Bachillerato
Libro de Texto
Segundo aĂąo de bachillerato
Libro de Texto
Segundo aĂąo de bachillerato
Libro de Texto
Ing. Carlos Mauricio Canjura Linares Ministro de Educación
Lic. Francisco Humberto Castaneda Viceministro de Educación
Dra. Erlinda Hándal Vega
Viceministra de Ciencia y Tecnología
Lic. Óscar de Jesús Águila Chávez
Director Nacional de Educación Media (Tercer Ciclo y Media) Director del Proyecto ESMATE
Ing. Wilfredo Alexander Granados Paz
Gerente de Gestión y Desarrollo Curricular de Educación Media Coordinador del Proyecto ESMATE
Lic. Gustavo Antonio Cerros Urrutia
Jefe del Departamento de Especialistas en Currículo de Educación Media Coordinador del equipo de Educación Básica, proyecto ESMATE
Lic. Félix Abraham Guevara Menjívar
Jefe del Departamento de Educación en Ciencia Tecnología e Innovación (Matemática) Coordinador del equipo de Tercer Ciclo y Bachillerato, proyecto ESMATE
Equipo técnico autoral y de diagramación del Ministerio de Educación Ana Ester Argueta Aranda César Omar Gómez Juárez Diana Marcela Herrera Polanco Francisco Antonio Mejía Ramos Revisión técnica José Nerys Funes Torres Diseño y revisión de diagramación Francisco René Burgos Álvarez Judith Samanta Romero de Ciudad Real Corrección de estilo Mónica Marlene Martínez Contreras Marlene Elizabeth Rodas Rosales Revisión a nivel nacional por especialistas formados dentro del Plan Nacional de Formación Docente en Servicio. Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA).
Primera edición, 2019. Derechos reservados. Prohibida su venta y su reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del MINED. Imagen de portada con fines educativos, en ella se ilustra una figura formada por triángulos rectángulos cuyas áreas disminuyen a razón de dos, y se puede calcular su área a partir de ello. La respuesta se encuentra al reverso de la contraportada.
510 M425 Matemática : segundo año de bachillerato : libro de texto / equipo técnico autoral Ana Ester Argueta, César Omar Gómez, Diana Marcela Herrera, Francisco Antonio Mejía ; revisión técnica José Nerys Funes ; diseño y revisión de diagramación Francisco René Burgos, Judith Samanta Romero ; corrección de estilo Mónica Marlene Martínez, Marlene Elizabeth Rodas. -- 1a ed. -- San Salvador, El Salv. : MINED, 2018. 218 p. : il. ; 28 cm. -- (Esmate) ISBN 978-99961-70-74-4 (impreso) 1. Matemáticas-Problemas, ejercicios, etc. 2. Matemáticas Libros de texto. 3. Matemáticas-Enseñanza. I. Argueta Aranda, Ana Ester, 1991-, coaut. II. Título. BINA/jmh
Estimados jóvenes: Es grato dirigirnos a ustedes con el propósito de felicitarlos por iniciar un nuevo año escolar con mucho entusiasmo, voluntad y entrega. Desde “El proyecto de Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemática en Educación Básica y Educación Media” (ESMATE), hemos trabajado este libro de texto, el cual presenta una nueva propuesta para el abordaje de la matemática. Estamos convencidos que saber matemática significa tener una excelente herramienta para el desarrollo de sus capacidades productivas y ciudadanas; ya que ayuda a ser más eficiente, a resolver problemas complejos con mayor facilidad, a contar con un razonamiento matemático capaz de ser crítico, analítico y práctico. En definitiva, a vivir con éxito, en un mundo cada vez más desafiante ante los cambios sociales y los avances tecnológicos. Tenemos la seguridad que su encuentro con estos saberes será muy satisfactorio, ya que este libro ha sido elaborado por un equipo altamente calificado que nos plantea una metodología constructiva, retadora y exigente, con el único fin de que los conocimientos matemáticos les enriquezcan, sean mejor entendidos y puedan integrarse en sus quehaceres cotidianos con mayor facilidad. Recuerden que en nuestro país todos los jóvenes son capaces de aprender y desarrollarse. Mantengan la confianza en sus capacidades, porque todos pueden alcanzar el éxito con esfuerzo, disciplina y dedicación. Mucho ánimo, ya que contamos con lo mejor de ustedes para desarrollar un mejor El Salvador. Atentamente,
Carlos Mauricio Canjura Linares Ministro de Educación
Francisco Humberto Castaneda Viceministro de Educación
Erlinda Hándal Vega Viceministra de Ciencia y Tecnología
Presentación del libro Partes de una clase En el primer momento de cada clase, el estudiante debe pensar una solución a partir de una situación problemática la cual permite introducir el contenido que se va a desarrollar. En este segundo momento, el texto propone una o varias formas de resolver el problema planteado. En la Conclusión se llega a la explicación del contenido. Aquí se relacionan el Problema inicial y la Solución para explicar con lenguaje matemático la finalidad del contenido. A veces es necesario presentar un problema adicional, que permita consolidar el contenido de la clase.
roblemas
Es la sección de problemas y ejercicios. El ícono de la calculadora indica los únicos ejercicios en donde es indispensable usarla.
Información complementaria En el libro se utilizan algunos elementos que facilitan el aprendizaje de los contenidos, como presaberes, pistas, información adicional como historia de la matemática, esto se representa con diferentes colores: Presaberes
Pista
Información adicional
Distribución de las clases El libro está compuesto por 8 unidades didácticas, cada una formada por diferentes lecciones y cada lección está compuesta por distintas clases. En la numeración del título de cada clase, el primer número indica la lección y el segundo indica la clase. Por ejemplo, el título de la clase 7 de la lección 1 de la unidad 1 de este libro se representa de la siguiente manera: Indica el número de lección
1.7 Ecuaciones racionales Indica el número de clase
El número de la unidad aparece en una etiqueta verde en la parte lateral de las páginas impares. Además al finalizar cada unidad siempre aparecen algunos problemas sobre todas las temáticas abordadas, y en ocasiones también se desarrollan algunas prácticas en GeoGebra, como recurso tecnológico de la matemática.
Unidad 1 Ecuaciones .........................................................................................
1
1. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones ..................................
2
Unidad 2 Línea recta ........................................................................................
13
1. Puntos y segmentos .................................................................
14
2. Línea recta ................................................................................
21
3. Posiciones relativas entre rectas ..........................................
27
4. Práctica en GeoGebra ...........................................................
39
Unidad 3 Secciones cónicas ............................................................................. 1. La parábola ..............................................................................
43 44
2. La circunferencia .....................................................................
56
3. La elipse .....................................................................................
63
4. La hipérbola ..............................................................................
71
5. Práctica en GeoGebra ............................................................
81
Unidad 4 Funciones trascendentales I ..........................................................
89
1. Potencia y raíz n-ésima .........................................................
90
2. Funciones y ecuaciones exponenciales .............................
102
Unidad 5 Funciones trascendentales II ........................................................
113
1. Función biyectiva e inversa ...................................................
114
2. Función logarítmica ................................................................
122
3. Funciones trigonométricas ....................................................
132
4. Práctica en GeoGebra ...........................................................
147
Unidad 6 Sucesiones aritméticas y geométricas ......................................
155
1. Sucesiones aritméticas ..............................................................
156
2. Sucesiones geométricas ...........................................................
165
Unidad 7 Métodos de conteo ........................................................................
171
1. Los conjuntos ..............................................................................
172
2. Permutaciones ..........................................................................
176
3. Combinaciones ..........................................................................
188
Unidad 8 Probabilidad ...................................................................................
199
1. Axiomas de Kolmogórov .......................................................
200
2. Probabilidad condicional........................................................
207
Funciones trascendentales I
4
El concepto de potencia se remonta a la Grecia antigua, cuando Euclides (300 a.C.) utilizó este término para indicar el número de veces que debía multiplicarse un número por sí mismo. El pensador francés Nicole Oresme (siglo XIV d.C.) presentó por primera vez la noción de exponente racional e Extracto del manuscrito original del Triparty en irracional. En el trabajo Triparty en la science des la science des nombres. nombres (1484) del matemático francés Nicolas Chuquet (siglo XV d.C.), aparecen por primera vez los números negativos como coeficientes, exponentes y soluciones de ecuaciones. Más adelante, alrededor de 1694, el matemático suizo Johann Bernoulli (Siglos XVII-XVIII d.C.) publica un importante trabajo acerca de las funciones exponenciales. A finales del siglo XIX varios problemas de la naturaleza se describieron matemáticamente por medio de las funciones exponenciales. Svante Arrhenius formalizó la relación entre la constante cinética de una reacción química y la temperatura. Thomas Maltus establece que el crecimiento poblacional tiene un comportamiento exponencial a través del La población mundial aumenta de manera exponencial. tiempo. Y las observaciones de Newton sobre el enfriamiento de los cuerpos dieron paso a la ley del enfriamiento, que tiene un decaimiento exponencial. Se estudiarán en esta unidad las propiedades de los exponentes enteros, exponentes racionales y se generalizará la potencia para todo exponente real. Esto permitirá definir la función exponencial y estudiar sus propiedades.
1.7 Suma, resta y potencia de raíces n-ésimas Efectúa las siguientes operaciones: a) 3 16 + 3 54
6
b) ( 4 )
a) 3 16 + 3 54
Dos raíces pueden sumarse o restarse si son semejantes es decir, el índice y el radicando son el mismo.
3
b) (6 4 )3
Simplificando a la mínima expresión:
Se descompone la potencia como producto:
3
(6 4 )3 = 6 4 × 6 4 × 6 4
3
y
3
54 = 2 × 33
3
3
=2 2
=6 4×4×4
=3 2
= 6 43
Se efectúa la suma de raíces semejantes: 3
3
3
3
16 + 54 = 2 2 + 3 2
Simplificando:
3
3
6
6
6
43 = (22)3 = 26 = 2.
Por lo tanto, (6 4 )3 = 2.
=5 2 Por lo tanto,
se expresa como potencia
Unidad 4
3
16 = 23 × 2
3
3 16 + 54 = 5 2.
1. Los pasos para realizar suma o resta de raíces n-ésimas son: • Simplificar las raíces a la mínima expresión. • Sumar o restar raíces semejantes. 2. La potencia de una raíz real cumple ( n a )m = n a × n a × … × n a m-veces U lizando las propiedades de raíz n-ésima: ( n a )m = n a × a × … × a m-veces
n
El número a no es real, si n es par y a nega vo. Por ejemplo: –1, –2, –3, 4 –1 , 4 –2 , 6 –1 , 6 –2 , no son números reales.
Reescribiendo como potencia el radicando: ( n a )m = n am
roblemas 1. Efectúa las siguientes operaciones. a) 3 24 + 3 81
b) 4 32 + 4 512
e) 3 500 – 3 108
f)
i) (5 27 )2
j) (6 8 )5 3
3
3
576 – 72
c) 4 80 + 4 405
d) 3 40 + 3 135
g) 3 486 – 3 144
h) 4 243 – 4 48
k) (3 25 )2
l) (4 27 )3
3
2. Para demostrar que 2 = 10 + 108 – –10 + 108 , realiza los siguientes pasos: a) Demuestra que (1 + 3 )3 = 10 + 6 3, luego escribe esta igualdad como raíz cúbica. b) Demuestra que (–1 + 3 )3 = –10 + 6 3, luego escribe esta igualdad como raíz cúbica. c) Efectúa la resta de las raíces cúbicas de los literales anteriores y concluye.
97
1.8 Exponente racional 1. Simplifica las siguientes expresiones, escribe tu respuesta como una potencia. b) 3 212 a) 26 6
Recuerda que para todo número real a posi vo:
3
2. Demuestra que 24 = 22 .
mn
=2×2×2
=2×2×2×2
= 23
= 24.
6
Se observa que 3 = 2
=
3
3
a y
n
an = a
Por lo tanto, 3 212 = 24.
Por lo tanto, 26 = 23.
6
m×n
b) 3 212 = 3 23 × 23 × 23 × 23
1. a) 26 = 22 × 22 × 22
2. 24 =
a =
exponente índice
exponente índice
Se observa que 4 = 12 3
24
por propiedades de raíces n-ésimas,
(22)2
al aplicar propiedades de potencia, se u liza que n an = a.
3
= 22
exponente índice
Por lo tanto, 24 = 22 . Observa que 4 = 2 6
3
6
3
Si a es un número real posi vo, m y n son números enteros y n es posi vo, entonces: m
a n = n am Una potencia con exponente racional m es la raíz n-ésima de una potencia m-ésima. n
Además, si r es un entero posi vo se cumple que exponentes racionales, para todo a > 0:
nr
n
amr = am , por lo que es válida la simplificación de
mr
m
a nr = a n
roblemas 1. Escribe las siguientes raíces como potencias con exponente fraccionario, simplifica si se puede. b) 33 a) 2 d) 3 32 c) 3 2 e) 4 52
f) 5 210
g) 5 63
h) 6 52
2. Escribe las siguientes potencias fraccionarias como raíces de una potencia. 1
5
a) 52 3
e) 127
98
5
b) 32
c) 22 7
f) 112
5
g) 93
3
d) 78 1
h) 104
1.9 Propiedades de los exponentes racionales Realiza las siguientes operaciones expresando tu respuesta como potencia con exponente racional. 3
5
3
8
1
2 1
b) 33 ÷ 33
a) 24 × 24 = 4 25 × 4 23
2
c) (83)2 10
= 4 28
= 3 39
8 4
9
= 33
= 22 5 3 5+3 Por lo tanto, 24 × 24 = 22. Observa que: 24 4 = 22. 1
c) (83)2 = (3 82)2 2 3
= 33 10 1 10 – 1 Por lo tanto, 3 3 ÷ 33 = 33. Se observa que: 3 3 3 = 33. 2
2
d) 33 × 93 = 3 32 × 3 92
se escribe como raíz cúbica, se escribe como raíz cuadrada,
82
se escribe como raíz,
3
= 32 × 92 3
= 6 82
= (3 × 9)2
2
= 3 272
= 86 1 3
2
=8 2×1 2 1 1 1 Por lo tanto (83)2 = 83. Se observa que: 83 2 = 83. 3
se escribe como raíz,
3
= 310 ÷ 31
2 1
3
1
= 25 × 23 =2
3
e) 324 ÷ 24
b) 3 3 ÷ 33 = 3 310 ÷ 3 31
se escribe como raíz,
4
=
2
d) 33 × 93
Unidad 4
5
a) 24 × 24
3
e) 324 ÷ 24 = 4 323 ÷ 4 23
= 273 2
2
2
Por lo tanto 33 × 93 = 273. 2
se escribe como raíz,
2
Observa que: (3 × 9)3 = 273.
4
= 323 ÷ 23 4
= (32 ÷ 2)3 = 4 163 3
= 164 3
3
3
3
3
Por lo tanto 324 ÷ 24 = 164. Se observa que: (32 ÷ 2)4 = 164. 1. Las propiedades con exponentes enteros se aplican también a los exponentes racionales. Si a y b son números reales posi vos, m y n son números racionales, entonces: m m m b) a n = am – n c) (am)n = am × n d) am × bm = (a × b)m e) am = a a) am × an = am + n a
b
(b)
2. Para simplificar una potencia racional se debe verificar que la base sea la menor posible.
Simplifica las respuestas de los literales c), d) y e) del problema inicial. 1
1
3×1
2
c) 83 = (23)3 = 2 3 = 2
2
d) 273 = (33)3 = 3
3x2 3
3
= 32
3
e) 164 = (24)4 = 2
4×3 4
= 23
roblemas Realiza las siguientes operaciones, simplifica tu respuesta. 7
8
a) 25 × 25 9 7
e) (97)6
1
3
b) 95 × 910 10 3
f) (8 9 )2
1
c) 25 ÷ 252 5
5
g) 166 × 46
5
d) 273 ÷ 27 1
1
h) 982 ÷ 22
99
1.10 Operaciones con raíces de dis nto índice Efectúa las siguientes operaciones. a) 3 × 3 3 × 6 3
b) 4 9 × 3 9 ÷ 12 9
Se escribe cada raíz como exponente racional: a) 3 × 3 3 × 6 3
b) 4 9 × 3 9 ÷ 12 9 1
1
1
3 6 3 × 3 × 3 = 32 × 33 × 36 1+1+1 = 32 3 6 3+2+1 = 36 6 6 = 31 =3 3 6 Por lo tanto, 3 × 3 × 3 = 3.
4
3
1
12
1
1
9 × 9 ÷ 9 = 94 × 93 ÷ 912 1+1– 1 = 94 3 12 3 + 4 – 1 = 9126 12 12 = 9112 = 92 1 = (32)2 simplificando =3 4 3 12 Por lo tanto, 9 × 9 ÷ 9 = 3.
Para operar raíces con dis nto índice, se realizan los siguientes pasos: 1. Cada raíz se escribe como potencia con exponente racional. 2. Se efectúan las operaciones u lizando propiedades de exponentes racionales. 3. Se simplifica el resultado.
Efectúa las siguientes operaciones: a) 32 × 3 4 ÷ 6 2
b) 3 ÷ 6 3
3 6 3 6 32 × 4 ÷ 2 = 25 × 22 ÷ 2 5 2 1 = 22 × 23 ÷ 26 5+2–1 = 22 3 6 15 + 4 – 1 = 26 6 6 18 = 26 = 23 =8 3 6 Por lo tanto, 32 × 4 ÷ 2 = 8.
6
1
1
3 ÷ 3 = 323 ×1 36 + = 36 6 4
= 36 2 = 33 = 3 32 =39
no se puede simplificar, se escribe como raíz,
Por lo tanto, 3 ÷ 6 3 = 3 9.
roblemas Realiza las siguientes operaciones, simplifica tu respuesta.
100
a) 8 × 4 8 ÷ 12 8
b) 3 × 3 3
c) 3 3 × 6 3
d) 4 4 × 3 2 × 12 32
e) 243 × 3 9 ÷ 6 3
f) 4 25 ÷ 6 5
2.1 Definición de la función exponencial Para cada literal completa la tabla y grafica la función dada.
x
(1)
b) f(x) = 2
a) f(x) = 2x
x
–2
–1
0
1
2
y
( 1)
x
b) f(x) = 2 1 Si x = –2 se ene f(–2) = 2
a) f(x) = 2x
( ) = (2 1 Si x = –1 se ene f(–1) = ( 2 ) = (2 1 Si x = 0 se ene f(0) = ( 2 ) = 1 1 1 Si x = 1 se ene f(1) = ( 2 ) = 2 1 1 Si x = 2 se ene f(2) = ( 2 ) = 4
1
Si x = –2 se ene f(–2) = 2–2 = 4
–2 –1
1
Si x = –1 se ene f(–1) = 2–1 = 2
–1 –2
) = 22 = 4
–1 –1
) = 21 = 2
0
Si x = 0 se ene f(0) = 20 = 1
1
Si x = 1 se ene f(1) = 21 = 2
2
Si x = 2 se ene f(2) = 22 = 4 x
–2
–1
0
1
2
x
–2
–1
0
1
2
y
1 4
1 2
1
2
4
y
4
2
1
1 2
1 4
Se traza una curva sobre los puntos obtenidos en cada caso. y
2
1
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
x
2
1
0
1
2
Sea a un número real posi vo y diferente de 1. La función f : ℝ ℝ definida por f(x) = ax se llama función exponencial. Al número a se le llama base. La gráfica de la función exponencial f(x) = ax pasa por los puntos (0, 1) y (1, a).
x
En la función exponencial la variable x está en el exponente. 1
Si se cumple que 0 < a < 1, entonces f(x) = ax, se puede escribir de la forma f(x) = b–x, donde b = a > 1. 1 x Por ejemplo f(x) = 2 = (2–1)x = 2– x.
()
roblemas Grafica las siguientes funciones exponenciales: a) f(x) = 3x b) f(x) = 3–x
102
c) f(x) = 4x
d) f(x) = 4–x
2.2 Funciones exponenciales simétricas 1. Grafica las siguientes funciones en un mismo plano cartesiano. a) f1(x) = 3x b) f2(x) = 3–x c) f3(x) = –3x 2. Compara la coordenada en x de los puntos de f1(x) y f2(x) que enen la misma coordenada en y. 3. Compara la coordenada en y de los puntos de f1(x) y f3(x) que enen la misma coordenada en x.
y = f2(x)
1. a) f1(x) = 3x x
–2
–1
0
1
2
y
1 9
1 3
1
3
9
y
y = f1(x)
9 8 7 6 5
b) f2(x) = 3–x –2
y
–1
9
3
0
1
2
1
1 3
1 9
2 1 3
2
1
c) f3(x) = –3x
0 1
1
2
3
x
2
Unidad 4
x
4 3
3
x
–2
–1
0
1
2
y
1 –9
1 –3
–1
–3
–9
4 5 6 7 8 9 y = f3(x)
2.
3.
f1(x) = 3x f3(x) = –3x
f1(x) = 3x
f2(x) = 3–x
(–2, 19 ) (–1, 13 )
(2, 19 ) (1, 13 )
(0, 1)
(0, 1)
(0, 1)
(0, –1)
(1, 3)
(–1, 3)
(1, 3)
(1, –3)
(2, 9)
(–2, 9)
(2, 9)
(2, –9)
Si (x, y) es un punto de la gráfica de f1 entonces (–x, y) es un punto de la gráfica de f2 . Las gráficas son simétricas respecto al eje y.
(–2, 19 ) (–2, – 19 ) (–1, 13 ) (–1, – 13 )
Si (x, y) es un punto de la gráfica de f1 entonces (x, –y) es un punto de la gráfica de f2 . Las gráficas son simétricas respecto al eje x.
Se observa que: • La gráfica de la función y = 3–x es simétrica a la gráfica de la función y = 3x respecto al eje y. • La gráfica de la función y = –3x es simétrica a la gráfica de la función y = 3x, respecto al eje x.
103
1. Las funciones y = ax y y = a–x son simétricas respecto al eje y. Para graficar y = a–x se cambia el signo a la coordenada en x de los puntos de la gráfica de y = ax. 2. Las funciones y = ax y y = –ax son simétricas respecto al eje x. Para graficar y = –ax se cambia el signo a la coordenada en y de los puntos de la gráfica de y = ax. 3. Las funciones y = a–x y y = –a–x, son simétricas respecto al eje x. Para graficar y = –a–x se cambia el signo a la coordenada en y de los puntos de la gráfica de y = a–x.
Grafica la función f4 (x) = –3–x. y
y = f2(x)
Para graficar f4 (x) = –3 se cambia el signo a la coordenada en y de los puntos de la gráfica de f2(x) = 3–x. –x
9 8 7 6
f2(x) = 3
–x
f4 (x) = –3
–x
( ) (1, 13 )
(2, – 19 ) (1, – 13 )
(0, 1)
(0, –1)
(–1, 3)
(–1, –3)
(–2, 9)
(–2, –9)
1
2, 9
5 4 3 2 1 3 2
1 0 1
1
2
3
x
2 3 4 5 6 7 8 9 y = f4(x)
roblemas 1. Grafica las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano u lizando las simetrías: f1(x) = 2x, f2(x) = 2–x, f3(x) = –2x, f4(x) = –2–x. 2. Grafica la función f4 (x) = –3–x a par r de la función f1(x) = 3x.
104
Comprueba que f4 es simétrica a f1 respecto al origen: si (a, b) está en la gráfica de f1 entonces (–a, –b) está en la gráfica de f4.
2.3 Caracterís cas de las funciones exponenciales Se muestran las siguientes funciones y sus gráficas: 1. f1(x) = 3x 2. f2(x) = 3–x y y
2
1 0
9
9
8
8
1
7
7
2
6
6
3
5
5
4
4
4
5
3
3
6
2
2
7
1
1
8
1 0
1
2
x
2
1 0
1
2
Para cada una de las gráficas determina: a) Interceptos con los ejes c) Si la función es creciente o decreciente
x
1
2
x
9
b)Dominio y rango d) Asíntotas de la función f es una función creciente si a < b ⇒ f (a) < f(b). f es una función decrecientes si a < b ⇒ f(a) > f(b).
Unidad 4
2
3. f3(x) = –3x y
1. f1(x) = 3x a) Interceptos con los ejes: Eje y: f1(0) = 30 = 1, el intercepto es (0, 1). Eje x: No existe un valor real x tal que 3x = 0.
b) Dominio y rango: Df1 = ℝ Rf1 = ]0,∞[
c) La función es creciente: Si b < c entonces 3b < 3c
d) Asíntotas de la función: y = 0 es asíntota horizontal de la función, pues la gráfica de f1 se aproxima a la recta y = 0 a medida que x disminuye su valor.
2. f2(x) = 3–x a) Interceptos con los ejes: Eje y: f2(0) = 3–0 = 30 = 1, el intercepto es (0, 1): Eje x: No existe un valor real x tal que 3–x = 0.
b) Dominio y rango: Df2 = ℝ Rf2 = ]0,∞[
c) La función es decreciente: Si b < c entonces 3–b > 3–c
d) Asíntotas de la función: y = 0 es asíntota horizontal de la función.
3. Las gráficas de las funciones f3(x) = –3x y f1(x) = 3x son simétricas respecto al eje x. Intercepto en el eje y
Dominio
Rango
f1(x) = 3x
(0, 1)
ℝ
]0, ∞[
f3(x) = –3x
(0, –1)
ℝ
]–∞, 0[
Creciente o Decreciente Creciente Si b < c entonces 3b < 3c Decreciente Si b < c entonces –3b > –3c
Asíntota y=0 y=0
105
La siguiente tabla reúne las caracterís cas de las gráficas de las funciones f1(x) = ax, f2(x) = a–x y f3(x) = –ax donde a > 1. f1(x) = ax
f2(x) = a–x
f3(x) = – ax
Intercepto en el eje y
(0, 1)
(0, 1)
(0, –1)
Dominio
ℝ
ℝ
ℝ
Creciente o Decreciente
Rf1 = ]0, +∞[ = {y ∈ ℝ | y > 0} Creciente Si b < c entonces ab < ac
Decreciente Si b < c entonces a–b > a–c
Rf2 = ]–∞, 0[ = {y ∈ ℝ | y < 0} Decreciente Si b < c entonces –ab > –ac
Asíntota
y=0
y=0
y=0
Rango
Rf2 = ]0, +∞[
Además, observa que las funciones f1, f2 y f3 no enen intercepto con el eje x. Si a es un número real tal que a > 1, entonces: • La función f(x) = ax, se llama función exponencial creciente. • La función f(x) = a–x, se llama función exponencial decreciente.
roblemas
1. U liza la simetría respecto al eje x para completar las caracterís cas de la función f(x) = –a–x a par r de las caracterís cas de la función f(x) = a–x, a > 1.
f(x) = a–x f(x) = –a–x
Intercepto en el eje y
Dominio
Rango
(0, 1)
ℝ
]0, ∞[
Creciente o Decreciente Decreciente Si b < c entonces a–b > a–c
Asíntota y=0 y=0
ℝ
2. Determina el intercepto en el eje y, dominio, rango, monotonía y asíntotas de las siguientes funciones. a) f1(x) = 2x
b) f2(x) = 2–x
c) f3(x) = –2x
d) f4(x) = –2–x
3. Resuelve las siguientes desigualdades u lizando la gráfica de la función y = 2x. a) 2x ≥ 1 b) 2x < 1 4. Demuestra que la función f(x) = 2x + 2–x es creciente en [0, ∞[, desarrollando los siguientes pasos:
(
) – (d + d1 ) =(c – d)(1 – cd1 ). 1 – 2 )( 1 – . 2 ) 1
a) Demuestra que si c ≠ 0 y d ≠ 0 entonces c + c b) De a) prueba que (2b + 2–b) – (2a + 2–a) = (2b
a
a+b
c) De b), concluya que si 0 ≤ a < b entonces f(a) < f(b). 5. Demuestra que la función f(x) = 2x + 2–x es decreciente en ]–∞, 0].
106
2.4 Desplazamientos horizontales y ver cales de la función exponencial 1. Grafica las funciones de cada literal en un mismo plano cartesiano. a) f1(x) = 2x, f2(x) = 2x – 1, f3(x) = 2x + 1 b) f1(x) = 2x, f2(x) = 2x – 1, f3(x) = 2x + 1 2. Describe la gráfica de las funciones f2(x), f3(x) como un desplazamiento horizontal o ver cal de la función f1(x). y
a) f1(x) = 2x, f2(x) = 2x – 1, f3(x) = 2x + 1 x
–2
–1
0
1
2
f1(x)
1 4
1 2
1
2
4
f2(x)
1 8
1 4
1 2
1
2
f3(x)
1 2
1
2
4
8
y = f1(x)
y = f3(x) 4 y = f2(x)
3 2 1 1
0
1
2
3
x
Al dibujar las gráficas de las funciones se observa que: • La gráfica de f2(x) es un desplazamiento horizontal de 1 unidad hacia la derecha de la función f1(x). • La gráfica de f3(x) es un desplazamiento horizontal de 1 unidad hacia la izquierda de la función f1(x).
Unidad 4
2
y
b) f1(x) = 2x, f2(x) = 2x – 1, f3(x) = 2x + 1 x
–2
–1
0
1
2
f1(x)
1 4
1 2
1
2
4
f2(x)
3 –4
1 –2
0
1
3
f3(x)
5 4
3 2
2
3
5
5 4 3 2 y = f3(x)
• La gráfica de f2(x) es un desplazamiento ver cal de 1 unidad hacia abajo de la función f1(x). • La gráfica de f3(x) es un desplazamiento ver cal de 1 unidad hacia arriba de la función f1(x).
y = f1(x) y = f2(x)
1 2
1
0
1
2
x
1
La asíntota horizontal de f(x) = ax + k es y = k.
La gráfica de la función f(x) = ax – h es un desplazamiento horizontal de h unidades de la función f(x) = ax. • Si h > 0 el desplazamiento es hacia la derecha. • Si h < 0 el desplazamiento es hacia la izquierda. La gráfica de la función f(x) = ax + k es un desplazamiento ver cal de k unidades de la función f(x) = ax. • Si k < 0 el desplazamiento es hacia abajo. • Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba.
roblemas
1. A par r de la gráfica de f(x) = 3x grafica las siguientes funciones: a) f(x) = 3x – 2 b) f(x) = 3x + 1
c) f(x) = 3x – 3
2. A par r de la gráfica de f(x) = 4x grafica las siguientes funciones: b) f(x) = 4x + 2 a) f(x) = 4x – 1
c) f(x) = 4x + 2
107
2.5 Gráfica de funciones exponenciales con simetría y desplazamientos* En cada literal traza la gráfica de f(x) a par r de la gráfica de f1(x) = 2x, u liza simetría y desplazamientos. La simetría se aplica si la potenb) f(x) = 2–(x – 1) – 1 a) f(x) = 2x – 1 + 1 cia es nega va o si la variable ene signo nega vo.
y
a) La gráfica de f1 se dibujó en la clase 2.1. Se grafica y = 2x – 1, como un desplazamiento de una unidad hacia la derecha de f1.
5
Se grafica f(x) = 2x – 1 + 1, como un desplazamiento de una unidad hacia arriba de y.
3
Si (x, y) es un punto de f1(x), entonces el punto (x + 1, y + 1) es un punto de la gráfica de f(x).
2
1
3. Desplazamiento, escribiendo f(x) = f2(x – h) + k entonces el punto (x, y) de la gráfica de f2 se desplaza al punto (x + h, y + k) de la gráfica de f.
(0, 1) 1
2
x
3
y = f1(x)
4
2 1 2
1
y = f2(x)
0
1
2
3
x
y = f(x)
1
Ejemplo: f(x) = –2–(x–1) – 1
Para elaborar la gráfica de una función exponencial f(x) se realizan los siguientes pasos: 1. Se dibuja la gráfica de f1(x) = ax. 2. Se dibuja una función f2(x) de acuerdo a los signos de la potencia y el exponente de f(x): • a–x se u liza simetría respecto al eje y. • –ax se u liza simetría respecto al eje x. • –a–x se u liza simetría respecto al origen.
(1,2)
(–1,3) 3
Así, f(x) es un desplazamiento de una unidad a la derecha y una unidad hacia abajo de f2(x). Sea (x, y) un punto de f2(x), entonces el punto (x + 1, y – 1) es un punto de la gráfica de f(x).
2 1
y (–2,4)
Se puede escribir f(x) = f2(x – 1) – 1.
(2,4)
0
b) Se grafica f2(x) = 2–x a par r de la simetría con la gráfica de f1 respecto al eje y.
y = 2x – 1
(3,5)
4
y = f2(x)
y = f1(x)
y 4
1. f1(x) = 2x
y = f1(x)
3 2 1 2 y = f2(x)
1 0 1
1
2
Desplazamiento
2 3
x
Simetría respecto al origen. 2. f2(x) = –2–x
y = f(x)
3. f(x) = –2–(x–1) – 1
4
roblemas Grafica las siguientes funciones u lizando simetrías y desplazamientos: a) f(x) = 3x – 2 + 1 b) f(x) = 4–x – 1 – 3 c) f(x) = –2x – 1 + 2 e) f(x) = 3–x + 1 + 2
108
f) f(x) = 2–x – 2 + 1
g) f(x) = –3x – 1 – 1
d) f(x) = –3–x + 1 – 3 h) f(x) = –3–x – 2 + 2
2.6 Ecuaciones exponenciales Encuentra una solución para cada una de las siguientes ecuaciones: 1 a) 5x = 25 c) 4x = 8 b) 2x = 8
(1)
x
d) 9 = 81
1
a) 5x = 25
b) 2x = 8
Descomponiendo 25 = 52,
Descomponiendo 8 = 23,
sus tuyendo 5x = 52.
sus tuyendo 2x = 23 ,
Por lo tanto, x = 2.
escribiendo con exponente nega vo 2x = 2–3.
1
Por lo tanto, x = –3. x
Unidad 4
(1)
c) 4x = 8
d) 9 = 81
Descomponiendo 4 = 22 y 8 = 23,
Descomponiendo 9 = 32 y 81 = 34,
(1)
x
sus tuyendo (22)x = 23,
sus tuyendo 32 = 34,
aplicando propiedades de potencia 22x = 23,
escribiendo con exponente nega vo: (3–2)x = 34,
entonces 2x = 3.
aplicando propiedades de potencia: 3–2x = 34, 3
Por lo tanto, x = 2 .
entonces –2x = 4. Por lo tanto, x = –2.
Una ecuación exponencial es aquella que ene términos de la forma ax con a > 0 y a ≠ 1. Para resolver una ecuación exponencial se realiza lo siguiente:
1
Ejemplo: 27x = 9 27x = (33)x = 33x y
1. Se escriben todos los términos en la misma base para obtener una igualdad de potencias con la misma base: ar= as.
33x = 3–2
2. Se igualan los exponentes r = s y se resuelve esta ecuación.
3x = –2
1 1 = = 3–2 9 32
Por lo tanto, x = – 2 . 3
roblemas Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: b) 3–x + 1 = 9x + 2 a) 2x = 16 1
e) 25x + 7 = 8
f) 93x + 1 = 27–2x – 2
1
1
c) 53x – 4 = 25
d) 22x – 3 = 4
g) 8–x + 3 = 4x + 2
h) 42x – 1 = 2
1
109
2.7 Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones cuadrá cas A par r de la ecuación exponencial: 4x – 2x = 2 realiza lo siguiente: b) Sus tuye y en lugar de 2x en la ecuación. a) Escribe 4x como potencia de 2. c) Resuelve la ecuación resultante. d) En las soluciones encontradas sus tuye 2x en lugar de y. e) Resuelve las ecuaciones resultantes.
a) Se representa 4x como una potencia de 2: 4x = (22)x = 22x
b) Al u lizar que (22)x = (2x)2 se ene: (2x)2 – 2x = 2
al descomponer 4 = 22
Así, se ob ene la ecuación (22)x – 2x = 2. c) Resuelve la ecuación resultante. y2 – y = 2 es una ecuación cuadrá ca, resolviendo:
y2 – y = 2 d) En las soluciones encontradas sus tuye 2x en lugar de y.
y2 – y – 2 = 0 (y – 2)(y + 1) = 0 y=2
y=2
o
y = –1
2x = 2
o 2x = –1
y = –1
o
e) Resuelve las ecuaciones resultantes. 2x = 2
o
2x = –1, esta ecuación no ene solución,
2x = 21
ya que 2x > 0, para todo x real.
x=1 Por lo tanto, la solución es x = 1. Una ecuación exponencial, en la que aparece una suma o resta de potencias, se puede reducir a una ecuación cuadrá ca si una de las bases es el cuadrado de la otra. Este po de ecuaciones se representa así: p(ax)2 + qax + r = 0. Para resolverla se realiza lo siguiente: 1. Se efectúa el cambio de variable y = ax. 2. Se resuelve la ecuación py2 + qy + r = 0, del paso anterior. 3. En las soluciones encontradas y = y1, y = y2, se sus tuye y por ax: ax = y1 y ax = y2. 4. Por úl mo se resuelven ambas ecuaciones, si se puede. Estas son las soluciones de la ecuación original.
roblemas Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales reduciéndolas a ecuaciones cuadrá cas.
110
a) 4x – 2x – 12 = 0
b) 9x – 2(3x) + 1 = 0
c) 4x – 6(2x) + 8 = 0
d) 5(25x) – 26(5x) + 5 = 0
e) 9x + 1 + 8(3x) – 1 = 0
f) 4x + 2 – 5(2x + 1) + 1 = 0
Si una potencia ene la forma ax + r, con r un número real, se reescribe ax + r = ar (ax). Por ejemplo, 2x + 1 = 2(2x).
2.8 Prac ca lo aprendido 1. Jus fica las siguientes afirmaciones. a) La gráfica de las funciones y = 2x y y = 2–x son simétricas respecto al eje y. b) La gráfica de las funciones y = 3x y y = –3–x son simétricas respecto al eje x. c) Si (a, b) es un punto de la gráfica de la función y = 3x entonces (–a, –b) es un punto de y = –3–x. 2. U lizando las gráficas de las funciones f1(x) y f2(x). Determina la ecuación de f2(x) a par r de f1(x). b) f1(x) = 4–x y
y
y = f1(x) 5
4 y = f2(x)
4
3 2
3 y = f1(x)
2 1 1
1
0
2
1
y = f2(x)
1 0
x
2
1
Unidad 4
a) f1(x) = 5x
x
c) f1(x) = 2x y
d) f1(x) = –2–x y
4
2
1
0
3
1
x
1 2
1
2
y = f2(x)
y = f1(x) 1 0
1
2
y = f2(x)
x
3 y = f1(x)
4
1
3. Grafica las siguientes funciones y describe sus caracterís cas: interceptos con los ejes, dominio, rango, asíntota de la función y crecimiento o decrecimiento. a) f(x) = 2x – 3 – 2
b) f(x) = 3–x – 1 + 4
c) f(x) = 5–x + 2 + 2
d) f(x) = –4x – 1 – 1
4. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 23x – 1 = 32 1
d) 25x + 3 = 5
1
b) 3–2x + 3 = 27
c) 43x – 3 = 1
e) 7–2x – 4 = 49
f) 16x – 3 = 82x – 1
5. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales reduciéndolas a ecuaciones cuadrá cas: a) 9x – 4(3x) + 3 = 0
b) 62x – 5(6x) – 6 = 0
c) 32x + 3 – 4(3x + 1) + 1 = 0
111
Funciones Trascendentales II
5
A principios del siglo XVII, los matemáticos ingleses John Napier y Henry Briggs introdujeron y perfeccionaron el logaritmo, un concepto de gran importancia práctica y teórica por su propiedad de simplificar operaciones tediosas como la multiplicación, la división y la extracción de raíces. La motivación de Napier era facilitar los cálculos en trigonometría esférica utilizados en astronomía. Briggs sugirió el 10 como base y creó tablas de logaritmos para números cercanos.
Red ortogonal de espirales logarítmicas
Actualmente los logaritmos tienen aplicaciones en muchas ramas de la ciencia: permiten medir la intensidad del sonido, el nivel de acidez de una sustancia conocido como pH, la intensidad de los sismos a través de la escala Richter, los grados de tonalidad de escala cromática en la música, entre otras.
Mosaico decorativo en Corinto siglo II d.C.
El sismógrafo permite medir la intensidad y duración de los sismos.
En esta unidad se exploran algunas propiedades de las funciones como la inyectividad, la sobreyectividad y la biyectividad. Conocerás la composición de funciones que permitirá definir la función inversa como un caso especial de la composición y luego definir la función logarítmica y estudiar sus propiedades.
1.1 Funciones inyec vas Responde las siguientes preguntas: a) Sea f(x) = x + 1, se sabe que f(3) = 4, ¿existe otro valor x en ℝ tal que f(x) = 4? b) En el caso de la función f(x) = x2, se cumple que f(2) = 4, ¿ocurre lo mismo que el caso anterior?
a) Se elabora la gráfica de f(x) = x + 1. y
1
b) Se elabora la gráfica de f(x) = x2. y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
x
2
1
No ocurre lo mismo, ya que existen dos valores de x que cumplen f(x) = 4: x = 2 y x = –2.
0
1
2
x
3
El único valor de x tal que f(x) = 4 es x = 3. Una función f : A B es inyec va en A, si a valores diferentes del conjunto A le corresponden valores diferentes del conjunto B. Simbólicamente: si a, b son elementos de A con a ≠ b entonces f(a) ≠ f(b). También se puede definir de la siguiente manera: f : A rresponde una única preimagen de A.
B es inyec va en A, si a cada imagen en B le co-
Para determinar gráficamente la inyec vidad de una función se trazan rectas horizontales sobre la gráfica, si una recta interseca a la gráfica en dos o más puntos, entonces la función no es inyec va.
Determina si las siguientes funciones son inyec vas: a) f(x) = x + 1 b) f(x) = x2 y
1
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
x
Toda recta horizontal interseca en un solo punto a la función. Por lo tanto, f(x) = x + 1 es inyec va.
2
1
0
1
2
3
x
La recta horizontal que pasa por el punto (2, 4) también pasa por el punto (–2, 4). Por lo tanto, f(x) = x2 no es inyec va. En este caso 2 ≠ –2 pero f(2) = f(–2) pues f(2) = 4 y f(–2) = 4.
roblemas Determina si las siguientes funciones son inyec vas en su dominio: a) f(x) = 2x – 6
114
b) f(x) = –x2 – 2x – 6
c) f(x) = 2x3
1
d) f(x) = x
e) f(x) = x
1.2 Funciones sobreyec vas Una función de A en B que ene como ecuación y = f(x) se puede representar de las siguientes formas: 1. f: A x
2. f: A
B f(x)
B; x
f(x)
Esta representación significa “la función de A en B tal que x toma valores en A y f(x) en B”.
a) Dada la función f: ℝ ℝ; x x2, ¿existe un valor x en el conjunto de par da que cumple f(x) = –1? b) Considera la función f: ℝ ℝ; x x3. Si y es un número real, determina el valor de x tal que f(x) = y si y = 1, y = 8.
3
2
1
b) Se elabora la gráfica de f(x) = x3. y El valor de x tal que 8 f(x) = 1, es x = 1. 7 f(1) = 13 = 1. 6
2
5
1
4
0
1
2
x
–1
2 1 0
Una función f: A
El valor de x tal que f(x) = 8, es x = 2. f(2) = 23 = 8.
3
1
2
3
x
B es sobreyec va, si cada número en B es imagen de, al menos, un número en A.
1. Para decir que una función no es sobreyec va se debe encontrar un valor y en B que no tenga preimagen en A. 2. Una función f: A B, donde el conjunto B es igual al rango de la función Rf es una función sobreyectiva.
a) La función f: ℝ ℝ ; x x2, no es sobreyec va pues no existe un número real x tal que x2 = –1. El rango de f(x) = x2 no es ℝ sino Rf = [0, ∞[ .
Unidad 5
a) Se elabora la gráfica de f(x) = x2. y No hay valores de x 4 tal que f(x) = –1.
Recuerda que el rango es el conjunto de valores que puede tomar la función Rf = {f(x) | x ∈ A}.
b) La función f: ℝ ℝ ; x x3 es sobreyec va pues un número y en ℝ es imagen del número 3 y. Al evaluar se ene: f( 3 y) = ( 3 y)3 = y. El rango de f(x) = x3 es Rf. = ℝ.
roblemas Iden fica si cada una de las siguientes funciones es sobreyec va. a) f: ℝ ℝ b) f: ℝ ℝ c) f: ℝ ℝ x x x 3x – 2 x x2 – 1 d) f: ℝ ]–∞, 0] e) f: ℝ ℝ f) f: [0, ∞[ [0, ∞[ x –x2 x –x2 + x x x g) f: ℝ – {0} ℝ h) f: ℝ – {1} ℝ – {0} i) f: ℝ ℝ 1 1 x |x| x x 1–x x
El conjunto ]– ∞, a[ ∪ ]a, ∞[ se puede escribir en la forma ℝ – {a}, que representa el conjunto de los números reales exceptuando al número a.
f(x) = |x|es la función valor absoluto.
115
1.3 Funciones biyec vas* Una función f: A B es biyec va si es inyec va y sobreyec va a la vez. • Si una función no es inyec va se puede restringir el dominio para que sea inyec va, en algunos casos se puede hacer de varias maneras. • Para que la función f sea sobreyec va basta encontrar el rango Rf y hacer B = Rf. Se llama restricción de la función f a la que se ob ene como resultado de los pasos anteriores.
1. Verifica que la función f: ℝ [0, ∞[ ; x x2 no es biyec va. 2. Haz una restricción del dominio para que la función f sea biyec va. y y = f(x) 4 3
1. Las rectas horizontales cortan en dos puntos a la gráfica, así la función no es inyec va, por lo que tampoco es biyec va.
2 1 2
1
0
1
x
2
y y = f1(x)
2. Eliminando los puntos con primera coordenada nega va, se ob ene la gráfica de una función inyec va, a la que se denomina f1. Su dominio es [0, ∞[ y su rango es [0, ∞[. Por lo tanto, la función f1: [0, ∞[ es inyectiva y sobreyectiva.
[0, ∞[; x
4 3 2
x2 es biyectiva pues
1 2
1
2
1
0
3
x
y y = f2(x) 4
Otra restricción de f se ob ene eliminando los puntos con primera coordenada posi va.
3 2 1 2
1
0
1
2
3
x
Por lo tanto, la función f2: [–∞, 0[ pues es inyectiva y sobreyectiva.
[0, ∞[; x
x2
es biyectiva
roblemas
Determina si cada función es biyec va, si no lo es, haz una restricción de f para que lo sea. a) f: ℝ x
ℝ x
b) f: ℝ x
d) f: ℝ x
ℝ x2 – 2x + 3
e) f: ℝ – {0} x h) f: ℝ ℝ x 2x
g) f: ℝ – {1} x
116
ℝ 1 1+1–x
c) f: [0, 10] x
ℝ x–1 ℝ – {0} 1 x
[0, ∞[ x2
f) f: ℝ x
[0, ∞[ |x|
i) f: ℝ x
ℝ 2–x – 1 + 1
1.4 Composición de funciones En el departamento de Morazán el beneficio promedio, en dólares, que ob ene un productor de dulce de atado está dado por f(x) = 0.53x , donde x representa la inversión realizada por el productor. Se sabe que la inversión realizada por un productor está dada por la función g(x) = 69.19x, donde x es el número de toneladas de caña de azúcar u lizadas. A par r de lo anterior contesta: 1. ¿Cuál es la inversión realizada por el productor si u liza 2 toneladas? 2. ¿Cuál es el beneficio obtenido por el productor si u liza 2 toneladas? 3. Determina una función que proporcione el beneficio obtenido a par r de una can dad x de toneladas de caña de azúcar u lizadas.
x
g
Toneladas
2. La inversión realizada al u lizar 2 toneladas es g(2) = $138.38. U lizando la función de beneficio f se ene que f(g(2)) = f(138.38) = 0.53(138.38) = 73.3414. Por lo tanto, el beneficio es de $ 73.3414.
x
Inversión
f
Inversión
3. Al u lizar x toneladas se ene una inversión de g(x) = 69.19x. Al u lizar una inversión g(x) se ene un beneficio de f(g(x)) = 0.53(g(x)) . Por lo tanto, el beneficio a par r de la can dad x de toneladas es f(g(x)) = 0.53(69.19x) = 36.6707x.
x Toneladas
g
g(x)
f(x) Beneficios
g(x)
f
Inversión
f(g(x)) Beneficios
Dadas dos funciones f(x) y g(x), la composición de f y g se denota por (f∘g)(x) y se define como: (f∘g)(x) = f(g(x)) La composición de f y g es una función que resulta de evaluar la función g(x) en la función f(x). La expresión f∘g se lee f compuesta con g. La expresión f(g(x)) se lee f de g de x.
Unidad 5
1. U lizando la función de inversión g, se ene g(2) = 69.19(2) = 138.38. Por lo tanto, la inversión realizada es de $138.38.
Efectúa las composiciones f∘g y g∘f, con las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x – 3. (f∘g)(x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 se evalúa la función g(x) en f(x), = 2(x – 3) + 1 Observa que, en general, (f∘g)(x) no es igual a (g∘f)(x): = 2x – 6 + 1 Por lo tanto, (f∘g)(x) = 2x – 5. (g∘f)(x) = g(f(x)) = f(x) – 3 se evalúa la función f(x) en g(x), = (2x + 1) – 3 = 2x – 2 Por lo tanto, (g∘f)(x) = 2x – 2.
Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x – 3 se ene que (f∘g)(x) = 2x – 5 y (g∘f)(x) = 2x – 2. En este caso (f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x).
roblemas
Efectúa la composición f∘g de las siguientes funciones: a) f(x) = 4x, g(x) = 3x b) f(x) = –x + 2, g(x) = x + 5 1 d) f(x) = x , g(x) = x + 1
g) f(x) = x + 1, g(x) = 2x
e) f(x) = x + 1, g(x) = 1 x 1 h) f(x) = x , g(x) = 5x
c) f(x) = x + 1 , g(x) = x – 4 f) f(x) = 3x, g(x) = x + 2 i) f(x) = x , g(x) = 4x
117
1.5 Dominio de la función composición* Se ene la gráfica de las funciones f: [0, ∞[ y 2
Df = [0, ∞[ Rf = [0, ∞[
y = f(x)
0
1
2
3
2
Dg = ℝ Rg = ℝ
1 –1
x y g: ℝ y
[0, ∞[; x
x
ℝ; x
x – 1.
y = g(x)
1 –1
–1
0
1
2
3
x
–1
La composición está definida como (f∘g)(x) = f(g(x)), es decir g(x) se evalúa en f(x). A par r de esto, realiza lo siguiente: a) Determina el intervalo de los valores que puede tomar g(x) para que f(g(x)) esté definida. b) ¿Cuál es el intervalo de valores que debe tomar x para que g(x) esté en el intervalo del literal anterior? a) Los valores que g(x) puede tomar deben estar en el domino de f(x). Por lo que el intervalo que se pide es [0, ∞[. b) Se determina el intervalo a par r de la gráfica. y y y = f(x)
2
2
1 –1
En la función g(x) los valores del intervalo [0, ∞[ se ob enen al evaluar los valores del intervalo [1, ∞[.
y = g(x)
1
0
1
2
3
x
–1
–1
0
1
2
3
–1
x
Por lo tanto, x debe tomar valores en el intervalo [1, ∞[ para que g(x) esté en el intervalo [0, ∞[.
El dominio de la composición de f y g está dado por el conjunto: Df∘g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}. El dominio de la composición de funciones (f∘g)(x) son los valores que pertenecen a Dg (el dominio de g(x)) tal que g(x) pertenece a Df (el dominio de f(x)). U lizando las funciones: f(x) = x – 9, con dominio Df = [9, ∞[, y g(x) = 3x, con dominio Dg = ℝ, encuentra el dominio de la función compuesta (f∘g)(x) = f(g(x)) = 3x – 9. Se tienen los dominios Df = [9, ∞[ y Dg = ℝ. Para determinar Df∘g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df} se tiene que g(x) es un valor de Df = {x ∈ ℝ | x ≥ 9} si se cumple que g(x) ≥ 9, sustituyendo se obtiene 3x ≥ 9, por lo que x ≥ 3 entonces Df∘g = {x ∈ Dg | x ≥ 3}. Por lo tanto, Df∘g = [3, ∞[.
roblemas Determina el domino de la composición de funciones (f∘g)(x):
118
a) f: ℝ x
ℝ 3x + 1
g: ℝ x
ℝ 2x + 4
b) f: [3, ∞[ [–1, ∞[ x x2 – 12x + 35 g: [0, ∞[ [0, ∞[ x x
c) f: [–1, ∞[ [–1, ∞[ x x2 – 1 g: ℝ – {0} x
ℝ –{0} 1 x
d) f: [0, ∞[ [0, ∞[ x x g: ℝ – {0} ℝ – {0} 1 x x
1.6 Función inversa 1
Dadas las funciones f(x) = 2x + 2 y g(x) = 2 x – 1, efectúa las composiciones: a) (f∘g)(x) b) (g∘f)(x)
a) (f∘g)(x) (f∘g)(x) = f(g(x))
b) (g∘f)(x) (g∘f)(x) = g(f(x)) 1
= 2(g(x)) + 2
(1
= 2 (2x + 2) – 1
)
= 2 2x – 1 + 2
=x+1–1
=x–2+2
=x Por lo tanto, (g∘f)(x) = x.
=x Por lo tanto, (f∘g)(x) = x.
La función inversa f –1 cumple (f ∘ f –1)(x) = f(f –1(x)) = x, así para encontrar la ecuación de la función inversa se despeja y de la ecuación f(y) = x, donde y = f –1(x).
Obtén la función inversa de f(x) = 2x + 2. Escribe la ecuación f(y) = x, ⇒ evalúa y en f(x) = 2x + 2
⇒ 2y + 2 = x,
al despejar y se ob ene:
⇒
1
y = 2 x – 1.
1
Por lo tanto, f –1(x) = 2 x – 1.
Unidad 5
Sea f: A B una función, si una función g: B A cumple las condiciones: 1. (f ∘g)(x) = x, para todo valor x en B. 2. (g∘ f)(x) = x, para todo valor x en A. entonces a g se le llama la función inversa de f y se denota por f –1.
A la función h(x) = x se le denomina función iden dad. Para una función l: A B, la función identidad cumple las siguientes condiciones: 1. Si h: B
B; x
x entonces (h∘l)(x) = l(x).
2. Si h: A
A; x
x entonces (l∘h)(x) = l(x).
roblemas 1. Determina la ecuación de la función inversa de las siguientes funciones. a) f: ℝ x
ℝ 5x – 1
e) f: ℝ – {1} x
ℝ – {1} x+1 x–1
b) f: ℝ x
c) f: ℝ x
ℝ x3
f) f: [0, ∞[ x
[0, ∞[ x
[1, ∞[ (x – 2)2 + 1
g) f: [0, ∞[ x
[1, ∞[ x2 + 1
d) f: ℝ – {0} x h) f: [1, ∞[ x
ℝ – {0}
1 x
[0, ∞[ (x – 1)2
2. Comprueba con la composición de funciones, que la función encontrada en cada literal del problema anterior es la función inversa. Comprueba que (f∘f –1)(x) = x y (f –1∘f )(x) = x.
119
1.7 Existencia, dominio y rango de la función inversa 1
a) Grafica las funciones f(x) = 2x + 2 y f –1(x) = 2 x – 1 en un mismo plano cartesiano y observa que si (a, b) es un punto de la gráfica de f entonces (b, a) es un punto de la gráfica de f –1.
Los puntos (a, b) y (b, a) son simétricos respecto a la recta y = x.
b) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f, demuestra que si f posee función inversa f –1, entonces (b, a) es un punto de la gráfica de f –1. c) Grafica la función f(x) = x2, luego para cada punto (a, b) de f(x) gráfica el punto (b, a) y dibuja la curva que une estos puntos. d) La curva que obtuviste en c), ¿corresponde a la gráfica de una función? y
a) Se observa que las gráficas de f y f –1 son simétricas respecto a la recta y = x. Por lo tanto, si (a,b) es un punto de la gráfica de f entonces (b, a) es un punto de f –1. b) (a, b) es un punto de la gráfica de f si y solo si f (a) = b. Al aplicar la función inversa a la ecuación anterior se tiene f –1(f (a)) = f –1(b). Así, por la definición de función inversa se ene: a = f –1(b). Por lo tanto, si (a, b) es un punto de la gráfica de f entonces (b, a) es un punto de la gráfica de f –1.
x
Rf
Rf
(2,0)
x
(0,–1) –2
y
0 –1
1
2
3
4
y
(a, b)
x
–2
La gráfica de f –1 es simétrica a la de f, con eje de simetría y = x. El punto (a, b) es simétrico al punto (b, a).
||
–1
f
1
||
Df
El dominio de la función inversa es el rango de la función inicial y el rango de la función inversa es el dominio de la función inicial: Df = Rf y Rf = Df.
0
1
d) La curva que se obtuvo no corresponde a la gráfica de una función pues hay rectas ver cales que cortan en dos puntos a la curva.
Si (a, b) es un punto de la gráfica de f(x) entonces (b, a) es un punto de la gráfica de f –1(x).
f–1
1 (–1,0) –2
2
c) Se grafican algunos puntos (b,a): (0, 0), (1, 1), (1, –1), (4, 2), (4, –2). Se traza la curva que une estos puntos.
Una función f: A B posee función inversa si y solo si es biyectiva. De acuerdo a la clase 1.3, una función puede restringirse para que sea biyectiva y así tener función inversa.
f
(0,2)
f f–1
(b, a) x
f (x) f–1 –1
Df
–1
–1
roblemas En los siguientes literales determina la función inversa, su dominio y su rango. Además grafica la función y su inversa en el mismo plano cartesiano. En el literal d) realiza una restricción de la función. a) f: ℝ x
120
ℝ 3x – 2
b) f: ℝ – {–1} x
ℝ – {0} c) f: ]–∞, 0] 1 x x+1
[0, ∞[ x2
d) f: ℝ x
ℝ (x + 1)2 – 4
2.1 Definición de logaritmo ¿Qué valor debe tomar el exponente x para que se cumplan las siguientes igualdades? 1 a) 2x = 8 b) 3x = 27 1
a) 2x = 8
b) 3x = 27
2x = 23
Se escribe 8 como potencia de 2.
3x = 27–1
x=3
3x = (33)–1
Por lo tanto, x = 3.
3x = 3–3
Se escribe como potencias de la misma base.
x = –3 Por lo tanto, x = – 3. Sean a, b y x números reales tal que b > 0, a > 0 y a ≠ 1, se define el logaritmo base a de un número b como sigue:
y
y = ax
b
logab = x ⇔ ax = b Significa que el logaritmo es el exponente al que se debe elevar el número a, llamado base, para obtener el número b.
En el Problema inicial se ene que a) 23 = 8 ⇔ log28 = 3 y se lee el logaritmo base 2 de 8 es igual a 3. 1 1 1 b) 3–3 = 27 ⇔ log327 = –3 y se lee el logaritmo de 27 base 3 es igual a –3.
logab
0
argumento logaritmo
logab
base
roblemas 1. Escribe como un logaritmo cada una de las siguientes potencias. a) 22 = 4
1
b) 34 = 81
1
3
e) 22 = 2
1
c) 10–1 = 10
f) 252 = 125
2
d) 4–2 = 16 –5
3
g) 23 = 4
h) 2 3 = 3
1 32
2. Escribe cada logaritmo como una potencia. a) log264 = 6
b) log525 = 2
5
f) log34 3 = 4
e) log432 = 2
122
1
1
c) log5 5 = –1 3
g) log4 8 = 4
1
d) log3 27 = – 3 h) log2
1 1 =– 2 2
x
2.2 Logaritmo de un número 1. Calcula el valor de los siguientes logaritmos: a) log216
b) log3 1 9
2. Demuestra que logaac = c, con a > 0 y a ≠ 1.
b) log3 1
1. a) log216
9
Sea x = log216
Sea x = log3 1
x = log216 ⇔ 2x = 16 se aplica la definición de logaritmo, ⇔ 2x = 24 se resuelve la ecuación,
x = log3 9 ⇔ 3x = 9
9 1
1
1
⇔ 3x = 32
⇔ x = 4.
se aplica la definición de logaritmo, se escribe 9 como potencia de 3,
⇔ 3x = 3–2 se reescribe con exponente negativo, ⇔ x = –2.
Calcular el valor de un logaritmo x = logab es encontrar el valor del exponente x que cumple ax = b. De manera general para encontrar el valor de un logaritmo se realizan los siguientes pasos: 1. Se escribe como potencia logab = x ⇔ ax = b. 2. Se resuelve la ecuación ax = b. 1 Si b = ac entonces logab = c, por lo que logaac = c con a > 0 y a ≠ 1.
Unidad 5
2. Se ene que x = logaac ⇔ ax = ac. Por lo tanto, x = c.
a = a ⇔ logaa = 1 a0 = 1 ⇔ loga1 = 0
Encuentra el valor del logaritmo log464. Solución 1 Sea x = log464 entonces x = log464 ⇔ 4x = 64 ⇔ 22x = 26 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3. Solución 2 U lizando la propiedad logaac = c: log464 = log443 = 3.
roblemas Determina el valor de los siguientes logaritmos: a) log1010
b) log31
e) log981
f) log 12 4
i) log 12
1 2
1
j) log3
1 3
c) log22100
d) log232
g) log84
h) log25125
1
k) log4 2
l) log 1 9 3
123
2.3 Propiedades de los logaritmos* 1. Compara el resultado de la operación y el logaritmo para cada uno de los siguientes literales. a) log24 + log28 y log232 b) log28 – log24 y log22 c) 3log24 y log243 d) log282 y log243 2. Demuestra las siguientes propiedades. a) logaM + logaN = logaMN c) blogaM = logaMb
b) logaM – logaN = loga M N d) logaM = logaN ⇔ M = N
1. a) log24 + log28 = log222 + log223 y log232 = log225 =2+3 =5 =5
b) log28 – log24 = log223 – log222 y log22 = 1 =3–2 =1
Por lo tanto, el resultado es el mismo. Se observa que log24 + log28 = log2(4 × 8) = log232.
Por lo tanto, el resultado es el mismo. 8 Se observa que log28 – log24 = log2 4 = log22.
c) 3 log24 = 3log222 y log243 = log2(22)3 = log226 = 3(2) =6 =6
d) log282 = log226 y =6
Por lo tanto, el resultado es el mismo. Se observa que 3 log24 = log243 = 6.
Por lo tanto, el resultado es el mismo. Se observa que 82 = 43.
2. Sean x = logaM y y = logaN, por definición se ene M = ax y N = ay. a) Se ene el producto MN = ax ay = ax + y Al escribir como logaritmo: logaMN = x + y Por lo tanto, logaMN = logaM + logaN.
M
log243 = log226 =6
ax
b) Se ene el cociente N = ay = ax – y Por definición de logaritmo loga M = x – y N
Por lo tanto, loga M = logaM – logaN. N
c) Se ene la potencia Mb = (ax)b = abx Se reescribe como logaritmo bx = logaMb Por lo tanto, blogaM = logaMb.
d) En este caso x = logaM y x = logaN Entonces M = ax y N = ax Por lo tanto, M = N.
Sean a, M y N números posi vos con a ≠ 1, los logaritmos cumplen las siguientes propiedades: 1. logaM + logaN = logaMN
2. logaM – logaN = loga M
3. blogaM = logaMb
4. logaM = logaN ⇔ M = N
N
Observa: (log24)3 = 23 = 8 y log243 = 3log24 = 3(2) = 6. Se ene que (log24)3 ≠ log243. Por lo que, en general, (logaM)b ≠ logaMb
roblemas Efectúa las siguientes operaciones. a) log42 + log48
b) log612 + log618
12
124
2
6
d) log26 – log224
e) log2 5 + log2 5
f) log3 54 + log3 33
g) log3 7 – log3 2
h) log4 3 – log412 10
i) 3log93 + log9243
j) 5log48 + 3log432
k) 2log254 – 3log218
l) 2log2312 – 2log2318
3
11
c) log296 – log23 21
5
2.4 Cambio de base de un logaritmo* ¿Cómo calcularías el valor de log25 u lizando el logaritmo base 10?
La mayoría de calculadoras cien ficas solo permiten encontrar el valor de logaritmos de base 10 y e. El número neperiano: e = 2.718281828459045...
Sea x = log25. Entonces: 2x = 5 por la definición de logaritmo, x se aplica logaritmo a ambos lados de la igualdad, log 2 = log 5 x log 2 = log 5 u lizando propiedades de logaritmo,
El logaritmo base 10, usualmente, se denota sin la base: log10a = log a.
log 5
x = log 2 . Se u liza la calculadora para determinar el cociente: log
5
÷
log
2
=
⇒
Pantalla de la calculadora
Por lo tanto, log25 = 2.321928095... Sean a, b y c números posi vos tales que a ≠ 1 y c ≠ 1. Se denomina cambio de base a la igualdad: log b logab = logca
1. Demuestra la propiedad del cambio de base para c = 10.
2. Calcula el valor de log48.
En este caso no es necesario u lizar la calculadora.
Se u liza c = 2.
Se ene que x = logab ⇔ ax = b. Se aplica logaritmo base 10: log a = log b. x
log 8
log 23
Unidad 5
c
3
log48 = log24 = log222 = 2 . 2
2
3
Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia x log a = log b. log b
Se despeja x: x = log a , log a ≠ 0 ya que a ≠ 1.
Por lo tanto, log48 = 2 . Se puede u lizar cualquier base. log 8
log 23
3log 2
3
log48 = log34 = log322 = 2log32 = 2 . 3 3 3
log b
Por lo tanto, se ene que logab = log a .
roblemas 1. Simplifica los siguientes logaritmos con la propiedad de cambio de base. 1
a) log432
b) log4 8
c) log9 3
e) log 19 27
f) log 271 3
g) log 14 8
1 2 1 1 h) log 8 3 4
d) log4
2. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a) log524
1
b) log2 3
c) log 12 5
d) log 13 2
Observa que el argumento del logaritmo y la base son potencias de una misma base.
U liza c = 10.
125
2.5 Definición de la función logarítmica y su gráfica 1. a) U liza la siguiente tabla para graficar la función f(x) = log2x. x
1 4
1 2
1
2
2. a) U liza la siguiente tabla para graficar la función f(x) = log12x. 1 4
x
4
y
1 2
( 1) 1 1 1 ene f ( 2 ) = log 2 = log 2
1
1. a) Si x = 4 se ene f 4 = log2 4 = log22–2 = –2 1
Si x = 2 se
–1
2
2
= –1
1
2
1
Si x = 2 se
Si x = 2 se ene f(2) = log22 = 1
Si x = 2 se
Si x = 4 se ene f(4) = log24 = log222 = 2
Si x = 4 se
1 4
1 2
–2 –1
1
1
2
1
2 1
2 1
2
1
2
4
x
1 4
1 2
1
2
0
1
2
y
2
1
0
–1 –2
Se traza una curva sobre los puntos obtenidos. y
2
1
1
–1
2 1
–2
2
4
2
y = log2x
1
1
log2a
1 a 2
3
4
b
x
1 2
b) Si 0 < a < b, entonces log2a < log2b. Por lo tanto, f(x) = log2x es creciente. La función logarítmica se define como sigue f: ]0, ∞[ x donde a es un número posi vo y a ≠ 1.
a 0
log2a
1
x
b 2
3
4
1
2
log2b
y = log x 1 2
b) Si 0 < a < b, entonces log 12 a > log 12 b. Por lo tanto, f(x) = log 12 x es decreciente. ℝ loga x
Un logaritmo está bien definido si el argumento es posi vo. La gráfica de f(x) = loga x pasa por los puntos (1, 0) y (a, 1).
La monotonía de la función f(x) = loga x se describe a con nuación: 1. Es creciente si a > 1. 2. f(x) = Es decreciente si 0 < a < 1.
roblemas Grafica las siguientes funciones logarítmicas. a) f(x) = log3x b) f(x) = log4x
126
0
2
Se traza una curva sobre los puntos obtenidos. y
log2b
0
( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ene f ( 2 ) = log 2 = log 2 = 1 1 ene f(1) = log 1 = log ( 2 ) = 0 1 ene f(2) = log 2 = log ( 2 ) = –1 1 ene f(4) = log 4 = log ( 2 ) = –2
2. a) Si x = 4 se ene f 4 = log 12 4 = log 12 2 = 2
Si x = 1 se
2
4
b) ¿La función f(x) = log 12 x es creciente o decreciente?
Si x = 1 se ene f(1) = log21 = log220 = 0
y
2
y
b) Determina si la función f(x) = log2x es creciente o decreciente.
x
1
c) f(x) = log 13 x
d) f(x) = log 14 x
2.6 Relación entre las funciones exponencial y logarítmica 1. Grafica en un mismo plano cartesiano las funciones f(x) = log2x y g(x) = 2x y observa que si (a,b) es un punto de f entonces (b, a) es un punto de g. 2. Efectúa las composiciones: a) f(g(x)) b) g(f(x))
1. La función f(x) = log2x se graficó en la clase anterior y la función g(x) = 2x se graficó en la clase 2.1 de la unidad 4. y y = g(x) f(x) = log2x g(x) = 2x 3 2 (–2, 14)
(–1, 2
1) 2
(4,2)
(0,1) 1
y = f(x)
(1,2)
(2,1) (1,0) 2
0
3
4
x
(12, –1) (14, –2)
2. Efectúa las composiciones: a) f(g(x)) = f(2x) = log22x =x
(4, 2)
(2, 4)
(2, 1)
(1, 2)
(1, 0)
(0, 1)
( 12 , –1) ( 14 , –2)
(–1, 12 ) (–2, 14 )
b) g(f(x)) = g(log2x) = 2log x =x
Por la definición de logaritmo alog x = x.
2
a
y
1. Las funciones y = logax y y = ax son simétricas respecto a la recta y = x, donde a > 0 y a ≠ 1.
a, b
y = ax
2. Para dos números reales a y b con a > 0 y a ≠ 1 se ene que logaab = b y alog b = b (con b > 0).
b, a
a
3. La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. ]0, ∞[ f –1: ]0, ∞[ ℝ f: ℝ x x logax x a
Unidad 5
(2,4)
4
y = logax
0, 1
x
1, 0
y=x
4. y = ax ene como asíntota horizontal la recta y = 0, haciendo uso de la simetría se ob ene que y = logax ene como asíntota ver cal la recta x = 0. 5. El dominio de la función logaritmo es el rango de la función exponencial: ]0, ∞[. El rango de la función logaritmo es el dominio de la función exponencial: ℝ. 6. La función logaritmo, al ser la inversa de la función exponencial, es una función biyectiva.
roblemas Para cada función escribe su función inversa y gra calas en el mismo plano cartesiano. 1 x a) f(x) = log3x b) f(x) = log4x Recuerda que c) f(x) = f 4
()
()
1 x 4
= 4–x
127
2.7 Ecuaciones logarítmicas, parte 1 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones encontradas. a) log2x = 3 c) log5x2 = 4
b) log3(x – 1) = 2 d) log6(3x(x + 1)) = 2
Verifica que el argumento del logaritmo es posi vo al sus tuir los valores encontrados. Cuando se trata con logaritmos se consideran solo las soluciones reales.
b) Se u liza la definición de logaritmo: log3(x – 1) = 2 ⇔ x – 1 = 32 ⇔ x – 1= 9 ⇔ x = 10.
a) Se u liza la definición de logaritmo: log2x = 3 ⇔ x = 23 ⇔ x = 8. Como 8 > 0 entonces, x = 8 es solución de la ecuación. c) Se u liza la definición de logaritmo: log5x2 = 4 ⇔ x2 = 54 ⇔ x = ±52 ⇔ x = ±25
Puesto que 10 – 1 = 9 > 0. Por lo tanto, x = 10 es solución de la ecuación. d) Se u liza la definición de logaritmo: 3x(x + 1) = 62 Se resuelve la ecuación: 3x2 + 3x – 62 = 0 ⇔ 3(x + 4)(x – 3) = 0 ⇔ x = –4 o x = 3
Se verifica que (±25)2 > 0. Por lo tanto, x = 25 y x = –25 son soluciones de la ecuación.
Verificando si x = –4, 3(–4)(–4 + 1) = 36 > 0. Si x = 3, 3(3)(3 + 1) = 36 > 0. Por lo tanto, x = –4 y x = 3 son soluciones de la ecuación.
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la cual aparece la variable x en el argumento del logaritmo. Para resolver una ecuación de la forma loga M = b , donde M es una expresión algebraica de variable x, se resuelve la ecuación ab = M que se ob ene al aplicar la definición de logaritmo: loga M = b ⇔ ab = M. Luego se verifica si las soluciones encontradas sa sfacen la condición del argumento M > 0. Además, las ecuaciones exponenciales pueden resolverse aplicando logaritmos: log b
ax = b ⇔ log ax = log b ⇔ xlog a = log b ⇔ x = log a
Observa la siguiente solución: log 7
7x = 2 ⇔ log 7x = log 2 ⇔ x log 7 = log 2 ⇔ x = log 2 ⇔ x = 2.80735...
roblemas 1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log3x = 4 e) log4x = –2 i) log (x(20 – x)) = 2
b) log2(x + 1) = 5 f) log3(2x + 1) = –1 j) log6(x(13 – x)) = 2
c) log2x2 = 6 g) log2x2 = –2 k) log (x(x + 3)) = 1
2. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 9x = 15
128
b) 2x + 1 = 13
c) 52x – 1 = 1 953 125
d) log3x3 = 6 h) log2(x2 + 4) = 3 1 l) log1x = 4 2
2.8 Ecuaciones logarítmicas, parte 2 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x + log2(x – 1) = 1
a) Se usa la propiedad de la suma de logaritmos: log2x + log2(x – 1) = log2(x(x – 1)) sustituyendo en la ecuación se obtiene: log2(x(x – 1)) = 1 se debe aplicar la definición y resolver: log2(x(x – 1)) = 1 ⇔ (x(x – 1)) = 21 ⇔ x2– x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x=2ox=–1
b) log5(2x) = log5(x + 1)
b) log5(2x) = log5(x + 1) 2x = x + 1 x=1
Se u liza la propiedad: logaM = logaN ⇒ M = N se resuelve la ecuación.
Se evalúa x = 1 en cada logaritmo 2(1) = 2 > 0 y 2 + 1 = 3 > 0. Por lo tanto, la solución es x = 1.
Por lo tanto, la solución es x = 2.
Para resolver las ecuaciones logarítmicas se u lizan las propiedades de los logaritmos para llevar la ecuación a la forma logaM = b. 1. Para todo M y N, números posi vos se cumple que a) logaM + logaN = logaMN b) logaM – logaN = loga M c) logaMb = blogaM 2. Se debe comprobar que el argumento de cada logaritmo es posi vo al sus tuir los valores encontrados para verificar que son soluciones de la ecuación.
Unidad 5
se verifica que el argumento es posi vo en cada logaritmo: si x = 2, 2 > 0, 2 – 1 = 1 > 0. Si x = –1, –1 < 0. No es solución de la ecuación.
N
d) logaM = logaN ⇔ M = N En la propiedad logaMb = blogaM, M debe ser un número posi vo. Si b es par se debe tener cuidado. Ejemplo: log3x2 = 4 ⇔ 2log3x = 4 ⇔ log3x = 2 ⇔ x = 32 = 9 En este caso falta la solución x = –9. Así, es mejor no u lizarla en la solución de ecuaciones.
roblemas Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log2x + log2(x – 2) = 3
b) log1(x2 + 1)2 = –2
c) log4(3x) + log4(x – 2)–1 = 1
d) log (x + 1) = log (1 – x)
e) log8(x – 3)9 = 6
f) log1(x – 2)6 = –18
g) log3(x + 1) + log3(x2 – x + 1) = 2
h) log2(x4 – 6x2 + 16)4 = 12
5
2
129
2.9 Logaritmo base 10 y logaritmo natural* 1. Determina el valor de log 22019. 2. ¿Cuántos dígitos ene el número 22019?
Observa que n se escribe con 1 dígito si y sólo si 100 ≤ n < 101 n se escribe con 2 dígitos si y sólo si 101 ≤ n < 102 n se escribe con 3 dígitos si y sólo si 102 ≤ n < 103
1. Se calcula log 22019 = 2019log 2 = 607.77956... 2. Observa el número de dígitos de los números 1, 2,..., 9, 10, 11, 12, ..., 99, 100, 101, ..., 999, 1 000, 1 001, ..., 9 999, 10 000, 10 001... 2 dígitos 4 dígitos 5 dígitos 1 dígito 3 dígitos y Entonces se puede deducir que, si n es un número posi vo: n se escribe con m dígitos si y sólo si 10m–1 ≤ n < 10m
y = 10x
m
10 2 019
está determinado El número de dígitos de 2 por el exponente m tal que 10m–1 ≤ 22 019 < 10m ⇔ log 10m–1 ≤ log 22 019 < log 10m ⇔ m – 1 ≤ log 22 019 < m Del problema 1 se ene que 607 ≤ log 22 019 < 608. Por lo tanto, 22 019 se escribe con 608 dígitos.
n 10m – 1 0
m–1
log n
m
x
Observa que si 10m–1 ≤ n < 10m, entonces m – 1 ≤ log n < m, ya que la base es 10 > 1.
1. El logaritmo base 10 de un número a se denota por log a. 2. El número de dígitos de un número entero posi vo a es el número entero m inmediatamente mayor a log a. 3. El logaritmo natural de un número a es el logaritmo logea, la base es el número neperiano e = 2.71828..., y se u liza la notación logea = ln a. El logaritmo natural es muy ú l en el cálculo infinitesimal.
roblemas 1. ¿Cuántos dígitos enen las siguientes potencias? a) 32 019 b) 51 000
c) 2 0192 019
2. ¿Cuáles potencias de 2 enen 2 019 dígitos? 3. Obtener el valor de los siguientes logaritmos: a) ln 2 b) ln 3 c) ln 10 d) ln 1 e) ln 8 3
130
4
f) ln 11 3
En la calculadora u liza la tecla ln para calcular el logaritmo natural de un número.
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