Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 3.
Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.
Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.
Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.
Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt uhen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Ook voor het onlinelesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot datmateriaalis persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
De dokter raadt hem aan een streng dieet te volgen.
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
De volgende dag heeft hij een afspraak met een diëtist, die hem een dieet voorstelt dat hem 3 kg massaverlies per maand zal opleveren.
Stel een tabel op die het verloop van de massa van Frans weergeeft.
tijd: t (maanden)
massa: m (kg)
8.1 Begripsvorming
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
8.1.1 Voorbeeld
De formule die de evolutie van de massa van Frans weergeeft, is dus: m = 120
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
De drukker maakt de volgende offerte:
Die vergelijking is van de vorm y = ax + b
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro
Definitie Lineair verband
8.1 Begripsvorming
• per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor10 T-shirts
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
8.1.1 Voorbeeld
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel.
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro
• per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor10
kostprijs (euro)
De grafiek is een (deel van een) rechte. De richtingscoëfficiënt van de grafiek is Wat is de fysische betekenis van die
Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
Op diddit vind je extra oefeningen.
Oefeningen
A
In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
Hoeveel zal Frans na één jaar vermagerd zijn?
R
Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.
STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (
r).
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene, blauwe of oranje band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong.
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter Remediëren en voor Extra Leerstof (XL).
KUNNEN
Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen.
De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.
PIENTER EN DIDDIT
Het onlineleerplatform bij Pienter
Materiaal
Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen.
Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.
Lesmateriaal
Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.
Oefeningen
• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
• Je kunt hier vrij oefenen.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
E-book
Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...
Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.
HOOFDSTUK 7 I GELIJKVORMIGHEID
7.1 Gelijkvormige figuren 8
7.2 Overeenkomstige hoeken en zijden 14
7.3 Gelijkvormigheidsfactor 17
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren 25
7.5 Gelijkvormigheid en transformaties 29
7.6 Gelijkvormige driehoeken 34
7.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken 55 Studiewijzer 73 Problemen uit JWO 76
7.1 Gelijkvormige figuren
7.1.1 Gelijkvormige vlakke figuren
figuur 1
figuur 2
figuur 3
figuur 4
figuur 5
Vergelijk de logo's met elkaar. Vink de juiste beweringen aan.
Een pantograaf is een hulpmiddel bij het maken van tekeningen. Het is een verstelbaar parallellogram van hout, metaal of plastic. Een pantograaf wordt gebruikt om afbeeldingen vergroot of verkleind over te nemen.
Je volgt de omtrekken van de na te tekenen afbeelding met een stift. Een potlood, aan het andere uiteinde van het toestel, tekent de figuur vergroot of verkleind na.
7.1.2 Gelijkvormige ruimtefiguren
figuur 1
figuur 2
figuur 4
Vergelijk de balken met elkaar. Vink de juiste bewering(en) aan.
figuur 2 ten opzichte van figuur 1
figuur 3 ten opzichte van figuur 1
figuur 4 ten opzichte van figuur 1
figuur 5
figuur 3
figuur 5 ten opzichte van figuur 1
❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm
16 åABC en åEFG zijn gelijkvormig.|AB | = 3 cm, |BC | = 4 cm en |AC | = 5 cm. |EF | = 2,5 cm, |FG | = 1,5 cm en |EG | = 2 cm.
a) Verbind de overeenkomstige zijden. [AB]
[EF]
BC]
b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.
[FG] [AC]
[EG]
17 åABC en åPQR zijn gelijkvormig.|AB | = 2 cm, |BC | = 1,4 cm en |AC | = 3 cm. |QR | = 4,5 cm, |PR | = 3 cm en |PQ | = 2,1 cm.
a) Verbind de overeenkomstige zijden.
[AB] • • [QR]
[BC] • • [PR]
[AC] • • [PQ]
18 Noteer de gelijkvormige rechthoeken.
b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.
figuur is gelijkvormig met figuur
REEKS C
19 Bepaal zonder te meten de lengte van de ontbrekende zijde van de gelijkvormige rechthoek.
7.3 Gelijkvormigheidsfactor
7.3.1 De gelijkvormigheidsfactor
figuur 1
figuur 2
Figuur 2 is gelijkvormig met figuur 1. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van figuur 2 ten opzichte van figuur 1. verhoudingen
De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is constant. Die constante noem je de gelijkvormigheidsfactor
Notatie: g = 1 2
figuur 2
figuur 3
figuur 4
Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1 F3 ten opzichte van F1 F4 ten opzichte van F1
=
=
❒ een vergroting ❒ een vergroting
een vergroting ❒ een verkleining ❒ een verkleining
een verkleining ❒ een congruente figuur
een congruente figuur
een congruente figuur
Besluit
• Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor
• Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor
• Hoe noem je figuren waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 1?
7.3.2 Gelijkvormigheidsfactor en schaal
Een raam op een plan en het raam in werkelijkheid zijn gelijkvormige figuren.
Op een plan lees je de werkelijke afmetingen en de gehanteerde schaal. De schaal is de gelijkvormigheidsfactor van het getekende raam ten opzichte van het werkelijke raam.
delen door de schaal afmeting op tekening werkelijke afmeting vermenigvuldigen met de schaal
Besluit ‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis. Madurodam is een miniatuurstad in Den Haag (Nederland). Alle bouwsels zijn er op schaal 1 25 nagemaakt. Het park bestaat sinds 1952.
Er zijn gebouwen uit historische binnensteden, moderne woonwijken, havengebieden, een luchthaven, kanalen, wegen, landerijen, natuurgebieden en meer.
Oefeningen
REEKS A
20 Duidt de gelijkvormigheidsfactor een vergroting, een verkleining of een congruente figuur aan?
21 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van vierkant 2 ten opzichte van vierkant 1.
22 Hieronder vind je een kaart op schaal 1 : 5 000 000. Bepaal de werkelijke afstanden.
op tekening in mm in werkelijkheid in km
a) Brussel – Antwerpen
b) Kortrijk – Gent
c) Luik – Hasselt
d) Brugge – Bergen
e) Namen – Bastenaken
23 Is åA9B9C9 een vergroting of verkleining van åABC ? Vul daarna de afmetingen van åA9B9C9 aan.
24 Met welke driehoeken is driehoek 1 gelijkvormig? Vink aan. Benoem ze, indien mogelijk, volgens afspraak. Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van driehoek 1.
25 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van balk 1.
26 Om een nieuwe vloer te leggen, gebruikt de tegellegger vier soorten tegels. De tegels worden in een bepaald patroon gelegd, zoals afgebeeld.
a)Noteer voor elke soort tegel de afmeting op de tekening van het legpatroon.
b)Welke tegelsoorten zijn gelijkvormig?
c)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor(en) van de gelijkvormige tegels.
27 Werk de vierhoek A9B9C9D9 verder af zodat hij gelijkvormig is met de vierhoek ABCD Wat is de gelijkvormigheidsfactor?
Gelijkvormigheidsfactor: g =
28 Teken een figuur die gelijkvormig is aan de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor.
a) g = 4 3
b) g = 3 4
29 Bij sommige beeldschermen is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4 : 3. Bij andere beeldschermen is die verhouding 16 : 9.
a)Zijn beide beeldschermen gelijkvormig? Verklaar je antwoord.
❒ ja ❒ nee
b)Bereken in beide gevallen de breedte van het beeldscherm met een hoogte van 36 cm.
30 Noteer voor de gegeven schaallijnen de gelijkvormigheidsfactor van de tekening op schaal ten opzichte van de werkelijkheid.
a) 0 10 20 30 40 50 cm b) 0 1 2 3 4 5 km
31 Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. Alle maquettes in Madurodam zijn op schaal 1 25 .
a)Het Koninklijk Paleis is een paleis op de Dam in de binnenstad van Amsterdam. Als je weet dat het paleis 52 m hoog is, hoe hoog is het schaalmodel in Madurodam dan?
b) De Erasmusbrug is een brug over de Nieuwe Maas in de haven van Rotterdam. Het schaalmodel in Madurodam heeft een hoogte van 5,56 m. Wat is de werkelijke hoogte van de Erasmusbrug?
c)Een vliegtuig van de Nederlandse luchtvaartmaatschappij KLM meet 2,8 m in Madurodam. Hoe lang is dat vliegtuig in werkelijkheid?
d)Hoe groot zou een maquette van jou in Madurodam zijn?
• Werkelijke lengte: cm
• Lengte in Madurodam: cm
32 Op het grondplan hieronder staan de exacte afmetingen in cm vermeld. Volgens welke schaal werd het grondplan getekend? Welke afmeting op de tekening klopt niet met de verkregen schaal?
33 Noteer voor het stratenplan de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van de werkelijkheid. Bepaal ook de werkelijke lengte van de Dweersstraat.
REEKS C
a) Gelijkvormigheidsfactor:
b) Werkelijke lengte van de Dweersstraat:
34 Teken een doorsnede van de piramide die gelijkvormig is met de gegeven doorsnede. De gelijkvormigheidsfactor is 0,75.
Een figuur schalen
Heb je een figuur ingevoegd in een Worddocument, dan kun je via Grootte en positie – Formaat die figuur schalen. Let er daarbij op dat de hoogte-breedteverhouding altijd vergrendeld is.
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren
Een kubus wordt vergroot met gelijkvormigheidsfactor 4.
Bereken de omtrek (P) van beide voorvlakken.
Formule: P =
oppervlakte volume
Bereken de oppervlakte (A) van beide voorvlakken.
Formule: A =
Bereken het volume (V ) van beide kubussen.
Formule: V =
Bereken de verhouding.Bereken de verhouding.Bereken de verhouding.
omtrek F2 omtrek F1 =
oppervlakte F2 oppervlakte F1
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de omtrek vermenigvuldigd
met factor
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt het volume vermenigvuldigd
met factor
Oefeningen
REEKS B
35 De vloer van onze klas en de vloer van de eetzaal zijn gelijkvormig.
De vloer van de klas meet 6 m bij 5 m.
Als je de vloer met gelijkvormigheidsfactor 3 vergroot, dan is hij even groot als die van de eetzaal.
Bepaal op twee manieren de oppervlakte van de eetzaal.
Lengte eetzaal:
Breedte eetzaal:
Aeetzaal :
36 De omtrek van een minivoetbalveld is 85 meter.
Aklas :
Aeetzaal :
De gelijkvormigheidsfactor van een groot voetbalveld ten opzichte van het minivoetbalveld is 4.
37 De oppervlakte van een rechthoekig schoolbord bedraagt 3 m2
De gelijkvormigheidsfactor van een tweede schoolbord ten opzichte van het gegeven schoolbord is 2.
Wat is de oppervlakte van het gelijkvormige tweede schoolbord?
38 Een terras is samengesteld uit twee soorten vloertegels die gelijkvormig zijn.
Een tegel van de eerste soort heeft een oppervlakte van 9 dm2.
De gelijkvormigheidsfactor van de tweede soort tegels ten opzichte van de eerste soort bedraagt 1 2 .
Bepaal de oppervlakte van een tegel van de tweede soort.
39 Een balkvormig flatgebouw met een breedte van 12,5 m, een lengte van 25 m en een hoogte van 50 m wordt nagebouwd op schaal 1 : 25. Vul de tabel verder aan.
flatgebouw in werkelijkheid flatgebouw op schaal
lengte
breedte
hoogte volume
40 Het volume van een balk is 40 cm3.
De gelijkvormigheidsfactor van een andere balk ten opzichte van de gegeven balk is 3. Wat is het volume van de gelijkvormige balk?
41 Een landbouwer heeft voor het ploegen van een vierkant stuk grond met zijde 100 m 4 uur werk. Hoeveel uur heeft hij nodig om zijn vierkant stuk grond met zijde 200 m te ploegen?
REEKS C
42 Van twee gelijkvormige stukken land verhouden de lengten zich als 1,5 tot 5. De breedte van het tweede stuk is 15 m en de lengte van het eerste stuk is 9 m. Bepaal de oppervlakte van de beide stukken.
43 Een olifant heeft gemiddeld een volume van 4 m3. Op het bureau van de directeur van de zoo staat een model op schaal 1 : 20. Hoeveel liter inhoud heeft het schaalmodel?
44 Hieronder vind je een beelddiagram dat het jaarlijkse verbruik van stookolie van het gezin Pieters voorstelt. Begin 2023 lieten ze hun woning beter isoleren. De hoogte van de vaten geeft de hoeveelheid stookolie aan die het gezin voor die jaren nodig had.
a)Schat het aantal liter stookolie dat het gezin in 2023 verbruikt heeft:
b) Bereken het aantal liter stookolie dat het gezin in 2023 verbruikt heeft aan de hand van de hoogte van de vaten.
c)Door wie zal zo'n beelddiagram waarschijnlijk opgesteld zijn? Verklaar je keuze.
❒ voorstanders van isolatie ❒ tegenstanders van isolatie
Door middel van rechten door een centrum O is het logo F1 getransformeerd in het logo F2
Daardoor ontstaan gelijkvormige figuren. Die transformatie noem je een homothetie
Je zegt dat F2 het homothetiebeeld is van F1
Factor van de homothetie |OA9| = 2
Bij de homothetie van het logo is de factor 2.
Notatie: h(O, 2) (F1) = F2
De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1
De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor.
Homothetiebeeld van een punt
Bepaal het beeld P9 van het punt P door een homothetie bepaald door het centrum O en met factor 3.
Werkwijze
stap 1: Teken de halfrechte [OP.
stap 2: Teken het punt P9 op [OP, zodat |OP9| = 3 |OP|.
Homothetie: een vergroting of een verkleining
h(O, 2)(F1) = F2 en h O , 1 2 (F1) = F3
F2 F1 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1 g =
F3 F1 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F3 ten opzichte van F1. g =
7.5.2 Transformaties en gelijkvormige figuren
Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie levert een gelijkvormige figuur op.
GEOGEBRA
Voorbeeld
• s a(F1) = F2
• r(A, 45°)(F2) = F3
• t CD(F3) = F4
• h(B, 3)(F4) = F5
Oefeningen
REEKS A
45 Vul de naam van de figuur in.
a) h(O, 2)(F3) = d) h O, 1 2 (F5) =
b) h(O, 3)(F1) = e) h O, 3 4 (F3) =
c) h(O, 2)(F2) = f) h O, 4 3 (F2) =
REEKS B
46 Bepaal het beeld van åABC door de homothetie.
a) h(O, 2)(åABC) = åA9B 9C 9 b) h(O; 0,5)(åABC) = åA 0B 0C 0
47 F2 is het homothetiebeeld van F1. Bepaal het centrum van de homothetie.
1
48 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.
a)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W1 g =
b)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W1 g =
c)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W2 g =
d)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W4 ten opzichte van W2. g =
e)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W5 g =
f)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W1 ten opzichte van W4. g =
49 Voer achtereenvolgens de transformaties uit, zodat F1 op F4 wordt afgebeeld.
t DE (F1) = F2 → s a(F2) = F3 → h(H, 2)(F3) = F4
50 Onderstaande figuur bestaat uit gelijkvormige driehoeken. Vul aan.
a) h(A, 2)(I) =
b) h H, 1 2 ([JL]) =
f) h( , 4)([CE]) =
g) h( , )(åBIF) = åCLE
c) h(B, 2)(åBLK) = h) h(E, 3)([EL]) =
d) h(A, )(J) = G i) h( , 3)(B) = A
e) h( , )([BI]) = [LM ]
j) h(L, 2)( ) = [JH ]
7.6 Gelijkvormige driehoeken
7.6.1 Inleiding
GEOGEBRA
• Welke driehoeken zijn gelijkvormig?
• Welke hoeken zijn even groot?
• Welke zijden zijn evenredig? = =
• Welke gelijkvormigheidsfactor hoort bij de gelijkvormige driehoeken?
Definitie Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.
Notatie
Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het afgebeelde kunstwerkje heel wat gelijkvormige figuren.
Peter Raedschelders is een kunstenaar die vaak gebruikmaakt van gelijkvormige figuren.
Op onderzoek
Een driehoek tekenen die gelijkvormig is aan een gegeven driehoek, kun je door gegevens te meten en af te passen. Onderzoek hoeveel gegevens je minimaal nodig hebt.
e)twee paren overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn.
f)een paar overeenkomstige zijden en de twee paren aanliggende hoeken gelijk zijn.
g)twee paren overeenkomstige hoeken en een paar overeenkomstige zijden gelijk zijn.
54 Waarom is het gelijkvormigheidskenmerk HH niet H Z Z H naar analogie met het congruentiekenmerk HZH?
7.6.3 Gelijkvormige driehoeken tekenen
Aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kun je gelijkvormige driehoeken tekenen.
GEOGEBRA
Modeloefening 1
Teken åABC die gelijkvormig is met åA’B’C’ zodat • ^ A = ^ A9 • |AB | = 2 |A9B9 | • |AC | = 2 ? |A9C 9 |
1) ^ A = ^ A9
AC’ ’
3)tekenen van de zijde [BC] A A B C
2) |AB | = 2 |A9B9 |en|AC | = 2 |A9C 9 |
4)eindresultaat
Modeloefening 2
Teken åPQR die gelijkvormig is met åP 9Q 9R 9 met gelijkvormigheidsfactor 3 4
Oefeningen
REEKS A
55 Teken åDEF die gelijkvormig is met åABC. Gebruik daarvoor de gegevens van de tekening en de gegeven gelijkvormigheidsfactor. Vermeld het gelijkvormigheidskenmerk.
a) g = 0,5 B AC 6 cm 5 cm 4 cm
gelijkvormigheidskenmerk:
b) g = 2 B 4 cm 3 cm C 40° A
gelijkvormigheidskenmerk:
c) g = 1,5 2 cm 4 cm B C A 3 cm
gelijkvormigheidskenmerk:
d) g = 0,75 4 cm C A B 6 cm 20°
gelijkvormigheidskenmerk:
REEKS B
56 Teken åDEF die gelijkvormig is met åABC. Vermeld het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk.
a)|AB | = 25 mm|BC | = 12 mm
|AC | = 18 mm g = 2
c)|AB | = 16 m |BC | = 12 m
|AC | = 20 m g = 1 400
gelijkvormigheidskenmerk:
b)|AB | = 18 cm|BC | = 24 cm
gelijkvormigheidskenmerk:
d) rechthoekige åABC met rechthoekszijden van 245 cm en 190 cm ^ B = 84º g = 1 6 g = 0,02
gelijkvormigheidskenmerk:
REEKS C
gelijkvormigheidskenmerk:
57 Teken de Bermudadriehoek op de kaart met schaal 1 : 15 000 000. Bepaal ook de schaal van kaart 1.
B kaart 1
kaart 2
Oceaan
schaal 1 : 15 000 000
7.6.4 Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken
Inleiding
• In åABC teken je een evenwijdige met de zijde [AC]. Die evenwijdige snijdt [AB] in D en [BC] in E
• De tabel toont alle hoeken en zijden van åABC en åDBE åABC åDBE
|AB | = 46 mm ^ A = 68º |DB | = 35 mm ^ D = 68º
|BC | = 50 mm ^ B = 54°|BE | = 38 mm ^ B = 54°
|AC | = 44 mm ^ C = 58°|DE | = 34 mm ^ E = 58°
• Zijn åABC en åDBE gelijkvormig? Verklaar je antwoord.
Gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen
Meetresultaten volstaan niet om te besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Je bewijst de gelijkvormigheid van driehoeken aan de hand van wiskundige eigenschappen en de gelijkvormigheidskenmerken.
tekening gegeven
åABC: DE // AC
D is het snijpunt van [AB] en DE E is het snijpunt van [BC] en DE te bewijzen åABC åDBE
bewijs å en å gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is åABC åDBE
Gelijkheid van hoeken bewijzen
tekening
bewijs
å en å
gegeven |AD | = |DE | = |EF | = |FB | en |AG | = |GH | = |HI | = |IC | te bewijzen ^ D = ^ B
gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒ ^ D = ^ B
Evenredigheid van lengten bewijzen
tekening gegeven Q aT
PQ ⊥ a en ST ⊥ a R is het snijpunt van PS en a te bewijzen = PQ ST RQ RT
bewijs
å en å
gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒ = PQ ST RQ RT
Oefeningen
REEKS A
58 Bewijs.
tekening C A B E D // \ \\ / gegeven
bewijs
å en å
C is het snijpunt van [AD] en [BE]. |AC | = |BC | en |CE | = |CD | te bewijzen
TL en UK zijn hoogtelijnen in åTUF. te bewijzen ^ T = ^ U
gegeven
parallellogram KROM: OP ⊥ KR en KL ⊥ RO te bewijzen | KR | | PR | = | RO | |RL |
62 Bewijs.
tekening gegeven
parallellogram BOEK:
L is het snijpunt van BL en OE
S is het snijpunt van OK en BL te bewijzen = OS KS LS BS
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒
REEKS C
63 Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als ze even grote tophoeken hebben. Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å
64 Twee loodlijnen, elk op een van de benen van een hoek, vormen dezelfde hoek met de deellijn van de hoek. Bewijs. tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk
å ⇒
65 In een scherphoekige åABC snijden de hoogtelijnen uit B en C elkaar. Bewijs dat de kleinste hoek die ze met elkaar vormen, gelijk is aan de hoek ^ A tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å
7.6.5 Rekenen in gelijkvormige driehoeken
Aan de hand van gelijkvormige driehoeken kun je onbekende zijden in driehoeken berekenen.
Werkwijze
• Bepaal twee driehoeken die gelijkvormig zijn.
• Indien nodig bewijs je de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Stel een evenredigheid op met de onbekende en bekende zijden van de gelijkvormige driehoeken.
• Bereken de onbekende uit de evenredigheid.
Modeloefening 1
• åABC åPQR • Bereken x en y x 21 = 10 15 ⇔ x = 10 21 15 = 14 = ⇔ y =
Modeloefening 2
Een lantaarnpaal van 4 m heeft een schaduw van 6 m.
Op hetzelfde ogenblik heeft een windmolen
een schaduw van 42 m.
Bepaal de hoogte van de windmolen.
• Bewijs: å en å gelijkvormigheidskenmerk:
Volgens kenmerk is å å
• Berekening:
• Antwoord:
Oefeningen
REEKS A
66 Gegeven: åABC ~ åDEF Bereken het gevraagde maatgetal van de lengte van de zijde op 0,1 nauwkeurig.
REEKS B
67 In Tokyo staat een wolkenkrabber met een gevel in de vorm van een rechthoekige driehoek. Het gebouw is 124 m hoog en 85 m breed. Bereken de hoogte van het gebouw in miniatuur als de breedte in miniatuurbouw 17 cm bedraagt. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.
68 Noah wil een driehoekige tafel namaken met dezelfde vorm als de tafel op de foto. Bereken de lengte van de rechthoekszijden van het tafelblad als de schuine zijde 120 cm moet bedragen. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.
69 Gegeven: åABC ~ åDEF
Bereken de ontbrekende maatgetallen van de lengten van de zijden op 0,01 nauwkeurig.
70 Aïda volgt een cursus om kaarsen te gieten.
Ze maakt een kaars in de vorm van een piramide met een driehoekig grondvlak.
De kaars brandt erg gelijkmatig en na een aantal uur is het bovenvlak vandekaars een driehoek die gelijkvormig is met het grondvlak.
De langste zijde van het driehoekige bovenvlak van de kaars meet nu 54 mm.
Bepaal de afmetingen x en y van de overblijvende zijden van het bovenvlak.
Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.
71 Een doorsnede van een balk levert åABC op.
Op de balk is al een zijde van åDEF van een gelijkvormige doorsnede aangeduid.
Gegeven: |AB | = 18,4 cm | DE | = 6,8 cm | AC | = 16,6 cm | BC | = 14,4 cm
a)Vervolledig de doorsnede åDEF die gelijkvormig is met åABC op de tekening.
b) Bereken de lengten van de zijden [DF ] en [EF ]. Bepaal de lengte op 0,1 cm nauwkeurig.
72 Louis is 1,68 m groot en heeft een schaduw van 2,40 m.
Op hetzelfde tijdstip heeft een boom een schaduw van 6,80 m.
Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
73 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig.
Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
Gegeven: BC ⊥ AC en BC ⊥ BD, AB // DE
• Bewijs:
• Berekening:
74 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
E 36 24 42 43 x
• Bewijs:
• Berekening:
75 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
De cirkels c1 en c2 hebben hetzelfde middelpunt O
De straal van c1 is 12 en wordt met 18 vergroot om c2 te tekenen.
• Bewijs:
• Berekening:
76 Een weg stijgt 40 m over een afstand van 1,250 km. Hoeveel meter moet je op die weg afleggen om 15 m te stijgen? Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
REEKS C
77 Loodrecht op de oevers wordt over een 11 m breed kanaal een touw gespannen. Aan het touw is een boei bevestigd. Als Dieter zich aan de ene kant van het kanaal langs de oever 7 m van het touw verwijdert en Ruben verwijdert zich in tegengestelde zin aan de overkant van het kanaal 3 m van het touw, dan ziet Dieter Ruben en de boei op één lijn. Hoe ver is de boei van beide oevers verwijderd? Bepaal je antwoord op 0,1 m nauwkeurig.
Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
Extra oefeningen (REEKS C)
7.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken
7.7.1 Middenparallel van een driehoek
Definitie
Definitie Middenparallel van een driehoek
Om een dakconstructie te verstevigen, bevestigt men een houten tussenbalk [RS ].
Meet [AR], [RB], [AS] en [SC].
| AR |= mm
| RB |= mm
| AS |= mm
| SC |= mm
Dat tussenschot [RS] verbindt de middens van de zijden [AB] en [AC] van åABC
[RS] noem je een middenparallel van åABC
Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk datdemiddens van twee zijden van een driehoek metelkaarverbindt.
Eigenschap
1) Meet op de afgebeelde dakconstructie de zijde [BC ] en de middenparallel [RS ].
| BC | = mm | RS | = mm
Wat stel je vast?
2)Wat is de onderlinge ligging van de rechten BC en RS?
Eigenschap Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek enhalfzolangals die zijde.
Die eigenschap kun je bewijzen met gelijkvormige driehoeken.
Bewijs tekening gegeven
åABC met middenparallel [RS] te bewijzen
bewijs
besluit
Oefeningen
REEKS A
78 Teken van åABC alle middenparallellen. Duid de even lange lijnstukken aan met hetzelfde merkteken.
79 [PQ], [QR] en [PR] zijn middenparallellen in åABC. Bepaal de gevraagde lengten.
a)|AB |= 9, |BC | = 6 en |PQ | = 4
b)|AP |= 12, |BC | = 12 en |PQ | = 10
• |PR | = • |AR | = • |QR | = • |PR | =
• |AC | = • |QR | =
80 Om een schommel te verstevigen, verbind je de middens van de opstaande palen.
Teken dat tussenstuk op het zijaanzicht van de schommel.
Bepaal de lengte van dat tussenstuk als de palen op de grond 2,4 m uit elkaar staan.
zijaanzicht: lengte tussenstuk:
81 Bij een openstaande ladder verbindt een tussenstuk de middens van de twee ladderdelen met elkaar.
a) Hoe ver staan de twee ladderdelen uit elkaar op de grond als het tussenstuk 80 cm lang is?
b) Hoe lang is het tussenstuk als de ladderdelen op de grond 1,28 m uit elkaar staan?
De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) tekende in 1916 de naar hem genoemde Sierpinski-driehoek. Begin met een driehoek en neem van elke zijde het midden. Die punten verbind je, zodat je een nieuwe driehoek krijgt. Die nieuwe driehoek snijd je weg uit de eerste grote driehoek. In de zo ontstane drie driehoeken pas je die werkwijze opnieuw toe. Op die manier worden er achtereenvolgens 3, 9, 27, 81, 243, 729 ... driehoeken gecreëerd.
82 Teken een Sierpinski-driehoek op basis van de gegeven driehoek. Eindig bij 27 congruente driehoeken.
a)Bepaal de omtrek van åABC en åPQR
83 åPQR is de driehoek gevormd door de middenparallellen van de rechthoekige åABC | AB | = 8, | AC | = 6 en | BC | = 10 AC B PQ R
b) Wat is het verband tussen de omtrek van åABC en åPQR? Verklaar je antwoord.
d) Wat is het verband tussen de oppervlakte van åABC en åPQR? Verklaar je antwoord.
84 De drie middenparallellen verdelen een driehoek in vier congruente driehoeken. Bewijs de congruentie van twee van die driehoeken.
tekening gegeven
[PQ ], [QR ] en [RP ] zijn middenparallellen in åABC te bewijzen
bewijs
besluit
7.7.2
De stelling van Thales
Evenwijdige projectie
In de zomer is spelen met de frisbee op het strand een populaire activiteit.
De zon zorgt voor een schaduw van de frisbee op het zand. De frisbee wordt als het ware op het zand geprojecteerd.
Als je veronderstelt dat de zonnestralen evenwijdig op de frisbee invallen, kun je dat een evenwijdige of parallelle projectie noemen.
Bij evenwijdige of parallelle projectie worden de punten geprojecteerd op de projectieas (a) evenwijdig met een gegeven rechte (b). Die rechte geeft de projectierichting aan.
Notatie: pa b (A) = A9
Lees: Het beeld van het punt A door de evenwijdige projectie volgens de projectierichting b op de projectieas a is het punt A9
Vul in.
Voer de evenwijdige projecties uit en vul in.
• pa b ([ BC ]) = • pa b (G) = • pa b (åDEF) = • pa b ([ HI ]) = • pa b ([ JK ]) =
Opmerking
Bij loodrechte of orthogonale projectie worden de punten loodrecht op de projectieas (a) geprojecteerd.
Notatie: pa (A) = A9
• Bepaal de gevraagde verhoudingen. Bepaal je antwoord op 0,1 nauwkeurig.
Eigenschap Evenwijdige projectie van evenwijdige lijnstukken
Bij evenwijdige lijnstukken die niet evenwijdig zijn met de projectierichting, zijn de verhoudingen van de lengten van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.
Het is onmogelijk om de bolvormige aarde perfect weer te geven op een kaart in een atlas.
Bij de projectie van een bol op een vlak treden altijd vervormingen op.
De eerste poging kwam van onze landgenoot Mercator (16e eeuw). Zijn projectie noem je conform of hoekgetrouw. De oppervlakten zijn echter niet betrouwbaar. Hoe dichter je bij de polen komt, hoe groter de vervormingen.
Na Mercator zijn er nog verschillende methodes ontwikkeld, maar ze hebben allemaal hunnadelen. Afhankelijk van het doel van de kaart is de ene of de andere projectie meer of mindergeschikt.
De rechten a en b worden gesneden door de evenwijdigen c, d en e Bereken de verhoudingen van de gevraagde lijnstukken.
Thales van Milete werd omstreeks 624 voor Christus geboren. Zijn ouders behoorden in Milete tot de welgestelde en geziene burgerij, waarschijnlijk waren het rijke kooplieden.
Alles wat van Thales bekend is, komt uit ‘tweede hand’, dus afkomstig van mensen die over hem schreven. Thales wordt gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Een van de grootste verdiensten van Thales was dat hij als eerste niet alleen praktische problemen probeerde op te lossen, maar juist algemene achterliggende principes probeerde te ontdekken.
• Thales voorspelde de zonsverduistering van 585 v.Chr.
• Thales kon de hoogte van de piramides bepalen door de lengte van hun schaduw te meten op het moment dat de zon zo staat dat iemands schaduw gelijk is aan zijn lengte.
• Thales kon de afstand van een schip tot de kust berekenen.
Stelling
De stelling van Thales formuleren
Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af.
In symbolen: AB DE = BC EF
De stelling van Thales bewijzen
tekening gegeven
a en b gesneden door een aantal evenwijdigen (c // d // e):
a snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk A, B en C ; b snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk D, E en F te bewijzen
AB DE = BC EF
bewijs
1) Constructie:
• tAD → ([ AB ]) = [ DG ]
• t BE → ([ BC ]) = [ EH ]
2) Bewijs dat åDEG åEFH:
åDEG en åEFH gelijkvormigheidskenmerk: HH
^ E1 = ^ F overeenkomstige hoeken bij zijn gelijk
^ D = ^ E2 overeenkomstige hoeken bij zijn gelijk een verschuiving behoudt de evenwijdigheid
Teken een rechte a evenwijdig met de zijde [ AC ] van åABC Bereken de verhoudingen.
Stelling
Wat stel je vast?
Verhoudingen:
Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere twee zijden in evenredige lijnstukken.
In symbolen: BD BE = AD CE
Rekenen met de stelling van Thales
Bepaal de onbekende lengte op 0,01 mm nauwkeurig. ba
De omgekeerde stelling van Thales
Rechten die van twee rechten evenredige lijnstukken afsnijden, zijn evenwijdig.
REEKS A
85 Voer de evenwijdige projecties uit en vul in.
86 Vul de gegeven evenredigheden in. JB // KC // LH //
Bepaal de onbekende lengte x op 0,01 nauwkeurig als je weet dat a // b // c.
88 Teken åABC als
p x y (A) = p x y (C) = P, p x y (B) = Q
p y x (A) = p y x (B) = R, p y x (C) = S
x y
89 [ DE ], [ EF ] en [ DF ] zijn middenparallellen in åABC Vul in.
a) pAFAD (B)=
d) pAD FC ([DE ]) = g) pBC AF ( ) = E
b) pAB AC (D)=
e) pAC EF (åDBE)=
h) pACBD ( ) = [ AF ]
c) pBCAD ([DF ]) =
f) pDB AC (åDEF)=
i) pBC (åFEC) = [ EC ]
90 Teken een parallellogram ABCD dat als beeld [ XY ] heeft door de evenwijdige projectie op de rechte m volgens AX
91 Ga aan de hand van de gegeven lengten na welke rechten evenwijdig zijn.
92 De rechte a is evenwijdig met een zijde van åPQR. Bepaal de lengte x op 0,1 nauwkeurig.
93 Bepaal de onbekende lengten x en y op 0,01 nauwkeurig, als je weet dat a b c d.
94 In welke van de volgende situaties is de rechte p evenwijdig met een zijde van åDAK?
Bepaal je antwoord aan de hand van de gegeven lengten op de tekening.
95 DE AC
Bepaal de lengte van de zijde [ AB ] van åABC op 0,01 nauwkeurig.
96 Een boom heeft een schaduw van 21 m, terwijl een jongen van 1,62 m op hetzelfde moment een schaduw heeft van 2,10 m.
Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m nauwkeurig.
97 Wat is vergankelijker dan een schaduw?
Thales mat de schaduw van de piramide van Cheops ... en werd onsterfelijk.
De vader van Thales was een koopman en soms mocht zijn zoontje mee op reis, bijvoorbeeld naar Egypte. Thales bewonderde daar de piramide van Cheops en een van de priesters vroeg hem: ‘Weet je hoe hoog die piramide is?’ ‘Ik denk het wel’, zei Thales. Hij ging op de grond liggen en maakte twee streepjes in het zand, een aan zijn hoofd en een aan zijn voet.
Daarna stond hij op en verbond beide streepjes door een rechte lijn. ‘Ik zal nu gaan staan aan het uiteinde van deze lijn, die net zo lang is als ik groot ben. Dan zal ik wachten tot mijn schaduw even lang is. Op datzelfde ogenblik zal de schaduw van de piramide even lang zijn als de piramide groot is.’ Wat was de hoogte die Thales op die manier mat, als je weet dat de basis van de piramide 231,92 m en de lengte van de schaduw van de piramide vanaf de voet van de piramide 31,5 m is?
98 De horizontale planken bij het onderstaande poortje zijn evenwijdig.
Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig.
99 Bepaal de onbekende x, als je weet dat a b c.
REEKS C
100 In åPQR is ST // PR T verdeelt [QR ] in twee stukken die zich verhouden als 2 3
Bepaal de lengte van de zijde [PQ ] aan de hand van de gegevens op de tekening.
101 Een piramide wordt gesneden door evenwijdige vlakken.
Bepaal de gevraagde lengten a, b, c en d op de ribben op 0,01 nauwkeurig.
102 Gegeven: | OE | = 4,44, | OF | = 4,95, | EC | = 5,55 en | DB | = 5,71.
Bepaal de lengten | OD | en | AC | op 0,01 nauwkeurig.
AB
Norman Woodland kan als grondlegger van de streepjescode worden beschouwd.
Hij zag het belang in van eenvoudige coderingen om gegevens automatisch te verwerken. In 1973 stelde hij de twaalfcijferige Universal Product Code (UPC) samen.
c d
De streepjescode wordt gelezen met laserlijnen en de kassa geeft ogenblikkelijk de prijs.
De bundel evenwijdige strepen bepaalt evenredige lengten op de snijlijnen.
Bijgevolg speelt de leesrichting door de laserlijnen geen rol.
Noteer de evenredigheid van lengten bij de afbeelding van de streepjescode.
7.7.3 Metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken
7.7.4 Constructies
STUDIEWIJZER Gelijkvormigheid
7.1 Gelijkvormige figuren
KENNEN
Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.
KUNNEN
Gelijkvormige vlakke figuren aanduiden.
Gelijkvormige ruimtefiguren aanduiden.
7.2 Overeenkomstige hoeken en zijden
KENNEN
In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot.
In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.
KUNNEN
Overeenkomstige hoeken en zijden in gelijkvormige figuren aanduiden.
De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is de gelijkvormigheidsfactor.
Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor kleiner dan 1.
Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor groter dan 1.
Bij congruente figuren is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1.
Gelijkvormigheidsfactor en schaal hebben dezelfde betekenis.
KUNNEN
Uit tekeningen of afmetingen de gelijkvormigheidsfactor bij gelijkvormige figuren bepalen.
Bij een gegeven gelijkvormigheidsfactor de nieuwe afmetingen bepalen.
De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de omtrek vermenigvuldigd met factor g
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor g 2
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt het volume vermenigvuldigd met factor g 3
Bij een vergroting of verkleining de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren bepalen.
De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.
7.5 Gelijkvormigheid en transformaties voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor.
Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie leverteen gelijkvormige figuur op.
KUNNEN
Met ICT het beeld van een eenvoudige vlakke figuur onder een homothetie bepalen. Aan de hand van een aantal transformaties een vlakke figuur afbeelden op een gelijkvormige figuur.
7.6 Gelijkvormige driehoeken
KENNEN
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.
1. In deze vlinder is G de som van de oppervlakten van de twee grote vierkanten en K de som van de oppervlakten van de twee kleinere.
Hoeveel is G K ?
JWO, editie 2020, eerste ronde
2.Een tehuis vangt een aantal weeskinderen op. Het frequentiediagram geeft weer hoeveel kinderen er van elke leeftijd zijn. Wat is de gemiddelde leeftijd van de kinderen?
JWO, editie 2019, eerste ronde
3.De figuur bestaat uit vijf vierkanten. Van vier vierkanten is de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het gekleurde vierkant?
JWO, editie 2018,
ronde
4.Welk van de volgende getallen is geen kwadraat van een natuurlijk getal en ook geen derde macht van een natuurlijk getal?
JWO, editie 2017, eerste ronde
HOOFDSTUK 8 I EERSTEGRAADSFUNCTIES
8.1 Begripsvorming 78
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie
f(x) = ax 80
8.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie
f(x) = ax + b 88
8.4 Het voorschrift f(x) = ax + b bepalen 97
8.5 Het lineair verband
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie 111
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen 117
8.8De vergelijking van een rechte opstellen 126
8.1 Begripsvorming
8.1.1
Voorbeeld
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro
• per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor10 T-shirts → 8 10 + 50 = 130 f (10) = 130
150 T-shirts → f (150) =
8.1.2
Definitie
Vul de tabel aan.
aantal T-shirts0 120100200300
kostprijs (euro)
Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie f (x) = 8x + 50.
De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1.
Je noemt f een eerstegraadsfunctie
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
Voorbeelden
De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie: f (x) = 2x − 5
(x) = –1 2 x
(x) = 6 – 3x
Tegenvoorbeelden
De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie: voorschrift f (x) = x 2 + 2 f (x) = x 3 + 3x + 7 f (x) = 5 f (x) = x–1
2 Plaats een vinkje bij de voorschriften die horen bij een eerstegraadsfunctie.
a) f (x) = 2x + 3
b) f (x) = –1 3 x
c) f (x) = x 2 – 7
d) f (x) = 9
e) f (x) = x 5 + x 3 – 2
f) f (x) = 7x
g) f (x) = 2 5 x – 1
f (x) = 3 – 4x
(x) = 5 x – 1
(x) = x 3 + 2x
3 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.
a) f (x) = 2x + 1 f (1) =
b) f (x) = –3x – 7 f (–1) =
c) f (x) = 1 2 x – 5 f (–2) =
d) f (x) = –0,7x + 1 f (2) =
e) f (x) = –2 3 x – 1 f (–3) =
8.2.1 Het recht evenredig verband
Voorbeeld
Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uur.
x (h)5102050
y (l)3 0006 00012 00030 000 y x
Het quotiënt y x is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig
Er geldt: y x =
Definitie Recht evenredig verband
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is. y x = a ⇒ y = a x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0)
Formule
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
Grafiek van een recht evenredig verband
Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x.
De grafiek is met evenredigheidsfactor
510152025303540455055
Besluit De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met evenredigheidsfactor a
Oefeningen
REEKS A
4 Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor?
a) x 6111822 y 305590110 c) x 0246 y 4102030
b) x 24710 y 5111425 d) x 35810 y 6,61117,622
REEKS B
5 Van een stuk eikenhout wordt het verband nagegaan tussen de massa m (in kg) en het volume V (in l). V (l)1550120230350 m (kg)10,53584161245
a) Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.
b) Geef de formule voor het verband: m =
c) Bereken de massa van een stuk eikenhout met een volume van 1 250 l.
d) Wat is het volume, op 1 l nauwkeurig, van een stuk eikenhout van 1 500 kg?
8.2.2 Richtingscoëfficiënt
Voorbeeld
In het warenhuis worden tomaten verkocht voor 1,50 euro per kilogram. De trostomaten zijn iets duurder: ze kosten 2 euro per kilogram. De verhouding tussen prijs en massa is constant. Prijs en massa zijn recht evenredige grootheden.
gewone tomaten trostomaten
prijs massa = 1,50 ⇒ prijs = 1,50 massa
prijs massa = ⇒ prijs = massa
de evenredigheidsfactor is de evenredigheidsfactor is x is de massa f (x) is de prijs x is de massa g(x) is de prijs
functievoorschrift: f (x) =
Stel het verband tussen massa en prijs voor op het assenstelsel.
De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Wat is de invloed van de evenredigheidsfactor op de rechte?
Daarom noem je de evenredigheidsfactor de richtingscoëfficiënt van de rechte.
Richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt van een rechte is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.
Notatie: rc r
Voorbeeld de rechte r heeft als vergelijking y = −2x rc r =
8.2.3 Grafische betekenis van de richtingscoëfficiënt
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
f en g
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
h en i
Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:
• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;
• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.
Welke rechte is het meest stijgend?
Bereken |rc | = |rc | =
Welke rechte is het meest dalend?
Bereken |rc | = |rc | =
Besluit De absolute waarde van de richtingscoëfficiënt bepaalt de grootte van de helling. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
8.2.4 De richtingscoëfficiënt bepalen
Uit de grafiek
Op een rechte door de oorsprong kun je de richtingscoëfficiënt aflezen door de functiewaarde van 1 te zoeken.
f (x) = ax
f (1) = a ? 1 = a
Wat is de richtingscoëfficiënt bij de grafiek hiernaast?
Uit de tabel
verandering op de y-as verandering op de x-as
verandering op de y-as verandering op de x-as
Bij een gelijke toename van het argument hoort een gelijke verandering van het beeld.
Definitie Differentiequotiënt
Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x
Opmerking: Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek.
Constante functie
f (x) = 2
Dit is geen eerstegraadsfunctie. Verklaar.
Elk argument heeft hetzelfde (constante) getal als beeld.
Je noemt f een constante functie x −4−2035
Wat is de richtingscoëfficiënt van de grafiek?
Teken de grafiek. De grafiek is een
REEKS A
6 Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor?
7 Bepaal de richtingscoëfficiënt.
8 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgenddalend stijgenddalend
9 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek.
10 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 012
Wat is de toename van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt?
f: g: h:
Die toename is de richtingscoëfficiënt.
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as voor de grafiek van de functie:
f: g: h:
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
De grafiek van de functie f (x) = ax + b is de verticale verschuiving van de grafiek van g(x) = ax volgens de vector bepaald door (0, 0) en (0, b).
Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt. y
f) Een vertegenwoordiger van waspoeders heeft een vast maandloon van 1 050 euro. Per kg waspoeder die hij verkoopt, krijgt hij een bonus van 0,05 euro.
Geef het verband tussen zijn maandloon en het aantal kg waspoeder dat de vertegenwoordiger verkoopt.
x is
f (x) is
functievoorschrift:
35 Bepaal het functievoorschrift, maak een tabel en teken de grafiek.
a) In het recept voor een cake vind je: ‘voeg 40 g boter toe per ei’.
Bepaal het voorschrift dat de hoeveelheid boter geeft in functie van het aantal eieren.
x is
f (x) is
functievoorschrift:
b) Een telefoonmaatschappij vraagt een vast bedrag van 20 euro voor de huur van de telefoonlijn.
Voor elk gesprek wordt 0,10 euro per minuut aangerekend.
Bepaal het voorschrift dat de totale kosten geeft in functie van het aantal minuten.
x is f (x) is functievoorschrift:
c) In hogere luchtlagen is de temperatuur gevoelig lager dan op zeeniveau. Per 100 m hoogtetoename daalt de temperatuur 1 ºC. De temperatuur op zeeniveau is 20 ºC.
Bepaal het voorschrift dat de temperatuur geeft in functie van de hoogte.
x is het aantal keer 100 m.
f (x) is functievoorschrift:
x)
36 Een Londense taxichauffeur vraagt 2,75 pond startgeld en 1,75 pond per kilometer.
a) Met welke functie kun je de prijs van een rit berekenen?
x is f (x) is
functievoorschrift:
b) Teken de grafiek. xf
c) Hoeveel betaal je voor een taxirit van 6 km?
d) Hoe ver kun je rijden voor een bedrag van 50 pond?
37 Yannick wil zijn kapotte Xbox laten repareren. Er zijn twee bedrijven die de klus kunnen klaren.
Als extra service komen ze de Xbox bij hem thuis repareren. De reparatie duurt bij beide bedrijven 3 uur.
Bedrijf A rekent 40 euro uurloon en 30 euro voorrijkosten; bedrijf B rekent 35 euro uurloon en 40 euro voorrijkosten. Bereken welk van die twee bedrijven het goedkoopst is.
bedrijf A
bedrijf B
8.5 Het lineair verband
8.5.1
Definitie
Frans, de buurman, weegt 120 kg.
De dokter raadt hem aan een streng dieet te volgen.
De volgende dag heeft hij een afspraak met een diëtist, die hem een dieet voorstelt dat hem 3 kg massaverlies per maand zal opleveren.
Stel een tabel op die het verloop van de massa van Frans weergeeft.
tijd: t (maanden) 01234
massa: m (kg)
De formule die de evolutie van de massa van Frans weergeeft, is dus: m = 120 − 3t
Die vergelijking is van de vorm y = ax + b
Definitie Lineair verband
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel.
De grafiek is een (deel van een) rechte.
De richtingscoëfficiënt van de grafiek is
Wat is de fysische betekenis van die richtingscoëfficiënt?
Hoeveel zal Frans na één jaar vermagerd zijn?
(maanden)
Na hoeveel maanden weegt hij nog maar 75 kg?
Besluit De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
8.5.2 Voorbeelden
Antropologen zijn wetenschappers die de mensheid bestuderen. Ze schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. De humerus (het bovenarmbeen) is meestal nog intact bij opgravingen naar resten van onze voorouders.
De tabel geeft de lengte x van de humerus en de totale lengte y van vijf volwassen mannen.
Bereken telkens het differentiequotiënt
Besluit
Wat stel je vast?
Geef de fysische betekenis van het differentiequotiënt.
41 Het verband tussen de hoofdomtrek y, in cm, en de lengte x, in cm, van pasgeboren baby’s kan benaderd worden door de formule y = 0,53x + 8,20.
a) Bepaal de hoofdomtrek van een baby van 50 cm.
b) Mo was bij de geboorte 3 cm groter dan Nur. Bereken het verschil in hoofdomtrek.
c) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van minstens 36 cm?
42 Mensen worden steeds ouder. De gemiddelde levensverwachting y van een vrouw in België wordt benaderd door de formule y = 0,178x + 81,3. Voor mannen is dat y = 0,259x + 75,4. Daarbij is x het aantal jaren na 2000.
a) Wat was de gemiddelde levensverwachting in 2000?
voor een vrouw: voor een man:
b) Hoe zie je aan de vergelijkingen dat de man gemiddeld ooit minstens even lang zal leven als de vrouw?
c) Vanaf welk jaar zal de gemiddelde man ouder worden dan de gemiddelde vrouw?.
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie
8.6.1 Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie
grafische methode
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as.
Voorbeeld
f (x) = 2x − 4
algebraïsche methode
Algemeen
nulwaarde:
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde niet nauwkeurig aflezen.
Voorbeeld
f (x) = –3x − 2
f (x) = 0 2x − 4 = 0 2x = 4 x = 2
nulwaarde:
De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b bepaal je door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen.
f (x) = 0
ax + b = 0
ax = −b x = b a –
nulwaarde:
REEKS A
43 Lees de nulwaarde af op de grafiek.
nulwaarde: nulwaarde:
nulwaarde: nulwaarde:
44 Bereken de nulwaarde.
a) f (x) = x − 1 c) f (x) = 2x − 1 e) f (x) = −4x + 2
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
b) f (x) = 3x d) f (x) = 5x − 2 f) f (x) = 0,5x – 1
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
45 Bij het opstarten van een diepvriezer bedraagt de temperatuur 20 ºC. De temperatuur daalt volgens de functie u(t) = 20 − 5t, waarbij t het aantal uren is.
a)Na hoeveel uur is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel uur is een temperatuur van −10 ºC bereikt?
46 Jonas leent van zijn ouders 400 euro die hij nog te weinig heeft voor de aanschaf van een scooter. Elke maand betaalt hij 25 euro terug. De uitstaande schuld S is een functie van het aantal maanden t : S(t) = 400 − 25t.
a)Na hoeveel maanden heeft Jonas het geleende bedrag terugbetaald?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
47 Met een microgolfoven kun je ingevroren voeding ontdooien en opwarmen. De tijd die nodig is om te ontdooien en op te warmen, is afhankelijk van de aard van het voedingsproduct en van de hoeveelheid. Het ontdooien en opwarmen van 300 g soep laat zich beschrijven met de functie u(t) = −20 + 8t, waarbij t de tijd is in minuten en u de temperatuur in ºC.
a)Na hoeveel minuten is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel minuten is een temperatuur van 30 ºC bereikt?
48 Catherine koopt voor haar gsm een prepaidkaart met een belkrediet van 50 euro. Elke minuut bellen kost 0,25 euro.
Voor het belkrediet B geldt: B(t) = 50 − 0,25t, waarbij t het aantal belminuten is.
a)Na hoeveel minuten is het belkrediet opgebruikt?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
8.6.2 Tekenschema van een eerstegraadsfunctie
Een verkoper van pralines moet minstens 10 kg per dag verkopen om zijn onkosten te recupereren.
Vanaf 10 kg maakt hij winst.
De grafiek geeft een beeld van de winst en het verlies volgens het verkochte aantal kilogram.
Is f stijgend of dalend?
Wat is de nulwaarde van f ?
(kg)
Een tekenschema kan dat samenvatten:
De grafiek ligt onder de x-as.
Als x kleiner is dan 10, is elke functiewaarde negatief. (Er is verlies.)
De grafiek snijdt de x-as.
Als x gelijk is aan 10, is de functiewaarde 0. (Er is geen winst en geen verlies.)
De grafiek ligt boven de x-as.
Als x groter is dan 10, is elke functiewaarde positief. (Er is winst.)
Voorbeeld 1
f (x) = 5x − 10
Voorbeeld 3
f (x) = 3x + 7
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema.
Voorbeeld 2
Voorbeeld 4 f (x) = –3x − 6
Is f stijgend of dalend?
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde. Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema.
REEKS A
49 Maak een tekenschema.
50 Maak een tekenschema.
nulwaarde:
(x) = 2x + 4 nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen
8.7.1 Vergelijkingen grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de vergelijking 3x − 2 = x + 2 op.
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift f(x) = 3x - 2 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = -x + 2.
Je tekent de grafieken van f en g
Je leest op de figuur af voor welke waarden f(x) = g(x).
Dat doe je door de x-coördinaat van het snijpunt A van de grafieken te bepalen. f(x) = g(x) ⇔ x = 1 ⇒ V = {1}
Voorbeeld 2
Senne moet herstellingen laten uitvoeren aan zijn dakgoot. Loodgieter A zegt dat de kostprijs (in euro) voor zijn werk kan berekend worden met de functie kA(x) = 43x + 55. Hierbij is x het aantal gewerkte uren.
De kostprijs voor loodgieter B kan Senne berekenen met de functie kB(x) = 52x + 30.
Na hoeveel tijd bedraagt de kostprijs van beide loodgieters evenveel? Rond af op 1 min. Je lost dit vraagstuk op met ICT.
• Teken de grafieken van beide functies in een gepast assenstelsel.
• Bepaal het snijpunt A van de rechten.
• Lees de coördinaat van het snijpunt af.
co(A) =
• Zet de x-coördinaat van A om in uren en minuten.
antwoord: Hoeveel bedraagt die kostprijs?
Oefeningen
REEKS B
51 Los de vergelijkingen grafisch op.
a)2x + 1 = x − 1
c)3x − 5 = x − 2
b)−x + 3 =3x − 1
d)−4x − 1 =2x + 2
52 Los de vergelijkingen grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig
a) 3x − 5 =−4x + 7
= c) −1,4x + 3,2 =2,9x + 11
53 De lengte lA (in cm) van Andres gedurende zijn eerste levensjaar wordt gegeven door de functie lA (x) = 2,17x + 49,3. Voor de lengte lB (in cm) van Bibi geldt: lB (x) = 2,03x + 50,5. Hierbij is x het aantal maanden vanaf de geboorte (0 x 12).
a) Hoeveel groter is Bibi bij de geboorte dan Andres?
b) Hoe zie je dat Andres sneller groeit dan Bibi?
c) Bepaal grafisch, met ICT, na hoeveel tijd beide kinderen even groot zijn. Rond af op 1 dag.
d) Hoe groot zijn beide kinderen op dat moment? Rond af op 1 mm.
54 Een auto rijdt 110 km/h en begint te remmen. Elke seconde rijdt hij 18,5 km/h trager. Een andere auto rijdt 95 km/h en vertraagt iedere seconde met 15 km/h.
a) Na hoeveel tijd rijden beide auto’s even snel? Rond af op 0,01 s.
b) Welke snelheid hebben de auto’s dan? Rond af op 0,1 km/h.
8.7.2 Ongelijkheden grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de ongelijkheid 2x − 4 > 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4.
Je tekent de grafiek van f :
Voorbeeld 2
Los de ongelijkheid −3x + 1 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1.
Je tekent de grafiek van f :
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0:
f (x) > 0 ⇔ x > 2 ⇒ V = ]2, +∞[
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) 0: f (x) 0 ⇔ x 1 3 ⇒ V = –∞ , 1 3
Voorbeeld 3
Los de ongelijkheid 2x – 1 > x + 2 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift f (x) = 2x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = x + 2.
Je tekent de grafieken van f en g:
2 3 4 5 6 7
2345 6 y
f(x) = 2x – 1 g(x) = x + 2
Je leest op de figuur af voor welke waarden f (x) > g(x).
f (x) > g(x) ⇔ x > 3 ⇒ V = ]3, +∞[
Voorbeeld 4
Los de ongelijkheid –1 2 x + 3 3x – 4 op met ICT.
V = Ongelijkheden grafisch oplossen met GeoGebra
Op een dag zal ik GROTER ZIJN dan jij!
REEKS B
55 Los de ongelijkheden grafisch op.
a) −3x + 6 < 0
4x + 2 > 0
a) –x + 3 3x – 1 c) –3 2 x + 4 > 2x – 3 x x
123456
V = V = b) 4x – 5 < x + 4 d) 2 3 x – 3 –x + 2 x x
123456
123456
V = V =
123456
57 Los de ongelijkheden grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
a) –2 3 x + 5 < 1 4 x – 3
= V =
58 Los de ongelijkheden grafisch op.
a) 2x – 3 < 4x – 2 b) 1 3 x x + 1
59 Het jaarlijks aantal verkochte dieselwagens nD, in aantal duizenden, in België kan benaderd worden door de functie nD (x) = 2 834 – 211x.
Het aantal duizenden verkochte hybridewagens nH kan je benaderen met de functie nH (x) = 119,5 + 139,5x.
Hierbij is x het aantal jaar na 2020.
Bepaal grafisch met ICT vanaf welk jaar er meer hybridewagens dan dieselwagens zullen verkocht worden in België.
60 Voor een taxirit in Antwerpen betaal je een instapprijs van 4,90 euro en een kilometervergoeding van 2,40 euro/km.
In Brugge bedraagt de instapprijs 3 euro en de kilometervergoeding 2,70 euro/km.
Vanaf hoeveel kilometer is een taxirit in Antwerpen goedkoper dan in Brugge?
Rond af op 0,1 km.
61 Jo is verkoper en krijgt een vast maandloon van 1 850 euro.
Daarbovenop krijgt hij 3 % van de verkoopprijs.
Zijn collega Marit krijgt 1 700 euro en 3,5 % van de verkoopprijs.
Hoeveel moet Marit verkopen om minstens evenveel per maand te verdienen als Jo?
8.8 De vergelijking van een rechte opstellen
8.8.1 Vergelijking van een rechte
Een eerstegraadsfunctie heeft een rechte als grafiek.
Voorbeeld
f (x) = 2x + 1 of f : y = 2x + 1
Elk punt op de rechte heeft een coördinatenkoppel
(x, y) dat voldoet aan de functievergelijking.
(1, 3) behoort tot de rechte → 3 = 2 ? 1 + 1
(0, 1) behoort tot de rechte →
(−1, −1) behoort tot de rechte →
(x, y) behoort tot de rechte →
Je noemt y = 2x + 1 de vergelijking van de rechte r
In symbolen: r y = 2x + 1
Lees: r heeft als vergelijking y = 2x + 1
Definitie Vergelijking van een rechte
Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de rechte te behoren.
Je controleert of de punten A en B tot de rechte r behoren.
Algemeen Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is:
r y − y1 = a (x − x1)
voorbeeld 1
Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt 3 die het punt P (1, 5) bevat.
voorbeeld 2
Stel een vergelijking op van de rechte s met richtingscoëfficiënt –2 die het punt P (6,–3) bevat.
Meetkundige figuren kun je beschrijven met vergelijkingen. De benaming daarvoor is ‘analytische meetkunde’. In het begin van de zeventiende eeuw werd de analytische meetkunde ‘uitgevonden’ door René Descartes en Pierre de Fermat. Door punten van het vlak te noteren met hun coördinaat, ontstond een belangrijke studie die de algebra als instrument gebruikt om meetkundige problemen op te lossen.
Naar Descartes noem je:
• (x, y) de cartesiaanse coördinaat van een punt;
• y = ax + b de cartesiaanse vergelijking van een rechte.
René Descartes
Oefeningen
REEKS A
64 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (1, 0) en rc a = −3.
c) c bevat P (3, 2) en rc c = 5.
b) b bevat P (4, 3) en rc b = −1.
d) d bevat P (0, 7) en rc d = −2.
REEKS B
65 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (–8, –9) en rc a = 3.
d) d bevat P (3, –8) en rc d = –5 4
b) b bevat P (–10, –5) en rc b = –6.
e) e bevat P 1 3 , 0 en rc e = –3.
c) c bevat P (–2, 7) en rc c = 1 3
f) f bevat P 3, 2 5 en rc f = 5.
66 Voor een taxirit in New York betaal je 2 dollar per mijl. Bij zijn vorige bezoek aan New York betaalde Alexander 10,50 dollar voor een rit van 4 mijl.
a) Bepaal het verband tussen de prijs y, in dollar, en het aantal gereden mijl x.
b) Wat is de startprijs van een taxi in New York?
c) Hoeveel kost een rit van 2,7 mijl?
67 Als je een prepaidtelefoonkaart hebt, daalt je belkrediet voor elke minuut die je belt.
Bij provider P gaat er 0,30 euro van je krediet af per minuut.
Asmin heeft een nieuwe telefoonkaart gekocht en belt meteen naar haar beste vriendin.
Na een halfuur heeft ze nog 16 euro belkrediet.
a) Stel het verband op tussen het krediet k, in euro, en het aantal gebelde minuten t
b) Hoeveel heeft de telefoonkaart gekost?
c) Na hoeveel tijd is het belkrediet volledig opgebruikt?
68 Een klas verkoopt bloemen voor het goede doel. De leerlingen vragen 5 euro per potje. Ze kopen hun potjes bij een bloemist in de buurt en betalen daarvoor 3,50 euro per potje bloemen en daarenboven de kosten om de bloemen naar school te laten brengen.
Voor een bestelling van 100 potjes betalen ze 380 euro.
a) Geef het verband tussen de opbrengst O, in euro, en het aantal verkochte potjes x
b) Stel het verband op tussen de kostprijs K, in euro, en het aantal bestelde potjes x
c) Hoeveel potjes moeten ze verkopen om winst te maken?
8.8.3 Twee punten zijn gegeven
De richtingscoëfficiënt bepalen
voorbeeld
De rechte r bevat A (2, 3) en B (1, 0).
algemeen
De rechte r bevat A (x1, y1) en B (x2, y2).
r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + br heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b (2, 3)
3 = a 2 + b b = 3 – 2a (1, 0)
= a 1 + b
= –a (x1, y1)
Algemeen
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a = y
2
x 1 (als x1 ≠ x2).
De vergelijking opstellen
Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (2, 3) en B (–1, 6) bevat.
a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 =
AB y – y1 = a ? (x – x1)
Opmerking
De volgorde van de punten speelt geen rol bij het opstellen van de vergelijking.
Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (–1, 6) en B (2, 3) bevat.
a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 =
AB y – y1 = a ? (x – x1)
Oefeningen
REEKS A
69 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten.
a) A (2, 6) en B (4, 0)
c) E (1, 2) en F (3, 8)
b) C (5, 3) en D (3, 4)
d) G (1, 8) en H (4, 8)
REEKS B
70 Stel een vergelijking op van de rechte PQ
a) P (1, 3) en Q (2, 5)
d) P (2, 8) en Q (0, 0)
b) P (2, 4) en Q (3, 1)
e) P (4, 0) en Q (1, 6)
c) P (3, 2) en Q (7, 6)
f) P (1, 1) en Q (2, 1)
71 De tabel toont de inhoud V, in l, van een dieseltank van een auto na x km.
a) Stel het lineaire verband op tussen V en x
x (km)150560 V (l)5631,4
b) Hoeveel liter bevat een volle tank?
c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d) Hoe ver kun je rijden met een volle tank? Rond af op 0,001 km nauwkeurig.
72 Runa is vertegenwoordiger. Ze krijgt een vast maandloon en daarbovenop een percentage van de verkoopprijs v, in euro. Je ziet haar maandloon m, in euro, van de voorbije twee maanden.
v (euro)10 00025 000
m (euro)2 2502 850
a) Stel het lineaire verband op tussen m en v
b) Hoeveel bedraagt haar vaste maandloon?
c) Hoeveel procent van de verkoopprijs ontvangt Runa?
d) Voor welk bedrag moet ze verkopen om 3 500 euro per maand te verdienen?
e) Veronique krijgt geen vast maandbedrag, maar krijgt 6 % op de verkoopprijs. Hoeveel moet ze verkopen om minstens evenveel te verdienen als Runa?
REEKS C
73 Voor schoenen worden twee soorten maten gebruikt.
De meest gekende zijn de Franse maten, maar ook Engelse maten zijn gebruikelijk.
In de tabel vind je twee Engelse maten (e) omgerekend naar Franse maten (f ).
a)Stel het lineaire verband op tussen f en e
e 59 f 3843
b)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c)Vorm de formule om, zodat de Engelse maat de afhankelijke veranderlijke wordt.
d)Vul de tabel aan.
e 7 f 45
74 De tabel toont de maandelijkse winst W, in euro, van een bedrijf dat x geurkaarsen verkoopt.
x 5001 500 W (euro)7503 250
a)Stel het lineaire verband op tussen W en x
b)Bereken W (0) en geef de economische betekenis.
c)Geef de economische betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d)Hoeveel kaarsen moet het bedrijf verkopen om winst te maken?
8.8.4 Lineaire regressie
Voorbeeld
In de onderste laag van de atmosfeer neemt de temperatuur af met de hoogte. Je ziet de temperatuur u, in ºC, op een hoogte h, in m, op een bewolkte zomerdag.
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk
Alle punten liggen op één rechte. Het verband tussen u en h is dus lineair.
Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een lineaire regressielijn of trendlijn die de punten bevat.
De term ‘regressie’ is in de wiskunde voor het eerst gebruikt door de Britse wetenschapper Sir Francis Galton, een halve neef van Charles Darwin. Bij het napluizen van statistische data had hij gemerkt dat nakomelingen qua grootte heel dikwijls niet leken op diegenen van wie ze afstamden, maar middelmatiger van omvang waren. Ze waren kleiner dan hun voorgeslacht als dat groot was, en groter als dat klein was.
Hij noemde die merkwaardige statistische tendens ‘regressie naar het gemiddelde’.
Sir Francis Galton
Lineaire regressie met Excel
• Selecteer de waarden van h en u.
• Voeg een spreidingsdiagram in.
• Rechtermuisklik op één van de punten –Trendlijn toevoegen.
• Kies voor een lineaire trendlijn.
• Vink “Vergelijking in grafiek weergeven” aan.
Lineaire regressie met GeoGebra
• De vergelijking van de regressielijn is
• Hoeveel bedraagt de temperatuur op zeeniveau?
• Bereken de temperatuur op een hoogte van 3,8 km.
• Vanaf welke hoogte vriest het?
Oefeningen
REEKS B
75 Niemand kan nog ontkennen dat het klimaat verandert. Door de toename van de gemiddelde temperaturen overal op aarde smelten gletsjers, stijgt het zeewater, zijn er meer orkanen … De tabel toont de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel na 2000.
x (jaren na 2000)0381420
u (ºC) 10,7310,8511,0511,2911,53
a) Bepaal, via regressie, het verband tussen u en x.
b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c) Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel in 2060.
d) In welk jaar zal de gemiddelde jaartemperatuur boven 14 ºC stijgen?
76 Het aantal dodelijke verkeersslachtoffers op Vlaamse wegen daalt bij benadering lineair. In de tabel zie je het aantal doden n, x jaar na 2000.
x 58111519
n 588515451396315
a) Stel het lineaire regressiemodel op voor het verband tussen n en x
b) Hoeveel dodelijke slachtoffers waren er volgens dat model in 2000?
c) Met hoeveel vermindert het aantal doden per tien jaar?
d) Vanaf welk jaar zouden er, volgens dat model, geen verkeersdoden meer zijn?
REEKS C
77 De accuduur van een smartphone is afhankelijk van het gebruik, de leeftijd van het toestel en het type.
Om verschillende toestellen met elkaar te vergelijken, laadt men ze volledig op en bekijkt men de capaciteit van de batterij, zonder het toestel te gebruiken.
In de tabel zie je het verloop van de capaciteit c, in procent, van twee smartphones na t uren. t (h)2510152530
toestel A cA (%)969079694837
toestel B cB (%)948672583016
a)Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen cA en t en tussen cB en t
b)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënten.
c)Bepaal de capaciteit van de batterij van beide toestellen na twaalf uur.
d)Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn beide batterijen volledig leeg?
e)Los op met ICT: na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn de batterijen voor de helft leeg?
f)Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, is de capaciteit van de batterij van toestel B de helft van de capaciteit van toestel A?
STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties
8.1 Begripsvorming voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
KUNNEN
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a ? x
De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong.
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen.
De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.
KUNNEN
8.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b
KENNEN
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r)
is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.
In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
KUNNEN
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan de grafiek en het voorschrift, en de waarde bepalen van a en b
De grafiek van een eerstegraadsfunctie herkennen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De richtingscoëfficiënt van een eerstegraadfunctie bepalen uit een grafiek, een tabel of een voorschrift.
Aan het voorschrift herkennen of een rechte stijgend of dalend is.
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen
• uit een tabel met functiewaarden,
• uit de grafiek,
• uit de context.
8.5 Het lineair verband
KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
Een verband is lineair als het differentiequotiënt ∆y ∆x constant is.
Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.
KUNNEN
Lineaire verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Vraagstukken oplossen met gegeven lineaire verbanden.
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie voor de leerling voor de leerkracht
KUNNEN
De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.
Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie.
Het tekenschema van een eerstegraadsfunctie opstellen en grafisch interpreteren.
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen
KUNNEN
Een vergelijking van de eerste graad van de vorm f (x) = g (x) grafisch oplossen (ook met ICT)
Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen (ook met ICT)
Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden gebruiken om vraagstukken op te lossen.
8.8 De vergelijking van een rechte opstellen
KENNEN
Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de grafiek te behoren.
Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r
Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s
Een vergelijking van de rechte r met richtingscoëfficiënt a die het punt P (x1, y1 ) bevat, is: r y – y1 = a ? (x – x1).
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (als x1 ≠ x2).
KUNNEN
Een vergelijking van een rechte opstellen als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn.
Een vergelijking van een rechte opstellen als twee punten gegeven zijn.
Vraagstukken oplossen waarbij het lineair verband opgesteld wordt uit de context.
Een lineair verband opstellen met behulp van lineaire regressie.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
vereenvoudig gok verstandig
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
filter patroon kennis logisch nadenken
1. In de figuur heeft elke cirkel een straal van 2. Bepaal de hoogte h van de stapeling.
2. Van twee vierkanten die elkaar raken, is de gezamenlijke oppervlakte 16. Bepaal de afstand x tussen de twee middelpunten van de vierkanten.
x
HOOFDSTUK 9 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
9.2 Soorten gegevens
9.3 Statistisch onderzoek
9.4Categorische gegevens verwerken
9.5Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
9.6 Centrummaten
9.1.1 Statistieken
Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken noem je inderdaad ‘statistieken’. Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden.
Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt. sporen van stimulerende middelen in het afvalwater
Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land.
Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...).
Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.
In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben.
In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’.
Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip
Body Mass Index (BMI) introduceerde.
Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die.
In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek.
Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.
In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek.
Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie.
Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken.
Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd.
9.1.3 Misleidende diagrammen
Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken.
•
aantal geboortes in België en Nederland in 2022
180
40
20 000 0
Nederland België
Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen.
Men zegt dat de vergrijzing een probleem is.
De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2022.
Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo?
• De evolutie van het aantal klachten over nachtlawaai is op twee manieren voorgesteld.
Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal klachten sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?
Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.
Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?
Oefeningen
REEKS A
1 Waarom zijn deze statistieken misleidend?
a) Ik weet wanneer ik genoeg gestudeerd heb.
c) vermageren met CALORIEVRETER
b) geoogste hoeveelheid fruit
banaan appel kers
d) Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.
10[ [10, 20[ [20,30[[30, 40[ [40,50[
2 Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram.
begrotingstekort
a)Welke indruk wil dit diagram wekken?
begrotingstekort
begrotingstekort
begrotingstekort ( × 10 000 euro)
b)Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.
Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?
3 Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?
4 Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog was op het einde van de twintigste eeuw. allochtonen in de VS in aantal en percentage aantal in miljoen
5 Het diagram laat uitschijnen dat België zijn best doet om de CO2-uitstoot tegen te gaan. We bevinden ons helemaal onderaan de lijst.
a) Waarom zet dit diagram ons op het verkeerde been?
landen die het meest CO2 uitstoten (miljoen ton)
China 9.839
VS 5.270
India 2.467
Rusland 1.693
Japan 1.205
Duitsland 799
Iran 672
Saoedi-Arabië 635
Zuid-Korea 616
Canada
België 100
Bronnen: EEA, Global Carbon Atlas 573
b) Welk land is relatief de grootste vervuiler?
6 Verklaar de schijnbare tegenstelling tussen beide grafieken.
aantal mensen onder de 65 jaar in België
9 386 748
9
9
9 000 000
8
8
percentage mensen onder de 65 jaar in België 84,78 %
7 Oudere mensen ervaren hun gezondheid slechter dan jongere mensen. Welke ingrepen heeft men gedaan bij het onderstaande diagram om die gedachte nog te versterken?
Hoeveel mensen vinden hun gezondheid (zeer) goed?
9.1.4 Procent en procentpunt
Voorbeeld 1
Stel: je betaalt 20 % belasting. Daarna stijgt de belasting naar 21 %. Hoeveel procent is de belasting gestegen?
• De stijging van 20 % naar 21 % is 1 procentpunt, want 21 % – 20 % = 1 %.
• De stijging van 20 % naar 21 % is 5 procent, want 21 20 = 1,05 = 105 % = 100 % + 5 %.
Definitie
Procentpunt
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee procentuele waarden.
Voorbeeld 2
Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen.
• Bereken het werkloosheidspercentage.
• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?
• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?
• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?
• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?
Oefeningen
REEKS A
8 Vul de tabel aan.
a)Van 80 % naar 88 % is een stijging van
b)Van 100 % naar 95 % is een daling van
c)Van 50 % naar 70 % is een stijging van
d)Van 80 % naar 60 % is een daling van e)Van 60 % naar 63 % is een stijging van
REEKS B
9 In 2012 is de btw gestegen van 19 % naar 21 %.
procentpunt procent
a)Hoeveel procent is de btw gestegen? Rond af op 0,01 %
b)Hoeveel procentpunt is de btw gestegen?
c)Als de btw met 2 % steeg, hoeveel zou ze dan bedragen?
10 Je hebt een woonkrediet bij de bank met een jaarlijks veranderlijke rentevoet. De huidige rentevoet bedraagt 3,6 %.
a)Na een jaar daalt de rentevoet met 0,4 procentpunt. Hoeveel bedraagt de nieuwe jaarlijkse rentevoet?
b)Met hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald? Rond af op 0,01 %.
c)Als de oorspronkelijke rentevoet met 0,7 procentpunt stijgt, hoeveel bedraagt dan de procentuele toename?
11 In 2023 bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten 3,67 %. Dat was een stijging met 0,51 procentpunt ten opzichte van 2022. De inflatie daalde van 9,59 % in 2022 naar 4,10 % in 2023.
a) Hoeveel bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in 2022?
b) Met hoeveel procent steeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in één jaar tijd? Rond af op 0,01 %.
c) Met hoeveel procentpunt daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022?
d) Met hoeveel procent daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022? Rond af op 0,01 %.
12 De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten. Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B.
Toon aan dat dat niet klopt.
13 ‘Wij betalen uw btw: 21 % korting op alles!’ Klopt die reclame?
14 Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?
15 Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer.
Lijst
Open Vld
N-VA
VLAAMS BELANG
CD&V
PVDA
PVDA+
UF
GROEN sp.a Bron: www.hln.be
% van de stemmen
a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014? Rond af op 0,01 %.
b)Zijn de volgende uitspraken juist of fout?
Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014.
Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019.
juist fout
c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?
d) Sp.a en CD&V leden in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?
9.2 Soorten gegevens
9.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens
In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken.
De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.
De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.
Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling
Voorbeeld
naam aantal puppy's kleur lengte (cm) gehoorzaamheid
Bobby3zwart56 goed
Rex8wit83zeer goed
Lexy5bruin34 zwak
9.2.2
Soorten gegevens
categorische gegevens
Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Voorbeeld:
• veranderlijke: kleur
• gegevens: zwart, wit ...
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Voorbeeld:
• veranderlijke: gehoorzaamheid
• gegevens: goed, zwak ...
De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.
numerieke gegevens
Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.
Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.
Voorbeeld:
• veranderlijke: aantal puppy's
• gegevens: 3, 8 ...
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
Voorbeeld:
• veranderlijke: lengte in cm
• gegevens: 56, 83 ...
Oefeningen
REEKS A
16 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen?
a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde
gegevens: tevreden, ontevreden ...
b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020
gegevens: 215, 190, 307 ...
c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen
gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...
d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal
gegevens: cola, limonade, fruitsap ...
e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar
gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...
f)het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad
gegevens: klein, matig, groot ...
g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei
gegevens: 18 °C, 22 °C, 19 °C ...
h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school
gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...
i)het aantal huisdieren in een gezin
gegevens: 0, 1, 2, 3 ...
j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen
gegevens: Albanië, Italië, Rusland ...
17 Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk.
a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente mogelijke gegevens:
soort gegevens:
b) de bakwijze van een steak
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22 uur en 23 uur mogelijke gegevens:
soort gegevens:
d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk mogelijke gegevens: soort gegevens:
e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas mogelijke gegevens:
soort gegevens:
f) de hobby’s bij 16-jarigen mogelijke gegevens:
soort gegevens:
g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen
mogelijke gegevens:
soort gegevens:
h) de mate waarin een sporter bijgelovig is mogelijke gegevens:
soort gegevens:
9.3 Statistisch onderzoek
9.3.1
Context
Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context
Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.
Wat zijn de elementen van het onderzoek? (Wie of wat wordt onderzocht?)
Wat zijn de kenmerken? (Wat wordt er onderzocht bij de elementen?)
Met welk soort gegevens heb je te maken?
Wat wil je weten?
Waarom voer je het onderzoek?
de tevredenheid over het openbaar vervoer
Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?
9.3.2
Enquête
Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af.
Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ...
De ondervraagde mensen noem je de respondenten
Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.
9.3.3
Vraagstelling
Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête.
Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn.
Open vragen
Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn.
De respondent mag het antwoord zelf formuleren.
De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt.
Gesloten vragen
Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?
❒ bus ❒ trein ❒ tram ❒ geen
De antwoordmogelijkheden zijn beperkt, gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen.
Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.
9.3.4
Steekproef en populatie
Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd.
Dat is onmogelijk.
Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.
Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt.
De tv-studie van CIM meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen.
Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd.
Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin en eventuele gasten in Vlaanderen en Brussel.
In totaal staat het panel voor 3 700 personen.
Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder.
Sinds januari 2016 bepaalt men het totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.
De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie
De kijkers zijn de elementen
In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie.
Een deel van de populatie noem je een steekproef
De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen.
Soorten steekproeven
100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.
Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd.
Wat is er fout aan die steekproef?
REEKS A
18 Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen.
a)de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen populatie:
steekproef:
b)de schoenmaat van de Vlaamse scholier populatie:
steekproef:
c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League populatie:
steekproef:
d) de inhoud in ml van melkflessen populatie:
steekproef:
e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert populatie:
steekproef:
9.4 Categorische gegevens verwerken
9.4.1
Frequentietabel
Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:
De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.
Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen.
Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel
x i n i f i
• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom.
notatie: x i
• Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie
notatie: n i
notatie: f i 7 7 60 ≈ 0,116 7 = 11,67 %
Definitie Absolute frequentie
De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.
• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt.
Definitie Relatieve frequentie
De relatieve frequentie f i van het gegeven x i f i = n n i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.
9.4.2 Grafische voorstellingen
Staafdiagram
• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden.
• De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.
Cirkeldiagram
• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.
• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.
9.4.3 Categorische gegevens verwerken met ICT
EXCEL
Frequentietabel
Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.
Staafdiagram
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.
• Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom.
• Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken –Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling.
• Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel).
• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in.
• Gegevenslabels toevoegen.
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
GEOGEBRA
Oefeningen
REEKS A
19 Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker.
a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de relatieve frequentie,
• een cirkeldiagram.
c) Hoeveel leerlingen vinden de kwaliteit van het middagmaal slecht of zeer slecht?
d) Hoeveel procent van de leerlingen vindt het eten niet zeer lekker?
20 Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd.
x i n i f i
a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de relatieve frequentie,
• een cirkeldiagram.
c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen?
21 Steeds meer mensen schakelen over op een elektrische wagen.
Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2023.
aantal elektrische wagens in België
Vlaanderen
Brussel
Wallonië
totaal
a)Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel en Wallonië samen ingeschreven?
b)‘Er rijden 63,48 % meer elektrische wagens in Vlaanderen dan in Wallonië.’
Klopt die bewering?
c)Teken met ICT een cirkeldiagram.
22 In een Vlaamse stad zijn er 26 749 mensen die een sport beoefenen.
Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven.
a) Vul de frequentietabel in.
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c) Hoeveel ondervraagde mensen beoefenen geen voetbal en geen tennis?
23 Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten.
a) Stel een frequentietabel op.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
• een cirkeldiagram.
c) Welk merk komt het meest voor? d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?
e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?
f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?
Waarom (niet)?
24 Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd.
a)Maak een frequentietabel.
bloedgroep n i f i A B AB O
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
d) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B?
e) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?
f) Hoeveel keer meer kans heb je om bloedgroep B te hebben dan bloedgroep AB?
25 Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd.
LSMLXL
MXLXLLM
LMLML
LXXLXXLXLL
LSMMM
MLXLSL
LMMSL
XLSXLLM
MXLMLXL
XXLXLSLXXL
MXXLSXLM
MMSXXLM
LMMML
LXLXLMS
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
a)Maak een frequentietabel.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
d)Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M?
e) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L?
f)Hoeveel procent meer mensen heeft maat M dan L?
26 Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN).
BUBFFIBFFIBUFI VO
BUBFFIBUFI VO BUFI
FI VO WA BFBUBFBUBU
TRBFFIBFFIBFBU WA
BUFITR VO BU WA FITR
FIBFFIBFBUBF WA FI
TR VO BUBFTR VO BUBU
FIBFFIBFANFIFIBU
AN WA TR WA FIBFBUTR
FIBFTRBFBU VO FIBU
b)Teken met ICT een cirkeldiagram.
c)Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
a)Maak een frequentietabel. vervoermiddel n i f i VO FI BU TR WA BF AN
d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?
e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school?
f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school?
g) Twee vervoermiddelen maken samen de helft van de steekproef uit. Welke?
27 Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A).
a)Maak een frequentietabel. operator n i f i andere
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
d) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus?
e) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?
f) Hoeveel procent is het marktaandeel van Proximus groter dan dat van Telenet?
Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens.
Dat aantal is gelijk aan 2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14
Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven.
Je noteert die frequentie als cn 5
Definitie Cumulatieve absolute frequentie
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i .
Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5
Definitie Cumulatieve relatieve frequentie
De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en cfi = cn n i de omvang n van de steekproef.
Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10?
Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10?
Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10?
9.5.2 Grafische voorstellingen
Staafdiagram
• De werkwijze is dezelfde als die van categorische gegevens.
• De hoogte van de verticale staven komt overeen met de (relatieve) frequentie.
• Bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens worden de staven zo smal mogelijk getekend.
Lijndiagram
• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde.
• De verticale as bevat de frequenties.
• Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ).
Cumulatief
EXCEL
Frequentietabel
Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.
Staafdiagram
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en werk naar analogie met paragraaf 9.4.3.
• Om de staven te versmallen:
• Rechtermuisklik op een van de staven.
• Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %.
Lijndiagram
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.
• Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen.
• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
• De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes.
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
GEOGEBRA
Oefeningen
REEKS A
28 Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd.
leeftijd deelnemers kamp
a)Maak een frequentietabel.
b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?
c) Van welke leeftijden zijn er meer dan 10 deelnemers?
29 Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten.
a)Maak een frequentietabel.
b)Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar?
c)Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag?
d)Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag?
30 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken.
a)Maak een frequentietabel.
b)Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
c) Hoeveel mensen hebben hoogstens vier kledingstukken gekocht?
d) Hoeveel procent van de mensen kocht drie of vier kledingstukken?
e)Hoeveel mensen kochten minstens één kledingstuk?
f) Er zijn meer mensen die drie kledingstukken kopen dan vier. Hoeveel procent meer?
9.6.1 Het gemiddelde
Definitie (Rekenkundig) gemiddelde
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen.
Notatie
De som van termen van de vorm x i , waarbij de index i varieert van 1 tot n, noteer je kort x i
Verwijder de ‘uitschieter’ en bereken opnieuw het gemiddelde.
• Bepaal de mediaan voor de punten Frans in de bovenstaande tabel.
Me =
De mediaan is gedefinieerd als het middelste gegeven en is dus niet vatbaar voor uitschieters.
• Dezelfde klas van 12 leerlingen maakte ook een toets wiskunde op 10 punten.
Je ziet de resultaten in de onderstaande tabel.
6666666
Me = x = 699991010
Welke centrummaat geeft het best weer dat in die klas bijna de helft van de leerlingen heel goed heeft gescoord?
Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens, maar is vatbaar voor uitschieters. De mediaan ligt altijd in het midden, maar houdt enkel rekening met de volgorde van de gegevens.
Rond 1980 verwierpen bepaalde natuurvorsers het ontstaan van een gat in de ozonlaag van de atmosfeer boven de Zuidpool op basis van satellietgegevens. Later onderzoek bracht aan het licht dat de ozonmetingen boven de Zuidpool zo laag waren dat de gebruikte computersoftware ze systematisch als fout verwierp. Het systematisch verwijderen van uitschieters is geen goede wetenschappelijke onderzoekshouding.
Oefeningen
REEKS A
31 Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20.
x i 67891011121314151617181920
n i 131611172125141168402
cn i
a) Bepaal de mediaan.
b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bereken het gemiddelde.
d) Hoeveel procent van de leerlingen haalde meer dan het gemiddelde?
32 Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen.
x i 012345678
n i 844581395201
cn i
a) Bepaal de mediaan.
b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bereken het gemiddelde.
d) Geef de betekenis van het gemiddelde.
33 Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen per week ze sporten.
a)Vul de frequentietabel verder aan.
b)Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week?
c)Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?
d)De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week.
e)Bepaal de modus.
f)Bereken het gemiddelde.
34 De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld.
a)Bepaal de mediaan.
b)Geef de betekenis van de mediaan.
c)Bepaal de modus.
d)Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn?
35 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36383941384241434141384038 40413637393840383639403742 37384039423838393739393739 37393938374139384038433936 39403840403837413842364337
a)Maak een frequentietabel.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
c) Hoeveel jongeren hebben hoogstens 39 als hemdsmaat?
d) Hoeveel procent van de jongeren heeft minstens 40 als hemdsmaat?
e) Hoeveel procent van de jongeren heeft een hemdsmaat 38 of 39?
f)Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
g)Schat de som van de hemdsmaten als je 150 jongeren had ondervraagd.
a)Maak een frequentietabel.
36 Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd. 926210 79545
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
c) Wat is de meest voorkomende som?
Was dat te verwachten? Waarom (niet)?
d) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen 8 of minder?
e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9?
f)De helft van de worpen leverde minstens ogen op.
g)Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.
37 In het derde jaar van een school wordt een dictee Nederlands afgenomen. De tabel toont hoeveel fouten elk van de leerlingen heeft gemaakt.
a)Maak een frequentietabel.
b) Hoeveel leerlingen deden mee aan het dictee?
c)Teken met ICT een lijndiagram voor de absolute frequentie.
d)Hoeveel leerlingen maakten hoogstens 4 fouten?
e)Welk deel van de leerlingen maakte meer dan 6 fouten?
f)Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
g)Bereken het gemiddelde aantal fouten.
38 Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel.
a)Maak een frequentietabel.
x i n i f i cn i cf i
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
d) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?
e) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder?
f) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs?
g) Als een boete voor zwartrijden 75 euro bedraagt, wat is dan de ‘opbrengst’ bij die verscherpte controle?
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek
9.1 Inleiding
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten. KUNNEN
Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn.
Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.
9.2 Soorten gegevens
KENNEN
Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven.
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen.
Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
KUNNEN
Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.
Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens.
Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens.
Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.
9.3 Statistisch onderzoek
KENNEN
De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek.
Een deel van de populatie noem je een steekproef.
KUNNEN
Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef.
Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.
Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.
9.4 Categorische gegevens verwerken
KENNEN
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt.
De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi = n i n
KUNNEN
De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.
ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
9.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + + ni
De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi = cn i n
KUNNEN
Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.
De enkelvoudige frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.
De cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen.
ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
9.6 Centrummaten
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
Het gemiddelde uit een frequentietabel:
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde n + 1 2
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
KUNNEN
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
1. Jantje liegt op zes dagen van de week, maar op één dag spreekt hij altijd de waarheid. De volgende uitspraken deed hij op drie opeenvolgende dagen:
• dag 1: ‘Ik lieg op maandag en dinsdag.’
• dag 2: ‘Vandaag is het donderdag, zaterdag of zondag.’
• dag 3: ‘Ik lieg op woensdag en vrijdag.’
Op welke dag van de week spreekt Jantje de waarheid?
2. Louise gaat met enkele vrienden iets drinken en bestelt ook een portie bitterballen. Die worden enkel in porties van 6, 9 of 20 geserveerd. Wat is het grootste aantal bitterballen dat je niet kunt bestellen met die porties?
3. Bereken de natuurlijke getallen x en y, als 3x 2 – 3y 2 = 2 397.
HOOFDSTUK 10 I VECTOREN
10.1Begripsvorming
10.2Bewerkingen met vectoren
10.3Toepassingen uit de fysica
10.4Vectoren in een orthonormaal
assenstelsel
Studiewijzer
Problemen uit JWO
188
195
208
213
224
10.1.1
Benaming en
voorstelling
Een georiënteerd lijnstuk is een lijnstuk waarop een zin is aangeduid doormiddelvaneenpijl.
2 Welke vectoren zijn gelijk en welke zijn tegengesteld? Noteerinsymbolen.
Gelijke vectoren: Tegengestelde vectoren:
3 Teken een vector ⟶ CD zodat → AB = ⟶ CD
4 Teken een vector ⟶ CD zodat → AB = –⟶ CD.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) was een Nederlandse graficus. Hij maakte in totaal 448 lithografieën, houtsneden en houtgravures en meer dan 2 000 tekeningen en schetsen. Enkele zeer bekende werken van hem zijn ontworpen rond onmogelijke objecten, zoals de Penrose-trap. Zijn gravures verbeelden vaak onmogelijke constructies, studies van oneindigheid en in elkaar passende meetkundige patronen (vlakverdelingen).
5 Vul telkens het beeld in van de verschuiving volgens de gegeven vector. a) t→ AB (F 1) =
(F 6) =
t→ EI ( ) = F 10
g) t→ AC ( ) = F 11
h) t ⟶ DG ( ) = F 10
6 Teken de punten E, F, G en H als je weet dat
⟶ CD = → BE
7 De figuur is opgebouwd uit vierparallellogrammen metdezelfdebasis enhoogte. Vul telkens in met + of –. G D H E F l
a) → AB = → EF
b) → BC = → ED
c) → HI = ⟶ GH
d) ⟶ AD = → CF
e) ⟶ HG = → DE
f) → FC = ⟶ AD
g) → AC = → DF
h) → EH = → FI
i) ⟶ GD = → FI
j) → BA = → BC
8 De figuur is opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken. B is het midden van [AC], D is het midden van [AF] en E is het midden van [CF].
a) Vul aan zodat je eengelijkevectorkrijgt.
→ AB = → D ⟶ BD = ⟶ E
⟶ DA = ⟶ F
→ CE = → B
b) Vul aan zodat je eentegengesteldevectorkrijgt.
→ AB = –→ C → BE = –⟶ F → FE = –→ C → DE = –→ B
10.2 Bewerkingen met vectoren
10.2.1
Inleiding
In de lucht ondervindt een valschermspringer verschillende krachten:
• een kracht → FZ gericht naar het middelpunt van de aarde: de zwaartekracht;
• een kracht → F w veroorzaakt door de wind.
De resulterende kracht kun je voorstellen met behulp van één vector: → F R
Ze heeft hetzelfde effect als de andere twee krachten samen. Om die kracht nauwkeurig te tekenen, leer je in dit onderdeel hoe je vectoren kunt optellen.
10.2.2
De som van vectoren
Formule van Chasles-Möbius
Als drie punten in het vlak gegeven zijn, dan kun je, waar je die punten ook legt, altijd de volgende som noteren:
Je noemt vector
AC de somvector van de vectoren
Formule Chasles-Möbius
Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: →
De somvector tekenen
Geval 1: het eindpunt van de eerste vector valt samen met hetbeginpunt van detweedevector.
Deze methode steunt op de formule vanChasles-Möbius.
Geval 2: het eindpunt van de eerste vector valt niet samen met hetbeginpunt van detweedevector.
Je tekent een nieuwe vertegenwoordiger van detweedevector, zodat heteindpunt van deeerstevector samenvalt methetbeginpunt vandetweedevector.
AB + ⟶ CD → CD = → BE (gelijkevectoren)
→ AB + → BE formule Chasles-Möbius
Deze methode heet de kop-staartmethode
Geval 3: de twee vectoren hebben hetzelfde beginpunt
Als de twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben, kun je, naast dekop-staartmethode, ookde parallellogrammethode toepassen omdesomvector tetekenen.
Je tekent een parallellogram waarvan [AB]en[AC]tweezijdenzijn.
De diagonaal [AD] uit het gemeenschappelijk beginpunt A bepaalt dan de somvector ⟶ AD
10.2.3 Het verschil van vectoren
Definitie Verschil van twee vectoren
Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector.
→ AB –⟶ CD = → AB + (–⟶ CD)
De verschilvector tekenen
Om twee vectoren van elkaar af te trekken, teken je een nieuwe vertegenwoordiger van –⟶ CD, zodat het eindpunt van de eerste vector samenvalt met het beginpunt van deze nieuwe vertegenwoordiger.
C E A → AB –⟶ CD verschil van vectoren
= → AB + (–⟶ CD) –→ CD = → DC (tegengestelde vectoren)
= → AB + ⟶ DC → DC = → BE (gelijke vectoren)
= → AB + → BE formule Chasles-Möbius
= → AE
Voorbeeld
a)Teken ⟶ PQ –→ RS
b) Vul aan.
→ RS
10.2.4
Een vector ontbinden in twee componenten
Je kunt elke vector ontbinden in een som van twee of meer vectoren.
Voorbeelden
Ontbind vector → u in twee componenten → v en → w zodat → u = → v + → w
De drager van vector → v is evenwijdig met b.
De drager van vector → w is evenwijdig met a
10.2.5 De vermenigvuldiging van een vector met een getal
De vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal noem je de scalairevermenigvuldiging
Definitie
Vermenigvuldiging van een vector met een getal
De vector r → AB (metr ∈ r 0) is een vector waarvan:
• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r en de lengte van → AB ;
• de richting dezelfde is als die van → AB ;
• de zin dezelfde is als die van → AB als r > 0 en tegengesteld als r < 0.
Voorbeelden
a)Gegeven: → AB
Gevraagd:teken 2 ? → AB A B
Bijzondere gevallen
0 → AB = → O r ? → O = → O
b)Gegeven: → u
Gevraagd:teken –3 ? → u u
De formule van Chasles-Möbius is genoemd naar August Ferdinand Möbius (1790-1868) en MichelChasles(1793-1880). Ondankshetfeitdatdeformule naarhenwerdgenoemd, hebbendetweeelkaar, naarallewaarschijnlijkheid, nooitontmoet.
August Möbius was een Duitse wiskundige die in 1815 professor sterrenkunde werd in Leipzig. Later werd hij directeur van de nieuw gebouwde universitaire sterrenwacht.Möbius is onder meer bekend van zijn bijdrage aan de algebraïsche meetkunde en de topologie. Ook de band van Möbius werd naar hem genoemd.
Michel Chasles was een Franse wiskundige die studeerde aan deberoemde Ecole Polytechnique in Parijs, waar hij nadien professor werd.
Hij is onder meer bekend van zijn studie van de projectieve meetkunde en de theoretische mechanica.
12 Vereenvoudig de vectorsommen door gebruik te maken van veelvouden.
a) → AB + → AB + → AB + → AB + → AB =
b) –⟶ CD –⟶ CD =
c) ⟶ PQ + ⟶ PQ + → RS + → RS + → RS =
d) → u + → u –→ v –→ v –→ v =
e) → u + → u + → u + → u + → v –→ v =
13 Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) ⟶ PQ + = → PR
b) → AB + ⟶ BD + = → AE
c) → DF + = → O
d) –→ AB – = → BC
e) → DF + → FB + → BE =
f) → AA + = → AB
g) ⟶ PQ = → PR –
h) –→ DE = –→ AE +
14 Ontbind vector → u in twee componenten → v en →
De drager van vector → v is evenwijdig met b
De drager van vector → w is evenwijdig met a
15 De figuur bestaat uit vijf even grote gelijkbenige driehoeken. Bepaal telkens de som of het verschil van de vectoren.
a) → AB + → BC =
b) ⟶ AD + → AB =
c) → DF + → DF =
d) → CA + → BC =
e) ⟶ BD –⟶ BD =
f) → EC –⟶ DC =
g) → AF –→ BF =
h) → CF –→ FD =
16 De figuur bestaat uit negen gelijkzijdige driehoeken. Vul in met een vector.
a) → AB +2 ? → AC = b) → CJ +3 ⟶ HD =
c) ⟶ HD +2 ? → DE =
f) → HE – 2 ⟶ BD =
g) 2 ? → BE –→ CJ = h) → AC –1 2 → DF =
d) 2 → BC + → EH = e) 2 3 ? → GJ + → IB =
17 Welke soort vierhoek is ABCD als je weet dat A, B, C en D niet-collineairepuntenzijn?
a) → AB = 2 ⟶ CD
b) → AB = –⟶ CD
18 Gegeven is åABC. Teken de punten P, Q en R alsjeweetdat:
a) → AB + → AC = → AP
b) → CA –→ BC = ⟶ CQ
c) → AC + → AC = → AR
19 De volgende figuur bestaat uit vier rechthoeken meteengelijkelengteengelijke breedte. Schrijf de vector als een som van veelvouden van → u en → v. l
a) → DF = b) → GE =
c) ⟶ HC = d) ⟶ GA =
e) → GC = f) → FD =
g) → ID = h) → FH =
20 Teken de som of het verschil van de vectoren. a) → AB + → BC + → DE
21 Gegeven is een regelmatige zeshoek. De straal van de omgeschreven cirkel heeft dezelfde lengte als dezijdevandezeshoek. Schrijf de vector als een som van veelvouden van → u en → v.
a) ⟶ CD = b) → AC = c) ⟶ DB = d) → DF = e) → BE = f) → DE = g) → AE = h) → EC =
22 Gegeven is een parallellogram ABCD en een willekeurig punt P. Bewijs dat voor elk punt P geldt: → AB + → CP = ⟶ DP
23 In welk vak kom je terecht als je de drie vectoren ⟶ OA, ⟶ OB en ⟶ OC optelt? Laat je werkwijze zien.
24 Gegeven is een kubus. M en N zijn de snijpunten van de diagonalen van de zijvlakken. Schrijf als één vector.
→ AB + ⟶ CH –→ GF +2 ? → EN =
→ BC +2 ? ⟶ NB –→ FB –→ AF = b) ⟶ DC –⟶ NB –⟶ NA + ⟶ DA = e) –⟶ GD + ⟶ HB + ⟶ BD –→ BF = c) 2 ? ⟶ CM + → FG –⟶ CH + → CB =
⟶ ME –→ NE –⟶ AN + ⟶ AM =
10.3 Toepassingen uit de fysica
10.3.1
Krachtvectoren
Een kracht is een vectoriële grootheid en kan worden voorgesteld met behulp van een gebonden vector.
Een krachtvector wordt bepaald door
• een aangrijpingspunt A,
• een richting AB,
• een zin: van A naar B,
• een grootte: ‖→ AB‖ = | AB |
Als twee krachten → F 1 en → F 2 inwerken op een voorwerp met hetzelfde aangrijpingspunt, dan teken je de resulterende kracht → F R als somvector van → F 1 en → F 2
De krachtvectoren hebben niet dezelfde richting
Tuur en Domien staan ieder aan een kant van een boot. Ze trekken elk aan een touw dat aan de voorkant van de boot werd bevestigd. Tuur trekt met een kracht van 400 N, Domien met een kracht van 550 N.
Teken de resulterende kracht → F R .
De krachtvectoren hebben dezelfde richting en dezelfde zin
Pieter en Stan duwen aan dezelfde kant een kist horizontaal naar rechts. Ze duwen elk met een kracht van 400N.
Teken de resulterende kracht → F R
• De richting van de krachten → F 1 en → F 2 is dezelfde.
• De zin van de resulterende kracht → F R is horizontaal naar rechts.
• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt:
‖→ F R ‖ = ‖→ F 1 ‖ + ‖→ F 2‖ = 400+400 = 800
De grootte van de resulterende kracht bedraagt 800N.
De krachtvectoren hebben dezelfde richting en een tegengestelde zin
Pieter en Stan willen zien wie van de twee het sterkst is. Ze duwen elk aan eenkant vaneenkist. Pieterduwtmeteenkracht → F 1 van400N horizontaalnaarrechts en Standuwtmeteenkracht → F 2 van500Nhorizontaalnaarlinks.
Teken de resulterende kracht → F R .
• De richting van de krachten → F 1 en → F 2 is dezelfde.
• De zin van de resulterende kracht → F R is horizontaal naar links.
Je kunt besluiten dat Stan het sterkst is.
• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt:
‖→ F R ‖ = ‖→ F 2 ‖ – ‖→ F 1‖ = 500–400 = 100
De grootte van de resulterende kracht bedraagt 100 N.
10.3.2 Snelheidsvectoren
Een snelheid heeft altijd een welbepaalde richting, zin en grootte. Als aangrijpingspunt wordt meestal het massazwaartepunt genomen van het voorwerp dat beweegt. Snelheid is daarom ook een vectoriële grootheid.
10.3.3 Versnellingsvectoren
Als de snelheidsvector van een voorwerp verandert, dan zeg je dat het voorwerp ‘versnelt’. Dat woord kan soms wat verwarrend zijn omdat een snelheidsverandering ook een vertraging kan betekenen.
Notatie versnellingsvector: → a
Als de versnellingsvector → a dezelfde zin heeft als de snelheidsvector → v, dan neemt de snelheid in grootte toe.
t = 0 (s)
De auto staat stil. Joris start zijn wagen en drukt op het gaspedaal.
t = 1 (s)
De auto van Joris versnelt.
t = 5 (s)
De auto van Joris versnelt nog altijd.
Als de versnellingsvector → a een tegengestelde zin heeft ten opzichte van de snelheidsvector → v, dan neemt de snelheid in grootte af.
t = 0 (s)
Joris rijdt met zijn wagen en duwt op het rempedaal.
t = 2 (s)
Joris duwt nog steeds op het rempedaal. De auto van Joris vertraagt.
Oefeningen
REEKS B
25 Vijf kinderen spelen een spelletje touwtrekken.
De twee jongens trekken samen met een kracht → F 1 van 500 N naar links. De drie meisjes trekken samen met een kracht → F 2 van 670 N naar rechts.
Stel een grootte van 100 N voor als 1 cm.
a) Teken de krachtvectoren → F 1 en → F 2 op de tekening. Neem als aangrijpingspunt het midden A van het touw.
b) Teken de resulterende kracht → F R
c) Hoe groot is de resulterende kracht?
d) Wie wint het spelletje touwtrekken?
26 Laura stapt op de bus en gaat achteraan zitten.
De bus vertrekt oostwaarts en rijdt tegen een snelheid van 52 km/h.
a) Laura wil de buschauffeur iets vragen.
Ze wandelt met een snelheid van 4,5 km/h oostwaarts.
Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?
b) Nadien wandelt Laura terug met een snelheid van 4 km/h in de richting van het westen.
Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?
27 Mil en Margot trekken ieder aan een zware koffer.
De zin, de richting en de grootte van de uitgeoefende krachten vind je op de tekening.
Teken telkens de resulterende kracht → F R
Situatie 1:
Situatie 2:
De zwaartekracht → F Z op een voorwerp dat naar beneden rolt, glijdt, valt… grijpt aan in het massazwaartepunt en is verticaal naar beneden gericht. Je kan de zwaartekracht ontbinden in twee krachtcomponenten die loodrecht op elkaar staan. Het dynamischeffect van de zwaartekracht zorgt voor de beweging schuin de helling af (de x-richting). Het statisch effect van de zwaartekracht is de kracht loodrecht op de beweging (de y-richting). Bij een bobslee die naar beneden glijdt, veroorzaakt deze kracht de spoorvorming.
REEKS C
28 Een bobslee daalt af onder invloed van de zwaartekracht → F Z
Ontbind de zwaartekracht in twee krachtcomponenten ⟶ F Z,x , die zorgt voor het dynamisch effect van de bobslee, en ⟶ F Z,y , die zorgt voor het statisch effect van de bobslee.
10.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel
10.4.1 Coördinaat van een puntvector
Definitie Orthonormaal assenstelsel
Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan;
• de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.
GEOGEBRA
Gegeven is een orthonormaal assenstelsel
met oorsprong O
• Teken een vertegenwoordiger ⟶ OP van de vector → AB
• Teken een vertegenwoordiger ⟶ OQ van de vector ⟶ CD
Omdat de oorsprong het beginpunt is van de vectoren ⟶ OP en ⟶ OQ, kun je een verkorte
Je tekent de verschilvector → AB –⟶ CD = → AE in een orthonormaal assenstelsel.
Vul telkens de coördinaat in.
co (→ AB) = ()
co (⟶ CD) = () –
co (→ AB –⟶ CD) = ()
De coördinaat van de verschilvector → AB –⟶ CD wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen van → AB en ⟶ CD af te trekken. −5−4−3−2−1
Algemeen
Als co (→ AB) = (x 1, y 1) en co (⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co (→ AB –⟶ CD) = co (→ AB) –co (⟶ CD) = (x 1, y 1)–(x 2, y 2) = (x 1 – x 2, y 1 – y 2)
10.4.5 Coördinaat van een scalair veelvoud van een vector
Je tekent de vector r → AB in een orthonormaal assenstelsel.
Vul telkens de coördinaat in.
co (→ AB) = ()
co (2 ? → AB) = ()
? 2 ? 2 (–3) (–3)
co (−3 → AB) = ()
De coördinaat van de vector r ? → AB
wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen van → AB te vermenigvuldigen met een factor r
1234
Algemeen
Als co (→ AB ) = (x 1, y 1), dan is
Voorbeeld
Gegeven: co (→ A) = (–1,3) co (→ B) = (4,–2) co (→ C) = (6,3) co (→ D) = (0,–4)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector. • co (→ A + → B) = • co (→ B –→ C) = • co (→ D –→ A) = • co (→ C + → B) = • co (3 ? → B) = • co (–2 → A) =
co (3 ? → D –→ B) =
co (–4 → A +2 → B) =
10.4.6 Verband tussen een vector en een puntvector
Voor elke vector → AB geldt:
→ AB = ⟶ AO + ⟶ OB Chasles-Möbius
⇓ → AB = ⟶ OB + ⟶ AO ⇓ → AB = ⟶ OB – (–⟶ AO) ⇓ → AB = ⟶ OB –⟶ OA
= → B –→ A
Besluit In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kun je elke vector → AB schrijven als het verschil van de puntvector → B van het eindpunt en de puntvector → A van het beginpunt. → AB = → B –→ A
Verband tussen de coördinaat van een vector en de coördinaat van een puntvector
Gegeven is een vector → AB met co (→ A) = (x A, y A) en co (→ B) = (x B, y B).
Uit → AB = → B –→ A volgt:
co (→ AB) = co (→ B –→ A) ⇓
co (→ AB) = co (→ B) –co (→ A) ⇓
co (→ AB) = (x B, y B)–(x A, y A) ⇓
co (→ AB) = (x B – x A, y B – y A)
Als co (→ A ) = (x A, y A) en co (→ B ) = (x B, y B), dan is
co (→ AB) = co (→ B) –co (→ A) = (x B, y B)–(x A, y A) = (x B – x A, y B – y A).
Voorbeeld
Gegeven: co (→ A) = (–4,5) co (→ B) = (–1,–3) co (→ C) = (0,–2)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.
• co (→ AB) =
• co (→ CA) =
10.4.7 De norm van een vector
Gegeven is een vector → AB
Om de norm (of de grootte)
vaneenvector → AB tebepalen, steunje opdestellingvanPythagoras: ‖→
Algemeen
Bijzonder geval
Om de norm vaneenpuntvector → A tebepalen, steunjeopnieuw opdestellingvanPythagoras:
‖→ A‖ 2 = | x A |²+ | y A |² ‖→ A‖ 2 = x A 2 + y A 2 ‖→ A‖ =
Algemeen De norm van een puntvector → A met co(→
isgelijkaan
Voorbeeld
Gegeven: co(→ A) = (–4,5) co(→ B) = (–1,–3) co(→ C) = (0,–2) co(→ D) = (3,7)
Bereken de norm van de vector. Rond af op 0,01.
‖→ BC‖ =
Oefeningen
REEKS A
33 Gegeven: co (→ A) = (3,3) co (→ B) = (–2,2) co (→ C) = (4,0) co (→ D) = (4,–1) Teken de gevraagde vector. Bereken nadien de coördinaat van die vector.
Van een gegeven vector een gelijke en eentegengesteldevectortekenen.
Gelijke en tegengestelde vectoren herkennen en benoemen.
10.2 Bewerkingen met vectoren
KENNEN
Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: → AB + → BC = → AC (formule Chasles-Möbius).
Het verschil van twee vectoren is de som van deeerstevector methettegengestelde van detweedevector. → AB –⟶ CD = → AB + (–⟶ CD)
De vector r → AB (metr ∈ r 0) is een vector waarvan:
• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r metdelengtevan → AB ;
• de richting dezelfde is als die van → AB ;
• de zin dezelfde is als die van → AB als r > 0 en tegengesteld als r < 0.
KUNNEN
Van twee (of meer) vectoren de somvector en deverschilvector definiërenentekenen.
Het scalair product van een vector en een reëel getal definiëren en tekenen.
Een vector ontbinden in twee (of meer) vectoren.
10.3 Toepassingen uit de fysica
KUNNEN
De resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvector tekenen.
De norm van de resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvectorberekenen als degegevenvectoren dezelfderichtinghebben.
10.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel
voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN – + – +
Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijkzijn aandegekozenlengte-eenheid.
Als co(→ AB) = (x 1, y 1) en co(⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co(→ AB + ⟶ CD ) = co(→ AB ) +co(⟶ CD ) = (x 1, y 1)+(x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)
Als co(→ AB) = (x 1, y 1) en co(⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co(→ AB –⟶ CD ) = co(→ AB ) –co(⟶ CD ) = (x 1, y 1)–(x 2, y 2) = (x 1 – x 2, y 1 – y 2)
Als co(→ AB ) = (x 1, y 1), dan is co(r → AB) = r co(→ AB ) = r (x 1, y 1) = (r x 1, r y 1)
In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kunje elkevector → AB schrijven alshetverschil vandepuntvector → B vanheteindpunt en depuntvector → A vanhetbeginpunt. → AB = → B –→ A
Als co(→ A ) = (x A, y A) en co(→ B ) = (x B, y B), dan is co(→ AB) = co(→ B) –co(→ A) = (x B, y B)–(x A, y A) = (x B – x A, y B – y A)
De norm van een vector → AB met co(→ A ) = (x A, y A) en co(→ B ) = (x B, y B) isgelijkaan ‖→ AB‖ = √ (x B – x A) 2 +(y B – y A) 2
De norm van een puntvector → A met co(→ A ) = (x A, y A) is gelijk aan
De coördinaat van een puntvector en eenwillekeurigevectorbepalen.
Een gegeven vector ontbinden in zijn componenten volgensde x-asende y-as.
De coördinaat van de somvector of verschilvector bepalen.
De coördinaat van een vector, vermenigvuldigdmeteengetal,bepalen.
De norm van een vector berekenen.
Problemen uit JWO
1.Een rechthoekige puzzel van 1 000 stukjes telt 25 stukjes op elke verticale lijn en 40 op elke horizontale lijn. Hoeveel procent van de stukjes ligt op de rand?
A) ❒ 11 %B) ❒ 11,4 %C) ❒ 12 %D) ❒ 12,6 %E) ❒ 13 %
JWO, editie 2017, eerste ronde
2.In de cirkel zijn een vierkant en vier kwartcirkels getekend. Welk deel van de oppervlakte van de cirkel wordt ingenomen door de vier kwartcirkels? A) ❒ 30 %B) ❒ 32 %C) ❒ 33,33... %D) ❒ 36 %E) ❒ 40 %
JWO, editie 2022, eerste ronde
3. Als (x – 1) ? (x + 1) = 4, dan is (x 3 + x) ? (x 3 – x) gelijk aan …
A) ❒ 20B) ❒ 25C) ❒ 50D) ❒ 100E) ❒ 120
JWO, editie 2021, tweede ronde
4.Toen Pif 15 jaar oud was, was Poef 18. Toen Poef 13 jaar oud was, was Paf 11. Hoe oud was Pif toen Paf 15 was?
c)Bepaalallepuntendietegelijkertijdop15mmvan A enop25mmvan B liggen. Hoeveelpuntenkunjebepalendieaandevoorwaardevoldoen? Q K V R S
Stap1: Tekendemiddelloodlijn a vanhetlijnstuk[AB ] endemiddelloodlijn b vanhetlijnstuk[BC ].
Stap 1: Construeer de middelloodlijn a van het lijnstuk [AB ] en de middelloodlijn b van het lijnstuk [BC ].
Stap2: Hetsnijpuntvandemiddelloodlijnen a en b ligtevenvervan A,alsvan B,alsvan C enisdushetmiddelpunt M vandecirkel.
Stap 2: Het snijpunt van de middelloodlijnen a en b ligt even ver van A, als van B, als van C en is dus het middelpunt M van de cirkel.
Stap 3: Teken een cirkel c (M, | MA |) met middelpunt M en straal | AM |
Cirkels komen vaak voor in optische illusies. Bij optische illusies zie je niet altijd wat er werkelijk is. Bij de onderstaande voorstellingen is de aangeduide figuur telkens een cirkel.
Stap3: Tekeneencirkel c (M, MA ) metmiddelpunt M enstraal AM Cirkelskomenvaakvoorinoptischeillusies. Bijoptischeillusiesiswatjezietnietaltijd waterwerkelijkis.
a)Bepaalallepuntendietegelijkertijdop30mmvan A enop25mmvan B liggen. Hoeveelpuntenkunjebepalendieaandevoorwaardevoldoen?
Het apothema van een koorde is het lijnstuk met als grenspunten het middelpunt van de cirkel en het voetpunt van de loodlijn door het middelpunt op de koorde.
11 Om een cirkelvormige tafel tegen een muur te plaatsen, zaag je een stuk van de tafel. Bepaal de diameter van de tafel aan de hand van de gegevens op de figuur. Bepaal het antwoord op 0,01 cm nauwkeurig.
a)Erzijnoneindigveelcirkelswaarvan m eenmiddellijnisen[AB ]eenkoorde.
Notatie: AB ⁀ isdenotatievoorde kortste boogtussen A en B Alsjede grote boogtussen A en B wiltaanduiden, voegjedenaamvaneenwillekeurigpuntvan deboogaandenotatietoe: ACB ⁀
Middelpuntshoekopeenboogofeenkoorde
Debenenvandemiddelpuntshoek AM — B snijdendecirkel c (M, AM )indepunten A en B
De benen van de middelpuntshoek A ^ MB snijden de cirkel c (M, | AM |) in de punten A en B
Jezegt: demiddelpuntshoek AM — — B staatopdeboog AB ⁀ of demiddelpuntshoek AM — B staatopdekoorde[AB ].
7.4.2 Eigenschapvanmiddelpuntshoeken
ICT
GEOGEBRA
• Tekeneenkoorde[CD ]zodat CD = AB .
• Tekendemiddelpuntshoek CM — — D
• Meetdemiddelpuntshoeken AM — B en CM — D : AM — B = en CM — D = Watsteljevast?
D =180º Omtrekshoekenopdezelfdekoorde[AC ],aaneenverschillendekantvandekoorde, zijnsupplementair.
C =180º analoogals1)
B + — D =180ºen
besluit
Dezeafstandisdekortsteafstandvan hetmiddelpuntvandecirkeltotderaaklijn. Elkanderpuntvanderaaklijn(bijvoorbeeld B ) isverdervanhetmiddelpuntverwijderd. d (M, a )= d (M, A )= AM = r MB
besluit
A + — C =180º
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A Jekuntmoeilijkophetzichtbepalenwelkerechte deraaklijnis.
11.4.3 Eigenschap van een raaklijn aan een cirkel
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A Jekuntmoeilijkophetzichtbepalenwelkerechte deraaklijnis.
Duidaanwelke,volgensjou,deraaklijnisaandecirkel inhetpunt A
7.5.3 Eigenschapvaneenraaklijnaaneencirkel
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A
7.5.3 Eigenschapvaneenraaklijnaaneencirkel
Duidaanwelke,volgensjou,deraaklijnisaandecirkel inhetpunt A
ICT
ICT
Eigenschap
Eigenschap
Eigenschap
Eigenschap
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A
Uit voorgaande eigenschappen volgt de constructie van de raaklijn in een punt van een cirkel. Construeer de raaklijn a in het punt P van de cirkel c(M, r ).
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Construeermetpasserenliniaalderaaklijn a inhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Werkwijze
Construeermetpasserenliniaalderaaklijn a inhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
M P
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Werkwijze
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP .
MP = NP
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Werkwijze
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap1: Tekendemiddellijn MP.
MP = NP
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Verklaring a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
Verklaring
Verklaring
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Verklaring
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Verklaring
Verklaring
Verklaring a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ].
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ].
a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P eigenschapraaklijn
Een punt buiten de cirkel ligt op gelijke afstand van de raakpunten van de raaklijnen door dat punt aan de cirkel.
Een rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met het middelpunt van de cirkel is de deellijn van de hoek bepaald door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel.
tekening gegeven
c (M, r ).
Punt P buiten de cirkel
PA raakt c (M, r ) in A
PB raakt c (M, r ) in B
te bewijzen
1)
bewijs
63 Bepaaldeonderlingeliggingvanderechte a endecirkel c (M, r ).
63 Bepaaldeonderlingeliggingvanderechte a endecirkel c (M, r ).
Besluit Om het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek te tekenen, bepaal je het snijpunt van twee middelloodlijnen van de driehoek.
Stap2: Construeerdedeellijnvan — B
Stap1: Construeerdedeellijnvan — A
Stap3: Hetsnijpuntvandedeellijnennoemje S
Stap2: Construeerdedeellijnvan — B .
Stap4: Vanuit S tekenjeeenloodlijnopeenzijde vandedriehoek.Hetsnijpuntmetdezijdenoemje P )isdecirkeldieraaktaandedriezijden vandedriehoek.
Definitie Ingeschrevencirkel
Definitie
Eigenschap
Ingeschrevencirkel
Stap3: Hetsnijpuntvandedeellijnennoemje S tekenjeeenloodlijnopeenzijde vandedriehoek.Hetsnijpuntmetdezijdenoemje P )isdecirkeldieraaktaandedriezijden vandedriehoek.
Eigenschap De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in één punt. P
11.5.4 Ingeschreven cirkel van een driehoek
Definitie Ingeschreven cirkel
De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die aan de drie zijden van de driehoek raakt.
De cirkel raakt aan AB in B en raakt aan AC in C
Daarvoor moet M gelijke afstanden hebben tot AB en AC
Omschrijf de ligging van de punten die op gelijke afstand liggen van AB en AC.
De cirkel raakt aan de benen van ^ A
Besluit
Constructie
Construeer de cirkel die raakt aan de zijden van åABC
Werkwijze
Stap 2: Construeer de bissectrice van ^ B
Stap 3: Het snijpunt van de bissectrices noem je S.
Stap 1: Construeer de bissectrice van ^ A A B
Stap 4: Vanuit S teken je een loodlijn op een zijde van de driehoek.
Het snijpunt met de zijde noem je P
Stap 5: Teken de cirkel met middelpunt S en straal | SP |.
Om het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek te tekenen, bepaal je het snijpunt van twee bissectrices van de driehoek.
Oefeningen
REEKS A
36 Welke punten (A, B ...) zijn de middelpunten van een cirkel die raakt aan beide benen van de hoek ^ X ?
37 Construeer de ingeschreven cirkel van de driehoek.
REEKS B
38 Uit een massieve houten driehoek wil je met een cilinderboor een zo groot mogelijke schijf boren. Duid de cilinderboor aan die je daarvoor zult gebruiken.
11.5.5 De hoogtelijnen van een driehoek
Definitie Hoogtelijn
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.
Constructie van de hoogtelijn uit een hoekpunt van een driehoek
Construeer met passer en liniaal de hoogtelijn uit het punt C van de åABC
Werkwijze
Stap 1: Teken met een passeropening, groter dan de afstand van het punt C tot de rechte AB, een cirkelboog met middelpunt C die de rechte AB snijdt. Noem de snijpunten P en Q
Stap 2: Teken onder de rechte AB een boog met middelpunt P
Stap 3: Teken met dezelfde passeropening onder de rechte AB een boog met middelpunt Q
Stap 4: Het snijpunt van de bogen noem je D Teken CD, de hoogtelijn van åABC uit het punt C
Eigenschap van de hoogtelijnen van een driehoek
Teken de drie hoogtelijnen van åPQR
Wat stel je vast?
Eigenschap De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
Oefeningen
REEKS A
39 Construeer de hoogtelijn uit het hoekpunt Q.
REEKS B
40 Construeer de drie hoogtelijnen van åPQR
11.5.6 De zwaartelijnen van een driehoek
Definitie Zwaartelijn
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Constructie van de zwaartelijn uit een hoekpunt van een driehoek
Construeer met passer en liniaal de zwaartelijn uit het punt C van åABC
Werkwijze
Stap 1: Construeer de middelloodlijn m van [AB ] om het midden M te vinden.
Stap 2: Teken CM, de zwaartelijn van åABC uit het punt C
Eigenschap van de zwaartelijnen van een driehoek
Construeer de drie zwaartelijnen van åPQR
Wat stel je vast?
Eigenschap De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
GEOGEBRA
Eigenschap van het zwaartepunt
Z is het zwaartepunt van åABC en verdeelt elke zwaartelijn in twee lijnstukken.
Vul aan:
|ZN |=
|AZ |=
|ZO |=
|BZ |=
|ZM |=
|CZ |=
Wat stel je vast?
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt een zwaartelijn in twee lijnstukken, waarvan het ene half zo lang is als het andere.
tekening
gegeven
AS en CR zijn zwaartelijnen in =åABC.
Z is het snijpunt van AS en CR te bewijzen
|RZ | |CZ | = |SZ | |AZ | = 1 2
bewijs
• Teken [RS ], middenparallel in =åABC
• Gelijkvormige driehoeken:
besluit
REEKS A
41 Construeer de zwaartelijn uit het hoekpunt Q.
42 Bereken | BZ |, | ZN | en | ZC |.
43 Construeer de drie zwaartelijnen van åPQR
44 Teken: • het snijpunt Z van de zwaartelijnen in het groen;
• het snijpunt H van de hoogtelijnen in het blauw;
• de rechte e door Z en H in het rood;
• het snijpunt M van de middelloodlijnen in het zwart.
Wat stel je vast?
De rechte die je nu getekend hebt, heet de rechte van Euler De Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707-1783) ontdekte dat het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van een driehoek altijd op één rechte liggen.
45 Vul aan met een passend lijnstuk tot je een ware uitspraak verkrijgt.
46 Als je in een gelijkbenige åABC twee zwaartelijnen tekent
(waarvan een uit de top B), ontstaat er een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 6 en 8 (zie figuur). Hoe groot is de som van de lengten van de drie zwaartelijnen van åABC?
A)42B)48C)52D)72E) 78
47 Bereken de gevraagde lengten.
a)| CE | = | EB |, | AD | = | DB | | DE | = 5,2 cm, | AE | = 10,8 cm, | CF | = 7,6 cm
Bereken de omtrek van åFDE
b)Bereken | DF |.
VWO, editie 2006, tweede ronde
Teken een driehoek op een stuk karton. Teken de drie zwaartelijnen van die driehoek. Plaats op het snijpunt een grote rode stip. Knip daarna de driehoek uit. Leg de driehoek met de stip op je wijsvinger. Het snijpunt van de drie zwaartelijnen is het zwaartepunt Het zwaartepunt is het punt waar een voorwerp in evenwicht is.
STUDIEWIJZER De cirkel
11.1 Cirkel door drie niet-collineaire punten
KENNEN
Een cirkel is een verzameling van alle punten die op dezelfde afstand van een gegeven punt liggen.
Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.
Door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel.
KUNNEN
Benaming en notatie van begrippen in verband met de cirkel geven.
Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Een cirkel door drie niet-collineaire punten construeren.
11.2 Middellijn, koorde en apothema
KENNEN
Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.
Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel met elkaar verbindt.
Het apothema van een koorde is het lijnstuk met als grenspunten het middelpunt van de cirkel en het voetpunt van de loodlijn door het middelpunt op de koorde.
Een middellijn die loodrecht op een koorde staat, is de middelloodlijn van die koorde.
Een middellijn die het midden van een koorde bevat, is de middelloodlijn van die koorde.
Het apothema van een koorde bevat het midden van de koorde.
Even lange koorden hebben even lange apothema’s.
KUNNEN
Eigenschappen in verband met middellijn, koorde en apothema onderzoeken, bewijzen en toepassen.
Lengten en hoeken bij koorde, apothema en straal van een cirkel berekenen met de stelling van Pythagoras en driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek.
11.3 Middelpuntshoek en omtrekshoek
KENNEN
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel.
Een cirkelboog is een deel van de cirkel begrensd door twee punten van de cirkel. Bij even lange koorden horen even grote middelpuntshoeken en omgekeerd.
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met een punt van de cirkel en de benen de cirkel snijden.
Een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek op dezelfde boog.
Alle omtrekshoeken op eenzelfde boog zijn even groot.
Omtrekshoeken op eenzelfde koorde zijn even groot of supplementair.
Een omtrekshoek op een halve cirkel is een rechte hoek.
KUNNEN
Eigenschappen in verband met omtrekshoek en middelpuntshoek onderzoeken, bewijzen en toepassen.
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt een zwaartelijn in twee lijnstukken, waarvan het ene half zo lang is als het andere.
KUNNEN
Een middelloodlijn van een driehoek construeren.
De omgeschreven cirkel van een driehoek construeren.
Een bissectrice (of deellijn) van een driehoek construeren.
De ingeschreven cirkel van een driehoek construeren.
Een hoogtelijn van een driehoek construeren.
Een zwaartelijn van een driehoek construeren.
De eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek bewijzen.
De eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek toepassen.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
vereenvoudig gok verstandig
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
filter patroon kennis logisch nadenken
1. De familie Travels gaat met de mobilhome op reis naar het Gardameer. Ze moeten hiervoor minstens 1 250 km afleggen. Ze plannen om de heenreis te spreiden over drie dagen. Op dag 2 leggen ze 2 3 van het aantal kilometer van dag 1 af. Op de derde dag reizen ze 248 km minder dan de dag ervoor. Hoeveel kilometer moeten ze op de eerste dag minstens afleggen?
2. Uit een rechthoekig blad papier knip je een driehoek met zijden van 12 cm, 18 cm en 20 cm. Bereken de minimale oppervlakte van dit rechthoekig blad waaruit je deze driehoek kan knippen.
3. Voor een actie op school verkopen de leerlingen van het derde jaar pakjes wafels en doosjes potloden. Klas A verkoopt 32 pakjes wafels en 24 doosjes potloden. Dit levert 288 euro op. Klas B verkoopt 16 pakjes wafels en 35 doosjes potloden. De opbrengst van klas B is 282 euro. Wat is de prijs van een pakje wafels en een doosje potloden?
PIENTER REMEDIËREN
EXTRA LEERSTOF XL
Overzicht Extra Leerstof
(REEKS C)
❑ 7.7.3 Metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken 7
