8.2 Arbeid en kinetische energie

van een vliegdekschip gelanceerd

met behulp van een katapult. De

trekkracht van de katapult verricht

arbeid en de kinetische energie van

het vliegtuig neemt toe. Wat is

het verband tussen arbeid en

kinetische energie?

Figuur 8.14

Arbeid en verandering van snelheid

Volgens de eerste wet van Newton verandert de snelheid van een voorwerp als er een resulterende kracht op werkt. Is de richting van de resulterende kracht gelijk aan de richting van de verplaatsing, dan versnelt het voorwerp. Is de richting tegengesteld, dan vertraagt het voorwerp.

Als een kracht een component in de bewegingsrichting heeft, verricht die kracht arbeid. Bij positieve arbeid is de richting van deze krachtcomponent gelijk aan die van de verplaatsing. Dus bij positieve arbeid versnelt het voorwerp. Bij negatieve arbeid is de richting van de krachtcomponent tegengesteld aan de richting van de verplaatsing. In dat geval vertraagt het voorwerp. De verrichte arbeid hangt dus samen met de verandering van de grootte van de snelheid. Als de arbeid verricht door een kracht nul is, staat deze kracht loodrecht op de bewegingsrichting. In dat geval kan wel de richting van de snelheid veranderen, maar niet de grootte.

Als er meerdere krachten op een voorwerp werken, bepaal je de resulterende kracht en vervolgens de component daarvan in de bewegingsrichting. Die component is gelijk aan de som van de componenten in de bewegingsrichting van de samenstellende krachten. Voor de totale arbeid geldt dan:

Wtot = F res,x ⋅ s = (F 1,x + F 2,x + …) ⋅ s = F 1,x ⋅ s + F 2,x ⋅ s + … = ∑ W

De totale arbeid is dus gelijk aan de som van de arbeid verricht door de afzonderlijke krachten. Is die totale arbeid 0, dan verandert de grootte van de snelheid van het voorwerp niet. Dit komt overeen met de eerste wet van Newton.

een kracht van 600 N. a Bereken de arbeid die de motorkracht verricht. Op de auto werken ook tegenwerkende krachten. b Bereken de arbeid die deze krachten verrichten. c Leg op twee manieren uit dat de totale arbeid 0 J is.

Uitwerking

a De richting van de motorkracht is gelijk aan de bewegingsrichting.

Wmotor = F motor ∙ s met F motor = 600 N en s = 15 km = 15∙10 3 m W motor = 600 × 15∙10 3 = 9,0∙10 6 Nm. b De tegenwerkende krachten zijn samen gelijk aan 600 N, omdat de snelheid

constant is. De richting is tegengesteld aan de bewegingsrichting.

Wtegen = −F tegen ∙ s met F tegen = 600 N en s = 15 km = 15∙10 3 m W tegen = −600 × 15∙10 3 = −9,0∙10 6 Nm c Voor de totale arbeid geldt W tot = W motor + W tegen W tot = 9,0∙10 6 + (−9,0∙10 6 ) = 0 Nm = 0 J.

Voor de totale arbeid geldt ook W tot = F res ∙ s Bij constante snelheid is F res = 0 N, dus dan is W tot gelijk aan 0 J.

Kinetische energie

Als de resulterende kracht arbeid verricht, is er een verplaatsing en volgens de tweede wet van Newton ook een versnelling. Er geldt:

W = F res ∙ s = m ∙ a ∙ s

Als de versnelling in een tijdsinterval Δt constant is, dan geldt:

a = Δv _ Δt = v eind − v begin _ Δt

In diezelfde tijd Δt geldt voor de verplaatsing:

s = v gem ⋅ Δt = v eind + v begin _ 2 ⋅ Δt

Combineer je deze drie formules, dan is het resultaat onafhankelijk van Δt:

W = m ⋅ v eind − v begin _ Δt ⋅ v eind + v begin _ 2 ⋅ Δt

W = 1 _ 2 m ⋅ ( v eind − v begin ) ⋅ ( v eind + v begin )

W = 1 _ 2 m ⋅ v eind 2 − 1 _ 2 m ⋅ v begin 2

Als de beginsnelheid van een bewegend voorwerp gelijk was aan 0, dan is op dat voorwerp een arbeid verricht van 1 _ 2 m ⋅ v 2 . Door die arbeid heeft het voorwerp een hoeveelheid energie gekregen. Die energie van 1 _ 2 m ⋅ v 2 noem je de kinetische energie van het voorwerp. Het symbool van kinetische energie is E k . Omdat de eenheid van arbeid J is, is de eenheid van kinetische energie ook J. Voor de kinetische energie van

een voorwerp geldt dus:

Ek = 1 _ 2 m ⋅ v 2

Ek is de kinetische energie in J. m is de massa in kg. v is de snelheid in ms −1 .

Kinetische energie noem je ook wel bewegingsenergie. De kinetische energie geeft

aan hoeveel energie een bewegend voorwerp heeft. Die hoeveelheid hangt af van de massa en de snelheid. Als een auto met een snelheid van 100 kmh −1 ergens tegenaan botst, veroorzaakt hij meer schade dan met een snelheid van 50 kmh −1 . Er is ook

meer schade als je de auto vervangt door een zware vrachtauto.

Wet van arbeid en kinetische energie

Uit het voorafgaande volgt dat de kinetische energie van een voorwerp verandert als een resulterende kracht arbeid verricht op dat voorwerp. De verandering in kinetische energie is gelijk aan de totale arbeid. In formulevorm:

∑ W= ΔE k

∑ W is de som van de arbeid van alle krachten in J.

ΔE k is de verandering in kinetische energie in J. ΔE k = E k,eind − E k,begin

Dit wordt de wet van arbeid en kinetische energie genoemd. Deze wet komt overeen met de tweede wet van Newton. Als een resulterende kracht op een voorwerp werkt, verandert de snelheid van het voorwerp.

Voorbeeld 1 Jilly staat met haar fiets op een 15 m hoge brug. Zie figuur 8.15. De helling van de brug is 80 m lang. De massa van Jilly en haar fiets samen is 75 kg. Bij het naar beneden rijden is de gemiddelde wrijvingskracht 25 N. Jilly trapt dan niet. Haar spierkracht speelt dus geen rol. Bereken de kinetische energie van Jilly en haar fiets aan het einde van de helling.

Figuur 8.15

Uitwerking ∑ W= ΔE k W zw + W w = E k,eind − E k,begin W zw = +F zw ∙ h = m ∙ g ∙ h met m = 75 kg, g = 9,81 ms −2 en h = 15 m W zw = 75 × 9,81 × 15 J W w = −F w ∙ s met F w = 25 N en s = 80 m W w = 25 × 80 J Omdat Jilly stilstaat boven op de brug is v begin = 0 ms −1 en dus E k,begin = 0 J. 75 × 9,81 × 15 + (−25 × 80) = E k,eind E k,eind = 9,0∙10 3 J Afgerond: E k,eind = 9,0∙10 3 J = 9,0 kJ.

In figuur 8.16 is de arbeid die de zwaartekracht en de wrijvingskracht hebben verricht weergegeven als functie van de tijd. Ook de kinetische energie van Jilly samen met haar fiets staat in dit diagram. In figuur 8.16 zie je dat de arbeid die door de zwaartekracht en de wrijvingskracht samen is verricht, steeds gelijk is aan de toename van de kinetische energie.

Figuur 8.16

Voorbeeld 2 Malik rijdt met een snelheid van 80 kmh −1 de invoegstrook van een snelweg op.

De massa van de auto is 835 kg. Hij versnelt tot 100 kmh −1 .

De motor levert hiervoor een extra kracht van 2,0 kN. Bereken de afstand die Malik aflegt tijdens het versnellen.

verricht. Die arbeid bereken je uit de toename van de kinetische energie. De kinetische energie bereken je met de formule voor de kinetische energie met de

snelheid in ms −1 . v begin = 80 _ 3,6 = 22,2 m s −1 en v eind = 1 _ 3,6 = 27,8 m s −1 ∑ W extra = ΔE k F extra ⋅ s = 1 _ 2 m ⋅ v eind 2 − 1 _ 2 m ⋅ v begin 2 F extra = 2,0 kN = 2,0∙10 3 N 2,0⋅10 3 × s = 1 _ 2 × 835 × (27,8) 2 − 1 _ 2 × 835 × 22,2 2 s = 58,45 m

Afgerond: s = 58 m.

Vermogen

Het vermogen van een apparaat is de hoeveelheid energie die een apparaat per tijdseenheid omzet als je het gebruikt (zie hoofdstuk 5 Elektrische systemen): P = E _ t Bij motoren en spieren is de hoeveelheid energie gelijk aan de arbeid die een kracht heeft verricht. De formule voor vermogen wordt dan:

P = W _ t

P is het vermogen in W. W is de arbeid in J. t is de tijd in s.

Bij een auto geldt: hoe groter het vermogen, des te groter is de arbeid die de motorkracht kan verrichten in een bepaalde tijd. Het vermogen dat een auto moet leveren hangt alleen af van de motorkracht en de snelheid. Dit leid je als volgt af:

P = W _ t P = F⋅ s _ t P = F⋅ s _ t P = F⋅ v met W = F ∙ s

met s _ t = v

Voor het vermogen geldt dus:

P = F ∙ v

P is het vermogen in W. F is de kracht in N. v is de snelheid in ms −1 .

vermogen van 270 kW en een topsnelheid van 250 kmh −1 . Bereken de som van de wrijvingskrachten op de auto wanneer deze op topsnelheid rijdt.

Figuur 8.17

Uitwerking Bij een constante topsnelheid is er geen resulterende kracht, want de versnelling is 0.

Dus zijn de motorkracht en de wrijvingskrachten op de auto even groot.

Pmotor = F motor ∙ v P motor = 270 kW = 270∙10 3 W v = 250 km h −1 = 250 _ 3,6 = 69,4 m s −1

270∙10 3 = F motor ∙ 69,4

Fmotor = 3,888∙10 3 N F w = F motor = 3,888∙10 3 N De som van de wrijvingskrachten is dus afgerond 3,89·10 3 N.

Opgaven

8 Je trekt een zware kist met constante snelheid voort over een vloer. Jouw spierkracht verricht dan positieve arbeid op de kist. Toch verandert de kinetische energie van de kist niet, want de snelheid is constant. Leg uit hoe dat kan.

9 Een gemaal bevat pompen die water uit een polder of een meer kunnen verplaatsen

om het waterniveau op peil te houden. Het gemaal pompt per minuut 130 m 3 water

6,0 m omhoog.

a Toon aan dat de kracht die de pompen moeten leveren gelijk is aan 1,27·10 6 N. b Bereken het nuttige vermogen dat de pompen van het gemaal dan leveren.

Fw,totaal = F w,rol + F w,lucht met F w,rol = 0,80 kN De c w waarde voor de Ferrari is 0,33. Bereken de frontale oppervlakte van de Ferrari.

11 In Shanghai verbindt een magneetzweeftrein het vliegveld met de stad. Zie figuur8.18. De massa van de trein met passagiers is 3,69∙10 5 kg. Op t = 0 s vertrekt de trein op een horizontaal traject. De zweeftrein heeft een constante versnelling van

0,89 ms −2 gedurende de eerste 60 s.

Verwaarloos bij de volgende vragen de weerstandskrachten. a Bereken de bewegingsenergie van de trein na 60 s. Bereken hiervoor eerst de snelheid van de trein na 60 s. b Hoe groot is de arbeid die de motorkracht levert gedurende de eerste 60 s? Bij deze eenparig versnelde beweging levert de aandrijving van de trein gedurende de zestigste seconde meer vermogen dan gedurende de eerste seconde. c Leg dat uit.

▶▶ hulpblad Figuur 8.18

12 Frits rijdt met 120 kmh −1 een helling af. De hellingshoek bedraagt 10°. De massa van de auto en Frits samen is 980 kg. Op een afstand van 100 m ziet hij een bord met

maximumsnelheid ‘80’. Hij remt af zodat zijn snelheid 80 kmh −1 is op het moment

dat hij het bord ‘80’ passeert. Bereken de gemiddelde wrijvingskracht die daarvoor op de auto moet worden uitgeoefend.

afremmen tot stilstand, volgt de afremmende kracht F rem uit de remafstand s rem volgens F rem = E k,begin _ s rem .

a Leid deze formule af. Als Mark geen veiligheidsgordel draagt, komt hij tegen de voorruit tot stilstand. Mark heeft een massa van 70 kg. De voorruit geeft 4,0 cm mee als hij ertegenaan komt. b Bereken de kracht die onder deze omstandigheden op hem werkt. Met een veiligheidsgordel is de remafstand voor Mark tien keer zo groot. c Leg uit wat er dan met de kracht op hem gebeurt. Een autogordel mag niet te los, maar ook niet te strak zijn afgesteld. d Leg dat uit.

14 De janvangent is de grootste zeevogel van het Noordzeegebied. Zie figuur 8.19.

De vogel leeft van vis die hij door middel van een snelle duik uit het water haalt.

De massa van een janvangent is 2,8 kg.

Op het tijdstip t = 0 s versnelt hij zonder verticale beginsnelheid door middel van een

krachtige vleugelslag loodrecht naar

beneden. Behalve de zwaartekracht levert de janvangent zelf een spierkracht. Op t = 0,82 s is zijn snelheid 97,2 kmh −1 . a Bereken met behulp van de tweede wet

van Newton de gemiddelde kracht die de janvangent tijdens dit gedeelte van de duik levert. Vanaf t = 0,82 s werkt alleen nog de zwaartekracht op de janvangent. Deze bevindt zich 28 m boven het wateroppervlak. b Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie met welke snelheid de janvangent in het water terechtkomt. Verwaarloos daarbij de luchtweerstand.

Figuur 8.19