Manual by Tatiana Fernández

MANUAL DE GEOMETRÍA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

Manual de Geometría texto para Alumnos INDICE Presentación para Alumnos ………………………………………………………………

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Introducción ……………………………………………………………………………….

Aprendizajes esperados

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Conceptos Básicos

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Ángulos en el plano ……………………………………………………………..

Sistemas de medición de ángulos

Metodología de Trabajo

Unidad 1:

Geometría Plana

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Clasificación de ángulos

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Relaciones Angulares

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Polígonos

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Elementos de los Polígonos

……………………………………………..

Clasificación de los Polígonos

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Teoremas relacionados con los polígonos …………………………………….

Triángulos

Elementos Secundarios de los Triángulos …………..………..……………….

Teoremas sobre Triángulos ……………………………………………………..

Congruencia y Semejanza de Triángulos

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Cuadriláteros ……………………………………………………………………....

Circunferencia y Círculo

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Área y Perímetro

………………………………………………………………

Teoremas relacionados con ángulos y segmentos de la Circunferencia ……

Construcciones geométricas …………………………………………………..….

Paralela a una Recta dado un Punto

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Perpendicular a una Recta dado un Punto …………………………………....

Mediatriz

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Bisectriz de un ángulo

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Dibujar un ángulo de 60º

…………………………………………………..…

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……………………………………………………………………...

Página 1

Manual de Geometría texto para Alumnos …………………………………………………..…

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Dibujar un Ángulo Recto

Trisección de un ángulo Recto

Circunferencia que pasa por tres puntos

Autoevaluación Unidad I

Unidad 2:

Geometría del Espacio

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Introducción ………………………………………………………………………………

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Introducción ………………………………………………………………………………

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Aprendizajes Esperados 1)

Cuerpos Geométricos

Área y Volumen

Autoevaluación Unidad II

Unidad 3:

Geometría Cartesiana

Aprendizajes Esperados

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Punto medio ………………………………………………………………………

Pendiente

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Ecuación de la recta ………………………………………………………………

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Distancia de un punto a una recta

Cónicas

Circunferencia

Parábola

Sistemas de coordenadas cartesianas

Distancia entre puntos

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Elipse …………………………………………………………………………....…

Hipérbola

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Autoevaluación Final ………………………………………………………………………

Autoevaluación Unidad III

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Manual de Geometría texto para Alumnos Bibliografía Complementaria ……………………………………………………………….

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Presentación para Docentes ………………………………………………………………

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Referencia Bibliográfica

Tablas de Especificaciones Autoevaluaciones Solucionario Actividades

Solucionario Autoevaluaciones

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Manual de Geometría texto para Alumnos PRESENTACIÓN PARA ALUMNOS. Estimados Alumnos y Alumnas: Este manual de geometría está diseñado especialmente para que practiques y estudies los conceptos geométricos que necesitas aplicar en la asignatura de geometría y en la práctica de tu carrera. La idea de diseñar este material es para que al cursar la asignatura de geometría, cuentes con un material de apoyo que te permita reforzar y ejercitar sin la necesidad de buscar material anexo. Es importante aclarar que el Manual nunca sustituirá las instrucciones y clases teóricas de tu profesor tutor. Este manual está dividido en tres unidades, cada una contiene un repaso teórico y actividades prácticas. Es importante que si al concluir la unidad no has logrado responder adecuadamente los ejercicios, refuerces nuevamente la unidad y pidas ayuda a tu profesor tutor. El objetivo principal de este manual es que puedas aprender los conceptos geométricos que te permitan adquirir las competencias geométricas que necesitas demostrar en otras asignaturas de continuidad de estudios y en la vida laboral. Tu trabajo debe ser sistemático, para que este manual sea una herramienta de apoyo a tu labor estudiantil y te permita enfrentar la asignatura con éxito. Además puedes utilizarlo a lo largo de tu carrera como material de consulta. Te invito a trabajar en forma sistemática, activa y consciente.

Tatiana Fernández León. Autora.

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Manual de Geometría texto para Alumnos METODOLOGÍA DE TRABAJO. Para que alcances los objetivos propuestos de cada unidad es importante que consideres las siguientes instrucciones: -

Repasar los contenidos vistos en clase.

Desarrollar las actividades propuestas de cada unidad.

Si existen dudas consultar al profesor tutor.

Al finalizar cada unidad, realizar la Autoevaluación.

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Manual de Geometría texto para Alumnos

UNIDAD 1:

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GEOMETRÍA PLANA

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Manual de Geometría texto para Alumnos Introducción La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metron (medida). En esta primera unidad, estudiaremos los polígonos y realizaremos algunas construcciones geométricas utilizando regla y compás. Esta unidad te entregara las herramientas básicas para que comprendas, trabajes y apliques estos conceptos a la construcción, sobre todo cuando tengas que analizar o confeccionar planos.

Aprendizajes Esperados -

Definir los conceptos geométricos básicos.

Identificar figuras geométricas y sus propiedades.

Resolver ejercicios y problemas relacionados con figuras geométricas y sus propiedades.

Construir elementos básicos con regla y compás.

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Manual de Geometría texto para Alumnos 1) CONCEPTOS BÁSICOS Punto: Entenderemos que un punto es el concepto más primitivo de la Geometría, él cual carece de dimensión, pero representamos por un “punto dibujado” y designamos con letras mayúsculas.

.A .B .B Línea: Entenderemos por línea al conjunto de puntos, que no tiene anchura pero si longitud. Se puede designar con dos puntos cualesquiera de ella. Las líneas pueden ser: recta, curva o una combinación de ambas. Plano: Entenderemos que un plano tiene longitud y anchura, pero no espesor. Normalmente se designan con la letra P y subíndices.

2) ÁNGULOS EN EL PLANO Un ángulo es la intersección de dos rayos con origen común, llamado vértice, para nombrarlos podemos usar letras griegas, números o leerlos en sentido antihorario. El símbolo a utilizar será . A) Sistemas de medición de ángulos. Existen tres sistemas de mediciones internacionales: -

Sistema Sexagesimal: cuya unidad de medida son los grados sexagesimales. Además, cada grado equivale a 60 minutos y cada minuto a 60 segundos. Por lo tanto, un ángulo completo mide 360º.

Sistema Centesimal: cuya unidad de medida son los gradianes o grados centesimales. En este sistema de medición el ángulo completo mide 400g.

Sistema Circular: cuya unidad de medida son los radianes. En este sistema de medición el ángulo completo mide 2 rad. Por lo tanto, para realizar transformaciones de sistemas de medición podemos usar la

siguiente relación:

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Manual de Geometría texto para Alumnos Ejercicios Resueltos: 1. Transformar 220º a gradianes. Para transformar, usamos la regla de tres simple 2. Transformar 300 g a radianes. Nuevamente usamos la regla de tres simple 3. Transformar 8464’’ a grados, minutos y segundos. Para transformar a grados, convierten a minutos

los segundos que sobran se y sobran 4 segundos, por lo tanto, 8464’’ =

2º 21’ 4’’ 4. Calcular 4º 12’ 23’’ + 7º 37’ 40’’. , podemos transformar los 63’’

Debemos sumar grados, minutos y segundos en 1’ 3’’, por lo que el resultado correcto es 11º 50’ 3’’.

B) Clasificación de ángulos Agudo: 0º < α < 90º

Recto: α = 90º

Obtuso: 90º < α < 180º

Extendido o Llano: α = 180º

Cóncavo: 180º < α < 360º α

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Completo: α = 360º α

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Manual de Geometría texto para Alumnos C) Relaciones Angulares -

Ángulos Congruentes: tienen la misma medida.

Ángulos Opuestos por el vértice: son congruentes. α α

Ángulos Complementarios: son los ángulos que suman 90°. Para calcular el complemento de un ángulo podemos utilizar la siguiente relación

Ángulos Suplementarios:

son los ángulos que suman 180°. Para calcular el

complemento de un ángulo podemos utilizar la siguiente relación -

Ángulos Adyacentes: comparten un rayo y los otros dos están sobre la misma recta. Por lo tanto, podemos decir que son suplementarios

α -

Rectas paralelas cortadas por una transversal: Al cortar dos rectas paralelas por una transversal se forman ocho ángulos, como se observa en la figura. Ángulos Correspondientes: 1  5, 2  6, 3  7, 4  8 1 2 3 4

Ángulos Alternos Internos: 1  8 y 2  7 Ángulos Alternos Externos: 4  5 y 3  6

5 6 7 8

Finalmente, 1  4  5  8 y 2  3  6  7

Ejercicios Resueltos: 1. Determinar el complemento del suplemento de 145º El suplemento de 145º es 35º, luego el complemento de 35º es 55º. 2. En la figura, determinar la medida de y.

Los ángulos son opuestos por el vértice, por lo tanto, 3y + 18º = 4y – 12º  y = 30º

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Manual de Geometría texto para Alumnos Actividad 1:

1.1 2.1 1. ¿A cuántos gradianes equivalen 100º?

2. ¿A cuántos grados equivalen /4 rad?

3. ¿A cuántos radianes equivalen 450g?

4. ¿A cuántos minutos equivalen 32º 14’?

R: 1934’

5. Expresa en grados minutos y segundos 24.983’’

R: 6º 56’ 23’’

6. Calcula: a. 6º 25’ 48’’ + 13º 48’ 29’’

R: 20º 14’ 17’’

b. 53º 38’ 23’’ – 27º 41’ 19’’

R: 25° 57’ 4’’

c. 18º 25’ 46’’ · 2

R: 36° 51’ 32’’

7. ¿Cuál es el suplemento del complemento de un ángulo de 40º? R:130º 8. ¿Cuál es el ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su complemento?

R: 18º

3) POLÍGONOS Un polígono es una figura cerrada, plana y limitada por un número finito de lados rectos. A) Elementos de los Polígonos En todos los polígonos es posible distinguir: -

Vértices: puntos de intersección de los lados.

Lados: segmentos que unen vértices consecutivos.

Diagonales: segmentos que unen vértices no consecutivos de un polígono.

Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados en la región interior del polígono.

Ángulos exteriores: se forman por la prolongación de los lados del polígono y son suplemento de los ángulos interiores.

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Manual de Geometría texto para Alumnos B) Clasificación de los Polígonos Los polígonos reciben su nombre de acuerdo con el número de lados que tienen. Nº de lados del polígono

Nombre

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

…

Pero también es posible clasificar a los polígonos de acuerdo a otras características, así tenemos que se llama: -

Polígono Regular: a aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos interiores congruentes (iguales). Como por ejemplo el triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.

Polígono Irregular: Son aquellos polígonos que no son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares. Como por ejemplo el rombo, el rectángulo, el triángulo escaleno, etc.

Polígono Cóncavo: Son aquellos polígonos que poseen al menos un ángulo interior que mide más de 180º. Por ejemplo, la figura que usted observa a continuación:

Polígono Convexo: Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180º.

C) Teoremas relacionados con los polígonos Dado “n” número de lados del polígono convexo, es posible calcular: -

Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera es siempre 360º.

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Manual de Geometría texto para Alumnos -

Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono se puede calcular como: Si = 180 (n – 2)

Número de diagonales que se pueden trazar desde cada vértice se puede calcular como d = n – 3.

Número de diagonales que se pueden trazar en un polígono se puede calcular como

D

nn  3  2

Ejercicios Resueltos: 1. Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de 14 lados. Recurriendo a la fórmula, tenemos que Si = 180 (14 – 2) = 2160º 2. Determinar cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de 6 lados. Ayudándonos de la fórmula, tenemos que

diagonales

3. Determinar cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 72º. Sabemos que los ángulos exteriores suman 360º y como es polígono regular todos sus ángulos miden lo mismo, por lo tanto, 360º / 72º = 5 lados.

4) TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados en: -

Equilátero: si tiene los tres lados congruentes.

Isósceles: si tienen dos lados congruentes y un lado distinto llamado base.

Escaleno: si tienen los tres lados distintos. Y se pueden clasificar según la medida de sus ángulos en:

Acutángulo: si sus ángulos interiores son agudos.

Rectángulo: si tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: si tienen un ángulo obtuso.

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Manual de Geometría texto para Alumnos A) Elementos Secundarios de los Triángulos -

Altura: perpendicular que une vértice con lado opuesto o con su prolongación. El punto de intersección se llama Ortocentro.

Bisectriz: segmento que dimidia (divide en dos iguales) al ángulo. El punto de intersección es el Incentro, que además es el centro de la circunferencia inscrita.

Transversal de Gravedad: segmento que une vértice con punto medio del lado opuesto. El punto de intersección es el Centro de Gravedad o Baricentro, cuya característica principal es que divide a la transversal de gravedad en la razón 2:1.

Simetral o Mediatriz: perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. El punto de intersección es el Circuncentro, que además es el centro de la circunferencia circunscrita.

Mediana: segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. Su característica principal es que la mediana es paralela al lado del triángulo y mide la mitad, y además el triángulo original se divide en cuatro triángulos congruentes.

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Manual de Geometría texto para Alumnos B) Teoremas sobre Triángulos En el Triángulo Rectángulo, podemos distinguir los siguientes teoremas: -

Teorema de Pitágoras:

(cateto1)2 + (cateto2)2 = (hipotenusa)2 O a2 + b2 = c2

Teorema de Euclides: h2 = p · q a2 = q · c b2 = p · c h

h

a·b c

En el Triángulo Equilátero, podemos distinguir los siguientes teoremas: -

Los elementos secundarios coinciden y tienen la misma medida desde cualquiera de sus vértices.

El ABC es equilátero, por lo tanto, el segmento AD es altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad y el punto

Ortocentro,

Incentro,

Circuncentro y Centro de Gravedad. En el triángulo isósceles, podemos distinguir los siguientes teoremas: -

Los elementos secundarios coinciden y tienen la misma medida si caen sobre la base. El  ABC es isósceles en A, por lo tanto, el segmento AE es altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad.

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Manual de Geometría texto para Alumnos C) Congruencia y Semejanza de Triángulos Los triángulos son congruentes cuando tienen sus lados y ángulos congruentes (iguales), por lo tanto, tienen igual perímetro y área. γ

γ 8 cm

8 cm

10 cm

4 cm

Podemos distinguir si dos triángulos son congruentes cuando: tienen sus tres lados iguales, dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos o tienen dos ángulos iguales y el lado que los sostiene. Los triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos congruentes y sus lados proporcionales, además sus elementos secundarios y perímetros tienen la misma razón de proporcionalidad, pero la razón entre sus áreas es la razón de proporcionalidad al cuadrado. β

β 5 cm

3 cm

6 cm

10 cm

α 4 cm

α 8 cm

Podemos distinguir si dos triángulos son semejantes cuando: tienen dos ángulos congruentes o sus lados proporcionales.

Ejercicios Resueltos: 1.

En la figura,  ABC isósceles en A, entonces x mide:

Isósceles en A significa que los dos ángulos desconocidos son iguales, recordando que la suma de los ángulos interiores es 180º, tendríamos que 180º - 70º = 110º / 2 = 55º, por lo tanto, x = 55º.

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Manual de Geometría texto para Alumnos Actividad 2: 1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 120º? R: 3 lados 2. Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un decágono.

R: 7 diagonales

En la figura,  ABC isósceles en C, CD altura,

entonces x mide

R: 50º

4. El PQR es equilátero de lado 6cm, siendo RS y ST alturas. ¿Cuánto mide

ST ? R:

5. En la figura, D y E puntos medios de sus lados respectivos, área del ABC es 16 cm2. Determine el área achurada. R: 12 cm2

6. En la figura DE // AB . A)

, ¿cuánto mide

? R: 12 cm B)

, ¿cuánto mide

E B

Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm y realizar más ejercicios en http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/Ejercicios.html

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Manual de Geometría texto para Alumnos 5) CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados, se clasifican en Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides. En todo cuadrilátero los ángulos interiores suman 360º. A continuación, se presentan los distintos tipos de cuadriláteros que existen: -

Paralelogramos: se llaman así cuando tienen dos pares de lados paralelos, entre ellos se encuentran: Cuadrado

Rombo

Rectángulo

Romboide

Diagonales

Diagonales iguales,

Diagonales sólo

perpendiculares,

iguales y se

se dimidian.

perpendiculares, bisectrices

bisectrices y se

dimidian.

y se dimidian.

dimidian.

En cualquiera de ellos su área se calcula como base por altura.

Trapecios: se llaman así cuando tienen un par de lados paralelos llamados bases, entre ellos se encuentran: Trapecio Isósceles

Trapecio Rectángulo

En cualquiera de ellos su área se puede calcular como

Trapecio Escaleno

base1  base2 ·altura 2

Trapezoides: se llaman así cuando no tienen lados paralelos, entre ellos se encuentran:

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Manual de Geometría texto para Alumnos Trapezoide Asimétrico

Trapezoide Simétrico

ABC y ADC son isósceles de base

, sus diagonales

son perpendiculares Ejercicios Resueltos: 1.

En un trapecio, la mediana mide 43 cm y la diferencia de las bases es 18 cm.

Calcular la base menor. Designemos como a y b a las bases, así tenemos que sabemos que

, además

, a través de un sistema de ecuaciones, podemos saber que a =

52 cm y b = 34 cm. Por lo tanto, la base menor mide 34 cm. Actividad 3:

1. En el cuadrilátero ABCD, ¿cuánto mide el ángulo exterior EBC? R: 72º

2. ABCD trapecio,

y R: 49º 44’

entonces el ángulo x mide

3. ABCD

trapecio,

altura, entones su área es: R: 50 cm2

4. Si las diagonales de un rombo miden 24cm y 10cm, entonces su perímetro mide R: 52 cm

5. ABCD deltoide de base la medida del

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, BAC = 40º, ¿cuál es

? R: 50º

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Manual de Geometría texto para Alumnos 3.1 Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html y realizar más ejercicios en http://www.thatquiz.org/es/previewtest?MSLQ4401

6) CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Es importante diferenciar estos conceptos, la circunferencia es la línea cerrada cuyos puntos equidistan (misma distancia) del centro, en cambio, circulo es la región del plano limitada por la circunferencia.

Círculo

Circunferencia

Algunos de los elementos que podemos distinguir son: -

Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Recta Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Recta Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

A) Área y Perímetro Área círculo = r2

Perímetro de la circunferencia = 2r

B) Teoremas relacionados con ángulos y segmentos de la Circunferencia Ángulo del centro

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Ángulo Inscrito

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Manual de Geometría texto para Alumnos Teorema de las Secantes

Teorema de las Cuerdas

AB · AC = AD · AE

AE · EC = BE · ED

Ejercicios Resueltos: 1.

Se tiene una circunferencia de perímetro 20cm, entonces el área del círculo es:

Recordando que el perímetro de una circunferencia se puede expresar como 2r, entonces el radio de la circunferencia mide 10 cm, luego el área del círculo será 100cm2.

Actividad 4:

¿Cuál es el área del sector circular AOB que se

muestra en la figura? R:

¿Cuál es la medida de x? R: 40º

y. Determinar

R: 11,25

. Determinar

R: 25

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Manual de Geometría texto para Alumnos 4.1 Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.ht ml y realizar más ejercicios en http://www.vitutor.com/geo/eso/acActividades.html

7) CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Utilizando regla y compás, podemos realizar diversas construcciones geométricas, algunas de ellas con sus pasos son: A) Paralela a una Recta dado un Punto.

Para trazar una recta paralela se debe elegir un punto O en la recta y dibujar la circunferencia de radio OP, lo cual definirá los puntos A y B en la recta.

Con el compás se mide AP y se construye una circunferencia con centro en B y radio AP, lo que permite determinar un punto C.

Finalmente, la recta que pasa por los puntos P y C es paralela a la recta dada.

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Manual de Geometría texto para Alumnos B) Perpendicular a una Recta dado un Punto.

Con centro en P se traza una circunferencia con cualquier radio, determinándose dos puntos que llamaremos A y B.

Con un radio mayor al anterior, trazamos una circunferencia con centro en A y con el mismo radio otra circunferencia con centro en B.

Finalmente, la recta que se forma al unir los puntos de intersección de estas circunferencias es perpendicular a la recta dada y pasa por P.

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Manual de Geometría texto para Alumnos C) Mediatriz Para trazar la mediatriz o simetral de un segmento AB, es necesario trazar una circunferencia con centro en A y radio mayor a la mitad del segmento AB y con el mismo radio una circunferencia con centro en B

La unión de los puntos de intersección determina la simetral del segmento.

D) Bisectriz de un ángulo Se dibuja un arco AB con centro en el vértice del ángulo.

Con la misma abertura se trazan dos arcos con centro en A y B.

Finalmente, al unir el punto de intersección de las circunferencias llamado C con el vértice del ángulo original, se biseca el ángulo.

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Manual de Geometría texto para Alumnos

E) Dibujar un ángulo de 60º Se traza un rayo y se dibuja una circunferencia con centro en uno de los extremos y radio cualquiera.

Con el mismo radio se dibuja un arco con centro en A.

Finalmente, al unir el vértice O con el punto de intersección llamado B, el ángulo resultante mide 60º.

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Manual de Geometría texto para Alumnos F) Dibujar un ángulo Recto. Se dibuja el ángulo AOB de 60º y se copia obteniéndose el ángulo BOC.

Se traza la bisectriz de uno de estos ángulos (en este caso del ángulo BOC), obteniéndose finalmente el ángulo AOD recto.

G) Trisección de un ángulo Recto. Para trisecar un ángulo recto, primero debemos construir uno mediante la construcción anterior.

Se traza la bisectriz del ángulo que mide 60º, en este caso del ángulo AOB, finalmente AOF = FOB = BOD = 30º

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Manual de Geometría texto para Alumnos H) Circunferencia que pasa por tres puntos Se traza la simetral de dos de los segmentos que se determinan, determinándose por la intersección de ellas el centro de la circunferencia.

Para practicar otras construcciones geométricas de tu interés puedes utilizar distintos programas computacionales como Cabri – géomètre y Geogebra, entre otros.

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Manual de Geometría texto para Alumnos AUTOEVALUACIÓN UNIDAD I. Ítem Verdadero o Falso:

Completa con la letra V si la respuesta es verdadera o F, si

es falsa, justificando estas últimas. 1) __ Un ángulo recto mide

en el sistema circular.

R: F

2) __ Un Polígono Regular tiene sus lados congruentes.

R: F

3) __ En los triángulos rectángulos podemos calcular su área como

R: V

4) __ Si en los trapecios se unen los puntos medios de lados no paralelos, el segmento que se forma es paralelo a las bases.

R: V

5) __ El área de un sector circular se puede calcular como

Ítem Desarrollo:

R: V

Resuelva cada problema con claridad.

6) Una escalera de 65dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25dm de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

R: 60 dm

7) La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área. R: 8) Desde un punto situado a 40 cm del centro de una circunferencia de radio 24 cm, se traza una tangente, ¿cuánto mide dicha tangente?

R: 32 cm

9) El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m 2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

R: 6 m.

10) Construir con regla y compás un triángulo equilátero.

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Manual de Geometría texto para Alumnos

UNIDAD 2:

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO

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Manual de Geometría texto para Alumnos Introducción Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono. Esta unidad es importante en tu carrera para realizar cálculos de materiales de construcción, tales como cálculo de cemento, pintura, entre otros.

Aprendizajes Esperados -

Definir cuerpo geométrico y sus elementos.

Identificar los cuerpos geométricos de acuerdo a su clasificación.

Resolver ejercicios y problemas utilizando conceptos geométricos en el espacio.

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Manual de Geometría texto para Alumnos 1) Cuerpos Geométricos Los cuerpos geométricos o sólidos geométricos son todos los que ocupan lugar en el espacio. Se clasifican en Poliedros (caras poligonales planas) y Cuerpos Redondos (caras curvas). Los Poliedros se clasifican en Prismas (dos caras basales) y Pirámides (una cara basal), en ellos se distinguen tres elementos claves: caras, aristas (segmentos de intersección de las caras) y vértices (punto de intersección de las aristas).

Arista

Cara

Los cuerpos redondos, se generan por la rotación de un polígono en torno a uno de sus lados, por ejemplo: el cilindro se genera al rotar un rectángulo, el cono se genera al rotar un triángulo rectángulo y la esfera se genera al rotar un semicírculo.

2) Área y Volumen Cualquiera sea el cuerpo geométrico, siempre es posible calcular área y volumen. El área es la superficie de cada figura que forma al cuerpo geométrico y volumen es el espacio que utiliza. Algunos ejemplos de cálculos de áreas y volúmenes son:

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Manual de Geometría texto para Alumnos Clasificación

Cuerpo Geométrico

Área

Volumen

A = 2(la+lh+ah)

V = lah

A = 6a2

V = a3

A = Abase + Atriángulo

V

A = 2r2 +2rh

V = r2h

A = r2 + rg

V

A = 4r2

4 V  r 3 3

Paralelepípedo

Prismas Cubo

Pirámide

Pirámides

A base·altura 3

Cilindro

Cono Cuerpos Redondos

r 2 h 3

Esfera

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Manual de Geometría texto para Alumnos Ejercicios Resueltos: 1.

Halla el peso de un bloque cúbico de hormigón de 1,9 m de lado. (Un metro cúbico

de hormigón pesa 2350 kg) Primero debemos calcular el volumen de un bloque de hormigón, es decir, . Ahora debemos calcular su peso, 2.

Un albañil pinta un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, por

el que cobra 750 pesos el metro cuadrado, ¿cuánto se le debe cancelar por el trabajo hecho, considerando  = 3? Primero debemos calcular el área que pinta,

ahora podemos calcular lo que cobra, 1500 · 750 = $1.125.000

Actividad 5:

1) El radio basal de un cilindro mide 10cm y su altura 7cm. Calcula área total y volumen.

R: A =

,V=

2) Hallar el radio de una esfera si el área de su superficie esférica es 144  cm2. R: 6 cm 3) El área total de un paralelepípedo de base cuadrada es 64cm2. Encuentra el área R: 16 cm2

de su base si su altura es 2cm.

4) El área de un cubo es 24 cm2, ¿cuánto suman todas sus aristas?

R: 24 cm

5) El área basal de una pirámide es 12cm2 y su altura es 15cm. Calcular el volumen de la pirámide.

R: 60 cm3

Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://www.ue-nsc.com/cuerposgeometricos.html y realizar más ejercicios en http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-026302/geometria/problemas/indicep2.htm o http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/geomesp.pdf

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Manual de Geometría texto para Alumnos AUTOVALUACIÓN UNIDAD II. Ítem Verdadero o Falso:

Completa con la letra V si la respuesta es verdadera o F, si

es falsa, justificando estas últimas. 1) __ Un cubo tiene 8 vértices.

R: V

2) __ Una pirámide de base cuadrada tiene 4 caras.

R: F

3) __ El cubo es un paralelepípedo cuyo largo, ancho y alto son iguales. 4)

R: V

__Si se gira un rectángulo alrededor del largo, ese lado es la altura del cilindro. R: V

5) __ Si un cono y un cilindro tienen el mismo radio y la misma altura, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro.

Ítem Desarrollo:

R: V

Resuelva cada problema con claridad.

6) Calcula la altura de un cono que tiene 3cm de radio y 5cm de generatriz.

R: 4 cm

7) El radio de una esfera mide 10cm, ¿cuál es el área de la superficie esférica y volumen de la esfera?

8) Si el volumen de un cubo es 512cm3, encuentra su área total y las dimensiones de su arista.

R: 384 cm2

9) Si el lado de la base de una pirámide cuadrada mide 10cm y su altura es de 2cm, entonces su área lateral mide.

R: 10 cm2

10) Calcula el peso en gramos de un lingote de plata de 19x4x3 cm. La densidad de la plata es 10,5 g/cm3.

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R: 2.394 g.

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UNIDAD 3:

GEOMETRÍA CARTESIANA

Circunferencia

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Manual de Geometría texto para Alumnos Introducción La Geometría Cartesiana o Geometría Analítica tiene como pionero al matemático René Descartes, aunque se dice que otros matemáticos ya lo usaban desde antes, como el caso de Fermat. En esta tercera unidad, ubicaremos puntos en el plano cartesiano, graficaremos figuras y cónicas, determinaremos la ecuación de una recta y la ecuación de las cónicas. Esta unidad es importante en tu carrera para realizar cálculos de distancias entre puntos, para construir planos de cónicas, etc.

Aprendizajes Esperados -

Calcular Distancia, Punto Medio, Pendiente y Ecuación de la Recta.

Identificar y determinar elementos y ecuaciones de las cónicas.

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Manual de Geometría texto para Alumnos 1) Sistemas de coordenadas cartesianas El sistema cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares entre sí, llamados eje de las abscisas (eje x) y eje de las ordenadas (eje y). Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes, tal como se muestra a continuación.

Para ubicar puntos en el sistema cartesiano necesitamos conocer sus coordenadas, pues el sistema cartesiano está graduado tal como se observa en la figura. A continuación, se muestra la ubicación de distintos puntos en el sistema cartesiano.

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Manual de Geometría texto para Alumnos 2) Distancia entre puntos La fórmula de distancia entre dos puntos se obtiene al imaginar un triángulo rectángulo y aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa, así se tiene que:

d

x 2  x1 2  y 2  y1 2

3) Punto medio Para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento basta con conocer las coordenadas de sus extremos, pues las coordenadas del punto medio se pueden calcular de la siguiente manera:

 x  x 2 y1  y 2  M 1 ,  2   2

4) Pendiente La pendiente de las rectas indica el grado de inclinación que tienen sobre el eje de las abscisas, por lo cual es equivalente a calcular la tangente del ángulo.

m

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y 2  y1 x 2  x1

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Manual de Geometría texto para Alumnos 5) Ecuación de la recta La ecuación principal de las rectas tiene la forma y = mx + n, donde m es la pendiente y n es el coeficiente de posición, en palabras sencillas indica el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas. Si conozco las coordenadas de dos puntos, existe una única línea recta que los contiene, y cuya ecuación se puede calcular como:

y  y1 

y 2  y1 x  x1  x 2  x1

6) Rectas paralelas Las rectas son paralelas cuando no se intersectan. En Geometría Cartesiana dos rectas son paralelas, si y sólo si, sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, pues si tuvieran iguales la pendiente y el coeficiente de posición serían rectas coincidentes. L1: y = mx + n1

L2: y = mx + n2

7) Rectas perpendiculares Las rectas son perpendiculares cuando al intersectarse forman ángulos rectos. En la Geometría Cartesiana dos rectas son perpendiculares, si y sólo si, el producto de sus pendientes es -1. L1: y = mx + n1

+ n2

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Manual de Geometría texto para Alumnos 8) Distancia de un punto a una recta Teniendo un punto de coordenadas (x1, y1) y una recta de ecuación Ax+By+C=0, la distancia se puede calcular como:

d

Ax1  By1  C A 2  B2

Esto porque se toma el punto como perteneciente a una recta perpendicular a la dada.

Ejercicios Resueltos: 1.

Se dan los tres vértices de un triángulo: A (-3, -2); B (4,0) y C (-1,5), determine: las

coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo y la longitud de cada mediana. Primero D

calculamos

los

puntos

medios,

decir,

Ahora calculamos la longitud de las medianas, usando la fórmula de distancia,

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Actividad 6: 1.

Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4) y

(4,-1). 2.

R: El punto medio de un segmento es (2, -6), si uno de los extremos es (4,9) el

otro extremo es 3.

R: (0, -21)

Dado los vértices del triángulo ABC, A(-3, 4), B(0,2) y C(-3,2). Determinar la

ecuación de las rectas correspondientes a los lados del triángulo. R: x = -3, y = 2, 4.

Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto (2,-3).

Dados los puntos A(3,5), B(7,-1), C(- 4,4) y D(0,-2) ¿Es AB // CD?

R: calcular las pendientes

Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://www.vitutor.com/geoanalitica.htm/ y realizar más ejercicios en http://ima.ucv.cl/mapoyo/geoana.html

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Manual de Geometría texto para Alumnos 9) Cónicas Las Cónicas se llaman así porque todas son secciones planas de un cono recto. La Circunferencia puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, la Elipse cuando el corte es oblicuo al eje y a la superficie, la Hipérbola cuando el cono es intersectado por un plano paralelo al eje, y la Parábola cuando el plano de intersección es paralelo a un elemento de la superficie.

A continuación, conoceremos la ecuación de cada cónica y sus elementos.

A) Circunferencia Es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama centro y la distancia fija radio. Para determinar la ecuación de la circunferencia, necesitamos las coordenadas del centro y del radio, pues su ecuación se puede expresar como:

Un ejemplo de circunferencia es el reloj de flores de Viña del Mar.

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Manual de Geometría texto para Alumnos B) Parábola Es el lugar geométrico

de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo,

llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

(y – k)2 = 4P (x – h) (x – h)2 = 4P (y – k) Los elementos más importantes de la parábola son: -

Vértice de la parábola, cuyas coordenadas son (h, k)

Foco, cuyas coordenadas se pueden expresar como F(h, k + p) o F ( h + p, k)

Directriz que es la recta perpendicular al eje de simetría y cuya ecuación puede ser y=k–pox=h–p Un ejemplo de parábola son las antenas de televisión.

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Manual de Geometría texto para Alumnos C) Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos y la distancia constante se designa por 2a, siendo la ecuación general de la elipse:

x  h 2  y  k 2 a2

1

a<b

a>b

Los elementos que se distinguen en una Elipse son: -

Centro, cuyas coordenadas son (h, k)

Eje mayor, segmento V1V2 cuya medida es 2a

Eje menor, segmento B1B2 cuya medida es 2b

Recta Focal, segmento F1F2 cuya medida es 2c

Lado Recto, segmento perpendicular que pasa por un foco y cuya medida se expresa como

Excentricidad, depende de las medidas de c y a, su valor está asociado con la forma de la elipse, es así que tendremos elipses más o menos alargada, se expresa como

Un ejemplo de elipse son los estadios.

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Manual de Geometría texto para Alumnos D) Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos y la diferencia constante es 2a.

x  h 2  y  k 2 a2

1

y  k 2  x  h 2 a2

1

Los elementos que se distinguen en una Hipérbola son: -

Centro, punto de intersección de la recta focal y secundaria, cuyas coordenadas son (h, k)

Eje real, segmento A1A2, cuya longitud es 2a.

Eje imaginario, segmento B1B2 cuya medida es 2b

Distancia Focal, segmento F1F2 cuya medida es 2c

Lado Recto, segmento perpendicular que pasa por un foco y cuya medida se expresa como

Un ejemplo de Hipérbola, son las sombras que produce la pantalla de una lámpara.

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Manual de Geometría texto para Alumnos Ejercicios Resueltos: 1.

Determina los elementos característicos de la siguiente circunferencia .

Debemos completar cuadrados de binomios para determinar centro y radio, es decir,

Así tenemos que el centro es (10,2) y el radio mide 5 [u].

Actividad 7: 1.

Determine la ecuación principal de la circunferencia cuyo centro es el punto

(4,2) y su radio es 2.

Dada la ecuación

focos de la elipse. 4.

Dada la ecuación 3x2 + 18y = 0, determine las coordenadas del foco de la

parábola. 3.

Dada la ecuación

, determine las coordenadas del centro, y de los R: , determine las coordenadas del centro, la

medida del eje real y del eje imaginario de la hipérbola. R:

Puedes encontrar los conceptos que estudiamos en el siguiente link: http://html.rincondelvago.com/geometria-analitica_conicas.html y realizar más ejercicios en http://filemon.upct.es/pepemar/conicas/index.htm. Además, si quieres graficar una cónica te puedes ayudar de distintos programas computacionales como Grafmática, Euclid, Winplot y Maple, entre otros.

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Manual de Geometría texto para Alumnos AUTOVALUACIÓN UNIDAD III. Ítem Verdadero o Falso:

Completa con la letra V si la respuesta es verdadera o F, si

es falsa, justificando estas últimas. 1) __ La distancia entre los puntos (3,2) y (3, 15) es 13.

R: V

2) __ Dada las rectas L1: y = 2x + 4 y L2: y = -2x + 6 son perpendiculares.

R: F

3) __ Los extremos de un segmento son A (0,8) y B (2,2), el punto medio es (1, 4)

5.1 R: F 4) __ El centro de una circunferencia es (-2,6) y el radio mide 4, entonces su ecuación es R: V 5) __ La ecuación de la parábola es y = 8 (x – 2), su vértice es el punto (2, 0).

Ítem Desarrollo:

R: V

Resuelva cada problema con claridad.

6) Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2). Determinar la medida de los catetos y de la hipotenusa. Calcular su área.

R: 6

7) La ecuación de una recta es x – py + 4= 0. Si el punto (-6,6) pertenece a la recta, ¿cuál es el valor de p?

R: - 1/3

8) Una recta pasa por el punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por (-2,2) y (3,-4). Hallar su ecuación.

9) La distancia de la recta 4x – 3y + 1 = 0 al punto P es 4. Si la ordenada de P es 3, hállese su abscisa (dos soluciones).

R: 7 ó -3

10) Determine la ecuación principal de la circunferencia si los extremos del diámetro son A (-2,6) y B (8,-4).

11) Determina los elementos de la parábola cuya ecuación es 3y2 – 9y – 5x – 2 = 0 Vértice

Foco

Directriz

12) Identifica a que cónica pertenece la ecuación x2 + 4x – 4y2 – 8y + 4 = 0, y determina sus elementos.

R: Centro

, Eje real = 2, Eje imaginario = 4, Distancia Focal =

, Lado Recto = 8

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Manual de Geometría texto para Alumnos AUTOEVALUACIÓN FINAL 1) Si la medida de un ángulo es dos veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de cada ángulo?

R: 60º, complemento 30º

2) En la figura, tres rectas se cortan en el mismo punto. Se da que a=85º y e=30º. Hallar b, c, d y f.

R: b = 30º, c = f = 65º, d = 85º

3) En el PQR, A y B son puntos medios de

, respectivamente. Si RP = 16,

RPQ = 58º y RQP = 38º, obténgase AB y ABR. R: AB=8,

4) PQRS es un cuadrado. Los puntos J, K, L, M dividen a los lados en segmento, como en la figura, de longitudes a y b. ¿Qué cuadrilátero es JKLM?

R: cuadrado

5) ABCD es un trapecio de área 84 cm2, si AB = 17 cm y CD = 11 cm, ¿cuánto mide la altura?

R: 6 cm

6) En la circunferencia de la figura el radio mide 10 cm, AD es una cuerda que dista 6 cm del centro. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

R: 16 cm

7) Las bases del prisma representado en la figura son triángulos equiláteros y sus caras laterales son regiones rectangulares. Si se sabe que la longitud de una arista de la

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Manual de Geometría texto para Alumnos base es 6 cm y la altura del prisma es 10cm. Calcular el área de la superficie total del prisma.

8) Un depósito tiene la forma de la figura. El radio del borde superior circular es 7 metros. La altura del depósito completo es 26 metros y la altura de la sección cónica es 12 metros. Determine la capacidad del depósito.

9) Situar los puntos A (1,0), B (7,0), C (10,4) y D (4,4). Calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD.

R: 22

10) Los vértices de un triángulo son los puntos (-2,3), (5,-4) y (1,8). Calcular la pendiente cada lado.

R: -1, -3, 5/3

11) Demostrar que la recta que pasa por los puntos (3n, 0) y (0, 7n) es paralela a la que pasa por los puntos (0, 21n) y (9n, 0).

R: calcular pendientes

12) Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es R: C (3,4), r = 2 13) En el siguiente plano se solicita que identifiques las figuras geométricas con las que se ha dibujado cada habitación del plano:

Living Comedor R: Octógono

Cocina

R: Rectángulo

Baño

R: Pentágono

Dormitorio:

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Manual de Geometría texto para Alumnos 14) Calcular el área de cada habitación en el siguiente plano: 3m

2.6 m Baño

Cocina

Dormitorio

6 m.

0.5m

2.5 m

3.4 m

Dormitorio

R: 8.5 m2

Baño

R: 5.2 m2

Cocina

R: 7. 5 m2

Sala Estar y Comedor Sala

Estar

R: 32.8 m2

Comedor

15) En el siguiente pilar, calcular el área de la placa si sus dimensiones son 5m, 0.3 m y 4m.

R: 45.4 m2

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Manual de Geometría texto para Alumnos BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA -

Baldor, A. Geometría Plana y del Espacio. 1985.

Kindle, J. Geometría Analítica. México. Mc Graw-Hill. 1991.

Lehmann, Ch. Geometría Analítica, México: Limusa. 1996.

Mercado Schüler. Curso de Matemática Elemental. Santiago: Universitaria. 1981.

Riú, A. Geometría y Trigonometría Industrial. Mundo Técnico. 1973.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS -

Planificación de la Asignatura de Geometría para la carrera de Técnico de Nivel Superior en Construcción, Instituto Profesional Virginio Gómez.

Historia de la Geometría [en línea] <http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm> [Consultada: 04 octubre 2010]

Moise, Edwin. Downs, Floyd. Serie Matemática Moderna Geometría. Editorial Norma Fondo Educativo Interamericano. 1972.

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Manual de Geometría anexo para Docentes. PRESENTACIÓN PARA DOCENTES. Estimados Docentes o Tutores: Este anexo pretende ser un elemento facilitador y un respaldo en su labor como Docente de la Asignatura de Geometría para la Técnicos de Nivel Superior en Construcción. En el anexo se incluye las tablas de especificaciones de las Autoevaluaciones incluidas en el Manual de Geometría texto para Alumnos y el desarrollo de las Actividades y Autoevaluaciones.

Tatiana Fernández León. Autora.

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