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Nivel de Consolidaci贸n
Inferencia Estad铆stica Elemental
Inferencia estad铆stica elemental Nivel de consolidaci贸n
Inferencia estadística elemental Nivel de consolidación
1. Sea Binomial
una ma(n) seleccionada de una población Hallar el estimador de p usando el método de MV.
Sol.: La distribución de cada variable aleatoria
es
, aplicamos , derivamos L con respecto ape Igualamos a 0 Despejando p resulta
2. Sea
una . Determinar el
seleccionada de una población .
Sol.: , entonces / aplicamos ln
, entonces
3. Sea geométrica
una
a) Determinar el EMV para p. b) Estimar Sol.:
seleccionada de una población
Inferencia estadística elemental Nivel de consolidación a) L(p)=
b)
4. El número de pedidos entre las 12:00 y las 14:00 en una empresa de entrega de comida a domicilio se supone que se comporta como una variable aleatoria Una muestra aleatoria proveniente de tomada en el mismo horario en dieciséis días laborales arroja los siguientes resultados: a) Calcular el estimador máximo verosímil de b) Estime a base de los valores de la muestra considerada. Sol.:
a)
b)
5. Sea distribución Poisson estimador Sol.:
una muestra aleatoria de una población con . Demuestre que: es un Ayuda:
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Si es insesgado.
6. Determine el estimador de máxima verosimilitud de una población exponencial. Sol.:
/ aplicamos
, entonces
7. De una población se escogen dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1, n2. Sean sus medias y varianzas respectivas. a) Si , ¿es la estadística un estimador insesgado del parámetro μ? b) Si , ¿es la estadística un estimador insesgado del parámetro ? Sol.:
a) Es insesgado. b)
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Es insesgado. 8. Si son las proporciones de dos muestras de tamaño n1, n2 escogidas de una población Bernoulli verifique que la estadística es un estimador insesgado del parámetro p? Sol.:
Es insesgado.
9. Sean las medias de dos muestras independientes de tamaño n1, n2 respectivamente escogidas de una población X de Poisson con parámetro λ. a) Probar que la estadística es un estimador insesgado del parámetro . b) Hallar la varianza del estimador. Sol.: a)
Es insesgado. b)
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10. Se ha extraído una muestra de tamaño 3 de una población con esperanza matemática y varianza desconocida: μ,σ2. Pruebe que el estimador θ=(x1+2x2+3x3)/6 es un estimador insesgado de μ y compare su eficiencia con la de la media muestral. Sol.:
Es insesgado. Comparemos ahora las varianzas para ver cual es más eficiente.
La varianza de la media muestral es menor, por lo tanto es más eficiente que el estimador propuesto.
11. Dada una muestra aleatoria simple extraída de una población con esperanza matemática μ y varianza σ2, pruebe que el cuadrado de la media muestral tiene esperanza matemática: Sol.: Por el TLC se tiene que
y
Además por definición tenemos que:
de donde
tenemos que:
12. Demuestre que la media aritmética es un estimador suficiente para la función de densidad exponencial. Sol.:
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entonces
que considerado como un solo factor, muestra que la suma de los elementos muestrales (o la media muestral) es un estadístico suficiente.
13. Demuestre que la media aritmética es un estimador suficiente para la función de densidad Poisson. Sol.: entonces
Aquí podemos observar claramente ambos factores donde se muestra que la media muestral es un estimador suficiente para la función exponencial.
14. Suponga que la proporción de votantes que votan por el partido blanco en una determinada elección se distribuye de acu Erdo con la función de densidad: Justo antes de celebrarse las elecciones, se ha encuestado a votantes de 5 distritos, obteniendo unos porcentajes de votantes declarando su intención de votar por el Partido Blanco, de: 0.43; 0.46; 0.52; 0.34; 0.32, respectivamente. Estime el parámetro θ. Sol.: Sea
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Por lo tanto:
15. Dada una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con función de densidad , hallar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro . Sol.: Sea
16. Dada una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con función de densidad , hallar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ. Sol.: Sea
Inferencia estadística elemental Nivel de consolidación 17. Dad una ma(n), extraída de una población representada por la función de densidad . Hallar el estimador de máxima verosimilitud de θ. Sol.: Sea
18.
Suponga que de una función de densidad exponencial se han extraído 3 observaciones resultando: . Determina el estimador de máxima verosimilitud de θ.
Sol.: Sea
Entonces
Por lo tanto
, entonces podemos decir que
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19. Un fabricante de papel de embalar requiere una resistencia mínima de 20 kilos por centímetro cuadrado. Para verificar la calidad de papel, cada hora se selecciona una muestra 10 piezas de papel y se mide la resistencia de cada una de ellas. La desviación estándar σ de la resistencia, calculada combinando las sumas de cuadrados de las desviaciones de muchas muestras, es igual a 2 kilos por centímetro cuadrado. a) Cuál es la distribución aproximada de la media muestral de las n=10 piezas de papel? b) Si la media de la población de las resistencias de papel es 21kg/cm2. ¿Cuál es la probabilidad de que para una muestra aleatoria de n=10 piezas de papel, se la media muestral menor a 20? c) Qué valor debe tener la resistencia media del papel para que ? Sol.: a)
Sea
b)
Si
c)
si
, Y= la resistencia del papel , por el TLC tenemos que , entonces:
entonces
20. La confiabilidad de un fusible eléctrico es la probabilidad de que un fusible, seleccionado al azar, funciones bajo las condiciones para las cuales ha sido diseñado. Se sometió a prueba una muestra de 1000 fusibles y se observaron 27 fusibles defectuosos. Calcule la probabilidad de observar 27 o más fusibles defectuosos, suponiendo que la confiabilidad de del fusible es 0,98. Sol.: Si la confiabilidad de del fusible es 0,98, entonces la probabilidad de observar un fusible defectuosos cuando se prueba uno, es 0,02. Sea =
.
Inferencia estadística elemental Nivel de consolidación el número de fusibles defectuosos encontrados en una muestra de 1000, entonces si , por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos que y
21. Se prueba un nuevo suero con el objeto de determinar su eficacia para evitar el resfriado común. Se inyectó el suero a 100 personas y se las observó por un periodo de una año. De acuerdo a información entregada por empresa fabricante del suero, la efectividad del suero es del 70%. ¿Cuál es la probabilidad de observar entre 70 y 80 personas con suero aplicado sin resfriado? Sol.: Sea el invierno. que
,
el número de personas sin resfriados durante
, por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos con y
22. Las aerolíneas y los hoteles frecuentemente aseguran reservaciones por encima de su capacidad, con el objeto de minimizar las pérdidas ocasionadas por los pasajeros que no se presentan. Los archivos de un hotel indican que en promedio 10% de sus clientes no se presentan a reclamar sus reservaciones. Si el hotel acepta 215 reservaciones y solo hay 200 habitaciones en el hotel, ¿cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que lleguen a reclamar sus reservaciones consigan una habitación? Sol.: Sea que
el número de reservaciones reclamadas. , por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos con y
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23. Se realiza una encuesta telefónica conducida para determinar la opinión pública acerca del deseo de un hospital privado de aumentar los servicios aunque el aumento podría tener un efecto negativo sobre el hospital público. De las 180 personas entrevistadas, 112 indicaban que estaban a favor del aumento. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que están a favor sea mayor a 112, dado que al proporción de adultos en la ciudad a favor del aumento es sólo de 0,5? Sol.: Sea el número de personas a favor del aumento de servicios.. , por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos que con y
24. La recopilación de grandes cantidades de datos sobre el cáncer al pulmón muestra que 1 de cada 40 adultos adquiere la enfermedad. Se sabe que los trabajadores de cierta industria trabajan en un ambiente contaminado que puede causar un aumento en al tasa del cáncer al pulmón. Una encuesta a n=400 trabajadores, contiene 19 casos identificables de cáncer al pulmón. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas identificables con cáncer sea mayor a 19? Sol.: Sea el número de personas a identificables con cáncer. , por el TLC y usando aproximación a Normal tenemos que con y
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25. El error de estimación de los salarios de los empleados de una gran firma es de 3,8 dolares con una desviación de 15 US. Se sabe que los montos están normalmente distribuidos. Calcular el tamaño de la muestra que permita a lo mas el error mencionado con un nivel de confianza del 95% .
Z por tabla (1- α/2)= Z (0,975) = 1,96
Error de estimación = Zpor tabla
σ
Sol.: Con un nivel de confianza del 95%, para tener un error de estimación de a lo menos un 3,8 dolares en los salarios medios se debe tomar una muestra de 60 o mas empleados con un nivel de confianza del 95%.
26. Una muestra aleatoria de 37 ríos de sur américa arrojo una concentración de ppm que va desde (145,46 a 154,54) que representa el intervalo de confianza para la media con un promedio 150 ppm y una varianza de 225 ppm. Encuentre el nivel de significancia con el que se realizo dicho estudio.
despejando el error de estimación en cualquiera de la ecuaciones Error de estimación = Z por tabla
DESPEJANDO
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Sol.: El nivel de significancia es de 5% por lo tanto este intervalo se construyo con un 95% de confianza. 27. Determine el máximo permitido de humedad en ciruela deshidratadas si una muestra de 55 unidades arrojo un 25% de humedad promedio y una desviación estándar de 4%. Determine el nivel medio máximo permitido con un nivel de confianza del 98%. Obs: es unilateral por la derecha
Sol.: Con un 98% de confianza el nivel medio máximo permitido de humedad en las ciruelas deshidratadas es de 26,11%. M
28. Una muestra de 10 de latas de conservas enlatadas por una maquina “A” presentaban un llenado promedio de 251 cc con una varianza de 16 cc, la planta trabaja con un estándar máximo de llenado de 255 cc. Determine si la maquina esta bien regulada y si cumple los estándares de llenado máximo con un 95% de confianza.
T- student por tabla(9)
Límite superior Unilateral Sol.:
Inferencia estadística elemental Nivel de consolidación Con un 95% de confianza para el llenado medio de las latas presentan una cota superior de 253,9, por lo tanto la maquina esta bien regulada y cumple con los estándares asociados.
29. Tomada, al azar, una muestra de 180 estudiantes de una Universidad, se encontró que 45 de ellos hablaban inglés. Determinar cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo, en la muestra?
Error de estimación = Z por tabla Despejando N tenemos que
Z por tabla Reemplazamos los datos en la ecuación
Sol.: Con un nivel de confianza del 99%, para tener un error de estimación de a los mas 5% el tamaño de la muestra debe ser de a lo menos 499 alumnos.
30. Una muestra aleatoria de estudiantes tomada en una universidad extranjera ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de estudiantes chilenos, siendo sus extremos 0,232 y 0,368. Determine el valor de la proporción estimada a través de esa muestra
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Resolviendo el sistema de ecuaci贸n Sol.: La proporci贸n estimada para dicho intervalos es de 0,3