เลขฐาน ตัวเลขที่คนเราใช้ในชีวิตประจาวันคือเลขฐาน 10 ประกอบด้วยตัวเลขจานวน 10 ตัว คือ เลข 0 ถึงเลข 9 เหตุผลที่คนเราใช้เลขฐาน 10 อาจเป็นเพราะมนุษย์เรามีนิ้วมืออยู่ 10 นิ้ว จึงนามาใช้เป็นเครื่องมือช่วยในนับเลข หรือการคานวณ แต่สาหรับการประมวลผลในคอมพิวเตอร์จะใช้ระบบเลขฐานสอง ที่ประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ เลข 0 และเลข 1 เพราะภายในเครื่องคอมพิวเตอร์ประกอบด้วยวงจรอิเลคทรอนิกส์ ที่มีหลักการทางานแบบ ดิจิตอล และใช้ระดับแรงดันไฟฟ้า 2 ระดับ คือ สวิตซ์เปิด (on) กับสวิตซ์ปิด (off) โดยกาหนดให้สถานะของการ "เปิด" แทนด้วยเลข "0" และ"ปิด" แทนด้วยเลข "1" ซึ่งเลขฐานสองจานวนหนึ่งหลัก เราเรียกว่า "บิต" นอกจากนี้คอมพิวเตอร์ยังมีการใช้งานตัวเลขฐานอื่น ๆ อีก คือ เลขฐานแปด ที่ประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ 0 ถึง 7 และเลขฐานสิบหก ที่ประกอบด้วยตัวเลข 0 ถึง 9 และตัวอักษรอีก 6 ตัวคือ A, B, C, D, E และ F ซึ่งมี ค่าเท่ากับเลข 10 ถึง 15 โดยสามารถเปรียบเทียบการใช้เลขฐานสิบกับเลขฐานต่าง ๆ ได้ตามตารางดังนี้ เลขฐานสิบ
เลขฐานสอง
เลขฐานแปด
เลขฐานสิบหก
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
เลขฐานสอง ระบบเลขฐานสอง คือ ระบบตัวเลขที่มีค่าฐานเป็นสอง มีสัญลักษณ์ 2 ตัว คือ 0 กับ 1 ค่าตามตาแหน่ง ของส่วนที่เป็นจานวนเต็มของเลขฐานสอง คือ ตารางเปรียบเทียบเลขฐานสอง เลขฐานสิบ
เลขฐานสอง
0
00
1
01
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง หลักการ 1. ให้นาเลขฐานสิบเป็นตัวตั้งและนา 2 มาหาร ได้เศษเท่าไรจะเป็นค่าบิตที่มีนัยสาคัญน้อยที่สุด 2. นาผลลัพธ์ที่ได้จากข้อที่ 1 มาตั้งหารด้วย 2 อีกเศษที่จัดจะเป็นบิตถัดไปของเลขฐานสอง 3. ทาเหมือนข้อ 2 ไปเรื่อยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เศษที่ได้จะเป็นบิตเลขฐานสองที่มีนัยสาคัญมากที่สุด
ตัวอย่าง : จงเปลี่ยน (221)10 เป็นเลขฐานสอง 2 221
เศษ
1
2 110
เศษ
0
2 55
เศษ
1
2 27
เศษ
1
2 13
เศษ
1
2 6
เศษ
0
2 3
เศษ
1
2 1
เศษ
1
0
เศษ
1
(221)10 = (11011101)2
การแปลงเลขฐานสอง ให้ เป็ นเลขฐานสิ บ ในการแปลงเลขฐาน 2 ให้ กลับมาเป็ นเลขฐาน 10 สามารถทาได้ โดยการคูณ ตัวเลขฐาน 2 ในแต่ละหลักด้ วยค่าที่อยูป่ ระจาหลักคือ 2 n (n คือตัวเลขแสดง จานวนตาแหน่งหลัก) แล้ วนาผลที่ได้ จากการคูณในแต่ละหลักมาบวกกันทังหมด ้ ดังตัวอย่าง ตัวอย่ างที่ จงแปลง 111010 2 ให้ อยูใ่ นรูปเลขฐาน 10
ผลลัพธ์ที่ได้ ในรูปเลขฐาน 10 คือ 58 10
ระบบเลขฐานแปด ระบบเลขฐานแปด เป็นระบบตัวเลขที่มีค่าฐานเป็นแปด มีตัวเลขอยู่ 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซึ่งสามารถเปรียบเทียบค่าเลขฐานได้ตามตาราง เลขฐานสิบ
เลขฐานสอง
เลขฐานแปด
0
000
0
1
001
1
2
010
2
3
011
3
4
100
4
5
101
5
6
110
6
7
111
7
การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานแปด การแปลงเลขฐาน 10 ให้เป็นเลขฐาน 8 ทาได้โดยเอาเลขฐานสิบตั้ง แล้วหารด้วยเลข 8 ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เป็น "0" ในการหารนั้นจะต้องเขียนเศษไว้ทุกครั้ง จากนั้นให้เขียนเศษที่ได้จากการหารโดย เรียงลาดับจากด้านล่างขึ้นด้านบน ตัวอย่าง
มีค่าเท่าไรในเลขฐานแปด
ผลลัพธ์ของ
การแปลงมีค่าเท่ากับ
การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ การแปลงเลขฐาน 8 ให้เป็นเลขฐาน 10 ทาได้โดยวิธีการคูณตัวเลขฐาน 8 ในแต่ละหลักด้วยค่าประจา ตาแหน่ง แล้วนาผลลัพธ์ที่ได้มารวมกัน จะได้เป็นค่าของเลขฐานสิบ ตัวอย่าง
มีค่าเท่าไร ในเลขฐานสิบ = = = 64 + 16 + 6 = ผลลัพธ์ของการแปลง
มีค่าเท่ากับ
การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง หลักการ : จะต้องใช้เลขฐานสิบเป็นตัวกลางในการเปลี่ยน
ตัวอย่าง : (134)8 = (…)2 1. เปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ (134)8 = (1X88) + (3X81) + (4X80) = (92)10
2. เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง (92)10 = (…)2 = 64 32 16 8 4
2 1
= 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0 เลขฐาน 2 = 1 ดังนั้น (134)8
0
1
1
1 0 0
= (1011100)2
การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด หลักการ : จะต้องใช้เลขฐานสิบเป็นตัวกลางในการเปลี่ยน
ตัวอย่าง : (1011100)2 = (…)8 1. เปลี่ยนเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ (1011100)2 = 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0 = (92)10 2. เปลี่ยนฐานสิบเป็นเลขฐานแปด
ดังนั้น (1011100)2 = (134)8
การเปลี่ยนเลขฐานสองเป็ นเลขฐานแปดและฐานแปดเป็ นเลขฐานสอง วิธีลัด เลขฐานแปด 0
เลขฐานสอง 000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
ตารางเปรี ยบเทียบเลขฐานแปดและเลขฐานสอง จากตารางจะเห็นว่าเลขฐานแปดหนึ่งหลักสามารถแทนด้วยเลขฐานสองจานวน 3 บิต ตัวอย่าง : จงแปลงเลขฐานสองเป็ นเลขฐานแปด (1011100) 2 = (…)8 วิธีทา :
001 011 100
1
3
ดังนั้น (1011100) 2 = (134)8
4
ตัวอย่าง เปลี่ยนเลขฐานแปดเป็ นเลขฐานสอง (6143)8 = (…)2 วิธีทา
6
1
4
3
110
001 100
011
ดังนั้น (6143)8 = (110001100011)2
เลขฐานสิบหก ระบบเลขฐาน 16 มีตัวเลขอยู่ 16 ตัว คือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ตาราง เปรียบเทียบเลขฐานสิบหก เลขฐานสิบ
เลขฐานสอง
เลขฐานสิบหก
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐาน 10 ให้เป็นเลขฐาน 16 ทาได้โดยเอาเลขฐานสิบตั้ง แล้วหารด้วยเลข 16 ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เป็น "0" ในการหารนั้นจะต้องเขียนเศษไว้ทุกครั้ง จากนั้นให้เขียนเศษที่ได้จากการหารโดย เรียงลาดับจากด้านล่างขึ้นด้านบน ตัวอย่ าง
มี
มีค่าเท่าไร ในเลขฐานสิ บหก
เลข 10 ในฐาน 16 แทนด้วยตัวอักษร A มีค่าเท่ากับ
การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบ การแปลงเลขฐาน16 ให้เป็นเลขฐาน 10 ทาได้โดยวิธีการคูณตัวเลขฐาน 16 ในแต่ละหลักด้วยค่าประจา ตาแหน่ง แล้วนาผลลัพธ์ที่ได้มารวมกัน จะได้เป็นค่าของเลขฐานสิบ ตัวอย่าง
มีค่าเท่าไร ในเลขฐานสิบ
= 246 มีค่าเท่ากับ
การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก หลักการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก จัดเลขฐานสองทีละ 4 ตัว โดยเริ่มจากหลังไปหน้า นาเลขที่จัดได้ แปลงเป็นเลขฐานสิบ เขียนเลขฐานสิบหกแทนที่เลขฐานสอง เป็นคาตอบที่ได้ ตัวอย่าง
มีค่าเท่าไรในเลขฐานสิบหก 100
1101
4
13 (D)
มีค่าเท่ากับ การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง หลักการแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง เต็มสี่หลัก วางเรียงตามลาดับ จากข้อ 1 เลขฐานสองที่ไม่ครบสามหลัก ให้ใส่เลข 0 ด้านหน้า ให้ครบสี่หลัก ค่าที่ได้คือคาตอบเลขฐานสอง ตัวอย่าง 4 4 100 100
มีค่าเท่าไรในเลขฐานสอง F 3 (ฐาน 16) 15 3 (ฐาน 16) 1111 11 (ฐาน 2) 1111 0011 (ฐาน 2) มีค่าเท่ากับ
การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหก การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหก มีวิธีทาได้หลายวิธี แต่วิธีที่สะดวกก็คือ เปลี่ยนเลขฐานแปดให้ เป็นเลขฐานสองก่อน แล้วจึงเปลี่ยนต่อไปยังเลขฐานสิบหกอีกครั้งหนึ่ง
การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปด การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปด ทาได้โดยเปลี่ยนเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง เสียก่อน แล้วจึงเปลี่ยนต่อไปยังเลขฐานแปดอีกครั้งหนึ่ง