Apˆ endice A Distribui¸c˜ ao de Boltzmann da energia A Mecˆ anica Estat´ıstica ´e uma a´rea da F´ısica que utiliza m´etodos estat´ısticos em uma teoria cin´etica para a´tomos e mol´eculas a fim de explicar propriedades macrosc´opicas da mat´eria. Por exemplo, ´e um teorema da Mecˆanica Estat´ıstica que o valor m´edio da energia cin´etica das mol´eculas de um g´as a temperatura T ´e 21 kB T (para cada grau de liberdade)1 . Um exemplo vai nos conduzir a um dos mais importantes resultados da f´ısica, conhecido como distribui¸ca ˜o de Boltzmann, que relaciona a Termodinˆamica com a Mecˆanica Estat´ıstica: Nos concentremos na distribui¸ca˜o das mol´eculas na nossa atmosfera, desconsideremos os ventos e suponhamos que ela est´a em equil´ıbrio t´ermico a temperatura T . Se N ´e o n´ umero total de mol´eculas em um volume V do g´as a press˜ao P , ent˜ao P V = N RT , ou P = nkB T , onde n = N/V ´e o n´ umero de mol´eculas por unidade de volume. Como a temperatura ´e constante, a press˜ao ser´a proporcional a` densidade. Vamos agora buscar a varia¸ca˜o de densidade em fun¸ca˜o da altitude na atmosfera. Se tomamos uma unidade de a´rea a uma altura h, ent˜ao a for¸ca vertical sobre a a´rea ´e a press˜ao P . Como o sistema est´a em equil´ıbrio, as for¸cas sobre as mol´eculas devem ser balanceadas, ou seja, a for¸ca resultante sobre cada uma deve ser nula, ent˜ao se tomamos uma camada de espessura h + dh, a press˜ao exercida na a´rea inferior da camada deve exceder a press˜ao sobre a a´rea de cima da camada de forma a balancear com o peso (a Fig. 62 ilustra a situa¸ca˜o). 1
T em Kelvin, kB = 1, 38 × 10−23 J/K ´e a constante de Boltzmann.
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