Ano IV. Boletín nº 43
Depósito legal: C 2766-2006
Maio, 2010
FEIRA MATEMÁTICA 2010
MATCAMPUS 2010 MatCampus 2010 está dirixido a estudantes de 1º de Bacharelato e 11º ano (entre 16 e 17 anos) de tódolos centros de ensino medio de Galicia e Portugal. Entre os obxectivos e competencias a acadar/potenciar no MatCampus 2010 contémplanse obxectivos xenéricos relacionados directamente coas Matemáticas, xunto con outros obxectivos transversais de carácter socio-cultural. O período de inscrición remata o 25 de maio. MatCampus 2010 desenvolverase en Galicia e Portugal durante a segunda quincena do mes de xullo. A duración do campamento será de dúas semanas, a primeira en Braga (Portugal) e a segunda en Santiago de Compostela (España). www.matcampus2010.org
Celebrouse, o pasado sábado 15 de maio, no Pazo da Ópera da Coruña. As actividades que realizamos foron: * Boletín Tetractis * Matemaxia * Polígonos nazarís * Xogos lóxicos * Pentaminós * Figuras de dobre visión Ademais fixemos: A Feira on-line, con entrevistas no blogue Tetractis aos persoeiros que visitaron o noso stand e ofrecemos un espectáculo de Matemáxia.
Co Director do IES Monelos
O alumnado do IES Monelos
Decana de Matemáticas, Victoria Otero
Co Reitor da UDC, José María Barja
Álbum fotográfico en: www.tetractismonelos.blogspot.com
O Alcalde da Coruña
O espectáculo de Matemaxia
Á CAZA Dende hai 2500 anos os números primos atraen a atención de matemáticos e afeccionados de todo o mundo, por varias razóns. Unha delas é a fascinación que produce a súa irregular distribución ao longo da recta numérica. Os números primos aparecen esparexidos aquí e alá, atopándose sectores onde abundan e outros onde escasean. Se lles califica de misteriosos e indomables pois non parece existir nin-
DOS NÚMEROS PRIMOS
gunha regra que determine a súa ubicación entre os demais números naturais. Os números primos son importantes porque permiten construír novos números a partir deles. Teñen conexión con moitas facetas da vida: a música, por exemplo. Pero tamén a criptografía: todos os códigos de Internet están baseados en números primos. Así mantés a salvo a túa tarxeta de crédito, por exemplo.
Numerosas obras da narrativa actual utilizan unha temática relacionada cos números primos:
En primer curso de la universidad había estudiado ciertos números primos más especiales que el resto, y a los que los atemáticos llaman primos gemelos: son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi sucesivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmente unidos, como el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. Si se tiene paciencia y se sigue contando, se descubre que dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. (La soledad de los números primos).
O
- Os primos solitarios: atópanse nas columnas 7 e N da táboa e clasifícanse en 2 tipos cuxas terminacións son 3 e 7. A serie de primos solitarios comeza con: 23, 37, 53, 67, 83, 97, 113... - Números primos de Mersenne: é un número primo que ó sumarlle 1 o resultado é unha potencia de 2. Por exemplo, 7 é un número primo de Mersenne ao cumprirse (7 + 1 = 8 = 2³). Denomínanse así en memoria do filósofo do século XVII Marin Mersenne que realizou unha serie de postulados sobre números primos. Os oito primeiros números primos de Mersenne son: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287. Na actualidade só se coñecen 44 números primos de Mersenne, o último foi descuberto o 4 de setembro 2006. Estanse dando premios de 1 millón de euros ó
s números primos son aqueles que soamente son divisibles entre eles mesmos e a unidade. Todos os números primos, agás 2, son impares. Os únicos dous números primos consecutivos son o 2 e o 3. Os primeiro números primos son:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS:
- Números primos xemelgos: son dous números primos que están separados por unha distancia de 2. Parellas de números primos xemelgos: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109). Os primos xemelgos poden formar 3 tipos de parellas cuxas terminacións son: (7,9); (9,1) e (1,3). - Os primos casi-xemelgos: son os primos que están nas columnas de primos xemelgos pero lles falta o compañeiro. A serie de primos casi-xemelgos comeza con: 47, 79, 89, 131, 163...
que atope outro nº primo.
- Número primo de Sophie Germain: é un número primo que ó multiplicalo por 2 e sumarlle 1 o resultado é tamén un número primo. Por exemplo: o 2 porque cúmprese 2x2+1=5, sendo 5 tamén número primo. Algúns dos números primos de Sophie Germain son: 2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131 173 A CRIBA DE ERATÓSTENES É un antigo e efectivo método para achar números primos. Consiste nunha táboa de números naturais dispostos en columnas. Primeiro táchanse todos os múltiplos de 2. Logo, todos os múltiplos do seguinte número non tachado anteriormente e así sucesivamente. Os números que quedan sen tachar son os números primos.
Tetractis 43
2
Maio, 2010
Para saber se un número é primo abonda con dividilo polos números impares maiores que 1 e menores ou iguais á raíz cadrada do número. Se non se atopa ningún divisor o número é primo. ALGÚNS
(10^1975) + 1991991991991991991991991) + 1, e foi descuberto en 1991. • Coa excepción do número 3, cada número Fibonacci que é primo, tamén ten un primo subscrito. Por exemplo o número Fibonacci 233, que é primo, ocupa a posición 13, número primo tamén.
PROBLEMAS NON RESOLTOS
• Se p é primo, 2p - 1 é sempre libre de cadrados? É dicir, non divisible polo cadrado dun primo. • Contén a secuencia de Fibonacci un número infinito de primos? • A conxetura de Goldbach foi proposta por Christian Goldbach a través dunha carta enviada a Euler en 1742. Di que:
APLICACIÓNS
DOS NÚMEROS PRIMOS
Unha das aplicacións prácticas dos números primos máis estendida hoxe en día está nos algoritmos criptográficos, entre eles o popular RSA é a xeración de códigos mediante distribución aleatoria de primos para realizar certas transaccións por internet, operacións con tarxetas de crédito, etc. todo número par maior que 2 pode esA criptografía asimétrica é o método criptocribirse como suma de dous números gráfico que usa un par de claves para o envío primos. Euler non conseguiu demostrar de mensaxes. As dúas claves pertencen á nin refutar o resultado. A trama da película “A habi- mesma persoa á que se lle enviou a mensaxe. tación de Fermat” basease Estes son algúns dos últimos récords na demostración da Conxetu- Unha clave é pública e pódese entregar a calquera persoa, a outra clave é privada e o prode números primos que coñecemos: ra de Goldbach pietario debe gardala de modo que ninguén • O número primo máis grande coñecido (atopado por GIMPS [Gran Buscador de Internet de teña acceso a ela. Os métodos criptográficos garantían Primos Mersenne] en febreiro de 2005) é o 42º pri- que esa parella de claves só se pode xerar unha vez. mo de Mersenne: M25964951 que ten 7816230 díxi- Dado un cifrado de clave pública baseado na factorización de números primos, a clave pública contén un nútos decimais. • Os primos xemelgos máis grandes coñecidos son mero composto de dous factores primos grandes, e o 242206083 × 238880 ± 1. Teñen 11713 díxitos e fo- algoritmo de cifrado usa ese composto para cifrar a ron anunciados por Indlekofer y Ja'rai en novembro mensaxe. O algoritmo para descifrar a mensaxe require o coñecemento dos factores primos. de 1995. A seguridade deste algoritmo radica no problema da TEOREMA DE FERMAT factorización de números enteiros. As mensaxes enviadas represéntanse mediante números, e o funcionamenLeonhard Euler intentou demostrar unha das máis to baséase no produto de dous números primos grandes elegantes observacións de Fermat, un teorema referido elixidos ó azar e mantidos en segredo. Actualmente aos números primos. Todos os números primos poden estes primos son da orden de 10200 cifras, e prevese ser repartidos en dous grupos, o que forman os que son que o seu tamaño aumente co aumento da capacidade de iguais a 4n+1 e os que son iguais a 4n-1, onde n é algún cálculo dos ordenadores. número natural. Polo tanto, o 13 é do primeiro grupo (4x3+1), mentres que o 19 é do segundo grupo (4x5-1). A CHICHARRA E OS NÚMEROS PRIMOS O teorema de Fermat dos números primos dicía que o As chicharras periódicas teñen o primeiro tipo de números primos equivalería sempre á ciclo vital máis longo de todos os suma de dous cadrados (13=2²+3²) mentres que o seinsectos. A cuestión que inquietaba gundo tipo non podería escribirse nunca desta maneira ós zoólogos era: Por que o ciclo vital (19=?²+?²). Finalmente, no ano 1749, Euler conseguiu da cigarra é tan longo? Qué quere demostrar este teorema dos números primos. dicir que o ciclo vital sexa un número Hai unha serie de números primos que son máis primo de anos? A Magicicada tredeatractivos que o resto de primos, por exemplo: cim, aparece cada 13 años, o que in• O número 1234567891 que percorre todos os díxidica que os ciclos vitais que son un tos, é un número primo. número primo de anos dan algún tipo • Un nº primo, que ten 6.400 díxitos, está composto de vantaxe para a conservación da de 6.399 noves e soamente un oito. vida. Se o parasito ten un ciclo vital de dous os, • O primo 713º pode escribirse como (10^1951) x Continúa na seguinte páxina Tetractis 43
3
Maio, 2010
cias: o do ciclo anual e o mesmo ciclo de 17 anos que a chicharra. O longo ciclo vital das chicharras, e o número primo de anos, protéxeas.Na loita por coincidir coa chicharra, o parasito probablemente continuou alargando o seu ciclo vital, ata conseguir traspasar a barreira dos 16 anos. Entón deixará de coincidir durante 272 anos; a súa falta de coincidencia coas chicharras levarao á extinción.
entón a chicharra quere evitar un ciclo vital que sexa divisible por 2, senón o parasito e a chicharra coincidirán regularmente. Ao fin, se quere evitar de atoparse co seu parasito, a mellor estratexia da chicharra é darse un ciclo de vida longo, que dure un número primo de anos. Como nada dividirá o 17, a Magicicada Septendecim raramente se atopará cun parasito. Se o parasito tén un ciclo de 2 anos, só se atoparán cada 34 anos. Na súa quenda, o parasito, se quere loitar, só ten dous ciclos vitais que incrementan a frecuencia das coinciden-
III CERTAME
DE
Iria González Díaz 1º Bach. A
MAT-MONÓLOGOS
Os gañadores do III Certame de Mat-monólogos, que se celebrou o pasado martes 11 de maio, na Sala Xurxo Lobato do IES Monelos son: Categoría: Primaria e 1º ciclo ESO Flores, plantas y moscardas Santiago Valencia Bahamonde, 1º ESO
Categoría: Persoas, en xeral, mayores de 18 anos.
IES San Mamede (Maceda-Ourense)
José Manuel Ramos González IES A Xunqueira I (Pontevedra)
Categoría: 2º ciclo ESO e Bacharelato
Alumnado do IES Monelos
La solución del problema
¿Las preguntas nos las vamos a preguntar? Miren Josune Melero Vilela, 3º ESO
Cinco números
Álvaro Souto Janeiro, 3º ESO IES San Mamede (Maceda-Ourense)
IES Monelos.
Máis en: www.tetractismonelos.blogspot.com
Tetractis 43
4
Maio, 2010