Razones y proporciones (parte 2) by Patricio Figueroa

Razones y Proporciones Segunda Parte

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

Proporción Discontinua Es aquella en que todos sus términos son distintos. a c



,a  b  c  d

A cada término se le llama Cuarta Proporcional Geométrica (4ta P.G.) Ejemplo: ¿Cuál es la 4ta P.G. entre 2, 8 y 12? Varias soluciones: x entre 2, 8 y 12 x 8 16 4 



x



2 12 12 3 2 8 24   x 3 x 12 8 8 2 96   x  48 x 12 2

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Proporción Continua Es aquella en que sus términos medios son iguales.

a b  b c Cada término extremo se llama Tercera Proporcional Geométrica (3ra P.G.) b2 a es 3ra P.G. entre b y c, luego

a

c 2 b c es 3ra P.G. entre a y b, luego c  a Ejemplo: Determinar la 3ra P.G. entre 4 y 10.

x 4 16 8  x  4 10 10 5 x 10 100  x  25 10 4 4

Hay dos soluciones porque no se especificó el orden de los términos.

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En una Proporción Continua al termino que se repite o es igual se le Media Proporcional Geométrica (M.P.G.)

a b  b c b es la M.P.G. entre a y c

 b2  a  c  b 

Ejemplo: Determinar la M.P.G entre 4 y 16

4 b   b 2  4 16  b  b 16

64  8

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ac

Serie de razones a Se llama razón a c Se llama proporción  b b d a c e    ... Se llama serie de razones b d f a c e Una serie de razones se puede escribir como    a:c:e  b:d : f b d f a c e a c e Además, si    k   k,  k,  k b d f b d f En una serie de razones la suma de sus antecedentes es a la suma de sus consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

a c e ace a c e    a:c:e  b:d : f     k b d f bd  f b d f Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

Magnitudes Directamente Proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas cierto número de veces, la otra aumenta ese mismo número de veces. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al disminuir una de ellas cierto número de veces, la otra disminuye ese mismo número de veces. Ejemplo 1: Una máquina fabrica 400 clavos en 5 horas, ¿cuántos clavos fabrica en 10 horas? “A doble N° de horas se fabrican el doble N° de clavos” “A triple N° de horas se fabrican el triple de clavos” “A mitad de N° de horas se fabrican la mitad de clavos” Después de este razonamiento podemos decir que son magnitudes directamente proporcionales. 5 400 4000 5 horas  400 clavos  x  800 10 horas  x clavos 10 x 5 Por lo tanto en 10 horas se fabrican 800 clavos. Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

Horas

2,5

Clavos

200

400

800

1200

1600

1800

En las magnitudes Directamente Proporcionales se cumple que la representación gráfica es una recta que pasa por el origen y la razón de las magnitudes es igual a una constante, en este caso 80

1600 1400 1200 1000 800

600 400 200 0 0

200 400 800 1600  80 ,  80 ,  80 ,  80 2,5 5 10 20 Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

Ejemplo 2: Una dueña de casa compra un kilo de pan y paga $600. Ella sabe que debe pagar el doble de $600 si compra dos kilogramos, el triple de $600 por tres kilos y si compra medio kilo la mitad de $600. por 1 kg. Paga $600 

por 2 kg. Paga $1.200  por 3 kg. Paga $1.600  1 2

1750 1650 600 1550  600 1450 1 1350 1250 1200 1150  600 1050 2 950 850 1800  600 750 3 650 550 300 2  300   600 450 1 1 350 250 2 150

Por kg. Paga $1.600  1 Por 4

kg. Paga $1.600 

150 4  150   600 1 1 4

3, 1800

2, 1200

1, 600 0,5, 300

0,25, 150 0,25 0,5 0,75

1,25 1,5 1,75

En las magnitudes Directamente Proporcionales se cumple que la representación gráfica es una recta que pasa por el origen y la razón de las magnitudes es igual a una constante, en este caso 600 Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

2,25 2,5 2,75

Ejemplo 3: El área de un cuadrado de lado 10 cm es 100 cm2. ¿Cuánto vale el área de un cuadrado de lado 20 cm? 40000

200, 40000

35000

100  10 Si el lado es 10 cm el área es 100  10 400 2 Si el lado es 20 cm el área es 400 cm  20  20

30000

900 Si el lado es 30 cm el área es 900 cm2  30  30

10000

cm2

25000

150, 22500

20000 15000 100, 10000

5000 50, 2500 10, 100

0 10

110

160

Ojo: A pesar de que ambas magnitudes aumentan NO son directamente proporcionales. ¿Por Qué? 1. No hay constante de proporcionalidad. 2. La representación gráfica no es una recta. 3. Cuando una magnitud aumenta la otra aumenta en forma exponencial y no en el mismo número de veces. Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

210

Ejemplo 4: Un automóvil gasta 8 litros de bencina cada 100 kilómetros recorridos. Si quedan 7 litros en el estanque, ¿cuántos kilómetros recorrerá sin rellenar? Solución ejemplo 4

Ejemplo 5: Un litro de leche rinde, por término medio, 15 centésimos de crema y 25 centésimos de mantequilla. a) ¿Cuántos litros de crema se obtienen con 40 litros de leche? b) ¿Cuántos kilos de mantequilla se obtienen con 80 litros de leche? Solución ejemplo 5

Ejemplo 6: Las ruedas de un automóvil dan 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas darán en 24 horas y 24 minutos? Solución ejemplo 6

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Ejemplo 7: Un avión en 90 minutos recorre 1200 km. Si mantiene constante su rapidez, ¿cuántos kilómetros recorre en 45 minutos? ¿en 50 minutos? ¿en 7 horas? Solución ejemplo 7

Ejemplo 8: Un grupo de 12 estudiantes va de paseo y llevan 24 bebidas. Si cada estudiante consume la misma cantidad, ¿cuántas bebidas deberían llevar si se suman al paseo otros 15 estudiantes? Solución ejemplo 8

Ejemplo 9: La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo (tiene un ángulo de 90°) los otros dos están a la razón 1:2, ¿cuánto miden estos ángulos? Solución ejemplo 9

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Ejemplo 10: Juan, Luisa y María tenían, respectivamente $500, $300 y $200. Compraron un número de rifa que costó $1000 y ganaron un premio de $50.000. ¿Cómo deben repartirse el premio? Solución ejemplo 10

Ejemplo 11: La medida de los ángulos de un triángulo son entre sí como 1:2:3 ¿cuánto mide cada ángulo? Solución ejemplo 11 Ejemplo 12: La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12,5 partes de azufre y 12,5 partes de carbón. ¿Qué peso de cada uno de estos componentes se necesita para obtener 790 kg de pólvora? Solución ejemplo 12 Ejemplo 13: Un rollo de alambre de 1.200 metros se quiere dividir en tres partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte? Solución ejemplo 13

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Magnitudes Inversamente Proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas cierto número de veces, la otra disminuye ese mismo número de veces. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al disminuir una de ellas cierto número de veces, la otra aumenta ese mismo número de veces. Ejemplo 1: Tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo. ¿Cuántos días demorarán 18 hombres para hacer el mismo trabajo? “3 hombres demoran 24 horas  3*24=72” “1 hombre demora 72 horas  1*72=72” “6 hombres demoran 12 horas  6*12=72” “12 hombres demoran 6 horas  12*6=72” Después de este razonamiento podemos decir que son magnitudes inversamente proporcionales. 3 hombres  24 días 3 x 72  x 4 18 hombres  x días 18 24 18 Se invierte la razón por que la proporción es inversamente proporcional

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80 1, 72

70 60 50 40 30

3, 24 20 6, 12

10, 7,2

12, 6

15, 4,8

0 0

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales su producto es constante: En este caso 72.

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Solución Ejemplo 4: Un automóvil gasta 8 litros de bencina cada 100 kilómetros recorridos. Si quedan 7 litros en el estanque, ¿cuántos kilómetros recorrerá sin rellenar? Analizando: Con 8 l recorre 100 k 

100  12,5 8

Con 16 l recorre 200 k  Con 4 l recorre 50 k 

200  12,5 16

Existe una constante de proporcionalidad, 12,5; por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales.

50  12,5 4

8l  100k

 8 100 7 100 x  87,5k   7l  xl  12,5 7 x 8 Volver Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

Solución Ejemplo 5 Un litro de leche rinde, por término medio, 15 centésimos de crema y 25 centésimos de mantequilla. a) ¿Cuántos litros de crema se obtienen con 40 litros de leche? b) ¿Cuántos kilos de mantequilla se obtienen con 80 litros de leche? a) Después de un análisis descubrimos que son magnitudes directamente proporcionales, ya que, si con un litro de leche se obtiene 15/100 de crema con 2 litros se obtendrían 30/100.

15 15  1 1 100 40 15   x  6l 100   40 x 100 40  x   b)

25 25  1 1 100 80  25   x  20k 100   80 x 100 80  x  

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Solución Ejemplo 6 Las ruedas de un automóvil dan 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas darán en 24 horas y 24 minutos? Analizando, obviamente son magnitudes directamente proporcionales. Ya que, si en 9 minutos dan 4.590 vueltas en 18 minutos darán el doble. Primero transformamos las horas a minutos: 24  60  1440 min  24 min  1464 min

4590  9 4590 9 1464  4590    x   746640vueltas  x  1464 x 1464 9

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Solución Ejemplo 7 Un avión en 90 minutos recorre 1200 km. Si mantiene constante su rapidez, ¿cuántos kilómetros recorre en 45 minutos? ¿en 50 minutos? ¿en 7 horas? Verificamos que son magnitudes directamente proporcionales, ya que, si el avión recorre 1200 km en 90 min en 180 min recorrerán el doble de kilómetros. Si en 90 recorre 1200 kilómetros en 45 minutos recorre la mitad, es decir, 600 kilómetros.

90  1200 90 1200 1200  50    x   666, 6kilómetros  50  x 50 x 90  Primero, transformamos el tiempo en minutos: 7*60=420 minutos 90  1200 90 1200 420 1200    x   5600kilómetros  420  x  420 x 90

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Solución Ejemplo 8 Un grupo de 12 estudiantes va de paseo y llevan 24 bebidas. Si cada estudiante consume la misma cantidad, ¿cuántas bebidas deberían llevar si se suman al paseo otros 15 estudiantes? Verificamos que son magnitudes directamente proporcionales.

12  24 12 24 24  27    x   54bebidas  27  x  27 x 12

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Solución Ejemplo 9 La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo (tiene un ángulo de 90°) los otros dos están a la razón 1:2, ¿cuánto miden estos ángulos?

1   2      180  90  90

1: 2   :  

1 2    3 90 2  90       60 2  2  3 1      30 2 60

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Solución Ejemplo 10 Juan, Luisa y María tenían, respectivamente $500, $300 y $200. Compraron un número de rifa que costó $1000 y ganaron un premio de $50.000. ¿Cómo deben repartirse el premio? Los premios deben ser directamente proporcionales a la cantidad de dinero que aporto cada uno, por lo tanto, existe una constante de proporcionalidad. •Si Juan aporto $500 debe recibir $500*k •Si Luisa aporto $300 debe recibir $300*k •Si María aporto $200 debe recibir $200*k 500  k  300  k  200  k  50000

50000 1000  k  50000  k   50 1000 Juan recibe 500  50  $25.000 Luisa recibe 300  50  $15.000 María recibe 200  50  $10.000

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Solución Ejemplo 11 La medida de los ángulos de un triángulo son entre sí como 1:2:3 ¿cuánto mide cada ángulo? Son directamente proporcionales.

1 : 2 : 3   :  :         180      180   30 1 2  3 6







 30    30,  30    60  30    90

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Solución Ejemplo 12 La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12,5 partes de azufre y 12,5 partes de carbón. ¿Qué peso de cada uno de estos componentes se necesita para obtener 790 kg de pólvora?

Existe una constante de proporcionalidad para que las magnitudes sean directamente proporcionales, la llamaremos p.

75  p  12,5  p  12,5  p  790 790 100  p  790  p   7,9 100 Salitre  75  7,9  592,5 Kg Carbón  12,5  7,9  98,75Kg Azúf re  12,5  7,9  98,75Kg

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Solución Ejemplo 13 Un rollo de alambre de 1.200 metros se quiere dividir en tres partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte? Por definición del problema son magnitudes directamente proporcionales.

a b c a :b : c  2:3:5    2 3 5 a  b  c 1200   120 235 10 a  120  a  240m 2 b  120  b  360m 3 c  120  c  600m 5

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