Tetractis 11_20 by G T

Ano II. Boletín nº 11

Depósito legal: C 2766-2006

Setembro, 2007

www.estalmatgalicia.com O

SÁBADO,

SETEMBRO , LUGAR NA DE

SANTIAGO

TIVO

FACULTADE

MATEMÁTICAS

INAUGURACIÓN

DE DO

CURSO COA PRESENTACIÓN DOS

ALUMNOS

SELECCIONADOS

EQUIPO DOCENTE.

POSTERIORMENTE

OS ALUMNOS ACUDIRON A UN CAMPAMENTO EN

SADA.

pasado día 18 de abril a Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturais aprobou o Proxecto ESTALMAT GALICIA, pilotado pola Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, coa colaboración dun grupo entusiasta de profesores do ensino medio e das tres universidades galegas. O proxecto ESTALMAT ten por obxectivo detectar, orientar e estimular de maneira continuada o talento matemático de estudiantes que están en 6º curso de Educación Primaria. ESTALMAT Galicia está presidido polo Decano da Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, D. Juan Manuel Viaño Rey e a Vicepresidencia e Coordinadora Xeral está a cargo de Dona Mercedes Feijoo Díaz, Directora do IES Elviña da Coruña. No proxecto Estalmat Galicia existen 3 comités (Organizador, Académico e Consultivo) e un equipo docente formado por 25 profesores e profesoras do ensino secundario e universitario de Galicia (pódese consultar a súa composición na páxina web).

O curso consta de 23 sesións (de 3 horas de duración) que se desenvolverán os sábados na Facultade de Matemáticas e cada sesión será impartida por dous profesores do equipo docente.

Na foto, os 200 alumnos de 6º de primaria que se presentaron, o 2 de xuño, ás probas de selección na Facultade de Matemáticas.

MÉTODO DE MONTECARLO PARA O CÁLCULO DO NÚMERO Π SIMULACIÓN CUNHA FOLLA DE CÁLCULO

método de Montecarlo é un método non determinista (aleatorio) usado para aproximar expresións matemáticas moi custosas de avaliar con exactitude. O nome provén do “Casino de Montecarlo (Mónaco)” por ser a ruleta un bo exemplo de xerador de números aleatorios. Comezou a desenvolverse no ano 1944 para a creación da bomba atómica durante a segunda guerra mundial.

Por exemplo, na folla de cálculo podería ser: SI(B2^2+C2^2 <= 1;1;0) ♦ Na táboa totalizariamos o número de tiradas N e o número de ‘1’ (n).

O método consiste en realizar un experimento aleatorio un número moi grande de veces, xa que a frecuencia coa que ocorre un suceso ten por límite a probabilidade do suceso. Para o cálculo do número π teremos en conta: ♦

A área do círculo é A = π r2, e se consideramos un círculo de raio r = 1 teriamos que a área do círculo sería A = π. Sen embargo, no desenvolvemento do método utilizaremos o cuadrante (cuarta parte) do

Coord X

Coord Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,80938399 0,93140531 0,9751538 0,37890005 0,60270417 0,42773223 0,65010393 0,32552147 0,97092974 0,37945771

0,72527152 0,1391148 0,27703434 0,73828095 0,36923677 0,86546606 0,19017226 0,34031123 0,24161083 0,80374664

Nº de tiradas N= 20000 Nº de puntos interiores ao cuadrante n = 15744

Este cuadrante estará inscrito nun cadrdado de área 1, polo que a relación entre áreas será π/4

Probabilidade de caer dentro do círculo = 15744/20000 = 0,7872

O método consiste en encher o o cadrado de puntos (coma se lanzaramos dardo a unha diana) de maneira que se o número de puntos e moi grande, a probabilidade de caer dentro do círculo será a re-

Valor de π obtidο = 4•0,7872 = 3,1488

lación de áreas, é dicir, π/ 4 . ♦

M ont e C a r l o

O valor de π será 4 veces a relación de áreas. SIMULACIÓN

Dentro (S/N) 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1

Neste exemplo, os resultados foron:

círculo, polo que a súa área será Ac = π/ 4

♦

Num

1, 2

COA FOLLA DE CÁLCULO

0, 8

♦ Consideramos un cadrado de raio r=1 construído cun sistema rectangular de coordenadas (x,y) no que se vai a inscribir o cuadrante de círculo. ♦ As coordenadas (x,y) son xeradas por unha función aleatoria da folla de cálculo con valores comprendidos entre 0 e 1. ♦ Fórmase unha táboa onde aparece: o número de tirada, a coordenada x, a coordenada y e unha función lóxica que serve para avaliar se o punto está ou non dentro do cuadrante. ♦ Esta función asigna un valor 1 se o punto de coordenadas (x,y) está dentro do cuadrante de círculo; é dicir, se cumpre a condición de pertenza ao interior do círculo: x2 + y2≤ 1 e asigna un valor 0 senón cumpre a condición. tetractis 11

0, 6

0, 4

0, 2

0 0

0, 2

0, 4

0, 6

0, 8

1, 2

Enrique Currás Piñeiro 1º Bach. C (2006-07) 2

Setembro, 2007

XEOMETRÍA

DE PAPEL

Canguro matemático

Olimpiada matemática

Material necesario: Dous papeis cadrados, un deles co lado un pouco maior ca o outro. Pasos:

8 6

7 10

Resolve as seguintes cuestións: 1.

DOS PROBLEMAS

CUBO CORTADO a) Unindo os puntos medios das arestas dun cubo, como se ve na figura, obtéñense pirámides triangulares. Se construímos unha nova figura xeométrica sólida quitando estas pirámides, cantas caras, vértices e arestas ten o corpo resultante? Describe como chegaches ao resultado. b) Agora imos facer unha variación sobre o problema anterior. No canto de tomar os puntos medios, eliximos os puntos sobre as arestas e situados a un tercio de distancia dos vértices, resultando, ao unilos, unhas pirámides máis pequenas e que non se tocan entre elas. Se recortamos estas pirámides, cantas caras, vértices e arestas ten a figura que resulta? Describe como chegaches ao resultado. c) Se, en lugar dun cubo, consideramos o prisma hexagonal regular da figura (as bases son hexágonos regulares), e procedemos como no apartado a), cantas caras, vértices e arestas ten o corpo resultante? Describe como chegaches ao resultado.

CAIXA

CAIXÓN

As dobreces do paso 1, forman un novo cadrado onde os vértices son os puntos medios dos lados de partida. ¿Qué fracción representa a área do cadrado formado no paso 2 con respecto ao cadrado inicial? Observa o rectángulo formado no paso 3, ¿que fracción representa a área deste rectángulo con respecto ao cadrado de partida? A figura formada no paso 4 e un hexágono. ¿Canto miden os seus ángulos? ¿Cal é a fracción que representa a súa área con respecto do cadrado inicial? Se o cadrado orixinal ten 10 cm de lado. ¿Canto medirá o lado da base da caixa?, ¿e a súa altura?, ¿canto valerá a área da caixa?, ¿cal será o seu volume?

Alicia Pedreira Mengotti

DADOS XIGANTES Temos 8 dados iguais coas caras numeradas de 1 a 6. Cada un dos dados ten o desenvolvemento plano seguinte: Cos 8 dados construímos un cubo, que chamaremos “Gran Dado”. a) Se sumamos tódolos números que vemos nas 6 caras do “Gran Dado”, cal é a suma máis grande que se pode obter? b) No dado pintado, a suma dos puntos de dúas caras opostas é sempre a mesma. Podemos construír un “Gran Dado” de maneira que, se miramos dúas caras opostas, a suma de tódolos puntos que hai nesas caras sempre é a mesma? Describe como chegaches ao resultado. c) Podemos construír un “Gran Dado” de forma que a suma dos puntos que hai en cada unha das súas 6 caras sexan os números consecutivos 19, 20, 21, 22, 23 e 24? Razoa a túa resposta. Agora temos 27 dados iguais coas caras numeradas de 1 a 6. Cos 27 dados construímos un cubo máis grande co anterior, ao que lle chamaremos “Mega Dado”. d) Se sumamos tódolos números que vemos nas 6 caras do “Mega Dado”, cal é a suma máis grande que se pode obter? ESTALMAT, 2007

Tetractis 11

Setembro, 2007

Ano II. Boletín nº 12

Depósito legal: C 2766-2006

XEOMETRÍA

DE PAPEL

UN FRACTAL: O TRIÁNGULO DE SIERPINSKI Para construír o modelo de papel do triángulo de Sierpinski, comezamos cunha folla de papel rectangular de dimensións 2x1 e dobrámola transversalmente. Dividimos o rectángulo ao longo da dobrez en dous partes iguais, temos así dous cadrados; facemos un corte de lonxitude a metade do que queda ata a outra beira.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Dobramos unha das metades para marcar a dobrez... Unha vez marcada, metémolo cara dentro, quedándonos unha especie de escaleira de dous chanzos (pasos dunha escaleira). En cada un dos chanzos, repetimos a operación: corte ao medio, marcar as dobreces... Metelos cara dentro. E agora o mesmo con cada un dos 4 chanzos. corte ao medio,marcar as dobreces... Metémolos cara dentro, e temos unha escaleira de 8 chanzos. Unha última vez, cada chanzo: corte ao medio. Marcar cada chanzo. Metelos cara dentro.

10. Tomamos outro rectángulo das mesmas dimensións noutra cor, pegamos tal como vemos na figura as dúas caras. E xa tes o teu triángulo de Sierpinski para poñer en calquera recuncho.

Un fractal é un obxecto xeométrico no que a estructura básica repítese a diferentes escalas. O termo foi proposto polo matemático Benoît Mandelbrot en 1975 e deriva do latín fractus, que significa quebrado ou fracturado. Os fractais poden ser xerados por un proceso recursivo ou iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a calquera escala de observación.

Alicia Pedreira Mengotti

Outubro, 2007

ARTE

CON NÚMEROS

TOBIA RAVÀ (Pádua, 1959) é un artista plástico que traballa en Venecia. Doutorado en Semioloxía da Arte pola Univeridade de Boloña, utiliza o número coma base da súa pintura. Pódese ver a súa obra na páxina web:

www.tobiarava.com

ALBERTO DURERO Alberto Durero foi o gran pintor e gravador alemán do Renacemento que no afán de superación estudiou a xeometría para aplicala á pintura e chegoua a escribir tratados de xeometría e matemáticas, tratados sobre a proporcion humana, sendo un precursor da xeometría proxectiva.

to no 1500 utiliza a proporción áuace, procedente dunha rea. Para o gravado Adán e Eva familia húngara, o 21 de Maio de 1471 e morre o 6 feito no 1504, Durero describe as de Abril de 1528 na cidade libre intricadas construccións da regra e Imperial de Nüremberg (agora en do compás que utilizou para consAlemaña). Foi educado na Lateinstruír as figuras. Non foi só a teoría chule en St. Lorenz e traballou no matemática da proporción a que taller de seu pai aprendendo o ofiinfluíu no arte da Durero neste cio de ourive e xoieiro. Á idade de período, senón tamén o seu dominio 13 anos xa era un gran pintor, como da perspectiva a través do estudio se ve nun autorretrato que pintou da xeometría . nesa época. Sobre o 1508 comezou a reunir No 1486 pasou a ser aprendiz material para unha obra importande pintor e deseñador de gravados te sobre as matemáticas e a súa AUTORRETRATO, 1498 (DETALLE) para Michael Wolgemut, o principal aplicación as artes. Esta obra nunca produtor de retablos. Tras un aprendizaxe de 4 anos seria rematada pero Durero usou partes do material na xa aprendera todo o que podía de Wolgemut e alcanzaobra publicada posteriormente. ra un nivel de calidade artística que exTraballou para Maximiliano I desde aproxicedía ao do seu famoso mestre. Wolgemadamente 1512. Partiu para Antewerp o 15 mut aconsellouno viaxar e así ampliar a de Xulio de 1520 coa súa muller e a súa súa experiencia doutros artistas. criada a visitar o emperador Carlos V. Durero segue o seu consello e viaxa Unha das razóns polas que quería viaxar por varias cidades europeas, entre elas a Holanda era que pensaba que a fillas de algunhas de Italia. Antes de partir a Maximiliano, xa falecido, tiña un libro de Italia casouse con Agnes Frey, a filla do Jacopo de Barbari sobre a aplicación das erudito Hans Frey. matemáticas á arte. Durero tornou a Nuremberg en Tras tornar a Nuremberg, a saúde de 1495 e aínda que non se encontrara cos Durero empeorou. Non diminuíu o seu trabaprincipais matemáticos italianos nas súllo tanto nas matemáticas como na pintura, as viaxes, atopouse con Jacopo de Barpero a maior parte do seu esforzo emprebari que lle falou gouna na súa obra Tratado sobre a proda obra matemáporción. Aínda que foi completada no 1523, tica de Pacioli e da súa imporDurero comprendeu que requiría coñecementos matetancia para a teoría da beleza e máticos que estaban bastante máis alá do que calquera da arte. lector podería esperar ter. Tampouco se atopou con Leonardo da Vinci mentres estivo en Italia pero aprendeu a importancia que este artista lle daba as matemáticas. De volta a Nuremberg, Durero comezou un serio estudio das matemáticas. Tratado sobre a proporción Desde aproximadamente o ano 1500 Durero mostrou a influencia da teoría matemática da proporción que continuou estudiando e empregando moito tempo. Afírmase que no seu autorretrato con perruca feiHOME PINTANDO LAUD Tetractis 12

Outubro, 2007

ALBERTO DURERO E AS MATEMÁTICAS

representa un misterioso anxo desolado. Segundo unha das interpretacións máis famosas, é un autorretrato, que está esperando a que lle veña a inspiración. Está rodeado de obxectos matemáticos: un poliedro, unha esfera, un compás e un cadrado máxico na parede.

O tratado Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit foi o primeiro libro de matemáti-

cas publicado en alemán, e sitúa a Durero como un dos máis importantes matemáticos do Renacemento. O primeiro dos catro libros describe a construcción dun gran número de curvas:

Espiral de Arquímedes, Espiral equiangular ou Logarítmica, Concoide, Curvas de Concha (muschellini) de Durero, Epicicloide, Epitrocoide, Hipocicloide, Hipotrocoide...

ESTUDIO DA MUSCHELLINI

No segundo libro dou métodos exactos e aproximados para construír polígonos regulares. O terceiro libro considera as pirámides, cilindros e outros corpos sólidos. A segunda parte estudia os reloxos de sol e outros instrumentos astronómicos. O último libro estudia os 5 sólidos platónicos e os sólidos semirregulares de Arquímedes. Tamén aparece a teoría sobre sombras e unha introducción á teoría da perspectiva. A última obra mestra de Durero foi o seu Tratado sobre a proporción (Vier Bücher von menschlicher Proportion) que estaba na fase de probas na data da súa morte; onde comeza a estudiar a xeometría descritiva. O logro destacable de Durero estivo en que aplicando as matemáticas a arte, desenvolveu ideas fundamentais e importantes dentro das matemáticas mesmas. Alberto Durero foi o que descubriu a espiral, baseada na sección áurea que, a súa vez, ten o seu principio na serie de Fibonacci:

MELANCOLÍA I

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Neste cadrado, Durero usa, sen repeticións, tódolos números do 1 ó 16. As sumas verticais, horizontais e diagonais suman sempre ó mesmo número (34). Ademais hai outras combinacións de catro números que tamén suman 34; por exemplo, os catro números no centro e os catro dos vértices do cadrado. Nos dous cadros centrais da fila inferior podemos ler a data da obra: 1514. Para saber máis: http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ articulo_4333_biografia_alberto_durero.htm

ESPIRAL ÁUREA OU DE DURERO

Laura Mella Balado Lucía Santos Dubra 1º Bach. C (Curso 2006-07)

O famoso gravado Melancolía I do artista alemán, Tetractis 12

Outubro, 2007

Canguro matemático

Olimpiada matemática

CAIXÓN

NOVAS

DOS PROBLEMAS

O XOGO DAS PEDRAS

Todos os números de

Trátase dun xogo para dous xogadores, Ana e Pedro.Para xogar só se precisan unhas cantas pedras. As regras son moi sinxelas: Cada xogador, na súa quenda, pode coller 1 ou 2 pedras. Gaña o xogador que retira a última pedra que, evidentemente, pode ir acompañada. Pídese: 1. Se hai 5 pedras, encontra un modo de xogar de Ana de maneira que, se ela é a primeira xogadora en sacar pedras, estea segura de gañar. 2. Se hai 20 pedras, encontra un modo de xogar de Ana de maneira que, se ela é a primeira xogadora en sacar pedras, estea segura de gañar. 3. Que pasa se no montón, ao comezar a xogar, hai 21 pedras? E se hai 22? E se, en xeral, hai un número calquera? 4. Que pasa se no montón hai 20 pedras pero, en vez de coller só 1 ou 2, pódense coller 1, 2 ou 3?

na páxina web do IES Monelos: http://centros.edu.xunta.es/iesmonelos/ tetractis.html

RECTÁNGULOS Dispoñemos dunha cuadrícula na que temos debuxado un cadrado de 8 x 8 (é dicir, de 8 unidades de lado). Na mesma cuadrícula recortamos, aparte, catro rectángulos de 3 x 5. a) Razoa debuxando como poderías cubrir parte do cadrado de 8 x 8 cos 4 rectángulos, sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos. b) Busca tódalas parellas de números naturais (a , b) que cumpran que a + b = 8 (como por exemplo (3 , 5)) e, en cada caso, explica como podes colocar os catro rectángulos de lados a e b sobre o cadrado de 8 x 8 sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos. c) Pensando na zona que queda por cubrir en cada caso, podes atopar algunha característica que cumpra a suma das áreas dos catro rectángulos respecto á área total do cadrado de 8 x 8? d) Cres que se cumpriría a mesma propiedade no caso dun cadrado de 9 x 9 e os catro rectángulos de lados que sumen 9? e) Sen debuxalos, explica con cantas parellas diferentes de números naturais (a , b) que sumen 99 poderías colocar os catro rectángulos sobre un cadrado de 99 x 99, sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos. f) Pon un exemplo no que se vexa que non sempre é posible colocar catro rectángulos iguais sobre un cadrado (sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos), aínda que a suma das áreas dos catro rectángulos sexa menor ca área do cadrado.

CONCURSO DE NARRACCIÓNS ESCOLARES CONCURSO DE RELATOS CURTOS A Real Sociedade Matemática Española e ANAYA convocan dous concursos: ♦ NARRACIÓNS ESCOLARES que consiste na presentación dun relato de ficción baseado nun resultado matemático, unha personaxe relacionada con esta ciencia ou unha situación onde afloran as matemáticas. Poderán participan xoves entre 12-18 anos. ♦ RELATOS CURTOS, de tema libre, relacionado coas matemáticas. Poderán participar persoas sen distinción de idade. O prazo de entrega dos traballos remata o 31 de decembro de 2007. Podes atopar máis información sobre as características, formatos, extensión... na páxina web:

www.divulgamat.net

Estalmat, xuño 2007

Tetractis 12

Outubro, 2007

Ano II. Boletín nº 13

Depósito legal: C 2766-2006

CAIXA (PRISMA) HEXAGONAL MATERIAL: 2 follas rectangulares • A folla é necesario dividila en sete partes; recomendo dividila en oito partes e cortar unha. • Para a tapa seguimos os mesmos pasos pero coa base ½ cm máis longa e con menos altura. DIAGRAMAS:

A base do prisma é un hexágono regular, que está formado por seis triángulos equiláteros, os ángulos do triángulo equilátero son de 60º . No triángulo ABC do paso 2, o ángulo B = 60º, pois o cos B = 1/2, xa que a hipotenusa é dobre que o cateto.

Alicia Pedreira Mengotti

Novembro, 2007

ROB GONSALVES REALISMO MÁXICO Pintor canadense nacido en Toronto en 1959, e que recorda a Dalí ou M.C. Escher. Podes ver a súa obra en www.sapergalleries.com/Gonsalves.html

TRIÁNGULO DE PASCAL OU TARTAGLIA

desenvolvida de (a + b)n están dados pola liña número n+1 do triángulo de Pascal (que empeza por 1 e n) ”. O único que se descoñece son os coeficientes akbn − k.

triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico cuxas sete primeiras liñas están representadas na figura:

Por exemplo: Para (a+b) 4

1 1 1

1 1

1 2 6

1 10 10 5 1 15 20 15 6 1

BLAISE PASCAL

Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en facer o producto de (a+b) e (a + b)³. Como se pode comprobar na fórmula as potencias de a decrecen e as de b crecen. Se consideramos só os coeficientes, inscritos en sendas caixas, obteremos a suma:

O Triángulo de Pascal debe o seu nome ao filósofo e matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) quen estableceu as leis da teoría da probabilidade, campo no que apareceu por primeira vez o "Triángulo de Pascal", e obtivo resultados moi importantes en xeometría, cálculo e álxebra. O de Tartaglia (15001557) ven porque este italiano foi un dos TARTAGLIA primeiros que o publicaron en Europa. Mais, a súa orixe é moi anterior: algunhas das súas propiedades xa foron estudiadas polo matemático chino Yang Hui (século XIII), así como o persa Omar Khayyam (século XII).

A suma consiste en engadir ao coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (ó 1 co 3, ó 3 co segundo 3, etc.). Isto é o que pasa no triángulo de Pascal: a simulación da multiplicación de (a+b)n, dunha liña á seguinte.

CONSTRUCCIÓN

ALGUNHAS

A súa estructura é xea b rada por dous números. O triángulo constrúese a a+b b dende a cúspide cara abaia 2a+b 2b+a b xo. O primeiro elemento é a 3a+b 3a+3b 3b+a b o número 1, formando a fila 0. A fila 1 está forma- a 4a+b 6a+4b 4a+6b a+4b b do por dous elementos, ambos o número 1. A partir de aquí a construcción é: cada fila está formada por un elemento máis que a anterior. O primeiro e o ultimo elemento de cada unha sempre será o numero 1, e cada elemento interior será o numero resultado de sumar os dous elementos que se sitúan enriba del e adxacentes na fila superior. O triángulo ten un vínculo co álxebra elemental, as cifras 1 2 1 e 1 3 3 1 recordan as identidades:

A. Números poligonais ♦ ♦ ♦ ♦

(a + b)² = a²+ 2ab + b² (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³ Pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio a + b. TRIÁNGULO

PASCAL

BINOMIO

Mirando as diagonais observamos: As primeiras pola dereita e pola esquerda están formadas por 1. As segundas son sucesións de números enteiros naturais. As terceiras diagonais están formadas polos números triangulares. Os números cadrados obtémolos tamén na terceira diagonal, sumando dous números triangulares consecutivos.

NÚMEROS TRIANGULARES

NEWTON

NÚMEROS CADRADOS

Polo método de recorrencia podemos construír todos os números poligonais.

(a + b)n chámase binomio de Newton e garda unha relación co triángulo de Pascal: “os coeficientes da fórmula Tetractis 13

PROPIEDADES

Novembro, 2007

20 = 1 21 = 1+1 = 2 22 = 1+2+1 = 4 23 = 1+3+3+1 = 8 24 = 1+4+6+4+1 = 16

Os Pitagóricos descubriron os números poligonais, que son números enteiros cos que se poden formar figuras xeométricas.

D. Potencias de 11 Se interpretamos cada fila como un único número, se a fila está formada por números dun so díxito, bastaría con unilos). No caso da fila 2 teremos: 1-2-1 ............................ 121 = 112 Cando os números da fila constan de más dun díxito, repartense para formar o número final como se observa no exemplo seguinte para a fila 5: 1-5-10-10-5-1 ........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1= = 1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 115 E. O pao de “hóckey”

• • • •

Calquera diagonal que comece nun extremo do triángulo, da igual a lonxitude, cumpre que a suma dos número que a forman se atopen xusto debaixo do último deles:

Así construíron: Os números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...) son enteiros do tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n Os números cadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...) son enteiros do tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) Os números pentagonais (1, 5, 12, 22, ...) son enteiros do tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2) Os números hexagonais (1, 6, 15, 28, ...) son enteiros do tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3) E así sucesivamente. En xeral, os números poligonais son enteiros do tipo

A serie de Fibonacci pode ser atopada tamén no triángulo de Pascal. Dividindo o mesmo segundo as liñas que mostramos no diagrama, os números atopados entre elas suman cada uno dos elementos desta sucesión:

Para b=1 teremos números triangulares, para b=2 cadrados, para b=3 pentagonais...

G. Números combinatorios Como última propiedade mencionar que os números do Triángulo de Pascal coinciden cos números combinatorios, que veremos, máis adiante, noutro número de TETRACTIS.

B. Números primos Se o primeiro elemento dunha fila é un número primo (menos o 1), todos os números desa fila serán divisibles por el. Así, na fila do 7 os números: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 son múltiplos de 7.

BIBLIOGRAFÍA

C. Suma de elementos dunha fila

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo_pascal/triangulo.html http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/trianguloPascal/triangulo.htm http://gaussianos.com/el-triangulo-de-pascal-y-la-sucesion-de-fibonacci

A suma dos elementos de calquera fila é o resultado de elevar 2 ó número que define a esa fila: 2n Tetractis 13

Sucesión de Fibonacci

Sabela Rodríguez Castaño, 1º Bach. B Laura Seoane Santiso, 1º Bach. B

Novembro, 2007

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

Olimpiada matemática

o número de Beckham

número 23 é un número que, ultimamente, está a aparecer a miúdo e que o xogador David Beckham puxo de moda ao elixilo coma dorsal da súa camiseta nos equipos: Real Madrid e Los Angeles Galaxy; pero este número xa fora o da camiseta de Michael Jordan. Agora aparece na película, estreada este ano, “El número 23”, que lle dou fama de número enigmático; sobre todo, cando tamén aparece nas seguintes situacións: o ADN do ser humano ten 23 pares de cromosomas, a sangue tarda 23 segundo en circular polo corpo, o cromosoma 23 é o que determina o xénero, o biorritmo do home ten 23 días... e así unha morea de situacións nas que aparece o número 23.

ACTIVIDADES DO 50 ANIVERSARIO DA FACULTADE DE MATEMÁTICAS DE SANTIAGO

o gallo da celebración do 50 aniversario da creación da Licenciatura de Matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela, durante o curso académico 2007/08, estase a elaborar un programa de actos para destacar e difundir a importancia da matemática nos ámbitos social, científico e tecnolóxico, familiarizando a un público amplo con ferramentas e métodos matemáticos propios de diferentes áreas de coñecemento, necesarios para entender o mundo no que vivimos, dunha forma orixinal e pouco habitual, e esperamos que amena e interesante.

Sen embargo, fora destas casualidades, para nos vai a ser o primeiro número primo de dúas

cifras que está formado por cifras consecutivas. Pero, serás capaz de responder a estas cuestións: a.

Cantos números primos de dúas cifras consecutivas hai?

b. E se consideramos as cifras en orde descendente, cantos haberá agora? c.

Como parte deste programa a actividade Matetodo Todomate consistirá nun conxunto de obradoiros, conferencias, proxección de películas e representacións teatrais. En resumo, actividades educativas, lúdicas, didácticas e de formación dirixidas a un amplo abano de público.

Poderán existir números primos de tres cifras consecutivas? (Unha pista: canto suman tres números consecutivos?)

d. Cantos números primos de catro cifras consecutivas hai? (¡É fácil de atopar!) e.

Investiga para un número de cifras igual a cinco, seis... Gonzalo Temperán

Tetractis 13

Podes ver e baixar o programa de actividades deMatetodo Todomate na páxina web da Facultade de Matemáticas:

www.usc.es/mate/

Novembro, 2007

Ano II. Boletín nº 14

Depósito legal: C 2766-2006

MAT-MONÓLOGO: Dise do xénero dramático no que unha persoa reflexiona en voz alta facendo ver os seus pensamentos e emocións ao público, pero cunha temática relacionada coas matemáticas.

I CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS

Departamento de Matemáticas do IES Monelos e o boletín de divulgación matemática TETRACTIS convocan o I Certame de Mat-monólogos no que poderán participar todas aquelas persoas que o desexen , sen límite de idade. Os participantes presentarán un guión cunha extensión máxima de mil palabras en lingua galega ou castelá. O tema deberá estar relacionado coas matemáticas. Deberán presentarse en formato DINA4, por unha cara, a dobre espazo, con corpo de letra de 12 puntos e encabezados polo título. Estabelécense tres categorías nas que o xurado designará un/unha gañador/a por categoría: ♦ Alumnado de primaria o primeiro ciclo de secundaria. ♦ Alumnado de segundo ciclo de secundaria e bacharelato. ♦ Persoas que non pertenzan ao sistema educativo de secundaria ou bacharelato. Haberá unha mención especial para o alumnado do IES Monelos. O prazo de entrega dos relatos comeza o 14 de decembro e remata o 28 de marzo de 2008, ambos inclusive. A temática pode versar sobre un matemático histórico, sobre o profesor que che inspirou ou non, cando oíches a palabra logaritmo, sobre a regra de Ruffini, cando saen decimais nunha división ou calquera outra experiencia que tiveras relacionada coas matemáticas.

Ernesto, el aprendiz de mago

Autor: José Muñoz Santonja Editorial: Nivola

Decembro, 2007

entro do programa “Matemáticas e narrativa “, que o departamento de Matemáticas tenta desenvolver este curso, vamos a ofrecer aos nosos alumnos un espectáculo de “MATEMAXIA” que presentan dous alumnos do centro, Karla e Luciano. Este espectáculo, que fixo o seu debut na pasada Feira Matemática ofrece actividades nas que as matemáticas son a base principal e serven para estimular a lectura do libro “Ernesto, el aprendiz de mago”. O espectáculo ofrece actividades onde a álxebra, a construcción de dados, as propiedades dos calendarios, propiedades de números, as potencias de 2... xogan un papel importante.

MATEMÁTICAS ELECTORALES A democracia é un sistema de organización estatal polo cal a soberanía da nación entrégaselle ó pobo, que elixe ós seus representantes por sufraxio universal cada certo tempo. O que elixen os cidadáns é o número de representantes de cada partido participan na toma de decisións polas cales o país vaise dirixir dende ese momento. Pois ben, para repartir os escanos dun parlamento segundo o número de votos dun partido determinado, creáronse diversos métodos ou regras matemáticas, todas elas imperfectas e con unha serie de vantaxes e inconvenientes.

n dos sistemas electorais máis utilizados en Europa e parte de América é o Método D’Hondt. Entre os seus inconvenientes está que beneficia aos grandes partidos e adoita rematar coa instauración dun sistema bipartidista, que prexudica os partidos minoritarios. Este é o sistema utilizado no noso país, así é que os grandes partidos son dous, primeiro o PSOE e segundo o PP, seguidos doutros partidos con moitos menos escanos no Congreso dos Deputados, na Xunta, etc. Pero aínda que esto pareza unha desvantaxe, tamén é unha vantaxe, xa que fomenta a creación de gobernos estables. Outros sistemas electorais moi utilizados son o método Sainte-Laguë, ou método de Hamilton, dos que tamén falarei a continuación.

Este non é un sistema de reparto de votos, senón de reparto de escanos na cámara de representación territorial, no que os votos son os habitantes da rexión en cuestión. MÉTODO D’HONDT Creouno o matemático belga Victor D’Hondt, para repartir os escanos dun parlamento, aínda que tamén pode ser utilizado para facer reparticións proporcionais. Este é un método bastante imperfecto aínda que é o mais utilizado, por exemplo, no noso país, en Portugal, en Finlandia ou no Parlamento Europeo. Neste método as candidaturas que non acadaran un 3% dos votos emitidos non entran no reparto de escanos. Vémolo nas últimas eleccións municipais ao Concello da Coruña, e polo cal daranos os resultados que xa sabemos, 11 edís do PSOE, 10 do PP e 6 do BNG.

O número de votantes nestas eleccións foi de 118647, pero non representarei a totalidade, xa que outros partidos votados coma o PG ou Esquerda Unida non obtiveron ningún edil. Contados xa todos os votos a cada partido, divídese cada un dos resultados entre o número de fila, por exemplo, na liña 2 o resultado total do PSOE dividirase entre 2, e na liña 3, resultado total entre 3, e así tantas veces coma se precise:

MÉTODO DE HAMILTON Creado por Alexander Hamilton, axudante de George Washington. Este método intenta repartir o número de representantes o máis axustado posible, para isto, asígnaselle a cada Estado a parte enteira da súa cota de votos (de 34,57 asígnaselle 34 representantes) seguindo unha formula que divide os habitantes dun estado ou rexión entre o número total de habitantes do país e o resultado multiplícase polo número de representantes da cámara. Ao calcular a cota de todas as rexións e facer as reparticións quedarán algúns escanos libres, que corresponden cos decimais ata agora excluídos, estes escanos repartiranse en orde de maior a menor aos que teñen a parte decimal máis grande.

Tetractis 14

41285

37085

24355

20642

18542

12177

13761

12361

8118

10321

9271

6088

8257

7417

4871

6880

6180

4059

5897

5297

3479

5160

4635

3044

4587

4120

2706

4128

3708

2435

3753

3371

2214

3440

2852

2029

Decembro, 2007

Nas eleccións municipais deste ano o PSOE obtivo 41285 votos, o PP 37085 e o BNG 24355; foron os tres únicos partidos que conseguiron edís no Concello. Ao ter feita a táboa asígnaselle un edil a cantidade de votos mais grande en cada recadro, facendo unha lectura de esquerda a dereita, e rematando cando a cantidade de recadros contados chegue ó número de representantes da cámara. O número total de edís no Concello de A Coruña é 27, Polo cal teríamos que contar ata 27 recadros na táboa anterior, así o PSdeG, conseguiu unha representación no Concello de 11 edís, o Partido Popular de Galicia, 10 edís e o Bloque Nacionalista Galego, 6 edís (os que aparecen subliñados).

XEOMETRÍA DE PAPEL UNHA ESTRELA PARA O NADAL

ESTRELA MODULAR Material: 16 cadrados. Diagramas:

16 PUNTAS

MÉTODO SAINTE-LAGUË O método Sainte-Laguë, tamén chamado, método da media máis alta, ou método de Webster. Leva o nome do matemático francés André Sainte-Lagüe, e, ao igual co Método D’Hondt, forma parte dos métodos chamados “Métodos do Divisor”. Imos a aplicar o Método Sainte-Lagüe a un exemplo irreal dunha votación. Habendo tres partidos: A, B e C, cada un deles obtiveron 30.000, 25.000 e 15.000 respectivamente, e temos que repartir os escanos dun parlamento con 5 deputados. Pois, igual que no método D’Hondt facemos unha táboa, coa diferenza de que agora os divisores son números impares, e se ten en conta o número de escano seguindo á formula seguinte a esta táboa. Nº

ESCANO

PARTIDO A

VOTOS

30000

25000

15000

Escano 1

30000

25000

15000

Escano 2

10000

8333

5000

Escano 3

6000

5000

3000

Escano 4

4285

3571

2142

Escano 5

3333

2777

1666

Nº

DE DE

PARTIDO B PARTIDO C

Segundo este resultados, habería un empate entre os partidos A e B, os cales recibirían 2 escanos cada un, e 1 escano o partido C. Para saber máis:

•

Matemáticas y sistemas electorales, Eugenio Hernández, UAM. www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/05UCM/Sistemas% 20electorales.doc

• •

“Matemáticas de la vida misma” de Fernando Corbalán http://es.wikipedia.org/ Zayen Fernández Vázquez 1º Bach. B

Tetractis 14

Instruccións: 1. Dobrar á metade e abrir. 2. Levar os catro vértices ao longo da liña do centro, temos así un cadrado de área a metade do primitivo. 3. Levar dous lados contiguos sobre a diagonal común (bisectrices). 4. Dobrar cara atrás a diagonal menor do cuadrilátero. 5. Dobrar o triángulo isósceles pola altura sinalada. 6. O módulo está rematado. Facer 15 módulos máis. 7. Montar introducindo as puntas nos petos laterais do módulo veciño. Repetir para os módulos restantes. 8. A estrela de 16 puntas xa está rematada.

Alicia Pedreira Mengotti

Decembro, 2007

Canguro matemático

Olimpiada matemática

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

CANGURO M ATEMÁTICO

O debuxo mostra un cubo con arestas de lonxitude 12 cm. Unha formiga vai recorrendo a superficie do cubo desde A ata B seguindo o camiño que se indica coa liña grosa. Cantos centímetros recorre a formiga? A) 40 cm B) 48 cm C) 50 cm D) 60 cm E) É imposible calculalo

O diagrama mostra o plano dunha habitación. As paredes adxacentes son perpendiculares entre si. As letras a e b representan as dimensións, en lonxitude, da habitación. Cal é a área da habitación? A ) 2ab + a (b − a ) B) 3a(a + b) − a 2

Considera unha diana de dardos como se mostra na figura. A puntuación é inversamente proporcional á area de cada rexión. Se un impacto na rexión B supón obter 10 puntos, entón un impacto na rexión C supón obter...

No gráfico, as cinco circunferencias teñen o mesmo radio e tócanse como se ve nel. O cadrado ten os seus vértices nos centros das catro circunferencias exteriores. A razón entre a parte sombreada e a parte non sombreada das cinco circunferencias é...

A) 5 puntos B) 8 puntos C) 16 puntos D) 20 puntos E) 24 puntos

INSTRUMENTO O

C) 3a 2b D ) 3a(b − a) + a 2 E) 3ab

A) 1:3

B) 1:4

C) 2:5

D) 2:3

E) 5:4

ANTIGO DE CÁLCULO

MONO CALCULADOR

Esta monada (que resulta ser a tapadeira dunha caixa metálica) calcula no rectángulo que ten nas mans o produto de dous números indicados cos pés. Ademais, calcula o cadrado dun número que marca co pé dereito.

ARTE

MATEMÁTICO:

ANATOLY FOMENKO

Anatoly Fomenko é profesor de topoloxía da Universidade de Moscova e autor de debuxos con certo contido matemático. A súa obra pódese ver na páxina web: www.anatoly-fomenko.com.

A topoloxía é unha especialidade matemática que se interesa por conceptos coma proximidade, número de buratos, textura que presenta un obxecto, compara e clasifica obxectos e outros atributos.

No cadro central aparece un prisma onde nas súas caras están representados dos números moi importantes na matemática. Escrebe eses dous números. De que números se trata?

Tetractis 14

Decembro, 2007

Ano II. Boletín nº 15

Depósito legal: C 2766-2006

Xaneiro, 2008

XEOMETRÍA DE PAPEL ESTRELA MODULAR DE 5 PUNTAS Material: 5 cadrados de diferentes cores. Diagramas e montaxe:

COMEZA O OPEN MATEMÁTICO

Problemas da 1ª XORNADA na páxina 4

ogo dos fantásticos resultados acadados polos nosos alumnos na pasada edición, o luns, día 14 de xaneiro comezaba a XX edición do Concurso aberto de resolutores de problemas (Open Matemático) que está organizado polo Colectivo Fronteira con sede en Requena (Valencia) e que se prolongará ata o día 6 de marzo cunha concentración que servirá para celebrar a 7ª xornada. O calenX.

Datas

Nº pr.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

14-28 xaneiro 28 xan—1 feb 1-11 febreiro 11-18 febreiro 18-25 febreiro 25 feb—3 mar 6 marzo (concentración)

4 2 3 2 3 2 4

Marcamos a diagonal, e as bisectrices de dous lados paralelos ca diagonal. Temos así un paralelogramo (pasos 1,2). 2. Marcamos a diagonal menor do paralelogramo cara atrás (pasos 3 e 4), seguimos os pasos 5,6. 3. Démoslle a volta (paso7) 4. Facemos cinco módulos iguais. 5. Para a montaxe introducimos a punta lisa no peto (paso 7), e logo pechámola. Xa está rematada. A estrela de cinco puntas corresponde ao Pentagrama místico pitagórico, Pentalfa, obtida ao trazar as diagonais dun pentágono regular ou prolongando os seus lados, é emblema da saúde e símbolo de identificación dos pitagóricos como membros dunha comunidade. O Pentagrama místico foi un dos tópicos xeométricos máis importantes da Escola Pitagórica polas súas fermosas propiedades xeométricas das que nace o seu simbolismo místico. Esta figura xeométrica puido estar na base do máis importante achado científico dos pitagóricos o descubrimento das magnitudes inconmensurables, unha das causas da profunda crise que arruinou á confraría pitagórica. Alicia Pedreira Mengoti

UN GRÁFICO DESAFORTUNADO

gráfico adxunto apareceu en La Voz de Galicia o pasado 12 de xaneiro de 2008 para ilustrar o incremento do número de casos atendidos nos hospitais galegos debido á gripe. A verdade é que o é moi desafortunado xa que a primeira vista o gráfico da unha idea de que hai un aumento moi grande; pero se nos fixamos nel observamos que o gráfico está mal construído pois non se poden unir, mediante liñas, modalidades que en principio non teñen ningunha relación. Nun carácter estatístico cualitativo (atributo) como é este, no que as modalidades son as cidades onde se mide a frecuencia con que se acode aos seus hospitais, o gráfico máis axeitado sería un diagrama de barras ou un diagrama de sectores.

700

2007

600

2008

500

400

300

200

10 0

Vigo

A Coruña

Sant iago

Ourense

Pontevedra

Lugo

Ferrol

700

Ademais, que orde se elixe nas cidades?. Os gráficos que aparecen á marxe representan a mesma distribución estatística pero cunha ordenación das cidades diferente. Se así fora poderíase, segundo o interese, cambiar a idea que poden dar os datos de asistencia aos hospitais.

600

As persoas que teñen unha formación básica en estatística saben que un grande número de gráficos ou noticias sobre estatísticas que se dan na prensa son incompletos,erróneos e/ou malintencionados (ver o traballo sobre “Noticias de prensa e accidentes de de tráfico”, publicado no boletín Hipatia nº 6 do IES Fernando Wirtz).

500

400

300 2007 2008 200

10 0

700 2007

Penso que un gráfico axeitado para ilustrar a noticia de La Voz de Galicia sería o seguinte, onde aparece un certo crecemento do número de casos atendidos no 2008, pero máis próximo ao 11% que da o titular do artigo. gtb

2008 600 700

500 600

400 500

300 400

200 300

100

200

100

A Coruña

Tetractis 15

Santiago

Ferrol

Lugo

Ourense

Pontevedra

Vigo

Xaneiro, 2008

Matemáticos Galegos Lalín 1770 - Compostela 1824

Científico e enciclopedista que se dedicou a Matemáticas, Astronomía, Física, Mineraloxía, Botánica e Teoloxía. Na súa obra

JOSÉ RODRÍGUEZ GONZÁLEZ Matemático de Bermés

VICENTE VÁZQUEZ QUEIPO

Observations on the measurement of the degree of the Meridian fala das

medidas do arco do meridiano que pasa por París.

Portas 1788 - Cuntis 1866

Ilustrado galego, autor do primeiro mapa topográfico e científico de Galicia. Na Universidade de Santiago estudou Filosofía, Leis e Cánones, Ciencias Exactas e Teoloxía. Realizou traballos de medición para realiDOMINGO FONTÁN zar a Carta Xeométrica de RODRÍGUEZ Galicia.

Samos, 1804 - Madrid, 1893

Coruña, 1818 – ?

Estudou Dereito, Matemáticas e Ciencias experimentais. Descubríu a identidade entre as medidas cúbicas gregas e hebreas. Publicou as Tablas de loga-

Académico da Real Academia de Ciencias de Madrid e catedrático matemático do Instituto de Santiago. Demostrou o teorema de composición de forzas da mesma orixe. Fixo tamén unha demostración e unha corrección do teorema de Herón.

ritmos de los números enteros dispuestas a doble entrada por un nuevo método.

MANUEL ULLA IBARZÁBAL

Verín, 1827- †...

MODESTO DOMÍNGUEZ HERVELLA

RAMÓN Mª ALLER ULLOA Lalín 1876 - 1966

EDUARDO GARCÍA-RODEJA FERNÁNDEZ

Geometría

Analítica

converteuse en académico da Real Academia de Ciencias. Autor dun tratado de álxebra.

Sacerdote, matemático e astrónomo. Estudou Teoloxía e Ciencias exactas. Catedrático da Universidade de Santiago de Compostela. Realizou varios estudos e observacións astronómicas. Escribiu Algoritmia. Explicou xeometría analítica e análise matemático. Tiña un observatorio en Lalín que trasladou a

SATURNINO DÍAZ

MONTOJO

Claustro de Profesores do Instituto de Santiago

TEODORO VARELA DE LA IGLESIA

1844, Logroño - ?

Foi catedrático de Instituto en Pontevedra e Santiago, onde tivo como compañeiro a Ulla Irbazábal. A súa aportación matemática consistiu en tres demostracións distintas do teorema de Herón, as cales apareceron nunha edición do libro Elementos de Matemáticas de Lasala. Estudou arquitectura e Ciencias exactas. Profesor e catedrático da escola de Artes e Oficios artísticos da Coruña. Publicou varios traballos en revistas españolas como un estudo sobre a trisección do ángulo e outro sobre a construcción da media proporcional de dous segmentos. Ingresou na Real Academia Galega en

Publicou numerosos traballos: Notas sobre Xeometría

Estudou na Escola Naval, ingresou no Corpo de Enxeñeiros da armada. Socio fundador da Sociedade Xeográfica de Madrid. Coa publicación de Elementos

1796, Ferrol – 1856

Catedrático de física e alférez de fragata. Foi destinado polo goberno na comisión central da Carta Xeográfica de España, e director do Observatorio Astronómico de Cádiz. Rectificou as posicións de moitas estrelas, e publicou un artigo sobre coordenadas xeográficas.

do triángulo, Tablas balísticas para o tiro directo, Sobre a potencia do triángulo, Sobre un problema de Física, Sobre unha curva trascendente...Presentou traba-

JUAN JACOBO llos en conferencias e conDURÁN LORIGA gresos. Estivo no exército. A Coruña, 1854 - 1911

Membro da Real Academia das Ciencias.

DAVID FDEZ. DIÉGUEZ Coruña, 1875- † 1936

Fillo de inmigrantes, naceu en Córdoba (Arxentina) e retornou a Galicia. Estudou Ciencias exactas e gañou a cátedra de Xeometría analítica. Foi membro da academia de Ciencias. Publicou

GERMÁN ANCOECHEA QUEVEDO Arxentina, 1908- 1981

Curvas algébricas sobre cuerpos cerrados de característica cualquiera. Fixo dúas demostracións do Teorema dos ceros de Hilbert.

Oviedo, 1922- Santiago, 2005

A Coruña, 1927

Estudou Ciencias exactas na Complutense de Madrid. Fixo unha tese de doutoramento sobre resolución algébrica de ecuacións numéricas. Catedrático de instituto en Lugo e da Universidade de Santiago. O seu principal labor esta no campo da álxebra e xeometría clásica.

Estudiou Matemáticas en Madrid. En 1953 foi a primeira bolseira Fulbright española en Matemáticas, e en 1957 doutorouse en Yale. Traballou con Germán Ancochea ata 1960. Foi profesora na Universidade de Toronto e logo en Indiana (USA) ata 1983. Actualmente reside na Coruña. É considerada coma a nai da teoría das álxebras de Kac-Moody.

Foto de Quique Pujales

MARÍA WONENBURG I Premio “Mulleres Ciencia-Arte” da Universidade da Coruña (Marzo-

Para saber máis: 13 matemáticos galegos. Ricardo Moreno Castillo. Agapema. Anaya

ENRIQUE VIDAL ABASCAL Oviedo, 1908 - Santiago, 1994

MANUEL DE LEÓN R. de Sanabria, 1953

Matemático e pintor, promotor da Real Academia das Ciencias de Galicia e director do Seminario de Estudos Matemáticos de Santiago. Contribuíu en diferentes campos da matemática que se centran principalmente en: Astronomía (órbitas de estrelas dobres), Xeometría Diferencial e Integral ...

Matemático galego que se formou na Universidade de Santiago. Investigador no Instituto de Matemáticas e Física Fundamental e membro do CSIF (Consello Superior de Investigacións Científicas). Presidente do Congreso Internacional de Matemáticas (ICM 2006) e primeiro vocal español da Unión Mat. Internacional.

Ana Romero Ferreiro e Ariana Varela Cancelo, 1º

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

XX OPEN MATÉMÁTICO. 1ª XORNADA DESCONCERTANTE

Olimpiada matemática

CUESTIÓN

Seis xogadores, Ana, Carlos, David, Elia e Félix, toman asento arredor dunha mesa circular dividida en seis sectores iguais. No centro da mesa hai un disco montado sobre un alfinete, arredor do cal pode xirar libremente. O disco está rotulado con frechas e cifras.

DE TOLOS

Tendo en conta que esta non é unha cuestión matemática, cales son as tres palabras que faltan na lista seguinte e por que?

DIFÍCIL

DISCO XIRATORIO

DIVISIÓN DE CINCO CÍRCULOS

Dados cinco círculos de igual radio e tanxentes tal e como mostra o gráfico, indica como trazar unha liña recta, con total precisión, que divida pola metade a superficie dos devanditos círculos.

Faise xirar o disco cinco veces. E, cada vez, os xogadores anotan o resultado da frecha que apunta ao seu sector (Se ao deterse o disco, as frechas apuntan á liña divisoria dos xogadores adxacentes, anúlase a xogada e faise xirar o disco de novo) Os xogadores levan a conta actualizada das súas puntuacións; o que totalice o maior número de puntos tras o quinto ensaio é o gañador. Se hai empate de máximas puntuacións, ninguén gaña a partida e empézase outra vez o xogo.

ENCRUCILLADO

DE NÚMEROS ROMANOS

Na figura vemos o resultado do primeiro lanzamento: Carlos toma a dianteira, con cinco puntos. Tras o segundo ensaio, David sitúase á cabeza. Efectuado o quinto lanzamento, Ana é a vencedora. Cal foi a puntuación final de cada xogador?

Horizontais I IX • V • XIII V MMVIII – CDXCIII VI CDX – XXXII • XII VII Os dous quintos de CLV Verticais I XX • XLVII II CCCXLII + XLIII + XXXV III DXXVIII / VIII IV Un terzo do número que excede nunha unidade a L

Tetractis 15

Xaneiro, 2008

Ano II. Boletín nº 16

Depósito legal: C 2766-2006

Feira Matemática

Sábado, 24 de maio de 2008 PAZO DA ÓPERA A Coruña De 11 h a 20 h

A comisión encargada pola Delegación de AGAPEMA da Coruña xa está a programar as actividades da II Feira Matemática que, este ano, ademais doutras actividades, coma o II concurso de Fotografía Matemática, contará cun concurso de actividades sobre a Torre de Hércules, para celebrar a Candidatura da Torre de Hércules a Patrimonio da Humanidade e os 800 anos da fundación da cidade da Coruña. A Feira Matemática celebra o Día Escolar das Matemáticas (12 de maio) pero que este ano trasladamos ao sábado, 24 de maio, debido a problemas de calendario. O tema á que se vai a dedicar este día é:

MATEMÁTICAS E MÚSICA

E tendo en conta que Pitágoras foi un precursor da música; nos queremos enlazar esta cuestión e poñer o noso gran de area no Aniversario da Fundación da Cidade

SANGAKU, TABOÍÑAS

Febreiro, 2008

MATEMÁTICAS

Alicia Pedreira Mengotti

urante un período no que Xapón atopouse illado do resto do mundo, unha modalidade de matemáticas floreceu nos templos e santuarios do país. Matemáticos afeccionados construíron teoremas xeométricos sobre elegantes táboas de madeira chamadas Sangaku (literalmente,算額 táboas matemáticas), que ofrecían como ofrenda aos deuses. Todas as sangaku recuperadas pertencen ao período Edo (que abarca desde principios do século XVII a mediados do XIX). É destacable que fosen elaboradas por mercadores e granxeiros que estudaron matemáticas por pura diversión. Son táboas fermosamente ilustradas que conteñen a solución a un problema de xeometría; curiosamente, non inclúen a demostración da solución. Segundo o profesor Hidetoshi Fukagawa, aparentemente as táboas deixábanse como un agasallo aos deuses, pero en realidade ensinábanse e colgábanse como un reto para que outros tentasen dar coa demostración. Unha vez rematado o illamento do país a mediados do século XIX, o Goberno estimulou o estudo da tradición matemática europea para alcanzar o nivel de desenvolvemento tecnolóxico e económico de Occidente. A tradición das sangaku desapareceu. O seu redescubrimento débese a Fukagawa, que, buscando material para avivar as súas clases, atopouse coas sangaku e decidiu estudalas en profundidade. O primeiro paso foi aprender a descifrar os carácteres de “Kanbun”, unha forma arcaica de xaponés que se empregaba nas taboíñas. Cantas máis sangaku descifraba, máis lle impresionaba. En 1989 publicou con Daniel Pedoe a monografía máis completa sobre as sangaku: Japanese Temple Geometry Problems. Este libro describe un bo número de teoremas xeométricos occidentais que foron resoltos independentemente en Xapón. Un exemplo destacable é o teorema de Descartes que estuda o caso de tres circunferencias tanxentes exteriores entre si dous a dous, e unha cuarta circunferencia, tanxente exterior ás tres primeiras. Este resultado, que se perdeu, foi redescuberto en 1937 polo premio Nobel de Química Sir Frederic Soddy, quen o estendeu ao caso

alusivo, titulado “O bico preciso”. Fukagawa e Pedoe atoparon que unha solución idéntica foi inscrita nunha sangaku colocada nun santuario da Prefectura de Kanagawa en 1822. O significado matemático da tradición sangaku segue sendo unha cuestión aberta. O seu contido non é moi profundo, dado que outros matemáticos xaponeses producían teoremas moito máis significativos naqueles tempos. Con todo, ensínannos que os cidadáns correntes xaponeses posuían coñecementos bastante elevados de matemáticas no período Edo, e abren cuestións acerca de como foron capaces de desenvolver estas habilidades en ausencia de academias tal e como as entendemos hoxe.

BICO PRECISO

Poden bicarse os beizos, dous a dous, sen moito calcular, sen trigonometría; mais ¡ai! non sucede igual na Xeometría, pois se catro círculos tanxentes queren ser e bicar cada un aos outros tres, para logralo haberán de estar os catro ou tres dentro dun, ou algún polos tres a un tempo rodeado. De estar un entre tres, o caso é evidente pois tres veces son todos bicados desde fóra. E o caso tres nun non é quimera ao ser este un por tres veces bicado internamente. Catro círculos chegaron a bicarse, canto menores tanto máis curvados, e é a súa curvatura tan só a inversa da distancia desde o centro. Aínda que este enigma a Euclides asombrase, ningunha regra empírica é necesaria: ao ser as rectas de nula curvatura e ser as curvas cóncavas tomadas negativas, A SUMA DOS CADRADOS DAS CATRO CURVATURAS É IGUALA UN MEDIO DO CADRADO DA SÚA SUMA

Espiar das esferas os enredos amorosos puidéralle ao inquisidor requirir cálculos tediosos, pois sendo as esferas máis "corridas" a máis dun par de pares unha quinta entra na movida. Emporiso, sendo signos e ceros coma antes para bicar cada unha ás outras catro O CADRADO DA SUMA DAS CINCO CURVATURAS

HA DE SER O TRIPLO DAS SUMA DOS SEUS CADRADOS.

Frederick Soddy

Tetractis 16

TEOREMA DE DESCARTES

Dados catro círculos de curvaturas Ra, Rb, Rc, y Rd, cada un tanxente a os outros tres, entón cúmprese que:

onde por definición de curvatura sendo ra, rb, rc, y rd, os radios dos círculos tanxentes. PROBLEMA DE SANGAKU

Coñecido problema que sobreviviu desde 1824 nunha táboa da prefectura de Gumma.

Os círculos alaranxado e azul tócanse nun só punto e son tanxentes a unha mesma recta. O pequeno círculo vermello toca a ambolosdous círculos e é tamén tanxente á mesma recta. Como son os radios dos círculos relacionados?

Tendo en conta que a liña tanxente ten curvatura cero entón teremos:

onde R1, R2, y R3, son las curvaturas de los tres círculos tanxentes y por definición de curvatura: Solución:

EXEMPLOS DE SANGAKUS.

XEOMETRÍA DE PAPEL: CAIXA MATERIAL:

TRIANGULAR

Alicia Pedreira Mengotti

Usa a túa caixa triangular para responder ás seguintes preguntas: 1. De que forma son os lados da caixa? 2. Qué forma ten a base da caixa?. Por que?. 3. Como é o ángulo da esquina da caixa? Por que o sabes? 4. ¿Cales consideras que son as características da caixa triangular? 5. Se o cadrado inicial ten 10 cm de lado, cal é a altura da caixa?. Canto mide o lado do triángulo equilátero da base? Cos outros tres cadrados fai unha segunda caixa triangular un pouco mais pequena ou un pouco máis grande. Esta pode facer de tapa da caixa orixinal. Así a caixa é un sólido xeométrico, ¿que nome recibe? conta caras, arestas e vértices e comproba a fórmula de Euler. Determina a área superficial e o volume da caixa usando a medida actual ou outra arbitraria. ANATOMÍA DA CAIXA: Usa este debuxo para responder ás preguntas:

6 cadrados, dous de cada cor. DIAGRAMAS:

MONTAXE: 1. O lado curto de cada peza é un peto. O lado longo é unha solapa. Inserir a solapa dunha peza no peto da outra, gardando a aleta adicional da segunda peza no interior, segundo o demostrado. 2. Meter a terceira peza sobre as dúas primeiras pondo as lingüetas restantes nos petos restantes. Introduce as dúas aletas adicionais baixo as lenguetas apropiadas para rematar a caixa triangular.

Tetractis 16

1. Estas son as marcas da unidade desdobrada. Cantos triángulos ves?, enumera cada un. 2. Qué clase de triángulos son? 3. Cantos rectángulos hai? Numéraos. 4. Qué outras formas ves?. Descríbeas e enumera algunha.

Febreiro, 2008

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

2ª XORNADA: BALANZAS

Olimpiada matemática

XX OPEN MATÉMÁTICO: 2ª-3ª XORNADAS PROBLEMA 8: TIRAS DE CARTÓN

ALXÉBRICAS

Colocamos sobre unha mesa catro tiras de cartón de 10 cm de longo por 2 cm de ancho de maneira que se solapan perpendicularmente tal e coma indica a figura. Cal é en centímetros cadrados a superficie exacta do anaco de mesa cuberto polas tiras?

PROBLEMA 5

En ambolosdous casos, cantos triángulos serán necesarios para equilibrar a balanza? A.

PROBLEMA 6

En ambolosdous casos, indica como quedará a última balanza tras colocar cada obxecto sobre o platiño que ten enriba. Xustifica se de inclinará á esquerda, a dereita ou se equilibrará.

PROBLEMA 9: MAL USO DA CALCULADORA

Unha alumna quere verificar coa súa calculadora o resultado da operación:

Cuestión C

Sabe que é 15. Pero, esquécese de teclear os parénteses e obtén 21 na pantalla. Vendo que se equivocou, decide inverter a e b e calcula:

Cuestión D 3ª XORNADA

PROBLEMA 7: NÚMERO DE PÁXINAS DUNHA REVISTA

Nunha revista, ao arrincar a folla que comprende as páxinas 21 e 22, sóltanse tamén a 83 e 84. Cantas páxinas ten a revista?

Pero, de novo, esquece os ditos parénteses e obtén 24. Cales eran os números a, b e c?

Colectivo Frontera

Tetractis 16

Febreiro, 2008

Ano II. Boletín nº 17

Depósito legal: C 2766-2006

EXPOSICIÓN: A MULLER,

Extra Febreiro, 2008

INNOVADORA NA CIENCIA IES Monelos (A Coruña) 25 de febreiro-7 de marzo Visitas en horario escolar

o gallo do ano da Ciencia (2007) desde a Comisión Mulleres e Matemáticas da RSME (Real Sociedade de Matemáticas Española) púxose en marcha, coa axuda da FECYT (Fundación Española para a Ciencia e a Tecnoloxía) a exposición “ A Muller, innovadora na Ciencia”. Na mesma preséntanse a vida e obra de 20 científicas de todos os tempos próximas ás matemáticas. Cada un dos 20 paneis incorpora unha actividade docente relacionada dalgunha maneira coa investigación realizada por estas mulleres. Este material vai acompañado de 20 marcadores de libro que recollen unha pequena reseña de cada unha delas e un problema matemático. Para máis información pódese visitar a páxina web da comisión Mulleres e Matemáticas:

www.rsme.es/comis/mujmat

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS EXPOSICIÓN

O Rostro Humano das Matemáticas nos Museos Científicos Coruñeses

A exposición estará na

Casa das Ciencias da Coruña, os meses de febreiro e marzo de 2008 A versión en galego pódese ver en:

www.divulgamat.net

Unha exposición da Real Sociedade Matemática Española no Ano da Ciencia 2007, financiada pola FECYT

POSTER NA PÁXINA 4

As Matemáticas son unha fabulosa creación do espírito humano e ao mesmo tempo unha parte imprescindible do patrimonio cultural da humanidade. Os matemáticos e as matemáticas forman parte da nosa historia, da nosa cultura e da nosa sociedade. Nesta exposición móstrase unha parte importante das personaxes que xogaron un papel destacado na Historia das Matemáticas. A devandita historia non se pode separar da Historia da Humanidade, xa que logo, os protagonistas son matemáticos e matemáticas, que á vez eran membros da súa comunidade e que formaron parte dela como persoas, no privado e no público. Porlles cara e coñecelos un pouco máis é o noso principal obxectivo. En definitiva, mostrar o rostro humano das Matemáticas.

ARTE E MATEMÁTICAS: ISTVÁN OROSZ Artista húngaro nacido en 1951, Istvan Orosz estudiou Deseño Gráfico en Budapest e durante moitos anos traballou no mundo do teatro como deseñador de escenarios e actor ocasional. Posteriormente dedicouse ao deseño de carteis, onde utiliza entre outros elementos ilusións ópticas e anamorfose. Actualmente é profesor invitado da Universidade de Artes e Deseño de Budapest e membro da Academia de Arte de Hungría. Ten un estilo que recorda a Escher e que utiliza os trucos das perspectivas e figuras imposibles. Na anamorfose, certas sorpresas escondidas nos seus debuxos só pódense ver ao seren reflectidos noutros obxectos. Máis da súa obra en

www.gallery-diabolus.com

Tetractis 17

Extra Febreiro, 2008

Canguro matemático

Olimpiada matemática

Cuestión A.

5ª XORNADA

CAIXÓN DOS PROBLEMAS 4ª XORNADA PROBLEMA - 10

12. O

PROBLEMA DO ANO

Observa ben a seguinte táboa:

Busca un número de 10 cifras todas distintas de cero que teña a propiedade de ser divisible pola suma das súas cifras. Cuestión B. E agora, busca un número de 100 cifras, todas distintas de cero, que sexa divisible polo produto das súas cifras.

PROBLEMA - 11

Cuestión C. Busca un número de 10 cifras, todas distintas de cero, coa seguinte propiedade: é posible agrupar as súas cifras, dalgunha forma, en 5 parellas de tal maneira que se multiplicamos as dúas cifras de cada parella e sumamos os 5 produtos, obtemos coma resultado un divisor do número. Cuestión D. E agora, busca un número de 100 cifras, todas distintas de cero, coa análoga propiedade: pódense agrupar as súas cifras en 50 parellas de tal maneira que se multiplicamos as dúas cifras de cada parella e sumamos os 50 produtos, obtemos coma resultado un divisor do número.

UN BLOG CORUÑÉS:

Cal é o primeiro número da Fila 1 que supera a 2008? 13. UNHA SANDÍA DESCOMUNAL Unha enorme e xugosa sandía pesou 10 kg, dos cales o 99% é auga. Ao poñela certo tempo ao sol, evaporouse algo de auga e, agora, a súa porcentaxe só supón un 98%. Canto pesa agora a sandía? 14. CHAPUZAS A DOMICILIO Vemos a Bieito de Mans á Obra S.L. en plena faena, ultimando unha cheminea. Na imaxe pódese ver nitidamente a cara que aínda falta por recebar. Cantos ladrillos fixeron falta para construíla?

(Os ladrillos son enteiro, iguais e non se poden cortar pola metade)

EL OJO MATEMÁTICO DE

baixar libros, practicar números enteiros, uso de parénteses, decimais ... ou mesmo ver as bases do I Certame de Mat-monólogos que convoca o boletín TETRACTIS (ver 7 de xaneiro).

O blog “El Ojo matemático de 1º ESO” que podedes atopar no enderezo blogs.lavozdelaescuela.es/blog/ aula0195 que dinamiza a profesora Susana Vázquez Martínez (Colexio Santa Mª do Mar) é un interesante, divertido e dinámico blog que permite ver e ter acceso a páxinas de xogos, martemáticas, chistes matemáticos, fotografía matemática, fractais, ver vídeos,

Tetractis 17

1º ESO

¡Fai unha visita!

¡Non che defraudará!

O blog está organizado por datas e por categorías.

Extra Febreiro, 2008

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS

PITÁGORAS

EUCLIDES

ARQUÍMEDES

APOLONIO

HIPATIA

AL-JWARIZMI

(ca. 585—500 a.C.)

(ca. 325—265 a.C.)

(ca. 287—212 a.C.)

(ca. 262—190 a.C.)

(¿?—415)

(século IX)

FIBONACCI

CARDANO

TARTAGLIA

DESCARTES

FERMAT

NEWTON

(ca. 1175—1250)

(1501-1576)

(1499-1557)

(1596-1650)

(1601-1665)

(1642-1727)

LEIBNIZ

MAD.DE CHÀTELET

EULER

LAGRANGE

SOPHIE GERMAIN

GAUSS

(1646-1716)

(1706-1749)

(1707-1783)

(1736-1813)

(1776-1831)

(1777-1855)

(1854-1912)

CAUCHY

ABEL

GALOIS

RIEMANN

(1789-1857)

(1802-1829)

(1811-1832)

(1826-1866)

SONIA KOVALESKAIA (1850-1891)

HILBERT

EMMY NOETHER

REY PASTOR

PUIG ADAM

LUÍS SANTALÓ

(1862-1943)

(1882-1935)

(1888-1962)

(1900-1960)

(1911-2001)

POINCARÉ

MIGUEL DE GUZMÁN (1936-2004)

Ano II. Boletín nº 18

Depósito legal: C 2766-2006

Marzo, 2008

Participa co teu centro ¡ Inscríbete xa ! Poderás participar nos concursos: • ACTIVIDADES MATEMÁTICAS SOBRE A TORRE DE

HÉRCULES E 800 ANIVERSARIO DA CIDADE.

FUNDACIÓN

• II CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA.

Consulta as bases dos concursos na páxina web da Feira Matemática 2008: www.udc.es/dep/pdce/feiramatematica.html

I CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS O prazo para a presentación de guións remata o:

Venres, 28 de marzo

¡PARTICIPA! Por que non nos contas as túas sensacións arredor das matemáticas?

DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS

MÚSICA

MATEMÁTICAS,

A HARMONÍA DOS NÚMEROS

PAZO DA ÓPERA (A CORUÑA) Sábado, 24 de maio de 2008 De 11:00 a 19:00 horas

¡Xa queda pouco!

PARTICIPANTES NA FEIRA MATEMÁTICA 2007

PRESENTACIÓN DA EXPOSICIÓN A MULLER, INNOVADORA NA CIENCIA NO IES MONELOS

XEOMETRÍA DE PAPEL POUSAVASOS PENTAGONAL: Material: 1 folla DIN A4

Instruccións: 1. Metades. 2,3,4,5. Catro vértices ao centro. 5. Desdobrar os dous superiores. 6. Pregar pola liña media. 7, 8, 9. Pregar de tal forma que a

liña marcada no trapecio saia paralela ao lado da base do pentágono. 10,11. Meter cara dentro. 12,13. Marcar os dous lados do pentágono na cara de atrás. 15,16,17,18. Desdobrar, meter cara dentro e cerrar a figura. (Se na metade superior da folla se imprime unha foto pode quedar mais bonito).

Tetractis 18

Alicia Pedreira

Marzo, 2008

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

XX OPEN MATEMÁTICO PROBLEMA 18: DOBRANDO

6ª XORNADA

Olimpiada matemática

ENIGMÁTICAS Problema 15. Cuestión A: Nun rectángulo de dimensións 2 x 1

Problema 16. Cuestión C: Dez ángulos aspados

SUMAS DE ÁNGULOS

Cuestión B: Nunha estrela de 5 puntas deformada

Ao dobrar as esquinas dunha folla rectangular, tal e como mostra a figura, obtense un rectángulo de 9 cm x 12 cm. Que dimensións tiña a folla antes de dobrarse?

PROBLEMA 19: DIFICULTADES Cuestión D: E agora, doce ángulos

AVE

As primeiras probas co noso tren de Alta Velocidade non resultan satisfactorias. Onte, unha hora despois da saída, o convoi detívose por un pequeno dano mecánico que os técnicos resolveron en media hora, aínda que o tren continuou a súa viaxe á metade da velocidade normal e chegou ao seu destino con dúas horas de atraso. Expertos consultados aseguran que se a avaría houbese ocorrido 100 km. máis adiante, a demora sería de só unha hora. Que distancia percorreu o noso tren AVE na proba de onte? PROBLEMA 20: A

7ª XORNADA: FINAL PROBLEMA 17: OUTRA

ESQUINAS

CUESTIÓN DE TOLOS

Estimado participante do Open Matemático, debido a un problema co ordenador e a certa ndecisión de última hora, tardei un pouco en preparar esta páxina. Pero, como di o refrán, non hai mal que por ben non veña, e o incidente doume a idea para o último problema.

FESTA DO VINTE

V, E, I, N, T, E, O, P, E, N, M, A, T, E, M, A, T, I, C e O, son as iniciais das vinte persoas que acudiron ao cóctel conmemorativo dos vinte anos do Open Matemático. Alí púidose observar que: a primeira, Víctor, saudou a unha soa persoa; a segunda, Elena, saudou a dúas persoas; a terceira, Inés, saudou a tres persoas; a cuarta, Noemí, saudou a catro persoas; …… …… … … …… …… …… …… … … …… …… …… …… … … …… ……

Se foses capax de descifrar o último parágrafo, levaríaste unha sorpress: saberás que problema tiven co ordenador e quen son. Como axuda teño que dicirche que a frase anterior contén dúas pistas. Rmjptsnirms `pt jsnrtñp trdirñyp- Dsñifpd- Fpto-

Tetractis 18

a décimo sétima, Teresa, saudou a dezasete persoas; a décimo oitava, Ignacio, saudou a dezaoito persoas e a décimo novena, Carlos, saudou a dezanove persoas. A cantas persoas saudou Oscar, a vixésima persoa que acudiu á festa? COLECTIVO FRONTERA

Marzo, 2008

XX OPEN MATEMÁTICO

ARTE

ematou a competición do XX Open Matemático 2008, despois de 6 xornadas e unha concentración que se celebrou no IES Monelos e na que participaron os centros IES Monelos e IES Mugardos. Á final non se presentaron moitos alumnos e alumnas, xa que coincidía co final da 2ª avaliación e ao día seguinte había moitos exames e outros alumnos estaban noutras actividades coma a neve ou unha viaxe a París. No noso centro foron 41 alumnas e alumnos os que participaron, non dunha maneira constante, e a clasificación final (sobre un total de 40 puntos) foi a seguinte: FERNÁNDEZ ROZADILLA, Atenea 2º Bach

RODRIGUEZ PENA, Elba

1º Bach

RODRIGUEZ PENA, Lara

4º ESO

LÓPEZ RODRIGUEZ, Daniel

2º Bach

CASTRO QUINTÁNS, Águeda

1º ESO

Desde logo que hai que dar un montón de felicitacións: • A todos os alumnos e alumnas participantes que estiveron desde xaneiro resolvendo problemas todas as semanas. • As primeiras clasificadas polo seu esforzo e constancia. • Á alumna de 2º ESO, Marina Combarro Eirís, que acadou un punto na clasificación de beleza na resolución de problemas nunha das xornadas. • Aos 28 alumnos e alumnas de 2º ESO que participaron no XX Open. • E desde logo á súa profesora, Dna. Mª Teresa Fraga García que conseguiu esta participación tan alta entre o seu alumnado. Parabéns a todos e todas e grazas pola vosa participación.

Concentración na biblioteca do IES Monelos

Tetractis 18

XEOMETRÍA: JOSÉ MARÍA

LABRA

José María de Labra (A Coruña, 1927 – Palma de Maiorca, 1944 ) estudia arquitectura e mercantil aínda que moi pronto xorden as primeiras tentativas artísticas cuns comezos figurativos que moi pronto trocan cara a abstracción xeométrica. José María de Labra formou parte de diversas exposicións colectivas, tanto nacionais coma internacionais, e recibiu numerosos premios coma o Premio Uruguai na III Bienal Hispanoamericana ou o Gran Premio no III Festival Internacional de Cagnes-Sur-Mer.

Ano II. Boletín nº 19

Depósito legal: C 2766-2006

AMENÁBAR PONLLE CARA A HYPATIA DE ALEXANDRÍA NA SÚA PELÍCULA: AGORA

director español Alejandro Amenábar iniciará en Malta a rodaxe da súa nova película "Agora", protagonizada pola actriz británica, Rachel Weisz. A trama sitúase no século IV. Exipto está baixo o Imperio Romano. As violentas revoltas relixiosas nas rúas de Alexandría alcanzan á súa lendaria Biblioteca. Atrapada tras os seus muros, a brillante astrónoma Hypatia (Rachel Weisz) loita por salvar a sabedoría do mundo antigo, sen percibir que o seu mozo escravo, Davo (Minghella), debátese entre o amor que lle profesa en secreto e a liberdade que podería alcanzar uníndose ao imparable ascenso dos cristiáns.

Filla do matemático, Teón de Alexandría, foi Directora da Biblioteca de Alexandría. Ensinou Matemáticas, Astronomía e Filosofía, escribiu O Canón Astronómico, comentou as grandes obras da matemática grega coma a “Aritmética” de Diofanto, “As Cónicas” de Apolonio, ou o libro III do “Almaxesto” de Tolomeo. Construíu instrumentos científicos coma o astrolabio e o hidroscopio. Morreu de maneira tráxica a mans de fanáticos relixiosos.

CANGURO MATEMÁTICO 2008

Mércores, 9 de abril de 2008 Ás 16:30 h no IES Monelos 91 alumnos e alumnas inscritos

Extra Marzo, 2008

PIERO DELLA FRANCESCA E LUCA PACIOLI Piero della Francesca foi un pintor italiano que escribiu varios tratados sobre perspectiva e xeometría; moitos dos seus traballos foron recollidos, nas súas obras, por Luca Pacioli sen mencionar a súa orixe; polo que moitos autores falan de plaxio.

iero Della Francesca foi un dos grandes pintores do Renacemento, naceu entre 1410 e 1420 en Borgo San Sepolcro. Trasladouse a Florencia, onde traballou co artista Doménico Veneziano. Con Piero apareceu un novo arte das figuras, relacionado coa perspectiva e a iluminación. Á súa vez, Piero escribiu numerosos tratados matemáticos, escritos a maioría cando o pintor, debido a súa idade tan avanzada, non podía dedicarse á pintura. As súas obras matemáticas máis importantes son: Sobre a perspectiva na pintura, Libro curto sobre os cinco sólidos regulares e Tratado sobre o ábaco. O seu libro Sobre a perspectiva contén moitas alusións aos Elementos e a Óptica de Euclides, xa que intentaba demostrar que a perspectiva da pintura dependía dunha base científica. Segundo Piero, a pintura era a demostración nun plano de corpos de tamaños crecentes ou decrecentes. Certos estudos sobre súa obra a Flaxelación, deron conta dun “punto de fuga”, no cal converxen todas as figuras, o que lle daba maior profundidade. Gran parte da obra alxébrica realizada por Piero aparece nun libro publicado por Luca Pacioli e titulado Summa de arith-

metica,

geometria,

proportioni

proporcionalita

(recompilación do coñecemento sobre aritmética, xeometría, proporción e proporcionalidade). Outra parte do traballo de Piero, sobre os sólidos regulares, tamén foi a base doutro libro de Luca Pacioli que trata da proporción áurea: Divina proportione (a proporción divina). Existen dúbidas acerca da veracidade da autoría de Pacioli deste libro, fálase incluso de plaxio. Luca Pacioli naceu en 1445 e morreu en 1517 en San Sepolcro, Italia. Alí estudou e recibiu as súas primeiras ensinanzas de Matemáticas.

Pacioli tiña un gran coñecemento do traballo de Della Francesca, o cal influíu nos seus escritos. Ao rematar os seus estudos, trasladouse a Venecia, onde traballou de titor dos fillos dunha familia rica. Foi en Venecia onde, axudado por Domenico Bragadino, escribiu o seu primeiro libro sobre aritmética.

b) Unha relación fundamental: Da proporción anterior pódese deducir que a razón áurea F cumpre a relación: N2 = N +1. c) O rectángulo áureo é aquel no cal a altura e o ancho están na proporción 1 a N. Cúmprese que: b/a = N = 1,618034...

Máis tarde, trasladouse a Roma, onde cursou os seus estudos de teoloxía, converténdose en frade franciscano. En 1477, viaxou moito por Europa, ensinando Matemáticas nas universidades.

Un rectángulo de ouro ten unha característica moi interesante: se se recorta nel un cadrado, o rectángulo que queda segue sendo un rectángulo de ouro.

En 1489 regresou a San Sepolcro, onde escribiu Summa de arithmetica,

geometria, proportioni et proportionalíta, que dedicou a Guidobatdo, duque de Urbino, de quen Pacioli fora o seu titor. Esta obra enciclopédica recolle o coñecemento matemático da época en aritmética, álxebra, xeometría e trigonometría. No libro inclúe problemas sobre o icosaedro (como o da figura) e o dodecaedro do tratado de Piero.

Tamén aparecen problemas de Fibonacci, ao que considera a súa principal fonte para realizar a obra. Unha parte da súa obra trata sobre temas de contabilidade, ideando un método para levar as contas, indicando de onde ven o diñeiro e a onde vai. Por esa razón, ás veces fálase de Pacioli como “pai da contabilidade”. Cando Ludovico Sforza se converteu en duque de Milán, invitou a Pacioli a ensinar Matemáticas na súa corte, como suxerencia de Leonardo da Vinci, que xa traballaba para el. Leonardo e Luca fixéronse moi amigos, e este último comezou a traballar no seu segundo libro coñecido, Divina proportione. Os debuxos deste libro foron realizados por Leonardo.

Se ó rectángulo de ouro grande lle quitamos o cadrado A, o rectángulo B segue sendo de ouro. Podemos realizar este proceso tantas veces como queiramos. Cos sucesivos rectángulos de ouro que imos obtendo, pódese trazar unha espiral áurea, apoiándonos nos sucesivos cadrados que se van formando. Numerosas cunchas de moluscos e crustáceos desenvólvense seguindo este modelo de crecemento. d) Tamén os corpos humanos presentan proporciones semellantes á razón áurea, como pode verse comprobando a altura total dunha persona (b) coa que hai ata o seu embigo (a). Ademais, se se divide a distancia do embigo aos pes entre a do embigo á cabeza, tamén se obtén N. Existen proporcións áureas en pés, brazos, e mesmo nos dedos. O home ideal ó que se refire Leonardo é o que cumpre esta relación. A terceira e última parte do libro da Divina Proporción é basicamente, unha tradución italiana dos Cinco sólidos regulares, escrito por Piero Della Francesca en latín. O feito de que Pacioli non recoñecera, en ningunha parte do texto, que o verdadeiro autor era Della Francesca, provocou certos descréditos, e críticas de plaxio. Aínda que non se poida afirmar a autoría das achegas matemáticas, pódese afirmar que o traballo de Pacioli supuxo unha gran influenza nas matemáticas en xeral, e sobre todo no estudo da Proporción Áurea.

Este libro trata sobre a razón áurea ou número de ouro (o nome de número de ouro débese a Leonardo da Vinci), aquel para o que se cumple: a/b= (a+b)/a, e resolvendo esta ecuación, obtense que a/b = 1.61803...., que se designa coa letra grega N. É un libro de especial interese para os artistas, pois considera a división dunha liña media e extrema razón (razón áurea) que el chama divina proporción, por semellanza, a Deus mesmo. Entra nos factores para a construción do pentágono e de corpos regulares, proporción das superficies e da súa inclusión dos cinco corpos noutros, trata de corpos dependentes dos regulares, esféricos e oblongos (cilindros, prismas, conos e pirámides). Algunhas das ocasións nas que aparece a razón áurea:

Ariana Varela Cancelo 1º Bach. B BIBLIOGRAFÍA

“La proporción áurea”, Mario Livio www.wikipedia.org www.portalplanetasedna.com.ar/pacioli.htm divulgamat.es

a) Nun pentágono regular se d é a medida dunha diagonal e a medida dun lado se cumpre a seguinte relación: d/l= N

Tetractis 19

Extra Marzo, 2008

mediante pivotes. Usualmente, as barras numéranse da seguinte maneira:

ESTRUTURAS XEOMÉTRICAS

Barra s: barra imaxinaria que vincula a unión de rótula da barra 2 coa unión de rótula da barra 4 co chan.

As estruturas son construccións que son xeradas pola repetición de formas iguais ou semellantes. Canto máis sinxela sexa unha estrutura mais resistente será.

Barra l: barra que proporciona movemento ó mecanismo. Barra p: barra superior. Barra q: barra que recibe o movemento.

TRIÁNGULOS

LEI DE GRASHOF

O triángulo é o único polígono que non se deforma, tanto coma se os seus lados son iguais coma se non, cando actúa sobre el unha forza. Ao aplicar unha forza sobre calquera dos vértices dun triángulo formado por tres vigas, automaticamente as dúas vigas que parten dese vértice quedan sometidas á forza de compresión, mentres que a terceira quedará sometida a un esforzo de tracción. Calquera outra forma xeométrica que adopten os elementos dunha estructura non será ríxida ou estable ata que non se triangule (unindo os seus vértices por barras e transformándoos en redes de triángulos). Por iso na construcción de estructuras ríxidas utilízanse os tetraedros, corpos no espacio formados por triángulos, porque son ríxidos.

A Lei de Grashof é unha fórmula utilizada para analizar o tipo de movemento que fará o mecanismo de catro barras:

para que exista un movemento continuo entre as barras, a suma da barra máis corta e a barra más longa non pode ser maior que a suma das barras restantes. SUMIDOIROS

Se te fixas nos sumidoiros dos sistemas de desaugue, das conducións eléctricas ou telefónicas verás que case todas son circulares. Isto débese a un sistema de seguridade: a circunferencia é a única figura xeométrica que posta de calquera maneira, non pasa polo buraco que deixou no chan. Así, canto alguén teña que baixa por un sumidoiro, se a deixou mal colocada, é imposible que a tapa caia provocándolle algún dano.

Fuller foi famoso polas súas cúpulas xeodésicas. A súa construcción basease nos principios que permiten montar estructuras simples (tetraedros, octaedros e conxuntos pechados de esferas). Ao estar feitas desta maneira son extremadamente lixeiras e estables. Ademais destes principios a súa construcción basease nos principios

CÚPULA

XEODÉSICA

ESTRUCTURA

DE TENSEGRIDADE

básicos das estruturas de tensegridade, e combinando ambos principios dará como resultado as súas cúpulas xeodésicas.

PARALELOGRAMOS ARTICULADOS O paralelogramo é o cuadrilátero que ten as variñas opostas da mesma lonxitude. Utilizámolo cando queremos que se manteña o paralelismo en diversas partes do sistema. Temos un exemplo na balanza, na que é preciso que os pratiños sempre se manteñan horizontais, para que non caian os obxectos que depositamos neles.

MECANISMO DE CATRO BARRAS En enxeñería mecánica un mecanismo de catro barras ou cuadrilátero articulado é un mecanismo formado por tres barras móbiles e unha cuarta barra fixada (por exemplo, ao chan), unidas mediante nós articulados. As barras móbiles están unidas á fixada

Segue na páx. 4

Tetractis 19

Extra Marzo, 2008

MATEMÁTICAS E NARRATIVA

PLANILANDIA

UNHA NOVELA DE MOITAS DIMENSIÓNS

Edwin A. Abbott

Outro exemplo témolo na caixa de ferramentas. Utiliza a combinación de paralelogramos articulados para xuntar e separar os distintos departamentos da caixa.

ARGUMENTO: Na novela de ciencia ficción Planilandia, o autor utiliza un estilo académico co cal nos pretende introducir no mundo das figuras xeométricas. A obra divídese en dúas partes: Na primeira parte o narrador e protagonista da historia, Cadrado, un cidadán de clase media-alta introdúcenos no seu mundo, Planilandia, un lugar que se limita ás figuras planas, no que a terceira dimensión non existe. Descríbenos tódolos habitantes, que aumentan en clase segundo aumenta o seu número de lados, sendo os círculos, os sacerdotes, os de máis alto rango; tamén nos conta a forma que teñen de recoñecerse entre eles e o duro sistema ó que están sometidos e a necesidade que teñen de mantelo, impedindo a mestura de clases para non ter irregularidades na súa “perfecta” sociedade.

Na segunda parte, Cadrado relátanos uns soños nos que visita Linealandia e Puntolandia, dous mundos nos que existen unha e ningunha dimensión. Pero a parte máis importante é a visita que lle fai un personaxe UN MÉDICO chamado Esfera, que pertence a un mundo no que existen tres dimensións, chamado Espaciolandia, alí leva a Cadrado, que non pode crer a existencia da altura, unha vez alí, queda fascinado ante a visión dun mundo que vai máis alá do del. Cando volve a Planilandia intenta explicar o que lle aconteceu, pero é detido e encarcerado considerado coma un tolo.

Tamén nas rodas do tren, as bielas que interconectan as rodas da locomotora forman un paralelogramo articulado, co fin de que todas leven o mesmo movemento.

UN COMERCIANTE

Ademais da historia que se conta no libro, o autor establece un símbolo da sociedade de Planilandia coa nosa; da necesidade de manter a harmonía da socieda- UNHA CASA EN PLANILANDIA de, da crenza dos habitantes de ser os únicos habitantes do universo e o rexeitamento ás novidades, á modificación dos sistemas vixentes. ASPECTOS OU REFERENCIAS MATEMÁTICAS ATOPADAS: As referencias matemáticas na novela son constantes xa que o libro fala do complexo mundo da xeometría. Descríbenos como todas as realidades de Planilandia son figuras xeométricas, dende as casas, as institucións ata os habitantes, que deben utilizar uns complicados métodos de cálculo, visual ou táctil, para recoñecer a clase estamental á que pertence cada individuo. As figuras irregulares son asasinadas por alterar o sistema, que é excesivamente rigoroso e exquisito coa regularidade (considerada coma a perfección) por temor a destruír a harmonía da sociedade. Podes atopalo en: www.mad-actions.com/puntoyraya/docs/Planilandia.pdf Tetractis 19

Esta estructura utiliza un rombo móbil.

Referencias: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed990053-02/contenido/8_triangulacion.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Buckminster_Fuller#Desarrollos http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_cuatro_barras

Sabela Rodríguez Castaño, 1ºBach. B

Extra Marzo, 2008