PROPOSICION: Es toda frase o enunciado del cuál se puede decir una y sólo una de estas dos alternativas: Es verdadero, o, es falso.
Negación de una Proposición:
Ejemplos: - El área de un rectángulo es b*h. - La tierra gira alrededor del sol. - 2 + 4 = 10 - El círculo tiene 360º.
Notación: Para negar una proposición se emplea el símbolo ┐, que se lee no.
Negar una proposición consiste en expresar todo lo contrario de lo que ella dice originalmente.
Así, la negación de una proposición p, se escribe ┐p y se lee “no p”.
Las siguientes expresiones no son proposiciones, porque no puede decirse de ellas si son verdaderas o falsas: - Hasta luego. - ¿Qué es eso? - Por favor no fume - Levántese - Cierre la puerta - La belleza de la mujer colombiana. En resumen, no son proposiciones Preguntas Opiniones Exclamaciones Orden Las proposiciones se notan o simbolizan, por medio de las letras minúsculas p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, y z. Ejemplos: p: q: t: u:
Hoy está nublado Mañana es lunes (+)(-) = (+)(+) = +
Valor de Verdad de la Negación: Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y si una proposición es falsa, su negación es verdadera. Ejemplos: p: Roma es la capital de Italia (V) ┐p: Roma no es la capital de Italia (F)
Tablas de Verdad: Son formas gráficas mediante las cuales es posible observar directamente el valor de verdad de una o más proposiciones, sin necesidad de conocer lo que éstas digan. P V F
┐P F V
Ejemplos: Aplicar el valor de verdad a las siguientes proposiciones:
CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones son simples o compuestas.
p: Roma es la capital de Italia (V)
Proposiciones Simples: Son las que están formadas por una sola frase o enunciado. Como ejemplo están todas las proposiciones, vistas hasta ahora en el presente capítulo.
Notación: Es un símbolo o signo, con el cual se representa algo. Ejemplos: Las notaciones más comunes en Matemáticas, son:
= Diferente de < >
= Menor que = Mayor que = Para todo / = Tal que =y =o = Implica, o, entonces = Equivale a, o, si sólo sí ┐ = No = Pertenece a = No pertenece a = Por tanto, de donde.
Proposiciones Compuestas: Son las que están formadas por dos o más proposiciones simples. Para formar las proposiciones compuestas se necesita que las proposiciones simples que las forman estén enlazadas por medio de conectivos lógicos o partículas de enlace. Los conectivos lógicos (partículas de enlace) son: Λ, que se lee Y. V, que se lee O.
, que se lee Implica o entonces, y
, que se lee equivale a, o sí, sólo sí.
Estos conectivos lógicos, en su orden, dan origen a las proposiciones compuestas conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. Conjunción:
La ballena es un mamífero y
p V V F F
pq V F F V
q V F V F
Nota: Cuando dos proposiciones tienen igual valor de verdad, también se dice que son equivalentes. Cuadro- Resumen de los valores de Verdad:
P
el mercurio es un metal q
Proposición Conjunción
Disyunción:
La ballena es un mamífero o
Disyunción Implicación
P
el mercurio es un metal
Equivalencia
q
Implicación:
Sí llueve mojan las calles entonces se P
Negación
q
V
Lectura Y
O Implica entonces Equivale a sí sólo sí ┐ No
Valor V. V. = V F. F. = F V. F. = F V. V = V F. F = V V. da F F. da V
Equivalencia:
Llueve agua de las nubes sí y sólo si cae P
Normas para elaborar cualquier tabla de verdad
q
LA CONJUNCIÓN La conjunción únicamente es verdadera, cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas. P q Pq V V V V F F F V F F F F LA DISYUNCIÓN: Valor de verdad de la Disyunción: La disyunción únicamente es falsa cuando las dos proposiciones que la forman son falsas. P q Pvq V V V V F V F V V F F F LA IMPLICACIÓN Valor de Verdad de la Implicación: La implicación únicamente es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. p q pq V V V V F F F V V F F V LA EQUIVALENCIA: La equivalencia únicamente es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas o falsas.
*Para conocer cuántos renglones tiene una tabla, (alternativas o posibilidades) se aplica la formula 2n, en donde 2 es una constante y n es el número de proposiciones que intervienen en la operación. * En la parte superior izquierda da la tabla, se colocan las proposiciones que intervienen y al frente, las operaciones que se van a realizar. *La primera columna de la izquierda tiene su primera mitad de valores verdaderos y su segunda mitad, falsos. La segunda también tiene distribuidos sus valores verdaderos y falsos, repartidos, iniciando siempre por los verdaderos, pero su distribución es con base en la mitad, de los valores de la columna anterior *Por último, para realizar las operaciones (resolver la tabla) se recurre a los valores de verdad (señalados con asterisco, *) y se colocan debajo de cada signo los valores correspondientes. Notas: Cuando la columna resultante (respuesta) de una Tabla de Verdad, muestra como resultado todos los valores verdaderos, se llama Tautología Si el resultado es todo falso, se denomina Contradicción Si el resultado es diferente a los anteriores, dicha Tabla se denomina Contingencia