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Nivel de Proyecci贸n
Estad铆stica Descriptiva Univariada
Estadística Descriptiva Univariada Nivel de Proyección
1. En una barraca se observo el tiempo que se tarda una máquina en cortar 50 troncos de 1metro de diámetro. Los datos, son expresados en segundos: 19,7 20,8 21,3 23,7 25,3
24,2 22,8 21,5 20,3 20,7
23,8 21,9 23,1 23,6 22,5
20,7 22,0 19,9 19,0 21,2
23,8 20,7 24,2 25,1 23,8
24,3 20,9 24,1 25,0 23.3
21,1 25,0 19,8 19,5 20,9
20,9 22,2 23,9 24,1 22,9
21,6 22,8 22,8 24,2 23,5
22,7 20,1 23,9 21,8 19,5
Calcule el coeficiente de variación y la mediana
Sol: X
n
i 1
n
s = 2
Xi 22,328 n
Xi X
2
n
i 1
n
S=
i 1
C.V =
Me=
3,01
Xi X
2
n
1,73
1,73 0,077 22,328
1 X n X n 23 1 2 2 2
2. Si tenemos la serie 6, 9, 13, 5, 8 y lo aumentamos n veces ¿que sucede con la media geométrica?
Sol:
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Primero calculamos la media geométrica de la serie dada Mg= n
n
X
i
7.76
i 1
Supongamos que lo aumentamos 2 veces, luego tenemos la serie 12, 18, 26, 10, 16 y calculamos su media geométrica Mg= n
n
X
i
15.51
i 1
Luego podemos decir que la media geométrica también aumento al doble.
Ahora supongamos que aumenta 3 veces Mg= n
n
X
i
23.27
i 1
Luego podemos decir que la media geométrica también aumento 3 veces De todo esto podemos concluir que: si tenemos una serie y la aumentamos en n veces su media geometría también aumenta n veces
3. Se tienen AB // CD ; A, B, C, D con las siguientes coordenadas A (1,1); B (2,2); C (0,2); D (1,3) tenemos un tercer vector con coordenadas
1 3 3 5 E( , ) y F( , ) ¿Cómo es con respecto a los vectores AB y CD ? 2 2 2 2
Sol:
Si calculamos el promedio de los vectores AB y CD nos da el vector EF como sigue:
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El promedio entre las coordenadas de A y C es:
0 1 1 2 1 3 , , que son 2 2 2 2
las coordenadas de E.
El promedio entre las coordenadas de B y D es:
2 1 2 3 3 5 , , que son 2 2 2 2
las coordenadas de F.
Luego podemos decir que el vector EF es el promedio de las vectores
AB y CD .
4. Se tienen los puntos con coordenadas A(2,3) B(6,5) C(7,8) D(4,5) E(1,6) F(2,4) encuentre el punto Media Geométrica G.
Sol: Debemos tomar todos los primeros nº de cada coordenada y calcular la media geométrica como sigue:
Mg= n
n
X
i
2,96 3
i 1
Ahora con cada nº de la 2ª coordenada
Mg= n
n
X
i
4,93 5
i 1
Luego la Media Geométrica tiene coordenadas G (3,5)
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5. Juan estaba vendiendo ropa en su camioneta Como no le quedaba espacio pregunto por la edad media de la gente del pueblo, le dijeron que era 35 años entonces llevo ropa para esa edad, pero cuando llegó al pueblo encontró que las edades de la gente son: 14, 15, 17, 18, 19, 81, 85. ¿Por qué otro indicador debería preguntar Juan para vender su ropa?
Sol: Juan debería preguntar por la moda, que en este caso no hay o por la mediana que en este caso es 18 que seria lo mas apropiado para vender su ropa.
6. ¿Cuál es la varianza entre 15%, 23%, 31%, 48% y 67% de 362?
Sol: 54.3 es el 15% de 362 83.2 es el 23% de 362 112.2 es el 31% de 362 173.7 es el 48% de 362 242.5 es el 67% de 362
n
=
x i 1
n
i
= 133.18
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n
s = 2
Xi X
i 1
2
n
5688,237
7. Si el largo y ancho de un rectángulo se triplican ¿En que % aumenta el área?
Sol: Supongamos ancho X y largo Y luego su área es XY, si se triplican: ancho 3X y largo 3Y luego su área es 9XY por lo que podemos concluir que su área aumenta 9 veces, luego si consideramos el 1º rectángulo como el 100% su tamaño aumenta 900%.
8. Se necesita saber el promedio del absoluto de los determinantes de las siguientes matrices:
13 6 9 5
3 9 6 5
23 15 5 8
Sol: Los determinantes son: -119, 69, 109
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Luego su absoluto es 119, 69, 109 lo que nos da un promedio de: 99.
9. En la empresa Nestlé hay 600 empleados que cobran 400 mil pesos, 500 que cobran 600 mil pesos, 100 que cobran 2 millones 200 mil pesos y 5 socios que perciben 100 millones cada uno. a) Calcular la media, mediana y la moda b) ¿Cuál de estos 3 indicadores de tendencia central estima mejor el sueldo de los empleados de la empresa.
Sol.: X
n
i 1
Xi (600*400 + 500*600 + 100*2.200 + 5*100.000)/(600 + 500 n
+ 100 + 5) =1260000 /1205 = 1045.6
Me = 600
Mo = 400
Luego podemos decir que la distribución es muy asimétrica, por lo tanto la mediana es la medida más recomendable, ya que en el promedio influyen los datos disparados.
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10. La observación representa la temperatura de una planta elèctrica durante varios días consecutivos. 43 47 51 48 52 50 46 49 45 52 46 51 44 49 46 51 49 45 44 50 48 50 49 50 a) Calcular la tabla de frecuencias de los datos b) Calcular la media y la mediana c) Calcular la varianza y la desviación estándar
Sol: a) Nº
F.Absoluta
F.Acumulad
F. Relativ
R. Acumulad
42 - 44
3
3
12.5
12.5
45 – 47
6
9
25
37.5
48 – 50
10
19
41.7
79.2
51 - 53
5
24
20.8
100
X
b) Me= 49
n
i 1
n
c) s = 2
Xi X
2
n
i 1
S=
Xi 48.125 n
n
i 1
7,24456522
Xi X
2
n
2.691
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11. En otra encuesta se pregunto cuantos gramos de cocaína consumen diarios 50 personas de una población, los datos son los siguientes: 10 9 12 21 23
18 11 12 12 43
24 22 46 50
35 12 33 30
12 13 23 29
15 24 13 38
18 24 43 47
12 45 38 56
22 20 29 31
30 35 17 14
50 33 43 42
9 15 32 25
a) Calcule desviación estándar b) Calcule el coeficiente de variación
Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la Varianza y para ello debemos saber el promedio: X
n
i 1
n
s = 2
Xi 26,62 n
Xi X
2
n
i 1
S=
n
166.26
Xi X
i 1
b) C.V =
2
n
12.9
12.9 0.48 26.62
12. La Empresa Soprole encarga permanentemente estudios de mercado para decidir cuál de sus productos yoghurt requiere ser modificado, mayor publicidad o ser retirado del mercado. Como estudio preliminar se determina el volumen de ventas mensual en miles de unidades. Los datos del último mes son:
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Tipo de Unidades yoghurt vendidas Diet ---------Batido 72000 Gold 32000 Requetepatitas 56000 Uno+uno 44000 Se sabe que el 15% de las ventas del último mes corresponden al yoghurt Diet. a) ¿Cuántas unidades del yoghurt Diet se vendieron el último mes?
Sol: a) podemos decir que la suma de las unidades vendidas es el 85%, luego podemos decir que el 100% corresponde a 240.000 ahora le restamos la suma, lo que nos da: 36.000 unidades vendidas 13. En un entrenamiento de Maratón participan 7 deportistas. El recorrido a realizar es de 42km. Los deportistas marcaron los siguientes tiempos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
85 min. 135 min. 95 min. 105 min. 100 min. 110 min. 125 min.
a) Determine la velocidad promedio y la media
Sol: 1. 2.
(29,6 km/hr.) (18,6 km/hr.)
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3. 4. 5. 6. 7.
X
n
i 1
(26,5 km/hr.) (24 km/hr.) (25,2 km/hr.) (22,9 km/hr.) (20,1 km/hr.)
Xi km/ hr n
Me= 23,8 km/ hr
14. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 30 años, la mediana es 26 y la moda es 25. a) cuales son las edades de las cuatro personas.
Sol.: a) Como la moda es 25 y la mediana 26 solo nos falta 1 edad. Luego podemos decir que las edades son: 25, 25, 27, 43.
15. La Empresa Soprole encarga permanentemente estudios de mercado para decidir cuál de sus productos yoghurt requiere ser modificado, mayor publicidad o ser retirado del mercado. Como estudio preliminar se determina el volumen de ventas mensual en miles de unidades. Los datos del último mes son:
Tipo de yoghurt
Unidades vendidas
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Diet Batido Gold Requetepatitas Uno+uno
----72000 32000 56000 44000
Se sabe que el 15% de las ventas del último mes corresponden al yoghurt Diet. a) ¿Cuántas unidades del yoghurt Diet se vendieron el último mes?
Sol.: a) podemos decir que la suma de las unidades vendidas es el 85%, luego podemos decir que el 100% corresponde a 240.000 ahora le restamos la suma, lo que nos da: 36.000 unidades vendidas
16. Se realiza un estudio sobre las horas de práctica de 4 deportes. Se sabe que en natación y en kárate tienen el mismo número de deportistas, atletismo tiene ¾ de gimnasia y gimnasia el doble que natación. Horas 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7
Natación 2 4 10 11 6
Kárate 1 5 12 10 5
Gimnasia 6 15 19 18 8
Atletismo 4 10 16 11 9
a) ¿En que deporte hay mayores horas de práctica, si consideramos el promedio? b) ¿Qué media geométrica hay en cada deporte? Sol.: a) 4,95
4,89
4,6
4,72
Respectivamente
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Luego podemos decir que natación es el deporte con más horas de práctica b) 72,66
54,77
496,22
251,7
17. La agrupación nacional de boy scouts hace un estudio de las edades de sus dirigentes, como muestra la tabla: Edad 18-20 21-23 24-26 27-29 30-32 Mas de 32
Nº de dirigentes 240 320 260 100 80 50
Se desea saber la edad promedio del 30% de los dirigentes con edades inferiores a 24.
Sol.: Primero calculemos el 25% de edades inferiores a 24, que corresponde a 140 dirigentes Tenemos que seleccionar a 60 de edad entre 18 y 20; y 80 de la edad entre 21 y 23 y dividir por 140 Ahora sacaremos el promedio n
=
x i 1
n
i
= 20,7
18. En el 1° medio (36 alumnos) se realizo una prueba de matemática, pero mas de la mitad de los alumnos saco nota inferior a 4 (20 alumnos) se desea transformar las puntuaciones de manera que a lo
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menos el 55% del curso apruebe. Si el puntaje máximo era 56 con un 60% de exigencia que conviene mas? a) bajar la escala de puntaje en 5 puntos b) bajar el % de exigencia a 50% Las notas deficientes son 22
25 33 35
34
27
28
30
30
30
35
36
37
38
39
31
31
32
32
32
Sol.: Primero debemos saber que el 55% de 36 es 20 (aprox.) como hay 20 notas deficientes, podemos decir que hay 16 notas sobre 4, luego nos falta rescatar 4 notas deficientes y transformarlas en notas a lo menos 4. Si ocupamos la alternativa A rescatamos 2 notas Si ocupamos la alternativa B rescatamos 6 notas Luego podemos decir que la alternativa B es la más adecuada para este caso. 19. En otra encuesta se pregunto cuantos litros de agua consumen mensuales 50 personas Los datos son los siguientes: 10 9 12 21 23
18 11 12 12 43
24 22 46 50
35 12 33 30
12 13 23 29
15 24 13 38
18 24 43 47
12 45 38 56
22 20 29 31
30 35 17 14
50 33 43 42
9 15 32 25
a) Calcule desviación estándar b) Calcule el coeficiente de variación
Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la Varianza y para ello debemos saber el promedio:
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X
n
i 1
n
s = 2
Xi 26,62 n
Xi X
2
n
i 1
n
S=
Xi X
2
n
i 1
b) C.V =
166.26
12.9
12.9 0.48 26.62
20. En una distribuidora de puzzles se observo el tiempo que ocupan en imprimir 1 puzzle durante 50 días. Los datos están en segundos: 19,7 20,8 21,3 23,7 25,3
24,2 22,8 21,5 20,3 20,7
23,8 21,9 23,1 23,6 22,5
20,7 22,0 19,9 19,0 21,2
23,8 20,7 24,2 25,1 23,8
24,3 20,9 24,1 25,0 23.3
21,1 25,0 19,8 19,5 20,9
20,9 22,2 23,9 24,1 22,9
21,6 22,8 22,8 24,2 23,5
22,7 20,1 23,9 21,8 19,5
a) Calcule el coeficiente de variación y la mediana
Sol: a) X
n
i 1
n
s = 2
Xi X
2
n
i 1
S=
n
i 1
C.V =
Xi 22,328 n
3,01
Xi X
2
n
1,73
1,73 0,077 22,328
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Me=
1 X n X n 23 1 2 2 2
21. En un barrio acomodado se pregunto la edad de las empleadas domésticas para un estudio posterior, los datos observados son: 24 29
30 38
27 33
43 27
39 29
25 31
33 39
34 38
37 27
36
43
31
a) ¿La distribución de las edades de las empleadas domésticas es simétrica?
Sol: Para que la distribución sea simétrica la media debe ser igual a la mediana, luego n
=
x i 1
n
i
= 33 y
Me= X n =33 1 2
Luego: = Me entonces es simétrica.
22. El colegio Aconcagua aplico un test de conocimiento a sus alumnos del 4° medio obteniéndose los resultados en base a preguntas acertadas: Nº de preguntas acertadas 0-10 10-15 15-20 20-23 23-25 25-30
Nº de alumnos 10 20 60 100 70 30
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30-40
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¿Cómo es el rendimiento en base a preguntas acertadas del intervalo que tiene más alumnos?
Sol.: Considerando que 40 es el total de preguntas y que en el intervalo que hay más alumnos es el de 20-23, luego calculamos entre que rango esta el rendimiento en porcentaje de los alumnos lo que nos da que los alumnos se encuentran entre un 50% y 58% de rendimiento
23. Se fabrican 7500 lápices mina por min. Y una máquina empaqueta 400 lápices mina por min. Y un pale contiene 500 lápices mina. a) En un turno de 8 horas ¿Cuál es la eficiencia máxima? b) Si la producción de lápices esta detenida 2 horas ¿En que % baja su rendimiento?
Sol: a) Primero debemos saber cuántas lápices mina salen por min. Luego: 500/400= 0.8 lápices por min. hora
Ahora 0.8 * 60 = 48 lápices en una
Luego la eficiencia máxima es: 48 * 8 = 384 b) Ahora si la producción se detiene 2 horas se tendrá: 48 * 6 = 288
y 288 es el 75% de 384
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Lo que implica que el rendimiento bajara en un 25%
24. En la empresa Nesttle se fabrican distintos productos y se lleva un registro de ellos como sigue: 104 107
100 100
98 97
102 99
106
99
110
98
93
95
96
108
a) Calcule media y varianza b) Determine un intervalo que contenga aproximadamente el 80% de los productos.
Sol: n
a) = n
s = 2
i 1
x i 1
n
i
= 100,75
Xi X
2
n
24,6
b) Como son 16 productos debo saber cuánto es el 80% que es 13 aprox. Luego debo construir intervalos de manera que en uno de ellos me queden 13 datos como sigue: Intervalos 93-106 107-120
f.absoluta f.relativa 13 81,25% 3 18,75%
25.- De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la mediana es 23 y la moda es 22. b) cuales son las edades de las cuatro personas.
Sol:
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Como la moda es 22 y la mediana es 24 luego s贸lo nos falta encontrar 1 edad tal que al sacar el promedio resulte 24 Luego las edades son: 22, 22, 24, 28
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