do D: D = (5)2 – 4 . (2) . (7) D = 25 – 56 D = –31 Substituindo na fórmula de Bháskara: x=
60
-b ± ∆ 2.a
x
matemática aplicada
x=
-5 ± -31 2.2
Essa função não apresenta raiz real e, portanto, não terá nenhum ponto onde a função seja nula e a parábola cruze com o eixo x. Como o valor da constante a é positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima. y
0 ,0
x
Figura 16
6.5 Funções exponenciais e equações exponenciais
Diversas situações dentro da área químico-farmacêutica seguem, matematicamente, o modelo de uma função exponencial. A equação exponencial pode ser descrita como aquela em que a incógnita encontra-se no expoente de pelo menos uma potência (rever o capítulo 2: Potenciação). Exemplos: a) 2x = 14 x
3 b) = 84 5 c) 3x+1 – 42x+1 = 16 Para qualquer função exponencial, temos duas situações possíveis, a depender do valor da base da potência (a): Considerando y = ax, para a > 1, a função exponencial será crescente: 61
Unidade III y
x Figura 17
Para 0 < a < 1, a função exponencial será decrescente: y
x Figura 18
O fenômeno da radioatividade, em que um núcleo atômico muito energético (átomo radioativo) tende à estabilidade pela liberação de energia na forma de partículas ou ondas (radiações), é tipicamente representado por um modelo de função exponencial chamado de decaimento radioativo ou meia-vida. Graficamente, a meia-vida de um átomo radioativo pode ser representada como a seguir:
62
matemática aplicada Número de átomos radioativos
Meia-vida Figura 19
Outros exemplos de situações em nossa área em que a função exponencial explica um fenômeno são: morte celular em processos de esterilização, degradação de uma série de substâncias químicas, entre outros.
Saiba mais Para aumentar seu conhecimento a respeito da meia-vida dos elementos radioativos, tão importantes na área de radiofarmácia, consulte: OKUNO. E; CALDAS, I.L.; CHOW, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1982. 6.6 Funções modulares
Existem situações em que as funções são definidas por mais de uma sentença ou equação matemática. Exemplo de aplicação
Uma função f(x) é válida para as seguintes condições: f(x) = 3 . x + 4, se x ≤ 2 f(x) = 2 . x + 3, se x > 2 Encontre os valores de x para f(4) e f(1). • f(4) Nesse caso, encontrar o resultado para a função dependerá do valor de x analisado. Para o caso de f(4), o valor de x a ser considerado é 4. 63
Unidade III Para x = 4 usaremos a segunda sentença da função (uma vez que, 4 é maior que 2, satisfazendo a segunda sentença). f(x) = 2 . x + 3 f(4) = 2 . 4 + 3 f(4) = 8 + 3 f(4) = 11 • f(1) Para o caso de f(1), o valor de x a ser considerado é 1. Para x = 1, usaremos a primeira sentença da função (uma vez que 1 é menor que 2, satisfazendo a primeira sentença). (x) = 3 . x + 4 f(1) = 3 . 1 + 4 f(1) = 3 + 4 f(1) = 7
Um número x qualquer será chamado de módulo ou valor absoluto quando satisfizer uma situação específica de função com várias sentenças, como o caso que acabamos de estudar. Todo módulo de x é simbolizado por |x|, sendo um número real não negativo, tal que: x, se x ≥ 0 |x| = ou -x, se x < 0 Assim, o módulo de um número real será sempre maior ou igual a zero. Exemplos: a) |3| = 3 64
matemática aplicada b) |–6| = 6 c) |0,5 – 0,8| = |–0,3| = 0,3 Graficamente, as funções modulares apresentam-se como equações de primeiro e segundo graus sempre com valores de f(x) maiores que zero, portanto, positivos. Para tanto, serão considerados apenas os valores de x e –x que resultem em f(x) > 0. Exemplo: f(x) = |x| + 1 Como uma reta pode ser caracterizada por dois pontos, podemos encontrar: Para x = 0 f(x) = 0 + 1 f(x) = 1 Para x = -1 (módulo de -1 será sempre 1) f(x) = 1 + 1 = 2 Para x = +1 (módulo de +1 será sempre 1) f(x) = 1 + 1 = 2 Graficamente: +2
(1, 0) –1
+1 Figura 20
7 Razão, Proporção e cálculo de fracionamento
Em diferentes situações dentro da área farmacêutica, nos vemos obrigados a trabalhar matematicamente com a relação entre dois parâmetros diferentes. Em geral, essas questões podem ser facilmente resolvidas por meio da famosa Regra de Três ou pelas regras de razão e proporção. 65
Unidade III Exemplo: Foram prescritos 80 mg de um analgésico após a realização de uma cirurgia em um paciente. Sabendo-se que o fármaco está disponível na formulação de 100 mg/mL, qual deve ser o volume de dose fornecido a esse paciente? Nessa questão rotineira dentro da área hospitalar, temos dois parâmetros relacionados (dose de princípio ativo e volume da formulação). Para resolvê-la é necessário trabalharmos com os conceitos de razão e proporção. 7.1 Razão
A razão entre dois valores (a e b) será o quociente entre os dois: a b a primeiro termo ou antecendente b segundo termo ou consequente Costuma-se representar uma razão como a : b. Para que uma razão seja válida, é necessário que o termo b seja sempre diferente de zero. A razão inversa é o quociente que mantém invertidas as posições do termo antecedente e consequente. Portanto, por regra geral, a razão inversa de a : b será b . a Exemplos: A razão entre 3 e 2 será: 3 : 2 ou
3 . 2
b) A razão inversa entre 4 e 10 será: 10 : 4 ou 10 . 4 7.2 Proporção
A proporção é a comparação por meio de igualdade entre duas razões numéricas. Assim, por regra geral, dizemos que os números a, b, c e d formam uma proporção quando a razão entre a e b for igual à razão entre c e d (considerando-se b e d ≠ 0). Assim, a proporção será: a c = b d Exemplo: 66
matemática aplicada a) A razão entre 4 e 2 é proporcional à razão entre 10 e 5. 4 10 = → 2 2 20 b) A razão entre 2 e 8 é inversamente proporcional à razão entre 20 e 5. 2 5 1 = → 8 20 4 7.3 Propriedades das proporções
Para todo cálculo envolvendo proporções, existem quatro propriedades básicas a serem observadas: I – Propriedade Fundamental: a multiplicação entre os termos antecedentes de uma das razões com os termos consequentes da outra mantém a proporção. a c = ↔ a.d=b.c b d II – Segunda Propriedade: a soma dos termos antecedente e consequente da razão, dividida pelo termo consequente, mantém a proporção. a c a+b b+c = ↔ = b d b c III – Terceira Propriedade: a soma dos termos antecedentes, dividida pela soma dos termos consequentes das duas razões, terá resultado igual a qualquer uma das razões utilizadas na proporção. a c a+c a c = ↔ = = b d b+d b d IV – Quarta Propriedade: a multiplicação dos dois termos antecedentes da proporção, dividida pela multiplicação dos dois termos consequentes da proporção, será sempre igual a qualquer uma das razões elevada ao quadrado. a c a.c a2 c2 = ↔ = 2 = 2 b.d b b d d
67
Unidade III 7.4 Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas A e B serão consideradas diretamente proporcionais quando a razão entre elas for mantida constante. Exemplo de aplicação
1. A relação entre distância percorrida e tempo pode ser considerada diretamente proporcional, caso seja mantida constante a velocidade aplicada. Assim, podemos estabelecer uma proporção para a seguinte tabela: Tabela 2 Distância (km)
80
160
x
Tempo (h)
1
2
3
a) 120. b) 240. c) 360. d) 480. e) 500. Resolução: considerando diretamente proporcionais os dois parâmetros, a razão entre distância e tempo ficará: 80 160 x = = 1 2 3 Pela aplicação da regra fundamental da proporção, temos: 160 . 3 = 2 . x 480 = 3 . x 480/2 = x 240 = x Portanto, em 3 horas, terão sido percorridos 240 km. 2. Foram prescritos 80 mg de um analgésico após a realização de uma cirurgia em um paciente. Sabendo que o fármaco está disponível na formulação de 100 mg/mL, qual deve ser o volume de dose fornecido a esse paciente? 68
matemática aplicada a) 1,6 mL. b) 0,8 mL. c) 2,4 mL. d) 10 mL. e) 8 mL. Resolução: considerando diretamente proporcionais os parâmetros de dose de princípio ativo e volume da formulação, teremos: 100 80 = 1 x Pela aplicação da regra fundamental da proporção, temos: 100 . x = 80 . 1 100 . x = 80 X = 80/100 X = 0,8 mL Portanto, deve-se fornecer 0,80 mL do medicamento. 3. Sabendo que a relação entre a quantidade de um nutriente A está diretamente relacionada com a quantidade de metabólito B produzido no organismo, determine os valores de x e y na tabela: Tabela 3 Nutriente (mg)
6
x
15
Metabólito (ng)
2
3
y
a) 9 mg e 5 ng. b) 12 mg e 10 ng. c) 24 mg e 12 ng. d) 5 ng e 9 mg. e) 0,9 mg e 0,5 ng. Resolução: considerando diretamente proporcionais os dois parâmetros, teremos: 6 x 15 = = 2 3 y 69
Unidade III Para encontrar o valor de x, usaremos as duas primeiras razões: 6 x = 2 3 2.x=6.3 2 . x = 18 X = 18/2 X = 9 mg Para encontrar o valor de y, usaremos as duas últimas razões: x 15 = 3 y 9 15 = 3 y 9 . y = 15 . 3 9 . y = 45 y = 45/9 y = 5 ng
7.5 Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas, A e B, serão inversamente proporcionais quando o produto entre os termos ascendente e consequente forem constantes para todas as razões formadas por essas grandezas. Assim, para a seguinte tabela relacionando A e B, inversamente proporcionais, Tabela 4
70
A
a1
a2
a3
B
b1
b2
b3
matemática aplicada teremos a seguinte proporção: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 Exemplo de aplicação
1. A relação entre a duração de uma viagem de trem (horas) e a velocidade desenvolvida por ele (km/h) é considerada inversamente proporcional. Sabendo que, ao desenvolver uma velocidade média de 50 km/h, o trem demora 4h para chegar ao destino, qual deverá ser a velocidade a ser desenvolvida por ele para que alcance o destino em 3h? a) 72 km/h. b) 66,7 km/h. c) 120 km/h. d) 214 km/h. e) 27 km/h. Resolução: Sendo a primeira razão descrita como 50 : 4 e a segunda razão x : 3, pertencentes a grandezas inversamente proporcionais, é possível montar a seguinte equação: 50 . 4 = x . 3 200 = x . 3 200 / 3 = x 66,7 = x Portanto, para que o trem chegue ao destino em 3h, será necessário que a velocidade desenvolvida seja de 66,7 Km/h. 2. Tendo duas séries representando as grandezas A e B, inversamente proporcionais, encontre os valores de x e y. A = (x, 2, 6) B = (3, y, 24) a) x = 48 e y = 72. b) x = 24 e y = 32. c) x = 40 e y = 80. d) x = 12 e y = 32. e) x = 68 e y = 72. 71
Unidade III Resolução: Por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, a resolução passa pela montagem da relação de igualdade: x . 3 = 2 . y = 6 . 24 Portanto, x . 3 = 2 . y = 144 Selecionando os dois últimos termos da igualdade, conseguiremos encontrar o valor de y: 2 . y = 144 y = 144/2 y = 72 Selecionando os dois primeiros termos da igualdade e já conhecendo o valor de y, será possível determinar o valor de x: x.3=2.y x . 3 = 2 . 72 x . 3 = 144 x = 144/3 x = 48
7.6 Regra de Três Simples
Método prático para resoluções em que temos dois valores para uma grandeza e apenas um valor para a outra grandeza relacionada. Essa regra baseia-se na multiplicação em cruz característica da aplicação da regra fundamental da proporção. a1 x
b1 b2 Figura 21
72
matemática aplicada Observe que, para a montagem da Regra de Três, os termos de mesma grandeza devem ser posicionados um abaixo do outro. A resolução deve ser efetuada por meio de uma multiplicação em cruz. Exemplo de aplicação
1. Sabendo que 1 mL de ácido sulfúrico corresponde a 1,84 g, determine qual o volume necessário para termos 12 g de ácido sulfúrico em um frasco. a) 6,5 mL. b) 12,7 mL. c) 3,3 mL. d) 8,9 mL. e) 18 mL. Resolução: As duas grandezas em questão são massa e volume. Portanto, para a montagem da Regra de Três, devemos manter os dados de massa em um lado e os dados de volume no outro lado da relação. Assim, 1 mL ----------------------------------- 1,84 g X mL ----------------------------------- 12 g Portanto, X . 1,84 = 1 . 12 X . 1,84 = 12 X = 12 / 1,84 (lembre-se de que, ao inverter o lado do termo, inverte-se a função matemática; logo, quem multiplica à esquerda dividirá à direita da igualdade) X = 6,5 mL
7.7 Regra de Três Composta
Para os casos envolvendo mais de duas grandezas proporcionais, é necessário construir a chamada Regra de Três Composta, de forma a construir a seguinte relação: a1 x
b1 b2
c1 c2
Figura 22
73
Unidade III Pela regra geral, é possível construir uma Regra de Três Composta toda vez que uma determinada grandeza A for proporcional, simultaneamente, a duas outras grandezas (B e C). Para a resolução desse tipo de cálculo, é necessário montar a seguinte igualdade: a1 b c = 1 x 1 x b2 c2 Exemplo de aplicação
Um tanque de 500 m3 de capacidade leva 3 h para ser cheio ao se utilizarem duas torneiras. Outro tanque de 800 m3 de capacidade levará quanto tempo para ser cheio, sendo que ele terá 5 torneiras para a adição do líquido? a) 2,45 h. b) 8,94 h. c) 1,92 h. d) 13,4 h. e) 14,6 h. Resolução: neste exercício, temos três grandezas presentes, volume do tanque, tempo e número de torneiras. Entretanto, o volume de líquido adicionado dependerá do tempo e do número de torneiras. Tal relação entre os três parâmetros permite que a resolução se desenvolva por meio da Regra de Três Composta. Assim, 500 m3 ---------------------–3 h ---------------------–2 torneiras 800 m3 ---------------------–x h --------------------–5 torneiras 500 3 2 = x 800 x 5 500 6 = 800 5 . x 5 . x . 500 = 6800 x . 2500 = 4800 4800 2500 x = 1,92h x=
74
matemática aplicada 7.8 Percentagem e cálculos de percentagem
Os cálculos envolvendo percentagem (ou porcentagem) podem ser considerados como casos especiais abrangendo razão e proporção. Considera-se a porcentagem como uma razão envolvendo termos consequentes de base 10. Por regra geral, entende-se que a razão percentual será: x% =
x 100
Assim, todo cálculo de percentagem pode ser resolvido por um sistema de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplo de aplicação
Em uma cidade de 230.000 habitantes, cerca de 50.000 possuem menos de 30 anos. Qual será a percentagem da população com mais de 30 anos? a) 21,7%. b) 78,3%. c) 52,4%. d) 25,8% e) 32,3%. Resolução: deseja-se saber a percentagem de habitantes com mais de 30 anos, entretanto, o dado disponível é o número de habitantes de idade inferior a esta. Assim, em primeiro lugar, devemos calcular o número de habitantes com mais de 30 anos na cidade (chamaremos de N): N = 230.000 – 50.000 = 180.000 (portanto, 180.000 habitantes da cidade possuem mais de 30 anos). Sabendo que a relação de percentagem é para um termo consequente igual a 100, a Regra de Três a ser montada será: 180.000 hab. ------------------------------------ 230.000 hab. X hab. ------------------------------------ 100 hab. Portanto, X . 230.000 = 180.000 . 100 X . 230.000 = 18.000.000 X = 78,3% 75
Unidade III 7.9 Cálculos de Diluição e Fracionamento
7.9.1 Unidades de medida principais Sem dúvida alguma, as duas medidas mais importantes dentro da área farmacêutica estão relacionadas à massa e volume. Portanto, é necessário saber a conversão básica entre subunidades de massa e volume para o cálculo correto de dosagens e fracionamentos. Sempre é bom lembrar que: a) grama (g): unidade de medida de massa ou quantidade. b) miligrama (mg): milésima parte da unidade grama. 1 g = 1000 mg c) litro (l ou L): unidade de volume ou capacidade. d) mililitro (ml ou mL): milésima parte da unidade litro. 1 L = 1000 mL Outras subunidades importantes: 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg = 106 mg = 109 ng ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Decigrama Centigrama Miligrama Micrograma Nanograma Essas mesmas subunidades podem ser empregadas para qualquer outra grandeza (ex.: volume, comprimento etc). Exemplo de aplicação
1. Um rótulo informa que existem 120 mg de princípio ativo por 100 mL de formulação. Qual será essa quantidade em gramas e microgramas? a) 0,24 g e 240 mg. b) 0,12 g e 120.000 mg. c) 0,10 g e 0,00010 mg. d) 1,20 g e 0,12 mg. e) 2,40 g e 24.000 mg. Resolução: 1 g ----------------------– 1000 mg X g ----------------------– 120 mg 76
matemática aplicada x . 1000 = 1 . 120 x = 120/1000 x = 0,12 g 1000 mg ----------------------– 106 mg 120 mg ----------------------– x mg x . 1000 = 106 . 120 x = 120 . 106 / 1.000 x = 120.000 mg 2. Um procedimento laboratorial solicita que se colete 0,080 L de uma solução. Sabendo-se que a vidraria a ser utilizada para coleta está em escala de mililitros (mL), qual deverá ser a marca observada na vidraria? a) 80 mL. b) 160 mL. c) 120 mL. d) 48 mL. e) 8 mL. Resolução: 1 L ----------------------– 1000 mL 0,080 L ----------------------– x mL x . 1 = 1000 . 0,080 x = 80 mL
7.9.2 Cálculos de concentração Ao se trabalhar com soluções, a forma mais indicada de estabelecer uma proporção entre a quantidade de soluto (ex.: princípio ativo) e a solução como um todo é pelo cálculo da concentração dessa solução. De maneira geral, a concentração pode ser definida como a forma como uma substância (de menor quantidade, a que chamaremos de soluto) distribui-se em outra (maior quantidade e a que chamaremos de solvente). As soluções são, portanto, a soma da quantidade de soluto e solvente presente na formulação ou reagente preparado. 77
Unidade III No caso específico das soluções, a concentração será a razão entre quantidade (massa) de soluto e capacidade (volume) total da solução. c=
m1 v
em que: m1 = massa do soluto V = volume da solução Principais unidades: g.L-1 (grama por litro) mg.L-1 (miligrama por litro) Exemplo de aplicação
1. Uma solução foi preparada pela adição de 20 g de hidróxido de cálcio em 900 mL de água. Indique qual será a concentração em g.L-1. a) 2,22. b) 22,2. c) 12,2. d) 1,22. e) 0,322. Resolução: para que se obtenha a concentração em grama por litro é primeiro necessário converter os 900 mL para litro. Como visto anteriormente, essa conversão resultará em 0,9 L. c=
20g 0, 9L
= 22,2g . L-1
2. Para dispensar corretamente uma formulação, você deve coletar um volume correspondente a 40 mg de princípio ativo de uma formulação na concentração 0,18 g.L-1. Qual deverá ser o volume coletado dessa solução? a) 0,22 L. b) 0,44 L. c) 1,22 L. d) 22 L. e) 4,4 L. 78
matemática aplicada Resolução: para efetuar esse cálculo, é necessário que a massa esteja em grama e o volume em litros. Portanto, primeiro, converteremos os 40 mg do soluto em grama. 1 g ----------------– 1.000 mg X g ---------------–- 40 mg X = 0,04 g Para obter o volume de solução a ser coletado, podemos substituir na fórmula de concentração: c=
m1 v
0,18 =
0, 04 v
0,18 . v = 0,04 v=
0, 04 = 0,22 L 0,18
7.9.3 Cálculos de diluição Diluição é a redução da concentração de uma solução pela adição de solvente. Trata-se de um cálculo envolvendo grandezas inversamente proporcionais e, portanto, pode ser resolvido de acordo com a propriedade fundamental das grandezas inversamente proporcionais: Ca . Va = Cb . Vb Em que: C = concentração e V = volume. A forma de representação correta de uma diluição segue a mesma adotada para uma razão convencional. Assim, diluição A : B pode ser descrita como a diluição da condição A para a condição B. Exemplo de aplicação
1. Deseja-se diluir uma solução de glicose 5%, de forma a obter 25 mL de uma solução 2%. Como proceder? Indique, em seguida aos cálculos, a alternativa de resposta correta. a) 12 mL. b) 10 mL. 79
Unidade III c) 14 mL. d) 1,5 mL. e) 50 mL. Resolução: ao relacionarmos as duas grandezas (concentração e volume) nas duas condições estudadas (diluída e concentrada), teremos: 5% ----------------------------– x mL 2% ----------------------------– 25 mL 5 . x = 25 . 2 5 . x = 50 X = 50/5 X = 10 mL Portanto, coletaremos 10 mL da solução 5%, transferiremos a outro frasco e completaremos até 25 mL com água para obtermos a solução 2%. 2. Um analista preparou uma solução 6 g.L-1 de glicose utilizando 20 mL de uma solução 18 g.L-1. Qual o volume final da solução diluída? a) 6 mL. b) 12 mL. c) 40 mL. d) 60 mL. e) 120 mL. Resolução: ao relacionarmos as duas grandezas (concentração e volume) nas duas condições estudadas (diluída e concentrada), teremos: x mL --------------------------------–- 6 g . L-1 20 mL ------------------------------–--- 18 g . L-1 Assim, 6 . x = 18 . 20 6 . x = 360 X = 360/6 80
matemática aplicada X = 60 mL Portanto, conseguiremos 60 mL da solução diluída ao empregarmos 20 mL de uma solução de 18 g . L para obtermos outra de concentração 6 g . L-1. -1
Saiba mais Uma das principais técnicas de análise química empregada na área química e farmacêutica é a titrimetria, também chamada de titulação, que envolve a determinação da concentração real em uma amostra a partir da adição controlada de um reagente de concentração conhecida. Após atingir o final da análise, no chamado ponto de equivalência, é possível descobrir a concentração na amostra pela mesma forma empregada no cálculo de diluição aqui aprendido: CAmostra x VAmostra = CReagente X VReagente Procure ler a respeito dessa técnica em livros de Química Geral e Inorgânica e observe como o cálculo de diluição está presente mesmo nas técnicas mais importantes dentro do controle de qualidade farmacêutico. Indicamos este: USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. v. 1. 7.9.4 Cálculos de doses orais e fracionamento de dose Os cálculos envolvendo fracionamento de dose podem ser facilmente solucionados, se obedecermos as regras de razão e proporção descritas anteriormente. Observação Os mesmos cálculos de fracionamento podem ser realizados pelo uso da seguinte fórmula: DP xQ=x DD em que: DP = dose prescrita; DD = dose disponível; Q = quantidade; x = dose a ser administrada. 81
Unidade III
Saiba mais Em unidades de terapia intensiva, as doses são prescritas em função da concentração do princípio ativo, e o profissional responsável deve efetuar cálculos visando manter um ou mais parâmetros (ex.: pressão arterial). Para mais informações sobre os cálculos de doses em infusões intravenosas e outros casos específicos relacionados a cálculos de dose, é interessante buscar livros de preparação de medicamentos como o da autora Mary Jo Boyer: Cálculo de dosagem e preparação de medicamentos. 7. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2010.
Resumo Equações são expressões matemáticas que buscam encontrar um valor desconhecido, tendo por base algumas informações. As funções matemáticas mais importantes são as de primeiro e segundo grau, exponenciais e logarítmicas. As funções de primeiro grau são também chamadas de função afim, sendo representadas sob a forma f(x) = a. X + b, em que a e b são constantes reais e X é a incógnita. Especificamente para as funções de primeiro grau, o termo a” pode ser chamado de coeficiente angular, e o termo b, de coeficiente linear da função, enquanto, graficamente, qualquer função de primeiro grau é representada por uma reta ascendente ou descendente em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y, vertical). As chamadas inequações de primeiro grau são funções matemáticas caracterizadas por uma desigualdade, de forma a desejar resultados maiores (>) ou menores (<) relacionados à equação. As funções quadráticas (também conhecidas por funções polinomiais de segundo grau) são toda e qualquer função dentro do conjunto dos números reais (R) que é dada por uma lei na forma f(x) = a . x2 + b . x + c, em que a, b e c são constantes reais e x é a incógnita. Para efetuar a resolução de qualquer cálculo de função quadrática, é necessário empregar a fórmula de Bháskara. Graficamente, toda função quadrática é representada por uma parábola. A proporção é a comparação por meio de igualdade entre duas razões numéricas. Assim, por regra geral, dizemos que os números a, b, c e d 82
matemática aplicada formam uma proporção quando a razão entre a e b for igual à razão entre c e d (considerando b e d ≠ 0). A principal regra da proporção leva em conta que a multiplicação entre os termos antecedentes de uma das razões, com os termos consequentes da outra, mantém a proporção. Duas grandezas A e B serão consideradas diretamente proporcionais quando a razão entre elas for mantida constante (a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3), enquanto poderão ser consideradas inversamente proporcionais toda vez que o produto entre os termos ascendente e consequente forem constantes para todas as razões formadas por elas (a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3). A Regra de Três é um método prático para resoluções, em que temos dois valores para uma grandeza e apenas um valor para a outra grandeza relacionada. Baseia-se na multiplicação em cruz característica da aplicação da regra fundamental da proporção, sendo que os termos de mesma grandeza devem ser posicionados um abaixo do outro. Os cálculos envolvendo percentagem (ou porcentagem) podem ser considerados como casos especiais envolvendo razão e proporção, em que a razão é sempre dada envolvendo termos consequentes de base dez e, com isso, gerando decimais entre 0 e 1. Assim, o valor 0,20 pode equivaler a 20%, e 0,56, equivaler a 56%. A concentração pode ser definida como a forma como uma substância (em menor quantidade, a que chamamos de soluto) distribui-se em outra (maior quantidade, a que chamamos de solvente). As soluções são, portanto, a soma da quantidade de soluto e solvente presente na formulação ou reagente preparado e seu cálculo será efetuado pela razão entre quantidade (massa) de soluto e capacidade (volume) total da solução. Exercícios Questão 01. Um paciente deverá utilizar uma determinada medicação de via oral por 5 dias, fazendo uso, a cada 8 h, de 200 mg de princípio ativo. Sabendo que cada frasco do medicamento contém 100 mL e que o rótulo indica que a cada 60 mL de medicamento há 900 mg de princípio ativo, qual o número de frascos necessários para completar este tratamento? A) 2. B) 3. C) 4. D) 5. E) 6.
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Unidade III Resolução: Primeiro, devemos descobrir a dose total em miligramas do princípio ativo que o paciente deverá utilizar: 8h ----------------------------- 200 mg 24h (1 dia) -------------------–--------- x mg X = 600 mg (por dia) Como o tratamento inteiro durará 5 dias: 600 . 5 = 3000 mg O paciente utilizará 3000 mg de princípio ativo durante todo o tratamento. Para sabermos o número de frascos necessário, teremos de converter o teor em massa para o volume de formulação correspondente: 60 mL formulação ----------------------------– 900 mg de princípio ativo X mL ----------------------------- 3000 mg X = 200 mL O paciente deverá utilizar um total de 200 mL de formulação. Como cada frasco contém 100 mL, conclui-se que serão necessários 2 frascos durante todo o tratamento. Questão 02. Um paciente de 60 kg deve receber 40 mg de fentanila contido em 250 mL de SG (solução glicofisiológica, 0,9% de sal e 5% de glicose) mantendo velocidade de infusão de 2 mg . kg-1. min-1. Indique qual a velocidade a ser ajustada na bomba de infusão eletrônica em mL . h-1. A) 45 mL/h. B) 120 mL/h. C) 0,45 mL/h. D) 1,20 mL/h. E) 7,2 mL/h. Resolução: Primeiro, devemos individualizar a informação para o paciente em questão: A dose de infusão deve, a cada minuto, ser de: 2 mg --------------------------–- 1 kg de massa corpórea X mg -------------------------–-- 60 kg 84
matemática aplicada X = 120 mg por minuto de infusão. Como a bomba deve ser ajustada em mililitro por hora, é necessário efetuar a conversão de minutos para a hora de infusão: 120 mg ---------------------– 1 min y mg ---------------------– 60 min (1 hora) y = 7200 mg por hora = 7,2 mg por hora Como a formulação contém 40 mg do princípio ativo em 250 mL: 40 mg ------------–----- 250 mL 7,2 mg ---–-------------- z mL z = 45 mL por hora. Questão 03. Foram prescritas 800 mg de dipirona sódica por via oral de 6/6 h. Quantos mL deverão ser administrados a cada 6h ao paciente e quantas gotas devem ser administradas, sabendo que, no rótulo do medicamento, está indicado que se trata de um frasco de 10 mL, cuja concentração presente é de 0,5 g/mL de dipirona sódica e que, a cada 20 gotas, se tem dose equivalente a 500 mg do princípio ativo? A) 1,6 mL ou 32 gotas. B) 3,2 mL ou 32 gotas. C) 12 mL ou 100 gotas. D) 4,8 mL ou 54 gotas. E) 5,6 mL ou 67 gotas. Resolução: 0,5 g ------------> 500 mg -------------------------– 1 mL 800 mg -------------------------– x mL 500 . x = 800 . 1 X = 800/500 X = 1,6 mL Deverá ser, então, administrada a dose de 1,6 mL de dipirona sódica a cada 6h. Para transformarmos para a dose em número de gotas, usaremos a relação descrita no rótulo: 85
Unidade III 20 gotas --------------------------------------– 500 mg X gotas --------------------------------------– 800 mg 500 . x = 20 . 800 X = 16000/500 X = 32 gotas. Questão 04. Administre 500 mg de um fármaco 2 vezes/dia. Ele está disponível em comprimidos de 250 mg. A) 2. B) 4. C) 6. D) 8. E) 12. Resolução: Substituindo na fórmula: DP x Q = x DD 500 x2=x 250 X = 4. Portanto, serão administrados 4 comprimidos no total ou dois comprimidos a cada 12h. Resposta: alternativa B.
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REFERÊNCIAS BOYER, M. J. Cálculo de dosagem e preparação de medicamentos. 7. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2010 BARBOSA, H. M; TORRES, B. B., FURLANETO, M. C. Microbiologia básica. São Paulo: Atheneu, 1999. IEZZI, G.; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática. 5. ed. São Paulo: Atual, 2011 GUELLI, O. Matemática. São Paulo: Ática, 2006. GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1985. MOORE, D. A estatística básica e sua prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. Mecânica. 4. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. v. 1. OKUNO. E; CALDAS, I.L.; CHOW, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1982. PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2005. ROCHA, L. M. Cálculo I. 11 ed. São Paulo: Atlas, 1994. v. 1. USBERCO, J.; SALVADOR, E. Química. 12. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. v. 1
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Informações: www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000