Zdzi math 20052016

Page 1

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 20.05.2016 г. – Вариант 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое от числата е по-голямо от 4? А) 16

1 4

Б) 3 2

2. Стойността на израза А) 4  2

1 В)   2

1  2    2

Б) 2  2

3. Допустимите стойности на израза А) x  2

2 1

2

1 2

Г) 2 3

е:

В) 4  2

Г) 2  3 2

x2  9 x  2  са: x  3 x2  4 В) x  2

Б) x  2, x  3

Г) x  2, x  3

4. Решенията на уравнението x  3x  1  3x  1 са: А) 1

В) 

Б) – 1 и 1

1 и1 3

Г) – 1 и

1 3

5. Ако a  log3 36  log 2 2  log5 1, то стойността на израза a log5 25 е равна на: А) 25

Б) 5

В) 2

Г) 1

6. Решенията на уравнението 5x2  4  x 4 са: А) 1; 4

В)  2

Б) 1; 2

1

Г)  1 ;  2


1 7. Ако x1 и x2 са реалните корени на уравнението  x  x 2  2 , то стойността на 5

израза

1 1  е равна на: x1 x2

1 10

Б) 

А) 

1 2

В)

1 10

Г)

5 2

8. Коя от посочените системи няма решение в множеството на реалните числа? А)

x2  y 2  4 y3

Б)

xy  2 yx

В)

y  x2 y  x 1

Г)

xy  2 x5

B

9. На чертежа правите a и b са успоредни, OA  8,

CD  16 и OC : AB  8:9 . Дължината на отсечката ОВ е: А) 12

Б) 56 3

Г) 80 3

В) 20

10. Дължините на катетите на правоъгълен

8

A C

O

a

16

D b

ABC  ACB  90 са 3 и 4. Ако

вписаната в триъгълника окръжност се допира до страната AB в точка М, то

AM . MB е равно на: А) 0,5

Б) 2

В) 3

Г) 6

11. Координатите на върха на параболата y  2 x 2  4 x  1 са: А) (1;1)

Б) (– 1;1)

В) (– 1; – 7)

12. Последният член на редицата с общ член an  n  n  7  , n 

Г) (1; – 1)

, е 60. Броят n на

членовете на тази редица e: А) 5

Б) 12

В) 17

Г) 60

13. За растяща геометрична прогресия с първи член, равен на 1, е известно, че

a1  a5  5 . Частното q на тази прогресия е равно на: А) 2

Б)

В)  2

2

2

Г)  4


14. Стойността на израза sin150  cos 240  tg  45  е: А) 2

В) 

Б) 0

1 2

Г) – 1

15. На диаграмата е дадено процентното разпределение на оценките на ученици в края на първия и в края на втория срок. Броят на учениците и през двата срока е 150. Колко ученици повече са получили оценка „много добър (5)“ в края на втория срок в сравнение с първия учебен срок?

А) 15

Б) 10

В) 6

Г) 4

16. Броят на четните четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат само с цифрите 1, 2, 4 и 8, е: А) 4

17. За

Б) 12

В) 18

ABC AC  3 cm , BC  3 2 cm и

BAC е два пъти по-голям от

Дължината на радиуса на описаната окръжност около А) 1,5 cm

Б)

3 2 cm 4

Г) 24

В)

3 2 cm 2

ABC .

ABC е: Г) 3 2 cm

18. В триъгълник с ъгъл 120 дължината на най-голямата страна е 7, а разликата на другите две страни е 2. Намерете дължината най-малката страна на триъгълника. А) 3

Б) 4

В) 5 3

Г) 7


19. Страните AB и AD на успоредника ABCD имат съответно дължини 3 cm и 5 cm. Диагоналът BD  4 2 cm . Дължината на другия диагонал на успоредника e: Б) 6 cm

А) 4 2 cm

В) 2 13 cm

20. В правоъгълен трапец АВCD с

Г) 12 cm

BAD  90 е вписана

C

D

окръжност с радиус r  4 . Ако sin ABC  0,8 , то лицето на трапеца е равно на: А) 36

Б) 72

4

Г) 144

В) 72 2

A

B

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

21. Намерете стойността на израза

22. Решете неравенството x3 

sin  .cos  , ако tg  4 . sin 2   cos 2 

81 . x

2x

2x

1 1 23. Запишете числото х, за което е изпълнено равенството 5    7    6 . 2 2

24. През последните няколко последователни вечери на месец април температурите, измерени в градуси, са били следните 2; 3; 2; 4; 17; 16; 17; 17; 14; 14; 15. Намерете стойността на израза 2P+M +S , където P е медианата, M е модата, а S е средната стойност на статистическия ред. 25. Намерете лицето на остроъгълен

ABC със страни AB  8 cm , BC  7 cm и

BAC  60 . Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

26. Да се реши уравнението:

16 x x 1 5   . x 1 16 x 2

4


27. Три числа, чийто сбор е 21, са последователни членове на растяща геометрична прогресия. Ако първото число не се промени, към второто число се прибави 1, а от третото се извади 1, ще се получат първите три члена на крайна аритметична прогресия, чиято сума е 55. Намерете броя на членовете на получената аритметична прогресия. 28. Около четириъгълника ABCD е описана окръжност. Страните BC и CD са съответно 8 cm и 4 cm , а диагоналът BD е 4 7 cm . Ако в четириъгълника може да се впише окръжност, намерете лицето на четириъгълника, радиуса на описаната окръжност и радиуса на вписаната окръжност.

5


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

D = b 2 − 4ac

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

Формули на Виет:

−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =

Квадратна функция  b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; −   2a 4a 

Корен. Степен и логаритъм 2k

a2k = a

2 k +1

a 2 k +1 = a

1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x

m n

при k ∈ ℕ n k

a = nk a

a log a b = b

nk

a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ

log a a x = x

при a > 0, b > 0 и a ≠ 1

Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =

n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1

Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =

брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи

0 ≤ p ( A) ≤ 1

Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1

Аритметична прогресия:

an = a1 + (n −1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n−1

Формула за сложна лихва:

 p  K n = K .q = K .1 +  100 

Sn =

n

n


Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2

Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1

r=

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

sin α =

a c

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4

mb 2 =

1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c

a 2 = a1c tg α =

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4

mc 2 =

a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:

a b

b 2 = b1c cotg α =

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4

lc = ab − mn 2

Формула за ъглополовяща:

d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2

Формули за лице Триъгълник:

1 S = chc 2 S = pr

Успоредник:

S = aha

1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R

S=

S = ab sin α

p ( p − a )( p − b)( p − c )

S=

Трапец:

a +b h 2

1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr

Четириъгълник:

Тригонометрични функции α°

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

30°

45°

60°

90°

π 6 1 2

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

b a

1 0


−α − sin α cosα − tg α − cotg α

sin cos tg cotg

90°−α cosα sin α cotg α tg α

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =

cotg (α ± β) =

cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2

α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2

sin α + sin β = 2 sin

180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2

90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α

α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2

sin α − sin β = 2sin


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 20 май 2016 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос №

Верен отговор

Брой точки

1

Б

2

2

Г

2

3

Г

2

4

В

2

5

A

2

6

Г

2

7

А

2

8

А

2

9

В

2

10

Г

2

11

А

3

12

Б

3

13

Б

3

14

Б

3

15

А

3

16

В

3

17

В

3

18

А

3

19

Б

3

20

Б

3

21

4 15

4

22

x   3;0    3;  

4

1


23

x

4

1 2

24

56  P  14, M  17, S  11

4

25

10 3 cm2

4

26

1 1 x1   , x2   3 63

10

27

5

10

28

S ABCD = 32 3 cm2 , r  2 3 cm ,

10

R

4 21 cm 3

Въпроси с решения 26. Решение и критерии за оценяване. 1. Полагане

16 x  t , t  0 (2 точки). x 1

1 5 2. Получаване на уравнението t   (1 точка). t 2

3. Намиране на t1  2, t2 

1 (1 точка). 2

4. Решаване на уравнението

16 x 1  2 и получаване на x1   (2 точки) . x 1 3

5. Решаване на уравнението

16 x 1 1  и получаване на x2   (2 точки). x 1 2 63

6. Установяване, че x1 и x2 са решения – чрез проверка или определяне на допустими стойности. (2 точки) II начин. Повдигане на квадрат и получаване на уравнението

16 x x  1 17 (2   x  1 16 x 4

точки), като x  0, x  1 (1 точка). Освобождаване от знаменател и получаване на уравнението 189 x2  66 x  1  0 (3 точки). 1 1 Намиране на корените на уравнението x1   , x2   (2 точки). 3 63

2


Установяване, че x1 и x2 са решения – чрез проверка или определяне на допустими стойности. (2 точки) 27. Решение и критерии за оценяване. Определяне на геометричната прогресия а1 , а1q, а1q 2 Определяне на аритметичната прогресия а1 , а1q  1, а1q 2  1

а1  а1q  1  а1q 2  21 2  а1q  1  а1  а1q  1 2

а1 1  q  q 2   21 а1  2q  1  q

2

  3

а1 1  q  q 2 

а1  2q  1  q

2

21  3

1  q  q2  7 DCq q  1  6q 2  15q  6  0  2q 2  5q  2  0 2q  1  q 2 53 1 q1  2 q1  4 2

q1,2 

Геометричната прогресия е растяща  q  2 и a1  3 . Геометричната прогресия е 3, 6, 12, аритметичната прогресия е 3, 7, 11. За

аритметичната

прогресия

a1  3, d  4, Sn  55

Sn 

и

2a1   n  1 d , 2

2.3   n 1 4 1  21 n , 4n2  2n 110  0 , 2n2  n  55  0 , n1,2  , n1  5  2 4 11 n2    . Тогава броят на членовете на аритметичната прогресия е n  5 . 2

55 

и

Критерии за оценяване: 1. Означаване на членовете на аритметичната и геометричната прогресия – 1 точка 2. Съставяне на системата – 2 точки. 3. Решаване на системата и определяне на частното – 4 точки. 4. Определяне на членовете на аритметичната прогресия – 1 точка. 5. Съставяне на уравнение за определяне на броя на членовете и определяне на броя им– 2 точки. 28. Решение и критерии за оценяване. Прилагане на косинусова теорема за BCD и определяне на

BCD  120 (2 точки).

Използване на свойството на страните на описания четириъгълник и определяне зависимостта AD  x, x  0, AB  x  4 (1 точка). За срещуположните ъгли на вписания четириъгълник

3

A  60 (1 точка).


След косинусова теорема за

ABD и решаване на квадратното уравнение

x2  4 x  96  0 , x1  8 и x2  12 и извод, че само x1  8 е решение (2 точки).

Намиране S

ABCD

на

лицето

на

четириъгълника

S ABCD  S

ABD

S

BCD

1 1 2  .4.8.sin120  .8.12.sin 60 ; S ABCD = 32 3 cm (2 точки). 2 2

Определяне на радиуса на вписаната окръжност от S  p.r , r  2 3 cm (1 точка). Определяне на радиуса на описаната окръжност чрез синусова теорема за откъдето 2 R 

4 7 4 21 cm (1 точка). и R sin 60 3

4

ABD ,


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.