Ano IV. Boletín nº 42
Depósito legal: C 2766-2006
UN CURSO OLÍMPICO DOS ALUMNOS DE 2ºESO COPAN OS PRIMEIROS LUGARES DA FASE LOCAL DA OLIMPÍADA MATEMÁTICA
Este curso podemos declaralo “O curso olímpico en Monelos”, xa que foron moitos os alumnos e alumnas que obtiveron o diploma olímpico en distintos ámbitos: • Diego Abalde, alumno de 2º Bach. clasificouse para a Fase Nacional da Olimpíada de Matemáticas que se celebrou en Valladolid, do 25 ao 28 de Marzo. • Tres alumnos do IES Monelos demostraron estar entre os que máis saben de xeoloxía de Galicia. Son Alba Ares González, de 1.º de bacharelato; Irene Varela Martínez, de 2.º, e Pablo Orosa Iglesias, tamén de segundo. Os tres conseguiron as tres prazas para participar na I Olimpíada Nacional de Xeoloxía que se celebrou a finais de marzo en Madrid. • Irene Vázquez Garnazo e Pablo Cortón Debén acadaron os primeiros postos na Fase de zona da Olimpíada Matemática de 2º ESO e representarán (xunto con outros cinco alumnos) á zona da Coruña na Final Galega que se celebrará en Vigo, o vindeiro 14 de maio. Parabéns a todos e todas.
Abril, 2010
DOUS PERIÓDICOS PARA “O PAÍS DOS ESTUDANTES”
Dous grupos de alumnos, coordinados polo profesor de matemáticas, Gonzalo Temperán, participaron no Programa “O País dos estudantes” e editaron dous periódicos: The Truth e α-D-MONELOSa, que aínda que teñen carácter xeneralista, neles aparecen artigos sobre matemáticos, coma: Alicia no pais das matemáticas (entrevista realizada á profesora de Matemáticas, Alicia Pedreira, por dúas das súas alumnas); Olímpicos en Monelos, As anamorfoses, Alumnos de 3º ESO participan no Premio Luís Freire para investigadores escolares, Ano xacobeo… Poderás ver os periódicos en
http://estudiantes.elpais.com/ e tamén no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com CITAS PARA MAIO
ALUMNOS DE 3º ESO PARTICIPAN NO PREMIO LUÍS FREIRE PARA INVESTIGADORES ESCOLARES Laura, Carmen Méndez, Águeda, Carmen Picado, Paula e Xacobe son alumnos de 3º ESO, que baixo a coordinación do seu profesor de Matemáticas, Gonzalo Temperán, participan no Premio Luís Freire, cun proxecto de investigación estatística que trata de responder á pregunta:
PODEMOS PREDECIR A ESTATURA Á QUE VAI CHEGAR UNHA PERSOA?
Poderás ver a memoria e as conclusións no blogue TETRACTIS.
www.tetractismonelos.blogspot.com
OS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS GREGOS No século V a. C. as matemáticas aínda non se sistematizaran. Non obstante, a labor dos pitagóricos deixara dúas herdanzas importantes, unha de carácter xeral: a esixencia da demostración, e outra de carácter circunstancial: a consagración case exclusiva dos matemáticos ás investigacións xeométricas. De aí que os matemáticos do século V dedicáranse á busca de novas propiedades das figuras. Como as primeiras figuras das que partiron os gregos foron a recta e a circunferencia, todas as proposicións
DUPLICACIÓN
xeométricas, foran teoremas ou construcións, debían basearse sobre esas dúas figuras e as súas relacións. Pola súa parte, moitas desas novas propiedades foron logradas mediante a busca e a persecución dalgúns problemas particulares que atraeron a atención dos matemáticos. Eses problemas, son os chamados “problemas clásicos da xeometría”, foron tres: a trisección do ángulo, a duplicación do cubo e a cuadratura do círculo.
Unha superficie é cadrable cando, a partir dela, é posible obter xeometricamente un cadrado que teña a mesma área que aquela, e facelo permitía simplificar o cálculo das súas áreas xa que doutro xeito sería demasiado complexo. Foi así como xordeu nos matemáticos da Grecia clásica o desexo de buscar procedementos puramente xeométricos para achar a cadratura de calquera superficie (entre elas a circunferencia) utilizando unicamente regra e compás. Cadrar superficies de polígonos resultou fácil utilizando certos métodos como descomposición en formas poligonais, pero a cuadratura de superficies limitadas por curvas, e en especial a circunferencia, non resultaría plausible para os gregos, de no ser polo feito de que Hipócrates de Quíos demostrou que certas figuras curvilíneas (lúnulas), construídas a propósito por el, resultaban cadrables.
DO CUBO
Duplicación do cubo é achar, mediante o uso de regra e compás, o lado dun cubo de xeito que o seu volume sexa o dobre do volume doutro cubo de lado dado. Actualmente os instrumentos de álxebra son capaces de resolver este problema de forma trivial, pero a única utilización da regra e o compás non permitía facelo. No ano 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas nesa época, morreu vítima da peste que atacaba moi severamente á cidade. Como consecuencia disto algúns habitantes decidiron ir á cidade de Delfos para facerlle consultas ao Oráculo de Apolo e saber como poder deter a epidemia. A resposta foi elaborar un novo altar en forma de cubo cuxo volume duplicase ao do altar que xa existía. A pandemia disipouse co tempo, pero o problema matemático planteado permaneceu. O primeiro en abordar a cuestión foi Hipócrates de Quíos, quen reduciu o problema ao de intercalar dúas medias xeométricas ou proporcionais entre a magnitude que representa a aresta do cubo primitivo a correspondente ó dobre da mesma. Baseándose neste planteamento, Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre outros, presentaron solucións, ningunha das cales puido resolverse co uso exclusivo da regra e o compás. Non foi ata o ano 1837 que quedou comprobado, que o problema non tiña solución, polo francés Pierre Wantzel.
A
FALANDO EN SENTIDO FIGURADO, CADRAR O CÍRCULO SIGNIFICA QUE ALGO É MOI DIFÍCIL OU IMPOSIBLE DE RESOLVER.
Este feito creou unha falsa expectativa entre os matemáticos antigos levándoos a pensar que o círculo podería cadrarse, pero no século XX Chebotariov y Dorodnov probaron que normalmente as lúnulas non se poden cadrar, que só pode facerse nos casos expostos por Hipócrates e en dous casos máis aportados por Leonhard Euler no s.XVIII. Deste xeito quedou de manifesto que as lúnulas non son máis que a excepción dun problema irresoluble que confundiu aos matemáticos durante anos.
CUADRATURA DO CÍRCULO
Cadrar o círculo é achar, mediante o uso de regra e compás, un cadrado que posúa un área que sexa igual á dun círculo dado. A resolución deste problema tratou de abordarse repetidas veces, sen éxito, dende a antigüidade clásica ata o século XIX. Falando en sentido figurado, significa que algo é moi difícil ou imposible de resolver. Tetractis 42
En 1882 Ferdinand Lindemann probou que π é un número transcendente polo que se entende que é imposible cadrar o círculo usando so regra e compás, pero si que se pode con operacións alxébricas, sabendo que o radio do círculo e o lado do cadrado son proporcionais, sendo √π o factor de proporción.
2
Abril, 2010
TRISECCIÓN
DUN ÁNGULO
O problema de trisectar un ángulo arbitrario é o problema clásico para o que máis probas falsas se aportaron. Unha delas era construír con regra e compás esa trisección, pero iso é imposible a excepción dalgúns ángulos como o recto: a recta AD que forma un ángulo de 60 graos con AE, por formar parte do triángulo equilátero AED, o que provoca que o ángulo CAD sexa de 30, o ángulo está trisectado. Outra maneira bastante directa de trisectar calquera ángulo, coñecida por Hipócrates era, dado un ángulo CAB, trazar CD perpendicular a AB cortándose en D e completar o rectángulo CDAF. Ampliar FC a E e deixar AE ser trazado para cortar a CD en H. Obter o punto E elixido de modo que HE =2AC. Agora o ángulo EAB é 1/3 do ángulo CAB. Unha das razóns polas que o problema de trisectar un ángulo pareceu menos atractiva para os matemáticos gregos á hora de publicar as súas solucións é que a pesar de que a construción anterior vista non era posible cun obxecto recto sen marcar e un compás, é fácil de realizar na práctica, e como os gregos non estaban, en xeral, satisfeitos coas solucións prácticas debido a un punto de vista puramente matemático, no foron capaces de encontralas. Como dixo Platón: “Ao proceder dun modo [mecánico], non perde un, irremediablemente, o mellor da xeometría?...”
Outra solución de tipo mecánico facilitada por Arquímedes: Pappo escribiu sobre como o problema de trisectar un ángulo foi resolto por Apolonio usando as cónicas. Estas construcións descritas por Pappo mostran como os gregos "melloraron" as súas solucións ao problema de trisectar un ángulo. Partindo dunha solución mecánica progresaron cara unha solución relacionada coas secciones cónicas. Nunca progresaron cara as solucións planas porque sabemos que son imposibles. Claudia Vilar Sánchez 1ºBach. A
Tetractis 42
3
XEOMETRÍA NO ASCENSOR DE SAN PEDRO A característica máis salientable do elevador do monte de San Pedro é a súa cabina panorámica trasparente, de forma esférica. Todos podemos imaxinar facilmente como é unha esfera. Construír unha na realidade a partires de perfís metálicos e superficies planas non é nada doado. Dificultades semellantes atopan os mariños e pilotos aeronáuticos cando queren definir un rumbo para as súas naves, pola necesidade de traballar sobre superficies curvas. Ambos problemas pódense resolver facendo uso da trigonometría esférica, que manexa conceptos como o círculo máximo, triángulo esférico, etc.
A ESFERA COMO CORPO XEOMÉTRICO Unha esfera é un corpo sólido limitado por unha superficie curva cuxos puntos equidistan doutro interior chamado centro da esfera. Tamén se pode definir como a superficie conformada polos puntos do espazo tales que a distancia a un punto denominado centro (chamada raio) é sempre a mesma. Como sólido de revolución, xérase facendo xirar unha superficie semicircular ao redor do seu diámetro. A superficie (A) e o volume (V) dunha esfera calcúlanse con estas fórmulas:
A = 4 ⋅π ⋅ r
2
V=
4 ⋅π ⋅ r 3 3
onde r é o raio da esfera. Tomando o dato do volume da esfera do ascensor (86 m3), podemos calcular o seu radio:
r=3
3 ⋅ V 3 3 ⋅ 86 = = 2,74m 4 ⋅π 4 ⋅π
Con este dato, calculamos a súa superficie externa (da cal, practicamente toda é de policarbonato transparente, agás os perfís de aceiro inoxidable da estrutura):
A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 2,74 2 = 94,34m 2 Pero describir as formas das seccións da superficie non é tan doado. Para iso, temos que facer uso de conceptos da trigonometría esférica. Abril, 2010
A
CONCEPTOS DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
diferenza da trigonometría plana, que estuda triángulos trazados sobre un plano, a trigonometría esférica estuda os que se trazan sobre a superficie dunha esfera. Esta trigonometría emprega os conceptos seguintes:
Fórmula do seno:
Fórmula da cotanxente:
cos β ⋅ cos AB = senβ ⋅ cot α − senAB ⋅ cot CB DESCRICIÓN TRIGONOMÉTRICA DA ESFERA DO ELEVADOR
A esfera está construída sobre unha estrutura
CÍRCULO MÁXIMO é a intersección dunha esfera cun plano que pasa polo seu centro. Xa que logo, unha circunferencia máxima é o perímetro dun círculo máximo. Un círculo máximo divide á esfera en dous hemisferios iguais. CÍRCULO MENOR é a intersección da esfera cun plano que non pasa polo seu centro. POLOS son os puntos de intersección da superficie esférica cun diámetro perpendicular ao plano trazado polo seu centro. DOMINIO SOBRE A SUPERFICIE ESFÉRICA é calquera área da superficie da esfera limitada por curvas contidas en dita superficie. Un caso particular son os triángulos esféricos. ÁNGULO ESFÉRICO é o formado na superficie da esfera por dous arcos de circunferencia máxima. Exemplo: os ángulos
maestra vertical de aceiro, formada por perfís triangulados. Os extremos do eixo horizontal desta estrutura forman os que chamaremos “polos horizontais”. Ademais, existen dous “polos verticais” situados a 90º dos anteriores.
Atravesando os polos horizontais, hai 5 circunferencias máximas (que forman ángulos de 180º/5 =36º), tamén construídas con perfís de aceiro. Outras cinco atravesan os polos verticais. As interseccións das 10 circunferencias forman un total de 50 dominios de formas variadas, algúns dos cales son triángulos esféricos e outros son dominios de 4 lados.
α , β ,γ TRIÁNGULO ESFÉRICO é a superficie esférica limitada por tres circunferencias máximas. Exemplo: o triángulo ABC. DISTANCIA ORTODRÓMICA é a distancia entre dous puntos unidos por un arco de circunferencia máxima. Exemplo: as distancias AB, BC, etc.
O sector central horizontal bascula apoiándose nos polos horizontais, levantándose para permitir o acceso dos visitantes ao interior. Éstes permanecen sobre unha plataforma que está nun plano inferior ao plano polar horizontal. Xa que logo, dita plataforma é un círculo menor. A esfera ten uns soportes nos polos horizontais cos que se apoia nun carro que se desplaza sobre uns carrís inclinados 42º, salvando un desnivel de 62 m.
Os lados dun triángulo esférico non son liñas rectas, senón arcos, sempre menores de 180º. É dicir, un lado
dun triángulo esférico non se define pola súa lonxitude, senón polo ángulo do arco cuxo vértice é o centro da esfera.
Algunhas fórmulas características dos triángulos esféricos son as seguintes: Fórmula do coseno:
Guillermo Ledo López 1º Bach. A
cos CB = cos AC ⋅ cos AB + senAC ⋅ senAB ⋅ cosα Tetractis 42
senCB senAC senAB = = senα senβ senγ
4
Abril, 2010