Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 4. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer degebruiksvoorwaarden.
Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.
Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 1 schooljaar. Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.
Pienter 4 - 4u - deel 2
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen.
InBelgiëbeschermtdeauteurswetderechtenvandezemensen.Wanneeruvanboekenofvangedeelteneruit zondertoestemmingkopieënmaakt,buitendeuitdrukkelijkbijwetbepaaldeuitzonderingen,ontneemtu hen duseenstukvandievergoeding.Daaromvragenauteursenuitgeversubeschermdetekstennietzonder schriftelijketoestemmingtekopiërenbuitendeuitdrukkelijkbijwetbepaaldeuitzonderingen.
Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Verdereinformatieoverkopieerrechtenendewetgevingmetbetrekkingtotreproductievindtu op www.reprobel.be.
Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Hoofdstuk11Transformaties van elementaire functies
Hoe werk je met Pienter?
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1 Voorbeeld
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.
De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Vul de tabel aan.
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
aantal tickets0 1 2 3 4 5
7.1 Eerstegraadsfuncties
kostprijs (euro)
7.1.1 Voorbeeld
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1 Voorbeeld
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels. De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan. De tickets kosten 30 euro per stuk. Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
7.1.2 Eerstegraadsfuncties
Definitie
Vul de tabel aan.
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.
Eerstegraadsfunctie
De tickets kosten 30 euro per stuk.
aantal tickets0 1 2 3 4 5
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
kostprijs (euro)
Vul de tabel aan.
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.
aantal tickets0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro)
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
7.1.2 Eerstegraadsfuncties
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
1–1–2 23456 x y 20 40 60 80 O Wat is de toename van de functiewaarde, als het argument met één eenheid toeneemt?
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
Definitie Eerstegraadsfunctie Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
b is de afsnijding op de y-as.
Teken de grafiek van de functie f ( ) = 30 + 5.
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met ).
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.
In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
1–1–2 23456 x 20 O
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.
Je leert ook eigenschappen bewijzen.
1–1–2 23456 x 20 40 60 80 O als het argument met één eenheid toeneemt?
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as. (0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen.
Niet alle oefeningen zijn even moeilijk.
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de b is de afsnijding op de y-as.
Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Oefeningen
REEKS A 1 Teken de grafiek.
REEKS A eenvoudige toepassingen
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
REEKS B basisniveau
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Opmerking
REEKS C verdiepingsniveau
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
Op diddit vind je extra oefeningen.
–5–4–3–2–1 O –3 –2
In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.
2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties
7.1 Eerstegraadsfuncties
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a
).
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
KUNNEN
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen: • uit een tabel met functiewaarden; uit een grafiek.
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
KENNEN
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift
f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene, blauwe en oranje band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
KUNNEN
Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.
7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2
KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter Remediëren en voor Extra Leerstof.
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.
De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool. Als a < 0, is de grafiek een bergparabool. De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0).
Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.
Lesmateriaal
Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.
Oefeningen
• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
• Je kunt hier vrij oefenen.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
E-book
Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...
Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.
HOOFDSTUK 6 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK
6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
6.3 Centrummaten bij gegroepeerde
6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
6.1.1 Gegevens
verzamelen
In 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD Volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken.
3-5 jaar6-9 jaar10-17 jaar18-39 jaar 40-64 jaar 500 kleuters 500 kinderen 1 000 adolescenten 600 jongvolwassenen 600 volwassenen
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Over welk soort steekproef gaat het hier?
De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België.
De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht
manvrouw
vermageren22 %35 %
gewicht stabiel houden 44 %46 %
bijkomen5 %2 %
geen zorgen30 %18 %
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt?
Een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt.
Welk soort gegevens levert dat kenmerk op?
Een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht.
Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op.
Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.
minstens vijf dagen ontbijt per week
mannenvrouwen
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
6.1.2 Categorische gegevens verwerken
Een frequentietabel opstellen
Een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen.
reden aankoop biologische producten
De producten zijn gezonder. 53 %
De smaak van de producten is beter.38 %
De kwaliteit van de producten is beter.38 %
De producten zijn beter voor het milieu.31 %
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Wat valt er op als je de percentages bekijkt?
Hoe komt dat?
Aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop.
GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; MI = het milieu.
Stel een frequentietabel op.
KWGZSMMIGZKW
SMKWMIGZSMMI
KWSMGZSMMIGZ
GZMIGZKWKWSM
KWGZSMGZGZMI
GZMIKWSMGZKW
KWSMMIGZMIGZ
KWGZGZKWSMKW
SMGZSMKWGZKW
KWSMMIGZKWMI
reden ni fi GZ SM KW MI
• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?
• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?
staafdiagram
belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen
cirkeldiagram
belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen
=
GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu
GZ
gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu
Oefeningen
REEKS B
1 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen.
Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn.
VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel.
FRVLVLBRFRVLDUFRVLBR
VLFRVLVLFRFRVLBRBRVL
BRVLFRFRVLBRFRVLVLVL
FRFRVLBRVLFRVLVLBRFR
VLVLFRVLDUBRFRFRVLBR
BRFRVLFRFRVLFRVLVLFR
VLFRFRVLFRBRVLDUFRVL
DUFRVLBRVLVLFRFRBRVL
a)Stel een frequentietabel op.
b)Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.
c)Teken met ICT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.
d)Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de Vlaamse Gemeenschap of Brussel?
e)Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap?
f)Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen?
g)Druk het verschil uit tussen het aantal werknemers uit de Vlaamse Gemeenschap en het aantal werknemers uit de Franse Gemeenschap.
• in procentpunt:
• in procent:
Een frequentietabel opstellen
Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl.
• De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag.
• Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling.
• Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit.
Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)
Aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten.
Stel een frequentietabel op.
• Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit?
• Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit?
• Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3.
• Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit?
• Is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)?
staafdiagram relatief aantal leerlingen
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars
aantal stukken fruit per dag
lijndiagram aantal leerlingen
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars
aantal stukken fruit per dag
cumulatief staaf- en lijndiagram
cumulatief relatief aantal leerlingen
fruitconsumptie bij 48 vierdejaars
aantal stukken fruit per dag
REEKS B
Een vegetariër eet geen vlees en geen vis. Iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een pescotariër
Veganisten bannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs
2 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten.
a)Stel een frequentietabel op.
b)Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch?
c)Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2.
d)Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis?
6.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens
(rekenkundig) gemiddelde mediaan modus
Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
x = x i i = 1 n n
De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2
De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.
Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens.
Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden?
In vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven.
De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand.
Eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype.
vruchtbaarheidsgraad wereldwijd
Bron: data.worldbank.org
2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen)
Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen
Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten.
Vul de frequentietabel aan.
xi ni fi cni cfi
07 110 29 314 48 511 68 76
• Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = n i x i i = 1 k n
Daarbij is k het aantal verschillende gegevens.
x =
Schat het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken.
• De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling.
Geef de betekenis van de mediaan.
• Wat is het meest voorkomende aantal fouten?
• De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10.
• Welke centrummaat wordt beïnvloed als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt?
Oefeningen
REEKS B
3 Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord.
a)De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters.
b) Als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde.
c) Als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan.
d) Als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus.
e)Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde.
4 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?
a)Kinderen ontbijten vaker dan tieners.
b)De helft van de mensen heeft minstens drie COVID-19-zelftesten gedaan in 2021.
c)Nederlanders zijn groter dan Belgen.
5 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken.
a) Vul de frequentietabel aan.
b)De helft van de bedienden dronk minstens koppen.
c)In een ander bedrijf werken 95 bedienden.
Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien.
6 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek.
a)Bepaal de modus.
b)Geef de betekenis van de modus.
e)Geef de betekenis van de mediaan.
c)Hoe groot is het gemiddelde huishouden in Vlaanderen?
d)Bepaal de mediaan.
6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens
6.2.1
Gegroepeerde frequentietabel
Onderzoek naar de massa (in kg) van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op.
Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.
Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen
• Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.
Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[.
De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen
• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse.
Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.
• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse.
Je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte.
Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.
• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.
• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse.
[45, 50[47,5 3
55[52,5
[55, 60[57,5 7
[75, 80[77,5 11 16,18 %4769,12 %
[80, 85[82,5 9 13,24 %5682,35 %
[85, 90[87,5 8 11,76 %6494,12 %
95[92,5
Als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in.
• Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg?
• Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse.
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg?
• Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse.
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg?
6.2.2 Grafische voorstellingen
Histogram
De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram
Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens.
Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie.
Een frequentiepolygoon is een type lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt.
De frequentiepolygoon sluit aan op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).
Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse van de steekproef voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.
Op die manier ontstaat een veelhoek of polygoon.
massa zesdejaars
aantal leerlingen
(kg)
Een ogief is een type cumulatief lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens en dat de roosterpunten (a1 , 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.
Bij die grafische voorstelling wordt de cumulatieve frequentie van elke klasse toegekend aan de klassenbovengrens bi van de klasse, wat logisch is, gelet op de betekenis van de cumulatieve frequenties.
De klassenondergrens a1 van de eerste klasse is de klassenbovengrens van de klasse voorafgaand aan de eerste klasse van de steekproef. Die klasse geef je de cumulatieve frequentie 0 of 0 %.
relatieve frequentie
Los de vragen op met behulp van het ogief.
massa zesdejaars massa (kg)
• Hoeveel procent van de leerlingen weegt minder dan 68 kg?
• Hoeveel leerlingen wegen tussen 76 kg en 85 kg?
• Vanaf welke massa behoort een leerling tot het zwaarste kwart?
Frequentietabel
Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie INTERVAL(gegevensmatrix;interval_verw).
Die functie telt van een geselecteerd gebied (de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing.
Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b [ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in.
Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.
• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). Je selecteert dus de cellen C12 tot en met C21.
• Formule: =INTERVAL(A1:J7;G12:G21).
• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.
• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.
• Werk de frequentietabel verder af.
Histogram
Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
• Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram in.
• Om de staven tegen elkaar te plaatsen:
■ rechtermuisklik op een van de staven;
■ gegevensreeks opmaken;
■ breedte tussenruimte: 0 %.
• Kies voor een randkleur met een ononderbroken streep.
Frequentiepolygoon
Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.
klasse mi ni fi
[40,45[42,500,00%
[45,50[47,534,41%
[50,55[52,568,82%
[55,60[57,5710,29%
[60,65[62,568,82%
[65,70[67,51014,71%
[70,75[72,545,88%
[75,80[77,51116,18%
[80,85[82,5913,24%
[85,90[87,5811,76%
[90,95[92,545,88%
[95,100[97,500,00%
• Voeg boven rij 12 en onder rij 21 een nieuwe rij in en verwijder de opmaak.
• Voer een nieuwe fictieve eerste klasse [40,45[ in met klassenmidden 42,5 en een nieuwe fictieve laatste klasse [95,100[ met klassenmidden 97,5.
• Je geeft deze twee extra klassen een frequentie 0 (0%).
• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en voeg een lijndiagram met markeringen in.
• Selecteer voor de horizontale as de klassenmiddens.
• Vink alle rasterlijnen aan.
• Zet de aspositie op de maatstreepjes.
• De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.
Ogief
Open het bestand dat je verkregen hebt na de frequentiepolygoon en ga als volgt te werk.
klasse cf i k.b.
[40,45[ 0,00%
[45,50[
[50,55[
[55,60[
[60,65[
[65,70[
[70,75[
[75,80[
[80,85[
[85,90[
[90,95[
GEOGEBRA
• Geef de fictieve eerste klasse [40,45[ de cumulatieve frequentie 0 (0 %).
• Maak een extra kolom aan met de klassenbovengrenzen (k.b.). De bovengrens van de eerste klasse is 45, van de laatste klasse 95.
• Selecteer de cellen met de cumulatieve relatieve frequenties en voeg een lijndiagram in.
• Selecteer voor de horizontale as de klassenbovengrenzen.
• De verdere afwerking is analoog als bij de frequentiepolygoon.
• Pas het maximum van de verticale as aan: 1,0 i.p.v. 1,2 en kies 0,1 als primaire eenheid en 0,05 als secundaire eenheid.
Oefeningen
REEKS A
7 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld (in euro) ze per maand krijgen. zakgeld per maand
a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren?
b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld?
c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld?
8 Tijdens het medisch onderzoek meet de verpleegster de lichaamslengte. De frequentiepolygoon toont de lichaamslengte (in cm) van een groep jongens.
a)Maak een frequentietabel.
lichaamslengte jongens
b) Hoeveel jongens werden tijdens het onderzoek gemeten?
c) Hoeveel jongens zijn kleiner dan 170 cm?
d) Hoeveel procent van de jongens meet 190 cm of meer?
lengte (cm) ni cni
9 Aan de klanten van een broodjeszaak is gevraagd hoelang ze moesten aanschuiven vooraleer ze hun bestelling kregen.
wachttijden in de broodjeszaak
relatief aantal wachtenden
a) Vervolledig de frequentietabel.
wachttijd (min) ni
[0, 1[ 7,35 %
[1, 2[ 11,76 %
[2, 3[ 25,00 %
[3, 4[ 22,06 %
[4, 5[ 14,71 %
[5, 6[ 8,82 %
[6, 7[ 5,88 %
[7, 8[ 4,41 % 68 100,00 %
b)Hoeveel klanten moesten minder dan 2 minuten wachten?
c)Hoeveel klanten hebben tussen 2 en 4 minuten gewacht?
d)Hoeveel procent van de klanten heeft minstens 5 minuten gewacht?
e)Een op de vier klanten wachtte tussen en minuten.
10 In een postkantoor houdt men de wachttijden aan het loket bij. Het diagram geeft een overzicht van die wachttijden (in min).
wachttijden aan het loket cumulatief
a)Hoe noem je deze grafische voorstelling?
b)Hoeveel procent van de mensen moet minder dan vijf minuten wachten aan het loket?
c)Hoeveel procent van de mensen moet acht minuten of meer wachten aan het loket?
d) Voor hoeveel procent van de mensen bedraagt de wachttijd drie tot zes minuten?
11 Aan alle leerlingen van het vierde jaar van een school werd gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen.
afstand tot
afstand (km)
a) Hoeveel leerlingen zitten er in die school in het vierde jaar?
b) Hoeveel leerlingen wonen op 10 km of minder van school?
c) Hoeveel leerlingen wonen op 12 km of verder van school?
d) Hoeveel leerlingen wonen op een afstand van 6 tot 10 km van school?
e) Hoeveel procent van de leerlingen woont op minder dan 4 km van school?
f) De veertig leerlingen van het vierde jaar die het dichtst bij school wonen, wordt gevraagd deel te nemen aan een enquête. In die enquête vraagt men ook hoe ver de leerlingen van school wonen. Tot welke klasse behoort dan de leerling die het verst van school woont?
12 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden.
[150,
[300, 350[ 6
a) Vervolledig de frequentietabel.
b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?
c) Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
d) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.
e) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers?
f) Hoeveel procent van de dagen telde de website minder dan 100 bezoekers?
g) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld?
13 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd (in jaren) gevraagd. 17253444423818164155573838181942 24214548654138181927241762434639 54414462241932243735415452403422 38242228294551403330212061324466
a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd mi ni
[10, 20[
b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?
c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?
d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?
e) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig.
Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.
f)Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
g)Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.
h)Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? Rond af op 0,1 %.
i) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
j) Hoeveel procent van de filmbezoekers is jonger dan 22 jaar?
k) Hoe oud zijn de 25 % oudste filmbezoekers?
14 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 1219412096100978869855310711293 9911190981047296648010785107101 9980110768872107647543856991 11388107938072915375 97917553 1118699809688916469
a)Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10.
b)Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130?
c)Hoeveel leerlingen slaagden?
d) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.
e) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
f) Hoeveel procent van de leerlingen behaalde minder dan 75?
15 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald.
a)Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15.
b) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder dan 90 g?
c) Hoeveel aardappelen wegen 120 g of meer?
d) Teken met ICT een histogram voor de absolute frequentie.
e) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.
f) Teken met ICT het ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
g) Hoeveel aardappelen wegen minder dan 100 g?
16 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend.
a)Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid (km/h) mi ni
b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd?
c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h?
d) Hoeveel procent reed minder dan 50 km/h?
e) Hoeveel auto’s reden 30 tot 45 km/h?
f) Teken met ICT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.
g) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
h) Hoeveel procent van de auto’s reed minder dan 62 km/h?
Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk Instituut voor Volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt. Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %.
17 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.
Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.
a)Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20.
schermtijd (min)
b)Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?
c)Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?
d)Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig?
e)Teken met ICT:
• een histogram voor de relatieve frequentie;
• een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie.
f) Teken met ICT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.
g) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.
h) Wat is de schermtijd van de 20 % leerlingen die het langst met hun toestel bezig zijn?
6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens
6.3.1
Het gemiddelde
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311 1225421365311021218 614174819121724919 2312179321330131556 720338441124148231237 11133326819391781821 1029182252811218296
Bereken het gemiddelde met ICT:
Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden.
Formule
frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni ni mi
[0, 5[2,51537,5
[5, 10[7,518135
[10, 15[12,516200
[15, 20[17,510175
[20, 25[22,58180
[25, 30[27,56165
[30, 35[32,54130
[35, 40[37,54150
[40, 45[42,5285
831 257,5
Wat stel je vast als je de gemiddelden vergelijkt?
klasse mi ni ni mi
[0, 10[533
[10, 20[1526
[20, 30[2514
[30, 40[358
[40, 50[452
6.3.2 De mediaan
Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met ICT:
De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel.
Je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.
Die klasse noem je de mediaanklasse
frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni cni cfi
[0, 5[2,5151518,07 %
[5, 10[7,5183339,76 %
[10, 15[12,5164959,04 %
[15, 20[17,5105971,08 %
[20, 25[22,586780,72 %
[25, 30[27,567387,95 %
[30, 35[32,547792,77 %
[35, 40[37,548197,59 %
[40, 45[42,5283100,00 %
klasse mi ni cni cfi
[0, 10[533
[10, 20[1526
[20, 30[2514
[30, 40[358
[40, 50[452
De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse.
Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid als de klassenbreedte groter wordt.
De mediaan uit het ogief benaderen
Je kunt de mediaan ook schatten via het ogief, door gebruik te maken van de 50%-rechte.
%
%
%
%
%
%
%
Lineaire benadering van de mediaan
klasse cni cfi bovengrens
[5, 10[3339,76 %10
[10, 15[4959,04 %15
33 gegevens zijn kleiner dan 10 en 49 gegevens zijn kleiner dan 15. De mediaan is het getal met rangorde 84 2 = 42 en ligt dus tussen 10 en 15.
Om de mediaan te bepalen, gebruik je lineaire interpolatie:
6.3.3 De modale klasse
Definitie Modale klasse
De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.
Voorbeeld
Bepaal de modale klasse bij de afstand van huis naar school:
Oefeningen
REEKS A
18 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefening 15).
141110799899139116129949897116
a)Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen?
b) Je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig.
c) Vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten?
19 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend (zie oefening 16). De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h.
a)Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is?
Bereken die centrummaat.
b)Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed?
ICT
20 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden.
De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel.
budget (euro) ni
[0, 100[ 15
[100, 200[73
[200, 300[38
[300, 400[26
[400, 500[19
[500, 600[14
[600, 700[8
[700, 800[4
[800, 900[2
[900, 1 000[1
a) Bereken het gemiddelde.
b) Geef de betekenis van het gemiddelde.
c) Bepaal de mediaan.
d) Geef de betekenis van de mediaan.
e) Welke bedragen worden het meest besteed?
21 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023.
leeftijd (jaren) ni
[0, 10[ 1 240 172
[10, 20[1 358 845
[20, 30[1 404 025
[30, 40[1 533 931
[40, 50[1 510 095
[50, 60[1 583 282
[60, 70[1 413 090
[70, 80[1 012 409
[80, 90[512 632
[90, 100[126 343
[100, 110[2 733
a) Vul de frequentietabel aan met ICT.
b)Bereken de gemiddelde leeftijd in België.
c)Bepaal de mediaan.
d)Geef de betekenis van de mediaan.
e)Wat is de modale klasse?
f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse?
ICT
22 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefening 17 en beantwoord de volgende vragen.
a)Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar).
b)De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.
c)Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?
d)Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?
De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager. Een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. Een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.
23 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben. Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers.
diameter (mm) ni
[20,0; 20,1[ 9
[20,1; 20,2[13
[20,2; 20,3[17
[20,3; 20,4[26
[20,4; 20,5[34
[20,5; 20,6[23
[20,6; 20,7[16
[20,7; 20,8[12
[20,8; 20,9[9
[20,9; 21,0[1
a) Vul de frequentietabel aan met ICT.
b)Is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?
c)Bepaal de modale klasse en geef de betekenis.
d)Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
6.4.1 Inleiding
temperatuurverschil 2020 en 1981-2010
Bron: climate.copernicus.eu, 2020
Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºC toegenomen.
Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen.
De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot.
Haar man is 14 cm kleiner.
overgewicht volwassenen
verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht
De helft van de Nederlanders heeft een BMI die groter is dan 25 en is dus, volgens de norm, te zwaar.
Bron: Statbel, 2021
Het gemiddelde netto maandelijkse inkomen in Vlaanderen in 2020 bedroeg 1 903 euro.
Katten worden gemiddeld 14 jaar.
Een kwart wordt echter niet ouder dan 9 jaar en een kwart wordt zelfs ouder dan 17 jaar.
gemeenten met duurste bouwgrond
1Antwerpen 479 euro/m2
2Leuven 417 euro/m2
3Koksijde 373 euro/m2
4Gent 342 euro/m2
5Asse 334 euro/m2
6Grimbergen 332 euro/m2
7Ranst 325 euro/m2
8Bornem 309 euro/m2
9Middelkerke 303 euro/m2
10Knokke-Heist302 euro/m2
11Opwijk 302 euro/m2
Bron: Trends, 2020
De gemiddelde prijs voor bouwgrond in Vlaanderen is 263,70 euro per m2
De mediaanprijs is 224 euro per m2
De bovenstaande voorbeelden tonen dat de centrummaten geen totaalbeeld geven.
Er moeten ook getallen bepaald worden die de spreiding weergeven ten opzichte van die centrummaten.
6.4.2 De variatiebreedte
Voorbeeld 1
De leerlingen van twee klassen van het vierde jaar hebben het voorbije weekend auto’s gewassen voor het goede doel.
Per gewassen auto kregen ze 10 euro.
De opbrengst voor beide klassen zie je in de tabel.
KLAS A
opbrengst (euro)
aantal leerlingen
opbrengst (euro)
102030405060708090100
KLAS B
102030405060708090100
aantal leerlingen 13133
De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde.
Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel?
Definitie Variatiebreedte
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
In het voorbeeld is
• de variatiebreedte voor klas A:
• de variatiebreedte voor klas B:
Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn.
Een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is. Een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties.
Voorbeeld 2
De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapport klas A
Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt.
6.4.3 Kwartielen
Aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. Je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50%
Definitie Kwartielen
Van een geordende rij met n gegevens is:
het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25%-grens);
het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50%-grens);
het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75%-grens).
25 % van de gezinnen heeft hoogstens 2 smartphones. 75 % van de gezinnen heeft minstens 2 smartphones.
50 % van de gezinnen heeft hoogstens 4 smartphones. 50 % van de gezinnen heeft minstens 4 smartphones.
75 % van de gezinnen heeft hoogstens 5 smartphones. 25 % van de gezinnen heeft minstens 5 smartphones.
Kwartielen uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen
Je bepaalt de 25%-grens, de 50%-grens en de 75%-grens. xi 012345678 ni 112323111 cni 1247912131415 cfi 6,67 %13,33 %26,67 %46,67 %60,00 %80,00 %86,67 %93,33 %100 %
Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. Je spreekt dan van decielen en percentielen
Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311
Bereken de kwartielen met ICT: Q1 = Me = Q3 = Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel.
Kwartielen met Excel
Kwartielen met GeoGebra
De kwartielen bepalen uit de frequentietabel
Je gebruikt de Excelfunctie ‘KWARTIEL(matrix;kwartiel)’ of ‘KWARTIEL.INC(matrix;kwartiel)’.
Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je het eerste of derde kwartiel wilt berekenen. Druk op enter.
Stel dat de tabel ruwe gegevens niet beschikbaar is, maar enkel een frequentietabel.
klasse mi ni cni cfi
[0, 5[2,5151518,07 %
[5, 10[7,5183339,76 %
[10, 15[12,5164959,04 %
[15, 20[17,5105971,08 %
[20, 25[22,586780,72 %
[25, 30[27,567387,95 %
[30, 35[32,547792,77 %
[35, 40[37,548197,59 %
[40, 45[42,5283100,00 %
• Het eerste kwartiel Q 1 ligt in de klasse waarin de 25%-grens ligt.
Je neemt het midden van die klasse als benadering voor het eerste kwartiel.
Q 1 ≈
• De mediaan heb je bepaald in 6.3.2.
Me ≈ 12,5
• Het derde kwartiel Q 3 ligt in de klasse waarin de 75%-grens ligt.
Het midden van die klasse is een benadering voor het derde kwartiel.
Q 3 ≈
Ook hier is het duidelijk dat een grotere klassenbreedte een verlies aan nauwkeurigheid met zich mee kan brengen.
Kwartielen uit het ogief benaderen
Analoog aan de mediaan kun je de klasse bepalen waarin het eerste en derde kwartiel liggen, en daarvan het midden gebruiken om de kwartielen te benaderen. Door gebruik te maken van het ogief, kun je nauwkeuriger werken.
6.4.4 De interkwartielafstand
Definitie Interkwartielafstand
De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.
• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 6.4.3): IQR =
• De afstand van thuis naar school (zie 6.4.3): IQR =
Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.
Je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.
De boxplot
De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting
De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:
• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;
• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;
• vanaf de box getekende lijnen (de whiskers) naar het minimum en het maximum.
Een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten.
Opmerking
Je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen.
Voorbeeld 1
Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in Vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. Niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag.
Bespreking:
• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.
• Je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.
Voorbeeld 2
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 6.3.1). Teken de boxplot met ICT en beantwoord de vragen.
• Schat het gemiddelde en controleer.
• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 6.3.1).
• Verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.
• Zet alle gegevens in één kolom.
• Selecteer de gegevens.
• Invoegen: Box en Whisker.
• Voeg ‘Gegevenslabels’ toe.
• Pas de lay-out aan naar eigen voorkeur.
Boxplot met Excel
6.4.6 Uitschieters
De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent.
Rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters.
Van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 454744454943465645434448
Bereken het gemiddelde en de mediaan: x ≈ Me = Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt.
Verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x ≈
Een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het IQR-criterium.
Het IQR-criterium voor uitschieters
Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.
Toon aan dat het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is.
Voorbeeld
Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 6.3.1) tijd
De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de Amerikaanse statisticus John Tukey.
In het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel.
De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes.
REEKS A
24 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken.
a)Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.
b)Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.
c)Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis.
d)Teken met ICT de boxplot en bespreek.
25 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 15 en 18).
27 Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op.
a)Bepaal de mediaan en geef de betekenis.
b)Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.
c)In de VS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. Is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?
28 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie 6.1.4).
xi ni
a)Wat is de variatiebreedte?
b)Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.
c)Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen?
d)Teken met ICT de boxplot en bespreek.
29 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken (zie oefening 5).
xi ni
a)Zijn er uitschieters bij de gegevens?
b)Me = 3 < x = 3,3 Verklaar.
30 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget (in euro) ze elke maand aan kleding besteden (zie oefening 20).
budget ni a) Vul in (maak gebruik van de klassenmiddens van de kwartielklassen).
[0, 100[15
[100, 200[73
[200, 300[38
[300, 400[26
[400, 500[19
[500, 600[14
[600, 700[8
[700, 800[4
[800, 900[2
[900, 1 000[1
• Een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.
• Een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.
b)Welke voorstelling zou je gebruiken om te verduidelijken
waarom het gemiddelde groter is dan de mediaan?
c)Teken die voorstelling met ICT en bespreek.
31 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023 (zie oefening 21). leeftijd (jaren) ni a)Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.
[0, 10[1 240 172
[10, 20[1 358 845
[20, 30[1 404 025
[30, 40[1 533 931
[40, 50[1 510 095
[50, 60[1 583 282
[60, 70[1 413 090
[70, 80[1 012 409
[80, 90[512 632
[90, 100[126 343
[100, 110[2 733
b)Rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen?
32 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.
Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 17 en 22 en beantwoord de vragen.
a)Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.
b)Een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone.
c)Een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.
d)Teken de boxplot met ICT en bespreek.
Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.
• Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.
• Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.
33 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen?
janee
a) De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. Van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd.
b) Men meet de temperatuur (in ºC) in de 55 klaslokalen van een school. In lokaal A104 wordt een temperatuur van 85 ºC gemeten.
c) Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten.
d) Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen.
6.4.7 Variantie en standaardafwijking
In een klas werd een toets gehouden. De resultaten zie je in de frequentietabel. Je kunt voor elk resultaat kijken hoe ver het zich van het gemiddelde bevindt.
Voor elke x i verkrijg je zo de afwijking ten opzichte van het gemiddelde: xi − x
Het gemiddelde van die afwijkingen is nul omdat de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zowel positief als negatief zijn. De positieve en negatieve afwijkingen neutraliseren elkaar.
Daarom kwadrateer je die afwijkingen en bereken je de gemiddelde kwadratische afwijking:
n i (x i – x )2 i = 1 k n
Je noemt die gemiddelde kwadratische afwijking ook de variantie, genoteerd s 2
De afwijkingen t.o.v. het gemiddelde worden zo groter gemaakt dan ze in werkelijkheid zijn.
Een ander probleem is dat het resultaat niet meer dezelfde eenheid heeft als de waarnemingsgetallen zelf.
Een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als de waarnemingsgetallen is de positieve vierkantswortel uit de variantie. Dat getal noem je de standaardafwijking.
De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie.
Opmerkingen
• Je rondt de standaardafwijking af op twee cijfers meer dan de gegevens.
• De enige betekenis die je voorlopig kunt geven aan de standaardafwijking, is dat het een soort ‘gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde’ weergeeft.
De standaardafwijking uit een tabel met ruwe gegevens berekenen
Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 37365101222415311
x ≈ 14,7 (zie 6.3.1) Bereken de standaardafwijking met ICT: s ≈
Standaardafwijking met Excel
Standaardafwijking met GeoGebra
Je gebruikt de Excelfunctie ‘STDEVP’. Selecteer de cellen waarin de gegevens staan waarvan je de standaardafwijking wilt berekenen. Druk op enter en rond af op twee cijfers meer dan de gegevens.
De standaardafwijking uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen
Je gebruikt de formule s
[0, 5[2,515
[5, 10[7,518
[10, 15[12,516
[15, 20[17,510
[20, 25[22,58
[25, 30[27,56
[30, 35[32,54
[35, 40[37,54
[40, 45[42,52
Voorbeeld 1
Op een toets wiskunde behaalden de elf leerlingen van de klas de volgende punten op 20: 79101212131414161719 x ≈ s ≈
Voor een toets Frans op vijftig waren de punten als volgt: 3739404242434444464749 x ≈ s ≈
De standaardafwijking is voor beide gegevensrijen hetzelfde. Toch is het duidelijk dat de relatieve spreiding ten opzichte van het gemiddelde in de tweede rij kleiner is dan in de eerste.
Je maakt de spreiding relatief door de standaardafwijking te delen door het gemiddelde.
Definitie Variatiecoëfficiënt
De variatiecoëfficiënt V = s x
De variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve spreiding van de waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. Je drukt V meestal uit in procent.
Bereken de variatiecoëfficiënt in de bovenstaande voorbeelden.
V1 = V2 =
Gebruik van de variatiecoëfficiënt
• De variatiecoëfficiënt is vooral nuttig om het variëren van gegevensrijen te vergelijken waarbij verschillende eenheden zijn gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan centimeter en inch.
• Bij wetenschappelijk onderzoek wordt het resultaat van een studie betrouwbaar genoemd als V < 5 % en altijd verworpen als V > 30 %.
• Bij machines die nauwkeurig werk moeten verrichten, wordt een variatiecoëfficiënt van maximaal 5 % toegestaan.
Voorbeeld 2
In een onderzoek naar de invloed van de luchtweerstand op de snelheid waarmee een voorwerp valt, laat men 30 keer een bal van op een hoogte van 5 m vallen. Je ziet de tijd (in s) die nodig is om de grond te bereiken. Levert het experiment betrouwbare informatie op?
1,121,151,031,181,091,111,151,051,111,16
1,021,091,131,151,111,061,101,071,121,13
1,081,161,121,141,051,101,111,081,141,15
6.4.9 De standaardscore
Voorbeeld
De gemiddelde schoenmaat van vrouwen in België is 39,0. De standaardafwijking is 1,62.
In de Verenigde Staten gebruiken ze andere maten. Daar is de gemiddelde schoenmaat bij vrouwen 6,78 met een standaardafwijking 0,873.
De Belgische Kristina heeft maat 41. Haar Amerikaanse vriendin Jennifer heeft maat 7,5. Wie heeft relatief gezien de grootste maat?
Om die vraag te beantwoorden, moet je de gegevens onafhankelijk maken van de meeteenheid. Dat doe je door de standaardscore of z-score te berekenen.
Definitie Standaardscore
De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal z i = x i – x s
De standaardscore drukt het verschil uit van een waarnemingsgetal ten opzichte van het gemiddelde in verhouding tot de standaardafwijking.
Beantwoord nu de vraag wie relatief de grootste schoenmaat heeft.
zK = zJ =
Gebruik van de standaardscore
standaardscore betekenis
z < –2
Meer dan 2 keer de standaardafwijking onder het gemiddelde: uitzonderlijk laag.
–2 < z < –1Laag.
–1 < z < 1
Minder dan 1 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde: behorend tot de standaardgroep x – s, x + s []
1 < z < 2Hoog.
z > 2
Meer dan 2 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde: uitzonderlijk hoog.
REEKS A
34 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36383941384241434141384038 40413637393840383639403742
a)Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking.
b)Yassin heeft maat 44. Bereken de standaardscore.
c)Geef de betekenis van die standaardscore.
35 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa (in g) bepaald (zie oefeningen 15, 18 en 25). 73100131959995112101124114118108 5612582931431001137286128118102 941061329211111769108104111100102 968977108144117931071054614165 100106818113899569477105117133 98101125133103137711199277102105 10912831961001171195310713078107 141110799899139116129949897116
a)Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking:
b)Hoe uitzonderlijk is een aardappel met een massa die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde?
36 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten (zie oefening 28).
xi ni
a) Vul de frequentietabel aan.
b)Het gemiddelde aantal fouten is 3,4. Bereken de standaardafwijking.
c)Heeft iemand met zeven fouten een uitzonderlijk slecht dictee gemaakt?
37 Bepaalde doosjes met punaises zouden volgens het etiket 120 punaises bevatten. De fabrikant doet een steekproef bij 95 willekeurige doosjes punaises.
Het resultaat zie je in de frequentietabel.
xi ni
a) Vul de frequentietabel aan.
b)Is de vulmachine goed afgesteld?
c)Werkt de machine voldoende nauwkeurig?
38 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2023 (zie oefeningen 21 en 31).
klasse mi ni
[0, 10[51 240 172
[10, 20[151 358 845
[20, 30[251 404 025
[30, 40[351 533 931
[40, 50[451 510 095
[50, 60[551 583 282
[60, 70[651 413 090
[70, 80[751 012 409
[80, 90[85512 632
[90, 100[95126 343
[100, 110[1052 733 11 697 557
a) Vul de frequentietabel aan.
b)De gemiddelde Belg is 42,2 jaar. Bereken de standaardafwijking.
c)Hoe oud moet je zijn om uitzonderlijk oud te zijn?
d)Zara heeft een standaardscore van 1,85. Bereken haar leeftijd.
39 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 17, 22 en 32 en beantwoord de vragen.
a)Bereken de standaardafwijking.
b)Bereken de variatiecoëfficiënt en geef de betekenis.
c) Je bent dagelijks gemiddeld drie uur met je smartphone bezig. Bereken je standaardscore en geef de betekenis.
40 Een fabrikant maakt conservenblikken met gepelde tomaten. Op het etiket staat dat de inhoud 1 l is. Van een aantal blikken werd de inhoud (in ml) nagegaan.
inhoud (ml) mi ni fi cni cfi
[970, 980[ 46
[980, 990[ 97
[990, 1 000[ 127
[1 000, 1 010[ 98
[1 010, 1 020[ 63
[1 020, 1 030[ 19
[1 030, 1 040[ 10
a) Vul de frequentietabel aan.
b) Teken met ICT het ogief.
c) Bepaal de mediaan via het ogief en geef de betekenis.
d) Bepaal het eerste en het derde kwartaal via het ogief en geef de betekenis.
e) Zijn er uitschieters bij de gegevens?
f)Staat de vulmachine goed ingesteld?
g) Voorspel, zonder de boxplot te tekenen, waar de mediaan zal liggen in de box.
h)Werkt de vulmachine voldoende nauwkeurig?
i)Een blik tomaten heeft een standaardscore van –0,8. Bereken de inhoud.
6.5 Symmetrische en scheve verdelingen
6.5.1 Symmetrische verdelingen
Voorbeeld 1
Veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen.
De Nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen.
Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling.
Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt.
Een aantal jaar geleden werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit.
matig tot zwaar intensief bewegen bij adolescenten
De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde.
Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse.
De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk.
Je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling.
Besluit
Voorbeeld 2
Je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen. 2345678 9101112
60 worpen met twee dobbelstenen
Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten.
x ≈ 7,2Me = 7Mo = 6
Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert.
som van de ogen
Met ICT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd.
Je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien.
6 000 worpen met twee dobbelstenen
Je gebruikt de Excelfunctie ‘ASELECTTUSSEN’. Als laagste getal geef je 1 in en als hoogste getal 6. Je kan daarna zowel naar rechts als naar onder doorvoeren, tot je 6 000 cellen hebt.
Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie.
Je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk
som van de ogen
Vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is.
Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Omgekeerd is dat niet altijd het geval. Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.
EXCEL
6.5.2 Rechtsscheve verdelingen
België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen.
Een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan.
Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld.
Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw.
Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen.
Vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten:
x ≈ 38,8 Me = 37
De modale klasse is [25, 35[.
De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar rechts’.
Een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef
Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse.
Opmerking
Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x
6.5.3
Linksscheve verdelingen
De frequentiepolygoon toont de geboortemassa (in g) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald Vlaams ziekenhuis zijn geboren.
van 467 baby 's
Besluit
massa (g)
Vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten:
x ≈ 3 272,5 Me = 3 330
De modale klasse is [3 500, 4 000[.
De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. Er is dus een ‘staart naar links’.
Een dergelijke verdeling noem je linksscheef.
Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse.
Opmerkingen
• Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo.
• Een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren.
REEKS A
41 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. Is de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)?
a) x = 1 683Me = 1 630Mo klasse = [1 500, 1 600[
b) x = 54,3Me = 54,5Mo = 54
c) x = 1,7Me = 2Mo = 1
d) x = 39,3Me = 38,5Mo klasse = [36, 38[
e) x = 78,1Me = 78Mo klasse = [75, 80[
42 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L) en een rechtsscheve verdeling (R).
a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in Vlaanderen.
b)De duur (in weken) van een zwangerschap.
c)Het intelligentiequotiënt (IQ) van 12-jarigen.
d)De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders.
e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal.
f)De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft.
g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld.
43 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten (zie oefening 2).
aantal dagen in de week zonder vlees of vis relatief aantal gezinnen
a)Met welk soort verdeling heb je hier te maken?
aantal dagen
b)Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1.
44 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners van vier verschillende appartementsblokken weergeeft. Welk soort verdeling hoort bij elk van die boxplots?
figuur A:
figuur B:
figuur C: figuur D:
45 Van 90 kippeneieren wordt de massa (in g) bepaald. Toon aan dat aan de nodige voorwaarde voor een symmetrische verdeling is voldaan.
massa (g) ni
[45, 50[2
[50, 55[12
[55, 60[22
[60, 65[33
[65, 70[9
[70, 75[7
[75, 80[5
REEKS C
Tot in de 19e eeuw werden huizen verlicht met kaarsen, olielampen of petroleumlampen.
In 1854 bedacht de Duitser Heinrich Göbel de gloeilamp, waar Thomas Edison 25 jaar later een verbeterde versie van op de markt bracht.
Het grote nadeel van de gloeilamp is dat die snel stukgaat en veel energie verbruikt.
Een volgende stap kwam er in de jaren tachtig van de vorige eeuw, met de spaarlamp
Die verbruikt minder energie, maar er is veel tijd nodig om ze op volle sterkte te laten schijnen.
Daarna volgde de halogeenlamp.
Die lamp levert sterk licht, maar is minder energiezuinig dan de spaarlamp.
Tot slot werd de ledlamp (light emitting diode) ontwikkeld.
Die is heel energiezuinig, overal bruikbaar en milieuvriendelijk.
46 Bij een onderzoek naar de levensduur van ledverlichting werd bij 80 ledlampen nagegaan hoelang (in h) ze ononderbroken kunnen blijven branden.
Het resultaat van het onderzoek zie je in de frequentietabel.
Toon aan dat aan de nodige voorwaarde voor een symmetrische verdeling is voldaan.
levensduur (h) ni
[20 000, 24 000[5
[24 000, 28 000[7
[28 000, 32 000[9
[32 000, 36 000[12
[36 000, 40 000[14
[40 000, 44 000[12
[44 000, 48 000[7
[48 000, 52 000[8
[52 000, 56 000[6
6.6 Tweedimensionale statistiek
6.6.1 Spreidingsdiagram en trendlijn
Inleiding
Af en toe online gamen verbetert de schoolresultaten van vijftienjarigen.
Maar activiteiten op sociale media hebben een averechts effect.
Regelmatige lichaamsbeweging bevordert het geheugen.
De toename van de gemiddelde temperatuur kan alleen verklaard worden door de menselijke invloed in rekening te brengen.
Tot nu toe heb je in dit hoofdstuk enkel met één statistische veranderlijke gewerkt.
In dat geval spreek je van eendimensionale of univariate statistiek.
In de tweedimensionale of bivariate statistiek behandel je de mogelijke samenhang tussen twee veranderlijken. De ene veranderlijke kan de andere beïnvloeden, en omgekeerd. Ook de sterkte van het verband is belangrijk.
Om een benaderende formule te vinden voor het verband tussen de twee gemeten veranderlijken, gebruik je regressie. Je maakte daar al kennis mee in de hoofdstukken over eerstegraadsfuncties en functies van de vorm f (x ) = c x
Rechter muisklik op één van de punten –trendlijn toevoegen.
Voorbeeld 1
Aan 17 vrouwen werd de lengte en de schoenmaat gevraagd. Gebruik lineaire regressie om het verband te bepalen tussen de schoenmaat y en de lengte x (in cm). x (cm)176155163153169173152161165163171158168167160165171
verband tussen lichaamslengte en schoenmaat bij 17 vrouwen
• De vergelijking van de trendlijn is
• Schat de schoenmaat van een vrouw van 175 cm.
• Schat de lengte van een vrouw met schoenmaat 42. Rond af op 1 cm.
(cm)
Voorbeeld 2
Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het Instituut voor Mobiliteit van de universiteit Hasselt, even groot voor mannen als voor vrouwen.
De kans op een ongeval met doden of gewonden is wel afhankelijk van het geslacht.
De tabel toont de kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval bij mannen.
Bepaal, via machtsregressie, het omgekeerd evenredig verband tussen de kans (in procent) en de leeftijd (in jaren).
leeftijd mi kans (%)
[15, 25[201,9
[25, 35[301,1
[35, 45[400,82
[45, 55[500,68
[55, 65[600,52
[65, 75[700,51
kans op een ziekenhuisopname bij een verkeersongeval bij mannen
leeftijd (jaren)
Als x de leeftijd (in jaren) is en y de kans (in procent) op een ziekenhuisopname bij een ongeval, dan geldt: y ≈
6.6.2 Lineaire regressie
Covariantie
Een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.
Als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een toenemende waarde van y hoort, dan spreek je van een positieve covariantie
Als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een afnemende waarde van y hoort, dan spreek je van een negatieve covariantie
Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.
Het verband tussen y en x noem je sterk als de punten, over het algemeen, vrij dicht bij de regressierechte liggen. Als de punten vrij ver van de regressierechte verwijderd liggen, spreek je van een zwak verband.
De wiskundige methode om bij een dataset de best passende regressielijn te bepalen, is afkomstig van Carl Friedrich Gauss. In 1801 stelde hij voor om de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen ten opzichte van de trendlijn (de zogenaamde ‘residuen’) te minimaliseren. y voorspelde waarde residu waargenomen waarde x Die methode (‘de kleinste-kwadratenmethode’) stelde astronomen in staat om heel nauwkeurig de baan van hemellichamen te bepalen.
6.6.3 De correlatiecoëfficiënt bij lineaire regressie
Als je in het woordenboek de betekenis van het woord ‘correlatie’ opzoekt, dan vind je als uitleg: ‘de manier waarop iets samenhangt met iets anders’.
In de statistiek gebruikt men de correlatiecoëfficiënt r om de sterkte van die samenhang te bepalen. Er zijn meerdere definities van dat begrip, maar de meest gebruikte is de correlatiecoëfficiënt van Pearson (een Engelse statisticus die leefde van 1857 tot 1936).
De correlatiecoëfficiënt berekenen met ICT
Bereken de correlatiecoëfficiënt bij het verband tussen de schoenmaat en de lichaamslengte van zeventien vrouwen (voorbeeld 1 uit 6.6.1).
Correlatiecoëfficiënt met Excel
Open het bestand ‘lengte en schoenmaat.xlsx’. Om de correlatiecoëfficiënt te berekenen, gebruik je de functie ‘CORRELATIE(matrix1;matrix2)’.
Betekenis van de correlatiecoëfficiënt
De correlatiecoëfficiënt is een getal tussen –1 en 1. Als r > 0, dan is er een positief verband. Als r < 0, dan is er een negatief verband.
geen enkel verband sterk positief verband
zeer zwak positief verband zeer sterk negatief verband
47 Een kleine steekproef die zocht naar het verband tussen de lichaamslengte y (in cm) van een volwassen zoon en de lichaamslengte x (in cm) van zijn vader, leverde de volgende data op.
x (cm)176170167186178175183169172175188175180
y (cm)182177173184178179181176175180186174183
a)Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x.
b)Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.
c)Schat de lengte van een zoon waarvan de vader 175 cm is. Rond af op 1 cm.
d) Vergelijk die geschatte waarde met de gemeten waarde(n).
e)Schat de lengte van een vader van wie de zoon 190 cm groot is. Rond af op 1 cm.
f)Waarom is dat resultaat verrassend?
g)De vader van Ilan is 5 cm groter dan de vader van Millau. Schat hoeveel groter Ilan zal worden dan Millau. Rond af op 0,1 cm.
48 Hoe hoger de temperatuur, hoe meer dorst je hebt.
In de tabel zie je de gemiddelde dagtemperatuur x (in ºC) en het aantal liter water y dat in een warenhuis op die dag werd verkocht.
x (ºC)121415171820212325272830
y (l)6517137478058298919249801 0361 1021 1361 198
a)Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x
b)Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.
c)Schat de verkochte hoeveelheid water als het 32 ºC is. Rond af op 1 l.
d)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband.
e)Geef de betekenis van het snijpunt met de y-as van de grafiek van het lineaire verband.
f)Op een kille dag heeft het warenhuis maar 500 l water verkocht. Hoeveel graden was het die dag? Rond af op 0,1 ºC.
g)Bij welke gemiddelde dagtemperatuur verkoopt het warenhuis minstens 1 000 l water?
49 Op een toets moesten de leerlingen invullen hoeveel minuten ze hadden gestudeerd voor de toets. Ze moesten ook een score van 1 (heel eenvoudig) tot 5 (heel moeilijk) geven over de moeilijkheidsgraad van de toets. In de tabel is x het aantal minuten studie, y de moeilijkheidsgraad en z de punten op 20 voor de toets.
x (min)309020110407050605080100606070503090
y (op 5)51515334421332442
z (op 20)817618915149121619121315111016
a)Bepaal via lineaire regressie het verband tussen
b)Noa heeft drie kwartier gestudeerd voor de toets. Schat hoeveel punten ze zal behalen.
c)Lars gaf een score 2 voor de moeilijkheidsgraad van de toets. Schat hoeveel minuten hij heeft gestudeerd. Rond af op 1 min.
d)Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband tussen z en y
e)Tussen welke veranderlijken is het verband het sterkst?
STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek
6.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens
Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:
De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met ICT en vanuit een gegeven frequentietabel.
De centrummaten interpreteren in een context.
6.2 Gegroepeerde numerieke gegevens
KENNEN
Een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens.
Een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven.
Een frequentiepolygoon is een gebroken lijn die de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt en die aansluit op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).
Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.
Een ogief is een gebroken lijn die de roosterpunten (a1, 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.
KUNNEN
Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.
6.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens
≈ n i m i i = 1 k n , met k het aantal verschillende klassen en n i i = 1 k = n
De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50%-grens) is gelegen.
De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.
KUNNEN
Het gemiddelde berekenen met ICT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
De mediaan berekenen met ICT en benaderen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
De mediaan benaderen via het ogief.
De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel.
De centrummaten interpreteren in een context.
6.4
Spreidingsmaten
KENNEN
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
Van een geordende rij met n gegevens is:
het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25%-grens);
het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50%-grens);
het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75%-grens).
Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan.
De interkwartielafstand IQR is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel.
De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:
• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;
• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;
• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum.
Een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.
De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie.
s = n i (x i – x )2 i = 1 k n of s ≈ n i (m i –i = 1 k n x )2
De variatiecoëfficiënt V = s x
De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal
zi = x i – x s
KUNNEN
De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met ICT en benaderen vanuit een frequentietabel en interpreteren in een context.
De kwartielen benaderen via het ogief.
Een boxplot met ICT tekenen en interpreteren.
Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.
De standaardafwijking berekenen met ICT en vanuit een frequentietabel.
De variatiecoëfficiënt berekenen en interpreteren in functie van de variabiliteit van de gegevens.
De standaardscore berekenen en interpreteren.
6.5 Symmetrische en scheve verdelingen
KENNEN
Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Omgekeerd is dat niet altijd het geval.
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.
Als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x).
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse.
Als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo).
Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal onder de modale klasse.
Bepalen of een verdeling symmetrisch, rechtsscheef of linksscheef is.
6.6 Tweedimensionale statistiek
Een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y).
Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.
Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.
De correlatiecoëfficiënt geeft de sterkte weer van het verband dat bij een lineaire regressie hoort.
Regressie gebruiken om bij een puntenwolk de best passende (lineaire) trendlijn te bepalen.
De correlatiecoëfficiënt met ICT berekenen en daarmee de sterkte van een lineair verband weergeven.
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
1.Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 10 5010 ? A) 1B) 2C) 4 D) 5E) 9
JWO, editie 2021, eerste ronde
3.Sep vertrekt met de fiets naar school.
Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter.
Als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is.
Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis.
Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur.
Hoeveel loopt de thuisklok achter?
❑ logisch nadenken
2.In een rechthoek met breedte 2 cm teken je een (rood) lijnstuk van 2,5 cm en een (groen) lijnstuk van 2,9 cm. Bereken de aangeduide afstand x
HOOFDSTUK 7 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2
7.4 Functies van de vorm
f (x) = a (x – p) 2 + q
7.5 Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen
7.8 De vergelijking van een parabool
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1 Voorbeeld
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.
De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Vul de tabel aan.
aantal tickets0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro)
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
7.1.2
Eerstegraadsfuncties
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5. 1–1–2 23456 x y
Wat is de toename van de functiewaarde,
als het argument met één eenheid toeneemt?
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax. De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Oefeningen
REEKS A
1 Teken de grafiek.
a) f (x) = 2x
g (x) = –x – 3
2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.
a) f (x) = 2x + 3 f (–1) = b) f (x) = –3x – 2 f (2) = c) f (x) = –1 2 x + 1 f (–2) = d) f (x) = –4x – 9 f (0) = e) f (x) = 5– 3 2 x f (–4) =
3 Ligt het punt A op de grafiek van f ?
a) f (x) = –6x – 10 A (–3, 8)
f (x) = –2x + 5 A (7, –2)
c) f (x) = 1 2 x –3 2 A (–5, –4)
h (x) = 0,5x + 1
4 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a) x 0123 f (x)471013
functievoorschrift:
c) x –3–2–10 f (x)–1–3–5–7
functievoorschrift:
b) x 0246 f (x)051015 d) x –3–113 f (x)–1–3–5–7
functievoorschrift:
5 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a)
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
7.2.1
Doorsnede van een rivierbedding
De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool.
GEOGEBRA
Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kunnen ze schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier.
Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven door het verband d (x) = 1 8 x 2 – 2x
7.2.2
Hoe breed is de rivier?
Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst?
Wat is die diepte?
Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever?
Baan van een projectiel
h t
Een steen wordt van een gebouw geworpen onder een hoek van 30º met een snelheid van 16 m/s.
Hij volgt een baan in de vorm van een parabool.
De hoogte h (in m) van de steen in functie van de tijd t (in s) wordt dan gegeven door het functievoorschrift h (t) = –5t 2 + 8t + 5.
• Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de worp?
• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?
• Na hoeveel seconden belandt de steen op de grond? Bepaal op 0,01 s nauwkeurig.
In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van het functievoorschrift telkens 2. Het zijn voorbeelden van tweedegraadsfuncties
7.2.3 Algemeen
Definitie Tweedegraadsfunctie
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeelden
Zet een vinkje bij de voorschriften of vergelijkingen die bij een tweedegraadsfunctie horen.
= 4x 2 – 3
7.2.4 Parabolen in het dagelijks leven
Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.
De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in één punt weerkaatst worden.
De beroemde Spaanse architect Gaudí gebruikte paraboolvormige gewelven.
Elke waterstraal volgt een parabolische baan.
Om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, vliegt het toestel in een paraboolbaan.
7.3.1 De functie f (x) = x 2
Vul de tabel aan. Teken de grafiek. x f (x)
GEOGEBRA
• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een dalparabool
• De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat
De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking
• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas.
In dit geval is de coördinaat van de top
• De functie is dalend in en stijgend in
In de top bereikt de functie een minimum
• dom f = ber f = nulwaarde:
• tekenschema: verloop:
f (x)
Algemeen De grafiek van de functie f (x) = x 2 is een parabool met:
• holle zijde naar boven (dalparabool);
• symmetrieas: de y-as (x = 0);
• top: het punt (0, 0).
7.3.2 Het zuiver kwadratisch verband
Voorbeeld
Je vergroot de straal van een cirkel telkens met 1 cm.
Bereken de bijbehorende oppervlakte A = p r 2. Rond af op 0,01.
(cm 2)
Als de straal twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte
Als de straal drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte
Uit de formule van de oppervlakte van de cirkel volgt dat: A r 2 =
Je zegt dat het verband tussen de grootheden A en r zuiver kwadratisch is.
Definitie Zuiver kwadratisch verband
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
y x 2 = a ⇒ y = a x 2 (met a ∈ r0).Je noemt a de evenredigheidsconstante.
Formule Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a ? x 2 (met a ∈ r0).
Grafiek van een zuiver kwadratisch verband
Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm2) weergeeft in functie van de straal r (in cm).
De grafiek is
Besluit
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
GEOGEBRA
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) = 1 2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?
Om de grafiek van de functie g(
) = 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = x 2 vermenigvuldigen met 2.
Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2.
Om de grafiek van de functie h
) = 1 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = x 2 vermenigvuldigen met 1 2 .
Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2.
• holle zijde naar (parabool)
• symmetrieas:
• top:
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?
g(x) = –x 2 –16–9–4–10–1–4–9–16
h(x) = –2 x 2 –32–18–8–20–2–8–18–32
Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = x 2 vermenigvuldigen met –1.
De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as
Om de grafiek van de functie h(x) = –2 ? x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = x 2
vermenigvuldigen met –2
De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens:
• gespiegeld ten opzichte van de x-as;
• verticaal uitgerekt met factor 2
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r 0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaaluitterekken of samentedrukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2 .
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, 0).
7.3.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax 2
Voorbeeld
Teken de grafiek van de functie g (x) = 1 4 x 2
a)door de tabel met functiewaarden aan te vullen.
xg (x)
b)met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2
• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x))
• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a
Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a f (x))
Bij het tekenen van de grafiek van g (x) = 1 4 x 2
vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor .
REEKS A
6 Welke tabellen stellen een zuiver kwadratisch verband voor?
Geef een korte verklaring.
a) x 1234 y 2401208060 d) x 5678 y 15182124
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
b) x 1234 y 281832 e) x 5101520 y 120604030 zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
c) x 3456 y 3664100144 f) x 57911 y 12,524,540,560,5
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
7 Welke grafieken stellen een zuiver kwadratisch verband voor?
Geef een korte verklaring.
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
8 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2 .
–6–5–4–3–2–1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x y
9 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –4x 2 . x f (x)
10 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’.
a)De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort.
b)De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort.
c)De opening van de parabool die bij f (x) = 2 3 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort.
d)De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort.
yx
x y
11 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift. a)
12 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Schets de grafiek van g
a) g (x) = 3x 2
c) g (x) = 1 4 x 2 verticale
b) g (x) = –2,5x 2
d) g (x) = –1 5 x 2
verticale met factor verticale met factor
13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a ∈ r0), als
a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) =
b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) =
c) het punt A (–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) =
d) het punt A 1 3 , –1 tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) =
14 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v)= 3 200 v 2 , waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).
a)Vul de tabel aan.
b)Teken de grafiek.
c)Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de norm.
d)Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de functie s (v) = 7 500 ? v 2
Bereken de remweg van die fiets als je weet dat, in identieke omstandigheden en bij een gelijke snelheid, de remweg van de eerste fiets 10 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.
15 Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen. De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar. De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw.
Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.
a)Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O bij het midden van de kabel.
b)Bepaal het functievoorschrift van de kabel.
c)Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.
d)Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.
Algemeen
Hoe ontstaan de grafieken van
uit de grafiek van f (x) = x 2?
De grafiek van h (x) = (x + 1) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar links te verschuiven over een afstand 1.
• p =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van g (x) = (x – 2) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar rechts te verschuiven over een afstand 2.
• p =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van de functie g (x) = (x – p) 2 ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 horizontaal te verschuiven over een afstand | p |.
• Voor p > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven.
• Voor p < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.
De vergelijking van de symmetrieas is x = p De coördinaat van de top is (p, 0).
Grafiek van de functie f (x) = x 2 + q
Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = x 2 + 1 en h (x) = x 2 – 4 uit de grafiek van f (x) = x 2?
De grafiek van h (x) = x 2 – 4 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 4.
• q =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van g (x) = x 2 + 1 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar boven te verschuiven over een afstand 1.
• q =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Algemeen De grafiek van de functie g (x) = x 2 + q ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal te verschuiven over een afstand | q |.
• Voor q > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven.
• Voor q < 0 wordt de grafiek van f naar beneden verschoven.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, q).
7.4.3 Grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q
Voorbeeld 1
Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?
= (x + 2) 2
De grafiek met vergelijking y = 1 2 ? (x + 2) 2 – 2 is een parabool met
• holle zijde naar ( parabool)
• opening die van y = x 2
• symmetrieas:
• top:
Voorbeeld 2
Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?
= (x – 2)
= –(x – 2)
De grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 is een parabool met • holle zijde naar ( parabool)
• opening die van y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• verticale uitrekking (| a | > 1) of samendrukking (| a | < 1)
• spiegeling ten opzichte van de x-as als a < 0
horizontale verschuiving over | p |
• naar rechts als p > 0
• naar links als p < 0
f (x) = x 2
• | a | is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte.
• a > 0: dalparabool
(holle zijde naar boven)
• a < 0: bergparabool
(holle zijde naar beneden)
f (x) = a x 2
• symmetrieas: de rechte met vergelijking x = p
• co(top) = (p, 0) f (x) = a ? (
verticale verschuiving over | q |
• naar boven als q > 0
• naar beneden als q < 0
• co(top) = (p, q) f (x) = a ? (x – p) 2 + q
Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q
De grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:
• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p
• De top heeft als coördinaat (p, q).
7.4.4 Gemeenschappelijke punten met de assen
Gemeenschappelijke punten met de x-as
De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q vind je door de vergelijking a ? (x – p) 2 + q = 0 op te lossen.
Voorbeeld 1
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift
f (x) = –2 (x + 4) 2
De functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2 heeft één nulwaarde: –4.
Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x + 4) 2 één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0).
De parabool raakt de x-as in (–4, 0).
Voorbeeld 2
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift
f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12.
De functie met voorschrift f (x) = 3 ? (x + 5) 2 + 12 heeft geen nulwaarden. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12 geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.
( x + 5)2 +
Besluit
Voorbeeld 3
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8.
De functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8 heeft twee nulwaarden: –1 en 3. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8 twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0).
De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0).
Gemeenschappelijk punt met de y-as
Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q bepaal je door x gelijk te stellen aan 0.
Voorbeeld
Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8.
De parabool snijdt de y-as in (0, 6).
Een parabool heeft altijd juist één snijpunt met de y-as.
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x – p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.
7.4.5 Modeloefeningen
Modeloefening 1
Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = 1 3 (x – 4) 2 aan of schrap wat niet correct is.
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
Modeloefening 2
Teken de grafiek van de functie f (x) = –1 2 (x + 3) 2 + 9 2
• vorm van de parabool:
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
• grafiek:
Oefeningen
REEKS A
16 Plaats elke parabool bij de juiste vergelijking en vul aan of schrap.
y = –2x 2 + 8 is grafiek y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 is grafiek
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:
• gemeenschappelijk punt met
• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:
y = (x + 1) 2 is grafiek y = –(x – 2) 2 – 3 is grafiek
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:
• gemeenschappelijk punt met
• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:
17 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. Controleer met ICT.
y = –1 2 (x + 1) 2 c) y = (x + 1) 2 + 1 f) y = 2 ? (x + 1) 2 – 4
19 Noteer het voorschrift van de tweedegraadsfunctie g, waarvan de grafiek ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = x 2 :
a)te spiegelen ten opzichte van de x-as.
b)3 eenheden te verschuiven naar rechts.
c)verticaal uit te rekken met factor 5 en 2 eenheden te verschuiven naar boven.
d)achtereenvolgens verticaal uit te rekken met factor 2, te spiegelen ten opzichte van de x-as en 3 eenheden te verschuiven naar links.
e)verticaal samen te drukken met factor 3, vervolgens 5 eenheden te verschuiven naar rechts en tot slot 2 eenheden te verschuiven naar beneden.
f)4 eenheden te verschuiven naar rechts en te spiegelen ten opzichte van de x-as.
g)1 eenheid te verschuiven naar boven en te spiegelen ten opzichte van de x-as.
h)verticaal samen te drukken met factor 5, vervolgens 2 eenheden te verschuiven naar links, daarna 3 eenheden te verschuiven naar beneden en tot slot te spiegelen ten opzichte van de x-as.
20 Hoe kan de grafiek van g verkregen worden uit de grafiek van f met voorschrift f (x) = x 2?
a) g (x) = –2 (x + 6) 2
b) g (x) = 3x 2 + 4
21 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = –2x 2
b) f (x) = (x – 1) 2
c) f (x) = –1 5 x 2 + 5
d) f (x) = –(x + 7) 2 + 1 4
Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = 3 ? (x + 4) 2 + 2
b) f (x) = –3 (x + 4) 2 + 12
c) f (x) = 3 4 ? (x – 5) 2 + 1 2
d) f (x) = –5 (x – 5) 2 + 20
23 Teken de grafiek van de functie f (x) = (x – 2) 2 – 4.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
Teken de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 3) 2 + 8.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
25 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 3 ? (x + 1) 2 + 4 3 .
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
26 Een golfer slaat tegen een golfbal. De hoogte h (in m) vandegolfbal kanbeschrevenworden doordefunctie
h (x) = –1 720 ? (x –120)2 + 20.
Daarbij is x de horizontale afstand (in m).
a)Na hoeveel meter bereikt de golfbal zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?
b)Op welke hoogte bevindt de bal zich als deze 150 m ver is?
c)Na hoeveel meter belandt de bal terug op de grond?
27 Voor filmopnamen wordt een pop van op de top van de Taipei101 naarbenedengegooid. De hoogte h (in m) van de pop wordt gegeven door de functie h (t) = 509–5t 2
Daarbij is t de tijd (in s).
a)Hoe hoog is het gebouw?
b)Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?
c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond? Rond af op 0,01 s.
28 De Golden Gate Bridge is een hangbrug die San Francisco methetnoordenverbindt.
De kabels die tussen twee van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking y = 0,00039 ? (x –640)2 + 2.
Daarbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek (beide in m).
a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?
b)Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?
c)Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek?
Hoe hoog hangen ze op dat punt?
29 Een schip vuurt een kanonskogel af richting een vijandelijk schip.
De hoogte h (in m) van de kanonskogel kan beschreven worden door de functie h (t) = –5 (t –7 2 ) 2 + 76.
Daarbij is t de tijd (in s) na het afvuren van de kogel.
a)Vul de tabel aan.
t (s) 01234567 h (m)
b) Wanneer bereikt de kanonskogel zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt diehoogte?
c) Na hoeveel seconden bereikt de kanonskogel zijn doel, als je weet dat de kanonskogel hetvijandelijkschip raakt opeenhoogtevan12m? Rondafop0,01s.
7.5.1 Inleiding
Voorbeeld
f (x) = 2x 2 + x – 1
GEOGEBRA
Je zet het functievoorschrift in de vorm f (x) = a (x – p) 2 + q
f (x) = 2x 2 + x – 1
factor 2 afzonderen
f (x) = 2 x 2 + 1 2 x –1 2 dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met 1 4 2
f (x) = 2 x 2 + 2 1 4 x + 1 4 2 –1 4 2 –1 2 als een kwadraat van een tweeterm schrijven
f (x) = 2 x + 1 4 2 –1 16 –1 2
f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 16 distributiviteit
f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 8
Vaststellingen
• vorm van de parabool:
❒ dalparabool ❒ bredere opening dan f (x) = x 2
❒ bergparabool ❒ smallere opening dan f (x) = x 2 ❒ zelfde opening als f (x) = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
GEOGEBRA
Grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c
Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f (x) = a ? (x – p) 2 + q
f (x ) = ax 2 + bx + c
f (x ) = a x
f (x ) = a
f (x ) = a x +
dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met a afzonderen b
als een kwadraat van een tweeterm schrijven
kwadraat van een quotiënt
breuken gelijknamig maken
distributiviteit
vereenvoudigen b 2 − 4ac = D
Dit voorschrift is van de vorm
Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0)
• a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2a
• De top heeft als coördinaat –b 2a ,–D 4a
De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f –b 2a te berekenen.
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).
Opmerking
Als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van die nulwaarden. Dat betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0.
7.5.3 Overzicht van de verschillende gevallen
• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2a en x
De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x1, 0) en B(x2, 0).
• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a
De grafiek raakt de x-as in het punt A(x1, 0).
• D < 0: f heeft geen nulwaarden.
De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.
De parameters p en q bepalen door het functievoorschrift uit te werken
7.5.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax² + bx + c
Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 2x – 3.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
• methode 1: D = = –D 4a = co(top) =
• methode 2: f ( ) = co(top) =
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten: top
REEKS A
30 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen.
a) y = x 2 – 6x + 2
c) y = 2x 2 – 8x + 7
vorm: vorm:
opening:
opening:
symmetrieas: symmetrieas:
top: top: top: top:
b) y = –x 2 + 2x – 5
vorm:
d) y = –1 2 x 2 + 3x
vorm:
opening: opening:
symmetrieas: symmetrieas:
top: top: top: top:
31 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = x 2 – 5x
c) f (x) = –1 3 x 2 + 2x
b) f (x) = –x 2 + 5x – 10
d) f (x) = 3x 2 + x – 4
32 Teken de grafiek van de functie f (x) = –x 2 + 6x + 7.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
33 Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 + 2x + 1.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
g)grafiek:
34 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 2 x 2 + 4x – 1.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
g)grafiek:
35 Bepaal de symmetrieas en de top van de parabolen.
36 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = –12x 2 – 20x + 25 c) f (x) = 1 2 x 2 – x –3 2
b) f (x) = 3x 2 + 6x + 2 d) f (x) = 1 25 x 2 –6 5 x + 9
37 Plaats de juiste parabool bij elke vergelijking.
a) y = x 2 + 3x + 4
b) y = x 2 + 3x + 2
c) y = 1 2 x 2 + 3x + 4
d) y = 1 2 x 2 + 3x
e) y = –x 2 + 4x
f) y = –x 2 + 4x – 4
REEKS C
38 Welke van de vijf parabolen is de grafiek van een kwadratische functie f (x) = ax 2 + bx + c, waarbij alle drie de getallen a, b en c strikt positief zijn?
7.5.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT
Het zuiver kwadratisch verband
De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.
Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten: v (m/s)0 10 20304050
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk
De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband.
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a)Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).
b)Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt?
c)Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.
Het kwadratisch verband
Elk half uur wordt de concentratie (in mg/l) gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel.
tijd t (h)00,511,522,5
concentratie C (mg/l)0691061118425
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.
Je ziet dat de concentratie eerst stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.
De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top niet samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen C en t noem je een kwadratisch verband
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a)Bepaal via regressie het verband tussen de concentratie C (in mg/l) en de tijd t (in h).
b) Wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min?
c)Na hoeveel minuten is de concentratie het hoogst? Rond af op 1 min. Bepaal die maximale concentratie. Rond af op 0,01 mg/l.
Oefeningen
REEKS A
39 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. 201720182019202020212022
aantal jaren x na opstart012345 winst w (euro) 01 3305 32011 97021 28033 250 a)Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.
b)Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?
Een bewegend voertuig, zoals een fiets, auto of vliegtuig, ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig.
Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.
Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.
Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven. Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.
40 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht F w (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s). De resultaten vind je in de tabel.
(m/s) F
a)Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen F W (in N) en de snelheid v (in m/s).
b)Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.
1 m/s komt overeen met 3,6 km/h.
Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6. Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.
1 m/s = 1 m 1 s = 1 1 000 km 1 3 600 h = 1 1 000 3 600 1 km/h = 3 600 1
Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten.
Een halfpipe is een halfcilindervormige baan.
Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (het ijzeren gedeelte bovenaan de rand) verticaal omhooggaat.
41 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp.
s (m)1,21,62,02,42,83,2
h (m)0,180,320,500,720,981,28
a)Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.
b)Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.
c)Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.
42 De tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x ⩾ 18).
a)Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen het aantal verkeersongevallen n en de leeftijd van de betrokkene x
b)Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
7.6.1 Verloop van een tweedegraadsfunctie
Stel: f is een tweedegraadsfunctie.
De grafiek is een dalparabool. De grafiek is een bergparabool.
• Als x < xT , daalt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).
• Als x > xT , stijgt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).
• De functie f bereikt een minimale waarde als x = xT . Die waarde is yT
• Als x < xT , stijgt de functie.
• Als x > xT , daalt de functie.
• De functie f bereikt een maximale waarde als x = xT . Die waarde is yT
Het domein van een tweedegraadsfunctie is altijd r
Om het bereik van een tweedegraadsfunctie te bepalen, kun je het verloopschema gebruiken:
Als a > 0 geldt:ber f = [yT ,+∞[
Als a < 0 geldt:ber f = ]–∞,yT]
Voorbeelden
Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.
a) f (x) = –x 2 + 2
c) f (x) = 1 2 x 2 – 4x + 2
x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
b) f (x) = –3x 2 + x
d) f (x) = 5 4 (x + 3) 2 + 5
x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
7.6.2 Toepassing: extremumvraagstukken
Modeloefening 1 y x
GEOGEBRA x f
Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is. Daarvoor gebruikt de firma de formule y = 2 45 x 2 –4 3 x, waarbij x de afstand (in cm) is tot de linkerboord en y de diepte (in cm) op x cm van de linkerboord. Je verwaarloost de dikte van de schaal.
Bepaal de maximale diepte van de schaal.
Antwoord:
Modeloefening 2
Dieter en Bart beslissen een terras aan hun pas gekochte woning te laten aanleggen. Ze twijfelen echter nog over de afmetingen.
Daarom geven ze een tuinarchitect de opdracht om met 32 m boordstenen een zo groot mogelijk rechthoekig terras te ontwerpen.
Bepaal de lengte en de breedte, als je weet dat de oppervlakte van het terras maximaal moet zijn.
Stel: de breedte van het terras is x; de lengte is dan x
Antwoord:
Modeloefening 3
Anoosh en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer. De bal van Anoosh volgt een parabolische baan met vergelijking h = –5t 2 + 9t + 5.
De vergelijking van de baan van de bal van Michael is h = –5t 2 + 7t + 6.
Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s) vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten.
a)Vanop welke hoogte worden beide ballen gegooid?
Antwoord:
b) Welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat? t h t h
Antwoord:
Oefeningen
REEKS A
43 Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.
a) f (x) = –2x 2 + 6
d) f (x) = 3 ? (x + 5) 2 – 4
x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
b) f (x) = x 2 + 6x
e) f (x) = –x 2 + 7x – 2 x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
c) f (x) = 1 2 x 2 – x + 3 f) f (x) = 3 2 x –1 3 2 x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
44 De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig. De diepte van de rivier kan worden benaderd met de formule y = x 2 – 6x. Daarbij is y de diepte (in m) en x de afstand tot de linkeroever (in m).
a)Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?
b) Hoe breed is de rivier?
45 De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met vergelijking y = –1 32 x 2 + 1 2 x. Daarbij is x de horizontale afstand (in hm) en y de hoogte (in hm).
a)Hoe hoog is de heuvel?
b)Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.
46 Het aantal T-shirts q van een bepaald merk dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 – 2p. Daarbij is p de prijs per stuk (in euro).
a)Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?
b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs.
O(p) = p ? q = =
c) Welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen?
Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?
47 Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld.
Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dat wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel.
De bal volgt een parabolische baan met vergelijking y = –1 12 x 2 + x + 1.
Daarbij is y de hoogte van de bal (in m) op x meter van het vertrekpunt.
a)Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?
b)Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in het doel terechtkomen, als de keeper er niet bij kan?
c) Wat is de maximale hoogte van de bal?
48 Bepaal twee reële getallen waarvan de som 22 is, zodat hun product zo groot mogelijk is.
49 Bepaal twee reële getallen waarvan het verschil 6 is, zodat hun product zo klein mogelijk is.
50 Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m.
Bepaal de lengte en de breedte zodat de oppervlakte maximaal is. Bereken die oppervlakte.
51 In een vierkant met zijde 10 cm wordt op elke zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.
Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is.
Bepaal die oppervlakte.
52 Amir heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een konijnenhok maken in de vorm van een rechthoek.
Hij heeft het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.
Bepaal de totale lengte en breedte van het stuk dat hij kan afbakenen, als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk wil.
7.6.3 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie
Stel: f is een tweedegraadsfunctie.
Dan: f (x) > 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt.
f (x) < 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt.
f (x) = 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as.
• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2a en x2 = –b + D 2
f (x )tekenvan a 0tegengesteldtekenvan a 0tekenvan a
• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a
f (x )tekenvan a 0tekenvan a
• D < 0: f heeft geen nulwaarden.
Voorbeeld 1
f (x) = –3x 2 + x + 2 x f (x) –4–3–2–1 O 4 3
x y f
Voorbeeld 2
f (x) = 2x 2 + 3x + 2
)
Voorbeeld 3 f (x) = –25x 2 + 30x – 9 x f (x)
x y f
REEKS A
53 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.
a) f (x) = 2x 2 – 7x – 30
x f (x)
b) f (x) = 16x 2 – 24x + 9
x f (x)
c)
f (x) = –6x 2 + 11x + 7
x f (x)
d) f (x) = –3x 2 + 2x – 1
x f (x)
a) f (x) = –4x 2 – 16x – 16 x f (x)
b) f (x) = 8x 2 – 8x + 1 x f (x)
c) f (x) = 3x 2 + 9x + 7
x f (x)
d) f (x) = –15x 2 – 10x + 30
x f (x)
55 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.
a) f (x) = (x – 1) 2 – 9 x f (x)
b) f (x) = –(x + 2) 2 – 6 x f (x)
c) f (x) = 1 3 x 2 + x + 2 3 x f (x)
d) f (x) = –1 12 x 2 + 4x + 2 x f (x)
a) f (x) = –1 4 x 2 x f (x)
b) f (x) = 1 9 x 2 –2 3 x + 1
x f (x)
c) f (x) = 9 4 x 2 –13 8 x + 3 2
x f (x)
d) f (x) = –2 3 (x + 3) 2 + 2 x f (x)
7.7.1 Een tweedegraadsvergelijking oplossen
Definitie Tweedegraadsvergelijking
Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeeld 1
–2x 2 + 3x + 2 = 0
GEOGEBRA
In deze paragraaf onderzoek je hoe je die oplossing grafisch kunt aflezen.
• Het linkerlid van de vergelijking –2x 2 + 3x + 2 = 0 bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
• Je tekent de grafiek van f :
• De x-waarden waarvoor f (x) = 0, zijn van de functie f In dit geval zijn dat en
• De oplossingsverzameling is V =
GEOGEBRA
Voorbeeld 2
3x 2 – x – 2 = –x + 1
methode 1
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = 3x 2 – x – 2 en
het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –x + 1.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) = g (x).
De oplossingsverzameling is
V =
methode 2
Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 = –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 = 0
⇔ 3x 2 – 3 = 0
Stel: h (x) = 3x 2 – 3
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) = 0.
De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h
De oplossingsverzameling is
V =
Voorbeeld 3
x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5
methode 1
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –2x 2 + x + 5.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) = g (x).
De oplossingsverzameling is V =
methode 2
Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.
x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5
⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 = 0
⇔ 3x 2 + 3x – 6 = 0
Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) = 0.
De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h
De oplossingsverzameling is V =
7.7.2 Een tweedegraadsongelijkheid oplossen
Definitie Tweedegraadsongelijkheid
Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm
ax 2 + bx + c ⩽ 0;
ax 2 + bx + c < 0;
ax 2 + bx + c ⩾ 0;
ax 2 + bx + c > 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeeld 1
–2x 2 + 3x + 2 > 0
grafische oplossing
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
Je tekent de grafiek van f:
algebraïsche oplossing
Stel: f (x) = –2x 2 + 3x + 2
Je maakt een tekenschema van de functie
f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
De nulwaarden van f:
–2x 2 + 3x + 2 = 0
D = 3 2 – 4 ? (–2) ? 2 = 25
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van f boven de x-as ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) > 0.
De oplossingsverzameling is
V =
GEOGEBRA
Voorbeeld 2
3x 2 – x – 2 > –x + 1
Grafische oplossing:
methode 1
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = 3x 2 – x – 2 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –x + 1.
Je tekent de grafieken van f en g:
methode 2
Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 > –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0
⇔ 3x 2 – 3 > 0
Stel: h (x) = 3x 2 – 3
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) > g (x), dus voor welke
x-waarden de grafiek van f boven die van g ligt.
De oplossingsverzameling is
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h boven de x-as ligt.
V = De oplossingsverzameling is
V =
GEOGEBRA
Algebraïsche oplossing:
• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 > –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0
⇔ 3x 2 – 3 > 0
• Stel: h (x) = 3x 2 – 3
• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) = 3x 2 – 3.
De nulwaarden van h:
3x 2 – 3 = 0 beide leden delen door 3
x 2 – 1 = 0
x 2 = 1
x = –1of x = 1 x –∞–11+∞ h (x)+0–0+
• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) > 0.
De oplossingsverzameling is V =
Je kan de oplossing controleren met ICT:
Voorbeeld 3
x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5
Grafische oplossing: methode 1 methode 2
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –2x 2 + x + 5.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) ⩽ g (x), dus voor welke
x-waarden de grafiek van f onder of op die van g ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5
⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 ⩽ 0
⇔ 3x 2 + 3x – 6 ⩽ 0
Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) ⩽ 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h onder of op de x-as ligt.
De oplossingsverzameling is
GEOGEBRA
Algebraïsche oplossing:
• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
• Stel: h (x) =
• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) =
De nulwaarden van h:
• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) ⩽ 0.
58 Los de vergelijkingen grafisch op met behulp van ICT.
a)5x 2 – 8x = 0 V =
b)4 + 81x 2 = 0 V
x 2 – 3x =
+ 3x V
x 2 – 3x + 10 = x 2 + 10x – 2 V = c)–6x 2 + 12x + 10 = 3x – 5 V =
x 2 + x – 3 = x 2 + 5x + 2 V =
a) x 2 – 5x + 6 ⩽ 0 d) x 2 – 8x + 16 > 0
Stel: f (x) =
Stel: f (x) =
x 2 + 5x – 5 > 0
Stel: f (x) = Stel: f (x) =
= c) –2 (x + 4) 2 + 2 ⩽ 0
x 2 + 2x + 1 ⩽ 0
Stel: f (x) = Stel: f (x) =
60 Los de ongelijkheden algebraïsch op. Controleer met ICT.
a)–x 2 + 3x < 0
Stel: f (x) =
Nulwaarden van f:
d)3x 2 + 2x + 2 < 0
Stel: f (x) =
Nulwaarden van f:
Tekenschema:
f (x)
Tekenschema:
f (x) V = V =
b)2x 2 – x – 1 ⩽ 0
Stel: f (x) =
e)–3x 2 + 4x – 1 ⩽ 0
Stel: f (x) =
Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:
Tekenschema: x f (x)
Tekenschema:
f (x)
V = V =
c)–4x 2 + 4x – 1 ⩾ 0
Stel: f (x) =
f)9x 2 – 24x + 16 < 0
Stel: f (x) =
Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:
Tekenschema:
f (x)
Tekenschema:
f (x)
V = V =
61 Los de ongelijkheden grafisch op.
a) x 2 – 4 ⩽ –3x 2 + 12
Stel: f (x) =
c)–2x 2 + 8x ⩾ 3x + 2
Stel: f (x) =
g (x) = g (x) =
–6–5–4–3–2–1 O 123456
=
x –
Stel: f (x) =
Stel: f (x) = g (x) = g (x) =
V = V =
a)–5x 2 + 4x – 1 > –4x + 1
c) 3 2 x 2 – x + 1 2 > x 2
Tekenschema:
x h(x)
Tekenschema: x h(x)
V = V =
b) –2 (x + 5) 2 + 8 ⩾ –4x – 18
d) –5 4 x 2 + 3 8 x ⩽ 1
Tekenschema:
x h(x)
Tekenschema: x h(x)
V = V =
63 Een bal wordt schuin omhooggegooid.
De hoogte (in m) van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h (t) = –5t 2 + 9t + 1.
Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden?
Rond af op 0,01.
1 promille is 1 duizendste deel en betekent letterlijk: per duizend. Een promille wordt genoteerd als ‰. Daarbij komt 1 ‰ overeen met 0,1 %.
REEKS C
64 Het aantal promille n (x) geboortes bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n (x) = –0,478x 2 + 25,387x – 221,48.
a) Op welke leeftijd worden er relatief de meeste kinderen geboren? Hoeveel promille? Rond af op 0,01.
b)Tussen welke leeftijden worden er meer dan 75 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?
65 Een rechthoek heeft een omtrek van 50 m. Bereken de lengte en de breedte opdat de oppervlakte minstens 100 m2 is.
66 Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 2 cm langer is dan de andere rechthoekszijde en de schuine zijde minstens 10 cm is.
7.8 De vergelijking van een parabool opstellen
7.8.1 De top en een punt zijn gegeven
Voorbeeld 1
Van een parabool zijn de top T (–3, 2) en een punt A (3, 14) gekend. Bepaal de vergelijking van de parabool.
GEOGEBRA
Oplossing:
De parabool heeft als vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q
• co(T ) = (p, q) = (–3, 2) ⇒ p = –3 en q = 2.
• A(3, 14) behoort tot de parabool.
De vergelijking is dus: y = a (x + 3) 2 + 2.
De vergelijking van de parabool is dus: y = 1 3 (x + 3) 2 + 2.
Voorbeeld 2
De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg.
De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog.
a)Bepaal de vergelijking van de voorgevel.
b)Bereken de hoogte van de gevel op 10 m van de linkerkant van het gebouw. Rond af op 0,01 m.
c)Hoe breed is de gevel 5 m boven de grond? Rond af op 0,01 m.
Opmerking
Als de top T(xT ,yT) gegeven is en een punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan xT + 1 , dan kan je de parameter a in het functievoorschrift ook op een andere manier bepalen.
Voorbeeld 1 f (x) =
Vul de tabel aan. x 012 f (x)
Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.
De vergelijking van de parabool is De vergelijking van de parabool is
Werk de vergelijking uit die je verkrijgt met methode 1.
Je verkrijgt dezelfde vergelijking als met methode 2.
7.8.3 Drie punten zijn gegeven
Twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as zijn gegeven
Voorbeeld
Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–2, –9), B (1, 6) en C (0, 7) behoren.
Oplossing:
Omdat de coördinaat van het snijpunt met de y-as gegeven is, gebruik je de vergelijking y = ax 2 + bx + c
• C (0, 7) is het snijpunt met de y-as ⇒ c = 7
De vergelijking is dus y = ax 2 + bx + 7
• A(–2, –9) behoort tot de parabool:
a (–2)2 + b (–2) + 7 = –9
4a – 2b + 7 = –9
4a – 2b = –16
• B(1, 6) behoort tot de parabool:
a 12 + b 1 + 7 = 6
a + b + 7 = 6
a + b = –1
Om a en b te bepalen, los je het stelsel op:
4a – 2b = –16
a + b = –1
De vergelijking van de parabool is
Een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as zijn gegeven
Inleiding
• Teken met ICT de grafiek van de functie f (x) = –4x2 – 20x – 24.
• Lees de gemeenschappelijke punten af met de x-as: en
• Wat kan je hieruit besluiten?
• Teken met ICT de grafiek van de functie g(x) = –4 ? (x + 3) ? (x + 2).
• Wat valt je op?
• Werk verder uit:
g(x) = –4 ? (x + 3) ? (x + 2)
Algemeen
Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt:
f (x) = a (x – x1 ) (x – x2 )
distributiviteit
f (x) = a ? (x 2 – x ? x2 – x1 ? x + x1 ? x2 ) de factor x afzonderen
f (x) = a [x 2 – x (x2 + x1) + x1 x2 ]
f (x) = a ? (x 2 – S ? x + P)
f (x) = a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 x 2 + b a x + c a 2 x 2 + 1 2 x –1 2
f (x) = ax 2 + bx + c
S = x1 + x2 en P = x1 x2
S = –b a en P = c a
distributiviteit
Besluit Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt: f (x) = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ) = ax 2 + bx + c.
Voorbeeld
Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–5, 0), B (–1, 0) en C (3, 8) behoren.
Oplossing:
Omdat de coördinaten van de snijpunten met de x-as gegeven zijn, gebruik je de vergelijking y = a (x – x1 ) (x – x2 ).
• A (–5, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x1 = –5
• B (–1, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x2 = –1
De vergelijking is dus y = a (x + 5) (x + 1)
• C (3, 8) behoort tot de parabool:
De vergelijking van de parabool is
Opmerking
Als de snijpunten met de x-as gegeven zijn, kan je ook de vergelijking van de symmetrieas opstellen.
Je weet dat de symmetrieas van de parabool de middelloodlijn is van het lijnstuk [AB] met A (–5, 0) en B (–1, 0).
De vergelijking van de symmetrieas is dan x = –5 – 1 2 = –3.
Je gebruikt dan de werkwijze beschreven in paragraaf 7.8.2.
Drie willekeurige punten zijn gegeven
Voorbeeld 1
Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (3, 0), B (1, 6) en C (5, 2) bevat.
Oplossing:
Je kunt de punten voorstellen in een assenstelsel.
Met behulp van kwadratische regressie vind je de vergelijking van de parabool:
Voorbeeld 2
Een hangbrug over een rivier verbindt twee punten die op dezelfde hoogte liggen.
De hangbrug heeft bij benadering de vorm van een parabool.
Om de vergelijking van die parabool te bepalen, zijn enkele metingen gedaan.
Daarbij stelt x de afstand voor (in m) vanaf het begin van de brug en h de hoogte (in m) boven het water.
xh 23 32,75 52,55
a)Bepaal via kwadratische regressie de vergelijking van de parabool.
b)Bepaal met ICT op hoeveel meter boven het water het laagste punt van de brug zich bevindt.
c)Bepaal met ICT de lengte van de brug.
REEKS A
67 Bepaal de waarde van a in het functievoorschrift van de tweedegraadsfuncties.
68 Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten.
a)co(T) = (0, 0)co(A) = (1, 2)
e)co(T) = (–3, –8)co(A) = (3, 10)
b)co(T) = (0, 3) co(A) = (1, 2)
f)co(T) = (2, –5)co(A) = (0, 7)
c)co(T) = (–4, 0)co(A) = (–1, 9)
g)co(T) = (–3, 3) co(A) = (–6, 0)
d)co(T) = (2, 5) co(A) = (4, 1)
h)co(T) = (5, 18) co(A) = (7, 34)
70 Bepaal de vergelijking van de parabolen.
De vergelijking van de parabool is b)
De vergelijking van de parabool is
71 Bepaal de vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = 0 is en waartoe de punten A (–2, –7) en B (1, 2) behoren.
De vergelijking van de parabool is
72 Bepaal de vergelijking y = ax 2 + bx + c van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –3 is en waartoe de punten A (–6, –1) en B (3, 8) behoren.
De vergelijking van de parabool is
73 De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool. De rivier is 15 m breed en heeft een maximale diepte van 8 m.
a)Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte (beide in m).
b)Hoe diep is de rivier op 1 m van de linkeroever? Rond af op 0,01 m.
74 Nouri trapt een bal vanop de grond weg. De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.
a)Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Nouri en y de hoogte (beide in m).
b)Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 10 m van Nouri? Rond af op 0,01 m.
75 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de punten A (–2, 25) en B (0, 1) bevat en die dezelfde symmetrieas heeft als de parabool k2 met vergelijking y = x 2 – x + 4.
De vergelijking van de parabool is
76 Bepaal de vergelijking van de parabool die de x-as raakt in het punt A (–1, 0) en het punt B (2, 2) bevat.
De vergelijking van de parabool is
77 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de x-as snijdt in de punten A (–7, 0) en B (2, 0) en waarvan de top dezelfde y-coördinaat heeft als de top van de parabool k2 met vergelijking y = –x 2 + 6x – 2.
De vergelijking van de parabool is
Na 1 s heeft het een hoogte van 35 m en na 8 s belandt het opnieuw op de grond.
78 Een projectiel wordt vanop de grond afgeschoten. x h
a)Bepaal de vergelijking van de baan, waarbij x de tijd (in s) voorstelt en h de hoogte (in m).
De vergelijking van de parabool is
b)Bepaal het hoogste punt dat het projectiel bereikt.
x h
79 Bepaal met ICT de vergelijking van de paraboolvormige constructie, als je weet dat die 12 m breed is en op 2 m van de rechterkant 10 m hoog.
80 Aziza, Nore en Tuur spelen met een springtouw op de speelplaats. Op de tekening staat Aziza links van Tuur. De aangrijpingspunten (plaats waar Aziza en Tuur het touw vasthouden) bevinden zich 2,5 m van elkaar. Ze houden het springtouw allebei vast op 0,70 m hoogte. Nore springt in het midden tussen hen in het touw. Als het touw onder Nore doorgaat, moet ze minstens 12 cm hoog springen om het touw niet te raken. Bepaal met ICT een vergelijking van de parabool die de vorm van het touw op dat moment benadert. Maak telkens een schets.
Situatie 1: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Aziza.
Situatie 2: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Nore.
STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties
7.1 Eerstegraadsfuncties
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen:
• uit een tabel met functiewaarden;
• uit een grafiek.
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
KUNNEN
Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.
7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.
De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, 0).
KUNNEN
Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.
De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.
Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder ICT.
Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:
• het functievoorschrift;
• de coördinaat van de top;
• de vergelijking van de symmetrieas;
• het domein en het bereik;
• de eventuele nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop;
• symmetrie.
7.4 Functies
grafiek van de functie
is een parabool met de volgende kenmerken:
• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p
• De top heeft als coördinaat (p, q).
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x − p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.
Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = a (x − p) 2 + q en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen.
De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q.
7.5 Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c
De grafiek van de functie
is een parabool met de volgende kenmerken:
• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x =
• De top heeft als coördinaat
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen.
De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).
van de vorm
De
KENNEN
KUNNEN
De vergelijking y = ax 2 + bx + c omzetten naar de vorm y = a (x − p) 2 + q
Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek schetsen.
De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie
met vergelijking y = ax 2 + bx + c en er de betekenis voor de grafiek van geven.
Het verband tussen twee numerieke grootheden onderzoeken met ICT en daarbij:
• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;
• een trendlijn met bijbehorend functievoorschrift bepalen en interpreteren.
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
KUNNEN
Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Het domein en bereik van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Extremumvraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsfuncties.
Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie opstellen.
7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen KENNEN
Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm
ax 2 + bx + c = 0 (met a
en b, c ∈ r).
Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm
KUNNEN
Vergelijkingen van de tweede graad grafisch oplossen.
Ongelijkheden van de tweede graad grafisch oplossen.
Ongelijkheden van de tweede graad algebraïsch oplossen met behulp van een tekenschema.
Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot ongelijkheden van de tweede graad.
7.8 De vergelijking van een parabool opstellen
KUNNEN
De vergelijking van een parabool opstellen als de top en één punt gegeven zijn.
De vergelijking van een parabool opstellen als de symmetrieas en twee verschillende punten gegeven zijn.
De vergelijking van een parabool opstellen als
• twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as gegeven zijn;
• een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as gegeven zijn;
• drie willekeurige punten gegeven zijn.
Vraagstukken oplossen waarbij de vergelijking van een parabool tot de oplossing leidt.
1.Welke uitspraak is correct?
A) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies drie punten gemeenschappelijk.
B) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vier punten gemeenschappelijk.
C) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vijf punten gemeenschappelijk.
D) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies zes punten gemeenschappelijk.
E) ❒ Alle voorgaande uitspraken zijn verkeerd.
JWO, editie 2015, eerste ronde
2.Zes tandwielen met assen A, B, C en D zijn met elkaar verbonden zoals op de afbeelding.
De drie grote tandwielen hebben omtrek 10 cm.
De drie kleine tandwielen hebben omtrek 5 cm.
Over hoeveel graden draait het tandwiel met as D, als het tandwiel met as A draait over 10º?
A) ❒ 10ºB) ❒ 20ºC) ❒ 30ºD) ❒ 40ºE) ❒ 80º
JWO, editie 2014, eerste ronde
3.Koning Liefbaard heeft vier dochters: Ariel, Belle, Tiana en Yasmine. Hun kamers hebben elk een andere kleur en bevinden zich boven elkaar in een toren.
• De paarse kamer ligt net onder de roze kamer en net boven de groene.
• Ariel slaapt niet in de bovenste of onderste kamer.
• Yasmine slaapt in de kamer net boven die van Tiana, maar moet minder hoog de trap op dan Belle.
• De gele kamer is niet de onderste.
Welke prinses slaapt in de roze kamer?
A) ❒ ArielB) ❒ BelleC) ❒ Tiana D) ❒ YasmineE) ❒ onmogelijk te bepalen
JWO, editie 2015, eerste ronde
HOOFDSTUK 8 I TELPROBLEMEN
8.1 Tellen met venndiagrammen
8.2 Tellen met boomdiagrammen
8.3 Tellen met wegendiagrammen
8.4 Tellen met roosterdiagrammen
Studiewijzer
8.1 Tellen met venndiagrammen
8.1.1 Verzamelingen voorstellen met venndiagrammen
Elementen van een verzameling
Gegeven is de verzameling A van de natuurlijke getallen 1 tot en met 10.
De verzameling A kan je weergeven door opsomming: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
De getallen 1 tot en met 10 zijn de elementen van A
Je noteert: 1 ∈ A, 2 ∈ A, …, 10 ∈ A
De getallen 0 en p zijn geen elementen van A
Je noteert: 0 ∉ A, p ∉ A
Het aantal elementen van A is 10.
Notatie: #A = 10.
Lees: het kardinaalgetal van A is 10.
Algemeen Je kan een verzameling op drie manieren weergeven: door omschrijving, door opsomming of met een venndiagram.
Deelverzameling van een verzameling
Stel: B = {4, 7, 10}
#B = 3
Alle getallen van B behoren ook tot A
Je zegt dat B een deelverzameling is van A
Notatie: B A
Algemeen
Doorsnede van twee verzamelingen
Stel: B is de verzameling van de even natuurlijke getallen tot en met 20.
De getallen 2, 4, 6, 8 en 10 behoren tot A en B
Ze behoren tot de doorsnede van A en B
Notatie: A B = {2, 4, 6, 8, 10} #(A B ) =
Definitie Doorsnede van twee verzamelingen
De doorsnede van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren.
Unie van twee verzamelingen
De getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren tot A of B.
Ze behoren tot de unie van A en B
Notatie: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20} #(A B) =
Definitie Unie van twee verzamelingen
De unie van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren.
Verschil van twee verzamelingen
De getallen 0, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren wel tot B, maar niet tot A.
Ze behoren tot het verschil van B en A
Notatie: B \ A = {0, 12, 14, 16, 18, 20} #(B \ A) = A \ B = #(A \ B) =
Definitie Verschil van twee verzamelingen
Het verschil van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
8.1.2 De som- en verschilregel
Voorbeeld 1
In het derde jaar van een school zitten 112 leerlingen, in het vierde jaar 96. Hoeveel leerlingen zitten er in die school in de tweede graad?
Stel: D is de verzameling van de derdejaars. V is de verzameling van de vierdejaars.
#D = #V =
Vul de aantallen verder aan in de venndiagrammen.
Het aantal leerlingen in de tweede graad is het aantal elementen van D V
⇒ #(D V) = #D + #V =
Er zijn geen leerlingen die zowel in het derde als het vierde jaar zitten
⇒ D V = ∅ (de lege verzameling)
Je noemt D en V disjuncte verzamelingen.
Voorbeeld 2
In het vierde jaar van een school zijn er 29 leerlingen die een sport beoefenen en 18 die een muziekinstrument bespelen.
10 leerlingen doen beide activiteiten.
a) Hoeveel leerlingen beoefenen een sport of bespelen een muziekinstrument?
Stel: S is de verzameling van de leerlingen die een sport beoefenen.
M is de verzameling van de leerlingen die een muziekinstrument bespelen.
SM Je noteert eerst de totalen bij de venndiagrammen.
#S = #M =
In de doorsnede van S en M zitten de leerlingen die zowel een sport beoefenen als eenmuziekinstrument bespelen:
#(S M) =
Dit aantal noteer je in de doorsnede van de venndiagrammen.
De leerlingen die een sport beoefenen of een muziekinstrument bespelen, behoren tot S M
Het aantal leerlingen dat beide activiteiten doet, mag je niet dubbel tellen.
⇒ #(S M) = #S + #M − #(S M) =
b)Hoeveel leerlingen beoefenen een sport en bespelen geen muziekinstrument?
#(S \ M) =
c)Hoeveel leerlingen bespelen een muziekinstrument, maar beoefenen geen sport?
#(M \ S) =
Voorbeeld 3
Gegeven zijn alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 30.
a)Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 2?
b)Hoeveel zijn er deelbaar door 5?
c)Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 5 maar niet door 2?
Stel: E is de verzameling van de even getallen van 1 tot en met 30. #E = V is de verzameling van de vijfvouden van 1 tot en met 30. #V =
E V bevat de getallen die deelbaar zijn door 2 en door 5, met andere woorden de getallen die deelbaar zijn door 10.
#(E V) = Vul de aantallen verder aan op de venndiagrammen.
De getallen die deelbaar zijn door 5, maar niet door 2 behoren tot de verzameling V \ E #(V \ E) =
Algemeen
Formules
Verschilregel
Voorbeeld 4
Uit een enquête bij een aantal fietsliefhebbers blijkt dat 58 % een e-bike bezit en 63 % een niet-elektrische fiets.
Stel: E is de verzameling van de bezitters van een e-bike. N is de verzameling van de bezitters van een niet-elektrische fiets.
#E = #N = #(E ∩ N) = #E + #N − #(E N) =
b)Hoeveel procent bezit enkel een e-bike? #(E \ N) =
De complementregel
Voorbeeld 1
Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 25 zijn geen priemgetal?
Stel: G is de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 25. #G = P is de verzameling van de priemgetallen kleiner dan 25. #P =
De getallen van 1 tot en met 25 die geen priemgetallen zijn, behoren tot de verzameling G \ P, waarbij P G
Deze verzameling noem je het complement van P ten opzichte van de verzameling G.
Notatie: P
Er geldt: #P = #G − #P =
Algemeen
A V, dan is #A = #V − #A
Voorbeeld 2
Een harmonieorkest bestaat uit 65 leden. Daarvan zijn er 16 die klarinet kunnen spelen en 11 die dwarsfluit kunnen spelen. 4 leden spelen zowel klarinet als dwarsfluit.
Hoeveel leden van het harmonieorkest spelen geen dwarsfluit en ook geen klarinet?
Gegeven: een verzameling V A V
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V
A bevat dus alle elementen van V die niet tot A behoren.
Stel: H is de verzameling van alle leden van de harmonie. K is de verzameling van de klarinetspelers. D is de verzameling van de dwarsfluitspelers.
#H = #K = #D =
#(K D) =
#(K D) =
#(K D) =
Formule
Als
Modeloefening
Amina gooit 50 keer een dobbelsteen op. Telkens als ze minstens 4 ogen of een even aantal ogen gooit, krijgt ze 1 punt. Per worp kan ze maximaal 1 punt krijgen. Ze gooit 23 keer minstens 4 ogen en 28 keer een even aantal ogen. In totaal heeft ze 35 punten.
Stel: W is de verzameling van de 50 worpen met een dobbelsteen.
M is de verzameling van de worpen die minstens 4 ogen opleveren.
E is de verzameling van de worpen die een even aantal ogen opleveren.
a)Vul de aantallen aan in de venndiagrammen.
b)Hoeveel keer gooide Amina
• 4 of 6 ogen?
• 5 ogen?
• 2 ogen?
• hoogstens 3 ogen?
c)Bij hoeveel worpen kreeg Amina geen punten?
Hoeveel gooide ze dan?
REEKS A
1 In een ballenbad zitten ballen van allerlei kleuren. Er zitten 430 gele ballen en 395 blauwe ballen in. Hoeveel ballen zijn geel of blauw?
2 Op 1 januari 2024 bestond de Belgische bevolking uit 22,4 % jongeren (mensen onder de 20 jaar). De actieve bevolking (mensen tussen de 20 en 65 jaar) was goed voor 58,4 % van de Belgische bevolking.
Hoeveel procent van de bevolking was hoogstens 65 jaar?
3 In een groep spreken alle mensen Frans of Engels. 21 mensen spreken Engels, 14 Frans en 8 mensen spreken beide talen. Hoeveel mensen spreken enkel Engels?
4 In een klas zitten 18 leerlingen. Ze hebben allemaal een smartphone of een tablet. 17 leerlingen hebben een smartphone en 12 leerlingen hebben een tablet. Hoeveel leerlingen hebben beide toestellen?
5 In een klas hebben alle leerlingen een fiets of een step. 15 leerlingen hebben een fiets en 7 leerlingen hebben een step. Er zijn 4 leerlingen die zowel een fiets als een step hebben.
a)Hoeveel leerlingen telt de klas?
b)Hoeveel leerlingen van de klas hebben geen fiets?
c)Hoeveel leerlingen hebben wel een fiets, maar geen step?
6 De fanfare van een dorp bestaat enkel uit koperblazers en slagwerkers. 33 leden zijn koperblazer en 25 leden zijn slagwerker. 3 leden kunnen zowel met koperblaasinstrumenten als met slagwerk overweg.
a)Hoeveel leden telt de fanfare?
b)Hoeveel leden zijn geen slagwerker?
c)Hoeveel leden zijn geen koperblazer, maar wel slagwerker?
7 Een hotel heeft 54 kamers. Ze hebben allemaal een douche of een bad. 36 kamers hebben een douche en 34 kamers hebben een bad.
a)Hoeveel kamers hebben geen douche?
b)Hoeveel kamers hebben een douche en een bad?
c)Hoeveel kamers hebben een bad maar geen douche?
8 Op een studiedag voor leerkrachten van de tweede graad blijkt dat 63 % in het derde jaar lesgeeft en 59 % in het vierde jaar.
a)Hoeveel procent geeft les in het derde en het vierde jaar?
b)Hoeveel procent geeft enkel in het vierde jaar les?
9 Voor een sportdag kunnen de 197 leerlingen van de tweede graad één of twee sporten kiezen, waaronder volleybal en badminton.
51 leerlingen kiezen volleybal en 78 leerlingen badminton. 35 leerlingen kiezen beide sporten.
a)Hoeveel leerlingen kiezen niet voor badminton?
b)Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal of badminton?
c) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal, maar niet voor badminton?
d)Hoeveel leerlingen kiezen niet voor volleybal en niet voor badminton?
10 Volgens de Belgian Petfood Association heeft 52 % van de Belgische gezinnen een huisdier.
24 % van alle gezinnen heeft een hond en 31 % een kat. 11 % van alle gezinnen heeft zowel een hond als een kat.
a)Hoeveel procent van de Belgische gezinnen heeft een hond of een kat?
b)Hoeveel procent heeft een hond, maar geen kat?
c)Hoeveel procent heeft een kat, maar geen hond?
d)Hoeveel procent heeft een ander huisdier dan een hond of een kat?
11 Uit een enquête onder de lezers van een krant blijkt dat 31 % het kruiswoordraadsel oplost en 27 % de sudoku. 58 % van de lezers lost geen van beide puzzels op.
a)Hoeveel procent van de lezers lost minstens één van de puzzels op?
b)Hoeveel procent lost beide puzzels op?
c)Hoeveel procent lost juist één van de puzzels op?
8.1.5 Telproblemen met drie verzamelingen
Bij een enquête onder 150 kinderen van 7 jaar is gevraagd of ze de vorige dag hun tanden gepoetst hebben.
91 kinderen hebben ’s ochtends hun tanden gepoetst, 32 ’s middags en 98 ’s avonds.
54 kinderen hebben zowel ’s ochtends als ’s avonds gepoetst, 16 zowel ’s ochtends als ’s middags en 12 zowel ’s middags als ’s avonds.
7 kinderen hebben hun tanden zowel ’s ochtends als ’s middags als ’s avonds gepoetst.
Stel: K is de verzameling van de ondervraagde kinderen.
O is de verzameling van de kinderen die ’s ochtends hun tanden poetsen.
M is de verzameling van de kinderen die ’s middags hun tanden poetsen.
A is de verzameling van de kinderen die ’s avonds hun tanden poetsen.
Om telproblemen met drie verzamelingen op te lossen, gebruik je een klaverbladdiagram
b)Hoeveel kinderen poetsten hun tanden gisteren niet?
REEKS B
12 Kleur de gegeven verzameling in het klaverbladdiagram. a)(D B) \ E
13 Aan 140 werknemers van een bedrijf is gevraagd hoe ze naar het werk komen.
Er komen 78 mensen met de fiets, 50 met de trein en 28 met de bus. Verder blijken 6 mensen zowel de fiets als de trein te gebruiken, 18 mensen zowel de trein als de bus en 8 mensen zowel de bus als de fiets. Geen enkele werknemer combineert de 3 vervoersmiddelen.
a)Hoeveel werknemers komen met de bus of de trein?
b)Hoeveel werknemers nemen enkel de fiets?
c) Hoeveel werknemers komen met de fiets of de bus, maar niet met de trein?
d) Hoeveel werknemers komen op een andere manier naar het werk dan met de 3 vernoemde vervoersmiddelen?
14 Aan 260 jongeren werd de vraag gesteld naar welke soort tv-programma’s ze vorige zondagavond hadden gekeken.
63 jongeren keken naar duidingsprogramma’s (nieuws, praatprogramma’s …), 84 naar ontspanningsprogramma’s (shows, quizzen …) en 136 naar series.
30 jongeren keken naar duidings- en ontspanningsprogramma’s, 39 naar duidingsprogramma’s en series en 17 naar ontspanningsprogramma’s en series.
11 jongeren keken naar de drie soorten programma’s.
a)Hoeveel jongeren keken naar minstens één van de drie soorten programma’s?
b)Hoeveel jongeren keken er enkel naar series?
c) Hoeveel jongeren keken er naar series of ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
d) Hoeveel jongeren keken er naar series en ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
e)Hoeveel keken er naar geen van de drie vermelde soorten programma’s?
15 Uit een enquête bij 70-plussers blijkt dat 76 % regelmatig (enkele keren per week) wandelt, 37 % regelmatig fietst en 48 % regelmatig turnt.
31 % wandelt en fietst, 18 % fietst en turnt en 35 % wandelt en turnt.
12 % van de ondervraagden doet alle drie de sportactiviteiten.
a)Hoeveel procent van de 70-plussers doet geen van de drie sportactiviteiten?
b)Hoeveel procent doet enkel aan fietsen?
c)Hoeveel procent wandelt en turnt, maar fietst niet?
d)Hoeveel procent fietst of turnt, maar wandelt niet?
e)Hoeveel procent wandelt of fietst, maar turnt niet?
8.2 Tellen met boomdiagrammen
8.2.1
Boomdiagrammen
Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen. Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E). Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G). Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?
Stel: M = {A, B, C, D, E} is de verzameling van de merken.
S = {H, L, G} is de verzameling van de soorten laptops.
Om dit telprobleem op te lossen, gebruik je een boomdiagram
• Eerst kiest Nora het merk. Elke mogelijke keuze stel je voor door een tak die vertrekt uit een beginpunt.
• Bij de eindpunten van de getekende takken zet je telkens de keuzemogelijkheid (A, B, C, D of E).
• Bij elke keuze van het merk volgt een tweede keuze, namelijk de soort. Elke mogelijke keuze hiervan stel je voor door een tak die vertrekt uit een eindpunt van een tak die hoort bij de eerste keuze.
• Bij elk eindpunt van de nieuwe takken plaats je weer de keuzemogelijkheid (H, L of G).
• Het totaal aantal keuzes dat Nora heeft, is gelijk aan het aantal eindpunten van het diagram.
Nora heeft dus in totaal keuzemogelijkheden.
Elke keuze kun je voorstellen door een geordend tweetal. (D, H) betekent dat Nora heeft gekozen voor een laptop van merk D die hybride is.
De verzameling van alle mogelijke keuzes noem je de productverzameling van M en S
Notatie: M 3 S
Je stelt vast dat #(M 3 S) = #M ⋅ #S = 5 ⋅ 3 = 15.
8.2.2 De productregel
David wil een nieuwe auto van een bepaald merk kopen.
Hij kan kiezen tussen 6 types. Bij elk type is er keuze tussen 3 versies: een benzineversie, een hybrideversie en een elektrische versie.
Bij elke versie kan David kiezen tussen 4 pakketten: standaard, comfort, luxe en sportief.
Daarenboven is er bij elke pakket keuze tussen 8 kleuren en 4 soorten velgen.
Hoeveel keuzemogelijkheden heeft David in totaal?
Het totaal aantal keuzemogelijkheden voorstellen met een boomdiagram is onbegonnen werk.
Jegebruikt de techniek van de ‘cellen’
David kiest een type (T), een versie (V), een pakket (P), een kleur (K) en een soort velg (S).
Elke keuze stel je voor door een cel, waaronder je het aantal mogelijkheden plaatst.
Het totaal aantal mogelijkheden is dan het product van het aantal mogelijkheden bij de verschillende keuzes.
TVPKS 63484
Er zijn wagens waaruit David zijn keuze kan maken.
Productregel
8.2.3
Als A1 , A2 , …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt: #
Eenvoudig gesteld komt het erop neer dat het voegwoord ‘en’ naar een product vertaald wordt.
Faculteit
In een lokaal staan 8 stoelen. Op hoeveel manieren kunnen 8 personen plaatsnemen?
De 8 personen kunnen op manieren plaatsnemen.
Om een dergelijk product te berekenen, gebruik je het begrip faculteit
Definitie Faculteit
Als n ∈ n \ {0,1}, dan is n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ 1 0! = 1en1! = 1
Op hoeveel manieren kan je 15 personen op een rij zetten?
Modeloefeningen
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 cijfers?
Let op: een natuurlijk getal kan nooit met een 0 beginnen.
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 verschillende cijfers? C1 C2 C3 C4
• Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 boeken op een boekenplank te rangschikken?
P1 P2 P12
• In een klas zitten 17 leerlingen. De klassenleraar kiest 3 leerlingen die elk een andere opdracht krijgen. Een leerling kan maar één opdracht krijgen. Hoeveel keuzemogelijkheden heeft de klassenleraar? O1 O2 O3
• De gewone Belgische nummerplaten bestaan, sinds 2010, uit 7 karakters: een indexcijfer gevolgd door 3 letters, en daarna 3 cijfers, waarbij 000 niet voorkomt.
Hoeveel nummerplaten met indexcijfer 1 bevatten de letter A? Je hoeft geen rekening te houden met lettercombinaties die niet voorkomen.
• Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
Teken een boomdiagram.
REEKS A
16 Je gooit drie keer een muntstuk op. Los de vragen op met een boomdiagram.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)In hoeveel gevallen gooi je
• 2 keer kop en 1 keer munt?
• 3 keer hetzelfde?
• minstens 1 keer kop?
• hoogstens 1 keer kop?
17 Je trekt 3 ballen uit een vaas die 3 rode en 2 groene ballen bevat. Na elke trekking leg je de getrokken bal niet terug in de vaas.
Los de vragen op met een boomdiagram.
Op hoeveel manieren
a)kunnen er juist 2 rode ballen bij zijn?
b)kan er minstens 1 groene bal bij zijn?
c)kan er minstens 1 rode bal bij zijn?
d)kunnen er 3 ballen van dezelfde kleur bij zijn?
18 Los de vraagstukken op met de productregel.
a) Je gaat op restaurant en neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een dessert. Er is keuze tussen 6 voorgerechten, 8 hoofdgerechten en 5 desserts. Op hoeveel manieren kun je je menu samenstellen?
b)Een fietsslot bestaat uit 3 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
c)Een inlogcode moet bestaan uit 4 letters gevolgd door 4 cijfers. Hoeveel codes zijn er mogelijk?
d) Een anagram is een woord dat je vormt met dezelfde letters als een gegeven woord. Een anagram hoeft niet noodzakelijk een betekenis te hebben.
Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘wiskunde’?
e) 15 paarden doen mee aan een paardenwedren. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de eerste 3 te voorspellen?
f) Je gooit 3 verschillende dobbelstenen op. Hoeveel mogelijke worpen zijn er?
g)Op hoeveel manieren kunnen 6 mensen op 6 stoelen plaatsnemen?
h) Een byte bestaat uit 8 bits. Elke bit kan slechts twee waarden (0 of 1) aannemen.
Hoeveel bytes zijn er mogelijk?
i) Er zijn 4 wegen van A naar B, 3 wegen van B naar C en 3 wegen van C naar D. Op hoeveel manieren kan je van A naar D gaan via B en C?
19 Je gaat naar de winkel om een brood, een stuk kaas en een taartje. Er is keuze tussen 11 soorten brood, 12 soorten kaas en 9 soorten taartjes. Hoeveel keuzemogelijkheden heb je in totaal?
20 Bij een voetbalpronostiek kies je voor elke wedstrijd tussen de symbolen 1 (een thuisoverwinning), x (een gelijkspel) of 2 (een uitoverwinning). Een speeldag in de eerste klasse van de Belgische voetbalcompetitie bestaat uit 8 matchen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de uitslag van die matchen te voorspellen?
21 Hoeveel natuurlijke getallen van 5 verschillende oneven cijfers kan je vormen?
22 6 vrienden gaan op restaurant. Ze spreken af om een menu te kiezen. Er is keuze tussen een weekmenu, een seizoensmenu en een fijnproeversmenu. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de 6 vrienden hun keuze maken?
23 In de eerste liga van het damesvolleybal in België spelen 10 ploegen. In een seizoen moet elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuismatch en een uitmatch spelen. Hoeveel matchen worden er gespeeld in een seizoen?
24 Een code bestaat uit een cijfer, gevolgd door 3 letters en 2 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
25 3 leerlingen van het derde jaar en 4 leerlingen van het vierde jaar gaan op een rij staan.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er als de leerlingen van eenzelfde jaar bij elkaar staan?
26 In het spel Mastermind leg je 5 gekleurde pionnetjes in een bepaalde volgorde. De tegenspeler moet die volgorde in hoogstens 12 keer raden. De pionnetjes bestaan in 8 verschillende kleuren.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur meerdere keren mag kiezen?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?
eel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?
27 Om aan te melden op een website van de overheid kan je een itsme-code gebruiken. Deze bestaat uit 5 cijfers.
a)Hoeveel itsme-codes bestaan uit 5 verschillende cijfers?
b)Hoeveel daarvan beginnen met een 6 en bevatten een 0?
28 Alle 13 leden van een vereniging zijn uitgenodigd op een vergadering. Ze zijn niet verplicht om te komen.
Op hoeveel manieren kan de vergadering samengesteld worden?
29 Een gezin heeft 4 kinderen.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de samenstelling met jongens en meisjes?
b)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
c)In hoeveel gevallen zijn er minstens 2 meisjes bij?
30 Jan en Petra hebben elk een nieuwe smartphone nodig. Ze besluiten elk een toestel van een ander merk te kopen. Bij merk A vinden ze 3 types die aan hun eisen voldoen, bij merk B zijn er 4 types en bij merk C zijn er 2 types. Hoeveel mogelijke keuzes zijn er?
Als ze
• merk A en B kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
• merk A en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
• merk B en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
De volgorde van de keuzes is hier belangrijk, want als Jan merk A en Petra merk B kiest, of Jan merk B en Petra merk A, dan is dat een andere keuze.
Het totale aantal mogelijkheden is dus
31 In grote tornooien van het mannentennis wint de speler die het eerst 3 sets wint.
a)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b)Op hoeveel manieren kan de match verlopen?
c)In hoeveel gevallen eindigt de match
• na 3 sets?
• na 4 sets?
• na 5 sets?
REEKS C
32 Op hoeveel manieren kan je 6 boeken over wiskunde, 4 over fysica en 5 over chemie op een boekenrek schikken als de boeken per vak afzonderlijk bij elkaar moeten staan?
33 Van 5 smartphones zijn er 2 defect, maar je weet niet welke. Je test telkens 1 smartphone, tot je weet welke 2 er defect zijn.
a)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b)In hoeveel gevallen zal je
• 2 smartphones moeten testen?
• 3 smartphones moeten testen?
• 4 smartphones moeten testen?
• 5 smartphones moeten testen?
c)Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?
34 Er doen 10 personen mee aan een badmintoncompetitie. Elke speler moet tegen elke andere speler één match spelen. Hoeveel matchen zullen er in totaal moeten gespeeld worden?
35 In een bakje liggen 3 stukken van 1 euro en 2 stukken van 2 euro. Een spel bestaat erin dat je blindelings muntstukken uit het bakje neemt. De genomen muntstukken worden niet opnieuw in het bakje gelegd. Het spel stopt zodra er nog maar één soort muntstuk over is, dus als alle muntstukken van 1 ofwel van 2 euro gekozen zijn.
a)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b)In hoeveel procent van de gevallen heb je minstens 5 euro uit het bakje genomen?
36 Je gooit 2 verschillende dobbelstenen op.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)In hoeveel gevallen is de som van de ogen 7?
c)In hoeveel gevallen is de som van de ogen 11 of 12?
d)In hoeveel procent van de gevallen is de som van de ogen meer dan 3? Rond af op 0,01 %.
37 Bij de aankoop van een auto kan de koper kiezen tussen een wagen met benzinemotor, hybridemotor of elektrische motor.
De benzinewagens hebben versies met 2, 4 of 5 deuren, de hybridewagens hebben versies met 4 of 5 deuren en de elektrische wagens hebben 5 deuren.
Elke wagen is beschikbaar in 7 kleuren, maar de hybridewagens en de elektrische wagens hebben 3 extra kleuren.
Bij alle types kan er gekozen worden tussen lederen zetels of stoffen zetels. Bij de elektrische wagens kan ook voor een alcantara-bekleding worden gekozen. De elektrische wagens zijn standaard uitgerust met een 360°-camera, bij de andere types is het een optie.
Hoeveel mogelijkheden heeft de koper bij deze aankoop?
38 Een ‘woord’ is elke opeenvolging van letters, met of zonder betekenis.
a) Hoeveel woorden bestaan uit 4 letters?
b)Als je die woorden alfabetisch rangschikt, op welke plaats komt dan ‘koel’?
39 Hoeveel even getallen liggen tussen 5000 en 8000?
8.3 Tellen met wegendiagrammen
8.3.1
Telproblemen voorstellen met wegendiagrammen
Voorbeeld 1
Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen.
Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E).
Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G).
Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?
Om alle mogelijke keuzes te bepalen, heb je in de vorige paragraaf een boomdiagram gebruikt.
Je kan een diagram dat alle mogelijkheden grafisch weergeeft ook compacter maken door de takken in één punt te laten samenkomen. In dat geval spreek je over een wegendiagram.
Het aantal keuzemogelijkheden voor Nora is gelijk aan het aantal verschillende wegen om van het beginpunt naar het eindpunt te gaan. Dit aantal is gelijk aan 5 ⋅ 3 = 15
Voorbeeld 2
Een viervlaksdobbelsteen heeft de vorm van een regelmatig viervlak.
Op de vlakken van een viervlaksdobbelsteen staan de cijfers 1, 2, 3 en 4.
Het cijfer in het hoekpunt bovenaan toont wat je gegooid hebt.
Je werpt met drie viervlaksdobbelstenen: een rode, een gele en een oranje.
Na de worpen bekijk je de hoekpunten bovenaan.
a)Geef met een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer.
Hoeveel manieren zijn er?
b)Hoeveel manieren zijn er waarbij enkel bij de gele dobbelsteen het cijfer 4 bovenaan ligt?
c)Hoeveel manieren zijn er waarbij het cijfer 4 juist één keer bovenaan ligt?
REEKS B
40 Een code bestaat uit een letter gevolgd door 2 cijfers, bijvoorbeeld A31. Voor de letters gebruik je A, B, C, D of E. Voor beide cijfers gebruik je 1 tot en met 4.
a)Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk? Stel dat voor met een wegendiagram.
b) Stel dat de twee cijfers in de code verschillend moeten zijn. Hoeveel verschillende codes zijn er dan mogelijk?
41 In een fruitschaal liggen 4 appels, 5 peren en 2 bananen.
a) Je neemt eerst een appel, daarna een peer en ten slotte een banaan. Op hoeveel manieren kun je van elke soort een nemen? Stel dat voor met een wegendiagram.
b)Op hoeveel manieren kun je er van elke soort hoogstens een nemen?
8.3.2 Aantal kortste routes
Een route zonder omwegen noem je een kortste route
• AC is een rechtstreekse kortste route van A naar C
ABC
Voorbeeld 1
• ABC is een kortste route van A naar C via B.
• ABAC is geen kortste route van A naar C.
Er lopen 3 wegen van plaats A naar plaats B en 2 wegen van plaats B naar plaats C
Er zijn dus verschillende wegen van A naar C via B
Je kunt bijvoorbeeld over de middelste weg van A naar B gaan en dan verder over de bovenste weg van B naar C
Die route is in het blauw aangeduid op de figuur.
• Teken een schematische voorstelling van de situatie met een wegendiagram.
• Op hoeveel manieren kan je van A naar C gaan zonder omwegen?
Voorbeeld 2
Bepaal het aantal kortste routes van A naar D ABCD
• Het aantal routes van A naar B is
• Het aantal kortste routes van B naar D:
■ via C:
■ rechtstreeks:
■ totaal:
• Het aantal kortste routes van A naar D:
Oefeningen
REEKS A
42 Bepaal het aantal kortste routes van A naar C.
a)
ABC
• totaal van A naar C : b) ABC
• totaal van A naar C : c)
ABC
d)
e)
ABC
• totaal van A naar C :
ABC
• totaal van A naar C :
• totaal van A naar C :
B
43 Bepaal het aantal kortste routes van A naar D.
a)
ABCD
b) ABCD
• totaal van A naar D:
• totaal van A naar D: c)
ABCD
d)
• totaal van A naar D:
ABCD
REEKS C
• totaal van A naar D:
44 Teken een wegendiagram met de punten A, B, C en D waarbij het aantal kortste wegen van A naar D gelijk is aan (2 ⋅ 4 + 3) ⋅ 2 + 1.
8.4.1
Tellen met roosterdiagrammen
Scoreverloop bij een voetbalmatch
Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
In paragraaf 8.2.4 heb je dit vraagstuk opgelost door een boomdiagram te tekenen.
Er blijken 10 mogelijkheden te zijn.
Je kan het probleem ook oplossen met een roosterdiagram
Op een horizontale as zet je het aantal doelpunten van de thuisploeg en op een verticale as het aantal doelpunten van de uitploeg.
Elke roosterpunt is een mogelijke stand.
De eindstand verkrijg je bij het punt A Het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, is aangeduid in het rood.
De scores 1-0, 2-0, 3-0, 0-1 en 0-2 kunnen op één manier. Het is namelijk telkens dezelfde ploeg die scoort.
De score 1-1 kan op twee manieren (1-0 en daarna 1-1 of 0-1 en daarna 1-1).
De score 2-1 kan op drie manieren:
Op die manier kan het rooster verder aangevuld worden.
Hoe kan je het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, berekenen uit de vorige scores?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als de ruststand 1-1 was?
8.4.2 Tellen met roosterdiagrammen
Algemeen Bij een telprobleem dat bestaat uit een aantal deelbeslissingen waarbij er telkens maar tweemogelijkheden zijn, kan een roosterdiagram gebruikt worden. Hierbij is elk getal op een knooppunt van wegen de som van de getallen die bij de voorgaande naburige knooppunten staan.
Je legt 4 blauwe en 2 rode kaartjes op een rij. Hoeveel verschillende kleurpatronen zijn er mogelijk?
De werkwijze die je volgt om een probleem op te lossen met een roosterdiagram wordt mooi geïllustreerd in de driehoek van Pascal Hoewel de driehoek al bekend was bij Chinese en Indische wiskundigen van 1000jaar geleden, is de driehoek vernoemd naar Blaise Pascal, die een boek over deze ‘rekendriehoek’ schreef.
Blaise Pascal (1623 - 1662) is een Franse wiskundige uit de 17e eeuw, die samen met zijn landgenoot Pierre de Fermat, wordt beschouwd als de grondlegger van de wiskundige studie van telproblemen en kansrekening.
Pascal is ook als natuurkundige bekend.
De ‘wet van Pascal’ beschrijft de druk op vloeistoffen. In 1642 bouwde hij de ‘pascaline’, een mechanische rekenmachine die kon optellen en aftrekken.
Toen Barcelona in de 19e eeuw uit zijn voegen barstte, heeft men een planmatig opgezette wijk gebouwd als uitbreiding van de stad: l’Eixample
De straten verdelen de wijk in gelijkvormige blokken, waardoor een meetkundig patroon te zien is.
Dit patroon wordt enkel onderbroken door een 11 km lange diagonaal: de Avinguda Diagonal.
Om het aantal kortste routes te bepalen tussen twee punten in de wijk, gebruik je een roosterdiagram en de eigenschap uit de vorige paragraaf.
Bepaal het aantal kortste routes tussen A en B
Er zijn mogelijke kortste routes tussen A en B
Oefeningen
REEKS B
45 Een gezin heeft een kroost van 5 kinderen.
a)Op hoeveel manieren kan de kroost samengesteld zijn?
b)Teken een roosterdiagram voor alle mogelijkheden.
c)In hoeveel gevallen bestaat de kroost uit
• 2 meisjes en 3 jongens?
• minstens 3 meisjes?
• minstens 1 jongen?
46 Bepaal het aantal kortste wegen van A naar B.
Een waterpolowedstrijd is geëindigd op 4-7.
Kortrijk KWK
VZF C 4 vs 7
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als je weet dat het aan de rust 2-4 was?
oefeningen (REEKS C)
U11
Aqua Sport Brugge ASB
STUDIEWIJZER Telproblemen
8.1 Tellen met venndiagrammen voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
B A (“B is deelverzameling van A”) ⇔∀ x ∈ B : x ∈ A
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren. Notatie: A B
De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen dietot A of B behoren. Notatie: A B
Disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B − #(A B)
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Notatie: A \ B
Disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A − #(A B)
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van deverzameling V #(A ) =
Een venndiagram gebruiken bij het oplossen van een telprobleem.
Het aantal elementen van de doorsnede, de unie, het verschil of het complement van eindige verzamelingen bepalen bij telproblemen.
8.2 Tellen met boomdiagrammen
Als A1, A2, …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt: #(A1 3 A2 3
Als n ∈ n \ {0, 1}, dan is n ! = n
(n − 1)
Een boomdiagram of de productregel gebruiken bij telproblemen.
8.3 Tellen met wegendiagrammen
Een wegendiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.
8.4 Tellen met roosterdiagrammen
KUNNEN
Een roosterdiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.
Problemen uit JWO
1.In het staafdiagram zie je hoe de bezoekers van de vijf meest bezochte Europese pretparken over die pretparken verdeeld zijn. De pretparken hebben samen 56 miljoen bezoekers per jaar.
Hoeveel bezoekers heeft Disneyland Parijs elk jaar meer dan de Efteling?
A) r 1 980 000B) r 2 575 000C) r 2 800 000D) r 3 125 000E) r 3 360 000
JWO, editie 2018, eerste ronde
2.Op de figuur hebben het vierkant en de rechthoekige driehoek met dezelfde oppervlakte een gemeenschappelijke zijde.
Wat is de verhouding van de stukken waarin P het onderste lijnstuk verdeelt?
A) r 1 : 1B) r 1 : 2C) r 2 : 3D) r 1 : 3E) r 1 : 4
JWO, editie 2016, tweede ronde
3.Een dief steelt een kwart van het fortuin van een kok en geeft daarvan de helft aan zijn vrouw. Die schenkt op haar beurt een derde van wat ze net kreeg, aan haar minnaar, die bevriend is met de kok en hem daarvan de helft geeft.
De kok is 11 000 florijnen armer geworden.
Hoe groot was het fortuin van de kok oorspronkelijk?
A) r 36 000 florijnenB) r 45 000 florijnenC) r 48 000 florijnen
D) r 52 000 florijnenE) r 60 000 florijnen
JWO, editie 2021, eerste ronde
Alton Towers EuropaPark Port Aventura Efteling Disneyland Parijs
9.3 Snijpunt of snijlijn van rechten en vlakken bepalen
Studiewijzer
Pienter problemen oplossen
218
224
243
251
252
Perspectief
Deze tekeningen zijn gemaakt door kinderen van verschillende leeftijden.
in de kleuterklas in het eerste leerjaar
in het derde leerjaar in het zesde leerjaar
Hoe evolueert de manier waarop kinderen een tekening voorstellen, in de loop van hun kinderjaren?
Om 3D-situaties voor te stellen in 2D, maak je gebruik van perspectief.
Het woord ‘perspectief’ is afkomstig van het Latijnse perspicere, wat ‘doorheen kijken’ betekent. Het is de kunst om ruimtefiguren echt te doen lijken, alsof je erdoorheen kunt kijken.
Op die manier creëer je ook een illusie van diepte.
Er bestaan verschillende vormen van perspectief.
Besluit
Je ziet telkens een kubus. Vink aan welke eigenschappen bewaard worden.
Bij het omzetten van 3D naar 2D zal, welke voorstellingswijze je ook kiest, altijd een deel van de informatie verloren gaan.
Aanzichten
Als de lengte en de hoekgrootte belangrijk zijn, zoals voor een metselaar of meubelmaker, maak je gebruik van verschillende vlakke voorstellingen van de zijvlakken van een voorwerp. Zo ontstaan aanzichten. Daarop kun je afmetingen precies aflezen en nameten.
bovenaanzicht vooraanzicht zijaanzicht
Hoeveel treden tel je?
Op welk aanzicht lees je dat af?
1 Hoe wijkt de tekening af van de werkelijkheid?
2 Je ziet een foto van een kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
a) Wat is het vooraanzicht volgens de groene pijl?
b) Wat is het bovenaanzicht?
3 Van welke blokkenstapels is het vooraanzicht gelijk aan het achteraanzicht?
4 Vier van de onderstaande afbeeldingen zijn aanzichten van dezelfde kubus met verschillend gekleurde zijvlakken. Welke afbeelding is geen aanzicht van die kubus?
5 Vervolledig het cavalièreperspectief van de kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
6 Teken een kubus met een ribbe van 3 cm
a)in cavalièreperspectief. b) in isometrisch perspectief.
A B C D E
JWO, editie 2021, eerste ronde
7 Van een balk, getekend in cavalièreperspectief, zijn al enkele ribben getekend. Vervolledig de figuur.
8 Teken een ruimtefiguur die beide aanzichten heeft.
bovenaanzicht vooraanzicht
9. 2 O nd e rlinge ligging van rechten en vlak ken
9.2.1 Onderlinge ligging van twee rechten
GEOGEBRA
GEOGEBRA
Verbind elk paar rechten met de best passende benaming.
IJ en EF kruisend
IJ en IL snijdend
IE en GI strikt evenwijdig
EH en JF samenvallend
Evenwijdige rechten
HG
De rechten a en b zijn strikt evenwijdig
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de balk.
De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.
Geef een rechte die strikt evenwijdig is met
FB :
CD :
De rechten HM en MG zijn samenvallend
Beide rechten hebben minstens twee punten gemeenschappelijk.
Definitie Strikt evenwijdige rechten
Twee rechten zijn strikt evenwijdig (of disjunct) als de rechten in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende rechten
Twee rechten zijn samenvallend als de rechten minstens twee punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: MG = HM
Definitie Evenwijdige rechten
Twee rechten zijn evenwijdig als de rechten strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
Snijdende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn snijdend
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de kubus.
De rechten a en b hebben één punt gemeenschappelijk: het punt S
Geef een rechte die snijdend is met
FB :
AD :
Definitie Snijdende rechten
Twee rechten zijn snijdend als de rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Kruisende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn kruisende rechten.
De rechten liggen niet in hetzelfde vlak.
Geef een rechte die kruisend is met
CG :
EG :
Definitie Kruisende rechten
Twee rechten zijn kruisend als de rechten niet in hetzelfde vlak liggen.
Notatie: a Ω b
Voorstelling van snijdende en kruisende rechten
Bij bepaalde aanzichten is het niet mogelijk om te besluiten of rechten snijdend of kruisend zijn. bovenaanzicht perspectieftekening
REEKS A
9 De punten M en N zijn de middens van de ribbe. Wat is de onderlinge ligging van de rechten in de kubus?
AE en HG :
10 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en MN zijn snijdend.
b) AH en EB zijn strikt evenwijdig.
c) GM en MF zijn samenvallend.
d) HD en AB zijn kruisend.
e) NB en FM zijn samenvallend.
f) HM en FC zijn kruisend.
g) AH en FC zijn snijdend.
h) DB en HF zijn strikt evenwijdig.
juistfout
11 De punten M en N zijn middens van de ribben. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten (=, //, //, Ω ) in de gegeven balken.
12 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Vul aan met een getekende rechte.
Welke rechte(n) snijden AB?
Welke rechte(n) zijn strikt evenwijdig met AD?
Welke rechte(n) zijn kruisend met AD?
13 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de kubus.
a snijdend met KL b samenvallend met LI c kruisend met HL
14 Zijn de uitspraken juist of fout?
a)In een recht prisma zijn de punten P en S de middens van de ribbe.
DF en BC zijn strikt evenwijdig.
EF en AC zijn kruisend.
AB en DE zijn strikt evenwijdig.
PS en AB zijn snijdend.
b)In een piramide liggen de punten E, F, G en H op de opstaande ribben.
juistfout
AD en BC zijn strikt evenwijdig.
DT en BC zijn kruisend.
GC en TC zijn samenvallend.
EF en AD zijn kruisend.
15 Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de piramide.
a) b) c)
a kruisend met EG b snijdend met EH c evenwijdig met CH
16 Teken op de afbeelding twee rechten a en b die snijdend zijn, een rechte c die strikt evenwijdig is met de rechte a en een rechte d die kruisend is met de rechte b
17 Bepaal het snijpunt S van de rechten.
BM en CG
c) AB en FH
b) GH en MN
d) AB en FM
18 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) twee evenwijdige rechten a en b
b) twee snijdende rechten c en d
c) twee kruisende rechten e en f
REEKS C
19 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging van:
a) VR en CG
b) NJ en PB
c) RQ en KJ
d) TQ en DH
e) RU en QJ
f) HD en BI
g) GD en PA
h) SA en EB
i) QN en GC
j) GH en DB
9.2.2 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Voorstelling van een vlak in de ruimte a
In de meetkunde stel je onbegrensde delen voor met behulp van begrensde figuren. Om vlakken te benoemen, gebruik je Griekse letters.
Vlakken, punten en rechten AC
B a Twee verschillende punten bepalen een rechte.
Een vlak wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen.
Notatie: a = vl( A, B, C)
Een vlak kan ook nog op drie andere manieren worden bepaald. Formuleer zelf de drie andere mogelijkheden.
In welke gevallen bepalen twee rechten geen vlak?
Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
OP L MN
Verbind het vlak en de bijbehorende rechte met de best passende benaming.
a en EG
a en CD
a en BH
Voorstellingen en notaties
De rechte is strikt evenwijdig met het vlak.
De rechte ligt in het vlak.
De rechte snijdt het vlak.
een rechte en een vlak zijn snijdend een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig een rechte ligt in een vlak
a sn ijdt a
Notatie: a // a
b is strikt evenwijdig met a c ligt in a c is een deel van a
Notatie: b // a
Notatie: c ⊂ a
A is het snijpunt van a en .Er zijn geen snijpunten. B en C liggen in a a .
Definitie Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Een rechte en een vlak zijn snijdend als ze juist één gemeenschappelijk punt hebben.
Een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben.
Een rechte ligt in een vlak als ze minstens twee gemeenschappelijke punten heeft met het vlak.
Een rechte en een vlak zijn evenwijdig als de rechte in het vlak ligt of als de rechte en het vlak strikt evenwijdig zijn.
REEKS A
20 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de rechte en het vlak in de kubus?
en
21 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en a zijn snijdend.
b) AH en a zijn strikt evenwijdig.
c) GM en a zijn snijdend.
d) HD ligt in a
e) GC en a zijn snijdend.
f) HN en a zijn strikt evenwijdig.
g) AH en a zijn snijdend.
h) DB ligt in a
juistfout
22 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de balk.
JM vl( A, B, E) DI vl( A, D, E) FM vl( E, F, G)
LM vl( A, B, C)
23 De punten G en H liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van het prisma.
24 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
De punten E, F, G en H zijn de middens van een ribbe.
a door A en liggend in vl( A, C, F)
b door G en snijdend met vl( A, B, C)
c door H en evenwijdig met vl( D, E, F)
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de piramide.
vl( A, B, T)
vl( A, B, C)
vl( T, B, C)
vl( E, F, G)
25 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) een rechte a gelegen in het grondvlak.
b) een rechte b strikt evenwijdig met het grondvlak.
c) een rechte c snijdend met het grondvlak.
REEKS C
26 De punten K, L en M liggen op een ribbe. De figuur bestaat uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ).
IM vl( F, G, J)
IL vl( A, B, C)
LM vl( B, C, G)
AK vl( C, D, H)
JK vl( B, C , G )
27 De punten I, J, K, L en S liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van de balk.
a door M en snijdend met vl( K, I, J)
b door P en evenwijdig met vl( K, I, J)
c door N en snijdend met vl( E, I, J)
Verbind elk paar vlakken met de best passende benaming.
Definitie Snijdende vlakken
a = vl( A, B, E)
b = vl( M, N, O)
g = vl( F, H, J)
d = vl( C, D, G)
a en d samenvallend
a en b snijdend
a en g strikt evenwijdig
Twee vlakken zijn snijdend als de vlakken juist één rechte gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Strikt evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn strikt evenwijdig als de vlakken geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende vlakken
Twee vlakken zijn samenvallend als de vlakken alle punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a = b
Definitie Evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn evenwijdig als de vlakken strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
Oefeningen
REEKS A
28 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de vlakken in de kubus?
29 De punten I, J, K en L zijn de middens van de ribbe. De punten M, N, O en P liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de kubus.
vl( A, B, E) vl( J, I, L) a) b) c) d)
vl( A, B, C) vl( P, M, N)
vl( I, J, K) vl( C, G, F)
vl( P, M, N) vl( I, J, K)
30 Een gebouw is opgebouwd uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in het gebouw.
REEKS C
vl( A, B, C) vl( M, N, G)
vl( A, B, F) vl( D, H, G)
vl( B, D, H) vl( A, E, M)
vl( A, B, F) vl( E, M, F)
31 In de ruimtefiguur zijn het bovenvlak en het grondvlak evenwijdig.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de ruimtefiguur.
vl( A, D, H) vl( C, F, G)
vl( A, B, E) vl( C, F, G)
vl( A, B, C) vl( E, F, G)
32 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging (//, , =) van:
b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) //
vl( S, V, U) vl( L, M, N)
vl( F, G, W) vl( E, W, F)
vl( F, G, C) vl( E, A, D)
vl( E, F, G) vl( A, B, C)
GEOGEBRA
Loodrechte stand
Hoek tussen snijdende rechten
De rechten a en b zijn snijdend in het punt A en liggen in hetzelfde vlak a. De hoek van twee snijdende rechten is de scherpe of rechte hoek die de rechten in hun snijpunt vormen.
Notatie: a ^ b = ^ A
Analoog: c ^ d = ^ B
Loodrechte rechten
Bij de balk zijn de hoeken ^ A, ^ B, ..., ^ H in de verschillende zijvlakken gelijk aan 90º. Je zegt dat de rechten EA en AB elkaar loodrecht snijden
Notatie: EA ⊥ AB
Geef twee rechten die DH loodrecht snijden: en
De rechten EA en CD zijn loodrecht kruisende rechten.
Geef twee rechten die DH loodrecht kruisen: en
Definitie Loodrechte rechten
Twee rechten zijn loodrecht als de hoek tussen de rechten 90º is.
Loodlijn en loodvlak
GEOGEBRA
O p de figuu r zie je da t d e r e chte a l oo dre cht sta at op e lk e recht e v an he t v lak a die d oor he t s ni j punt A van a en a g aa t.
De rechte a noem je een loodlijn op het vlak a
Het punt A is het voetpunt van de loodlijn. Het vlak a noem je een loodvlak op de rechte a
Definitie
Loodlijn en loodvlak
Een loodlijn op een vlak is een rechte die loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.
Een loodvlak op een rechte is een vlak waarvan elke rechte loodrecht staat op de gegeven rechte. a A a
1)Kies twee rechten in het vlak vl( E, H, N), zodat je hun snijpunten met het vlak vl( A, B, C) van de kubus kunt bepalen. Je kiest de rechten EM en HN
2)Teken met de methode van de vorige bladzijde de snijpunten I en J in het grondvlak. De rechte IJ is de gevraagde snijlijn.
Werkwijze Om de snijlijn van twee vlakken te bepalen, ga je als volgt te werk:
1)Teken twee rechten in het ene vlak, zodat je de snijpunten met het andere vlak kunt bepalen.
2)Kies een hulpvlak waarin de eerste rechte ligt.
3)Teken de snijlijn van het gegeven vlak en het hulpvlak.
4)Het gevraagde snijpunt is het snijpunt van de rechte en die snijlijn.
5)Herhaal de stappen 2 tot en met 4 voor de tweede rechte.
6)Teken de snijlijn door de twee gevonden snijpunten.
Oefeningen
REEKS A
39 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus.
Bepaal het snijpunt van de aangeduide rechte en het gekleurde vlak in de kubus.
het snijpunt van HM en α : het snijpunt van BF en α :het snijpunt van EC en α :
40 Teken de snijlijn van de snijdende vlakken α en β in de kubus.
41 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe.
Bepaal het snijpunt van de rechte met het vlak van de kubus.
,
42 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe. Bepaal de snijlijn van de vlakken in de kubus.
a) vl(E, H, D) en vl(G, K, C)
b) vl(A, B, C) en vl(E, H, C)
c) vl(A, B, C) en vl(J, M, N)
d) vl(H, B, D) en vl(E, H, G)
REEKS B
43 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
44 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
45 D ligt telkens in het grondvlak. In welke van de volgende gevallen snijden de rechten AB en CD elkaar?
46 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
47 Teken de snijlijn van de snijdende vlakken in de kubus.
48 De punten M en N zijn de middens van de ribbe. Teken de snijlijn s van de gekleurde snijdende vlakken in de kubus.
1. Petra en Jana hebben het geheime dagboek van Lucie gevonden. Helaas heeft Lucie de tekst in haar dagboek versleuteld met horizontale en verticale lijnen met behulp van de volgende lettertabel.
De twee meisjes zijn erin geslaagd om de onderstaande symbolen te ontcijferen. Het blijkt de naam van Lucies broer PAVEL te zijn.
Ontcijfer de naam van Lucies vriend, die in het dagboek op de volgende manier is geschreven.
A) JOSEF B) PETER C) JESSE D) DENIS
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021
2. Castor, een architect, werd gevraagd een museum te ontwerpen. Hij heeft vier ontwerpen gemaakt.
Hij wil een indeling kiezen waarbij bezoekers alle kamers precies één keer doorlopen, zonder een kamer meer dan één keer te bezoeken en zonder dezelfde deur te gebruiken voor het binnen- en buitengaan. Dat noem je een eenrichtingsverkeerrondleiding
De bezoekers moeten beginnen bij de deur met de pijl die het museum binnengaat, en vertrekken via de deur met de pijl die het museum verlaat.
Bij welke indeling kun je een eenrichtingsverkeerrondleiding doen?
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2020
HOOFDSTUK 10 I GRAFEN
Eigenschappen van grafen
10.1.1 Graaf
• Je kunt een fietstocht schematisch voorstellen door de gemeenten te vervangen door punten en de wegen ertussen door lijnen.
• Ook deze elektrische schakeling kan je eenvoudiger voorstellen met punten en lijnen.
Definitie Graaf
Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt.
Grafen worden gebruikt als model of schematische voorstelling voor sociale netwerken, transportnetwerken, stambomen, boom- en wegendiagrammen...
Kontich
Berchem
Wommelgem
Lier
Toepassing: tramnetwerk
Op dit overzicht van het tramnet van Antwerpen staat elke knoop voor een tramhalte enelkeboogvoor een tramlijn tussen twee haltes.
Op de kaart worden de haltes gelijkmatig verdeeld over elke lijn. In realiteit is de afstand tussen de verschillende haltes niet gelijk.
Op de kaart lopen de tramlijnen recht. In realiteit lopen de tramlijnen doorheen straten ofondergronds en nemen ze verschillende bochten.
10.1.2 Benamingen
Definitie Lus
Een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt.
Definitie Buur van een knoop
Een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog.
Definitie Graad van een knoop
De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop.
Notatie: gr(A) = 2
Opmerking
Een lus beschouw je als een boog die vertrekt en toekomt. Je telt een lus dus dubbel.
knoopgraad
A gr(A) =
B gr(B) =
C gr(C) =
D gr(D) =
Definitie Deelgraaf
Een graaf G1 is een deelgraaf van graaf G2 als de knopen en bogen van G1 ook knopen en bogen zijn van G2
is een deelgraaf van
Definitie Volledige graaf
Een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is.
Notatie: K n (n = aantal knopen)
Voorbeelden
enkelvoudige graaf
Definitie Enkelvoudige graaf
Een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten.
samenhangende graaf
Definitie Samenhangende graaf
Een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Opmerking
multigraaf
Multigraaf
Een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten.
niet-samenhangende graaf
Niet-samenhangende graaf
Een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een boog in een graaf is een brug als de graaf door die boog samenhangend is. Als je de brug wegneemt, is de graaf dus niet langer samenhangend.
Definitie Gewogen graaf
Een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal.
Gerichte graaf
Een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft.
• Vul de tabel aan.
knoop buren graad
• Deze graaf is een:
r enkelvoudige graaf
r multigraaf
r samenhangende graaf
r niet-samenhangende graaf
r gewogen graaf
r gerichte graaf
• Duid elke deelgraaf van deze graaf aan.
r graaf 1 r graaf 2 r graaf 3
10.1.4 Wandelingen
Als je van knoop D naar knoop E wilt gaan, zijn er verschillende opties.
Bijvoorbeeld:
• Van knoop D ga je naar A en dan naar E: DAE
• Van knoop D ga je naar A, dan naar C, dan naar F en dan eindig je in E: DACFE
Definitie Wandeling
Een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is.
Een wandeling stel je voor door de knopen achtereenvolgens op te lijsten: A B
Soorten wandelingen
• Een wandeling is open als de beginknoop en eindknoop verschillend zijn.
• Een wandeling is gesloten als de beginknoop en eindknoop hetzelfde zijn.
open wandeling gesloten wandeling
ACBFE
Definitie Pad Cykel
Een pad is een open wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn.
De knopen worden maximaal één keer doorlopen.
ACBFEA
Een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Definitie Spoor Circuit
Een spoor is een open wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. De bogen worden maximaal één keer doorlopen.
Een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
Zet een vinkje bij de meest passende benaming(en) van elke wandeling.
Oefeningen
REEKS A
1 Wat stellen de grafen voor?
Geef telkens de betekenis van de knopen en de bogen.
betekenis knopen: betekenis bogen:
betekenis knopen: betekenis bogen:
betekenis knopen: betekenis bogen:
2 Noteer de graad in elke knoop.
3 Zet een vinkje bij de meest passende benaming(en) van elke wandeling.
4 Stel de gegeven situatie voor met een graaf.
Van Ieper kun je naar Kortrijk rijden via de A19.
Vanuit Kortrijk kun je naar Brugge via de E403 of, als je geen fan bent van autosnelwegen, via de N50.
7 Vink de correcte benaming(en) aan voor elke wandeling.
a) ABECB rrrr
b) FBDCEF rrrr
c) EFAEBAE rrrr
d) FBDCEA rrrr
e) DBFAECD rrrr
8 Vul de graaf aan met bogen, zodat:
• de graad in elke knoop klopt;
• de graaf voldoet aan de benaming.
a)enkelvoudige, samenhangende graaf
b)niet-samenhangende multigraaf
10.1.5 Planaire grafen
Drie buren willen hun huizen verbinden met de leidingen voor water, elektriciteit en gas. Ze proberen op papier een plan te tekenen, zodat de leidingen elkaar niet snijden.
Om een oplossing te zoeken, teken je de huizen en nutsvoorzieningen in een zeshoek.
Daardoor zijn de nutsvoorzieningen bij de aangrenzende huizen al gekoppeld.
Overige verbindingen:
huis 1
Als je de waterverbinding naar het tweede huis trekt, verdeel je de zeshoek in tweeën, waardoor je binnen de zeshoek geen andere verbinding meer kunt tekenen.
Overige verbindingen:
Buiten de zeshoek kun je nog één verbinding tekenen zonder andere leidingen te snijden.
Overige verbinding:
Als je nu de verbinding van huis 1 met gas wilt tekenen, kun je niet anders dan een andere verbinding snijden.
Het probleem is dus niet oplosbaar in een vlak. Dat soort grafen noem je niet-planaire grafen
Definitie Planaire graaf
Een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden.
Planaire grafen worden gebruikt om printplaten voor elektronische componenten te ontwikkelen.
Het is belangrijk dat de geleidende sporen elkaar niet snijden, omdat dat kan leiden tot ongewenste elektronische signalen.
GEOGEBRA
REEKS A
9 Onderzoek of deze grafen planair zijn.
a) e)
r ja r nee
b) f)
r ja r nee
r ja r nee
c) g)
r ja r nee
r ja r nee r ja r nee
d) h)
r ja r nee
r ja r nee
10 Vul de tabel aan.
Leid de formule af om het totale aantal bogen van een volledige graaf te berekenen. Vul daarna het besluit aan.
K n volledige graafaantal knopen aantal bogen uit 1 knoop
aantal bogen
Besluit: Het aantal bogen voor een volledige graaf K n met n knopen is
11 In het testament van een koning met vijf zonen staat dat elke zoon met zijn erfenis een kasteel mag bouwen, op voorwaarde dat alle kastelen met elkaar verbonden worden via wegen die niet over bruggen gaan of kruispunten hebben. Kunnen de zonen de laatste wens van de koning uitvoeren? Verklaar.
12 Teken een planaire, samenhangende graaf G die aan de volgende voorwaarden voldoet:
• 5 knopen met maximaal 5 bogen;
• C is geen buur van B of D ;
• gr(C) = 4;
• gr(B) = 1.
10.2 Eigenschappen van grafen
10.2.1 Verband tussen maximale aantal buren van een knoop enaantalknopen van een graaf
aantal knopen 3 4 7 graaf
maximale aantal buren
Hoeveel buren kan een knoop in een graaf met n knopen maximaal hebben?
Eigenschap Maximale aantal buren en aantal knopen van een graaf
Een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren.
10.2.2 Som van de graden in een graaf
Noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan.
graaf
aantal bogen
som van alle graden
Wat is de som van alle graden van een graaf met n bogen?
Eigenschap Som van de graden
De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n
De som van de graden in een graaf is dus altijd even.
Verklaring
Bij het optellen van de graden in een graaf tel je elk boog twee keer, omdat elke boog een begin- en eindpunt heeft.
10.2.3 Aantal knopen met oneven graad in een graaf
Noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan.
graaf
aantal knopen met oneven graad
aantal knopen met even graad
Eigenschap Aantal knopen met oneven graad
Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even.
Bewijs
De som van de graden in een graaf is altijd even.
⇓ Een graad is even of oneven.
De som van de even graden en oneven graden is even.
⇓ De som van de even graden is altijd even.
De som van de oneven graden is even. ⇓
Het aantal knopen met een oneven graad is even.
10.3 Tweedelingsgrafen
Stel dat vier personen (A, B, C, D) een afspraak willen maken bij een dokter.
In de agenda van de dokter zijn maar vijf tijdstippen (1, 2, 3, 4, 5) mogelijk.
GEOGEBRA
Elke persoon raadpleegt de eigen agenda. Daaruit blijkt het volgende:
• Persoon A kan op tijdstippen 1, 2 en 3.
• Persoon B kan op tijdstippen 1 en 3.
• Persoon C kan op tijdstippen 4 en 5.
• Persoon D kan op tijdstippen 3 en 5.
Om dat probleem op te lossen, kun je het voorstellen met een tabel of graaf.
Duid een mogelijke oplossing aan in de tabel en in de graaf.
Geef een mogelijke planning van de afspraken.
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
Definitie Tweedelingsgraaf
Een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep. Er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep.
Een andere benaming voor tweedelingsgraaf is bipartiete graaf
Achteraf blijkt dat persoon A niet meer kan op tijdstip 2 en persoon C niet meer kan op tijdstip 4.
Alleen wanneer k personen ten minste k verschillende tijdstippen opgeven, kan er met zekerheid een oplossing gevonden worden.
Stelling Stelling van Hall
Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).
Na de wijzigingen levert elke combinatie van een, twee of drie personen geen probleem op. Als je echter een match zoekt voor vier personen, heb je onvoldoende verschillende tijdstippen.
Opmerking
De onderstaande tekeningen geven twee grafische voorstellingen weer van dezelfde tweedelingsgraaf.
Bij de linkse voorstelling is het niet evident om vast te stellen of de graaf een tweedelingsgraaf is. Door de knopen te herschikken, krijg je een duidelijker beeld van de groepen.
Kenmerk
Om te onderzoeken of een graaf een tweedelingsgraaf is, ga je als volgt te werk.
• Kleur een willekeurige knoop.
• Kleur alle buren van die knoop in een andere kleur.
• Kleur de buren van die knopen in de eerste kleur. Als je alle knopen met twee kleuren kunt aanduiden zonder dat buren dezelfde kleur krijgen, is het een bipartiete graaf.
• De knopen met dezelfde kleur behoren tot dezelfde groep. Dat wordt duidelijker als je ze groepeert.
Een graaf is een tweedelingsgraaf als en slechts als je alle knopen met twee verschillende kleuren kunt aanduiden, zonder dat buren dezelfde kleur hebben.
Tegenvoorbeeld
Deze graaf is geen tweedelingsgraaf, omdat knopen A en C buren zijn met dezelfde kleur.
Oefeningen
REEKS A
13 Onderzoek of de grafen tweedelingsgrafen zijn.
ja r nee
14 In een gezin is iemand vroeg naar de bakker geweest. Die persoon heeft vier verschillende koffiekoeken meegenomen.
• Papa heeft zin in een koffiekoek met pudding en chocolade of in een koffiekoek met rozijnen.
• Grootmoeder verkiest rozijnen of pecannoten.
• Vic eet het liefst een koffiekoek met pudding en chocolade.
• Janne wil graag een koffiekoek met rozijnen of een koffiekoek met appel.
a)Stel de situatie voor met een graaf.
b)Is het mogelijk om iedereen zijn voorkeur te geven? Wie eet welke koffiekoek?
REEKS B
15 Via een datingapp swipen zes vrijgezellen (A, B, C, D, E, F ) naar rechts als ze interesse hebben, en naar links als zich minder aangetrokken voelen tot de persoon (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Dat levert het volgende overzicht op. De ‘x’ in de tabel toont wie interesse heeft in wie.
a)Stel de situatie voor met een graaf.
b)Is het mogelijk om op hetzelfde tijdstip voor iedereen een date in te plannen? Verklaar.
c)Zou het mogelijk zijn als persoon C bij persoon 4 naar rechts swipet? Indien ja, wie date dan met wie?
Tweedelingsgrafen: REEKS C
10.4 Eulergrafen
10.4.1
Het probleem van Koningsbergen
Het ontstaan van de grafentheorie wordt doorgaans gesitueerd in de achttiende eeuw, toen de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen oploste.
Op de onderstaande kaart zie je een voorstelling van het Duitse Koningsbergen in 1651. Door de stad stroomt de rivier Pregel, die het eiland Kneiphof omringt, en die zich verder opsplitst in twee armen. Om de verschillende stadsdelen met elkaar te verbinden, werden er zeven bruggen gebouwd over de rivier.
Het probleem van de zeven bruggen luidt als volgt: is het mogelijk om een wandeling doorheen de verschillende stadsdelen A, B, C, D te maken waarbij je elke brug juist één keer gebruikt?
Om dat probleem op te lossen, vertaalde Euler het naar de onderstaande graaf.
Hij labelde de verschillende stadsdelen als A, B, C en D en stelde die voor als knopen. De bruggen stelde hij voor als bogen.
Vervolgens moest hij nagaan of het mogelijk is om alle bogen in de graaf van Koningsbergen precies één keer te doorlopen in een gesloten wandeling.
Een graaf die je op die manier kunt doorlopen, noem je een eulergraaf Het gesloten circuit dat je daarvoor gebruikt, noem je een eulercircuit
Het probleem vertaalt zich dus als volgt: is de graaf van Koningsbergen een eulergraaf?
Met andere woorden: bestaat er een eulercircuit in die graaf?
Eulerspoor
Definitie Eulerspoor
Een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Noteer een eulerspoor onder elke graaf.
Kenmerk
Noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?
Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Verklaring
Een eulerspoor gaat precies één keer door alle bogen van de graaf. Als je kijkt naar de knopen die niet aan de uiteinden van het spoor zitten, zie je dat elke keer als het spoor via een boog een knoop binnenkomt, het via een nog ongebruikte boog de knoop weer verlaat. Voor die knopen geldt dat zij een even graad hebben. Alleen de twee eindpunten hebben een oneven graad.
Eulercircuit
Definitie Eulercircuit
Een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Noteer een eulercircuit onder elke graaf.
Noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?
Kenmerk Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben.
Eulergraaf
Definitie Eulergraaf
Een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit. Is het mogelijk om een wandeling te maken over de zeven bruggen van Koningsbergen?
10.4.3 Algoritme van Hierholzer
Een algoritme is een stappenplan met instructies dat beschrijft hoe je een bepaald probleem oplost.
Een recept om te koken of een handleiding om een kast in elkaar te zetten, zijn eenvoudige voorbeelden van algoritmes.
Met dit algoritme bepaal je een eulerspoor of -circuit in een samenhangende graaf (als die aan de bijbehorende noodzakelijke voorwaarde voldoet).
1)Bij een eulerspoor neem je als begin- en eindpunt de knopen met een oneven graad. Bij een eulercircuit neem je als begin- en eindpunt één willekeurige knoop van de graaf.
2)Bepaal een wandeling tussen die twee knopen.
3) Als de wandeling nog niet alle bogen doorloopt, voeg dan net zolang omwegen toe totdat alle bogen precies één keer in het pad voorkomen.
• De bogen AB, BD, DC, CA, DE, EH, HG en GD zijn nog niet doorlopen.
Je maakt daarom eerst de omweg CABDC en voegt die aan de wandeling toe.
Je krijgt dan: CABDCFG
• Nu zijn de bogen DE, EH, HG en GD nog niet doorlopen.
Je maakt daarom de omweg GDEHG en voegt die aan de wandeling toe.
Je krijgt: CABDCFGDEHG
Nu heb je alle bogen precies één keer doorlopen.
Toepassingen
Tekenen
Een bekende puzzel is het ‘kruishuis’, ook wel de ‘geopende envelop’ genoemd.
De bedoeling van de puzzel is om het plaatje te tekenen zonder je potlood van het papier te halen en zonder bogen dubbel te doorlopen.
b)Kun je een wandeling maken waarbij je elke doorgang precies één keer passeert en waarbij je begint en eindigt in de hal? Noteer, indien mogelijk, de wandeling. GEOGEBRA
beginknoop eindknoop
Bekijk de figuur hieronder. Is het mogelijk om op dezelfde manier een dubbel kruishuis te tekenen?
Plattegrond
In een museum vindt een tentoonstelling plaats in zeven museumzalen en een hal.
a)Stel de situatie voor met een graaf en noteer bij elke knoop de graad.
Stratenplan
Hoe kun je zo efficiënt mogelijk de planning opmaken van de huisvuilophalers in een New Yorkse wijk?
Voor de eenvoud veronderstel je dat de vuilniswagen langs beide kanten van een straat gelijktijdig het vuil kan ophalen. Om al het huisvuil in de straten op te halen, moet de vuilniswagen dus één keer door elke straat rijden.
16 Kun je in de volgende grafen een eulerspoor of eulercircuit tekenen? Vink aan.
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
17 Kun je de volgende grafen tekenen zonder je pen op te heffen? Vink aan. Indien ja, noteer een wandeling die daaraan voldoet.
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
18 Zijn de volgende grafen eulergrafen? Verklaar.
a)graaf 1
c)graaf 3
b)graaf 2
d)graaf 4
REEKS B
19 Kun je doorheen dit gebouw een wandeling maken waarbij je elke deur één keer passeert? Verklaar.
20 Je bent detective en wordt gevraagd om de moord op een graaf op te lossen. Hieronder zie je de plattegrond van het verblijf van graaf Schola. De graaf werd vermoord in de zitkamer. De butler beweert dat hij gezien heeft hoe de tuinman vanuit de tuin de zitkamer binnenkwam en die even later weer verliet naar de tuin. De tuinman beweert echter dat hij niet de man kan zijn die de butler zag, want nadat hij het huis binnenging, ging hij precies één keer door elke deur. Vervolgens verliet hij het huis via een andere deur. Toon aan dat de tuinman liegt.
REEKS C
21 De onderstaande figuur toont de plattegrond van een spiegelpaleis in een amusementspark. Als bezoeker start je bij de ingang en loop je door elke deur, totdat je de uitgang bereikt. Zodra je een deur gepasseerd bent, sluit die automatisch. Zolang nog niet alle deuren in een kamer gesloten zijn, kun je de weg uit de kamer vinden. Is het altijd mogelijk om je weg uit het doolhof te vinden, of bestaat het risico dat je voor altijd in de spiegelhal opgesloten zit?
10.5.1 Bomen
Een organigram geeft de hiërarchie in een bedrijf weer.
Bij het opstellen van een organigram kun je gebruikmaken van grafen.
Dat soort graaf noem je een boom.
Definitie Boom
Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels.
Specifieke terminologie
• De bladeren van een boom zijn de knopen met graad één.
• De interne knopen van een boom zijn de knopen met een graad groter dan één.
Om de kosten te drukken, wil het aannemersbedrijf zo weinig mogelijk rioolbuizen gebruiken. Welke buizen moet het bedrijf leggen?
Om dat probleem op te lossen, zoek je een deelgraaf van de graaf die aan een aantal eisen voldoet:
• De deelgraaf bevat alle knopen van de oorspronkelijke graaf.
• De deelgraaf is samenhangend.
• De deelgraaf bevat geen cykels.
Een deelgraaf die aan die voorwaarden voldoet, noem je een opspannende boom
Om de lengte van de rioolbuizen te beperken, zoek je een minimaal opspannende boom.
Definitie Minimaal opspannende boom
Een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:
• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat;
• een boom met het kleinste totale gewicht.
Om de minimaal opspannende boom te zoeken in een graaf, bestaan meerdere algoritmes. Het bekendste is het algoritme van Kruskal.
10.5.3 Algoritme van Kruskal
Het algoritme van Kruskal werkt als volgt:
1)Start met de boog met het kleinste gewicht.
2)Selecteer de boog met het kleinste gewicht die nog over is, en voeg die toe. Let op: als de boog met het kleinste gewicht een cykel creëert, duid je die aan in een andere kleur en neem je de volgende boog.
3)Ga zo verder met het toevoegen van bogen tot alle knopen verbonden zijn.
Voorbeeld
Bepaal met behulp van het algoritme van Kruskal de minimaal opspannende boom in deze graaf.
• Bogen AD en CE met gewicht 5 zijn de kortste bogen. Je kiest er willekeurig een uit, in dit geval AD
• CE is de kortste nog niet gekozen boog.
DF is de kortste nog niet gekozen boog.
• Bogen AB en BE met gewicht 7 zijn de kortste nog niet gekozen bogen. Je kiest willekeurig AB
BD vormt met AB en AD een cykel. Die sluit je daarom uit in het verdere proces.
• BE is de kortste nog niet gekozen boog.
Sluit alle bogen (BC, DE en EF) die een cykel vormen, uit.
• EG is de kortste nog niet gekozen boog.
Daarmee zijn alle knopen verbonden.
Toegepast op het rioolnetwerk
Pas het algoritme toe op het rioolnetwerk uit de probleemstelling.
Hoeveel meter rioolbuizen zal de aannemer moeten leggen?
REEKS A
22 Creëer een minimaal opspannende boom in de volgende grafen.
23 In een nieuwbouwwijk moet er glasvezelkabel komen.
In de onderstaande graaf zie je waar de kabels kunnen komen, met de bijbehorende afstanden (in m).
a)Vind een netwerk waarin zo weinig mogelijk glasvezelkabel wordt gebruikt.
b) Hoeveel meter kabel moet minstens worden voorzien?
REEKS B
24 In de tabel vind je de afstanden (in mijl) tussen zes plaatsen in Ierland.
a) Teken een graaf en bepaal een routenetwerk waardoor de steden onderling verbonden zijn met een zo klein mogelijke afstand.
b) Wat is de minimale afstand van het routenetwerk?
Kortste pad
Graafkleuringen
Vierkleurenstelling
Je wilt de gebieden van een landkaart inkleuren, zodat twee aaneengrenzende gebieden eenverschillende kleur krijgen. ‘Aaneengrenzend’ betekent dat ze een stuk grens gemeen hebben enniet enkel een grenspunt.
Dat probleem kun je vertalen naar een grafenprobleem.
Je voorziet voor elk gebied een knoop en je verbindt twee knopen met een boog als de gebieden aan elkaar grenzen.
Als je de knopen van een graaf wilt kleuren zodat elke twee buren een verschillende kleur hebben, hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Francis Guthrie stelde in 1852 dat het mogelijk is om elke willekeurige landkaart in te kleuren met vier kleuren.
In 1890 slaagde Percy Heawood erin om dat te bewijzen voor vijf kleuren.
Pas in 1976 werd de vierkleurenstelling bewezen door Appel en Haken met behulp van een computer.
Er is helaas geen efficiënt algoritme bekend om dat voor een willekeurige graaf te doen met een minimaal aantal kleuren.
Wel zijn er snelle algoritmen die vaak, maar niet altijd, het minimale aantal kleuren opleveren.
1)Noteer de graad van elke knoop.
Kleur de knopen op volgorde van hun graad. De knoop met de hoogste graad kleur je eerst. Voor knopen met een gelijke graad kies je een willekeurige onderlinge volgorde.
2)Kleur de knopen zo zuinig mogelijk.
• Als A niet verbonden is met B, dan krijgt B dezelfde kleur als A
• Als C wel met B, maar niet met A verbonden is, dan krijgt C dezelfde kleur als A, behalve als B al dezelfde kleur had als A. Dan krijgt C een nieuwe kleur.
• Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn.
Zo pas je het algoritme toe op de kaart van België.
• Je noteert de graad van elke knoop.
• Je kleurt de knoop met graad 7 (bv. geel).
• Er zijn twee knopen met graad 5, dus je kiest willekeurig een van de knopen.
De linkerknoop met graad 5 is een buur van de gele knoop, dus je moet een andere kleur gebruiken (bv. rood).
• De twee knopen met graad 5 zijn onderling niet verbonden, maar wel met de geel gekleurde knoop. Je kunt de kleur rood dus hergebruiken.
• Twee knopen met graad 4 zijn verbonden met geel en rood gekleurde knopen, dus moet je een nieuwe kleur gebruiken (bv. groen).
• Voor de laatste knoop met graad 4 kun je de kleur geel hergebruiken.
• Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn.
Opmerking
De volgorde waarin je knopen met dezelfde graad kiest, kan een verschillend resultaat opleveren. Kleur de knopen alfabetisch in.
aantal kleuren: aantal kleuren:
Opmerking
Het kleurgetal van een graaf is het kleinste aantal kleuren dat nodig is om de graaf te kleuren. In dit geval is het kleurgetal 3.
REEKS A
25 Kleur de grafen in, zodat buren niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal.
kleurgetal = kleurgetal = b) e)
kleurgetal = kleurgetal =
c) f)
kleurgetal = kleurgetal = Vul aan.
• Alle grafen in deze kolom zijn
• Is er een verband tussen het aantal knopen en het kleurgetal bij dat type grafen?
g)
kleurgetal =
26 Kleur de figuren zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal.
kleurgetal = kleurgetal = b) f)
kleurgetal = kleurgetal =
c) g)
kleurgetal = kleurgetal = d) h)
kleurgetal = kleurgetal =
27 Kleur de figuur zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Gebruik maximaal vier verschillende kleuren.
28 Hieronder vind je een kaart van de regio’s van Frankrijk. Kleur de kaart zo in dat aangrenzende regio’s een andere kleur hebben. Gebruik daarbij zo weinig mogelijk verschillende kleuren.
29 In een bepaalde regio installeerde men nieuwe zendmasten.
Op de figuur krijg je een beeld van de plaats en het bereik van elke mast.
Zendmasten waarbij het bereik overlapt, mogen niet op dezelfde frequentie uitzenden om storingen te vermijden.
Hoeveel verschillende frequenties heb je minimaal nodig om zo weinig mogelijk storing te hebben?
10.1 Begripsvorming
Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt.
Een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten.
Een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten.
Een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal.
Een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft.
Een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt.
Een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog.
De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop.
Een graaf G 1 is een deelgraaf van graaf G 2 als de knopen en bogen van G 1 ook knopen en bogen zijn van G 2
Een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is.
Een pad is een wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn.
De knopen worden maximaal één keer doorlopen.
Een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Een spoor is een wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
De bogen worden maximaal één keer doorlopen.
Een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
Een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is.
Een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden.
Een graaf indelen in de juiste categorie: enkelvoudige graaf, multigraaf, samenhangende graaf, gewogen graaf, gerichte graaf.
In een graaf:
• de graad van elke knoop bepalen;
• de verschillende deelgrafen tekenen en/of herkennen.
Een wandeling indelen in de juiste categorie: pad, cykel, spoor, circuit.
Onderzoeken (met ICT) of een graaf planair is.
10.2 Eigenschappen van grafen
KENNEN
Een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren.
De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even.
10.3 Tweedelingsgrafen
KENNEN
Een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep.
Er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep.
Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).
KUNNEN
Onderzoeken of grafen tweedelingsgrafen zijn.
De stelling van Hall toepassen om te analyseren of een bepaalde planning mogelijk is.
10.4
Eulergrafen
KENNEN
Een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben.
Een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit.
KUNNEN
Met behulp van eigenschappen analyseren of een graaf een eulerspoor of eulercircuit bevat.
Met het algoritme van Hierholzer een eulerspoor of eulercircuit bepalen.
10.5 Minimaal opspannende boom voor de leerling
KENNEN
Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels.
Een graaf is een boom als en slechts als:
• er tussen elk paar knopen juist één pad is;
• de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf.
Een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:
• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat;
• een boom met het kleinste totale gewicht.
KUNNEN
Een boom herkennen met behulp van de eigenschappen.
Een minimaal opspannende boom bepalen in een gewogen graaf.
10.6 Graafkleuringen
KUNNEN
Gebieden inkleuren met zo weinig mogelijk verschillende kleuren, zodat de aaneengrenzende gebieden verschillende kleuren hebben.
Pienter problemen oplossen
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? concreet materiaal schets
1.Jan liegt altijd op maandag, dinsdag en woensdag, en niet op de overige dagen. Piet liegt altijd op donderdag, vrijdag en zaterdag, en niet op de overige dagen.
Op een dag zegt Jan tegen Piet: ‘Morgen zal ik liegen.’
Piet reageert: ‘Morgen zal ik ook liegen.’
Op welke dag vond dat gesprek plaats?
2.Mieke, Lotte, Jef, Leo en Fleur zijn de vijf kinderen van Stijn. Stijn heeft in totaal vijftien kleinkinderen. Mieke is de tante van dertien van die kleinkinderen, Lotte de tante van twaalf, Jef de nonkel van elf en Leo de nonkel van tien. Hoeveel kinderen heeft Fleur?
3.Wat is de som van alle getallen van rij 1 tot en met rij 2 022 in de volgende tabel?
rij 1
rij 2
rij 3
rij 41–11–1
rij 51–11–11
4.Maurenz rijdt van Kalmthout naar Snellegem, een traject van 130 km. Het eerste uur rijdt hij 10 km/h. Hij verdubbelt elk uur zijn snelheid. Hoelang doet hij erover om Snellegem te bereiken (in minuten)?
