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Claudio Narduzzi
Cifre significative: dall’incertezza all’informazione Ovvero: come “buon senso” e teoria possono andare d’accordo
SIGNIFICANT DIGITS: FROM UNCERTAINTY TO INFORMATION (AND BACK) When a measurement result is reported, the number of “signifcant” digits is taken as an implicit indication that the associated uncertainty interval is narrower or at most comparable to the least significant digit. Easily motivated by plain common sense, this criterion appears as heuristic, needing no rigorous treatment. On the contrary, this note discusses links to information theory that show potential for development of the uncertainty concept within a coherent and rigorous framework. RIASSUNTO Il numero di cifre significative in un risultato di misura è un’indicazione implicita che l’intervallo d’incertezza stimato è inferiore o al più confrontabile con la cifra meno significativa. Facilmente motivabile “a buon senso”, il criterio sembra rientrare tra le euristiche che non richiedono giustificazioni rigorose. Al contrario, questa nota propone un collegamento alla teoria dell’informazione, che può preludere a estensioni del concetto d’incertezza in un quadro coerente e rigoroso. CIFRE SIGNIFICATIVE NELLE MISURE
Il numero di cifre significative in un risultato di misura può essere considerato un’indicazione implicita che l’intervallo d’incertezza stimato è inferiore, o al più confrontabile con il peso della cifra meno significativa ([1], 2.9, Nota 2). Si consideri come esempio un voltmetro “a 6 cifre” con fondo scala di ±10 V: nell’indicazione dello strumento il peso della cifra decimale meno significativa (least significant digit, LSD) è Δx = 10 [V] x 10-6 = 10-5 V = 10 μV. L’incertezza è solitamente valutata come semiampiezza Ux di un intervallo, attraverso un’espressione del tipo ±Ux = ±(k1·|xM| + k2), dove xM è l’indicazione fornita, k1 e k2 sono valori tabulati nel manuale d’uso dello strumento. Si supponga che sia: xM = 2,73586 V, k1 = 0.001% e k2 = 20 μV: in tal caso Ux = 47 μV e l’estensione dell’intervallo d’incertezza (arrotondata a una sola cifra decimale) è 2Ux ~ =10-4 V = 0,1 mV, più ampia di un ordine di grandezza rispetto a Δx. Dunque, l’indicazione dello strumento è in grado di variare a passi di 10 μV, che
corrispondono a una rappresentazione del risultato su 6 cifre, ma la minima variazione interpretabile come differenza tra due grandezze di valore diverso è 0,1 mV, che corrisponde a una rappresentazione del risultato su 5 cifre. Come si vede, è opportuno chiarire una possibile ambiguità nell’uso dei termini. Negli strumenti di misura come i multimetri digitali, il “numero di cifre” dichiarato indica soltanto la risoluzione dello strumento, mentre l’intervallo d’incertezza viene determinato sulla base dei dati sperimentali e di un’espressione matematica fornita dai manuali d’uso. L’interesse di chi utilizza il risultato di una misurazione è rivolto soprattutto a questo secondo intervallo, considerando il quale si può, ad esempio, stabilire se due valori misurati siano compatibili oppure no. In termini meno precisi ma più immediati, si può affermare che la capacità di differenziare effettivamente due quantità dipende dall’incertezza, più che dalla risoluzione. Il numero di cifre significative è quindi determinato in base al criterio di garantire implicitamente la distinguibilità accentuando, ove necessario, la di-
scretizzazione dei valori numerici rispetto a quanto la pura e semplice risoluzione offerta dalla strumentazione consentirebbe. Nell’esempio l’uso di 5 cifre decimali, più il segno, permette di rappresentare in totale non più di 200.000 differenti valori di quantità, che si possono considerare come “stati distinguibili” del misurando. Il criterio per la scelta del “numero significativo” di cifre in base all’incertezza, facilmente motivato con il “buon senso”, sembra rientrare tra euristiche che sfuggono a giustificazioni più rigorose. Questa nota mostra come, al contrario, lo si possa riferire a nozioni base della teoria dell’informazione, cosa che permette di estendere e formalizzare con maggiore generalità il concetto d’incertezza. INCERTEZZA E INFORMAZIONE
Questa analisi non ha come oggetto il risultato di una singola misurazione, ma l’insieme dei possibili risultati che un sistema di misura può generare, ossia valori compatibili con il suo campo d’ingresso. Questo insieme è pertanto descritto da una variabile aleatoria (v.a.) x, a cui è associata una densità di probabilità (pdf) fx(a). Per i risultati di misura si fa riferimento al semplice modello additivo: y=x+u dove una seconda v.a. u, con pdf fu(a), descrive la dispersione dovuta all’incertezza. Il legame con la teoria dell’informazione è dato dall’interpretazione della misurazione come “processo di produzione d’informazione”, al quale si può facilmente adattare il classico modello di Shannon [2], riportato in Fig. 1. L’incertezza u limita la capacità di diUniversità di Padova claudio.narduzzi@unipd.it
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