Resolución de problemas Olimpiada

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADRA 09 OCTUBRE 2018

JOSÉ ANTONIO TARIFA GARZÓN

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-DIFERENCIAS ENTRE PROBLEMAS Y EJERCICICOS

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HAY SITUACIONES “PROBLEMÁTICAS” EN LAS QUE PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÓN SE REQUIERE, MÁS QUE SABER MUCHO, PENSAR BIEN.

Situación problemática: se presenta cuando sabemos a dónde queremos ir, pero no sabemos cómo. Encontrar los caminos para resolver los problemas se puede

convertir en un verdadero arte.

ALIADOS:

- Paciencia - Esfuerzo

- Instrumentos útiles – estrategias, procedimientos

Etapas en la resolución de un problema 

Comprender el problema Hacer representación, esquema, dibujo, diagrama,…. Distingue los datos y la incógnita, ¿Has usado todos los datos?

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Concebir un plan Usar recursos y estrategias aprendidos,…. ¿Conoces un problema similar? Familiarízate con el problema Haz conjeturas…..

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Ejecutar el plan Se puede necesitar retocar el plan inicial

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Reflexionar sobre la solución obtenida Verificar la solución, explorar caminos alternativos,…..

TÉCNICAS DE LA INDAGACIÓN Y DEL DESCUBRIMIENTO - Hacer una lista exhaustiva

Organización de la información

- Modelización por un gráfico - Hacer una tabla

- Buscar regularidades / Buscar subproblemas - Estudiar Casos Particulares / Ensayo y Error

- Eliminar Posibilidades Herramientas (Transformación del problema)

- Problema más Sencillo - Trabajar hacia atrás / ¿Qué ocurriría si…?

- Modificar las condiciones / Modificar los datos - Supongamos que no

TÉCNICAS DE LA INDAGACIÓN Y DEL DESCUBRIMIENTO

- Tanteo - Diagrama - Reducción al absurdo Estrategias generales - Inducción (Métodos)

- Principio del palomar

- Proceso deductivo - …..

TANTEO – ANÁLISIS DE CASOS 

1.- El primer dígito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha, manteniendo el orden del resto de cifras, el nuevo número (también de seis cifras) es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?

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2.- ¿Cuál es el último dígito de 3857105 ?

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3. ¿Cuántas ternas ordenadas de números naturales (a, b, c) distintos de la unidad hay tales que a.b.c = 739 ?

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4. Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos da cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales? (Principio del palomar)

USO DE DIAGRAMAS - REPRESENTACIONES 

5. El Almería y el Granada han empatado a 4 (4 – 4). ¿De cuántas formas distintas se ha podido llegar a este resultado?

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6. Eva y Moisés apuestan cada uno 40 euros en un juego en el que será vencedor el primero que gane tres partidas. Cuando Eva ha ganado una partida y Moisés aún no ha ganado ninguna, tienen que suspender el juego. ¿Cómo deben repartirse el dinero de forma justa?

REDUCCIÓN AL ABSURDO Si queremos demostrar que una Proposición P es cierta, podemos empezar suponiendo que su negación es verdadera y ver si llegamos a una contradicción : (No P) Absurdo.

Entonces No P debe ser falsa y por tanto, P debe ser verdadera Contrarrecíproco: utiliza la siguiente equivalencia entre implicaciones: Si P

Q, entonces (NO Q)

(NO P)

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7. Demostrar que hay infinitos números primos.

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8. Demostrar que 2 es irracional.

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9. Tenemos una circunferencia de centro O y radio r y una recta, t, que solo tiene un punto, T, en común con la circunferencia. Demostrar que entonces la recta t es perpendicular al radio OT.

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10. Comprueba que no existe ninguna función real de variable real f : R

R satisfaciendo

f(x2 + y) = f (x) + y2 para cualesquiera x e y en R. 

11. Sea P una familia de puntos en el plano tales que por cada cuatro puntos de P pasa una circunferencia. ¿Se puede afirmar que necesariamente todos los puntos de P están en la misma circunferencia?. Razona la respuesta

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12. Demostrar que si m y n nos enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par

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13. Considera 7 puntos arbitrarios del plano y los 21 segmentos que los conectan entre si.

Demuestra que al menos 3 de esos 21 segmentos son de distinta longitud.

MÉTODO DE INDUCCIÓN Se utiliza cuando queremos demostrar que una propiedad es cierta para cualquier número natural n: - lo comprobamos para algunos valores de n

- Suponemos que la propiedad es cierta para para un nĂşmero natural k (hipĂłtesis de inducciĂłn) - Probamos que es cierta para k+1. Entonces podemos asegurar que es cierta para todo nÂş natural n+1

ď ľ

14. Demostrar que 1+2+22+23+‌‌‌+ 2n = 2

ď ľ

15. Probar que 12+22+‌‌‌. +n2 =

ď ľ

16. Demuestra que n3 – n es divisible por 3 para cualquier natural n.

ď ľ

17. Comprueba que para cualquier nĂşmero natural n, se tiene que n3 – n = 6áˆś 3

3

3

–1

đ?‘›(đ?‘›+1)(2đ?‘›+1) 6

đ?‘›2 (đ?‘›+1)2 4

ď ľ

18. Probar que 1 + 2 + ‌‌. + n =

ď ľ

19. ¿Para quÊ valores de n se satisface que n! – 3n >0?

PRINCIPIO DEL PALOMAR (Principio de distribución de DIRICHLET)

- Si m palomas ocupan n nidos y m > n, Entonces al menos un nido tiene dos o mas palomas en él. 

20. En una fiesta hay 50 personas. Demostrar que al menos dos de ellas tienen el mismo número de amigos en la fiesta.

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21. En un cuadrado de lado 1 colocamos 5 puntos cualesquiera. Prueba que siempre habrá, al menos, dos de ellos que estén a una distancia menor que

2 2

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22. ¿Cuántas veces debemos tirar un solo dado para obtener el mismo resultado al menos tres veces? ¿Y para obtener el mismo resultado n veces, con n >=4?

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23. Demostrar que cualquier subconjunto de tamaño 6 del conjunto A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 debe contener dos elementos cuya suma es 10.

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24. En un campo cuadrado de 35 m de lado introducimos 26 ovejas para que pasten.

Demuestra que siempre hay, al menos, dos de ellas que están a menos de 10 m.

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25. Se considera un polígono regular de 90 vértices, numerados del 1 al 90 de manera aleatoria. Probar que siempre podremos encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto es mayor o igual que 2014.

MÉTODO DEDUCTIVO Si queremos demostrar que una proposición P es verdadera, Podemos partir de otra proposición A que sabemos que es cierta y mediante una cadena de implicaciones llegar a P: A cierta, A B, B C, C P. Luego P es cierta

ď ľ

26. Obtener la fĂłrmula para resolver una ecuaciĂłn de 2Âş grado; es decir que si 2

ax + bx + c = 0, con a ≠0, entonces đ?‘Ľ = ď ľ

−đ?‘?Âą đ?‘?2 −4đ?‘Žđ?‘?

2đ?‘Ž

27. Demostrar que la suma de los ĂĄngulos interiores de un triĂĄngulo es 180Âş. đ?‘š2 1+đ?‘š4

≤

1 2

ď ľ

28. Demostrar que

ď ľ

29.- Encontrar todos los nĂşmeros positivos n tales que 3n + 5n es mĂşltiplo de 3n-1 + 5n-1.

BIBLIOGRAFÍA:

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Problemas propuestos en convocatorias anteriores de la olimpiada matemática.

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Material elaborado por el profesor Antonio Frías Zorrilla.

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Libro de texto para 2º de bachillerato de matemáticas II de la editorial Anaya.