Pienter 2- Leerwerkboek (ed. 2025) by VAN IN

Pi enter

A-stroom

LEERJAAR 2

proefversie©VANIN

1.1 Even herhalen

1.1.1 Wat is statistiek?

Statistiek is de wetenschap die gegevens (data) verzamelt, voorstelt en interpreteert.

Het doel is een beter inzicht krijgen in bepaalde verschijnselen.

Voorbeeld

Een reisbureau verzamelt gegevens over zijn klanten:

• Welke vakantiebestemmingen zijn populair?

• Hoeveel reizigers boeken hun vakantie via het internet?

Zo kan het reisbureau de nodige maatregelen nemen om zijn werking te verbeteren.

1.1.2 Gegevens verzamelen

In een klas doe je een onderzoek naar de gezinsvakantie van de leerlingen.

Zo’n onderzoek door vraagstelling noem je een enquête

Numerieke gegevens

Bepaalde gegevens of data druk je uit met een getal. Dat zijn numerieke data

Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel.

In een frequentietabel zie je hoeveel keer elk gegeven voorkomt.

Je noemt dat aantal keer de frequentie van het gegeven.

Voorbeeld

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?

aantal dagen03581522

aantal leerlingen321642

Categorische gegevens

proefversie©VANIN

Bepaalde gegevens of data druk je niet uit met getallen. Dat zijn categorische data

Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel.

Voorbeeld

Naar welk land trok je met je gezin op vakantie?

bestemming BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijkSpanjeTurkijegeen

aantal leerlingen 2611323

1.1.3 Gegevens voorstellen

Data kun je op verschillende manieren met een diagram voorstellen.

Dotplot Staafdiagram

proefversie©VANIN

België FrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen

vakantiebestemming

BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen

vakantiebestemming

Lijndiagram Cirkeldiagram

BelgiëFrankrijkNederlandOostenrijk Spanje Turkije geen

Een spreadsheet of digitaal rekenblad

Een spreadsheet of digitaal rekenblad is een computerprogramma.

Het programma bestaat uit werkbladen met cellen.

Die cellen zijn in rijen (1, 2, 3 ...) en kolommen (A, B, C ...) gerangschikt.

Elke cel kan een getal, een tekst of een formule bevatten.

Met een spreadsheet kun je gemakkelijk berekeningen uitvoeren.

Zo bepaal je bijvoorbeeld gemakkelijk de som van een reeks getallen.

Als je achteraf een getal in de reeks aanpast, past het rekenblad automatisch ook de som aan.

Spreadsheets gebruik je ook om diagrammen te tekenen. Het programma maakt een diagram naar keuze.

Daarvoor selecteer je de cellen met de gegevens en het gewenste diagramtype.

vakantiebestemming

België Frankrijk Nederland Oostenrijk Spanje Turkije geen

1.1.4 Modus, gemiddelde en mediaan

De modus

Definitie De modus

De modus is het gegeven met de grootste frequentie.

Symbool: Mo

Voorbeeld

Vakantiebestemming: Mo =

Het gemiddelde

Definitie Het gemiddelde

Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal.

Symbool: x

Opmerking

Je berekent het gemiddelde op één cijfer na de komma meer dan de gegeven getallen.

Voorbeeld

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie? 000335888888151515152222

x =

Het gemiddelde bepalen uit een frequentietabel

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?

aantal dagen03581522

aantal leerlingen321642

• Je berekent de som van het aantal dagen dat de leerlingen in totaal op vakantie waren met het gezin.

aantal dagen03581522

aantal leerlingen321642

som aantal dagen

• Je berekent het totaal aantal leerlingen.

aantal leerlingen321642

• Je berekent het gemiddelde.

De mediaan

Definitie De mediaan

De mediaan van een rij gerangschikte getallen is:

• het middelste getal als het aantal getallen oneven is;

• het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

Symbool: Me

Om de mediaan van een rij getallen te bepalen, rangschik je de getallen van klein naar groot.

Voorbeeld

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?

000335888888151515152222

Me =

De mediaan bepalen uit een frequentietabel

In een frequentietabel orden je de gegevens van klein naar groot.

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?

aantal dagen03581522

aantal leerlingen321642

Je stelt de leerlingen voor op een gerangschikte rij van minst naar meest aantal dagen dat ze met het gezin op reis waren in de grote vakantie.

aantal dagenaantal leerlingen

0 3De eerste 3 leerlingen waren 0 dagen op reis.

3 2

proefversie©VANIN

De volgende twee leerlingen, de 4e en de 5e leerling, waren 3 dagen op reis.

5 1De 6e leerling was 5 dagen op reis met het gezin.

8 6De 7e tot en met de 12e leerling waren 8 dagen op reis.

15 4De 13e tot en met de 16e leerling waren 15 dagen op reis.

22 2

18 leerlingen is een even aantal.

De laatste twee leerlingen, de 17e en de 18e leerling, waren 22 dagen op reis.

De mediaan is het gemiddelde van het aantal dagen dat de 9e en de 10e leerling op reis gingen.

Hoeveel dagen ging de 9e leerling op reis?

Hoeveel dagen ging de 10e leerling op reis?

Bepaal de mediaan.

Me =

Oefeningen

REEKS A

1 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksvragen? numeriekcategorisch

a)Wat is je lengte? r r

b)Wat is je favoriete schoolvakantie? r r

c)Hoeveel uur per week sport je? r r

d)Wat is jouw voornaam? r r

e)Welke internetbrowser gebruik je het meest? r r

2 Je vraagt aan 20 mensen met welk vervoermiddel ze tijdens de vakantie op reis gaan. Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

proefversie©VANIN

3 Je vraagt aan 15 Vlaamse gezinnen met kinderen hoeveel kinderen het gezin telt. Hieronder vind je hun antwoorden.

523211332132241

Bepaal de modus.

b) c)

Bepaal het gemiddelde.

Bepaal de mediaan.

aantal vakantiegangers

4 Aan 100 vakantiegangers die een week in het vakantiepark verbleven, vraagt de uitbater hoeveel dagen ze gebruikmaakten van het zwembad in het park. 25 20 15 10 5 0

aantal dagen

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het diagram.

b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?

r numerieke data r categorische data

c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.

d) Hoeveel dagen maakten de meeste vakantiegangers gebruik van het zwembad in het park?

Wat is de naam van dat gegeven in de statistiek?

5 In het lijndiagram lees je af hoeveel doelpunten elke speler maakte tijdens het voetbaltoernooi. aantal doelpunten 5 4 3 2 1 0

IbenMathiasBenMilanAchiel Antwan LouisBasDries Mats

a) Bepaal het gemiddelde.

b) Bepaal de mediaan.

6 Een reisbureau vraagt aan 50 mensen wat hun favoriete vakantieverblijf is. Ze kunnen kiezen uit: hotel, B&B, vakantiehuisje of kamperen. hotel bed and breakfastvakantiehuisje kamperen

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

verblijfplaatshotel B&Bvakantiehuisjekamperen aantal

b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?

r numerieke data r categorische data

c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.

e) Noteer een vraag die naar de modus bij dit onderzoek vraagt.

f) Bepaal de modus bij dit onderzoek.

7 Je vraagt aan 35 mensen hoeveel dagen van de week ze hun hobby beoefenen. Je noteert hun antwoorden in een frequentietabel.

aantal dagenaantal mensen a) Bepaal de modus.

b) Bepaal het gemiddelde.

c) Bepaal de mediaan.

8 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeken? numeriekcategorisch

a) De gewichtsklassen in het judo.

Mogelijke gegevens: -36 kg, -40 kg, -44 kg.

b) De reeksen in de jeugdafdelingen van het volleybal.

Mogelijke gegevens: U11, U13, U15.

c) Massa die een gewichtheffer kan tillen.

Mogelijke gegevens: 171 kg, 183 kg, 198 kg.

9 Op camping ‘De adelaar’ doet de uitbater een onderzoek naar het kampeermiddel waarmee de Belgen en de Nederlanders naar de camping komen.

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het lijndiagram.

tentvouwwagencaravanmobilhome

Belgen

Nederlanders

b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?

r numerieke data r categorische data

c) Bepaal voor beide nationaliteiten de modus.

Belgen: Nederlanders:

d) Welke kampeermiddelen zijn bij de Belgen populairder dan bij de Nederlanders?

e) Hoeveel kampeerders uit België en Nederland samen komen met de mobilhome naar ‘De adelaar’?

f) Maak met ICT een staafdiagram van de gegevens.

1.2 Statistisch onderzoek

1.2.1 Wat is statistisch onderzoek?

Statistisch onderzoek voer je uit om een beter inzicht te krijgen in bepaalde verschijnselen.

Voorbeelden

• Natuurpunt wil de toestand van de tuinvogels door de jaren heen volgen.

Natuurpunt organiseert daarvoor jaarlijks een vogeltelweek voor scholen.

• Om zijn service te verbeteren, doet een webwinkel een onderzoek naar de klantentevredenheid.

Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen:

• een onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht formuleren;

• data verzamelen;

• data analyseren;

• data interpreteren.

proefversie©VANIN

1.2.2 Een onderzoeksvraag of een onderzoeksopdracht formuleren

Om data te verzamelen, is een goede onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht belangrijk.

Voorbeelden

• Leerlingen tellen het aantal vogels op de speelplaats per soort.

• In welke mate zou je de webwinkel aanraden bij familie of vrienden?

Geef daarvoor een score van 0 tot 10.

1.2.3

Data verzamelen

Een onderzoeksvraag of -opdracht betreft vaak een grote groep. Die grote groep noem je de populatie

Voorbeelden

• Alle vogels in de Vlaamse tuinen.

• Alle klanten van de webwinkel.

Praktisch is het vaak onmogelijk om de volledige populatie te onderzoeken. Daarom verzamel je de gegevens bij een deel van de populatie. Dat noem je de steekproef. Voor de steekproef moet je met voldoende factoren rekening houden, zodat de steekproef een goede vertegenwoordiger is van de populatie. Je zegt dan dat de steekproef representatief is voor de populatie.

Voorbeeld

Als je een onderzoek doet naar de schoenmaat van 16-jarigen, moet je zowel jongens als meisjes bij het onderzoek betrekken.

1.2.4

Data analyseren

Nadat je data verzameld hebt, geef je de data weer in een tabel en in diagrammen.

Bij bepaalde onderzoeken kun je dan ook de modus, het gemiddelde en de mediaan bepalen.

1.2.5

Data interpreteren

Je trekt besluiten uit je analyse van de data.

Voorbeeld

Welke maatregelen kan de webwinkel nemen om de klantentevredenheid te verbeteren?

Oefeningen

REEKS A

10 De directeur wil weten of er veel telaatkomers in zijn school zijn.

Hij wil ook weten op welke dagen leerlingen het vaakst te laat komen.

Het staafdiagram toont de telaatkomers in een willekeurige schoolweek.

proefversie©VANIN

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het staafdiagram.

b) Bepaal het gemiddelde aantal telaatkomers per dag.

c) Bepaal de modus.

11 In opdracht van een supermarktketen doet een enquêtebureau een onderzoek naar de dag waarop mensen het liefst hun inkopen doen.

Bepaal de juiste stap in het statistische onderzoek.

• 500 gezinnen worden bevraagd.

A onderzoeksvraag formuleren

Bdata verzamelen

Cdata analyseren

Ddata interpreteren

• Op welke dag doe je het liefst jouw boodschappen?

• De supermarktketen zal in de toekomst ook op zondagvoormiddag haar deuren openen.

• Het enquêtebureau plaatst de data in een staafdiagram.

12 In een zak M&M’s zitten er niet van elke kleur evenveel M&M’s. Het cirkeldiagram toont de verdeling van de verschillende kleuren.

a) Omschrijf een goede onderzoeksopdracht om tot deze resultaten te komen.

proefversie©VANIN

b) In een zak van 250 g zitten gemiddeld 280 M&M’s. Vul de frequentietabel in voor een zak M&M’s van 250 g. Gebruik de gegevens uit het cirkeldiagram.

kleurbruinroodgeeloranjegroenblauw aantal

c) Vul de frequentietabel in aan de hand van eigen onderzoek van een zak M&M’s.

kleurbruinroodgeeloranjegroenblauwtotaal aantal % 100 %

d) Stel de gegevens uit vraag c voor met een cirkeldiagram. Gebruik ICT.

e) Stemmen de gegevens van jouw eigen onderzoek overeen met de data uit het gegeven cirkeldiagram?

13 Je doet een onderzoek naar de favoriete drank van je klasgenoten. Er is keuze uit de dranken op de drankkaart.

a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek.

b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Vul de resultaten in op de drankkaart.

DRANKKAART

plat water spuitwater cola limonade icetea

c) Maak een frequentietabel met de gegevens van de drankkaart.

d) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

e) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.

f) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.

g) Mogen we dit onderzoek veralgemenen naar de favoriete drank van alle Vlaamse leerlingen? Verklaar je antwoord.

14 Je hangt een thermometer op een vaste plaats op het schooldomein. Wekelijks lees je op hetzelfde tijdstip de temperatuur af.

a) Verwerk de gegevens in een tabel.

b) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.

c) Bepaal de gemiddelde temperatuur van de metingen.

d) Omschrijf de evolutie van de temperatuur over de verschillende metingen. Geef een verklaring voor die evolutie.

15 Je doet een onderzoek naar het aantal dagen per week dat leeftijdsgenoten hun hobby beoefenen.

a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek.

b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Noteer de gegevens in een frequentietabel.

aantal dagen01234567

aantal jongeren

c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

d) Mogen we dit onderzoek veralgemenen voor al jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar.

e) Hoeveel dagen per week beoefenen de ondervraagde jongeren gemiddeld hun hobby?

16 In een school werd op een vrijdag aan 60 leerlingen gevraagd hoeveel schoolboeken (handboeken, schriften en ringmappen) ze die dag met zich mee hadden. Je vindt de resultaten in de tabel hieronder.

9811971256812108775 811101012856778911108 88976689911109897 778611101089789779

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de frequentietabel.

c) Bepaal de modus.

d) Schat het gemiddelde en de mediaan aan de hand van het staafdiagram.

x = Me =

e) Bepaal met ICT het gemiddelde aantal boeken dat de leerling bij zich heeft.

f) Bepaal de mediaan met ICT.

g) Noem twee maatregelen die de school kan nemen om het aantal boeken dat een leerling elke dag met zich mee moet hebben, te verminderen.

17 Waarom is de steekproef niet representatief voor de populatie?

a) Om de favoriete voetbalclub van de Belgen te kennen, doet een enquêtebureau een rondvraag in West-Vlaanderen.

b) Om de gemiddelde schoenmaat van de 13-jarige Vlaming te kennen, wordt, verspreid over Vlaanderen, de schoenmaat van 2 000 jongens bepaald.

18 Als voetganger of fietser moet je de verkeersregels goed kennen. Doe een verkeerstest bij je leeftijdsgenoten en breng de resultaten in kaart. Stel je in de onderstaande situaties telkens in de plaats van de fietser.

r Ik moet wachten tot de wagen ingedraaid is.

r Ik ben verplicht om af te stappen en te voet op het zebrapad over te steken. Ik heb daarbij voorrang op de indraaiende auto.

r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad.

proefversie©VANIN

r Ik moet vertragen en indien nodig stoppen.

r Omdat ik van rechts kom, heb ik voorrang op auto's die van links komen.

r Ik moet verplicht stoppen op het einde van de weg.

r Als de auto vertrokken is, mag ik doorrijden.

r Ik heb voorrang op de auto en mag gewoon doorrijden.

r Ik wacht tot het licht groen is en en rijd dan door.

r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad.

r Ik mag doorrijden, maar moet voorrang verlenen als een auto wil indraaien.

r Ik moet afstappen en te voet op het zebrapad oversteken.

r Ik mag doorrijden op het rode fietspad. Ik heb voorrang op de wagen.

r Ik moet vertragen en voorrang verlenen aan de wagen, omdat die van rechts komt.

r Ik moet verplicht afstappen en op het zebrapad oversteken.

a) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas.

score aantal leerlingen

proefversie©VANIN

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel.

d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel.

e) Is deze steekproef representatief voor jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar je antwoord.

f) Noem twee maatregelen die de Vlaamse regering kan nemen om de kennis van de verkeersregels bij jouw leeftijdsgenoten te verbeteren.

g) Bepaal de mediaan.

h) Bepaal de gemiddelde score van de leerlingen.

i) Hoeveel procent van de leerlingen scoort meer dan het gemiddelde?

1.3 Spreidingsmaat: variatiebreedte

1.3.1

Inleiding

In de staafdiagrammen vergelijk je de resultaten van de toets wiskunde in de klassen 2A en 2B.

• aantal leerlingen:16

• x = 6,0

• aantal leerlingen:16

• x = 6,0

• Mo = 6 • Mo = 6

• Me = 6 • Me = 6

Wat stel je vast?

Gemiddelde, modus en mediaan geven een indruk van het centrum van verzamelde gegevens. Het zijn centrummaten

Klas 2A en 2B hebben dezelfde centrummaten, maar toch is het beeld van de resultaten in beide klassen verschillend. In klas 2B liggen de resultaten meer verspreid.

Om dat weer te geven, gebruiken we een spreidingsmaat, namelijk de variatiebreedte

1.3.2 Definitie

Definitie De variatiebreedte

De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

Symbool: R (‘R’ komt van het Engelse woord ‘range’.)

Voorbeeld

Klas 2A

Klas 2B

grootste waarnemingsgetalkleinste waarnemingsgetalvariatiebreedte

Oefeningen

REEKS A

19 Bepaal de variatiebreedte bij de gegevensreeks.

a) 5 8 9 12 14

proefversie©VANIN

b) 24 14 18 26 21

20 Bepaal de variatiebreedte.

REEKS B

21 In de tabellen vind je de resultaten voor een toets wiskunde en een toets Nederlands. Bepaal voor beide toetsen de variatiebreedte.

punten wiskunde012345678910

aantal leerlingen00013235410

punten Nederlands012345678910

aantal leerlingen02003135032

toets wiskunde toets Nederlands

variatiebreedte

22 Het diagram toont het aantal aanslagen per minuut tijdens een dactylotest.

a) Hoeveel personen namen deel aan de test?

b) Bepaal het gemiddelde aantal aanslagen per minuut van de deelnemers.

c) Bepaal de variatiebreedte.

23 Van een aantal zakken diepvriesscampi’s tel je het aantal scampi’s in de zak. aantal scampi’s aantal zakken 8 2 9 5 104 11 2 12 1 1312 1414

a) Hoeveel zakken werden onderzocht?

b) Bepaal de variatiebreedte.

c) Bepaal de modus.

d) Wat is het gemiddelde aantal scampi’s per zak?

REEKS C

24 In de les LO lopen de leerlingen 3 km. De leerkracht LO noteert de tijden.

leerlingJoeriKerlijneThiasYentlClint Rebecca MeryemMathijsMilan

tijd (min:sec)13:1214:3615:2415:3812:5414:1513:5211:5714:05

leerlingLisaKeremEmmaArthurJamillaBritt

tijd (min:sec)15:5414:4812:3813:2414:0713:58

a) Bepaal de gemiddelde looptijd van de leerlingen.

b) Bepaal de variatiebreedte.

1.4 Interpreteren bij statistisch onderzoek

1.4.1 Wat is statistisch onderzoek interpreteren?

Nadat je bij een statistisch onderzoek data hebt verzameld en geanalyseerd, kun je die analyse gebruiken om besluiten te trekken. Dat noem je interpreteren bij statistisch onderzoek.

1.4.2 Diagrammen interpreteren

Voorbeeld 1

Voor de sportdag kunnen de leerlingen kiezen uit acht sporten. Het cirkeldiagram toont de keuzes van de leerlingen.

Voor volgend schooljaar wil de school maar zes sporten plannen op de sportdag. Welke sporten haalt de school het best van de keuzelijst af?

Door het schrappen van twee sporten komen er vier begeleiders vrij. Aan welke twee sporten zullen de organisatoren die begeleiders het best toevoegen?

Voorbeeld 2

Een hogeschool doet een onderzoek naar het aantal eerstejaarsstudenten verpleegkunde. Daarbij maakt de school een onderscheid tussen jongens en meisjes.

De resultaten van het onderzoek vind je in het staafdiagram.

2013-20142014-20152015-2016 2016-20172017-2018 2018-20192019-20202020-20212021-2022 2022-20232023-20242024-2025

meisjes jongens

Zijn de volgende conclusies juist of fout? juistfout

a)De studies verpleegkunde zijn populairder bij meisjes dan bij jongens. rr

b)In het schooljaar 2021-2022 telde de school evenveel studenten verpleegkunde in het eerste jaar als in het schooljaar 2016-2017. rr

c)Het aandeel van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het aandeel van het aantal vrouwelijke studenten daalt. rr

1.4.3 Centrummaten en spreidingsmaat interpreteren

In de staafdiagrammen vergelijk je de resultaten van de toets Frans in de klassen 2A en 2B.

toets Frans in 2A

• aantal leerlingen:16

• x = 4,6

• Mo = 6

• Me = 6

• R = 7

Wat stel je vast?

toets Frans in 2B

proefversie©VANIN

Verklaar je vaststelling.

• aantal leerlingen:16

• x = 6,9

• Mo = 6

• Me = 6

• R = 7

Statistisch onderzoek in reclame

In de reclamewereld maakt men vaak gebruik van statistisch onderzoek om een product aan te bevelen.

In kleine lettertjes vind je dan meer informatie over het statistische onderzoek.

* Onder de merken douchegels en deodorants verkocht in de supermarkten. Opiniepeiling, 2018, IQVIA Operations Frankrijk, België, 50 dermatologen.

** Online studie uitgevoerd door Nielsen op een totaal van 5 000 consumenten in België eind 2018.

Oefeningen

REEKS A

25 Het diagram toont de top tien buitenlandse nationaliteiten van inwoners van het Vlaamse gewest. Zijn de uitspraken juist of fout?

Portugal

Turkije

Spanje

Frankrijk

Bulgarije

Italië

Marokko

Roemenië

Polen

Nederland

juistfout

a)In Vlaanderen wonen ongeveer tien keer zoveel Nederlanders als Spanjaarden en Portugezen samen. rr

b)Meer dan de helft van de inwoners met vreemde nationaliteit in Vlaanderen is Nederlander.

c)In Vlaanderen komen de inwoners met een vreemde nationaliteit maar uit tien verschillende landen.

d)Van de top tien van de buitenlandse nationaliteiten van inwoners van Vlaanderen komt ongeveer 10 % uit Roemenië. rr

26 Zijn de uitspraken in verband met de tabel juist of fout?

aantal inwoners per km2 in België aantal inwoners per km2 in België aantal inwoners per km2 in België

juistfout

a)Volgens de gegevens uit de tabel zal de Belgische bevolking in de toekomst blijven toenemen. rr

b)Tussen 1940 en 1950 was de toename van de Belgische bevolking over een periode van tien jaar het kleinst. rr

c)In 2000 telde België ruim twee keer zo veel inwoners als in 1920. rr

d)In de periode 1930-1940 nam het aantal inwoners per km2 evenveel toe als in de periode 1990-2000. rr

27 Bepaal voor elke uitspraak het bijbehorende cirkeldiagram.

a)Het boek telt 360 bladzijden. Ik heb al 270 bladzijden gelezen.

b)Deze limonade bevat 20 % vruchtensap.

c)Een op de tien boekentassen was te zwaar.

d)De maand juni telde vijftien regenachtige dagen.

e)Drie van de vijf jongeren waren al eens in Londen geweest.

f)Als je vier verpakkingen koopt, krijg je 30 % korting.

diagram

REEKS B

29 Het staafdiagram toont het aantal fietsen per inwoner in verschillende landen.

BelgiëCanada China

b) Bepaal de modus.

c) Wat is een mogelijke verklaring voor het antwoord op vraag b?

a) In welk Europees land zal de regering de bevolking het meest moeten stimuleren om zich meer met de fiets te verplaatsen?

proefversie©VANIN

d) In de Scandinavische landen wordt een goed fietsbeleid gevoerd. Toon dat aan met de gegevens uit het diagram.

e) Toon aan dat België ten opzichte van de andere Europese landen nog beter kan wat betreft het aantal fietsen per inwoner.

30 In een klas van 15 leerlingen hebben 11 leerlingen voor hun toets 10 op 10. Vier leerlingen hebben niet gestudeerd en behalen 0/10.

Welke centrummaat geeft het beste klasbeeld voor die toets? Verklaar je keuze.

31 Elk jaar zijn heel wat jonge fietsers bij een ongeval betrokken.

leeftijd fietser

a) In de lagere scholen wordt het dragen van een fluohesje sterk gepromoot. In het secundair onderwijs wordt daar veel minder aandacht aan besteed. Toon aan de hand van het diagram aan dat een campagne voor het dragen van een fluohesje ook in het secundair onderwijs niet zou misstaan.

b) 60 % van de Belgen is voorstander van het verplichten van een fietshelm voor kinderen onder de 14 jaar. Toon aan de hand van de gegevens uit het diagram aan dat dat een verstandige beslissing is.

c) Meer dan de helft van de fietsongevallen gebeurt tijdens een verplaatsing en niet tijdens sport en spel. Geef een mogelijke verklaring voor de sterke toename van het aantal gewonde fietsers vanaf de leeftijd van 12 jaar.

32 Karol wil een handelszaak in geschenkartikelen overnemen. Welke centrummaat in verband met de maandelijkse verkoopcijfers interesseert haar het meest? Verklaar je antwoord.

33 Bij een zeeklimaat lopen de temperatuurschommelingen tussen de seizoenen onder invloed van de nabijheid van de zee niet zo extreem uiteen als in een landklimaat. In een landklimaat zijn de verschillen tussen de temperatuur in de zomer en in de winter veel groter. Welke statistische maat gebruik je het best om het verschil tussen zee- en landklimaat te onderzoeken? Verklaar je antwoord.

34 Een bedrijf in artisanaal ijs heeft twee vulmachines. Met die machines vullen ze ijsbekers van 150 ml. Het bedrijf doet een onderzoek naar de juiste inhoud van de ijsbekertjes. De tabellen tonen de resultaten. vulmachine 1

a) Bepaal voor beide vulmachines de gemiddelde inhoud van de bekers.

• vulmachine 1: x = • vulmachine 2: x =

b) Bepaal voor beide vulmachines de mediaan.

• vulmachine 1: Me = • vulmachine 2: Me =

c) Kun je aan de hand van de centrummaten afleiden welke vulmachine bijgesteld moet worden? Verklaar je antwoord.

d) Welke statistische maat kun je gebruiken om na te gaan welke vulmachine dringend bijgesteld moet worden?

e) Bepaal voor beide vulmachines die statistische maat.

• vulmachine 1: = • vulmachine 2: =

35 In Pientergem houdt men het aantal geboorten gedurende een aantal jaren bij.

a) In welke jaren werden er evenveel jongens als meisjes geboren?

b) In welke jaren werden er meer meisjes dan jongens geboren?

20172018201920202021202220232024 jongens

meisjes

c) Hoeveel geboorten waren er in 2021 in Pientergem?

d) Toon aan de hand van het diagram aan dat Pientergem weinig jonge gezinnen aantrekt.

36 Van de buslijnen 50 en 32 wordt het aantal passagiers per rit bijgehouden.

a) Wat is het maximumaantal passagiers dat lijn 32 vervoert tijdens de gecontroleerde ritten?

b) Bepaal het minimumaantal passagiers tijdens de gecontroleerde ritten.

c) Welke passagiersaantallen komen bij beide buslijnen voor?

d) Welke buslijn is het meest rendabel? Motiveer je antwoord.

37 Wat wordt met het diagram voorgesteld? Vink aan.

r De minimum- en maximumtemperaturen in de zomer

r De minimum- en maximumtemperaturen in de winter

r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de zomer

r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de winter

38 Een uniseks naam is een naam die zowel voor een jongen als voor een meisje gebruikt wordt. Het staafdiagram toont een aantal populaire uniseks namen.

proefversie©VANIN

a) Welke naam is nagenoeg even populair voor jongens als voor meisjes?

b) Welke uniseks namen zijn populairder voor meisjes dan voor jongens?

c) Om te zien dat het bij deze uniseks namen gaat om een regel in plaats van een uitzondering, hanteer je de 85/15-regel. De naam moet dus zowel bij de jongens als bij de meisjes in 15 % van de gevallen voorkomen. Welke uniseks namen uit het diagram vormen een uitzondering?

jongens meisjes

d) Als een kindje Sam heet, hoe groot is dan de kans dat het een meisje is? Schat je antwoord in procent.

Jules Lux Beau Charlie Robin Dani Sam

39 Het diagram geeft een overzicht van de leeftijden van de leerlingen van de pianoklas van de muziekacademie. 0 1 2 3 4 5 6 aantal 9

a) Vanaf welke leeftijd kun je in de academie starten met pianoles?

b) Hoeveel procent van de leerlingen van de pianoklas is vrouwelijk?

c) Verklaar de uitspraken aan de hand van het diagram:

• Vorig jaar begonnen twee vriendinnen na hun pensioen met het volgen van pianoles.

• Na het eerste jaar haakt al onmiddellijk een heel aantal leerlingen af.

• Elf jaar geleden was er een piek in de inschrijving van eerstejaarsleerlingen piano.

40 Hoeveel nieuwe fietsen werden er in 2023 in totaal verkocht?

STUDIEWIJZER Statistiek

1.1 Even herhalen

De modus is het gegeven met de grootste frequentie.

Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal.

De mediaan van een rij gerangschikte getallen is:

proefversie©VANIN

• het middelste getal als het aantal getallen oneven is;

• het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

KUNNEN

Soorten data onderscheiden: numeriek en categorisch.

Informatie uit tabellen en diagrammen halen.

Gegevens voorstellen met tabellen en diagrammen.

De modus, het gemiddelde en de mediaan van een gegevensreeks bepalen.

Het gemiddelde en de mediaan bepalen uit een frequentietabel.

1.2 Statistisch onderzoek

Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen: een onderzoeksvraag of -opdracht formuleren, data verzamelen, data analyseren en data interpreteren. KUNNEN

Numerieke en categorische data verzamelen om een vraag te beantwoorden via een statistisch onderzoek.

Vragen over gegeven statistische data beantwoorden.

1.3 Spreidingsmaat: variatiebreedte

De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

KUNNEN

Uit een tabel of diagram de variatiebreedte bepalen.

1.4 Interpreteren bij statistisch onderzoek

KUNNEN

Diagrammen interpreteren bij statistisch onderzoek. Centrummaten interpreteren bij statistisch onderzoek.

Variatiebreedte interpreteren bij statistisch onderzoek.

Samengestelde diagrammen interpreteren bij statistisch onderzoek.

Pienter Rekenen

Pienter Problemen Oplossen

Pienter problemen oplossen

een schets maken

een schema/tabel maken

opsplitsen in deelproblemen

Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen

1. Een trein rijdt met een snelheid van 70 km per uur en nadert een tunnel van twee en een halve kilometer lang. De trein zelf is 300 meter lang.

het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken

proefversie©VANIN

Hoelang (in minuten en seconden) zal het duren voordat de hele trein door de tunnel is, vanaf het moment dat hij met de voorkant de tunnel inrijdt, tot het moment dat de achterkant de tunnel uitkomt?

2. Twee klokken geven nu precies dezelfde tijd aan. De ene klok loopt vijf minuten per uur voor, de andere tien minuten per uur achter. Na hoeveel uur zullen de klokken weer precies dezelfde tijd aangeven?

3. De grote driehoek is verdeeld in twee kleinere driehoeken en een ruit.

In die figuren staan drie getallen. Die zijn telkens het product van de getallen in de hoekpunten van die figuur. De getallen die je moet invullen, vind je onder de figuur

4. Hanne geeft eerst 55 % van haar zakgeld uit en daarna 20 % van de rest. Hoeveel procent van haar zakgeld heeft ze dan nog over?

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

proefversie©VANIN

3.1 Machten met een natuurlijke exponent 90

3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal 95

3.3 Bewerkingen met machten van letters 103

Studiewijzer 106

Pienter problemen oplossen 107

3.1 Machten met een natuurlijke exponent

Lies maakt haar eigen kubusvormige zitkussen en heeft daarvoor nog vulling nodig. Het zitkussen is 5 dm breed, 5 dm lang en 5 dm hoog.

Hoeveel dm3 vulling heeft ze nodig?

V = z 3 =

Definitie Macht met een natuurlijke exponent ∀a ∈

5 3 = 5 5 = 125 lees je als 'vijf tot de derde macht' of 'de derde macht van vijf'.

Benamingen 5 noem je 3 noem je 125 noem je

Voorbeelden machtsverheffinggrondtalexponent product macht

(–6)2 ( 1 4 )2 ( 5 3 )3

Rekenregel Machten met een natuurlijke exponent

Een macht van een positief getal is altijd

Een macht van een negatief getal is positief als negatief als

REKENMACHINE

Bereken (–2)5 =

Oefeningen

REEKS A

1 Schrijf als een macht. a) (–4) (–4) =

2 Schrijf als een product. a) (–4)3 =

( 4 7 )3 =

3 Vul aan.

4 Bereken.

(–0,5)2 =

) =

proefversie©VANIN

5 Bereken de volgende machten. Het grondtal vind je in het midden, de exponent op de spaak.

Wat stel je vast?

Tien tot de n-de macht schrijf je als een één met

6 Schrijf als een macht van tien. a) 10 000 = c) 100 = e) 10 = b) 100 000 000 = d) 10 000 000 = f) 1 000 000 000 =

7 Leid de piraat naar zijn schat. Je vindt de weg door de negatieve resultaten te volgen.

8 Bereken de volgende machten. a) 24 = g) –(–10)4 = b) –52 = h) –191 = c) (–3)3 = i) –122 =

9 Bereken de volgende machten. a) 63 = c) (–2)7 = e) –1,34 = b) ( 5 7 )2 = d) ( 3 8 )3 = f) –(–9 11 )2 =

10 Hieronder zie je een deel van de stamboom van onze leraar Wies Kundeneus.

Wies Kundeneus

ouders 1egeneratie grootouders 2egeneratie

Eddy Ingrid

Ann Philippe Marieke overgrootouders 3egeneratie

a)Hoeveel overgrootouders had Wies? Schrijf dat aantal als een macht van twee en bereken.

b)De voorouders van vier generaties terug noem je betovergrootouders. Hoeveel betovergrootouders had Wies? Schrijf als een macht van twee en bereken.

c)Schrijf het aantal voorouders 12 generaties terug als een macht van twee. Bereken dat aantal.

11 Is het resultaat 1 of –1?

REEKS C

12 Zoek de regelmaat in de getallenrij. Stel een formule op. Vul de tabel aan. nummer (n)12345letterformule912

Christophe

13 Vader is trots op z’n visvijver in de tuin. Op warme zomeravonden kan hij uren naar het wateroppervlak staren. Ook moeder wil haar zomeravonden aangenaam doorbrengen en plant een waterplant van 1 dm2 in de vijver.

Ze had dat beter niet gedaan, want de oppervlakte van die waterplant verdubbelt iedere week.

a) Vul het onderstaande schema verder aan.

week0123456

A (dm 2) 1

b) Elke oppervlakte kun je schrijven als een macht met eenzelfde grondtal. Vul aan met de juiste macht.

week0123456

A (dm 2)

c) Na hoeveel weken zal de vijver volledig bedekt zijn met waterplanten?

d) Na hoeveel weken zal de vijver half bedekt zijn met waterplanten?

14 Machten en regelmaat

a) Vul in.

b) Gebruik de voorgaande regelmaat en vul in.

c) Geef de letterformule.

n 2 =

3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal

3.2.1 Product

Inleiding

Het is soms mogelijk om het rekenwerk makkelijker en sneller te laten verlopen. Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur.

Je hoeft niet iedere ballon te kleuren.

Rekenregel

Vul in.

(10 10) (10 10 10 10 10 10)

= 10 10 10 10 10 10 10 10

Vaststelling:

Rekenregel Product van machten met hetzelfde grondtal

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je:

∙ het grondtal

∙ de exponenten

Voorbeelden 25 24 105 108 33 34 712 75 73

Oefeningen

REEKS A

15 Schrijf de volgende producten als één macht en bereken.

a) 102  103 d) 20  24 g) 23  23

proefversie©VANIN

b) 22  23 e) 105  101 h) 105  103 c) 102 105

102 104 i) 21 24 20

REEKS B

16 Schrijf de volgende producten als één macht en bereken.

a) 43  45 b) (–6)3  (–6)2 c) 83  83

17 Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord. juist fout

a) (–1)23 (–1)3 = 1

b) 23  32 = 55

c) 73 + 77 = 710

d) (–3)7 (–3)8 = (–3)15

e) 42  45 = 410

f) (–5)5  (–5)7 = (–5)12 S

g) 38 32 = 910

Woord:

3.2.2 Quotiënt

Inleiding

Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur. Je hoeft niet iedere ballon te kleuren.

Rekenregel

proefversie©VANIN

Rekenregel Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal

Om machten met hetzelfde grondtal te delen, moet je:

∙ het grondtal

∙ de exponenten

Voorbeelden

Oefeningen

REEKS A

18 Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken.

a)104 : 103 d)1012 : 106 g)25 : 20 b)28 : 26

REEKS B

19 Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken.

a)99 : 97 b) (−3)3 (−3) c) (–13)6 : (–13)4

20 Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord. juist fout

a)(–1)37 : (–1)28 = 1

b)436 : 412 = 43

c)(–3)12 : (–3)9 = –27

d)55 – 52 = 53

e) (–6)5  (–6)2 = (–6)7

f)(–5)7 : (–5)5 = (–5)12

g)(–1)57 : (–1)45 = 1

Woord:

Inleiding

Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur. Je hoeft niet iedere ballon te kleuren.

Rekenregel Vul in.

proefversie©VANIN

Vaststelling: (103) 2 = 103 2 (22) 3

Rekenregel Macht van een macht Om een macht tot een macht te verheffen, moet je:

het grondtal ∙ de exponenten

Voorbeelden

Oefeningen

REEKS A

21 Schrijf als één macht en bereken.

a) (102) 2 d) (22) 2 g) (23) 2

proefversie©VANIN

(103) 3

b) (21) 4 e) (105) 2 h) (107) 1 c) (103) 2 f) (102) 4

REEKS B

22 Schrijf als één macht en bereken.

a) (32) 4 b) [(–7) 3 ] 2 c) [( 2 3 ) 2 ] 3

23 Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord. juist fout

a) [(–8)4 ] 0 = 1 A N

b) (33) 6 = 39 A I

c) (53) 2 = 55 H G

d) [(–1)3 ] 5 = –1 M S

e) (103) 4 = 1 000 000 000 000 C E

f) 42  44 = 48 K T

g) [(–2)2 ] 3 = (–2)6 H C

Woord:

24 Schrijf als één macht en bereken.

107 : 104

proefversie©VANIN

25 Is het resultaat 1 of –1?

26 Schrijf als één macht en bereken.

27 Verbind wat aan elkaar gelijk is.

: 54

28 Schrijf als één macht en bereken.

a) 23 : 22  21 c) (323 : 321) 2 e) (–4)7 : (–4)5 : (–4)2 b) 52  (519 : 518) d) [(–1)2 ] 26 : (–1)7 f) (21 232 : 231) 2

29 Schrijf als één macht en bereken.

a) 55 : 125 c) 162 : 23 e) (16)3 : (–4)4 b) ( 1 3 )7 : ( 1 27 ) d) 812 : 34 f) 365 : 68

3.3 Bewerkingen met machten van letters

3.3.1 Product

Voorbeeld

Verklaring

3.3.2 Quotiënt

Voorbeeld

Verklaring

3.3.3 Macht

Voorbeeld Verklaring

Oefeningen

REEKS B

30 Schrijf als één macht.

a) a 3 a 2 = e) x 3 x 5 =

proefversie©VANIN

b) b3 b3 = f) y 7 y 8 =

c) c 5 c 6 = g) z 4 z 2 =

d) d12  d3 = h) k3  k4 =

31 Schrijf als één macht.

a) a 9 a 2 = e) x 7 x 7 =

b) c 7 c 3 = f) y 6 y 5 =

c) m 6 m 5 = g) z 12 z 9 = d) b 4 b = h) k 8 k 7 =

32 Schrijf als één macht.

a) (a 4) 3 = e) (x 7) 2 = b) (k3) 3 = f) (y 3) 2 =

c) (p 5) 2 = g) (z 3) 4 = d) (b4) 2 = h) (m 2) 0 =

33 Schrijf als één macht. a) c 65 c 41

34 Vul in met = of ≠.

35 Schrijf als één macht. a) (a 6 : a 2) 3 a 2 = b) (a 5) 2  ( 1 a 2 )3 = c) ( a 3 a 7 a a 4 )2 = d) (a 3) 3 a 4 a 2 a 5 =

(n 5) 6 g) t21 : t7

36 Schrijf als één macht.

a) d h  d k

[(–m)z] p i) (u i) j

proefversie©VANIN

d) c i c i

37 Omcirkel het juiste antwoord. Verklaar.

a) c 3  (c 2) 3 = c 8 c 9 c 15 c 18

Verklaring:

38 Schrijf als één macht. a) ( k s k s−2 )2 = b) t 6 : t 2−m t m−3 =

Verklaring:

STUDIEWIJZER Machten van rationale getallen met natuurlijke exponent

3.1 Machten met een natuurlijke exponent

a 0 = 1 en a 1 = a

Een macht van een positief getal is altijd positief.

Een macht van een negatief getal is positief als de exponent even is en negatief als de exponent oneven is.

De kwadraten van 0 tot en met 15.

proefversie©VANIN

KUNNEN

Een product van gelijke factoren schrijven als een macht.

Een macht schrijven als een product.

De benamingen grondtal, exponent en macht correct gebruiken.

Machten met een natuurlijke exponent van een rationaal getal berekenen.

3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal

KENNEN

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je:

∙ het grondtal behouden;

∙ de exponenten optellen.

Om machten met hetzelfde grondtal te delen, moet je:

∙ het grondtal behouden;

∙ de exponenten aftrekken.

Om een macht tot een macht te verheffen, moet je:

∙ het grondtal behouden;

∙ de exponenten vermenigvuldigen.

KUNNEN

Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen.

Rekenregels voor het rekenen met machten met natuurlijke exponenten toepassen.

3.3 Bewerkingen met machten van letters KENNEN

Rekenen met machten met letters als grondtallen.

Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.

Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten verklaren.

Pienter Rekenen

Pienter problemen oplossen

een schets maken

Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

een schema/tabel maken

opsplitsen in deelproblemen

eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen

het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken

eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken

1. Je hebt een vijver en drie pompen. Met pomp A kun je in 20 minuten de vijver leegpompen.

Met pomp A en B tegelijk lukt het in 15 minuten.

Met pomp A en C tegelijk lukt het in 12 minuten.

Hoelang zal het duren om de vijver leeg te pompen, als je pomp B en C tegelijk hun werk laat doen?

3. We hebben met de klas 2 478 koekjes gebakken voor het goede doel. Die worden verdeeld over 100 zakjes. In de meeste zakjes komen 25 koekjes, maar in sommige slechts 24. In hoeveel zakjes komen slechts 24 koekjes terecht?

2. Een bakker heeft 36 croissants, 48 boterkoeken en 60 chocoladekoeken. Hij wil pakketten maken met gelijke aantallen croissants, boterkoeken en chocoladekoeken in elk pakket. Wat is het grootste aantal pakketten dat hij kan maken, zodat er geen producten overblijven?

4. Miro legt tegels in rijen. In de eerste rij legt hij één tegel, in de tweede rij drie tegels, in de derde rij vijf tegels … Als hij de tegels volgens dit patroon verder legt, hoeveel tegels bevat dan de tiende rij?

proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

proefversie©VANIN

4.1 Complementaire en supplementaire hoeken

4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken

4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn

4.1 Complementaire en supplementaire hoeken

4.1.1 Op onderzoek

In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 90° (een rechte hoek)?

4.1.2 Definities

Definitie Complementaire hoeken

Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is.

A ∧ en B ∧ zijn complementair als A ∧ + B ∧ = 90°.

Van twee complementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het complement is van de andere.

Het complement van 25° is

Het complement van A ∧ is B ∧ =

• Het complement van 45° is

• Het complement van 90° is

In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 180° (een gestrekte hoek)?

Supplementaire hoeken

Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

A ∧ en B ∧ zijn supplementair als A ∧ + B ∧ = 180°.

Van twee supplementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het supplement is van de andere.

Het supplement van 25° is

Het supplement van A ∧ is B ∧ =

• Het supplement van 90° is

• Het supplement van 180° is

Oefeningen

REEKS A

1 Zijn de aangeduide paren hoeken complementair, supplementair of geen van beide? V ink aan.

r complementair

r supplementair

r geen van beide

r complementair r supplementair

r geen van beide

r complementair

r supplementair r geen van beide

r complementair r supplementair r geen van beide

r complementair

r supplementair r geen van beide

r complementair r supplementair r geen van beide

r complementair

r supplementair r geen van beide

2 Bepaal het complement van de gegeven hoek.

a) Het complement van 10° is

b) Het complement van 36° is

3 Bepaal het supplement van de gegeven hoek.

a) Het supplement van 25° is

b) Het supplement van 162° is

c) Het complement van 62° is

d) Het complement van 90° is

c) Het supplement van 90° is

d) Het supplement van 0° is

4 Meet de hoeken. Welke paren zijn complementair en welke zijn supplementair?

complementaire hoeken:

supplementaire hoeken:

5 Meet de hoeken. Welke hoeken zijn supplementair?

proefversie©VANIN

6 Noteer in het hokje de letter van het correcte vervolg op de uitspraak.

Het complement van een scherpe hoek

Het supplement van een scherpe hoek

Het complement van een rechte hoek

Het supplement van een nulhoek

a)is een nulhoek.

b)is een scherpe hoek.

c)is een rechte hoek.

d)is een stompe hoek.

e)is een gestrekte hoek.

7 Teken het complement C ∧ en het supplement S ∧ van de gegeven hoek A ∧

8 Jonas woont in de Bloemenwijk, waarvan je hieronder het stratenplan vindt.

Hij woont in de straat die met de Rozenlaan een hoek vormt die complementair is met de hoek gevormd tussen de Tulpenlaan en de Azalealaan.

In welke straat woont Jonas?

9 Teken de gevraagde hoek.

a) A ∧ is het supplement van een hoek van 20°.

b) B ∧ is het complement van een hoek van 15°.

Rozenlaan

Tulpenlaan

Azalealaan

Leliënlaan

Krokussenlaan

Chrysantenlaan

Meiklokjeslaan

proefversie©VANIN

c) C ∧ is zijn eigen complement.

10 De scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek zijn complementair. Verklaar.

figuur verklaring

11 Bepaal .

a)  is 20° groter dan zijn complement. c)  is 54° groter dan zijn supplement.

oplossing:  = oplossing:  =

b)  is 60° kleiner dan zijn supplement. d)  is 38° kleiner dan zijn complement.

oplossing:  =

12 Bereken en teken de hoeken.

oplossing:  =

A ∧ en B ∧ zijn supplementair en 2 A ∧ = 3B ∧ B

4.2.1 Op onderzoek

GEOGEBRA

In welke situatie(s) doet zich de volgende waarneming voor? Vink aan.

De twee hoeken hebben een gemeenschappelijk hoekpunt.

De twee hoeken hebben een gemeenschappelijk been.

De benen van de twee hoeken liggen aan weerszijden van een gemeenschappelijk been.

De som van de hoekgroottes van de twee hoeken is 180° (een gestrekte hoek).

De benen van de twee hoeken liggen in elkaars verlengde.

4.2.2 Aanliggende hoeken

In welke situatie(s) op de vorige pagina

• hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk hoekpunt;

• en hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk been;

• en liggen de andere benen van de twee hoeken aan weerszijden van dat gemeenschappelijke been?

Definitie Aanliggende hoeken

Aanliggende hoeken zijn twee hoeken

• die het hoekpunt gemeenschappelijk hebben;

• en die één been gemeenschappelijk hebben;

• en waarvan de niet-gemeenschappelijke benen aan weerszijden van het gemeenschappelijke been liggen.

4.2.3

Nevenhoeken

In welke situatie(s) op de vorige pagina vind je aanliggende hoeken die samen een gestrekte hoek vormen?

Definitie Nevenhoeken

Nevenhoeken zijn twee aanliggende hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

Nevenhoeken zijn dus altijd supplementair.

4.2.4 Overstaande hoeken

In welke situatie(s) op de vorige pagina

• hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk hoekpunt;

• en liggen de benen van de twee hoeken in elkaars verlengde?

Definitie Overstaande hoeken

Overstaande hoeken zijn twee hoeken

• die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben;

• en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

Meet de overstaande hoeken op de vorige pagina. Wat stel je vast?

Vaststelling

Oefeningen

REEKS A

13 Vink alle passende benamingen aan.

proefversie©VANIN

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

r aanliggende hoeken

r nevenhoeken

r overstaande hoeken

14 Vink de situatie(s) aan waarbij de aangeduide hoeken aanliggende hoeken zijn.

proefversie©VANIN

15 Vink, indien mogelijk, de juiste benaming aan.

aanliggende hoeken overstaande hoeken

16 Vul de uitspraak links aan met de letter die hoort bij de juiste hoekgrootte.

De overstaande hoek van een rechte hoek is

De nevenhoek van een hoek van 120° is

De overstaande hoek van een gestrekte hoek is

De nevenhoek van een rechte hoek is

De overstaande hoek van een hoek van 70° is

17 Teken de gevraagde hoek. Bepaal het aantal mogelijke oplossingen.

a)een aanliggende hoek van 40° van A ∧

c)een overstaande hoek van C ∧ AC

proefversie©VANIN

aantal oplossingen: aantal oplossingen:

b)een nevenhoek van B ∧

d)een aanliggende hoek van D ∧

aantal oplossingen: aantal oplossingen: 18 Teken.

a)twee complementaire aanliggende hoekenb)twee supplementaire overstaande hoeken

juistfout

a)Overstaande hoeken kunnen complementair zijn. rr

b)Nevenhoeken zijn altijd supplementair. rr

c)Aanliggende hoeken kunnen complementair zijn. rr

d)Complementaire hoeken zijn altijd aanliggend. rr

e)Overstaande hoeken kunnen supplementair zijn. rr

20 Vink alle juiste benamingen aan.

complementaire hoeken supplementaire hoeken aanliggende hoeken nevenhoekenoverstaande hoeken

21 Teken de hoeken en stel het cirkeldiagram op.

Op school werd aan 360 leerlingen gevraagd wat hun lievelingsvak is.

A: aardrijkskunde

B: biologie

C: chemie

D: dactylo

E: Engels

F: Frans

G: geschiedenis

vak hoek omschrijving hoekgrootte

A M ∧ 1 Twintig leerlingen vinden aardrijkskunde het leukste vak.

B M ∧ 2 M ∧ 2 en M ∧ 1 zijn aanliggend en complementair.

C M ∧ 3 M ∧ 3 is de helft van M ∧ 2 en aanliggend aan M ∧ 2

D M ∧ 4 M ∧ 4 en M ∧ 3 zijn aanliggend en complementair.

E M ∧ 5 M ∧ 5 en M ∧ 1 zijn overstaande hoeken.

F M ∧ 6 M ∧ 6 is het supplement van M ∧ 2 en aanliggend aan M ∧ 5

G M ∧ 7 De rest van de leerlingen verkiest geschiedenis.

22 Vul met de gegevens de ontbrekende punten B, C, D en E aan op de tekening.

proefversie©VANIN

• AM ∧ E en DM ∧ E zijn nevenhoeken.

• AM ∧ C en CM ∧ D zijn nevenhoeken.

• AM ∧ B en DM ∧ E zijn overstaande hoeken.

• BM ∧ D is een scherpe hoek.

23 Bepaal, zonder te meten, de hoekgrootte van alle hoeken. Verklaar telkens je antwoord. Noteer de hoeken in de tabel in de volgorde waarin je ze bepaald hebt.

24 Teken de deellijnen (bissectrices) van twee overstaande hoeken. Wat stel je vast?

Vaststelling:

25 Teken de overstaande hoek van de aangeduide hoek.

4.3.1 Benamingen

Hoeveel hoeken ontstaan er als een rechte twee evenwijdige rechten snijdt?

Duid de hoeken aan op de rechterfiguur.

Duid aan op de tekening.

Binnenhoeken liggen tussen de twee evenwijdige rechten.

Buitenhoeken liggen buiten de twee evenwijdige rechten.

proefversie©VANIN

Verwisselende binnenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn tussen de twee evenwijdige rechten.

Verwisselende buitenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn buiten de twee evenwijdige rechten.

Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

Overeenkomstige hoeken zijn een binnenhoek en een buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn.

Oefeningen

REEKS A

26 Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken.

proefversie©VANIN

c) f) i)

27 Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken.

28 Duid de juiste hoek aan met een boogje.

A ∧ en B ∧ zijn verwisselende binnenhoeken.

c) A ∧ en B ∧ zijn overeenkomstige hoeken.

b) A ∧ en B ∧ zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.

d) A ∧ en B ∧ zijn verwisselende buitenhoeken.

29 a ⫽ b en c ⫽ d. Vink de juiste benaming aan.

proefversie©VANIN

verwisselende binnenhoeken

verwisselende buitenhoeken

binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

overeenkomstige hoeken

REEKS C

30 Plaats de juiste index bij de hoeken.

A ∧ 3 en B ∧ 2 zijn overeenkomstige hoeken.

A ∧ 3 en B ∧ 1 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. AB 1

A ∧ 3 en B ∧ 3 zijn verwisselende binnenhoeken.

A ∧ 4 en B ∧ 2 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.

A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn verwisselende buitenhoeken.

GEOGEBRA

Eigenschappen onderzoeken

Onderzoeken

Teken een willekeurige rechte c die twee evenwijdige rechten a en b snijdt in respectievelijk A en B Nummer de vier hoeken die in A en B ontstaan, zodat de overeenkomstige hoeken hetzelfde nummer krijgen. Meet alle hoeken.

Vaststellen

• Noteer alle paren overeenkomstige hoeken. Vergelijk de hoekgroottes.

W at stel je vast?

• Noteer alle paren verwisselende binnenhoeken. Vergelijk de hoekgroottes.

W at stel je vast?

• Noteer alle paren verwisselende buitenhoeken Vergelijk de hoekgroottes.

W at stel je vast?

• Noteer alle paren binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Maak de som van die hoeken

W at stel je vast?

proefversie©VANIN

W at stel je vast? VIDEO

• Noteer alle paren buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Maak de som van die hoeken

Oefeningen

REEKS A

31 a ⫽ b. Bepaal de grootte van de aangeduide hoek zonder te meten.

REEKS B

32 a ⫽ b. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood.

33 De parkeerstroken bepalen evenwijdige rechten.

Bepaal de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.

34 a ⫽ b en c ⫽ d. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood.

4.3.3 Eigenschappen bewijzen

Om zeker te weten dat je vaststelling altijd geldig is, moet je eigenlijk alle mogelijke gevallen tekenen en onderzoeken. Die werkwijze wordt ‘bewijzen door uitputting’ genoemd. Dat is niet alleen heel saai, maar gewoon onmogelijk. Je gaat dus op zoek naar andere methodes om de geldigheid van je vermoeden te bewijzen.

proefversie©VANIN

Eigenschap

Verwoorden

Maak eerst een tekening. Duid het gegeven aan.

Je hebt een situatie onderzocht en hebt nu een vermoeden, ook wel hypothese genoemd. Die hypothese moet je correct kunnen verwoorden. Houd rekening met wat er gegeven is (opgave) en met wat je wilt aantonen (vermoeden).

in woorden in symbolen

• twee evenwijdige rechten

Wat is er gegeven? (gegeven)

Wat wil je aantonen? (te bewijzen)

Zoek het verband tussen het gegeven en het te bewijzen. In dit geval is het te bewijzen een gevolg van het gegeven. Dat noem je een implicatie. notatie als ... dan ... ⇒

De formulering zelf noem je een eigenschap.

Noteer het gegeven en het te bewijzen in één formulering. Als dan

Argumenteren

Om de eigenschap te bewijzen, gebruik je definities en eigenschappen die je vroeger zag en die handelen over evenwijdigheid en even grote hoeken. Som er hieronder enkele op.

proefversie©VANIN

Bewijzen

Na het voorbereidende werk kun je nu eindelijk beginnen aan het bewijs.

• stap 1: Je maakt een tekening en noteert het gegeven en het te bewijzen.

tekening gegeven ⫽ in A in B te bewijzen

• stap 2: Je noteert het bewijs waarmee je aantoont dat de eigenschap juist is.

bewijs tekening bewijs verklaring

Het beeld van een rechte door een verschuiving is een evenwijdige rechte.

• stap 3: Formuleer een besluit.

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn de overeenkomstige hoeken even groot.

Oefeningen

REEKS A

35 Formuleer telkens de eigenschap die de gelijkheid verklaart.

Gegeven: a ⫽ b, c snijdt a in A, en c snijdt b in B

proefversie©VANIN

36 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende binnenhoeken even groot. Vul het bewijs aan. tekening gegeven

c  b in B te bewijzen

A ∧ 1 = B ∧ 2

bewijs

bewijs verklaring

A ∧ 1 = B ∧ 1 (1)

B ∧ 1 = B ∧ 2 (2)

Dus is A ∧ 1 = B ∧ 2 (1) (2)

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan

REEKS B

37 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende buitenhoeken even groot. Vul het bewijs aan.

tekening gegeven

c  b in B te bewijzen A ∧ 1 = B ∧ 2

bewijs bewijs verklaring (1) (2)

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan

38 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan.

tekening gegeven

A B b a c 1 1 2

bewijs

a ⫽ b

c  a in A

c  b in B te bewijzen

A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn supplementair.

verklaring

(1)

(2)

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan

39 Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan.

tekening gegeven

b a c 1 1 2

proefversie©VANIN

a ⫽ b

c  a in A

c  b in B te bewijzen

A ∧ 1 en B ∧ 2 zijn supplementair.

bewijs bewijs verklaring

(1) (2)

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan

40 Is de uitspraak altijd, soms of nooit waar? Zet een vinkje in de passende kolom. uitspraak altijd waarsoms waarnooit waar

a)Overstaande hoeken zijn even groot.

b)Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken.

c)Bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn zijn de verwisselende binnenhoeken complementair.

d)Nevenhoeken zijn complementaire hoeken.

e)Overstaande hoeken zijn complementair.

f)Bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn zijn de overeenkomstige hoeken supplementair.

g)Supplementaire hoeken zijn nevenhoeken.

h)Overstaande hoeken zijn nevenhoeken.

41 Bereken en verklaar.

tekening gegeven

a ⫽ b

c  a in A en c  b in C

d  a in A en d  b in D

d is de deellijn van B A ∧ C

D ∧ 4 = 116° gevraagd

C ∧ 2

proefversie©VANIN

bereken en verklaar

4.3.4 Omgekeerde eigenschap

Meet de overeenkomstige hoeken A ∧ 1 en B ∧ 1

Wat stel je vast over de overeenkomstige hoeken en de onderlinge ligging van de rechten?

Eigenschap Als bij twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, de overeenkomstige hoeken even groot zijn, dan

4.3.5 Kenmerk van overeenkomstige hoeken

Een eigenschap en de omgekeerde eigenschap vat je samen in een kenmerk.

Een kenmerk geldt in beide richtingen. Dat noem je een equivalentie notatie als en slechts als ⇔

Kenmerk Twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, zijn evenwijdig als en slechts als

4.3.6 Kenmerken van hoeken bij twee evenwijdigen en een snijlijn

In het onderzoek bij 4.3.2 zie je dat je ook een kenmerk kunt opstellen voor de andere hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn.

Kenmerk Twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, zijn evenwijdig als en slechts als

• de overeenkomstige hoeken

• de verwisselende binnenhoeken

• de verwisselende buitenhoeken

• de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

• de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

Oefeningen

REEKS B

42 Bepaal zonder te meten in welke van de schetsen de rechten a en b evenwijdig zijn.

r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend r evenwijdig r snijdend

43 Verklaar met een eigenschap waarom a ⫽ b.

Gegeven: c

44 a ⫽ b en c ⫽ d. Bepaal de grootte van de aangeduide hoeken zonder te meten.

proefversie©VANIN

REEKS C

45 Als twee rechten gesneden worden door een derde rechte en als twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn die twee rechten evenwijdig. Vul het bewijs aan. tekening gegeven te bewijzen bewijs bewijs verklaring

besluit

4.1 Complementaire en supplementaire hoeken

KENNEN

Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is. Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

KUNNEN

In een figuur complementaire en supplementaire hoeken benoemen. Een complementaire en een supplementaire hoek van een gegeven hoek tekenen.

De grootte van het complement en het supplement van een gegeven hoek bepalen.

4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken

Aanliggende hoeken zijn twee hoeken

KENNEN

∙ die het hoekpunt gemeenschappelijk hebben;

∙ en die één been gemeenschappelijk hebben;

∙ en waarvan de niet-gemeenschappelijke benen aan weerszijden van het gemeenschappelijke been liggen.

Nevenhoeken zijn twee aanliggende hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

Overstaande hoeken zijn twee hoeken

∙ die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben;

∙ en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

Overstaande hoeken zijn even groot.

leerling

leerkracht

proefversie©VANIN

KUNNEN

Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties.

De overstaande hoek, een aanliggende hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek tekenen.

De hoekgrootte van de overstaande hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek bepalen.

4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn

KENNEN

Als twee evenwijdige rechten door een derde rechte gesneden worden, dan

∙ zijn de overeenkomstige hoeken even groot;

∙ zijn de verwisselende binnenhoeken even groot;

∙ zijn de verwisselende buitenhoeken even groot;

∙ zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair;

∙ zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.

Als bij twee rechten die door een derde rechte gesneden worden,

proefversie©VANIN

∙ de overeenkomstige hoeken even groot zijn of

∙ de verwisselende binnenhoeken even groot zijn of

∙ de verwisselende buitenhoeken even groot zijn of

∙ de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn of

∙ de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn dan zijn die twee rechten evenwijdig.

KUNNEN

De verschillende soorten hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen en benoemen.

De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden.

De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren.

De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn gebruiken om ontbrekende hoekgroottes bij vlakke figuren te berekenen.

De omgekeerde van de eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden.

De omgekeerde van de eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren.

Pienter Rekenen

Problemen uit Kangoeroe en JWO

Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

een schets maken

een schema/tabel maken opsplitsen in deelproblemen

eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen

het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren logisch nadenken

1.De pagina’s van het boek van Juliette zijn allemaal genummerd. De eerste pagina heeft nummer 1. De paginanummers bevatten 14 keer het cijfer 4. Welk paginanummer heeft de laatste pagina van haar boek?

A) r 46B) r 48C) r 50D) r 82E) r 134

2.Anke telt twee gehele getallen op en vindt 27. Benthe telt bij die som nog twee gehele getallen op en vindt 38. Caro telt bij die laatste som nog twee getallen en vindt 59. Hoeveel van de zes opeenvolgende getallen zijn even?

A) r 1B) r 2 C) r 3 D) r 4 E) r 5

3.Een grote rechthoek bestaat uit 9 gelijke rechthoekjes. De lengte van de rechthoekjes is 10 cm. Wat is de omtrek van die grote rechthoek?

proefversie©VANIN

10 cm

A) r 44 B) r 64C) r 76 D) r 80E) r 90

4.In een klas zitten 50 % meer jongens dan meisjes. Van de jongens is 62 % geslaagd en van de hele klas is 68 % geslaagd. Hoeveel procent van de meisjes is geslaagd?

A) r 68 %B) r 71 %C) r 74 %D) r 77 %E) r 80 %

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

proefversie©VANIN

5.1 Algebraïsche vormen

5.2 Eentermen

5.4 Veeltermen

5.1 Algebraïsche vormen

5.1.1 Soorten algebraïsche vormen

Tom is kelner.

Hij geeft telkens op zijn smartphone de bestelling door aan de barman.

De computer zet de bestelling om in een eenvoudig ticket.

Zo weet de barman precies wat hij moet klaarmaken.

bestelling 1bestelling 2bestelling 3

proefversie©VANIN

aantal termen

De letters in lettervormen of algebraïsche vormen hebben geen vaste waarde.

De lettervormen met één term noem je eentermen

De lettervormen met meerdere termen noem je veeltermen

Zo spreek je over tweetermen, drietermen, viertermen ...

soort algebraïsche vorm

Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraische vormen. Ze horen thuis in de algebra

Abbu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi was een wiskundige en sterrenkundige uit het Irak van de 9e eeuw. Uit de titel van zijn boek

Al-Jabr wa-al-Mugabilah is het woord ‘algebra’ ontstaan.

De Arabische algebra was een algebra zonder symbolen of letters.

Alles werd volledig in woorden beschreven.

Het was uiteindelijk René Descartes (1596-1650) die een volledig gebruik van symbolen en letters bereikte in zijn boek La Géometrie. Zijn algebra is een algebraïsche benadering van de meetkunde.

5.1.2 Getalwaarde van lettervormen

De getalwaarde van een lettervorm is het getal dat je verkrijgt als je de letters vervangt door de opgegeven waarden en de gegeven bewerkingen uitvoert.

Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen.

Afspraak Volgorde van de bewerkingen

1) Bewerkingen tussen haakjes ( ), [ ]

2) Machten en vierkantswortels a n , √ a

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts ? , :

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts + , –

Bestelling 1

Bereken de getalwaarde van de eenterm 4c c € 2,00

Bestelling 2

€ 1,50

Bereken de getalwaarde van de tweeterm 3c + 2f c € 2,00 w € 1,50 f € 2,50 3c + 2f

Bestelling 3

Bereken de getalwaarde van de drieterm 4c + 2w + f

c € 2,00 w € 1,50 f € 2,50

€ 2,50

€ 2,00

€ 3,75 3c + 2f

€ 3,75

Oefeningen

REEKS A

1 Noteer de lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in. beschrijving lettervorm soort

a)het product van 3 en k

b)het vierde deel van m

c)de omtrek van een vierkant met zijde z

d)de som van a en a 2

e)5a verminderd met 7

2 Vul de soort algebraïsche vorm in. Bereken telkens de getalwaarde als a = 2. lettervorm soort getalwaarde

a)2a

b) a + a 2

c)–3a

d)3 + 4a

e) a 3 + a 2 + a

3 De omtrek van een ruit bereken je met de eenterm 4z. Vul de tabel in. z omtrek z

a)2 cm

b)5 m

c)1,5 dm

proefversie©VANIN

4 Bereken de getalwaarde.

a) a – 7 voor a = 13 b) 2a + 13 voor a = 7 c) a 2 – 8 voor a = 3 d) (6 – a) 2 voor a = 4

5 Noteer de beschreven lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in.

beschrijving lettervorm soort a) b) c) d)

de som van het dubbel van a en het drievoud van b

het verschil van de kwadraten van x en y

het volume van een kubus met zijde z

de som van de vierde macht van a en de helft van b

6 Vul de tabel in.

proefversie©VANIN

omtrekformule

soort algebraïsche vorm

getalwaarde als x = 3 cm en y = 5 cm

7 Het volume van één kubus bereken je met de eenterm z 3 . Bereken het volume van deze kubusstapelingen.

a)5 cm10 cm

8 In een balk met vierkant grondvlak is z de zijde van het vierkant en h de hoogte van de balk. De oppervlakte bereken je met de tweeterm 2z 2 + 4zh. Vul de tabel in. z h 2z 2 + 4zh h z z

b)2 m40 dm

proefversie©VANIN

a)2 m4 m

9 Het volume van een cilinder bereken je met de eenterm r 2 ph Vul de tabel in. Bereken op 0,01 nauwkeurig. h r rh r 2 ph

b)2,5 cm5 cm

10 In een cirkelvormige vijver wordt een houten vlotter geplaatst.

Bereken de resterende wateroppervlakte met de tweeterm r 2 p z 2 op 0,01 nauwkeurig.

r 2 p - z 2

a)6 m2,5 m

b)10 m3 m

11 Om de ideale massa van een volwassen persoon te kennen, gebruik je de body mass index (BMI).

BMI = m l 2 met m de massa in kg en l de lengte in m.

BMI betekenis

BMI < 18 ondergewicht

18 ⩽ BMI < 25 normaal gewicht

25 ⩽ BMI < 27 neiging tot overgewicht

27 ⩽ BMI < 30 overgewicht

30 ⩽ BMI < 40 zwaarlijvigheid

40 ⩽ BMI ernstige zwaarlijvigheid

a) Bereken de BMI van Jan, die 1,76 m meet en 69 kg weegt. Rond af op een tiende.

BMI =

Wat betekent dat voor het gewicht van Jan?

b) Bereken de BMI van Aïsha. Ze weegt 71 kg en is 164 cm lang. Rond af op een tiende.

BMI =

Wat betekent dat voor Aïsha?

c) Bereken je eigen BMI op een tiende nauwkeurig.

BMI =

d) Anne, die 1,78 m meet, heeft in de loop der jaren een ware metamorfose ondergaan. Vul de tabel aan.

massa102 kg96 kg91 kg87 kg83 kg79 kg

BMI

REEKS C

12 Een kostbare kristallen cilindervormige vaas wordt verpakt in een kubusvormige doos.

Bereken het volume van het nodige beschermpiepschuim dat zich rond de cilinder moet bevinden

met de tweeterm z 3 r 2 ph op 0,01 nauwkeurig.

zrh z 3 ‒ r 2 ph

proefversie©VANIN

3 dm12 cm25 cm

5.2.1

Eenterm

gelijkzijdige driehoekOm de omtrek van een gelijkzijdige driehoek te berekenen, gebruik je de omtrekformule P = 3a

3a is een eenterm.

Die eenterm is het product van de factoren 3 en a

Definitie Eenterm

Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten.

Voorbeelden

6z 2 , D d 2 , a , b ? h , x 3 en –8ab 4 zijn eentermen.

Benamingen

Een eenterm bestaat uit twee delen: de coëfficiënt en het lettergedeelte.

3 ⏟ a ⏟ coëfficientlettergedeelte

Enkele afspraken

• Het vermenigvuldigingsteken mag je weglaten. 3 a =

• Noteer eerst de coëfficiënt en dan het lettergedeelte alfabetisch. k ? 7d =

• Schrijf de eenterm altijd in zijn eenvoudigste vorm. 3 (–4)a b a 3 =

• Coëfficiënt 1 schrijf je niet.

• Exponent 1 schrijf je niet.

• Een factor met exponent 0 vervang je door 1.

5.2.2 Gelijksoortige eentermen

Definitie Gelijksoortige eentermen

Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

Voorbeelden

3a, 17a en –4a zijn gelijksoortige eentermen.

6x 2 y 3, –4x 2 y 3 en 1 3 x 2 y 3 zijn gelijksoortige eentermen.

Oefeningen

REEKS A

13 Geef voor elke eenterm de coëfficiënt en het lettergedeelte.

eentermcoëfficiëntlettergedeelteeentermcoëfficiëntlettergedeelte

a) 15a 3 d)22m

b) –6y 5 e)–2a

c) a 4 f) x 9

14 Zet de gelijksoortige eentermen telkens in dezelfde kleur.

REEKS B

15 Vul in.

eentermcoëfficiëntlettergedeelteeentermcoëfficiëntlettergedeelte

a) 5x 2 y 3

16 Professor Wirrewar heeft hieronder enkele eentermen geschreven, maar hij heeft zich niet aan de juiste afspraken gehouden. Help de professor uit te zoeken welke termen gelijksoortig zijn door ze dezelfde kleur te geven. 4

17 Welke eenterm is niet gelijk aan –2ab 2?

18 Noteer de oppervlakte van de figuur als een eenterm.

a) z b) a b

19 Noteer het volume van de stapeling als een eenterm. a) z b) h r

20 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

a) x 4 = f)1y 1 =

b) y(–3)y = g)0b 0 =

c) aaaaa 8 a = h) a (–7) = d) –2 ? x 2 ? x 3 = i) 3 ? x 3 ? y ? 4 6 ? x = e) bbb(–2)b = j) d aa ad 2 7 -3 4 =

REEKS C

21 Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

a) –7 4 ? 4 14 ? aaa 5b 0 c 1 = e) x 4 ? 0,3 ? yz 2 ? 10y 2 = b) x 2 0 a 0 x b 0 = f) b 3bc a 2 b 2 12 3 = c) –1 ? b 1 ? m 7 ? k 0 = g) g 0 ? 3(–4)d 3 g 1 f 4 (–2) = d) z -2 3 c 4 z 2b 3 = h) p (–5)p 2 h 3 (–4s) =

5.3.1 Optellen en aftrekken van eentermen

Inleiding

Jorne is trainer van een jeugdvoetbalploeg. Hij heeft de training goed voorbereid. Hij verdeelt de spelers in drie groepen, die op hetzelfde moment aan het werk zijn. Voor elke oefening heeft hij een aantal ballen (b) en kegels (k) nodig. Vul bij elke oefening de gepaste eenterm aan.

oefening 1 oefening 2 oefening 3

ballen kegels

Noteer als een optelling van eentermen en werk uit.

a) Hoeveel ballen heeft Jorne voor alle oefeningen samen nodig?

b) Hoeveel kegels heeft Jorne voor oefening 2 en 3 samen nodig?

Werkwijze Om gelijksoortige eentermen op te tellen (af te trekken)

• tel je de coëfficiënten op (trek je de coëfficiënten af);

• behoud je het lettergedeelte.

Voorbeeld

= 5 ? x +3 ? x

Verklaring

5x + 3x afspraak letterrekenen de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling

= (5 + 3) ? x

= 8 ? x

= 8x

5 + 3 = 8 afspraak letterrekenen

c) Hoeveel ballen en kegels heeft Jorne voor oefening 1 samen nodig?

Niet-gelijksoortige eentermen kun je niet optellen (aftrekken).

Oefeningen

REEKS A

22 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.

a)3x + 5x =

b)6m – 5m =

d)2p 3 – 4p 3 =

e)7y 7 + 3y 7 =

c)4a 2 + 6a 2 = f)3z 2 – 5z 2 =

REEKS B

23 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.

a)3a + 2a + 5a = e)4a 3 – 5a 3 =

b)–4x 2 – 2x 2 + x 2 = f) 3 4 x 2 –7 4 x 2 =

c)3a + (–6a) – 2a = g)–5z 7 + 3z 7 =

d)4b 3 – 6b 3 + 2b 3 = h)0,6x – 3x – (–x) =

24 Vul de bewerkingstabellen in.

REEKS C

25 Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.

a) 2a 2b + 3a 2b – a 2b =

b)3a 2b + ab 2 – 2a 2b =

c)–5a 2 z 3 + ( -1 4 a 2 z 3) – a 2 z 3 =

d)–0,6x 2 z 4 –2 5 x 2 z 4 + 3x – 8x =

e)–a 3 c 4 + a 2 c + 7a 3 c 4 – 3,4a 2 c =

5.3.2 Eentermen vermenigvuldigen

Inleiding

Voor een voetbaloefening moet Jorne vierkante oefenzones afbakenen met kegels. De zijde van zo’n vierkante oefenzone wordt voorgesteld door de letter a

Noteer als een vermenigvuldiging van eentermen en werk uit.

a) Bepaal de totale lengte van de oefenrechthoek.

b) Bepaal de totale breedte van de oefenrechthoek.

c) Bepaal de oppervlakte van de oefenrechthoek.

Werkwijze Om eentermen te vermenigvuldigen

• vermenigvuldig je de coëfficiënten;

• vermenigvuldig je de lettergedeelten.

Voorbeeld

= 5 ? x ? 6

Verklaring

5x ? 6 afspraak letterrekenen de vermenigvuldiging is commutatief afspraak letterrekenen

= 5 ? 6 ? x = 30x

Opmerking

Maak bij het vermenigvuldigen van eentermen altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent. De coëfficiënten vermenigvuldig je, de exponenten tel je op.

6x 2 ? 2x 6 = 6 ? 2 ? x 2+6 = 12x 8

Nog enkele voorbeelden

–3a 4 5 2x (–3y) 2b 4b³ 5a n 2a 3n

5.3.3 Eentermen delen

28a 5 : (7a 3) = 28a 5 7a 3 = 28 7 a 5 a 3 =

Werkwijze Om eentermen te delen

• deel je de coëfficiënten;

• deel je de lettergedeelten.

Voorbeelden

45x 7 9x 3

5.3.4 Macht van een eenterm

(2a 4) 3 = 2a 4 ? 2a 4 ? 2a 4 =

Werkwijze Om een eenterm tot een macht te verheffen

• verhef je de coëfficiënt tot die macht;

• verhef je het lettergedeelte tot die macht.

Opmerkingen

a) Let altijd goed op de plaats van de haakjes als je een macht van een eenterm berekent.

b) Maak bij het berekenen van een macht van een eenterm altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent

x 3)

Voorbeelden

x 2)

Oefeningen

REEKS A

26 Bereken het product van de volgende eentermen.

6x 2 ? x 3 =

a) 6a 7a = d) 3x (–7) = b) –2x ? 3x = e) –2z 4 ? 3z 2 = c) 4x 2 ? (–2x) =

27 Bereken de machten van de volgende eentermen.

a) (a 3) 2 = d) (z 2) 4 = b) (2a) 4 = e) (2z 3) 3 = c) (3x) 2 = f) (–4k 5) 2 =

REEKS B

28 Vul in met = of ≠.

29 Vul de bewerkingstabel in.

30 Bereken het product van de volgende eentermen.

a) n 2 ? 5n 2 = e) –7 4 x 16 14 x 4 =

b) –4a 3 ? 6a = f) 6b 3 ? (–4b) =

c) 2x 3 ? (–7x) = g) 12z 3 1 4 z 5 =

d) 3y ? 0,5y 7 = h) 1 4 b 5 5 7 b 6 =

31 Bepaal de oppervlakte van de rechthoek.

3,5a 2a

32 Bereken de macht van de volgende eentermen.

a) (3a 2) 3 = e) ( 1 4 z 4) 2 = b) (–2x) 2 = f) (–2 5 x 3) 3 =

c) (–x 2) 2 = g) (35x 17) 0 = d) (–2b 5) 4 = h) (–12b 4) 1 =

33 Voer de volgende opdrachten uit.

a)Trek 9x 2 af van 4x 2

b)Maak het product van 3y met –5y 3

c)Zoek de derde macht van –2x 3 .

34 Vul aan tot een juiste uitspraak. a) ? 4y 2 = 44y 4 d) – 6y 3= –55y 3

b) 5x + = –11x e) 2x 2 ? = –8x 6

c) 14a 2 – = –12a 2 f) 6b 4 = –24b 9

a) 2a 4 + a 4 3a 8 d)3x – 5 –2x

b) (–2x 3) 2 4x 9 e) x 2 x 2 x 2 x 6

c) 6x 3 (–8x 3) –48x 9 f) (3b 3) 2 8b 6

36 Bereken het product van de volgende eentermen.

a) 3a 2b ? (–7ab 3) ? 2b =

b) –3 8 a 2 b 3 ? (–1 6 a 5 b 2) ? ( 16 5 ab) =

c) –3 4 a 2 b 3 16 9 ab = =

37 Vul de rij aan. a) 8a 8b 7 4a 6b 6 2a 4b 5 b) –1 4 ab 2 7 4 ab 2 15 4 ab 2

38 Bereken het quotiënt van de volgende eentermen.

a)15a 3 : (3a) = d) –36z 4 9z = b) –6z 4 2z 2 = e)48y 10 : (–6y 7) =

c) –56a 3 7a 3 = f) 24k 4 –8k 3 =

39 Bereken het quotiënt van de volgende eentermen.

a)–3ab 4 : (b 2) = d) –5x 3 z 2 7xz =

b)54x 3 y 4 : (9xy 2) = e)0,75a 2b : (0,15ab) =

c) –56a 3b2 7a 3b = f) –49x 3 y 2 7x 3 y 2 =

40 Bereken

a) 2w 2 + (-4w 2) – 3w 2 = = e) 56x 2 y 4 : (−7xy) = = b) 3a 2 ? (–2a ³b) ? 3b = = f) ( 14x 3 y 7x )2 = =

c) 14z 3 2z 2 = = g) [ (−3a 3b) 2 ] 2 = = d) (−2a 2) 3 = = h) 5 6 x 3 y ? 18 10 x 2 y 2 = =

REEKS C

41 Bereken het product van de volgende eentermen.

a)2a m ? 3a n = d)0,5x 2y ? 4x 3y =

b)–12x 3n 5x 2n = e)2z n (–3z n) =

c)–3k 3n 2k = f) 1 2 x 2z 4x z =

42 Bereken de macht van de volgende eentermen.

a) (6x m) 2 = d) (–5x 6a z b) 2 =

b) (–2a p) 3 = e) –(–3a 3m c n) 3 =

c) (3m 2a n b) 3 = f) –(–2x a y 2b) 4 =

43 Bereken.

a) (3a 2) p = d) (3a 2b) z =

b) (2bm) 4 = e) (2a 3 c m) b =

c) (8c p) q = f) (6r 2m s 3t) 2a =

44 Bereken.

a) 5x 4z − 9x 4z + x 4z = b) 1 2 a 5k − 2a 5k =

c) 12 9 x 2a ? 18 30 x 2a =

d) (2x 3b) 5 =

e) 2x 3p − (−6x 3p + 3x 3p) =

f)−21x n+2 : (3x n−2) =

g) x m+4 (−3x m−2) =

h) (15a 2k−2) ? (4a k+4) =

i) ( 18 27 x 3m+5) : ( 12 16 x m+4) = j) 2 3 z 2p 6 21 z 2p−4 =

5.4 Veeltermen

5.4.1 Veelterm

gelijkbenige driehoek bb c

Definitie Veelterm

Om de omtrek van een gelijkbenige driehoek te berekenen, gebruik je de omtrekformule P = 2b + c

2b + c is een veelterm.

Die veelterm is de som van de eentermen 2b en c.

Een veelterm is een som van eentermen.

Voorbeelden

3a + 2b + 4c is een veelterm. Die drieterm is de som van de eentermen : 3a en 2b en 4c

3x 3 + 7x 2 – 4x + 8 is een veelterm. Die vierterm is de som van de eentermen :

2a – 6b is een veelterm. Die tweeterm is de som van de eentermen :

5.4.2 Veeltermen herleiden

Een veelterm herleiden betekent de gelijksoortige eentermen van de veelterm optellen.

Voorbeelden

3a 2 5a 4 + 7a + 8 2x 7 – 4x 3 + 3x 7 + 3x 3 = 3a 2 + 2a + 4 =

5.4.3

Veeltermen rangschikken

Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven naar de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.

Voorbeelden

Rangschik de volgende veeltermen naar de dalende machten van x

7x 3 + 5x 5 – 6x 2 + 3 x 3 + 2x 5 – x 2 – 3 + x

= 5x 5 + 7x 3 – 6x 2 + 3 =

Oefeningen

REEKS A

45 Voor het deeg van een fruittaart heeft Kristl drie peren (p) en twee bananen (b) nodig. Bij de versiering van de taart gebruikt ze nog twee peren en één banaan. Vul de tabel aan.

bijbehorende eenterm

tel de eentermen op herleid nu de veelterm

46 Rangschik de veeltermen naar dalende machten van x gerangschikte veelterm

a)2x 7 –7x 8 + 12

b)–6x –2x 4 –9

c)5 + 3x 7 –2x

d)2x 3 + x –5x 6

REEKS B

47 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten.

a)5x –3x + 2x = f)12a 3 –5a 3 + 4a =

b)2a + 4 – a + 2 = g)7x –12 –12x + 3 =

c)7k –3 –4k = h)–3z 2 + 5z –9z –4z 2 =

d)5m + 7 –8m = i) 4z 2 –8z 4 + 15z 4 + 3 =

e)9x 2 –4x + 6x 2 = j)8a 5 –3a 5 –4a + a 2 =

48 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x.

REEKS C

49 Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x. Bereken daarna de getalwaarde als x = 2 en y = 3. –2 5 x 2 y 3 – 3x 4

5.5.1

Veeltermen optellen

Inleiding

Voor deze training heeft Jorne twee oefeningen voorbereid.

Naast een aantal ballen (b) en kegels (k) heeft hij ook hesjes (h) nodig.

Vul bij elke oefening de gepaste eenterm in. Vul daarna het nodige materiaal als een veelterm aan.

oefening 1 oefening 2

ballen

kegels

hesjes

materiaal

Noteer als een optelling van veeltermen en werk uit.

Hoeveel ballen, kegels en hesjes heeft Jorne voor beide oefeningen nodig?

Werkwijze Om veeltermen op te tellen

• laat je de haakjes weg;

• herleid je de verkregen veelterm.

Voorbeeld

Verklaring

(5x 2 + 3x – 12) + (2x 2 – 4x + 2) de optelling is associatief

= 5x 2 + 3x – 12 + 2x 2 4x + 2 de optelling is commutatief

= 5x 2 + 2x 2 + 3x 4x – 12 + 2 de veelterm herleiden

=7x 2 – x – 10

5.5.2

Veeltermen aftrekken

Even herhalen: de haakjesregel

Als er tussen het eerste haakje en de eerste term binnen de haakjes geen teken staat, schrijf je op die plaats eerst een plusteken.

plusteken voor de haakjes

minteken voor de haakjes

Inleiding

Laat de haakjes en het plusteken weg en behoud de tekens binnen de haakjes.

Laat de haakjes en het minteken weg en verander de tekens binnen de haakjes.

6 + (7 + 5 – 4) =

7 – (6 + 8 – 5) =

Jorne beschikt in het sportmateriaalhok over 20 ballen (b), 15 kegels (k) en 10 hesjes (h).

Hij bedenkt een nieuwe oefening, waarvoor hij het volgende materiaal nodig heeft:

oefening

ballen

kegels

hesjes

Werkwijze Om veeltermen af te trekken

• werk je de haakjes weg met de haakjesregel;

• herleid je de verkregen veelterm.

Voorbeeld

a) Noteer als een veelterm hoeveel ballen, kegels en hesjes Jorne nodig heeft voor deze oefening.

b) Hoeveel ballen, kegels en hesjes heeft Jorne nog over in het materiaalhok? Noteer als een bewerking van veeltermen en werk uit.

Verklaring

(5x 2 + 3x – 12) – (2x 2 – 4x + 2) de haakjes wegwerken met de haakjesregel

= 5x 2 + 3x – 12 2x 2 + 4x – 2 de optelling is commutatief

= 5x 2 2x 2 + 3x + 4x – 12 – 2 de veelterm herleiden

=3x 2 + 7x – 14

Oefeningen

REEKS A

50 Werk uit en herleid.

a) (6x + 7) + (3x – 4) =

b)(2a + 3) + (4a + 8) =

c)(–2b – 5) + (–5b + 4) =

d)(4y – 8) + (–2y – 5) =

e)(9z + 4) + (5z – 3) =

51 Werk uit en herleid.

a) (2x + 5) – (3x – 4) =

b)(–2a + 4) – (–4a + 9) =

c)(–7b – 5) – (–5b + 4) =

d)(6y – 2) – (–2y – 8) =

e)(z – 2) – (–5z – 6) =

REEKS B

52 Kelner Tom neemt twee bestellingen op. Voor de eerste tafel noteert hij de tweeterm 3w + c De tweede tafel bestelt 2w + 2b + c.

a) Noteer als een bewerking van veeltermen wat de barman moet klaarmaken. Werk die bewerking uit.

b) Hoeveel euro moet Tom in totaal ontvangen?

Antwoordzinnen:

53 Ten voordele van het Rode Kruis verkoopt men op de speelplaats soep, appels en donuts. De organisatoren voorzien 50 kommen soep (s), 75 appels (a) en 60 donuts (d).

Tijdens de pauze verkopen ze 43 kommen soep, 72 appels en 54 donuts.

verkoopprijsinkoopprijs

s € 0,60€ 0,28

a € 0,50€ 0,35

d € 0,75€ 0,63

a)Noteer met een veelterm wat de organisatoren voorzien.

b)Noteer met een veelterm wat er verkocht werd.

c)Bepaal met een bewerking van veeltermen de hoeveelheid die de organisatoren over hebben. Werk die bewerking uit.

d)Hoeveel euro brengt de verkoopactie op?

54 Werk uit, herleid en rangschik.

a) (a 2 + 7) – (3a 2 + a – 4) = =

b)(5z – z 6 + 4) + (z 6 – 3z) =

c)(–x 3 + 2x) – (2x 2 – 3x + 5) =

d)(8k – 7) + (9k 5 + 4k – 8) =

e)(–2y + 9) – (9y 7 – 5y 2 – 4) =

Inleiding

10 m

De afstand tussen elke netpaal stelt

Jorne voor door de letter a.

Jorne beschikt over een rechthoekig oefenterrein van 10 m breed. Hij heeft nooit de tijd gehad om de lengte te meten. Hij ziet wel dat er in de lengte vijf netpalen aan de rand van het oefenterrein op een gelijke afstand van elkaar staan.

Naast de netpalen staan nog drie kleine paaltjes van een houten afsluiting op het naburige oefenveldje op een gelijke afstand van telkens 3 m.

We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige oefenterrein op twee manieren.

methode 1

Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige oefenveld.

a) Schrijf de totale lengte van het volledige oefenterrein als een veelterm.

b) Hoeveel bedraagt de breedte van het terrein?

c) Schrijf de oppervlakte als het product van een veelterm en een eenterm.

methode 2

Je berekent de oppervlakte van het donkergroene terrein en telt die samen met de oppervlakte van het lichtgroene oefenterrein.

a) Schrijf de oppervlakte van het donkergroene oefenterrein als een eenterm.

b) Bereken de oppervlakte van het lichtgroene terrein.

c) Noteer de som van de verkregen oppervlaktes.

Werkwijze Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm

• vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm;

• tel je de verkregen producten op.

Voorbeeld

6a (5a + 7)

= 6a ? 5a + 6a ? 7

= 30a 2 + 42a

Verklaring

de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling

vermenigvuldigen van eentermen

Oefeningen

REEKS A

55 Werk uit.

a) 2 (3a + 4) =

b) 5x (3x – 2) =

c) (6b – 7) 8 =

d) (2z + 4) 3z =

e) –5k ? (–2k – 9) =

f) –2m ? (3m 3 + 7) =

REEKS B

56 Werk uit en rangschik naar dalende machten.

a) 2x 3 (3x 2 – 7x) = =

b) –5y ? (2y 4 – 3y 2 + 8) = =

c) (4z + 5z 2 – 9) (–2z) = =

d) 0,5a 2 ? (–4a 3 + 2a – 6) = =

e) (8m 4 – 5m 3 – m) 7m = =

f) –5k ? (3k 2 – 4k – 3) = =

g) (–7b 4 + 3b 2 – 6b) ? (–8b 2) = =

57 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.

a) 5 (3x + 2) – (5x – 7) = =

b) (3x – 1) ? 5 – 6 ? (x – 3) = =

c) 2a (6a – 5) – 3 (2a + 1) = =

d) –4b2 ? (2b – 4) – 2b ? 3b = =

e) (x 4 – x) 6x + (– 3x 4 + x 2 – 3) = =

58 Bereken de leeftijd van Silke.

Noteer de tussenstappen als lettervormen en werk de lettervormen uit.

a)Vermenigvuldig x met 5.

b)Tel er vervolgens 9 bij op.

c)Trek nu 9x af.

d)Bij de verkregen veelterm tel je 4x 2 – 5x – 5.

e)Vermenigvuldig nu met 2.

f) Bereken de getalwaarde van die veelterm voor x = -1 2 Zo vind je de leeftijd van Silke.

REEKS C

59 Werk uit.

a) a (b + 6) =

b)2a ? (a 2b + b) =

c)3x 2 y ? (2xy 2 – 4 + 2y) =

d)(yz + 5y – 3z2) ? 2yz =

e)5ab (–2a + 7b – 4a 2b) =

5.5.4 Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm

Inleiding

Op het einde van de training organiseert Jorne nog een oefenwedstrijd. Hij bakent een rechthoekig veld af.

Voor de lengte neemt hij de afstand tussen de tweede en de vijfde netpaal en 3 m extra.

Voor de breedte stapt hij de afstand tussen de eerste en de derde netpaal af en neemt 2 m extra.

We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige veld op twee manieren. methode 1 methode 2

Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige veld.

Je neemt de som van de deeloppervlaktes van het veld.

a) Schrijf de totale lengte van het wedstrijdveld als een veelterm.

a) Schrijf de oppervlakte van de blauwe rechthoek als een eenterm.

b) Schrijf de oppervlakte van de gele rechthoek als een eenterm.

b) Schrijf de totale breedte van het wedstrijdveld als een veelterm.

c) Schrijf de oppervlakte van de rode rechthoek als een eenterm.

d) Schrijf de oppervlakte van de groene rechthoek als een eenterm.

c) Bepaal de totale oppervlakte van het veld als een product van veeltermen.

e) Noteer de totale oppervlakte van het veld als een veelterm.

Werkwijze Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm

• vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm;

• tel je de verkregen producten op;

• herleid en rangschik je de verkregen veelterm.

Voorbeeld

= (6x + 4) 2x + (6x + 4) 5

= 12x 2 + 8x + 30x + 20

Verklaring

(6x + 4) ? (2x + 5) de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling herleiden en rangschikken

= 12x 2 + 38x + 20

Oefeningen

REEKS A

60 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.

a) (2a + 7) (3a + 4) =

b) (–2x + 7) ? (8 + 2x) =

c) (6y – 4) ? (5y + 3) =

d) (2z + 4) (–2 + 4z) =

e) (5m – 3) (–2m + 7) =

REEKS B

61 Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoeken met behulp van het product van een eenterm en een veelterm.

Werk die producten uit en vul de tekeningen aan.

x x 7

62 Een bedrijf maakt ramen met patronen in gekleurd glas. Omdat niet elk glas in een raam even groot moet zijn, hebben ze de afmetingen erbij gevoegd in lettervormen.

Bereken de oppervlakte van het glas.

4x 2 3x 3

63 Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.

a) (x – 4) ? (x 3 – 2x 2 + 6) = =

b)(y 2 – 3) (y 2 – 6y + 7) = =

c)(a 3 – 5a 2 + 2a) (3a 2 – 4) = =

d)(–7x + 6) ? (2x 7 – 5x 5 – x 3) = =

64 Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 4 en hoogte 4. 4 x + 4 x + 5

– 2

65 Bepaal de oppervlakte A van een balk met lengte x + 2, breedte x – 2 en hoogte 6. 6

+ 2

66 Werk elke oefening uit. De antwoorden staan in de rechterkolom. Met de gevonden letters vorm je een uitdrukking.

a) –(–2x 2 + 12x) – (–8x 2 – 36x + 24)

b) 7x (–3x 2 – 6x + 2) = c) (–8x 2) (2x 2 – 4) = d) (5x 2 + 3x – 1) ? (–2x + 4) = e) 6 ? (–x + 2) ? (x – 2) = f) (5x + 3) ? (7x 2 – 2) = g) (–18x 3 + 7x 2 – 4) – (–8x 3 – 7x 2 – 14x) = h) (12x 3 – 10x – 4) + (23x 3 + 21x 2 – 2) = i) –(8x 2 – 12x 4) + (–28x 4 + 40x 2) = j) (–2x + 4) ? (3x – 6) =

67 Werk uit en herleid.

a) (a + 5) (b + 3) =

b)(2a 2 + 3) ? (a 2 – b) =

c)(–2xy – y) (–2xy – y) =

d)(2x 2 – 3y 3) (x – 2y – 5y 2) =

e)(5a + 3b – 9) ? (7a 3 + c) =

68 Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoek met behulp van het product van twee tweetermen. Werk die producten uit en vul de tekening aan. y 5 x 11

69 Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y

+ 3

70 Bepaal de oppervlakte A van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y. y x + 3

71 Werk uit en herleid als het kan. Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen.

72 Werk uit.

a) a m ? (a n + ap) =

b)2x a (5x b + 7) =

c)(2x 3 + x 2) ? (x m + 3x n) =

d)(–a 4 – af) (a 2d – a + 3a 4) =

73 Werk uit en herleid als het kan.

e) (2x 2k + x 2g − 3x 2k) − (x 2g − x 2k + 5x 2g) = = x m ( 2x 3m + 7x) − (−2x 4m) = = (15a 2k−2 − 3a k+7) ? 5a k+4 = = 2x n ? (-3x 2 + 6x 2n – 3) – (4x n + 2 – 5x n)

–(5ba + 3b2 - 9) ( 2b2a – 6ba)

STUDIEWIJZER Algebraïsch rekenen

5.1 Algebraïsche vormen

Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraïsche vormen.

KUNNEN

De getalwaarde van lettervormen berekenen.

5.2 Eentermen

Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten.

Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

KUNNEN

De coëfficiënt en het lettergedeelte van een eenterm bepalen.

Een eenterm zo eenvoudig mogelijk schrijven, rekening houdend met de gemaakte afspraken.

5.3 Rekenen met eentermen

Eentermen optellen en aftrekken.

Eentermen vermenigvuldigen.

Eentermen delen.

KUNNEN

Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen.

Machten met een natuurlijke exponent berekenen van eentermen waarin letterexponenten voorkomen.

5.4 Veeltermen

Een veelterm is een som van eentermen.

KUNNEN

Een veelterm herleiden betekent de gelijksoortige eentermen van de veelterm optellen.

Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven volgens de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.

5.5 Rekenen met veeltermen

KUNNEN

Twee- en drietermen in één letter optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Een eenterm vermenigvuldigen met tweetermen en drietermen.

Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Twee- en drietermen met eenvoudige letterexponenten optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Pienter Rekenen

Pienter problemen oplossen

een schets maken

een schema/tabel maken

opsplitsen in deelproblemen

eenvoudigere getallen gebruiken een patroon herkennen

Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

het gegeven en gevraagde ordenen van achteren naar voren werken eerder opgedane kennis gebruiken elimineren

1. Liam snijdt een appeltaart in stukken. De helft van de stukken geeft hij aan zijn zus. Van de andere helft geeft hij een vierde aan zijn broer.

Daarna blijven nog drie stukken taart over. In hoeveel stukken heeft Liam de taart gesneden?

logisch nadenken

2. Een trein vertrekt om 10:00 uur vanuit station A en rijdt met een constante snelheid van 120 km/h naar station B. Tegelijkertijd vertrekt een auto vanuit station B en rijdt met een constante snelheid van 80 km/h naar station A. De afstand tussen station A en station B is 300 km. Op welk tijdstip en op welke afstand van station A zullen de trein en de auto elkaar ontmoeten?

3. Olivia is afwezig voor de toets Frans. De overige 20 leerlingen van de klas maken de toets en behalen een gemiddelde van 60 %. Olivia haalt de toets later in en hierdoor stijgt het gemiddelde van de klas met 1 %.

Hoeveel procent behaalde Olivia voor haar toets Frans?

4. Ontdek het patroon en vul het ontbrekende getal in.