Hay que tener en cuenta que cuando el enunciado del problema no especifique los números a combinar utilizaremos los dígitos del 0 al 9. Las técnicas de conteo son herramientas que permiten encontrar la cantidad de elementos que tiene el espacio muestral de un experimento aleatorio. Las principales técnicas de conteo son: el principio multiplicativo, las variaciones, las permutaciones y las combinaciones. Las técnicas de conteo se definen teniendo en cuenta dos conceptos importantes: ORDEN: Se dice que una muestra n es ordenada cuando se tiene en cuenta el orden en su selección. REPETICIÓN: Se dice que en una muestra n hay repetición si es posible que algunos elementos de la población se repitan.
Cuando se realizan este tipo de conteos debemos tener en cuenta que: • En cuanto al “orden”: El orden es valor posicional del número en el sistema numérico decimal • En cuanto a la “repetición”: el enunciado del problema indicará si los dígitos pueden repetirse o no. Si en el enunciado aparece por ejemplo la palabra “diferente”, los dígitos no pueden repetirse.
Cuando se realizan este tipo de conteos debemos tener en cuenta que: • En cuanto al criterio “orden”: El orden es importante si no se pueden repetir las letras. • En cuanto al criterio “repetición”: se debe mirar detenidamente el enunciado del problema para observar si las letras pueden o no repetirse. Por ejemplo cuando se van a hacer combinaciones a partir de una palabra que no tiene letras repetidas o porque así lo pida el enunciado del problema. Hay que tener en cuenta que cuando el enunciado del problema no especifique las letras a combinar utilizaremos las letras del alfabeto (27 letras de A a la Z).
“No hay nada tan difícil que, buscándolo, no pueda encontrarse.” —Terencio
6x6x2=72. Con 6 números se pueden formar 72 cifras de 3 dígitos que pueden repetirse y son números pares. 1. SI se permiten repeticiones ¿Cuantos números de 3 dígitos pueden formarse a partir de los números 2,3,5,6,7, y 9?
c. ¿Cuántos terminan en 5?
En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 3 dígitos con los 6 números que me dan (2,3,5,6,7, y 9), sabiendo que estos números los puedo repetir. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas.
El enunciado me indica que la tercera casilla tiene una condición que solo el número 5 puede cumplir; las demás casillas no tienen condición, por lo tanto:
Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 n1 = 6 n2 = 6 n3 = 6 6x6x6= 216. Con 6 números se pueden formar 216 cifras de 3 dígitos que pueden repetirse.
Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 n1 =6 n2 = 6 n3 = 1 6x6x1=36. Con 6 números se pueden formar 36 cifras de 3 dígitos que pueden repetirse y terminan en 5.
a. ¿Cuantos de estos son menores de 400? En este ejercicio existe una condición, y es que los números que forme deben ser menores de 400. Para que un número sea menor de 400 debe ser iniciar por 1, 2 ó 3, pero el 1 no hace parte de los números que me dieron (2,3,5,6,7, y 9) por lo tanto solo quedan el 2 ó el 3. Esto me indica que la primera casilla tiene una condición que solo dos de los números que me dieron la cumplen; las demás casillas no tienen condición, por lo tanto: Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 n1 = 2 n2 = 6 n3 = 6 2x6x6=72. Con 6 números se pueden formar 72 cifras de 3 digitos que pueden repetirse y son menores de 400
2. Un sistema de alarma de seguridad se activa u desactiva introduciendo el código numérico de tres dígitos apropiados en el orden correcto en un tablero digital. Calcule el número total de posibles combinaciones del código si ningún dígito se puede repetir. En este ejercicio no me dieron los números con los cuales puedo formar el código numérico, por lo tanto utilizo los 10 dìgitos del sistema decimal que en total son 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), sabiendo que estos números NO pueden repetirse. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 n1 = 10 n2 = 9 n3 = 8 10x9x8= 720. Con los 10 dígitos del sistema decimal se pueden formar 720 códigos que no repiten dígitos.
b. ¿Cuántos son números pares? Para que un número sea par debe terminar en 0,2,4,6,8. De los números que me dieron (2,3,5,6,7, y 9) solo el 2 ó el 6 son pares. Esto me indica que la tercera casilla tiene una condición que solo dos de los números que me dieron la cumplen; las demás casillas no tienen condición, por lo tanto: Dígito 1 n1 = 6
Dígito 2 n2 = 6
Dígito 3 n3 = 2
3. Si no se permiten repeticiones ¿Cuantos números de tres dígitos pueden formarse a partir de los números 2,3,5,6,7 y 9? En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 3 dígitos con los 6 números que me dan (2,3,5,6,7, y 9), sabiendo que estos números NO pueden repetirse. Por lo tanto utilizo un diagrama con tres casillas
Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 n1 = 6 n2 = 5 n3 = 4 6x5x4=120. Con 6 números se pueden formar 120 cifras de 3 dígitos que no pueden repetirse. 4.
¿Cuántos números de 4 dígitos diferentes pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6 tal que sean múltiplos de 5 y menores que 3000?
En este ejercicio me están pidiendo que forme números de 4 dígitos con los 7 números que me dan (0,1,2,3,4,5,6), sabiendo que estos números NO pueden repetirse (porque en el enunciado aparece la palabra “diferente” y eso me indica que no puedo repetir números). En este ejercicio existe dos condiciones: Primera condición: los números que forme deben ser múltiplos de 5. Para que un número sea múltiplo de 5 debe terminar en 5 o en 0. Estos dos números se encuentran entre los dígitos que me dieron y son los números que van en la última casilla. Segunda condición: los números que forme deben ser menores que 3000. Para que un número sea menor que 3000 debe empezar por 0, 1, ó 2. Como vemos el 0 hace parte de las dos condiciones, lo que obliga a partir el problema en dos partes ya que si ponemos el 0 en el primer digito ya no puede ser usado para el cuarto digito y como ambas situaciones deben tenerse en cuenta procedamos de la siguiente forma. Primera parte: en el digito 1 se tendrán en cuenta las opciones: 0-1-2. Para el digito 4 solo queda disponible el 5. Recordemos que las casillas 2 y 3 no tienen ninguna condición, pero como en este ejercicio no se pueden repetir dígitos debo tener en cuenta que por cada casilla que ya ha sido ocupada con una condición, yo debo descontar un dígito. Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 Digito 4 n1 = 3 n2 = 5 n3 = 4 n4 = 1 3x5x4x1=60. Con 7 dígitos se pueden formar 60 números de 4 dígitos diferentes que empiecen en 0 ó 1 ó 2 y terminen en 5 Segunda parte: para el digito 1 se tendrán en cuenta las opciones: 1-2. Para el digito 4 se tendrán en cuenta las opciones 0-5.
Dígito 1 Dígito 2 Dígito 3 Digito 4 n1 = 2 n2 = 5 n3 = 4 n4 = 2 2x5x4x2=80. Con 7 dígitos se pueden formar 80 números de 4 dígitos diferentes que empiecen en 1 ó 2 y termine en 0 ó 5 Entonces el total de posibilidades es 60 + 80 = 140. Con 7 dígitos se pueden formar 140 números de 4 dígitos diferentes que sean múltiplos de 5 y sean menores que 3000
5. Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con la letras de la palabra CRISTAL Si no hay restricciones Cuando me dicen que el ejercicio no tiene restricciones, es que no tiene condiciones en ninguna casilla y que puedo utilizar todas las letras de la palabra CRISTAL, las cuales son 7. Como vemos la palabra CRISTAL no tienen ninguna letra repetida, por lo tanto utilizo un diagrama de 4 casillas asi: letra 1 letra 2 letra 3 letra 4 n1 = 7 n2 =6 n3 =5 n4 =4 7x6x5x4=840. Con las 7 letras de la palabra CRSTAL se pueden formar 840 palabras de 4 letras. (estas palabras pueden ser con o sin sentido) ¿Cuántas contienen solo consonantes? En este ejercicio me están pidiendo que forme palabras de 4 letras utilizando solo las consonantes de la palabra CRISTAL. La palabra CRISTAL tiene 5 consonantes las cuales no se repiten, por lo tanto utilizo un diagrama de 4 casillas así: letra 1 letra 2 letra 3 letra 4 n1 = 5 n2 =4 n3 =3 n4 =2 5x4x3x2=120. Con las letras de la palabra CRISTAL se pueden hacer 120 palabras utilizando solo consonantes.