Blender by Thorsten Kloehn

Inhaltsverzeichnis 1

Blender (Software)

1.1

Funktionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Benutzeroberﬂäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

Features

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Geschichte 1.2.1

1.3

Einsatz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

Exempel-Graﬁken

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2

Einsatz in ﬁlmischen Projekten und Videospielen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Einzelnachweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3D-Graﬁksoftware

2.1

Einsatz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1

3D-Modellierungs-Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

Sculpting-Programme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3

Simulationswerkzeuge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4

Renderengines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5

3D-Graﬁksuiten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Einzelnachweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 3

Suzanne

Modell

3.1

Wortherkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Modellbildung

3.3

Komplexität und Qualität eines Modells

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Modelle in verschiedenen Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1

Mathematische Modelle in der Wissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2

Mathematik und Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3

Wissenschaftstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.4

Sozial- und Kulturwissenschaften

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.5

Psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INHALTSVERZEICHNIS

3.5

Pädagogik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.7

Informatik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.8

Naturwissenschaften: Chemie und Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spezielle Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1

Modellplatonismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Siehe auch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9

Einzelnachweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Textur (Computergraﬁk)

4.1

Beispiele

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Siehe auch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Computeranimation

5.1

Schlüsselbilder und Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1

Interpolationsmethoden

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2

Kurvenparametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.3

Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Hierarchische Objekte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Kollisionserkennung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

Gruppensimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Siehe auch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polygon

6.1

Deﬁnition und Bezeichnungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Klassiﬁkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1

Nach Anzahl der Ecken

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2

Weitere Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1

Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2

Diagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3

Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.4

Fläche

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4

Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5

Siehe auch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7

Einzelnachweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

3.4.6

Non-Uniform Rational B-Spline

INHALTSVERZEICHNIS

7.1

Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2

Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3

Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1

Randbedingungen und Deﬁnitionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2

Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.3

NURBS-Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4

Einfache Erklärung eines komplexen Sachverhaltes

7.5 7.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metaball 8.1

iii

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Subdivision Surface

9.1

Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2

Verfeinerungsschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.1

Approximierende Schemata

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.2

Interpolierende Schemata

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3

Weblinks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4

Text- und Bildquellen, Autoren und Lizenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.1

Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.2

Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.3

Inhaltslizenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapitel 1

Blender (Software) Blender ist eine freie, mit der GPL lizenzierte 3D- 1.1.1 Grafiksuite,[1] mit welcher sich Körper modellieren, texturieren und animieren lassen. Diese können in Grafiken, Animationen und Software systematisiert werden. Geschaffene Bildsynthesen können mit Hilfe des integrierten Compositors und Videoschnittprogramms nachbearbeitet werden.[2] Das Programm wird von professionell und ehrenamtlich Arbeitenden kontinuierlich fortgeschrieben.[3] C und C++ werden als Programmiersprachen genutzt, Python wird als Skriptsprache verwendet.[4] Das Programm ist trotz seines Funktionsumfanges verhältnismäßig klein (gepackt rund 100 MB) und läuft auf den meisten gebräuchlichen Rechnersystemen. Da der Quelltext frei verfügbar ist, kann es bei Bedarf auch für die eigene Plattform übersetzt werden. Es ist als portable App verfügbar und kann somit auf vielen Systemen, beispielsweise Windows, Linux, Mac OSX oder FreeBSD, ohne Installation betrieben werden (z. B. von einem Netzwerklaufwerk oder USB-Stick).

Benutzeroberﬂäche

Die Benutzeroberfläche des Programms setzt sich aus Regionen (Regions) zusammen, welche dynamisch angeordnet, skaliert und ein- bzw. ausgeblendet werden können. In ihnen lässt sich je ein Menü platzieren. Menüs teilen sich in Werkzeugleisten (Panels) auf, in welchen sich Steuerelemente (Controls) befinden. Die zahlreichen Tastenkombinationen ermöglichen effizientes und schnelles Arbeiten.[7]

1.1 Funktionalität

Blender inkludiert u. a. folgende Menüs:[8] • 3D-View:

Blender ist ein Programmpaket, ermöglicht also Modellierung, Animation, Bildsynthese und Bildbearbeitung, ohne ein weiteres Programm herbeizuziehen.[5] Dies wird, in aller Kürze, durch seine dynamische Benutzer-Oberfläche, welche sich flexibel an die Aufgabe, die mit dem Programme erledigt werden soll anpassen lässt, die unterschiedlichen Objekttypen (Polygonnetze, Bézierkurven, NURBS-Oberflächen, Metaball-, Text-, Empty-, Lattice-, Armature-, und Lampenobjekte), die große Zahl an Modifikatoren, Polygonnetz-Bearbeitung und Sculpting-Werkzeuge, das umfangreiche Material-Nodesystem, in welchem die Eigenschaften der Materialien mit Hilfe von Shadern, welche sich durch Werte und Texturen beeinflussen lassen, die Keyframing-Funktionen und die Werkzeuge zur Postproduktion ermöglicht. Blender verfügt über zwei interne Rendering-Engines: den traditionellen “Blender Renderer” und den neueren Cycles Renderer, der u. a. auch Raytracing unterstützt.[6]

• Die 3D-View ist ein zentrales Menü des Programmes, das sich aus dem Viewport (einer Vorschau, welcher die Szenerie abstrahiert dargestellt wird), einer Leiste auf welcher sich grundlegende Einstellungen zur Szenerie vorgenommen werden können und einer, auf welcher weitere einfache Eingaben vorgenommen werden können, zusammensetzt. • Properties: • Im Properties-Menü können Einstellungen zum selektierten Objekt vorgenommen werden. Es lassen sich u. a.: • Einstellungen zur Vorbereitung der Bildsynthese vornehmen • Einstellungen zur Szenerie vornehmen 1

KAPITEL 1. BLENDER (SOFTWARE) • Einstellungen zum Hintergrund vornehmen • Einstellungen zum Objekt vornehmen • Constraints beifügen • Materialien verwalten • Modiﬁkatoren beifügen • Texturen verwalten • Partikel- und Physiksimulationen verwalten • Timeline: • Die Timeline ist ein Animationswerkzeug. Sie Strömungssimulation ermöglicht u. a.: • Eine Vorschau geschaﬀener Animationen im Viewport darzustellen • Unterschiedliche Frames der Animation im Viewport darzustellen • Keyframes zu setzen • Node Editor • Im Node Editor lassen sich sämtliche Arbeiten, bei welchen Knoten eingesetzt werden können, verrichten. Er lässt sich in folgenden Bereichen einsetzen: • Texturierung • Compositing • UV/Image Editor

Zur Organisation der Projekte können innerhalb einer Datei mehrere Szenerien (Scenes) erstellt werden.[9] Objekte können auf verschiedenen Ebenen (Layers) platziert werden, um sie separiert bearbeiten und ein- und ausblenden zu können.[10] Körper lassen sich in unterschiedlichen Modi editieren. Wird ein Objekt einem Modi zugeordnet, werden in der 3D-View Steuerelemente, welche für Arbeiten in diesem Modi von Bedeutung sind eingeblendet. Zu dem wird des Objekts Visualisierung im Viewport an des Modus’ Funktion angepasst. Dadurch wird Übersichtlichkeit geschaﬀen.[11]

• Sculpting-Werkzeuge, mit denen Objekte wie virtueller Ton verformt werden können • Blender besitzt Texturierungswerkzeuge:

Material-

und

• Verschiedene UV-Unwrapping-Methoden (u. a. Angle-Based, Conformal, Smart Projections) • knotenbasierte Material- und Textureditoren, die sehr komplexe Materialien erlauben • 3D-Malwerkzeuge erlauben das Malen direkt auf dem Modell • Unterstützung für Graﬁktabletts • Die Animationswerkzeuge umfassen unter anderem: • Shape-Keys (Morph Targets) • Charakteranimationen inverser Kinematik

mit

direkter

und

• auf Kurven und Lattice (Käﬁg) basierende Verformungen • Simulation elastischer Objekte (Softbodies), einschließlich Kollisionserkennung • Simulation von Festkörpern (Rigidbodies), ebenfalls mit Kollisionserkennung • Kleidungssimulation • partikelbasierte Haare, Gräser usw. • Partikel mit Kollisionserkennung

1.1.2

Features

• Blender arbeitet mit Polygonnetzen, Bézierkurven, NURBS-Oberﬂächen, Metaball- und Textobjekten. Die Unterstützung für die Bearbeitung von Polygonnetzen (seit Version 2.63 auch mit mehr als 4 Ecken je Polygon) ist dabei ein deutlicher Schwerpunkt. Dafür sind unter anderem verfügbar:

• Flüssigkeitsdynamik • Neben den zwei internen Renderern können verschiedene externe Renderengines eingesetzt werden (z. B. Kerkythea, Indigo oder LuxRender). • Der voll multithreadfähige interne Renderer unterstützt aktuell:

• Unterteilungsﬂächen (Subdivision Surfaces)

• Kantenrendern (Cartoon-Linien)

• Multiresolution-Netze, also Objekte in mehreren Auﬂösungsstufen

• Umgebungsverdeckung (Ambient Occlusion)

• Raytracing

1.3. EINSATZ • Radiosity • mehrschichtiges Rendering und Compositing

3 von 100.000 Euro erreicht. Diese Strategie der Spendensammlung nennt man auch das Street Performer Protocol bzw. Crowdfunding.[15]

• verschiedene Ausgabeformate einschließlich HDR, EXR und DivX-Animationen (je nach Wesentliche Entwicklungsschritte machte das Programm mit den folgenden Versionen: installierten Codecs) • Rendern von volumetrischen Partikeln (seit Eine Übersicht über alle erschienenen Programmversionen ist auf der offiziellen Webseite[67][68] und im deutschVersion 2.50) sprachigen Handbuch im Kapitel „Die Geschichte von • Blender benutzt ein eigenes mit „.blend“ gekenn- Blender“[17] zu finden. zeichnetes Dateiformat, auf welches mit anderen Programmen nur schwer zugegriffen werden kann. Es ist plattformübergreifend und auf- und abwärtskompatibel. Import- und Exportskripte sind für ver- 1.2.1 Suzanne schiedene Formate integriert, z. B. für OBJ- und 3DS-Dateien. • Als Skriptsprache dient Python. • Ebenfalls in Python wird die 3D-Spieleengine programmiert. Mit dieser können eigenständige Echtzeitanwendungen in Blender erstellt werden. • Blender enthält ein einfaches, aber funktionales Videoschnittprogramm, welches den ressourcensparenden Umgang mit großen Dateien erlaubt. • Blender beinhaltet einen umfangreichen knotenbasierten Compositor, um Bilder und Animationen diSuzanne rekt im Programm zu bearbeiten. • Blender kann seit Version 2.61 Punkte in Videos verfolgen (Tracken) und daraus ihre Position im Raum errechnen. Damit lässt sich sowohl die Bewegung der Kamera als auch die von Objekten in Blender übertragen. Dies eignet sich zum Beispiel, um animierte Modelle in reale Aufnahmen zu setzen.

Als im Januar 2002 klar wurde, dass NaN im März die Tore schließen würde, wollten die Entwickler noch einmal eine „persönliche Note“ in ihrem letzten Release (v2.25) setzen und fügten als eine Art Easter Egg ein Mesh-Grundmodell (primitive) eines Schimpansenkopfes ein. Es wurde von Willem-Paul van Overbruggen erstellt und ist nach einem Orang-Utan aus Zusätzlich enthält das Programm ab Version 2.6 auch ei- dem Film Jay und Silent Bob schlagen zurück benannt. ne Unbiased-Renderengine namens „Cycles“, die auch in Suzanne ist ein Low-Poly-Modell (nur 500 Polygone) und Echtzeit, d. h. während des Redigierens funktioniert und stellt in Blender die Alternative zur sonst gebräuchlichen mithilfe von CUDA und OpenCL (experimentell) auch Utah-Teekanne dar. Es dient oft als schnelle und einfache mit der GPU rendern kann. Möglichkeit, Materialien, Texturen und Licht-Setups zu testen.

1.2 Geschichte Ursprünglich war Blender ein ﬁrmeninternes Programm des niederländischen Animationsstudios NeoGeo. Der Chefentwickler Ton Roosendaal gründete im Jahr 1998 das Unternehmen Not a Number Technologies (NaN), um Blender weiterzuentwickeln und zu vertreiben. Nach der Insolvenz von NaN stimmten die Gläubiger zu, Blender für einen Betrag von 100.000 Euro den Quelltext freizugeben[12][13][14] und unter die freie Softwarelizenz GNU General Public License (GPL) zu stellen. Am 18. Juli 2002 wurde daher von Ton Roosendaal die Stiftung Blender Foundation mit dem Ziel gegründet, Spenden zu sammeln. Am darauﬀolgenden 7. September war das Ziel

Der größte Blender-Wettbewerb vergibt jährlich einen Preis mit dem Namen „Suzanne Award“.

1.3 Einsatz Blender wird sowohl von Privatpersonen als auch von kleineren Studios genutzt, da die Software gegenüber anderen populären 3D-Graﬁksuiten den Vorteil hat, dass sie kostenfrei erhältlich und neben Modellierungs, Texturierungs- und Renderingfuktionen über Menüs zum Sculpting, zum Videoschnitt und zur digitalen Nachbearbeitung verfügt

KAPITEL 1. BLENDER (SOFTWARE)

1.3.1

•

Exempel-Graﬁken

„Einsames Haus“ – in Blender modelliert, mit Texturen versehen und gerendert.

•

Szene aus dem Film Big Buck Bunny (2008)

Filmfestival[70] ; seit dem 30. September 2010 steht der Film zum Herunterladen bereit und kann auf öffentlichen Videoplattformen, wie YouTube, angesehen werden. • Im Oktober 2011 startete das vierte Open Movie Project der Blender Foundation mit dem Projektnamen Mango.[71] Ziel des Projekts war es, die Funktionalität im Bereich visueller Effekte zu erweitern. Der fertige Film trägt den Namen Tears of Steel und feierte am 26. September 2012 seine Premiere. In dem zwölfminütigen Kurzfilm versucht eine Gruppe von Kämpfern und Wissenschaftlern, die Erde vor der Zerstörung durch Roboter zu retten. Der komplette Film ist als Torrent frei verfügbar, das Quellmaterial (PNG-Einzelbilder, Stereo- und 5.1Sound, Render in 4000 × 2000 Pixeln und weitere Projektdateien) wurde ebenfalls veröffentlicht.[72] • Im Virtual-Reality-Spiel Second Life werden damit oftmals Kleidungsstücke etc. von Spielern gefertigt.

•

Modelle, in Version 2.66 gerendert

1.3.2

Einsatz in ﬁlmischen Projekten und Videospielen

• Im September 2005 begannen einige der angesehensten Blender-Künstler und -Entwickler die Arbeit an einem Kurzfilm. Dabei benutzten sie hauptsächlich freie Software. Dieses Projekt ist als Orange Movie Project bekannt. Der daraus entstandene Film, Elephants Dream, hatte am 24. März 2006 Premiere, wurde im Mai 2006 auf DVD herausgebracht und über Tauschbörsen zum Herunterladen freigegeben. • Ein weiteres Filmprojekt namens Big Buck Bunny erschien am 20. Mai 2008 auf DVD. Es stellt das Folgeprojekt von Elephants Dream dar. • Das von erfahrenen Spieleentwicklern in Blender realisierte quelloffene Spiel Yo Frankie ist seit dem 14. November 2008 als DVD und seit dem 9. Dezember 2008 im Internet erhältlich. Als Grafikengines kommen die quelloffenen Engines Crystal Space und die blenderinterne Engine zum Einsatz. Das Spiel kann in Blender selbst verändert und erweitert werden. • In Argentinien entstand der 80-minütige Animationsfilm „Plumiferos“, der am 18. Februar 2010 in Buenos Aires Premiere hatte. • Am 1. September 2009 startete das dritte Open Movie Project unter dem Arbeitstitel Durian. Der fertige Film namens Sintel[69] hatte seine Premiere am 28. September 2010 auf dem Niederländischen

1.4 Literatur • Heiko Ihde: Blender: Ihr Einstieg in die professionelle 3D-Grafik und Animation, Addison-Wesley, Dezember 2011, ISBN 978-3-8273-2899-1 Berücksichtigt Version 2.5 und höher • Thomas Hintz, Immanuel Günther: Materialgestaltung mit Blender. Grundlagen – Planung – Umsetzung, Open Source Press, März 2011, ISBN 978-3941841-24-6 • Carsten Wartmann: Das Blender-Buch. 3D-Grafik und Animation mit Blender. 5. aktualisierte Aufl. dpunkt.verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-386490-051-8. Berücksichtigt Version 2.69 • Heiko Ihde: Blender 2.5 und höher, Video-Training auf DVD, Addison-Wesley, ISBN 978-3-82736382-4 • Helge Maus: Blender 2.5 – Das umfassende Training, Video-Training auf DVD, Galileo Design, ISBN 978-3-8362-1520-6 • Ruben Buchholz: Das Blender-Training für Fortgeschrittene, Video-Training auf DVD, Galileo Design, ISBN 978-3-8362-1759-0 • Sebastian König: Blender 2.6 – Das umfassende Training, Video-Training auf DVD, Galileo Design, ISBN 978-3-8362-1872-6 • Sebastian König: Das Blender-Training: Compositing & Rendering, Video-Training auf DVD, Galileo Design, ISBN 978-3-8362-2392-8 • Thomas Beck: Blender 2.7 – Das umfassende Handbuch, Galileo Design, 776 Seiten, 2014, gebunden, in Farbe, mit DVD; ISBN 978-3-8362-2496-3

1.6. EINZELNACHWEISE

1.5 Weblinks

[13] 'Free Blender Fund' campaign (Memento vom 10. Oktober 2002 im Internet Archive) archiviert 2002

Commons: Blender (Software) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien Wikibooks: Blender Dokumentation – Lern- und Lehrmaterialien Wikibooks: Blender 3D: Tutorial-Linkliste – Lern- und Lehrmaterialien

[14] Membership (Memento vom 10. Oktober 2002 im Internet Archive) People can subscribe to become Foundation Member. Members who subscribe during the campaign period, get additional beneﬁts for their support. During campaign: – Costs: minimum one time fee of EUR 50 (or USD 50) (archiviert 2002) [15] Blender Foundation (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 1. Mai 2006

• blender.org (englisch) – oﬃzielle Website • Blender 2.6 Deutsches Benutzerhandbuch im Blender Wiki

1.6 Einzelnachweise

[17] Blender Dokumentation: Die Geschichte von Blender – Kapitel bei Wikibooks, vom 5. September 2009 [18] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ 3D-Software-Blender-jetzt-mit-Undo-88677.html

[1] About – Blender.org – Home of the Blender project. In: Blender.org – Home of the Blender project. Blender Foundation, abgerufen am 23. April 2016 (englisch, Lizenz: https://www.blender.org/about/license/ SoftwareTyp: https://www.blender.org/about/). [2] Features – blender.org – Home of the Blender project. In: blender.org – Home of the Blender project. Blender Foundation, abgerufen am 2016 – 04 – 23 (englisch). [3] Download Blender (all versions). load.blender.org. Abgerufen am 23. (englisch).

[16] Index of /source/ (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 13. Oktober 2010

In: downApril 2016

[4] Get Involved – blender.org – Home of the Blender project. In: blender.org – Home of the Blender project. Blender Foundation, abgerufen am 2016 – 04 −23 (englisch). [5] Why You Should be Striving for Photorealism von Andrew Price, Referat auf dem Pausefest, einsehbar aufhttps: //www.youtube.com/watch?v=NKDF0zfcZdA [6] Blender Foundation: blender.org – Home of the Blender project – Free and Open 3D Creation Software. Features. In: blender.org. Abgerufen am 7. Mai 2016 (englisch). [7] Introduction — Blender Reference Manual. In: blender.org – Home of the Blender project. Abgerufen am 6. Mai 2016 (englisch). [8] Interface — Blender Reference Manual. In: www.blender. org. Abgerufen am 3. Juni 2016. [9] Scenes — Blender Reference Manual. In: www.blender. org. Blender Foundation, abgerufen am 6. Mai 2016 (englisch).

[19] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-34-neue-Version-der-Open-Source-3D-Software-104165. html [20] Blender 2.40 (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 23. Dezember 2005 [21] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Open-Source-3D-Software-Blender-mit-neuen-Funktionen-160765. html [22] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Freies-3D-Paket-Blender-mit-Filmerfahrung-142385. html [23] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-43-Mit-dem-3D-Pinsel-modellieren-147772. html [24] 3D-Software Blender 2.46 zum Download freigegeben – Artikel bei Heise online, vom 20. Mai 2008 [25] Blender 2.48 (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 25. Dezember 2008 [26] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-48-Der-will-nicht-nur-spielen-211505.html [27] Blender 2.49 (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 21. Juni 2009 [28] Blender 2.57 (englisch) – Mitteilung auf der oﬃziellen Website, vom 13. April 2011 [29] blenderfoundation: Blender 2.58a update log. blender.org, 9. Juli 2011, abgerufen am 10. Juli 2011 (englisch).

[10] Scenes — Blender Reference Manual. In: www.blender. org. Blender Foundation, abgerufen am 6. Mai 2016 (englisch).

[30] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ SIGGRAPH-2011-Blender-fuer-visuelle-Effekte-aufgebohrt-1319911. html

[11] Blender Dokumentation: Modi – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. In: de.wikibooks.org. Abgerufen am 15. Mai 2016.

[31] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-60-unterstuetzt-Audio-Objekte-1364177. html

[12] Blender Foundation Launches Campaign to Open Blender Source auf linuxtoday (22. Juli 2002)

[32] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-63-mit-Vielseiten-Polygonen-1563983.html

[33] Blender 2.64 – the Open Source VFX pipeline. blender.org, 3. Oktober 2012, abgerufen am 4. Oktober 2012 (englisch).

KAPITEL 1. BLENDER (SOFTWARE)

[54] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.74

[34] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-65-macht-Feuer-1766143.html

[55] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Die-3D-Software-Blender-2-74-hat-die-Haare-schoen-2592920. html

[35] Blender 2.66 animiert mit Bullet-Physik – Artikel bei Heise online, vom 21. Februar 2013 (Abgerufen am: 27. Februar 2013)

[56] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-75-Stereoskopisch-und-gratis-in-3D-animieren-2730606. html

[36] Blender 2.67 Release Logs. Blender Foundation, 30. Mai 2013, abgerufen am 31. Mai 2013.

[57] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.76

[37] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-67-rendert-Cartoons-1858698.html

[58] https://www.heise.de/make/meldung/ Open-Source-3D-Paket-Blender-2-76-legt-Tempo-vor-2837965. html

[38] Blender 2.68 Release Logs. Blender Foundation, 18. Juli 2013, abgerufen am 18. Juli 2013. [39] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-68-rendert-schneller-1920266.html [40] Blender 2.69 Release Logs. Blender Foundation, 31. Oktober 2013, abgerufen am 31. Oktober 2013.

[59] https://www.heise.de/ct/artikel/ 3D-Paket-Blender-2-76-arbeitet-deutlich-schneller-2837963. html [60] heise online: Blender 2.77 schneidet alte Zöpfe ab. In: heise online. Abgerufen am 16. März 2016 (de-de).

[61] https://www.heise.de/ct/artikel/ Open-Source-3D-Suite-Blender-2-77-weiter-optimiert-3136031. [41] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ html Open-Source-3D-Paket-Blender-2-69-Gekommen-um-zu-bleiben-1981197. html [62] https://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.77/Bug_Fixes#Blender_2.77a:_Bug_Fixes [42] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.70 [63] Ton, Brecht, Fablefox, Lijenstina, Mont 29: Blender 2.78 Release Notes. The Blender Foundation and online deve[43] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ loper community are proud to present Blender 2.78. In: Blender-2-70-3D-Paket-mit-neuer-Oberflaeche-2140668. Blender Wiki. Abgerufen am 2. Oktober 2016 (englisch). html [44] http://www.blendernation.com/2014/03/31/ developer-meeting-notes-march-30-2014/ [45] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.71

[64] Gottfried Hofmann: 3D-Graﬁksoftware Blender 2.78 rendert Stereo-VR. In: heise online. Verlag Heinz Heise, 30. September 2016, abgerufen am 2. Oktober 2016 (deutsch).

[46] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Blender-2-71-Rendering-auf-der-Zielgerade-2239247. html

[65] Gottfried Hofmann: Blender 2.78: Von 2D-Cartoons bis VR. In: c't - Magazin für Computer Technik. Verlag Heinz Heise, 30. September 2016, abgerufen am 2. Oktober 2016 (deutsch).

[47] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.72

[66] Dev:Ref/Release Notes/2.78/Performance update - BlenderWiki. Abgerufen am 16. Februar 2017 (englisch).

[67] Release-Logs (englisch) – Seite bei blender.org; Stand: 31. [48] https://www.heise.de/newsticker/meldung/ Mai 2009 Open-Source-3D-Paket-Blender-in-Version-2-72-2409588. html [68] Past releases – blender.org – Home of the Blender Project. In: blender.org – Home of the Blender Project. Blender [49] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Foundation, abgerufen am 27. April 2016 (englisch). Notes/2.72/Bug_Fixes#Blender_2.72a:_Bug_Fixes [50] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.72/Bug_Fixes#Blender_2.72b:_Bug_Fixes [51] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.73 [52] http://wiki.blender.org/index.php/Dev:Ref/Release_ Notes/2.73/Bug_Fixes#Blender_2.73a:_Bug_Fixes [53] Mirko Lindner: Blender 2.74 freigegeben. In: pro-linux.de. 1. April 2015, abgerufen am 1. April 2015.

[69] Sintel, the Durian Open Movie Project (englisch) – offizielle Website; Stand: 2. Oktober 2010 [70] Nederlands Film Festival (niederländisch) – offizielle Website; Stand: 12. Oktober 2010 [71] mango.blender.org [72] Tears Of Steel-Download and Watch (englisch) – offizielle Website; Stand: 14. Juni 2013

Kapitel 2

3D-Graﬁksoftware Komplexität der Programme, die eine lange Einarbeitungszeit und eventuell eingehender Beschäftigung mit in das Thema einführender Literatur voraussetzen. Im Heimanwender-Bereich wird häuﬁg das kostenfreie Opensource-Programm Blender eingesetzt.[3]

2.2 Typen 2.2.1 3D-Modellierungs-Software 3D-Modellierungsprogramme dienen zur Organisation von Szenerien und zum Modellieren, Texturieren und Animieren von Körpern.[2]

Ergebnis der Bildsynthese einer Szenerie, in deren Optischen Zentrum ein Gebäude liegt (siehe Architekturvisualisierung);

In der heutigen Zeit werden diese Arbeiten in der Regel Als 3D-Grafik-Software werden Computerprogramme in Programmpaketen verrichtet. bezeichnet, mit welchen sich dreidimensionale Szenen erstellen und/oder rendern (also aus ihnen Bilder oder Computeranimationen errechnen) lassen. 2.2.2 Sculpting-Programme Wird nur die Modellierung und Texturierung unterstützt, so bezeichnet man die Software als 3D- Mit Sculpting-Programmen lassen sich Körper (wie virtueller Ton) mit Hilfe von “Pinseln” dadurch, dass man Modellierungswerkzeug. mit der Maus oder dem Stift eines Grafiktabletts über sie Auf diesem Wege generierte Szenerien können u.a. fährt, verformen. So lassen sich Körpern u.a. Vertiefunin virtuellen Realitäten, Videospielen, Bildsynthesen gen und Erhöhungen beifügen und Teile ihrer Oberfläche (Grafiken und Animationen) systematisiert werden.[1][2] homo- bzw. heterogenisieren. [4] Populäre Programme dieser Art sind u.a.:

2.1 Einsatz

• Z-Brush • Mudbox

3D-Grafikprogramme werden von Unternehmen verschiedener Branchen eingesetzt. Sie werden in der Computerspiele- und Filmindustrie zur Erstellung fotorealistischer, stilisierter und abstrakter Szenerien, im CAD-Bereich zur Fertigung von Plänen, im Grafikbereich zur Erstellung dreidimensionaler Grafiken und im Bereich der Architekturvisualisierung eingesetzt, in welchem sie zur Erstellung realitätsgetreuer Abbildungen von Gebäuden und Umgebungen genutzt werden. Professionelle Studios nutzen meist 3ds-Max, Maya oder LightWave 3D

• Sculptris

2.2.3 Simulationswerkzeuge → Hauptartikel: Computersimulation

Simulationswerkzeuge ermöglichen die digitale Nachvollziehung chemischer Reaktionen und physikalischer Im Heimanwenderbereich sind 3D-Graﬁkprogramme Prozesse (Verbrennungen, Kollisionen, Gravitation, orgaim Gegensatz zu Bildbearbeitungsprogrammen bisher nischer Materialien etc.) kaum verbreitet. Begründet wird dies meist mit der Populäre Programme dieser Art sind u.a.:[5] 7

KAPITEL 2. 3D-GRAFIKSOFTWARE • Wavelet Turbulence • RealFlow

2.2.4

Renderengines

→ Hauptartikel: Graﬁk-Engine Renderengines interpretieren Szenerien und verarbeiten führen die Bildsynthese durch.[6] • Populäre Programme dieser Art sind u.a.: • LuxRender • V-Ray • Octane

2.2.5

3D-Graﬁksuiten

3D-Graﬁksuiten sind Programmpakete, welche zumindest über Werkzeuge zur Modellierung, zur Texturierung und zur Bildsynthese verfügen.[3] Populäre Programme dieser Art sind u.a.: • Maya • LightWave 3D • Blender • 3DS-Max

2.3 Einzelnachweise [1] Ralf Bill, Marco L. Zehner: 3-D-Visualisierung - Geoinformatik Lexikon. In: Geoinformatik-Lexikon. Universität Rostock, abgerufen am 7. Mai 2016 (deutsch). [2] Huber Verlag fuer Neue Medien GmbH: Fachlexikon Initiative Mittelstand. In: www.imittelstand.de. Abgerufen am 7. Mai 2016 (deutsch). [3] “Why You Should be Striving for Photorealism"; Referat von Andrew Price auf dem Pausefest; Veröﬀentlicht auf Youtube: https://www.youtube.com/watch?v= NKDF0zfcZdA [4] Victor Karp: Einstieg in 3D Modeling: Die wichtigsten Begriﬀe. Sculpting und Basemeshes. In: Victor Karp // Environment Artist. 2. März 2016, abgerufen am 7. Mai 2016 (deutsch). [5] Duden | Computersimulation. In: www.duden.de. Abgerufen am 7. Mai 2016. [6] Andrew Price: Render Engine Comparison - Cycles vs 5 Giants. In: Blender Guru. Abgerufen am 7. Mai 2016 (amerikanisches englisch).

Kapitel 3

Modell che oder tätliche Operationen (wozu?). Zudem werden gelegentlich weitere Merkmale diskutiert, wie Extension und Distortion[2] sowie Validität.[3] Der amerikanische Wissenschaftsphilosoph Michael Weisberg unterscheidet auf der obersten Ebene zwischen gegenständlichen (concrete) und mathematischen Modellen und stellt daneben die Computersimulationen (computational models) als eigene Klasse von Modellen auf.[4]

3.1 Wortherkunft Das Wort Modell entstand im Italien der Renaissance als ital. modello, hervorgegangen aus lat. modulus, einem Maßstab in der Architektur, und wurde bis ins 18. Jahrhundert in der bildenden Kunst als Fachbegriff verwenEin Modell ist ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit. det. Um 1800 verdrängte Modell im Deutschen das älteDie Vereinfachung kann gegenständlich oder theoretisch re, direkt vom lat. modulus (Maß(stab)) entlehnte Wort geschehen. Nach Herbert Stachowiak ist es durch min- Model (Muster, Form, z. B. Kuchenform), das noch im destens drei Merkmale gekennzeichnet:[1] Verb ummodeln und einigen Fachsprachen und Dialekten fortlebt. 1. Abbildung Ein Modell ist stets ein Modell von etwas – nämlich Abbildung oder Repräsentation eines natürli- 3.2 Modellbildung chen oder eines künstlichen Originals, wobei dieses Original selbst auch wiederum ein Modell sein kann. Die Modellbildung abstrahiert mit dem Erstellen eines Modells von der Realität, weil diese meist zu komplex ist, 2. Verkürzung Ein Modell erfasst im Allgemeinen nicht alle Attri- um sie genau abzubilden. Dies wird aber auch gar nicht bute des Originals, sondern nur diejenigen, die dem beabsichtigt, vielmehr sollen lediglich die wesentlichen Modellschaffer bzw. Modellnutzer relevant erschei- Einflussfaktoren identifiziert werden, die für den zu betrachtenden Prozess bedeutsam sind. nen. Modell eines Maikäfers, Größe ca. 40 cm

Man unterscheidet die strukturelle und die pragmati3. Pragmatismus sche Modellbildung. Bei struktureller Modellbildung ist Modelle sind ihren Originalen nicht eindeutig zuge- die innere Struktur des Systems bekannt, es wird jeordnet. Sie erfüllen ihre Ersetzungsfunktion doch bewusst abstrahiert, modiﬁziert und reduziert. Man spricht hier von einem Whitebox-Modell. Bei pragmaa) für bestimmte Subjekte tischer Modellbildung ist die innere Struktur des Sys(für wen?) tems unbekannt, es lässt sich nur das Verhalten bzw. b) innerhalb bestimmter die Interaktion des Systems beobachten und modellieren. Die Hintergründe lassen sich meist nicht oder nur zum Zeitintervalle (wann?) Teil verstehen – hier spricht man von einem Blackboxc) unter Einschränkung Modell. Zudem gibt es Mischformen, bei denen Teile des auf bestimmte gedankli9

KAPITEL 3. MODELL

Systems bekannt sind, andere wiederum nicht. Nicht alle 3.4 Modelle in verschiedenen KateWechselwirkungen und Interaktionen zwischen Teilkomgorien ponenten lassen sich nachvollziehen – hier spricht man vom Greybox-Modell. Diese Mischform ist die häuﬁgste, weil es aufgrund von Kosten-Nutzen-Überlegungen meist Jede Wissenschaftsdisziplin hat ihre eigenen Modellausreichend ist, das System auf diese Weise abzubilden. systematiken. Diese ändern sich mit der laufenden Entwicklung in der jeweiligen Kategorie und folProzesse der Modellbildung: gen neuen Schwerpunkten auch mit Verzweigungen solcher Systematik. Die Mathematisierung einzelner Wissenschaftszweige, wie der BetriebswirtschaftsReal system Make a model Model system lehre (Prognoseverfahren), der Volkswirtschaftslehre (Simulationsverfahren) oder der Biologie (Gentechnik) eröﬀneten völlig neue Modellwelten. Construct Perform experiments

Perform simulations

approximate theories

3.4.1 Mathematische Modelle in der Wissenschaft Experimental results

Compare and improve model

Simulation results

Theoretical predictions

Compare and improve theory

Ablauf einer Modellbildung

→ Hauptartikel: Mathematisches Modell Mathematische Modelle sind in mathematischen Formeln beschriebene Modelle. Sie versuchen, die wesentlichen Parameter der meist natürlichen Phänomene zu erfassen. Durch die formelle Beschreibung kann ein Modell berechnet und wissenschaftlich geprüft werden.

Berechenbarkeit bedeutet hier sowohl die analytische UnBei der Modellbildung lassen sich folgende Prozesse diftersuchung als auch die Approximation mittels numeriferenzieren: scher Verfahren. In der Regel sind auch die sogenannten physikalischen Modelle mathematische Modelle, sie stüt• Abgrenzung: Nichtberücksichtigung irrelevanter zen sich jedoch auf physikalische Gesetzmäßigkeiten. Objekte Ein valides Modell kann zur Prognose eines zukünftigen • Reduktion: Weglassen von Objektdetails

Verhaltens benutzt werden.

Bekannte Anwendungsfälle mathematischer Modelle sind • Dekomposition: Zerlegung, Auﬂösung in einzelne etwa Prognosen des Klimawandels, des Wetters oder die Statik eines Gebäudes. Segmente Oft werden bei mathematischen Modellen Empirische • Aggregation: Vereinigung, Zusammenfassen von Funktionen verwendet. Segmenten zu einem Ganzen • Abstraktion: Begriﬀs- bzw. Klassenbildung

3.4.2 Mathematik und Logik → Hauptartikel: Modelltheorie

3.3 Komplexität und Qualität eines Modells

In der Modelltheorie der mathematischen Logik geht es nicht um eine Abbildung der Wirklichkeit in Mathematik. Hier versteht man unter einem Modell eines Axiomensystems eine mit gewissen Strukturen versehene Menge, auf die die Axiome des Systems zutreﬀen. Die Existenz eines Modells beweist, dass sich die Axiome nicht widersprechen; existieren sowohl Modelle mit einer gewissen Eigenschaft als auch solche, die diese Eigenschaft nicht haben, so ist damit die logische Unabhängigkeit der Eigenschaft von den Axiomen bewiesen.

Ein Ziel eines Modellierers ist generell die Reduzierung der Komplexität des Modells gegenüber der Realität. Ein häuﬁger Trugschluss ist daher, ein Modell mit der Realität gleichzusetzen. Tatsächlich kann lediglich der Modellkontext bestimmt und optimiert werden.[5] Damit wird die Zweckbindung des Modells bestimmt. Weiter kann das Modell hinsichtlich der Komplexität variiert werden.[6] Im Grundsatz bleibt das Modell in allen Merk- In der Logik ist das Modell einer Formel F eine Bewermalen außer der Verständlichkeit immer hinter der Rea- tung, die F den Wahrheitswert <wahr> zuordnet. Man spricht auch davon, dass diese Bewertung die Formel lität zurück.

3.4. MODELLE IN VERSCHIEDENEN KATEGORIEN

erfüllt.[7] Das Modell eines Satzes (einer Formel) ist da- Demgegenüber stehen Analogiemodelle, die die Strukher eine Interpretation, die den Satz (die Formel) erfüllt. turähnlichkeit (Homomorphie) der abgebildeten WirkEntsprechend ist das Modell einer Menge wohlgeformter lichkeit erzeugen (sollen) wie zum Beispiel das PlaneFormeln die Interpretation durch Zuordnung von seman- tenmodell der Atome. Für Theorien werden oftmals abstischen Werten zu den in den Formeln enthaltenen ein- trakte oder fiktive Modelle gebildet. Eine weitere Unterfachen Ausdrücken, so dass alle Formeln den Wahrheits- scheidung ist, ob Modelle beschreibend sind (deskriptiv) wert <wahr> erhalten,[8] also eine Belegung, die die be- oder ob durch die Modelle ein Sachverhalt festgelegt wird treffende Menge verifiziert. Abstrakter kann man formu- (präskriptiv). lieren, dass wenn "Σ eine Menge von L-Sätzen [ist]; eine Dem Modell kommt im wissenschaftlichen L-Struktur, die jeden Satz in Σ wahr macht, […] ein Mo- Erkenntnisprozess eine große Bedeutung zu. Unter dell von Σ [heißt].”[9] bestimmten Bedingungen und Zwecksetzungen besitzen Das Modell eines Axiomensystems ist ein Gegenstandsbe- Modelle bei der Untersuchung realer Gegenstände und reich und eine Interpretation der undefinierten Grundbe- Prozesse in unterschiedlichen Wirklichkeitsbereichen griffe, bei der ein Axiomensystem wahr ist[10] oder mit und beim Aufbau wissenschaftlicher Theorien eine wichtige Erkenntnisfunktion. So dienen sie u. a. dazu, den Worten Carnaps: komplexe Sachverhalte zu vereinfachen (idealisieren) bzw. unserer Anschauung zugänglich zu machen. „Unter einem Modell (genauer, einem logiFiktive Modelle sind Mittel zur tieferen und umfasschen oder mathematischen Modell) für die senderen Erkenntnis der Wirklichkeit. Im Prozess der axiomatischen Grundzeichen eines gegebenen Abstraktion mit Methoden der Idealisierung bzw. der AS (Axiomensystems) in bezug auf einen gegeKonstruktion entstanden, helfen sie, reale Eigenschafbenen Individuenbereich D versteht man eine ten, Beziehungen und Zusammenhänge aufzudecken, beBewertung für diese Zeichen derart, dass sostimmte reale Eigenschaften erfassbar und praktisch bewohl der Bereich D wie auch die Bewertung herrschbar werden zu lassen. Sie werden zumeist gebilohne Gebrauch deskriptiver Konstanten ange[11] det, um auf real existierende Objekte die Mittel der theogeben wird.“ retischen, besonders der mathematischen Analyse anMit anderen Worten heißt es im Historischen Wörterbuch wenden zu können. der Philosophie: „Modell heißt in der Logik ein System Beispiele: ideales Gas, absolut schwarzer Körper, aus Bereichen und Begriffen, insofern es die Axiome ei- Massenpunkt, vollkommener Markt u. a. (siehe ideales ner passend formulierten Theorie erfüllt.“ Objekt) In der Modallogik besteht ein Modell aus drei Kompo- Die erkenntnistheoretische und logische Möglichkeit und nenten: Rechtfertigung der Zulässigkeit von Modellen ist nur eine Seite. Wesentlich ist letztlich die Rechtfertigung der (1) einer Klasse möglicher Welten; Zulässigkeit der Fiktion durch die tätige Praxis, das heißt der praktische Nachweis, dass die mit Hilfe des Modells (2) einer Zuordnungsfunktion, die jedem Paar aufgebaute Theorie auf reale Objekte effektiv angewenaus einer atomaren Aussage und einer möglidet werden kann. chen Welt einen Wahrheitswert zuordnet; Eine gesonderte Diskussion wird in der Wissenschaftstheorie darüber geführt, ob Modelle als Repräsentationen die Realität abbilden (Realismus), oder ob es sich nur um Die Modelltheorie der Logik wird auch in der theoretische Konstruktionen handelt (Konstruktivismus). modelltheoretischen Semantik verwandt. (3) einer Zugänglichkeitsrelation zwischen möglichen Welten.[12]

Siehe auch: Formale Sprache

3.4.3

Wissenschaftstheorie

3.4.4 Sozial- und Kulturwissenschaften In den Sozialwissenschaften wird der Begriﬀ des Modells nicht erst seit Niklas Luhmann vielfältig verwendet. Zum Beispiel wird ein Theoriegebäude zur Analyse und Planung von Unterricht als ein „didaktisches Modell“ bezeichnet. Dieser Sprachgebrauch beruht auf der modellhaften Analogie, dass in der Entwicklung einer Handlungsanleitung die methodischen Schritte Formulierung, Erprobung, Validierung aufeinander folgen.

In der Methodologie und Wissenschaftstheorie wird zwischen Modellen unterschieden, die zur Erklärung von bekannten Sachverhalten oder Objekten dienen und solchen, die auf einer hypothetischen Annahme (Hypothese) beruhen und bei denen der Entdeckungszusammenhang beim Test von Theorien im Vordergrund steht. Erklären- Für den Anthropologen Edward T. Hall[13] umfasst eide Modelle sind häuﬁg Skalenmodelle, die einen maß- ne Kultur eine Reihe von situationsspeziﬁschen Modellen stäblichen Bezug zur Wirklichkeit haben (Spielzeugauto). des Verhaltens und des Denkens ihrer Mitglieder. Diese

KAPITEL 3. MODELL

Modelle können wiederum von Ethnologen und Anthropologen hochgradig abstrakt beschrieben werden (z. B. in Form eines Verwandtschaftsmodells). Aber auch solche Modelle des Denkens können durchaus reale Wirkungen implizieren (Theoreality).

Modell (Eltern, Lehrer, Erzieher usw.) hat oder wie erfolgreich ein Modell sein Verhalten (in sozialen Situationen) gestalten kann bzw. welches gesellschaftliche Ansehen ein Modell zeigt. Man kann davon ausgehen, dass insbesondere komplexe Verhaltensketten im sozialen Um[14] Max Weber sprach vom Idealtypus in der sozialwissen- feld durch Nachahmungslernen zustande kommen. schaftlichen Forschung und meinte damit nichts Ande- Grundsätzlich hat die Lernforschung herausgefunden: res als ein abstraktes, idealisiertes Modell der Realität. Ein Idealtypus kann sowohl gesellschaftliche Strukturen • Haben Lernender und Modell ein gutes Verhältnis, (Demokratie oder mittelalterliche Stadt) als auch zeitliwerden Verhaltensweisen leichter übernommen. Der che Verläufe (Revolutionen oder Konjunkturmodelle) beZusammenhang spielt in Erziehungsprozessen eine schreiben. herausragende Rolle. In der Wirtschaftswissenschaft dienen Modelle zur Beschreibung und Untersuchung von ökonomischen Strukturen und Prozessen. Zu den wichtigsten Annahmen für Modelle in der VWL gehören der vollkommene Markt und der Homo oeconomicus. Modelle können unter anderem nach folgenden Gesichtspunkten eingeteilt werden: • dem Einsatzzweck (Beschreibungs-, Erklärungs-, Prognose-, Entscheidungs- oder Simulationsmodelle) • dem Grad der Abstraktion (deterministische oder stochastische Modelle) • statische und dynamische Modelle (mit diskreter bzw. kontinuierlicher Zeitberücksichtigung) • Partial- und Totalmodelle (Modulation von realen Systemen in Teilen oder in seiner Gesamtheit) • Stationäre Modelle und Wachstumsmodelle: Diese Unterscheidung ist zwar der Ersteren ähnlich, bezieht sich aber auf die Modelle der Konjunkturtheorie. Im Gegensatz zu den Wachstumsmodellen kennen die stationären Modelle keine Auf- und Abschwünge

• Ist das Modell selbst erfolgreich in diversen sozialen Situationen, wird auch sein Verhalten von Lernenden leichter übernommen. • Modelle mit höherem Sozialprestige sind in der Regel wirksamer, was die Übernahme von Verhalten angeht. • Übernommenes Verhalten, das in seiner sozialen Umgebung erfolgreich ist, wird vom Lernenden eher beibehalten (s. auch Lernen: operantes Konditionieren; Verstärkungslernen). • Beobachtetes und nachgeahmtes Verhalten von großer Bedeutung (für den Nachahmer) wird eher beibehalten als Verhalten mit minderer Bedeutung. • Unsichere und ängstliche Personen sind eher bereit, Verhalten von Modellen zu übernehmen.[15] Feldtheorie: Der Psychologe Kurt Lewin (1890–1947) war ein großer Meister im Entwerfen von Modellen für komplexe Sachverhalte in der Psychologie (Feldtheorie in den Sozialwissenschaften, Bern 1963), etwa in den motivationspsychologischen Arbeiten.

• Mikroökonomische und makroökonomische Modelle: Die Ersteren werden häuﬁg zur Fundierung makroökonomischer Aussagen benutzt 3.4.6

3.4.5

Psychologie

In der Psychologie werden verschiedene „Modelle des Menschen“ unterschieden. Es handelt sich hierbei um Paradigmen, die sich in den Grundannahmen und der Methodologie unterscheiden. Der Modellbegriﬀ spielt weiterhin in der Lerntheorie eine zentrale Rolle; auch die Pädagogische Psychologie thematisiert diese Lernform (siehe Lernen, Beobachtungslernen, Modelllernen, Imitationslernen, Lernen am Vorbild). Die Theorie vom Modelllernen oder vom Lernen am Modell erläutert, wie Verhalten zustande kommt, nämlich durch die Nachahmung des Verhaltens, das eine Person (das Modell) realisiert hat. Dabei spielt es z. B. eine Rolle, welches Verhältnis der Nachahmende zum

Pädagogik

Die Frage nach dem Modell ist in der Pädagogik vor allem die Frage nach dem Selbstverständnis des Erziehenden. (In der Alltagssprache verwendet man eher das Wort Vorbild.) Der agierende Erzieher muss sich die Frage gefallen lassen, ob er exakt das in seinem Verhalten realisiert, was er theoretisch und praktisch in Erziehungssituationen als angemessen bis optimal zu fordern bereit ist, um als Modell (Vorbild) fungieren zu können. Ist er nicht dazu bereit oder nicht in der Lage, mangelt es ihm nach allgemeinem Verständnis an Glaubwürdigkeit. Ein Erziehender, der vom Kind/Jugendlichen z. B. Vertrauen fordert, selbst aber kleinlich auf die Einhaltung von Vorschriften aus ist, die er womöglich selbst formuliert hat, produziert einen Widerspruch zwischen seinen Forderungen und dem konkreten Verhalten. Als Modell wäre er damit zutiefst unglaubwürdig.[16]

3.4. MODELLE IN VERSCHIEDENEN KATEGORIEN Erziehende, die viele Widersprüche dieser Art aufweisen, können in ihrer Tätigkeit nicht erfolgreich sein, da sie unweigerlich Konflikte mit den Kindern und Jugendlichen hervorrufen, die sie überdies schwer erklären oder rechtfertigen können. Glaubwürdiges Modell zu sein, erfordert viel Selbstkritik und Reflexion seiner Tätigkeit. Das glaubhafte Modell bildet also der Erzieher, der seine Werte, Erziehungsvorstellungen und Lehren nicht nur verbal vertritt, sondern für alle sichtbar lebt – vorerst einmal unabhängig davon, welche pädagogische Ideologie er vertritt. Da man nicht voraussetzen kann, dass ein Erziehender gänzlich ohne Fehl und Tadel wirken kann, müsste man in diesem Sinne einen Erzieher fordern, der seine internen Widersprüche auf ein akzeptables Maß reduziert, um ein glaubhaftes Modell werden zu können. Ein professionell handelnder Erzieher kann nur der sein, der seine Widersprüche zu reflektieren bereit und imstande ist.

13 Systeme, siehe Modell (Wirtschaftsinformatik). Bei der Modellierung von Mensch-Maschine-Systemen – eine Domäne der Wirtschaftsinformatik – muss die technische wie auch die menschliche Komponente modelliert werden. Für den Menschen stehen unterschiedliche Modelle zur Verfügung, die verschiedene Aspekte menschlichen Verhaltens und menschlicher Fähigkeiten nachbilden und die entsprechend dem Untersuchungsziel ausgewählt werden. Fahrermodelle oder Pilotenmodelle modellieren den Menschen in einer ganz bestimmten Arbeitssituation, Regler-Mensch-Modelle in seiner allgemeinen Fähigkeit, eine Größe zu regeln. Die Anpassungsfähigkeit des Menschen an kognitiv unterschiedlich anspruchsvolle Aufgaben wird im Drei-Ebenen-Modell nach Rasmussen nachgebildet. Ein Gegenstand der Forschung ist unter anderem, kognitive Architekturen wie ACT-R/PM oder SOAR in der anwendungsorientierten Modellierung und Simulation (MoSi) von Mensch-Maschine-Schnittstellen einzusetzen.

Ein Modell (Vorbild) von historischem Ausmaß etwa war Janusz Korczak, der mit den Kindern aus seinem Kinderheim im Warschauer Ghetto in die Gaskammer ging, ob- Spezielle Wortverwendungen wohl ihm die Nazis angeboten hatten, er müsse die Wai• Ein Computermodell ist ein mathematisches Mosen nicht begleiten. Er entschied sich aber dafür, die Kindell, das aufgrund seiner Komplexität und/oder der der bei ihrem letzten Gang nicht allein zu lassen. schieren Anzahl von Freiheitsgraden nur mit einem Computer ausgewertet werden kann.

3.4.7

Informatik

In der Informatik dienen Modelle zum einen zur Abbildung eines Realitätsausschnitts, um eine Aufgabe mit Hilfe der Informationsverarbeitung zu lösen. Derartige Modelle heißen Domänenmodelle. Hierunter fallen z. B. Modelle für zu erstellende Software sowohl für deren Architektur (Architekturmodell) als auch deren Code (in Form von beispielsweise Programmablaufplandiagrammen) und Datenmodelle für die Beschreibung der Strukturen von zu verarbeitenden Daten aus betrieblicher/fachlogische Sicht oder aus technischer Datenhaltungssicht. Zum anderen können Modelle als Vorlage bei der Konzeption eines informatorischen Systems dienen, man spricht dann von Modellsystemen. Hierunter fallen insbesondere Referenzmodelle, die allgemein als Entwurfsmuster eingesetzt werden können. Referenzmodelle werden beispielsweise für die Konzeption konkreter Computerarchitekturen, Netzwerkprotokolle, Anwendungssysteme, Datenhaltungssysteme und Portale herangezogen.

• In der Computergrafik und verwandten Gebieten werden mit Hilfe der geometrischen Modellierung 3D-Modelle von Körpern erzeugt. • Ein Digitales Geländemodell (DGM) bzw. Digitales Höhenmodell (DHM) ist ein digitales, numerisches Modell der Geländehöhen und -formen. Ein DGM bzw. DHM stellt im Gegensatz zum Digitalen Oberflächenmodell (DOM) keine Objekte auf der Erdoberfläche dar (z. B. Bäume oder Häuser).

3.4.8 Naturwissenschaften: Chemie und Physik → Hauptartikel: Modell (Chemie)

In der Chemie dienen Modelle insbesondere zur Veranschaulichung von kleinsten Teilchen, wie beispielsweise Atome und Moleküle, und zur Erklärung und Deutung von chemischen Reaktionen, die oftmals auch simuliert werden. Modellexperimente stellen häuﬁg die Funktion Neben diesen Modellen, die sich in Hard- und Soft- von technischen Prozessen dar. ware sowie in Datenbeständen konkretisieren, gibt es In der Physik spielen Modelle ähnlich wie in der Chemie auch Planungs-, Steuerungs- und Organisationsmodel- zur Veranschaulichung und zum Verständnis von Atole. Typische zu modellierende Objekte sind hierbei die men und Elementarteilchen eine große Rolle. PhysikaliAblaufstruktur eines Geschäftsprozesses, abgebildet in sche Theorien und Modelle sind eng verknüpft und beeinem Geschäftsprozessmodell, und die Aufbaustruktur stimmen das Denken in Modellen zur Erkenntnisgewineiner betrieblichen Organisation, abgebildet in einem nung und zum Verständnis von Relationen und StrukOrganigramm. (Lit.: Broy) turen. Beispiele für Theorien sind die Atomtheorie, die In der Wirtschaftsinformatik (WI) dienen Modelle vor- kinetische Gastheorie, die Wellentheorie des Lichts und wiegend der Beschreibung realer und soziotechnischer die Relativitätstheorie. Zur Modellbildung gehört auch

KAPITEL 3. MODELL

die Mathematisierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten. Im didaktischen Bereich werden Modelle häuﬁg im Sinne von Analogien zwischen dem zu untersuchenden Objektbereich und schon erforschten Bereichen benutzt. Zusätzlich werden Demonstrationsmodelle als vereinfachte Abbilder (z. B. das Planetenmodell) benutzt. Simulationen dienen neben der Veranschaulichung physikalischer Zusammenhänge der Überprüfung von Hypothesen. Experimente haben nicht nur im Physikunterricht oft Modellcharakter, indem sie die komplexe Realität vereinfachen und sich bei der induktiven Herleitung von Gesetzmäßigkeiten auf das Wesentliche beschränken. Funktionsmodelle haben beispielsweise eine Bedeutung zur Verdeutlichung der Funktion von einfachen Maschinen.

3.5 Spezielle Ansätze

Frontstellung hält Albert für aus methodologischen Gründen verfehlt; er setzt sich stattdessen ein für Wirtschaftswissenschaft, verstanden als eine empirische Sozialwissenschaft. In diesem Sinne spricht er auch von Marktsoziologie oder einer „Soziologie der kommerziellen Beziehungen“.[20]

3.6 Siehe auch • Bonini-Paradox • Deduktiv-nomologisches Modell (formale Struktur der wissenschaftlichen Erklärung eines Kausalzusammenhangs mittels natürlicher Sprache) • Gesellschaft (Soziologie) • Modellierungssprache

3.5.1

Modellplatonismus

Der Begriff wurde durch Hans Albert geprägt. Er kennzeichnet kritisch die Abweichung des neoklassischen Denkstils in der Volkswirtschaftslehre von der Methodologie einer empirischen Sozialwissenschaft.[17] Als Beispiele dienen das Nachfragegesetz, die Quantitätstheorie sowie die Wachstumstheorie. Obwohl die neoklassische Theorie mit ihren Modellbetrachtungen offenkundig auf das wirtschaftliche Handeln von Menschen gerichtet ist, wird die soziale Verursachung des menschlichen Handelns, wie sie etwa die empirische Sozialwissenschaft auf unterschiedliche Weise in Rechnung stellt, größtenteils ausgeschaltet. Einige Theoretiker leugnen gar die Absicht, kausale Erklärungen zu liefern und begnügen sich anstelle von Aussagen, die Informationsgehalt besitzen, weil sie an empirischen Daten scheitern können, mit Aussagen, die nichts weiter als einen Realitätsbezug aufweisen (d. h. reale Dinge erwähnen). Verbunden wird diese Vorgehensweise mit der Tendenz, die Aussagen so zu gestalten, dass sie schon aufgrund ihrer logischen Struktur wahr sind. Erreicht wird dies durch tautologische Formulierungen oder die Anwendung von konventionalistischen Strategien (Immunisierungsstrategie), wozu zum Beispiel die Verwendung einer expliziten oder impliziten ceterisparibus-Klausel rechnet. Dieser von ihren Anhängern in ihren praktischen Konsequenzen für die Anwendbarkeit der analytischen Ergebnisse nicht immer überblickte methodische Stil des Denkens in Modellen, die von jedweder empirischen Überprüfbarkeit bewusst oder unbewusst abgeschottet werden, läuft auf eine neuartige Form des Platonismus hinaus.[18] Platon war davon überzeugt, dass die Wirklichkeit durch rein logisches Denken erkannt werde; statt die Sterne zu beobachten, sollten wir deren Bewegungsgesetze durch das Denken ergründen.[19] In der deutschen Nationalökonomie dominierte damals der Schulenstreit zwischen Begriffsrealismus (Essentialismus) und Modellplatonismus. Diese

• Neuronenmodell (mathematisches Modell einer Nervenzelle) • Ökologische Modellierung • Systemtheorie (interdisziplinäres Erkenntnismodell) • V-Modell (Vorgehensmodell in der Softwareentwicklung) • Wissensmodellierung

3.7 Literatur • Wolfgang Balzer: Empirische Theorien: Modelle – Strukturen – Beispiele. Die Grundzüge der modernen Wissenschaftstheorie. Braunschweig: Vieweg 1982. • Manfred Broy, Ralf Steinbrüggen: Modellbildung in der Informatik. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-44292-8. • Hans Kleine Büning, Uwe Kastens: Modellierung. Hanser, 2005, ISBN 3-446-40460-0. • D. Dörner: Modellbildung und Simulation, in: E. Roth (Hrsg.): Sozialwissenschaftliche Methoden. München: Oldenbourg 1984, S. 337–350. • Norbert Kühne u. a.: Psychologie für Fachschulen und Fachoberschulen. Bildungsverlag EINS, Troisdorf 2006, 8. Auﬂage, ISBN 3-427-04150-6. • Kurt Lewin: Feldtheorie in den Sozialwissenschaften, Verlag Hans Huber, Bern 1963 • R. Mayntz: Modellkonstruktion: Ansatz, Typen und Zweck, in: R. Mayntz (Hrsg.): Formalisierte Modelle in der Soziologie. Neuwied/Berlin: Luchterhand 1967.

3.9. EINZELNACHWEISE

• Jürgen Perl, Martin Lames, Ulrich Glitsch (Hrsg.): Modellbildung in der Sportwissenschaft. Hofmann Schorndorf, Deutschland 2002 (Beiträge zur Lehre und Forschung im Sport, Band 132), ISBN 3-77801821-3.

• Roland Müller: Modellgeschichte ist Kulturgeschichte, Eine Chronik von Modellgebrauch und Modellbegriﬀ, 2000. (und weitere Materialien zum Gebrauch von Modellen als Veranschaulichungen seit der frühen Neuzeit)

• Ingeborg Reichle, Steﬀen Siegel, Achim Spelten (Hrsg.): Visuelle Modelle, München (Wilhelm Fink) 2008. ISBN 978-3-7705-4632-9.

• Sammlung mathematisch-geometrischer Modelle der Technischen Universität Dresden

• Magnus Richter: Zur Güte von Beschreibungsmodellen - eine erkenntnistheoretische Untersuchung, Ilmenau 2009. • Reinhard Schütte: Grundsätze ordnungsmäßiger Referenzmodellierung. Gabler, Wiesbaden 1998, ISBN 3-409-12843-3.

• Objektdatenbank von materiellen Modellen in Forschung und Lehre am Helmholtz-Zentrum für Kulturtechnik der Humboldt-Universität zu Berlin • Roman Frigg und Stephan Hartmann: Models in Science. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.

• Herbert Stachowiak: Allgemeine Modelltheorie. Wien 1973, ISBN 3-211-81106-0.

• James Woodward: Scientiﬁc Explanation. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.

• Herbert Stachowiak (Hrsg.): Modelle - Konstruktion der Wirklichkeit. Wilhelm Fink Verlag, München 1983, S. 17–86.

• Jeﬀrey Koperski: Models. In: Internet Encyclopedia of Philosophy.

• Wolfgang Stegmüller: Carnap II: Normative Theorie des induktiven Räsonierens (= Probleme und Resultate … Bd. 4, C). Springer 1973, ISBN 3-540-059911, S. 417 ﬀ. • Patrick Suppes: The Desirability of Formalization in Science, in: Journal of Philosophy 65 (1968), S. 651–664; dt. Warum Formalisierung in der Wissenschaft erwünscht ist. In: W. Balzer, M. Heidelberger (Hrsg.): Zur Logik empirischer Theorien. Berlin 1983, S. 24–39. • Reinhard Tausch, Anne-Marie Tausch: Erziehungspsychologie, 6. Auﬂage, Verlag für Psychologie Hogrefe, Göttingen 1971. • K. Troitzsch: Modellbildung und Simulation in den Sozialwissenschaften. Opladen: Westdeutscher Verlag 1990. • R. Ziegler: Theorie und Modell. Der Beitrag der Formalisierung zur soziologischen Theoriebildung. München: Oldenbourg 1972. • Dietrich Zschocke: Modellbildung in der Ökonomie. Vahlen, München 1995, 2002, ISBN 3-8006-19628.

3.8 Weblinks

3.9 Einzelnachweise [1] Herbert Stachowiak: Allgemeine Modelltheorie, 1973, S. 131–133. [2] Thalheim (2010): Towards a Theory of Conceptual Modelling, Journal of Universal Computer Science, vol. 16, no. 20, S. 3120 [3] Dietrich Dörner: Thought and Design – Research Strategies, Single-case Approach and Methods of Validation. In: E. Frankenberger u. a. (Hrsg.): Designers. The Key to Successful Product Development. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1998, S. 3–11. [4] M. Weisberg: Simulation and Similarity - using models to understand the world. Oxford University Press, New York, New York, USA, 2013 [5] Qualitätsorientierung (PDF-Datei; 140 kB) [6] Komplexität und Qualität (PDF-Datei; 69 kB) [7] Hoyningen-Huene: Logik. 1998, S. 255. [8] Hügli/Lübcke, Philosophielexikon. 1991, ISBN 3-63422405-3. [9] Godehard Link/Karl-Georg Niebergall: Logik: Von Epimenides zu Gödel. In: E. Fischer/W. Vossenkuhl: Die Fragen der Philosophie. Beck, München 2003, S. 107 (118) [10] Essler, Einführung in die Logik, 2. Auﬂ. (1969), S. 244

Wiktionary: Modell – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

[11] Carnap, Rudolf: Einführung in die symbolische Logik. Springer, Wien, New York, 3. Auﬂ. 1968, S. 174

Commons: Modell – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien [12] Nach Helmut Glück (Hrsg.): Metzler Lexikon Sprache. 4. Auﬂage. Metzler, Stuttgart/Weimar 2010: Modell.

KAPITEL 3. MODELL

Ähnlich in anderer Formulierung StuhlmannLaeisz, Rainer: Philosophische Logik. mentis, Paderborn, 2002, S. 21: „Ein Modell U zu einer Sprache MAL ist ein Gebilde (K, i, R, V) aus vier Bestandteilen: (i) K ist eine nicht-leere Klasse oder Menge von Objekten, (ii) i ist eines der Objekte in K: i ist Element von K, (iii) R ist eine zweistellige Relation auf K: R ist Teilmenge in K × K, (iv) V ist eine Zuordnung, die jeder atomaren Aussage von MAL im Hinblick auf das Objekt aus K einen Wahrheitswert zuweist; V: At × K → (W,F) (in dieser Notation steht die Bezeichnung ‚At‘ für die Klasse der atomaren Aussagen (Aussagebuchstaben) von MAL).“ [13] E. T. Hall: Beyond Culture. Random House 1976, S. 13. [14] s. N. Kühne, S. 53 ﬀ. [15] Reinhard Tausch, Anne-Marie Tausch, Göttingen 1971, S. 49–73. [16] Siehe Tausch/Tausch, Göttingen 1971, S. 49–73. [17] Hans Albert: Modell-Platonismus. Der neoklassische Stil des ökonomischen Denkens in kritischer Beleuchtung. In: Ernst Topitsch, (Hrsg.): Logik der Sozialwissenschaften. Kiepenheuer & Witsch, Köln/Berlin 1965, S. 406–434; zitiert nach: Friedrich Karrenberg, Hans Albert, (Hrsg.): Sozialwissenschaft und Gesellschaftsgestaltung. Festschrift für Gerhard Weisser. Duncker & Humblot, Berlin 1963, S. 45–76. [18] Hans Albert: Der logische Charakter der theoretischen Nationalökonomie. Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik, 171, 1959, S. 1 ﬀ. [19] Hans Reichenbach: Der Aufstieg der wissenschaftlichen Philosophie. Friedrich Vieweg & Sohn Braunschweig 1968.S. 42 [20] Siehe dazu Hans Albert: Marktsoziologie und Entscheidungslogik. Tübingen (Mohr Siebeck) 1998, insb. Kapitel IV. Und sein Vortrag Die Idee rationaler Praxis und die ökonomische Tradition

Normdaten (Sachbegriﬀ): GND: 4039798-1

Kapitel 4

Textur (Computergraﬁk) • Texturkomprimierung

In der Computergraﬁk verwendet man Texturen als „Überzug“ für 3D-Modelle, um deren Detailgrad zu erhöhen, ohne dabei jedoch den Detailgrad der Geometrie zu erhöhen.

• Bumpmapping • Displacement Mapping

Eine Textur bezeichnet ein Bild, das auf der Oberfläche eines virtuellen Körpers dargestellt wird. Bei dieser Abbildung handelt es sich um Texture Mapping. Ein Pixel der Textur wird als „Texel“ bezeichnet. Texturen können zusammen mit einem sogenannten Shader, der Materialeigenschaften abbilden kann, praktisch jede Eigenschaft einer Oberfläche gezielt verändern, zum Beispiel die Farbe, Oberflächennormale, „Rauheit“ und weitere.

• Normal Mapping • Mip Mapping

4.3 Weblinks

Der Vorteil bei der Verwendung von Texturen gegenüber der Verwendung eines detaillierteren Modells liegt darin, dass die Darstellung oft schneller ist und Speicherplatz eingespart werden kann. Nachteilig ist, dass Texturen nur die visuelle Erscheinung verändern, nicht aber die Geometrie (Ausnahme: Displacement Maps). Im Leveldesign kommen sogenannte Pattern-Texturen zum Einsatz. Dies sind kachelbare Texturen, d. h., sie können nahtlos aneinander angefügt werden. So können zum Beispiel Wände mit der gleichen Textur realistisch aneinander geschoben werden, ohne dass ein Übergang erkennbar ist.

4.1 Beispiele • Ein Beispiel für Texturen • Beispiel für eine Pattern-Textur • Beispiel für eine Texturmap eines Gebäudemodells • 3D-Modell mit darauf gelegter Textur • Funktionsweise einer informierten 3D-Textur mit Aufsicht, Längs- und Querschnitt

4.2 Siehe auch • Bildsynthese 17

• Grundlagen der Computergraﬁk - Texturen

Kapitel 5

Computeranimation 5.1 Schlüsselbilder und Interpolation

Eine einfache computergenerierte archimedischen Schraube

Animation

einer

Szene aus dem computergenerierten Kurzﬁlm Big Buck Bunny (2008)

Die Technik der Schlüsselbildanimation (Keyframing) stammt ursprünglich aus der Produktion von Zeichentrickfilmen. Dabei werden nicht alle Einzelbilder von Hand gezeichnet, sondern nur sogenannte Schlüsselbilder, die grob den Bewegungsablauf vorgeben. Die Einzelbilder zwischen den Schlüsselbildern werden durch Interpolationstechniken automatisch berechnet, dies nennt man auch Tweening. Bei computergenerierten Animationen ist der Begriff „Schlüsselbild“ insofern irreführend, als die Interpolation nicht anhand der vollständigen Bilder erfolgt. Stattdessen werden verschiedene Parameter der Szene gesetzt, etwa die Positionen der Objektmittelpunkte, ihre Farben und Physikalisch korrekte Simulation einer zähen Flüssigkeit Skalierung, die Kameraposition und -blickrichtung oder die Intensität der Lichtquellen. Für unterschiedliche Parameter können auch unterschiedliche Schlüsselbilder geComputeranimation bezeichnet die computergestützte wählt werden. Erzeugung von Animationen. Sie verwendet die Mittel der Computergrafik und ergänzt sie um zusätzliche Tech5.1.1 Interpolationsmethoden niken. Manchmal wird zwischen computergestützter und computergenerierter Animation unterschieden. Während erstere sich auf digitalisierte Zeichnungen stützt, zwischen denen die Animationssoftware interpoliert, um flüssige Bewegungsabläufe zu erhalten, arbeitet letztere mit einer dreidimensionalen Szene, aus der mit den Mitteln der Bildsynthese direkt Bilder erzeugt werden.

Um plötzliche Geschwindigkeitsänderungen zu vermeiden, wird die Interpolationskurve der Schlüsselwerte meist so gewählt, dass ihre Ableitung stetig ist. Eine höhere stetige Diﬀerenzierbarkeit ist üblicherweise nicht nötig, da die zweite Ableitung (Beschleunigung) sich auch in der Natur oft abrupt ändert. Diese Eigenschaften machen Catmull-Rom-Splines zu einer guten Wahl für Ani-

5.1. SCHLÜSSELBILDER UND INTERPOLATION

Tension

Continuity

Bias

19 lang eines Pfades kontrolliert werden soll. Das liegt daran, dass durch die Anpassung einer Kurve an mehrere Punkte nichts über die Geschwindigkeit zwischen diesen Punkten ausgesagt wird. Die Parametrisierung der üblicherweise zur Animation verwendeten Kurventypen stimmt nicht mit der tatsächlichen Distanz entlang einer Kurve überein. Eine Möglichkeit, die Geschwindigkeit eines Objektes zu kontrollieren, besteht darin, den Animator eine zusätzliche Distanz-Zeit-Funktion bestimmen zu lassen, die angibt, wie weit sich ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt entlang der Kurve bewegt haben soll. Ebenfalls möglich sind Geschwindigkeit-Zeit- oder sogar Beschleunigung-Zeit-Funktionen. In jedem Fall muss das Animationsprogramm intern die Kurvenlänge entlang einer Animationskurve in deren Parameterdarstellung umwandeln. Für die meisten Spline-Typen gibt es dazu keine analytische Formel, sodass Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren angewandt werden müssen.

Das häufigste Geschwindigkeitsprofil in der Animation ist Ease-in/Ease-out. Dabei beschleunigt ein Objekt vom Verschiedene TCB-Splines Startpunkt aus, erreicht eine Höchstgeschwindigkeit, und bremst schließlich bis zum Endpunkt wieder ab. Dieses mationskurven. Viele Animationssysteme erlauben dem Verhalten kann durch ein Segment der Sinusfunktion moAnimator, durch gezielte Anpassung der Tangenten an delliert werden. den Schlüsselwerten die Animationskurve fein abzustimmen. Dies geschieht oft durch Kontrolle von Tension, Continuity und Bias (TCB). Dazu werden die Catmull- 5.1.3 Rotationen Rom- zu Kochanek-Bartels-Splines erweitert, mit denen diese drei Parameter für jeden Schlüsselwert eingestellt Die Rotation ist neben der Verschiebung die einzige werden können. Transformation, die die Form eines Objektes beibehält; Wenn ein Bewegungspfad durch Digitalisierung gewon- sie spielt daher bei der Animation starrer Körper einen wurde, so muss er vor seiner Verwendung erst geglät- ne große Rolle. Zur Interpolation von dreidimensionalen Rotationen werden besondere Methoden verwendet. tet werden, um Sprünge und Rauschen zu entfernen. Eine einfache Art, die Rotation eines Objektes anzugeben, ist mittels eulerscher Winkel. Wenn diese Winkel animiert werden, kann das Gimbal-Lock-Problem auf5.1.2 Kurvenparametrisierung treten. Dieser Effekt entsteht, wenn eine der drei Rotationsachsen mit einer anderen zusammenfällt, wodurch ein Freiheitsgrad verloren geht. Um dieses Problem zu umgehen, werden in der Computeranimation Quaternionen zur Formulierung von Rotationen verwendet. Quaternionen bilden einen vierdimensionalen Raum, für den Operationen wie Addition und Multiplikation definiert sind. Um einen Punkt zu rotieren, wird er zunächst als Quaternion dargestellt, die Rotation im Quaternion-Raum angewandt, und wieder in die üblichen kartesischen Koordinaten umgewandelt. Aufeinanderfolgende Rotationen im Quaternion-Raum entsprechen Produkten von Quaternionen. Rotationen werGleiche parametrische Abstände, hier durch weiße Pfeile mar- den meistens durch Einheitsquaternionen ausgedrückt, kiert, stimmen nicht mit gleichen Kurvenabständen (schwarze die man sich als Punkte auf einer vierdimensionalen Pfeile) überein Einheitssphäre vorstellen kann. Die Interpolation auf der vierdimensionalen Einheitssphäre wird auch Slerp geDie bloße Beschreibung der Animationskurve ist im All- nannt. Da sie mathematisch sehr aufwändig ist, wird oft gemeinen nicht ausreichend, wenn nicht nur die Positi- nur linear zwischen Quaternionen interpoliert. Die Zwion, sondern auch die Geschwindigkeit eines Objekts ent- schenschritte werden anschließend normalisiert, um sie

KAPITEL 5. COMPUTERANIMATION

wieder auf die vierdimensionale Einheitssphäre zu projizieren. Gleichmäßigere Resultate lassen sich erreichen, indem der De-Casteljau-Algorithmus angewandt wird, sodass mehrfache lineare Interpolationen ausgeführt werden. Soll ein Objekt einem Bewegungspfad folgen, so wird oft erwartet, dass es nicht nur verschoben wird, sondern auch, dass seine Orientation dem Pfad folgt. Die Beziehung zwischen der Orientation eines Objekts und den Kurveneigenschaften kann durch die frenetschen Formeln ausgedrückt werden. Dabei müssen einige Spezialfälle beachtet werden, in denen die Formeln nicht angewandt werden können, etwa bei Kurvenabschnitten ohne Krümmung. Falls die Kamera bewegt werden soll, so wird oft ein Center of interest angegeben, das stets im Zentrum des Bildes liegen soll. Das Animationsprogramm ändert dann die Orientation der Kamera entsprechend.

5.2 Hierarchische Objekte

le oder Figuren sind aus zusammenhängenden Objekten aufgebaut, die untereinander mit diversen Gelenktypen wie Schub- und Drehgelenken verbunden sind. Derartige hierarchisch aufgebaute Objekte werden im Englischen Articulated Structures genannt. In der Computeranimation derartiger Modelle wird zum Teil auf die kinematischen Techniken der Robotik zurückgegriﬀen. Für die Character animation sind diese Techniken jedoch nicht ausreichend, da sich Figuren auf freiere, komplexere und geschicktere Weise bewegen als Roboter. Ein weiterer Grund ist, dass die Gelenke von Tieren selbst verformbar sind und somit nicht mit den üblichen Methoden modelliert werden können. Eine direkte, vergleichsweise mühsame Methode zur Animation von kinematischen Ketten oder zusammenhängenden Strukturen nutzt die direkte Kinematik. Um eine bestimmte Bewegung zu deﬁnieren, beginnt der Animator an der Wurzel der Hierarchie und fährt mit den Unterknoten fort, wobei er jedes Mal das Animationsskript ändert. So wird bei der Animation eines Beines zunächst die zeitliche Änderung der Rotation am Hüftgelenk vorgegeben, was in einem plumpen Schritt resultiert. Anschließend wird das Kniegelenk und schließlich der Fußknöchel animiert. Selbst dieses einfache Beispiel ist mit Problemen behaftet, so etwa wird die vertikale Verschiebung der Hüfte während der Bewegung nicht berücksichtigt.

Hüfte

Die inverse Kinematik arbeitet auf höherer Ebene. Hierbei wird nur die Bewegung der Endpunkte einer Struktur manuell deﬁniert. Die Animationssoftware berechnet dann automatisch das Verhalten der übrigen Gelenke, um diese Bewegung auszuführen. Je komplizierter eine Struktur ist, desto schwieriger werden diese Berechnungen. Ein weiteres Problem der inversen Kinematik ist, dass sie dem Animator kaum Spielraum lässt.

Knie

Für die Animation der Dinosaurier im Film Jurassic Park (1993) wurde direkte Kinematik verwendet, wobei jedoch die Bewegungsabläufe in Stop-Motion-Manier von echten Modellen mit Sensoren ermittelt wurden. Eine weitere Möglichkeit ist Motion Capture, bei der die Bewegungen eines Darstellers mittels Sensoren oder Marker auf dessen Körper erfasst werden. Außerdem gibt es noch rein synthetisch berechnete Modelle, die mit virtuellen Knochen und Muskeln realistische Bewegungen erzeugen.

Knöchel

Schrittweiser Aufbau eines Animationsskriptes zur Animation eines Beins mittels direkter Kinematik

Objekte sind oft hierarchisch modelliert, sodass die Randbedingungen bezüglich Verbundenheit oder relativer Platzierung in einer baumartigen Struktur organisiert sind. Ein Beispiel für ein hierarchisches Modell ist ein Planetensystem, in dem Monde um Planeten und diese wiederum um die Sonne rotieren. Maschinentei-

5.3 Kollisionserkennung Die Kollisionserkennung ist ein unverzichtbares Hilfsmittel, wenn mehr als ein Objekt animiert werden soll. Dabei werden in einem ersten Schritt die Objekte ermittelt, die miteinander kollidieren, und in einem zweiten Schritt die genauen Kollisionspunkte berechnet. In ihrer naiven Form hat die Kollisionserkennung in Abhängigkeit von der Anzahl der berücksichtigten Objekte quadrati-

5.5. SIEHE AUCH sche Laufzeit. Der Prozess kann erheblich beschleunigt werden, indem Objekte in Bounding Volumes gepackt werden, zwischen denen ein schnellerer Test auf Überlappung möglich ist. Wenn die Bounding Volumes einander nicht überlappen, so tun dies auch die enthaltenen Objekte nicht. Wenn ja, müssen die enthaltenen Objekte direkt gegeneinander getestet werden. Die Körper, die die Objekte umschließen, können auch hierarchisch strukturiert werden. Eine weitere Möglichkeit zur Beschleunigung beruht auf der Erkenntnis, dass die Kollisionserkennung in gleichen Zeitabständen verschwenderisch ist. Stattdessen sollte sie zu Zeitpunkten durchgeführt werden, deren Häuﬁgkeitsverteilung proportional zur Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Kollisionen ist. Ein weiteres Problem ist, dass die Kollisionserkennung zu einem Zeitpunkt einsetzen kann, bei dem vor allem schnell bewegte Objekte bereits ein Stück ineinander eingedrungen sind. Dieser Effekt muss nachträglich korrigiert werden, etwa indem der Weg der Objekte entlang des Bewegungspfads zurückberechnet wird. Die Kollisionserkennung kann verschiedenen Anwendungen dienen, zum Beispiel um den Weg eines Objekts unter Vermeidung von Kollisionen zu berechnen. Physikalisch lässt sich eine Kollision als elastischer oder plastischer Stoß beschreiben und die weitere Bewegung der Objekte entsprechend berechnen.

5.4 Gruppensimulation

21 Schwarmverhalten, bei dem die Bewegung jeder Figur – hier oft Boid genannt – auf einfache Weise von nur wenigen Nachbarn beeinflusst wird. Kollisionsvermeidung ist eines der Ergebnisse eines solchen Verhaltens. Eine wesentlich einfachere, aber dennoch nützliche Technik zur Kontrolle von Objektgruppen sind Partikelsysteme. Die Anzahl der verwendeten, oft sehr kleinen Partikel ist üblicherweise erheblich größer als bei Schwarmanimationen und kann viele Tausend erreichen. Die genaue Anzahl der Partikel kann außerdem während der Animation schwanken, da bei jedem Schritt neue Partikel entstehen und alte gelöscht werden können. Dies ist einer der Gründe warum z. B. Flüssigkeitssimulationen wie RealFlow für jedes zu rendernde Bild ein neues 3D-Modell erzeugen. Die Bewegung einzelner Partikel folgt oft den Gesetzen der Mechanik. Zu den Anwendungen von Partikelsystemen zählen die Animation von Explosionen, spritzenden Flüssigkeiten, Rauch, Feuer oder Erscheinungen ohne feste Begrenzung. Um ein plausibleres Erscheinungsbild zu gewährleisten, können die Bewegung und andere Parameter der Partikel zufällig verändert werden. Das Verhalten eines Partikelsystems wird normalerweise bestimmt, indem Kräfte im Raum festgelegt werden. So kann zum Beispiel ein Partikel in eine neue Richtung „geblasen“ werden, sobald es einen bestimmten Ort erreicht, von einem „Gravitationszentrum“ angezogen oder die eigentlich fertiggestellte Simulation wie ein normales 3D-Modell verformt werden. Mit physikalisch basierten Simulationen lassen sich meist wesentlich realistischere Animationen als mit Partikelsystemen erzeugen. Beispiele sind die Animation von Flüssigkeiten, Feuer, Rauch oder flexiblen Stofftüchern. Hierzu müssen die Differentialgleichungen, die diese Erscheinungen beschreiben, mit den Mitteln der numerischen Mathematik gelöst werden.

5.5 Siehe auch Portal: Animation – Übersicht zu WikipediaInhalten zum Thema Animation

Partikelsystem zur Simulation einer Explosion

Um das Verhalten mehrerer Objekte mit den Mitteln der Gruppensimulation zu bestimmen, kann der Animator Techniken der künstlichen Intelligenz verwenden. Dadurch plant jedes der Objekte die Bewegungen, die einem festgelegten Plan entsprechen, und führt sie aus. Viele Computerspiele verwenden derartige autonome Objekte, um intelligente Gegner oder Verbündete des Spielers zu erzeugen. Es stellt sich heraus, dass eine einzelne Figur umso weniger Intelligenz aufweisen muss, je größer die Gruppe ist. Bei hunderten von Figuren entsteht ein

• 3D-Graﬁksoftware • Animationsserver • Liste von Computeranimationsﬁlmen

5.6 Literatur • Rick Parent: Computer Animation: Algorithms and Techniques. Morgan Kaufmann, Amsterdam 2008, ISBN 978-0-12-532000-9

KAPITEL 5. COMPUTERANIMATION

5.7 Weblinks Commons: Kategorie:Animationen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Hinweis: Durch die zahlreichen animierten Graﬁken in dieser Kategorie sind sehr hohe Ladezeiten möglich.

• Thomas Dreher: Geschichte der Computerkunst, Kapitel IV.2: Computer Animation Normdaten (Sachbegriﬀ): GND: 4199710-4

Kapitel 6

Polygon • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus. • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch Pn , P1 , P2 und Pn−1 , Pn , P1 gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Verschiedene Auﬀassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck bezeichnet in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird, beziehungsweise ein zweidimensionales Polytop.

6.2 Klassiﬁkation

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte miteinander verbunden werden durch Strecken, Kanten oder Seiten genannt, sodass ein geschlossener Polygonzug mit ebensovielen Ecken entsteht, beispielsweise ein Dreieck oder ein Viereck. Die umschlossene Fläche wird unterschiedlich aufgefasst oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

6.1 Definition und Bezeichnungen Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel P := (P1 , P2 , . . . , Pn ) , Pi ∈ R2 , 1 ≤ i ≤ n von n verschiedenen Punkten definiert ist. • Die n Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit n -Ecken heißt auch n -Eck. • Die Strecken Pi Pi+1 (i = 1, . . . , n − 1) und Pn P1 bezeichnet man als Seiten des Polygons. • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen. Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal Historische Abbildung von Vielecken (1699) nicht notwendig sind: 23

KAPITEL 6. POLYGON

6.2.1

Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken benannt:

• Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein. • Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

• Dreieck

• Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten, als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.

• Viereck • Fünfeck (Pentagon) • Sechseck (Hexagon)

• Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

• Siebeneck (Heptagon) • Achteck (Oktagon, Oktogon)

• Bei orthogonalen Polygonen treﬀen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

• Neuneck (Nonagon) • Zehneck (Dekagon) • Elfeck (Hendekagon)

6.3 Eigenschaften

• Zwölfeck (Dodekagon) • Fünfzehneck (Pentadekagon)

6.3.1 Winkel

• Sechzehneck (Hexadekagon)

In einem nicht überschlagenen, ebenen n -Eck ist die Summe der Innenwinkel

• Siebzehneck (Heptadekagon) • 257-Eck

α1 + · · · + αn = (n − 2) · 180◦

• 65537-Eck

6.2.2

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

Weitere Typen α1′ + · · · + αn′ = 360◦

allgemein

konvex

konkav

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert überschlagen

gleichseitig

Sekantenpolygon gleichwinklig

α=

(n−2) n

· 180◦ bzw. α′ =

1 n

· 360◦ .

6.3.2 Diagonalen konvex

konkav

überschlagen

konvex überschlagen

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung: 1. Jede der n Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.

regelmäßig konvex

regelmäßig überschlagen

Klassiﬁkation von Polygonen

• Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach.

2. Die Verbindung von Ecke Pa zur Ecke Pb ist mit der Verbindung von Pb nach Pa identisch. 3. Genau n Verbindungen sind Seiten des Polygons. − Also hat ein nicht überschlagenes n -Eck genau n·(n−1) 2 n·(n−3) n= Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Po2 lygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

6.5. SIEHE AUCH

6.3.3

Umfang

6.3.4

Fläche

Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt durch kartesische Koordinaten (xi , yi ) gegeben sind, berechnet. kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verdem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen befahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch stimmt werden: gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so n−1 ∑√ √ gut(ydurch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur 2 2 2 2 U = (x1 − xn ) + (y1 − yn ) + (xi+1 − xi ) + i+1 − yi ) Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe i=1 bekannter Datenstrukturen.

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten (xi , yi ) gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel berechnet werden:

6.5 Siehe auch • Konstruierbares Polygon • Polyeder

∑

2A = (yi + yi+1 ) · (xi − xi+1 ) = (xi + xi+1 )6.6 · (yi+1Weblinks − yi ) =

xi · yi+1 − yi · xi+1

i=1

Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Hierbei werden die Indizes, die größer als n sind, immer Videos und Audiodateien modulo n betrachtet, das heißt mit xn+1 ist x1 gemeint: Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

n−1

∑ Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen,

2A = xn · y1 − yn · x1 + xi · yi+1 − yi · xi+1

Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

i=1

In Determinantenform lautet die gaußsche Trapezformel:

2A =

n−1

∑

xi +

xi+1 y1

i=1

yi+1

Neben der gaußschen Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summe der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (zum Beispiel dem Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden dabei mit negativen Vorzeichen versehen.[2] Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

6.4 Verwendung In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren

• Eric W. Weisstein: Polygon. In: MathWorld (englisch). • Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone • Online-Berechnung von ebenen Polygonen mit graphischer Ausgabe

6.7 Einzelnachweise [1] Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-PichlerTempsky, München/Wien 1965. [2] (PDF; 66 kB), Zhang, Cha, and Tsuhan Chen. “Eﬃcient feature extraction for 2D/3D objects in mesh representation.” Image Processing, 2001. Proceedings. 2001 International Conference on. Vol. 3. IEEE, 2001. APA.

Kapitel 7

Non-Uniform Rational B-Spline 7.1 Entwicklung

In den 1950er Jahren wurden besonders im Automobilund Schiffbau für die fehlerfreie Reproduzierbarkeit technischer Bauteile mathematisch exakte Beschreibungen von Freiformflächen benötigt. Vor dieser Zeit wurden derartige Oberflächen durch einzelne von einem Konstrukteur hergestellte physikalische Modelle beschrieben. So begann unter anderem der Ingenieur Pierre Étienne Bézier, zu dieser Zeit bei Renault in Frankreich, mit der Entwicklung der nach ihm benannten Bézierkurve. Unabhängig von Bézier arbeitete Paul de Casteljau, angestellt bei Citroën, zur gleichen Zeit auch an diesem mathematischen Problem. Weil Bézier die Ergebnisse seiner Arbeit veröffentlichte, werden heutzutage in der graphischen Datenverarbeitung Splines, deren Kontrollpunkte nicht auf der Kurve selbst liegen, als „Bézier-Spline“ bezeichnet, während der Name von de Casteljau in dem nach ihm benannten Algorithmus fortlebt, der für die numerische Verarbeitung parametrischer Flächen eingesetzt wird. In den 1960er Jahren wurde klar, dass nonuniform rational B-Splines (NURBS) eine Generalisierung von Bézier-Splines sind, die als uniform non-rational B-Splines angesehen werden können.

Dreidimensionale NURBS-Flächen können komplexe, organische Formen aufweisen. Kontrollpunkte beeinflussen die Richtungen der Oberfläche. Das äußerste Quadrat unten skizziert die X/YAusdehnungen der Oberfläche.

Zunächst wurden NURBS nur in proprietären CADWerkzeugen von Automobilunternehmen verwendet. Später hielten sie Einzug in weiter verbreitete Computergraﬁk-Anwendungen, beispielsweise die Open Graphics Library (OpenGL).

NURBS-Fläche (grün) vom Grad 4, deﬁniert durch 36 Kontrollpunkte (rot) über einem zweidimensionalen Parametergebiet (unteres Gitter).

Non-uniform rational B-Splines (deutsch: nichtuniforme rationale B-Splines, kurz NURBS) sind mathematisch definierte Kurven oder Flächen, die im Computergrafik-Bereich, beispielsweise im CGI oder CAD, zur Modellierung beliebiger Formen verwendet werden. Ein NURBS kann jeden beliebigen nicht-verzweigenden stetigen Linienzug darstellen. Im Computergrafik-Bereich wird die Geometrieinformation jedoch über stückweise funktional definierte GeometrieElemente dargestellt, statt die komplette Formgebung über einen einzigen NURBS abzubilden.

Auf Systemen von Silicon Graphics wurde erstmals 1989 die Echtzeitverarbeitung und interaktives Rendering von NURBS-Kurven und -Flächen möglich. Auf der CeBit 1994 stellten die Firmen CAS Berlin und CAA in Zusammenarbeit mit der TU Berlin den ersten, auf den Namen NöRBS getauften, interaktiven NURBSModellierer für PCs vor. Heutzutage enthalten die meisten professionellen Computergraphik-Anwendungen NURBS-Technologie, die in den meisten Fällen durch die Integration einer NURBS-Engine realisiert ist, die von einer darauf spezialisierten Firma bereitgestellt wird.

7.3. MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG

7.2 Anwendung

Diese Methode stammt aus dem Prototypenbau im Automobilbereich, wo die Oberflächenqualität durch ÜberNURBS sind bei der computergestützten Konstrukti- prüfung der Reflexionen von einem Neonlichthimmel auf on (CAD) und Fertigung (CAM) beinahe unersetzlich der Karosserie sichergestellt wird. und Teil zahlreicher Industriestandards, wie IGES (Initial Graphics Exchange Specification), STEP (STandard for the Exchange of Product model data) und PHIGS 7.3 Mathematische Beschreibung (Programmer’s Hierarchical Interactive Graphics System). Im Allgemeinen ist die interaktive Bearbeitung von NURBS-Kurven und -Flächen haben eine Reihe interesNURBS-Kurven und -Flächen sehr intuitiv und vorher- santer Eigenschaften: sagbar. Kontrollpunkte sind stets entweder direkt mit der Kurve oder Fläche verbunden oder wirken, als ob sie mit • Sie sind invariant für projektive Transformationen. einem Gummiband verbunden sind. Eine Manipulation • Sie bieten eine gemeinsame mathematische Darstelder Geometrieelemente kann - am offensichtlichsten bei lung für sowohl analytische Standardformen (z. B. Bézierkurven - direkt an den Kontrollpunkten durchgeKegelschnitte) als auch Freiformflächen. führt werden oder durch übergeordnete Werkzeuge realisiert werden. Derartige Werkzeuge basieren zum Teil auf • Sie reduzieren den Speicheraufwand für geometrider Eigenschaft von NURBS, Kurven und Flächen untersche Objekte (im Vergleich zu einfacheren Methoschiedlicher Stetigkeit darstellen zu können. den). Hierbei werden unterschiedlich starke Stetigkeitsforde• Sie können durch numerisch stabile und präzise Alrungen gestellt. Neben der üblichen C -Stetigkeit, wird gorithmen verhältnismäßig schnell ausgewertet werhier auch die geometrische Stetigkeit betrachtet: den. • G 0 : Positions-Stetigkeit gilt, wenn die Endpunkte zweier Kurven oder Flächen zusammentreffen. Trotzdem können Kurven oder Flächen sich in einem Winkel berühren, der zu einer scharfen Kante oder Ecke an dieser Stelle führt und Störungen bei Lichteffekten verursacht. • G 1 : Die Parallelität der Endvektoren von Kurven oder Flächen bei tangentialer Stetigkeit führt zu einer Unterbindung scharfer Kanten. Tangentiale Stetigkeit ist oftmals ausreichend, da die Beleuchtung derartiger Geometrien kontinuierlich und damit natürlich erscheint.

• Sie sind Verallgemeinerungen von nicht-rationalen B-Splines und nicht-rationalen und rationalen Bézier-Kurven und -Flächen. Die Aussage, dass NURBS-Kurven eine Verallgemeinerung von Bézierkurven sind, bedeutet, dass alle Bézierkurven NURBS-Kurven, aber nicht alle NURBS-Kurven Bézierkurven sind.

Eine NURBS-Kurve C(u) ist definiert durch den Grad k ihrer Basispolynome (= Ordnung p der NURBS-Kurve - 1), eine Menge P gewichteter ( wi ) Kontrollpunkte Pi und einen Knotenvektor U . NURBS-Kurven und Flächen sind Verallgemeinerungen von sowohl B-Splines als auch Bézierkurven und -flächen. Der hauptsächliche • G 2 : Bei gleichem Betrag der Endvektoren herrscht Unterschied zu diesen beiden Splinearten ist die GewichKrümmungsstetigkeit. Ein beleuchteter krümmungstung der Kontrollpunkte mit den Gewichten wi . Durch stetiger Übergang zeigt keine Veränderung, so dass die wi werden NURBS-Kurven rational. die zwei Flächen als eine einzige Fläche erscheinen, und wird als optisch perfekt glatt wahrgenommen. Eine NURBS-Kurve ist über die Summe der mit rationaDiese Stetigkeitsstufe ist sehr nützlich, wenn die zu len B-Spline-Basisfunktionen Ri,k gewichteten Kontrollrealisierende kontinuierliche Oberfläche aus vielen punkte Pi , also über die Formel bikubischen Flächenstücken bestehen soll. Höhere Stetigkeitsgrade sind mit NURBS ebenfalls mög- C(u) = lich. Die Realisierung perfekt glatt aussehender Oberflächen erfordert NURBS-Flächen, die wenigstens G 2 Stetigkeit erreichen. Fehler in der Oberfläche können durch Beleuchtung und Reflexion detektiert werden. Eine Methode zur Bewertung einer Fläche basiert auf der Auswertung eines durch Ray Tracing oder Reflexion und Abbildung aufgenommenen Bilds einer Fläche mit weißen auf sie reflektierten Streifen, womit selbst die kleinsten Abweichungen der Fläche aufgedeckt werden können.

n ∑

Ri,k (u)Pi

i=0

vollständig deﬁniert. Die rationale B-SplineBasisfunktion errechnet sich aus B-SplineBasisfunktionen Ni,k des Grads der Basispolynome k und den zu den Kontrollpunkten zugehörigen Gewichten wi zu Ni,k (u)wi Ri,k (u) = ∑n j=0 Nj,k (u)wj

KAPITEL 7. NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINE

Der Parameter u ∈ [a, b] schaltet im Bereich des Kno- Die Kurve setzt sich mathematisch aus Polynomen zutenvektors sammen, deren Grad k eins kleiner als die Ordnung der Kurve ist ( k = p−1 ). Also werden Kurven zweiter Ordnung (die durch lineare Polynome dargestellt werden) liU = {a(0) , . . . , a(p−1) , up , . . . , un , b(n+1) , . . . , b(n+p) } neare Kurven, Kurven dritter Ordnung quadratische Kur| {z } | {z } ven und Kurven vierter Ordnung kubische Kurven gep p nannt. Die Anzahl m der Kontrollpunkte muss größer oder gleich der Ordnung p der Kurve sein. die einzelnen Segmente der Spline-Kurve aktiv. Die Elemente des Knotenvektors sind monoton steigend, wobei In der Praxis werden am häuﬁgsten kubische Kurven alle a(i) = a(j) sowie alle b(i) = b(j) sind. gebraucht. Kurven fünften oder sechsten Grades sind manchmal nützlich, gerade für Ableitungen, Kurven höheren Grades werden in der Praxis aber nie benutzt, da 7.3.1 Randbedingungen und Deﬁnitionen sie zu internen numerischen Problemen führen und ihre Berechnung tendenziell unverhältnismäßig viel BerechKontrollpunkte nungszeit erfordert. P = {Pi | Pi = (x, y) mit x, y ∈ R und i = 0..n ∈ N}

7.3.2 Einheitskreis

| P |= m = (n + 1)

Im Gegensatz zu nicht-rationalen Kurven, die nicht geeignet sind, um Kreise darzustellen, klappt dies mit NURBS problemlos. Der Einheitskreis in der xy-Ebene kann beispielsweise als NURBS-Kurve vom Grad 2 mit Knotenvektor (0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,4) und folgenden Kontrollpunkten und Gewichten konstruiert werden.

W = {wi ∈ R, i = 0..n ∈ N} | W |= m = (n + 1) Knotenvektor Der Knotenvektor U besteht aus Parameterwerten ui , die den Einﬂuss der Kontrollpunkte Pi auf die NURBSKurve festlegen. Die Anzahl der Knoten ist immer gleich der Anzahl der Kontrollpunkte plus dem Grad der Kurve plus eins ( | U |= r = m + k + 1 = n + p + 1 ). Beispielsweise hat eine Kurve dritten Grades mit vier Kontrollpunkten acht Knoten (4 + 3 + 1 = 8). Für den Graphik-Designer sind Knoten gewöhnlich nicht hilfreich; sie werden nur für interne Berechnungen benötigt. Aus diesem Grund sind Knoten in vielen Graphik-Design-Programmen nicht änderbar oder überhaupt sichtbar. Neuere Versionen von NURBS-Software (z. B. Alias Maya) erlauben interaktive Änderungen an Knotenpositionen, was allerdings bedeutend weniger intuitiv ist als Änderungen an Kontrollpunkten. Die Werte des Knotenvektors müssen in aufsteigender Reihenfolge vorliegen. Damit ist (0, 0, 1, 2, 3) gültig, (0, 0, 2, 1, 3) dagegen nicht. Die einzelnen Knotenwerte haben keine Aussage für sich selbst; einzig und allein die Verhältnisse der Diﬀerenzen zwischen den Knotenwerten haben eine Bedeutung. Demzufolge ergeben die Knotenvektoren (0, 0, 1, 2, 3), (0, 0, 2, 4, 6), und (1, 1, 2, 3, 4) alle die gleiche Kurve. Weiterhin muss die Vielfachheit eines Knotens kleiner-gleich sein als der Grad der Kurve (kein Knoten darf öfter als der Grad der Kurve auftauchen). Für NURBS ersten Grades ist jeder Knoten gepaart mit einem Kontrollpunkt. Ordnung einer NURBS-Kurve

7.3.3 NURBS-Flächen Während eine NURBS-Kurve ausschließlich in eine parametrische Richtung u aufgespannt ist, wird eine NURBSFläche durch zwei Parameter, genannt u und v , aufgespannt. Die Kurve kann durch Auswertung an unterschiedlichen Parametern im kartesischen zwei- oder dreidimensionalen Raum abgebildet werden. Analog erfolgt die Abbildung einer NURBS-Fläche im kartesischen Raum durch Auswertung mit verschiedenen Werten für zwei Parameter.

S(u, v) =

n ∑ m ∑

Ri,j (u, v)Pi,j

i=0 j=0

sind deﬁniert durch ein Kontrollgitter Pi,j und die rationale Basisfunktion Ni,p (u)Nj,q (v)wi,j ∑m k=0 l=0 Nk,p (u)Nl,q (v)wk,l

Ri,j (u, v) = ∑n

mit einer zweidimensionalen Gewichtematrix wi,j . Die zweite Dimension der Fläche S(u, v) mit dem Parameter v wird geschaltet durch den analog zu U aufgebauten Knotenvektor

Eine NURBS-Kurve ist von der Ordnung p = k + 1 , sie besteht aus Polynomen vom Grad k . Die Ordnung p einer NURBS-Kurve ist festgelegt durch die Anzahl be- V = {c, . . . , c, vq+1 , . . . , vs−q−1 , d, . . . , d} | {z } | {z } nachbarter Kontrollpunkte, die die Kurve beeinﬂussen. q q

7.6. WEBLINKS mit der Ordnung q und der Länge s .

29 • David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. 2006 Springer Science+Business Media Inc. ISBN 0-387-24196-5.

7.4 Einfache Erklärung eines komplexen Sachverhaltes 7.6 Weblinks In den 1950er-Jahren hat Bézier die mathematische Formel entdeckt, mit der sich eine geschwungene Kurve beschreiben lässt. Die Kurve wird dabei durch wenige sogenannte Kontrollpunkte definiert. In der Folge hat sich herausgestellt, dass diese Bézierkurven noch nicht ausreichend sind, um beispielsweise einen Kreis exakt darzustellen. Daraufhin wurden mathematische Formeln entwickelt, bei denen die einzelnen Kontrollpunkte unterschiedlich stark (non uniform) auf den Kurvenverlauf einwirken können, die sogenannten B-Splines. Der Begriff Splines ist historisch und stammt aus dem Schiffbau. Linealartige biegsame Metallstreifen, sogenannte Straklatten (engl. splines), wurden seitlich mit Gewichten beschwert und konnten somit eine definierte Kurve darstellen. Mehrere dieser Kurven hintereinander stellten die Spanten dar, die wiederum den Rumpf des Schiffes ergaben. Später wurden dann mathematische Formeln entwickelt, die sowohl Béziers Formel als auch die B-Splines verallgemeinerten, die sogenannten „Non uniform rational B-Splines“. Damit kann man also beliebige Kurven darstellen und wenn man nicht nur eine Richtung („Länge“) wie bei einer Kurve, sondern eine zweite („Breite“) hinzufügt, können damit beliebige Flächen dargestellt werden. Theoretisch können diese Flächen beliebig komplex und groß sein. Da der Aufwand zur Berechnung der Formeln allerdings mit zunehmender Komplexität stark ansteigt und auch mit einem leistungsfähigen Computer nicht mehr in angemessener Zeit berechnet werden kann, werden kompliziertere Flächen durch mehrere aneinandergesetzte sogenannte Patches dargestellt. In der industriellen Produktion werden mittlerweile fast ausschließlich NURBS eingesetzt, um jede Art von herzustellendem Objekt (Joghurtbecher, Motorgehäuse, Sonnenbrillen usw.) mathematisch exakt abbilden zu können

7.5 Literatur • Les Piegl, Wayne Tiller: The NURBS Book. Monographs in Visual Communication. Springer, 2000. • David F. Rogers: An Introduction to NURBS With Historical Perspective. Academic Press, 2001. • Lyle Ramshaw: Blossoming: A connect-the-dots approach to splines. Research Report 19, Compaq Systems Research Center, Palo Alto, CA, June 1987. • James D. Foley, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes: Computer Graphics - Principles and Practice. 2nd ed. Addison Wesley 1996.

• TinySpline: Open Source C-Programmbibliothek mit Bindings für verschiedene Sprachen

Kapitel 8

Metaball deﬁniert dann, ob der von n Metaballs deﬁnierte Körper am Punkt (x, y, z) gefüllt ist. Eine typische Metaball-Funktion ist

f (x, y, z) =

(x − x0

1 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2

wobei (x0 , y0 , z0 ) das Zentrum des Balles angibt und (x, y, z) den zu untersuchenden Punkt. f (x, y, z) gibt dann also die Stärke des Balles an diesem Punkt zurück, ist die Summe der Stärken aller Bälle an diesem Punkt größer als der Schwellenwert, so ist der Körper dort gefüllt. Da die Funktion auf Grund der Division rechenintensiv ist, werden auch polynomiale Annäherungen verwendet. Es gibt viele Wege, Metaballs zu rendern, die beiden gebräuchlichsten sind Raycasting und der Marching CubesAlgorithmus.

8.1 Literatur • Blinn, James F. “A Generalization of Algebraic Surface Drawing.” ACM Transactions on Graphics 1(3), Juli 1982, pp. 235–256.

1 = zwei positive Metaballs verschmelzen ineinander, 2 = ein negativer Metaball drückt einen positiven ein

Ein Metaball ist das Ergebnis eines Algorithmus, der eine dehnbare Oberﬂäche erzeugt, die die Form einer Kugel (bei genau einem) oder eine Menge von ineinander gehenden Kugeln erzeugt. Der Algorithmus wurde in den frühen 1980ern von Jim Blinn entwickelt. Ein Metaball ist als eine Funktion in n Dimensionen deﬁniert, für die üblichen drei Dimensionen also entsprechend f (x, y, z) . Um ein Volumen zu erzeugen wird ein Schwellenwert gewählt. n ∑

Metaballi (x, y, z) ≤ Schwellenwert

i=0

Kapitel 9

Subdivision Surface Eine Subdivision Surface (deutsch: Unterteilungsfläche) ist in der Computergrafik eine glatte (in der ersten oder mehrfachen Ableitung stetige) Fläche, die aus einem Ausgangsgitter (auch Kontroll-Polygonnetz genannt) erzeugt wurde. Eine Subdivision Surface ist ursprünglich als der Grenzwert (Limes) eines unendlichen, rekursiven Verfeinerungsschemas definiert. Dieses Verfeinerungsschema wird auch als Subdivision Schema bezeichnet; der Grenzwert als Limesfläche.

9.1 Entwicklung • 1978 Subdivision Surfaces werden gleichzeitig von Edwin Catmull und Jim Clark sowie von Daniel Doo und Malcom Sabin entwickelt. • 1985 Ulrich Reif entwickelt eine Methode für subdivision bei extraordinary Vertices (deutsch: außergewöhnliche Gitterpunkte bzw. Knoten). • 1990 Nira Dyn, David Levine und John A. Gregory entwickeln das Butterfly Schema. • 1996 Dennis Zorin und Peter Schröder stellen das modifizierte Butterfly Schema vor. • 1998 Tony DeRose und Michael Kass stellen Methoden für den Einsatz von Subdivision Surfaces in der Character animation vor, insbesondere die Modifikation des Catmull-Clark Schemas zur Unterstützung von Falten und Ecken beliebiger Schärfe, Löchern und der stetigen Projektion von Texturen.

Erste Schritte und Endergebnis der Unterteilung eines Würfels mittels Catmull-Clark

Limesfläche die Punkte des Ausgangsgitters interpolieren soll. Approximierende Schemata leisten dies nicht; die Limesfläche kann innerhalb oder außerhalb des Aus• 1998 Sederberg et al. entwickeln das erste nicht- gangsgitters zu liegen kommen. Oft ist bei approximiegleichförmige Subdivison Schema. renden Schemata das Ausgangsgitter die konvexe Hülle • 1998 Jos Stam stellt die erste nichtrekursive Metho- der Limesfläche. Generell erzeugen die meisten bekannde zur Berechnung von Catmull-Clark Subdivision ten approximierenden Schemata ästhetisch ansprechendere Limesflächen. Surfaces vor. Das andere Unterscheidungskriterium, das auch Verwendung findet, ist die Kategorisierung in Schemeta, die nur auf Gittern aus Polygonen mit bestimmter Punktzahl be9.2 Verfeinerungsschemata stehen. Einige solcher Schemata benötigen beispielsweise Verfeinerungsschemata können grob in zwei Kategori- ein Ausgangsgitter, das nur aus Dreiecken oder Vierecken en eingeteilt werden: interpolierende und approximieren- besteht. de. Interpolierende Schemata werden benutzt, wenn die Viele Schemata sind auch nur auf mannigfaltigen Aus31

KAPITEL 9. SUBDIVISION SURFACE

gangsgittern deﬁniert.

9.2.1

Approximierende Schemata

Approximierend meint, dass die Limesﬂäche das Ausgangsgitter approximiert (annähert) und die bei jedem Rekursionschritt neu erzeugten Punkte in der Regel nicht auf der Limesﬂäche liegen. Beispiele für approximierende Schemata sind: • Catmull-Clark • Doo–Sabin • Loop • Mid-Edge • v3

9.2.2

Interpolierende Schemata

Interpolierend heißt, dass die Punkte des Ausgangsgitters und die durch jeden Rekursionsschritt neu erzeugten Punkte immer auf der Limesfläche liegen. Beispiele für interpolierende Schemata sind: • Butterfly Subdivision Surfaces: Das Butterfly Subdivision Surface ist ein interpolierendes Unterteilungsschema für Dreiecksnetze. Dabei werden pro Iterationsschritt für jedes Dreieck neue Punkte und Kanten erzeugt, um das Netz zu verfeinern. • Kobbelt

9.3 Weblinks • Website zu Subdivision (englisch) • Kurse zum Thema (englisch)

9.4. TEXT- UND BILDQUELLEN, AUTOREN UND LIZENZEN

9.4 Text- und Bildquellen, Autoren und Lizenzen 9.4.1

Text

• Blender (Software) Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Blender_(Software)?oldid=162727082 Autoren: Fristu, Igelball, Aka, Magnus, Beyer, Head, Pkn, Paethon, WolfgangRieger, LennyWikipedia, Crux, MinCe, Andre Riemann, EricPoehlsen, Migra, Cirdan, Paddy, Berreu, Zwobot, Wolfgang1018, Stern, Robbot, Levin, Jpp, Boehm, Elvis untot, MKI, Craesh, Mike Krüger, Jonathan Hornung, Darkone, Pischdi, Maxb88, Trainspotter, Panzi, Mikenolte, Kubrick, Philipendula, Sven423, Speedator, Kristjan, Kühler Grill, ValentinHocher, Ckeen, Ninety Mile Beach, Kaiser Bob, Buntfalke, Choas, Bodhi-Baum, BWBot, Kdkeller, Tohma, Polluks, Thire, Zaungast, Mr. Anderson, Carsten Meyer, SoylentGreen, Verwüstung, Gmhofmann, Speck-Made, Lecartia, Nico b., He3nry, Rohieb, Nameless~dewiki, Batrox, Calle Cool, FlaBot, Denis~dewiki, Wuffel, Stefan, RedBot, Eikeschnuppertal, O.Koslowski, The-viewer, Nowic, 01mf02~dewiki, Taliclan-ast, YellowZeta, JoachimS, Zefrian, Internetbewohner, RobotE, Mihawk90, DingTo Network, WStephan, Nachbarnebenan, Tinz, Taivo, Ponte, RobotQuistnix, Bota47, Filmpirat~dewiki, YurikBot, Fragment, PowerGFX, Bunt, Blauebirke, LeonardoRob0t, Marc-André Aßbrock, PSYCloned Area, DerHexer, Beauty, Ironix, Bernedom, Darklock, DMKE, Chatter, Mgloor, LKD, Nikolas Monjé, Fomafix, Corran Horn, DHN-bot~dewiki, Kungfuman, Illicitem, Stefan Knauf, Btr, LachendesKnie, Feba, Blinry, Beelzebubs Grandson, Luxo, Jan Sende, Thomas Schultz, Felanox, Spuk968, Thijs!bot, Woodsen, FBE2005, Horst Gräbner, Bernard Ladenthin, Ema-fox, Muck31, JAnDbot, Chris01, Ontogon, Schulu, Nolispanmo, Hasimaus, Nobelium, CommonsDelinker, Steindy, Trac3R, Kuebi, Ibn Battuta, Giftmischer, Dasir, DodekBot, Reaper35, VolkovBot, Fujnky, TXiKiBoT, Julian Herzog, Rei-bot, Regi51, Zoechling, Tobias1983, S!ska, AlleborgoBot, Mark192, Auratus, Stephan Kulla, Steef389, SieBot, Crazy1880, Loveless, Aleks-ger, Dpesek, Not-Pierre, Engie, Kerkchicken, Trustable, Emdee, Alnilam, Pittimann, Renemuc, Emergency doc, MoritzMoeller, Smiley80, Estirabot, Guinsoo, Florian Weber-alt, Inkowik, Darkicebot, Stefan Schultz, G-Reg-24, W. Edlmeier, Schotterebene, LaaknorBot, Tanhabot, Hoo man, Adaeternum, Hadibe, Asav, Slashme, Lu.wo, Calliwart, Stefanf74, Xqbot, ArthurBot, GiftBot, HOSHI, The Evil IP address, RibotBOT, Allion, NullPlan, Moehre1992, KomplexStern, Asomy, Lehmkuehler, Biktora, EmausBot, Vorrauslöscher, Florian Weber, Insomnium, Grueslayer, Evil scientist, Writer007, Cologinux, Sprachfreund49, Florian-TFW, Henri97, Balumir, EH⁴², F. F. Fjodor, ChuispastonBot, WoinBoy, Vincent Simar, Luettsegler, Shaddim, Loki 66, Frze, Snaevar-bot, AvocatoBot, DerGenaue Allrounder, Boshomi, Patrias, Jacques-Lucke, Tuttist, Janistrator, Migius, Ellam AT, Jmv, Dexbot, Bloody666, Rmcharb, Argonauticus, Patrick Stützel, Qafgbxvghnx, Chewbacca2205, PatrickLemke, Oli92, Écarté, Artregor, AsumFace, Sepa72, Chrilli, Corboran, Kowsalat, Vladimir Ichatschnow, Speedpera, Dpunkt.verlag, Lm 1909, Mxs02, Brenner88, Luke081515Bot, SantaWinsAgain, Wikpan, Eikpel, Psifactorp, Atif Masood (FetchCFD), Johannes Eulenberger, Wolfgang Gelbricht, 2DragonFreak, Glorydays2012pro und Anonyme: 235 • 3D-Grafiksoftware Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/3D-Grafiksoftware?oldid=162565383 Autoren: Igelball, Jed, Aka, InikOfDoom, Stefan Kühn, KAMiKAZOW, ErikDunsing, Sansculotte, Srbauer, Remi-de, Zwobot, ArtMechanic, Stern, PeerBr, Helmuti pdorf, Koala, Mabaneos, Owltom, Phrood, Schnargel, Mikenolte, Speedator, Kristjan, Synth, Norro, LittleJoe, Alexander Fischer, Redf0x, BWBot, Suricata, Daniel FR, Thire, Gal Buki, DestroyerHero, Philipp D., Himmelsfisch, Curtis Newton, 790, Hyperdieter, GünniX, JuTa, Florian Adler, Dachris, Erikson, Mflatischler, YurikBot, RRH~dewiki, Arittner, Nanopedia, Pmkpmk, Fomafix, Corran Horn, T-Zee, Tönjes, Mohahaddou, Kammerjaeger, Spuk968, Thijs!bot, Horst Gräbner, Ukko, Digital Nerd, Tobias “ToMar” Maier, Freak 1.5, VampLanginus, Don Magnifico, PDCA, Akidosan, Gerold Broser, Reaper35, VolkovBot, Codeispoetry, Rei-bot, Entlinkt, Mietchen, Port(u*o)s, Chrisbilder, Alexbot, SilvonenBot, Methamorpheus, ChuispastonBot, Krdbot, Boshomi, Addbot, CraftingConrad, Ivo030, Toni Müller, Wolfgang Gelbricht, Lfrancesco und Anonyme: 96 • Modell Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Modell?oldid=161484123 Autoren: Wst, Elian, Koethnig, Kku, Zeno Gantner, Aka, Stefan Kühn, Keichwa, DF5GO, Mikue, Molily, Ilja Lorek, Focus mankind, Softeis, Tukaram, Katharina, Matt1971, Jmsanta, Ralf Roletschek, Tzeh, Zwobot, D, Weialawaga, Stern, Hadhuey, JanKG, JuergenL, HaSee, Wiegels, APPER, Boehm, Tinuriand, Suspekt, RokerHRO, Sinn, Peng, HenHei, MFM, Hystrix, Wimmerm, Acf, Ot, LightWolf, Refomicus, Weede, Gerhardvalentin, PeeCee, Ronix, WhiteCrow, Kako, Tea2min, ChristophDemmer, Admean, Darian, Ilion, TomAlt, Abdull, Die zuckerschnute, Roger Zenner, Geisslr, WikipediaMaster, FotoFux, Rax, Grimmi59 rade, Diba, He3nry, FlaBot, Blaubahn, Sava, Anhi, Gpvos, DiplomBastler, Itti, Kolossos, Ca$e, Zaphiro, Millbart, Marcus Cyron, Klonaccount, Hnsjrgnweis, Florian Jesse, Werner von Basil, Luekk, W!B:, Roterraecher, Luha, Chrislb, Sterling, RobotQuistnix, €pa, Vvj, Euku, YurikBot, Xocolatl, ChristianBier, Savin 2005, Reenpier, DerHexer, WAH, Botulph, EvaK, MelancholieBot, JCS, Schlesinger, Eskimbot, Nightflyer, Visus~dewiki, Hieronymus A., Besserwisserhochdrei, B.Borys, Calex, Logograph, R Grimmig, Kommerzgandalf, Flothi bot, Hjn1941, Sargoth, Sauerteig, Wasabi, A1bi, Cliffhanger, Hans-Jürgen Streicher, Lupussy, Yotwen, BesondereUmstaende, Armin P., Musicproducer, Zaibatsu, Rote4132, Spuk968, Thijs!bot, Jobu0101, Nagy, El., Horst Gräbner, PhJ, JAnDbot, MilanKarow, YourEyesOnly, Sebbot, Stephanhartmannde, Wolfgang Deppert, Webverbesserer, Michaelt1964, Nolispanmo, Florian Höfer, Fährtenleser, CommonsDelinker, PDCA, JuTe CLZ, Meffo, Sumsiboy, DodekBot, Gerakibot, VolkovBot, AlnoktaBOT, Cactus26, Regi51, ChrisHamburg, Krawi, SieBot, Riegl, Scialex, Kibert, Livani, Exot, Trustable, Snoopy1964, SonniWP2, Pittimann, Zulu55, Se4598, Dellex, Vierge Marie, Kein Einstein, GUMPi, Inkowik, SilvonenBot, JonBs, CHNB, Drahtloser, 1971markus, Philipp Wetzlar, Hukukçu, Ptbotgourou, Xqbot, Verita, Howwi, WissensDürster, Geierkrächz, RibotBOT, Wilske, Zeuschen, Weecell, Jivee Blau, Falko Wilms, MorbZ-Bot, Ozauzig, Serols, Anne-mone, Pleonasty, EmausBot, Botanizer, Mahgue, Sokonbud, LÊ TẤN LỘC, Randolph33, Meloe, Milad A380, Trigonomie, Collioure74, Römert, Oguenther, Modelpractice, HilberTraum, 123qweasd, Wayne2435, Addbot, 2tzu, Diopuld, Schnabeltassentier, Woffwofnowf, Geo-Science-International, Netzwerkerin, Graphene15, Finø, Nicolas.fromme, PuddicamTV und Anonyme: 158 • Textur (Computergrafik) Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Textur_(Computergrafik)?oldid=156679547 Autoren: Zwobot, SPTH, HaSee, Phrood, Gut informiert, Caliga, Rat, DasBee, Pito, Lightbringer, Bota47, Savin 2005, Metoc, Ice Boy Tell, Steevie, Tobiwae, Miss Serious, Horst Gräbner, ChristianPfeiffer, Reaper35, Krawi, UlfTheis, Nikkis, Trustable, Jrobert, OCTopus, Vierge Marie, Balham Bongos, Assindia92, Heljastrom, Marco337, MerlIwBot, Duionium, Mtextur und Anonyme: 19 • Computeranimation Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Computeranimation?oldid=150520474 Autoren: Fristu, Aka, InikOfDoom, Stefan Kühn, ErikDunsing, Echoray, Katharina, Remi-de, Karl-Henner, Rdb, Alexander.stohr, Adalbert, Neitram, Phrood, Welle, Ludi~dewiki, Dbenzhuser, Michail, Chrisfrenzel, Cepheiden, RoKo, Summi, Chef, Uwe Hermann, Brain, Juesch, Qwqchris, Harro von Wuff, Jello, Mps, Garak76, Ixitixel, McSearch, Kreetrapper, Diba, MGla, RedBot, Berlinrob, Reihnold, Kolossos, Carlo Cravallo, W!B:, Shikeishu, Hydro, Dachris, RobotQuistnix, YurikBot, GGNBot, Xquenda, LeonardoRob0t, DerHexer, Lightwolf, LKD, Subw, Helfmann, Christian bumba, Mediocrity, Franz Halac, Hoiroix, Memty Bot, Maximilian Schönherr, Superzerocool, Muck31, Wikiholic, JAnDbot, Mrdaemon, Tobias “ToMar” Maier, Lirum Larum, Don-kun, DodekBot, VolkovBot, AlnoktaBOT, TXiKiBoT, Volunteer, 08-15-Bot, Krawi, Loveless, Hibodikus, OKBot, Broadbot, Chrisbilder, Vierge Marie, Alexbot, BOTarate, DumZiBoT, SilvonenBot, VanBot, EjsBot, LaaknorBot, H.Marxen, Fuch84, Obersachsebot, Xqbot, DSisyphBot, Howwi, CGIExperte, EmausBot, WikiRobbe.rob, WikitanvirBot, ChuispastonBot, MerlIwBot, BuschBohne, Boshomi, Addbot und Anonyme: 65

KAPITEL 9. SUBDIVISION SURFACE

• Polygon Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Polygon?oldid=161697595 Autoren: Wst, Ben-Zin, Schewek, Kku, Aka, InikOfDoom, TomK32, Steffen, Head, PyBot, Thomasgl, Mkleine, Zwobot, Wolfgang1018, Robbot, MatthiasWieland, Flokru, APPER, Boehm, Shannon, Pietz, RokerHRO, Splatter, Arbol01, Daniel B~dewiki, Phrood, Sj, °, Ot, P. Birken, Henriette Fiebig, Petflo2000, Geierunited, Much89, Philipendula, Matthy, Stefan h, Ma'ame Michu, Marc van Woerkom, Wfstb, Juesch, Qubric, Javon X, Cecil, Dapete, Thorbjoern, Martinl, Slick, Slayer~dewiki, Jergen, FlaBot, Himmelsfisch, Keil, Pentafrust2, Herr Th., CheokYin, Morki, Jodoform, HWellmann, Macks, Gpvos, Itti, FriedhelmW, Demus Wiesbaden, Millbart, HuckFinn~dewiki, Michael Kümmling, Syrcro, Suit, RobotE, W!B:, Bsmuc64, Ra'ike, Saehrimnir, Chobot, Ephraim33, Henward, RobotQuistnix, Bota47, YurikBot, Xocolatl, Androl, Metoc, LeonardoRob0t, Bahnemann, Prokant, Eskimbot, PortalBot, Jü, Fomafix, Radlfahrer, DHN-bot~dewiki, BlueCücü, Vanda1, Thornard, Mosmas, Gesualdo, Eventhorizon, Arilou, Thijs!bot, Gulliveig~dewiki, Farino, Cebus, Escarbot, Horst Gräbner, Bernard Ladenthin, Superzerocool, Particle~dewiki, YourEyesOnly, Михајло Анђелковић, Baumfreund-FFM, Thomas Haas, Frankee 67, KMic, SchirmerPower, HHE99, Bernhard Wallisch, Micham6, RacoonyRE, M. Hammer-Kruse, Tarantinoo, VolkovBot, TXiKiBoT, Aibot, Regi51, Idioma-bot, Docfeelgood3, BotMultichill, SieBot, OKBot, K41f1r, Xario, Udjat, Alnilam, Mike aus dem Bayerwald, Pittimann, Chemiewikibm, Christian1985, Port(u*o)s, Anachron, DragonBot, Vierge Marie, Bunnybabe, Ljgibbs, Numbo3-bot, Phrontis, Yoursmile, Luckas-bot, UKoch, KamikazeBot, Jotterbot, GrouchoBot, Rubinbot, Xqbot, ArthurBot, Welt-der-Form, RibotBOT, Quartl, MorbZ-Bot, Serols, TobeBot, Antonsusi, Daniel5Ko, Sängerkrieg auf Wartburg, TeesJ, Ripchip Bot, R*elation, Hæggis, EmausBot, Commons, Sokonbud, Chire, Isogon, Explicare, HilberTraum, I217, .gs8, YFdyh-bot, Patrick Stützel, Manza01, EssexGirl, Addbot, Tiramisucookiespawn, Rl1610, Astrofreund und Anonyme: 84 • Non-Uniform Rational B-Spline Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Non-Uniform_Rational_B-Spline?oldid=152564386 Autoren: Jed, Aka, Herrick, Jhartmann, HaSee, Asdert, Phrood, P. Birken, Oge, Cepheiden, ChristophDemmer, Don Hartmann, Momotaro, KwisatzHaderach, Hauix, Polluks, Speck-Made, FlaBot, Himmelsfisch, Boemmels, Dein Freund der Baum, Florian Adler, W!B:, Zwinkiekater, RobotQuistnix, Video2005, Bernd vdB, Hei ber, BesondereUmstaende, Arilou, Spuk968, Leberwurscht, Horst Gräbner, Nfl, Rei-bot, S!ska, Chrschn, Sir Boris, TheRealISA, Christian1985, Port(u*o)s, Vierge Marie, BOTarate, Cäsium137, Schotterebene, MystBot, Luckas-bot, SmashIt, MauritsBot, ArthurBot, Astrobeamer, MastiBot, RibotBOT, Quartl, Nameless23, Rr2000, Anti., ZéroBot, Developer2010, WikitanvirBot, KLBot2, Lassner, Asturius, Kamsa Hapnida und Anonyme: 48 • Metaball Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Metaball?oldid=148535168 Autoren: Zwobot, Phrood, Peterlustig, NiTenIchiRyu, AN, Heinte, Robert Wünsche, FlaBot, Himmelsfisch, Stefan Hintz, JCS, Eskimbot, Chlewbot, Thijs!bot, VolkovBot, ClydeG~dewiki, Vierge Marie, Luckas-bot, TobeBot, Dinamik-bot, WikitanvirBot, KLBot2, Lm 1909 und Anonyme: 3 • Subdivision Surface Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Subdivision_Surface?oldid=154670911 Autoren: Aka, HaSee, Peng, Phrood, FWiesner, Calle Cool, RedBot, UlrichJ, W!B:, Daniel.rikowski, Feba, Thijs!bot, VolkovBot, Srmeister, Xario, MoritzMoeller, Vierge Marie, Florian Weber-alt, MystBot, GrouchoBot, Bananenfalter, Xqbot, EmausBot, WikitanvirBot, Heljastrom, KLBot2, DarafshBot und Anonyme: 13

9.4.2

Bilder

• Datei:150921_Blender276.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/150921_Blender276.jpg Lizenz: CC BYSA 4.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Razvan8x • Datei:Arc_and_parametric_length.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Arc_and_parametric_length. svg Lizenz: Public domain Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Vierge Marie • Datei:Archimedes-screw_one-screw-threads_with-ball_3D-view_animated_small.gif Quelle: https://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/2/22/Archimedes-screw_one-screw-threads_with-ball_3D-view_animated_small.gif Lizenz: CC BY-SA 2.5 Autoren: File:Archimedes-screw_one-screw-threads_with-ball_3D-view_animated.gif created by Silberwolf Ursprünglicher Schöpfer: Silberwolf (size changed by: Jahobr) • Datei:Assorted_polygons.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Assorted_polygons.svg Lizenz: Public domain Autoren: Based on Polygons.png by Guy Inchbald (Public Domain) Ursprünglicher Schöpfer: CountingPine • Datei:Bifröst_fluid.webm Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Bifr%C3%B6st_fluid.webm Lizenz: CC BYSA 4.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Maximilian Schönherr • Datei:Big.Buck.Bunny.$-$.Frank.Rinky.Gimera.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Big.Buck. Bunny.$-$.Frank.Rinky.Gimera.png Lizenz: CC BY 3.0 Autoren: Download at 1920*1080 Pixel Ursprünglicher Schöpfer: (c) Blender Foundation I www.bigbuckbunny.org see copyright information on http://www.bigbuckbunny.org/index.php/about/ • Datei:Blender-Version_2.77_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Blender-Version_2.77_ Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.26_Splash-Screen.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Blender_2.26_Splash-Screen. png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.30-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Blender_2.30-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.32-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Blender_2.32-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.34-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Blender_2.34-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.37_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Blender_2.37_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.40-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Blender_2.40-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.42-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Blender_2.42-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation

9.4. TEXT- UND BILDQUELLEN, AUTOREN UND LIZENZEN

• Datei:Blender_2.43-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Blender_2.43-splash.jpg Lizenz: CC BY-SA 2.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.46-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Blender_2.46-splash.jpg Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Blender Foundation - www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.48_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Blender_2.48_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.49-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Blender_2.49-splash.png Lizenz: CCBY-SA-3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Ricvelozo • Datei:Blender_2.57-splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Blender_2.57-splash.jpg Lizenz: GPL Autoren: www.blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Immanuel M. Günther • Datei:Blender_2.58-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Blender_2.58-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Blender University • Datei:Blender_2.59-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Blender_2.59-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-259 Ursprünglicher Schöpfer: Tomket7 • Datei:Blender_2.60-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Blender_2.60-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-260/ Ursprünglicher Schöpfer: Kent Trammell • Datei:Blender_2.61-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Blender_2.61-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-261/ Ursprünglicher Schöpfer: Reynante Martinez • Datei:Blender_2.62-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Blender_2.62-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-262/ Ursprünglicher Schöpfer: Alexey Lugovoy • Datei:Blender_2.63-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Blender_2.63-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-263/ Ursprünglicher Schöpfer: Blender Foundation • Datei:Blender_2.64-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Blender_2.64-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: www.blender.org • Datei:Blender_2.65-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Blender_2.65-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-265/ Ursprünglicher Schöpfer: Logo (c) by the Blender Foundation, illustration by Jordan Schur • Datei:Blender_2.66-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Blender_2.66-splash.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.blender.org/development/release-logs/blender-266/ Ursprünglicher Schöpfer: Logo (c) by the Blender Foundation, illustration by Lucas Falcao • Datei:Blender_2.67-splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Blender_2.67-splash.png Lizenz: GPL Autoren: blender.org Ursprünglicher Schöpfer: Logo (c) by the Blender Foundation, illustration by McLELUN • Datei:Blender_2.68_Splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Blender_2.68_Splash.jpg Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.69_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Blender_2.69_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.70_Splash_.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Blender_2.70_Splash_.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.71_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Blender_2.71_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.72_Splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Blender_2.72_Splash.jpg Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.73_Splash.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Blender_2.73_Splash.jpg Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.75a_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Blender_2.75a_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Blender_2.78b_Splash.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Blender_2.78b_Splash.png Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: https://www.blender.org/wp-content/uploads/2016/09/splash_2x.png?4c87a8 Ursprünglicher Schöpfer: Image by JURI UNT. • Datei:Blender_Logo_official_brightbackground.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/ee/Blender_Logo_official_ brightbackground.svg Lizenz: Logo Autoren: http://www.blender.org/blenderorg/blender-foundation/logo/ Ursprünglicher Schöpfer: unbekannt • Datei:Blender_Sculpting.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Blender_Sculpting.png Lizenz: CC BYSA 4.0 Autoren: Blender (Blender Foundation) Ursprünglicher Schöpfer: Wolfgang Gelbricht • Datei:Catmull-Clark_subdivision_of_a_cube.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Catmull-Clark_ subdivision_of_a_cube.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0 Autoren: ? Ursprünglicher Schöpfer: ? • Datei:Commons-logo.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Lizenz: Public domain Autoren: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions used to be slightly warped.) Ursprünglicher Schöpfer: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.

KAPITEL 9. SUBDIVISION SURFACE

• Datei:Crossbox_-_CG_Architectes.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/Crossbox_-_CG_Architectes. jpg Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: http://www.koma-modular-construction.cz/ Ursprünglicher Schöpfer: KOMA MODULAR CONSTRUCTION s.r.o. • Datei:Disambig-dark.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Disambig-dark.svg Lizenz: CC-BY-SA-3.0 Autoren: Original Commons upload as Logo Begriffsklärung.png by Baumst on 2005-02-15 Ursprünglicher Schöpfer: Stephan Baum • Datei:Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_\char"005E\relax{}_Dreieck_\char"005E\relax{}_Viereck_\char"005E\relax{}_ Vieleck_\char"005E\relax{}_Winkel.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Fotothek_df_tg_0003352_ Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg Lizenz: Public domain Autoren: Deutsche Fotothek Ursprünglicher Schöpfer: ? • Datei:Kochtöpfe_in_Blender-Cycles_gerendert.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/Kocht%C3% B6pfe_in_Blender-Cycles_gerendert.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk (Originaltext: selbst erstellt) Ursprünglicher Schöpfer: ich selbst, Henning111 • Datei:Leg_animation_script_de.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Leg_animation_script_de.svg Lizenz: Public domain Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Vierge Marie • Datei:Lone_House.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/Lone_House.jpg Lizenz: CC-BY-SA-3.0 Autoren: This file was created with Blender. Ursprünglicher Schöpfer: Michael Otto (user Mayqel) • Datei:Maikäfer_Modell.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Maik%C3%A4fer_Modell.jpg Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Dellex • Datei:Metaballs.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Metaballs.png Lizenz: Public domain Autoren: Own Work. Rendered with Bryce 6. Ursprünglicher Schöpfer: GlydeG • Datei:Molecular_simulation_process.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Molecular_simulation_ process.svg Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Danski14 • Datei:NURBS_3-D_surface.gif Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/NURBS_3-D_surface.gif Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Greg A L • Datei:NURBS_surface.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/NURBS_surface.png Lizenz: Public domain Autoren: Selbst erstellt (mit OpenGL) Ursprünglicher Schöpfer: chrschn • Datei:Physics-Fluid-Simulation-Blender.gif Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/ Physics-Fluid-Simulation-Blender.gif Lizenz: CC BY 4.0 Autoren: Eigenes Werk http://fetchcfd.com/view-project/137 Ursprünglicher Schöpfer: Atif Masood (FetchCFD) • Datei:Pi-explosion.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Pi-explosion.jpg Lizenz: CC-BY-SA-3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sameboat • Datei:Polygon_types_de.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/Polygon_types_de.svg Lizenz: CC BY-SA 2.5-2.0-1.0 Autoren: Created from File:Polygon types.svg Ursprünglicher Schöpfer: first version from Salix alba in der Wikipedia auf Englisch, German text from Antonsusi in der Wikipedia auf Deutsch • Datei:Portal.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Portal.svg Lizenz: CC BY 2.5 Autoren: • Portal.svg Ursprünglicher Schöpfer: Portal.svg: Pepetps • Datei:Splash_274.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Splash_274.png Lizenz: GPL Autoren: http://wiki. blender.org/uploads/4/47/Splash_274.png Ursprünglicher Schöpfer: Logo (c) by the Blender Foundation, illustration by Manu Järvinen • Datei:Startup_Blender_2.77a_screenshot.jpg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/01/Startup_Blender_2.77a_ screenshot.jpg Lizenz: CC BY-SA 4.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Wikpan • Datei:Suzanne.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Suzanne.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk (Originaltext: selbst erstellt) Ursprünglicher Schöpfer: Taliclan-ast • Datei:TCB_Splines.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/TCB_Splines.svg Lizenz: Public domain Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Vierge Marie • Datei:Wikibooks-logo.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikibooks-logo.svg Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: User:Bastique, User:Ramac et al. • Datei:Wiktfavicon_en.svg Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Wiktfavicon_en.svg Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: ? Ursprünglicher Schöpfer: ?

9.4.3

Inhaltslizenz

• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0