´ Centres Etrangers Juin 2007
Brevet
Dur´ee : 2h00
´sentation et l’expression e ´crite sont note ´s sur 4 points La pre
´s nume ´riques 12 points Partie I : Activite
Exercice 1 : √ √ √ √ ´ 1. a) Ecrire chacun des√trois nombres 12, 27 et 75 sous la forme a 3, avec a entier. √ √ b) On donne A = 4 12 + 3 27 − 5 75 ; donner une ´ecriture simplifi´ee de A. 2. On pose : B = 52 + 22 × 9
;
C=
32 4 + 22
;
Donner l’´ecriture d´ecimale de ces trois nombres.
Exercice 2 : 1. D´eterminer le PGCD des nombres 408 et 578. 408 ´ sous forme d’une fraction irr´eductible. 2. Ecrire 578
Exercice 3 : On donne E = 9 − (2x − 1)2 . 1. D´evelopper et r´eduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E pour x = 31 . 4. R´esoudre (2 + 2x)(4 − 2x) = 0.
D = 5 × 103 − 2 × 102 .
´ s ge ´ome ´triques 12 points Partie II : Activite
Exercice 1 : Soit (O; I, J) un rep`ere orthonorm´e du plan (unit´e le cm). 1. Sur la copie, dans le rep`ere (O; I, J), placer les points A(−3; 1);
B(−2; 3);
C(2; 1).
2. Calculer la distance BC. 3. On admet que AB =
√
5 et AC = 5. D´emontrer que le triangle ABC est rectangle.
4. Calculer les coordonn´ees du milieu M de [AB]. −−→ 5. Construire le point N , image de M par la translation de vecteur BC. −−→ 6. Calculer le coordonn´ees du vecteur BC. 7. Calculer les coordonn´ees du point N . 8. D´emontrer que la droite (M N ) coupe le segment [AC] en son milieu.
Exercice 2 : On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respect´ees. On ne demande pas de refaire cette figure.
L’unit´e de √ longueur est le centim`etre. Le triangle M N P est rectangle en P avec M P = 6 et N P = 2 3. Le triangle M RS est rectangle en S avec M R = 5. Les points M , R et N sont align´es, les points M , S et P sont align´es. 1. D´eterminer une valeur de l’angle P\ MN. 2. En d´eduire la longueur RS. 3. Justifier que les droites (N P ) et (RS) sont parall`eles. 4. Calculer la distance M S ; l’arrondir au mm.
`me Partie III : Proble
Premi` ere partie : 1. On consid`ere le tableau de proportionnalit´e ci-contre :
20 30 ×a 70 b
a) Calculer b. b) On appelle a le coefficient de proportionnalit´e. Calculer a. 2. On consid`ere la fonction lin´eaire f d´efinie par : f : x 7−→ 3, 5x. Sur la feuille de pappier millim´etr´e, tracer la droite d repr´esentant la fonction f . On prendra un rep`ere orthonorm´e ; l’origine sera plac´ee en bas et ` a gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm repr´esentera 10 unit´es.
Deuxi` eme partie : Dans le rep`ere pr´ec´edent, placer les points A(20; 70) et B(60; 90). 2. D´eterminer la fonction affine g dont la repr´esentation graphique est la droite (AB). y = 3, 5x a) R´esoudre le syst`eme y = 0, 5x + 60 b) Que repr´esente le couple (x; y), solution de ce syst`eme, pour les droites d et (AB) ?
Troisi` eme partie : On dispose d’un ressort de 60 mm. Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s’allonge de 10 mm. 1. On admet que l’allongement du ressort est toujours proportionnel `a la masse accroch´ee. D´emontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm. 2. Soit x la masse suspendue en grammes. Exprimer l’allongement du ressort en fonction de x. 3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de x. 4. Sachant que la masse volumique de l’or est 19, 5g/cm3 , calculer la masse d’un cube en or de 2 cm d’arˆete. 5. On suspend ce cube `a ce ressort. D´eterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaˆıtre les pointill´es n´ecessaires.
Mise `a disposition P.-A. Desrousseaux
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Brevet
Correction
´s nume ´riques Partie I : Activite
Exercice 1 : 1. a)
√
12 =
√
√ 4×3=2 3 ;
√
27 =
√
√ 9×3=3 3 ;
√
75 =
√
√ 25 × 3 = 5 3.
√ √ √ √ √ √ √ b) A = 4 12 + 3 27 − 5 75 = 4 × 2 3 + 3 × 3 3 − 5 × 5 3 = −8 3. 2. B = 52 + 22 × 9 = 25 + 4 × 9 = 61 ; 9 9 32 = = = 1, 125 ; C= 2 4+2 4+4 8 D = 5 × 103 − 2 × 102 = 5000 − 200 = 4800.
Exercice 2 : 578 408 170 408 170 68 1. On utilise par exemple l’algorithme d’Euclide : 170 68 34 68 34 0 Ainsi, le PGCD de 408 et de 578 est 34. 2.
408 : 34 12 408 = = . 578 578 : 34 17
Exercice 3 : 1. E = 9 − (2x − 1)2 = 9 − ((2x)2 − 2 × 2x × 1 + 12 ) = 9 − (4x2 − 4x + 1) = −4x2 + 4x + 8. 2. E = 9 − (2x − 1)2 = 32 − (2x − 1)2 = [3 − (2x − 1)][3 + (2x − 1)] = (4 − 2x)(2 + 2x). 3. Pour x = 13 , E = −4 ×
1 2 3
+4×
1 3
+ 8 = − 49 +
4 3
+8=
−4 + 12 + 72 80 = . 9 9
4. (2 + 2x)(4 − 2x) = 0 si et seulement si, 2 + 2x = 0 ou 4 − 2x = 0 c’est `a dire x = −1 ou x = 2.
´ s ge ´ome ´triques Partie II : Activite
Exercice 1 : 1. Figure.
2. BC =
p
(2 − (−2))2 + (1 − 3)2 =
p
42 + (−2)2 =
√
16 + 4 =
√
√ 20 = 2 5cm.
3. D’une part, AC 2 = 25, et d’autre part, AB 2 + BC 2 = 5 + 20 = 25, ainsi AC 2 = AB 2 + BC 2 . Ainsi, d’apr´es la r´eciproque du th´eor`eme de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 4. −3 + (−2) 5 xA + xB = =− xM = 2 2 2 yM = y A + yB = 1 + 3 = 2 2 2 −5 Ainsi M ;2 . 2 5. Voir figure. −−→ −−→ 6. BC(xC − xB ; YC − yB ) d’o` u BC(4; −2). −−→ −−→ 7. Puisque M N = BC, on a
xN − xM = 4 ainsi yN − yM = −2
(
3 3 , finalement N ; 0 . 2 2 =0
xN = yN
−−→ −−→ 8. Puisque M est le milieu de [AB], AM = M B, −−→ −−→ −−→ −−→ De plus, M N = BC, donc M N CB est un parallelogramme, ainsi, M B = N C. −−→ −−→ Ainsi, AM = N C, donc AM CN est un parallelogramme, ses diagonales [M N ] et [AC] se
coupent en leur milieu.
Exercice 2 : 1. Le triangle M N P est√rectangle √ en P , on peut donc ´ecrire : N P 2 3 3 tan(P\ MN) = = = ). MP 3 √6 Ainsi, P\ M N = tan−1 ( 33 ) = 30. RS \ 2. Le triangle M RS est rectangle en S, on peut donc ´ecrire : sin(RM S) = c’est `a dire MR RS sin(30) = donc RS = 5 × sin(30) = 5 × 12 = 52 cm. 5 3. Les droites (RS) et (N P ) sont perpendiculaires `a une mˆeme troisi`eme, la droite (M P ), ces deux droites sont donc parall`eles. 4. Les points M , R et N sont align´es et les points M , S et P sont align´es. Les droites (RS) et (N P ) sont parall`eles. Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme de Thal`es, on dispose des ´egalit´es suivantes : MS RS MR = = MN MP NP Donc,
5 5 MS 15 2 2 = √ donc, M S = 6 × √ = √ ≈ 4, 3cm. Soit 43 mm. 6 2 3 2 3 2 3
`me Partie III : Proble
Premi` ere partie : 1. a)
b 70 = donc b = 105. 20 30
b) a =
2. Repr´esentation graphique de f .
70 = 3, 5. 20
Deuxi` eme partie : 1. Voir figure. 2. On note y = ax + b l’´equation de la droite (AB). A ∈ (AB) donc yA = a × xA + b, c’est `a dire 70 = 20a + b ; de mˆeme, B ∈ (AB) donc yB = a × xB + b, c’est `a dire 90 = 60a + b. 70 = 20a + b a = 0, 5 On r´esout alors le syst`eme ce qui donne 90 = 60a + b b = 60 Finalement, la fonction affine g a pour expression : g(x) = 0, 5x + 60. y = 3, 5x 3. a) donne successivement, y = 0, 5x + 60 y = 3, 5x 3, 5x = 0, 5x + 60 y = 3, 5x 3x = 60 y = 3, 5x x = 20 x = 20 y = 70 b) Ce couple correspond aux coordonn´ees du point d’intersection des droites (d) et (AB).
Troisi` eme partie : 10 1. Puisque l’allongement est proportionnel, ce coefficient de proportionnalit´e vaut a = = 0, 5. 20 Ainsi, pour une masse de 80 g, on obtient un allongement de 80×0,5=40 mm. La longueur totale est alors de 40+60 mm c’est `a dire 100 mm. 2. On note h(x) l’allongement du ressort en fonction de x, h(x) = 0, 5x. 3. On note k(x) la longueur totale du ressort en fonction de x, k(x) = 0, 5x + 60. (On remarque que k = g). 4. Un cube d’arˆete 2 cm a un volume de 8 cm3 . Sa masse est alors MC = 19, 5 × 8 = 156g. 5. Pour x = 156, k(156) = 138. Ainsi, lorsqu’on suspend ce cube, la longueur totale du ressort sera de 138 mm. Voir graphique pour les traits de construction.
Mise `a disposition P.-A. Desrousseaux