การบวกเลขฐานต่างๆ

บทที่ 2 การคํานวณเลขฐาน มนุษยนําคอมพิวเตอรมาใชเปนเครื่องมือในการคํานวณเปรียบเทียบ เก็บขอมูล และวิเคราะห ขอมูลในรูปแบบตาง ๆ ไดอยางมากมายไมวาจะเปนขอความ รูปภาพ ตัวเลข หรือภาพเคลื่อนไหว ที่ คอมพิวเตอรสามารถทําได ทั้งนี้เพราะภายในตัวคอมพิวเตอรมีวงจรชนิดหนึง่ ที่ทาํ หนาที่คํานวณและ เปรียบเทียบ ดังนั้นผูดแู ละระบบ ผูออกแบบระบบ หรือผูสรางคอมพิวเตอรตองมีความรูความเขาใจ เกี่ยวกับการคํานวณเลขฐานเปนอยางดี จึงจะสามารถออกแบบวงจรเพือ่ นําไปใชในระบบคอมพิวเตอร ไดอยางสมบูรณและมีประสิทธิภาพมากทีส่ ุด

การบวก ลบ คูณ หาร เลขฐานสอง คอมพิวเตอรมีความสามารถในการดําเนินการทางคณิต คือ ทําการบวก ลบ คูณ หาร ไดดวย ความเร็วที่สูงมาก ในอัตราความเร็วถึง 16,600 ครั้งตอ 1 วินาทีหรือสูงกวาทั้งนี้ขึ้นอยูกับสมรรถนะ ของคอมพิวเตอรแตละรุนแตละระบบ ซึ่งสามารถทําการบวก ดําเนินกรรมวิธี การโยกยายขอมูลได อยางอัตโนมัติ คอมพิวเตอรดําเนินการตาง ๆ ดวยระบบเลขฐานสอง จึงทําใหขีดความสามารถในการ ทํางานทางเลขคณิตมีประสิทธิภาพที่สูงมาก เพราะระบบเลขฐานสองมีลักษณะตรงกับสถานะ การปด เปดกระแสไฟฟาเพื่อปอนใหกับเครื่องคอมพิวเตอรหรือเครื่องอิเล็กทรอนิกสทํางาน 1. การบวกเลขฐานสอง การบวกเลขฐานสองมีวิ ธีปฏิบัติเช นเดียวกัน กับการบวกในเลขฐานสิบแตเนื่องจากระบบ เลขฐานสองมีตัวเลขเพียงสองตัวคือ 0 กับ 1 ดังนั้นการบวกจึงมีหลักเกณฑดังนี้ 1 + 1 = 0 และทดไว 1 เพื่อบวกกับเลขหลักตอไป 1+0=1 0+1=1 0+0=0

26 วิธีดําเนินการบวกเลขฐานสองมีหลักการเชนเดียวกับเลขฐานสิบ คือ นําจํานวนเลขทั้งสองมา ตั้งใหตรงหลักกันแลวจึงทําการบวกเลขในหลักนั้นๆ ถาผลบวกในตําแหนงใดมีการทด 1 ก็ใหนําไป บวกกับเลขตําแหนงถัดไปดวย ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.1 การบวกเลขฐานสองตอไปนี้ (1100)2 + (1010)2 = (………..)2 วิธีทํา 1100 12 + + 1010 10 10 1 1 0 22 ∴ (1100)2 + (1010)2 = (10110)2 ตอบ (10110)2 ตัวอยางที่ 2.2 การบวกเลขฐานสองตอไปนี้ (1101.11)2 + (1011.10)2 = (………..)2 วิธีทํา 1101.11 13.75 1011.10 + 11.50 11 0 0 1 . 0 1 25.25 ∴ (1101.11)2 + (1011.10)2 = (11001.01)2 ตอบ (11001.01)2

+

ตัวอยางที่ 2.3 การบวกเลขฐานสองตอไปนี้ (1001.11)2 + (1011.10)2 + (1111.11)2 = (………..)2 วิธีทํา 1001.11 09.75 + 1011.10 + 11.50 1111.11 + 15.75 + 100101 .00 37.00 ∴ (1001.11)2 + (1011.10)2 + (1111.11)2 = (100101.00)2 ตอบ (100101.00)2

27 2. การลบเลขฐานสอง การลบเลขฐานสอง ซึ่งเปนวิธีตรงกันขามกับการบวกเลขฐานสอง มีหลักเกณฑ เชนเดียวกับ การลบในเลขฐานสิบ ดังตอไปนี้ 1-1=0 1–0=1 0-0=0 0 - 1 = 1 ตองยืมจากหลักทีส่ ูงกวามา 1 ในการยืมคาตัวเลขในเลขฐานสองจะทําใหตัวเลขที่ถูกยืมลดคาลง 1 แลวตัวเลขนั้นจะกลาย เปน 0 ไป ถาตัวเลขที่ถูกยืมถัดไปมีคาเปน 0 ใหยืมในหลักถัดไปเรื่อยๆ จนกระทั่งมีเลข 1 เมื่อทํา การยืมคามาแลว เลข 1 ในคอลัมนนั้นก็จะกลายเปน 0 ไป สวนเลข 0 ในคอลัมนซึ่งไมสามารถยืม ไดนั้นก็จะกลายเปน 1 ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.4 การลบเลขฐานสองตอไปนี้ (1100)2 - (1010)2 = (………..)2 วิธีทํา 1100 1010 0010 ∴ (1100)2 - (1010)2 = (10)2 ตอบ (10)2

12 10 02

ตัวอยางที่ 2.5 การลบเลขฐานสองตอไปนี้ (1101.11)2 - (111.10)2 = (………..)2 วิธีทํา 1101.11 0111.10 110 .01 ∴ (1101.11)2 - (111.10)2 = (110.01)2 ตอบ (110.01)2

13.75 7.50 6.25

-

28 ตัวอยางที่ 2.6 การลบเลขฐานสองตอไปนี้ (1111.11)2 - (1001.10)2 - (11.11)2 = (………..)2 วิธีทํา 1111.11 15.75 1001.10 09.50 0011.11 03.75 100.10 4.50 ∴ (1111.11)2 - (1001.10)2 - (11.11)2 = (10.10)2 ตอบ (10.10)2 3. การคูณเลขฐานสอง ในการคูณเลขระบบใดๆ ก็ตาม หมายความวาเปนการบวกเลขจํานวนนั้น ดวยตัวมันเองเปน จํานวนกี่ครั้งตามคาตัวคูณนั้น เชน จํานวนเลข 8x5 หมายความวา จํานวนเลข 8 บวกดวยตัวมันเอง 5 ครั้ง คือ 8+8+8+8+8=40 สําหรับการคูณเลขฐานสอง มีหลักการดําเนินการเชนเดียวกับเลขฐานสิบคือ เมื่อทําการคูณ เลขฐานสอง ดวยตัวเองที่เปน 1 ก็จะไดผลคูณเทากับตัวตั้งที่ทําการคูณนั้น ถาตัวคูณเปน 0 ผลคูณ ก็จะ ไดเปน 0 เชนกัน เมื่อไดทําการคูณ ตัวตั้งดวยตัวคูณทุกตําแหนงแลวใหทําการบวกโดยใชกฎการบวก เลขฐานสองตามที่กลาวมาแลว ทุกประการ การคูณจึงมีหลักเกณฑดังนี้ 1×1=1 1×0=0 0×1=0 0×0=0 ตัวอยางที่ 2.7 การคูณเลขฐานสองตอไปนี้ (1100)2× (101)2 = (………..)2 วิธีทํา 1100 × 101 1100 0000 +

29

ตอบ

1100 111100 ∴ (1100)2 x (101)2 = (111100)2 (111100)2

ตัวอยางที่ 2.8 การคูณเลขฐานสองตอไปนี้ (1101.101)2 x (111)2 = (………..)2 วิธีทํา 1 1 0 1.1 0 1 1 1 1.0 0 0 × 00 00000 0000 000 0000000 1 1 0 1 1 01 + 1101101 1101101 1 0 1 1 1 1 1.0 1 1 0 0 0 ∴ (1101.101)2 x (111)2 = (1011111.011)2 ตอบ (1011111.011)2

ฐานสิบ 13.625 7 95.375

×

4. การหารเลขฐานสอง ในการหารเลขระบบใดๆ ก็ตาม เปนการกระทําที่ตรงกันขามกับการคูณ คือเปนการหาจํานวน ครั้งที่นําตัวเลขจํานวนนั้นไปลบออกจากเลขจํานวนหนึ่งจนกระทั่งเหลือเศษ 0 หรืออาจเปนจํานวน หนึ่ง ที่มีคานอยกวา 3 เกณฑการหารเลขฐานสองสรุปไดดังตอไปนี้ 0÷1 =0 1÷1 =1

30 ตัวอยางที่ 2.9 การหารเลขฐานสองตอไปนี้ (1111)2÷ (101)2 = (………..)2 วิธีทํา 11 101 1111 101 101 101 000 ∴ (1111)2÷ (101)2 = (11)2 ตอบ (11)2 ตัวอยางที่ 2.10 การหารเลขฐานสองตอไปนี้ (100011)2÷ (101)2 = (………..)2 วิธีทํา 111 101 100011 101 111 101 101 101 000

ตอบ

∴ (100011)2÷ (101)2 = (111)2 (111)2

31 ตัวอยางที่ 2.11 การหารเลขฐานสองตอไปนี้ (111100)2÷ (110)2 = (………..)2 วิธีทํา 1010 110 111100

ตอบ

∴ (1010)2

110 110 110 000 (111100)2÷ (110)2 = (1010)2

การบวก ลบ คูณ หาร เลขฐานแปด 1. การบวกเลขฐานแปด การบวกเลขฐานแปดมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการบวกในเลขฐานสิบแตเนื่อง จากระบบเลข ฐานแปดมีตัวเลขที่ใชเพียงแปดตัวคือ 0 1 2 3 4 5 6 และ 7 ดังนั้นหลักเกณฑของการบวกสามารถดูได จากดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.12 การบวกเลขฐานแปดตอไปนี้ (4356)8 + (5726)8 = (………..)8 วิธีทํา 4356 + 5726 12304 ∴ (4356)8 + (5726)8 = (12304)8 ตอบ (12304)8 จากตัวอยางผลลัพธที่ไดนั้นไดมาจากหลักการดังนี้ 6+6 = (12)10 เนื่องจากกําลังบวกเลขฐานแปดตองนํา 8 ไปลบ 12 จะไดเทากับ 4 (12-8 = 4) สรุปวา 12 มีคาเกินฐาน 8 อยู 4 จึงตองทดไปบวกกับหลักถัดไป 1

32 ตัวอยางที่ 2.13 การบวกเลขฐานแปด (4336)8 + (5435)8 = (………..)8 วิธีทํา 4336 + 5435 11773 ∴ (4336)8 + (5435)8 = (11773)8 ตอบ (11773) จากตัวอยางผลลัพธที่ไดนั้นไดมาจากหลักการดังนี้ 5+6 = (11)10 เนื่องจากกําลังบวกเลขฐานแปดตองนํา 8 ไปลบ 11 จะไดเทากับ 3 (11-8 = 3) 2. การลบเลขฐานแปด การลบเลขฐานแปดมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการลบในเลขฐานสิบโดยมี หลักเกณฑการลบดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.14 การลบเลขฐานแปด (12304)8 - (5726)8 = (………..)8 วิธีทํา 12304 5726 4356 ∴ (12304)8 - (5726)8 = (4356)8 ตอบ (12304)8 - (5726)8 = (4356)8 จากตัวอยางผลลัพธที่ไดนั้นไดมาจากหลักการดังนี้ 4-6 = (6)8 เนื่องจาก 4 มีคานอย 6 จึงไมสามารถลบกันได 4 จึงตองไปยืมหลักขางหนามาอีก แปดรวมกับคาเดิมที่มีอยู 4 เมื่อรวมกันแลวจึงมีคาเทากับ 12 จากนั้นนํา 6 ไปลบ 12 จะไดเทากับ 6 (12-6 = 6) สวนหลักขางหนา 4 มีคาเทา 0 ไมมีให 4 ยืมจึงตองไปขอยืมจาก 3 มาแปด แลวให 4 ยืมไป 1 เหลือ 7 เมื่อนํา 2 ไปลบจึงมีคาเหลือเพียง 5

33 ตัวอยางที่ 2.15 จงลบเลขฐานแปดตอไปนี้ (25507)8 - (7602)8 = (………..)8 วิธีทํา 25507 7602 15705 ∴ (25507)8 - (7602)8 = (15705)8 ตอบ (15705)8 3. การคูณเลขฐานแปด การคูณเลขฐานแปดมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการคูณในเลขฐานสิบโดยมีหลักเกณฑการคูณ ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.16 จงคูณเลขฐานแปดตอไปนี้ (3)8× (2)8 = (…)8 วิธีทํา 3 × 2 6 (7)8 × (1)8 = (…)8 7 × 1 7 (2)8 × (2)8 = (…)8 2 × 2 4 ผลลัพธที่ไดนั้นสามารถตอบไดเลยเพราะวามีคาไมเกินแปด สําหรับผลลัพธของการคูณแตละ ตัวที่มีคาเกินแปดใหปฏิบัติดังตัวอยางตอไปนี้

34 ตัวอยางที่ 2.17 จงคูณเลขฐานแปดตอไปนี้ (4)8× (3)8 = (…)8 4 วิธีทํา × 3 12 เลข 12 เปนผลลัพธของเลขฐานสิบซึ่งไมยังไมใชคําตอบที่ถูก ตองนําไปแปลงเปนเลขฐานแปด เสียกอนดังนี้ 12 ÷ 8 = 1 เศษ 4 ∴ (4)8× (3)8 = (14)8 ตอบ (14)8 ตัวอยางที่ 2.18 จงคูณเลขฐานแปดตอไปนี้ (43)8× (56)8 = (…)8 วิธีทํา 43 × 56 322 + 257 3112 ∴ (43)8 × (56)8 = (3112)8 ตอบ (3112)8 จากผลลัพธไดมาจากหลักการดังนี้ 3 × 6 = 18 -----> 18 ÷ 8 ผลลัพธ = 2 (ใชเปนตัวทดหลังตอไป) มีเศษแลวนํา 24 × 6 = 24 รวมตัวทดอีก 2 มีคาเทากับ 26 -----> 26 ÷ 8 ผลลัพธ = 3 (ใชเปนตัวทดหลังตอไป) มีเศษ 2 ฉะนั้น 43 × 6 จึงมีคาเทากับ 322 และ 43 × 5 มีคาเทากับ 257 แลวผลลัพธจากการคูณทั้งสองจํานวนมาบวกกัน ตามตําแหนงของผลลัพธจากการคูณ (03228+25708 = 31128) ฉะนั้น (43)8× (56)8 จึงเทากับ (3112)8

35 4. การหารเลขฐานแปด การหารเลขฐานแปดมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการคูณในเลขฐานสิบ โดยมีหลักเกณฑการคูณ ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.19 จงหารเลขฐานแปดตอไปนี้ (3112)8 ÷ (43)8 = (……)8 วิธีทํา

ตอบ

56 43 3112

257 322 322 000 (3112)8 ÷ (43)8 = (56)8

∴ (56)8 สรุปขั้นตอนการหารเลขฐานแปดมีดังนี้ 1. ใหนํา 43 ไปหาร 3118 กอนซึ่งจะไดเทากับ 5 2. นําผลลัพธที่ไดคือ 5 ยอนกับไปคูณ 43 จะไดผลลัพธเปน 2578 3. นํา 3118 – 2578 จะไดผลลัพธเทากับ 32 4. แลวนํา 2 ที่อยูต อจาก 311 (ตัวตั้ง) มารวมกับ 32 ซึ่งจะไดเปน 322 5. นํา 43 ไปหาร 322 จะไดผลลัพธเทากับ 6 6. เมื่อนํา 6 ไปคูณกับ 43 จะไดคา 322 7. นํา 322 – 322 มีคาเทากับ 0 8. ฉะนั้น (3112)8 ÷ (43)8 จึงมีคาเทากับ (56)8

การบวก ลบ คูณ หาร เลขฐานสิบหก 1. การบวกเลขฐานสิบหก

36 การบวกเลขฐานสิบหกมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการบวกในเลขฐานสิบแตเนื่อง จากระบบ เลขฐานสิบหกมีตัวเลขที่ใชถงึ 16 ตัวคือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E และ F ดังนั้นหลักเกณฑของ การบวกเลขฐานสิบหกสามารถดูไดจากตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.20 จงบวกเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (4356)16 + (5726)16 = (..…..)16 วิธีทํา A3C6 + 2EC6 D28C ∴ (4356)16 + (5726)16 = (D28C)16 ตอบ (D28C)16 จากตัวอยางผลลัพธที่ไดนั้นไดมาจากหลักเกณฑดังนี้ 6+6 = (12)10 ซึ่งเขียนแทนดวยตัว C C+C มีคาเทากับ 24 เพราะ C มีคาเทากับ 12 ซึ่ง 24 มีคาเกิน 16 อยู 8 จึงตองนําไปเปนตัวทด ตัวอยางที่ 2.21 จงบวกเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (F2B71)16 + (54B35)16 = (………..)16 วิธีทํา F2B71 + 54B35 1476A6 ∴ (F2B71)16 + (54B35)16 = (1476A6)16 ตอบ (1476A6)16 2. การลบเลขฐานสิบหก การลบเลขฐานสิบหกมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการลบในเลขฐานสิบ โดยมีหลักเกณฑการลบ ดังตัวอยางตอไปนี้

37 ตัวอยางที่ 2.22 จงลบเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (123A4)16 - (B726)16 = (………..)16 วิธีทํา 123A4 B726 6C7E ∴ (123A4)16 - (B726)16 = (6C7E)16 ตอบ (6C7E)16 จากตัวอยางผลลัพธที่ไดนั้นไดมาจากหลักดังนี้ 4-6 = (E)16 เนื่องจาก 4 มีคานอย 6 จึงไมสามารถลบกันได 4 จึงตองไปยืมหลักขางหนามาอีก สิบหกรวมกับคาเดิมที่มีอยู 4 เมื่อรวมกันแลวจึงมีคาเทากับ 20 จากนัน้ นํา 6 ไปลบ 20 จะไดเทากับ E (20-6 = 14 หรือ E) สวนหลักขางหนา 4 มีคาเทากับ A เมื่อให 4 ยืมไป 1 จึงเหลือ 9 เมื่อนํา 7 ไปลบจึงมี คาเหลือเพียง 2 ตัวอยางที่ 2.23 จงลบเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (2B0F7)16 - (D6E2)16 = (…....)16 วิธีทํา 2B0F7 D6E2 1DA15 ∴ (2B0F7)16 - (D6E2)16 = (1DA15)16 ตอบ (1DA15)16 3. การคูณเลขฐานสิบหก การคูณเลขฐานสิบหกมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการคูณในเลขฐานสิบโดยมีหลักเกณฑการคูณ ดังตัวอยางตอไปนี้

38 ตัวอยางที่ 2.24 จงคูณเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (3)16 × (4)16 = (…)16 วิธีทํา 3 × 4 12 (7)16 × (2)16 = (…)16 7 × 2 14

ซึ่งมีคาเทากับ C

ซึ่งมีคาเทากับ E

(2)16 × (4)16 = (…)16 2 × 4 8 ผลลัพธที่ไดนั้นสามารถใชเปนคําตอบไดเลยเพราะวามีคา ไมเกินสิบหก การคูณแตละตัวที่มีคาเกินสิบหกใหปฏิบัตดิ ังตัวอยางตอไปนี้

สําหรับผลลัพธของ

ตัวอยางที่ 2.25 จงคูณเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (7)16 × (3)16 = (…)16 วิธีทํา 7 × 3 21 เลข 21 เปนผลลัพธของเลขฐานสิบซึ่งไมยังไมใชคําตอบที่ถูก ตองนําไปแปลงเปนเลขฐานสิบ หกเสียกอนดังนี้ 21 ÷ 16 = 1 เศษ 5 ∴ (7)16 × (3)16 = (15)16 ตอบ (15)16

39 ตัวอยางที่ 2.26 จงคูณเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (F7)16 × (B2)16 = (…)16 วิธีทํา F7 × B2 1EE + A9D ABBE ∴ (F7)16 × (B2)16 = (ABBE)16 ตอบ (ABBE)16 จากผลลัพธไดมาจากหลักการดังนี้ 1. ใหนํา 7 × 2 = 14 หรือ E 2. นํา F × 2 = 15 × 2 = 30 ----> 30 ÷ 16 ผลลัพธ = 1 (ใชเปนตัวทดหลักตอไป) มีเศษ 14 หรือ E ฉะนั้น F7 x 2 มีคาเทากับ 1EE 3. นํา 7 × B = 77 แลวนํา 77 ÷ 16 ผลลัพธ = 4 (ใชเปนตัวทดหลักตอไป) มีเศษ 13 หรือมี คาเทากับ D 4. นํา B ไปคูณ กับ F จะมีคาเทากับ 165 บวกตัวทดอีก 4 รวมเปน 169 แลวนํา 169 ÷ 16 มีคา เทากับ 10 เหลือเศษ 9 ฉะนั้น 7×B มีคาเทากับ A9D จากนั้นนําผลลัพธจากการคูณทั้งสองจํานวนมาบวก กันตามตําแหนงของผลลัพธจากการคูณ 01EE16 + A5D016 ซึ่งมีคาเทากับ ABBE16 4. การหารเลขฐานสิบหก การหารเลขฐานสิบหกมีวิธีปฏิบัติเชนเดียวกันกับการหารในเลขฐานสิบ โดยมีหลักเกณฑการ หารดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2.27 จงหารเลขฐานสิบหกตอไปนี้ (ABBE)16 ÷ (B2)16 = (……)16 วิธีทํา

F7 B2 ABBE

A6E

-

40 4DE 4DE 000 (ABBE)16 ÷ (B2)16 = (F7)16

ตอบ

∴ (F7)16 สรุปขั้นตอนการหารเลขฐานสิบหกมีดังนี้ 1. ใหนํา B2 ไปหาร ABBE16 ซึ่งจะไดเทากับ F 2. นําผลลัพธที่ไดคือ F ยอนกับไปคูณ B2 จะไดผลลัพธเปน A6E16 3. นํา ABB16 – A6E16 จะไดผลลัพธเทากับ 4D 4. แลวนํา E ที่อยูตอจาก ABB (ตัวตั้ง) มารวมกับ 4D ซึ่งจะไดเปน 4DE 5. นํา B2 ไปหาร 4DE จะไดผลลัพธเทากับ 7 6. เมื่อนํา 7 ไปคูณกับ B2 จะไดคา 4DE 7. นํา 4DE – 4DE มีคาเทากับ 0 8. ฉะนั้น (ABBE)16 ÷ (B2)16 จึงมีคาเทากับ (F7)16

การใชคอมพลีเมนตแทนเลขจํานวนลบของเลขฐานตาง ๆ 1. คอมพลีเมนตเลขฐานสิบ ในการลบเลขในระบบเลขฐานสิบ มีคอมพลีเมนตพื้นฐาน 2 แบบที่ใชกันบอยดังนี้ 1) คอมพลีเมนต 9 (9’s Complement) 2) คอมพลีเมนต 10 (10’s Complement) คอมพลีเมนตเลขฐานสิบหมายถึง การลบเลขฐานสิบจํานวนใดๆ ดวยวิธีการบวกแตวิธีการ บวกนัน้ ใชเลขคอมพลีเมนตของตัวลบ ตัวอยางที่ 2.28 จงหาคอมพลีเมนต 9 ของ (524108)10 วิธีทํา (524108)10 คอมพลีเมนต 9 มีคาเทากับ 475891 ซึ่งผลลัพธดังกลาวนั้นไดมาดังนี้ 9-5 = 4

41

ตอบ

9-2 = 7 9-4 = 5 9-1 = 8 9-0 = 9 9-8 = 1 ∴ คอมพลีเมนต 9 ของ (524108)10 คือ (475891)10 (475891)10

ตัวอยางที่ 2.29 จงหาคอมพลีเมนต 10 ของ (524108)10 คอมพลีเมนต 10 มีคาเทากับ คอมพลีเมนต 9 +1 วิธีทํา (524108)10 คอมพลีเมนต 9 มีคาเทากับ 475891 (524108)10 คอมพลีเมนต 10 มีคาเทากับ 475891+1 = 475892 ∴ คอมพลีเมนต 10 ของ (524108)10 คือ (475892)10 ตอบ (475892)10 ตัวอยางที่ 2.30 จงลบเลข 725 ดวย 584 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 9 วิธีทํา 725 584 คอมพลีเมนต 9 ของ 584 มีคาเทากับ ตัวทด --------------> 141

ตอบ

725 415 + 1 140 + 1 ตัวทดนําไปบวกเพิ่ม 141 ∴ 725 - 584 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 9 จะไดเทากับ 141 ซึ่งมีคาเทากับการลบวิธีปกติ (141)10

42 ตัวอยางที่ 2.31 จงลบเลข 725 ดวย 584 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 10 วิธีทํา 725 725 + 584 คอมพลีเมนต 10 (คอมพลีเมนต 9+(1)) = (415+1) = 416 ตัวทดตัดทิง้ ไมนํามาพิจารณา --------------> 1 141 141 ∴725 - 584 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 10 จะไดเทากับ 141 ซึ่งมีคาเทากับการลบวิธีปกติ ตอบ (141)10 การลบโดยวิธกี ารบวกดวยคอมพลีเมนตเลขฐานนั้น ผลลัพธจะมีคาเทากันกับการลบวิธีปกติ แตคอมพลีเมนต 9 แตกตางกับคอมพลีเมนต 10 ตรงที่ตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลี เมนต 9 ใหนํามาบวกเพิ่ม สวนตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 10 ใหตดั ทิ้งไมนํามา พิจารณา 2. คอมพลีเมนตเลขฐานสิบหก ในการลบเลขในระบบเลขฐานสิบหก มีคอมพลีเมนตพื้นฐาน 2 แบบที่ใชกันบอยดังนี้ 1) คอมพลีเมนต 15 (15’s Complement) 2) คอมพลีเมนต 16 (16’s Complement) คอมพลีเมนตเลขฐานสิบหกหมายถึง การลบเลขฐานสิบหกจํานวนใด ๆ ดวยวิธีการบวก แต วิธีการบวกนัน้ ใชเลขคอมพลีเมนตของตัวลบ ตัวอยางที่ 2.32 จงหาคอมพลีเมนต 15 ของ (A5F47)16 วิธีทํา (A5F47)16 คอมพลีเมนต 15 มีคาเทากับ 5A0B8 ซึ่งผลลัพธดังกลาวนั้นไดมาดังนี้ 15-10 = 5 15-5 = 10 = A 15-15 = 0 15-4 = 11 = B 15-7 = 8 ∴ คอมพลีเมนต 15 ของ (A5F47)16 คือ (5A0B8)16 ตอบ (5A0B8)16

43 ตัวอยางที่ 2.33 จงหาคอมพลีเมนต 16 ของ (A5F47)16 คอมพลีเมนต 16 มีคาเทากับ คอมพลีเมนต 15 +1 วิธีทํา คอมพลีเมนต 15 ของ (A5F47)16 มีคาเทากับ (5A0B8)16 คอมพลีเมนต 16 ของ (A5F47)16 มีคาเทากับ 5A0B8+1 = 5A0B9 ∴ คอมพลีเมนต 16 ของ (A5F47)16 คือ (5A0B9)16 ตอบ (5A0B9)16 ตัวอยางที่ 2.34 จงลบเลข B04D1 ดวย A4F3 โดยวิธคี อมพลีเมนต 15 วิธีทํา B04D1 B04D1 + 0A4F3 คอมพลีเมนต 15 ของ 0A4F3 มีคาเทากับ F5B0C ตัวทด --------------> 1A5FDD A5FDE + 1 ตัวทดนําไปบวกเพิ่ม A5FDE ∴ B04D1 - 0A4F3 ดวยวิธคี อมพลีเมนต 15 จะไดเทากับ A5FDE ตอบ (A5FDE)16 ตัวอยางที่ 2.35 จงลบเลข B04D1 ดวย A4F3 โดยวิธีคอมพลีเมนต 16 วิธีทํา B04D1 B04D1 + A4F3 คอมพลีเมนต 16 (คอมพลีเมนต 16+(1)) = (F5B0C +1) = F5B0D A5FDE ตัวทดตัดทิง้ ไมนํามาพิจารณา --------------> 1 A5FDE ∴ B04D1 - 0A4F3 ดวยวิธคี อมพลีเมนต15 จะไดเทากับ A5FDE ตอบ (A5FDE)16 การลบโดยวิธีการบวกดวยคอมพลีเมนตเลขฐานนั้น ผลลัพธจะไดเทากัน แตคอมพลีเมนต 15 แตกตางกับคอมพลีเมนต 16 ตรงที่ตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 15 ใหนํามาบวก เพิ่ม สวนตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 16 ใหตัดทิ้งไมนํามาพิจารณา

44 3. คอมพลีเมนตเลขฐานแปด ในการลบเลขในระบบเลขฐานแปด มีคอมพลีเมนตพื้นฐาน 2 แบบที่ใชกันบอยดังนี้ 1) คอมพลีเมนต 7 (7’s Complement) 2) คอมพลีเมนต 8 (8’s Complement) คอมพลีเมนตเลขฐานแปดหมายถึง การลบเลขฐานแปดจํานวนใด ๆ โดยวิธีการบวก แต วิธีการบวกนั้นใชเลขคอมพลีเมนตของตัวลบ ตัวอยางที่ 2.36 คอมพลีเมนต 7 ของ (52470)8 วิธีทํา (52470)8 คอมพลีเมนต 7 มีคาเทากับ 25307 ซึ่งผลลัพธดังกลาวนั้นไดมาดังนี้ 7-5 = 2 7-2 = 5 7-4 = 3 7-7 = 0 7-0 = 7 ∴ คอมพลีเมนต 7 ของ (52470)8 คือ (25307)8 ตอบ (25307)8 ตัวอยางที่ 2.37 คอมพลีเมนต 8 ของ (52470)8 คอมพลีเมนต 8 มีคาเทากับ คอมพลีเมนต 7 +1 วิธีทํา คอมพลีเมนต 7 ของ (52470)8 มีคาเทากับ 25307 คอมพลีเมนต 8 ของ (52470)8 มีคาเทากับ 25307+1 = 25310 ∴ คอมพลีเมนต 8 ของ (52470)8 คือ (25310)8 ตอบ (25310)8

45 ตัวอยางที่ 2.38 จงลบเลข 1725 ดวย 564 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 7 วิธีทํา 1725 564 คอมพลีเมนต 7 ของ 564 มีคาเทากับ ตัวทด --------------> 1141

ตอบ

∴ (1141)8

1725 7213 + 1 1140 + 1 ตัวทดนําไปบวกเพิ่ม 1141 1725 - 564 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 7 จะไดเทากับ 1141 ซึ่งมีคาเทากับการลบวิธีปกติ

ตัวอยางที่ 2.39 จงลบเลข 1725 ดวย 564 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 8 วิธีทํา 1725 1725 564 คอมพลีเมนต 8 (คอมพลีเมนต 7+(1)) = (7213+1) = + 7214 ตัวทดตัดทิง้ ไมนํามาพิจารณา --------------> 1 1141 1141 ∴ 1725-564 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 8 จะไดเทากับ 1141 ซึ่งมีคาเทากับการลบวิธีปกติ ตอบ (1141)8 การลบโดยวิธกี ารบวกดวยคอมพลีเมนตเลขฐานนั้น ผลลัพธจะไดเทากันกับการลบวิธีปกติ แต คอมพลีเมนต 7 แตกตางกับคอมพลีเมนต 8 ตรงที่ตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 7 ใหนํามาบวกเพิ่ม สวนตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 8 ใหตดั ทิ้งไมนํามาพิจารณา 4. คอมพลีเมนตเลขฐานสอง ในการลบเลขในระบบเลขฐานสอง มีคอมพลีเมนตพื้นฐาน 2 แบบที่ใชกนั บอยดังนี้ 1) คอมพลีเมนต 1 (1’s Complement) 2) คอมพลีเมนต 2 (2’s Complement) การคอมพลีเมนตเลขฐานสองหมายถึง การลบเลขฐานสองจํานวนใด ๆ โดยวิธีการบวกแต วิธี การบวกนัน้ ใชเลขคอมพลีเมนตของตัวลบ

46 ตัวอยางที่ 2.40 คอมพลีเมนต 1 ของ (11011)2 วิธีทํา (11011)2 คอมพลีเมนต 1 มีคาเทากับ 00100 ซึ่งผลลัพธดังกลาวนั้นไดมาดังนี้ 1-1 = 0 1-1 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 1-1 = 0 ∴ คอมพลีเมนต 1 ของ (11011)2 คือ (00100)2 ตอบ (00100)2 ตัวอยางที่ 2.41 คอมพลีเมนต 2 ของ (11011)2 คอมพลีเมนต 2 มีคาเทากับ คอมพลีเมนต 1 +1 วิธีทํา คอมพลีเมนต 1 ของ (11011)2 มีคาเทากับ 00100 คอมพลีเมนต 2 ของ (11011)2 มีคาเทากับ 00100+1 = 00101 ∴ คอมพลีเมนต 2 ของ (11011)2 คือ (00101)2 ตอบ (00101)2 ตัวอยางที่ 2.42 จงลบเลข 10011 ดวย 1101 โดยวิธีคอมพลีเมนต 1 วิธีทํา 10011 10011 1101 คอมพลีเมนต 1 ของ 1101 มีคาเทากับ 10010 + ตัวทด --------------> 1 00101 110 + 1 ตัวทดนําไปบวกเพิ่ม 110 ∴ 10011-1101 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 1 จะไดเทากับ 110 จะมีคาเทากับการลบวิธีปกติ ตอบ (110)2

47 ตัวอยางที่ 2.43 จงลบเลข 10011 ดวย 1101 โดยวิธีคอมพลีเมนต 2 วิธีทํา 10011 10011 + 1101 คอมพลีเมนต 2 ของ 1101 (คอมพลีเมนต 1+1) มีคาเทากับ 10011 1 00110 110 ตัวทดตัดทิ้งไมนํามาพิจารณา --------------> ∴ 10011-1101 ดวยวิธีคอมพลีเมนต 2 จะไดเทากับ 110 จะมีคาเทากับการลบวิธีปกติ ตอบ (110)2 การลบโดยวิธีการบวกดวยคอมพลีเมนตเลขฐานนั้น ผลลัพธจะไดเทากันกับการลบวิธีปกติ แต คอมพลีเมนต 1 แตกตางกับคอมพลีเมนต 2 ตรงที่ตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 1 ใหนํามาบวกเพิ่ม สวนตัวทดของผลลัพธจากการบวกดวยวิธีคอมพลีเมนต 2 ใหตัดทิ้งไมนํามาพิจารณา

สรุป ผูออกแบบวงจรคํานวณหรือเปรียบเทียบ เพื่อนําไปใชในระบบคอมพิวเตอรจําเปนอยางยิ่งตอง มีความรูความเขาใจถึงหลักการและวิธีคํานวณเลขฐานตาง ๆ เปนอยางดี ไมวาจะเปนการบวก ลบ คูณ หรือหาร รวมทั้งการลบดวยวิธีการบวกที่เรียกวาคอมพลีเมนต หลักการคํานวณโดยทั่วไปผูออกแบบมัก คุนเคยกับวิธีการคํานวณระบบเลขฐานสิบ แตการออกแบบวงจรเพื่อใหสามารถคํานวณเลขไดทกุ ฐาน นั้นทําไดไมแตกตางไปจากการคํานวณระบบเลขฐานสิบ เพียงแตใหพึงระวังวาขณะนี้กําลังคํานวณเลข ฐานอะไร และตัวเลขสูงสุดในฐานนั้น ๆ คืออะไร การทด การยืมก็เหมือนกับเลขฐานสิบทุกประการ

แบบฝกหัดทายบท 1. จงบวกเลขฐานตอไปนี้ ก. (1011011.110)2 + (11101.111)2 ข. (75621.04)8 + (3254.26)8 ค. (75A6C.21D)16 + (3E4F.A6)16 2. จงลบเลขฐานตอไปนี้ ก. (1001011.1110)2 - (101101.1011)2 ข. (32141.04)8 - (3674.43)8

48

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

ค. (846AC.B9D)16 - (6E4D.F8)16 จงคูณเลขฐานตอไปนี้ ก. (1011011)2 x (1101)2 ข. (10110.11)2 x (11.01)2 ค. (3214)8 x (43)8 ง. (321.4)8 x (43.7)8 จ. (846AC)16 x (6E)16 ฉ. (846.AC)16 x (6E.A)16 จงหารเลขฐานตอไปนี้ ก. (1010010111)2 ÷ (110011)2 ข. (1227)8 ÷ (63)8 ค. (297)16 ÷ (22)16 จงลบเลขฐานสองตอไปนี้ดวยวิธกี ารบวกโดยใชคอมพลีเมนต 1 ก. (1101101)2 - (0110110)2 ข. (1110010)2 - (0111100011)2 จงลบเลขฐานสองตอไปนี้ดวยวิธกี ารบวกโดยใชคอมพลีเมนต 2 ก. (1011101)2 - (0111011)2 ข. (11100111)2 - (011110011)2 จงลบเลขฐานแปดตอไปนี้ดวยวิธกี ารบวกโดยใชคอมพลีเมนต 7 ก. (7654)8 - (3576)8 ข. (77564)8 - (61573)8 จงลบเลขฐานแปดตอไปนี้ดวยวิธกี ารบวกโดยใชคอมพลีเมนต 8 ก. (4567)8 - (3765)8 ข. (773355)8 - (567437)8 จงลบเลขฐานสิบหกตอไปนี้ดวยวิธกี ารบวกโดยใชคอมพลีเมนต 15 ก. (5A3E)16 - (3FAC)16 ข. (FEAC3)16 - (DEACB)16

49 10. จงลบเลขฐานสิบหกตอไปนี้ดว ยวิธีการบวกโดยใชคอมพลีเมนต 16 ก. (79A53E)16 - (5AE397)16 ข. (A73F5BCD)16 - (9E5BCDE7)16

เอกสารอางอิง ธนัท ชัยยุทธ และกณพ แกวพิชัย. 2546. ดิจิตอลพื้นฐาน. กรุงเทพมหานคร : ซีเอ็ดยูเคชั่น จํากัด. ธวัชชัย เลื่อนฉวี และอนุรกั ษ เถื่อนศิริ. 2546. ดิจิตอลเทคนิค. กรุงเทพมหานคร : มิตรนราการพิมพ. นภัทร วัจนเทพินทร. 2545. วงจรดิจิตอล ภาคปฏิบตั .ิ กรุงเทพมหานคร : สยามสปอรต ซินดิเคท. มงคล ทองสงคราม. 2545. ดิจิตอลเบื้องตน. กรุงเทพมหานคร : รามาการพิมพ. รุงแสง เครือไวศยวรรณ. 2545. การออกแบบวงจรดิจิตอล. กรุงเทพมหานคร : สมาคมสงเสริม เทคโนโลยี.