МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 20.05.2016 г. – Вариант 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое от числата е по-голямо от 4? А) 16
1 4
Б) 3 2
2. Стойността на израза А) 4 2
1 В) 2
1 2 2
Б) 2 2
3. Допустимите стойности на израза А) x 2
2 1
2
1 2
Г) 2 3
е:
В) 4 2
Г) 2 3 2
x2 9 x 2 са: x 3 x2 4 В) x 2
Б) x 2, x 3
Г) x 2, x 3
4. Решенията на уравнението x 3x 1 3x 1 са: А) 1
В)
Б) – 1 и 1
1 и1 3
Г) – 1 и
1 3
5. Ако a log3 36 log 2 2 log5 1, то стойността на израза a log5 25 е равна на: А) 25
Б) 5
В) 2
Г) 1
6. Решенията на уравнението 5x2 4 x 4 са: А) 1; 4
В) 2
Б) 1; 2
1
Г) 1 ; 2
1 7. Ако x1 и x2 са реалните корени на уравнението x x 2 2 , то стойността на 5
израза
1 1 е равна на: x1 x2
1 10
Б)
А)
1 2
В)
1 10
Г)
5 2
8. Коя от посочените системи няма решение в множеството на реалните числа? А)
x2 y 2 4 y3
Б)
xy 2 yx
В)
y x2 y x 1
Г)
xy 2 x5
B
9. На чертежа правите a и b са успоредни, OA 8,
CD 16 и OC : AB 8:9 . Дължината на отсечката ОВ е: А) 12
Б) 56 3
Г) 80 3
В) 20
10. Дължините на катетите на правоъгълен
8
A C
O
a
16
D b
ABC ACB 90 са 3 и 4. Ако
вписаната в триъгълника окръжност се допира до страната AB в точка М, то
AM . MB е равно на: А) 0,5
Б) 2
В) 3
Г) 6
11. Координатите на върха на параболата y 2 x 2 4 x 1 са: А) (1;1)
Б) (– 1;1)
В) (– 1; – 7)
12. Последният член на редицата с общ член an n n 7 , n
Г) (1; – 1)
, е 60. Броят n на
членовете на тази редица e: А) 5
Б) 12
В) 17
Г) 60
13. За растяща геометрична прогресия с първи член, равен на 1, е известно, че
a1 a5 5 . Частното q на тази прогресия е равно на: А) 2
Б)
В) 2
2
2
Г) 4
14. Стойността на израза sin150 cos 240 tg 45 е: А) 2
В)
Б) 0
1 2
Г) – 1
15. На диаграмата е дадено процентното разпределение на оценките на ученици в края на първия и в края на втория срок. Броят на учениците и през двата срока е 150. Колко ученици повече са получили оценка „много добър (5)“ в края на втория срок в сравнение с първия учебен срок?
А) 15
Б) 10
В) 6
Г) 4
16. Броят на четните четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат само с цифрите 1, 2, 4 и 8, е: А) 4
17. За
Б) 12
В) 18
ABC AC 3 cm , BC 3 2 cm и
BAC е два пъти по-голям от
Дължината на радиуса на описаната окръжност около А) 1,5 cm
Б)
3 2 cm 4
Г) 24
В)
3 2 cm 2
ABC .
ABC е: Г) 3 2 cm
18. В триъгълник с ъгъл 120 дължината на най-голямата страна е 7, а разликата на другите две страни е 2. Намерете дължината най-малката страна на триъгълника. А) 3
Б) 4
В) 5 3
Г) 7
19. Страните AB и AD на успоредника ABCD имат съответно дължини 3 cm и 5 cm. Диагоналът BD 4 2 cm . Дължината на другия диагонал на успоредника e: Б) 6 cm
А) 4 2 cm
В) 2 13 cm
20. В правоъгълен трапец АВCD с
Г) 12 cm
BAD 90 е вписана
C
D
окръжност с радиус r 4 . Ако sin ABC 0,8 , то лицето на трапеца е равно на: А) 36
Б) 72
4
Г) 144
В) 72 2
A
B
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
21. Намерете стойността на израза
22. Решете неравенството x3
sin .cos , ако tg 4 . sin 2 cos 2
81 . x
2x
2x
1 1 23. Запишете числото х, за което е изпълнено равенството 5 7 6 . 2 2
24. През последните няколко последователни вечери на месец април температурите, измерени в градуси, са били следните 2; 3; 2; 4; 17; 16; 17; 17; 14; 14; 15. Намерете стойността на израза 2P+M +S , където P е медианата, M е модата, а S е средната стойност на статистическия ред. 25. Намерете лицето на остроъгълен
ABC със страни AB 8 cm , BC 7 cm и
BAC 60 . Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
26. Да се реши уравнението:
16 x x 1 5 . x 1 16 x 2
4
27. Три числа, чийто сбор е 21, са последователни членове на растяща геометрична прогресия. Ако първото число не се промени, към второто число се прибави 1, а от третото се извади 1, ще се получат първите три члена на крайна аритметична прогресия, чиято сума е 55. Намерете броя на членовете на получената аритметична прогресия. 28. Около четириъгълника ABCD е описана окръжност. Страните BC и CD са съответно 8 cm и 4 cm , а диагоналът BD е 4 7 cm . Ако в четириъгълника може да се впише окръжност, намерете лицето на четириъгълника, радиуса на описаната окръжност и радиуса на вписаната окръжност.
5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Формули на Виет:
−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x
m n
при k ∈ ℕ n k
a = nk a
a log a b = b
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 1
Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
Формула за сложна лихва:
p K n = K .q = K .1 + 100
Sn =
n
n
Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2
Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1
r=
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c
a 2 = a1c tg α =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
mc 2 =
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
a b
b 2 = b1c cotg α =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
Формула за ъглополовяща:
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице Триъгълник:
1 S = chc 2 S = pr
Успоредник:
S = aha
1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R
S=
S = ab sin α
p ( p − a )( p − b)( p − c )
S=
Трапец:
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
b a
1 0
−α − sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α
α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2
sin α − sin β = 2sin
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 20 май 2016 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос №
Верен отговор
Брой точки
1
Б
2
2
Г
2
3
Г
2
4
В
2
5
A
2
6
Г
2
7
А
2
8
А
2
9
В
2
10
Г
2
11
А
3
12
Б
3
13
Б
3
14
Б
3
15
А
3
16
В
3
17
В
3
18
А
3
19
Б
3
20
Б
3
21
4 15
4
22
x 3;0 3;
4
1
23
x
4
1 2
24
56 P 14, M 17, S 11
4
25
10 3 cm2
4
26
1 1 x1 , x2 3 63
10
27
5
10
28
S ABCD = 32 3 cm2 , r 2 3 cm ,
10
R
4 21 cm 3
Въпроси с решения 26. Решение и критерии за оценяване. 1. Полагане
16 x t , t 0 (2 точки). x 1
1 5 2. Получаване на уравнението t (1 точка). t 2
3. Намиране на t1 2, t2
1 (1 точка). 2
4. Решаване на уравнението
16 x 1 2 и получаване на x1 (2 точки) . x 1 3
5. Решаване на уравнението
16 x 1 1 и получаване на x2 (2 точки). x 1 2 63
6. Установяване, че x1 и x2 са решения – чрез проверка или определяне на допустими стойности. (2 точки) II начин. Повдигане на квадрат и получаване на уравнението
16 x x 1 17 (2 x 1 16 x 4
точки), като x 0, x 1 (1 точка). Освобождаване от знаменател и получаване на уравнението 189 x2 66 x 1 0 (3 точки). 1 1 Намиране на корените на уравнението x1 , x2 (2 точки). 3 63
2
Установяване, че x1 и x2 са решения – чрез проверка или определяне на допустими стойности. (2 точки) 27. Решение и критерии за оценяване. Определяне на геометричната прогресия а1 , а1q, а1q 2 Определяне на аритметичната прогресия а1 , а1q 1, а1q 2 1
а1 а1q 1 а1q 2 21 2 а1q 1 а1 а1q 1 2
а1 1 q q 2 21 а1 2q 1 q
2
3
а1 1 q q 2
а1 2q 1 q
2
21 3
1 q q2 7 DCq q 1 6q 2 15q 6 0 2q 2 5q 2 0 2q 1 q 2 53 1 q1 2 q1 4 2
q1,2
Геометричната прогресия е растяща q 2 и a1 3 . Геометричната прогресия е 3, 6, 12, аритметичната прогресия е 3, 7, 11. За
аритметичната
прогресия
a1 3, d 4, Sn 55
Sn
и
2a1 n 1 d , 2
2.3 n 1 4 1 21 n , 4n2 2n 110 0 , 2n2 n 55 0 , n1,2 , n1 5 2 4 11 n2 . Тогава броят на членовете на аритметичната прогресия е n 5 . 2
55
и
Критерии за оценяване: 1. Означаване на членовете на аритметичната и геометричната прогресия – 1 точка 2. Съставяне на системата – 2 точки. 3. Решаване на системата и определяне на частното – 4 точки. 4. Определяне на членовете на аритметичната прогресия – 1 точка. 5. Съставяне на уравнение за определяне на броя на членовете и определяне на броя им– 2 точки. 28. Решение и критерии за оценяване. Прилагане на косинусова теорема за BCD и определяне на
BCD 120 (2 точки).
Използване на свойството на страните на описания четириъгълник и определяне зависимостта AD x, x 0, AB x 4 (1 точка). За срещуположните ъгли на вписания четириъгълник
3
A 60 (1 точка).
След косинусова теорема за
ABD и решаване на квадратното уравнение
x2 4 x 96 0 , x1 8 и x2 12 и извод, че само x1 8 е решение (2 точки).
Намиране S
ABCD
на
лицето
на
четириъгълника
S ABCD S
ABD
S
BCD
1 1 2 .4.8.sin120 .8.12.sin 60 ; S ABCD = 32 3 cm (2 точки). 2 2
Определяне на радиуса на вписаната окръжност от S p.r , r 2 3 cm (1 точка). Определяне на радиуса на описаната окръжност чрез синусова теорема за откъдето 2 R
4 7 4 21 cm (1 точка). и R sin 60 3
4
ABD ,