Introducción. El cambio es un hecho cotidiano para nosotros. Los físicos usan las matemáticas para investigar fenómenos como el movimiento de los planetas, la desintegración de sustancias radiactivas, la velocidad de las reacciones químicas, las corrientes oceánicas y los patrones meteorológicos. Los economistas y directores de empresas estudian las tendencias de los consumidores. Los psicólogos estudian la evolución del aprendizaje. Los ecologistas exploran los patrones de contaminación y los cambios en poblaciones, que implican complejas relaciones entre las especies. Incluso áreas como la política y la medicina usan modelos matemáticos en los cuales la clave es el cambio. Aunque la ciencia moderna necesita usar muchas técnicas distintas, el Calculo es la herramienta primaria para tratar el cambio. Sir Isaac Newton, uno de los descubridores del Cálculo, dijo una vez que para lograr sus resultados “cabalgó a hombros de gigantes”. Con esto no quiso decir que el Cálculo apareció por inspiración momentánea, sino que lo hizo gradualmente, cuando se unieron ideas y métodos existentes, aparentemente distintos, en un cuerpo de doctrina coherente. El Cálculo es la Matemática del Movimiento y del Cambio. El desarrollo del Cálculo en el siglo XVII por Newton y Leibniz fue el resultado de sus intentos de responder a algunas cuestiones fundamentales sobre el mundo y su funcionamiento. Estas investigaciones condujeron a dos conceptos fundamentales del Cálculo, a saber, la idea de derivada y la de integral. La vía para el desarrollo de esos conceptos fue la formulación de una herramienta matemática que se llama límite. Modelos Matemáticos. Una situación de la vida real es normalmente demasiado complicada para ser descrita de forma precisa y matemática. Por tanto, cuando nos enfrentamos con un problema del mundo real, necesitamos usualmente desarrollar un marco matemático, basado sobre ciertas suposiciones que hacemos sobre este mundo real. Podemos usar este marco para resolver el problema real. El proceso por el que se crea y desarrolla este marco se llama la construcción de un modelo matemático. El Proceso de Creación de un Modelo Matemático. 1. Inducción. A partir de cierto número de observaciones y de datos cuantitativos sobre el “fenómeno” se construye un “modelo matemático”, una conjetura o hipótesis, que consiste en una “traducción” al idioma matemático del fenómeno del mundo real. Este proceso es probablemente el más difícil, pues requiere creatividad, ingenio y capacidad de invención. La formulación y construcción de modelos abstractos inspirados por situaciones reales es lo que hace avanzar a la ciencia teórica, que trata de explicar en forma cada vez mas adecuada el fenómeno. El principal instrumento que permite traducir un problema real a términos matemáticos es un proceso llamado de abstracción, mediante el cual solamente se consideran las características fundamentales del suceso.
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Comparar e interpretar
Datos del Mundo Real
Abstracción
Modelo Matemático Matemática (Cálculo - Algebra)
Predicción para el Mundo Real
Resultados
2. Deducción. Mediante el razonamiento deductivo que utiliza la matemática se derivan algunas conclusiones acerca del modelo matemático construido en el primer paso. Esta es la parte preferida para la enseñanza de las matemáticas. Aquí se demuestran teoremas y se hacen predicciones matemáticas, sin preocuparse demasiado del mundo real. Las otras etapas, que implican interacciones con otras disciplinas o con problemas de la vida real, generalmente no se mencionan en los programas de matemáticas, o si se mencionan, pocas veces se tratan. 3. Interpretación. Las conclusiones matemáticas no pueden ser transferidas al mundo real en forma automática. En esta etapa del proceso, los resultados matemáticos se interpretan, se describen y se explican en términos que tienen relación con el problema real que se estudia; también se hacen algunas predicciones. En esta etapa, se explican las conclusiones matemáticas a los no matemáticos y es aquí donde el uso de las matemáticas puede ser abusivo. 4. Verificación. Las predicciones se confrontan con los datos iniciales y se determina el grado de exactitud del modelo que provisionalmente se acepta, se rechaza o se ajusta. Con ello vuelve a empezar el ciclo, en la búsqueda de construir un modelo que se ajuste mejor a las características del problema real. De lo visto sabemos ya que la primera etapa requiere un conocimiento profundo del problema real para el que se desea construir el modelo matemático, no solo en forma cualitativa, sino esencialmente cuantitativa, datos y mediciones que nos permitan expresar numéricamente la “solución”, por lo que queda mas allá de lo que podemos desarrollar en esta aula. Muchos de los modelos están constituidos por “funciones matemáticas”, ecuaciones que persiguen describir la forma en que se relacionan los diferentes datos del problema. En ese caso, las dos herramientas matemáticas más útiles para llevar a cabo las deducciones del segundo paso son el álgebra y el cálculo. El álgebra y el cálculo se pueden comparar con la estática y la dinámica de la física. La primera se interesa solamente en encontrar las condiciones por las que un cuerpo permanece en el mismo estado indefinidamente, mientras que la otra se interesa por conocer y seguir el movimiento del cuerpo.
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De la misma forma, el álgebra persigue únicamente encontrar las “soluciones” de una ecuación, mientras que el cálculo persigue conocer el comportamiento de la función, las regiones en que ésta crece o decrece y los lugares en los que estas tendencias cambian de la una a la otra y viceversa. En la primera parte de este curso aprenderemos a crear algunos modelos matemáticos (lineales y no lineales muy básicos) e interpretar estos modelos en él contesto del problema real planteado. En la segunda parte, a partir de modelos matemáticos ya creados (funciones) aprenderemos a usar herramientas del Cálculo como Límites, Derivadas e Integrales para graficar e interpretar estos modelos. Recomendaciones. Visita la siguiente página y lea cuidadosamente el contenido, en ella se encuentran recomendaciones muy útiles de como trabajar en matemáticas: http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/comoestud.htm Control del Aprendizaje. El consumo de agua en un colegio viene dado por la gráfica:
45 40
Consumo (L/ mi)
35 30 25 20 15 10 5 0
8
9
10
11
12
13,
14
15
16
T iem po(h rs.)
Elabore un pequeño informe interpretando la gráfica. Invente justificar las características del consumo de agua de este colegio.
razones que puedan
Discuta la Solución en el FORO: http://es.groups.yahoo.com/group/terceroszabala/
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