Pienter 4 - 4u deel 1 - leerwerkboek (ed. 2024) by VAN IN

©VANIN

Philippe De Crock

Dirk Taecke

Thierry Van den Ouwelant

MET MEDEWERKING VAN

Veerle Descheemaeker

Etienne Goemaere

Christophe Gryson

Eddy Magits

Tom Van der Auwera

Martine Verrelst Leerjaar 4

4 uur – deel 1

Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 4. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

Pienter 4 – 4u – deel 1

Let op: activeer deze licentie pas vanaf 1 september; de licentieperiode start vanaf activatie en is slechts 365 dagen geldig.

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.

Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.

In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen.

Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het onlinelesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Fotocredits

©VANIN

p. 59 foto kind Nintendo © SrideeStudio, p. 234 vragen Bebras-wedstrijd © 2019 Bebras – International Challenge on Informatics and Computational Thinking; licentie: CC-BY-SA 4.0; auteurs tekst: Laura Ungureanu (RO), Corina Vint (RO), Arnheidur Gudmundsdottir (IS), Margot Phillipps (NZ), Sebastien Combefis (BE), Eslam AbdElAal (EG), Georgios Fesakis (GR), J. P. Pretti (CA), Vipul Shah (IN); vertaling Nederlands: Kris Coolsaet (BE); auteurs van de afbeeldingen: Alessandra Rădulescu (RO), Eslam AbdElAal (EG) – de Bebras-wedstrijd wordt in Belgie georganiseerd door de CSITEd vzw met de steun van de Universiteit Gent – https://www.bebras.be/nl

Eerste druk 2024

ISBN 978-94-647-0607-9

D/2024/0078/96

Omslagontwerp: Fikfak

Art. 606353/01 Tekeningen: Dirk Vandamme NUR 120 Lay-out: Crius Publishing

Inhoudsopgave

Hoe werk je met Pienter? 4

Hoofdstuk 1 Waarheidstabellen 7

Hoofdstuk 2 Stelsels van vergelijkingen 51

Hoofdstuk 3 Functies f (x) = c x 103

Hoofdstuk 4 Tweedegraadsvergelijkingen 127

Hoofdstuk 5 Goniometrie 169

GEOGEBRA

3.3 De functie f (x) = c x

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband

Hoe werk je met Pienter?

Na 7 uur is de hoogte

Voorbeeld

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):

Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

y = Vul de tabel in. Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze.

Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = vt, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h)12345612

(h)

v (km/h)

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

s=vt(km)

Het product vt is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig

Er geldt: v =

Definitie Omgekeerd evenredig verband

3.1

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

Basisbegrippen over functies

3.1.1 Inleiding

Formule

GEOGEBRA

xy = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante

Een brandende kaars is 20 cm lang.

De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

Grafiek van een omgekeerd evenredig verband

Na 7 uur is de hoogte

v (km/h)

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

Definitie Functie

Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).

De grafiek is

Besluit

1 O 23456789 101112 20 40 60 80 100 120 t (h)

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.

XL 4 -

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

REEKS A eenvoudige toepassingen

Oefeningen

REEKS A

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.

Je leert ook eigenschappen bewijzen.

10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x a)

REEKS B basisniveau

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

REEKS C verdiepingsniveau

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

Op diddit vind je extra oefeningen.

11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).

In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.

Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

3.1 Basisbegrippen over functies

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Notatie: pdom f

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

KUNNEN

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

3.2 De functie f (x) = 1 x KENNEN

Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene, blauwe en oranje band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.

f (x) = 1 x

• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f

• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.

©VANIN

Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter Remediëren en voor Extra Leerstof.

De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.

Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

PIENTER EN DIDDIT

Het onlineleerplatform bij Pienter

Materiaal

Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.

Lesmateriaal

Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.

Oefeningen

• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

• Je kunt hier vrij oefenen.

Opdrachten

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Evalueren

Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

E-book

Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...

Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.

HOOFDSTUK 1 I WAARHEIDSTABELLEN

©VANIN

Inleiding

Stel dat je met twee vrienden een terrasje doet. Je vrienden bestellen een cola en jijzelf een fruitsapje. Als de ober bij het serveren zichzelf moeite wil besparen, vraagt hij eerst voor wie het fruitsap is. Op die manier kan hij besluiten voor wie de cola’s zijn. Logisch, toch?

Redeneren is een vorm van denken waarbij je besluiten trekt uit allerhande uitspraken. Als je, in de wiskunde of elders, een besluit (conclusie) afleidt uit een aantal gegevens (premissen), dan vormen de opeenvolgende stappen die van de gegevens tot het besluit leiden, een redeneerproces

Logica is het onderdeel binnen de wiskunde dat zich bezighoudt met de leer van het redeneren. Het woord ‘logica’ stamt af van het Griekse woord logos, dat ‘rede’ betekent.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) was een Griekse filosoof en wetenschapper die, samen met Socrates en Plato, wordt beschouwd als een van de invloedrijkste filosofen in de westerse traditie. Hij wist de leer van de logica te systematiseren.

In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, maakte hij een onderscheid tussen de leer van de bewering, de definitie, de gevolgtrekking en het wetenschappelijk bewijs.

Centraal in zijn theorie staan de zogenaamde syllogismen, logische redeneringen waaruit je een conclusie afleidt.

Een van zijn bekendste syllogismen is het volgende: Alle mensen zijn sterfelijk. (eerste premisse) Socrates is een mens. (tweede premisse) Socrates is sterfelijk. (conclusie)

De leer van Aristoteles domineerde tweeduizend jaar lang de wetenschappelijke manier van redeneren in de westerse wereld. Zijn teksten werden, zelfs nog tot honderden jaren na zijn dood, door andere filosofen weerlegd, aangevuld, bewerkt en bediscussieerd.

Voorbeelden

Is de redenering waar of onwaar? Als ze onwaar is, geef dan een korte verklaring.

a) De afstandsbediening of de televisie werkt niet. De televisie werkt wel, dus is het de afstandsbediening die niet werkt.

b) Het schilderij hangt niet in het museum als het gestolen is. Het schilderij hangt niet in het museum. Dus het is gestolen.

c) Ik kan in mijn jas en mijn jas kan in mijn boekentas. Ik kan dus in mijn boekentas.

1.2 Proposities en connectieven

1.2.1

Proposities

Propositielogica is een tak binnen de wiskunde die zich bezighoudt met het redeneren met uitspraken die ofwel waar, ofwel onwaar zijn. Zulke uitspraken noem je proposities.

Voorbeelden van proposities

• Een gelijkbenige driehoek heeft minstens twee even grote hoeken. (waar)

• De aarde is een planeet. (waar)

• 12 – 8 = 5 (onwaar)

• De maand februari telt 30 dagen. (onwaar)

Definitie

©VANIN

Propositie

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De volgende zinnen zijn geen proposities.

• Is er leven op Saturnus? Een vraagstelling is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of ze waar of onwaar is.

• Doe de deur dicht! Een bevel of zin in de gebiedende wijs is nooit een propositie, omdat je niet kunt bepalen of hij waar of onwaar is.

• Je hebt een mooie trui aan. Een subjectieve uitspraak of mening heeft betrekking op de persoonlijke smaak en voorkeur. Subjectieve uitspraken zijn geen proposities.

• n is een priemgetal. De uitspraak ‘n is een priemgetal’ is soms waar (n = 5) en soms onwaar (n = 8). De uitspraak is geen propositie, omdat je de waarde van n niet kent.

Voorbeelden

Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring wo

a)1 + 1 = 2

b)Het is warm vandaag.

c)De hoofdstad van Frankrijk is Parijs.

d)3 is kleiner dan 2.

e)Is 0 het kleinste natuurlijk getal?

f)19 is een priemgetal.

g)Anderlecht is beter dan Club Brugge.

h)Ga naar je kamer!

Het is in de omgangstaal niet altijd eenvoudig om de juiste woorden te vinden om een welbepaalde redenering weer te geven. Bovendien heeft iedereen een eigen taalgevoel.

Zo kan de ontvanger een boodschap soms anders interpreteren dan de zender bedoelde.

Stel, je belooft aan een kind het volgende: Alsjebraafbent,dankrijgjeeenzuurtjeofeenstukchocoladecake.

Wat kan het kind precies verwachten?

Kan het, als het braaf is, een zuurtje én een stuk chocoladecake krijgen?

Mag het, als het braaf is, zelf kiezen tussen een zuurtje of een stuk chocoladecake?

Krijgt het ook iets als het niet braaf is, of is dat uitgesloten?

Wat als het een heel klein beetje niet braaf is? Hoe braaf moet het eigenlijk zijn om iets te krijgen?

©VANIN

Om dergelijke onduidelijkheden te vermijden, stel je proposities voor in symbolentaal.

Een propositie stel je voor door een kleine letter: p, q, r

Als een propositie waar is, geef je dat weer met het getal 1.

Als een propositie onwaar is, geef je dat weer met het getal 0.

Je noemt de waarde 1 of 0 de waarheidswaarde van een propositie.

Samengestelde proposities verbinden enkelvoudige proposities met een connectief

benaming connectief je leest: de negatie ¬ niet de conjunctie

en de disjunctie

of de implicatie

als … dan de equivalentie

als en slechts als

Voorbeelden

p: Je bent braaf.

q: Je krijgt een zuurtje.

r: Je krijgt een stuk chocoladecake.

Formuleer in woorden.

¬p

q ˄ r

q ˅ r

p ⇒ q

p ⇔ q

Voor samengestelde proposities hangt de waarheidswaarde af van de waarheidswaarde van de verschillende enkelvoudige proposities (deeluitspraken).

Die waarheidswaarde bepaal je met waarheidstabellen.

Oefeningen

REEKS A

1 Is de uitspraak een propositie?

Indien ja, is de propositie waar (w) of onwaar (o)?

Indien nee, geef een verklaring.

propositie geen propositie verklaring wo

a)2 is het kleinste priemgetal.

b)Je ziet er goed uit vandaag.

c)Had dan gezwegen!

d) Je wiskundeleerkracht is de beste leerkracht van de school.

e)3 2 + 4 2 = 5 2

f)Een schildpad is een amfibie. ❒❒❒

g)Is Einstein geboren in de 20e eeuw?

h) Ik ben getrouwd met het mooiste meisje van de wereld.

i) De Duitse vlag bestaat uit de kleuren zwart, geel en blauw.

j)Een jachtluipaard is het snelste landdier ter wereld.

k)Een parallellogram heeft juist één paar evenwijdige zijden.

l)Houd je mond!

m)Een oneven macht van een negatief grondtal is altijd negatief.

n)Hoe oud is jouw broer?

o)Ik vind cola het lekkerst.

p)De zon is groter dan de maan.

q)Elke mens is sterfelijk.

r)9 is een deler van 378.

s) n is een even getal.

t)(–7)–1 = 7

1.2.2 Negatie van een propositie

p: Pieter speelt voetbal.

q: Pieter speelt geen voetbal.

Beide uitspraken kunnen niet tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Als de eerste propositie waar is, is de tweede propositie onwaar. Als de eerste propositie onwaar is, is de tweede propositie waar.

Je zegt dat q de negatie is van p

Notatie: ¬p

Je leest: niet p Het teken ¬ noem je het negatieteken.

©VANIN

Het negatieteken ¬ gaat, anders dan in de gewone omgangstaal, vooraf aan de uitspraak waarop het betrekking heeft. De propositie ‘Pieter speelt geen voetbal’ noteer je dus als volgt: ¬p

De negatie is eigenlijk een speciaal connectief.

Bij een negatie zijn er geen twee deeluitspraken, maar maak je van één propositie een iets complexere propositie. In de meeste naslagwerken over logica wordt de negatie wel als een connectief beschouwd.

De formule ¬p is waar als p onwaar is, en omgekeerd.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Negatie

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Voorbeelden

Formuleer de volgende proposities in woorden.

p: 9 is een oneven getal. ¬p:

q: De deur staat open. ¬q:

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten. ¬r:

s: De hoofdstad van Spanje is Barcelona. ¬s:

1.2.3

Conjunctie van twee proposities

p: Jules eet graag frietjes.

q: Marie eet graag stoofvlees.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees. Je noemt die nieuwe uitspraak de conjunctie van p en q

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

Het teken ˄ noem je het conjunctieteken.

Voor de conjunctie heb je een grotere waarheidstabel nodig. Er zijn namelijk vier mogelijke combinaties voor de waarheidswaarden van twee proposities p en q

De propositie ‘Jules eet graag frietjes en Marie eet graag stoofvlees’ kan enkel waar zijn als beide deeluitspraken p en q waar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Conjunctie

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

©VANIN

De propositielogica brengt enkele beperkingen met zich mee en kan niet alle nuances uit de omgangstaal weergeven. De zin ‘Jules en Marie gaan op reis’ kun je opsplitsen in ‘Jules gaat op reis’ en ‘Marie gaat op reis’. Daaruit blijkt niet of ze samen op reis gaan. Zo zit er ook een beperking in de weergave van de chronologie. In de spreektaal geeft ‘en’ vaak een tijdsvolgorde aan. Uit de zin ‘Jules kwam binnen en deed het licht aan’ kun je afleiden dat Jules binnenkwam alvorens hij het licht aandeed. Als er staat ‘Jules deed het licht aan en kwam binnen’, krijgt de zin een andere betekenis.

Dat soort bijzonderheden kun je moeilijk uitdrukken in de propositielogica.

1.2.4 Disjunctie van twee proposities

p: Wassim gaat met de fiets naar school.

q: Nikolay gaat met de bus naar school.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie:

Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school.

Je noemt die nieuwe uitspraak de disjunctie van p en q

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

Het teken ˅ noem je het disjunctieteken.

Definitie

De propositie ‘Wassim gaat met de fiets naar school of Nikolay gaat met de bus naar school’ kan enkel onwaar zijn als beide deeluitspraken p en q onwaar zijn.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Disjunctie

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Een waarheidstabel van een enkelvoudige propositie p bevat twee mogelijke waarheidswaarden: 1 of 0.

Een waarheidstabel van twee proposities p en q bevat vier mogelijkheden.

Beide proposities kunnen waar of onwaar zijn, p kan waar zijn en q onwaar, of omgekeerd.

Een waarheidstabel met drie proposities p, q en r bevat acht mogelijkheden.

Een waarheidstabel met vier proposities p, q, r en s bevat zestien mogelijkheden.

©VANIN

Algemeen wordt het aantal mogelijkheden in een waarheidstabel met n proposities bepaald door de formule 2 n

Besluit

Inclusieve disjunctie

• Personen die behoren tot de leeftijdscategorie 65+ of die behoren tot een van de risicogroepen, krijgen voorrang bij de inenting tegen COVID-19 en tegen de griep.

Zal een persoon met diabetes uit de leeftijdscategorie 65+ ook voorrang krijgen?

• Personen uit de leeftijdscategorie 60+ of personen met een beperking krijgen korting bij de aankoop van een inkomticket voor de Efteling.

Krijgt een man van 64 jaar met een beperking ook korting?

‘Of’ betekent in deze voorbeelden ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Je noemt die ‘of’ de inclusieve of

©VANIN

In de logica gebruik je de inclusieve of ‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

Exclusieve disjunctie

In de omgangstaal heeft het woord ‘of’ vaak een andere betekenis.

Een leerkracht laat zijn leerlingen de keuze:

De toets gaat maandag door of de toets gaat dinsdag door.

Geen enkele leerling verwacht de toets op zowel maandag als dinsdag.

‘Of’ betekent hier ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Je noemt die ‘of’ de exclusieve of

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

Een andere notatie voor de exclusieve of is: p ⊕ q.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Voorbeelden

Welke ‘of’ wordt gebruikt? Vul in met ‘inclusief’ of ‘exclusief’.

a) 2 is een rationaal getal of een irrationaal getal.

b)Mensen met een hond of een kat moeten hun huisdieren binnenhouden bij oudjaar.

c)Je kunt kiezen tussen de studierichtingen wetenschappen of economie.

d)Wil je melk of suiker bij jouw koffie?

1.2.5 Implicatie van twee proposities

p: Het regent.

q: De straten worden nat.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: als het regent, dan worden de straten nat.

• ‘Het regent’ noem je het antecedens

• ‘De straten worden nat’ noem je het consequens

Je noemt die nieuwe uitspraak een implicatie

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

Het teken ⇒ noem je het implicatieteken.

De uitspraak is waar als het regent en de straten nat worden.

De uitspraak is onwaar als het regent en de straten niet nat worden.

Maar wat als het niet regent? De straten kunnen dan nog altijd nat worden, omdat het bijvoorbeeld sneeuwt of hagelt. Ook in dat geval is de uitspraak dus waar.

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie Implicatie

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Opmerking

Bij een implicatie mag je de twee proposities niet zomaar van plaats wisselen.

©VANIN

Voorbeeld

b) Wanneer is die uitspraak waar? Leg uit. GEOGEBRA

De uitspraak ‘als je jarig bent, dan krijg je een ruiker bloemen’ heeft een andere betekenis dan ‘als je een ruiker bloemen krijgt, dan ben je jarig’.

p: Julia snijdt uien. q: Julia moet huilen.

a) Formuleer de propositie in woorden.

p ⇒ q:

1.2.6 Equivalentie van twee proposities

p: Een driehoek is gelijkzijdig.

q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

Je voegt de twee proposities samen tot een nieuwe, samengestelde propositie: een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft. Je noemt die nieuwe uitspraak een equivalentie

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q Het teken ⇔ noem je het equivalentieteken.

De uitspraak is waar als de driehoek gelijkzijdig is en drie even grote hoeken heeft. De uitspraak is ook waar als de driehoek niet gelijkzijdig is en geen drie even grote hoeken heeft (denk aan een willekeurige driehoek met hoeken van 50º, 60º en 70º).

Je kunt dat samenvatten in een waarheidstabel:

Definitie

Equivalentie

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Een equivalentie wordt ook weleens een bi-implicatie genoemd, omdat de implicatie in beide richtingen geldt.

De uitspraak ‘als er vrede is, dan is er geen oorlog’ (⇒) geldt ook in de andere richting: ‘als er geen oorlog is, dan is er vrede’ (⇐).

Je kunt dus stellen dat p ⇔ q

1.2.7 Overzicht

Vul de waarheidstabel bij de verschillende connectieven aan.

1.2.8 Nodige en voldoende voorwaarde

Eigenschap

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

p: Een vierhoek is een ruit.

q: De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

In symbolen: p ⇒ q

Het is voldoende dat een vierhoek een ruit is opdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, maar niet nodig, want er bestaan ook andere vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan (bv. een vlieger).

Het loodrecht op elkaar staan van de diagonalen is nodig opdat de vierhoek een ruit zou kunnen zijn.

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je q de nodige voorwaarde voor p

Besluit Om een eigenschap te bewijzen, bewijs je de implicatie p ⇒ q Je neemt p als ‘gegeven’ en q als ‘te bewijzen’.

©VANIN

Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als de driehoek minstens twee even grote hoeken heeft. p: Een driehoek is gelijkbenig. In symbolen: p ⇔ q q: Een driehoek heeft minstens twee even grote hoeken.

Minstens twee even grote hoeken in een driehoek is een nodige (p ⇒ q) en een voldoende (p ⇐ q) voorwaarde voor gelijkbenigheid.

Een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee gelijke hoeken, en omgekeerd zul je geen driehoek vinden met minstens twee gelijke hoeken die niet gelijkbenig is. Een eigenschap waarvan ook de omgekeerde eigenschap geldt, noem je een kenmerk of een (alternatieve) definitie.

Besluit Om een kenmerk te bewijzen, bewijs je de equivalentie p ⇔ q Je bewijs bestaat uit twee stappen: je bewijst p ⇒ q en q ⇒ p.

1.2.9 Volgorde van de connectieven

Net als bij de volgorde van de bewerkingen, interpreteer je eerst de connectieven binnen de haakjes. Daarna geldt een afnemende prioriteit van de connectieven: ¬, ˄, ˅, ⇒, ⇔

Dat wil zeggen dat je ¬ altijd eerst interpreteert, daarna ˄ enzovoort.

Algemeen Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels (van links naar rechts): ( ) , ¬ , ˄ , ˅ , ⇒⁄⇐ , ⇔

Voorbeeld

Als Veerle een blauwe broek draagt, dan draagt Nathalie geen rood T-shirt, en Sigrid draagt gele sokken als en slechts als Nathalie een rood T-shirt draagt.

a) Noteer de uitspraak in symbolen.

enkelvoudige proposities samengestelde propositie

p: q: In symbolen: r: Je interpreteert de twee deeluitspraken binnen de haakjes elk afzonderlijk.

In de deeluitspraak (p ⇒ ¬q) interpreteer je eerst ¬q, omdat ¬ voorrang heeft op ⇒.

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is de uitspraak waar?

Oefeningen

REEKS A

2 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Het regent.

q: De zon schijnt.

a) p ˄ q

b) q ˅ r

c) p ⇒ r

d) ¬p ⇒ q

REEKS B

r: Ik neem een paraplu mee naar buiten.

3 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Dieter is ziek.

r: Dieter gaat naar school.

q: Dieter maakt zijn huiswerk. s: Mama gaat werken.

a) ¬p ⇒ r

b) r ⇔ s

c) ¬q ⇒ ¬r

d) ¬p ˄ q ⇒ r

e) ¬s ˄ ¬q ⇒ p

4 Formuleer de samengestelde proposities in woorden.

p: Kevin geeft een pass aan Romelu. s: Dries trapt een hoekschop.

q: Romelu maakt een doelpunt. t: De scheidsrechter fluit af.

r: Thibaut trapt de bal uit.

a) s ˄ p ⇒ q

b) r ⇒ t

c) ¬p ⇒ ¬q

d) ¬t ˄ r ⇒ q

e) s ˅ r ⇒ ¬t

5 Formuleer de enkelvoudige proposities in woorden. Noteer vervolgens de samengestelde propositie in symbolen.

a) Katleen of Mario komt naar het feest.

b) Jaouad speelt piano, maar Bart niet.

In symbolen:

c) De zon schijnt en er is veel wind, maar het regent niet.

In symbolen: q: r:

d) Amina speelt graag badminton, maar traint niet graag.

e) Gianni kent Engels noch Duits.

In symbolen:

In symbolen: q:

f) Als An niet slaagt voor haar rijexamen, komt ze niet met de auto naar school.

In symbolen:

g) Als Iwan blij is, is Sofia dat niet en als Iwan niet blij is, is Sofia dat wel.

In symbolen:

6 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Je slaagt voor het proefwerk wiskunde.

q: Je maakt elke oefening in de cursus.

r: Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving.

a)Je maakt elke extra oefening in de elektronische leeromgeving, maar je maakt niet elke oefening in de cursus.

b)Je behaalt een onvoldoende op het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de cursus maakt.

c)Elke oefening in de cursus of elke extra oefening in de elektronische leeromgeving maken, volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

d)Het is niet waar dat je een onvoldoende behaalt voor het proefwerk wiskunde als je niet elke oefening in de elektronische leeromgeving maakt.

7 Noteer de samengestelde proposities in symbolen.

p: Jef speelt piano.

q: Myra speelt harp.

r: Hanneke speelt dwarsfluit.

s: Layla speelt klarinet.

symbolen

©VANIN

a) Als Jef geen piano speelt en Myra geen harp speelt, dan speelt Hanneke dwarsfluit.

b)Als Layla klarinet speelt of als Hanneke dwarsfluit speelt, dan speelt Myra geen harp.

c)Hanneke speelt geen dwarsfluit als en slechts als Layla geen klarinet speelt.

d)Layla speelt klarinet als Myra geen harp speelt.

e)Jef speelt geen piano en Myra speelt geen harp als Hanneke geen dwarsfluit speelt.

in symbolen

8 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

a) Als de maan van kaas is, dan dansen er muizen op de maan.

q: pq

b) 5 is een priemgetal of 5 is een even getal.

q: pq

c) Het is niet waar dat (–2)2 = 4.

q: p

d) Als 3² = 9, dan 6 – 2 = 3.

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen:

De uitspraak is

In symbolen: q: pq

De uitspraak is

e) Als het niet waar is dat de zon groter is dan de aarde, dan is elke smurf geel.

In symbolen: q: pq

De uitspraak is

f) 2 = 5 als en slechts als 1 = –13.

q: pq

In symbolen:

De uitspraak is

9 Zijn de uitspraken waar of onwaar? Verklaar met een waarheidstabel.

p: 7 > 18

q: 18 is een even getal.

a) p ⇒ q

r: 11 0 = 1

s: 3 ∈ q

De uitspraak is

b) ¬r ˄ q

©VANIN

De uitspraak is

c) s ⇔ p

De uitspraak is

d) (p ⇒ s) ˅ (s ⇒ p)

De uitspraak is

e) (p ⇔ q) ˄ ¬r

De uitspraak is

f) (p ˄ ¬q) ˅ r

De uitspraak is

10 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬p ˄ q

d) p ⇒ ¬q

b) p ˅ ¬q

e) ¬(p ⇒ q)

c) ¬(p ˅ q)

f) ¬p ⇔ q

11 Stel de waarheidstabel van de samengestelde proposities op.

a) ¬(p ˄ ¬q)

b) (p ⇒ q) ˅ ¬q

12 Vul in met ‘voldoende’, ‘nodig(e)’ of ‘nodig(e) en voldoende’.

a) Opdat een driehoek gelijkzijdig is, is het dat hij gelijkbenig is.

b) Opdat een driehoek rechthoekig is, is het dat de stelling van Pythagoras geldt.

c) Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, is het dat het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.

d) Opdat een vierhoek een vierkant is, is het dat de vierhoek een parallellogram is.

e) Opdat twee driehoeken gelijkvormig zijn, is het dat de drie paar overeenkomstige zijden evenredig zijn.

f) Het middendoor snijden van de diagonalen is een voorwaarde opdat een vierhoek een vierkant is.

g) Opdat een lijnstuk een middenparallel is van een driehoek, is het om te stellen dat het lijnstuk evenwijdig is met en half zo lang is als de derde zijde.

h) Opdat een getal deelbaar is door 3, is het dat het getal deelbaar is door 9.

i) Dat een getal deelbaar is door 2 en ook door 3, is een voorwaarde opdat het getal deelbaar is door 6.

j) Opdat a en b snijdende rechten zijn, is het dat a en b loodrecht op elkaar staan.

©VANIN

13 Vul de best passende pijl in. Kies uit: ⇒, ⇐, ⇔.

a)Een getal is deelbaar door 3. Een getal is deelbaar door 6.

b)Twee driehoeken zijn congruent. Twee driehoeken hebben dezelfde oppervlakte.

c)Een driehoek is gelijkzijdig. Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

d) x + 2 = 4 x = 4 – 2

e)Een getal is een natuurlijk getal. Een getal is een geheel getal.

f) x ∈ r + x 2 ∈ r +

g)|PQ| = |QR| Q is het midden van [PR].

h)Een vierhoek is een rechthoek. Een vierhoek is een trapezium.

i) a is een irrationaal getal. a is een reëel getal.

j)De rechten a en b zijn evenwijdig. a = b

14 De ouders van Yassine doen vlak voor de proefwerken de volgende ware uitspraak:

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone.’

Yassine krijgt na de proefwerken een nieuwe smartphone.

Kun je daaruit besluiten dat hij geslaagd was voor wiskunde?

In symbolen:

15 In een rechtszaak doet een rechter de volgende uitspraak:

‘De eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt de waarheid niet.’

Een advocaat is het niet eens met de rechter. Wat moet hij dan aantonen?

In symbolen:

16 Een leerkracht wiskunde zegt tegen zijn leerlingen:

‘Het is niet waar dat iemand in de klas een onvoldoende heeft, of het is wél waar dat er gespiekt werd tijdens de toets.’ Achteraf zegt de leerkracht dat hij een leugen vertelde. Wat kunnen de leerlingen daaruit besluiten?

In symbolen:

©VANIN

REEKS C

17 Als het in Knokke minstens 27 ºC én zonnig is, dan zit het strand overvol.

Op 21 juli 2014 zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag?

A) Als het minstens 27 ºC was, dan was het zonnig.

B) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het zonnig.

C) Als het minder dan 27 ºC was, dan was het niet zonnig.

D) Het was minder dan 27 ºC en het was niet zonnig.

E) Het was minder dan 27 ºC of het was niet zonnig.

JWO,editie2015,tweederonde

18 Als het niet waar is dat Cercle Brugge de beker of de competitie wint, dan wint Cercle Brugge de Europa League.

a) Vul aan.

p: q:

r: In symbolen:

b) Vul de waarheidstabel aan.

pqr

c) Wanneer is die uitspraak waar?

19 Als Elise en Noa de waarheid niet spreken, dan is het niet waar dat Louiz liegt.

a) Vul aan.

p: q: In symbolen:

b) Vul de waarheidstabel aan.

c) Wanneer is die uitspraak waar?

oefeningen

Logische raadsels

Drie vrienden zouden graag naar Schoolrock Festival gaan, maar twijfelen een beetje. ‘Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat, en Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat.’ Wie gaat er naar Schoolrock?

Mogelijkheid 1: • Nummer de verschillende uitspraken.

• Zet alle mogelijkheden in een tabel.

• Schrap de mogelijkheden die strijdig zijn met het gegeven.

Flor gaat zeker naar Schoolrock als Anaïs gaat. (1) Seppe gaat alleen als en slechts als Flor niet gaat. (2)

FlorAnaïsSeppe

gaatgaatgaat

gaatgaatgaat niet

gaatgaat nietgaat

gaatgaat nietgaat niet

gaat nietgaatgaat

gaat nietgaatgaat niet

gaat nietgaat nietgaat

gaat nietgaat nietgaat niet

Mogelijkheid 2: • Zet de uitspraak om naar een propositie in symbolen.

p: Flor gaat.

q: Anaïs gaat.

r: Seppe gaat.

• Stel een waarheidstabel op.

In symbolen: (

Oefeningen

REEKS B

20 Als Stijn vanavond televisie mag kijken, dan mag Thibe geen televisie kijken. Oscar mag enkel televisie kijken als en slechts als Thibe geen televisie mag kijken. Wie mag er vanavond televisie kijken? Los op met een waarheidstabel.

q: In symbolen:

©VANIN

21 Van drie beweringen A, B en C weet je het volgende:

• Als A waar is, dan zijn B en C waar.

• Als B waar is, dan is er van A en C ten minste één waar.

• Als C waar is, dan is A waar en B onwaar.

Welke van de beweringen A, B en C zijn waar?

Lijst de verschillende mogelijkheden op in een tabel.

22 Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor.

Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

A) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

B) De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

C) De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

D) De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

E) De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

JWO,editie2020,tweederonde

23 Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd.

De anderen spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt: ‘Maarten of Jens is de mol.’

• Lisa antwoordt: ‘De mol is een man.’

• Jens zegt: ‘Lisa is de mol niet en ik ook niet.’

• Maarten stelt: ‘De mol is een vrouw.’

• Inneke beweert: ‘Ik ben de mol niet.’

Wie is de mol?

A)WoutB)Lisa C)Jens D)MaartenE)Inneke

©VANIN

JWO,editie2020,tweederonde

Extra oefeningen (REEKS C)

1.4 Tautologieën en contradicties

1.4.1 Begripsvorming

Logische equivalentie

GEOGEBRA

Twee (enkelvoudige of samengestelde) proposities p en q zijn gelijkwaardig als en slechts als ze voor alle gevallen dezelfde waarheidswaarde hebben.

Je noemt de proposities logisch equivalent

Als je een equivalentieteken tussen twee gelijkwaardige proposities plaatst, verkrijg je altijd een ware uitspraak.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p is gelijkwaardig met q

Tautologie

Als een getal oneven en een priemgetal is, dan is het getal oneven.

p: Een getal is oneven.

In symbolen: q: Een getal is een priemgetal.

Vul de waarheidstabel aan.

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een tautologie

Definitie Tautologie

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Contradictie

Een reëel getal is rationaal en irrationaal.

p: Een reëel getal is rationaal.

In symbolen: Vul de waarheidstabel aan.

De samengestelde propositie is voor alle waarden van de enkelvoudige proposities

Je noemt die propositie een contradictie

Definitie Contradictie

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

1.4.2 De wet van de uitgesloten derde

‘Elk getal is even of oneven’ is altijd een ware uitspraak. Er is geen derde mogelijkheid. p: Elk getal is even.

te bewijzen p ˅ ¬p is een tautologie.

bewijs p¬pp ˅ ¬p

Besluit Wet van de uitgesloten derde

p ˅ ¬p

1.4.3 De wet van de dubbele negatie

‘De zon schijnt’ is gelijkwaardig met ‘het is niet waar dat de zon niet schijnt’. p: De zon schijnt.

te bewijzen p ⇔ ¬(¬p) bewijs

Besluit Wet van de dubbele negatie p ⇔ ¬(¬p)

1.4.4 Een implicatie noteren als een disjunctie

‘Als je slaagt voor wiskunde, dan krijg je een nieuwe smartphone’ is gelijkwaardig met ‘je slaagt niet voor wiskunde of je krijgt een nieuwe smartphone’. p: Je slaagt voor wiskunde. q: Je krijgt een nieuwe smartphone.

te bewijzen p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

©VANIN

bewijs pqp ⇒ q¬p ¬p ˅ qp ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

11 10 01 00

Besluit Een implicatie noteren als een disjunctie p

1.4.5 Een equivalentie noteren als een conjunctie

‘Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de driehoek drie even grote hoeken heeft’ is gelijkwaardig met ‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot en als alle hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig’.

p: Een driehoek is gelijkzijdig. q: Een driehoek heeft drie even grote hoeken.

bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Besluit Een equivalentie noteren als een conjunctie

1.4.6 De wet van de contrapositie

‘Als het regent, dan worden de straten nat’ is gelijkwaardig met ‘als de straten niet nat worden, dan regent het niet’. p: Het regent. q: De straten worden nat. te bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Besluit Wet van de contrapositie

Opmerking

Een veelgemaakte fout is om te stellen dat p ⇒ q gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q

Voorbeeld

p: n is een viervoud. q: n is een even getal.

a) Formuleer de proposities in woorden.

p ⇒ q: ¬p ⇒ ¬q:

b) Zijn die uitspraken waar of onwaar?

Algemeen

Toon aan dat de propositie p ⇒ q niet dezelfde waarheidswaarden oplevert als ¬p ⇒ ¬q

De twee uitspraken leveren niet dezelfde waarheidswaarden op. Je kunt dus besluiten dat p ⇒ q niet gelijkwaardig is met ¬p ⇒ ¬q.

In de omgangstaal betekent ‘als … dan …’ soms meer dan wat je strikt genomen zegt.

Als je vader zegt ‘Als je slaagt voor al je examens, dan krijg je een Nintendo Switch’, dan bedoelt hij (wellicht) impliciet ook ‘Als je niet slaagt voor al je examens, dan krijg je geen Nintendo Switch’.

Stel p: Je slaagt voor al je examens en q: Je krijgt een Nintendo Switch. Dan zegt je vader p ⇒ q, maar bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook ¬p ⇒ ¬q en zelfs q ⇒ p

©VANIN

In de wiskunde kun je jezelf dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven en houd je je aan de regels van de logica.

1.4.7 De wetten van De Morgan

Voorbeeld 1

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt en dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano of Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano. q: Marie speelt harp.

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een conjunctie gelijk is aan de disjunctie van de negaties

Voorbeeld 2

‘Het is niet waar dat Jef piano speelt of dat Marie harp speelt’ is gelijkwaardig met ‘Jef speelt geen piano en Marie speelt geen harp’.

p: Jef speelt piano.

q: Marie speelt harp. te bewijzen

bewijs

11 10 01 00

Je kunt besluiten dat de negatie van een disjunctie gelijk is aan de conjunctie van de negaties

Besluit De wetten van De Morgan

REEKS A

24 Vul de tabel aan.

implicatie contrapositie

a)Als ik ga werken, dan neem ik altijd de fiets.

©VANIN

Als de zon niet schijnt, dan is het donker.

c)Als ik geslaagd ben voor mijn examen, dan geef ik een feestje.

e)Als Melissa mij een zoen geeft, dan krijg ik kriebels in mijn buik.

25 Gegeven: ‘Als de lift niet werkt, dan neem ik de trap.’

a) Stel dat die propositie waar is en ik de trap neem. Wil dat dan zeggen dat de lift kapot is?

q: pq

Als ik niet volledig ontspannen ben, dan ben ik niet op vakantie.

In symbolen:

b) Formuleer de contrapositie van die uitspraak in woorden.

26 Gebruik de wetten van De Morgan om de uitspraken om te vormen.

a) Het is niet waar dat Ariane tennis en basketbal speelt.

b) Het is niet waar dat Geert bruine of blauwe schoenen draagt.

c) Ik wil geen bruine suiker of geen siroop op mijn pannenkoek.

d) Maandag staat er geen toets gepland en dinsdag ook niet.

27 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) p ⇒ (p ˅ q)

b) (p ˄ q) ˅ p ⇔ p

c) (p ˄ ¬p) ⇒ q

e) ¬p ⇒ (p ⇒ q)

©VANIN

p ˄ q ⇔ q ˄ p

f) (p ⇒ q) ˅ (q ⇒ p)

g) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p ˄ (p ⇔ q) ⇒ q

28 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities contradicties zijn.

a) (p ⇒ q) ⇔ (p ˄ ¬q)

b) (p ˄ q) ˄ (¬p ˅ ¬q)

©VANIN

29 Noteer de uitspraak eenvoudiger. Formuleer de wet waarop je steunt.

a) Het is niet waar dat jij geen leugenaar bent.

b) Als de elektriciteitsrekening niet betaald wordt vóór 31 maart, dan kunnen we geen televisie meer kijken.

c) Als ik niet mee kan op schoolreis, dan werden mijn kleren niet op tijd gewassen.

d) Het is niet waar dat het getal 2 niet het kleinste priemgetal is.

e) Als je naar de stad vertrekt met de auto, dan neem ik de bus, en als ik de bus neem, dan vertrek jij met de auto naar de stad.

f) Het is niet waar dat het niet waar is dat, als ik de weddenschap niet win, Club Brugge geen kampioen speelt.

30 Bewijs met een waarheidstabel dat de proposities tautologieën zijn.

a) (p ⇒ r) ˄ (q ⇒ r) ⇔ (p ˅ q ⇒ r)

©VANIN

b) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

Net zoals je steunt op de eigenschappen van de bewerkingen in de getallenleer (commutatief, associatief …), gebruik je die eigenschappen ook in de propositielogica. Je kunt ze stuk voor stuk bewijzen met behulp van waarheidstabellen.

Enkele voorbeelden:

• De conjunctie is commutatief: p ˄ q ⇔ q ˄ p

• De equivalentie is associatief: [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)].

• De disjunctie is distributief ten opzichte van de conjunctie: p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r).

Het bewijs van die laatste eigenschap vind je in de voorgaande oefening.

1.5 Logische poorten

1.5.1 Logische poorten

Logische poorten zijn schakelingen of bouwstenen van elektronica. Ze zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten, zoals transistors, weerstanden en dioden.

Het belangrijkste kenmerk van logische poorten is dat ze meer dan één ingang kunnen bevatten, maar slechts één uitgang. De verschillende poorten leveren lage of hoge spanningssignalen aan die uitgang. Die spanningssignalen stel je voor met 0 of 1.

Er zijn drie elementaire poorten poort

©VANIN

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een andere naam voor een NIET-poort is ‘inverter’.

disjunctie (inclusieve OF)

Een OF-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als minstens een van de ingangen 1 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn.

Er bestaan verschillende systemen om poorten weer te geven:

• het ANSI-systeem (AmericanNationalStandardofIndustry), dat het meest gebruikt wordt;

• het IEC-systeem (InternationalElectrotechnicalCommission);

• het DIN-systeem (DeutscheInstitutfürNormung).

Met de drie elementaire poorten kun je nog andere poorten bouwen.

poort ANSI-symbool waarheidstabel verband met propositielogica

A B U ABU 11 10 01 00 exclusieve OF A ˅ B = U

1.5.2 Modeloefening 1

©VANIN

U ABU 11 10 01 00 negatie van de disjunctie ¬(A ˅ B) = U

ABU 11 10 01 00 negatie van de conjunctie ¬(A ˄ B) = U

Een schakelaar en een drukknop werden verbonden met een lampje. Wanneer zal het lampje branden? a) A B U

Het lampje zal branden als

Modeloefening 2

Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B uit staan en drukknop C niet is ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en B aan staan en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, B uit staat en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C niet worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

Oefeningen

REEKS A

31 Onderzoek of het lampje zal branden.

©VANIN

Het lampje zal wel/niet branden. b)

Het lampje zal wel/niet branden.

32 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan. Beantwoord de bijbehorende vragen.

• Zal het lampje branden als schakelaar A uit staat en drukknoppen B en C worden ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaar A aan staat, drukknop B wordt ingedrukt en drukknop C niet wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C uit staan en drukknop B wordt ingedrukt?

• Zal het lampje branden als schakelaars A en C aan staan en drukknop B niet wordt ingedrukt?

33 Vul de waarheidstabel van de logische schakelingen aan.

1.1 Inleiding

1.2 Proposities en connectieven

KENNEN

Een propositie is een uitspraak die ofwel waar, ofwel onwaar is.

De negatie van een propositie p is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p onwaar is.

Notatie: ¬p

Je leest: niet p

De conjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn.

Notatie: p ˄ q

Je leest: p en q

De disjunctie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p en q onwaar zijn.

Notatie: p ˅ q

Je leest: p of q

In de logica gebruik je meestal de inclusieve of.

‘Of’ betekent dan ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel allebei.

De exclusieve of betekent ofwel het ene, ofwel het andere, maar niet allebei.

Notatie: p ˅ q

Je leest: ofwel p, ofwel q

De implicatie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel onwaar is als en slechts als p waar en q onwaar is.

Notatie: p ⇒ q

Je leest: als p, dan q

De equivalentie van twee proposities p en q is een uitspraak die enkel waar is als en slechts als p en q waar zijn, of beide onwaar zijn.

Notatie: p ⇔ q

Je leest: p als en slechts als q

Bij een combinatie van connectieven gelden de volgende voorrangsregels: ( ), ¬, ˄, ˅, ⇒/⇐, ⇔

Bij een ware implicatie p ⇒ q noem je p de voldoende voorwaarde voor q; q noem je de nodige voorwaarde voor p KUNNEN

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in symbolen noteren.

Een (enkelvoudige of samengestelde) propositie in woorden formuleren.

De waarheidswaarde van een (enkelvoudige of samengestelde) propositie bepalen met behulp van een waarheidstabel.

Vraagstukken oplossen met behulp van een waarheidstabel.

1.3 Logische raadsels

Logische raadsels oplossen met behulp van een waarheidstabel.

Logische raadsels oplossen door een oplijsting te maken van de verschillende mogelijkheden.

1.4 Tautologieën en contradicties

KENNEN

Een tautologie is een samengestelde propositie die altijd waar is.

Een contradictie is een samengestelde propositie die altijd onwaar is.

Je kent de volgende logische wetten:

• de wet van de uitgesloten derde: p ˅ ¬p

• de wet van de dubbele negatie: p ⇔ ¬(¬p)

• de wet van de contrapositie: p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p

• de wetten van De Morgan: ¬(p ˄ q) ⇔ ¬p ˅ ¬q ¬(p ˅ q) ⇔ ¬p ˄ ¬q

©VANIN

KUNNEN

De logische wetten gebruiken om proposities te herformuleren en/of eenvoudiger te schrijven.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een tautologie is.

Bewijzen met een waarheidstabel dat een welbepaalde samengestelde propositie een contradictie is.

Een implicatie noteren als een disjunctie en omgekeerd: p ⇒ q ⇔ ¬p ˅ q

Een equivalentie noteren als een conjunctie en omgekeerd: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ˄ (q ⇒ p)

1.5 Logische poorten

Een NIET-poort is een digitale elektronische schakeling met één ingang en één uitgang.

De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als de ingang 0 is.

Een EN-poort is een digitale elektronische schakeling met twee (of meerdere) ingangen en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als en slechts als alle ingangen 1 zijn. KUNNEN

De waarheidswaarde bepalen van de uitgang (lamp) door de theorie van de logische poorten toe te passen.

De waarheidstabel van een logische schakeling opstellen.

De waarheidstabel van de verschillende logische poorten opstellen: NIET, OF, EN, XOF, NOF, NEN.

1.De volgende uitspraak is onwaar: ‘Als de som van de cijfers van een natuurlijk getal n deelbaar is door 6, dan is n deelbaar door 6.’ Welk van de volgende waarden van n toont dat aan?

©VANIN

2.Een papierstrook wordt geplooid zodat er een hoek van 40º ontstaat, zoals op de figuur. Hoe groot is a?

JWO,editie2020,eersteronde

3. Voor alle positieve getallen x geldt dat 2 + 42x + 4x – 2 gelijk is aan …

HOOFDSTUK 2 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

©VANIN

2.1 Algemene vergelijking van een rechte 52

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen 59

2.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen 61

2.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen 69

2.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden 91

Studiewijzer

101 Pienter problemen oplossen

102

2.1 Algemene vergelijking van een rechte

2.1.1 Rechten door de oorsprong

Teken de rechten r en s in het assenstelsel.

Algemeen

Definitie

Besluit

©VANIN

De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.

Richtingscoëfficiënt

De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.

De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:

• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;

• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

2.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong

Teken de rechten k en l in het assenstelsel.

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.

rc k = rc l =

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Horizontale en verticale rechten

©VANIN

• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.

• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt. x y P(s,r) y=r yx=s =ax+b

GEOGEBRA

De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b (met a ∈ r0 , b ∈ r ).

Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r (met r ∈ r).

Verticale rechten hebben een vergelijking van de vorm x = s(met s ∈ r).

Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w ∈ r en u en v niet tegelijk 0 zijn.

een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as r ↔ y = 2xr ↔ y = ax

1–1–2–3–4–5 2345 y x –3 –2 –1 1 2 3 r

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

©VANIN

een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong s ↔ y = – 2x + 1

↔ y = ax + b

1–1–2–3–4–5

–2

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

een rechte evenwijdig met de x-as

t ↔ y = 2 t ↔ y = r 1–1–2–3–4–5

©VANIN

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

een rechte evenwijdig met de y-as z ↔ x = 3 z ↔ x = s 1–1–2–3–4–5

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

Besluit Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

Voorbeeld 1 u ≠ 0

d ↔ 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 – y = – 2x – 4 y = 2x + 4

Teken d in het assenstelsel. x y 1

Voorbeeld 1 w ≠ 0

©VANIN

Voorbeeld 2 u = 0

Teken e in het assenstelsel.

Voorbeeld 2 w = 0 e ↔ 2y + 6 = 0

2y + 6 = 0 2y = y =

Algemeen

• Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte.

• Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as).

Als in de vergelijking y = –u v x –w v

Algemeen

• Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as).

• Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as.

• u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; • u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend.

Oefeningen

REEKS A

1 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s

a)−2x + y = 0

b) x + 7y = 0

c)8y + 9 = 0

d)3x + 6 = 0

©VANIN

e)4x + 16y = 0

f)−5y + 10 = 0

REEKS B

2 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.

a)4x + 8y + 12 = 0

b)−2x + 8y – 3 = 0

c)−5x − 11y − 4 = 0

d)−7x − 14 = 0

e)8x − 13y + 7 = 0

f)−2y − 6 = 0

g)3x + 10y + 20 = 0

h)−9x − 18y + 27 = 0

3 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm

y = ax + b, y = ax, y = r of x = s

Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechte.

Bepaal de coördinaat van de snijpunten met x-as en y-as.

Vink aan of de rechte stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) is.

a)−3x + 6y − 5 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

e)5x − 7y + 2 = 0

©VANIN

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

b)6x + 12y = 0 f)−2y − 5 = 0

= rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

s ❒ d ❒ h ❒

c)−2x + 9 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

d)−4x − 9y − 1 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

g)6x + 7y + 14 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

h)4x − 6y + 24 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

2.2.1

Inleidend voorbeeld

Gert-Jan koopt een Nintendo Switch ter waarde van 320 euro. Hij betaalt met briefjes van 5 en van 10 euro en heeft in totaal 38 briefjes nodig.

Hoeveel briefjes van 5 euro en hoeveel briefjes van 10 euro heeft hij nodig?

©VANIN

Keuze van de onbekenden:

• x is het aantal briefjes van 5 euro,

• y is het aantal briefjes van 10 euro.

Opstellen van de vergelijkingen:

• Het totaal aantal briefjes is gelijk aan 38, dus x + y = 38

• De waarde van het aantal briefjes van 5 euro is gelijk aan 5x; de waarde van het aantal briefjes van 10 euro is gelijk aan 10y; de waarde van alle briefjes samen is 320 euro, dus 5x + 10y = 320

Zoeken naar het aantal briefjes van 5 euro en van 10 euro houdt in dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moet zijn.

Zo verkrijg je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2x2-stelsel

Je noteert + = xy 38 S + =5 x 10y 320

Opmerking

Naast 2x2-stelsels bestaan er nog andere types van stelsels, zoals: een 3x3-stelsel een 4x2-stelsel

S x + y + z = 6

4x + 2y + 6z = 26

2x–y + 3z = –1

x + y = 3

–3x + 9y = –5

8x + 2y = 12

x – y = 4

2.2.2 Standaardvorm en benamingen

Algemeen

Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm S ax + by = c dx + ey = f

Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.

Benamingen

• x en y noem je de onbekenden

• a,b,d en e noem je de coëfficiënten

• c en f noem je de constanten

Voorbeelden

Noteer de volgende stelsels in de standaardvorm.

S 2x + 4y −22 = 0

−3y + x + 19 = 0

x − 2y + 10 = 0 y = 4 − x

2.2.3 Oplossing van een 2x2-stelsel

x + y = 38

Gegeven: S

5x + 10y = 320

Je zoekt alle koppels (x,y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen.

(5, 33) is geen oplossing van het stelsel, want

S (12, 26) is een oplossing van het stelsel, want

Je noteert V =

2.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen

2.3.1 Grafische interpretatie van een 2x2-stelsel

Voorbeeld: S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7

GEOGEBRA

1, 1 2 is een oplossing van het stelsel, want

Elk van de vergelijkingen uit het 2x2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte.

a ↔ 5x – 6y = 2 –6y =–5x +2 –5x +2 y = –6 yx–= 5 6 1 3 b ↔ 3x + 8y = 7 8y =–3x +7 –3x +7 y = 8

–1)

Het punt met coördinaat 1, 1 2 is het enige snijpunt van a ↔ 5x − 6y = 2 en b ↔ 3x + 8y = 7

Het stelsel heeft dus één oplossing, die je als volgt kunt noteren: V = 1,

Deze grafische interpretatie kan je gebruiken om een 2x2-stelsel op te lossen.

2.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel

Voorbeeld 1

S x – y = –3

2x + y = –6

Je bepaalt twee punten op de rechte

a ↔ x − y = −3 of y = x + 3

x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ 2x + y = −6 of y = −2x − 6

x y Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een bepaald stelsel

V = controle:

Voorbeeld 2

S x – y = 4

x – y = 0 Je bepaalt twee punten op de rechte

a ↔ xy = 4 of y =

x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ xy = 0 of y =

x y Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een strijdig stelsel.

V =

Voorbeeld 3

S 2x – y = 4

4x – 2y = 8

a ↔ 2xy = 4 of y =

Je bepaalt twee punten op de rechte 2 4 6 8

x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ 4x 2y = 8 of y =

x y

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een onbepaald stelsel

V =

©VANIN

Besluit

snijdende rechten

evenwijdige rechten

disjuncte rechten samenvallende rechten

bepaald stelsel

aantal oplossingen: strijdig stelsel aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen:

2.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode

Voorbeeld 1

Het stelsel S 9x – 14y = –1

6x + 7y = 4 heeft als oplossing 1 3 , 2 7 = (0,33... ; 0,285 714 285 714 ...).

Het snijpunt is onmogelijk exact op een figuur af te lezen.

Voorbeeld 2

Het stelsel S 38x – 5y = –1 000 6x – y = –2 200 heeft als oplossing (1 250, 9 700)

Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden.

Oefeningen

REEKS A

4 Los grafisch op: S y = 2 x – 4 y = x

↔ y = 2x − 4

V = controle:

5 Los grafisch op: S y = 3 x – 3 y = –3 x + 9

↔ y = 3x − 3

y = – 3x + 9

V = controle:

6 Los grafisch op: S 2 x + y = 4 x + y =0

op:

8 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1

9 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9

Om de oplossingsverzameling van een stelsel te bepalen met behulp van GeoGebra, zijn er verschillende mogelijkheden.

Je kunt de functie Snijpunten(vergelijking 1, vergelijking 2) gebruiken.

Je kunt de rechten ook in een assenstelsel tekenen en zo het snijpunt bepalen.

©VANIN

10 Los op met ICT.

a) S 2x + y = 4

x + 2y = 1 e) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0

V = V =

b) S 7x + 9y = 5

7x – 18y = –1 f) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77

V = V =

c) –2x – 3y + 6=0

3x + 4y – 7 =0 S g) –2x + y = 12 4x – 2y =–24 S V = V =

d) 3x + y =–3

x – 3y – 2 =0 S

x = 2 S h) –2x +8y + 5=0

V = V =

2.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen

2.4.1 De gelijkstellingsmethode

Voorbeeld

Los op: S x – y = –3

2x + y = –6

• Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart.

y = x + 3

y = –2x – 6

• Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat.

Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.

y = = –2x – 6 x + 3 x + 3

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

y = x + 3

x + 2x = –6 – 3

y = x + 3

3x = –9

y = x + 3

©VANIN

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ y = x + 3 en s ↔ y = – 2x – 6.

x = –3 –5–4–3–2–1

Door de gelijkstellingsmethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ x = – 3. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t

• Je vult de gevonden waarde in de andere vergelijking in.

y = + 3

x = –3 –3

• Je leest de oplossing van het stelsel af.

x = –3

y = 0

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(– 3, 0)}

De gelijkstellingsmethode is vooral aangewezen als je in de twee vergelijkingen dezelfde onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Dat is het geval als de coëfficiënt van x of y gelijk is aan 1 of −1.

REEKS A

11 Los op met de gelijkstellingsmethode.

a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8

b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6

12 Los op met de gelijkstellingsmethode.

a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6

b) S x = 2y – 4 5y = x + 3

13 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch.

a) S y = –3x + 6

y = 2 5 x –4 5

b) Sy = 3,5x + 4,5

y = 2x – 1,5

©VANIN

snijpunt: snijpunt:

2.4.2 De substitutiemethode

Voorbeeld

Los op: S x – 3y = –2

3x + 2y = 5

• Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart. –3–2–1

x = 3y – 2

3x + 2y = 5

• Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.

x =

3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

x = 3y – 2

9y – 6 + 2y = 5

x = 3y – 2

11y = 11

x = 3y – 2

y = 1

©VANIN

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ x – 3y = – 2 en s ↔ 3x + 2y = 5.

Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t

• Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking.

x = 3y – 2

y = 1

x = 3 – 2

y = 1 1

x = 1 y = 1

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)}

De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.

Opmerking

De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode.

REEKS A

14 Los op met de substitutiemethode.

a) S x = 2x + 3y = 11 3 + y

b) S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x

©VANIN

15 Los op met de substitutiemethode.

a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4

b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1

V = V = controle: controle:

a) S –4x – 3y = 4 4x + 2y = 6

b) S 1 3 x –1 4 y = 1 –4x + y = 4

©VANIN

a) S 2x + y = 3

8x + 4y = 9

b) S –3x – 9y = –6

x + 3y = 2 V = V =

REEKS C

18 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ↔ 2x + y = – 3

s ↔ 6x + 3y = – 12

©VANIN

b) r ↔ x – 4y = 6

s ↔ 3x – 12y = 18

2.4.3 De combinatiemethode

Voorbeeld

Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 )

• Met de combinatie 3 V1 + 2 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt.

3x – 2y = 7 3 2x + 3y = –4 2 9x – 6y = 21 4x + 6y = –8 13x + 0y = 13 13x = 13 x = 1 +

• Met de combinatie 2 V1 – 3 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van x gelijk aan 0 wordt.

3x – 2y = 7 2 2x + 3y = –4 (–3) + 6x – 4y = 14 0x – 13y = 26 –13y = 26 y = –2 –6x – 9y = 12

s r

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ 3x – 2y = 7 en s ↔ 2x + 3y = – 4.

2x + 3y = – 4 u t s r x = 1 y = –2

©VANIN

Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ↔ x = 1 en de rechte u ↔ y = – 2.

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)}

De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken.

Opmerking

Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden.

x = 1

2x + 3y = –4 x = 1 y = –6 3

x = 1

2 1 + 3y = –4 x = 1 y = –2

x = 1

3y = –4 – 2

Oefeningen

REEKS A

19 Los op met de combinatiemethode.

a) S –4x – 5y = –4

2x + 3y = 2

b) S –2x + 7y = 5 10x + 6y = 16

©VANIN

a) S 2x + 3y = 7

5x + 7y = 8

b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3 V = V =

a) S –2,7x + 4,5y = 35,1 8,1x – 9y = –78,3

b) S 1 5 x + 1 4 y = 3 4 1 4 x + 5y = 6

©VANIN

V = V = controle: controle:

a) S –3x + 4y = –7

9x – 12y = 21

b) S 3x – 8y = 3

–6x + 16y = –12 V = V =

REEKS C

23 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ↔ 2x + 3y = 1

s ↔ 8 3 x + 4y = 2

©VANIN

b) r ↔ – 5x + 11y = – 5

s ↔ 3x – 8y = 3

2.4.4 Gemengde oefeningen

Modeloefening 1

Los op: S x – 3y = 19 –x + 2y = –14

De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken.

V =

Modeloefening 2

Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3

De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode.

V =

Modeloefening 3

Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41

De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken.

V =

REEKS A

24 Los op met een methode naar keuze.

a) S 3x – y = 1

5x + 2y = 9

b) S 5x + 2y = 3 2x – 4y = 6

©VANIN

a) S 6x + 5y = 1

7x + 6y = 2

b) S 3x – y = 6 2x – y = –5 V = V = controle:

©VANIN

a) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4

b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7

27 Los op met een methode naar keuze.

a) S 2x + 5y = 1

5x – 4y = 0

b) S 4x – 8y = 9

–2x + 4y = –5

a) S 8x – 16y = –24

–2x + 4y = 6

b) S 2x – 2y = 6 3x + 4y = –5 V = V = controle: controle:

©VANIN

a) S x –y 2 = –4 x 2 – y = 2

b) S 3x – y = 1 x –2 3 y = 7 2 V = V = controle:

©VANIN

a) S x – 2y = 5 –4x + 8y = –20

b) S –x + 8y = 10 3x – 24y = –40

©VANIN

2.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in

2.5.1 Modeloefening 1

Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro.

Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm? x is y is S

antwoord:

2.5.2 Modeloefening 2

Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen.

De koffie van merk A kost 7 euro per kg.

De koffie van merk B kost 12 euro per kg.

De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen. Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen? x is y is S

antwoord:

Oefeningen

REEKS A

31 Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot de oplossing van het vraagstuk. Je hoeft het stelsel niet op te lossen.

a) De som van het dubbele van een eerste getal en het vijfvoud van een tweede getal is 99.

Het eerste getal is 9 minder dan het dubbele van het tweede getal. Bepaal deze getallen.

©VANIN

b) Op pi-dag trakteert een leerkracht wiskunde zijn 24 leerlingen op taartjes.

Ze mogen daarbij kiezen tussen een kriekentaartje en een appeltaartje.

Voor 16 kriekentaartjes en 8 appeltaartjes betaalt de leerkracht 47,20 euro.

Als evenveel leerlingen een kriekentaartje als een appeltaartje zouden nemen, zou de leerkracht exact 2,80 euro minder moeten betalen. Hoeveel kost een kriekentaartje?

c)In een grote kist zitten in totaal 150 ruimtefiguren. Elke ruimtefiguur is een kubus of een balk. De kubussen hebben allemaal een massa van 0,8 kg en de balken hebben allemaal een massa van 1,2 kg. De kist zelf weegt 12 kg. Bereken het aantal kubussen en balken als je weet dat de totale massa van de kist 176 kg bedraagt.

d)Een student scheikunde krijgt als opdracht een mengsel te maken van 100 liter met een alcoholpercentage van exact 30%. Hij krijgt hiervoor twee grote hoeveelheden vloeistof ter beschikking. Vloeistof 1 heeft een alcoholpercentage van 50%, vloeistof 2 van 12%. Hoeveel liter vloeistof heeft hij nodig van elk?

32 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die?

antwoord:

controle:

33 Je betaalt 46 euro met muntstukken van 0,50 euro en van 2 euro. Hoeveel muntstukken zijn er van elk, als er in totaal 41 muntstukken zijn?

antwoord:

controle:

34 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?

antwoord:

controle:

35 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?

antwoord:

controle:

36 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro.

Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro.

Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?

antwoord:

controle:

37 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:

• drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro;

• met vier verlichtingspaaltjes volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro.

Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.

antwoord:

controle:

38 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kg en de zuurtjes 7 euro per kg. Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?

antwoord:

controle:

39 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en verwisselde de prijzen van de planten. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 14 euro. Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?

antwoord:

controle:

40 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert 10 punten op. Een foute voorspelling levert 2 minpunten op. Ze zou normaal gezien 88 punten gescoord hebben, maar het telsysteem slaat tilt en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een teleurstellende score van – 2. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?

antwoord:

controle:

41 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri ? I. Daarbij is Ub de bronspanning (in volt), Ri de inwendige weerstand (in ohm) en I de stroomsterkte (in ampère).

Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt.

Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt. Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.

antwoord:

controle:

Los de vraagstukken op met ICT.

a) Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s. In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden.

In de tweede graad zitten 410 leerlingen.

Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?

©VANIN

antwoord:

b) Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor.

Arthur kan hem kopen als Fenne 3 5 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 4 9 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk?

antwoord:

c) Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?

antwoord:

d) Bepaal een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11. Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.

antwoord:

43 Om een stelsel van meer dan 2 vergelijkingen op te lossen, los je het stelsel op dat bestaat uit 2 willekeurig gekozen vergelijkingen en controleer je nadien of de gevonden oplossing voldoet aan de andere vergelijking(en). Los de volgende stelsels op:

7x +2y =17

a) x – y =14

2x +3y =–17

2x + y =2

b) –3x – y =0

–x +5y =32

3x –6y =–6

44 Een wielertoerist kan met de wind in de rug een snelheid van 36 km/h aanhouden. Op de terugweg rijdt hij met de wind op kop 24 km/h. Hij vertrekt thuis om 9 h en wil om 11 h 30 terug thuis zijn. Hoeveel kilometer kan hij zich van huis verwijderen?

antwoord:

controle:

45 Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC, waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten:

STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen

2.1 Algemene vergelijking van een rechte voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN

Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0.

Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

KUNNEN

Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.

©VANIN

2.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

KENNEN

Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm

Sax + by = c dx + ey = f met a,b,c,d,e,f ∈ r

Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.

• x en y noem je de onbekenden.

• a, b, d en e noem je de coëfficiënten.

• c en f noem je de constanten.

2.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen

KENNEN

De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten.

Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten.

Een 2x2-stelsel heeft

• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);

• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);

• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten).

Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm.

Een 2x2-stelsel grafisch oplossen.

Een 2x2-stelsel grafisch oplossen met ICT.

2.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen voor de leerling voor de leerkracht

KUNNEN

Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode.

Een stelsel oplossen met de substitutiemethode.

Een stelsel oplossen met de combinatiemethode.

Aandacht besteden aan de efficiëntste methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.

2.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden

KUNNEN

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2x2-stelsel.

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ filter

❑ gok verstandig

1. Een ingeschreven vierkant

Wat is de oppervlakte van het gele vierkant?

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

5 verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend.

2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken. In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek?

©VANIN

Studiewijzer

©VANIN

3.1 Basisbegrippen over functies

3.1.1 Inleiding

Een brandende kaars is 20 cm lang.

De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur.

GEOGEBRA

Na 1 uur is de hoogte

Na 3 uur is de hoogte

Na 7 uur is de hoogte

De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h):

y =

Vul de tabel in.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze. x (h) y (cm)

Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord.

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

3.1.2 Domein en bereik

Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen.

dom f =

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as,

kun je het bereik van de functie aflezen.

Definitie Domein

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

In symbolen

dom f = {x ∈ r | f (x) ∈ r}

Definitie Bereik

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

In symbolen

ber f = {f (x) | x ∈ dom f }

©VANIN

Praktisch domein en bereik

Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan .

Het praktisch domein van f is

Notatie: pdom f

Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan

Het praktisch bereik van f is

Notatie: pber f

3.1.3 Nulwaarde van een functie

Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul?

Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f

Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek?

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Voorbeeld

Bepaal de nulwaarde(n).

f (x) = 20 – 2xf (x) = x 2 – 9

3.1.4 Tekenschema en verloop van een functie

Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Voor welke waarden van x is f (x) > 0?

Voor welke waarden van x is f (x) = 0?

Voor welke waarden van x is f (x) < 0?

Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x).

tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars

• Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt?

De functie is stijgend / dalend.

Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen.

verloop van f verloop binnen de context van de kaars

Algemeen Tekenschema en verloop van een functie

tekenschema

verloop

3.1.5 Voorbeeld

Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2.

Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het tekenschema en het verloop van de functie.

x f (x)

• dom f = ber f =

• nulwaarde: • tekenschema

Oefeningen

REEKS A

1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is.

verloop

tekenschema

f (x)

verloop x f

tekenschema

verloop

2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a)

tekenschema

f (x) • verloop

©VANIN

verloop

3 Bepaal de nulwaarde(n).

a) f (x) = 5 – 2x 3 c) f (x) = 3x 2 – 6

b) f (x) = (x + 2) 2 d) f (x) = 3x + 1 2

3.2.1 Kenmerken

xf (x) – 8 – 0,125 – 4 – 0,25 – 2 – 0,5 – 1 – 1

Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool. Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken.

• dom f = ber f =

• nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as?

• nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie?

• tekenschema: • verloop:

De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep.

• symmetrie:

De twee takken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van De grafiek van f is een kromme.

Het symmetriemiddelpunt is de ( , ).

3.2.2 Asymptoten

Verticale asymptoot

De grafiek van f (x) = 1 x vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat 0 niet tot het domein behoort.

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van 0.

Je kiest argumenten die naderen tot 0, zonder 0 te bereiken, en berekent de functiewaarden.

Notatie: x → 0

Je leest: x nadert tot 0.

Als x tot 0 nadert, dan wordt f (x) groter in absolute waarde.

De grafiek komt dichter en dichter tot de y-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de y-as een verticale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

Horizontale asymptoot

Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van – ∞ en + ∞.

Je kiest argumenten die heel groot en heel klein zijn en je berekent de functiewaarden.

Als x groter wordt in absolute waarde, dan nadert f (x) tot 0.

De grafiek nadert dichter en dichter tot de x-as, zonder die ooit te raken of te snijden.

Je noemt de x-as een horizontale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is

Voorbeeld

Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis.

Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x

Waarom is het verband tussen y en x een functie?

©VANIN

Je noteert: f (x) = 1 x .

dom f = ber f = pdom f = pber f =

Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001.

xf (x)

Waarom mag je de punten niet verbinden?

12 34 56 78 910 O

3.3 De functie f ( x ) = c x

3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband

Voorbeeld

Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v ? t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h).

t (h)12345612

v (km/h)

s=vt(km)

Het product vt is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig

Er geldt: v =

Definitie

Omgekeerd evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

xy = c ⇒ y = c x (met c ∈ r0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante

Formule

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r0).

Grafiek van een omgekeerd evenredig verband

v (km/h)

GEOGEBRA

Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h).

De grafiek is

Besluit

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c ∈ r0) is een (deel van een) hyperbool.

Oefeningen

REEKS A

4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 24610 y 3015106

©VANIN

REEKS B

5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel.

h (cm)4568 v (km/h)60484030

a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v =

d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x.

a)Vul de tabel aan. b)Teken de grafiek.

xy (euro)

©VANIN

c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar.

d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar.

e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro.

7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig?

8 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. 8 koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. 12 koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband:

c) Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16

d) In hoeveel dagen grazen 6 koeien het weiland af?

©VANIN

REEKS C

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt.

De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m).

9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a

a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.

b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 m hangen?

c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

GEOGEBRA

Voorbeelden

c < 1 xf (x) = 1 x g (x) = 4 x – 4– 0,25– 1 – 2– 0,5– 2 0| |

(

) = 1 4

– 4– 0,25– 0,062 5 – 2– 0,5– 0,125 0| | 20,50,125 40,250,062 5 ? 1 4 – 5– 4– 3– 2–

©VANIN

Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4.

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4.

Om de grafiek van de functie g (x) = 1 4x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 1 4

Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. Verticaal samendrukken met factor 4 is hetzelfde als verticaal uitrekken met factor 1 4

xf (x) = 1 x g (x) = –1 x

– 4– 0,25 0,25 – 2– 0,5 0,5

0| |

20,5–0,5

40,25–0,25 ? (– 1) xf (x) = 1 x g (x) = –5 x

20,5–2,5

Om de grafiek van de functie g (x) = –1 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1.

De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as

40,25–1,25 ? (– 5)

Algemeen

Om de grafiek van de functie g (x) = –5 x

te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5.

©VANIN

De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens:

• verticaal uitgerekt met factor 5;

• gespiegeld ten opzichte van de x-as

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Oefeningen

REEKS A

10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x .

11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x).

a) g (x) = 3 x c) g (x) = 1 4x

b) g (x) = 1 2x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor

Bepaal het functievoorschrift van elke functie f .

REEKS B

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c ∈ r0), als je weet dat:

a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

©VANIN

c) het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

d) het punt A 4 7 , 14 3 tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

• verloop x f x f

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

• f (x) =

• dom f = ber f =

• tekenschema

x f (x) x f (x)

• verloop

x f x f

3.3.3 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Hiervoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) op de druksensor.

Dat levert de volgende meetresultaten op: V

©VANIN

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

45678 910111213141516171819202122

De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband.

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml).

b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml?

c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS B

15 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden.

p (euro)700 720 740 760 780 q 5 7145 5565 4055 2635 128

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).

b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

d) Geef de economische betekenis van de verticale asymptoot van de grafiek van het verband.

16 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in V), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in V).

(V) I (A) 50 4,60

100 2,30

200 1,15

500 0,46

1 000 0,23

b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

3.1 Basisbegrippen over functies

KENNEN

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

• Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Notatie: pdom f

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

• Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

©VANIN

KUNNEN

Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

3.2 De functie f (x) = 1 x

f (x) = 1 x

• De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f

• De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f

KUNNEN

De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten.

Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar:

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

3.3 De functie f (x) = c x voor de leerling

KENNEN

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product xy constant is.

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x is een (deel van een) hyperbool.

De grafiek van de functie g (x) = c x , met c ∈ r0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c |

Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as.

©VANIN

KUNNEN

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = c x herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen met en zonder ICT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = c x onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• de verticale en horizontale asymptoot;

• symmetrie.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

1.Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant?

? A) ❒ 144B) ❒ 169 C) ❒ 196D) ❒ 200E) ❒ 225

JWO,editie2020,tweederonde

©VANIN

2.Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen.

• Annelies heeft drie tomaten en x paprika’s.

• Boudewijn heeft y tomaten en drie wortels.

• Claudia heeft vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels.

Nadat ze de oogst verdeeld hebben, heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot.

Waaraan is x + y + z gelijk?

A) ❒ 4 B) ❒ 6 C) ❒ 8 D) ❒ 10E) ❒ 12

JWO,editie2016,eersteronde

3.Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

A) ❒ 2 B) ❒ 3 C) ❒ 4 D) ❒ 5 E) ❒ meer dan 5

JWO,editie2021,eersteronde

HOOFDSTUK 4 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

©VANIN

4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 131

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende

4.1.1 Inleiding

Oplossing

Boer Jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter.

©VANIN

Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x.

De lengte is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

Werkwijze Om een eerstegraadsvergelijking in één onbekende op te lossen, ga je als volgt te werk:

• Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Werk beide leden uit.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

Van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere.

Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op.

Oplossing

• Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x.

De langste rechthoekszijde is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Antwoord:

• Controle:

Aangezien een lengte een positief getal is, is slechts een van de verkregen oplossingen logisch, namelijk

4.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen

Definitie Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r0 en b, c ∈ r.

Andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 0?

De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn.

In dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking

Voorbeelden

a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen.

b) Noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c

c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn.

4.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

–x (–x + 3) =

(–10 + x)

©VANIN

De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

– 7x = 0

Voorbeeld 2

– 16 x = 0 x  (2x – 7) = 0 Een product is nul als een van de factoren nul is.

x = 0 of 2x – 7 = 0

x = 0 of 2x = 7

x = 0 of x = 7 2 V = 0, 7 2

Let op!

Wat is er verkeerd aan de volgende methode?

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul.

4.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0)

Inleiding

van een product naar een som van een som naar een product

(x + 1)  (x – 1) = x 2 – 9 =

(x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 =

(–4 – x) (–x + 4) = –25 + x 2 =

Het merkwaardig product (a + b)  (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product.

Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

9x 2 – 16 = 0

methode 1

(3x + 4) (3x – 4) = 0

methode 2

3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0 3x = – 4 of 3x = 4 x = –4 3 of x = 4 3 V = –4 3 , 4 3 {} 9x 2 = 16 x 2 = 16 9 x = –16 9 of x = 16 9 x = –4 3 of x = 4

Voorbeeld 2

3x 2 – 12 = 0

methode 1

3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0

3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0

3 x = –12 of 3 x = 12 x = –12 3 of x = 12 3 x = –2 of x = 2

V = {–2, 2} 3x 2 = 12 x 2 = 4

methode 2

x = –4 of x = 4

x = –2 of x = 2 V = {–2, 2}

Voorbeeld 3

–2x 2 – 8 = 0

methode 1

–2x 2 – 8 = 0

Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode.

V = [

methode 2

–2x 2 = 8

x 2 = –4

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

V = [

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes:

• de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b)  (a – b);

• de definitie van een vierkantswortel.

4.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0)

Voorbeeld

–2x 2 = 0

x 2 = 0

x = 0 V = {0}

Algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0.

Een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren

De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5).

Je noemt die veelterm ontbindbaar

Oefeningen

REEKS A

1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen.

a)15x 2 – 3x = 0

b)5x 2 – 8x = 0

c)3x 2 + 4x = 0

e)4x – 12x 2 = 0

©VANIN

d) –10x 2 + 6x = 0

f)–12x 2 – 15x = 0

g)81x 2 + 27x = 0

h)–25x 2 – 12x = 0

2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. verschil van twee kwadraten

a)4x 2 – 9 = 0

definitie vierkantswortel

b) x 2 – 16 = 0

©VANIN

c)36x 2 – 25 = 0

d)–1 + 49x 2 = 0

e)4 + 81x 2 = 0

3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op.

a)3x 2 – 9x = 0

b)5x 2 – 20 = 0

c)2x 2 + 16 = 0

d)12x 2 + 4x = 0

e)–2x 2 + 5x = 0

f)–25x 2 + 9 = 0

g)–16x 2 = 4

h)2x 2 = 9x

i)–16x 2 = –9

j)–4 – 3x 2 = 0

k)3x = –8x 2

l)–16x 2 = 4x

a) 2x 2 –1 2 = 0

b) 3 4 x 2 + 1 2 x = 0

c) –5 6 x 2 + 2 3 x = 0

d) –1 5 x 2 – 4 = 0

f) 2 7 x 2 = 4x

©VANIN

e) –5 3 x 2 = 0

g) –9 8 + 1 2 x 2 = 0

h) 5 4 x 2 = –1 7 x 2

i) –8 3 x 2 = 3 16

j) –11 5 x 2 = 1 3 x

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte.

De oppervlakte is 1 875 m2

Bereken de afmetingen van dat stuk land.

©VANIN

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten.

De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2 .

Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter.

Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn.

Voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21. De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x) (5 + x) = 21.

Na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4.

Vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2. De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7.

©VANIN

8 Los op met de methode van de Babyloniërs.

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

4.3.1

De methode van de kwadraatafsplitsing

Inleiding

Werk uit.

Schrijf als het kwadraat van een tweeterm.

(x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = =

©VANIN

(x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = =

(5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = =

Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen te schrijven als een kwadraat van een tweeterm

Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1

x 2 – 4x + 4 = 0

x 2 + 2 x (–2) + (–2) 2 = 0

(x – 2) 2 = 0

x – 2 = 0

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = 2 V = {2}

Voorbeeld 2

x 2 + 8x + 7 = 0

x 2 + 8x = –7

x 2 + 2 x 4 + 4 2 = –7 + 4 2

(x + 4) 2 = 9

x + 4 = –3 of x + 4 = 3

Je verandert de constante term van lid.

Je vermeerdert beide leden met 4 2

Je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

x = –7 of x = –1 V = {–7, –1}

Oefeningen

REEKS B

9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing.

a) x 2 + 10x + 25 = 0

b) x 2 – 6x + 9 = 0

c)16x 2 + 8x + 1 = 0

e) x 2 + 6x + 8 = 0

©VANIN

d)9x 2 – 6x + 1 = 0

f) x 2 – 2x – 35 = 0

g)3x 2 + 24x – 27 = 0

h)2x 2 – 20x + 68 = 0

4.3.2 De formules opstellen

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + b a x + c a = 0

x 2 + b a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x = –c a

x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = –c a + b 2a 2

x + b 2a 2 = –c a + b 2 4a 2

met a ∈ r0 en b, c ∈ r

Je deelt beide leden door a

Je verandert de constante term van lid.

Je maakt het dubbel product zichtbaar.

©VANIN

Je vermeerdert beide leden met b 2a 2

Je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm.

Je werkt het rechterlid verder uit. x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2

Stel: D = b 2 – 4ac.

x + b 2a 2 = D 4a 2

Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief.

Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen.

Je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking

eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0derde geval: D < 0 x + b 2a 2 = D 4a 2

–b 2a V = –b 2a {} x + b 2a 2 = D 4a 2

De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief.

4.3.3

Overzicht

Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac

twee verschillende oplossingen: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen

Als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. Als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen (x1 = x2).

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels

De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules

4.3.4 Voorbeelden

x 2 – 3x – 10 = 0

©VANIN

GEOGEBRA

Stroomdiagram en Nassi-Shneiderman diagram

Oefeningen

REEKS A

10 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a) x 2 + 2x – 3 = 0

b) x 2 + 3x – 10 = 0

c) x 2 – x + 2 = 0

d) x 2 – 10x + 25 = 0

f)–x 2 + x + 6 = 0

©VANIN

e)–x 2 + 3x – 2 = 0

g) x 2 – 4x – 5 = 0

h) x 2 + 28x + 196 = 0

i) x 2 – 12x + 40 = 0

j)–x 2 + 16x – 64 = 0

11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant.

a)2x 2 – 5x – 3 = 0

b)25x 2 + 70x + 49 = 0

c)3x 2 – 13x + 12 = 0

d)5x 2 + 15x + 17 = 0

f)14x 2 – 3x – 5 = 0

g)–3x 2 + 6x – 4 = 0

©VANIN

e)6x 2 + x – 1 = 0

h)–64x 2 + 48x – 9 = 0

i)–12x 2 + 43x – 21 = 0

j)–9x 2 – 6x – 1 = 0

12 Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a)2x 2 – x = 1

b) x 2 – 14x + 49 = 0

c) x 2 + 5 4 x –3 2 = 0

e)(3x + 5) 2 = 1

©VANIN

d) x 2 + 5 6 x + 1 6 = 0

f)–6x 2 + 9x + 15 = 0

g)–14x 2 + 8x = 0

h)12x 2 = 22x + 14

a) x 2 + x – 4 = 0

e) 12x (x + 4) = 24x (2 – x) – 5

b)–4x 2 + 11x – 1 = 0 f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0

©VANIN

c)28x = –49 – 4x 2

g) x 2 – 3x + 9 4 = 0

d)(4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 3 8 x 2 –5 4 x + 15 2 = 0

a) 3x + x  (x – 2) = 0

b)–121x 2 + 4 = 0

c) x  (11x – 3) = 5

e)(–3x + 6) 2 – 16 = 0

f)36x 2 – 96x + 64 = 0

©VANIN

d) 3x (x – 1) = 4 – 3x

g)–x 2 – 1 = 0

h)–10x 2 + 15x – 10 = 0

Los de tweedegraadsvergelijkingen op.

a) x 2 –1 5 31 2 x + 7 = 0

b) –1 2 –1 3 x + 4 + x 2 = 0

d) 2x 2 – (x + 2) (x – 3) = 6

c) –x –1 3 x + 4 –1 9 x = 0

©VANIN

e) 14  (x – 4) – (x + 2) = (x + 2)  (x – 4)

f) (2x – 3) 2 + 17x  (x – 1) = 9

16 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is.

a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen reële oplossingen.

e)2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

f)–3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen reële oplossingen.

c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing.

g)8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing.

d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing.

h)(m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft geen reële oplossingen.

17 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters).

a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0

d) x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0

x 2 + ax + a 2 = 0

x 2 + bx –3 4 b 2 = 0

e) x 2 – ax + a – 1 = 0 (a > 2)

©VANIN

f)3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 (b > –12)

4.4.1

De formules opstellen

De tweedegraadsvergelijking ax

Besluit Als de tweedegraadsvergelijking

4.4.2

Voorbeelden

Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen.

Opmerkingen

• Als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis.

• De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1.

• Als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules.

Besluit

Het omgekeerde vraagstuk

Gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2

Gevraagd: bepaal x 1 en x 2

Oplossing:

x 1 + x 2 = S en x 1 x 2 = P

⇓

⇓ je vervangt x 2 door S – x 1

x 2 = S – x 1 x 1 (S – x 1) = P

⇓ de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling

x 1  S – x 1 2 = P

⇓ eigenschap gelijkheden

x 1 2 – S  x 1 + P = 0

x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0.

Analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking.

©VANIN

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

Voorbeeld

De som van twee getallen is 1 9 en hun product is – 2 27 . Bepaal die getallen.

Oplossing:

De getallen zijn de oplossingen van

Wegwerken van de noemers:

D = x 1 = x 2 =

De gevraagde getallen zijn en

De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels.

REEKS A

18 Los op met de som- en productmethode.

a) x 2 – 8x + 7 = 0

b) x 2 – 12x + 20 = 0

c) x 2 + 2x – 15 = 0

d) x 2 + 3x – 28 = 0

g) x 2 – 4x – 96 = 0

©VANIN

e) x 2 – 3x – 18 = 0

h) x 2 + 13x + 36 = 0

i) x 2 + 14x + 40 = 0

j)–x 2 – 17x + 18 = 0

k)–x 2 + 9x + 70 = 0

f) x 2 + 4x – 12 = 0

l)–x 2 – 2x + 35 = 0

19 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn.

a) S = –9 en P = 3 2

De gevraagde getallen zijn

b) S = 6 en P = 0

d) S = –1 12 en P = –1 12

©VANIN

De gevraagde getallen zijn en en

e) S = 1 36 en P = –5 72

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

c) S = –1 en P = –3

f) S = – 0,5 en P = – 0,84

De gevraagde getallen zijn

De gevraagde getallen zijn en en

20 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant.

21 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg.

a)5 en – 4 c) 5 – 3 en 5 + 3 b) 1 2 en –3 4

–4

4.5 Vraagstukken

4.5.1 Voorbeeld 1

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen.

Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

4.5.2 Voorbeeld 2

Een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog.

De foto is 84 cm 2 groot.

Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is.

Stel: x is de breedte van het frame.

De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is

• Opstellen van de vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is

Antwoord:

Controle:

4.5.3 Voorbeeld 3

a) Verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], A x 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk.

Stel: het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x

Een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid. Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

Je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Oplossen van de vergelijking:

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1.

Stel: x is het gevraagde getal.

• Opstellen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

• Oplossen van de vergelijkingen:

Vergelijking 1:

Vergelijking 2:

Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg.

Die vergelijking heeft als oplossingen:

x 1 = x2 =

De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle:

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door Euclides, in de derde eeuw vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur.

In de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische. Enkele beroemde voorbeelden:

• De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50

De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

• In het Parthenon, de oude Griekse tempel op de Akropolis in Athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur1).

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de Griekse theaters is de gulden snede.

De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

• Vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van Laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede.

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. Voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

• de Mona Lisa (zie figuur2);

• de renaissancetuinen in Frankrijk;

• de meeste beeldhouwwerken van Rodin;

• de vierkanten van Mondriaan.

Niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur3);

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur4).

Oefeningen

REEKS A

22 Los de vraagstukken op.

a)Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

c)De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

Controle:

b)De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

Controle:

d)Van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

Controle:

23 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2 .

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers?

b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

©VANIN

Controle:

24 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2 . Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen.

a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek?

b) Een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle:

25 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Controle:

26 Als je de zijde van een vierkant verdrievoudigt, dan wordt de oppervlakte 5 832 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

Controle:

27 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

Controle:

28 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule

s = v 0  t + 1 2  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid (in m/s) en a de versnelling (in m/s2).

Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s2.

a) Na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? Rond af op 0,001 s.

Controle:

b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. Rond af op 0,01 m/s.

29 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h.

Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak.

Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is. Rond af op 1 mm nauwkeurig. h r

Controle:

30 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het grote vierkant is 2 m langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant. De totale oppervlakte van beide vierkanten is 2 377 m2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Controle:

31 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn. Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule: aantal glazen per laag = 1 2 n 2 + 1 2 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld).

Bereken in welke laag 45 glazen staan.

laag 2 laag 1

laag 3

Controle:

32 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes. Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken. Wat is de oppervlakte van elk lapje en van het lappendeken?

Controle:

33 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen. Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen. Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle:

STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen

4.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor de leerling voor

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a ∈ r 0 en b, c ∈ r

4.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

KENNEN

• ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen

• ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) methode 1: a 2 – b 2 = (a + b)

(a - b) methode 2: definitie vierkantswortel

• ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) Er is één oplossing: 0.

©VANIN

KUNNEN

Een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen.

4.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen

D (discriminant) = b 2 − 4ac

• D > 0: twee verschillende oplossingen

en x 2 = –b +

KENNEN

• D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen)

x 1 = x 2 = –b 2a

• D < 0: geen reële oplossingen

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen

• door kwadraatafsplitsing;

• met de wortelformules;

• door ontbinding in factoren.

De best passende methode gebruiken.

De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen.

Een tweedegraadsvergelijking oplossen met ICT.

Een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig.

Een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen.

Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is.

4.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –

Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft,

dan is S = x 1 + x 2 = –b a en P = x 1 x 2 = c a

Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0.

KUNNEN

Een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te gebruiken.

Twee getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn.

Een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn.

4.5 Vraagstukken

©VANIN

KUNNEN

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking.

1.Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant I en II?

JWO,editie2022,eersteronde

2.Wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur?

3.Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

HOOFDSTUK 5 I GONIOMETRIE

5.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek

5.2 Georiënteerde hoeken

5.3 De goniometrische cirkel

5.4 Goniometrische getallen van een hoek

5.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken

5.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek

5.7 Willekeurige driehoeken oplossen

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

5.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek

Definitie Sinus Cosinus Tangens

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek. Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules.

som van de scherpe hoeken

b = 90º stelling van Pythagoras

Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek met GeoGebra

Oefeningen

REEKS A

1 De volgende dakconstructie is gegeven.

aan tot een ware uitspraak.

2 Bereken op 0,000 01 nauwkeurig.

a) sin 69º 11 12 ≈ c) tan 16º 17 18 ≈ b) cos 12º 7 ≈ d) cos 84º 56 ≈

3 Bereken op 1  nauwkeurig.

a) sin a = 0,4 ⇒ a = c) cos a = 0,83 ⇒ a = b) tan a = 0,35 ⇒ a = d) tan a = 1,3 ⇒ a =

4 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01.

5 De structuur van een watermolecule is een gelijkbenige driehoek met het zuurstofatoom als tophoek en twee waterstofatomen. Tussen elk waterstofatoom en zuurstofatoom bestaat een covalente binding. De sinus van een basishoek is 0,612 217 28. Bereken de grootte van een basishoek en van de tophoek. Rond af op 1 nauwkeurig.

6 In de chemieles breng je een vloeistof over met een pipet in een erlenmeyer. De lengte van de pipet is 35 cm. De erlenmeyer heeft een hoogte van 15 cm. De hoogte | CE | = 39,8 cm.

Om de vloeistof te laten uitlopen, houd je de pipet schuin, maar onder welke hoekgrootte met het horizontale oppervlak?

7 Tijdens de voetbaltraining neemt de Britse sterspeler Canshotwell een ongelofelijke strafschop. De bal vertrekt van de penaltystip op 11 m van het midden van het doel en belandt keihard in de rechterbovenhoek. De bal raakt nog net de binnenkant van de paal. Het doel is 2,44 m hoog en 7,32 m breed. In totaal legde de bal 11,8 m af tot hij de paal raakte. Bereken de hoek waaronder de bal vertrok.

7,32

5.2 Georiënteerde hoeken

Inleiding

• Bij de omschakeling van wintertijd naar zomertijd, in het voorjaar, van winter- naar zomertijd moet je de klok een uur vooruitdraaien.

De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

• Bij de omschakeling van zomertijd naar wintertijd, in het najaar, van zomer- naar wintertijd moet je de klok een uur terugdraaien. De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

Eenezelsbruggetje:

inhet voorjaarzetjedeklok vooruiten inhet najaarzetjedeklok achteruit.

In beide gevallen meet de hoek tussen de begin- en eindpositie van de kleine wijzer 30º. Om de twee situaties te onderscheiden, oriënteer je de hoek. De oriëntatie gebeurt met de zin van de wijzers mee of tegen de zin van de wijzers in. Vermits je in de natuur meestal te maken hebt met de tegenwijzerzin (bijvoorbeeld bij de beweging van de planeten), kies je die zin als positief. Zo wordt de overgang van zomer- naar wintertijd gekenmerkt door een georiënteerde hoek van 30º en de overgang van winter- naar zomertijd door een georiënteerde hoek van –30º.

Geef zelf twee voorbeelden van situaties waarin de oriëntatie van een hoek noodzakelijk is.

Definitie Georiënteerde hoek

Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

Notatie: A ^ OB

Je spreekt over de georiënteerde hoek A ^ OB met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.

• Is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

• Is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief.

Hieronder zie je twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde.

positieve oriëntatie negatieve oriëntatie A beginbeen eindbeen A beginbeen eindbeen

Georiënteerde hoeken duid je meestal aan met kleine Griekse letters: a, b, g, d, « Het

Oefeningen

REEKS A

8 Zijn de hoeken positief of negatief georiënteerd?

hoek oriëntatie

©VANIN

9 Josse staat voor een deur. Zijn de hoeken om de deur te openen positief of negatief georiënteerd?

❒ negatief

❒ positief

❒ negatief ❒ positief

10 Zie jij de danseres draaien volgens een hoek die positief of negatief georiënteerd is?

❒ positief ❒ negatief

5.3 De goniometrische cirkel

5.3.1 Begrippen

Je voorziet het vlak p van een loodrecht assenstelsel met gelijke eenheden: een orthonormaal assenstelsel.

De punten E x en E y duiden de eenheid op de assen aan.

Je noemt ze eenheidspunten

In een orthonormaal assenstelsel kan de eenheid willekeurig gekozen worden.

Een straal gelijk aan 1 betekent dus niet dat die 1 cm lang moet zijn.

Definitie Goniometrische cirkel

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1.

Het assenstelsel verdeelt het vlak in vier kwadranten

Je nummert ze met Romeinse cijfers, zoals op de figuur hiernaast. De assen zelf behoren niet tot een kwadrant.

Elke georiënteerde hoek kun je voorstellen

op de goniometrische cirkel:

• Het hoekpunt is altijd het middelpunt van de cirkel.

• Het beginbeen valt samen met de positieve x-as.

• Het snijpunt A van het eindbeen van de georiënteerde hoek en de goniometrische cirkel noem je het beeldpunt van de hoek a

Noteer het juiste begrip in het kadertje.

5.3.2 De zestigdelige graad

Om de hoekgrootte van de georiënteerde hoek a

te bepalen, plaats je de getallen 0 en 360 bij E x Verder verdeel je de cirkel in 360 gelijke delen: graden (º).

Met het beeldpunt A van de hoek a komt juist één getal van het interval [0, 360[ overeen.

Dat getal noem je het maatgetal van a Het maatgetal van a is gelijk aan 22.

Je noteert: a = 22º.

Roteer je de halfrechte [OA verder in tegenwijzerzin,

dan kun je de hoekgrootte 382º (22º + 360º), 742º (22º + 2 360º) … toekennen aan a Als je in wijzerzin roteert, dan komt met A ook een hoekgrootte –338º (22º – 360º), –698º (22º – 2  360º) … overeen.

De georiënteerde hoek a heeft oneindig veel hoekgroottes die 360º van elkaar verschillen bij een of meerdere omwentelingen.

Elke georiënteerde hoek heeft juist één beeldpunt op de goniometrische cirkel.

Met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen.

Algemeen

Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen. Als a een van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a + k  360º (k ∈ Z).

Voorbeelden

• b =

• Het beeldpunt van b is

• Het beeldpunt van b ligt in kwadrant

• g =

• Het beeldpunt van g is

• Het beeldpunt van g ligt in kwadrant

5.3.3 Georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken

Voorbeeld

Joran gaat naar de kermis en neemt plaats op de draaimolen. De carrousel draait één volledige ronde in twintig seconden.

Over welke hoek heeft hij in totaal gedraaid in twee minuten?

• aantal afgelegde rondes:

• draaihoek:

©VANIN

De verkregen hoek heeft hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel als de nulhoek. Maar 2 160º gelijkstellen aan 0º zou betekenen dat Joran niet bewogen heeft.

Daarom maak je een onderscheid tussen twee soorten hoeken.

georiënteerde hoeken omwentelingshoeken

Een georiënteerde hoek wordt volledig bepaald door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel.

De georiënteerde hoeken

a = –500º en b = –140º zijn gelijk, want ze hebben hetzelfde beeldpunt.

In meetkundevraagstukken werk je met georiënteerde hoeken.

Er zijn twee mogelijkheden om te werken met een representant:

• a ∈ [0º, 360º[

• a ∈ ]–180º, 180º]

Deze laatste noem je de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek.

Voorbeeld

Een omwentelingshoek wordt volledig bepaald door zijn maatgetal.

De omwentelingshoeken

a = –500º en b = –140º zijn verschillend, want hun maatgetal is niet gelijk.

Om fysische verschijnselen met een periodiek karakter te beschrijven, werk je met omwentelingshoeken.

Kim neemt plaats op dezelfde draaimolen. Het is druk en Kim maakt een ritje van 1 minuut en 35 seconden.

Bepaal:

• het aantal afgelegde rondes:

• de draaihoek:

• de representant van de draaihoek in [0º, 360º[:

• de hoofdwaarde van de draaihoek:

Oefeningen

REEKS A

11 Teken het beeldpunt A van de gevraagde hoek op de goniometrische cirkel.

12 In welk kwadrant ligt de gegeven hoek?

13 Bepaal van de georiënteerde hoeken de representant in [0º, 360º[.

a)888º d) –3 600º 5

b)–69º e) 3 600º 5

c) –720º 5 f) 4 444º 44 44

14 Bepaal van de georiënteerde hoeken de hoofdwaarde en hun kwadrant.

a)245º f)–2 212º

b) 523º 20 g) 2 140º 14

c) 930º h) –2 140º 6 15

d) –740º 20 i) 2 240º 23 56 e) 11 425º j) –4 420º 46 37

15 Bepaal de hoofdwaarde. Teken het beeldpunt A op de goniometrische cirkel.

5.4 Goniometrische getallen van een hoek

5.4.1 Cosinus van een hoek

Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A

Is het punt A x de loodrechte projectie van A op x, dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

Duid op elke goniometrische cirkel de cosinus van de gegeven hoek aan.

Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken.

5.4.2 Sinus van een hoek

Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A

Is het punt A y de loodrechte projectie van A op y,

dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x

sin a = = =

Definitie Sinus

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

Duid op elke goniometrische cirkel de sinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken.

5.4.3 Tangens van een hoek

Definitie Tangens

tan a = sin cos als cos a ≠ 0

Gevolgen van de definitie

• Voor welke hoeken is de tangens niet gedefinieerd?

• De waarde van de tangens kan elk reëel getal zijn.

Meetkundige betekenis van de tangens

Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O (0, 0) en A (cos a, sin a):

Je vult de coördinaat van het punt T (1, yT) in:

yT = sin a cos a 1 = sin a cos a = tan a

Besluit De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E x (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

Duid op elke goniometrische cirkel de tangens van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken.

5.4.4 Cotangens van een hoek

Definitie Cotangens

cot a = cos sin als sin a ≠ 0

Gevolg cot a = 1 tan als tan a ≠ 0

• Voor welke hoeken is de cotangens niet gedefinieerd?

• De waarde van de cotangens kan elk reëel getal zijn.

Meetkundige betekenis van de cotangens

Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O (0, 0) en A (cos a, sin a):

Besluit

Je vult de coördinaat van het punt T (xT, 1) in: 1 = sin cos xT ⇔ cos sin = xT ⇔ cot = xT

De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E y (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

Duid op elke goniometrische cirkel de cotangens van de gegeven hoek aan.

Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken.

5.4.5 Verband tussen hellingshoek en richtingscoëfficiënt

Definitie Hellingshoek

De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as.

• Teken de rechte a met vergelijking y = 2x.

Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte a?

• Teken de hellingshoek a van de rechte a.

• Lees de coördinaat af van het snijpunt

van de rechten a en t:

Wat is de tangens van de hoek a?

• Teken de rechte b met vergelijking y = 2x + 3.

Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte b?

• Teken de hellingshoek a van de rechte b.

Besluit: rc a rc b tan a

Eigenschap

©VANIN

In een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte.

Voorbeeld 1

Bereken de hellingshoek a van de rechte met vergelijking y = 2x + 3.

Voorbeeld 2

Bepaal de vergelijking van de rechte r die door A (3, –1) gaat en een hoek a van 135º maakt met de x-as.

Oefeningen

REEKS A

16 Teken het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Schat de goniometrische getallen op 0,1 nauwkeurig.

a) a = 45º met beeldpunt A

cos a ≈

©VANIN

sin a ≈

tan a ≈

b) b = –90º met beeldpunt B

cos b ≈

sin b ≈

tan b ≈

c) g = 120º met beeldpunt C

cos g ≈

sin g ≈

tan g ≈

d) d = –130º met beeldpunt D

cos d ≈

sin d ≈

tan d ≈

e) « = –210º met beeldpunt E

cos « ≈

sin « ≈

tan «

f) w = 315º met beeldpunt F

cos w ≈

sin w ≈

tan w

17 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten A 1 en A 2 van de hoek a .

a) sin a = 3 4

e) sin a = –2 5

©VANIN

b) cos a = –1 2

f) cos a = 0,6

c) tan a = 1,5

g) tan a = –0,8

d) cot a = –3 5 h) cot a = 0,8

18 Bepaal het teken van de goniometrische getallen.

a cos a sin a tan a cot a

a) 100o

b) –50o

c) 250o

d) 50o

e) –220o

©VANIN

19 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de coördinaatgetallen van de hoekpunten van de regelmatige negenhoek ingeschreven in de goniometrische cirkel.

20 Bereken de hellingshoek van de rechten met de onderstaande vergelijking.

richtingscoëfficiënt hellingshoek

a) y = 2x – 3

b) y = 3x + 4

c) y = –x + 6

d) y = 5 – 4x

e) y = –3 x

f) y = 3 5 x + 2

21 Langs de weg zie je een verkeersbord staan dat aangeeft dat de weg 10 % stijgt. Wat is de hellingshoek die het wegdek maakt met de horizontale? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

22 In een mijn zitten na het instorten van de verticale schacht een aantal mijnwerkers 150 m onder de grond vast. Om ze te bevrijden, moeten de reddingswerkers een nieuwe schacht boren. Onder welke hoek moet de nieuwe schacht gegraven worden, als ze op 500 m van de oude verticale schacht de graafwerken beginnen? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

23 Bepaal de vergelijking van de rechte. Rond de richtingscoëfficiënt af op een eenheid.

a)Van een rechte r zijn de hellingshoek a = 83º 39 35 en een punt P (3, –1) gegeven.

b)Van een rechte s zijn de hellingshoek a = –63º 26 6 en een punt P (1, 2) gegeven.

REEKS C

24 Bepaal zonder rekenmachine of de uitdrukkingen juist of fout zijn.

juistfout

a) sin 30º < cos 30º ❒❒ f) cos 30º < cos 60º

b)–432º behoort tot kwadrant II ❒❒ g) sin 30º < sin 60º

c)tan 45º = 1

juistfout

h)sin (180º – 30º) = sin 30º

d) tan (–45º) < tan (–60º) ❒❒ i)cos (1 980º – 60º) = cos 60º ❒❒

e)sin (30º + 60º) = sin 30º + sin 60º ❒❒ j) cos (–230º) > 0

5.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken

5.5.1 Inleiding

Teken de beeldpunten van de hoeken en geef de hoekgrootte. 1 1 O y x beeldpunthoek

a) a1 in I met sin a1 = 0,50 A 1

b) a2 in II met sin a2 = 0,50 A 2

c) b1 in I met cos b1 = 0,50 B 1

d) b2 in IV met cos b2 = 0,50 B 2

verband tussen de hoeken benaming

b1 en b2

a1 en a2

a1 en b1

5.5.2 Gelijke hoeken

Definitie Gelijke hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als en slechts als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn.

GEOGEBRA

In symbolen

a = b ⇔ b = a + k  360º (k ∈ Z)

Gelijke hoeken hebben hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel.

Besluit cos (a + k  360º) = cos a sin (a + k  360º) = sin a tan (a + k  360º) = tan a cot (a + k  360º) = cot a

5.5.3 Tegengestelde hoeken

Definitie Tegengestelde hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als en slechts als hun som de nulhoek is.

In symbolen

a en b zijn tegengesteld ⇔ a + b = 0º + k 360º = k 360º (k ∈ Z) of ook

b is het tegengestelde van a ⇔ b = –a + k 360º (k ∈ Z)

Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes)

–30º is een tegengestelde van 45º is een tegengestelde van

Noem A en A de beeldpunten van de tegengestelde hoeken a en –a.

Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A?

Besluit

©VANIN

Besluit

De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as.

Goniometrische getallen van tegengestelde hoeken

5.5.4 Supplementaire hoeken

Definitie Supplementaire hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als en slechts als hun som de gestrekte hoek is.

In symbolen

a en b zijn supplementair ⇔ a + b = 180º + k 360º (k ∈ Z) of ook

b is het supplement van a ⇔ b = 180º – a + k 360º (k ∈ Z)

Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes)

30º is een supplement van

135º is een supplement van

Besluit

Noem A en A de beeldpunten van de supplementaire hoeken a en 180º – a.

Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A?

Besluit

De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as.

Goniometrische getallen van supplementaire hoeken

5.5.5 Antisupplementaire hoeken

Definitie Antisupplementaire hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als en slechts als hun verschil de gestrekte hoek is.

In symbolen

a en b zijn antisupplementair ⇔ b – a = 180º + k 360º (k ∈ Z) of ook

GEOGEBRA

b is het antisupplement van a ⇔ b = 180º + a + k 360º (k ∈ Z)

Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes)

30º is een antisupplement van

–45º is een antisupplement van

Noem A en A de beeldpunten van de antisupplementaire hoeken a en 180º + a.

Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A?

Besluit De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Goniometrische getallen van antisupplementaire hoeken

Besluit

5.5.6 Complementaire hoeken

Definitie Complementaire hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als en slechts als hun som de rechte hoek is.

In symbolen

a en b zijn complementair ⇔ a + b = 90º + k 360º (k ∈ Z) of ook

b is het complement van a ⇔ b = 90º – a + k 360º (k ∈ Z)

Noem A en A de beeldpunten van de complementaire hoeken a en 90º – a

Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A?

Besluit De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant.

Goniometrische getallen van complementaire hoeken

Besluit

5.5.7 Anticomplementaire hoeken

Definitie Anticomplementaire hoeken

Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als en slechts als hun verschil de rechte hoek is.

In symbolen

a en b zijn anticomplementair ⇔ b – a = 90º + k 360º (k ∈ Z) of ook

b is het anticomplement van a ⇔ b = 90º + a + k 360º (k ∈ Z)

Noem A en A de beeldpunten van de anticomplementaire hoeken a en 90º + a

Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A?

Besluit

©VANIN

De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as.

Goniometrische getallen van anticomplementaire hoeken

Besluit cos (90º + a) = –sin a sin (90º + a) = cos a

(90º + a) = –cot a cot (90º + a) = –tan a

Samenvatting

Gelijke hoeken

Tegengestelde hoeken

cos (a + k 360º) = cos a

sin (a + k 360º) = sin a

tan (a + k  360º) = tan a

cot (a + k  360º) = cot a

©VANIN

De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as.

cos (–a) = cos a

sin (–a) = – sin a

tan (–a) = – tan a

cot (–a) = – cot a

Supplementaire hoeken

De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as.

cos (180º – a) = – cos a

sin (180º – a) = sin a

tan (180º – a) = – tan a

cot (180º – a) = – cot a

Antisupplementaire hoeken

Complementaire hoeken

De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

cos (180º + a) = – cos a

sin (180º + a) = – sin a

tan (180º + a) = tan a

cot (180º + a) = cot a

©VANIN

De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant.

cos (90º – a) = sin a

sin (90º – a) = cos a

tan (90º – a) = cot a

cot (90º – a) = tan a

Anticomplementaire hoeken

De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as.

cos (90º + a) = – sin a

sin (90º + a) = cos a

tan (90º + a) = – cot a

cot (90º + a) = – tan a

5.5.8 Alle hoeken vanuit een goniometrisch getal berekenen

Voorbeelden

• cos a = –0,25

Tegengestelde hoeken hebben dezelfde cosinus.

Vind je één oplossing, dan is de tegengestelde hoek ook een oplossing.

Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen.

• sin a = 0,4

Een tegengestelde van 104º 28 39 is –104º 28 39

dus a = 104º 28 39 + k  360º (k ∈ Z) of a = –104º 28 39 + k  360º (k ∈ Z).

Supplementaire hoeken hebben dezelfde sinus.

Vind je één oplossing, dan is de supplementaire hoek ook een oplossing.

Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen.

• tan a = 4

Een supplement van 23º 34 41 is 180º – 23º 34 41 = 156º 25 19

dus a = 23º 34 41 + k 360º (k ∈ Z) of

= 156º 25 19 + k  360º (k ∈ Z).

Antisupplementaire hoeken hebben dezelfde tangens.

–1 1 –1 y x O

Vind je één oplossing, dan is de antisupplementaire hoek ook een oplossing.

Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen.

• cot a = 2

Een antisupplement van 75º 57 50 is 180º + 75º 57 50 = 255º 57 50 hoofdwaarde: –104º 2 10

dus a = 75º 57 50 + k 360º (k ∈ Z) of a = –104º 2 10 + k  360º (k ∈ Z).

Je vormt de opgave met de cotangens om naar een opgave met de tangens. De verdere werkwijze is hetzelfde als bij het vorige voorbeeld.

Als cot a = 2, dan is tan a = 1 2

Een antisupplement van 26º 33 54 is 180º + 26º 33 54 = 206º 33 54 hoofdwaarde: –153º 26 6

dus a = 26º 33 54 + k 360º (k ∈ Z) of a = –153º 26 6 + k  360º (k ∈ Z).

Oefeningen

REEKS A

25 Geef van elke hoek de hoofdwaarde van de hoek die de gevraagde verwantschap oplevert. hoektegengesteldsupplementair antisupplementair complementair anticomplementair

a)25º

b)–75º

c)–110º

d)240º

e)305º

f)–355º

©VANIN

26 Wat is de verwantschap tussen de gegeven hoeken?

a)25º en –295º zijn

b)–25º en –205º zijn

c)105º en 75º zijn

d)30º en –690º zijn

e)30º en –150º zijn

f)–330º en 420º zijn

g)–25º en 65º zijn

h)35º en 685º zijn

i)50º en 490º zijn

j)470º en 380º zijn

k)256º en –284º zijn

l)170º en 190º zijn

Transformaties en coördinaten

• Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft het eerste coördinaatgetal gelijk en verandert het tweede coördinaatgetal van teken.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de y-as verandert het eerste coördinaatgetal van teken en blijft het tweede coördinaatgetal gelijk.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant worden de coördinaatgetallen van plaats verwisseld.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de oorsprong veranderen beide coördinaatgetallen van teken.

27 Bepaal de hoek a op 1 nauwkeurig. Geef alle oplossingen.

29 Vereenvoudig door de formules van verwante hoeken te gebruiken.

a) tan (180º – a) cos a

f) sin (180º – a) cot (180º – a)

b) cos (90º – ) cos (180º – )

©VANIN

c) cot (180º + a) cot (90º – a)

g) sin (180º + ) tan (180º + )

h) sin (90º – a) cot (90º + a)

d) tan (90º – ) cos (– ) i) cot (– a) + tan (90º + a)

e) cos (90º + ) sin (90º + ) sin (– )

j) tan (– a)  cos (180º + a)

30 Gegeven: ABCD is een parallellogram en CE ⊥ AB. Vul aan, zodat je volgens de figuur een ware uitspraak verkrijgt.

REEKS C

31 Bepaal de georiënteerde hoek die de laserstraal met de x-as maakt.

©VANIN

a) laserstraal AE: laserstraal BF: b)

Het woord ‘laser’ komt van het Engelse Light Amplificationby Stimulated Emissionof Radiation, wat je letterlijk kunt vertalen als ‘lichtversterking door gestimuleerde uitzending van straling’. Een laser is dus een lichtbron, maar anders dan bij andere lichtbronnen zendt een laser zijn licht niet uit in verschillende richtingen. Een laser kan een smalle coherente bundel licht voortbrengen.

5.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek

5.6.1 Afgeleide formules uit de definitie van tangens

Je noteert de afgeleide formules voor de sinus en de cosinus van een hoek uit de definitie van de tangens, als de tangens bestaat:

tan a = sin cos als cos a ≠ 0

Formules

sin a = cos a tan a

5.6.2 De grondformule

GEOGEBRA

cos a = sin tan als tan a ≠ 0

tekening A y x α O Ay Ax gegeven

een hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel

te bewijzen

cos 2 a + sin 2 a = 1

bewijs

Stel: px (A) = A x en py (A) = A y

In de rechthoekige driehoek OAA x geldt de stelling van Pythagoras:

| OA x |2 + | AA x |2 = | OA |2

| AA x | = | OA y |

| OA x |2 + | OA y |2 = | OA |2

definitie sinus en cosinus en straal goniometrische cirkel

| cos a |2 + | sin a |2 = 12

(cos a)2 + (sin a)2 = 12

cos 2 a + sin 2 a = 1

besluit

cos 2 a + sin 2 a = 1

een kwadraat is altijd positief

notatie

Die formule noem je de grondformule van de goniometrie.

Gevolgen

5.6.3 Toepassingen

Identiteiten bewijzen

Voorbeeld 1

Bewijs:

Goniometrische getallen berekenen vanuit het gegeven goniometrisch getal en het gegeven kwadrant

Voorbeeld 1

Gegeven: sin a = 1 4 en a ligt in het tweede kwadrant.

Bereken

Voorbeeld 2

Gegeven: tan a = 2 en a ligt in het derde kwadrant.

Formularium

Oefeningen

REEKS A

cos 2 a + sin 2 a = 1 tan = sin cos

cos 2 a = 1 – sin 2 a cot = cos sin

sin 2 a = 1 – cos 2 a 1 + tan2 = 1 cos 2

©VANIN

32 Vereenvoudig.

a) tan a  cot a

b) 1 cos sin

c) tan a  cos a

d) sin cos tan

e) sin 2 a  cot 2 a

f) cos 2 a – 1

g) 2 – cos 2 a – sin 2 a

Vereenvoudig.

a) 1 cos 2 – tan2

b) 1 sin2 – cot 2

©VANIN

c) 1 + cos 2 sin2

d) (sin 2 a – 1)  tan 2 a

e) 1 – sin2 cos sin 1 – cos 2

f) tan2 1 + tan2

a) 1 – cos 2 sin + 1 – sin2 cos = sin a + cos a

b) tan 1 + tan2 = sin a  cos a

©VANIN

c) (cos a – sin a) 2 = 1 – 2  cos a  sin a d) (cos a + sin a) 2 + (cos a – sin a) 2 = 2 e) tan a + cot a = 1 sin cos

35 Bereken, zonder rekenmachine, de ontbrekende goniometrische getallen voor de hoek in het gegeven kwadrant.

a) cos a = 1 3 en a ∈ IV

c) sin a = 0,25 en a ∈ I

©VANIN

b) tan a = –4 3 en a ∈ II

d) cot a = –1 en a ∈ IV

5.7 Willekeurige driehoeken oplossen

Als je de top van de toren van Pisa vanuit twee punten observeert, dan zijn de hoeken waaronder je de top ziet respectievelijk 47º 43 35 en 28º 48 39

De hellingshoek van de toren zelf bedraagt 81º.

Wat is de hoogte x van de toren als de observatiepunten, die in een lijn liggen met de toren, 50 m uit elkaar liggen?

Toren van Pisa

De (scheve) toren van Pisa is de vrijstaande klokkentoren (een campanile) bij de kathedraal van Pisa (Duomo di Pisa). De toren is een van de onderdelen van het Campo dei Miracoli.

©VANIN

De bedoeling was een verticale toren te bouwen, maar het overhellen begon kort na het begin van de bouw in augustus 1173. Bouwmeesters waren Gugilmo en Buonanno.

De toren is 55 meter hoog en de massa wordt geschat op 14 453 ton.

De huidige helling is ongeveer 10 %. De toren heeft 297 treden. Naar verluidt liet Galilei voorwerpen van de toren naar beneden vallen om de valeigenschappen te bestuderen. Dat wordt als een mythe beschouwd.

Op 27 februari 1964 vroeg de Italiaanse regering om hulp om te zorgen dat de toren niet zou omvallen. Op 7 januari 1990 werd de toren gesloten uit veiligheidsoverwegingen.

Vervolgens werd hij gerestaureerd om de helling te verminderen.

Na ruim tien jaar werk werd de toren weer voor het publiek geopend op 15 december 2001. In augustus 2004 heeft een evaluatie van experts uitgewezen dat de toren de eerstvolgende drie eeuwen niet zal instorten. De toren is opnieuw in veiligheid, stelde professor Carlo Viggiani van de universiteit van Napels in de Italiaanse media.

Professor Michele Jamiolkowski, de ingenieur die de renovatiewerken leidde, voegde eraan toe dat de 800 jaar oude toren sinds september 2003 opnieuw stabiel is.

Gedurende de laatste fase van de renovatie, die 28 miljoen euro kostte, hebben de experts de fundamenten van het gebouw versterkt en de toren 44 centimeter rechtop getrokken.

De overhelling bedraagt nu iets meer dan vier meter.

Er werd beslist de toren niet opnieuw recht te zetten, want dat zou het toerisme geen goed doen. De toren heeft opnieuw dezelfde inclinatie als in het jaar 1800.

5.7.1 De sinusregel

Bereken de verhoudingen op een eenheid nauwkeurig.

GEOGEBRA

Sinusregel a sin = b sin = c sin

De verhouding van een zijde op de sinus van de overstaande hoek is constant.

5.7.2

De cosinusregel

Teken de hoogtelijn uit B op AC en noem het snijpunt D

In de rechthoekige driehoek BDC geldt:

GEOGEBRA cos

©VANIN

Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere zijden, verminderd met het dubbelproduct van de andere zijden maal de cosinus van de overstaande hoek.

Opmerking

Als je de cosinusregel in een rechthoekige driehoek (g = 90º) toepast, verkrijg je

= 0

De cosinusregel is dus een veralgemening van de stelling van Pythagoras voor willekeurige driehoeken.

Bewijs van de sinusregel en de cosinusregel

5.7.3 Willekeurige driehoeken oplossen

Formularium

©VANIN

De som van de hoeken in een driehoek is 180º.

Sinusregel

Cosinusregel

Eén zijde en twee hoeken zijn gegeven

gegeven

In een driehoek ABC zijn

c = 12,5 cm

a = 25º b = 45º

gevraagd de zijden a en b op 0,1 cm nauwkeurig en de hoek g op 1º nauwkeurig

oplossing

• g = 180º – (a + b ) = 180º – (25º + 45º) = 180º – 70º = 110º

• a sin = c sin ⇔ a = c sin a sin g = 12,5 sin 25º sin 110º ≈ 5,6 (cm)

• b sin = c sin ⇔ b = c sin b sin g = 12,5 sin 45º sin 110º ≈ 9,4 (cm)

Opmerking

Gebruik bij voorkeur enkel de gegeven zijden.

Wat is daarvoor de reden?

Twee zijden en een ingesloten hoek zijn gegeven

gegeven

In een driehoek ABC zijn

b = 8 cm

c = 5 cm a = 40º

gevraagd

zijde a op 0,1 cm nauwkeurig en de hoeken b en g op 1  nauwkeurig oplossing

• a = b 2 + c 2 – 2 bc cos

≈ 82 + 52 – 2 8 5 cos 40º

≈ 5,3 (cm)

• De sinusregel is niet aan te raden om hoeken te berekenen, omdat sin (180º – b) = sin b. b sin = a sin ⇔ sin = b sin a

sin b = 8 sin 40º a ≈ 0,976 76

b = 77º 37 26 of b = 102º 22 34

Je verkrijgt dus een dubbele oplossing.

Bij de cosinusregel doet dat probleem zich niet voor, vermits alle hoeken van een driehoek tussen 0º en 180º liggen. • b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b

©VANIN

cos b = a 2 + c 2 – b 2 2 ac = a 2 + 52 – 82 2 a 5 ≈ –0,214 33 ⇒ b = 102º 22 34

• g = 180º – (a + b ) = 180º – (40º + 102º 22 34) = 37º 37 26

Drie zijden zijn gegeven

gegeven

In een driehoek ABC zijn

a = 4 cm

b = 7 cm

c = 5 cm

gevraagd de hoeken a, b en g op 1  nauwkeurig

©VANIN

oplossing

• cos a = cos a = b 2 + c 2 – a 2 2 bc = 49 + 25 – 16 2 7 5

cos a ≈ 0,828 57

⇒ a = 34º 2 52

• cos b = cos b = a 2 + c 2 – b 2 2 ac = 16 + 25 – 49 2 4 5

cos b = –0,2

⇒ b = 101º 32 13

• g = 180º – (a + b ) = 44º 24 55

De som van de hoeken van een driehoek is 180º. Aan die eigenschap twijfelt wellicht niemand. Je bent immers bezig met euclidische meetkunde en in die meetkunde ga je ervan uit dat door een punt buiten een rechte juist één rechte kan worden bepaald die evenwijdig is met de gegeven rechte.

Maar is dat wel zo? Je ziet immers de wereld anders dan hij is. De eerste bekende wiskundige die de euclidische meetkunde in twijfel trok, was Carl Friedrich Gauss (1777-1855), toen hij de meetkunde van de gekromde oppervlakten ontdekte bij het bestuderen van de geografie van het koninkrijk Hannover. Hij publiceerde echter nooit zijn theorieën. Uit de bevindingen van Gauss

Riemann ontstond de hyperbolische meetkunde (Lobachevski en Bolyai), waarin werd uitgegaan van het axioma dat er oneindig veel rechten kunnen worden bepaald die door een punt gaan en evenwijdig zijn met een gegeven rechte. Een gevolg daarvan is dat de som van de hoeken van een driehoek kleiner is dan 180º.

Bekender echter is de elliptische meetkunde van Riemann. Hij ging ervan uit dat door een punt geen enkele rechte te vinden is die evenwijdig is aan een gegeven rechte (denk hier bijvoorbeeld aan het bepalen van rechten op een bol). In die meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek groter dan 180º. Het is die Riemann-meetkunde die Einstein later gebruikte in de wiskundige ontwikkeling van de relativiteitstheorie.

Twee zijden en een niet-ingesloten hoek zijn gegeven

gegeven

In een driehoek ABC zijn

a = 5 cm

b = 4 cm

b = 30º

gevraagd de zijde c op 0,01 cm nauwkeurig en de hoeken a en g op 1  nauwkeurig

©VANIN

Als je de situatie via een tekening bekijkt, merk je dat er twee oplossingen mogelijk zijn.

Dat vind je ook terug bij het oplossen van de driehoek.

Bij elk van die waarden voor a horen ook waarden voor g en c

Opmerking

Uit een situatieschets voor een willekeurige driehoek ABC waar a = 5 cm en b = 30º kun je achterhalen dat naargelang de afmetingen van b

• er juist één oplossing is als

b = 2,5 cm

©VANIN

• er geen oplossingen zijn als b < 2,5 cm.

Let wel dat het bovenstaande geen regel is, maar samengaat met de gegeven a en b

Drie hoeken zijn gegeven

Twee driehoeken met gelijke hoeken zijn wel gelijkvormig, maar niet noodzakelijk congruent.

Er zijn dus oneindig veel driehoeken mogelijk bij drie gegeven hoeken.

Opmerking

Wanneer het gegeven overeenkomt met een congruentiekenmerk HZH, ZHZ of ZZZ, dan is er voor de driehoek slechts één oplossing.

Samenvatting gegeven 1 zijde + 2 hoeken 2 zijden 3 zijden + niet-ingesloten hoek + ingesloten hoek oplossen met sinusregel cosinusregel

Oefeningen

REEKS A

36 Los de driehoek ABC op. Bereken de zijden op 0,1 en de hoeken op 1 nauwkeurig.

a) a = 57 b = 21º g = 34º

©VANIN

b) b = 57 c = 21 a = 34º

c) a = 17 b = 19 c = 6

37 Los de driehoek ABC op. Bereken de zijden op 0,01 en de hoeken op 1 nauwkeurig.

a) a = 27,5 b = 43º 19 g = 51º 27

©VANIN

b) b = 25 c = 20 a = 64º 5 23

c) b = 4,5 c = 6 b = 40º

38 Los de driehoek XYZ op. Bereken de zijden op 0,001 en de hoeken op 1 nauwkeurig.

a) x = 275 y = 300 z = 100

b) x = 175 z = 101 ^ X = 105º

©VANIN

c) x = 75 z = 31 ^ Z = 50º

Toepassingen

Toepassing uit de topografie

Je observeert de toren van Pisa vanuit twee punten. Je ziet de top vanuit een hoek van 47º 43 35 en vanuit een hoek van 28º 48 39. De hellingshoek van de toren bedraagt 81º. Wat is de hoogte x van de toren, als de observatiepunten, die in één lijn liggen met de toren, 50 m uit elkaar liggen? Bepaal je antwoord op 1 cm nauwkeurig.

©VANIN

gegeven

^ A = 81º ^ D1 = 47º 43 35 ^ C = 28º 48

gevraagd x oplossing ^ D 1 + ^ D 2 = 180º (nevenhoeken) ^ D 2 = 180º – 47º 43  35  = 132º 16  25 

B 2 = 180º – 132º 16  25  – 28º 48  39  = 18º 54 

Sinusregel in n BCD:

Sinusregel in n

De toren is 55,69 m hoog.

Krachten samenstellen

gegeven

de krachten F1 en F2 die een hoek a insluiten (zie figuur) gevraagd

• de grootte van de resultante FR op 1 N nauwkeurig

• de hoek tussen F1 en FR op 1 nauwkeurig

oplossing

• Je noteert het maatgetal van de grootte van de twee krachten als F1 en F2

Je past de cosinusregel toe in de driehoek ABC met | AC | = F1 , | BC | = F2 en | AB | = FR

©VANIN

Die cosinusregel voor de resultante van twee krachten verschilt dus qua vorm met die uit de wiskunde.

• Om ∅ te berekenen, pas je nogmaals de cosinusregel toe. cos ∅ =

Voorbeeld

F1 en F2 hebben hetzelfde aangrijpingspunt en maken een hoek van 60º.

F1 is 600 N en F2 is 500 N.

Hoe groot is dan de resultante en welke hoek maakt die met de krachten?

Oplossing

FR maakt een hoek van met F1

FR maakt een hoek van met F2

Oefeningen

REEKS A

39 Om een brug te bouwen tussen twee plaatsen (A en B) langs een rivier, moet de ingenieur de afstand

tussen beide punten kennen.

Daarvoor gaat hij aan één oever van plaats A naar plaats C

De afstand tussen A en C is 20 m.

De hoek waaronder B gezien wordt vanuit A ten opzichte van de rechte AC, is 155º 23  .

De hoek waaronder B gezien wordt vanuit C ten opzichte van de rechte AC, is 20º 51  .

Bepaal, op 1 cm nauwkeurig, de afstand tussen A en B.

©VANIN

40 Twee auto’s, die in radiocontact staan met elkaar, volgen in een vlak landschap

een onbemande weerballon.

Op een gegeven ogenblik gaan beide auto’s aan de kant staan zodat ze in hetzelfde horizontale vlak 2,5 km van elkaar verwijderd zijn.

De bestuurders, Philippe en Laurent, meten de hoek naar de onderkant van de mand.

Philippe meet een hoek van 40º en Laurent een hoek van 30º.

Hoe hoog bevindt de weerballon zich boven de grond? Bepaal je antwoord op 1 m nauwkeurig.

20 m

Philippe Laurent 2,5 km

De knoop is een eenheid van snelheid die veel gebruikt wordt in de zeevaart.

Eén knoop is één zeemijl per uur.

Eén zeemijl is gedefinieerd als precies 1 852 meter.

Een knoop is dus een snelheid van 1,852 km/h of 0,514 4... m/s.

©VANIN

Een zeemijl was ooit gedefinieerd als de lengte van een boogminuut van een grootcirkel van de aarde. Door de afplatting van de aarde was die zeemijl echter niet overal even lang.

De doorsnede van een bol met een vlak is een cirkel.

Gaat het vlak door het middelpunt van de bol, dan spreek je van een grootcirkel.

Zo zijn alle meridianen van onze aardbol in feite grootcirkels.

De breedtecirkels of parallellen noem je – afgezien van de evenaar –kleincirkels.

41 Een schip vaart met een snelheid van 15 knopen. De stuurman ziet een vuurtoren eerst onder een hoek van 13º 35 7 en 20 minuten later onder een hoek van 29º 15 40 met zijn vaarrichting. Hoe ver is hij in beide gevallen van de vuurtoren verwijderd?

Bepaal je antwoord op 1 m nauwkeurig.

42 De diagonalen van een parallellogram meten 64 mm en 100 mm. Ze snijden elkaar onder een hoek van 50º.

Bereken de zijden van dat parallellogram op 0,1 mm en de hoeken op 1 .

43 Bereken de grootte, op 1 N, en de richting, op 1, van de resultante van twee krachten, 500 N en 700 N groot, als de richtingen van beide krachten een hoek vormen van 36º 25 17 .

44 Bereken de grootte, op 1 N, en de richting, op 1 , van de resultante van twee krachten, 1 500 N en 925 N groot, als de richtingen van beide krachten een hoek vormen van 125º 34 

Gegeven:

K het midden van [ BC ]

L het midden van [ EH ]

Gevraagd:

Bereken de hoek a op 1  nauwkeurig.

46 Vanaf de top van een mast van 24 m hoog worden twee metalen kabels, die onderling een hoek van 32º maken, naar de grond gespannen.

De ene kabel komt in de grond op 10 m van de mast, de andere op 8 m van de mast.

Waar de kabels in de grond komen, wordt telkens een verstraler gezet.

Bereken de afstand tussen de twee verstralers.

Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Een piramide ingeschreven in een kubus heeft een vierkant grondvlak met zijde 30 cm.

Bereken:

a) de hoek a tussen twee opstaande ribben;

b) de hoek b tussen de gronddiagonaal en een opstaande ribbe.

Rond de hoeken af op 1  nauwkeurig.

30 cm

48 Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC.

Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig.

49 Bereken de lengte van de zwaartelijnen in de driehoek ABC als | BC | = 25 cm, ^ B = 48º en ^ C = 55º. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

50 Twee werklieden proberen een zware kist langs een hellend vlak naar binnen te trekken. Bereken de grootte van de resultante FR . Bepaal je antwoord op 1 N nauwkeurig.

Bereken de hoek tussen F2 en FR . Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig.

©VANIN

51 Hieronder zie je een schematische voorstelling van een kruk- en drijfstangmechanisme.

Bereken de lengte van het uitgeschoven gedeelte [CB ] van de drijfstang bij een hoek van 60º. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

F1 = 6 N

52 Vanuit twee punten A en B zie je aan de overzijde van een rivier twee torens D en C

Bereken de afstand tussen de twee torens met de meetgegevens op de figuur.

Bepaal je antwoord op 1 cm nauwkeurig.

©VANIN

53 Gegeven: een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 20 cm en opstaande ribben van 45 cm. Bereken de hoeken van de driehoek ABC

Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

STUDIEWIJZER Goniometrie

5.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek

De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuine zijde .

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde schuine zijde

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

5.2 Georiënteerde hoeken

Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

5.3 De goniometrische cirkel

©VANIN

KENNEN

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1.

KUNNEN

Een georiënteerde hoek voorstellen door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel.

De hoofdwaarde van een hoek bepalen.

5.4 Goniometrische getallen van een hoek

KENNEN

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

Voor een willekeurige hoek a definieer je: tan = sin cos als cos a ≠ 0

De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E x (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

Voor een willekeurige hoek a definieer je: cot = cos sin als sin a ≠ 0

Gevolg: cot = 1 tan als tan a ≠ 0.

De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E y (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as.

In een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte.

KUNNEN

Met ICT de goniometrische getallen van een hoek berekenen.

Een hoek tekenen aan de hand van een goniometrisch getal.

De goniometrische getallen schatten bij een getekende hoek.

De hellingshoek van een rechte bepalen.

5.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken

KENNEN

Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als en slechts als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn.

Gelijke hoeken hebben gelijke goniometrische getallen.

Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als en slechts als hun som de nulhoek is.

cos (–a) = cos a sin (–a) = –sin a

©VANIN

tan (–a) = –tan a cot (–a) = –cot a

Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als en slechts als hun som de gestrekte hoek is.

cos (180o – a) = –cos a sin (180o – a) = sin a

tan (180o – a) = –tan a cot (180o – a) = –cot a

Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als en slechts als hun verschil de gestrekte hoek is.

cos (180o + a) = –cos a sin (180o + a) = –sin a

tan (180o + a) = tan a cot (180o + a) = cot a

Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als en slechts als hun som de rechte hoek is.

cos (90o – a) = sin a sin (90o – a) = cos a

tan (90o – a) = cot a cot (90o – a) = tan a

Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als en slechts als hun verschil de rechte hoek is.

cos (90o + a) = –sin a sin (90o + a) = cos a

tan (90o + a) = –cot a cot (90o + a) = –tan a

Een verwantschap tussen twee hoeken herkennen.

De relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek onderling en tussen die van verwante hoeken gebruiken.

Met ICT hoeken terugzoeken waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

5.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek

KENNEN

Afgeleide formules uit tan a = sin cos (als cos a ≠ 0):

sin a = tan a cos a

cos a = sin tan (als tan a bestaat en verschillend is van 0)

Grondformule:

cos 2 a + sin 2 a = 1

Afgeleide formules:

cos 2 a = 1 – sin 2 a

sin 2 a = 1 – cos 2 a

1 + tan 2 a = 1

cos2

KUNNEN

Uit een goniometrisch getal van een hoek de andere goniometrische getallen afleiden.

De grondformule en de afgeleide formules gebruiken om goniometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen of identiteiten te bewijzen.

5.7 Willekeurige driehoeken oplossen

De sinusregel a sin = b sin = c sin

De cosinusregel

– 2 bc cos

KENNEN

©VANIN

KUNNEN

De sinusregel en cosinusregel gebruiken bij het oplossen van willekeurige driehoeken.

Bij realistische opgaven de oplossing interpreteren.

Pienter problemen oplossen

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

©VANIN

1. De directrice vindt glas recycleren belangrijk in haar school.

Het glas is ofwel wit, ofwel gekleurd. Ze krijgt drie verschillende glastransformatoren. Twee van de glastransformatoren kunnen elk twee stuks recycleerbaar glas verwerken. De derde transformator kan één stuk recycleerbaar glas verwerken.

Deze machine produceert enkel wit glas als er twee witte stukken glas in gelegd worden. Elke andere combinatie levert gekleurd glas op.

Deze machine produceert enkel gekleurd glas als er twee gekleurde stukken glas in gelegd worden. Elke andere combinatie levert wit glas op. Deze machine transformeert gekleurd glas in wit glas en wit glas in gekleurd glas.

De directrice bedacht het volgende systeem:

Welk soort glas moet de directrice in de machine leggen op de punten X, Y, Z en T, zodat er enkel nog wit glas uitkomt?

Awitwitgekleurdwit B gekleurdgekleurdgekleurdwit Cwitgekleurdgekleurdwit Dgekleurdgekleurdwitgekleurd Bron:Bebras-wedstrijd,niveauPadawan,2019

2. Een luchtvaartmaatschappij biedt vluchten aan tussen verschillende wereldsteden, zoals afgebeeld in dit schema.

Washington, D.C.

Om haar CO2-uitstoot te verminderen en op die manier een steentje bij te dragen aan het klimaat, wil de maatschappij enkele van haar routes schrappen, maar op zo’n manier dat haar klanten nog altijd naar dezelfde steden kunnen vliegen.

A) 6

B) 7

Hoeveel routes kan de maatschappij schrappen?

(Als ze bijvoorbeeld de route tussen San Francisco en Washington schrapt, kunnen klanten nog altijd van San Francisco naar Washington vliegen via New York.)

C) 8 D) 9

Bron:Bebras-wedstrijd,niveauPadawan,2019

San Francisco

New York

Londen

Parijs

Moskou

Caïro

Kuala Lumpur