Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 3.
Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.
Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.
Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 1 schooljaar. Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.
Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt uhen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Ook voor het onlinelesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot datmateriaalis persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uur.
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
x (h)5102050
y (l)3 0006 00012 00030 000
y x
8.1 Begripsvorming
Het quotiënt y x is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
8.1.1 Voorbeeld
Er geldt: y x =
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
Definitie Recht evenredig verband
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro per T-shirt: 8 euro
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
8.1 Begripsvorming
Je berekent de kostprijs voor10
y x = a ⇒ y = a x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0)
8.1.1 Voorbeeld
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
Formule Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor10
Grafiek van een recht evenredig verband
kostprijs (euro)
Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie
f (x) = 8x + 50.
De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1.
Je noemt f een eerstegraadsfunctie
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
8.1.2 Definitie
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x De grafiek is met evenredigheidsfactor
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (
is de functiewaarde van x dom f =
Besluit De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met evenredigheidsfactor a
is de functiewaarde van
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen.
Voorbeelden
Niet alle oefeningen zijn even moeilijk.
Oefeningen
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.
Je leert ook eigenschappen bewijzen.
Tegenvoorbeelden
Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie:
De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie:
voorschrift
REEKS A eenvoudige toepassingen
benamingtweedegraadsfunctiederdegraadsfunctieconstante functierationale functie PIENTER XL 3 – 5u I HOOFDSTUK 8 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 95
REEKS A 1 Bepaal a en b
REEKS B basisniveau
Tegenvoorbeelden
REEKS C verdiepingsniveau
De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie: voorschrift
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
2 Plaats een vinkje bij de voorschriften die horen bij een eerstegraadsfunctie.
In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
3 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.
R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.
STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties
8.1 Begripsvorming
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (
) = ax +
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band.
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong.
Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
EXTRA
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof.
KUNNEN
Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen.
De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.
PIENTER EN DIDDIT
Het onlineleerplatform bij Pienter
Materiaal
Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen.
Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.
Lesmateriaal
Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.
Oefeningen
• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
• Je kunt hier vrij oefenen.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
E-book
Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...
Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.
HOOFDSTUK 7 I GELIJKVORMIGHEID
7.1 Gelijkvormige figuren 8
7.2 Overeenkomstige hoeken en zijden 14
7.3 Gelijkvormigheidsfactor 17
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren 26
7.5 Gelijkvormigheid en transformaties 31
7.6 Gelijkvormige driehoeken 37
7.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken 61 Studiewijzer 87 Problemen uit JWO 90
7.1 Gelijkvormige figuren
7.1.1 Gelijkvormige vlakke figuren
figuur 1
figuur 2
figuur 3
figuur 4
figuur 5
figuur 6
Vergelijk de logo's met elkaar. Vink de juiste beweringen aan.
figuur 2 ten opzichte van figuur 1
figuur 3 ten opzichte van figuur 1
figuur 4 ten opzichte van figuur 1
figuur 5 ten opzichte van figuur 1
figuur 6 ten opzichte van figuur 1
❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm
Een pantograaf is een hulpmiddel bij het maken van tekeningen. Het is een verstelbaar parallellogram van hout, metaal of plastic. Een pantograaf wordt gebruikt om afbeeldingen vergroot of verkleind over te nemen.
Je volgt de omtrekken van de na te tekenen afbeelding met een stift. Een potlood, aan het andere uiteinde van het toestel, tekent de figuur vergroot of verkleind na.
7.1.2 Gelijkvormige ruimtefiguren
figuur 1
figuur 2
figuur 4
Vergelijk de balken met elkaar. Vink de juiste bewering(en) aan.
figuur 2 ten opzichte van figuur 1
figuur 3 ten opzichte van figuur 1
figuur 4 ten opzichte van figuur 1
figuur 5
figuur 3
figuur 5 ten opzichte van figuur 1
❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm ❒ zelfde vorm
16 åABC en åEFG zijn gelijkvormig.|AB | = 3 cm, |BC | = 4 cm en |AC | = 5 cm. |EF | = 2,5 cm, |FG | = 1,5 cm en |EG | = 2 cm.
a) Verbind de overeenkomstige zijden.
AB]
[EF]
b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.
17 åABC en åPQR zijn gelijkvormig.|AB | = 2 cm, |BC | = 1,4 cm en |AC | = 3 cm. |QR | = 4,5 cm, |PR | = 3 cm en |PQ | = 2,1 cm.
a) Verbind de overeenkomstige zijden.
[AB] • • [QR]
[BC] • • [PR]
[AC] • • [PQ]
18 Noteer de gelijkvormige rechthoeken.
b) Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden.
figuur is gelijkvormig met figuur
REEKS C
19 Bepaal zonder te meten de lengte van de ontbrekende zijde van de gelijkvormige rechthoek.
7.3 Gelijkvormigheidsfactor
7.3.1
De gelijkvormigheidsfactor
figuur 1
figuur 2
Figuur 2 is gelijkvormig met figuur 1. Bepaal de verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van figuur 2 ten opzichte van figuur 1. verhoudingen
De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is constant. Die constante noem je de gelijkvormigheidsfactor
Notatie: g = 1 2
figuur 2
figuur 3
figuur 4
Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1 F3 ten opzichte van F1 F4 ten opzichte van F1
❒ een vergroting
een vergroting
een vergroting ❒ een verkleining
een verkleining
een verkleining ❒ een congruente figuur
een congruente figuur
een congruente figuur
Besluit
• Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor
• Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor
• Hoe noem je figuren waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan 1?
7.3.2 Gelijkvormigheidsfactor en schaal
Een raam op een plan en het raam in werkelijkheid zijn gelijkvormige figuren.
Op een plan lees je de werkelijke afmetingen en de gehanteerde schaal. De schaal is de gelijkvormigheidsfactor van het getekende raam ten opzichte van het werkelijke raam.
delen door de schaal afmeting op tekening werkelijke afmeting vermenigvuldigen met de schaal
‘Gelijkvormigheidsfactor’ en ‘schaal’ hebben dezelfde betekenis.
Madurodam is een miniatuurstad in Den Haag (Nederland). Alle bouwsels zijn er op schaal 1 25 nagemaakt. Het park bestaat sinds 1952.
Er zijn gebouwen uit historische binnensteden, moderne woonwijken, havengebieden, een luchthaven, kanalen, wegen, landerijen, natuurgebieden en meer.
Oefeningen
REEKS A
20 Duidt de gelijkvormigheidsfactor een vergroting, een verkleining of een congruente figuur aan?
21 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van vierkant 2 ten opzichte van vierkant 1.
g = g = g =
22 Hieronder vind je een kaart op schaal 1 : 5 000 000. Bepaal de werkelijke afstanden.
op tekening in mm in werkelijkheid in km
a) Brussel – Antwerpen
b) Kortrijk – Gent
c) Luik – Hasselt
d) Brugge – Bergen
e) Namen – Bastenaken
23 Is åA9B9C9 een vergroting of verkleining van åABC ? Vul daarna de afmetingen van åA9B9C9 aan. g vergroting verkleining
REEKS B
24 Met welke driehoeken is driehoek 1 gelijkvormig? Vink aan.
Benoem ze, indien mogelijk, volgens afspraak.
Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van driehoek 1.
25 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van balk 1.
26 Werk de vierhoek A9B9C9D9 verder af zodat hij gelijkvormig is met de vierhoek ABCD Wat is de gelijkvormigheidsfactor?
Gelijkvormigheidsfactor: g =
27 Teken een figuur die gelijkvormig is aan de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor.
a) g = 4 3
b) g = 3 4
28 Op Pienterfoto.be kun je foto’s in verschillende formaten laten afdrukken. Welke formaten zijn volstrekt gelijkvormig?
formaat 98,9 cm × 13 cm
formaat 1010 cm × 15 cm
formaat 1312,7 cm × 19 cm
formaat 2020,3 cm × 30,4 cm
formaat 3030,2 cm × 45,3 cm
Formaat en formaat zijn volstrekt gelijkvormig.
29 Bij sommige beeldschermen is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4 : 3. Bij andere beeldschermen is die verhouding 16 : 9.
a)Zijn beide beeldschermen gelijkvormig? Verklaar je antwoord.
❒ ja ❒ nee
b)Bereken in beide gevallen de breedte van het beeldscherm met een hoogte van 36 cm.
30 De letters F zijn gedrukt in het lettertype ‘Arial’, maar in een verschillende puntgrootte. De puntgrootte staat onder de letter vermeld.
F F
F F
a)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van de letters F ten opzichte van de letter F met puntgrootte 24.
b)Noteer het verband tussen de puntgrootte en de gelijkvormigheidsfactor.
31 Gegeven zijn de lengtes in werkelijkheid. Met welke balk(en) is B 1 gelijkvormig? Vink aan. Bereken daarna, indien mogelijk, de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van B 1
32 Noteer voor de gegeven schaallijnen de gelijkvormigheidsfactor van de tekening op schaal ten opzichte van de werkelijkheid.
a) 0 10 20 30 40 50 cm
b) 0 1 2 3 4 5 km
c) 0 25 50 75 100 125 m
33 Noteer voor het stratenplan de gelijkvormigheidsfactor ten opzichte van de werkelijkheid. Bepaal ook de werkelijke lengte van de Dweersstraat.
a) Gelijkvormigheidsfactor:
b) Werkelijke lengte van de Dweersstraat:
34 Madurodam is een Nederlandse miniatuurstad in Den Haag. Alle maquettes in Madurodam zijn op schaal 1 25 .
a)Het Koninklijk Paleis is een paleis op de Dam in de binnenstad van Amsterdam. Als je weet dat het paleis 52 m hoog is, hoe hoog is het schaalmodel in Madurodam dan?
b) De Erasmusbrug is een brug over de Nieuwe Maas in de haven van Rotterdam. Het schaalmodel in Madurodam heeft een hoogte van 5,56 m. Wat is de werkelijke hoogte van de Erasmusbrug?
c)Een vliegtuig van de Nederlandse luchtvaartmaatschappij KLM meet 2,8 m in Madurodam. Hoe lang is dat vliegtuig in werkelijkheid?
d)Hoe groot zou een maquette van jou in Madurodam zijn?
• Werkelijke lengte: cm
• Lengte in Madurodam: cm
35 Om een nieuwe vloer te leggen, gebruikt de tegellegger vier soorten tegels. De tegels worden in een bepaald patroon gelegd, zoals afgebeeld.
a)Noteer voor elke soort tegel de afmeting op de tekening van het legpatroon.
c)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor(en) van de gelijkvormige tegels.
36 Op het grondplan hieronder staan de exacte afmetingen in cm vermeld.
Volgens welke schaal werd het grondplan getekend? Welke afmeting op de tekening klopt niet met de verkregen schaal?
Een figuur schalen
Heb je een figuur ingevoegd in een Worddocument, dan kun je via Grootte en positie – Formaat die figuur schalen. Let er daarbij op dat de hoogte-breedteverhouding altijd vergrendeld is.
37 Een figuur van 45 mm bij 30 mm wordt in een Worddocument ingevoegd. Je schaalt de figuur, zodat de afmetingen 54 mm bij 36 mm worden. Bepaal de schaal in procent.
REEKS C
38 Teken een doorsnede van de piramide die gelijkvormig is met de gegeven doorsnede. De gelijkvormigheidsfactor is 0,75.
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren
Een kubus wordt vergroot met gelijkvormigheidsfactor 4.
Bereken de omtrek (P) van beide voorvlakken.
Formule: P =
oppervlakte volume
Bereken de oppervlakte (A) van beide voorvlakken.
Formule: A =
Bereken het volume (V ) van beide kubussen.
Formule: V =
Bereken de verhouding.Bereken de verhouding.Bereken de verhouding.
omtrek F2 omtrek F1 = = oppervlakte F2 oppervlakte F1 =
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
volume F2 volume F1 = =
Vergelijk die waarde met g De verhouding is
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de omtrek vermenigvuldigd
met factor
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor
Bij een verkleining of vergroting met factor g wordt het volume vermenigvuldigd
met factor
Oefeningen
REEKS A
39 De vloer van onze klas en de vloer van de eetzaal zijn gelijkvormig.
De vloer van de klas meet 6 m bij 5 m.
Als je de vloer met gelijkvormigheidsfactor 3 vergroot, dan is hij even groot als die van de eetzaal.
Bepaal op twee manieren de oppervlakte van de eetzaal.
Lengte eetzaal:
Breedte eetzaal:
Aeetzaal :
40 De omtrek van een minivoetbalveld is 85 meter.
Aklas :
Aeetzaal :
De gelijkvormigheidsfactor van het grote voetbalveld ten opzichte van het minivoetbalveld is 4.
Wat is de omtrek van het grote voetbalveld?
41 De oppervlakte van een rechthoekig schoolbord bedraagt 3 m2
De gelijkvormigheidsfactor van een tweede schoolbord ten opzichte van het gegeven schoolbord is 2.
Wat is de oppervlakte van het gelijkvormige tweede schoolbord?
42 Een terras is samengesteld uit twee soorten vloertegels die gelijkvormig zijn.
Een tegel van de eerste soort heeft een oppervlakte van 9 dm2.
De gelijkvormigheidsfactor van de tweede soort tegels ten opzichte van de eerste soort bedraagt 1 2 .
Bepaal de oppervlakte van een tegel van de tweede soort.
43 Een balkvormig flatgebouw met een breedte van 12,5 m, een lengte van 25 m en een hoogte van 50 m wordt nagebouwd op schaal 1 : 25. Vul de tabel verder aan. flatgebouw in werkelijkheid flatgebouw op schaal
lengte
breedte
hoogte
volume
44 Het volume van een balk is 40 cm3
De gelijkvormigheidsfactor van een andere balk ten opzichte van de gegeven balk is 3. Wat is het volume van de gelijkvormige balk?
REEKS B
45 Een landbouwer heeft voor het ploegen van een vierkant stuk grond met zijde 100 m 4 uur werk. Hoeveel uur heeft hij nodig om zijn vierkant stuk grond met zijde 200 m te ploegen?
46 Van twee gelijkvormige stukken land verhouden de lengten zich als 1,5 tot 5.
De breedte van het tweede stuk is 15 m en de lengte van het eerste stuk is 9 m.
Bepaal de oppervlakte van de beide stukken.
47 Een olifant heeft gemiddeld een volume van 4 m3. Op het bureau van de directeur van de zoo staat een model op schaal 1 : 20. Hoeveel liter inhoud heeft het schaalmodel?
48 Hieronder vind je een beelddiagram dat het jaarlijkse verbruik van stookolie van het gezin Pieters voorstelt. Begin 2023 lieten ze hun woning beter isoleren. De hoogte van de vaten geeft de hoeveelheid stookolie aan die het gezin voor die jaren nodig had.
3 000 l
a)Schat het aantal liter stookolie dat het gezin in 2023 verbruikt heeft:
b) Bereken het aantal liter stookolie dat het gezin in 2023 verbruikt heeft aan de hand van de hoogte van de vaten.
c)Door wie zal zo'n beelddiagram waarschijnlijk opgesteld zijn? Verklaar je keuze.
❒ voorstanders van isolatie ❒ tegenstanders van isolatie
Verklaring:
49 Gegeven: åQRS ∼ åPQU ∼ åPRT. De oppervlakte van åQRS is 2,4. QSTU is een ruit.
a)Bereken de oppervlakte van åPQU
b)Bereken de oppervlakte van åPRT
REEKS C
50 Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.
In een Frans dorpje wordt een wijnfeest gevierd. Hun typische wijnglas is kegelvormig. met een hoogte van 15 cm en een inhoud van 170 cm3 Men maakt daarvan een gigantisch schaalmodel met als hoogte 1,5 m. Wat is de inhoud van het schaalmodel?
VWO, editie 2006, eerste ronde
17 m3 0,001 7 m3 0,017 m3 0,17 m3 1,7 m3
51 Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.
Driehoek ABC is rechthoekig in B en zijde [AB] heeft lengte 3. Door een punt P op de zijde [AB] trekt men een rechte evenwijdig aan BC die [AC] snijdt in Q. Als de oppervlakte van het trapezium PBCQ tweemaal zo groot is als die van de driehoek PQA, hoe lang is dan [AP]?
VWO, editie 2002, tweede ronde
ABP Q
7.5 Gelijkvormigheid en transformaties
7.5.1 Homothetie
GEOGEBRA
Door middel van rechten door een centrum O is het logo F1 getransformeerd in het logo F2
Daardoor ontstaan gelijkvormige figuren. Die transformatie noem je een homothetie
Je zegt dat F2 het homothetiebeeld is van F1
Factor van de homothetie
|OA9| = 2 ? |OA||
9| = 2
Bij de homothetie van het logo is de factor 2.
Notatie: h(O, 2) (F1) = F2
De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1
Besluit De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor.
Homothetiebeeld van een punt
Bepaal het beeld P9 van het punt P door een homothetie bepaald door het centrum O en met factor 3.
Werkwijze
stap 1: Teken de halfrechte [OP.
stap 2: Teken het punt P9 op [OP, zodat |OP9| = 3 |OP|.
Homothetie: een vergroting of een verkleining
h(O, 2)(F1) = F2 en h O 1 2 (F1) = F3
F2 F1 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F2 ten opzichte van F1 g =
F3 F1 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van F3 ten opzichte van F1 g =
7.5.2 Transformaties en gelijkvormige figuren
Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie levert een gelijkvormige figuur op.
GEOGEBRA
Voorbeeld
• s a(F1) = F2
• r(A, 45°)(F2) = F3
• t CD(F3) = F4
• h(B, 3)(F4) = F5
Oefeningen
REEKS A
52 Vul de naam van de figuur in.
a) h(O, 2)(F3) = d) h O, 1 2 (F5) =
b) h(O, 3)(F1) = e) h O, 3 4 (F3) =
c) h(O, 2)(F2) = f) h O, 4 3 (F2) =
REEKS B
53 Bepaal het beeld van åABC door de homothetie.
a) h(O, 2)(åABC) = åA9B 9C 9 b) h(O; 0,5)(åABC) = åA 0B 0C 0
54 F2 is het homothetiebeeld van F1. Bepaal het centrum van de homothetie.
1
55 Onderstaande figuur bestaat uit gelijkvormige driehoeken. Vul aan.
a) h(A, 2)(I) = f) h( , 4)([CE]) =
b) h H, 1 2 ([JL]) = g) h( , )(åBIF) = åCLE
c) h(B, 2)(åBLK) = h) h(E, 3)([EL]) =
d) h(A, )(J) = G
e) h( , )([BI]) = [LM ]
i) h( , 3)(B) = A
j) h(L, 2)( ) = [JH ]
56 Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.
a)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W1 g =
b)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W1 g =
c)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W3 ten opzichte van W2 g =
d)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W4 ten opzichte van W2. g =
e)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W2 ten opzichte van W5 g =
f)Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van W1 ten opzichte van W4 g =
57 De kleine kaart van België is op schaal 1 : 7 500 000. Bepaal de schaal van de grote kaart van België.
Schaal grote kaart:
58 Voer achtereenvolgens de transformaties uit, zodat F1 op F4 wordt afgebeeld. t
59 Door een aantal opeenvolgende transformaties wordt F1 op F2 afgebeeld. Bepaal die opeenvolgende transformaties in de juiste volgorde en vind zo het codewoord.
Codewoord:
7.6 Gelijkvormige driehoeken
7.6.1 Inleiding
Definitie
Peter Raedschelders is een kunstenaar die vaak gebruikmaakt van gelijkvormige figuren. GEOGEBRA
• Welke driehoeken zijn gelijkvormig?
• Welke hoeken zijn even groot?
• Welke zijden zijn evenredig? = =
• Welke gelijkvormigheidsfactor hoort bij de gelijkvormige driehoeken?
Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.
Notatie
Kunstenaars gebruiken vaak gelijkvormige figuren. Zo herken je in het afgebeelde kunstwerkje heel wat gelijkvormige figuren.
7.6.2 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken
Op onderzoek
Een driehoek tekenen die gelijkvormig is aan een gegeven driehoek, kun je door gegevens te meten en af te passen. Onderzoek hoeveel gegevens je minimaal nodig hebt.
Teken åPQR die gelijkvormig is met åP 9Q 9R 9 met gelijkvormigheidsfactor 3 4
Oefeningen
REEKS A
64 Teken åDEF die gelijkvormig is met åABC. Gebruik daarvoor de gegevens van de tekening en de gegeven gelijkvormigheidsfactor. Vermeld het gelijkvormigheidskenmerk.
a) g = 0,5
gelijkvormigheidskenmerk:
b) g = 2
c)
gelijkvormigheidskenmerk:
1,5
gelijkvormigheidskenmerk:
d) g = 0,75
gelijkvormigheidskenmerk:
REEKS B
65 Teken åDEF die gelijkvormig is met åABC. Vermeld het gebruikte gelijkvormigheidskenmerk.
a)|AB | = 25 mm|BC | = 12 mm
|AC | = 18 mm g = 2
c)|AB | = 16 m |BC | = 12 m
|AC | = 20 m g = 1 400
gelijkvormigheidskenmerk:
b)|AB | = 18 cm|BC | = 24 cm
gelijkvormigheidskenmerk:
d) rechthoekige åABC met rechthoekszijden van 245 cm en 190 cm ^ B = 84º g = 1 6 g = 0,02
gelijkvormigheidskenmerk:
REEKS C
gelijkvormigheidskenmerk:
66 Teken de Bermudadriehoek op de kaart met schaal 1 : 15 000 000. Bepaal ook de schaal van kaart 1.
B kaart 1
kaart 2
Oceaan
schaal 1 : 15 000 000
7.6.4 Bewijzen met gelijkvormigheidskenmerken
Inleiding
• In åABC teken je een evenwijdige met de zijde [AC]. Die evenwijdige snijdt [AB] in D en [BC] in E
• De tabel toont alle hoeken en zijden van åABC en åDBE åABC åDBE
|AB | = 46 mm ^ A = 68º |DB | = 35 mm ^ D = 68º
|BC | = 50 mm ^ B = 54°|BE | = 38 mm ^ B = 54°
|AC | = 44 mm ^ C = 58°|DE | = 34 mm ^ E = 58°
• Zijn åABC en åDBE gelijkvormig? Verklaar je antwoord.
Gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen
Meetresultaten volstaan niet om te besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Je bewijst de gelijkvormigheid van driehoeken aan de hand van wiskundige eigenschappen en de gelijkvormigheidskenmerken.
tekening gegeven
åABC: DE // AC
D is het snijpunt van [AB] en DE E is het snijpunt van [BC] en DE
te bewijzen
åABC åDBE
bewijs
å en å gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is åABC åDBE
Gelijkheid van hoeken bewijzen
tekening
bewijs
å en å
gegeven |AD | = |DE | = |EF | = |FB | en |AG | = |GH | = |HI | = |IC | te bewijzen ^ D = ^ B
gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒ ^ D = ^ B
Evenredigheid van lengten bewijzen
tekening gegeven Q aT R S P PQ ⊥ a en ST ⊥ a R is het snijpunt van PS en a te bewijzen = PQ ST RQ RT
bewijs
å en å
gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒ = PQ ST RQ RT
Oefeningen
REEKS A
67 Bewijs.
tekening
bewijs
å en å
gegeven
C is het snijpunt van [AD] en [BE]. |AC | = |BC | en |CE | = |CD | te bewijzen
åABC åDEC
gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is åABC åDEC
68 Bewijs.
tekening A BC P Q D S R gegeven
bewijs
rechthoek ABCD: PQ // RS te bewijzen åPBQ åSDR
å en å gelijkvormigheidskenmerk:
besluit
Volgens kenmerk is åPBQ åSDR
69 Bewijs.
tekening
gegeven
TL en UK zijn hoogtelijnen in åTUF. te bewijzen ^ T = ^ U
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒
70 Bewijs.
tekening
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒
gegeven
parallellogram KROM: OP ⊥ KR en KL ⊥ RO te bewijzen | KR | | PR | = | RO | |RL |
71 Bewijs.
tekening gegeven
parallellogram BOEK:
L is het snijpunt van BL en OE
S is het snijpunt van OK en BL te bewijzen = OS KS LS BS
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å
def. å ⇒
72 Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als ze even grote tophoeken hebben. Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å
73 Twee loodlijnen, elk op een van de benen van een hoek, vormen dezelfde hoek met de deellijn van de hoek. Bewijs.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒
74 In een scherphoekige åABC snijden de hoogtelijnen uit B en C elkaar. Bewijs dat de kleinste hoek die ze met elkaar vormen, gelijk is aan de hoek ^ A.
tekening gegeven te bewijzen
bewijs
besluit
Volgens kenmerk is å å def. å ⇒
REEKS C
75 In een driehoek verdeelt de bissectrice van een hoek de overstaande zijde in stukken die evenredig zijn met de aanliggende zijden. Bewijs. tekening
gegeven
åABC: b is bissectrice van ^ B en snijdt AC in S te bewijzen bewijs
• Construeer een evenwijdige aan BC door het punt A
• Gelijkvormige driehoeken: besluit
7.6.5 Rekenen in gelijkvormige driehoeken
Aan de hand van gelijkvormige driehoeken kun je onbekende zijden in driehoeken berekenen.
Werkwijze
• Bepaal twee driehoeken die gelijkvormig zijn.
• Indien nodig bewijs je de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Stel een evenredigheid op met de onbekende en bekende zijden van de gelijkvormige driehoeken.
• Bereken de onbekende uit de evenredigheid.
Modeloefening 1
• åABC åPQR • Bereken x en y x 21 = 10 15 ⇔ x = 10 21 15 = 14 = ⇔ y =
Modeloefening 2
Een lantaarnpaal van 4 m heeft een schaduw van 6 m.
Op hetzelfde ogenblik heeft een windmolen
een schaduw van 42 m.
Bepaal de hoogte van de windmolen.
• Bewijs: å en å gelijkvormigheidskenmerk:
Volgens kenmerk is å å
• Berekening:
• Antwoord:
Oefeningen
REEKS A
76 Gegeven: åABC ~ åDEF Bereken het gevraagde maatgetal van de lengte van de zijde op 0,01 nauwkeurig.
77 In Tokyo staat een wolkenkrabber met een gevel in de vorm van een rechthoekige driehoek. Het gebouw is 124 m hoog en 85 m breed. Bereken de hoogte van het gebouw in miniatuur als de breedte in miniatuurbouw 17 cm bedraagt. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.
78 Noah wil een driehoekige tafel namaken met dezelfde vorm als de tafel op de foto. Bereken de lengte van de rechthoekszijden van het tafelblad als de schuine zijde 120 cm moet bedragen. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.
79 Gegeven: åABC ~ åDEF
Bereken de ontbrekende maatgetallen van de lengten van de zijden op 0,01 nauwkeurig.
80 Aïda volgt een cursus om kaarsen te gieten.
Ze maakt een kaars in de vorm van een piramide met een driehoekig grondvlak.
De kaars brandt erg gelijkmatig en na een aantal uur is het bovenvlak vandekaars een driehoek die gelijkvormig is met het grondvlak.
De langste zijde van het driehoekige bovenvlak van de kaars meet nu 54 mm.
Bepaal de afmetingen x en y van de overblijvende zijden van het bovenvlak.
Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.
81 Een doorsnede van een balk levert åABC op.
Op de balk is al een zijde van åDEF van een gelijkvormige doorsnede aangeduid.
Gegeven: |AB | = 18,4 cm | DE | = 6,8 cm | AC | = 16,6 cm | BC | = 14,4 cm
a)Vervolledig de doorsnede åDEF die gelijkvormig is met åABC op de tekening.
b) Bereken de lengten van de zijden [DF ] en [EF ]. Bepaal de lengte op 0,1 cm nauwkeurig.
82 Louis is 1,68 m groot en heeft een schaduw van 2,40 m.
Op hetzelfde tijdstip heeft een boom een schaduw van 6,80 m.
Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
83 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
Gegeven: BC ⊥ AC en BC ⊥ BD, AB // DE
• Bewijs:
• Berekening:
84 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x op 0,01 nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
D E 36 24 42 43 x
• Bewijs:
• Berekening:
85 Bepaal aan de hand van gelijkvormige driehoeken de ontbrekende lengte x Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
De cirkels c1 en c2 hebben hetzelfde middelpunt O
De straal van c1 is 12 en wordt met 18 vergroot om c2 te tekenen.
• Bewijs:
• Berekening:
86 Bereken de ontbrekende afstand op de lange band van een pooltafel op 1 mm nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
87 Een weg stijgt 40 m over een afstand van 1,250 km. Hoeveel meter moet je op die weg afleggen om 15 m te stijgen? Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
REEKS C
88 Loodrecht op de oevers wordt over een 11 m breed kanaal een touw gespannen. Aan het touw is een boei bevestigd. Als Dieter zich aan de ene kant van het kanaal langs de oever 7 m van het touw verwijdert en Ruben verwijdert zich in tegengestelde zin aan de overkant van het kanaal 3 m van het touw, dan ziet Dieter Ruben en de boei op één lijn.
Hoe ver is de boei van beide oevers verwijderd? Bepaal je antwoord op 0,1 m nauwkeurig. Bewijs eerst de gelijkvormigheid van de driehoeken.
• Bewijs:
• Berekening:
89 Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.
In een parallellogram ABCD verbindt men het hoekpunt B met het punt E op de zijde [AD], zodat | AE | = 1 4 | AD |.
Het lijnstuk [BE] snijdt de diagonaal [AC ] in het punt F
De verhouding AF AC is dan …
VWO, editie 2003, eerste ronde A
90 Gegeven: rechthoek ABCD. Het punt E is het midden van [AB]. Bereken |EF| op 0,01 nauwkeurig.
91 Gegeven: een balk. Bereken | PG | op 0,01 nauwkeurig.
7.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken
7.7.1 De stelling van Thales
Evenwijdige projectie
In de zomer is spelen met de frisbee op het strand een populaire activiteit.
De zon zorgt voor een schaduw van de frisbee op het zand. De frisbee wordt als het ware op het zand geprojecteerd.
Als je veronderstelt dat de zonnestralen evenwijdig op de frisbee invallen, kun je dat een evenwijdige of parallelle projectie noemen.
Bij evenwijdige of parallelle projectie worden de punten geprojecteerd op de projectieas (a) evenwijdig met een gegeven rechte (b). Die rechte geeft de projectierichting aan.
Notatie: pa b (A) = A9
Lees: Het beeld van het punt A door de evenwijdige projectie volgens de projectierichting b op de projectieas a is het punt A9 Vul in.
Voer de evenwijdige projecties uit en vul in.
Opmerking
Bij loodrechte of orthogonale projectie worden de punten loodrecht op de projectieas (a) geprojecteerd.
Notatie: pa (A) = A9
Eigenschap
• Bepaal de gevraagde verhoudingen. Bepaal je antwoord op 0,1 nauwkeurig.
• Wat stel je vast?
Eigenschap Evenwijdige projectie van evenwijdige lijnstukken
Bij evenwijdige lijnstukken die niet evenwijdig zijn met de projectierichting, zijn de verhoudingen van de lengten van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.
Het is onmogelijk om de bolvormige aarde perfect weer te geven op een kaart in een atlas.
Bij de projectie van een bol op een vlak treden altijd vervormingen op.
De eerste poging kwam van onze landgenoot Mercator (16e eeuw). Zijn projectie noem je conform of hoekgetrouw. De oppervlakten zijn echter niet betrouwbaar. Hoe dichter je bij de polen komt, hoe groter de vervormingen.
Na Mercator zijn er nog verschillende methodes ontwikkeld, maar ze hebben allemaal hunnadelen. Afhankelijk van het doel van de kaart is de ene of de andere projectie meer of mindergeschikt.
Op onderzoek
De rechten a en b worden gesneden door de evenwijdigen c, d en e Bereken de verhoudingen van de gevraagde lijnstukken.
Thales van Milete werd omstreeks 624 voor Christus geboren. Zijn ouders behoorden in Milete tot de welgestelde en geziene burgerij, waarschijnlijk waren het rijke kooplieden.
Alles wat van Thales bekend is, komt uit ‘tweede hand’, dus afkomstig van mensen die over hem schreven. Thales wordt gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Een van de grootste verdiensten van Thales was dat hij als eerste niet alleen praktische problemen probeerde op te lossen, maar juist algemene achterliggende principes probeerde te ontdekken.
• Thales voorspelde de zonsverduistering van 585 v.Chr.
• Thales kon de hoogte van de piramides bepalen door de lengte van hun schaduw te meten op het moment dat de zon zo staat dat iemands schaduw gelijk is aan zijn lengte.
• Thales kon de afstand van een schip tot de kust berekenen.
Stelling
De stelling van Thales formuleren
Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af.
In symbolen: AB DE = BC EF
De stelling van Thales bewijzen
tekening gegeven
a en b gesneden door een aantal evenwijdigen (c // d // e):
a snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk A, B en C ; b snijdt de rechten c, d en e in respectievelijk D, E en F te bewijzen
AB DE = BC EF
bewijs
1) Constructie:
• tAD → ([ AB ]) = [ DG ]
• t BE → ([ BC ]) = [ EH ]
2) Bewijs dat åDEG åEFH:
åDEG en åEFH gelijkvormigheidskenmerk: HH
^ E1 = ^ F
^ D = ^ E2
overeenkomstige hoeken bij zijn gelijk
overeenkomstige hoeken bij zijn gelijk een verschuiving behoudt de evenwijdigheid
Volgens kenmerk HH is åDEG åEFH def. å ⇒
3) Bewijs de evenredigheid:
besluit
AB DE = BC EF
(Een verschuiving behoudt de lengte.)
Besluit
De stelling van Thales in een driehoek
Teken een rechte a evenwijdig met de zijde [ AC ] van åABC Bereken de verhoudingen.
28 mm
Wat stel je vast?
Verhoudingen:
Stelling
Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere twee zijden in evenredige lijnstukken.
In symbolen: BD BE = AD CE
Rekenen met de stelling van Thales
Bepaal de onbekende lengte op 0,01 mm nauwkeurig.
De omgekeerde stelling van Thales
Rechten die van twee rechten evenredige lijnstukken afsnijden, zijn evenwijdig.
REEKS A
92 Voer de evenwijdige projecties uit en vul in. a b
93 Vul de gegeven evenredigheden in. JB // KC // LH // MI
94 Bepaal de onbekende lengte x op 0,01 nauwkeurig als je weet dat a // b // c.
REEKS B
95 Teken åABC als
p x y (A) = p x y (C) = P, p x y (B) = Q
p y x (A) = p y x (B) = R, p y x (C) = S
x y
96 [ DE ], [ EF ] en [ DF ] zijn middenparallellen in åABC Vul in.
a) pAFAD (B)=
d) pAD FC ([DE ]) = g) pBC AF ( ) = E
b) pAB AC (D)=
e) pAC EF (åDBE)=
h) pACBD ( ) = [ AF ]
c) pBCAD ([DF ]) =
f) pDB AC (åDEF)= i) pBC (åFEC) = [ EC ]
97 Teken een parallellogram ABCD dat als beeld [ XY ] heeft door de evenwijdige projectie op de rechte m volgens AX
98 Ga aan de hand van de gegeven lengten na welke rechten evenwijdig zijn.
99 De rechte a is evenwijdig met een zijde van åPQR. Bepaal de lengte x op 0,1 nauwkeurig. a)
100 Bepaal de onbekende lengten x en y op 0,01 nauwkeurig, als je weet dat a b c d.
101 In welke van de volgende situaties is de rechte p evenwijdig met een zijde van åDAK?
Bepaal je antwoord aan de hand van de gegeven lengten op de tekening.
102 DE AC
Bepaal de lengte van de zijde [ AB ] van åABC op 0,01 nauwkeurig.
103 Een boom heeft een schaduw van 21 m, terwijl een jongen van 1,62 m op hetzelfde moment een schaduw heeft van 2,10 m.
Bepaal de hoogte van de boom op 0,01 m nauwkeurig.
104 Wat is vergankelijker dan een schaduw?
Thales mat de schaduw van de piramide van Cheops ... en werd onsterfelijk.
De vader van Thales was een koopman en soms mocht zijn zoontje mee op reis, bijvoorbeeld naar Egypte. Thales bewonderde daar de piramide van Cheops en een van de priesters vroeg hem: ‘Weet je hoe hoog die piramide is?’ ‘Ik denk het wel’, zei Thales. Hij ging op de grond liggen en maakte twee streepjes in het zand, een aan zijn hoofd en een aan zijn voet.
Daarna stond hij op en verbond beide streepjes door een rechte lijn. ‘Ik zal nu gaan staan aan het uiteinde van deze lijn, die net zo lang is als ik groot ben. Dan zal ik wachten tot mijn schaduw even lang is. Op datzelfde ogenblik zal de schaduw van de piramide even lang zijn als de piramide groot is.’
Wat was de hoogte die Thales op die manier mat, als je weet dat de basis van de piramide 231,92 m en de lengte van de schaduw van de piramide vanaf de voet van de piramide 31,5 m is?
105 De horizontale planken bij het onderstaande poortje zijn evenwijdig. Bereken de ontbrekende lengte x op 0,01 cm nauwkeurig.
106 Bepaal de onbekende x, als je weet dat a b c.
REEKS C
107 In åPQR is ST // PR T verdeelt [QR ] in twee stukken die zich verhouden als 2 3
Bepaal de lengte van de zijde [PQ ] aan de hand van de gegevens op de tekening.
108 Een piramide wordt gesneden door evenwijdige vlakken.
Bepaal de gevraagde lengten a, b, c en d op de ribben op 0,01 nauwkeurig.
109 Gegeven: | OE | = 4,44, | OF | = 4,95, | EC | = 5,55 en | DB | = 5,71.
Bepaal de lengten | OD | en | AC | op 0,01 nauwkeurig.
Norman Woodland kan als grondlegger van de streepjescode worden beschouwd. Hij zag het belang in van eenvoudige coderingen om gegevens automatisch te verwerken.
In 1973 stelde hij de twaalfcijferige Universal Product Code (UPC) samen.
De streepjescode wordt gelezen met laserlijnen en de kassa geeft ogenblikkelijk de prijs.
De bundel evenwijdige strepen bepaalt evenredige lengten op de snijlijnen.
Bijgevolg speelt de leesrichting door de laserlijnen geen rol.
Noteer de evenredigheid van lengten bij de afbeelding van de streepjescode.
110 ABCD is een rechthoek. EG // AB.
Bereken de lengte | AF | aan de hand van de gegevens op de tekening.
Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig. AD B G EC F 23
111 Los op zonder rekenmachine en zet een vinkje boven de juiste oplossing.
Op de zijde [ BC ] van een parallellogram ABCD neem je het punt M, zodat | BM | = 0,1 ? | MC |.
Op de zijde [ AD ] neem je het punt N zodat | AN | = 10 | ND |. De rechten BN en MD snijden AC in E en F
Bepaal AC EF
VWO, editie 1997, eerste ronde AND BMC E F
112 Gegeven: åABC, rechte b door B
Teken c // AB door C waarbij c b = {D}.
Teken d // BC door D waarbij d AC = {E}.
AC b = {F}.
Toon aan dat [FC] middelevenredige is van [FE] en [FA].
113 Gegeven: nABC, BD // EF en ED // BC.
Toon aan dat [AD] middelevenredige is van [AF] en [AC].
Constructies
7.7.2 Metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken
Op onderzoek
Naast de stelling van Pythagoras gelden in een rechthoekige driehoek nog andere stellingen. Je gaat op zoek naar de ‘metrische betrekkingen’ of ‘projectiestellingen’
In åABC, rechthoekig in B, is [BD ] de hoogtelijn op de schuine zijde.
In de tabel vind je de lengten uitgedrukt in mm.
Voer de gevraagde berekeningen uit met de gegeven lengten.
Wat stel je vast?
Stelling 1
Stelling In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin die hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.
Bewijs de stelling aan de hand van gelijkvormige driehoeken.
tekening gegeven
(met ^ B = 90º)
te bewijzen
bewijs
å en å gelijkvormigheidskenmerk:
Volgens kenmerk is å ∼ å def. å
Andere formulering van de stelling: In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin die hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.
Stelling 2
Stelling In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.
Bewijs de stelling voor een van de rechthoekszijden aan de hand van gelijkvormige driehoeken. Het bewijs voor de andere rechthoekszijde verloopt op een analoge manier. tekening gegeven
ABC (met ^ B = 90º)
bewijs
å en å gelijkvormigheidskenmerk:
Volgens kenmerk
Andere formulering van de stelling:
In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.
Oefeningen
REEKS A
114 Duid de figuren aan waarin beide uitdrukkingen van toepassing zijn. | QR | 2 = | PQ | ? | QS | en |RS| 2 = | QS | ? | PS |
115 Bereken de gevraagde lengte.
REEKS B
116 Bereken de gevraagde lengte op 0,01 nauwkeurig.
118 Bereken de oppervlakte van åGOK aan de hand van de gegevens op de tekening. Bepaal je antwoord op 0,01 nauwkeurig.
119 Bepaal x.
120 Een piramidevormige kaars heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 8 cm. De afstand van de top tot het midden van een zijde van het grondvlak is 10 cm. Je boort een gaatje loodrecht in een zijvlak van de piramide.
a) Op welke afstand van de top van de piramide moet je het gaatje boren als je in het midden van het grondvlak wilt uitkomen?
b) Bepaal de minimumlengte van de boor die je daarvoor moet gebruiken.
7.7.3 Middenparallel van een driehoek
Definitie
Definitie Middenparallel van een driehoek
Om een dakconstructie te verstevigen, bevestigt men een houten tussenbalk [RS ].
Meet [AR], [RB], [AS] en [SC].
| AR |= mm
| RB |= mm
| AS |= mm
| SC |= mm
Dat tussenschot [RS] verbindt de middens van de zijden [AB] en [AC] van åABC
[RS] noem je een middenparallel van åABC
Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk datdemiddens van twee zijden van een driehoek metelkaarverbindt.
Eigenschap
1) Meet op de afgebeelde dakconstructie de zijde [BC ] en de middenparallel [RS ].
| BC | = mm | RS | = mm
Wat stel je vast?
2)Wat is de onderlinge ligging van de rechten BC en RS?
Eigenschap
Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek enhalfzolangals die zijde.
Die eigenschap kun je bewijzen met gelijkvormige driehoeken.
Bewijs
tekening
bewijs
besluit
gegeven
ABC met middenparallel [RS] te bewijzen
Oefeningen
REEKS A
121 Teken van åABC alle middenparallellen. Duid de even lange lijnstukken aan met hetzelfde merkteken.
122 [PQ], [QR] en [PR] zijn middenparallellen in åABC
Bepaal de gevraagde lengten.
a)|AB |= 9, |BC | = 6 en |PQ | = 4
b)|AP |= 12, |BC | = 12 en |PQ | = 10
|PR | =
|QR | =
|AC | =
|AR | =
|PR | =
|QR | =
123 Om een schommel te verstevigen, verbind je de middens van de opstaande palen.
Teken dat tussenstuk op het zijaanzicht van de schommel.
Bepaal de lengte van dat tussenstuk als de palen op de grond 2,4 m uit elkaar staan.
zijaanzicht: lengte tussenstuk:
124 Bij een openstaande ladder verbindt een tussenstuk de middens van de twee ladderdelen met elkaar.
REEKS B
a) Hoe ver staan de twee ladderdelen uit elkaar op de grond als het tussenstuk 80 cm lang is?
b) Hoe lang is het tussenstuk als de ladderdelen op de grond 1,28 m uit elkaar staan?
De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) tekende in 1916 de naar hem genoemde Sierpinski-driehoek. Begin met een driehoek en neem van elke zijde het midden. Die punten verbind je, zodat je een nieuwe driehoek krijgt. Die nieuwe driehoek snijd je weg uit de eerste grote driehoek. In de zo ontstane drie driehoeken pas je die werkwijze opnieuw toe. Op die manier worden er achtereenvolgens 3, 9, 27, 81, 243, 729 ... driehoeken gecreëerd.
125 Teken een Sierpinski-driehoek op basis van de gegeven driehoek. Eindig bij 27 congruente driehoeken.
126 åPQR is de driehoek gevormd door de middenparallellen van de rechthoekige åABC | AB | = 8, | AC | = 6 en | BC | = 10
AC B PQ R
a)Bepaal de omtrek van åABC en åPQR
b) Wat is het verband tussen de omtrek van åABC en åPQR? Verklaar je antwoord.
c) Bepaal de oppervlakte van åABC en åPQR
d) Wat is het verband tussen de oppervlakte van åABC en åPQR? Verklaar je antwoord.
127 De drie middenparallellen verdelen een driehoek in vier congruente driehoeken. Bewijs de congruentie van twee van die driehoeken.
tekening
gegeven
[PQ ], [QR ] en [RP ] zijn middenparallellen in åABC te bewijzen
bewijs
besluit
STUDIEWIJZER Gelijkvormigheid
7.1 Gelijkvormige figuren
KENNEN
Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een schaalmodel is van de andere.
KUNNEN
Gelijkvormige vlakke figuren aanduiden.
Gelijkvormige ruimtefiguren aanduiden.
7.2 Overeenkomstige hoeken en zijden
KENNEN
In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige hoeken even groot.
In gelijkvormige figuren zijn overeenkomstige zijden evenredig.
KUNNEN
Overeenkomstige hoeken en zijden in gelijkvormige figuren aanduiden.
De verhouding van de lengten van de overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren is de gelijkvormigheidsfactor.
Bij een verkleining is de gelijkvormigheidsfactor kleiner dan 1.
Bij een vergroting is de gelijkvormigheidsfactor groter dan 1.
Bij congruente figuren is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1.
Gelijkvormigheidsfactor en schaal hebben dezelfde betekenis.
KUNNEN
Uit tekeningen of afmetingen de gelijkvormigheidsfactor bij gelijkvormige figuren bepalen.
Bij een gegeven gelijkvormigheidsfactor de nieuwe afmetingen bepalen.
De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.
7.4 Omtrek, oppervlakte en volume bij gelijkvormige figuren
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de omtrek vermenigvuldigd met factor g
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met factor g 2
Bij een verkleining of vergroting met gelijkvormigheidsfactor g wordt het volume vermenigvuldigd met factor g 3
Bij een vergroting of verkleining de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren bepalen.
De werkelijke afmeting van een figuur bepalen wanneer de schaal gegeven is.
7.5 Gelijkvormigheid en transformaties voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
De factor van de homothetie is de gelijkvormigheidsfactor.
Een spiegeling, een verschuiving of een rotatie in combinatie met een homothetie leverteen gelijkvormige figuur op.
KUNNEN
Met ICT het beeld van een eenvoudige vlakke figuur onder een homothetie bepalen. Aan de hand van een aantal transformaties een vlakke figuur afbeelden op een gelijkvormige figuur.
7.6 Gelijkvormige driehoeken
KENNEN
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paren overeenkomstige zijden evenredig zijn en de ingesloten hoeken gelijk zijn.
Gelijkvormigheidskenmerk HH
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
Gelijkvormigheidskenmerk Z Z Z Z Z Z
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als drie paren overeenkomstige zijden evenredig zijn.
KUNNEN
De gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken bewijzen.
Gelijkvormige driehoeken tekenen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.
De gelijkvormigheid van driehoeken bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.
De gelijkheid van hoeken en de evenredigheid van zijden bewijzen aan de hand van de gelijkvormigheidskenmerken.
De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van gelijkvormige driehoeken.
7.7 Toepassingen bij gelijkvormige driehoeken
Bij evenwijdige lijnstukken zijn de verhoudingen van de lijnstukken en hun respectievelijke evenwijdige projecties gelijk.
Evenwijdige rechten snijden van twee rechten evenredige lijnstukken af.
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lijnstukken waarin die hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.
In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn op de schuine zijde een middelevenredige van de lijnstukken waarin die hoogtelijn de schuine zijde verdeelt.
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.
In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde een middelevenredige van de schuine zijde en de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde.
Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt.
Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en gelijk aan de helft van die zijde.
Een evenwijdige projectie uitvoeren.
De stelling van Thales bewijzen.
KUNNEN
De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de stelling van Thales.
De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van metrische betrekkingen in rechthoekige driehoeken.
De lengte van lijnstukken berekenen aan de hand van de eigenschap van de middenparallel van een driehoek.
Problemen uit JWO
1. In deze vlinder is G de som van de oppervlakten van de twee grote vierkanten en K de som van de oppervlakten van de twee kleinere.
Hoeveel is G K ?
JWO, editie 2020, eerste ronde
2.Een tehuis vangt een aantal weeskinderen op. Het frequentiediagram geeft weer hoeveel kinderen er van elke leeftijd zijn. Wat is de gemiddelde leeftijd van de kinderen?
JWO, editie 2019, eerste ronde
3.De figuur bestaat uit vijf vierkanten. Van vier vierkanten is de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het gekleurde vierkant?
JWO, editie 2018, eerste ronde
4.Welk van de volgende getallen is geen kwadraat van een natuurlijk getal en ook geen derde macht van een natuurlijk getal?
JWO, editie 2017, eerste ronde
HOOFDSTUK 8 I EERSTEGRAADSFUNCTIES
8.1 Begripsvorming
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie
f(x) = ax
8.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie
f(x) = ax + b
8.4 Het voorschrift f(x) = ax + b bepalen
8.5 Het lineair verband
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen 136
8.8De vergelijking van een rechte opstellen
8.1 Begripsvorming
8.1.1
Voorbeeld
Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken.
De drukker maakt de volgende offerte:
• vaste kost voor ontwerp: 50 euro
• per T-shirt: 8 euro
Je berekent de kostprijs voor10 T-shirts → 8 10 + 50 = 130 f (10) = 130
150 T-shirts → f (150) =
Vul de tabel aan.
aantal T-shirts0 120100200300 kostprijs (euro)
Het verband tussen kostprijs en aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie f (x) = 8x + 50.
De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1.
Je noemt f een eerstegraadsfunctie
8.1.2 Definitie
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
Voorbeelden
De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie: f (x) = 2x − 5
(x) = 6 – 3x
Tegenvoorbeelden
De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie: voorschrift f (x) = x 2 + 2 f (x) = x 3 + 3x + 7 f (x) = 5 f (x) = x–1
2 Plaats een vinkje bij de voorschriften die horen bij een eerstegraadsfunctie.
a) f (x) = 2x + 3 r f) f (x) = 7x r
b) f (x) = –1 3 x
c) f (x) = x 2 – 7
d) f (x) = 9
e) f (x) = x 5 + x 3 – 2
g) f (x) = 2 5 x – 1
h) f (x) = 3 – 4x
(x) = 5 x – 1
f (x) = x 3 + 2x
3 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.
a) f (x) = 2x + 1 f (1) = b) f (x) = –3x – 7 f (–1) =
c) f (x) = 1 2 x – 5 f (–2) =
d) f (x) = –0,7x + 1 f (2) =
e) f (x) = –2 3 x – 1 f (–3) =
REEKS B
4 Plaats een vinkje bij de voorschriften die bij een eerstegraadsfunctie horen. a) f (x) = x +1 2
b) f (x) = 2x ? (x – 1)
c) f (x) = (x − 1) ? (x − 2) ? (x − 3)
d) f (x) = 2x − x + 1
e) f (x) = 2x − (2x − 1)
f) f (x) = x x +1
f (x) = 0
h) f (x) = 1 4 – 3 ? (x + 1)
i) f (x) = 7 ? (x – 1)
f (x) = 7 (x – 1)
5 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde.
a) f (x) = 2 x + 1 f 2 () = b) f (x) = −3x + 2 f –1 2 =
c) f (x) = 1 2 x – 5 f 1 2 =
d) f (x) = −0,7x + 1 f (0,2) = e) f (x) = –2 3 x – 1 f 2 2 =
REEKS C
6 Voor welke waarde van k is f geen eerstegraadsfunctie?
a) f (x) = (3 − k) x + k b) f (x) = (k − 3 ) ? x − 1 c) f (x) = (0,5 − k) x + k
8.2.1 Het recht evenredig verband
Voorbeeld
Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uur.
x (h)5102050
y (l)3 0006 00012 00030 000 y x
Het quotiënt y x is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig
Er geldt: y x =
Definitie Recht evenredig verband
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is. y x = a ⇒ y = a x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0)
Formule
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a x
Grafiek van een recht evenredig verband
000
000
000
(h) y (l)
510152025303540455055
Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x.
De grafiek is met evenredigheidsfactor
Besluit De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met evenredigheidsfactor a
Oefeningen
REEKS A
7 Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor?
a) x 6111822 y 305590110 c) x 0246 y 4102030
r ja r nee r ja r nee
b) x 24710 y 5111425 d) x 35810 y 6,61117,622 r ja r nee r ja r nee
REEKS B
8 Van een stuk eikenhout wordt het verband nagegaan tussen de massa m (in kg) en het volume V (in l).
V (l)1550120230350 m (kg)10,53584161245
a) Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.
b) Geef de formule voor het verband: m =
c) Bereken de massa van een stuk eikenhout met een volume van 1 250 l.
d) Wat is het volume, op 1 l nauwkeurig, van een stuk eikenhout van 1 500 kg?
8.2.2 Richtingscoëfficiënt
Voorbeeld
In het warenhuis worden tomaten verkocht voor 1,50 euro per kilogram. De trostomaten zijn iets duurder: ze kosten 2 euro per kilogram. De verhouding tussen prijs en massa is constant. Prijs en massa zijn recht evenredige grootheden.
gewone tomaten trostomaten
prijs massa = 1,50 ⇒ prijs = 1,50 massa
prijs massa = ⇒ prijs = massa
de evenredigheidsfactor is de evenredigheidsfactor is x is de massa f (x) is de prijs x is de massa g(x) is de prijs
functievoorschrift: f (x) =
functievoorschrift: g(x) =
Stel het verband tussen massa en prijs voor op het assenstelsel.
Algemeen
De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.
Wat is de invloed van de evenredigheidsfactor op de rechte?
Daarom noem je de evenredigheidsfactor de richtingscoëfficiënt van de rechte.
Definitie Richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt van een rechte is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.
Notatie: rc r
Voorbeeld de rechte r heeft als vergelijking y = −2x rc r =
8.2.3 Grafische betekenis van de richtingscoëfficiënt
Voorbeelden
GEOGEBRA
a) f (x) = 1 2 x
Vul de tabel aan. x –2–1012
f (x)
Teken de punten en de rechte p
b) g(x) = x
Vul de tabel aan.
x –2–1012
g(x)
Teken de punten en de rechte q
c) h(x) = –2x
Vul de tabel aan. x –2–1012
h(x)
Teken de punten en de rechte r
d) i (x) = –x
Vul de tabel aan. x –2–1012
i (x)
Teken de punten en de rechte s
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
f en g
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
h en i
Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:
• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;
• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.
Welke rechte is het meest stijgend?
Bereken |rc | = |rc | =
Welke rechte is het meest dalend?
Bereken |rc | = |rc | =
Besluit De absolute waarde van de richtingscoëfficiënt bepaalt de grootte van de helling. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
8.2.4 De richtingscoëfficiënt bepalen
Uit de grafiek
Op een rechte door de oorsprong kun je de richtingscoëfficiënt aflezen door de functiewaarde van 1 te zoeken.
f (x) = ax
f (1) = a ? 1 = a
Wat is de richtingscoëfficiënt bij de grafiek hiernaast?
Uit de tabel x 01358
verandering op de y-as verandering op de x-as
verandering op de y-as verandering op de x-as
Bij een gelijke toename van het argument hoort een gelijke verandering van het beeld.
Definitie Differentiequotiënt
Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x
Opmerking: Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek.
Constante functie
f (x) = 2
Dit is geen eerstegraadsfunctie. Verklaar.
Elk argument heeft hetzelfde (constante) getal als beeld.
Je noemt f een constante functie x −4−2035
Wat is de richtingscoëfficiënt van de grafiek?
Teken de grafiek. De grafiek is een
REEKS A
9 Horen de onderstaande grafieken bij een functie van de vorm f (x) = ax?
ja r nee
ja r nee
r ja r nee r ja r nee
10 Bepaal de richtingscoëfficiënt. a) f (x) = −7x rc =
f (x) = x 2 rc = b) f (x) = 5x rc =
f (x) = 4 rc =
11 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgenddalend stijgenddalend a) f (x) = −9x rr
f (x) = x 4 rr b) f (x) = 6x rr
f (x) = −3x rr c) f (x) = x rr
f (x) = –x rr d) f (x) = –2 3 x rr h) f (x) = –5x rr
12 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek.
13 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 012 f (x)048
14 Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek.
15 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek.
16 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 51015
17 Bepaal a in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax.
a)Een vereniging verkoopt kalenders.
De winst wordt uitgedrukt met
f (x) = 2,5x
x is het aantal verkochte kalenders.
c)Een waterpomp zorgt dat er elke minuut evenveel liter water naar eenreservoir gepompt wordt:
f (x) = 5x.
x is het aantal minuten.
a = a =
a is de winst per kalender.
b)Je maakt een grote tocht met de fiets. Het aantal gereden kilometers is gelijk
aan f (x) = 20x
x is het aantal uren.
a is
d)Gevonden in een recept voor suikerbrood: de nodige hoeveelheid parelsuiker (gram) vind je met f (x) = 140x
x is het aantal kilogram bloem.
a = a =
a is
a is
8.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f ( x ) = ax + b
8.3.1
Inleidend voorbeeld
In de stad van Joëlle zijn er drie fitnesscentra.
GEOGEBRA
8.3.2
Algemeen
• Fit & Fun staat bekend als de beste. Ze vragen 20 euro abonnementsgeld per maand en 5 euro per uur fitness.
• Bij Fit & Slank kost het abonnement 10 euro per maand. Ook daar betaal je 5 euro per uur.
• Fit & Sport is wat ouderwets, maar je betaalt er geen abonnementsgeld. De kostprijs per uur bedraagt 5 euro.
Stel: x is het aantal uren fitness; f (x), g(x) en h(x) bepalen de maandelijkse kostprijs.
051020
Teken de grafiek van elke functie.
Wat is de toename van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt?
f: g: h:
Die toename is de richtingscoëfficiënt.
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as voor de grafiek van de functie:
f: g: h:
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
GEOGEBRA
De grafiek van de functie f (x) = ax + b is de verticale verschuiving van de grafiek van g(x) = ax volgens de vector bepaald door (0, 0) en (0, b).
Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt. y
(0, b) f(x) = ax + b g(x) = ax x O
8.3.3 Voorbeelden
a) f (x) = x − 1
Vul de tabel aan.
GEOGEBRA
x –2–1012
f (x)
Teken de punten en de rechte p
b) g(x) = x + 1
Vul de tabel aan.
x –2–1012
g(x)
Teken de punten en de rechte q
richtingscoëfficiënt
coördinaat snijpunt met y-as
c) h(x) = x + 2
Vul de tabel aan.
x –2–1012
h(x)
Teken de punten en de rechte r
d) i (x) = –x + 1
Vul de tabel aan.
x –2–1012
i (x)
Teken de punten en de rechte s
p
q rechte r rechte s
8.3.4 De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen
Met behulp van twee verschillende punten
Twee verschillende punten volstaan om de grafiek van een eerstegraadsfunctie te tekenen, want
Kies coördinaten (x, f (x)) zodat de punten gemakkelijk te tekenen zijn.
Voorbeeld 1
Voorbeeld 2
Met behulp van één punt en de richtingscoëfficiënt
Voorbeeld 1
Gegeven: A (1, 3) en rc r = −2
Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 1 toenemen
De y-coördinaat zal met 2 afnemen want de richtingscoëfficiënt is negatief
Het punt B met coördinaat (1 + 1, 3 − 2) = (2, 1) bepaalt samen met het punt A de rechte r
Voorbeeld 2
Gegeven: C (−1, −4) en rc s = 3 2
Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 2 toenemen
De y-coördinaat zal met 2 ? 3 2 = 3 toenemen
want de richtingscoëfficiënt is positief.
Het punt D met coördinaat (–1 + 2, –4 + 3) = (1, –1) bepaalt samen met het punt C de rechte s
REEKS A
18 Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor?
19 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje.
stijgenddalend stijgenddalend
a) f (x) = 3x − 2 rr
e) f (x) = 0,5x + 2 rr
b) f (x) = −9x − 2 rr f) f (x) = −5x + 2 rr
c) f (x) = 2 − 4x rr g) f (x) = −3 − 8x rr
d) f (x) = 6x rr h) f (x) = −0,4x + 7 rr
20 Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
rc = rc =
snijpunt met de y -as: snijpunt met de y -as:
21 Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
a) f (x) = 3x − 2 rc = ( , )f) f (x) = 2 + 8x rc = ( , )
b) f (x) = 1 −x rc = ( , )g) f (x) = x + 0,5 rc = ( ; )
c) f (x) = −6x − 12 rc = ( , )h) f (x) = 5x rc = ( , )
d) f (x) = 1 3 x + 3 rc = ( , )i) f (x) = –1 2 x – 4 rc = ( , )
f) Een vertegenwoordiger van waspoeders heeft een vast maandloon van 1 050 euro. Per kg waspoeder die hij verkoopt, krijgt hij een bonus van 0,05 euro.
Geef het verband tussen zijn maandloon en het aantal kg waspoeder dat de vertegenwoordiger verkoopt.
x is
f (x) is
functievoorschrift:
39 Bepaal het functievoorschrift, maak een tabel en teken de grafiek.
a) In het recept voor een cake vind je: ‘voeg 40 g boter toe per ei’.
Bepaal het voorschrift dat de hoeveelheid boter geeft in functie van het aantal eieren.
x is f (x) is
functievoorschrift:
b) Een telefoonmaatschappij vraagt een vast bedrag van 20 euro voor de huur van de telefoonlijn.
Voor elk gesprek wordt 0,10 euro per minuut aangerekend.
Bepaal het voorschrift dat de totale kosten geeft in functie van het aantal minuten.
x is f (x) is functievoorschrift:
c) In hogere luchtlagen is de temperatuur gevoelig lager dan op zeeniveau. Per 100 m hoogtetoename daalt de temperatuur 1 ºC. De temperatuur op zeeniveau is 20 ºC.
Bepaal het voorschrift dat de temperatuur geeft in functie van de hoogte.
x is het aantal keer 100 m.
f (x) is functievoorschrift:
)
40 Een Londense taxichauffeur vraagt 2,75 pond startgeld en 1,75 pond per kilometer.
a) Met welke functie kun je de prijs van een rit berekenen?
x is f (x) is
functievoorschrift:
b) Teken de grafiek.
c) Hoeveel betaal je voor een taxirit van 6 km?
d) Hoe ver kun je rijden voor een bedrag van 50 pond?
41 Yannick wil zijn kapotte Xbox laten repareren. Er zijn twee bedrijven die de klus kunnen klaren.
Als extra service komen ze de Xbox bij hem thuis repareren. De reparatie duurt bij beide bedrijven 3 uur.
Bedrijf A rekent 40 euro uurloon en 30 euro voorrijkosten; bedrijf B rekent 35 euro uurloon en 40 euro voorrijkosten. Bereken welk van die twee bedrijven het goedkoopst is.
De formule die de evolutie van de massa van Frans weergeeft, is dus: m = 120 − 3t
Die vergelijking is van de vorm y = ax + b
Definitie Lineair verband
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel.
De grafiek is een (deel van een) rechte.
De richtingscoëfficiënt van de grafiek is
Wat is de fysische betekenis van die richtingscoëfficiënt?
Hoeveel zal Frans na één jaar vermagerd zijn?
Na hoeveel maanden weegt hij nog maar 75 kg?
Besluit De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
8.5.2 Voorbeelden
Antropologen zijn wetenschappers die de mensheid bestuderen. Ze schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. De humerus (het bovenarmbeen) is meestal nog intact bij opgravingen naar resten van onze voorouders.
De tabel geeft de lengte x van de humerus en de totale lengte y van vijf volwassen mannen.
Bereken telkens het differentiequotiënt
Wat stel je vast?
Geef de fysische betekenis van het differentiequotiënt.
Geef de grafische betekenis van het differentiequotiënt.
Je ziet het verband tussen de snelheid v, in km/h, van een auto en de remweg r, in m.
Bereken telkens het differentiequotiënt
Je ziet:
De grafiek is een kromme met een toenemende helling.
Een verband is lineair als het differentiequotiënt
constant is.
Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.
Oefeningen
REEKS A
44 Stellen de tabellen lineaire verbanden voor?
a) x 25920 y 23355195
r ja r nee
b) x 03510 y 70554015
r ja r nee
c) x 461016 y 52453110
r ja r nee
d) x 35810 y 8132229
r ja r nee
REEKS B
45 Stel de vergelijking op van de gegeven lineaire verbanden.
a) De rekening y, in euro, van de loodgieter die x uur in je huis heeft gewerkt.
x (h)0258 y (euro)30120255390
De vergelijking is
b) De lengte y, in cm, van een metalen staaf bij een temperatuur x, in ºC.
x (ºC)050100200
y (cm)2525,325,626,2
De vergelijking is
46 Bij een thermometer neemt de hoogte h, in cm, van het kwik toe als de temperatuur u, in ºC, stijgt. Er geldt: h = 0,068u + 3,3.
a) Wat is de hoogte van het kwik als het 20 ºC is?
b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c) Bij welke temperatuur is de vloeistofhoogte 6 cm? Rond je antwoord af op 0,1 ºC.
47 Het verband tussen de hoofdomtrek y, in cm, en de lengte x, in cm, van pasgeboren baby’s kan benaderd worden door de formule y = 0,53x + 8,20.
a) Bepaal de hoofdomtrek van een baby van 50 cm.
b) Mo was bij de geboorte 3 cm groter dan Nur. Bereken het verschil in hoofdomtrek.
c) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van minstens 36 cm?
48 Mensen worden steeds ouder. De gemiddelde levensverwachting y van een vrouw in België wordt benaderd door de formule y = 0,178x + 81,3. Voor mannen is dat y = 0,259x + 75,4. Daarbij is x het aantal jaren na 2000.
a) Wat was de gemiddelde levensverwachting in 2000?
voor een vrouw: voor een man:
b) Hoe zie je aan de vergelijkingen dat de man gemiddeld ooit minstens even lang zal leven als de vrouw?
c) Vanaf welk jaar zal de gemiddelde man ouder worden dan de gemiddelde vrouw?.
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie
8.6.1 Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie
grafische methode
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as.
Voorbeeld
f (x) = 2x − 4
algebraïsche methode
nulwaarde:
Op sommige grafieken kun je de nulwaarde niet nauwkeurig aflezen.
Voorbeeld
f (x) = –3x − 2
nulwaarde:
Algemeen De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b bepaal je door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen.
f (x) = 0
ax + b = 0
ax = −b x = b a –
nulwaarde:
Oefeningen
REEKS A
49 Lees de nulwaarde af op de grafiek.
nulwaarde: nulwaarde:
nulwaarde: nulwaarde:
50 Bereken de nulwaarde.
a) f (x) = x − 1 c) f (x) = 2x − 1 e) f (x) = −4x + 2
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde: b) f (x) = 3x d) f (x) = 5x − 2 f) f (x) = 0,5x – 1
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
REEKS B
51 Bij het opstarten van een diepvriezer bedraagt de temperatuur 20 ºC. De temperatuur daalt volgens de functie u(t) = 20 − 5t, waarbij t het aantal uren is.
a)Na hoeveel uur is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel uur is een temperatuur van −10 ºC bereikt?
52 Jonas leent van zijn ouders 400 euro die hij nog te weinig heeft voor de aanschaf van een scooter. Elke maand betaalt hij 25 euro terug. De uitstaande schuld S is een functie van het aantal maanden t : S(t) = 400 − 25t.
a)Na hoeveel maanden heeft Jonas het geleende bedrag terugbetaald?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
53 Met een microgolfoven kun je ingevroren voeding ontdooien en opwarmen.
De tijd die nodig is om te ontdooien en op te warmen, is afhankelijk van de aard van het voedingsproduct en van de hoeveelheid. Het ontdooien en opwarmen van 300 g soep laat zich beschrijven met de functie u(t) = −20 + 8t, waarbij t de tijd is in minuten en u de temperatuur in ºC.
a)Na hoeveel minuten is het vriespunt (0 ºC) bereikt?
b)Na hoeveel minuten is een temperatuur van 30 ºC bereikt?
54 Catherine koopt voor haar gsm een prepaidkaart met een belkrediet van 50 euro. Elke minuut bellen kost 0,25 euro.
Voor het belkrediet B geldt: B(t) = 50 − 0,25t, waarbij t het aantal belminuten is.
a)Na hoeveel minuten is het belkrediet opgebruikt?
b)Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van de functie?
55 Bereken de nulwaarde van elke functie.
a) f (x) = x – 1 2
b) f (x) = −2 ? (x + 3)
c) f (x) = 1 4 x –3 2
nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
56 Bepaal de coördinaat van de snijpunten met de assen. snijpunt met de x-as snijpunt met de y-as
a) f (x) = 3x − 4
b) f (x) = 3 ? (x + 1)
c) f (x) = –2 3 x
d) f (x) = 1 − (2x − 1)
57 Bereken de waarde van het reëel getal k
a) f (x) = 2x − k met nulwaarde 2
c) f (x) = −kx − 4 met nulwaarde –2 3
b) f (x) = kx met nulwaarde 0
d) f (x) = 3x + k met nulwaarde –2 3
REEKS C
58 Beantwoord de vragen over de eerstegraadsfunctie f
a)De functie f heeft 5 als nulwaarde. De grafiek van f snijdt de y-as in A (0, 10). Bereken f (2).
b)De grafiek van f is evenwijdig met de grafiek van de functie g met voorschrift g(x) = 3 2 x – 4 en f (4) = 9. Bereken de nulwaarde van f
c)De functie f heeft dezelfde nulwaarde als de functie g met voorschrift g (x) = –4 3 x + 1 7 en de grafiek van f is evenwijdig met de grafiek van de functie h met voorschrift h (x) = 4x Bereken f (5).
d)Bereken de nulwaarde van de functie f waarvoor geldt: f (–6) = –3 en f (–1) = –5.
8.6.2 Tekenschema van een eerstegraadsfunctie
Een verkoper van pralines moet minstens 10 kg per dag verkopen om zijn onkosten te recupereren.
Vanaf 10 kg maakt hij winst.
De grafiek geeft een beeld van de winst en het verlies volgens het verkochte aantal kilogram.
Is f stijgend of dalend?
Wat is de nulwaarde van f ?
Een tekenschema kan dat samenvatten:
< 10 ⇒ f (x) < 0
De grafiek ligt onder de x-as.
Als x kleiner is dan 10, is elke functiewaarde negatief. (Er is verlies.)
= 10 ⇒ f (x) = 0
De grafiek snijdt de x-as. x > 10 ⇒ f (x) > 0
Als x gelijk is aan 10, is de functiewaarde 0. (Er is geen winst en geen verlies.)
De grafiek ligt boven de x-as.
Als x groter is dan 10, is elke functiewaarde positief. (Er is winst.)
Voorbeeld 1
f (x) = 5x − 10
Voorbeeld 3
f (x) = 3x + 7
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema.
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema.
Voorbeeld 2
Voorbeeld 4
Is f stijgend of dalend?
Is f stijgend of dalend?
Bepaal de nulwaarde. Bepaal de nulwaarde.
Vervolledig het tekenschema.
Vervolledig het tekenschema.
Oefeningen
REEKS A
59 Maak een tekenschema.
60 Maak een tekenschema.
nulwaarde:
f (x) = 2x + 4 nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde:
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden
8.7.1 Vergelijkingen grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de vergelijking 3x − 2 = x + 2 op.
Antwoord: Hoeveel bedraagt die kostprijs? GEOGEBRA
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift f(x) = 3x - 2 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = -x + 2.
Je tekent de grafieken van f en g.
Je leest op de figuur af voor welke waarden f(x) = g(x).
Dat doe je door de x-coördinaat van het snijpunt A van de grafieken te bepalen.
f(x) = g(x) ⇔ x = 1 ⇒ V = {1}
Voorbeeld 2
Senne moet herstellingen laten uitvoeren aan zijn dakgoot.
Loodgieter A zegt dat de kostprijs (in euro) voor zijn werk kan berekend worden met de functie kA(x) = 43x + 55. Hierbij is x het aantal gewerkte uren.
De kostprijs voor loodgieter B kan Senne berekenen met de functie kB(x) = 52x + 30.
Bij hoeveel werkuren bedraagt de kostprijs van beide loodgieters evenveel? Rond af op 1 min. Je lost dit vraagstuk op met ICT.
• Teken de grafieken van beide functies in een gepast assenstelsel.
• Bepaal het snijpunt A van de rechten.
• Lees de coördinaat van het snijpunt af. co(A) =
• Zet de x-coördinaat van A om in uren en minuten.
Oefeningen
REEKS B
61 Los de vergelijkingen grafisch op.
a)2x + 1 = x − 1
c)3x − 5 = x − 2
b)−x + 3 =3x − 1
d)−4x − 1 =2x + 2
62 Los de vergelijkingen grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
a) 3x − 5 =−4x + 7
63 De lengte lA (in cm) van Andres gedurende zijn eerste levensjaar wordt gegeven door de functie lA (x) = 2,17x + 49,3. Voor de lengte lB (in cm) van Bibi geldt: lB (x) = 2,03x + 50,5. Hierbij is x het aantal maanden vanaf de geboorte (0 x 12).
a) Hoeveel groter is Bibi bij de geboorte dan Andres?
b) Hoe zie je dat Andres sneller groeit dan Bibi?
c) Bepaal grafisch, met ICT, na hoeveel tijd beide kinderen even groot zijn. Rond af op 1 dag.
d) Hoe groot zijn beide kinderen op dat moment? Rond af op 1 mm.
64 Een auto rijdt 110 km/h en begint te remmen. Elke seconde rijdt hij 18,5 km/h trager. Een andere auto rijdt 95 km/h en vertraagt iedere seconde met 15 km/h.
a) Na hoeveel tijd rijden beide auto’s even snel? Rond af op 0,01 s.
b) Welke snelheid hebben de auto’s dan? Rond af op 0,1 km/h.
8.7.2 Ongelijkheden grafisch oplossen
Voorbeeld 1
Los de ongelijkheid 2x − 4 > 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4.
Je tekent de grafiek van f :
Voorbeeld 2
Los de ongelijkheid −3x + 1 0 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1.
Je tekent de grafiek van f :
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0: f (x) > 0 ⇔ x > 2 ⇒ V = ]2, +∞[
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) 0: f (x) 0 ⇔ x 1 3 ⇒ V = –∞ , 1 3
Voorbeeld 3
Los de ongelijkheid 2x – 1 > x + 2 op.
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift f (x) = 2x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift g(x) = x + 2.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de figuur af voor welke waarden f (x) > g(x).
Algemeen Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r.
Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s
Oefeningen
REEKS A
72 Controleer of het punt op de rechte ligt.
a) A (1, 5)en a y = 2x + 1 r ja r nee
b) B (−1, 3)en b y = −3x r ja r nee
c) C (2, 4)en c y = −2x + 8 r ja r nee
d) D (−8, 6)en d y = −x − 3 r ja r nee
e) E (2, 3)en e y = 2x − 1 r ja r nee
f) F (−1, 2)en f y = 5x + 7 r ja r nee
g) G (−3, −4)en g y = 4x + 9 r ja r nee
h) H (0, −1) en h y = −7x − 1 r ja r nee
REEKS B
73 Bepaal een vergelijking van de rechte door de punten A en B Vink aan of het een horizontale (h) of verticale (v) rechte is.
a) A (2, 5) en B (2, 8) r h r v e) A (1, 10) en B (–1, 10) r h r v
b) A (–1, –7) en B (–1, 3) r h r v f) A (–4, 5) en B (–9, 5) r h r v
c) A (–2, 4) en B (6, 4) r h r v g) A (9, –11) en B (9, 8) r h r v
d) A (7, –5) en B (7, –4) r h r v h) A (0, –7) en B (–5, –7) r h r v
8.8.2 De richtingscoëfficiënt en een punt zijn gegeven
voorbeeld algemeen
De rechte r bevat P (2, 3).
rc r = 4
De rechte r bevat P (x1, y1).
rc r = a
r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + br heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b
• rc r = 4 r y = 4x + b
• r bevat P (2, 3).
(2, 3) voldoet aan de vergelijking:
3 = 4 ? 2 + b
bereken b :
besluit: r
• rc r = a r y = ax + b
• r bevat P (x1, y1).
(x1, y1) voldoet aan de vergelijking:
y1 = ax1 + b
bereken b : y1 = ax1 + b
b = y1 – ax1
besluit: r y = ax + b y = ax + y1 – ax1 y – y1 = ax – ax1
1)
Algemeen Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is: r y − y1 = a (x − x1)
voorbeeld 1
Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt 3 die het punt P (1, 5) bevat.
voorbeeld 2
Stel een vergelijking op van de rechte s met richtingscoëfficiënt –2 die het punt P (6,–3) bevat.
Meetkundige figuren kun je beschrijven met vergelijkingen. De benaming daarvoor is ‘analytische meetkunde’. In het begin van de zeventiende eeuw werd de analytische meetkunde ‘uitgevonden’ door René Descartes en Pierre de Fermat. Door punten van het vlak te noteren met hun coördinaat, ontstond een belangrijke studie die de algebra als instrument gebruikt om meetkundige problemen op te lossen.
Naar Descartes noem je:
• (x, y) de cartesiaanse coördinaat van een punt;
• y = ax + b de cartesiaanse vergelijking van een rechte.
René Descartes
Oefeningen
REEKS A
74 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (1, 0) en rc a = −3.
c) c bevat P (3, 2) en rc c = 5.
b) b bevat P (4, 3) en rc b = −1.
d) d bevat P (0, 7) en rc d = −2.
REEKS B
75 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a bevat P (–8, –9) en rc a = 3.
d) d bevat P (3, –8) en rc d = –5 4
b) b bevat P (–10, –5) en rc b = –6.
e) e bevat P 1 3 , 0 en rc e = –3.
c) c bevat P (–2, 7) en rc c = 1 3
f) f bevat P 3, 2 5 en rc f = 5.
76 Bepaal het ontbrekende coördinaatgetal zodat de rechte door de twee punten de gegeven richtingscoëfficiënt heeft.
a) A (4, ) en B (8, 4)c) E (1, –2) en F (–5, )e) I ( , 3) en J (2, 5)
rc AB = 1
rc EF = 0
rc IJ = 2
b) C (2, 5) en D (6, )d) G (2, 0) en H ( , –1)f) K ( , 4) en L (–7, 5)
rc CD = –2
rc GH = –1
rc KL = 3
77 Stel een vergelijking van de rechte op.
a) a is evenwijdig met s y = −2x + 2 en snijdt de y-as in P (0, −5).
c) c is de grafiek van f met f (2) = 1 en c is evenwijdig met r y = −2x
b) b snijdt de y-as in P 0, 1 2 en is evenwijdig met r y = 5 − 3x
d) d is evenwijdig met s y = 1 − 2x en snijdt de y-as in P (0, −2).
78 Voor een taxirit in New York betaal je 2 dollar per mijl. Bij zijn vorige bezoek aan New York betaalde Alexander 10,50 dollar voor een rit van 4 mijl.
a) Bepaal het verband tussen de prijs y, in dollar, en het aantal gereden mijl x
b) Wat is de startprijs van een taxi in New York?
c) Hoeveel kost een rit van 2,7 mijl?
79 Als je een prepaidtelefoonkaart hebt, daalt je belkrediet voor elke minuut die je belt.
Bij provider P gaat er 0,30 euro van je krediet af per minuut.
Asmin heeft een nieuwe telefoonkaart gekocht en belt meteen naar haar beste vriendin.
Na een halfuur heeft ze nog 16 euro belkrediet.
a) Stel het verband op tussen het krediet k, in euro, en het aantal gebelde minuten t
b) Hoeveel heeft de telefoonkaart gekost?
c) Na hoeveel tijd is het belkrediet volledig opgebruikt?
80 Een klas verkoopt bloemen voor het goede doel. De leerlingen vragen 5 euro per potje.
Ze kopen hun potjes bij een bloemist in de buurt en betalen daarvoor 3,50 euro per potje bloemen en daarenboven de kosten om de bloemen naar school te laten brengen.
Voor een bestelling van 100 potjes betalen ze 380 euro.
a) Geef het verband tussen de opbrengst O, in euro, en het aantal verkochte potjes x
b) Stel het verband op tussen de kostprijs K, in euro, en het aantal bestelde potjes x
c) Hoeveel potjes moeten ze verkopen om winst te maken?
8.8.3
Twee punten zijn gegeven
De richtingscoëfficiënt bepalen
voorbeeld
De rechte r bevat A (2, 3) en B (1, 0).
algemeen
De rechte r bevat A (x1, y1) en B (x2, y2).
r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + br heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b (2, 3)
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a =
(als x1 ≠ x2).
De richtingscoëfficiënt van rechten evenwijdig met de assen
Duid de punten A(−5, 3) en B(4, 3) aan in het assenstelsel.
Je berekent de richtingscoëfficiënt a:
Duid de punten A(2, –3) en B (2, 4) aan in het assenstelsel.
Je berekent de richtingscoëfficiënt a:
Wat stel je vast?
Welke soort rechte is AB?
Wat stel je vast?
Welke soort rechte is AB?
Algemeen Een horizontale rechte heeft een richtingscoëfficiënt gelijk aan 0.
Een verticale rechte heeft geen richtingscoëfficiënt.
De vergelijking opstellen
voorbeeld algemeen
Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (1, 2) en B (0, 1) bevat.
Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat (x 1 ≠ x 2).
• a = ––21 21 yy xx = • a = ––21 21 yy xx • y − y 1 = a (x − x 1) • y − y 1 = a (x − x 1)
Algemeen Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat, is: r y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) (als x 1 ≠ x 2).
Opmerking
Bij het opstellen van een vergelijking van een rechte speelt de volgorde van de punten geen rol. A (2, 3) en B (−1, 6) A (−1, 6) en B (2, 3)
AB y − 3 = 6 – 3 –1 – 2 (x – 2) y − 3 = −(x − 2) y = −x + 5 AB y − 6 = 3 – 6 2 – (–1) (x – (–1)) y − 6 = −(x + 1) y = −x + 5
voorbeeld 1 voorbeeld 2
Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (4, 3) en B (6, 9) bevat.
Stel een vergelijking op van de rechte die de punten A (−5, 6) en B (2, −8) bevat.
Oefeningen
REEKS A
81 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten.
a) A (2, 6) en B (4, 0)
c) E (1, 2) en F (3, 8)
b) C (5, 3) en D (3, 4)
d) G (1, 8) en H (4, 8)
82 Stel een vergelijking op van de rechte PQ.
a) P (1, 3) en Q (2, 5)
d) P (2, 8) en Q (0, 0)
b) P (2, 4) en Q (3, 1)
e) P (4, 0) en Q (1, 6)
c) P (3, 2) en Q (7, 6)
f) P (1, 1) en Q (2, 1)
83 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten.
a) A (3, 12) en B (7, −4)
c) E –2, 2 3 en F 2 5 , –4
b) C (−5, −8) en D (−8, −15)
d) G (4, −6) en H (4, 8)
84 Stel een vergelijking op van de rechte PQ.
a) P (−7, 4) en Q (−1, −18)
c) P (−1, −2) en Q (−1, −9)
b) P 1 2 , 0 en Q 0, 5 2
d) P 4, 3 2 en Q –1 2 , 0
Bepaal een vergelijking van de getekende rechte.
86 De tabel toont de inhoud V, in l, van een dieseltank van een auto na x km.
a) Stel het lineair verband op tussen V en x
x (km)150560
V (l)5631,4
b) Hoeveel liter bevat een volle tank?
c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d) Hoe ver kun je rijden met een volle tank? Rond af op 0,001 km nauwkeurig.
87 Runa is vertegenwoordiger. Ze krijgt een vast maandloon en daarbovenop een percentage van de verkoopprijs v, in euro. Je ziet haar maandloon m, in euro, van de voorbije twee maanden.
v (euro)10 00025 000
m (euro)2 2502 850
a) Stel het lineair verband op tussen m en v.
b) Hoeveel bedraagt haar vaste maandloon?
c) Hoeveel procent van de verkoopprijs ontvangt Runa?
d) Voor welk bedrag moet ze verkopen om 3 500 euro per maand te verdienen?
e) Veronique krijgt geen vast maandbedrag, maar krijgt 6 % op de verkoopprijs. Hoeveel moet ze verkopen om minstens evenveel te verdienen als Runa?
88 Bepaal de parameter m
a)rc AB = –2 met A (–1, 4) en B (4, m)
c) rc AB = 3 4 met A (m, 3) en B (–3, 9)
b) AB is horizontaal met A (0, 3) en B (6, m)d)rc AB = –3 met A (–3, m) en B (m, 3)
89 Bepaal de parameter m zodat het punt C op de rechte AB ligt.
a) A (–3, 5); B (1, 13) en C (4, m)
d) A (–5, –2); B (–5, 1) en C (m, 3)
b) A (0, 3); B (2, 3) en C (5, m)
e) A (1, –6); B (4, –2) en C (m, 5)
c) A (–2, 8); B (2, 5) en C (m, 0)
f) A (–6, 10); B (0, 4) en C (m, 3m)
90 Gegeven: de punten A (6, −1) ; B (−1, −2) ; C (−3, 1) en D (4, 2)
a)Toon aan dat de punten een parallellogram ABCD vormen.
b)Bepaal de vergelijkingen van de zijden van het parallellogram.
c) Bepaal de vergelijkingen van de diagonalen van het parallellogram.
91 De vergelijking van een rechte die de assen snijdt in P (p, 0) en Q (0, q) is van de vorm x p + y q = 1
a) Bewijs die formule.
b) Pas de formule toe en noteer daarna de vergelijking in de vorm y = ax + b
r snijdt de assen in P (0, 2) en Q (3, 0).
s snijdt de assen in P (0, −2) en Q (−4, 0).
92 Stel een vergelijking op van de rechte PQ bepaald door het snijpunt P van AB met de x-as en het snijpunt Q van AC met de y-as, als co(A) = (−1, 2), co(B) = (4, −3) en co(C) = (5, −3).
93 Voor schoenen worden twee soorten maten gebruikt. De bekendste zijn de Franse maten, maar ook Engelse maten zijn gebruikelijk.
In de tabel vind je twee Engelse maten (e) omgerekend naar Franse maten (f ).
a)Stel het lineair verband op tussen f en e
e 59 f 3843
b)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c)Vorm de formule om, zodat de Engelse maat de afhankelijke veranderlijke wordt.
d)Vul de tabel aan.
e 7 f 45
94 De tabel toont de maandelijkse winst W, in euro, van een bedrijf dat x geurkaarsen verkoopt.
x 5001 500
W (euro)7503 250
a)Stel het lineair verband op tussen W en x
b)Bereken W (0) en geef de economische betekenis.
c)Geef de economische betekenis van de richtingscoëfficiënt.
d)In januari geeft het bedrijf 20 % korting op de kaarsen. Het bedrijf denkt dan evenveel winst te maken als het 20 % meer kaarsen verkoopt. Klopt die bewering?
8.8.4 Lineaire regressie
Voorbeeld
In de onderste laag van de atmosfeer neemt de temperatuur af met de hoogte. Je ziet de temperatuur u, in ºC, op een hoogte h, in m, op een bewolkte zomerdag.
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk
Alle punten liggen op één rechte. Het verband tussen u en h is dus lineair.
Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een lineaire regressielijn of trendlijn die de punten bevat.
De term ‘regressie’ is in de wiskunde voor het eerst gebruikt door de Britse wetenschapper Sir Francis Galton, een halve neef van Charles Darwin. Bij het napluizen van statistische data had hij gemerkt dat nakomelingen qua grootte heel dikwijls niet leken op diegenen van wie ze afstamden, maar middelmatiger van omvang waren. Ze waren kleiner dan hun voorgeslacht als dat groot was, en groter als dat klein was.
Hij noemde die merkwaardige statistische tendens ‘regressie naar het gemiddelde’.
Sir Francis Galton
Lineaire regressie met Excel
• Selecteer de waarden van h en u
• Voeg een spreidingsdiagram in.
• Rechtermuisklik op één van de punten –Trendlijn toevoegen.
• Kies voor een lineaire trendlijn.
• Vink “Vergelijking in grafiek weergeven” aan.
Lineaire regressie met GeoGebra
• De vergelijking van de regressielijn is
• Hoeveel bedraagt de temperatuur op zeeniveau?
• Bereken de temperatuur op een hoogte van 3,8 km.
• Vanaf welke hoogte vriest het?
Oefeningen
REEKS B
95 Niemand kan nog ontkennen dat het klimaat verandert. Door de toename van de gemiddelde temperaturen overal op aarde smelten gletsjers, stijgt het zeewater, zijn er meer orkanen … De tabel toont de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel na 2000.
x (jaren na 2000)0381420
u (ºC) 10,7310,8511,0511,2911,53
a) Bepaal, via regressie, het verband tussen u en x
b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.
c) Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel in 2060.
d) In welk jaar zal de gemiddelde jaartemperatuur boven 14 ºC stijgen?
96 Het aantal dodelijke verkeersslachtoffers op Vlaamse wegen daalt bij benadering lineair. In de tabel zie je het aantal doden n, x jaar na 2000.
x 58111519
n 588515451396315
a) Stel het lineaire regressiemodel op voor het verband tussen n en x
b) Hoeveel dodelijke slachtoffers waren er volgens dat model in 2000?
c) Met hoeveel vermindert het aantal doden per tien jaar?
d) Vanaf welk jaar zouden er, volgens dat model, geen verkeersdoden meer zijn?
REEKS C
97 De accuduur van een smartphone is afhankelijk van het gebruik, de leeftijd van het toestel en het type.
Om verschillende toestellen met elkaar te vergelijken, laadt men ze volledig op en bekijkt men de capaciteit van de batterij, zonder het toestel te gebruiken.
In de tabel zie je het verloop van de capaciteit c, in procent, van twee smartphones na t uren. t (h)2510152530
toestel A cA (%)969079694837
toestel B cB (%)948672583016
a)Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen cA en t en tussen cB en t
b)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënten.
c)Bepaal de capaciteit van de batterij van beide toestellen na twaalf uur.
d)Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn beide batterijen volledig leeg?
e)Los op met ICT: na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn de batterijen voor de helft leeg?
f)Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, is de capaciteit van de batterij van toestel B de helft van de capaciteit van toestel A?
STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties
8.1 Begripsvorming voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r).
KUNNEN
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b
8.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax
KENNEN
Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.
Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a ≠ 0, dan is y = a ? x
De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong.
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte.
Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.
Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen.
De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.
KUNNEN
8.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b
KENNEN
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a ∈ r0, b ∈ r) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.
In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
KUNNEN
Een eerstegraadsfunctie herkennen aan de grafiek en het voorschrift, en de waarde bepalen van a en b
De grafiek van een eerstegraadsfunctie herkennen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De richtingscoëfficiënt van een eerstegraadfunctie bepalen uit een grafiek, een tabel of een voorschrift.
Aan het voorschrift herkennen of een rechte stijgend of dalend is.
8.4 Het voorschrift f (x) = ax
+ b bepalen
KUNNEN
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen
• uit een tabel met functiewaarden,
• uit de grafiek,
• uit de context.
8.5 Het lineair verband
KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b
Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x
De grafische voorstelling van een lineair verband y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en coördinaat van het snijpunt met de y-as (0, b).
Een verband is lineair als het differentiequotiënt ∆y ∆x constant is.
Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.
KUNNEN
Lineaire verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.
Vraagstukken oplossen met gegeven lineaire verbanden.
8.6 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie voor de leerling voor de leerkracht
KUNNEN
De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.
Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie.
Het tekenschema van een eerstegraadsfunctie opstellen en grafisch interpreteren.
8.7 Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden grafisch oplossen
KUNNEN
Een vergelijking van de eerste graad van de vorm f (x) = g (x) grafisch oplossen (ook met ICT)
Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen (ook met ICT)
Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden gebruiken om vraagstukken op te lossen.
8.8 De vergelijking van een rechte opstellen KENNEN
Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de grafiek te behoren.
Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r
Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s
Een vergelijking van de rechte r met richtingscoëfficiënt a die het punt P (x1, y1 ) bevat, is: r y – y1 = a ? (x – x1).
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (als x1 ≠ x2).
Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat, is: r y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) (als x 1 ≠ x 2).
KUNNEN
Een vergelijking van een rechte opstellen als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn.
Een vergelijking van een rechte opstellen als twee punten gegeven zijn.
Vraagstukken oplossen waarbij het lineair verband opgesteld wordt uit de context.
Een lineair verband opstellen met behulp van lineaire regressie.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
vereenvoudig gok verstandig
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
filter patroon
kennis
logisch nadenken
1. In de figuur heeft elke cirkel een straal van 2. Bepaal de hoogte h van de stapeling.
2. Van twee vierkanten die elkaar raken, is de gezamenlijke oppervlakte 16. Bepaal de afstand x tussen de twee middelpunten van de vierkanten.
x
HOOFDSTUK 9 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
9.1 Inleiding
9.2 Soorten gegevens
9.3 Statistisch onderzoek
9.4Categorische gegevens verwerken
9.5Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken
9.6 Centrummaten
9.1.1 Statistieken
Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken. Tabellen en grafieken noem je inderdaad ‘statistieken’. Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden.
Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt. sporen van stimulerende middelen in het afvalwater
Antwerpen
Tarragona
Amsterdam
Brussel
Zürich
Bazel
Genève
Lleida
Lissabon
Valencia
Eindhoven
Utrecht
Kopenhagen
Barcelona
Castellon
Berlijn
Kufstein
Bern
Reykjavik
Praag Top 20 van steden in Europa
het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd
Bron: EMCDDA
Bron: katholiekonderwijs.vlaanderen
Bron: rtlnieuws.nl
9.1.2 Doel van statistiek
De waaier aan activiteiten die elk statistisch onderzoek met zich meebrengt, kun je in twee grote categorieën verdelen.
beschrijvende statistiek verklarende statistiek
• informatie verzamelen
• informatie verwerken en voorstellen
• informatie analyseren
• verdere analyse
• betrouwbaarheid van de informatie nagaan
• conclusies formuleren
Statistiek is voor de huidige samenleving van groot belang.
Voorbeelden
• Hoe weten confectiebedrijven welke maten ze het meest moeten produceren?
• Hoe plannen fabrikanten van desktops hun productie op lange termijn?
• Hoe weet een land welke accenten het moet leggen in het verkeersbeleid?
• Hoe kun je verschillende prestaties op het gebied van school, sport, arbeid ... met elkaar vergelijken?
Zowel economie, politiek, psychologie, pedagogie, geneeskunde als exacte wetenschappen maken gebruik van de statistiek als werkinstrument.
Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land.
Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...).
Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.
In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben.
In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’.
Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip
Body Mass Index (BMI) introduceerde.
Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die.
In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek.
Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.
In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek.
Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie.
Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken.
Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd.
9.1.3 Misleidende diagrammen
Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken.
•
aantal geboortes in België en Nederland in 2022
20
Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen.
Men zegt dat de vergrijzing een probleem is.
De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2022.
Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo?
• De evolutie van het aantal klachten over nachtlawaai is op twee manieren voorgesteld.
Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal klachten sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?
Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.
Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?
Oefeningen
REEKS A
1 Waarom zijn deze statistieken misleidend?
a) Ik weet wanneer ik genoeg gestudeerd heb.
c) vermageren met CALORIEVRETER
b) geoogste hoeveelheid fruit
banaan
appel
kers
d) Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.
2 Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram.
begrotingstekort
a)Welke indruk wil dit diagram wekken?
begrotingstekort
begrotingstekort
b)Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.
Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?
3 Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?
4 Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog was op het einde van de twintigste eeuw. allochtonen in de VS in aantal en percentage aantal in miljoen
5 Het diagram laat uitschijnen dat België zijn best doet om de CO2-uitstoot tegen te gaan. We bevinden ons helemaal onderaan de lijst.
a) Waarom zet dit diagram ons op het verkeerde been?
6 Verklaar de schijnbare tegenstelling tussen beide grafieken.
aantal mensen onder de 65 jaar in België
9
9
8
7 Oudere mensen ervaren hun gezondheid slechter dan jongere mensen. Welke ingrepen heeft men gedaan bij het onderstaande diagram om die gedachte nog te versterken?
Hoeveel mensen vinden hun gezondheid (zeer) goed?
9.1.4 Procent en procentpunt
Voorbeeld 1
Stel: je betaalt 20 % belasting. Daarna stijgt de belasting naar 21 %. Hoeveel procent is de belasting gestegen?
• De stijging van 20 % naar 21 % is 1 procentpunt, want 21 % – 20 % = 1 %.
• De stijging van 20 % naar 21 % is 5 procent, want 21 20 = 1,05 = 105 % = 100 % + 5 %.
Definitie Procentpunt
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee procentuele waarden.
Voorbeeld 2
Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen.
• Bereken het werkloosheidspercentage.
• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?
• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?
• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?
• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?
Oefeningen
REEKS A
8 Vul de tabel aan.
a)Van 80 % naar 88 % is een stijging van
b)Van 100 % naar 95 % is een daling van
c)Van 50 % naar 70 % is een stijging van
d)Van 80 % naar 60 % is een daling van e)Van 60 % naar 63 % is een stijging van
REEKS B
9 In 2012 is de btw gestegen van 19 % naar 21 %.
procentpunt procent
a)Hoeveel procent is de btw gestegen? Rond af op 0,01 %.
b)Hoeveel procentpunt is de btw gestegen?
c)Als de btw met 2 % steeg, hoeveel zou ze dan bedragen?
10 Je hebt een woonkrediet bij de bank met een jaarlijks veranderlijke rentevoet. De huidige rentevoet bedraagt 3,6 %.
a)Na een jaar daalt de rentevoet met 0,4 procentpunt. Hoeveel bedraagt de nieuwe jaarlijkse rentevoet?
b)Met hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald? Rond af op 0,01 %.
c)Als de oorspronkelijke rentevoet met 0,7 procentpunt stijgt, hoeveel bedraagt dan de procentuele toename?
11 In 2023 bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten 3,67 %. Dat was een stijging met 0,51 procentpunt ten opzichte van 2022. De inflatie daalde van 9,59 % in 2022 naar 4,10 % in 2023.
a) Hoeveel bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in 2022?
b) Met hoeveel procent steeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in één jaar tijd? Rond af op 0,01 %.
c) Met hoeveel procentpunt daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022?
d) Met hoeveel procent daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022? Rond af op 0,01 %.
12 De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten. Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B. Toon aan dat dat niet klopt.
13 ‘Wij betalen uw btw: 21 % korting op alles!’ Klopt die reclame?
14 Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?
15 Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer.
Lijst
Open Vld
N-VA
VLAAMS BELANG
CD&V
PVDA
PVDA+
UF
GROEN sp.a Bron: www.hln.be
% van de stemmen
a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014? Rond af op 0,01 %.
b)Zijn de volgende uitspraken juist of fout?
Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014.
Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019.
juist fout
c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?
d) Sp.a en CD&V leden in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?
9.2 Soorten gegevens
9.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens
In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken.
De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.
De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.
Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling
Voorbeeld
naam aantal puppy's kleur lengte (cm) gehoorzaamheid
Bobby3zwart56 goed
Rex8wit83zeer goed
Lexy5bruin34 zwak
9.2.2
Soorten gegevens
categorische gegevens
Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Voorbeeld:
• veranderlijke: kleur
• gegevens: zwart, wit ...
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Voorbeeld:
• veranderlijke: gehoorzaamheid
• gegevens: goed, zwak ...
De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.
numerieke gegevens
Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.
Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.
Voorbeeld:
• veranderlijke: aantal puppy's
• gegevens: 3, 8 ...
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
Voorbeeld:
• veranderlijke: lengte in cm
• gegevens: 56, 83 ...
Oefeningen
REEKS A
16 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen?
a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde
gegevens: tevreden, ontevreden ...
b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020
gegevens: 215, 190, 307 ...
c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen
gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...
d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal
gegevens: cola, limonade, fruitsap ...
e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar
gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...
f)het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad
gegevens: klein, matig, groot ...
g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei
gegevens: 18 °C, 22 °C, 19 °C ...
h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school
gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...
i)het aantal huisdieren in een gezin
gegevens: 0, 1, 2, 3 ...
j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen
gegevens: Albanië, Italië, Rusland ...
B
17 Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk.
a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente mogelijke gegevens:
soort gegevens:
b) de bakwijze van een steak mogelijke gegevens:
soort gegevens:
c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22 uur en 23 uur mogelijke gegevens:
soort gegevens:
d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk mogelijke gegevens: soort gegevens:
e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas mogelijke gegevens:
soort gegevens:
f) de hobby’s bij 16-jarigen mogelijke gegevens:
soort gegevens:
g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen mogelijke gegevens:
soort gegevens:
h) de mate waarin een sporter bijgelovig is mogelijke gegevens:
soort gegevens:
9.3 Statistisch onderzoek
9.3.1 Context
Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context
Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.
Wat zijn de elementen van het onderzoek? (Wie of wat wordt onderzocht?)
Wat zijn de kenmerken? (Wat wordt er onderzocht bij de elementen?)
Met welk soort gegevens heb je te maken?
Wat wil je weten?
Waarom voer je het onderzoek?
de tevredenheid over het openbaar vervoer
Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?
9.3.2
Enquête
Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af.
Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ...
De ondervraagde mensen noem je de respondenten
Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.
9.3.3
Vraagstelling
Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête.
Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn.
Open vragen
Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn.
De respondent mag het antwoord zelf formuleren.
De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt.
Gesloten vragen
Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?
❒ bus ❒ trein ❒ tram ❒ geen
De antwoordmogelijkheden zijn beperkt, gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen.
Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.
9.3.4
Steekproef en populatie
Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd.
Dat is onmogelijk.
Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.
Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt.
De tv-studie van CIM meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen.
Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd.
Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin en eventuele gasten in Vlaanderen en Brussel.
In totaal staat het panel voor 3 700 personen.
Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder.
Sinds januari 2016 bepaalt men het totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.
De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie
De kijkers zijn de elementen
In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie.
Een deel van de populatie noem je een steekproef
De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen.
Soorten steekproeven
100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.
In iedere Vlaamse provincie wordt aan 60 stedelingen en 40 plattelandbewoners gevraagd naar hun afkomst.
Elke tiende persoon van een lijst wordt ondervraagd over de vrijetijdsbesteding.
de aselecte steekproef de gerichte steekproefde systematische steekproef
Elk element van de steekproef is bij toeval gekozen en elk element heeft evenveel kans om gekozen te worden.
De populatie wordt onderverdeeld in deelgroepen. Binnen elke deelgroep doe je een aselecte steekproef.
De steekproefelementen worden uit de populatie gekozen volgens een bepaald systeem.
(Live+7)
Aantal kijkers*
9.3.5 Wat er kan mislopen bij een onderzoek
Problemen met de vraagstelling
Bij een onderzoek is de vraagstelling heel belangrijk.
Een vraag moet duidelijk zijn en niet voor interpretatie vatbaar.
Wat is er verkeerd aan de volgende vraag?
Ben je voor of tegen de besparingspolitiek van de regering?
Problemen met de respons
De respons moet groot genoeg zijn. Anders zijn de conclusies niet betrouwbaar.
Een krant doet een onderzoek over ‘voor of tegen het gebruik van kernenergie’.
Uit de onlineantwoorden blijkt dat 70 % voor is.
Is dat cijfer betrouwbaar, als de respons maar 10 % bedraagt?
Problemen met de steekproef
De steekproef moet evenwichtig samengesteld zijn.
Anders krijg je vertekende resultaten.
Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd.
Wat is er fout aan die steekproef?
Oefeningen
REEKS A
18 Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen.
a)de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen
populatie:
steekproef:
b)de schoenmaat van de Vlaamse scholier
populatie:
steekproef:
c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League
populatie:
steekproef:
d) de inhoud in ml van melkflessen
populatie:
steekproef:
e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert
populatie:
steekproef:
9.4 Categorische gegevens verwerken
9.4.1
Frequentietabel
Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:
De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.
Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen.
Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel
x i n i f i
• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom.
notatie: x i
• Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie
notatie: n i
notatie: f i 7 7 60 ≈ 0,116 7 = 11,67 %
Definitie Absolute frequentie
De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.
• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt.
Definitie Relatieve frequentie
De relatieve frequentie f i van het gegeven x i f i = n n i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.
9.4.2 Grafische voorstellingen
Staafdiagram
• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden.
• De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.
Cirkeldiagram
• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.
• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.
9.4.3 Categorische gegevens verwerken met ICT
EXCEL
Frequentietabel
Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.
Staafdiagram
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.
• Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom.
• Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken –Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling.
• Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel).
• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in.
• Gegevenslabels toevoegen.
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
GEOGEBRA
Oefeningen
REEKS A
19 Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker.
a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de relatieve frequentie,
• een cirkeldiagram.
c) Hoeveel leerlingen vinden de kwaliteit van het middagmaal slecht of zeer slecht?
d) Hoeveel procent van de leerlingen vindt het eten niet zeer lekker?
20 Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd.
x i n i f i
a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
• een cirkeldiagram.
c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen?
21 Steeds meer mensen schakelen over op een elektrische wagen. Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2023.
aantal elektrische wagens in België
Vlaanderen
Brussel
Wallonië
totaal
a)Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel en Wallonië samen ingeschreven?
b)‘Er rijden 63,48 % meer elektrische wagens in Vlaanderen dan in Wallonië.’
Klopt die bewering?
c)Teken met ICT een cirkeldiagram.
22 In een Vlaamse stad zijn er 26 749 mensen die een sport beoefenen.
Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven.
a) Vul de frequentietabel in.
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c) Hoeveel ondervraagde mensen beoefenen geen voetbal en geen tennis?
23 Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten.
a) Stel een frequentietabel op.
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie.
• een cirkeldiagram.
c) Welk merk komt het meest voor?
d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?
e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?
f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?
Waarom (niet)?
24 Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd.
a)Maak een frequentietabel.
bloedgroep n i f i A B AB O
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
d) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B?
e) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?
f) Hoeveel keer meer kans heb je om bloedgroep B te hebben dan bloedgroep AB?
25 Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd.
LSMLXL
MXLXLLM
LMLML
LXXLXXLXLL
LSMMM
MLXLSL
LMMSL
XLSXLLM
MXLMLXL
XXLXLSLXXL
MXXLSXLM
MMSXXLM
LMMML
LXLXLMS
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
a)Maak een frequentietabel.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
d)Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M?
e) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L?
f)Hoeveel procent meer mensen heeft maat M dan L?
26 Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN).
BUBFFIBFFIBUFI VO
BUBFFIBUFI VO BUFI
FI VO WA BFBUBFBUBU
TRBFFIBFFIBFBU WA
BUFITR VO BU WA FITR
FIBFFIBFBUBF WA FI
TR VO BUBFTR VO BUBU
FIBFFIBFANFIFIBU
AN WA TR WA FIBFBUTR
FIBFTRBFBU VO FIBU
b)Teken met ICT een cirkeldiagram.
c)Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.
a)Maak een frequentietabel. vervoermiddel n i f i VO FI BU TR WA BF AN
d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?
e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school?
f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school?
g) Twee vervoermiddelen maken samen de helft van de steekproef uit. Welke?
27 Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A).
POBPO
OPTTP
TOAPO
PPPOP
AOAPP
a)Maak een frequentietabel. operator n i f i andere
PTPPO
b) Teken met ICT een cirkeldiagram.
c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
d) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus?
e) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?
f) Hoeveel procent is het marktaandeel van Proximus groter dan dat van Telenet?
9.5.1
Frequentietabel
Op een toets wiskunde op 10 behaalden de leerlingen de onderstaande punten: 155058316765243466
487923570566178355
Naar analogie met de categorische gegevens kun je voor elk gegeven de absolute en relatieve frequentie bepalen.
025,56 %25,56 %
138,33 %513,89 %
225,56 %719,44 %
3411,11 %1130,56 %
438,33 %1438,89
Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens.
Dat aantal is gelijk aan 2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14
Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven.
Je noteert die frequentie als cn 5
Definitie Cumulatieve absolute frequentie
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i .
Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5
Definitie Cumulatieve relatieve frequentie
De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en cfi = cn n i de omvang n van de steekproef.
Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10?
Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10?
Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10?
9.5.2 Grafische voorstellingen
Staafdiagram
• De werkwijze is dezelfde als die van categorische gegevens.
• De hoogte van de verticale staven komt overeen met de (relatieve) frequentie.
• Bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens worden de staven zo smal mogelijk getekend.
Lijndiagram
Cumulatief staafdiagram en cumulatief lijndiagram
• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde.
• De verticale as bevat de frequenties.
• Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ).
toets wiskunde punten op 10
EXCEL
Frequentietabel
Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.
Staafdiagram
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en werk naar analogie met paragraaf 9.4.3.
• Om de staven te versmallen:
• Rechtermuisklik op een van de staven.
• Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %.
Lijndiagram
Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.
• Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen.
• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i
• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’.
• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.
• De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes.
De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
GEOGEBRA
Oefeningen
REEKS A
28 Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd.
leeftijd deelnemers kamp
a)Maak een frequentietabel.
b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?
c) Van welke leeftijden zijn er meer dan 10 deelnemers?
29 Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten.
a)Maak een frequentietabel. x i n i f i cn i cf i
b)Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar?
c)Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag?
d)Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag?
30 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken.
a)Maak een frequentietabel.
b)Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
c) Hoeveel mensen hebben hoogstens vier kledingstukken gekocht?
d) Hoeveel procent van de mensen kocht drie of vier kledingstukken?
e)Hoeveel mensen kochten minstens één kledingstuk?
f) Er zijn meer mensen die drie kledingstukken kopen dan vier. Hoeveel procent meer?
9.6.1 Het gemiddelde
Definitie (Rekenkundig) gemiddelde
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen.
Notatie
De som van termen van de vorm x i , waarbij de index i varieert van 1 tot n, noteer je kort x i
Voorbeeld
Het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9: x =
Afspraak
Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens.
• Het aantal leerlingen dat slechter scoort dan het gemiddelde is
Verdeelt het gemiddelde de resultaten in twee even grote groepen?
Het gemiddelde heeft de fysische betekenis van een evenwichtspunt.
Anders gezegd: als je alle punten in een pot doet en daarna gelijk verdeelt onder alle leerlingen, dan krijgt elke leerling het gemiddelde.
• Vervang je het resultaat 9 door 50, dan wordt het gemiddelde
Dat illustreert dat één resultaat het rekenkundig gemiddelde sterk kan beïnvloeden.
Je gebruikt de Excelfunctie ‘gemiddelde’. Selecteer de cellen met de gegevens waarvan je het gemiddelde wilt berekenen.
Druk op enter en rond af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens.
Formule
9.6.2
Het
gemiddelde berekenen uit een frequentietabel
De rij2,4,2,4,7,4,4,9
kun je ook met een frequentietabel weergeven:
Het gemiddelde kun je dan als volgt berekenen:
i 2479 n i 2411
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n = n i
Voorbeeld
De punten voor een toets wiskunde in het vierde jaar vind je in de tabel. x i 0123456789 n i 2324386431
Niet iedereen kan boven het gemiddelde scoren.
9.6.3
De mediaan
In de gerangschikte rij van 9 getallen 0,2,3,3, 6, 6,6,6,7 is het middelste getal het getal uit die rij. Dat getal noem je de mediaan.
In de gerangschikte rij van 10 getallen 0,2,3,3, 3, 5, 6,6,6,7 zijn er twee middelste getallen, het en het getal uit die rij.
Het gemiddelde van die twee getallen, dus , is de mediaan.
Definitie Mediaan
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde n +1 2
De mediaan verdeelt een gegevensrij in twee delen met evenveel elementen.
De helft van de gegevens is hoogstens de mediaan, de andere helft minstens de mediaan.
EXCEL
GEOGEBRA
Je gebruikt de Excelfunctie ‘mediaan’.
Selecteer de cellen met de gegevens waarvan je de mediaan wilt bepalen.
De gegevens moeten niet gerangschikt zijn.
9.6.4 De mediaan bepalen uit een frequentietabel
Om de mediaan te bepalen van gegevens die in een frequentietabel gegeven worden, gebruik je de cumulatieve absolute frequentie.
Voorbeeld
x i 012345678
Dus Me = n i 217237742
De mediaan van getallen is het getal met rangorde .
Betekenis: de helft van de gegevens is hoogstens 5, de andere helft is minstens 5.
9.6.5 De modus
Definitie
Modus
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
Voorbeeld
x i 0123456789
De modus is n i 2324386431
9.6.6 Voor- en nadelen van gemiddelde en mediaan
• Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens.
Die centrummaat is heel geschikt bij wetenschappelijk onderzoek.
Besluit
De tabel toont de punten van een klas van 12 leerlingen voor een eenvoudige toets Frans op 10 punten.
91098910
91090109
x =
Hoeveel leerlingen scoren beter dan het gemiddelde?
Verwijder de ‘uitschieter’ en bereken opnieuw het gemiddelde.
• Bepaal de mediaan voor de punten Frans in de bovenstaande tabel.
Me =
De mediaan is gedefinieerd als het middelste gegeven en is dus niet vatbaar voor uitschieters.
• Dezelfde klas van 12 leerlingen maakte ook een toets wiskunde op 10 punten.
Je ziet de resultaten in de onderstaande tabel.
6666666
Me = x = 699991010
Welke centrummaat geeft het best weer dat in die klas bijna de helft van de leerlingen heel goed heeft gescoord?
Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens, maar is vatbaar voor uitschieters. De mediaan ligt altijd in het midden, maar houdt enkel rekening met de volgorde van de gegevens.
Rond 1980 verwierpen bepaalde natuurvorsers het ontstaan van een gat in de ozonlaag van de atmosfeer boven de Zuidpool op basis van satellietgegevens. Later onderzoek bracht aan het licht dat de ozonmetingen boven de Zuidpool zo laag waren dat de gebruikte computersoftware ze systematisch als fout verwierp. Het systematisch verwijderen van uitschieters is geen goede wetenschappelijke onderzoekshouding.
Oefeningen
REEKS A
31 Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20.
x i 67891011121314151617181920
n i 131611172125141168402
cn i
a) Bepaal de mediaan.
b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bereken het gemiddelde.
d) Hoeveel procent van de leerlingen haalde meer dan het gemiddelde?
32 Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen.
x i 012345678
n i 844581395201
cn i
a) Bepaal de mediaan.
b) Geef de betekenis van de mediaan.
c) Bereken het gemiddelde.
d) Geef de betekenis van het gemiddelde.
33 Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen per week ze sporten.
a)Vul de frequentietabel verder aan.
b)Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week?
c)Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?
d)De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week.
e)Bepaal de modus.
f)Bereken het gemiddelde.
34 De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld.
a)Bepaal de mediaan.
b)Geef de betekenis van de mediaan.
c)Bepaal de modus.
d)Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn?
35 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36383941384241434141384038 40413637393840383639403742 37384039423838393739393739 37393938374139384038433936 39403840403837413842364337
a)Maak een frequentietabel.
x i n i f i cn i cf i
b) Teken met ICT:
• een staafdiagram voor de absolute frequentie,
• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
c) Hoeveel jongeren hebben hoogstens 39 als hemdsmaat?
d) Hoeveel procent van de jongeren heeft minstens 40 als hemdsmaat?
e) Hoeveel procent van de jongeren heeft een hemdsmaat 38 of 39?
f)Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
g)Schat de som van de hemdsmaten als je 150 jongeren had ondervraagd.
36 Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd. 926210
a)Maak een frequentietabel.
b)Stel dat je een weddenschap hebt afgesloten, waarbij je voor elke keer dat je 9 of meer ogen gooit, 0,50 euro ontvangt. In andere gevallen betaal je 0,20 euro. Zul je winst of verlies maken?
c) Vul de frequentietabel aan met de theoretische kansen op basis van de onderstaande tabel.
d)Vergelijk de resultaten. Wat kun je daaruit besluiten?
e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9?
f)De helft van de worpen leverde minstens ogen op.
g)Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.
37 Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel.
a)Maak een frequentietabel.
b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.
d) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?
e) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder?
f) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs?
g) Als een boete voor zwartrijden 75 euro bedraagt, wat is dan de ‘opbrengst’ bij die verscherpte controle?
38 In een klas zitten 20 leerlingen. Tijdens een toets wiskunde was één leerling ziek. Het gemiddelde van de toets was 6,5 op 10. De zieke leerling haalde de toets later in. Wat zijn de minimale en de maximale waarde voor het nieuwe gemiddelde?
a)Bereken x en y, als het gemiddelde 12 is.
39 In de tabel lees je de resultaten van een toets Nederlands op 20 punten. x i n i 76 8 x 910 103x 1119 1222 1326 14 y 159 169 176 150
b)Bepaal de mediaan.
40 Van een steekproef met 5 waarden is het rekenkundig gemiddelde 10 en de mediaan 12. Wat is de kleinst mogelijke waarde van het verschil tussen de grootste en de kleinste steekproefwaarde?
Bron: VWO, editie 1994, tweede ronde
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek
9.1 Inleiding
Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten.
Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn.
Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.
9.2 Soorten gegevens
KENNEN
Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven.
Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.
Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.
Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen.
Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.
Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.
KUNNEN
Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.
Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens.
Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens.
Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.
9.3 Statistisch onderzoek
KENNEN
De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek.
Een deel van de populatie noem je een steekproef.
KUNNEN
Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef.
Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.
Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.
9.4 Categorische gegevens verwerken
KENNEN
De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt.
De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi = n i n
KUNNEN
De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.
ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
9.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + + ni
De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi = cn i n
KUNNEN
Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.
De enkelvoudige frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.
De cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen.
ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.
9.6 Centrummaten
KENNEN
Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
Het gemiddelde uit een frequentietabel:
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n
De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde n + 1 2
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
KUNNEN
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
1. Jantje liegt op zes dagen van de week, maar op één dag spreekt hij altijd de waarheid. De volgende uitspraken deed hij op drie opeenvolgende dagen:
• dag 1: ‘Ik lieg op maandag en dinsdag.’
• dag 2: ‘Vandaag is het donderdag, zaterdag of zondag.’
• dag 3: ‘Ik lieg op woensdag en vrijdag.’
Op welke dag van de week spreekt Jantje de waarheid?
2. Louise gaat met enkele vrienden iets drinken en bestelt ook een portie bitterballen. Die worden enkel in porties van 6, 9 of 20 geserveerd. Wat is het grootste aantal bitterballen dat je niet kunt bestellen met die porties?
3. Bereken de natuurlijke getallen x en y, als 3x 2 – 3y 2 = 2 397.
HOOFDSTUK 10 I VECTOREN
10.1Begripsvorming 214
10.2Bewerkingen met vectoren
10.3Toepassingen uit de fysica
10.4Vectoren in een orthonormaal assenstelsel
10.5 Meetkundige objecten beschrijven met behulp van vectoren
239
250
10.1.1
Benaming en voorstelling
Een georiënteerd lijnstuk is een lijnstuk waarop een zin is aangeduid doormiddelvaneenpijl.
Alle gelijke georiënteerde lijnstukken vormen samen een vector.
Je zegt dat de georiënteerde lijnstukken ⟶ PP9 , ⟶ QQ9 en ⟶ RR9 vertegenwoordigerszijn van eenzelfdevector → AB
Het beeld van driehoek PQR door de verschuiving volgens devector → AB is dedriehoek P9Q9R9
Je noteert: t→ AB (å PQR) = å P9Q9R9
Definitie Vector
Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door
• een grootte,
• een richting,
• een zin.
Notatie: → AB Je leest dit als: de vector AB
Je kunt een vector ook noteren met een kleine letter met een pijltje erboven: → AB = → v
Bijzonder geval
Een vector met hetzelfde beginpunt als eindpunt noem je een nulvector
De nulvector heeft geen richting en geen zin.
De grootte van de nulvector is 0.
Notatie: → AA = ⟶ BB = = → O
Er bestaan verschillende soorten vectoren.
vrije vector gebonden vector
Een vrije vector wordt gekenmerkt door eenrichting, zinenlengte.
Een vrije vector kan overal inhetvlak of inderuimte getekendworden; hetblijft dezelfdevector.
Scalaire en vectoriële grootheden
Een gebonden vector is eenvector die vast(gebonden)is aaneen aangrijpingspunt
Een gebonden vector komt overeen met juistéénvertegenwoordiger vaneenvector.
Bij toepassingen wordt een onderscheid gemaakt tussen twee soorten grootheden.
Scalaire grootheden worden volledig bepaald door een maatgetal en een eenheid.
Voorbeelden:
• lengte: 2 m
• massa: 46,2 kg
• temperatuur: 21,0 ºC
Vectoriële grootheden hebben een grootte, richting en zin. Ookhetaangrijpingspunt is vanbelang. Zewordenvoorgesteld metbehulpvaneenvector.
Voorbeelden:
• kracht
• snelheid
• versnelling
10.1.2
De norm van een vector
De norm (of de grootte) van een vector → AB is de lengte van het lijnstuk [AB].
Notatie: ‖→ AB‖ Je leest dit als: de norm van vector AB
Definitie Norm van een vector
De norm van een vector → AB is de lengte van het lijnstuk [AB]. ‖→ AB‖ = | AB |
10.1.3 Gelijke vectoren → AB = ⟶ CD ⇔
Definitie Gelijke vectoren
Twee vectoren zijn gelijk als en slechts als ze
• dezelfde grootte hebben;
• dezelfde richting hebben;
• dezelfde zin hebben.
10.1.4 Tegengestelde vectoren
Definitie Tegengestelde vectoren
Twee vectoren zijn tegengesteld als en slechts als ze
• dezelfde grootte hebben;
• dezelfde richting hebben;
• een tegengestelde zin hebben.
Opmerking: de tegengestelde vector van een vector → v noteer je als –→ v
Er geldt → AB
Oefeningen
REEKS A
1 Vink de correcte kenmerken aan van vector → AB envector ⟶ CD.
dezelfde grootte r dezelfde richting r dezelfde zin r
dezelfde grootte r dezelfde richting r dezelfde zin r
dezelfde grootte r dezelfde richting r dezelfde zin r
2 Welke vectoren zijn gelijk en welke zijn tegengesteld? Noteerinsymbolen.
Gelijke vectoren: Tegengestelde vectoren:
3 Teken een vector ⟶ CD zodat → AB = ⟶ CD
4 Teken een vector ⟶ CD zodat → AB = –⟶ CD.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) was een Nederlandse graficus. Hij maakte in totaal 448 lithografieën, houtsneden en houtgravures en meer dan 2 000 tekeningen en schetsen. Enkele zeer bekende werken van hem zijn ontworpen rond onmogelijke objecten, zoals de Penrose-trap. Zijn gravures verbeelden vaak onmogelijke constructies, studies van oneindigheid en in elkaar passende meetkundige patronen (vlakverdelingen).
5 Vul telkens het beeld in van de verschuiving volgens de gegeven vector.
t
EI ( ) = F 10 g) t→ AC ( ) = F 11 h) t ⟶ DG ( ) = F 10
6 Teken de punten E, F, G en H als je weet dat
⟶ CD = → BE
7 De figuur is opgebouwd uit vierparallellogrammen metdezelfdebasis enhoogte. Vul telkens in met + of –. G D H E F
a) → AB = → EF
b) → BC = → ED
c) → HI = ⟶ GH
d) ⟶ AD = → CF
e) ⟶ HG = → DE
f) → FC = ⟶ AD
g) → AC = → DF
h) → EH = → FI i) ⟶ GD = → FI
j) → BA = → BC
8 De figuur is opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken. B is het midden van [AC], D is het midden van [AF] en E is het midden van [CF].
a) Vul aan zodat je eengelijkevectorkrijgt.
→ AB = → D
⟶ BD = ⟶ E
⟶ DA = ⟶ F
→ CE = → B
b) Vul aan zodat je eentegengesteldevectorkrijgt.
→ AB = –→ C → BE = –⟶ F → FE = –→ C → DE = –→ B
10.2 Bewerkingen met vectoren
10.2.1
Inleiding
In de lucht ondervindt een valschermspringer verschillende krachten:
• een kracht → FZ gericht naar het middelpunt van de aarde: de zwaartekracht;
• een kracht → F w veroorzaakt door de wind.
De resulterende kracht kun je voorstellen met behulp van één vector: → F R
Ze heeft hetzelfde effect als de andere twee krachten samen. Om die kracht nauwkeurig te tekenen, leer je in dit onderdeel hoe je vectoren kunt optellen.
10.2.2
De som van vectoren
Formule van Chasles-Möbius
Als drie punten in het vlak gegeven zijn, dan kun je, waar je die punten ook legt, altijd de volgende som noteren:
Je noemt vector → AC de somvector van de vectoren
Formule Chasles-Möbius
Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: →
De somvector tekenen
Geval 1: het eindpunt van de eerste vector valt samen met hetbeginpunt van detweedevector.
Deze methode steunt op de formule vanChasles-Möbius.
Geval 2: het eindpunt van de eerste vector valt niet samen met hetbeginpunt van detweedevector.
Je tekent een nieuwe vertegenwoordiger van detweedevector, zodat heteindpunt van deeerstevector samenvalt methetbeginpunt vandetweedevector.
(gelijkevectoren)
formule Chasles-Möbius
Deze methode heet de kop-staartmethode
Geval 3: de twee vectoren hebben hetzelfde beginpunt
Als de twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben, kun je, naast dekop-staartmethode, ookde parallellogrammethode toepassen omdesomvector tetekenen.
Je tekent een parallellogram waarvan [AB]en[AC]tweezijdenzijn.
De diagonaal [AD] uit het gemeenschappelijk beginpunt A bepaalt dan de somvector ⟶ AD
10.2.3 Het verschil van vectoren
Definitie Verschil van twee vectoren
Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector.
→ AB –⟶ CD = → AB + (–⟶ CD)
De verschilvector tekenen
Om twee vectoren van elkaar af te trekken, teken je een nieuwe vertegenwoordiger van –⟶ CD, zodat het eindpunt van de eerste vector samenvalt met het beginpunt van deze nieuwe vertegenwoordiger.
C E A
AB –⟶ CD verschil van vectoren = → AB + (–⟶ CD) –→ CD = → DC (tegengestelde vectoren)
= → AB + ⟶ DC → DC = → BE (gelijke vectoren)
= → AB + → BE formule Chasles-Möbius
= → AE
Voorbeeld
a)Teken ⟶ PQ –→ RS
b) Vul aan.
10.2.4 Een vector ontbinden in twee componenten
Je kunt elke vector ontbinden in een som van twee of meer vectoren.
Voorbeelden
Ontbind vector → u in twee componenten → v en
De drager van vector → v is evenwijdig met b
De drager van vector → w is evenwijdig met a
10.2.5 De vermenigvuldiging van een vector met een getal
De vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal noem je de scalairevermenigvuldiging
Definitie Vermenigvuldiging van een vector met een getal
De vector r → AB (metr ∈ r 0) is een vector waarvan:
• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r en de lengte van → AB ;
• de richting dezelfde is als die van → AB ;
• de zin dezelfde is als die van → AB als r > 0 en tegengesteld als r < 0.
Voorbeelden
a)Gegeven: → AB
Gevraagd:teken 2 ? → AB A B
Bijzondere gevallen
0 → AB = → O r ? → O = → O
b)Gegeven: → u
Gevraagd:teken –3 ? → u u
De formule van Chasles-Möbius is genoemd naar August Ferdinand Möbius (1790-1868) en MichelChasles(1793-1880). Ondankshetfeitdatdeformule naarhenwerdgenoemd, hebbendetweeelkaar, naarallewaarschijnlijkheid, nooitontmoet.
August Möbius was een Duitse wiskundige die in 1815 professor sterrenkunde werd in Leipzig. Later werd hij directeur van de nieuw gebouwde universitaire sterrenwacht.Möbius is onder meer bekend van zijn bijdrage aan de algebraïsche meetkunde en de topologie. Ook de band van Möbius werd naar hem genoemd.
Michel Chasles was een Franse wiskundige die studeerde aan deberoemde Ecole Polytechnique in Parijs, waar hij nadien professor werd. Hij is onder meer bekend van zijn studie van de projectieve meetkunde en de theoretische mechanica.
Oefeningen
REEKS A
9 Teken de som van de vectoren en vul aan.
11 Teken de gevraagde vector.
a) ⟶ DC = 2 ? → AB A
b) ⟶ CD = –3 ? → AB
c) → BC = –2 ? → AB AB
→ BA = 1 2 ? ⟶ DC
REEKS B
12 Vereenvoudig de vectorsommen door gebruik te maken van veelvouden.
a) → AB + → AB + → AB + → AB + → AB = b) –⟶ CD –⟶ CD =
c) ⟶ PQ + ⟶ PQ + → RS + → RS + → RS =
d) → u + → u –→ v
13 Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) ⟶ PQ + = → PR
b) → AB + ⟶ BD + = → AE
c) → DF + = → O
d) –→ AB – = → BC
e) → DF + → FB + → BE =
f) → AA + = → AB
g) ⟶ PQ = → PR –
h) –→ DE = –→ AE +
14 Ontbind vector → u in twee componenten → v en
De drager van vector → v is evenwijdig met b
De drager van vector → w is evenwijdig met a
15 De figuur bestaat uit vijf even grote gelijkbenige driehoeken. Bepaal telkens de som of het verschil van de vectoren.
16 De figuur bestaat uit negen gelijkzijdige driehoeken. Vul in met een vector.
17 Welke soort vierhoek is ABCD als je weet dat A, B, C en D niet-collineairepuntenzijn?
a) → AB = 2 ⟶ CD
b) → AB = –⟶ CD
18 Gegeven is åABC. Teken de punten P, Q en R alsjeweetdat:
a) → AB + → AC = → AP
b) → CA –→ BC = ⟶ CQ
c) → AC + → AC = → AR
19 De volgende figuur bestaat uit vier rechthoeken meteengelijkelengteengelijke breedte. Schrijf de vector als een som van veelvouden van → u en → v. l
a) → DF =
b) → GE =
c) ⟶ HC =
d) ⟶ GA =
e) → GC =
f) → FD =
g) → ID = h) → FH =
20 Teken de som of het verschil van de vectoren.
21 Gegeven is een regelmatige zeshoek. De straal van de omgeschreven cirkel heeft dezelfde lengte als dezijdevandezeshoek. Schrijf de vector als een som van veelvouden van → u en → v
22 Gegeven is een parallellogram ABCD en een willekeurig punt P. Bewijs dat voor elk punt P geldt: → AB + → CP = ⟶ DP
23 In welk vak kom je terecht als je de drie vectoren ⟶ OA, ⟶ OB en ⟶ OC optelt? Laat je werkwijze zien.
24 Gegeven is een kubus. M en N zijn de snijpunten van de diagonalen van de zijvlakken. Schrijf als één vector.
→ AB + ⟶ CH –→ GF +2 ? → EN = d) → BC +2 ? ⟶ NB –→ FB –→ AF = b) ⟶ DC –⟶ NB –⟶ NA + ⟶ DA = e) –⟶ GD + ⟶ HB + ⟶ BD –→ BF = c) 2 ? ⟶ CM + → FG –⟶ CH + → CB =
⟶ ME –→ NE –⟶ AN + ⟶ AM =
10.3 Toepassingen uit de fysica
10.3.1
Krachtvectoren
Een kracht is een vectoriële grootheid en kan worden voorgesteld met behulp van een gebonden vector.
Een krachtvector wordt bepaald door
• een aangrijpingspunt A,
• een richting AB,
• een zin: van A naar B,
• een grootte: ‖→ AB‖ = | AB |
Als twee krachten → F 1 en → F 2 inwerken op een voorwerp met hetzelfde aangrijpingspunt, dan teken je de resulterende kracht → F R als somvector van → F 1 en → F 2
De krachtvectoren hebben niet dezelfde richting
Tuur en Domien staan ieder aan een kant van een boot. Ze trekken elk aan een touw dat aan de voorkant van de boot werd bevestigd. Tuur trekt met een kracht van 400 N, Domien met een kracht van 550 N.
Teken de resulterende kracht → F R .
De krachtvectoren hebben dezelfde richting en dezelfde zin
Pieter en Stan duwen aan dezelfde kant een kist horizontaal naar rechts. Ze duwen elk met een kracht van 400N.
Teken de resulterende kracht → F R
• De richting van de krachten → F 1 en → F 2 is dezelfde.
• De zin van de resulterende kracht → F R is horizontaal naar rechts.
• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt: ‖→ F R ‖ = ‖→ F 1 ‖ + ‖→ F 2‖ = 400+400 = 800
De grootte van de resulterende kracht bedraagt 800N.
De krachtvectoren hebben dezelfde richting en een tegengestelde zin
Pieter en Stan willen zien wie van de twee het sterkst is. Ze duwen elk aan eenkant vaneenkist. Pieterduwtmeteenkracht → F 1 van400N horizontaalnaarrechts en Standuwtmeteenkracht → F 2 van500Nhorizontaalnaarlinks.
Teken de resulterende kracht → F R .
• De richting van de krachten → F 1 en → F 2 is dezelfde.
• De zin van de resulterende kracht → F R is horizontaal naar links.
Je kunt besluiten dat Stan het sterkst is.
• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt:
‖→ F R ‖ = ‖→ F 2 ‖ – ‖→ F 1‖ = 500–400 = 100
De grootte van de resulterende kracht bedraagt 100 N.
10.3.2 Snelheidsvectoren
Een snelheid heeft altijd een welbepaalde richting, zin en grootte. Als aangrijpingspunt wordt meestal het massazwaartepunt genomen van het voorwerp dat beweegt. Snelheid is daarom ook een vectoriële grootheid.
10.3.3 Versnellingsvectoren
Als de snelheidsvector van een voorwerp verandert, dan zeg je dat het voorwerp ‘versnelt’. Dat woord kan soms wat verwarrend zijn omdat een snelheidsverandering ook een vertraging kan betekenen.
Notatie versnellingsvector: → a
Als de versnellingsvector → a dezelfde zin heeft als de snelheidsvector → v, dan neemt de snelheid in grootte toe.
t = 0 (s)
De auto staat stil. Joris start zijn wagen en drukt op het gaspedaal.
t = 1 (s)
De auto van Joris versnelt.
t = 5 (s)
De auto van Joris versnelt nog altijd.
Als de versnellingsvector → a een tegengestelde zin heeft ten opzichte van de snelheidsvector → v, dan neemt de snelheid in grootte af.
t = 0 (s)
Joris rijdt met zijn wagen en duwt op het rempedaal.
t = 2 (s)
Joris duwt nog steeds op het rempedaal. De auto van Joris vertraagt.
Oefeningen
REEKS B
25 Vijf kinderen spelen een spelletje touwtrekken.
De twee jongens trekken samen met een kracht → F 1 van 500 N naar links.
De drie meisjes trekken samen met een kracht → F 2 van 670 N naar rechts.
Stel een grootte van 100 N voor als 1 cm.
a) Teken de krachtvectoren → F 1 en → F 2 op de tekening. Neem als aangrijpingspunt het midden A van het touw.
b) Teken de resulterende kracht → F R
c) Hoe groot is de resulterende kracht?
d) Wie wint het spelletje touwtrekken?
26 Laura stapt op de bus en gaat achteraan zitten.
De bus vertrekt oostwaarts en rijdt tegen een snelheid van 52 km/h.
a) Laura wil de buschauffeur iets vragen.
Ze wandelt met een snelheid van 4,5 km/h oostwaarts.
Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?
b) Nadien wandelt Laura terug met een snelheid van 4 km/h in de richting van het westen.
Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?
27 Mil en Margot trekken ieder aan een zware koffer. De zin, de richting en de grootte van de uitgeoefende krachten vind je op de tekening.
Teken telkens de resulterende kracht → F R
Situatie 1:
Situatie 2:
De zwaartekracht → F Z op een voorwerp dat naar beneden rolt, glijdt, valt… grijpt aan in het massazwaartepunt en is verticaal naar beneden gericht. Je kan de zwaartekracht ontbinden in twee krachtcomponenten die loodrecht op elkaar staan. Het dynamischeffect van de zwaartekracht zorgt voor de beweging schuin de helling af (de x-richting). Het statisch effect van de zwaartekracht is de kracht loodrecht op de beweging (de y-richting). Bij een bobslee die naar beneden glijdt, veroorzaakt deze kracht de spoorvorming.
REEKS C
28 Een bobslee daalt af onder invloed van de zwaartekracht → F Z
Ontbind de zwaartekracht in twee krachtcomponenten ⟶ F Z,x , die zorgt voor het dynamisch effect van de bobslee, en ⟶ F Z,y , die zorgt voor het statisch effect van de bobslee.
10.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel
10.4.1 Coördinaat van een puntvector
Definitie Orthonormaal assenstelsel
Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij
• de assen loodrecht op elkaar staan;
• de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.
GEOGEBRA
Gegeven is een orthonormaal assenstelsel
met oorsprong O
• Teken een vertegenwoordiger ⟶ OP van de vector → AB
• Teken een vertegenwoordiger ⟶ OQ van de vector ⟶ CD
Omdat de oorsprong het beginpunt is van de vectoren ⟶ OP en ⟶ OQ, kun je een verkorte
notatie gebruiken: → P = ⟶ OP en → Q = ⟶ OQ
Je noemt → P en → Q puntvectoren
Een puntvector ontbinden in twee componenten
De drager van vector → E x is de x-as en de drager van vector → E y is de y-as.
‖→ E x‖ = ‖→ E y‖ = 1.
→ E x en → E y noem je eenheidsvectoren
Het punt P heeft een coördinaat (x, y).
Dat noem je de coördinaat van de puntvector → P
Notatie: co (→ P) = (x, y)
Je kunt de vector → P schrijven als de som van x aantal keren de eenheidsvector → E x en y aantal keren de eenheidsvector → E y
Notatie: → P = x ? → E x + y ? → E y
Je zegt dat de puntvector → P ontbonden is in een component volgens de x-as (x-component) en een component volgens de y-as (y-component).
10.4.2 Coördinaat van een vrije vector
Gegeven is een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O
• De coördinaat van een vector → AB vind je door een puntvector → P te tekenen met dezelfde richting, zin en grootte als de oorspronkelijke vector.
Omdat → P = –4 → E x +3 → E y , kun je besluiten dat co (→ P) = (–4,3)
Omdat → AB en → P gelijke vectoren zijn, is ook hun coördinaat gelijk.
co (→ AB) = co (→ P) = (–4,3)
• Je kunt de coördinaat van een vector → AB ook vinden door de vector te ontbinden in twee componenten, evenwijdig met de x-as en de y-as.
→ AB = –4 ? → E x +3 ? → E y Je kunt besluiten dat co (→ AB) = (–4,3).
Voorbeeld
Bepaal de coördinaat van de vectoren.
co ( → A ) =
co ( → B ) =
co ( → C ) =
co ( → DE ) =
co ( → FG ) =
co ( → HI ) =
Oefeningen
REEKS A
29 Bepaal de coördinaat van de vectoren.
co (→ A) =
co (→ B) =
co (→ C) =
co (→ DE) =
co (→ FG) =
co (→ HI) =
co (→ JK) =
co (⟶ LM) =
–7–6–5–4–3–2–112345
30 Teken de componenten van de puntvector → A volgens de x-as en de y-as.
Schrijf daarna vector → A als som van zijn x-component en y-component.
31 Bepaal de coördinaat van de vectoren.
co (→ AC) =
co (→ BC) =
co (⟶ CD) =
co (→ BE) =
co (⟶ AD) =
co (→ CE) =
co (→ DE) =
co (→ CA) =
co (→ EB) =
co (→ AB) =
–5–4–3–2–1 12345
32 Teken de vectoren in het assenstelsel. Eénpuntvandevectoristelkensgegeven.
co (→ AB) = (5,1)
co (⟶ CD) = (0,–4)
co (→ EF) = (2,–1)
co (⟶ GH) = (1,–5)
co (→ IJ) = (3,2)
co (→ KL) = (5,0) –6–5–4–3–2–11234567
10.4.3 Coördinaat van de somvector
Je tekent de somvector → AB + ⟶ CD = → AE in een orthonormaal assenstelsel.
Vul telkens de coördinaat in.
co (→ AB) = ()
co (⟶ CD) = () +
co (→ AB + ⟶ CD) = ()
De coördinaat van de somvector → AB + ⟶ CD wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen van → AB en ⟶ CD op te tellen.
Algemeen
Als co (→ AB) = (x 1, y 1) en co (⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co (→ AB + ⟶ CD) = co (→ AB) +co (⟶ CD) = (x 1, y 1)+(x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)
10.4.4 Coördinaat van de verschilvector
Je tekent de verschilvector → AB –⟶ CD = → AE in een orthonormaal assenstelsel.
Vul telkens de coördinaat in.
co (→ AB) = ()
co (⟶ CD) = () –
co (→ AB –⟶ CD) = ()
De coördinaat van de verschilvector → AB –⟶ CD wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen van → AB en ⟶ CD af te trekken. −5−4−3−2−1
Algemeen
Als co (→ AB) = (x 1, y 1) en co (⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co (→ AB –⟶ CD) = co (→ AB) –co (⟶ CD) = (x 1, y 1)–(x 2, y 2) = (x 1 – x 2, y 1 – y 2)
10.4.5 Coördinaat van een scalair veelvoud van een vector
Je tekent de vector r → AB in een orthonormaal assenstelsel.
Vul telkens de coördinaat in.
co (→ AB) = ()
co (2 ? → AB) = ()
? 2 ? 2 (–3) (–3)
co (−3 → AB) = ()
De coördinaat van de vector r ? → AB wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen van → AB te vermenigvuldigen met een factor r
1234
Algemeen
Als co (→ AB ) = (x 1, y 1), dan is
Voorbeeld
Gegeven: co (→ A) = (–1,3) co (→ B) = (4,–2) co (→ C) = (6,3) co (→ D) = (0,–4)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.
co (→ A + → B) =
co (→ B –→ C) =
co (→ D –→ A) =
co (→ C + → B) =
co (3 ? → B) =
co (–2 → A) =
co (3 ? → D –→ B) =
co (–4 → A +2 → B) =
10.4.6 Verband tussen een vector en een puntvector
Voor elke vector → AB geldt:
→ AB = ⟶ AO + ⟶ OB Chasles-Möbius ⇓ → AB = ⟶ OB + ⟶ AO
→ AB = ⟶ OB – (–⟶ AO)
→ AB = ⟶ OB –⟶ OA
= → B –→ A
Besluit In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kun je elke vector → AB schrijven als het verschil van de puntvector → B van het eindpunt en de puntvector → A van het beginpunt. → AB = → B –→ A
Verband tussen de coördinaat van een vector en de coördinaat van een puntvector
Gegeven is een vector → AB met co (→ A) = (x A, y A) en co (→ B) = (x B, y B).
Uit → AB = → B –→ A volgt:
co (→ AB) = co (→ B –→ A) ⇓
co (→ AB) = co (→ B) –co (→ A) ⇓
co (→ AB) = (x B, y B)–(x A, y A) ⇓
co (→ AB) = (x B – x A, y B – y A)
Als co (→ A ) = (x A, y A) en co (→ B ) = (x B, y B), dan is
co (→ AB) = co (→ B) –co (→ A) = (x B, y B)–(x A, y A) = (x B – x A, y B – y A).
Voorbeeld
Gegeven: co (→ A) = (–4,5) co (→ B) = (–1,–3) co (→ C) = (0,–2)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.
• co (→ AB) =
• co (→ CA) =
10.4.7 De norm van een vector
Gegeven is een vector
Om de norm (of de grootte)
vaneenvector → AB tebepalen, steunje opdestellingvanPythagoras:
Algemeen
Bijzonder geval
Om de norm vaneenpuntvector → A tebepalen, steunjeopnieuw opdestellingvanPythagoras:
Algemeen De norm van een puntvector
isgelijkaan
Voorbeeld
Gegeven: co(→ A) = (–4,5) co(→ B) = (–1,–3) co(→ C) = (0,–2) co(→ D) = (3,7) Bereken de norm van de vector. Rond af op 0,01.
Oefeningen
REEKS A
33 Gegeven: co (→ A) = (3,3) co (→ B) = (–2,2) co (→ C) = (4,0) co (→ D) = (4,–1) Teken de gevraagde vector. Bereken nadien de coördinaat van die vector.
a) → A + → B
2 → B
co(→ A + → B)
b) → A –→ D
co(2 ? → B)
co(→ A –→ D) e) → C –→ A
→ C –→ A)
–2 → D
→ B + → C)
co(−2 → D)
34
Gegeven: co (→ A) = (2,4) co (→ B) = (–2,–1) co (→ C) = (4,–2)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.
a) co (→ AB) =
b) co (→ CA) =
c) co (⟶ OB) =
d) co (→ BC) =
e) co (⟶ CO) =
f) co (→ CB) =
35 Gegeven: co (→ A) = (–4,5) co (→ B) = (0,–3) co (→ C) = (–1,8) co (→ D) = (9,–2)
36 Gegeven: co (→ A) = (2,4) co (→ B) = (0,–5) co (→ C) = (–1,–3) co (→ D) = (3,–4)
Bereken de norm van de vector. Rond af op 0,01.
a) ‖→ AB‖ =
b) ‖⟶ BD‖ =
c) ‖→ CA‖ =
d) ‖⟶ AD‖ =
e) ‖ → C ‖ =
f) ‖ → A ‖ =
REEKS C
37 Gegeven: co (→ A) = (–6,2) co (→ AB) = (3,–2)
Bereken co (→ B).
38 Gegeven: co (→ A) = (–2,–3) co (→ B) = (4,–5) co (→ C) = (0,3)
Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.
a) co (2 → AB +3 → AC) =
b) co (4 → BC –2 → CA) =
10.5 Meetkundige objecten beschrijven met behulp van vectoren
10.5.1 Het midden van een lijnstuk
M is het midden van [AB] ⇓
GEOGEBRA
|AM| = |MB| = 1 2 |AB|
De vectoren ⟶ AM en ⟶ MB zijn even lang, hebben dezelfde richting en dezelfde zin. Het zijn bijgevolg gelijke vectoren.
Er geldt dus: ⟶ AM = ⟶ MB = 1 2 → AB
Definitie Het midden van een lijnstuk
Het punt M is het midden van een lijnstuk [AB] ⇔
Coördinaat van het midden van een lijnstuk
Met behulp van de definitie stel je een formule op voor de coördinaat van het midden van een lijnstuk.
gegeven oplossing
co(→ A) =(xA, y A ) en co(→ B) =( x B , y B ) M is het midden van lijnstuk [AB] ⇕ definitiemiddenlijnstuk
gevraagd
co(→ M)
tekening
Algemeen
Als
Hierbij is M het midden van het lijnstuk [AB].
⟶ AM = ⟶ MB
verbandvectorenpuntvector
coördinaatvandesomvector
→ M) = ( x A + x B 2 , y A + y B 2 )
10.5.2 Een middenparallel van een driehoek
Definitie Middenparallel van een driehoek
GEOGEBRA
Eigenschap
Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt.
Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en half zo lang als die zijde.
tekening
bewijs
CB = CM + MA + AN + NB = = = =
dus MN =
gegeven
åABC
M is het midden van [AC ]. N is het midden van [AB ]. te bewijzen
MN = 1 2 CB
M is het midden van [AC] en N is het midden van [AB] het optellen van vectoren is commutatief formule van Chasles-Möbius scalaire vermenigvuldiging
De driehoek van Sierpinski is een fractaal die werd ontdekt door de Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski.
Uit een gelijkzijdige driehoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de drie middenparallellen van de driehoek. Vervolgens wordt deze procedure oneindig veel herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken.
10.5.3 Het zwaartepunt van een driehoek
Eigenschap Het zwaartepunt van een driehoek bepaalt op elke zwaartelijn van een driehoek twee lijnstukken waarvan het ene lijnstuk tweemaal zo lang is als het andere.
GEOGEBRA
tekening
gegeven
åABC
z1, z2 en z3 zijn zwaartelijnen van åABC. Z is het zwaartepunt. te bewijzen → AZ =2 ⋅ → ZN → BZ =2 → ZO → CZ =2 ⋅ ⟶ ZM
40 Gegeven: co(→ A) =(−2,0),co(→ B) =(6,−2) en co(→ C) =(2,5).
a)Teken de punten A, B en C in het assenstelsel.
b)Teken het zwaartepunt Z
c)Bepaal co(→ Z) en controleer met de geziene formule.
41 Bereken telkens de coördinaat van het zwaartepunt van de driehoek.
a) åABC met co(→ A) =(−3,5),co(→ B) =(0, −6) en co(→ C) =(−5, −2)
b) åDEF met co(→ D) =(−1, −1),co(→ E) =(0,3) en co(→ F) =(10, 2)
c) åGHI met co(→ G) =(4,2),co(→ H) =(−3, −9) en co(→ I ) =(7, −7)
REEKS B
42 DA, EB en FC zijn zwaartelijnen in åDEF Z is het zwaartepunt.
Vul de juiste vermenigvuldigingsfactor in.
a) BC = ? FE d) AE = ? AF
b) AB = ? CD e) ZE = ? ZB
c) DF = ? AC f) FZ = ? ZC
43 DEF is een driehoek. G is het midden van [ DE ], H is het midden van [ DF ], I is het midden van [ DG ] en J is het midden van [ DH ]. Toon aan dat EF = 4 ? IJ .
Bewijs:
REEKS C
44 In åABC is AD een zwaartelijn. Toon aan dat AD = 1 2 ? ( AB + AC ).
Bewijs:
Het beeld van een homothetie bepalen met behulp van vectoren
10.1 Begripsvorming voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door
• een grootte,
• een richting,
• een zin.
Notatie: → AB Je leest dit als: de vector AB.
De norm van een vector → AB is de lengte van het lijnstuk [AB].
‖→ AB‖ = | AB |
Twee vectoren zijn gelijk als en slechts als ze
• dezelfde grootte hebben;
• dezelfde richting hebben;
• dezelfde zin hebben.
Twee vectoren zijn tegengesteld als en slechts als ze
Van een gegeven vector een gelijke en eentegengesteldevectortekenen.
Gelijke en tegengestelde vectoren herkennen en benoemen.
10.2 Bewerkingen
met vectoren
KENNEN
Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: → AB + → BC = → AC (formule Chasles-Möbius).
Het verschil van twee vectoren is de som van deeerstevector methettegengestelde van detweedevector. → AB –⟶ CD = → AB + (–⟶ CD)
De vector r → AB (metr ∈ r 0) is een vector waarvan:
• de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r metdelengtevan → AB ;
• de richting dezelfde is als die van → AB ;
• de zin dezelfde is als die van → AB als r > 0 en tegengesteld als r < 0.
KUNNEN
Van twee (of meer) vectoren de somvector en deverschilvector definiërenentekenen.
Het scalair product van een vector en een reëel getal definiëren en tekenen.
Een vector ontbinden in twee (of meer) vectoren.
10.3 Toepassingen uit de fysica
KUNNEN
De resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvector tekenen.
De norm van de resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvectorberekenen als degegevenvectoren dezelfderichtinghebben.
10.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel
voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN – + – +
Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijkzijn aandegekozenlengte-eenheid.
Als co(→ AB) = (x 1, y 1) en co(⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co(→ AB + ⟶ CD ) = co(→ AB ) +co(⟶ CD ) = (x 1, y 1)+(x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)
Als co(→ AB) = (x 1, y 1) en co(⟶ CD) = (x 2, y 2), dan is:
co(→ AB –⟶ CD ) = co(→ AB ) –co(⟶ CD ) = (x 1, y 1)–(x 2, y 2) = (x 1 – x 2, y 1 – y 2)
Als co(→ AB ) = (x 1, y 1), dan is co(r → AB) = r co(→ AB ) = r (x 1, y 1) = (r x 1, r y 1)
In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kunje elkevector → AB schrijven alshetverschil vandepuntvector → B vanheteindpunt en depuntvector → A vanhetbeginpunt. → AB = → B –→ A
Als co(→ A ) = (x A, y A) en co(→ B ) = (x B, y B), dan is co(→ AB) = co(→ B) –co(→ A) = (x B, y B)–(x A, y A) = (x B – x A, y B – y A)
De norm van een vector → AB met co(→ A ) = (x A, y A) en co(→ B ) = (x B, y B) isgelijkaan
AB‖ =
(x B – x A) 2 +(y B – y A) 2
De norm van een puntvector → A met co(→ A ) = (x A, y A) is gelijk aan
De coördinaat van een puntvector en eenwillekeurigevectorbepalen.
Een gegeven vector ontbinden in zijn componenten volgensde x-asende y-as.
De coördinaat van de somvector of verschilvector bepalen.
De coördinaat van een vector, vermenigvuldigdmeteengetal,bepalen.
De norm van een vector berekenen.
10.5 Meetkundige objecten beschrijven met behulp van vectoren
KENNEN
Een punt M is het midden van een lijnstuk [AB] als en slechts als
Als co(→ A) =( x A , y A ) en co(→ B) =( x B , y B ), dan is co(→ M) = ( x A + x B 2 , y A + y B 2 )
Hierbij is M het midden van het lijnstuk [AB].
Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met een zijde van de driehoek en half zo lang als die zijde.
Het zwaartepunt van een driehoek bepaalt op elke zwaartelijn van de driehoek twee lijnstukken waarvan het ene lijnstuk tweemaal zo lang is als het andere.
Als co(→ A) =( x A , y A ),co(→ B) =( x B , y B ) en co(→ C) =( x C , y C ), dan is co(→ Z) = ( x A + x B + x C 3 , y A + y B + y C 3 ). Hierbij is Z het zwaartepunt van åABC
Het vectorbegrip gebruiken om meetkundige eigenschappen te formuleren en te verklaren.
Problemen uit JWO
1.Een rechthoekige puzzel van 1 000 stukjes telt 25 stukjes op elke verticale lijn en 40 op elke horizontale lijn.
Hoeveel procent van de stukjes ligt op de rand?
A) r 11 %B) r 11,4 %C) r 12 %D) r 12,6 %E) r 13 %
JWO, editie 2017, eerste ronde
2.In de cirkel zijn een vierkant en vier kwartcirkels getekend. Welk deel van de oppervlakte van de cirkel wordt ingenomen door de vier kwartcirkels?
A) r 30 %B) r 32 %C) r 33,33... %D) r 36 %E) r 40 %
JWO, editie 2022, eerste ronde
3. Als (x – 1) ? (x + 1) = 4, dan is (x 3 + x) ? (x 3 – x) gelijk aan …
A) r 20B) r 25C) r 50D) r 100E) r 120
JWO, editie 2021, tweede ronde
4.Toen Pif 15 jaar oud was, was Poef 18. Toen Poef 13 jaar oud was, was Paf 11. Hoe oud was Pif toen Paf 15 was?
A) r 10B) r 14C) r 16D) r 18E) r 20
JWO, editie 2013, tweede ronde
HOOFDSTUK 11 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN
11.1 Algemene vergelijking van een rechte
11.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
11.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen
11.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen
11.5Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden
Studiewijzer
Pienter problemen oplossen
260
267
269
277
299
313
314
11.1 Algemene vergelijking van een rechte
11.1.1 Rechten door de oorsprong
Teken de rechten r en s in het assenstelsel.
Algemeen
De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.
• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.
rc r =
Definitie
Richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt.
In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.
Besluit
De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:
• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;
• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
snijpunt x-as: ( , )
snijpunt y-as: ( , )
11.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong
Teken de rechten k en l in het assenstelsel.
y = 2x – 2
• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.
rc k = rc l =
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Horizontale en verticale rechten
• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.
• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt. x y yP(s,r) =r
yx=s =ax+b
11.1.3 Vergelijking van de vorm ux + vy + w = 0
De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b (met a ∈ r0 , b ∈ r ).
Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r (met r ∈ r).
Verticale rechten hebben een vergelijking van de vorm x = s (met s ∈ r).
Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w ∈ r en u en v niet tegelijk 0 zijn.
GEOGEBRA
een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as
r y = 2x r y = ax
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 r
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 r
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w =
een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong
s y = – 2x + 1 s y = ax + b
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 s
1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 s
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w =
een rechte evenwijdig met de x-as
t y = 2 t y = r
1–1–2–3–4–5
Besluit
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:
Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:
Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.
• Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte.
• Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as).
Als in de vergelijking y = –u v x –w v
Algemeen
• Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as).
• Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as.
• u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend;
• u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend.
Oefeningen
REEKS A
1 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.
a)−2x + y = 0
b) x + 7y = 0
c)8y + 9 = 0
d)3x + 6 = 0
e)4x + 16y = 0
f)−5y + 10 = 0
REEKS B
2 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.
a)4x + 8y + 12 = 0
b)−2x + 8y – 3 = 0
c)−5x − 11y − 4 = 0
d)−7x − 14 = 0
e)8x − 13y + 7 = 0
f)−2y − 6 = 0
g)3x + 10y + 20 = 0
h)−9x − 18y + 27 = 0
3 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm
y = ax + b, y = ax, y = r of x = s
Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechte.
Bepaal de coördinaat van de snijpunten met x-as en y-as.
Vink aan of de rechte stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) is.
a)−3x + 6y − 5 = 0
rc =
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
e)5x − 7y + 2 = 0
=
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
r s r d r h r v r s r d r h r v
b)6x + 12y = 0
f)−2y − 5 = 0
=
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
r s r d r h r v r s r d r h r v
c)−2x + 9 = 0
g)6x + 7y + 14 = 0
rc =
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
r s r d r h r v r s r d r h r v
d)−4x − 9y − 1 = 0
h)4x − 6y + 24 = 0
rc =
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
snijpunt met x-as:
snijpunt met y-as:
r s r d r h r v r s r d r h r v
11.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
11.2.1 Inleidend voorbeeld
Gert-Jan koopt een Nintendo Switch ter waarde van 320 euro. Hij betaalt met briefjes van 5 en van 10 euro en heeft in totaal 38 briefjes nodig.
Hoeveel briefjes van 5 euro en hoeveel briefjes van 10 euro heeft hij nodig?
Keuze van de onbekenden:
• x is het aantal briefjes van 5 euro,
• y is het aantal briefjes van 10 euro.
Opstellen van de vergelijkingen:
• Het totaal aantal briefjes is gelijk aan 38, dus x + y = 38
• De waarde van het aantal briefjes van 5 euro is gelijk aan 5x; de waarde van het aantal briefjes van 10 euro is gelijk aan 10y; de waarde van alle briefjes samen is 320 euro, dus 5x + 10y = 320
Zoeken naar het aantal briefjes van 5 euro en van 10 euro houdt in dat beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moeten zijn.
Zo verkrijg je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2x2-stelsel
+ = xy 38
Je noteert
Opmerking
S + =5 x 10y 320
Naast 2x2-stelsels bestaan er nog andere types van stelsels, zoals: een 3x3-stelsel een 4x2-stelsel
S x + y + z =6
4x +2y +6z = 26
2x – y + 3z = –1
S
x + y = 3
–3x +9y = –5
8x +2y = 12
x – y = 4
11.2.2 Standaardvorm en benamingen
Algemeen
Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm S ax + by = c dx + ey = f
Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.
Benamingen
• x en y noem je de onbekenden
• a, b, d en e noem je de coëfficiënten
• c en f noem je de constanten.
Voorbeelden
Noteer de volgende stelsels in de standaardvorm.
S 2x + 4y −22 = 0
−3y + x + 19 = 0 S x − 2y + 10 = 0 y = 4 − x
11.2.3 Oplossing van een 2x2-stelsel
x + y = 38
Gegeven: S
5x + 10y = 320
Je zoekt alle koppels (x, y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen.
(5, 33) is geen oplossing van het stelsel, want
S (12, 26) is een oplossing van het stelsel, want
S
Je noteert V =
11.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen
11.3.1
Grafische interpretatie van een 2x2-stelsel
GEOGEBRA
Voorbeeld: S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7
1, 1 2 is een oplossing van het stelsel, want
Elk van de vergelijkingen uit het 2x2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte.
a 5x – 6y = 2
–6y =–5x +2 –5x +2 y = –6 yx–= 5 6 1 3 b 3x + 8y = 7
8y =–3x +7 –3x +7 y = 8
2)
–1)
Het punt met coördinaat 1, 1 2 is het enige snijpunt van a 5x − 6y = 2 en b 3x + 8y = 7
Het stelsel heeft dus één oplossing, die je als volgt kan noteren: V = 1, 1 2 {}
Deze grafische interpretatie kan je gebruiken om een 2x2-stelsel op te lossen.
11.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel
Voorbeeld 1
S x – y = –3
2x + y = –6
Je bepaalt twee punten op de rechte
a x − y = −3of y = x + 3
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b 2x + y = −6of y = −2x − 6
x y
Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een bepaald stelsel
V = controle:
Voorbeeld 2
S x – y = 4
x – y = 0 Je
a x y = 4of y =
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b x y = 0of y =
x y
Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een strijdig stelsel
V =
Voorbeeld 3
S 2x – y = 4
4x – 2y = 8
Je bepaalt twee punten op de rechte
a 2x y = 4of y =
x y
Je bepaalt twee punten op de rechte
b 4x −2y = 8of y =
x y
Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?
Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?
Dit is een onbepaald stelsel
V =
Besluit
snijdende rechten
evenwijdige rechten
disjuncte rechten samenvallende rechten
bepaald stelsel
aantal oplossingen: strijdig stelsel
aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen:
11.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode
Voorbeeld 1
Het stelsel S 9x – 14y = –1 6x + 7y = 4 heeft als oplossing 1 3 , 2 7 = (0,33...; 0,285 714 285 714 ...).
Het snijpunt is onmogelijk exact op een figuur af te lezen.
Voorbeeld 2
Het stelsel S 38x – 5y = –1 000 6x – y = –2 200 heeft als oplossing(1 250, 9 700).
Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden.
Oefeningen
REEKS A
4 Los grafisch op: S y = 2 x – 4 y = x a y = 2x − 4 x y
–2–4–6–8–10–12
V = controle:
5 Los grafisch op: S y = 3 x – 3 y = –3 x + 9
a y = 3x − 3
y
y = – 3x + 9
V = controle:
x O
6 Los grafisch op: S 2 x + y = 4 x + y =0
V = controle:
7 Los grafisch op: S
V = controle:
8 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1
V = controle:
9 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9
V = controle:
Om de oplossingsverzameling van een stelsel te bepalen met behulp van GeoGebra, zijn er verschillende mogelijkheden.
Je kunt de functie Snijpunten(vergelijking 1, vergelijking 2) gebruiken.
Je kunt de rechten ook in een assenstelsel tekenen en zo het snijpunt bepalen.
10 Los op met ICT.
a) S 2x + y = 4 x + 2y = 1 e) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0 V = V =
b) S 7x + 9y = 5 7x – 18y = –1 f) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77 V = V = c) –2x –3y +6= 0 3x +4y –7 =0 S
y = + 12–2 x 4x –2y =–24 S V = V =
3x + y =–3 x =2 S
–2x +8y +5 =0 x –3y –2 =0 S V = V =
11.4.1 De gelijkstellingsmethode
Voorbeeld
Los op: S x – y = –3
2x + y = –6
• Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart.
y = x + 3
y = –2x – 6
• Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat.
Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd. y = = –2x – 6 x + 3 x + 3
• Je lost de vergelijking in één onbekende op.
y = x + 3
x + 2x = –6 – 3
y = x + 3
3x = –9
y = x + 3
x = –3
Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r y = x + 3 en s y = – 2x – 6.
–5–4–3–2–1
Door de gelijkstellingsmethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t x = – 3. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t.
• Je vult de gevonden waarde in de andere vergelijking in.
y = + 3
x = –3 –3
• Je leest de oplossing van het stelsel af.
x = –3
y = 0
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(– 3, 0)}
De gelijkstellingsmethode is vooral aangewezen als je in de twee vergelijkingen dezelfde onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Dat is het geval als de coëfficiënt van x of y gelijk is aan 1 of −1.
REEKS A
11 Los op met de gelijkstellingsmethode.
a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8 b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6
12 Los op met de gelijkstellingsmethode.
a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6
b) S x = 2y – 4 5y = x + 3 V = V = controle: controle:
13 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch.
a) S y = –3x + 6 y = 2 5 x –4 5
b) S y = 3,5x + 4,5 y = 2x – 1,5
snijpunt: snijpunt:
11.4.2 De substitutiemethode
Voorbeeld
Los op: S x – 3y = –2
3x + 2y = 5
• Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart.
x = 3y – 2
3x + 2y = 5
• Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.
x =
3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2
• Je lost de vergelijking in één onbekende op.
x = 3y – 2
9y – 6 + 2y = 5
x = 3y – 2
11y = 11
x = 3y – 2 y = 1
Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r x – 3y = – 2 en s 3x + 2y = 5.
Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t
• Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking.
x = 3y – 2 y = 1
–
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)}
De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.
Opmerking
De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode.
REEKS A
14 Los op met de substitutiemethode.
a) S x = 2x + 3y = 11 3 + y
S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x
15 Los op met de substitutiemethode.
a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4
b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1
V = V = controle: controle:
a) S –4x – 3y = 4 4x + 2y = 6
b) S 1 3 x –1 4 y = 1 –4x + y = 4
17 Los op met de substitutiemethode.
a) S 2x + y = 3 8x + 4y = 9
b) S –3x – 9y = –6 x + 3y = 2
V = V =
REEKS C
18 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.
a) r 2x + y = – 3
s 6x + 3y = – 12
b) r x – 4y = 6
s 3x – 12y = 18
Voorbeeld
Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 )
• Met de combinatie 3 ? V1 + 2 ? V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt.
Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t x = 1 en de rechte u y = – 2.
De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)}
De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken.
Opmerking
Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden.
x = 1
2x + 3y = –4 x = 1 y = –6 3 x = 1
2 1 + 3y = –4 x = 1 y = –2 x = 1
3y = –4 – 2
Oefeningen
REEKS A
19 Los op met de combinatiemethode.
a) S –4x – 5y = –4
2x + 3y = 2
b) S –2x + 7y = 5
10x + 6y = 16
20 Los op met de combinatiemethode.
a) S 2x + 3y = 7 5x + 7y = 8
b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3
a) S –2,7x + 4,5y = 35,1 8,1x – 9y = –78,3
b) S 1 5 x + 1 4 y = 3 4 1 4 x + 5y = 6
V = V = controle: controle:
22 Los op met de combinatiemethode.
a) S –3x + 4y = –7
9x – 12y = 21
b) S 3x – 8y = 3
–6x + 16y = –12
V = V =
REEKS C
23 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.
a) r 2x + 3y = 1
s 8 3 x + 4y = 2
b) r – 5x + 11y = – 5
s 3x – 8y = 3
11.4.4
Gemengde oefeningen
Modeloefening 1
Los op: S x – 3y = 19 –x + 2y = –14
De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken.
V =
Modeloefening 2
Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3
De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode.
V =
Modeloefening 3
Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41
De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken.
V =
REEKS
A
24 Los op met een methode naar keuze.
a) S 3x – y = 1 5x + 2y = 9 b) S 5x + 2y = 3 2x – 4y = 6
a) S 6x + 5y = 1 7x + 6y = 2
b) S 3x – y = 6 2x – y = –5
V = V = controle: controle:
a) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4
b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7 V = V = controle: controle:
27 Los op met een methode naar keuze.
a) S 2x + 5y = 1 5x – 4y = 0
b) S 4x – 8y = 9 –2x + 4y = –5
V = V =
controle:
controle:
a) S 8x – 16y = –24 –2x + 4y = 6
b) S 2x – 2y = 6 3x + 4y = –5 V = V =
a) S x –y 2 = –4 x 2 – y = 2
b) S 3x – y = 1 x –2 3 y = 7 2 V = V = controle: controle:
30 Los op met een methode naar keuze.
a) S x – 2y = 5 –4x + 8y = –20
b) S –x + 8y = 10 3x – 24y = –40 V = V = controle: controle:
Stelsels van eerstegraadsongelijkheden oplossen
11.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen
11.5.1
Modeloefening 1
x is y is S
Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro.
Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?
antwoord:
11.5.2
Modeloefening 2
Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen.
De koffie van merk A kost 7 euro per kg.
De koffie van merk B kost 12 euro per kg.
De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen. Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen?
x is y is S
antwoord:
REEKS A
31 Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot de oplossing van het vraagstuk. Je hoeft het stelsel niet op te lossen.
a) De som van het dubbele van een eerste getal en het vijfvoud van een tweede getal is 99. Het eerste getal is 9 minder dan het dubbele van het tweede getal. Bepaal deze getallen.
b)Op pi-dag trakteert een leerkracht wiskunde zijn 24 leerlingen op taartjes.
Ze mogen daarbij kiezen tussen een kriekentaartje en een appeltaartje.
Voor 16 kriekentaartjes en 8 appeltaartjes betaalt de leerkracht 47,20 euro.
Als evenveel leerlingen een kriekentaartje als een appeltaartje zouden nemen, zou de leerkracht exact 2,80 euro minder moeten betalen. Hoeveel kost een kriekentaartje?
c)In een grote kist zitten in totaal 150 ruimtefiguren. Elke ruimtefiguur is een kubus of een balk. De kubussen hebben allemaal een massa van 0,8 kg en de balken hebben allemaal een massa van 1,2 kg. De kist zelf weegt 12 kg. Bereken het aantal kubussen en balken als je weet dat de totale massa van de kist 176 kg bedraagt.
d)Een student scheikunde krijgt als opdracht een mengsel te maken van 100 liter met een alcoholpercentage van exact 30%. Hij krijgt hiervoor twee grote hoeveelheden vloeistof ter beschikking. Vloeistof 1 heeft een alcoholpercentage van 50%, vloeistof 2 van 12%.
32 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die?
antwoord:
controle:
33 Je betaalt 46 euro met muntstukken van 0,50 euro en van 2 euro. Hoeveel muntstukken zijn er van elk, als er in totaal 41 muntstukken zijn?
antwoord:
controle:
34 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?
antwoord:
controle:
35 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?
antwoord:
controle:
36 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro. Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro.
Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?
antwoord:
controle:
37 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:
• drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro;
• met vier verlichtingspaaltjes volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro.
Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.
antwoord:
controle:
38 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kg en de zuurtjes 7 euro per kg. Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?
antwoord:
controle:
39 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en verwisselde de prijzen van de planten. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 14 euro. Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?
antwoord:
controle:
40 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert 10 punten op. Een foute voorspelling levert 2 minpunten op. Ze zou normaal gezien 88 punten gescoord hebben, maar het telsysteem slaat tilt en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een teleurstellende score van – 2. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?
antwoord:
controle:
41 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri ? I. Daarbij is Ub de bronspanning (in volt), Ri de inwendige weerstand (in ohm) en I de stroomsterkte (in ampère).
Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt.
Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt. Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.
antwoord:
controle:
42 Los de vraagstukken op met ICT.
a)Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s.
In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden. In de tweede graad zitten 410 leerlingen.
Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?
antwoord:
b)Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor.
Arthur kan hem kopen als Fenne 3 5 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 4 9 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk?
antwoord:
c)Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?
antwoord:
d)Bepaal een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11.
Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.
antwoord:
43 Bereken de coördinaten van de hoekpunten van åABC, waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten:
44 Om een stelsel van meer dan 2 vergelijkingen op te lossen, los je het stelsel op dat bestaat uit 2 willekeurig gekozen vergelijkingen en controleer je nadien of de gevonden oplossing voldoet aan de andere vergelijking(en). Los de volgende stelsels op:
7x +2y =17
a) x – y =14
2x +3y =–17
2x + y =2
b) –3x – y =0
–x +5y =32
3x –6y =–6
45 Een wielertoerist kan met de wind in de rug een snelheid van 36 km/h aanhouden. Op de terugweg rijdt hij met de wind op kop 24 km/h. Hij vertrekt thuis om 9 h en wil om 11 h 30 terug thuis zijn. Hoeveel kilometer kan hij zich van huis verwijderen?
antwoord:
controle:
46 Noa wil een nieuwe auto kopen en twijfelt tussen een elektrische wagen van 48 000 euro en een hybride van 39 000 euro. De gemiddelde verbruiksprijs per km is 0,06 euro voor de elektrische versie en 0,11 euro voor de hybride.
Na hoeveel kilometer is de totale kostprijs voor beide wagens gelijk? Hoeveel bedragen die kosten?
antwoord:
controle:
47 Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines om bouten te modelleren en 14 machines om bouten te bedraden. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig. Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten?
antwoord:
controle:
48 Het water van een rivier stroomt tegen 4 km/h. De tijd die nodig is om 24,5 km stroomopwaarts te varen, is hetzelfde als de tijd die nodig is om 52,5 km stroomafwaarts te varen.
Bereken die tijd en de snelheid van het schip in stilstaand water.
antwoord:
controle:
49 Om op reis te gaan, heeft Jürgen de keuze tussen een hogesnelheidstrein met een gemiddelde snelheid van 200 km/h en het vliegtuig met een gemiddelde snelheid van 700 km/h. Gaat hij met het vliegtuig, dan verliest hij twee uur bij vertrek en aankomst (inchecken en bagage afgeven).
De tijd om naar en van het station of het vliegveld te rijden, laat je hier buiten beschouwing. Voor welke afstand zijn de reistijden van trein en vliegtuig gelijk?
antwoord:
controle:
50 Drie rechten zijn concurrent als ze door hetzelfde punt gaan. Onderzoek of de rechten r, s en t concurrent zijn.
a) r x – 3y + 17 = 0 s 3x + 5y – 19 = 0 t 2x + y – 3 = 0
b) r 5x – 3y – 13 = 0 s –2x + 4y + 15 = 0
7x + 5y + 14 = 0
51 De snijpunten van de rechten r, s en t vormen åABC r y = 3x – 2 s x + 3y – 14 = 0 t y = x + 6
Toon aan dat die driehoek rechthoekig is.
STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen
11.1 Algemene vergelijking van een rechte voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.
KUNNEN
Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.
11.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
KENNEN
Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm
S ax + by = c dx + ey = f met a, b, c, d, e, f ∈ r
Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.
• x en y noem je de onbekenden.
• a, b, d en e noem je de coëfficiënten.
• c en f noem je de constanten.
11.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen
KENNEN
De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten.
Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten.
Een 2x2-stelsel heeft
• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);
• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);
• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten).
Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm.
Een 2x2-stelsel grafisch oplossen.
Een 2x2-stelsel grafisch oplossen met ICT.
11.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen voor de leerling voor de leerkracht KUNNEN
Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode.
Een stelsel oplossen met de substitutiemethode.
Een stelsel oplossen met de combinatiemethode.
Aandacht besteden aan de efficiëntste methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.
11.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden
KUNNEN
Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2x2-stelsel.
Pienter problemen oplossen
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal
schets
schema/tabel
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend.
Wat is de oppervlakte van het gele vierkant?
2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken. In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek?
Stap 3: Teken een cirkel c (M, | MA |) met middelpunt M en straal | AM |
Cirkels komen vaak voor in optische illusies. Bij optische illusies zie je niet altijd wat er werkelijk is. Bij de onderstaande voorstellingen is de aangeduide figuur telkens een cirkel.
Stap3: Tekeneencirkel c (M, MA ) metmiddelpunt M enstraal AM Cirkelskomenvaakvoorinoptischeillusies. Bijoptischeillusiesiswatjezietnietaltijd waterwerkelijkis.
a)Bepaalallepuntendietegelijkertijdop30mmvan A enop25mmvan B liggen. Hoeveelpuntenkunjebepalendieaandevoorwaardevoldoen?
Het apothema van een koorde is het lijnstuk met als grenspunten het middelpunt van de cirkel en het voetpunt van de loodlijn door het middelpunt op de koorde.
⇓ MP ⊥ AB enineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn uitdetopdemiddelloodlijnvandebasis
BMA isgelijkbenig
BMA isgelijkbenig
⇓ MP ⊥ AB enineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn uitdetopdemiddelloodlijnvandebasis
AM = MB
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
⇓ MP ⊥ AB enineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn uitdetopdemiddelloodlijnvandebasis
⇓ MP ⊥ AB enineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn uitdetopdemiddelloodlijnvandebasis
⇓ straalvandecirkel definitiegelijkbenigedriehoek
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
BMA isgelijkbenig
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
besluit
besluit
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
Volgens kenmerk 90ºSR is åAPM ≅ åBPM ⇒ | AP | = | PB | 2) P ‸ 1 = P ‸ 2 = 90º en | AP | = | PB | ⇒ PM is middelloodlijn van [AB ] def ≅ å def middelloodlijn
⇓ MP ⊥ AB enineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn uitdetopdemiddelloodlijnvandebasis
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
Gevolg
Gevolg
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
Eenmiddellijniseensymmetrieasvandecirkel.
besluit
Gevolg
Gevolg
Eenmiddellijniseensymmetrieasvandecirkel.
PM isdemiddelloodlijnvan[AB ].
Eenmiddellijniseensymmetrieasvandecirkel.
Eenmiddellijniseensymmetrieasvandecirkel.
Gevolg
Eenmiddellijniseensymmetrieasvandecirkel.
ICT
Eigenschap2
Gegeven: c (M, AM )metkoorde[AB ]enmiddellijn m
P ishetsnijpuntvan AB en m
ICT
ICT
GEOGEBRA
ICT
ICT
Eigenschap2
Gegeven: c (M, AM )metkoorde[AB ]enmiddellijn m
AP = BP
Gegeven: c (M, AM )metkoorde[AB ]enmiddellijn m P ishetsnijpuntvan AB en m
P ishetsnijpuntvan AB en m
Gegeven: c (M, AM )metkoorde[AB ]enmiddellijn m
AP = BP
AP = BP
Gevraagd:deonderlingeliggingvan AB en m
P ishetsnijpuntvan AB en m
AP = BP
Gevraagd:deonderlingeliggingvan AB en m
Gevraagd:deonderlingeliggingvan AB en m
Gegeven: c (M, AM )metkoorde[AB ]enmiddellijn m P ishetsnijpuntvan AB en m
Oplossing:Watsteljevastinverbandmetdeonderlinge liggingvan AB en m?
AP = BP
Gevraagd:deonderlingeliggingvan AB en m
Oplossing:Watsteljevastinverbandmetdeonderlinge liggingvan AB en m?
Oplossing:Watsteljevastinverbandmetdeonderlinge liggingvan AB en m?
Gevraagd:deonderlingeliggingvan AB en m
Oplossing:Watsteljevastinverbandmetdeonderlinge liggingvan AB en m?
Oplossing:Watsteljevastinverbandmetdeonderlinge liggingvan AB en m?
11 Om een cirkelvormige tafel tegen een muur te plaatsen, zaag je een stuk van de tafel. Bepaal de diameter van de tafel aan de hand van de gegevens op de figuur. Bepaal het antwoord op 0,01 cm nauwkeurig.
Notatie: AB isdenotatievoorde kortste boogtussen A en B Alsjede grote boogtussen A en B wiltaanduiden, voegjedenaamvaneenwillekeurigpuntvan deboogaandenotatietoe: ACB
Middelpuntshoekopeenboogofeenkoorde
Debenenvandemiddelpuntshoek AM — B snijdendecirkel c (M, AM )indepunten A en B
De benen van de middelpuntshoek A ^ MB snijden de cirkel c (M, | AM |) in de punten A en B
Jezegt: demiddelpuntshoek AM — — B staatopdeboog AB of demiddelpuntshoek AM — B staatopdekoorde[AB ].
ICT
7.4.2 Eigenschapvanmiddelpuntshoeken
• Tekeneenkoorde[CD ]zodat CD = AB .
• Tekendemiddelpuntshoek CM — — D
• Meetdemiddelpuntshoeken AM — B en CM — D : AM — B = en CM — D = Watsteljevast?
1) — B + — D =180º Omtrekshoekenopdezelfdekoorde[AC ],aaneenverschillendekantvandekoorde, zijnsupplementair.
2)
besluit
C =180º analoogals1)
1) — B + — D =180º Omtrekshoekenopdezelfdekoorde[AC ],aaneenverschillendekantvandekoorde, zijnsupplementair.
2) — A + — — C =180º analoogals1)
B + — D =180ºen
besluit
Dezeafstandisdekortsteafstandvan hetmiddelpuntvandecirkeltotderaaklijn. Elkanderpuntvanderaaklijn(bijvoorbeeld B ) isverdervanhetmiddelpuntverwijderd. d (M, a )= d (M, A )= AM = r MB
besluit
A + — C =180º
B + — D =180ºen
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A Jekuntmoeilijkophetzichtbepalenwelkerechte deraaklijnis.
12.4.3 Eigenschap van een raaklijn aan een cirkel
7.5.3 Eigenschapvaneenraaklijnaaneencirkel
Opdefiguurisslechtséénvanderechtenderaaklijnaan decirkelinhetpunt A
Uit voorgaande eigenschappen volgt de constructie van de raaklijn in een punt van een cirkel. Construeer de raaklijn a in het punt P van de cirkel c(M, r ).
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Construeermetpasserenliniaalderaaklijn a inhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Construeermetpasserenliniaalderaaklijn a inhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
M P
Werkwijze
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat
Werkwijze
MP = NP
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP .
MP = NP
Stap1: Tekendemiddellijn MP
Werkwijze
Stap1: Tekendemiddellijn MP
⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ). M P
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Stap1: Tekendemiddellijn MP.
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Demiddelloodlijnisderaaklijn a Verklaring a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
Verklaring
Stap2: Construeeropdemiddellijneenpunt N zodat MP = NP
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ].
Stap3: Construeerdemiddelloodlijnvan[MN ]. Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Verklaring
Demiddelloodlijnisderaaklijn a
Verklaring
Verklaring a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ].
Verklaring
Verklaring a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
⇓
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ].
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ]. ⇓ a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
⇓
a isdemiddelloodlijnvan[MN ]en P ishetmiddenvan[MN ].
a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P ⇓ eigenschapraaklijn
a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
a staatloodrechtopdemiddellijn MP engaatdoor P
a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M, r ).
⇓ eigenschapraaklijn a isderaaklijninhetpunt P vandecirkel c (M r ).
d)Eencirkelmetmiddelpunt M raaktderechte a in A en PM =2cm. a
Antwoord:
63 Bepaaldeonderlingeliggingvanderechte
34 Bewijs de eigenschappen.
rd (M, a) onderlingeligging
Een punt buiten de cirkel ligt op gelijke afstand van de raakpunten van de raaklijnen door dat punt aan de cirkel.
a) 15cm 140mm
b)450mm45dm
Een rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met het middelpunt van de cirkel is de deellijn van de hoek bepaald door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel.
Stap 3: Het snijpunt van de bissectrices noem je S.
Stap 1: Construeer de bissectrice van ^ A A
Stap 4: Vanuit S teken je een loodlijn op een zijde van de driehoek.
Het snijpunt met de zijde noem je P
Stap 5: Teken de cirkel met middelpunt S en straal | SP |.
Om het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek te tekenen, bepaal je het snijpunt van twee bissectrices van de driehoek.
Oefeningen
REEKS A
39 Welke punten (A, B ...) zijn de middelpunten van een cirkel die raakt aan beide benen van de hoek ^ X ?
40 Construeer de ingeschreven cirkel van de driehoek.
REEKS B
41 Uit een massieve houten driehoek wil je met een cilinderboor een zo groot mogelijke schijf boren. Duid de cilinderboor aan die je daarvoor zult gebruiken.
12.5.5 De hoogtelijnen van een driehoek
Definitie Hoogtelijn
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.
Constructie van de hoogtelijn uit een hoekpunt van een driehoek
Construeer met passer en liniaal de hoogtelijn uit het punt C van åABC
Werkwijze
Stap 1: Teken met een passeropening, groter dan de afstand van het punt C tot de rechte AB, een cirkelboog met middelpunt C die de rechte AB snijdt. Noem de snijpunten P en Q
Stap 2: Teken onder de rechte AB een boog met middelpunt P
Stap 3: Teken met dezelfde passeropening onder de rechte AB een boog met middelpunt Q
Stap 4: Het snijpunt van de bogen noem je D Teken CD, de hoogtelijn van åABC uit het punt C
Eigenschap van de hoogtelijnen van een driehoek
Teken de drie hoogtelijnen van åPQR
Wat stel je vast?
Eigenschap De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
12.5.6 De negenpuntscirkel
Definitie Negenpuntscirkel
De negenpuntscirkel is de cirkel door de drie snijpunten van de hoogtelijnen met de zijden van de driehoek.
De cirkel c (M, | MH 1 |) is de negenpuntscirkel van åABC
De negenpuntscirkel wordt zo genoemd omdat hij door 9 bijzondere punten gaat:
• de snijpunten (H1, H2 en H3) van de hoogtelijnen met de zijden van de driehoek;
• de middens (M1, M2 en M3) van de zijden van de driehoek;
• de middens (P1, P2 en P3) van de lijnstukken met als grenspunten het hoogtepunt (H) en een hoekpunt van de driehoek.
De negenpuntscirkel wordt ook de ‘cirkel van Feuerbach’ genoemd, naar de Duitse wiskundige Karl Feuerbach (1800-1834).
Oefeningen
REEKS A
42 Construeer de hoogtelijn uit het hoekpunt Q.
REEKS B
43 Construeer de drie hoogtelijnen van åPQR
12.5.7 De zwaartelijnen van een driehoek
Definitie Zwaartelijn
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Constructie van de zwaartelijn uit een hoekpunt van een driehoek
Construeer met passer en liniaal de zwaartelijn uit het punt C van åABC
Werkwijze
Stap 1: Construeer de middelloodlijn m van [AB ] om het midden M te vinden.
Stap 2: Teken CM, de zwaartelijn van åABC uit het punt C
Eigenschap van de zwaartelijnen van een driehoek
Construeer de drie zwaartelijnen van åPQR
Wat stel je vast?
Eigenschap De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
GEOGEBRA
Eigenschap van het zwaartepunt
Z is het zwaartepunt van de driehoek en verdeelt elke zwaartelijn in twee lijnstukken.
Vul aan:
|ZN |=
|AZ |=
|ZO |=
|BZ |=
|ZM |=
|CZ |=
Wat stel je vast?
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt een zwaartelijn in twee lijnstukken, waarvan het ene half zo lang is als het andere.
tekening
gegeven
AS en CR zijn zwaartelijnen in =åABC.
Z is het snijpunt van AS en CR te bewijzen
|RZ | |CZ | = |SZ | |AZ | = 1 2
bewijs
• Teken [RS ], middenparallel in=åABC
• Gelijkvormige driehoeken:
besluit
Oefeningen
REEKS A
44 Construeer de zwaartelijn uit het hoekpunt Q.
REEKS B
45 Construeer de drie zwaartelijnen van åPQR.
46 Teken: • het snijpunt Z van de zwaartelijnen in het groen;
• het snijpunt H van de hoogtelijnen in het blauw;
• de rechte e door Z en H in het rood;
• het snijpunt M van de middelloodlijnen in het zwart.
Wat stel je vast?
De rechte die je nu getekend hebt, heet de rechte van Euler De Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707-1783) ontdekte dat het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt van een driehoek altijd op één rechte liggen.
47 Vul aan met een passend lijnstuk tot je een ware uitspraak verkrijgt.
48 Als je in een gelijkbenige åABC twee zwaartelijnen tekent
(waarvan een uit de top B), ontstaat er een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 6 en 8 (zie figuur). Hoe groot is de som van de lengten van de drie zwaartelijnen van åABC? A)42B) 48 C)52D)72E) 78 VWO, editie 2006, tweede ronde
49 Bereken de gevraagde lengten.
a)| CE | = | EB |, | AD | = | DB | | DE | = 5,2 cm, | AE | = 10,8 cm, | CF | = 7,6 cm
Bereken de omtrek van åFDE
b)Bereken | DF |.
Teken een driehoek op een stuk karton.
Teken de drie zwaartelijnen van die driehoek.
Plaats op het snijpunt een grote rode stip.
Knip daarna de driehoek uit.
Leg de driehoek met de stip op je wijsvinger.
Het snijpunt van de drie zwaartelijnen is het zwaartepunt
Het zwaartepunt is het punt waar een voorwerp in evenwicht is.
REEKS C
50 Toon aan dat het middelpunt van de negenpuntscirkel op de rechte van Euler ligt.
STUDIEWIJZER De cirkel
12.1 Cirkel door drie niet-collineaire punten voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Een cirkel is een verzameling van alle punten die op dezelfde afstand van een gegeven punt liggen.
Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.
Door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel.
KUNNEN
Benaming en notatie van begrippen in verband met de cirkel geven.
Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Een cirkel door drie niet-collineaire punten construeren.
12.2 Middellijn, koorde en apothema
KENNEN
Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel.
Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel met elkaar verbindt.
Het apothema van een koorde is het lijnstuk met als grenspunten het middelpunt van de cirkel en het voetpunt van de loodlijn door het middelpunt op de koorde.
Een middellijn die loodrecht op een koorde staat, is de middelloodlijn van die koorde.
Een middellijn die het midden van een koorde bevat, is de middelloodlijn van die koorde.
Het apothema van een koorde bevat het midden van de koorde.
Even lange koorden hebben even lange apothema’s.
KUNNEN
Eigenschappen in verband met middellijn, koorde en apothema onderzoeken, bewijzen en toepassen.
Lengten en hoeken bij koorde, apothema en straal van een cirkel berekenen met de stelling van Pythagoras en driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek.
12.3 Middelpuntshoek en omtrekshoek
KENNEN
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel.
Een cirkelboog is een deel van de cirkel begrensd door twee punten van de cirkel. Bij even lange koorden horen even grote middelpuntshoeken en omgekeerd.
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met een punt van de cirkel en de benen de cirkel snijden.
Een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek op dezelfde boog.
Alle omtrekshoeken op eenzelfde boog zijn even groot.
Omtrekshoeken op eenzelfde koorde zijn even groot of supplementair.
Een omtrekshoek op een halve cirkel is een rechte hoek.
KUNNEN
Eigenschappen in verband met omtrekshoek en middelpuntshoek onderzoeken, bewijzen en toepassen.
12.4 Raaklijnen
KENNEN
Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die juist één punt met de cirkel gemeenschappelijk heeft.
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt.
Een loodlijn op een middellijn, met als voetpunt het snijpunt van de cirkel en de middellijn, is een raaklijn aan de cirkel.
KUNNEN
De onderlinge ligging van een cirkel en een rechte onderzoeken.
De raaklijn in een punt van een cirkel construeren.
De constructie van de raaklijn in een punt van de cirkel verklaren.
De raaklijnen uit een punt aan een cirkel construeren.
De constructie van de raaklijnen uit een punt aan een cirkel verklaren.
12.5 Bijzondere cirkels en lijnen in een driehoek
KENNEN
Een middelloodlijn van een driehoek is een rechte die loodrecht door het midden van een zijde gaat.
De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
De omgeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat.
Een bissectrice (of deellijn) van een driehoek is een rechte die een hoek van de driehoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
De drie deellijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die aan de drie zijden van een driehoek raakt.
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt een loodrecht op de drager van de overstaande zijde.
De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
De negenpuntscirkel is de cirkel door de drie snijpunten van de hoogtelijnen met de zijden van de driehoek.
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt.
In een driehoek verdeelt het zwaartepunt een zwaartelijn in twee lijnstukken, waarvan het ene half zo lang is als het andere.
KUNNEN
Een middelloodlijn van een driehoek construeren.
De omgeschreven cirkel van een driehoek construeren.
Een bissectrice (of deellijn) van een driehoek construeren.
De ingeschreven cirkel van een driehoek construeren.
Een hoogtelijn van een driehoek construeren.
De negenpuntscirkel van een driehoek tekenen.
Een zwaartelijn van een driehoek construeren.
De eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek bewijzen.
De eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek toepassen.
Pienter problemen oplossen
concreet materiaal schets
schema/tabel
vereenvoudig
gok verstandig
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
filter patroon kennis logisch nadenken
1. De familie Travels gaat met de mobilhome op reis naar het Gardameer. Ze moeten hiervoor minstens 1 250 km afleggen. Ze plannen om de heenreis te spreiden over drie dagen. Op dag 2 leggen ze 2 3 van het aantal kilometer van dag 1 af. Op de derde dag reizen ze 248 km minder dan de dag ervoor. Hoeveel kilometer moeten ze op de eerste dag minstens afleggen?
2. Uit een rechthoekig blad papier knip je een driehoek met zijden van 12 cm, 18 cm en 20 cm. Bereken de minimale oppervlakte van dit rechthoekig blad waaruit je deze driehoek kan knippen.
3. Voor een actie op school verkopen de leerlingen van het derde jaar pakjes wafels en doosjes potloden. Klas A verkoopt 32 pakjes wafels en 24 doosjes potloden. Dit levert 288 euro op. Klas B verkoopt 16 pakjes wafels en 35 doosjes potloden. De opbrengst van klas B is 282 euro. Wat is de prijs van een pakje wafels en een doosje potloden?
PIENTER REMEDIËREN
EXTRA LEERSTOF XL
Overzicht Extra Leerstof
❑ Het beeld van een homothetie bepalen met behulp van vectoren10
❑ Stelsels van eerstegraadsongelijkheden oplossen 11 298
❑ Macht van een punt ten opzichte van een cirkel 12
❑ 12.4.6 Gemeenschappelijke raaklijnen aan twee cirkels 12
