CONCEPT

Bedenk een aantal voorbeelden van getallen in de wereld om je heen en noteer deze. Ga vervolgens op onderzoek uit. Leg een bepaalde route af, bijvoorbeeld van je huis naar je sportclub of school. Noteer de getallen die je op deze route tegenkomt.

Maak een analyse van de getallen die je bent tegengekomen. Je kunt bijvoorbeeld onderscheid maken op basis van de verschijningsvorm van de getallen. Denk aan hoeveelheidsgetal, meetgetal, naamgetal, telgetal of een kaal rekengetal. Je kunt ook kijken of de getallen natuurlijke, negatieve of rationale getallen zijn, of je kunt kijken naar de grootte van de getallen die je tegenkomt.

Welke getallen komen vooral op jouw route voor? Komt dat overeen met wat je vooraf had bedacht?

Burgerservicenummer

Het BSN (burgerservicenummer) is een mooi voorbeeld van een zogenaamde fouten detecterende code. Dat is een code waarmee je incorrecte of valse nummers kunt herkennen. Het BSN is een combinatie van 9 cijfers. Is een van de cijfers verkeerd overgeschreven of getypt, dan kan dat worden achterhaald met een berekening. De uitkomst daarvan moet overeenkomen met het laatste cijfer: dit is het controlegetal. Ook op bankbiljetten, paspoorten en ISBN-nummers kom je fouten detecterende codes tegen.

Burgerservicenummer a Ga na of het getal 079414199 een BSN kan zijn. b Als het getal 99?21248 een BSN is, welk cijfer staat dan op de plaats van het vraagteken?

Als het nummer acht cijfers telt, plaats je er eerst een 0 voor zodat je negen cijfers krijgt. Vermenigvuldig nu het eerste cijfer met 9, het tweede cijfer met 8, het derde met 7, en zo verder tot en met het achtste cijfer met 2. Tel vervolgens alle acht uitkomsten bij elkaar op. Deel de uitkomst door 11. De rest die deze deling oplevert, moet het laatste cijfer zijn. Dan is het getal een geldig BSN, anders niet.

1.2 Ons getalsysteem

B talstelsel decimaal talstelsel B cijfer

Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijvoorbeeld in Arabische of in Romeinse cijfers. Je noemt een systeem om getallen te representeren een talstelsel, getalstelsel of getalsysteem. Ons talstelsel, het decimale stelsel, is omstreeks 1202 door Leonardo van Pisa (ook bekend als Fibonacci) in West-Europa geïntroduceerd. Het duurde overigens nog tot de veertiende eeuw voordat dit stelsel met Hindoe-Arabische cijfers door iedereen werd gebruikt. Om vlot te kunnen rekenen met getallen en adequaat reken-wiskundeonderwijs te kunnen verzorgen, is het nodig dat je je bewust bent van de eigenschappen van ons decimale talstelsel.

1.2.1 Eigenschappen van het getalsysteem

Ons talstelsel gebruikt oorspronkelijke Arabische cijfers en heeft een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig waarvoor we deze tien cijfersymbolen, oftewel cijfers gebruiken: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Een getal bestaat uit een of meer cijfersymbolen. Zo bestaat het getal 4 uit het cijfer 4 en het getal 398 uit de cijfers 3, 9 en 8. De plaats of positie van een cijfer in het getal bepaalt de waarde van het cijfer. Je noemt dit plaatswaarde of positiewaarde. De 3 in 398 is 300 waard, terwijl de 3 in 938 maar 30 waard is.

C B

Deze manier van getallen noteren, waarbij de positie van een cijfer de waarde ervan bepaalt, is kenmerkend voor een positioneel talstelsel of positiestelsel. In ons decimale positionele stelsel neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in. De 0 zorgt dat alle cijfers op de juiste positie komen te staan. De 0 zorgt ervoor dat elk cijfer op de juiste positie kan staan: de 0 zorgt ervoor dat de 7 in 7025 de waarde 7000 krijgt. Elke positie in een getal heeft een positiewaarde die correspondeert met een macht van tien. Bijvoorbeeld:

7025 = 7 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1 = 7 × 103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100

Bundelingsprincipe a Als de tien potloden in het platte doosje gaan, zie je alleen nog het platte doosje. Wat zie je als je 5032 potloden op deze manier inpakt? b Bedenk een bundelingssysteem in groepjes van 4. Welke namen zou jij aan elk van de bundelingen geven? Bedenk een handige manier om deze bundeling te noteren. Verdeel dan 250 kaartjes volgens dit bundelingssysteem. Wat zie je precies? c Hoe zou je antwoord eruitzien als je niet een bundeling van 4, maar van 3 gebruikt om het aantal van 250 kaartjes te verpakken?

Dit gedachte-experiment gaat over een denkbeeldige potlodenfabriek. In deze fabriek worden de potloden netjes verpakt. Tien potloden gaan naast elkaar in een plat doosje. Tien van die doosjes worden gebundeld tot een pakketje. Tien van die pakketjes gaan in een kleine doos. Tien van die kleine dozen gaan samen in een grote doos. En tien grote dozen gaan samen op een pallet.

1.2.2 Uit de geschiedenis van getalsystemen

Er zijn verschillende getalsystemen met andere symbolen die (deels) positioneel zijn. Zo gebruikten de Maya’s onderstaande symbolen voor de getallen 0 tot en met 19, die in een positiestelsel gecombineerd werden.

Romeinse getalsysteem additief

Er zijn ook getalsystemen bekend die niet positioneel zijn, zoals het Egyptische getalsysteem.

Het Egyptische getalsysteem

In het dagelijks leven zie je ook nog sporen terug van het Romeinse getalsysteem.

Romeins cijfer waarde

I 1

V 5

X10

L50

C100