Tetractis 41_50 by G T

Ano IV. Boletín nº 41

Depósito legal: C 2766-2006

CAIXÓN DOS PROBLEMAS 7ª xornada do XXII Open Matemático PROBLEMA 17: TÁBOA

Canguro matemático

Olimpiada matemática

KEN KEN Máis alá do Sugoku SUDOKU

DE DISTANCIAS

As cidades A, B, C, D, E, F, G e H están aliñadas ao longo dunha carreteira recta. A seguinte táboa mostra a distancia entre algúns pares de cidades (por exemplo, D está 19 km de G). Complétaa.

PROBLEMA 18: CADRADOS

O obxectivo do Sudoku é encher unha cuadrícula de 9x9 celas, dividida en subcuadrículas (caixas ou rexións) de 3x3 das cifras do 1 ao 9 partindo dalgúns números xa dispostos nalgunhas das celas. Non se debe repetir ningunha cifran nunha mesma fila, columna ou rexión. KAKURO

PERFECTOS

Na progresión aritmética: 3 5 7 9 11 13 … o primeiro termo que é cadrado perfecto está no cuarto lugar: é 9. E nesta progresión: 3 7 11 15 19 23 …, en que lugar está o primeiro termo que é cadrado perfecto? PROBLEMA 19: O

Marzo, 2010

LADO OCULTO DUN HEXÁGONO

A figura mostra as lonxitudes en centímetros de cinco lados dun hexágono que circunscribe a unha circunferencia. Canto mide o lado que falta?

Problema 20: Derradeiro problema do Open 22

Pegamos cada un destes díxitos nunha bola distinta que vamos metendo nunha furna. Se, agora, sacamos dunha furna dúas bolas ao chou, que probabilidade hai de que con elas poidamos formar o número 22?

En cada fila e en cada columna hai que encher as celas con números do 1 ao 9, sen que estas se repitan. Ademais, as sumas destes números (por fila ou por columna) ten que ser igual ao número clave dado. O número clave superior indica a suma da fila e o número clave inferior a suma da columna. KEN KEN Agora chega o xogo Ken Ken para complicar máis a cousa; as regras son coma as do Sudoku (non repetir ningún número en fila ou columnas) e as rexións marcadas de formas diversas deben estar ocupadas por números que forme na cifra exacta mediante as operación sindicadas: suma, resta, multiplicación ou división. Os Ken Ken fáciles utiliza nos números do 1 ao 4, os de adultos, do 1 ao 6. Hai algúns de moita dificultade nos que elimina nos signos das operacións, que hai que adiviña rde forma lóxica, porque a solución sempre é única.

www.tetractismonelos.blogspot.com

ERATÓSTENES E A MEDIDA DO MERIDIANO TERRESTRE BIOGRAFÍA Eratóstenes (Cirene, c.284 a.C. – Alexandría, c.192 a.C.) foi astrónomo, xeógrafo, matemático e filósofo grego, foi unha das figuras máis eminentes do gran século da ciencia grega: o de Euclides, Arquímedes e Apolonio. Once anos menor que Arquímedes, mantivo con este relacións de amizade e correspondencia científica. Cultivou non só as ciencias, senón tamén a poesía, a filoloxía e a filosofía, polo que foi chamado polos seus coetáneos “pentatleta”, ou sexa campión de moitas especialidades.

rencia. Todos os observadores situados sobre o mesmo meridiano ven ao mesmo tempo, na metade iluminada da terra, ao Sol no máis alto do seu curso : o momento no que o Sol está no máis alto do seu curso indícanos o mediodía, é dicir, a metade do día. En astronomía o meridiano de referencia para as coordenadas ecuatoriais é o que pasa polo punto de Aries, mentres que o de referencia para as coordenadas horarias é o que pasa polo cénit e o nadir do lugar. CÓMO

Viviu en Atenas ata que foi chamado a Alexandría para educar aos fillos de Tolomeo III e para dirixir a biblioteca da cidade. Foi célebre en matemáticas pola criba que leva o seu nome, empregada para achar os números primos, e polo seu mesolabio, instrumento de cálculo usado para resolver a media proporcional. Considerou tan importante a invención do mesolabio que regalou un exemplar del a un templo como ofrenda votiva cun texto en verso que explicaba a súa utilidade. Pero Eratóstenes é particularmente recordado por haber establecido por primeira vez a lonxitude da circunferencia da Terra cun erro de tan só 90 quilómetros respecto ás estimacións actuais. Sabía que cando na cidade exipcia de Siena, o Sol chegaba ó seu punto máis alto, atopábase na vertical do observador. MERIDIANO

TERRESTRE

Os meridianos son os círculos máximos da esfera terrestre que pasan polos Polos (os meridianos son liñas imaxinarias para determinar a hora, o ano e demais). Por extensión, son tamén os círculos máximos que pasan polos Polos de calquera esfera ou esferoide de refeTetractis 41

MEDIU

ERATÓSTENES

O MERIDIANO TERRESTRE?

Eratóstenes mediu a circunferencia terrestre por primeira vez cunha gran exactitude, e nunha época na que moi pouca xente pensaba que o mundo non era plano como unha mesa. Pero, ¿cómo o fixo?. ¿En que se baseou para facer a medida do raio da esfera terrestre?

Pois, pensou, sinxelamente, que dúas estacas cravadas verticalmente no chan, a una distancia de varios quilómetros, sobre un mesmo meridiano, darían sombras distintas a unha mesma hora en virtude da curvatura da superficie do planeta. Os ángulos que forman os raios do Sol coa dirección da estaca son:

Marzo, 2010

Sendo s y s’ a sombra de cada estaca sobre a liña meridiana en cada lugar. A lonxitude da estaca é “d” en ámbolos dous casos. Se observamos agora a figura e se nos fixamos no triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, onde “a” é o ángulo do arco de meridiano comprendido entre as posicións que ocupan ambas estacas, e a1 e a2 son os

ángulos que forman os raios solares coa dirección das estacas, vemos que, ao sumar 180º os tres ángulos do triángulo é:

a1 + 180 - a2 + a = 180, é dicir: a1 – a2 + a = 0, o sexa: a = a2 – a1 Coñecido o ángulo “a”, e a lonxitude “L” do arco de meridiano entre ambos puntos de colocación das estacas, será posible, mediante una sinxela regra de tres, atopar a lonxitude total, “X”, da circunferencia do planeta:

é dicir, o ángulo, “a”, que corresponde ao arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posicións das estacas, é, precisamente o ángulo, a2, que formarían os raios solares coa segunda estaca sobre a liña meridiana. Este último feito foi o que utilizou Eratóstenes para facer a súa medición. Eratóstenes, que estaba en Alexandría, recordou que nun certo día de ano, no que o solsticio de verán, os raios solares caían verticalmente na cidade de Siena, situada no mesmo meridiano que Alexandría, pois recordaba que o Sol se reflectía no máis profundo dos pozos, á hora do mediodía. Entón, pensou que se media ese día na cidade de Alexandría, á mesma hora, o ángulo, a2, que os raios solares formaban coa vertical, medindo a sombra que sobre a liña meridiana formaba a estaca, coñecería o ángulo do arco de meridiano entre Alexandría e Siena.

Mediu a sombra sobre a liña meridiana producida por unha estaca vertical en Alexandría, e coñecendo a lonxitude da estaca achou ese ángulo á hora antedita: resultou que o ángulo era de 7 graos (a2 = 7º). Xa coñecía o ángulo do arco do meridiano entre Alexandría e Siena. Agora faltaba coñecer a distancia, ao longo do meridiano, entre ambas cidades, é dicir, a lonxitude do arco “L”. Para iso Eratóstenes pagou a un home que fixo, a pé, tal medición. Eran, usando a medida usual na época e na zona, uns 4900 estadios, que equivalería hoxe ( a uns 6,125 estadios por quilómetro) a uns 800 km. Con estes datos xa é inmediato o cálculo: Lonxitude da circunferencia terrestre:

e, de aquí, o radio medio da Terra:

Se unha das dúas estacas, nun determinado momento dera sobre a liña meridiana sombra nula, é dicir, se nunha das estacas fora cero o ángulo que forma a dirección dos raios solares coa estaca, ou, dito de outra maneira, se nun dos dous lugares os raios solares inciden perpendicularmente, entón, se tería que:

a1 = 0, polo cal a = a2 – 0 = a2, Tetractis 41

Raio medio do planeta:

Rebeca Mengual Mancelle 1º Bach. A

Marzo, 2010

CALENDARIO: ANOS BISESTOS E ANOS SANTOS

calendario, como ben sabemos, é unha conta sistematizada do tempo para a organización das actividades humanas e recordar o paso do tempo. Antigamente estaba baseado nos ciclos lunares. Na actualidade, os diversos calendarios teñen base no ciclo que describe a Terra arredor do Sol e se denominan calendarios solares. Segundo o noso calendario un ano divídese en 365 días, e cada día, á súa vez, se descompón en 24 horas. Pero a duración real dos anos é 365 días e 6 horas aproximadamente (365,24219 días) . Desta diferenza xorden os anos bisestos para corrixilo cada catro anos, xa que: 4 x 6 = 24 horas = 1 día Desta maneira súmase un día máis ao ano, que se lle suma ao mes con menos días: febreiro. Así o ano pasa a ter 366 días.

Os anos que sexan divisibles por 4 serán bisestos; aínda que non serán bisestos se son divisibles entre 100 (como os años 1700, 1800, 1900 , 2100…) a non ser que sexan divisibles por 400 (como os anos 1600, 2000 ó 2400). En 400 anos debe haber 97 anos bisestos, de esa maneira o ano do calendario gregoriano (o empregado actualmente) terá por termo medio 365,2425 días.

O ano trópico (tempo medio transcorrido entre dous

pasos consecutivos do Sol por un punto determinado) ten unha duración de 365,24219 días. Así que hai un erro de 0,0003 días por ano, e podería parecer que ao cabo de tres mil anos (3226 anos, para ser máis exactos) haberase acumulado un día de erro, que se vai a corrixir facendo: 4000, 8000, 12000... anos comúns. Pero non se sabe exactamente cando chegará o erro a un día, xa que tanto a duración do ano trópico (ou ano solar), como a velocidade de rotación da Terra, van cambiando co tempo, dunha maneira que non é completamente predicible. ANO SANTO COMPOSTELÁ Ademais dos anos bisestos existe unha clase de ano chamado Ano Santo Xacobeo, nos cales o 25 de xullo (festividade do Apóstolo Santiago) cae en domingo. Isto ocorre cunha cadencia regular de 6-5-6-11 anos, de xeito que en cada século celébranse catorce anos santos. Tetractis 41

A cadencia 6-5-6-11 dos anos santos ten explicación na cadencia dos anos bisestos e no feito de que a semana ten 7 días. Se non houbese anos bisestos teríamos año xacobeo cada 7 anos. Convén advertir que se existe algunha alteración na secuencia de bisestos automaticamente se alterará a cadencia dos anos xacobeos. Isto sucedeu coa Reforma Gregoriana do ano 1582 e ocorre, en consecuencia, tamén nos anos centenarios que non sexan múltiplos de 400. Segundo as regras dos anos bisestos e a cadencia dos anos santos (6-5-6-11) podemos predicir cando se producirán: Anos bisestos Anos santos

Pero esta cadencia vaise alterar, xa que o ano 2100 non vai a ser bisesto. Obsérvese que o 2032 será o primeiro ano bisesto e Santo á vez, cantos haberá neste século? Normalmente, en moitos problemas de Física, Matemáticas, Astronomía…, é preciso calcular un determinado espazo de tempo en anos. Na maioría de ocasións engádese unha anotación no enunciado que indica que se teña 1 ano por 365 días. Isto é debido a que os anos bisestos podan alterar o resultado, e é difícil operar téndoos en conta. Un caso no que se aprecia claramente isto é que, aínda que pareza que entre o ano 549 d.C. e o ano 2009 d.C. pasaran 1460 anos, realmente pasaron 1461, xa que, como cada 4 anos hai un día de máis, cada 1460 hai 365, o que incrementa o intervalo de tempo nun ano. Xeralmente, se os anos non bisestos son 1460, a medida tendo en conta os anos bisestos sería a anterior, +1; se fose o dobre de 1460 (2920), +2, e así en todos os múltiplos de 1460 (agás 0).

Antía García Mallo 1º bach. A Marzo, 2010

Ano IV. Boletín nº 42

Depósito legal: C 2766-2006

UN CURSO OLÍMPICO DOS ALUMNOS DE 2ºESO COPAN OS PRIMEIROS LUGARES DA FASE LOCAL DA OLIMPÍADA MATEMÁTICA

Este curso podemos declaralo “O curso olímpico en Monelos”, xa que foron moitos os alumnos e alumnas que obtiveron o diploma olímpico en distintos ámbitos: • Diego Abalde, alumno de 2º Bach. clasificouse para a Fase Nacional da Olimpíada de Matemáticas que se celebrou en Valladolid, do 25 ao 28 de Marzo. • Tres alumnos do IES Monelos demostraron estar entre os que máis saben de xeoloxía de Galicia. Son Alba Ares González, de 1.º de bacharelato; Irene Varela Martínez, de 2.º, e Pablo Orosa Iglesias, tamén de segundo. Os tres conseguiron as tres prazas para participar na I Olimpíada Nacional de Xeoloxía que se celebrou a finais de marzo en Madrid. • Irene Vázquez Garnazo e Pablo Cortón Debén acadaron os primeiros postos na Fase de zona da Olimpíada Matemática de 2º ESO e representarán (xunto con outros cinco alumnos) á zona da Coruña na Final Galega que se celebrará en Vigo, o vindeiro 14 de maio. Parabéns a todos e todas.

Abril, 2010

DOUS PERIÓDICOS PARA “O PAÍS DOS ESTUDANTES”

Dous grupos de alumnos, coordinados polo profesor de matemáticas, Gonzalo Temperán, participaron no Programa “O País dos estudantes” e editaron dous periódicos: The Truth e α-D-MONELOSa, que aínda que teñen carácter xeneralista, neles aparecen artigos sobre matemáticos, coma: Alicia no pais das matemáticas (entrevista realizada á profesora de Matemáticas, Alicia Pedreira, por dúas das súas alumnas); Olímpicos en Monelos, As anamorfoses, Alumnos de 3º ESO participan no Premio Luís Freire para investigadores escolares, Ano xacobeo… Poderás ver os periódicos en

http://estudiantes.elpais.com/ e tamén no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com CITAS PARA MAIO

ALUMNOS DE 3º ESO PARTICIPAN NO PREMIO LUÍS FREIRE PARA INVESTIGADORES ESCOLARES Laura, Carmen Méndez, Águeda, Carmen Picado, Paula e Xacobe son alumnos de 3º ESO, que baixo a coordinación do seu profesor de Matemáticas, Gonzalo Temperán, participan no Premio Luís Freire, cun proxecto de investigación estatística que trata de responder á pregunta:

PODEMOS PREDECIR A ESTATURA Á QUE VAI CHEGAR UNHA PERSOA?

Poderás ver a memoria e as conclusións no blogue TETRACTIS.

www.tetractismonelos.blogspot.com

OS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS GREGOS No século V a. C. as matemáticas aínda non se sistematizaran. Non obstante, a labor dos pitagóricos deixara dúas herdanzas importantes, unha de carácter xeral: a esixencia da demostración, e outra de carácter circunstancial: a consagración case exclusiva dos matemáticos ás investigacións xeométricas. De aí que os matemáticos do século V dedicáranse á busca de novas propiedades das figuras. Como as primeiras figuras das que partiron os gregos foron a recta e a circunferencia, todas as proposicións

DUPLICACIÓN

xeométricas, foran teoremas ou construcións, debían basearse sobre esas dúas figuras e as súas relacións. Pola súa parte, moitas desas novas propiedades foron logradas mediante a busca e a persecución dalgúns problemas particulares que atraeron a atención dos matemáticos. Eses problemas, son os chamados “problemas clásicos da xeometría”, foron tres: a trisección do ángulo, a duplicación do cubo e a cuadratura do círculo.

Unha superficie é cadrable cando, a partir dela, é posible obter xeometricamente un cadrado que teña a mesma área que aquela, e facelo permitía simplificar o cálculo das súas áreas xa que doutro xeito sería demasiado complexo. Foi así como xordeu nos matemáticos da Grecia clásica o desexo de buscar procedementos puramente xeométricos para achar a cadratura de calquera superficie (entre elas a circunferencia) utilizando unicamente regra e compás. Cadrar superficies de polígonos resultou fácil utilizando certos métodos como descomposición en formas poligonais, pero a cuadratura de superficies limitadas por curvas, e en especial a circunferencia, non resultaría plausible para os gregos, de no ser polo feito de que Hipócrates de Quíos demostrou que certas figuras curvilíneas (lúnulas), construídas a propósito por el, resultaban cadrables.

DO CUBO

Duplicación do cubo é achar, mediante o uso de regra e compás, o lado dun cubo de xeito que o seu volume sexa o dobre do volume doutro cubo de lado dado. Actualmente os instrumentos de álxebra son capaces de resolver este problema de forma trivial, pero a única utilización da regra e o compás non permitía facelo. No ano 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas nesa época, morreu vítima da peste que atacaba moi severamente á cidade. Como consecuencia disto algúns habitantes decidiron ir á cidade de Delfos para facerlle consultas ao Oráculo de Apolo e saber como poder deter a epidemia. A resposta foi elaborar un novo altar en forma de cubo cuxo volume duplicase ao do altar que xa existía. A pandemia disipouse co tempo, pero o problema matemático planteado permaneceu. O primeiro en abordar a cuestión foi Hipócrates de Quíos, quen reduciu o problema ao de intercalar dúas medias xeométricas ou proporcionais entre a magnitude que representa a aresta do cubo primitivo a correspondente ó dobre da mesma. Baseándose neste planteamento, Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre outros, presentaron solucións, ningunha das cales puido resolverse co uso exclusivo da regra e o compás. Non foi ata o ano 1837 que quedou comprobado, que o problema non tiña solución, polo francés Pierre Wantzel.

FALANDO EN SENTIDO FIGURADO, CADRAR O CÍRCULO SIGNIFICA QUE ALGO É MOI DIFÍCIL OU IMPOSIBLE DE RESOLVER.

Este feito creou unha falsa expectativa entre os matemáticos antigos levándoos a pensar que o círculo podería cadrarse, pero no século XX Chebotariov y Dorodnov probaron que normalmente as lúnulas non se poden cadrar, que só pode facerse nos casos expostos por Hipócrates e en dous casos máis aportados por Leonhard Euler no s.XVIII. Deste xeito quedou de manifesto que as lúnulas non son máis que a excepción dun problema irresoluble que confundiu aos matemáticos durante anos.

CUADRATURA DO CÍRCULO

Cadrar o círculo é achar, mediante o uso de regra e compás, un cadrado que posúa un área que sexa igual á dun círculo dado. A resolución deste problema tratou de abordarse repetidas veces, sen éxito, dende a antigüidade clásica ata o século XIX. Falando en sentido figurado, significa que algo é moi difícil ou imposible de resolver. Tetractis 42

En 1882 Ferdinand Lindemann probou que π é un número transcendente polo que se entende que é imposible cadrar o círculo usando so regra e compás, pero si que se pode con operacións alxébricas, sabendo que o radio do círculo e o lado do cadrado son proporcionais, sendo √π o factor de proporción.

Abril, 2010

TRISECCIÓN

DUN ÁNGULO

O problema de trisectar un ángulo arbitrario é o problema clásico para o que máis probas falsas se aportaron. Unha delas era construír con regra e compás esa trisección, pero iso é imposible a excepción dalgúns ángulos como o recto: a recta AD que forma un ángulo de 60 graos con AE, por formar parte do triángulo equilátero AED, o que provoca que o ángulo CAD sexa de 30, o ángulo está trisectado. Outra maneira bastante directa de trisectar calquera ángulo, coñecida por Hipócrates era, dado un ángulo CAB, trazar CD perpendicular a AB cortándose en D e completar o rectángulo CDAF. Ampliar FC a E e deixar AE ser trazado para cortar a CD en H. Obter o punto E elixido de modo que HE =2AC. Agora o ángulo EAB é 1/3 do ángulo CAB. Unha das razóns polas que o problema de trisectar un ángulo pareceu menos atractiva para os matemáticos gregos á hora de publicar as súas solucións é que a pesar de que a construción anterior vista non era posible cun obxecto recto sen marcar e un compás, é fácil de realizar na práctica, e como os gregos non estaban, en xeral, satisfeitos coas solucións prácticas debido a un punto de vista puramente matemático, no foron capaces de encontralas. Como dixo Platón: “Ao proceder dun modo [mecánico], non perde un, irremediablemente, o mellor da xeometría?...”

Outra solución de tipo mecánico facilitada por Arquímedes: Pappo escribiu sobre como o problema de trisectar un ángulo foi resolto por Apolonio usando as cónicas. Estas construcións descritas por Pappo mostran como os gregos "melloraron" as súas solucións ao problema de trisectar un ángulo. Partindo dunha solución mecánica progresaron cara unha solución relacionada coas secciones cónicas. Nunca progresaron cara as solucións planas porque sabemos que son imposibles. Claudia Vilar Sánchez 1ºBach. A

Tetractis 42

XEOMETRÍA NO ASCENSOR DE SAN PEDRO A característica máis salientable do elevador do monte de San Pedro é a súa cabina panorámica trasparente, de forma esférica. Todos podemos imaxinar facilmente como é unha esfera. Construír unha na realidade a partires de perfís metálicos e superficies planas non é nada doado. Dificultades semellantes atopan os mariños e pilotos aeronáuticos cando queren definir un rumbo para as súas naves, pola necesidade de traballar sobre superficies curvas. Ambos problemas pódense resolver facendo uso da trigonometría esférica, que manexa conceptos como o círculo máximo, triángulo esférico, etc.

A ESFERA COMO CORPO XEOMÉTRICO Unha esfera é un corpo sólido limitado por unha superficie curva cuxos puntos equidistan doutro interior chamado centro da esfera. Tamén se pode definir como a superficie conformada polos puntos do espazo tales que a distancia a un punto denominado centro (chamada raio) é sempre a mesma. Como sólido de revolución, xérase facendo xirar unha superficie semicircular ao redor do seu diámetro. A superficie (A) e o volume (V) dunha esfera calcúlanse con estas fórmulas:

A = 4 ⋅π ⋅ r

4 ⋅π ⋅ r 3 3

onde r é o raio da esfera. Tomando o dato do volume da esfera do ascensor (86 m3), podemos calcular o seu radio:

r=3

3 ⋅ V 3 3 ⋅ 86 = = 2,74m 4 ⋅π 4 ⋅π

Con este dato, calculamos a súa superficie externa (da cal, practicamente toda é de policarbonato transparente, agás os perfís de aceiro inoxidable da estrutura):

A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 2,74 2 = 94,34m 2 Pero describir as formas das seccións da superficie non é tan doado. Para iso, temos que facer uso de conceptos da trigonometría esférica. Abril, 2010

CONCEPTOS DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

diferenza da trigonometría plana, que estuda triángulos trazados sobre un plano, a trigonometría esférica estuda os que se trazan sobre a superficie dunha esfera. Esta trigonometría emprega os conceptos seguintes:

Fórmula do seno:

Fórmula da cotanxente:

cos β ⋅ cos AB = senβ ⋅ cot α − senAB ⋅ cot CB DESCRICIÓN TRIGONOMÉTRICA DA ESFERA DO ELEVADOR

A esfera está construída sobre unha estrutura

CÍRCULO MÁXIMO é a intersección dunha esfera cun plano que pasa polo seu centro. Xa que logo, unha circunferencia máxima é o perímetro dun círculo máximo. Un círculo máximo divide á esfera en dous hemisferios iguais. CÍRCULO MENOR é a intersección da esfera cun plano que non pasa polo seu centro. POLOS son os puntos de intersección da superficie esférica cun diámetro perpendicular ao plano trazado polo seu centro. DOMINIO SOBRE A SUPERFICIE ESFÉRICA é calquera área da superficie da esfera limitada por curvas contidas en dita superficie. Un caso particular son os triángulos esféricos. ÁNGULO ESFÉRICO é o formado na superficie da esfera por dous arcos de circunferencia máxima. Exemplo: os ángulos

maestra vertical de aceiro, formada por perfís triangulados. Os extremos do eixo horizontal desta estrutura forman os que chamaremos “polos horizontais”. Ademais, existen dous “polos verticais” situados a 90º dos anteriores.

Atravesando os polos horizontais, hai 5 circunferencias máximas (que forman ángulos de 180º/5 =36º), tamén construídas con perfís de aceiro. Outras cinco atravesan os polos verticais. As interseccións das 10 circunferencias forman un total de 50 dominios de formas variadas, algúns dos cales son triángulos esféricos e outros son dominios de 4 lados.

α , β ,γ TRIÁNGULO ESFÉRICO é a superficie esférica limitada por tres circunferencias máximas. Exemplo: o triángulo ABC. DISTANCIA ORTODRÓMICA é a distancia entre dous puntos unidos por un arco de circunferencia máxima. Exemplo: as distancias AB, BC, etc.

O sector central horizontal bascula apoiándose nos polos horizontais, levantándose para permitir o acceso dos visitantes ao interior. Éstes permanecen sobre unha plataforma que está nun plano inferior ao plano polar horizontal. Xa que logo, dita plataforma é un círculo menor. A esfera ten uns soportes nos polos horizontais cos que se apoia nun carro que se desplaza sobre uns carrís inclinados 42º, salvando un desnivel de 62 m.

Os lados dun triángulo esférico non son liñas rectas, senón arcos, sempre menores de 180º. É dicir, un lado

dun triángulo esférico non se define pola súa lonxitude, senón polo ángulo do arco cuxo vértice é o centro da esfera.

Algunhas fórmulas características dos triángulos esféricos son as seguintes: Fórmula do coseno:

Guillermo Ledo López 1º Bach. A

cos CB = cos AC ⋅ cos AB + senAC ⋅ senAB ⋅ cosα Tetractis 42

senCB senAC senAB = = senα senβ senγ

Abril, 2010

Ano IV. Boletín nº 43

Depósito legal: C 2766-2006

Maio, 2010

FEIRA MATEMÁTICA 2010

MATCAMPUS 2010 MatCampus 2010 está dirixido a estudantes de 1º de Bacharelato e 11º ano (entre 16 e 17 anos) de tódolos centros de ensino medio de Galicia e Portugal. Entre os obxectivos e competencias a acadar/potenciar no MatCampus 2010 contémplanse obxectivos xenéricos relacionados directamente coas Matemáticas, xunto con outros obxectivos transversais de carácter socio-cultural. O período de inscrición remata o 25 de maio. MatCampus 2010 desenvolverase en Galicia e Portugal durante a segunda quincena do mes de xullo. A duración do campamento será de dúas semanas, a primeira en Braga (Portugal) e a segunda en Santiago de Compostela (España). www.matcampus2010.org

Celebrouse, o pasado sábado 15 de maio, no Pazo da Ópera da Coruña. As actividades que realizamos foron: * Boletín Tetractis * Matemaxia * Polígonos nazarís * Xogos lóxicos * Pentaminós * Figuras de dobre visión Ademais fixemos: A Feira on-line, con entrevistas no blogue Tetractis aos persoeiros que visitaron o noso stand e ofrecemos un espectáculo de Matemáxia.

Co Director do IES Monelos

O alumnado do IES Monelos

Decana de Matemáticas, Victoria Otero

Co Reitor da UDC, José María Barja

Álbum fotográfico en: www.tetractismonelos.blogspot.com

O Alcalde da Coruña

O espectáculo de Matemaxia

Á CAZA Dende hai 2500 anos os números primos atraen a atención de matemáticos e afeccionados de todo o mundo, por varias razóns. Unha delas é a fascinación que produce a súa irregular distribución ao longo da recta numérica. Os números primos aparecen esparexidos aquí e alá, atopándose sectores onde abundan e outros onde escasean. Se lles califica de misteriosos e indomables pois non parece existir nin-

DOS NÚMEROS PRIMOS

gunha regra que determine a súa ubicación entre os demais números naturais. Os números primos son importantes porque permiten construír novos números a partir deles. Teñen conexión con moitas facetas da vida: a música, por exemplo. Pero tamén a criptografía: todos os códigos de Internet están baseados en números primos. Así mantés a salvo a túa tarxeta de crédito, por exemplo.

Numerosas obras da narrativa actual utilizan unha temática relacionada cos números primos:

En primer curso de la universidad había estudiado ciertos números primos más especiales que el resto, y a los que los atemáticos llaman primos gemelos: son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi sucesivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmente unidos, como el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. Si se tiene paciencia y se sigue contando, se descubre que dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. (La soledad de los números primos).

- Os primos solitarios: atópanse nas columnas 7 e N da táboa e clasifícanse en 2 tipos cuxas terminacións son 3 e 7. A serie de primos solitarios comeza con: 23, 37, 53, 67, 83, 97, 113... - Números primos de Mersenne: é un número primo que ó sumarlle 1 o resultado é unha potencia de 2. Por exemplo, 7 é un número primo de Mersenne ao cumprirse (7 + 1 = 8 = 2³). Denomínanse así en memoria do filósofo do século XVII Marin Mersenne que realizou unha serie de postulados sobre números primos. Os oito primeiros números primos de Mersenne son: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287. Na actualidade só se coñecen 44 números primos de Mersenne, o último foi descuberto o 4 de setembro 2006. Estanse dando premios de 1 millón de euros ó

s números primos son aqueles que soamente son divisibles entre eles mesmos e a unidade. Todos os números primos, agás 2, son impares. Os únicos dous números primos consecutivos son o 2 e o 3. Os primeiro números primos son:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS:

- Números primos xemelgos: son dous números primos que están separados por unha distancia de 2. Parellas de números primos xemelgos: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109). Os primos xemelgos poden formar 3 tipos de parellas cuxas terminacións son: (7,9); (9,1) e (1,3). - Os primos casi-xemelgos: son os primos que están nas columnas de primos xemelgos pero lles falta o compañeiro. A serie de primos casi-xemelgos comeza con: 47, 79, 89, 131, 163...

que atope outro nº primo.

- Número primo de Sophie Germain: é un número primo que ó multiplicalo por 2 e sumarlle 1 o resultado é tamén un número primo. Por exemplo: o 2 porque cúmprese 2x2+1=5, sendo 5 tamén número primo. Algúns dos números primos de Sophie Germain son: 2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131 173 A CRIBA DE ERATÓSTENES É un antigo e efectivo método para achar números primos. Consiste nunha táboa de números naturais dispostos en columnas. Primeiro táchanse todos os múltiplos de 2. Logo, todos os múltiplos do seguinte número non tachado anteriormente e así sucesivamente. Os números que quedan sen tachar son os números primos.

Tetractis 43

Maio, 2010

Para saber se un número é primo abonda con dividilo polos números impares maiores que 1 e menores ou iguais á raíz cadrada do número. Se non se atopa ningún divisor o número é primo. ALGÚNS

(10^1975) + 1991991991991991991991991) + 1, e foi descuberto en 1991. • Coa excepción do número 3, cada número Fibonacci que é primo, tamén ten un primo subscrito. Por exemplo o número Fibonacci 233, que é primo, ocupa a posición 13, número primo tamén.

PROBLEMAS NON RESOLTOS

• Se p é primo, 2p - 1 é sempre libre de cadrados? É dicir, non divisible polo cadrado dun primo. • Contén a secuencia de Fibonacci un número infinito de primos? • A conxetura de Goldbach foi proposta por Christian Goldbach a través dunha carta enviada a Euler en 1742. Di que:

APLICACIÓNS

DOS NÚMEROS PRIMOS

Unha das aplicacións prácticas dos números primos máis estendida hoxe en día está nos algoritmos criptográficos, entre eles o popular RSA é a xeración de códigos mediante distribución aleatoria de primos para realizar certas transaccións por internet, operacións con tarxetas de crédito, etc. todo número par maior que 2 pode esA criptografía asimétrica é o método criptocribirse como suma de dous números gráfico que usa un par de claves para o envío primos. Euler non conseguiu demostrar de mensaxes. As dúas claves pertencen á nin refutar o resultado. A trama da película “A habi- mesma persoa á que se lle enviou a mensaxe. tación de Fermat” basease Estes son algúns dos últimos récords na demostración da Conxetu- Unha clave é pública e pódese entregar a calquera persoa, a outra clave é privada e o prode números primos que coñecemos: ra de Goldbach pietario debe gardala de modo que ninguén • O número primo máis grande coñecido (atopado por GIMPS [Gran Buscador de Internet de teña acceso a ela. Os métodos criptográficos garantían Primos Mersenne] en febreiro de 2005) é o 42º pri- que esa parella de claves só se pode xerar unha vez. mo de Mersenne: M25964951 que ten 7816230 díxi- Dado un cifrado de clave pública baseado na factorización de números primos, a clave pública contén un nútos decimais. • Os primos xemelgos máis grandes coñecidos son mero composto de dous factores primos grandes, e o 242206083 × 238880 ± 1. Teñen 11713 díxitos e fo- algoritmo de cifrado usa ese composto para cifrar a ron anunciados por Indlekofer y Ja'rai en novembro mensaxe. O algoritmo para descifrar a mensaxe require o coñecemento dos factores primos. de 1995. A seguridade deste algoritmo radica no problema da TEOREMA DE FERMAT factorización de números enteiros. As mensaxes enviadas represéntanse mediante números, e o funcionamenLeonhard Euler intentou demostrar unha das máis to baséase no produto de dous números primos grandes elegantes observacións de Fermat, un teorema referido elixidos ó azar e mantidos en segredo. Actualmente aos números primos. Todos os números primos poden estes primos son da orden de 10200 cifras, e prevese ser repartidos en dous grupos, o que forman os que son que o seu tamaño aumente co aumento da capacidade de iguais a 4n+1 e os que son iguais a 4n-1, onde n é algún cálculo dos ordenadores. número natural. Polo tanto, o 13 é do primeiro grupo (4x3+1), mentres que o 19 é do segundo grupo (4x5-1). A CHICHARRA E OS NÚMEROS PRIMOS O teorema de Fermat dos números primos dicía que o As chicharras periódicas teñen o primeiro tipo de números primos equivalería sempre á ciclo vital máis longo de todos os suma de dous cadrados (13=2²+3²) mentres que o seinsectos. A cuestión que inquietaba gundo tipo non podería escribirse nunca desta maneira ós zoólogos era: Por que o ciclo vital (19=?²+?²). Finalmente, no ano 1749, Euler conseguiu da cigarra é tan longo? Qué quere demostrar este teorema dos números primos. dicir que o ciclo vital sexa un número Hai unha serie de números primos que son máis primo de anos? A Magicicada tredeatractivos que o resto de primos, por exemplo: cim, aparece cada 13 años, o que in• O número 1234567891 que percorre todos os díxidica que os ciclos vitais que son un tos, é un número primo. número primo de anos dan algún tipo • Un nº primo, que ten 6.400 díxitos, está composto de vantaxe para a conservación da de 6.399 noves e soamente un oito. vida. Se o parasito ten un ciclo vital de dous os, • O primo 713º pode escribirse como (10^1951) x Continúa na seguinte páxina Tetractis 43

Maio, 2010

cias: o do ciclo anual e o mesmo ciclo de 17 anos que a chicharra. O longo ciclo vital das chicharras, e o número primo de anos, protéxeas.Na loita por coincidir coa chicharra, o parasito probablemente continuou alargando o seu ciclo vital, ata conseguir traspasar a barreira dos 16 anos. Entón deixará de coincidir durante 272 anos; a súa falta de coincidencia coas chicharras levarao á extinción.

entón a chicharra quere evitar un ciclo vital que sexa divisible por 2, senón o parasito e a chicharra coincidirán regularmente. Ao fin, se quere evitar de atoparse co seu parasito, a mellor estratexia da chicharra é darse un ciclo de vida longo, que dure un número primo de anos. Como nada dividirá o 17, a Magicicada Septendecim raramente se atopará cun parasito. Se o parasito tén un ciclo de 2 anos, só se atoparán cada 34 anos. Na súa quenda, o parasito, se quere loitar, só ten dous ciclos vitais que incrementan a frecuencia das coinciden-

III CERTAME

Iria González Díaz 1º Bach. A

MAT-MONÓLOGOS

Os gañadores do III Certame de Mat-monólogos, que se celebrou o pasado martes 11 de maio, na Sala Xurxo Lobato do IES Monelos son: Categoría: Primaria e 1º ciclo ESO Flores, plantas y moscardas Santiago Valencia Bahamonde, 1º ESO

Categoría: Persoas, en xeral, mayores de 18 anos.

IES San Mamede (Maceda-Ourense)

José Manuel Ramos González IES A Xunqueira I (Pontevedra)

Categoría: 2º ciclo ESO e Bacharelato

Alumnado do IES Monelos

La solución del problema

¿Las preguntas nos las vamos a preguntar? Miren Josune Melero Vilela, 3º ESO

Cinco números

Álvaro Souto Janeiro, 3º ESO IES San Mamede (Maceda-Ourense)

IES Monelos.

Máis en:

Tetractis 43

Maio, 2010

Ano IV. Boletín nº 44

Depósito legal: C 2766-2006

Xuño, 2010

PROBAS DE SELECCIÓN DE ESTALMAT Este ano houbo record de presentados

A proba de selección celebrouse o pasado sábado 5 de xuño na Facultade de Matemáticas de Santiago de Compostela e a ela presentaronse 330 alumnos dos 381 que estaban inscritos. Os alumnos presentados tiveron que resolver 6 problemas e serán seleccionados 25 alumnos e alumnas que acudirán os sábados dos cursos: 2010-11 e 2011-12 a sesións impartidas na Facultade de Matemáticas.

V CONGRESO DE AGAPEMA

hega o V Congreso de AGAPEMA (Asociación Galega de Profesores de Ensinanza Matemática) que se celebrará os días 25 e 26 de xuño no IES Sofia Casonova de Ferrol. Podes atopar máis información sobre a programación do congreso en:

25º ANIVERSARIO

CASA

DAS

A casa de todos

CIENCIAS

O pasado 1 de xuño a Casa das Ciencias celebrou o seu 25º cumpleaños e con tal motivo Museos Científicos organiza durante todo o ano unha variedade de actividades. O venres, 4 de xuño, programouse un Encontro coa Comunidade Educativa (Profesorado, asociacións de pais e sindicais) cun encontro no Planetario, un espectáculo de maxia e para rematar a tradicional foto de familia.

¡Feliz cumpreanos!

www.agapema.com

ou no blogue:

TETRACTIS Oito supervivintes do bombardeo de HirosA LENDA DOS MIL GROUS hima, chegados a bordo do cruceiro 'Peace Boat', explican na Coruña a súa experiencia e A noticia trouxo á memoria a I Feira Matemática na que Tetractis piden a erradicación das bombas nucleares. (nº 9) publicou a Lenda dos mil grous, para celebrar o Día Escolar das Matematicas de 2007, baixo o lema " Matemáticas e Paz":

Os mil grous de origami (papiroflexia) son un conxunto de mil grous de papel unidos por cordas. Unha antiga lenda xaponesa promete que calquera que faga mil grous de papel recibirá un desexo por parte dun grou, tal como unha longa vida ou a recuperación dunha enfermidade. Os mil grous de origami converteuse nun símbolo de paz, debido á historia de Sadako Sasaki, unha pequena japonesa que desexou curar da súa enfermidade (leucemia) producida pola la radiación dunha bomba atómica.

www.tetractismonelos.blogspot.com

ORIXE DOS SIGNOS MATEMÁTICOS

n moitas ocasións cando estamos a facer cálculos matemáticos, por exemplo nas operacións aritméticas, utilizamos signos que non sabemos de onde proveñen. Esta é a orixe dalgúns destes signos: SIGNOS DA SUMA E RESTA: Hai aproximadamente seis séculos os signos da suma e da resta eran “p” e “m”, respectivamente. Isto era debido ás palabras en latín plus e minus. Máis tarde, empezáronse a utilizar os signos “ +” e “-“ (os que usamos aínda hoxe en día), que segundo Rey Pastor (18881962) foron utilizados por primeira vez polo científico alemán Widmann, no seu libro de aritmética comercial. DIVISIÓN E MULTIPLICACIÓN: Estes dous signos crese que foron introducidos ao uso común polo matemático William Oughtred (1574-1660). É probable que o signo da multiplicación como dúas raias cruzadas (x) proveña das matemáticas antigas nas que se usaba a cruz de San Andrés para indicar a reprodución das cousas. Aínda que como Leibnitz consideraba que unha cruz podíase confundir coa variable x, no 1684 utilizou o punto “·”. O símbolo da división (:) indica que con dúas cantidades ou dous díxitos realizarase unha operación na que un encontrase arriba e o outro abaixo. Para representar as fraccións, a división entre eses dous díxitos, utilizase a barra “/”. SÍMBOLO DA IGUALDADE: No 1557 xurde o símbolo do igual como dúas raias paralelas (=), a proposta do matemático e médico inglés Robert Recode. As dúas raias paralelas son unha maneira de manifestar a igualdade das devanditas liñas. SÍMBOLO DO CERO: Arredor do ano 650 comézase a usar na India o símbolo para representar a posición valeira nun número de maneira definitiva e como coñecemos actualmente. A palabra cero provén do sánscrito “shunya” que se traduxo ao árabe como “sifr” e que nos chegou a través do italiano. Os maias xa utilizaban un signo que semellaba un ollo semipechado. COCIENTE ENTRE A CIRCUNFERENCIA E O DIÁMETRO: William Oughtred utilizou π/δ (en 1652) para referirse ao cociente entre a circunferencia e o diámetro dunha circunferencia, usando a letra π (perifería) para indicar a circunferencia e a letra δ para indicar o diámetro. Non obstante, o primeiro que usou a letra π en solitario para simbolizar 3,14159 ..., para referirse ao cociente entre a circunferencia e o diámetro, foi William Jones, que a introduciu nun texto de 1706. Aínda así, π non se impoñería nos círculos matemáticos ata que EuTetractis 44

ler comezase a usalo 30 anos despois. UNIDADE IMAXINARIA: As expresións nas que aparecían raíces cadradas de números negativos foron denominadas por Descartes en 1637 imaxinarias. Pero ata 1777 o símbolo “i” nunca fora utilizado para a unidade imaxinaria, ata que o fixo Euler, aínda que foi Gauss quen empezou a usalo a miúdo uns anos máis tarde. BASE DOS LOGARITMOS NATURAIS: O símbolo é a letra ‘e’. Non está moi clara a súa orixe, quizais débese a que provén de exponencial ou tamén cabe a posibilidade de que fora a primeira letra que Euler (a quen lle debemos o seu uso) utilizou naquel momento. DERIVADA PARCIAL: Foi introducida por Legendre no 1786 para distinguir as derivadas parciais das derivadas totais. Algúns confundena coa delta grega (δ) debido a que Hamilton usou unha notación semellante á de Legendre pero utilizando a δ en vez da ∂ redondeada para referirse á derivada parcial. CONXUNCIÓN COPULATIVA, 7: É o símbolo utilizado na lóxica para indicar a conxunción copulativa ”e”. Descoñécese a súa orixe, aínda que se supón que se orixinou por inversión do signo ‘<’ utilizado para a disxunción. CONXUNCIÓN DISXUNTIVA, <: É o símbolo usado na lóxica para indicar a conxunción disxuntiva “ou”. Úsase por ser “<” a inicial da conxunción disxuntiva latina vel. O seu primeiro uso atópase nos Principia mathematica (1910) de Whitehead y Russell. CONXUNTO BALEIRO Ø: Non ten nada que ver coa letra grega phi. É a combinación dun cero cunha barra “/” (Ø). Úsase para representar conxuntos que non conteñen elementos. CONXUNTO DE NÚMEROS ENTEIROS: É simplemente a inicial de Zahlen (Z), que en alemán significa “números”. O seu uso ven da época na que o concepto de conxunto expandiuse por terras centroeuropeas. EXPOÑENTE DUNHA POTENCIA: Chuquet, no século XV foi o primeiro que colocou o expoñente nunha posición elevada con respecto á liña base. Aínda que se colocaba directamente no coeficiente, 5x2 o escribía como 52. James Hume publicou no 1636 unha edición da álxebra de Viéte na que utilizou unha notación practicamente igual á actual, salvo que él utilizou números romanos. Foi Descartes quen substituíu os números romanos polos indoarábigos. FUNCIÓN DE X: Johann Bernoulli, a finais do século XVII empezou a utilizar símbolos especiais para as funcións. Xuño, 2010

En 1718, simplificou as cousas utilizando a letra grega φ (lese fi), que é a precursora da actual “f”. Unha vez máis, Euler, nos seus Commentari de San Petersburgo (no 1734) deixaría as cousas tal e como están hoxendía: f(x). NABLA: William Rowan Hamilton foi quen introduciu este símbolo no 1853 no seu libro Lectures on Quaternions. Nun principio utilizouse como un símbolo de propósito xeneral para calquera operador que se utilizase nun momento determinado; pero acabou fixándoo para o operador gradente. Non se sabe con seguridade quen lle puxo o nome. Ademais de Hamilton, outros candidatos son: James Clerk Maxwell, Tulio Levi-Civita e Heaviside. O termo nabla fai referencia a un antigo instrumento semellante á lira pero de forma triangular. INCLUSIÓN: É unha variante do signo < (menor que) introducida por Ernst Schröder en 1890 para ser usada unicamente entre conxuntos e non entre números. O conxunto que se pon á esquerda é o que está incluído no conxunto da dereita. INCÓGNITA: Os árabes para representar a incógnita usaban o termo shay, que quere dicir cousa. Nos textos españois escribiuse xay que co tempo quedou nunha simple x. Os exipcios a chamaban aha, literalmente “montón”. Durante os séculos XV e XVI se lle chamou res en latín, chose en francés, cosa en italiano e coss en alemán. INFINITO MATEMÁTICO, ∞: O inventou o matemático inglés John Wallis arredor do 1655. Non se sabe certamente de onde procede. Uns din que é unha variante dun dos símbolos romanos para mil; outros aseguran que é unha variación sobre a omega minúscula e outros que é a curva lemniscata de Bernouilli. INTEGRAL, ∫: É a inicial da palabra latina summa, tráta-

se dunha “s” alongada, e fai referencia a que integral é a suma das áreas dun conxunto de rectángulos cuxas alturas veñen dadas polos valores dunha función e cuxas bases teñen lonxitudes infinitesimais. Este símbolo (∫) débese a Leibtniz, coinventor do cálculo. PERTENZA: Foi utilizada por primeira vez por Peano no 1895. É unha letra grega épsilon estilizada. O elemento que se escrebe á súa esquerda é o que pertence ao conxunto da dereita. Ten un gran parecido co símbolo do euro, e isto débese a que este último tamén provén da épsilon grega. PRODUTO CONTINUO: A letra pi minúscula foi utilizada por Ruffini para indicar factoriais. Co tempo este uso pasou á pi maiúscula (Π). En 1812, Gauss iniciou o uso da maiúscula, Π, para indicar produtos continuos. SECCIÓN ÁUREA: O uso desta letra propúxose a finais do século XX. E a letra phi (φ) inicial do nome do escultor Fidias, quen utilizou con frecuencia a sección áurea nas súas obras. RAÍZ: Christoph Rudolff foi quen introduxo este signo matemático no 1525 (√). Euler conxeturou no 1775 que se trataba dunha forma estilizada da letra r, inicial do termo latino radix, “radical”. Aínda que tamén existe outra teoría, que di que o signo actual evolucionou a partir dun punto ao que posteriormente se lle engadiu un trazo oblicuo na dirección do radicando. SUMATORIO, ∑: O uso da sigma grega maiúscula débese a Euler, quen empezou a usala no 1755 coas seguintes palabras: “ summan incabimus signo ∑”. Está claro que ao ser sigma a letra grega equivalente a “s” de suma está na orixe da súa elección. Marta Sobrino Gosenje, 1º Bach. A

ORTOGRAFÍA MATEMÁTICA A ortografía é o conxunto de normas que regulan a escritura. É a parte da gramática normativa encargada de establecer as regras que regulan o correcto uso das palabras e dos signos de puntuación. Existen certos usos non lingüísticos dos signos de puntuación, referidos a notacións ou expresións maiormente científicas e téc-

• Os símbolos das unidades son entidades matemáticas

e non abreviaturas. Polo tanto, non van seguidos dun punto, agás ao final dunha frase, nin se usa o plural, pois os nomes non son entidade matemáticas. • Non se permite empregar abreviaturas para os símbolos e nomes das unidades, coma seg (por s ou segundo), mm cadr. (por mm2 ou milímetro cadrado), cc

Tetractis 44

nicas, como podemos atopar nas matemáticas. O Real Decreto 2032/2009, de 30 de decembro, polo que se establecen as unidades legais de medida veu a dar un pouco de claridade, sobre todo no capítulo III: Regras de escritura dos símbolos e nomes das unidades. Vexamos algunhas destas regras:

(por cm3 ou centímetro cúbico)…

• O valor numérico precede sempre á unidade e

sempre deixa un espazo entre o número e a unidade. As únicas excepcións a esta regra son os sím-

bolos de unidade de grao, minuto e o segundo de ángulo plano: °, ′ e ″. • O símbolo utilizado para separar a parte enteira da Xuño, 2010

súa parte decimal denomínase “separador decimal”. O símbolo do separador decimal é a coma, na propia liña de escritura. Se o número está comprendido entre -1 e +1, o separador decimal vai sempre precedido dun cero. • Os números con moitas cifras pódense repartir en grupos de tres cifras separadas por un espazo, a fin de facilitar a lectura. Estes grupos non se separan nunca por puntos nin comas. Nos números dunha táboa, o formato non debe variar na mesma columna. • A multiplicación débese indicar mediante un espazo ou punto centrado a media altura (·). A división indicase mediante unha liña horizontal, unha barra oblicua (/), ou mediante expoñentes negativos. Cando se combinan varios símbolos de unidades, hai que ter coidado para evitar toda ambigüidade, por exemplo utilizando corchetes ou parénteses, ou expoñentes negativos. Nunha expresión dada sen parénteses, non se debe utilizar máis dunha barra oblicua, para evitar ambigüidades. NORMAS

TIPOGRÁFICAS MÁIS USUAIS

• A liña de fracción ten que ter máis lonxitude, tanto á esquerda como á dereita, do espazo que ocupa o número. • Se a fracción é negativa, o signo negativo pode ir tanto diante da liña de fracción como do numerador. As fracciones poden escribirse tanto en horizontal como en vertical. 3 −3 − −3 4 4 4 • Se a fracción vai entre un texto e é vertical, a liña de fracción ten que atoparse á metade da liña do texto:

4x + y 2 NAS POTENCIAS • O expoñente é sempre de menor tamaño que a base: 4,17 3 8,98 . 10 4 • O expoñente non pode ir pegado á base: 2 3, 5 4 • A parte máis alta do expoñente sobrepasa á base:

( )

9 2 y−1

• Os signos de por cen (%) e de por mil (‰) non deben O expoñente pode ser unha operación: 2 (5/4) · (2/3) levar espazo respecto ó número que os antecede: Se o expoñente é unha fracción, a liña da fracción 30%, 30‰ debe aliñarse co extremo superior da base: • O signo de graos (º), ao falar de temperatura, colocax 2 3 rase xunto á C de centígrados e separado da cifra: 21 ºC, 30 ºC NAS RAÍCES • Non se deben colocar nunca dous signos xuntos, te- • O símbolo da raíz debe ser sobrepasar ao último núñen que estar separados por un paréntese: mero que vai dentro da raíz: 2 ·(-3) 4+ x • Se ó finalizar unha liña deixamos unha expresión sen rematar, debemos colocar un signo ao final da devan- • O índice da raíz debe ir na abertura do símbolo da dito liña. Ese mesmo signo será o priraíz: 3 5 5 − +2= 3x + 4 meiro que colocaremos na seguinte 4 3 9 20 24 35 = − + = liña para continuar a operación: Se o radicando é unha fracción, o símbolo de raíz de12 12 12 12 be chegar hasta o final do denominador: • Na expresión numérica do tempo, o punto separa as 5 − x horas dos minutos: 21.25 h, 13.30 h. Tamén poden 2 x + 3 empregarse os dous puntos: 21:25 h, 13:30 h. NAS OPERACIÓNS • Cando indica a multiplicación de dúas cantidades ou expresións, ten que colocarse sempre a media altura: • Ten que haber un espazo entre o número e o signo: x2 – 4x + 2 6 . 7 = 42; 2 . (x + y) = 2x + 2y • Este uso alterna co símbolo tradicional en forma de • Se hai un paréntese, non hai espazo entre este signo e o número ou outro signo, e este debe abrirse e peaspa. Tamén pode prescindirse deste signo para indicharse: (-5,32 . 7x2 . 3x) car o produto de dúas expresións: x = 2 . y = 2y. • Nos números negativos non debe de haber separación • Nas ecuacións, se existe un produto, nunca se pon o signo de multiplicación entre o número e a variable: entre o signo menos e o número: -3,65, -8,12, etc. 0,5x 48(y - 2) • O numerador e o denominador deben atoparse á mesTampouco se existen varias variables: 4xyz ma distancia da liña de fracción e centrados estar centrados respecto á liña de fracción:

5 4 Tetractis 44

Adriana Vega Álvarez, 1º Bach. A

7x − 3 9 16

Xuño, 2010

Ano V. Boletín nº 45

Depósito legal: C 2766-2006

MARÍA WONENBURGER: DOUTORA

Setembro, 2010

HONORIS CAUSA POLA

UNIVERSIDADE

CORUÑA

Universidade da Coruña investiu doutora honoris causa á matemática coruñesa María Wonenburger no acto de inauguración do curso 2010-11, que abriu a tamén matemática, Ana Tarrío Tobar. Foto da Voz de Galicia

A Universidade premia a gran aportación ao mundo da álxebra a esta matemática que xa recibira o Premio "Muller Ciencia-Arte" da Universidade da Coruña. O Premio María Wonenburger, creado pola Xunta de Galicia, premia ás mulleres galegas que destacan na Ciencia e na Tecnoloxía.

O IES DE MUGARDOS ESTREA RELOXO

DE SOL

IES de Mugardos inaugurará proximamente un reloxo de sol, deseñado polo profesor italiano de Ciencias e Matemáticas, Alberto Cintio, grande estudioso da Astronomía. Será o terceiro reloxo desta zona, xa que, reloxos similares pódense observar no IES Elviña (A Coruña) e na igrexa de Ares (na foto). Este reloxo presenta dúas hipérboles (unha para o verán e outra para inverno) que corresponden ás trayectorias das sombras proxectas por un gnomon durante estas estacións. A liña recta do reloxo corresponde á traxectoria nos equinoccios (21 de marzo e 21 de setembro, xeneralmente). Alberto Cintio é un profesor e sacerdote italiano que mantivo intercambios escolares (Proxecto Comenius) con IES Elviña.

INAUGURACIÓN

DO CURSO EN

ESTALAMAT

Presentada unha nova promoción

O pasado sábado, 18 de setembro, inaugurouse un novo curso ESTALMAT e foi presentada a nova promoción que permanecerá dous cursos académicos. A mesa presidencial estivo formada, entre outros, por: D. Juan J. Casares Long, Reitor da USC D. Amable Liñán Martínez, Director de ESTALMAT Dna. Victoria Otero Espinar, Decana de Mat. (USC) D. Juan M. Viaño Rey, Presidente Estalmat-Galicia

www.tetractismonelos.blogspot.com

Iván García Vázquez

CARDIOIDE Recibe o seu nome debido á súa peculiar forma que recorda á dun corazón. A súa definición matemática di: é aquela curva descrita por un punto P dunha circunferencia de raio a que roda por fóra dunha circunferencia do mesmo radio .

A súa ecuación xenérica ven dada pola expresión : (x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)

CATENARIA

Esta curva é a que describe un cable colgante suxeito polos extremos, coma os

empregados polas compañías eléctricas para levar a corrente de alta tensión entre as centrais eléctricas e os centros de consumo. É unha curva moi importante tanto na física como nas matemáticas. Outro dos seus usos vese reflectido na arte, como por exemplo, na utilización de arcos catenarios invertidos que gardan un sorprendente equilibrio, Na Sagrada Familia de Antonio Gaudí. A súa ecuación ven definida por:

CICLOIDE

Curva que describe a posición dun punto nunha circunferencia cando esta se fai rodar ó longo dunha liña recta. Cando este punto

coincide de novo con eixe de coordenadas, a curva repítese de xeito cíclico, de aí o seu nome. As súas ecuacións paramétricas son :

ELIPSE É unha das chamadas curvas cónicas, xa que procede da intersección dun plano cunha superficie cónica, de xeito oblicuo, cortando todas as rectas xeneratrices e sen pasar polo vértice do cono. Esta curva pechada posúe dous focos no seu interior, de xeito que se cumpre que a suma dos raiovectores (distancia dun punto ó foco) é constante e igual á lonxitude do eixo maior da elipse.

Consiste na traxectoria que describen os planetas no seu desprazamento, e emprégase tamén nunha serie de elementos máis ou menos cotiáns: corda do xardiñeiro...

Tetractis 45

Setembro, 2010

PARÁBOLA É outra das curvas cónicas. Defínese como o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dun punto fixo chamado foco e dunha recta fixa chamada directriz. No punto medio de este punto e esta recta fixos, atópase o seu vértice, punto de intersección da curva co seu eixo. A súa ecuación ven dada pola expresión : y = ax²+bx+c É unha curva moi útil empregada tanto na astronomía con algunhas traxectorias dos corpos celestes como nas antenas receptoras de sinais débiles (debido a que ten a capacidade de concentrar o sinal nun punto, o foco, e facela así máis perceptible). Doutra banda, é interesante saber que todo corpo describe unha traxectoria parabólica ó ser lanzado ó aire (a auga dunha fonte...). HIPÉRBOLE A última das curvas cónicas. Aparece en moitas das situacións reais como o rexistro acústico que deixa un avión supersónico que voa paralelamente coa superficie terrestre, ou a intersección da parede co cono de luz que emana dunha lámpada de mesa. Defínese como o lugar xeométrico dos puntos para os cales a diferenza dos raiovectores é constante e igual ó seu eixo real. As asíntotas, son as rectas tanxentes a esta curva no infinito. ESPIRAIS Unha espiral é unha liña curva xerada por un punto que se vai alonxando progresivamente do centro á vez que xira arredor del. Espiral logarítmica

Espiral de Arquímedes

Espiral de Cornu o Clotoide Curva utilizada para o trazado de vías de comunicación

Espiral áurea o de Durero Tetractis 45

Setembro, 2010

XEOMETRÍA DE PAPEL: A ESPIRAL DE PAXARIÑAS

Alicia Pedreira Mengotti

MATERIAL 8 cadrados cos lados en progresión xeométrica de razón 1,

, 2, 2

, 4, 4

, 8, 8

Para lograr estas proporcións, partimos de folios de diferentes cores, 1 con formato DIN A3, co que facemos o cadrado maior, e 7 DIN A4, que imos cortando sucesivamente á metade e formamos os cadradiños desas proporcións. As áreas dos cadrados tamen formarán progresión xeométrica de razón r=2, e dicir a progresión das áreas será: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

DIAGRAMA DA PAXARIÑA

Formatos DIN (A3, A4, A5, A6,…) Cada un é a metade do anterior 2Area(AUTV) = Área (ABCD)

Tetractis 45

Setembro, 2010

Ano V. Boletín nº 46

DÍA

Depósito legal: C 2766-2006

CIENCIA

GALEGO: 4

DE NOVEMBRO

AGAPEMA, ENCIGA, APTEGA, IGACIENCIA, A Coordinadora Galega de Equipos de Normalización e Dinamización Lingüística (ENDL) súmanse á pro-

Outubro, 2010

DÍA MUNDIAL

ESTATÍSTICA

Nacións Unidas declarou o 20 de outubro de 2010 (20-10-2010) o día Mundial da Estatística que SGAPEIO (Sociedade ga-

lega para a promoción da estatística e da

posta de celebrar o 4 de novembro de investigación de operacións) celebra 2010 como o Día da Ciencia en Galego, cunha programación de actividades que que vai estar dedicado a Ramón María podes consultar na súa páxina web Aller, Afonso X e James Clerk Maxwell.

www.cienciaengalego.org

QUE UTILIZAN OS NOSOS ALUMNOS.

A Estatística é unha ferramenta básica que forma parte indiscutible da cultura media do cidadán, xa que non se pode comprender axeitadamente o mundo actual sen habilidades mínimas de razoamento en condicións de incerteza. É tamén un instrumento imprescindible na investigación científica, na que o método estatístico forma parte esencial da contrastación e validación do avance do coñecemento.

OBXECTOS

Un obxecto do noso contorno:

UNHA ACTIVIDADE A REALIZAR TODOS OS CENTROS GALEGOS: Construír e elevar un papaventos, estudar o seu funcionamento e a súa historia. PARÁMETROS CATRO

ESTATÍSTICOS

MODELOS

COS

CALCULADORA

En páxinas centrais...

MATEMÁTICOS COTIÁS

Nova sección en Tetractis

www.sgapeio.es/dia_mundial.html A PONTE DO PEDRIDO

Abrimos unha nova sección en Tetractis co obxectivo de estimular a observación das propiedades matemáticas dos obxectos que podemos atopar no noso contorno: no fogar, no deseño urbano e industrial, na arquitectura, na arte, na natureza...Comezamos con estes seis obxectos que podes observar no cartel que anuncia a actividade. Que propiedades matemáticas podes observar neles?

Participa e deixa a túa proposta en: www.tetractismonelos.blogspot.com/2010/10/ obxectos-matematicas-cotias.html

Tamén podes propoñer outros obxectos.

www.tetractismonelos.blogspot.com

Consta de 13 arcos (10+3) que teñen por curva directriz a cuártica que se pode observar á marxe e un arco central atirantado coa curva directriz parabólica. Consulta este artigo no blogue Tetractis.

PARÁMETROS

ESTATÍSTICOS EN CATRO

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísticos son: • MODE SD: MODE · • Borrar datos anteriores: SAC (SHIFT AC) • Introducir datos: a)

DATOS

SEN TABULAR:

9 3 7 8 3 6

b) DATOS TABULADOS: xi

9 [DATA], 3 [DATA], …, 6 [DATA]

Introducir os datos, na seguinte orde: 1x3 [DATA], 2x4 [DATA], …, 5x2 [DATA]

•

EXTRAER

DATOS:

Nº de datos (n): SHIFT 6 Desviación típica: SHIFT 8 Σxi 2 SHIFT 4

Media aritmética: SHIFT 7 Σxi SHIFT 5

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar DEL: SHIFT M+

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísticos son: • MODE SD: MODE MODE 1 (noutros modelos similares:MODE 2) • Borrar datos anteriores: SHIFT [Scl] = • Introducir datos: a)

DATOS

SEN TABULAR:

9 3 7 8 3 6

b) DATOS TABULADOS: xi

9 [DT], 3 [DT], …, 6 [DT]

Introducir os datos, na seguinte orde: 1 SHIFT ; 3 [DT], …, 5 SIFTH ; 2 [DT]

•

EXTRAER x: Fx:

DATOS:

SHIFT 1 SHIFT 2

Σxi: RCL B Σxi 2 : RCL A n: RCL C

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar: SHIFT CL

Tetractis 46

Outubro, 2010

MODELOS DE CALCULADORAS

CASIO

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísticos son: • MODE SD: MODE MODE 1 (noutros modelos similares:MODE 2) • Borrar datos anteriores: SHIFT CLR 1(Scl) = AC • Introducir datos: a)

DATOS

b) DATOS TABULADOS:

SEN TABULAR:

9 3 7 8 3 6

1 [DT] ⇓ x1 = 1 ⇓ Freq1 = 1

9 [DT], aparece na pantalla n=1 3 [DT], “ “ n=2 …, … 6 [DT] “ “ n=5

2 [DT] ⇓ x2 = 2 ⇓ Freq2 = 1 …,

3= 4=

…

5 [DT] ⇓ x5= 5 ⇓ Freq5 = 1

EXTRAER

•

DATOS:

SHIFTH 1 (S-SUM)

SHIFT 2 (S-VAR)

1 : Σxi 2 2 : Σxi 3: n

1: x 2 : Fx 3 : desviación típica mostral

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísticos son: • MODE STAT: MODE 2 1 (1-VAR) a)

DATOS

SEN TABULAR: SHIFT SETUP ⇓ Frecuency? 2:OFF 9 3 7 8 3

b) DATOS TABULADOS: AC SHIFT SETUP ⇓ Frecuency? 1:ON

Para acceder á táboa: SHIFT 1 2 (Data)

Para acceder á táboa: SHIFT 1

2 (Data)

X 1

•

EXTRAER

9 xi

Tetractis 46

FREQ

DATOS:

SHIFT 1

4 : Sum 1: Σxi 2

2: Σxi

5: Var 1: n

2: x

3: Fx 23

Outubro, 2010

INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA (IGE)

proveitando o Día Mundial da Estatística, declarado pola Organización de Nacións Unidas para o 20 de outubro de 2010, podemos visitar á páxina web do Instituto Galego de Estatística (IGE) onde poderemos consultar ou baixar anuarios coma: Datos estatísticos básicos de Galicia 2010, Galicia en cifras 2008 e outros; tamén poderemos consultar información estatística da sociedade galega en varios campos coma: vivenda, educación, sanidade, ocio… Un apartado importante da páxina web é o Portal Educativo onde poderemos consultar unidades didácticas coma: Porcentaxes e taxas, Probabilidade, Estatísti-

www.ige.eu

ca descritiva, Series de tempo ou Regresión; ver o tipo de Representacións gráficas, ou visitar ao apartado de Estatística recreativa con curiosidades, chistes, verdades ou mentiras da estatística e medir o grao de coñecemento respondendo a test de varios niveis.

Aquí podemos observar algúns ejemplos realizados na clase de Métodos Estatísticos, onde os alumnos realizan gráficos estatísticos a partires de datos recollidos na páxina web do IGE: EVOLUCIÓN DOS INMIGRANTES EXTRANXEIROS EN GALICIA (Mercedes Fdez. Marta)

DATOS METEOROLÓGICOS EN SANTIAGO DE COMPOSTELA (Por Sabela Fernández)

IDADE MEDIA NO PRIMEIRO MATRIMONIO DE HOMES E MULLERES (Beatriz Fdez. Marta)

Tetractis 46

NACEMENTOS NA PROVINCIA DA CORUÑA, SEGUNDO SEXO (Cristian Ramos Lorenzo)

Outubro, 2010

Ano V. Boletín nº 47

Depósito legal: C 2766-2006

1º ANIVERSARIO DO BLOGUE

MATEMÁTICAS NOS OBXECTOS COTIÁS

O vindeiro, 30 de novembro, o blogue cumplirá un aniño, e para celebralo planteámonos o obxectivo de publicar unha entrada cada día deste mes.

¡Non perdas nin un só día!

Tamén iniciamos novas seccións coma: • Calculadora. • Matemáticas nos obxectos cotiás. • Que curioso! • Recopilatorio de Tetractis en volumes. que poderás ver neste número de Tetractis. Aquí tes algunhas das entradas do mes:

TETRACTIS NA WIKIPEDIA GALEGA

Tetractis xa ten unha entrada na wikipedia galega (Galipedia) que podes ver no enderezo:

http://gl.wikipedia.org/wiki/Tetractis

MAPA MATEMÁTICO Tetractis xa forma parte do Mapa MatemáTICo en Google Maps, unha rede de Blogues Educativos, Sitios Web, Páxinas de Departamentos Didácticos de Matemáticas e Wikis dedicados á ÁREA DE MATEMÁTICAS.

A SAGRADA FAMILIA: MARABILLOSA XEOMETRÍA Antonio Gaudí proxectou a Sagrada Familia combinando formas xeométricas, elixidas polas súas cualidades estruturais, lumínicas, acústicas...: para iso utilizou cuádricas (hiperboloides, paraboloides e elipsoides), helicodes e conoides. O feito de deseñalas coma superficies regradas facilita a súa construcción.

www.tetractismonelos.blogspot.com

Novembro, 2010

Matemáticas básicas no pentagrama.

unha partitura referida a unha obra musical podemos atopar máis matemáticas das que nos imaxinamos. Observemos estes penta‐ gramas pertencentes a unha partitura para piano:

A simple vista, vemos que un pentagrama está formado por cinco seg‐ mentos paralelos e dividido en compases por segmentos perpendicu‐ lares a eles. Os compases son, por así dicilo, fraccións dun pentagrama. En música, a palabra compás ten dous significados. Un deles, é do que acabamos de falar, fraccións dun pentagrama. O outro, refírese a dous números enteiros que atopamos ao comezo dunha obra. O superior indica o numero de figuras que haberá en cada compás, e o inferior a que tipo de figuras nos referimos, xa que cada figura ten asignado un número. Nesta partitura que ten un compás que se le dous por catro, ten que haber dúas negras en cada compás (referíndonos a fracción dun pentagrama). Todas as figuras teñen unha relación de equi‐ valencia, como vemos na táboa da esquerda. Ao principio do penta‐ grama, vemos o símbolo ♯, chamado sostido, que aumenta o 50% do ton das notas ás que afecte. Neste caso, afecta á nota fa, xa que está co‐ locado na liña onde se escribe esa nota. Pola contra, se houbera estou‐ tro símbolo ♭, chamado bemol, reduciría o ton da nota nun 50%. Ta‐ mén podemos colocar estes dous símbolos ao lado de calquera das notas que queiramos alterar. No terceiro compás, usando a palabra compás como fracción do pentagrama, vemos unha negra que ten un puntiño. Este símbolo au‐ menta a duración da figura nun 50%. Se tomamos n como valor da nota, poderiamos expresar matematicamente o seu valor final da se‐ guinte maneira: Valor da nota con puntiño= Finalmente, nunha partitura para piano como esta, podemos ver uns pequenos números encima de cada nota chamados dixitacións (algo terá que ver coa palabra díxito, que usamos para os número 0,1,2,3…), que indican o dedo con que se ten que executar a nota. Para as dúas mans, o polgar é o 1, o índice o 2, o corazón o 3, o anular o 4 e o mainiño o 5. Elena López Serrapio, 3º ESO B

VARIABLES

ESTATÍSTICAS BIDIMENSIONAIS:

Tratamos de calcular o coeficiente de correlación, o coeficiente de regresión, a recta de regresión e estimar valores na distribución bidimensional que aparece á marxe. • MODE MODE 2 • SHIFT SCL = • Intoducir datos: 1 , 20 DT 2 , 22 DT 3 , 21 DT 4 , 24 DT 5 , 26 DT

Este modelo de calculadora só traballa con variables estatísticas unidimensionais e non permite calcular o coeficiente de correlación ou o de regresión. A recta de regresión de y sobre x será: y = A + Bx A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y: Ŷ (3,5), 3.5 SHIFT Ŷ

1 (Regresión Linear) (Borrado de memoria)

^ x (25),

• Acceso a parámetros:

SHIFT 1

7(REG)

^x (25), 25 SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ ⇒ 1 E calcular outros parámetros: • x, σx, y, σy (con SHIFT e S-VAR) • Σx2 , Σx , n SHIFT S-SUM 1, 2 ou 3 • Σy2 , Σy, Σxy SHIFT S-SUM ⇒ 1, 2 ou 3

1 2 3

A recta de regresión de y sobre x será: y = A + Bx A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y: Ŷ(3,5), 3.5 SHIFT 1 7(REG) 5

^x (25), 25 SHIFT 1

(Regresión Linear)

7(REG) 4

E calcular outros parámetros: • n, x, σx, y, σy SHIFT 1 5(VAR) 2 • Σx , Σx , Σy2 , Σy, Σxy SHIFT 1 4(SUM)

A: 1. Ordenda na orixe da recta de regresión B: 2. Coeficiente de regresión de y sobre x r: 3. Coeficiente de correlación Tetractis 47

SHIFT

A recta de regresión de y sobre x será: y = A + Bx A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y: Ŷ(3,5), 3.5 SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ ⇒ 2

• MODE MODE 2 1 (Regresión Linear) • SHIFT CLR 1(Scl) = (Borrado de memoria) • Intoducir datos: 1 , 20 DT aparece n = 1 2 , 22 DT “ n=2 3 , 21 DT “ n=3 4 , 24 DT “ n=4 5 , 26 DT “ n=5 Os elementos necesarios son: A: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ B: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ r: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒

E calcular outros parámetros: • x, σx, y, σy (con SHIFT e 1, 2, 4 e 5) • Σx2 (RCL A), Σx (RCL B), • Σy2 (RCL D), Σy (RCL E), • Σxy (RCL F)

Os elementos necesarios son: (coeficiente de correlación) r: SHIFT r A: SHIFT A (coeficente de regresión) B: SHIFT B

• STAT: MODE 2 2 • Introducir datos: SHIFT 1 2(Data)

REGRESIÓN LINEAR

Novembro, 2010

RELOXOS MATEMÁTICOS PARA TODOS

...para os calculadores

...para os radiáns

...para os trigonométricos

...para a cuadratura do triángulo

...para os dixitais

...para os múltiplos de 7

...para os funcionais

...para os nove-adictos

...para os primos

...para os cartesianos

...para os enrolados con Arquímedes

...para os sesaxesimais

...para os binarios

...para os matediversos

...para outros matediversos

...para os complexos

...para os euleriáns

...para os radicais

...para os que abandoan o xiz

...para os fotógrafos

TARACEAS

taracea ou marquetería é una técnica artesanal empregada no revestimento de pavimentos, paredes, mobles, esculturas e obxectos artísticos. Para elaboralas utilízanse pezas de distintos materiais (madeiras, metais...). Elabóranse incrustando pequenas pezas destes materiais nomeados nun fondo macizo co fin de crear un deseño decorativo. Pódense facer en pedra dura, en madeira, en xeso, en metais... A taracea mais utilizada consiste en incrustar na madeira ou no metal materiais como o marfil, Carei, cobre ou a propia madeira. O efecto de contraste depende da cor e da textura dos materiais utilizados. Por exemplo, as madeiras exóticas (a caoba e o ébano), ou as combinacións de marfil e madeiras coloreadas, permiten deseños de gran beleza e finura. Polo xeral a taracea utilizouse para decorar mobles, instrumentos musicais e pequenos obxectos de madeira. Encontramos un exemplo de taracea no mobiliario chino da dinastía Ming (1368-1644). En Europa a taracea empregouse sobre todo nos séculos XVI e XVII. FRA GIOVANNI GIOCONDO

Giovanni Giocondo naceu en Verona (norte de Italia) en 1433 e faleceu en 1515. Foi arquitecto, arqueólogo e estudoso da idade antiga clásica. Ingresou na Orden Dominicana a idade de dezaoito anos, e converteuse nun máis dos moitos membros desta orde que foron pioneiros do Renacemento. Sen embargo, poste-

FRA GIOVANNI riormente fíxose franciscano. Comezou a súa carreira como profesor de latín e grego en Verona onde tivo como alumno Xulio César Escalígero. Frade, arqueólogo e moi bo no debuxo, visitou Roma onde debuxou os edificios da antigüidade, escribiu a historia dos seus grandes monumentos e completou moitas inscricións deterioradas. Estimulou o estudio clásico a través de coleccións de antigos manuscritos, un dos cales, terminado en 1492, regaloullo a Lorenzo de Medicís. Pronto volveu a súa cidade natal, onde construíu pontes e proxectou fortificacións para Treviso, facendo de arquitecto

Mazzochio é un poliedro que se pode inscribir nun toro; é similar a un sombreiro florentino do renacemento.

e de inxenieiro e incluso de director a pé de obra de seus proxectos. AS SÚAS TARACEAS

Son mosaicos feitos de anacos de madeira con incrustacións. Trátase dun arte que alcanzou o seu esplendor no norte de Italia no século XV e principios do XVI. Abaixo preséntanse cinco taraceas de Fra Giovanni, elaboradas arredor de 1520. Unhas atópanse no mosteiro de Monte Olivetto Maggiore e outras na igrexa de Santa María,

Taracea na Alhambra

Verona Hai que ter en conta que as taraceas son paneis planos. A aparición das portas do armario abertas son un tipo de efecto da súa perspectiva maxistral. Para a construción da taracea, empregáronse debuxos como modelos para cortar moitas pezas de madeira (tal vez un millar). A madeira das pezas cortadas pégase a outra madeira e vernízase. As diferentes cores proporcionan matices diferentes. As veces aplícase calor para que a madeira ofreza unha gama mais ampla de tonalidades. Conteñen debuxos feitos por Leonardo da Vinci para a obra ’A divina proporción’ de Luca Paccioli e aparecen: aproximacións poliédri-

cas á esfera, icosaedro, icosaedro truncado, mazzochio, cuboctaedro, poliedros estrelados...

Javier Goyanes Souto. 1º Bach. B

Ano V. Boletín nº 48

Depósito legal: C 2766-2006

X ANIVERSARIO

AGAPEMA

O pasado xoves, 16 de decembro, celebrouse o X Aniversario da fundación de AGAPEMA, e a súa delegación coruñesa celebrouno cunha charla do profesor e cofundador, Manuel Pazos Crespo (Coque), baixo o título:

Aprender e ensinar: dúas caras dun mesmo oficio

Ao finalizar o acto, a secretaria da Delegación de zona de Agapema e profesora de matemáticas do IES Monelos, Carmen Peñamaría Ramón (Miti) , entregou a Coque un agasallo, o cono de Apolonio, similar ao que aparece na película Agora. INSTITUTO GEOGEBRA

Decembro, 2010

CONCURSOS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Xa están convocados algúns dos concursos de resolución de problemas nos que participan os nosos alumnos: OLIMPÍADA MATEMÁTICA PARA ALUMNOS DE BACHARELATO

21 de xaneiro de 2011

GALICIA (IGG)

O documento de constitución foi aprobado o 23 de novembro

O Instituto GeoGebra de Galicia forma parte da Asociación Galega de Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). O Presidente proposto para o Instituto GeoGebra de Galicia é o profesor Enrique de la Torre Fernández, Profesor Titular de Educación Matemática na Universidade da Coruña e Delegado de AGAPEMA-Coruña. CANGURO MATEMÁTICO Algúns obxectivos do Instituto GeoGebra de Galicia son: 17 de marzo de 2011 • A difusión do GeoGebra. • A organización de cursos para ensinar o uso do GeoGebra na clase e adestrar novos usuaOPEN MATEMÁTICO rios e futuros formadores. Comezará o 17 de xaneiro e desenvolve• A organización de encontros e seminarios rase durante 7 xornadas (a 1ª durará para presentar, compartir e discutir o uso dúas semanas, as cinco seguintes, unha do GeoGebra. semana e a 7ª será unha concentración Publicados no blogue nun centro sen determinar). dous novos carteis de: O tema deste será: OBXECTOS Poesía Visual e Matemáticas. MATEMÁTICOS COTIÁS

Non te perdas a nova sección:

MENTIRAS E MATEMÁTICAS

www.tetractismonelos.blogspot.com

ABELLAS E MATEMÁTICAS “Se a abella desaparecera da superficie da terra, ao ser humano so lle quedarían catro anos de vida: sen abellas non hai polinización, nin herba, nin animais, nin homes...” Albert Einstein

ABELLAS E O PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

s abellas, cando gardan o mel, teñen que resolver

varios problemas; precisan gardar o mel en celas individuais, de tal maneira que formen un mosaico sen ocos nin saíntes entre as celas, xa que hai que aproveitar o espazo ao máximo. So poderían facelo con triángulos, cadrados e hexágonos. ¿Por que elixiron entón os hexá-

usarse diferentes tamaños de círculos para aproximar-

gonos, se son máis difíciles de construír?

nos a un plano case cuberto. Se quixéramos unha solución efectiva e o máis sinxela posible, deberíamos utilizar todas as figuras iguais e regulares como son os triángulos, cadrados, rectángulos o hexágono. Pero de estas figuras, a igualdade de perímetro, a que ocupa maior área é o hexágono, que é precisamente a figura que usan as abellas.

A resposta é un problema isoperimétrico. Pappus de Alexandría demostrou que, entre todos os polígonos

Usando o hexágono, as abellas conseguen, cun mínimo gasto de cera, un máximo almacenamento do mel.

regulares co mesmo perímetro, collen máis área aqueles que teñan maior número de lados. Por iso, a figura que colle maior área para un perímetro determinado é o círculo, que posúe un número infinito de lados, pero non poden usar os círculos porque lles quedarían moitos ocos por cubrir, e terían que usar círculos de diferentes tamaños. Por iso as abellas constrúen as súas celas en forma hexagonal, xa que, gastando a mesma cantidade de cera nas celas, conseguen maior superficie para

Triángulo

Cadrado

Hexágono

Lado

4 u.

3 u.

2 u.

Perímetro

12 u.

6,93 u2

9 u2

10,392 u2

Área

gardar o seu mel. Xa no libro “A orixe das especies”, escrito por

Os enxames que construían os seus paneis con celas

Charles Darwin e publicado en 1859, facíase mención ao

hexagonais tiñan vantaxe fronte aos que non os cons-

fenómeno coñecido como “problema isoperimétrico”

truían así, pois cunha mínima produción de cera podían

aplicado ás abellas.

almacenar unha gran cantidade de mel para alimentarse

A resposta a que as abellas constrúan as celas en

no inverno. De este modo, aqueles enxames que desen-

hexágonos ten que ver coa selección natural e co pro-

volveron a variación que consiste en construír as celas

blema isoperimétrico. Este problema di que de todos os

hexagonais poderían sobrevivir en maior medida fronte

polígonos de igual perímetro, o que ocupa máis superfi-

aos que non a desenvolveron e terminaron por impoñer-

cie é o círculo. Pero con círculos non podemos recubrir

se aos outros. Isto foise amplificando ao longo dos sé-

o plano, quedarían moitos ocos sen cubrir, e terían que

culos e quedou gravado no código xenético das abellas.

Tetractis 48

Decembro, 2010

O código da ascendencia da abella tamén ten rela-

A SÚA COMUNICACIÓN MEDIANTE A DANZA

ción con esta sucesión, aparece na descrición da reproducción dunha poboación de abellas idealizadas, segundo as regras seguintes: Se unha larva non é fecundada por un macho, tra-

•

ma un varón.

•

Se, sen embargo, un ovo foi fertilizado por un macho, trama una femia. Así, unha abella macho terá sempre unha nai, pero

DANZA CIRCULAR DAS OBREIRAS

DANZA, EN OITO, DAS OBREIRAS

non pai, e unha abella femia terá pai e nai.

As abellas poden avisar ao resto do enxame acerca

Se un remonta a ascendencia de calquera abella ma-

da presenza de alimento e da súa dirección. O sistema

cho (1 abella), terá unha nai (1 abella); á súa vez, esta

que utilizan é a danza: una serie de movementos do cor-

femia tiña pai e nai (2 abellas); a femia tiña, de novo,

po da abella emisora que son captados polas antenas

dous pais, un macho e unha femia, e o macho tiña unha

das outras. A danza adquire dúas formas: unha circular

nai (3 abellas). E así sucesivamente, tal e como descre-

(se a fonte de alimento se atopa a menos de 50 m) e

be o seguinte gráfico:

outra, en forma de oito, que tamén indica a dirección,

se o alimento se acha máis lonxe. A SUCESIÓN DE FIBONACCI NAS ABELLAS

As abellas tamén teñen relación coas series de Fi-

bonacci: se observamos as celas hexagonais dunha cortiza e se coloca a unha abella nunha calquera delas, e se

lle permite alimentar á larva, supoñendo que continuará

sempre pola cela contigua da dereita, veremos que hai so unha ruta posible para a seguinte cela; dous cara a segunda, tres cara a terceira, cinco cara a cuarta, oito rutas posibles cara a quinta, etcétera. Na sucesión de Fibonacci cada termo obtense sumando os dous termos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... o termo xeral, FN, da serie de Fibonacci ven dada pola expresión:

O número de ancestros será: 1, 2, 3, 5, 8 ... Esta é, desde logo, unha idealización que non descrebe realmente os ancestros da abella. O

PROBLEMA DO VIAXANTE RESOLTO POLAS ABELLAS

Científicos británicos descubriron que as abellas son capaces de realizar a ruta máis curta posible entre

e é sorprendente na medida en que nela figura o termo:

as flores incluso se, nun experimento, se cambian de orde. Ao elixir a ruta máis curta e eficaz, son capaces de resolver un complexo e famoso problema matemático coñecido como o problema do viaxante de comer-

que é, nin máis nin menos, que Φ = 1, 61803..., o chamado

número áureo, o número máxico por excelencia, medida da beleza e patrón do crecemento en moitas das es-

ver. Sampedro Herranz Javier 1º Bach. B

tructuras dos seres vivos. Tetractis 48

cio, que un ordenador pode tardar varios días en resol-

Decembro, 2010

XEOMETRÍA

DE PAPEL:

CALENDARIO 2011-DODECAEDRO

MATERIAL

RÓMBICO

Alicia Pedreira Mengotti

DESELVOLVEMENTO

6 follas tamaño DIN A4 de diferentes cores, en cada unha hai impresos dous meses do ano 2010.

Imprímeas no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com

PASOS: 1. Dobrar cada folla ó longo da mediana, e cortar. Temos 12 rectángulos DIN A5, en cada un deles hai un rombo no centro cun mes impresora. 2. Marcar o punto medio dos dous lados maiores e pregar os dous lados menores sobre a mediana, e abrir. 3. Levar cada vértice do rectángulo sobre o pé da mediana situada sobre o lado oposto ó mesmo vértice, pregar e abrir. 4. Cambiar de val a monte a metade superior dereita e a metade inferior esquerda das pregaduras paralelas á mediana (fig. 7). 5. Pechamos o módulo colléndoo polos vértices superior dereito e inferior esquerdo e aplastando un contra outro para pechar a peza sobre si mesma. 6. Encaixamos os tres primeiros módulos insertando unha aleta de cada peza no bolsillo das outras, continuando dese modo ata encaixalas todas. Tetractis 48

12 veces, despois...

Se queres facelo en galego, podes acudir á seguinte páxina web para descargar as follas: http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/ Terás que ter en conta que saen catro follas por A4, e sairá máis pequeno. 32

Decembro, 2010

Ano V. Boletín nº 49

Depósito legal: C 2766-2006

Xaneiro, 2011

CENTENARIO DA MORTE DE JUAN JACOBO DURÁN LORIGA Juan Jacobo Durán Loriga, matemático coruñés, naceu na Coruña o 17 de xuño de 1854 e finou tamén nesta cidade o 3 de decembro de 1911. Este ano celebrarase o seu centenario, e por tal motivo, recuperamos a exposición realizada, no ano 2000, por Santiago López Arca e Gonzalo Temperán Becerra, coordinadores, no seu momento, do Club Matemático Durán Loriga con sede no IES Ramón Otero Pedrayo. Ademais, TETRACTIS tapou un oco que había na Galipedia e publicou a entrada dedicada a este matemático: Juan Jacobo Durán Loriga.

http://tetractismonelos.blogspot.com/2011/01/juan-jacobo-duran-loriga.html DATAS

INTYPEDIA

ENCICLOPEDIA DA SEGURIDADE DA INFORMACIÓN

DAS ACTIVIDADES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

OLIMPÍADA MATEMÁTICA PARA ALUMNOS DE BACHARELATO

Venres, 21 de xaneiro de 2011 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

xornada: 31 de xaneiro xornada: 7 de febreiro xornada: 14 de febreiro xornada: 21 de febreiro xornada: 28 de febreiro xornada: 7 de marzo xornada: 10/11 marzo

Xoves, 17 de marzo Intypedia é un proxecto da rede CRIPTORED, un espazo virtual sobre o mundo da seguridade. Consiste nunha colección de vídeos presentados por dous avatares: Alicia e Bernardo. Están publicados:

XIX Rallye Matemático Luns, 28 de marzo

1. Historia da criptografía e o seu desenvolvemento en Europa. 2. Sistemas de cifra con clave secreta. 3. Sistemas de cifra con cla´ve pública.

Pódelos ver nos enderezos

http://www.intypedia.com/ http://tetractismonelos.blogspot.com/search/label/Intypedia

www.tetractismonelos.blogspot.com

OLIMPÍADA GALEGA DE 2º ESO Fase de zona: 8 de abril Fase galega: 20 de maio (Vigo) Fase nacional: 21-30 de xuño (Vigo)

XEOMETRÍA MINERAL Mineral con estrutura amorfa

(Ópalo)

Un mineral é unha substancia natural e inorgánica que posúe unha composición química definida, unha estrutura determinada (que pode ser cristalina ou amorfa), unha natureza sólida (na maior parte dos casos, excepto o mercurio e a auga) e unhas propiedades físicas características.

n mineral que ten os átomos ou os ións, polos que está composto, ordenados no espazo mediante redes tridimensionais que se repiten denominase material cristalino. A estrutura que se repite é a cela unidade. Un mineral formase na natureza por procesos inorgánicos que determinan as súas propiedades. Para que un mineral poida adquirir a estrutura cristalina debe ter tempo, espazo e repouso.

Estrutura cristalina

(Aragonita)

Tempo: se a solidificación do mineral se produce rapidamente os átomos ou os ións non se poderán dispoñer de maneira organizada. Espazo: se hai limitacións espaciais produciranse interferencias pola formación simultánea de cristais próximos e ningún deles adquirira forma xeométrica. Repouso: un ambiente axitado dificulta a formación das estruturas cristalinas.

SISTEMAS CRISTALINOS Os sistemas cristalinos son os diferentes grupos nos que se poden clasificar os minerais segundo a relación que manteñen entre si os eixos e os ángulos da súa célula cristalina. Hai sete sistemas cristalinos que son:

SISTEMA CRISTALINO

EIXOS

ÁNGULOS ENTRE EIXOS

Cúbico

a=b=c

α=β=γ=90º

Tetragonal

a=b≠c

α=β=γ=90º

Hexagonal

a=b≠c

α=β=90º; γ=120º

Romboédrico (ou trigonal)

a=b=c

α=β=γ≠90º

Rómbico (ou ortorrómbico)

a≠b≠c

α=β=γ=90º

Monoclínico

a≠b≠c

α=γ=90º; β>90º

Triclínico

a≠b≠c

α≠β≠γ≠90º

SISTEMA CÚBICO Os átomos forman un cubo polo que os eixos teñen todos a mesma lonxitude, e os ángulos que forman entre eles son todos de 90 graos.

Pirita

Galena

Sal xema

SISTEMA TETRAGONAL Os átomos forman un prisma rectangular regular polo que os eixos que forman as bases da figura son iguais entre eles, pero diferentes dos eixos que forman as caras laterais. Os ángulos que se forman son iguais entre si, e son de 90 graos. Tetractis 49

Circón

Casiterita

Xaneiro, 2011

SISTEMA HEXAGONAL Os átomos forman un prisma hexagonal regular polo que os eixos que forman as bases son iguais entre eles, pero diferentes dos eixos que forman as caras laterais. Os ángulos formados entre os eixos con de 90 e de 120 graos.

Berilo

Turmalina

SISTEMA TRIGONAL Os átomos estrutúranse formando figuras coas caras en forma de romboides, trapecios ou triángulos escalenos. Os ángulos que se forman son de 90 graos. Cuarzo

Siderita

SISTEMA ORTORRÓMBICO Os átomos forman un prisma no que as caras son rombos. Os ángulos formados son todos de 90 graos. Xofre

Olivino

BaritinaCuarzo

SISTEMA MONOCLÍNICO Neste sistema os eixos son iguais dous a dous e os ángulos que forman son de 90 graos. Ortoclasa

Biotita

SISTEMA TRICLÍNICO

Neste sistema os eixos son desiguais e os ángulos resultantes non son de 90 graos. Cianita

Calcantita Iria Martínez Amado, 1º Bach. B

Tetractis 49

Xaneiro, 2011

MATEMÁTICAS NA VIDA COTIÁ

DIFERENZAS

ENTRE ESPIRAL E HÉLICE

José Manuel González Díaz , 3ºESO A

A SIMETRÍA DAS LETRAS E DAS PALABRAS

alíndromo é unha palabra ou conxunto de palabras que poden lerse tanto o dereito como ao revés. piral arquimediana Hai nomes propios palindrómicos como Ana. (negra), xunto cunha Tamén se lles chama palabras ou frases simétricas, hélice cónica aínda que se trata dun tipo de simetría un tanto espe(vermella) e unha cial. Algo moi diferente ao que sucede cos ambigramas, hélice cilíndrica nos que si se dan auténticas simetrías. (verde). No caso da Ambigrama é a castelanización que se fixo da palahélice cónica, pode bra anglosaxona ambigram, que foi introducida por prientenderse como unha espiral tridimensional. meira vez por Douglas Hofstadter, profesor de CienEspiral e hélice son dous termos que se confunden cias do Coñecemento e Ciencias Computacionais da Unifacilmente. Unha espiral soe ser plana (como o surco dun versidade de Indiana. A palabra AMA, por exemplo, disco de vinilo). Unha hélice sempre é tridimensional: é considérase ambigramática porque presenta simetría unha liña curva continua, con pendente finita e non nula, axial respecto a un eixe vertical que divide a letra M que xira ao redor dun cilindro, un cono ou unha esfera, en dúas partes iguais, o que permite lela se se sitúa anmaxe dunha es-

te un espello.

DINOSAUROS

E MATEMÁTICAS

A palabra OSO, en cambio ten simetría central pode lerse si se xira 180 º. A palabra COCO é outro tipo diferente de ambigrama; presenta simetría axial respecto a un eixe horizontal e pode lerse igualmente si se xira e ademais se coloca ante un espello.

s dinosauros tiñan o lombo chepudo e isto era porque soportaban o seu enorme peso cunha espiña dorsal que seguía a mesma curva, a única capaz de Nos antigos paquetes de cigarrillos Camel podíase aguantar tales corpos, grazas a un principio arquitectóler no lateral da caixa a seguinte inscrición: CHOICE nico. QUALITY. Resultaba sorprendente que cando o paqueOs primeiros matemáticos que abordaron o tema dos te se deixaba sobre unha superficie reflíctante, un esdinosauros supuxeron que a curva era unha parábola. pello ou unha superficie pulida, a palabra CHOICE podía Huygens, aos 17 anos, demostrou que non o era, pero non lerse perfectamente, mentres ca outra era ilexible. E é ca primeira era un ambigrama, mentres ca segunda non. encontrou a ecuación da catenaria.

A ecuación foi obtida por Gottfried Leibniz, ChristiaBaseándose nas propiedades ambigramáticas dalgunhas an Huygens e Johann Bernoulli en 1691, en resposta ao letras pódese construír un curioso xoguete visual de desafío planeado por Jakob Bernoulli. efecto máxico. Huygens foi o primeiro en utilizar o termo catenaria nunha carta dirixida a Leibniz en 1690, e David Gregory escribiu, ese mesmo ano, un tratado sobre a curva. Denomínase catenaria á curva que describe unha cadea suspendida entre dous puntos situados á mesma altura.

Tetractis 49

Xaneiro, 2011

Ano V. Boletín nº 50

CONSULTA

Depósito legal: C 2766-2006

Febreiro, 2011

NO BLOGUE...

Ano 2011

chega ao número 50 ¿Podes identificar os sistemas de numeración seguintes, nos que está representado o número 50?

∩∩∩∩∩ 110010

L 10

五十

V FEIRA MATEMÁTICA Celebrarase o sábado, 21 de maio de 2011, no Pazo de Congresos e Exposicións da Coruña (PALEXCO). A Feira Matemática está organizada por AGAPEMA Coruña e celébrase para conmemorar o Día Escolar das Matemáticas, que este ano leva o lema:

AS MATEMÁTICAS DA QUÍMICA Máis información na páxina web:

www.agapemacoruna.com

¡ Participa ! www.tetractismonelos.blogspot.com

• 2011 é un número primo. • Neste século haberá 14 anos primos. • 2011, xa é o segundo primo do século, cal foi o primeiro?, cal será o último? • Haberá 3 pares de primos xemelgos, cales? • 2011 é un ano de moitos uns, xa que ten as seguintes datas: 1/1/11 11/1/11 1/11/11 11/1/11

• Xaneiro foi un mes moi especial, xa que tivo: 5 sábados, 5 domingos,5 luns

E esto só ocorre cada 823 anos. • 2011 é a suma de once primos consecutivos: 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211

NÚMEROS METÁLICOS

onxunto de números que teñen a propiedade, entre outra serie de características comúns, de que todos levan nomes de metais. O máis famoso de estes números é o Número de ouro, utilizado como base de proporcións para compoñer música, esculturas, pinturas e edificios. Outros números metálicos son: o número de prata, o de cobre, o de bronce, o de platino, o número de níquel, ... A familia dos números metálicos

As aplicacións destes parentes do número de ouro, usados por diversos físicos nas súas investigacións punta, ao tratar de sistematizar o comportamento de sistemas dinámicos non lineares, analizando a transición da periodicidade á cuasi-periodicidade. Pero tamén Jay Kappraff recorre, en particular, o número de prata para describir e explicar o sistema romano de proporcións, facendo uso da propiedade matemática que é común a todos os membros desta notable familia.

é un

B) Estas ecuacións van asociadas as sucesións

conxunto infinito de números irracionais cuadráticos positivos, descuberta pola matemá-

de Fibonacci xeneralizadas, que satisfacen relacións do tipo:

tica arxentina Vera W. de Spinadel (1929 –) en 1994. Teñen varias características comúns:

sións de Fibonacci xeneralizadas secundarias.

x − px − q = 0

D) Todos os números metálicos pódesen representar en forma de fracción continua.

onde tanto p como q son números naturais.

p 2 + 4q 2

se lles coñece por números metálicos denotados por

Gn + 2 = pGn +1 + qGn

C) Os números metálicos son límite de suce-

A) Son as solucións positivas das ecuacións cuadráticas do tipo, 2

As súas solucións positivas:

Estefanía Campos Fernández, 1º Bach. B

σ pq NÚMEROS METÁLICOS

x − px − q = 0 2

p=1

p=2

q=1

Número de ouro 1+ 5 N = F11 =

Número de prata 2 = F12 = 1+ 2

q=2

Número de cobre F21 = Fcu = 2

Número de pratino F22 = FPt = 1 + √3

q=3

p=3 Número de bronce 3 + 13 F13 = FBr =

Número de niquel 1+ 13 F31 = FNi =

RECTÁNGULO Tetractis 50

ÁUREO

RECTÁNGULO DIN A 38

RECTÁNGULO

DE PRATA

Febreiro, 2011

APLICACIÓNS

DOS NÚMEROS METÁLICOS

NÚMERO DE OURO O Partenón: As dimensións e proporcións utilizadas na fachada non foron resultado da casualidade, senón que os gregos pensaban que eran moito máis belas e armoniosas se quedaban axustadas a un número coñecido na actualidade como Razón Áurea ou Número de Ouro. O Número de Ouro está presente en multitude de obras de arte e elementos arquitectónicos, nos que produce unha sensación de armonía linear, de equilibrio na desigualdade, máis satisfactorio que o de calquera outra combinación (Leonardo da Vinci). NÚMERO DE PRATA A proporción baseada no número de prata (1 + √2) estivo presente na Proporción romana de arquitectura: no deseño a todas as escalas, desde as dimensións globais dos patios ata os edificios romanos, nas habitacións dentro de cada edificio e nos tapices colgados nas paredes. Tamén se atopou nas proporcións musicais. Un exemplo é a cidade-porto romana de Ostia e resultados similares atopáronse no lousado do baptistrio de San Giovanni (Florencia) e na capela dos Medici. Por outra banda, algúns números metálicos aparecen relacionados con proporcións en polígonos estrelados, o que lles da unha relación intensa coa arte e a arquitectura: NÚMERO

ÁUREO—PENTÁGONO

CUASI-CRISTAIS:

NÚMERO DE PRATA—OCTÓGONO

NÚMERO DE PRATINO—HEXÁGONO

SIMETRÍAS PROHIBIDAS

Entre os numerosos problemas físicos, químicos, biolóxicos e ecolóxicos nos que aparecen os integrantes da familia de números metálicos, un dos máis notables é o da estrutura dun cuasi-cristal. En 1984, Schechtman rexistrando esquemas de difracción de electróns nunha aleaxe de Aluminio e Manganeso rapidamente arrefriada, encontraron ao cortar con planos en determinados ángulos, simetrías pentagonais de orde 5, totalmente imposibles nun cristal xa que non é posible teselar o plano con pentágonos regulares. A estas configuracións, que posúen una estrutura espacial cuasi-periódica, se lles chamou "cuasi-cristais".

Un cuasi-cristal ten a estrutura dunha teselación de Penrose (á marxe).

NÚMERO PLÁSTICO O número plástico é un termo acuñado polo ar- O número plástico é a única solución real da ecuación: quitecto e monxe beneditino Hans Dom van de Laan e refírese a un sistema de proporcións que xeneran unha O seu valor é orde de tipos de magnitudes, que fan relacións de ex= 1,324718... tensión plástica entre si, na consecución entre elementos dun espazo arquitectónico. Tetractis 50

Febreiro, 2011

CAIXÓN

Canguro matemático

Olimpiada matemática

DOS PROBLEMAS

XXIII OPEN MATEMÁTICO 2011

A 23ª edición do Open Matemático comezou o 10 de xaneiro de 2011 e xa vamos pola 4ª xornada; aquí podes ver unha selección dos problemas resoltos ata agora. Recorda que podes ver todos os problemas no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com PROBLEMA 1 (XORNADA 1): OLLO

PROBLEMA 5-6 (XORNADA 2): UNS

AVIZOR

Observa con sumo detenimento: que letra falta no círculo valeiro para completar debidamente a serie?

E MÁIS UNS

Recorda que nun cripotograma cada letra representa unha cifra e que dúas letras distintas non representan á mesma cifra. Os seguintes criptogramas teñen varias solucións, pero so queremos que aches, en cada caso, dúas, aquelas que fan que o resultado da suma planteada sexa o menor e o maior posible.

PROBLEMA 9 (XORNADA 3): ESTRELATO Que superficie cubre esta estrela tomando coma unidade de área o pequeno triángulo equilátero que queda como oco entre as tiras feitas coas etiquetas de Coca-Cola?

PROBLEMA 4 (XORNADA 1): RODA

CADRADA

Canto miden os ángulos do triángulo coloreado que forman dous raios e o borde da roda cadrada do gran poeta catalán?

PROBLEMA 2 (XORNADA 1): CAIXAS

DE REGALOS

Téñense trinta e unha caixas, cada unha con un ou máis regalos. Entre elas hai vintecinco que teñen dous ou máis regalos, dezasete que teñen tres ou máis regalos, quince que teñen catro ou máis regalos, nove que teñen cinco ou máis regalos e seis que teñen seis regalos. Sábese que ningunha caixa ten máis de seis regalos. Cantos regalos hai en total?

Aquí podes ver un bosquexo da roda cadrada inscrita nunha circunferencia, cos raios prolongados e o triángulo coloreado para axudarte na resposta. PROBLEMA 8 (XORNADA 3): CÁLCULO

TEDIOSO

A ver se eres quen de atopar elegantemente o resultado desta inmensa operación:

Colectivo Frontera Tetractis 50

Febreiro, 2011