2011, o dólar apresentou grande valorização frente ao real. Suponha que, em 24 de agosto,
Exemplo Petrobras – 2010 – Técnico de Manutenção Júnior - Elétrica - 34
o valor de um dólar fosse R$ 1,60 e, em 23 de setembro, R$ 1,84. Se o aumento diário, de 24 de agosto a 23 de
Em relação ao consumo de 2005, a estima-
setembro, tivesse ocorrido linearmente, for-
tiva de 2010 prevê, na Índia, um aumento no
mando uma progressão aritmética, qual se-
consumo de azeite de
ria, em reais, o valor do dólar em 8 de setembro?
(A) 700% (B) 650%
(A) 1,70
(C) 450%
(B) 1,71
(D) 350%
(C) 1,72
(E) 200%
(D) 1,73 (E) 1,74
Solução: Resposta: C De 2005 para 2010, o aumento, na Índia, foi de 7.000 toneladas. A percentagem de aumento, com relação ao ano de 2005 é de:
3.2 aumento =
7000 2000
Progressão
Geomé-
trica
aumento = 3,5 Progressão geométrica (P.G.) é uma suces-
ou aumento = 350% Resposta: D
são de termos na qual a razão entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Este valor constante é denominado razão da progressão geométrica (q). O termo geral de uma P.G. genérica (a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an ) de razão q é descrito por:
Caiu no concurso! Petrobras Distribuidora – 2012 – Técnico de Operação Júnior - Matemática - 11 Durante os meses de agosto e setembro de
an = a1 .q n
1
em que an é o termo de ordem n, q é a razão e a1 é o primeiro termo da P.G. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. 25
é dada por:
(B) P.(0,999)5 (C) P.(0,909)5 Sn =
(D) P.(0,99)5
a1 .(q n 1) q 1
(E) P.(0,90)5
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida
Solução:
quando |q|<1. Sua soma é:
S1 =
A redução anual é q = 0,1% = 0,001. Desta
a1 1
forma, se em 2005 a população era de P ha-
q
O produto dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é dado por:
bitantes, em 2006 será de P 2005 = P.(1 q) = P.0,999. Em 2007, a população será de P 2007 = P 2006.(1 P.(1
Pn = an1 .q Soma da P.G. finita:
Exemplo Petrobras – 2010 – Técnico de Manutenção Júnior - Elétrica - 36 A Europa (...) é o único continente onde Segundo o
Fundo de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010. Disponível em: www.pt.wikipedia.org Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia correspondesse a P habitantes, a população de 2010 corresponderia a (A) P.(0,9999)5 26
q) =
q)2 e assim sucessivamente, até que q)5 = P.(0,999)5
Resposta: B
a1 (q n 1) q 1
a população vem diminuindo.
q).(1
em 5 anos, a população seja de P 2010 =
n.(n 1) 2
P.(1
Sn =
q) = P.(1
4 Estatística
Tópicos
Petrobras – 2010 – Técnico de Manutenção Júnior - Elétrica - 45 Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequência do uso de automóvel. Oi-
4.1
Conjuntos . . . . . . . . 27
tocentas e dez pessoas disseram utilizar au-
4.2
Fatorial . . . . . . . . . . 28
tomóvel em dias de semana, 880 afirmaram
4.3
Permutação . . . . . . . 28
4.4
Combinação . . . . . . . 28
4.5
Probabilidade . . . . . . 29
4.6
Moda . . . . . . . . . . . 32
4.7
Mediana . . . . . . . . . 32
4.8
Media Aritmética . . . . 33
que utilizam automóvel nos finais de semana e 90 disseram que não utilizam automóveis. Do total de entrevistados, quantas pessoas afirmaram que utilizam automóvel durante a semana e, também, nos fins de semana? (A) 580 (B) 610 (C) 690 (D) 710
Teoria
(E) 780
Solução:
4.1
Conjuntos
O número de pessoas que afirmaram utilizar
Intersecção e união: Questões que envolvem
automóvel em ambos, dias de semana e final
2 conjuntos e elementos pertencentes aos
de semana, é igual ao total de entrevistado
dois ou a nenhum dos conjuntos podem ser
menos o número de pessoas que não utilizam
resolvidos pela fórmula:
automóvel em ambos. O número de pessoas que não utilizam automóvel em ambos é igual
Total = Grupo 1 + Grupo 2 + Ne-
ao número de pessoas que não utilizam em
nhum - Ambos
dias de semana somado ao número de pessoas que não utilizam em final de semana,
Exemplo
descontando-se a parcela de pessoas que sim27
plesmente não utilizam automóvel. Portanto, considerando:
0! = 1! = 1
n = no de pessoas que não utilizam em ambos a = no de pessoas que utilizam em ambos
4.3
Permutação
Definição: Número de formas diferentes de arranjar elementos sequencialmente. n = (1000
810) + (1000
880)
90 O número de maneiras de organizar um grupo de elementos pertencente a um grupo
n = 220
maior pode ser encontrado pela fórmula: a = 1000 a = 1000
n
Pnk =
220
a = 780
(n
k)!
onde n, é uma quantidade no grupo maior e k é o número de elementos a serem organizados.
Resposta: E
4.4 4.2
n!
Fatorial
Combinação
Definição: É o número de maneiras de organizar um grupo de elementos pertencente a um grupo maior, sendo que a ordem dos
Definição: Se n é um inteiro maior que 1,
elementos não é importante.
então n fatorial, ou n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n, ou seja:
2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 Por definição 28
Cnk =
n! k!(n k)!
onde n, é uma quantidade no grupo maior e k é o número de elementos a serem organizados.
Exemplo Petrobras – 2010 – Técnico de Manu-
tenção Júnior - Elétrica - 43 Um treinador de futebol dispõe de 3 goleiros,
entre as combinações de cada posição. Desta form:
5 atacantes, 6 jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de 11 jogaCtime = Cgol .Cataque .Cmeiodecampo .Czaga
dores. Se o time será composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5 jogadores de meio de campo e
Ctime = 3.10.6.6
2 zagueiros, de quantos modos diferentes esse time poderá ser montado?
Ctime = 1080
(A) 25
Resposta: E
(B) 120 (C) 360 (D) 745 (E) 1080
4.5
Solução:
Probabilidade
Definição: Supondo um processo aleatório,
Percebe-se que este é um problema de combinação onde, para cada posição no time, temse uma combinação de n elementos (número de jogadores disponíveis para determinada posição) tomados p a p (número de jogadores
existem possíveis eventos que podem ocorrer.
Quando todos os eventos são igual-
mente possíveis, a probabilidade é a chance de um evento desejado ocorrer dentre os demais eventos possíveis. Ou seja,
que irão efetivamente ocupar cada posição), isto é, uma Cnp . Uma vez que: Cnp =
Probabilidade =
n! p!(n p)!
Muitas questões envolvendo probabilidade consideram a ocorrência de múltiplos even-
Temos que: Gol: = 1!(33! 1)! = 3 Ataque: C53 = 3!(55! 3)! = 10 Meio de campo: C65 = 5!(66! 5)! Zaga: C42 = 2!(44! 2)! = 6
Eventos desejados Eventos possíveis
tos. Considerando a ocorrência de dois eventos A
C31
e B, a probabilidade de que ambos ocorram =6
é a probabilidade de A ocorrer multiplicado pela probabilidade de B ocorrer. A probabilidade condicional, que considera a
O resultado do número total de combinações para o time completo se dá com o produto
probabilidade de B ocorrer dada a ocorrência de A, é diferente da probabilidade de B ocorrer. 29