Confrey Socio Constructivismo

Confrey, J. (1995). A theory of intellectual development. For the Learning of Mathematics, 14, 3 (part I), 15, 1 (part II), 15, 2 (part III).

UNA TEORIA DEL DESARROLLO INTELECTUAL PARTE 1 En la última década del siglo XX, continuamos en educación matemática apoyándonos fuertemente en el trabajo de dos investigadores, Jean Piaget y Lev Vygotsky, para nuestras teorías del desarrollo intelectual. Estas teorías nos han ofrecido poderosas penetraciones en la mente humana y su desarrollo, transformando radicalmente nuestra comprensión de cómo los niños ven el mundo y cómo nosotros nos comprendemos a nosotros mismos como individuos dentro de un entorno histórico y cultural. Mientras estas penetraciones nos informan acerca de maneras importantes de aproximarnos a la educación, ellas también necesitan revisión a la luz de las actuales condiciones culturales e históricas en Norteamérica. Una variedad de hechos han creado una necesidad crítica para revisar tales teorías. Estos hechos incluyen cambios demográficos, un clima de reforma en la educación, la aparición de nuevas tecnologías, la presión de preocupaciones respecto al medio ambiente y asuntos de poder y opresión.

En este artículo propongo proporcionar breves resúmenes del constructivismo radical (como una de las interpretaciones de Piaget), y la perspectiva sociocultural (como una interpretación de Vygotsky). Los resúmenes incluirán los más importantes principios, las principales contribuciones a la educación matemática y las potenciales limitaciones. En un artículo anterior (Confrey, 1 994b), advertí a los lectores de combinar estas teorías de manera demasiado simplista. En éste, introduzco una nueva perspectiva teórica que integra las dos teorías por medio de la perspectiva feminista.

CONSTRUCTIVISMO RADICAL El constructivismo radical tiene un conjunto de raíces en el trabajo de la filosofía de la ciencia.

A partir de Carl Popper (1962) los filósofos de la ciencia empezaron a cambiar la visión de la ciencia como un crecimiento de información por medio de la aplicación cuidadosa del método científico. Popper asumió que sería la falsación más que la verificación y el crecimiento lo que dirigió el desarrollo del conocimiento científico, y prestó atención al papel de crítica experimentada en determinados procesos. Thomas Kuhn (1970) y Stephen Toulmin (1972) siguieron presentando diferentes consideraciones. Ellos sugirieron que el progreso científico no podría ser explicado adecuadamente sólo por el proceso de falsación de resultados empíricos. Argumentaron para el análisis de grandes estructuras que incluyeran demandas de conocimiento individual, metodologías, estándares, incluso las propias formas de probarlas. La verdad científica empezó a perder sus simples conexiones con la realidad. La estabilidad en lugar de la certeza podía ser conseguida basada en la robustez de la teoría o el marco

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paradigmático dentro de una comunidad científica. Kuhn propuso una visión revolucionaria argumentando la inconmensurabilidad de los paradigmas-y un proceso de reemplazo más que por una evolución gradual. Stephen Toulmin propuso una visión evolucionaria del desarrollo del conocimiento en la cual durante los períodos de cambio era cuando se alcanzaban los propósitos fundamentales de la persona.

La Filosofía de la ciencia Lakatos (1970), virtualmente el único filósofo de este tiempo en aplicar argumentos de filosofía de la ciencia al conocimiento matemático, propuso un marco alternativo en el cual el núcleo teórico de un programa de investigación permanecía inatacable directamente. Estaba rodeada por un cinturón protector de teorías y una cubierta de afirmaciones empíricas todas las cuales podían ser abandonadas bajo presión, aunque sólo fuera para asegurar la continuación del núcleo. En su bien conocido libro Pruebas y Refutaciones (1976), Lakatos demostró lo fructífero de aplicar tal perspectiva a la matemática, produciendo una “reconstrucción racional” irresistible de la conjetura de Euler concerniente a los vértices, aristas y caras de un poliedro. Su objetivo fue desafiar a los formalistas que mostraban a la matemática como “autoritaria, infalible, irrefutable”, y elaborar el punto que “las matemáticas informales, cuasiempíricas no crecen por medio de un incremento monótono del número teoremas establecidos firmemente sino por medio del incesante progreso de suposiciones por especulación y criticismo, por la lógica de pruebas y refutaciones”. Más tarde, particularmente con la introducción de demostraciones enriquecidas implementadas con computadoras, filósofos como Tymoczko (1979, 1984), Kalmar(1967) y otros empezaron a documentar que las matemáticas también están sujetas a cambios y que son de naturaleza cuasi empírica.

Todas estas teorías se unieron para cambiar la visión de la ciencia y en forma significativa pero menos extendida a las matemáticas, para hacerlas vulnerables a cambios sistemáticos, revisiones, debates y rechazos. Todas lucharon para explicar los procesos duales de estabilidad y cambio en la medida que aceptaron el relativismo en la empresa científica y matemática. Todas ellas desafiaron una visión simplista de la objetividad; en cada teoría lo subjetivo ya sea como proceso psicológico o como proceso sociológico, estaba inexorablemente involucrado.

En educación, particularmente en ciencia de la educación, estos debates filosóficos rápidamente influenciaron las discusiones sobre el aprendizaje de los estudiantes. El clásico artículo de Karmiloff-Smith y Inhelder (1975), “si tu quieres progresar, consigue una teoría” documentaba que la aproximación al estudiante y la observación estaba también cargada de teoría. Driver y Easly (1978) aplicaron tales visiones de orientación teórica para sugerir que las interpretaciones erróneas de los estudiantes podían ser mejor vistas a la luz de marcos conceptuales en los cuales hay una interacción entre modelos mentales y la impresión sensorial de un fenómeno. Desde este desarrollo se documentó una robusta serie de trabajos de investigación acerca de las concepciones de los estudiantes y como éstos mostraban persistencia, penetración, racionalidad, originalidad e integridad intelectual. Hawkins, Apelman, Colton, y Flexner (1982) y Brousseau (1984) tomaron la posición de que el paso a través de estas barreras críticas, estos obstáculos epistemológicos, constituían una parte importante del aprendizaje. En particular, estos investigadores pioneros condujeron a sus comunidades a reconocer que la mayoría de lo que estaba siendo etiquetado errores de estudiante e interpretaciones erróneas actualmente representaban puntos de vista alternativos legítimos. Estos investigadores desafiaron las formas tradicionales de evaluar y aprendieron a

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escuchar a los estudiantes a proponer condiciones para el cambio conceptual y para investigar sistemas mayores de estructuras cognitivas.

Piaget El trabajo de Piaget está excepcionalmente bien adaptado para formar la base conceptual que une la filosofía de la ciencia a las teorías del aprendizaje. En primer lugar, Piaget fue un biólogo que llegó a ser un especialista en el desarrollo de los niños así que incorporó naturalmente una perspectiva evolutiva dentro de sus teorías. Los filósofos esforzándose en dar sentido a la historia de la ciencia y los especialistas en desarrollo examinando la historia de las ideas de los niños formaron un vínculo intelectual.

Piaget fue también un excelente candidato para establecer puentes porque examinó el desarrollo en los niños de conceptos organizadores como espacio, tiempo y número e identificó los cambios de desarrollo que los niños tienen por medio de la experiencia, el tiempo y la ayuda. El efecto de combinar el trabajo de Piaget y la filosofía de la ciencia fue enfatizar la importancia de las cuestiones epistemológicas, y desafiar la suposición de que los mundos de los niños eran simplemente representaciones inadecuadas o incompletas de los mundos de los adultos. Tales contribuciones eran necesarias para la construcción de una perspectiva constructivista radical en educación matemática.

En este artículo, distingo entre constructivismo y constructivismo radical. Los constructivistas argumentan la importancia de la participación activa de los niños en la construcción de conceptos. Ellos rechazan la visión de que la mente de los niños son pizarras en blanco, y creen que debe haber discusiones significativas e interacciones en tomo a la variedad de estrategias que proponen los estudiantes. Sin embargo para ello, la meta de la instrucción, el carácter del conocimiento matemático, es rara vez cuestionado. Los constructivistas generalmente buscan reproducir en los estudiantes las mismas ideas matemáticas que ellos a su vez tienen y que dominan los matemáticos modernos. Poca investigación se ha hecho sobre el significado de las ideas matemáticas a través de métodos históricos, interculturales o interdisciplinarios. Generalmente el constructivismo es reiterativo en sus objetivos y sólo modestamente revisionario. Los métodos de instrucción son reformados y el foco es más psicológico que epistemológico.

El constructivismo radical es una teoría cuyas raíces yacen en el rechazo de afirmaciones ilegítimas sobre la certeza epistemológica. Si se acepta la posición de que el conocimiento no puede ser mostrado para representar realidades de una manera icónica, como una pintura del mundo, entonces uno se queda con una construcción más subjetiva de la realidad, subjetiva en el sentido de que se abandona el esfuerzo por separar al sujeto humano del proceso. Aunque el constructivismo radical es relativista en contraste al realista, ese relativismo es atemperado por la estabilidad que se alcanza por el individuo en relación a su experiencia. Otros ejercen una significativa influencia en esas experiencias. El programa del constructivismo radical considera que el individuo adquiere sentido de experiencia con el fin de satisfacer una necesidad esencial de ganar poder de predicción y control sobre el entorno de uno. Muchos de los esfuerzos de los investigadores en esta tradición han estado dedicados a describir cómo el individuo construye (más bien que adquiere pasivamente) el conocimiento del mundo.

Un marco para el constructivismo radical En Confrey (en prensa), argumento que el programa constructivista radical puede ser resumido en cuatro “bloques”:

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1. Epistemología genética.

La construcción del conocimiento ocurre a través del tiempo; para comprender una idea uno necesita examinar su construcción, ontogenéticamente y filogenéticamente. Piaget explícitamente niega el punto de vista de que “la epistemología es el estudio del conocimiento como existe en el momento presente; no es el análisis del conocimiento por sí mismo y dentro de su propio marco sin consideración por el desarrollo” (Piaget, 1970). Esta afirmación compromete a un educador a “crear la necesidad” por una idea más que informar a alguien de los contenidos de una afirmación. De acuerdo con Piaget (1970), “la hipótesis fundamental de la epistemología genética es que hay un paralelismo entre el progreso hecho en la organización lógica y racional del conocimiento y el proceso psicológico formativo correspondiente”. Este paralelismo no necesita ser asumido para argumentar una recapitulación, el desarrollo sigue rutas históricas, sino que afirma sólo que las rutas históricas son una fuente rica de diversidad que puede informamos acerca del desarrollo de rutas alternativas.

2. Epistemología radical.

“El conocimiento no refleja una realidad ontológica “objetiva”, sino exclusivamente un orden y organización de un mundo constituido por nuestra experiencia. El constructivismo radical ha renunciado al “realismo metafísico” de una vez para siempre, y se encuentra en completo acuerdo con Piaget quien dice, “la inteligencia organiza el mundo organizándose a si misma” (von Glasersfeld, 1984). O citando a Vico, “Verum ipso factum-la verdad es lo mismo que lo hecho”, y “el conocimiento humano es nada más que el intento por hacer cosas correspondientes una a otras en la misma proporción”. Mediante estas citas, nosotros vemos que el constructivismo radical tiene dos partes: 1) El constructivismo rechaza una teoría representacionista del conocimiento (que estamos progresando hacia una cada vez más exacta visión de la “manera en que las cosas realmente son”).

2) El contructivismo impone el requisito de que conocer algo es actuar sobre ello, de modo que el conocimiento consiste en acciones y reflexión sobre esas acciones.”...Todo el conocimiento es necesariamente un producto de nuestros propios actos” [Confrey, 1 990b, p.l08].

Corolario 1: Fidelidad recursiva El constructivismo está sujeto a sus propias demandas sobre los límites del conocimiento. Así, es sólo verdadero hasta el punto en que es mostrado como útil o viable para permitimos dar sentido a nuestras experiencias y hacer predicciones.

Corolario 2: Presencia del observador En cada afirmación epistemológica, un observador está presente. Las afirmaciones no pueden ser sin objeto ; un problema es definido por alguien que lo propone. Cuando uno acepta una afirmación epistemológica, está poniéndose de acuerdo, o más bien acordando estar de acuerdo con el que la ha propuesto. Esto significa que cuando pretendemos hablar de cognición, educación, resolución de problemas, matemáticas, o aprendizaje y enseñanza, debemos tener particular cuidado en reconocer el papel del observador en la descripción y análisis del problema. En el programa de investigación del constructivismo radical, esto ha significado el establecimiento de claras pautas metodológicas concernientes a la importancia de “escuchar de cerca” [Confrey,1993], el cuidadoso manejo de entrevistas clínicas y la articulación de modelos de pensamiento del estudiante [Cobb y Steffe, 1983]. Más recientemente, he revisado aún más esta discusión para incluir la importancia de reconocer el

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papel de la perspectiva del observador en el desarrollo de la voz del estudiante y de la importancia de usar la voz para ayudamos en la comprensión de nuestras propias creencias y compromisos epistemológicos [Confrey, 1994b].

3. Teoría del esquema El primer punto especifica que el conocimiento sólo puede ser comprendido examinando su génesis. El segundo rechaza la idea de que lo que eventualmente se afirma que es conocimiento no puede asegurarse que es “lo que realmente es el mundo”. Ambos principios conducen a la identificación del aprendizaje, del llegar a conocer, como una situación crítica para la investigación. Como ha dicho Piaget, “Nada podría ser más accesible al estudio que la ontogénesis de estas nociones. Hay niños por todas partes alrededor de nosotros. Es con niños con quien tenemos la mejor oportunidad de estudiar el desarrollo del conocimiento lógico, conocimiento matemático, conocimiento físico y así sucesivamente” [Piaget, 1970, p. 14]. Además, la posición de la epistemología genética (como lo estableció Piaget) es que .. . “conocer un objeto no significa copiarlo - significa actuar sobre él. Significa construir sistemas de transformaciones que puedan ser llevadas a cabo sobre o con ese objeto.

Conocer la realidad significa construir sistemas de transformaciones que correspondan, más o menos adecuadamente, con la realidad. Estas son más o menos transformaciones isomorfas de la realidad. [3] Las estructuras de transformación en las cuales consiste el conocimiento no son copias de las transformaciones en la realidad; son simplemente posibles modelos isomorfos de entre los cuales la experiencia nos capacita para elegir. El conocimiento, entonces, es un sistema de transformaciones que se hacen progresivamente adecuadas” [ibid., p.l5]. ¿Cómo pueden estas transformaciones ser comprendidas?

Para Piaget, “el aspecto operativo del pensamiento no trata con estados, sino con transformaciones de un estado en otro” [1970, p. l 4]. Esto ocurre primero al nivel de la acción, actividad dirigida con un fin. Cuando estas acciones cumplen nuestras metas, las abstraemos. Hay dos clases de abstracción: abstracción simple, derivada del objeto, y abstracción reflexiva, derivada de la acción sobre el objeto. Es reflexiva en tanto que se mueve de la acción a la operación, y en tanto que implica una “reorganización a nivel del pensamiento en sí mismo” [ibid., p.l8]. “ La abstracción reflexiva no está basada en acciones individuales, sino en la coordinación de acciones” [ibid., p. l8]. Las operaciones son el resultado de abstraer las acciones reflexivamente. Las operaciones poseen cuatro cualidades: 1) son acciones internalizadas, 2) son reversibles, 3) suponen algún invariante, y 4) existen dentro de un sistema de operaciones. La teoría del esquema es una forma de debatir el desarrollo de cursos de acción estables y predecibles. Para Piaget, un esquema es “cualquier cosa que es repetida o generalizable en una acción” [ibid., p34].

Los esquemas implican la anticipación y/o el reconocimiento de una situación. Para el constructivista, un papel fundamental es asignado a las “diferencias”. Primero, hubo una diferencia, una perturbación, que es observada. Para el constructivista, el niño debe “surgir de una inmersión” [Kegan, 1982, p.’78] en que el recién nacido se considera que vive en un mundo sin objeto, continuo, atemporal, “mundo en el cual todo lo percibido es tomado como una extensión del niño” [ibid., p.78]. Esto es, no hay distinción entre lo que es el niño y lo que no es el niño; para el niño, no hay límite. El niño aprende a crear distinciones que conducen a su “salida del huevo” [ibid., p.8O]. Sin distinción, no hay patrones de comportamiento. Una diferencia crea una perturbación que es una llamada a la acción. Esta perturbación y la acción para resolverla son internalizadas a través del proceso de abstracción reflexiva. La totalidad de la estructura que se crea, si la secuencia de perturbación, acción, abstracción reflexiva es

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repetida hasta que la acción toma la forma de una operación, es calificada de esquema (figura 1). Para el constructivista radical, la unidad de análisis es un esquema con su génesis y modificación. Un esquema para el constructivista proporciona lo que Vygotsky llamó el “microcosmos investigable” [Wertsch, 1985, p. 193]. En contraste con Piaget, para Vygotsky el microcosmos investigable es la palabra.

PROBLEMATICO

REFLEXION

ACCION

Figura 1 Se sigue de la teoría del esquema que el niño avanza a través de etapas de desarrollo en donde los constructos puede no reflejar los de los adultos. Las visiones de los niños no son miniaturas de las visiones de los adultos; sus visiones no son meramente piezas que faltan; no son inadecuadas para los propósitos para los cuales han sido construidas. Las visiones de los niños son construidas de forma diferente, porque la tarea completa de la situación puede ser vista de forma diferente, y porque el mundo sensorio perceptual de un niño para construir conceptos es diferente al de los adultos. El mundo sensorio y perceptual de un niño responde al mundo que el niño ha construido, las experiencias que él o ella ha tenido, y las teorías que él o ella ha creado. La implicación de esto es que cuando se examinan las representaciones, expresiones, preferencias o formas de hablar de un niño, no se debe suponer que sus propias visiones de conocimiento proporcionan suficiente o adecuada preparación para comprender a ese niño. Esto sugiere también que el conocimiento del niño es epistemológicamente intrigante, pues proporciona legítimas (y útiles) alternativas al conocimiento del adulto.

La importancia de la teoría del esquema no sólo descansa en la identificación de esquemas, sino en la potencial construcción recursiva creada por el conocimiento sobre los esquemas: Construimos este mundo en su mayor parte de manera inconsciente, simplemente porque no sabemos cómo lo hacemos. Esta ignorancia es bastante innecesaria. El constructivismo radical mantiene... que las operaciones por medio de las cuales reunimos nuestro mundo experiencial pueden ser exploradas y que una conciencia de este operar... puede ayudamos a hacerlo de otro modo, y, quizás, mejor [von Glasersfeld, 1984, p.l8].

Modelización y la construcción de otros La discusión de “otros” en von Glasersfeld [1982] proviene de un argumento de niños jóvenes que inspiran vida a los objetos, y más tarde renuncian a ellos, porque no se le agrega predicción y control.[4] Él argumenta en cuanto a la viabilidad de crear “modelos de Otros que.. .vienen a ser considerados como perceptores, conocedores y actores intencionados, porque tal inversión los hace, en efecto, más predecibles” [p.613 1]. El énfasis sobre los modelos es esencial porque enfatiza que ningún acceso privilegiado es concedido a nuestro

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conocimiento otros. Permanecemos dentro de nuestros confines subjetivos, construyendo modelos viables de los otros en nuestro medio ambiente a través de la experiencia. Como resalta von Glasersfeld, “...cuando un sujeto siente o dice que comprende a Otro, esto implica nada más que las estructuras cognitivas que el sujeto ha atribuido a su modelo del Otro han resultado hasta ahora, o una vez más, viables en la interpretación de la experiencia del sujeto sobre el otro” [p.6132]. Los investigadores en la tradición constructivista han insistido en que tales modelos son el único producto posible de las investigaciones de los niños y que son “las matemáticas de los niños, aun cuando no pretenden caracterizar cómo es realmente el conocimiento matemático de los niños [Cobb y Steffe, 1983, p.l13].

He argumentado que una visión constructivista de la instrucción reconoce el papel clave de la “reflexión, comunicación/ interpretación, y el uso de recursos” [Confrey,1985].

Rechazando la visión de que la comunicación ,la transferencia de información, hice hincapié en la importancia de los actos interpretativos. Más recientemente, s investigadores constructivistas [Cobb, Wood y Yackel, 1991] han propuesto que en una comunidad de estudiantes se desarrolla una forma de conocimiento que ellos describen como “tomado como conocimiento compartido”, una frase usada para indicar la provisionalidad de la comunicación.

En nuestro propio trabajo, hemos preferido usar el término “ponerse de acuerdo en ponerse de acuerdo” para enfatizar que son los participantes, y no algún observador externo, quienes se ponen de acuerdo para asumir una comunicación fructífera, hasta el momento i que esos acuerdos son puestos en duda por una u otra parte.

Las contribuciones del constructivismo radical La perspectiva del constructivismo radical ha contribuido significativamente a la reforma en educación matemática. Su contribución principal ha sido desafiar el rígido clima evaluativo de la clase de matemáticas. En lugar de la rápida calificación de las respuestas de los alumnos como verdaderas o falsas y la no consideración de s diferencias, el punto de vista del constructivista radical ha legitimado la diversidad entre los individuos como la parte fundamental del aprendizaje. También ha exaltado la discusión de los temas epistemológicos como central y problemática, más que suponer que el conocimiento establecido es irrebatible.

Como manifestó Susan Jo Rusell, el constructivismo nos ha capacitado para reconocer “la complejidad de las ideas aparentemente simples” 993, p.7]. En parte, esto es porque el constructivismo ha demostrado que la comprensión de lo que los niños icen requiere descender de una perspectiva adulta e imaginar cómo las acciones y expresiones de un niño tienen sentido desde la perspectiva del niño. Y al hacerlo, las matemáticas han llegado a ser un asunto de comunicación e interpretación, y no sólo la documentación de la necesidad lógica.

Finalmente, los constructivistas han sido significativamente efectivos en desafiar el modo pasivo de aprendizaje, poniendo en práctica el uso de manipulaciones, problemas contextualizados, el uso de pequeños grupos de trabajo, y la coordinación de las acciones, operaciones y representaciones.

Para demostrar estas ideas, consideremos el siguiente ejemplo del trabajo anterior de nuestro grupo de investigación [Confrey, 1991 a]. Se demostró cómo una estudiante de primer año de universidad llamada Suzanne construyó un lista numérica para presentar un conjunto de acontecimientos históricos desde el Big Bang hasta el presente. Ella hizo eso construyendo una escala que tenía dos clases diferentes de unidades (Figura 2). Las unidades grandes eran señaladas con potencias de 10 (multiplicativamente), y las unidades pequeñas estaban en incrementos aditivos contando desde la potencia inferior de 10 a la superior (por ejemplo, de l0~(10.000.000) a 20.000.000, 0.000.000, 40.000.000,...90.000.000 y 100.000.000 (10~)).

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Esto le dio nueve intervalos aditivos entre sus potencias de diez. Al principio, evaluamos su exposición como inadecuada, ya que incorporaba un cambio de unidades. Sin embargo, reflexionando, nos dimos cuenta de que la solución tenía una gran dosis de legitimidad y que éramos nosotros quienes estábamos respondiendo inflexiblemente. Nuestras razones para cambiar nuestra opinión de la validez epistemológica de su modo de enfocar la cuestión incluían: 1) su facilidad para trabajar con intervalos que cortaban sus intervalos multiplicativos, 2) su flexibilidad al cambiar entre las formas de representación (desde la notación científica hasta la flotación decimal extendida) y 3) la visión que su exposición ofrecía sobre la notación científica. Debido a su trabajo, nosotros reconocimos que su exposición visual corría paralela con la organización de la flotación científica que está segmentada dentro el recuento familiar de números entre 1 y 10 (como sus unidades aditivas) y órdenes de magnitud (como sus unidades multiplicativas). Finalmente, su trabajo nos puso un apropiado desafío: cómo proyectar una tarea que alentara a un estudiante a querer crear una escala puramente logarítmica.

¿ 90 80 70 60 50 40 30 20 millones 1.0x109

1.0x108 100.000.000

1.0x107 10.000.000

Figura 2 Un segundo ejemplo nos llega de una investigación llevada a cabo por Russell y Corbin (1991) (5) y demuestra el papel de la comunicación, la interpretación y el razonamiento matemático en el programa constructivista. En un proyecto titulado “Hablando de Matemáticas”, los profesores del proyecto trabajaban en la construcción de pirámides. Ellos cortaban y construían pirámides de bases regulares, triangulares, cuadradas, hexagonales, octogonales, a partir de sus desarrollos bidimensionales. Se les pidió que formularan conjeturas acerca de la relación que hay entre el número de vértices, aristas y lados. En la forma, esto no parece ser una lección muy diferente de la que podría proponer un defensor del aprendizaje por descubrimiento. Sin embargo, en esta coyuntura, los instructores se apartaron del formato de aprendizaje por descubrimiento. Se encontraron con la siguiente afirmación de los profesores: “la cúspide de la pirámide”, reclamaban algunos profesores, “no debería ser contada como una esquina. Es un punto. Sólamente las que están en la base cuentan como esquinas.”

Los instructores animaron a los profesores a poner de manifiesto sus argumentos.

Algunos de los argumentos que prosperaron fueron: 1.

Una esquina debe ser lugar de encuentro de tres planos sólamente ( lo cual es cierto sólo en las esquinas de la base y, en cuanto al punto del tetraedro, los profesores establecieron que, en el tetraedro, cualquier cara podía ser considerada como base).

2. La hoja explicativa de la actividad, que se había repartido a los profesores, definía las pirámides diciendo que “teniendo un punto” , lo cual legitimaba la distinción.

3.

Las esquinas pueden ser definidas como formadas por dos rectas (como en la esquina de una hoja de papel ) y asi cada “esquina de la pirámide en realidad tiene tres (o más) esquinas”.

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4. Las esquinas en la calle, en las habitaciones, (N.del T. en inglés no hay distinción entre rincón y esquina ) están todas formadas por tres planos que se juntan, sin embargo, desde el exterior tienen apariencia de puntos.

5. Antes de que las pirámides fueran construidas, estaban representadas a través de sus desarrollos bidimensionales. En ellos, las esquinas de la base aparecían de modo muy diferente a los “puntos” ,los cuales aparecían varias veces en lo alto de cada triángulo que partía de la base.

A continuación los instructores podían simplemente haber restringido los debates introduciendo la definición de vértice para referirse, a la vez, a esquinas y puntos. Sin embargo, en vez de eso, se quedaron observando a los profesores comprometiéndose en acalorados debates de carácter matemático que enseñaron a los profesores a mejorar sus modos de argumentación. Muchos profesores del grupo siguieron utilizando la misma forma de trabajo y favoreciendo la aparición de discusiones similares entre sus alumnos en sus lugares de trabajo.

Limitaciones de la perspectiva constructivista.

Es difícil distinguir en una perspectiva teórica poderosa entre las cualidades de la teoría que quedan limitadas a causa de su fracaso en ser exitosamente implementadas y aquellas que son limitaciones inherentes dentro de la perspectiva.

Quiero sugerir tres limitaciones del programa constructivista: 1. Muchos constructivistas asumen una visión incremental de la construcción del conocimiento según la cual este avanza atravesando por distintas etapas. Como consecuencia muchos defensores del constructivismo han concentrado la atención en los niveles elementales, y han desatendido la educación secundaria y post-secundaria. Este resultado es parcialmente inherente en la perspectiva teórica en la cual: a) Las etapas de Piaget implican que hay una transición de las operaciones concretas a las operaciones abstractas formales con un nivel intermedio de desarrollo y, de este modo, dejan intactas las creencias de que, en los niveles de desarrollo superiores, disminuye la influencia del entorno y se piensa que la dependencia de la manipulación formal de símbolos es una forma de pensamiento más sofisticada.; y b) se asume una visión racionalista del desarrollo del conocimiento según la cual hay caminos bien definidos hacia las formas de conocimiento más complejas y el movimiento se produce siempre de las formas simples a las complejas. Así, por ejemplo, en la investigación del paso de los modelos de conteo en las estructuras aditivas hacia las estructuras multiplicativas (Steffe, 1994), vemos evidencias de un paso sistemático a través de los tipos de conteo hacia los tipos de unidades que es de visión creciente pero rara vez reconoce estructuras competentes y aproximaciones alternativas. Yo he propuesto en contra otra aproximación al tema en mi trabajo “spliting” (haciendo partes) en el cual he planteado raices complementarias aunque independientes para la multiplicación, división y las razones a las del conteo (Confrey, 1994a). En este argumentación, la geometría juega un papel importante como forma de pensamiento divergente de la numérica. Una visión alternativa del desarrollo del conocimiento que hace igualmente necesario considerar el nivel secundario es asumir una visión en la que el paso por una serie de etapas en el desarrollo del conocimiento ceda un poco de modo que la complejidad pueda ser vivida y abarcada con creciente profundidad. Desde una visión tal, el contexto no solamente crea el propósito para una actividad dirigida, sino que crea estructuras

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de participación que animan incrementando la conciencia de complejidad.(Sabelli, 1993; Lave y Wenger, 1991; Smith,1993).

2. Las aproximaciones constructivistas pueden ser criticadas por proponer una visión de la cognición universalista o esencialista entre las clasificaciones con excepción de las de edad.

La viabilidad parece explicar como el carácter del conocimiento cambia en función de la edad, pero se pone menor atención en cómo la viabilidad debe también llevar a diferencias entre chicos procedentes de distintas culturas, razas o géneros. El constructivismo ha obtenido resultados en la documentación sobre la diversidad de los métodos de los estudiantes, pero no existe prácticamente ninguna discusión en la literatura que explique las diferencias sistemáticas entre estudiantes clasificados por cultura, raza o género. Una explicación posible de este hecho se encuentra en la tendencia del programa constructivista a conceder una importancia decisiva a la autonomia del individuo. Como tengo escrito, la autonomía es la columna vertebral del constructivismo. Sin embargo, poner énfasis en la autonomía puede conducirnos a devaluar o menospreciar a los individuos que se resisten a mostrar juicios independientes, prefiriendo quizá ganar el consenso del grupo, no llamar la atención, o mostrar respeto a la autoridad. El constructivismo necesita ser capaz de explicar las diferencias en actuaciones, comportamientos, u oportunidad en relación a pertenencia a un grupo 3.

El constructivismo puede carecer de una teoría adecuada de la instrucción. En el constructivismo los alumnos son magníficamente animados a articular sus puntos de vista y explicar sus razonamientos. Sin embargo, los profesores, cuando necesitan hacer uso de esa diversidad de ideas, se encuentran perdidos. Los profesores expresan el temor de decir, la creencia de que el constructivismo los compromete a rechazar informar las discusiones con la opinión de un experto o llevar las discusiones a su fin. El constructivismo parece asumir que una teoría del aprendizaje produce una teoría adecuada de la enseñanza. Como resultado, las clases constructivistas pueden carecer de dirección y progreso y han sido criticadas describiéndose por algunos como “compartir la ignorancia”. Además, el constructivismo parece implicar que todas las conductas imitativas producen aprendizajes memorísticos. Una perspectiva asi ignora el modo en que las conductas imitativas pueden ser transformadas en aprendizajes significativos y como el acto de imitar es una forma de iniciación adulto-niño, experto-novato. Una teoría de la instrucción debería ayudar a diferenciar aquellas ocasiones en los cuales la imitación se convierte en una farsa de aquellas en los que se transforma en una comprensión más profunda.

Planteo estas críticas como desafío para nosotros como teóricos del constructivismo.

Propongo que los elementos de la perspectiva socio-cultural nos ayudan a dar respuestas a estas críticas.

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Una teoría del desarrollo intelectual Jere confrey (Parte II) PERSPECTIVA SOCIO-CULTURAL En la pasada década, el trabajo de Vigotsky ha obtenido atención y elogios generalizados.

Indiscutiblemente el trabajo es merecedor de un estudio cuidadoso. De acuerdo con sus propios principios fundamentales, la propia teoría es un producto de su situación históricocultural, y al examinarla se necesita comprenderla primero desde dentro de su época y, a continuación, considerar cómo podría ser modificada a la luz de la situación histórica y cultural actual. Trataré de demostrar en este trabajo que la teoría de Vigotsky puede sustentar dos interpretaciones opuestas, una que fundamentalmente, sustenta la reforma y otra que puede, de hecho, socavarla.

Para empezar, se ofrece un resumen de la teoría de Vigotsky. Vigotsky se propuso desarrollar una teoría del desarrollo intelectual que debería: 1) Reconocer un papel central para las influencias sociales y culturales: 2) Construir partiendo de las características que distinguen al hombre de los demás animales; 3) Crear una Psicología marxista (Werst, 1985); y 4) Contribuir al programa social de hacer la alfabetización accesible a todos. Debería tenerse en cuenta que las contribuciones de Vigotsky se hicieron en un momento en el que existía un sentimiento de orgullo triunfante y confianza en el poder de la ciencia para mejorar la calidad de vida, en que la alfabetización era vista como un importante logro, conllevando solo ganancias y no pérdidas, y se asumía que la alfabetización debía ser alcanzada por la mayoría de la gente de una forma relativamente uniforme (John-Steiner, 1985). Mi discusión de la perspectiva Vigotskiana está organizada en seis categorías principales: 1) la perspectiva sociocultural; 2) la influencia marxista del análisis histórico y el papel del trabajo; 3) los instrumentos semióticos y psicológicos; 4) la dialéctica de pensamiento y lenguaje; 5) el desarrollo conceptual; y 6) el aprendizaje y el desarrollo.

Un marco para la teoría de Vigotsky.

1. Perspectiva socio-cultural El principio central de Vigotsky consistía en que los factores socio-culturales eran esenciales en el desarrollo de la mente. De hecho, para Vigotsky, el individuo emerge a partir de un contexto socio-cultural. Todo el desarrollo intelectual, incluyendo significado, memoria, atención, pensamiento, percepción, y consciencia, evoluciona partiendo de lo interpersonal (social ) hacia lo intrapersonal (individual ). Para Vigotsky, “la dimensión social de la consciencia es fundamental en el tiempo y de hecho. La dimensión individual es derivada y secundaria” (Wertsch, 1985, p.58). “... el verdadero mecanismo subyacente en las funciones mentales superiores es una copia de las interacciones sociales. Todas las funciones mentales superiores son relaciones sociales internalizadas” (p. 66). Vigotsky buscaba examinar “cómo la colectividad crea la actividad cognitiva superior en el niño”.(Vigotsky, 1981, p.165).

Esta visión conlleva un cambio de paradigma en la conceptualización del aprendizaje del niño. El aprendizaje del niño deja de ser visto como un sistema autoregulador que forma conexiones con los demás como otros sistemas autoreguladores individuales. La verdadera

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identidad de el-ella emerge de las relaciones socio-culturales. Vigotsky distinguía dos lineas de desarrollo, la natural y la sociocultural, y para él era la socio-cultural la que distinguía a los humanos de los demás animales. Teóricamente, la teoría deVigotsky sostuvo que “las dos lineas de cambio (la natural y la cultural) se interpenetraban dando lugar a una sola linea de formación sociobiológica de la personalidad del niño”. (ibid. ,p.41). Metodológicamente, Vigotsky ponía el énfasis en el impacto de lo sociocultural sobre lo natural. Como lo describía Werstch, el trabajo empírico de Vigotsky está concentrado en “... la linea natural que suministra los “materiales brutos” que son después transformados por las fuerzas culturales” (ibid, p.43).

2. Las influencias marxistas: El análisis genético y el papel del trabajo Un segundo principio central de la teoría de Vigotsky era su compromiso con la creación de una Psicología marxista. A pesar de que cada vez los psicólogos rusos ponen menos énfasis en esta característica, a la luz de la desintegración de la Unión Soviética, su influencia sobre el desarrollo de la teoría de Vigotsky fue profunda. En este trabajo haré hncapié en dos componentes de la teoría marxista: la dialéctica y el materialismo histórico. Según fue descrito por Cole y Scribner, “Una aplicación relevante de la dialéctica y el materialismo histórico sería un resumen preciso de la teoría socio-cultural de Vigotsky sobre los procesos mentales superiores”. (Vigotsky, 1978, p.6).

Materialismo histórico Para examinar el desarrollo del pensamiento cognitivo debemos proceder a un análisis histórico. De acuerdo con esta teoría uno examina las condiciones y la trayectoria que produjeron el estado actual de un objeto para conocer cual es aquel estado actual de dicho objeto. Vigotsky escribió que una imagen positiva del niño, como opuesta a una negativa, que especifica únicamente las carencias del niño, que llega a ser posible sólo si cambiamos radicalmente nuestra idea del desarrollo del niño y si tomamos en consideración el hecho de que representa un proceso dialéctico complejo caracterizado por ser multifacético, periódico en el tiempo, por desproporción en el desarrollo de varias funciones, por metamorfosis o conversiones cualitativas de un conjunto de formas dentro de otras, por complejas combinaciones de procesos de evolución e involución, por una compleja mezcla de factores internos y externos, y por el proceso de adaptación y superación de dificultades” (ibid.,p.151).

Este compromiso al “análisis genético”, como el de Piaget a la “epistemología genética”, sugiere que uno debe examinar la génesis de las funciones mentales superiores para comprenderlas.

Materialismo dialéctico Marx y Engels enfatizaron el papel central del trabajo en el desarrollo cultural. En su trabajo, sostenían que era a través del acto de producción como se revelaba la verdad de una idea. Davydov tomó esta misma posición cuando escribió, “la actividad productiva que comprende los objetos prácticos-el trabajo- es la base de todo el conocimiento humano”(Davydov, 1990,p. 232).Engels mismo escribió, “... La más altamente esencial e inmediata base para el pensamiento humano es precisamente la modificación humana de la naturaleza, más que la naturaleza sola como tal, y la razón del hombre se ha desarrollado de acuerdo a como el hombre ha aprendido a modificar la naturaleza (ibid., p. 232).

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Davydov, un seguidor de Vygotsky y un educador matemático, recalca que es a través del proceso de trabajo, a través de las transformaciones de objetos utilizando herramientas, que las condiciones incidentales de un objeto son factorizadas, sus invarianzas pueden ser vistas y “sus propiedades internas esenciales-las formas necesarias de su movimiento” se revelan (ibid., p. 234). Las características internas o esenciales de un objeto, la objetividad en el sentido de Davydov , “(en) contraste a lo externo tiene existencia sólo en una relación, tiene un ser reflejado más que un ser inmediato, un ser mediado en sí mismo” (ibid., p. 234).

De estas citas, uno adquiere el sentido de la centralidad de la actividad de trabajo sobre el conocimiento para Marx, Engels, y subsiguientemente Vygotsky. También, uno aprende que el carácter interno de los objetos no es una cosa perceptual directa sino una significación relacional mediada. Finalmente, las herramientas como los medios de transformación del trabajo, poseen un papel central a la vez como medios de transmisión cultural y como íntimamente asociadas con los resultados del trabajo. Vygotsky escribió, “si uno cambia las herramientas de pensamiento disponibles a un niño, su mente tendrá una estructura radicalmente diferente” (Vygotsky, 1978, p. 126). Construyó desde este énfasis central sobre el uso de herramientas en dos formas : (1) sostuvo que los lingüistas que tratan de comprender el desarrollo del lenguaje sin mirar al uso de herramientas fallan en reconocer la interconexión entre los dos sistemas de actividad práctica (como se evidenciada por el dominio de las herramientas) y el discurso ; y ( 2) propuso que el lenguaje es en sí mismo un tipo de herramienta psicológica. Escribió, “el momento más significativo en el curso del desarrollo intelectual, que da nacimiento a las formas puramente humanas de la inteligencia práctica y abstracta, ocurre cuando el discurso y la actividad práctica, dos líneas de desarrollo completamente independientes previamente, convergen” (Vygotsky, 1978 p. 24).

La semiótica y las herramientas psicológicas Vygotsky extendió el papel, mediático de las herramientas a las herramientas psicológicas tales como sistemas de signos (lenguaje, escritura, sistemas numéricos). Vygotsky vio los lenguajes como jugando un papel especial en el desarrollo del pensamiento.

La capacidad específicamente humana para el lenguaje capacita a los niños a proveerse de herramientas auxiliares en la solución de tareas difíciles, a superar la acción impulsiva, a planificar una solución a un problema previo a su ejecución, y a dominar su propia conducta.

Los signos y las palabras sirven a los niños primero y ante todo como un medio de contacto social con otra gente. Las funciones cognitiva y comunicativa del lenguaje llegan a ser entonces la base para una nueva y superior forma de actividad en los niños, distinguiéndolos de los animales (Vygotsky, 1978, p. 28-29).

3.

4. La dialéctica del pensamiento y el lenguaje Brevemente el argumento de Vygotsky sobre el pensamiento y el lenguaje se desarrolló como sigue. El pensamiento y el lenguaje, afirmó Vygotsky, tienen raices separadas. El discurso, la base para el lenguaje, evoluciona a partir de gestos y respuestas afectivas. Se desarrolla dentro del contexto de comunicación e interacción social. Por ejemplo, Vygotsky sostuvo que el desarrollo de señalar, explicándolo como un movimiento de agarrar, una acción, para señalar, un esfuerzo comunicativo para lograr el mismo fin que agarrar (Vygotsky, 1981,p.160-161). “Consideramos este gesto transicional un paso de lo más importante a partir de la expresión afectiva inalterada hacia un lenguaje objetivo” (Vygotsky, 1978, p.35). Para Vygotsky el balbucear de un niño, llorar, aún sus primeras palabras son

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claramente estados del desarrollo del discurso que tienen menos que ver con el desarrollo de pensar de lo que son un medio de contacto social.

El pensamiento, para Vygotsky, especialmente el desarrollo del pensamiento lógico, evoluciona a partir de la actividad del niño- “la experiencia del niño con las propiedades físicas de su propio cuerpo y los objetos a su alrededor, la aplicación de esta experiencia al uso de herramientas : el primer ejercicio de su inteligencia práctica en ciernes”(Vygotsky, 1962, p.46) . Así dos líneas de desarrollo de pensamiento que es no verbal y de discurso que es no intelectual - ocurren y luego emergen alrededor de la edad de dos años. Aunque la investigación actual sobre las capacidades infantiles sugiere un desarrollo mucho más temprano que el que fue establecido por Vygosky, la conceptualización subyacente permanece robusta. En este tiempo, vemos el desarrollo del pensamiento verbal y el discurso interior, y ésto señala la transición por la que, “la naturaleza del desarrollo cambia, desde lo biológico a lo sociohistórico”(ibid. P.53). uso de herramientas PENSAMIENTO desarrollo conceptual emoción y gesto

LENGUAJE Figura 3

Para comprender la afirmación de Vygotsky, uno necesita reconocer sus lazos intelectuales con Hegel. Vygotsky fue un dialéctico - el creía que separando las distintas raices del pensamiento y el lenguaje, uno podía empezar a entender como es que se transforman mutuamente uno a otro. (4) Sin embargo, al final, el describe “la mezcla del discurso y la acción” (Vygotsky, 1978, p.30), sugiriendo, como lo hace Hegel, que la dialéctica resulta eventualmente en una síntesis. Así, finalmente, Vygotsky postuló su unidad.

Aunque la inteligencia práctica y el uso de signos pueden operar independientemente uno de otro en los niños pequeños, la unidad dialéctica de estos sistemas en el adulto humano es la esencia misma de la compleja conducta humana. Nuestro análisis confiere a la actividad simbólica una función organizadora específica que penetra el proceso de uso de herramientas y produce fundamentalmente nuevas formas de conducta (ibid. p.24).

Así, en la teoría de Vygotsky, los lenguajes, los sistemas de signos, poseen un papel central en el desarrollo del pensamiento cognitivo superior. En resumen, escribió que una ley de desarrollo era “un signo es usado originalmente como un medio de influenciar a otros, y sólo más tarde llega a ser un medio de influenciarse a uno mismo (en Wertsch, 1985, p.92).

Desarrollo Conceptual La teoría de Vygotsky del desarrollo conceptual es probablemente el tema de su programa de investigación con mayor necesidad de modificación dentro de las perspectivas actuales. Su trabajo empírico se basó en la clasificación de tareas usando lo que llamamos bloques de atributos (combinaciones de formas, color y tamaño) las cuales fueron clasificadas dentro de categorías y se les asignó una etiqueta de una sola sílaba. El entrevistador debía 5.

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voltear un bloque, revelar su etiqueta y solicitar al niño que pusiera los otros bloques con la misma etiqueta en una pila sin mirar a sus etiquetas. Si hubiera bloques que no pertenecieran a la categoría de la etiqueta, el entrevistador debía voltear uno de estos y solicitarle al niño que continuara intentándolo. Como en muchos estudios similares, en este el entrevistador juega un papel activo de desafiar al niño, y las palabras juegan un papel clave en la investigación.

A partir de estudios tales como estos, Vygotsky postuló que los conceptos se desarrollan vía aglomerados (heaps) (categorías desorganizadas) hacia los complejos (parecido familiar, colecciones, cadenas complejas y pseudo-conceptos) hacia los verdaderos conceptos. Advierte que un pseudo concepto puede parecer lo mismo que un concepto verdadero ;sin embargo, no resiste a un escrutinio intenso. Para Vygotsky,el cambio desde los pseudo conceptos hacia los conceptos verdaderos requiere la asistencia de un adulto. El proceso de desarrollar un verdadero concepto aparece, para Vygotsky, cuando el niño empieza a hacer abstracción del concepto.

Vygotsky sostuvo que la manera en que los niños, fuera de la situación experimental, adquieren el uso adulto del lenguaje y lo usan en forma sintácticamente correcta antes de que haya sido alcanzado un desarrollo conceptual más completo es un ejemplo del uso de un pseudo concepto. Este proceso es un estadio esencial de desarrollo y está basado en la imitación. Y sobre la imitación escribió : Los niños pueden imitar una variedad de acciones que van mucho más allá de los límites de sus propias capacidades. Usando la imitación, los niños son capaces de hacer mucho más dentro de la actividad colectiva o, por lo menos, bajo la guía de los adultos. Este hecho, que parece de poca significancia en sí mismo, es de fundamental importancia en que exige un cambio radical de la doctrina completa concerniente a la relación entre el aprendizaje y el desarrollo en los niños. (Vygotsky,1978,p.88) Aprendizaje y desarrollo Los cambios que Vygotsky anticipó en la relación del aprendizaje al desarrollo incluían postular una interacción entre los dos. En Mente y Sociedad ,criticó con firmeza los “métodos de mirar-y-hacer, concretos” que eran utilizados con los estudiantes retardados y reforzaban sus desventajas “acostumbrando a los niños a pensar exclusivamente en forma concreta y suprimiéndoles así los rudimentos del pensamiento abstracto” (ibid.,p.89). Criticó cualquier instrucción que se rezagara tras el desarrollo y sostuvo”. El único tipo bueno de instrucción es el que camina delante del desarrollo y lo guía ; debe apuntar no tanto a la maduración como a las funciones de madurar”(Vygotsky,1962,p.104).

6.

La zona de desarrollo proximal Para Vygotsky,la imitación no es un proceso simple o mecánico.Afirmó,”Para imitar,es necesario poseer los medios de pasar de algo que uno conoce hacia algo nuevo.Con ayuda , todo niño puede hacer más que lo que puede por sí solo”(ibid.p.103).Esta visión de un papel central para la imitación condujo a Vygotsky a abogar por “una zona de desarrollo proximal”.

Como es bien conocido, la zona de desarrollo proximal es el territorio entre aquellas tareas que un estudiante puede sobrellevar exitosamente en forma independiente y aquellas para las cuales requiere de la ayuda de un adulto.Construida a partir de la noción de Montessori de “período sensible”,la concepción de Vygotsky recalcó la importancia de las interacciones adulto-niño para impulsar el desarrollo junto con él.

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Brown y Ferrera (1985) ofrecen una descripción de las interacciones entre el adulto y el niño en la zona de desarrollo proximal : La teoría de Vygotsky del desarrollo cognitivo descansa mucho sobre el concepto clave de internalización Vygotsky afirma que todos los procesos psicológicos superiores son originalmente procesos sociales, compartidos entre la gente, en forma particular, entre los niños y los adultos. El niño experimenta, en forma activa,actividades de resolución de problemas en la presencia de otros, pero en forma gradual, pasa a realizar estas funciones en forma independiente. El proceso de internalización es gradual ;primero el adulto o compañero informado controla y guía la actividad del niño, pero gradualmente el adulto y el niño pasan a compartir las funciones de resolución de problema, con el niño tomando la iniciativa y el adulto corrigiendo y guiando cuando se equivoca. Finalmente, el adulto cede el control al niño y funciona como una audiencia concordante (sympathetic) de apoyo...Los profesores, tutores y maestros artesanos en las situaciones de aprendizaje tradicional, todos funcionan idealmente como promotores de la autoregulación estimulando el surgimiento de la planificación personal en la medida que ceden gradualmente su propia dirección (p.282).

Un trabajo de ampliación (extensional work) de Wood,Bruner y Ross (1976) ha sostenido que “Las interacciones tutoriales son, en pocas palabras, un aspecto crucial de la infancia y la niñez”(p.89), y ha descrito el concepto de un proceso de andamiaje “que capacita al niño o novato a resolver un problema, llevar a cabo una tarea o alcanzar un objetivo que estuviese más allá de sus desasistidos esfuerzos”(p.90). Enfatizan, sin embargo, que el andamiaje requiere que “un aprendiz debe ser capaz de reconocer una solución a una clase particular de problemas antes que él mismo sea capaz de producir los pasos que conducen a ella sin ayuda”(p.90).También es importante señalar que la mayoría de las tareas en las que se ha examinado un proceso de andamiaje, conllevan actividades tales como resolución de palabras cruzadas, completación de modelos o construcción con bloques.

Los conceptos científicos y los espontáneos Según Vygotsky [1962], es mediante la educación como los niños se inician en el conocimiento científico. El conocimiento científico, para Vygotsky, no es tanto el conocimiento de la ciencia como un conocimiento sistemático o taxonómico. Este conocimiento contrasta con el conocimiento espontáneo, el que un niño desarrolla en el encuentro “cara a cara” con una situación concreta. Vygotsky escribe que el desarrollo de los conceptos espontáneos del niño surge de abajo-arriba y el desarrollo de los conceptos científicos de arriba-abajo [p. 108], aunque reconoce que: “...en su lento trabajo ascendente, un concepto cotidiano despeja el camino para el concepto científico en su desarrollo descendente. Crea una serie de estructuras necesarias para la evolución de un concepto más primitivo, de apariencia elemental, al que da cuerpo y vitalidad. Los conceptos científicos, a su vez, facilitan estructuras para el desarrollo ascendente de los conceptos espontáneos del niño hacia su uso consciente y deliberado; así los conceptos espontáneos se desarrollan mediante conceptos científicos” [ibid., p. 109].

Sugiere que el desarrollo de conceptos científicos “comienza normalmente con su definición verbal y su uso en situaciones de trabajo no espontáneas y con el concepto mismo.” Con el

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concepto espontáneo “el ... conoce el objeto al que el concepto se refiere ... pero no es consciente de su propio acto de pensamiento” [ibid, p. 108].

Las contribuciones de la perspectiva de Vygotsky La teoría de Vigotsky hace varias contribuciones importantes a nuestra comprensión del desarrollo intelectual y de la educación matemática. En particular atrae nuestra atención a las estructuras sociales más generales en las que el educando está inmerso. Por ejemplo, en el caso de las matemáticas, una perspectiva socio-cultural nos hace considerar el papel del pensamiento cuantitativo en la organización social. Por ejemplo, históricamente, la numeración puede servir como un instrumento de autoridad, como en los impuestos, el censo, la distribución de recursos financieros, o el control de procesos reproductivos. Dentro de la escuela, nuestra atención se dirige al papel de las matemáticas para clasificar, normalizar la evaluación e investigar. Esta orientación hacia estructuras culturales y sociales más generales ha sido extendida por Leontiev en su trabajo sobre la teoría de la actividad. El escribe: ... la psicología humana se ocupa de la actividad de individuos concretos, que se produce en una colectividad - p. e., junto a otra gente - o en una situación en que el sujeto se relaciona directamente con el universo de objetos que le rodean - p. e., con la rueda del alfarero o la mesa del escritor. ...si nosotros quitamos de la actividad humana el sistema de relaciones sociales y la vida social, no existiría ... la actividad individual humana es un sistema en el sistema de relaciones sociales. No existe sin estas relaciones [Leontiev, 1981, citado en Cole, 1985 p. 1 5 1] Incluso en el constructivismo social, donde los patrones de interacción interpersonal y las normas y rutinas de aula se examinan cuidadosamente [Voigt, 19921, Bauersfeld, 1988; en la prensa, Cobb, Madera y Yackel, 1991], únicamente hay una modesta discusión sobre la medida en que los patrones interaccionales ponen de manifiesto una visión social más amplia de la empresa de educar en matemáticas. Una perspectiva socio-cultural como ésta, ve el aula insertada en la sociedad y a los estudiantes como participantes en la cultura del aula. El constructivismo radical enfoca el individuo como un sistema auto-organizador que desarrolla su emancipación a través de la concepción de un aula y una sociedad.

En segundo lugar, la perspectiva Vygotskiana considera el papel de herramientas en la construcción de conocimiento como un principio inicial y, por lo tanto, la idea de que el conocimiento puede cambiar como las herramientas cambian se deriva como consecuencia.

Esto nos libera de la suposición de que hay conceptos permanentes que existen independientes de las herramientas de examen, y nos permite esperar que el uso de diferentes herramientas sea acompañado por cambios en el conocimiento conceptual. Por ejemplo, cuando a dos grupos de niños se les propone la tarea de repartir 732 garbanzos entre tres personas, un grupo elige usar los bloques de Dienes y otro elige utilizar dominós a los que se podrían añadir unidades libremente. Su solución para repartir acaba con 8 dominós en cada una de las 3 filas. El primer dominó obtenido para un niño particular no tuvo ningún valor numérico. El segundo y tercer dominós representaron centenas, el cuarto representó grupos de 25. El quinto y sexto representan decenas y grupos de 5, y las dos últimas columnas representan pares. Entonces realiza una elección de la unidad flexible que le era familiar (quizás en parte en relación con monedas ). La desventaja era que él perdió la pista de los valores. De aquí en adelante, creó una tabla y enumeró debajo el valor de la unidad de cada bloque. A primera vista, los bloques de Dienes parecen la solución más sofisticada, pero de hecho el único

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parecido es debido a su fácil conexión con el sistema decimal de numeración. Respecto este análisis, hay que resaltar que el estudiante que usó los dominós desarrolló su capacidad para utilizar cualquier unidad que encontrase apropiada y, por consiguiente, fortaleció la capacidad de anticipar una elección de unidades (grupos de 100, 25, 10, 5 y 2). Hay que destacar que estas unidades representan herramientas culturales comunes, en particular, las monedas (cuartos, monedas de 10 centavos y de 5 centavos) a excepción del uso de pares, que forman parte del recuento de “dos en dos” de los niños, conteos por saltos.

Hawkins [1974] advirtió sobre la excesiva estandarización y uniformidad manipulativas. En su opinión, hacer matemáticas es, en parte, pasar por alto la diferencia al discernir y describir la unidad dentro de la variación. Uno podría argumentar que el segundo estudiante expuso un grado mayor de generalidad en su solución, mientras el primer niño puede haber vislumbrado un pseudoconcepto demasiado dependiente de la estandarización de la herramienta. De otra manera, la diversidad de las dos soluciones parece ser un indicio claro de la diferencia entre las herramientas seleccionadas. Esta atención al papel de las herramientas como mediadoras del conocimiento es un punto claro de la teoría de Vygotsky.

El interés por las herramientas en Vygotsky, le llevó a que el lenguaje es, en sí mismo un tipo de herramienta psicológica que influye en la gente de una forma parecida a como una herramienta influye en la producción. Las matemáticas se ven frecuentemente como poseedoras de ambas cualidades, las de una herramienta y las de un idioma, y el marco Vygotskiano nos puede ayudar a articular la comparación e interacción entre las dos caracterizaciones. Por ejemplo, en un aula de tercer grado, los dos de problemas dados: ¿Cómo repartirías 696 gominolas entre tres niños? y ¿Cómo repartirías 174 gominolas entre dos niños?” En las matemáticas formales, los dos problemas se consideran equivalentes, y sin embargo, en la situación escolar, donde los niños simplemente aprendían sobre la división, los problemas funcionaban de manera muy diferente. Algunos niños eligieron resolver el problema mediante los bloques Dienes, y en este caso la mayoría hizo el primer problema separando en tres grupos: 6 planos, 9 barras y 6 bloques individuales. En el segundo caso, procedieron similarmente, representando 174 con un plano, 7 barras, y 4 bloques. Sin embargo los niños encararon el problema sobre cómo repartir el plano (10 por 10) entre 3 personas. Algunos hicieron esto descomponiendo 99 en 3 grupos de 33, agregando 1 para hacer 75 bloques, los cuales repartieron dividendo 6 barras en grupos de 2 e intercambiando la barra final por 15 bloques repartidos en pilas de 5. Unos pocos hicieron el problema encontrando en 174, 3 grupos de 50 (que no es tan fácil de ver con los bloques de Dienes) y luego repartieron 24 entre 3. Algunos hicieron el problema cambiando el plano por 10 barras y luego repartiendo 17 barras y 4 bloques individuales entre 3. En la discusión en grupo, el término, “en partes fáciles”, surgió como una descripción útil de cómo los niños eligieron segmentar la cantidad entera en distribuciones más fáciles.

Otro grupo de estudiantes trató estos problemas que usan la división corta (short division) (ningún algoritmo de división se les había enseñado en la escuela, pero algunos padres introdujeron la división corta (algorítmica) a los estudiantes en un problema anterior).

El primer problema, 696 dividido entre 3, se ajustó fácilmente al método, pero el segundo problema, 174 dividido entre 2, no lo hizo. Muchos de estos estudiantes, tras haber abandonado el método de Dienes en el primer problema no fueron capaces de usarlos con éxito para resolver el segundo.

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En consecuencia, me pareció que la distinción y ladialéctica entre lenguajeherramienta es útil para interpretar esto. Los estudiantes que usaron los bloques de Dienes trabajaron más directamente conectados al uso de herramientas físicas. La distancia entre su estrategia de solución y la interpretación del problema era mínima, como evidenciaban por sus explicaciones sencillas (‘en partes fáciles”) y las demostraciones de sus métodos. Los estudiantes que usaron el algoritmo de la división, trabajaban con un sistema de símbolos cuya manipulación era más parecida al uso formal del idioma. El método se les enseñó y ellos lo imitaban. Cuando la imitación fracasó, tuvieron pocas opciones a las que recurrir, y la vuelta a los materiales no era fácil para ellos porque los métodos de los materiales no eran equiparables con el método de división corta.

La teoría de Vygotsky nos ayuda a: 1) reconocer la legitimidad de ambos métodos; 2) sacar distinciones entre los métodos en base a su carácter psicológico o de herramientas físicas y; 3) considerar como el método simbólico (y semiótico) se aprovechó de una perspectiva adulta y creó un ‘pseudo concepto ‘ que era útil en ciertas situaciones pero que puede impedir el progreso en otras. Sin embargo, en contradicción con las interpretaciones constructivistas, la perspectiva socio-cultural valora tener estudiantes en la clase que puedan introducir el método experto en la discusión de aula, porque crea un desafío para todos los niños para progresar hacia la división con números grandes, un método que habían oído de sus padres y hermanos.

Y, ello afirma el valor de la imitación. “Puedes imaginar un modo de hacer el problema 2 dividir 174 sin usar los bloques ? Parece que este fue probablemente un ejemplo de una situación en la que el aprendizaje conducía al desarrollo de un modo significativo y apropiado hacia la división de números grandes. (long division) Las limitaciones de la teoría de Vygotsky Al igual que con el constructivismo, en el debate de las limitaciones de la teoría de Vygotsky, es difícil distinguir cuándo la critica se dirige a la teoría propiamente y cuando indica lo limitado de su interpretación. Y especialmente al considerar una teoría que, por sus propios principios, establece precedentes culturales e históricos, uno espera tener que reconsiderar una interpretación a la luz de las circunstancias actuales. En educación matemática, la teoría de Vygotskian tiene las limitaciones siguientes: 1. La teoría de Vigotsky puede fomentar el abandono o depreciación de la actividad concreta Vygotsky señala dos raíces del desarrollo conceptual: pensamiento y lenguaje. Entre ambos, entretejen el hilo que conduce al desarrollo humano maduro. Ni pensamiento ni lenguaje se proponen como uno superior al otro, aunque Vygotsky afirma que es la introducción del componente social del lenguaje el que crea la posibilidad de pensamiento cognitivo más alto y diferenciador de los humanos frente a otros animales. Y desde la introducción por parte de la teoría de Vygotsky del papel del lenguaje como orientador del desarrollo intelectual, la experimentación se ha centrado en el lenguaje. De hecho, Vygotsky [1978] argumentó sobre la predominancia del discurso frente a la actividad de forma más elaborada: Inicialmente el discurso sigue a la acción, es provocado y controlado por la actividad.

Tras una larga etapa, sin embargo, el discurso se convierte en el punto de partida de la actividad, emergiendo una nueva relación entre la palabra y la acción. Ahora guías discursivas, determinan y dominan el curso de acción [p. 28].

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En el desarrollo dialéctico entre el pensamiento y el lenguaje, Vygotsky también introduce la idea del lenguaje como una herramienta psicológica: uno puede usarse para influir en el otro. Se puede interpretar a Vygotsky valorando ambos tipos de herramientas, pero su descripción puede también sugerir que es la actividad simbólica como herramienta psicológica la que introduce su uso como una herramienta física y no viceversa. En el trabajo original de Vygotsky puede verse que el signo abstracto tiene un uso privilegiado sobre la inteligencia práctica funcional, así como en sus trabajos con Luria en los que se investigaron estudios culturales cruzados. En su esquema de categorías, donde dieron a un sujeto un martillo, una sierra, un tronco y un hacha y preguntaron qué tres se correspondían, él y Luría infravaloraron la respuesta que vinculaba una sierra, un tronco y un hacha.

Wertsch indicó que las personas no instruidas tienden a resistir a las sugerencias de los experimentadores “basados en significados de palabras descontextualizadas y relaciones jerárquicas entre ellas” [Wertsch, 1985, p. 34]. De nuevo, cuando nos han dado un cristal, una botella, una sartén, gafas todo el grupo del cristal, gafas, botella fue valorado porque estaban hechas de cristal, mientras que poniendo el cristal, la sartén, y la botella juntos, sobre la base de estas experiencias prácticas como recipientes, fue devaluada.

Más tarde, Vygotsky (1978) rechazó cualquier forma de enseñar a niños retrasados basada exclusivamente en métodos concretos. Aunque rechazó una aproximación que eliminara las aproximaciones abstractas completamente como inconsistentes con la dialéctica, al final argumentó a favor de una débil inclusión de lo concreto: ’Lo concreto se ve ahora como necesario e inevitable solo como un escalón para desarrollar el pensamiento abstracto como un medio y no como un fin en sí mismo”’ (p. 88).

Ocurre que en Vygotsky hay una tensión entre su dialectica Hegeliana y sus bases marxistas. Como un idealista Hegeliano, Vygotsky fue presentado como un intelectual, y una valoración preferencial de intelectualismo emerge intermitentemente.

2. Los partidarios de la teoría de Vygotsky pueden centrarse y priviligiar el lenguaje en detrimento de otras formas de interación intelectual e indagación.

En matemáticas, sin embargo, y en las ciencias, desde un punto de vista educativo, vemos una tendencia a dar definiciones como si las definiciones fueran una guia suficiente del desarrollo intelectual.

Como Vinner (1983) ha demostrado, una tal base como guia del desarrollo matemático se ha mostrado como inadecuada. En investigaciones sobre estudiantes de 10º y 11º grado de Jerusalen, el 88% de los estudiantes podían dar la definición de función pero sólo el 34% de esos estudiantes actuaban en consecuencia.

Sin embargo, Vygotsky claramente no supone que las palabras estén débilmente conectadas con los conceptos, si tenemos en cuenta afirmaciones suyas tales como: Hay razones para suponer para suponer que la distinción cualitativa entre sensación y pensamiento es la presencia en este último de una reflexión generalizada sobre la realidad, que es también la esencia del significado de la palabra; y consiguientemente que el significado es un acto del pensamiento en el sentido pleno del término. Pero al mismo tiempo, el significado es una parte inalienable de la palabra como tal, y por tanto pertenece al dominio del lenguaje tanto como al dominio del pensamiento. Una palabra sin significado es un sonido vacio, de ningún modo una parte del lenguaje humano. Puesto que el significado de la palabra es tanto pensamiento como lenguaje,

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encontramos en ella la unidad del pensamiento verbal que estamos buscando (1962, p.

5) Las implicaciones de esta cita son que, interpretando a Vygotsky, debemos insistir en la inserción del significado en nuestra discusión sobre las palabras y recordar que el significado proviene de la dialectica entre el pensamiento y el lenguaje, y no, como algunos han argumentado, del lenguaje solo.

El construccionismo social, que no se confunda con el constructivismo radical o constructivismo social (Bauersfeld, en prensa) o con el constructivismo (Harel, 1990) es una perspectiva teórica expresada por Gergen (en prensa) y Shotter (en prensa) que está estrechamente ligada con la perspectiva Vygotskiana, pero que rechaza la dimensión psicológica de Vygotsky. El interés de Vygotsky, según Gergen, se describe como centrado en ‘los procesos mentales de abstracción, generalización, comparación, diferenciación, volición, concienciación, maduración, asociación, atención, representación, juicio, operaciones mediatizadas por signos, etc.’ (p. 10), mientran que Gergen se presenta como interesado por ‘la negociación, cooperación, conflicto, retórica, ritual, roles, escenarios sociales, y temas similares’ (p. 10). En el construccionismo social, el lenguaje, y los juegos de lenguaje se supone que constituyen el conocimiento en su totalidad, como lo atestigua la siguiente cita de Gergen (en prensa): ... No hay nada sobre la naturaleza del mundo que demande, requiera, o necesite ninguna representación lingüística particular. En principio, entonces, somos libres de usar cualquier configuración de sonidos y marcas que deseemos en cualquier ocasión particular. En principio, esto no es mas que una mesa delante de mi, o que esto es el queso Gouda, o un recién llegado. En la práctica, naturalmente, no somos libres. En virtud de acuerdos negociados, ampliamente compartidos dentro de la cultura, acordamos hablar de esto -torpemente, quizás - como una mesa. O afirmando la conclusión con más rotundidad, todo lo que consideramos que es el caso - nuestras representaciones proposicionales de algo, desde la física a la psicología, geografía o el gobierno- gana su legitimidad, no en virtud de sus capacidades de representar o dibujar el mundo, sino por medio de procesos de intercambio social (p. 9).

Si la teoría Vygotskiana se usa para llamar la atención exclusivamente sobre el lenguaje verbal o escrito de las interacciones sociales, entonces su influencia sobre el desarrollo matemático será perjudicial. Además, incluso si el ‘la verbalización’ se usa de modo más amplio de modo que incluya figuras y dibujos, y sistemas de notación simbólicos, y programas informáticos que crean micromundos semióticos, la ausencia de conexiones entre estos usos de lenguaje y actividad física servirá para disminuir el desarrollo matemático de los niños. Las contribuciones de cada parte a la dialéctica deben hacerse verdaderamente iguales, ambas actuado como guias una de otra.

3. La perspectiva sociocultural tiene el potencial de reintroducir el formalismo en las matemáticas Esta afirmación se basa en que la teoría Vygotskiana propone una discontinuidad entre los conceptos espontáneos y los científicos. Se argumenta que esta discontinuidad se debe a la sistematicidad de los conceptos científicos, y a su incardinación en un conjunto de relaciones

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lógicas y ordenadas. La superación de esta discontinuidad y la colocación de los estudiantes en sintonía con la perspectiva científica se considera que es responsabilidad de otra persona más experta, que realiza esto apropiándose de los fines de los estudiantes hasta que se asemejan a los fines de los adultos. Esta descripción se supone que está próxima a la educación matemática tal y como se enseña en la universidad. Allá se presenta a un estudiante secuencias de teoremas- demostraciones ad nauseam hasta que el estudiante pierde su perplejidad inicial sobre el valor de la empresa y asume los objetivos del profesor y llega a ser un productor de pruebas por sí mismo/a. Sin una teoría del aprendizaje más explícita, la perspectiva Vygotskiana no puede distinguir entre las interaciones profesor-estudiante que conducirán a pseudoconceptos de las que conducirán al desarrollo conceptual.

4. La perspectiva de Vygotsky evita un examen crítico de la propia matemática Muchos estudios realizados en la tradición Vygotskiana se centran en cómo ‘el otro más capaz’ ayuda al novel a ser capaz de realizar una tarea de modo independiente. Ejemplos sobre las interacciones madre-niño se refieren a la construcción de puzzles (Wertsch, 1985), ‘peek-aboo’, y la lectura de libros de dibujos (Forman y Cazden, 1985). En estos casos los fines de la instrucción están típicamente bien definidos y compartidos. La imitación es considerada como un medio apropiado para lograr los fines. Se asume que los fines en sí mismos no precisan apenas revisión . Sin embargo, en educación matemática hemos argumentado la importancia de reconsiderar los resultados de la instrucción. Escuchando con atención a los estudiantes hemos revisado nuestra comprensión de las matemáticas. Dentro del marco Vygotskiano hay poca o ninguna contribución para favorecer una tal actividad.

5. La perspectiva de Vygotsky puede limitar, más que promover y proteger la diversidad en una clase Al discutir la tutoría desde una perspectiva constructivista, encontramos autores como Arcavi y Schoenfeld (en prensa) que advierten del peligro de proseguir los métodos del estudiante. En este artículo mencionan un método de un estudiante para encontrar la ecuación de una función lineal a partir de una tabla de valores de un modo que se separa del procedimiento estandar, pero que se considera legítimo por un cierto número de matemáticos. Dado que el estudiante es introducido inicialmente a las ecuaciones de la forma y =x +b, el estudiante establece una aproximación que implica restar los valores de la x y la y. Sin embargo, cuando se enfrenta a una ecuación de la forma y=mx, el método del estudiante lleva a un patrón lineal en las diferencias, mas bien que a una diferencia constante. Los autores reconocen la legitimidad de la aproximación del estudiante, pero advierten sobre el hecho de atribuir un énfasis indebido al conocimiento y juicio del tutor, y de ‘mantener al estudiante sobre bases poco sólidas o superficiales’. Como resultado, se cuestionan si se debería o no aceptar y proseguir un método de estudiante. Yo argumentaría, sin embargo, que su análisis del método del estudiante fue indebidamente complejo, apoyándose en notación algebraica para lograr la ecuación. Una aproximación gráfica facilita ver porqué y=x+b da una diferencia constante entre y=x, y, y=x+b, mientras que el término multiplicativo y=mx da una progresión aritmética como diferencia.

No toda perspectiva Vygotskiana conduce en la dirección de suprimir la diversidad. El trabajo sobre multiculturalismo (Vera John-Steiner, 1985, 1991) y alfabetización se ha usado exactamente con el propósito opuesto. En educación matemática, sin embargo, la tendencia a

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usar a Vygotski para reforzar mas bien que desafiar la presentación uniforme y el desarrollo de las matemáticas apunta a una limitación de la teoría. Quizás esto se debe a que muchas personas atribuyen una universalidad al lenguaje de las matemáticas, lo que es rápidamente desafiado desde una perspectiva multi-cultural.

FORJANDO UNA TEORÍA REVISADA Cuando consideramos las teorías de Piaget y Vygotsky, vemos aspectos en los que sus puntos de vista entran en conflicto y donde se complementan. Apoyándonos en sus complementariedades e intentando considerar sus conflictos, propondré un esbozo de una teoria revisada del desarrollo intelectual. Como será evidente, al proponer estas revisiones me apoyaré sobre investigaciones feministas.

Epistemología genética Ambas teorías comparten un compromiso con la evolución del pensamiento -y la necesidad de mirar al proceso de desarrollo para comprender un estado actual del tema. Ambos teóricos tienen un profundo interés en la filogénesis (desarrollo histórico) así como con la ontogénesis (desarrollo a lo largo de una vida), y aunque ninguna argumenta explícitamente por una teoría de recapitulación, ambos usan el análisis histórico para esclarecer su examen del desarrollo.

Las implicaciones de aplicar una aproximación de la epistemología genética a las matemáticas y/o a la educación matemática son profundas. A partir de ese momento no se aceptan las relaciones lógicas formales como garantía suficiente para una idea, sino que por contrario traza la ruta de su desarrollo a lo largo del tiempo y del espacio. La epistemología genética lo lleva a uno exactamente al territorio Lakatosiano de las pruebas y refutaciones, donde la lógica del descubrimiento, el proceso de aceptación o rechazo por la disciplina y la lógica de la justificación son exploradas de igual manera. El conocimiento no se establece examinando los hechos inmediatos del caso, sino examinando la posición de una afirmación dentro de una teoría, considerando sus raíces contextuales y su trayectoria de transformación.

Por ejemplo, una introducción a π puede que incluya no solo cálculo de sus valores y examen de su uso para calcular el área de un círculo y la longitud de la circunferencia., sino que podría explorar la génesis de π. En la introducción actual, se enseña a los estudiantes que π es una constante y que, para todos los círculos, la circunferencia mide 2 πr. Rápidamente la discusión gira en torno a las aproximaciones numéricas de π. Poca o ninguna explicación de la identificación y desarrollo de π se ofrece.

Una aproximación por medio de la epistemología genética puede comenzar con el reconocimiento de que todos los círculos son similares. Considera la afirmación de que todos los cuadrados son similares; encontramos poca sorpresa en el argumento que afirma que la razón del perímetro al lado es 4:1 para todos los cuadrados. ¿No sería un paso importante, en la presentación basada en la epistemología genética de la razón de la circunferencia al diámetro (razón que se etiqueta como π), para generar la expectativa de que esta razón debería ser constante para todos los círculos?

No todas las afirmaciones de la epistemología genética son compatibles, sin embargo, y las distinciones necesitan ser examinadas. Por ejemplo, la reconstrucción racional de Lakatos tiene vestigios del idealismo Hegeliano. Lakatos (1976) escribe:

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‘La actividad matemática produce matemática. La matemática, este producto de la actividad humana, ‘se aliena’ de la actividad humana que la ha producido. Se convierte en un organismo vivo y creciente, que adquiere una cierta autonomía respecto de la actividad que la ha producido, desarrolla sus propias leyes autónomas de crecimiento, su propia dialéctica. El matemático creativo genuino es precisamente una personificación, una encarnación de estas leyes que sólo pueden realizarse en la acción humana. Sin embargo, su encarnación, tal y como aparece en la historia, es sólo una torpe realización de la dialéctica maravillosa de las ideas matemáticas’ (p. 146).

Los editores de Lakatos incluyen una nota a pie de página sugiriendo que Lakatos podría haber modificado algo esta afirmación si hubiese tenido la oportunidad de editar su propia sección, sin embargo ellos también reconocen que Lakatos deseaba admitir la “existencia” de problemas, lo cual es independiente al reconocimiento humano.

Así mismo, en discusiones sobre constructivismo radical hay ocasionalmente una ambigüedad sobre si lo que está evolucionando y sujeto a la adaptación y equilibrio es un sistema de ideas o una estructura conceptual de una persona. “La viabilidad” como una cualidad de autonomía, adaptación, comprensión y supervivencia se aplica a veces a la idea misma, como un producto de la actividad humana, y en otras ocasiones, llega a ser una componente de la inteligencia como evidenciada dentro de la acción humana. Esto es, en particular, un problema en Matemáticas donde la investigación a menudo se enfoca sobre la evolución de un concepto matemático como una entidad aislada.

Para ilustrar esto vamos a volver al ejemplo de π. Nuestro análisis nos ha permitido explicar, primero porqué uno debiera creer en π como una razón que si aplicara a todas las circunferencias. Sin embargo, todavía ignora la pregunta de porqué uno debería buscar π. Esto olvidaría el hecho de que, para los griegos, π no era un número. La historia del número y de la geometría se desarrolló separadamente, así que π fue originalmente un razón que expresaba la invarianza entre las proporciones tales como: C1/Rl y C2/R2 (donde C simboliza la circunferencia y R el radio). Finalmente nuestro análisis elude la discusión de porqué se debería desear encontrar una forma para describir esa razón en forma diferente que como la razón de la circunferencia al diámetro . La respuesta se sitúa en dos modos de actividades culturales. Los griegos buscaban rectificar la longitud del arco; esto es, encontrar una línea recta equivalente al arco dado; o sea medir la circunferencia usando líneas rectas. No sólo podría uno llegar a partir de allí predecir la circunferencia dado un radio, sino que podría predecir la longitud del camino de un objeto rodante. Si uno crea un aparato mecánico conectándolo a una rueda, necesita ser capaz de operar fácilmente entre medidas (o movimientos) de curvaturas y medidas (o movimientos) de segmentos lineales. Se ve en esta discusión incluso una aplicación más profunda de la epistemológica genética, una que encuadra la investigación dentro de las actividades productivas de una cultura.

La perspectiva socio-cultural evita separar el desarrollo conceptual del conocedor y erradica los vestigios del idealismo platónico, rechazando la idea de los conceptos universales.

Puede ser usado para legitimar la idea de las Matemáticas como diferente entre las culturas y a través del tiempo. De modo que la epistemología genética que uno busca incluir en una teoría revisada necesita permitir la competición de vías independientes de desarrollo, así como tendencias a largo plazo que queden bien integradas dentro de las actividades culturales de la época.

En cualquier visión de la epistemología genética, se debe decidir la propia posición sobre lo que constituye el progreso. En esta teoría revisada propondría una visión coherente de progreso que es local (tanto geográfica y temporalmente) pero no universal o eterna. Para

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comprender el cambio conceptual sobre largos períodos de tiempo, uno debe postular una visión de cambios paradigmáticos y examinar como pasan a degenerar, a competir y ser reemplazados entre las comunidades de investigadores.

Metáforas paradigmáticas Margaret Masterman (1970) ha sostenido que una forma de captar el sentido de un paradigma es revisar sus presentaciones metafóricas. Las metáforas tienen la atractiva cualidad de apoyarse sobre elementos de herramientas e interacciones físicas y sobre los elementos de lenguaje y el giro de una frase. Las metáforas usadas por Piaget y Vigostky presentan un contraste interesante. Piaget, siendo un biólogo (tanto como psicólogo del desarrollo, filósofo...) elige apoyarse en la metáfora de la biología evolutiva para explicar el desarrollo del conocimiento -y sus procesos de asimilación, acomodación, equilibrio, etc...- están entretejidos dentro de esta metáfora. El ser humano se ve como un organismo autoorganizador que regula su conducta a través de acciones de resolución de problemas para restablecer el equilibrio. Von Glasersfeld se ha comprometido con esta metáfora al enfatizar el papel de la viabilidad al explicar la durabilidad del conocimiento. Los humanos buscan ganar predicción y el control de su medio ambiente, y aquellos esquemas que producen estos resultados pasan a ser estables, y aquellos que no, desaparecen.

Esta es una metáfora poderosa porque lo saca a uno rápidamente de la suposición de que lo que es conocido existe independientemente del conocedor, y que el conocimiento permanece eterno. Permite una visión pragmática del conocimiento como establecedor de estructuras específicas y relaciones funcionales, y límita el relativismo situándolo en un sistema más amplio de evolución. La metáfora crea poderosos lazos entre las interacciones de uno con el propio medio ambiente, visto como un sistema de perturbaciones. Finalmente, la metáfora de la biología evolutiva, lo anima a uno a tratar el desarrollo como un proceso metamórfico de cambios, y así a observar cuidadosamente cómo un niño, en un período particular de desarrollo, se comporta en las relación con su ambiente.

Usar la biología evolutiva como metáfora produce el examen de la propia metáfora como típicamente problemática. Nuestra atención se dirige hacia las construcciones dentro de la metáfora, mientras que la metáfora misma se da por válida. Esto nos conduce a descuidar el hecho de que la biología evolutiva es en sí misma un artefacto histórico cultural. Esto puede distraer nuestra atención de varios temas que las feministas han demostrado recientemente: por ejemplo, cómo la biología evolutiva a menudo ha ignorado el papel de la cooperación en el proceso evolutivo, acentuando el rasgo más androcéntrico de competición.

Las cuestiones de la socio-biología solo han penetrado lentamente cuando la teoría evolutiva ha tenido dificultad al explicar conductas que van en detrimento de la supervivencia del invididuo, pero valiosas para el grupo. Esta concentración sobre lo individual como un microcosmo de las especies ha tendido a dejar de prestar atención a la conducta colectiva.

Podemos evitar tomar la metáfora por segura confrontándola con otras metáforas.

En contraste a la metáfora Piagetiana, en la teoría de Vygotsky encontramos la construción marxista del conocimiento a través del trabajo y la producción como la metáfora principal.

Es por medio del trabajo humano, y del uso de herramientas para crear productos que se construye el conocimiento. Vygotsky (1978) explícitamente se refiere a Marx, afirmando, “Marx cita aquella definición cuando habla de herramientas de trabajo, para mostrar que el

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hombre utiliza las propiedades fisicas, mecánicas o químicas de objetos para hacerlos actuar como fuerzas que afectan a otros objetos con el fin de satisfacer sus metas personales” (Página 54). El conocimiento, según esta concepción, describe las invarianzas encontradas como un resultado de transformar los productos a través del trabajo. Vygotsky describió su compromiso hacia este enfoque: La piedra angular de nuestro método (...) sigue directamente del contraste que Engels estableció entre los enfoques naturalistas y dialécticos para la comprensión de la historia humana. El naturalismo en el análisis histórico, según Engels, se manifiesta en la suposición de que sólo la naturaleza afecta a los seres humanos y sólo las condiciones naturales determinan el desarrollo histórico. La aproximación dialéctica, aunque admite la influencia de la naturaleza en el hombre, afirma que el hombre, a su vez, afecta a la naturaleza, y produce a través de sus cambios dentro de la naturaleza nuevas condiciones naturales para su existencia. Esta posición es la pieza angular de nuestra aproximación al estudiante y la interpretación de las altas funciones psicológicas del hombre, y sirve como la base para los nuevos métodos de experimentación y análisis que defendemos (ibid., p.60-61).

Un compromiso de Vygotsky con el materialismo histórico supone no sólo una interacción entre el hombre y la naturaleza, sino también una subyugación de la naturaleza al control y dominación del hombre. Así, el concepto de trabajo humano y herramienta de Engels ,usado como el medio por el cual los seres humanos cambian la naturaleza y, al hacerlo, se transforman así mismos, es reflejado en Vygotsky. Cole y Scribner (1978) reconocen esta relación y citan a Vygotsky: Vygotsky explota el concepto de herramienta de manera que encuentra sus antecedentes directos en Engels: “La especialización de la mano -esto implica la herramienta y la herramienta implica actividad específica humana, la reacción transformadora del hombre sobre la naturaleza”, “el animal sólo usa la naturaleza externa y aporta cambios en ella simplemente con su presencia; el hombre a través de sus cambios le hace servir a sus fines, la domina. Esta es la distinción final entre el hombre y otros animales” (en Vygotsky, 1978, p.7).

Las implicaciones de esta metáfora subyacente son a la vez positivas y negativas. Es esta metáfora la que Vygotsky amplía para afirmar que el lenguaje y otras herramientas semióticas están también sujetas a fuerzas de cambio histórico y cultural. La inclusión de las herramientas semióticas como herramientas psicológicas también permite a Vygotsky sugerir que el trabajo y la producción crean la base de la conciencia.

Una metáfora de trabajo y producción permite a Vygotsky reexaminar el desarrollo y afirma que un concepto erróneo clásico fue comparar el desarrollo con la embriología, y así suponer la presencia de todas las características adultas en la forma de embrión. Su rechazo de la maduración biológica como la base para el desarrollo fue esencial al establecer un papel central para las interacciones sociales. Recordemos que la principal meta de Vygotsky es distinguir a los humanos de otros animales- y es “haciendo”, reemplazando las metáforas biológicas por el trabajo y la produccción, lo que le permite a uno salir del determinismo de la biología hacia el constructivismo social de la teoría de la actividad. [6] Su elección de un enfoque en el lenguaje considerado en su época como una cualidad exclusivamente humana (excepto en los loros que solo pueden imitar) confirma y apoya su elección de la metáfora. En la metáfora de Vygotsky, es la sociedad y la cultura humana la que crea el conocimiento que

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constituye los registros que elegimos para transmitirlos como conocimientos recibidos.

Nuestra habilidad en esto nos coloca fuera de las otras especies. Como expresan Wood, Bruner y Ross (1976), en el artículo que introduce el andamiaje, “nuestra especie, además, parece ser la única en la cual cualquier tutoría “internacional” funciona.

Estos cambios acarrean poderosos logros; sin embargo, también contribuyen a una visión de la teoría de Vygotsky la cual acepta y promueve la diferenciación de los humanos respecto de la naturaleza. Los seres humanos se supone no estar exactamente,sino casi, fuera de la naturaleza y su capacidad para la organización social y para la enseñanza se supone superar de lejos la de cualquier otra especies. Recientes descubrimientos en sociobiología desafían tales suposiciones. Y el amplio daño que la humanidad ha ejercido sobre el medio ha resultado en una conciencia creciente de que el hombre no puede considerar el medio como casualmente sujeto a su fuerza y transformación, sino que debe aprender a ver el medio como un recurso para ser preservado y valorado. Si uno simplemente contrasta la palabra “recurso” con la visión marxista de “material”, se capta la diferencia en esencia entre estas dos metáforas de la biología evolutiva y el trabajo/producción.

Estas dos teorías, entonces, expresan dos poderosas metáforas para comprender la humanidad y para la modelización e investigación del desarrollo humano. Nosotros mismos nos experimentamos a la vez como seres que se desarrollan biológicamente y como miembros productivos de una empresa colectiva. Así ninguna de ellas puede ser eliminada de nuestra consideración. Parece obvio que debemos considerarlas a ambas cuando estudiemos nuestra visión de la humanidad y su desarrollo.

Esto sugiere que ambas son necesarias, y que el desafio es integrarlas. Me gustaría sugerir que lo que se ha hecho al debatir en la Educación Matemática es una visión de Piaget como teoría individualista y la teoría de Vygotsky como una teoría sobre la sociedad. Ambas descripciones parecen lamentablemente inadecuadas y simplistas. Ninguna descripción hace justicia a la fuerza de las visiones del teórico.

En forma alternativa, señalaría que ambas teorías no prestan atención a una característica fundamental del desarrollo humano que le permite a uno evitar poner lo individual en tensión con lo social. Este componente que falta es el papel de la reproducción.

Sostengo que ninguna de las dos teorías presta atención adecuada a la importancia de la crianza y reproducción en el desarrollo humano.

Lo primero de todo, la metáfora del trabajo y producción se focaliza en cómo el conocimiento evoluciona a partir de la transformación de los objetos a través del uso de herramientas en la actividad de trabajo. Esto parece una descripción claramente insuficiente de las interacciones padres-niño, donde el conocimiento se alcanza a través de la guía de los niños hacia la edad adulta. La metáfora de la reproducción, que sugiero se extiende bastante más allá del acto de dar a luz, así como Vygotsky extendió la idea de herramienta más allá de la herramienta fisica, hasta incluir las herramientas psicológicas. Las investigadoras feministas, como Jane Rowan Martin (1985), han abogado por la importancia de una definición más amplia de reproducción, al escribir: “Faltan discusiones con respecto al matrimonio, hogar, familia, como las hay respecto al proceso “reproductor” de la sociedad -una categoría que defino en forma más amplia hasta incluir no simplemente la concepción y el nacimiento sino la crianza de los niños, más o menos, hasta la madurez y asociada con actividades tales como asistir al enfermo, preocuparse de las necesidades de la familia, y ser ama de casa”(p.6).

Por este argumento, la Educación puede ser vista tanto como un proceso de crianza como un proceso de preparación para el trabajo. La preocupación por el desarrollo del niño es más que desarrollar destrezas relacionadas con el trabajo; es el crianza de un niño curioso,

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creativo y bien adaptado, capaz de interacciones responsables y satisfactorias con otros chicos.

Es irónico que hasta la fecha en la educación (aparte de las investigadoras feministas tales como Noddings,1984; Martin 1985; Laird, 1988), nos hemos apropiado del lenguaje de la reproducción (concepción, desarrollo, reproducción), pero cortado los lazos con la crianza y el cuidado. Hemos acuñado palabras como “reproducción social” y la hemos usado para describir la replicación inconsciente de normas culturales a través de generaciones. En mi uso de reproducción, busco desentenderla de su implicación de duplicación inconsciente y establecer sus lazos con la crianza y el crecimiento.

Quien tuvo la oportunidad de oír a Davydov (1993) en la reunión de la AERA en Atlanta en 1993, escuchó una descripción de Vygotsky en la cual la crianza era mencionada con frecuencia. Este término no aparece en las traducciones actuales de Vygotsky al inglés.

Davydov atribuyó su uso de crianza a una publicación de Vygotsky descubierta recientemente que había sido censurada. También se escucharon en esta presentación pocas referencias al origen marxista de Vygotsky, enfatizando mucho más sus conexiones con Hegel y la dialéctica. Estos cambios en la presentación, ya sea debido a la publicación del nuevo trabajo, o a la desintegración de la URSS y su rechazo al marxismo, pueden señalar cambios en la interpretación de Vygotsky en direcciones compatibles con las que estoy proponiendo.

Sugiero que Vygotsky reconoció la importancia de las interacciones adulto-niño. Sin embargo, su dependencia de la metáfora Marxista limitó el campo de esas interacciones a aquellas de producción; estoy proponiendo que esta expansión incluya también la metáfora de reproducción.

Además, sostendría que, a pesar del énfasis de Piaget sobre la biología evolutiva, su tratamiento del territorio marcado por la metáfora de reproducción también es inadecuado.

Primero, omite ampliamente muchas formas de interacción del adulto y el niño en el desarrollo, incluyendo la imitación. Segundo, sigue a Kant al sostener que la comprensión del espacio, el tiempo, los números y la causalidad crean el tejido fundamental de la cognición, y como tal eleva a la matemática y a la física al plano más alto, ignorando la importancia de las conexiones humanas. Tercero, modela la mente como la incorporación de estructuras matemáticas abstractas.Y,finalmente, como resultado, la comprensión de la realidad por un niño surge a partir de sus características lógico formales, más que de la construcción simultánea de concepciones de una variedad de seres vivos humanos y no-humanos.

El modelo que propondría mantiene a la biología evolutiva como metáfora protectora (global), para señalar el lugar de la humanidad en la ecología integral de la tierra. Para tratar con la construcción del conocimiento y el logro, el modelo está ubicado dentro del marco de la epistemología genética. Sumergidas dentro de la metáfora de la biología evolutiva están las dos metáforas del trabajo/producción y reproducción en una relación dialéctica. Cada una de estas sub-metáforas tiene un lazo retroalimentador con la metáfora evolutiva que señaliza la necesidad de un examen crítico de esta metáfora protectora desde la perspectiva de las submetáforas. Por ejemplo, tal lazo retroalimentador alienta el examen de si los mecanismos de selección y variación son suficientes para dar cuenta del desarrollo humano.

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Figura 4 Biología evolutiva

Reproducción

Trabajo y producción

Dialéctica

Cuestiones emergentes

Se asume la dependencia humana del entorno El yo es tanto autónomo como comunal Se presupone la diversidad y el disentimiento Se reconoce la inteligencia emocial El aprendizaje se considera cmo una actividad recíproca Las clases se estudian como interacciónes entre interacciones

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Una teoría del desarrollo intelectual Jere confrey (Parte III)

UN MARCO PARA UNA PERSPECTIVA RENOVADA Desde esta perspectiva renovada en el desarrollo intelectual humano, surge un conjunto de temas a los cuales se les ha concedido un examen menos que adecuado dentro de las perspectivas de Piaget y Vygotsky.

1.- El desarrollo humano depende del entorno.

2.- El yo es autónomo y comunal.

3.- La diversidad y el disentimiento están garantizados.

4.- La inteligencia emocional está reconocida.

5.- La abstracción es reconceptualizada y considerada dentro de una dialéctica.

6.- El aprendizaje es visto como una actividad recíproca.

7.- Las aulas son estudiadas como interacciones entre interacciones.

1. El desarrollo humano depende del entorno La incorporación de las metáforas de trabajo/producción y de reproducción en la metáfora de la biología evolutiva conduce a la afirmación de que en todas las fases de la educación, se debe educar para una sociedad global que incluya las cosas vivientes y no vivientes. Rechaza la perspectiva exclusiva de Vygotsky, heredada del materialismo dialéctico de Engels, que ve la naturaleza como sujeta al dominio y maestría del hombre. Sugiere que cuando consideremos los materiales de trabajo, reconozcamos que aquellos materiales también están limitados a los recursos del medio.

Nos obliga a considerar cuánto cambiamos cuando cambia el ambiente.Nos recuerda, cuando intentamos moldear el medio para satisfacer nuestras necesidades, que necesitamos respetar el que otras criaturas comparten nuestra dependencia de este entorno. El trabajo y la producción pueden ser nuestras capacidades de progreso, de movimiento hacia el logro de los objetivos humanos, mientras que la reproducción trae a nuestra conciencia los ciclos de la vida humana, y la necesidad de crear una existencia duradera y sostenible. Como ha escrito Sttephen J. Gould (1987), la historia está compuesta de dos visiones dicotómicas del tiempo “la flecha del tiempo ve la historia como una sucesión irreversible de sucesos no repetibles” ; mientras que el ciclo del tiempo ve “movimientos aparentes como partes de una repetición de ciclos” en la cual “el tiempo no tiene dirección”(p.11). Las metáforas de trabajo/producción y reproducción, como la flecha del tiempo y el ciclo del tiempo, ubican al desarrollo humano en progresiones lineales y cíclicas, pero relacionadas por una dialéctica más que por una dicotomía.

En su trabajo teórico, Vygotsky subraya la distinción entre el hombre y otros animales como un estándar de comparación para desarrollos cognitivos “superiores”. Ubicar su trabajo dentro del contexto de la biología evolutiva le permite a uno examinar el desarrollo humano no sólo en términos de nuestras diferencias de los otros animales, sino en términos de nuestras similitudes e intereses comunes. Alienta también la consideración de un conjunto de creencias más variado con respecto a las capacidades de los otros (animales, plantas y objetos inanimados) en términos de lenguaje, pensamiento, conducta social y espíritu. Incorporar el desarrollo humano dentro de la biología evolutiva nos previene, en forma fundamental, en contra de lo que Marilyn

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Frye (1983) ha descrito como “el ojo arrogante”, la visión de que “el hombre está invitado a subyugar la tierra y a tener dominio sobre toda cosa viviente sobre ella. Con esta visión, el hombre ve con ojos arrogantes que organizan todo lo visto en referencia a sí mismos y sus propios intereses”(p.66-7). La ubicación de la metáfora reproductiva junto a la metáfora trabajo/producción argumenta además en contra del uso de ojos arrogantes para desechar o disminuir los modelos femeninos de desarrollo mientras elevan los masculinos [Gilligan, 1982 ; Brown y Gilligan, 1992].

2. El yo es a la vez autónomo y comunal Vygotsky describió el desarrollo del yo a través del proceso de internalizar normas sociales.

Wertsch [1985] describe esto como el proceso por el cual un proceso de nivel más alto cambia desde el campo de lo interpersonal hacia lo intrapsicológico. Esencialmente, Vygostky sostuvo que “es necesario que todo lo interno en formas superiores fuese externo, o sea, para otros era lo que para uno es ahora” [in Wertsch, p.62]. Vio el acto de internalización como transformador : “pasa sin decir lo que la internalización transforma el proceso mismo y cambia su estructura y funciones”.

De acuerdo a Leont’ev, un estudiante de Vygotsky, “la conciencia es un producto de la sociedad : es producida... Así, el proceso de internalización no es la transferencia de una actividad externa hacia un “plano de conciencia” preexistente : es el proceso en el cual se forma este plano interno” [ibid., p. 64]. La internalización es “el proceso de ganar control sobre signos externos” [ibid., p.65].

En el marco constructivista una construcción del ego se desarrolla frecuentemente en relación a los objetos. En una cuidadosa descripción de este desarrollo del ego, von Glasersfeld [1978] distingue la construcción del yo como : 1) “Parte de la experiencia perceptual de uno” y 2) “El lugar de lo perceptual (y otras) experiencias que estoy teniendo” [p.46]. La primera construcción acarrea crear una diferenciación entre el propio cuerpo de uno y otros ítems perceptuales. Mirando a mi hijo aprender a poner su mano dentro de su boca, me dio una clara ilustración de que esto se aprende gradualmente. A los cinco meses comenzó a gustarle chuparse la mano.

Durante días se esforzó por llevar su mano a su boca. Al principio simplemente parecía encontrar su mano en su boca. Entonces comenzó a tratar de traerla a ella allí. La veía delante suyo, pero parece que no podía doblar su codo intencionalmente para llevársela a la boca. Esto era desconcertante, porque el movimiento de doblar el codo no era algo nuevo : lo usaba regularmente para alcanzar objetos. Resolvió el desafío de una forma interesante. Si quería llevar su mano derecha a su boca, lo conseguía a través de su mano izquierda que tiraba de su mano derecha. Su atención visual permanecía sobre su mano derecha. Su mano izquierda no estaba aparentemente enfocada, aunque ella traería el objeto deseado, su mano derecha, hacia él. Después de otra semana pudo traer su mano deseada directamente a su boca sin necesidad de la otra mano. La dificultad que tenía para traer su brazo a su boca puede ser interpretada como evidencia de que no era la acción física lo que le desafiaba, porque este movimiento no era nuevo, sino hacer ello intencionalmente, controlando reflexivamente sus propios movimientos. Un sentido de uno mismo se crea a medida de que el niño construye una entidad permanente que coordina señales sensoriales y gana el control de movimientos físicos, es decir, gana control motor sobre puntos visuales.

La segunda construcción de von Glasersfeld [1978] es la de un sistema de regulación de uno mismo : “el concepto de una invariabilidad que surge fuera de cambios balanceados mutuamente o cíclicamente puede ayudarnos a aproximarnos al concepto de uno mismo” [p.60]. Esta invariabilidad, agrega, no es una resistencia gradual “pero la invariabilidad se consigue... en un giro hacia atrás [donde] encontramos el acto presente desafiando el pasado inmediato, pero ya en el camino de ser compensado por el futuro inmediato. La

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invariabilidad... consiste en una o más relaciones, y las relaciones no están en cosas sino entre ellas. Si el uno mismo... es una entidad relacional, no puede tener un locus en el mundo de objetos experimentales...Se manifiesta en sí mismo en la continuidad de nuestros actos de diferenciar y relacionar y en la seguridad intuitiva tenemos que nuestra experiencia es verdaderamente nuestra” [p.109].

La posición constructivista supone que uno mismo se desarrolla gracias a experiencias en el mundo físico, y esto es discutido mucho más extensamente que el yo que se desarrolla en relación a otros. Kegan [1982], sin embargo, propone una descripción que es compatible con von Glasersfeld pero que también se muestra en el desarrollo feminista de las relaciones.

Describe la evolución del esquema de “relaciones-objetos” para señalar en primer lugar la etimología de la palabra, objeto, como ject, mover o arrojar, que junto con ob es el movimiento o consecuencia de “arrojado desde” o “arrojado fuera de” [p.76]. Construir una combinación de relaciones entre objetos es, en la terminología de Kegan, “un movimiento, el movimiento de “arrojado fuera de” de diferenciación, que crea al objeto, y el movimiento de integración, que crea la relación objeto” [p.81].

La descripción de Kegan de relaciones objeto complementa y enriquece la de von Glasersfeld. En ella, enfatiza que la construcción de objetos por el bebé, después de los 18 meses, podría ser mejor comprendida como la evolución de la relación objeto-y-bebé, y que junto con esta evolución de objetos externos es una pérdida y una ansiedad para el niño acerca de su propia organización, apareciendo como “ansiedad separación”. “La emergencia desde lo incrustado supone una clase de repudio, un reconocimiento evolutivo de que lo que antes era yo, no soy yo” [p.82]. La descripción de Kegan alcanza una integración fundamental de cognición y afecto, “porque todos los objetos son en sí mismos la elaboración de una actividad que es simultáneamente cognitiva y afectiva” [p.83]. Define afecto como “esencialmente fenomenológico, la experiencia sentida de un movimiento (por lo tanto, emovimiento)” [p.81]. Kegan une los aspectos emocionales del psicoanálisis con el aspecto cognitivo de Piaget al declarar un principio fundamental, básico para el constructivismo : Es la coherencia mayor de su organización lo que es el motivo que se presupone [White, 1959], un motivo trans-orgánico compartido por todas las cosas vivas. Una traslación más profundamente cognitiva del motivo es decir que el organismo es movido a dar significado o resolver discrepancias ; pero esto no sería diferente que decir que es movido para preservar y aumentar su integridad” [ibid.p.84] Kegan sugiere que la combinación de diferenciación e integración produce un tema de toda la vida, que David Bakan llamó “la dualidad de la experiencia humana, el anhelo de “comunión” y “organismo” : El deseo de preservar la independencia o autonomía es sopesado sucesivamente por el temor de ser completamente inseparable, de ser tragada y absorbida ; y el temor de estar totalmente separado, de estar completamente solo, abandonado y remoto más allá de la memoria” [ibid.p.107]. Este balance entre los actos de diferenciación e integración proporciona una teoría que : reconoce la dignidad igual de cada anhelo, y en este aspecto ofrece un correctivo a todo campo de desarrollo presente que univocamente define crecer en términos de diferenciación, separación, autonomía creciente y pierde de vista el hecho de que la adaptación es igualmente respecto a la integración, la unidad y la inclusión. El efecto neto de esta miopía, como expertos feministas están ahora señalando

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[Gilligan,1978 ;Low,1978] ha sido que la diferenciación (el énfasis estereotípicamente masculino en la mayoría de la ambivalencia humana) está favorecida con el lenguaje de crecimiento y desarrollo, mientras que la integración (el énfasis estereotípicamente femenino) habla en términos de dependencia e inmadurez. Un modelo en búsqueda del significado psicológico y experiencia de evolución -intrínsecamente acerca de diferenciación e integración- está fácilmente menos inclinado hacia este prejuicio. [p. 108-9] Poner la metáfora del trabajo y la producción con esta de reproducción ayuda a recordarnos equilibrar las ideas de autonomía y de conexión en nuestra interpretación de modelos de desarrollo cognitivo. Ello permite afirmar que el logro de mayor coherencia puede ser una meta de desarrollo intelectual, tanto como el control activo o la manipulación.

3. La diversidad y el disentimiento son anticipados Como discutimos anteriormente, la teoría de Vygotsky no parece ofrecer manera de explicar y favorecer la invención, la creatividad y el disentimiento. Sin una meta de autonomía es poco probable animar a los estudiantes a inventar nuevas propuestas o cambiar otras existentes. Educar para un desarrollo seguro y sólido del potencial de uno mismo para actuar y reflexionar es una cualidad básica en Piaget, pero su articulación en Vygotsky es limitada.

Como afirmó Piaget, en la teoria revisada, el individuo es considerado tanto como internalización de normas de la sociedad, como un producto de su propia trayectoria experiencial y actividades únicas de dar sentido.

Para reconocer la importancia de la diversidad una teoría de desarrollo intelectual debe afirmar el valor de enfoques múltiples. La colocación de la teoría dentro de un marco evolutivo biológico cuenta con esto en la forma de bio-diversidad. Tener una amplia variedad de perspectivas de donde seleccionar es probablemente la mejor garantía de concepciones más viables. El procedimiento de selección es el medio de evaluar la resistencia de las diversas propuestas. Por lo tanto, la selección funciona como el mecanismo por el cual la coherencia está asegurada.

He criticado el enfoque del constructivismo radical por su fracaso para reconocer una colocación de la persona en muchas clasificaciones, no sólo como miembros de un grupo-edad desarrollado. En las sociedades multiculturales de hoy parece imperativo reconocer la identidad de uno como miembro perteneciente a muchos grupos sociológicos diferentes. Cada uno de estos grupos tiene su propia identidad, valores, normas y significados de acciones. Una teoría del desarrollo intelectual debe poder tratar estas identidades múltiples. Para este fin, parece importante revisar la opinión de la autonomía expresada en el constructivismo radical.

Tal revisión empezaría por reconocer la opinión de que el uno mismo es construído como un actor viable en alcanzar sus propósitos. Esto es, físicamente, el actor más inmediato, en que podemos controlar nuestras acciones físicas. Sin embargo, nada hay en un concepto tal de autonomía que niegue la posibilidad de crear un sentido de identidad dentro de una entidad, un grupo, o una comunidad. Una entidad madre-hijo posee seguramente tanto el lazo físico como emocional que da a esto una identidad incluso antes de nacer. Una familia, un matrimonio, una sociedad, un grupo de trabajo, y una comunidad, pueden permitir la construcción de identidades en una manera similar. Las identidades no están limitadas a individuos solitarios.

Esa identidad moldea dichas relaciones de nuevo y emerge de tales relaciones comprometiendo a uno a las opiniones previamente establecidas del uno mismo como comunal

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y autónomo. Según el enfoque revisado, solo la comunidad se supone que tiene alguna autoridad en relación a otras comunidades. Esta revisión de la opinión de autonomía nos permite proponer un rol para el disentimiento. El disentimiento anticipa la existencia de opiniones compitiendo dentro de una población diversa. También, esto no supone simplemente que estas opiniones pueden hacerse compatibles, o merecerían igual aceptación. Algunas formas de negociación y resolución de conflictos necesita ser establecida como una parte del desarrollo del conocimiento.

Para ver la fuerza de reconocer un medio de disentimiento, consideraremos la relación entre la metáfora del trabajo/producción y reproducción. A lo largo de la historia, las feministas han documentado repetidamente ejemplos donde el valor social de la reproducción está siendo disminuído y subyugado al trabajo y la producción. Por ejemplo, Marilyn Frye [1983] describe las conexiones potenciales entre la relación herramienta/material y los sistemas de explotación y opresión. El hacha se usa para transformar o manipular el árbol a su telos .

El hacha retiene su identidad mientras que el árbol es reorganizado para acomodar el propósito del hacha. Esto es, probablemente, la relación herramienta/material que subyace en la metáfora trabajo/producción. Frye señala que cuando tal manipulación es aplicada a objetos animados por humanos vemos formas de explotación. La explotación puede excepcionalmente suponer asesinato, pero también puede suponer la manipulación de otros seres a través de domesticar y de restricciones tales como harneses, correctores, y otra parafernalia, un proceso referido a rotura (breaking) o entrenamiento. Cuando el proceso de manipulación se aplica a explotar a otra persona o a personas, vemos el desarrollo de cadenas sistemáticas de fuerza y barreras que actúan para reducir, inmovilizar, moldear y formar. Finalmente, señala Frye la esclavitud aparece si la no-integración de los Otros se traduce en el ataque de la voluntad, el interés y la inteligencia de la víctima en relación con el que explota. [p. 57-60].

Dentro del marco de las metáforas de la reproducción y del trabajo/producción vemos en la descripción de Frye cómo el uso indebido de la metáfora producción como un medio de concebir las relaciones humanas puede resultar en opresión y esclavitud. Un medio de disentimiento, además de ser una aplicación más fuerte de la metáfora de la reproducción, es necesario para proteger en contra de tales desequilibrios. Por tanto, el disentimiento pasa a ser un constructo necesario para asegurar el mantenimiento de la dialéctica.

4. La inteligencia emocional es reconocida Para llevar la metáfora reproductiva dentro de la construcción del conocimiento se necesita una reconsideración del rol de la emoción en el desarrollo cognitivo. Vygotsky [1962] reconoció la importancia de una relación entre intelecto y afecto y escribió : “Su separación como tema de estudio es la mayor debilidad de la psicología tradicional puesto que ella hace aparecer el proceso de pensar como un flujo autónomo de “pensamientos que se piensan a sí mismos”, segregado de la riqueza de la vida, de las necesidades e intereses personales, las inclinaciones e impulsos, del pensador” [p.8]. De hecho él aboga por localizar las raíces del lenguaje en la emoción y los gestos. “Las raíces preintelectuales del desarrollo del niño son conocidas desde hace tiempo. El balbuceo, llanto del niño, incluso sus primeras palabras, son estados bastante claros del desarrollo del habla que nada tienen que hacer con el desarrollo del pesamiento. Estas manifestaciones han sido generalmente consideradas predominantemente como una forma emocional de conducta. No todas ellas, sin embargo, desempeñan meramente la función de liberación” [p.42].

Muchas veces, Vygotsky [1986] localiza las emociones en el terreno biológico y de esta manera tienen poca conexión con los procesos involucrados en el pensamiento mental

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superior. Él los conecta a conducta de tipo animal. Por ejemplo, escribe : “En la esfera de las emociones, donde reinan la sensación y el afecto, ni comprensión ni comunicación real son posibles, sino sólo contaminación afectiva” [p.8]. Ante el desarrollo de funciones de nivel superior, él ve las emociones como potencialmente perjudiciales para un nivel de pensamiento superior. “Los estados afectivos productores de reacciones vocales abundantes en los chimpancés son desfavorables para el desarrollo del intelecto. Kohler menciona repetidamente que, en los chimpancés, las reacciones emocionales, particularmente aquellas de gran intensidad, excluyen una operación intelectual simultánea” [1962,p.40] Sin embargo, al final él ha creído que una integración de afecto y cognición es posible y deseable, pero una integración exitosa para Vygotsky depende de tener el afecto controlado por el intelecto antes que el intelecto empujado por el afecto. Escribió sobre "la ley dialéctica, que en el curso del desarrollo causa y efectúa `cambios de lugares` . Una vez que las formaciones mentales más elevadas han emergido en base a ciertas precondiciones dinámicas, estas influencian los procesos que las engendraron.... Por encima de todo las conexiones interfuncionales y las relaciones entre varios procesos en particular, el intelecto y el afecto cambian. ( En Wertsh, 1985, pág. 190).

Sugeriría que el tratamiento de las emociones como primitivas, como requiriendo liberación, y como necesitando ser controladas por el intelecto, representa un ejemplo de como un único énfasis en un modelo productivo de desarrollo cognitivo puede servir para mirar sin recelo al desarrollo femenino. En un modelo reproductivo las expresiones de relación desarrolladas a través de los tonos de comunicación padres e hijos incluyendo, la aprobación, el placer, la diversión, el aviso, la desaprobación y el miedo, conducirían al desarrollo de la lengua, pero el carácter emocional de estos intercambios no sería descubierto, y sería juzgado como secundario para el desarrollo cognitivo.

Como Vigotsky predijo, alguien buscaría la unidad dialéctica del pensamiento emocional y cognitivo, y ambos, el intelecto y la conciencia, serían vistos como implicándose mutuamente. Al contrario de la teoría vigotskyana una contribución equiparable pero diferente, se atribuiría a cada uno.

Salovey y Mayer (1990) proponen el término "inteligencia emocional", que se define como: "el tema de la inteligencia social que comprende la habilidad de controlar los sentimiento, y emociones de uno mismo y de otros, para discriminar entre ellos y para usar esta información para guiar el pensamiento y acciones de uno, " (pág. 189). Además definen las emociones como, "las respuestas organizadas que cruzan los límites de muchos subsistemas psicológicos incluyendo, los sistemas fisiológicos, cognitivos, motivacionales y experimentales. Las emociones normalmente surgen en respuesta a un acontecimiento, externo o interno, que tiene un significado valorado positiva o negativamente por el individuo. Las emociones se pueden distinguir, del concepto íntimamente relacionado con el humor, en que las emociones son más cortas y más intensas". (pág. 186). Finalmente Salovey y Mayer, crean una conceptualización de la inteligencia emocional que incluye: la apreciación y expresión de la emoción, la regulación de la emoción y la utilización de la emoción.

La introducción de la inteligencia emocional en discusiones de educación matemática, permiten señalar que el facilitar y debilitar emociones juegan un papel significativo en el aprendizaje y que las cualidades emocionales de las interacciones de la clase ejercerán una significativa influencia en lo que se aprende.

Por ejemplo, si las jóvenes opinan o ven las clases de matemáticas como propensas a ser embarazosas por obligar a exposiciones en público, y no estiman el riesgo y la competición, entonces, se puede explicar porqué las jóvenes fracasan en destacar en las

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matemáticas. La incorporación de una visión facilitadora de las emociones, permitiría reconocer por ejemplo, la tendencia de la chicas por buscar un nivel más profundo de comprensión, debido a mantener visiones menos instrumentales de las matemáticas, y esto sería una característica positiva.

5. La abstracción es reconceptualizada y colocada en una dialéctica Como indicábamos en la discusión de las limitaciones de la perspectiva vigotskyana, dos interpretaciones de la teoría de Vigotsky pueden ser consideradas. En una, la dialéctica entre el pensamiento, a medida que evoluciona a partir de la inteligencia práctica, interacciona con el lenguaje para crear una unidad dialéctica. En este caso, tanto la actividad práctica como la facilidad con los signos, son necesarios para crear conducta humana compleja y consciencia.

Alternativamente, se puede considerar que existe una interrelación entre la actividad práctica y el uso de signos, pero asignando al uso de signos el gobierno de la actividad práctica olvidando, sin embargo, los modos en los que la actividad práctica restringe y guia el uso de signos. Si se adopta este camino, entonces se privilegia la abstracción en detrimento de la actividad práctica. El resultado puede ser, de hecho, una separación de la actividad lingüística de la actividad práctica y el desarrollo de modos de pensamiento que alienan la humanidad de la actividad de cada dia.

Dos versiones de esta alienación se pueden observar en los círculos académicos. Una es el resultado de un énfasis excesivo en la interacción social basada en intercambios verbales sin referencia a otros tipos de actividades sociales o individuales. De este modo, la base del conocimiento se considera que es sólo cuestión de negociación humana, de influencia y toma de decisiones, sin tener en cuenta la acción humana.

La segunda, criticada por las investigadoras feministas, es la separación (disembodiment) de lo mental respecto de lo físico. La tradición post-modernista ha seguido un dualismo cartesiano que parece desear la eliminación del cuerpo de las discusiones sobre el desarrollo intelectual. Las feministas han argumentado que este distanciamiento de lo físico, como una forma de objetividad, ha convertido el cuerpo de la mujer en un objeto de manipulación masculina. El dejar lo físico fuera de las discusiones sobre el conocimiento permite que ciertas prácticas opresivas permanezcan como parte de lo personal, práctica no reconocida por las culturas dominantes.

Una alternativa es señalar que con cualquier actividad práctica la sistematicidad se desarrolla una vez que se ha realizado repetidamente y en formas diversas [Ceci, 1990]. Los músicos que no usan notaciones musicales seguramente comprenden la frase, la clave, la cadencia, y el ritmo, incluso aunque no sean los autores de la composición. Los jugadores con experiencia tienen una comprensión profunda de la probabilidad aunque no conozcan la notación estándar. El uso de signos, el desarrollo de sistemas de símbolos tales como expresiones algebraicas, modelos, notación musical, planos de arquitectura, sirven como medios de comunicación y reflexión sobre tales actividades prácticas ; pero como con cualquier representación, hay pérdida y ganancia.

Por ejemplo, una elipse se puede describir como una relación del tipo x2/a2 + y2/b2 =1 y de este modo se describen todas las posibles elipses que son simétricas respecto a ambos ejes de coordenadas. Alternativamente, puedo construir una variedad de útiles para trazar elipses. Una que se usaba por los carpinteros de Africa del Sur es un tablero con ranuras estrechas perpendiculares y un palo colocado de modo que un clavo colocado en cada extremo del palo ajusta en cada ranura [Millroy, 1991]. Se hace un agujero en el palo entre los dos clavos y se coloca un lápiz en el agujero para trazar una curva.. Cuando se

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mueve el clavo arriba y abajo en la ranura el lápiz traza elipses. La acción proporciona a uno experiencia de la variedad de tasas de cambio implicadas en la descripción de la elipse directamente. Lo que se “aprende” no se capta particularmente bien mediante la ecuación.

Geométricamente, en términos de lugares geométricos, se logra el mismo resultado.

Epistemológicamente, los resultados difieren. En capintería, como en muchos otros oficios, las matemáticas son experimentadas en la acción, aunque típicamente, cuando se pregunta a los “expertos” niegan cualquier competencia matemática en esas actividades.

Mi preocupación, como dije anteriormente, es que las matemáticas pueden ser separadas fácilmente de su actividad práctica. Frecuentemente, cuando los autores discuten de matemáticas la actividad práctica es sistemáticamente eliminada. Por ejemplo, Newton es bien conocido por sus contribuciones a las matemáticas ; su genio es ampliamente reconocido. No obstante, tiene una deuda con Hooke no reconocida por la historia, ya que Hooke era el ‘curator’ de la Real Sociedad durante cuarenta años y en su papel, se requería que produjera cada semana una demostración física de principios científicos. Según V. I. Arnold [1990] muchos de los aportaciones de Newton eran formalizaciones de demostraciones de Hooke, y sin embargo, sólo en la Ley de Hooke demos crédito habitualmente a los logros de Hooke.

Las matemáticas eran consideradas como la formalización de los resultados en forma simbólica. Estos no son simples errores de los historiadores sino intentos sistemáticos por esconder la génesis de las ideas. Newton destruyó las descripciones de las demostraciones de Hooke para proteger y enaltecer su propia reputación y contribuciones. Dentro del marco del desarrollo cognitivo propuesto tales eliminaciones de la génesis de las ideas disminuyen en lugar de enaltecen el valor y legitimidad de las contribuciones.

Estoy proponiendo que hay dos raíces históricas de la abstracción : una que es epistemológica ; la otra está enraizada en la opresión política y el elitismo. La historia del término abstracción revela en sí mismo estas raíces duales, como ocurre en su uso común. [8] “Abstracto” deriva del Latín “trahere” que significa “traer” (draw), y el prefijo “ab” que significa “fuera de”. Esto es, significa “extraer” (withdrawn). La palabra entró en la discusión matemática común en el siglo 17 en el trabajo de Hobbes, Newton, y Leibniz, pero su uso primario vino de los sacerdotes. Estuvo estrechamente conectado con “absolver” y “absoluto”, que eran originalmente los participios pasados de “absolver”, que significa libre de pecado o imperfección o de consideración material. Citando el Oxford English Dictionary, de un tratado religioso de 1690, “The more abstract therefore we are from the body ... the more fit we shall be both to behold, and to endure the rays of the Divine Light” [J. Norris, 1690, The Beatitutes].

Por tanto, un camino de las matemáticas evoluciona como una forma altamente valorada de penitencia -separación de consideraciones materiales. Esta es la historia de las matemáticas puras, donde la pureza es el fin del penitente. Y las matemáticas se ven como “elevación de la mente” y la obtención de la “esencia de la verdad”. Las matemáticas se ven como al disciplina de la mente. Las matemáticas en este sentido son las que crean una sociedad de sacerdotes, con lazos implícitos con el entrenamiento monástico. No hay duda que las matemáticas que surgen de esta tradición conducen al elitismo y al aislamiento que caracteriza los contextos (milieu) de muchos departamentos de matemáticas. Y es inónico que bastantes de nosotros que desafiamos el “absolutismo” en matemáticas [Confre, 1980 ; Ernest, 1989] no reexaminamos sus relaciones con la abstracción. ¿Cuáles son las características de una abstracción que no suponen (disembodiment) y absolutismo ? Propondría tres posibles caminos de solución : el reconocimiento de 1) una dialéctica genuina entre la actividad práctica y el uso de signos ; 2) el valor de las formas

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múltiples de representación ; y 3) el papel de la acción en el acto de abstracción.

Tomando el primer camino, sugiero que establezcamos una dialéctica de actividad fundada e indagación sistemática. Se considera que el uso de signos hace más accesible la indagación sistemática. El desarrollo conceptual se convierte entonces en la síntesis efectivas de estas dos actividades, demostradas por un uso de signos que capta el carácter de la actividad fundada (grounded), al tiempo que crea su propio sistema de manipulación y movimiento ; y las actividades fundadas que predicen o anticipan aspectos interesantes para ser representados en forma simbólica. Reflejando esto como una dialéctica genuina en la cual ninguna parte se supone que requiera más inteligencia que la otra, se comunica un importante sentido de equidad de diferentes formas de trabajo humano. Se rechaza la creciente alienación del ser físico de cualquiera, un elemento esencial de una perspectiva reproductiva.

En segundo lugar, he sugerido en otro lugar la importancia de establecer "una epistemología de las representaciones múltiples" (Confrey, in pressC) en la cual alguien reconoce que todas las demostraciones, bien como actividad fundamentada o como representación simbólica, requiere que alguien aprenda a "actuar" y "hablar" en contexto, y es la habilidad para moverse entre representaciones la que señala progreso intelectual. La suposición en este punto de vista es que todas las representaciones implican el mostrar y enmascarar, pues ya no buscan encontrar una forma simple ( ideal platónico) sino contrastar y comparar los diferentes usos de diferentes representaciones. De acuerdo con eso, la historia de las matemáticas se convierte no sólo en la historia del establecimiento de más y más generalidades acompasadas sino también en el reconocimiento del valor de distinciones dentro de particulares. En este acercamiento, la contextualización llega a ser tan valiosa como la descontextualización Finalmente, señalo que aunque la abstracción puede significar la extracción desde los objetos particulares de una situación, la acción que crea el concepto no es retirada. Por ejemplo, la simetría no es abstraída de la actividad de doblar, sino solo de los particulares de un medio en el cual el doblar tiene lugar u ocurre. Incluso tales conceptos como los grupos cíclicos, los límites o derivadas, todas tienen lazos significativos con las acciones y por tanto una comprensión de la abstracción puede ser revisada de modo que quiere decir sacar fuera (from the trappins of the construct) aunque reteniendo lazos con la acción.

Consideremos la idea promedio. Los estudiantes experimentan múltiples y competitivas visiones del promedio [Mokros nad Russell, 1992]. Una se refiere al resultado más probable, otro a la balanza, y un tercero se refiere a la distribución equitativa. Cada una tiene sus raíces en la actividad humana, basada en las acciones relacionadas con “lo más” (most), “la balanza”, e “igual reparto”. Sólo la tercera concepción se ve facilmente como generalización de la suma de los valores individuales dividida por n. El desarrollo de las conexiones con las dos primeras requiere desarrollos curriculares más bien cuidadosos y actividades sobre probabilidad así como el uso de histogramas. De acuerdo a la representación de las matemáticas en nuestra teoría revisada, el desarrollo conceptual en término medio requiere reconocer las diferentes formas de acción, ser capaz de representar la idea de múltiples maneras y coordinar las actividades asentadas con la investigación sistemática.

En esta visión revisada la idea piagetiana de los esquemas puede ser útil. Los esquemas señalan conexiones hacia los objetivos de uno, formas de acciones, medios de comunicación y de reflexión. Si los esquemas se sitúan dentro de visiones más amplias de la teoría de la actividad, uno crea una comprensión de la abstracción reflexiva que hace obsoleto el concepto de abstracción matemática pura.

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La eliminación de la visión opresiva de la abstracción exige que uno desvele las formas en las cuales el mantener las matemáticas como mitificadoras, secretas e inabordables, sirve para conservar el status-quo de una elite poderosa. Permitiendo a las matemáticas continuar en pedir que los estudiantes se desentiendan de sus fuentes personales de experiencia y aprendan un sistema de rituales que tienen poco sentido para ellos, pero los cuales le darán acceso a los rangos de élite, es una de las formas más efectivas de mantener esta opresión.

Una visión crítica de las matemáticas es esencial para cambiar este estado actual del asunto.

6.- El aprendizaje visto como una actividad recíproca Al enfatizar la relación adulto-niño en el aprendizaje, Vygotsky reconoció el caracter intergeneracional de la enseñanza y el aprendizaje. Educar a los propios niños es una parte fundamental de la responsabilidad de la paternidad, e ignorar el papel de tal fundamento en las instituciones de educación es improductivo. Además, Vygotsky enfatizó que el aprendizaje debería conducir el desarrollo, y que el no permitir hacerlo retrasa y limita el potencial del niño.

Si, como Vygotsky ha establecido, el aprendizaje debe conducir al desarrollo, y las interacciones con un adulto u otro más experto deben proporcionar este liderazgo, entonces aquel otro más experto debería estar haciendo más que “averiguando en dónde está el niño”.

Debe esforzarse para que los niños avancen. Una forma de hacer esto es admitir la brecha entre el conocimiento del experto y del principiante y permitir al niño usar el lenguaje del experto y ejecutar las rutinas del experto con el objetivo de que eventualmente estas ejecuciones y rutinas serán transformadas desde pseudo-conceptos a conceptos .

El problema potencial con el enfoque vygotskyano tiene que ver con la naturaleza de la interacción adulto-niño. La mayoría de los investigadores en la tradición vygotskyana consideran esto una forma de relaciones maestro-aprendiz, un modelo estrechamente conectado con el trabajo y la producción. Una desventaja de tal modelo, como yo sostuve anteriormente, es que suprime la natural diversidad en los niños. Ahora deseo sugerir que incorporar la metáfora reproductiva en relación a las interacciones adulto-niño y niño-niño puede ayudar a superar esta limitación.

En estudios de interacción madre-niño versus padre-niño, los investigadores han documentado que las madres tienden a sentir simpatía hacia las actividades y objetivos del niño, y usan los objetivos del niño como un medio de educación. Los padres, en contraste, tienden a mantener con firmeza sus intenciones originales en las interacciones y coaccionan al niño para esforzarse en alcanzar sus objetivos. Ninguna de estas se puede considerar mejor, pero una versión extrema de cualquiera de ellas limitaría el crecimiento del niño, dejando al niño ya sea sin ningún progreso posterior o sin ninguna posibilidad de éxito. Análogamente, al sostener ambas metáforas, la reproductiva y la productiva, en el desarrollo conceptual, uno sostiene que ambas formas de interacciones con los niños, tipo padre y tipo madre, son deseables.

Así como la teoría vygotskiana se corresponde mejor con la visión padre-orientada de la interacción padre-niño, el constructivismo puede ser relacionado con la visión madreorientada. El constructivismo postula un proceso gradual pero continuo de crecimiento y transformación desde un mundo conceptual del niño hacia la adquisición de conocimiento científico. Si hay una máxima central sobre la cual todos los constructivistas concuerdan, esta es “empezar donde los niños están”. Y “empezar donde los niños están” es un desafío demostrable, porque requiere un esfuerzo significativo poner a intentar entender donde está el pensamiento del niño, o sea, cómo el niño visualiza el problema. Los investigadores han

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documentado que esta estrategia tiene una variedad de resultados positivos instruccionales.

Esto aumenta la autoconsciencia del niño, permite al profesor escuchar cómo el niño ve el problema, se centra en interacciones basadas en tareas, y alienta a los dos a encontrar puentes en el lenguaje. Este genuino interés en comprender la perspectiva del estudiante está ausente en los escritos de Vygotsky, los cuales ven muchas de las ideas de Piaget dentro de la diversidad en el pensamiento del niño.

También está ausente en la posición vygotskyana la comprensión de que por tales interacciones el profesor también aprende. El experto aprende cómo el niño ve las cosas, y al mismo tiempo, el adulto obtiene nuevas perspectivas matemáticas. Esta visión del aprendizaje adulto, de cambios de contenido del conocimiento en un adulto está ausente en ambas, en la de Piaget y Vygotsky. Sólo recientemente los constructivistas han llegado a reconocer que no están sólo descubriendo o articulando los esquemas de los estudiantes sino aprendiendo genuinas matemáticas para sí mismos [Confrey, 1991). He usado una distinción entre “expresión” (voice) y “perspectiva” para señalar los dos tipos de aprendizaje que resultan de una interacción recíproca entre un estudiante y un profesor. La expresión se refiere a las concepciones del estudiante y la perspectiva describe la visión del material por una persona experimentada . He sugerido que en algunas entrevistas clínicas y de enseñanza uno busca modelar la expresión del estudiante a través de la perspectiva de un conocedor mejor informado; sin embargo, también he señalado la importancia de usar la expresión de los estudiantes como una manera de reexaminar, modificar y acentuar la perspectiva de uno.

Ambas, la expresión y la perspectiva, aportan importante contenido epistemológico a la interacción enseñanza-aprendizaje. (Confrey, en prensa b).

Un resultado fundamental de este enfoque es el desarrollo de un profundo respeto y apoyo a la diversidad. Si uno entra en la empresa educacional con arrogancia, las propias visiones del conocimiento rápidamente abruman a las ideas del niño. Cuando las normas de clase se desarrollan de manera que promuevan el cambio de los métodos de los estudiantes con tolerancia y respeto mutuo, los propios niños llegan a tener confianza creciente en sus contribuciones y el sistema pasa a ser auto-reforzador. En ambas, las relaciones entre pares y en las interacciones adulto-niño, los papeles de experto, profesor, aprendiz y principiante son asumidas con flexibilidad (Esto no significa que el profesor alguna vez llegue a ser “lo mismo” que un estudiante, pero sí, que ella o él reconoce las oportunidades de asumir multiples papeles).

Una visión reproductiva del desarrollo humano en la cual se esperan ciclos de interacción , en la cual la expresión del estudiante se solicita y valora, y en la cual la autoridad no surge de la propagación del conocimiento sino de la generación de un conocedor, es una cualidad clave de fortalecimiento. Jean Baker Miller (1986) en A psychology of women trata sobre cómo la dominación y la subordinación de las mujeres ha limitado el desarrollo de la humanidad. Reconoce, sin embargo, que hay ocasiones en que existe desigualdad temporal entre dos personas. Describe esta relación como sigue : La persona “superior” presumiblemente tiene más de alguna habilidad o cualidad de valor que se supone que ella/él comunique a la persona “inferior”. Aunque estas capacidades varían con la relación particular, incluyen la madurez emocional, la experiencia en el mundo, habilidades psíquicas, un cuerpo de conocimiento, o las técnicas para adquirir ciertos tipos de conocimiento. Se supone que la persona superior se comprometa con la inferior en forma tal, que lleve al miembro menor hasta una paridad completa; o sea , se ayuda al niño para que llegue a ser adulto. Tal es la tarea global de esta relación. Se le va a dar al inferior, al niño, por la persona que

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supuestamente tiene más que dar. Aunque la persona inferior a menudo también da mucho a la superior, estas relaciones estan basadas en “servir” a la persona inferior.

Esta es su raison d´être. Es claro, entonces, que el objetivo fundamental es finalizar la relación, es decir, finalizar la relación de desigualdad.

En este trozo vemos que Baker Miller reconoce el propósito educativo del desequilibrio, reconoce que el aprendizaje va en ambas direcciones, e identifica la componente de servicio en el acto de educar.

Por ejemplo, cuando a un grupo de estudiantes de cuarto grado se les pidió identificar los números primos menores que 100, se manifestaron tres estrategias. Un estudiante lo hizo mediante el procedimiento de tachar alternadamente los números, cada tres números, cada cinco números, y así hasta que quedaron los primos. Otro estudiante dispuso los números impares en grupos de 10, de forma que los números impares terminados en 5 estaban en una columna y procedió a buscar los patrones numéricos. Un tercer estudiante usó las reglas de divisibilidad para eliminar todos los múltiplo de 2 y 5, y cuando no supo cómo identificar los múltiplos de 3, descompuso mentalmente los números en sumas o diferencias y examinó cualquier divisibilidad compartida entre los términos. Por ejemplo, vio que 51 no era primo por verlo como 21+30 y observó que los dos eran múltiplos de 3. Por lo tanto, afirmó: 51 es divisible por 3. Otro estudiante lo pensó como la diferencia de 60 y 9.

La profesora se propuso el objetivo instruccional de que los alumnos aprendieran las reglas de divisibilidad por 2, 3, 5, 9, 11 y exploraran los patrones en una tabla 100x100. No adelantó las soluciones por sumas o diferencias, no obstante, usó esta propuesta de los estudiantes para revisar su visión de los patrones en las tablas 100x100. Encontró una forma de usar los tres métodos exitosamente en el ejercicio de patrones. Una podía tachar todos los n números (método 1), podía encontrar los patrones verticales y diagonales en los múltiplos (método 2), podía enseñarles identificar por divisibilidad (método 3). La forma de los estudiantes de separar en partes y comprobar cada una con las reglas de divisibilidad condujo a la profesora a explorar las diagonales en las tablas 100x100 más cuidadosamente. Era fácil ver que el movimiento de un múltiplo de 3 al siguiente era “bajar una fila y saltar 3 espacios”(un incremento de 10 y quitar 3) y uno podía ver también un patrón de “bajar 2 filas y saltar una” (un incremento de 20+1) Este es un ejemplo de aprendizaje del profesor desde los diversos métodos de los alumnos y en seguida usar su conocimiento para conducir a los alumnos a una visión más amplia de las múltiples formas de representación.

7. Aulas estudiadas como interacciones entre interacciones Uno de las aspectos más profundos de la teoría vygotskiana es su uso de relaciones dialécticas, como la dialéctica entre pensamiento y lenguaje. En la teoría revisada he propuesto una dialéctica entre actividad establecida e indagación sistemática. En la visión revisada sostengo explícitamente que ambos tipos de actividades conducen desde una hacia la otra.

Las aulas, de acuerdo con esta visión revisada, se puede describir ahora como lugares en los cuales los niños se involucran en actividades establecidas y en indagación sistemática.

En lugar de sugerir, sin embargo, que las actividades establecidas son esencialmente individuales y la indagación sistemática es esencialmente social, propongo una descripción alternativa recurriendo al concepto de mediación de Vygotsky. De esta manera uno puede ver las actividades establecidas como acciones concernientes a la actividad práctica, las cuales son mediatizadas por las interacciones de uno con los otros. En contraste, la indagación

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sistemática, que concierne a la comunicación a través del uso de signos, puede ser considerada como una actividad social mediatizada por la experiencia de uno dentro de la actividad establecida.

Esta propuesta deja claro que las interacciones físicas de uno con materiales y herramientas están influenciadas por las interacciones sociales de uno. De la misma forma, el uso de los signos por uno está influenciado por su experiencia personal con actividades establecidas. Observar las interacciones entre estas dos formas de actividades mediatizadas puede producir algunas ideas útiles en cuanto a cómo deberíamos educar con éxito a la gente en matemáticas.

El constructivismo radical, con su enfoque sobre el desarrollo de las concepciones de los estudiantes y sus descripciones biológicas, debiera admitir esta metáfora reproductiva más fácilmente. Piaget se centró en el caracter generativo del pensamiento humano. La reproducción juega un papel central en la biología evolutiva. Bruner y Bornstein (1989) en la introducción a un libro titulado “Interaction in human development” escribió , “Dondequiera que uno miraba, nos parecía , que había formas de interacción que eran importantes por derecho propio, formas de interacción cuya naturaleza de algún modo no eran captadas al ser reducidas al papel que jugaban como influencias sobre factores de crecimiento intraindividuales”(p.1). Y “Una y otra vez, encontrábamos a la investigación y a la teoría señalar a experiencias específicas de interacción y a tiempos específicos en el desarrollo, afectando a aspectos específicos del crecimiento en formas específicas” (p.12). En esta introducción identifican múltiples formas de interacción : tutor-tutorando, interacciones genéticas y ambientales, interacciones individuales y culturales, y así en lo sucesivo.

Un ciclo interaccional Actividades prácticas

Actividades mediadas por signos

Figura 5 Esto atrae nuestra atención a la combinación entre dos factores. Mientras que la perspectiva sociocultural nos conduce a enfocar con fuerza sobre la interacción verbal entre estudiantes y docentes (discurso, diálogo, registros, etc.), el ciclo nos recuerda considerar, al mismo tiempo, lo que hacen los chicos con los elementos del entorno no humano. ¿Con qué materiales están trabajando ?, ¿qué operación mental podrían construir ?, ¿qué acciones están tomando ?, ¿qué limitaciones están experimentando ?

Por ejemplo, cuando un grupo de niños trata de resolver el problema : repartir 162 habichuelas de gelatina entre 3 niños, un niño que elige trabajar con los bloques de Dienes podría abordarlo tratando primero de compartir el “plano” (cuadrado de 10 x 10) y esta elección del niño de materiales y estrategias difiere considerablemente de otro que eligió cambiar el plano para producir 16 largos (bastones de 1 x10) y 2 solitarios. Sin embargo, una vez que el idioma del “intercambio” es introducido en la clase, la problemática del primer niño puede no producir una solución directa (cómo repartir el bloque 100 en 3 partes), pero el niño, sin embargo, obtendría una solución al problema. Como ella/él viene a comprender esta nueva solución puede no reflejar cómo el niño comprende el método que él/ella propuso

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originalmente. Yo creo que es una cuestión abierta si ambos métodos son tan significativos, generativos, y perdurables. Comprender la interrelación entre estas formas diferentes de interacción es importante para comprender el desarrollo del conocimiento.

Uno puede elegir para describir esto como una interrelación entre aspectos sociales e individuales ; sin embargo, elegí no hacer la base de la interacción social versus individual para retener la dialéctica entre las dos metáforas teóricas en la raíz de este nuevo enfoque teórico.

Por consiguiente, uno se encuentra con que materiales, factores del entorno y el mundo natural y físico, reflejan la visión constructivista radical piagetiana del mundo -nuestra adaptación biológica a las limitaciones que encontramos ; y nuestra interacción con otros objetos refleja la forma en que nuestras naturalezas materiales, físicas, biológicas están formadas por nuestra participación en (o mejor) nuestra inmersión en una perspectiva cultural.

Al mismo tiempo debemos reconocer la probabilidad que el enfoque del niño a este problema de distribuir cien se desarrolla a causa de nuestro sistema numérico de base decimal, que tiene una base biológica en nuestros 10 dedos de las manos y de los pies y una trayectoria cultural en términos de cómo esta base particular fue desarrollada y aceptada socialmente.

Conclusiones No hay duda de que todos los expertos en educación matemática se beneficiarán con un estudio exhaustivo de Vygotsky y Piaget. En este estudio, he tratado de describir las perspectivas de cada uno concisamente, esperando que tales resúmenes fomenten una análisis más profundo de su trabajo original. Son proporcionados ejemplos de cómo cada teoría profundiza nuestra comprensión de las clases, como también esbozos de las limitaciones de cada teoría. Mi esperanza al ofrecer estas discusiones ha sido hacer justicia a las contribuciones de cada teoría aunque creando una tensión entre ellas.

En la sección final del estudio he tratado de movilizar más allá de la tensión entre las teorías para crear un puente entre ellas. Mi intento no es minimizar las dificultades muy reales al hacer esto. Y antes que crear una dicotomía estrictamente lógica entre las dos teorías (tales como : una es individualista y la otra es social), he elegido seleccionar la metáfora de la biología evolutiva como principal, y crear entonces una relación dialéctica entre los subconstructos del trabajo/producción y reproducción. El estatus ‘paraguas’ de la metáfora de la biología evolutiva, sin embargo, es reconocido como tentativa y desarrollo a la luz de su propio carácter histórico/cultural.

Las secciones finales del estudio articulan entonces el grupo de ideas que emergen como significativas en la dialéctica producción-reproducción. Muchas son revisiones de cuestiones identificadas como problemáticas en las dos teorías. La mayoría de las revisiones están estrictamente ligadas a las circunstancias cambiantes que enfrentamos en Norteamérica a finales del S.XX. Por ejemplo, elegí como constructo puente la evolución biológica y reconociendo la importancia de las preocupaciones ambientales. El reconocimiento de Vygotsky de cómo las herramientas físicas transforman los productos fue seleccionado como preferible al tratamiento no contextual de Piaget de constructos globales en parte a causa de su importancia en comprender el impacto de las herramientas tecnológicas en nuestro tiempo.

Identificar y enfatizar la importancia de la diversidad como un constructo fundamental es una necesidad particular dada la naturaleza multicultural de nuestro país y la influencia internacional creciente sobre todas nuestras vidas. La teoría feminista está pidiendo argumentar a favor de un equilibrio en el tratamiento de la conexión y la autonomía y para una visión de interacciones adultos-niños.

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Finalmente, el estudio intenta ilustrar que en un clima de reforma, necesitamos teorías para guiarnos. En los tiempos actuales, en los Estados Unidos, el National Standars for Curriculum and Evaluation está sirviendo como un documento para la reforma. Muchas de las reforman amenazan ya ser más un asunto de producir el eslogan correcto antes que alcanzar cambios duraderos en las prácticas. Las teorías, como crean hasta cierto punto sistemas de pensamiento, pueden ser un vehículo importante para crear reformas genuinas. Si alguna de las ideas de este estudio puede contribuir a soportar una reforma, el mismo habrá alcanzado su propósito.

Notas [7] Estoy particularmente agradecida a Elizabeth Rowe por las discusiones que hemos tenido sobre este tópico y por los artículos que me ha conseguido, incluyendo su estudio sobre este tópico.

[8] Estoy particularmente agradecido a David Dennis por las discusiones que hemos tenido sobre el tema de la abstracción y por las investigaciones históricas que condujo como un asistente de investigación.

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Traducción: M. F. Ayllón, V.J. Barrera, A. Cantero, C. de Castro, L. Cecilia, C. Gajardo, P. Jurado, A.J. Moreno, F. J. Navas, M. J. Ramírez, J. R. Salamanca, y S. Scaglia.

Revisada por Juan D. Godino (Dpto de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada).

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