Curso específico para concursos by Ulisses Marçal de Carvalho

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marçal de Carvalho RACIOCÍCIO MATEMÁTICO NO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL.

Ex.: 5, 6, 4, 8, ... ii) Por Sua Espécie: a) Homogêneos: É o número que indica coisas de mesma espécie. Ex.: 5 cadernos e 9 cadernos. b) Heterogêneos: É o número que indica coisas de espécie diferentes. Ex.: 5 lápis e 3 cadernos.

O objetivo desse capítulo é mostrar o raciocínio matemático empregado com método indutivo em diversas situação envolvendo o sistema de numeração decimal. Veremos também que a partir de resultados gerais, podemos obter soluções simples em algumas situações numéricas.

iii) Pelas Partes Que Indicam: a) Inteiro: É um número que consta só de unidades. Ex.: 3 cadernos e 6 livros Os números podem ser: (a1) Simples: É o número formado de um só ALGARISMO. Ex.: 2, 3, 4, 5. ALGARISMO: São os símbolos que representam os números. (a2) Compostos: É o número formado por dois ou mais algarismos. Ex.: 25, 37, 54, 14, 128, 1459. b) Fracionário: É o número que indica uma ou mais partes da unidade.

1. NÚMERO 1.1 Definição: É o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. 1.2 Grandeza: É tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. As grandezas de classificam em: a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade qualquer. Ex.: Uma peça de pano, um rolo da barbante.

2 1 5 , , . Ex.: 3 5 9

b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade determinada. Ex.: Uma porção de bolas, um grupo de pessoas.

FRAÇÃO: Parte igual em que foi dividido o inteiro. Os números fracionários se dividem em:

c) Homogêneas: São grandeza da mesma espécie. Ex.: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas. d) Heterogêneas: São as grandezas de espécie diferentes. Ex.: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas. 1.3 Unidade: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. 1.4 Classificação dos Números: números são classificados em:

c) Misto: É o número formado por um número inteiro e um número fracionário. Decimal : 5,3; 7,252525... � � 1 2 � Ordinário : 2 ; 4 � 3 5 � Classificam-se em:

Observações: (1) Sistema de Numeração: É o conjunto de processos empregados para se representar os números. (2) Algarismos Significativos: São os algarismos – 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8 e 9. Um algarismo significativo tem dois valores: - Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito isoladamente. Ex.: No número 5.349 – o algarismo 5 vale 5, o algarismo 3, vale 3; e assim por diante.

i) Por Sua Natureza: a) Concreto: É o número que determina a espécie de unidade a que se refere. Ex.: 3 bolas, 5 camisas, 7 cadernos, ... b) Abstrato: É o número que não determina a espécie de unidade a que se refere. 1

- Relativo: É o valor posicional que o algarismo possui de acordo com o lugar que ele ocupa na escrita do número. Ex.: No número 5.349 – o algarismo 5 vale 5.000, o algarismo 3, vale 300; e assim por diante.] VEJAMOS ALGUNS TIPOS PROBLEMAS RELATIVOS NÚMEROS

Obs.: Basta subtrairmos do número maior o menor. 527 – 243 = 284 números.

11. Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 180 excluído e 320 incluído.

DE AOS

12. Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 230 incluído e 890 excluído.

01. De 257 a 641 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem?

13. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números de 1, 2 e 3 algarismos. Solução: (i) Os números de 1 algarismo começam de 1 até 9 incluídos: 9 – 1 = 8 � 8 + 1 = 9. São, portanto, 9 números de 1 algarismo e são necessários 9 x 1 = 9* algarismos para escrevê-los. (ii) Os números de 2 algarismos começam em 10 até 99 incluídos; são, portanto: 99 – 10 = 89 � 89 + 1 = 90. São, portanto, 90 números de 2 algarismos e são necessários 90 x 2 = 180 algarismos para escrevêlos. (iii) Os números de 3 algarismos começam em 100 até 999 incluídos; são, portanto: 999 – 100 = 899 � 899 + 1 = 900. São, portanto, 900 números de 3 algarismos e são necessários 900 x 3 = 2700 algarismos para escrevê-los.

Obs.: Basta subtrair do maior número o menor, e somar uma unidade. 641 – 257 = 384 � 384 + 1 = 385 números.

02. De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem? 03. De 480 a 720 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem? 04. De 371 a 840 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem?

Conclusão: para escrever todos os números de 1, 2, e 3 algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2700 = 2889 algarismos.

05. De 31 a 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem, incluindo esses números.

14. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 1 até 88.

06. De 345 a 789 excluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem?

Solução: (i) Os números de 1 algarismo começam de 1 até 9 incluídos: 9 – 1 = 8 � 8 + 1 = 9. São, portanto, 9 números de 1 algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 algarismos para escrevê-los. (ii) Os números de 2 algarismos começam em 10 até 99 incluídos; são, portanto: 88 – 10 = 78 � 78 + 1 = 79. São, portanto, 79 números de 2 algarismos e são necessários 79 x 2 = 158 algarismos para escrevêlos.

Obs.: Basta subtrair do maior número o menor, e diminuirmos uma unidade. 345 – 789 = 444 � 444 - 1 = 443 números.

07. De 257 a 641 excluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem?

Conclusão: para escrever todos os números de 1, 2, e 3 algarismos, serão necessários: 9 + 158 = 167 algarismos.

08. De 132 a 186 excluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem?

15. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 30 até 176. R: 371

09. De 20 a 251, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem, excluindo esses números.

16. Determinar o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 31 até 245. R: 576

10. Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 243 excluído e 527 incluído. 2

17. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 30 até 91. R: 124

26. Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram necessários. Solução: (i) Da pagina 1 até a 9 foram utilizados: 9 – 1 = 8 + 1 = 9 números de 1 algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos. (ii) Da pagina 10 até a 99 foram utilizados: 99 – 10 = 89 + 1 = 90 números de 2 algarismos. Logo, 90 x 2 = 180 algarismos. (iii) DA pagina 100 até a 126 foram utilizados: 126 – 100 = 26 + 1 = 27 números de 3 algarismos. Logo, 27 x 3 = 81 algarismos. Conclusão: 9 + 180 + 81 = 270 algarismos!

18. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 37 até 239. R: 546 19. Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. R: 2.694

27. Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários para enumerá-las? R: 342

20. Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive. R: 151.023

28. Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão necessários para enumerá-las? R: 282

21. Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de três algarismos. R: 2700

29. Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las? R: 9.265

22. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de cinco algarismos. R: 450.000

30. Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro.

23. Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de sete algarismos. R: 63.000.000

Solução: (i) Para enumerar as 9 primeiras páginas usam-se: 9 x 1 = 9 algarismos. (ii) Para enumerar as 90 páginas seguintes usam-se: 90 x 2 = 180 algarismos. Observe que, até agora, já usamos: 180 + 9 = 189 algarismos. Temos, então, 270 – 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enumerar páginas de três algarismos. Logo, 81 �3 = 27 páginas. Portanto, o total de páginas será: 9 + 90 + 27 = 126.

24. Determinar o número de algarismos necessários para de escrever os números pares de 6 até 281 inclusive. Solução: (i) De 6 a 9 existem dois números pares: 6 e 8. (ii) De 10 a 99 existem: 99 – 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 45 são pares, de dois algarismos. (iii) DE 100 até 281 existem: 281 – 100 = 181 + 1 = 182 números dos quais 91 são pares, de três algarismos.

32. Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro. R: 229

Conclusão: para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos: 2x1=2 45 x 2 = 90 91 x 3 = 273 Soma = 365 algarismos!

33. Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro. R: 468

25. Determinar o número de algarismos necessários para de escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive. R: 207

34. Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 3.421 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro. R: 1.132 3

35. Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $0,05 por algarismos? R: 138

números e são necessários 90 x 2 = 180 algarismos para escrever; (iii) Os números de 3 algarismo começam de 100 (102) e vão até 1000 (103), exclusive: 103 – 102 = 102(10 – 1) = 100 x 90 = 900 números e são necessários 900 x 3 = 2700 algarismos para escrever;

36. Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, devendo ganhar $5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse trabalho $1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum. R: 150

(iv) Em geral: Os números de n algarismos começam de 10n – 1 e vão até 10n, exclusive; há, portanto: 10n – 10n – 1 = 10n – 1(10 – 1) = 10n – 1 x 9 números e são necessários para escrever:

n x 10n – 1 x 9 � 9n x 10n-1 02. Determinar o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 1 até 10n, exclusive.

37. Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o algarismo que ocupa o 1173º lugar.

Solução: Pelos resultados obtidos acima, podemos escreve: 9 números de 1 algarismo; 9 x 10 números de 2 algarismos; 9 x 102 números de 3 algarismos; .... 9 x 10n – 1 números de n algarismos;

Solução: (i) Se 1 até 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos. (ii) DE 10 até 99 escreve-se: 90 x 2 = 180 algarismos, isto é, 180 �2 = 90 Então, até o número 99 escreve-se 189 (180 + 9) algarismos. A partir do 100, os números são de três algarismos. Logo, 1173 – 189 = 984. Então, 984 �3 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173º lugar é o 7.

Logo, podemos escrever respectivamente: 9 algarismos; 2 x 9 x 10 algarismos; 3 x 9 x 102 algarismos; .... n x 9 x 10n – 1 algarismos;

38. Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 1200º lugar. R: 6 39. Escrevendo-se a série natural números inteiros, sem separar algarismos. Determinar o algarismo ocupa o 1536º lugar. R: 8 40. Escrevendo-se a série natural números inteiros, sem separar algarismos. Determinar o algarismo ocupa o 3456º lugar. R: 8

Por conseguinte, o números total de algarismos necessários para se escrever os números de 1 até 10n, exclusive, é: 9 + 2 x 9 x 10 + 3 x 9 x 102 + ... + n x 9 x 10n – 1 =

dos os que

= 9 (1 + 2 x 10 + 3 x 102 + 4 x 103 + ... + n x 10n – 1) algarismos.

03. Calcular o número de algarismos necessários para escrever os números de 1 até 1996, exclusive.

dos os que

Solução: Tem-se: 1996 = 1000 + 996 = 103 + 996 O número de algarismos necessários para se escrever os números de 1 até 103, exclusive, é: 9 (1 + 2 x 10 + 3 x 10 2) = 9(2 + 20 + 300) = 9 x 321 = 2.889. De 103, inclusive, até 1996, exclusive, há 996 números de 4 algarismos e para os escrever são necessários 4 x 996 = 3.984 algarismos. Por conseguinte, o número procurado de algarismos é: 2.889 + 3.984 = 6.873 algarismos.

De modo geral, para: 01. Calcular o número de algarismos necessários para se escrever os números de 1, 2, 3, 4, ..., n algarismos, Solução:

04. Determinar o número de vezes que o algarismo 6 ocupa a posição das unidades, das dezenas, das centenas, em geral, das unidades de ordem n na série natural dos números de 1 até 10n.

(i) Os números de 1 algarismo começam de 1 e vão até 10, exclusive: 10 – 1 = 9 números e são necessários 9 x 1 = 9 algarismos para escrever; (ii) Os números de 2 algarismo começam de 10 e vão até 100 ou 102, exclusive: 102 – 10 = 10(10 - 1) = 90

Solução:

01. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 2342º lugar.

O algarismo 6 aparece de 10 em 10 no lugar das unidades; Repete-se, pois, 10n : 10 = 10n – 1 vezes nessa posição. O algarismo 6 ocupa a posição das dezenas ou unidades de 2ª ordem nos dez números de cada centena terminados por 60, 61, 62, 63, ..., 69. Como há 10n : 102 = 10n – 2 centenas, o algarismo 6 aparece 10n – 2 x 10 = 10n – 1 vezes na posição das unidades de 2ª ordem (dezenas). O algarismo 6 ocupa a posição das centenas ou unidades de 3ª ordem em cada um dos cem números de milhares terminados por 600, 601, 602, 603, ..., 699. Como há 10n : 103 = 10n –3 números de milhares, o algarismo 6 aparece 10n – 3 x 102 = 10n – 1 vezes na posição das unidades de 3ª ordem (centenas). Analogamente, vemos que o algarismo 6 aparece sempre 10n – 1 vezes na posição das unidades de quarta, quinta, sexta, ..., n-ésima ordem. Obs.: Considerando-se qualquer outro algarismo o resultado será o mesmo.

Solução: Se 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, utilizamos 9 x 1 = 9 alg. De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, utilizamos 90 x 2 = 180 alg. Até agora utilizamos 9 + 180 = 189 algarismos. Como são 2342 algarismos, restam, ainda, 2342 – 189 = 1253. Então: 2153 �3, temos:

2153 3

717

05 23 (2) 717 números de 3 algarismos. Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 = 816. Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos para escrevermos o número 817. Se o resto tivesse sido (1), o número seria o 8, mas com tivemos resto (2) o número que ocupa a 2342º é o algarismo 1. R: 1

R: 10n – 1 vezes!

05. Determinar o número de vezes que o algarismo 6 é escrito na série natural dos números naturais de 1 até 10n.

02. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 985º lugar. R: 3

Solução: O algarismo 6 ocupa 10 n – 1 vezes a posição das unidades de cada ordem; Como de 1 até 10n, exclusive, há n ordem de unidades, segue-se que o algarismo 6 é escrito 10 n – 1 x n vezes.

03. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 1234º lugar. R: 4

R: n x 10n – 1 vezes!

06. Certo número “a” é formado de cinco algarismos. Acrescentando o algarismo 2 à direita desse número tem-se o número b = a2, evidentemente formado de seis algarismos. Entretanto, se acrescentarmos 2 à esquerda do número “a” o número c = 2a, é claro que “c” é formado também de seis algarismos. Determinar o número “a”,

04. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o 60º algarismo escrito. R: 3 05. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o 500º algarismo escrito. R: 0.

b =3 sabendo que c .

Solução:

06. Escrevendo-se a sucessão dos número naturais, sem separar os algarismos, determine o 1800º algarismo escrito. R: 6.

b = a2 � b = 10a + 2 c = 2a � c = 2 x100.000 + a � c = 200.000 + a b Como = 3 � b = 3c � 10a + 2 = 3(200.000 + a) c = 600.000 + 3a � 10a - 3a = 600.000 - 2

07. Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000.

� 7a = 599.998 599.998 �a = 7 � a = 85.714

Solução: Se 1 até 100.000 equivale a de 1 até 105. Como algarismo das unidades o 3 aparece 10n – 1, isto é, 105 – 1 = 104. Como algarismo das dezenas o 3 aparece 10n – 1, isto é, 105 – 1 = 104. Como algarismo das centenas o 3 aparece 10 n – 1, isto é, 105 – 1 = 104. Como algarismo de milhar o 3 aparece 10n – 1, isto é, 105 – 1 = 104.

Vejamos mais alguns problemas

Concluímos que, de 1 até 10 5, o algarismo 3 aparece 5 x 10 4 = 5 x 10.000 = 50.000 vezes!

16. Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros entre os algarismos 5 e 6?

08. Determinar o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão dos números de 1 até 1.000. R: 300

Solução: 34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido! Prova: 3.450.067 – 34.567 = 3.415.500.

09. Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números de 1 até 10.000. R: 500

17. Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero entre os algarismos 5 e 4? R: 22.500

10. Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000. R: 5.000

18. Que alteração sofre o número 1957 quando se introduz dois zeros entre os algarismos 9 e 5? R: 188.100

11. Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8?

19. Que alteração sofre o número 678 quando se introduz um zero entre os algarismos 6 e 7? R: 54.000

Solução: Do número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37 Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, isto é: 508, 518, 528. Na parte relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figurou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em cada centena. Apareceu, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes. Nas centenas não apareceu nenhuma vez, isto porque, ao escrevermos o último número 537, não havíamos chegado a empregar o algarismo 8, como algarismo das centenas. Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece: 3 + 100 = 103 vezes quando se escreve se 1 até 537. R: 103 vezes

20. Qual a 1732º letra ABCDEABCDEABCDEABCDE...?

sequência

Solução: Veja que a sequência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, isto é, de 5 em 5 letras. Logo, devemos dividir 1732 por 5 e obter o resto dessa divisão, assim, teremos:

1732 5 346

23 32 (2) � sobram duas letrar além da sequência

12. Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 5? R: 142

Logo, só podemos escrever da próxima sequência as letras AB, Portanto, a letra que ocupa 1732ª é a letra B!

21. Qual a 2080º DCABDCABDCABDCAB...? R: B

13. Escrevendo-se os números de 1 até 327, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 4? R: 62 14. Escrevendo-se os números inteiros desde 1 até 2.850, determine quantas vezes aparecerá o algarismo sete. R: 865 Observação: “Intercalando-se zeros entre os algarismos de um número o aumento que sofre o número será igual ao PRODUTO da parte do número que fica à esquerda dos zeros intercalados, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que ficam à direita dos zeros intercalados; por tantos noves quantos forem os zeros intercalados.”

letra

sequência

22. Qual a 1993º letra ABCDEABCDEABCDEABCDE...? R: A

sequência

23. Qual a 1039º letra ABCDEABCDEABCDEABCDE...? R: C

sequência

24. Qual a 1473º letra da sequência CDEFGHCDEFGH...? R: E ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

15. Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero entre os algarismos 3 e 4? Solução: 23.000 x 9 = 207. 000, aumento sofrido Prova: 230.486 – 23.486 = 207.000.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marçal de Carvalho RACIOCÍCIO MATEMÁTICO NO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL. – PARTE II.

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2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Os sistemas de numeração se caracterizam por sua BASE. O números de algarismos de um sistema é igual a base.

2.1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Já conhecemos o sistema de numeração decimal ou de base 10, que utiliza os 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representação dos números reais. Um aspecto muito importante da representação de um número, ou seja, do seu numeral, é o valor posicional dos algarismos que o compõe. Assim, por exemplo, no número 234 (duzentos e trinta e quatro) o algarismo 2 possui valor de posição 200, o algarismo 3 possui valor posicional 30 e o algarismo 4, valor posicional 4. Podemos escrever:

2.2 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UM NÚMERO No sistema de numeração decimal, um número de numeral (abcd...j) composto por n algarismos a, b, c, d, ..., j pode ser representado genericamente por:

(abcd L j ) = a.10n- 1 + b.10n- 2 + c.10n- 3 +L + j.100 onde (abcd L j ) possui n algarismos 2.3 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO Analogamente ao sistema de numeração decimal, que usa os dez algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representar os números na base 10, podemos considerar o sistema de numeração BINÁRIO, que utiliza apenas os algarismos 0 e 1 para representar os números na BASE 2. NOTA: De forma genérica, um sistema de numeração de base b, com b maior ou igual 7

a 2 (b ≥ 2), será aquele sistema que usará os algarismos 0, 1, 2, 3, ..., b – 1.

Obs.: Dividimos o número pela base desejada, a seguir, dividimos o quociente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos até encontrar um quociente menor que a base. O número escrito na nova base será, então, formado pelo último quociente seguido dos restos encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o primeiro.

Exemplos: SISTEMA DE BASE 10: São usados os algarismos 0, 1, 2, 3, ..., 9. SISTEMA DE BASE 8: São usados os algarismos 0, 1, 2, 3, ..., 7. Este sistema é conhecido como SISTEMA OCTAL. SISTEMA DE BASE 2: São usados os algarismos 0 e 1. Este sistema é conhecido como SISTEMA BINÁRIO.

03. O número 83452 está escrito na base 10, escreva-o no sistema de base 7.

SISTEMA DE BASE 16: São usados os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e os símbolos A, b, C, d, E, F para representar os números 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente. Este sistema também é conhecido como SISTEMA HEXADECIMAL. Obs.: Como este sistema utiliza as letras A, b, C, d, E, F para representar os numerais 10, 11, 12, 13, 14 e 15 respectivamente, alguns numerais escritos na base 16 podem possuir somente letras.

(83452)10 = (465205)7.

04. O número 83452 está escrito na base 10, escreva-o no sistema de base 4. R: (0113330)4 05. O número 83452 está escrito na base 10, escreva-o no sistema de base 5. R: (231342)5 06. Escreva o número 288 no sistema de base 3. R: (31200)3 07. Escreva o número 43456 no sistema de base 6. R: (533103)6.

Exemplos: O numeral 64218 escrito na base 16 fica: FAdA. O numeral 12237514 escrito na base 16 fica: bAbACA O numeral 186 escrito na base 16 fica: bA.

2.5 PASSAR UM NÚMERO DO SISTEMA DE BASE QUALQUER PARA UM SISTEMA DE BASE SECIMAL

2.4 PASSAR UM NÚMERO DO SISTEMA DE BASE 10 PARA UM SISTEMA DE BASE QUALQUER Neste caso, devemos utilizar o seguinte algoritmo: DIVIDIR, SUCESSIVAMENTE, O NÚMERO Pela base que se quer. JUSTIFICATIVA: Para justifica este algoritmo, vamos inicialmente, considerar a base 10. Exemplos: 01. Escrever o número (370)10 no sistema de base 8. Solução:

Vejamos como se faz: Escreva uma SOMA onde as parcelas são:  O algarismo da elevada a zero;  O algarismo das elevada a um;  O algarismo das elevada a dois;  O algarismo das elevada a três; E assim por diante ...

unidade, vezes à base dezenas, vezes à base centenas, vezes à base milhares, vezes à base

Exemplos: 01. O número (562)8 está escrito na base 8. Escreva-o na base decimal.

02. O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base 6. Solução:

Solução: (562)8 = 2 x 80 + 6 x 81 + 5 x 82 = 2 x 1 + 6 x 8 + 5 x 64 = 2 + 48 + 320 = 370 02. O número (2412)6 está escrito na base 6. Escreva-o na base decimal. 8

R: 584.

R: 7.

03. Escreva o número (213)4 na base 10. R: 39.

07. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema de base 10, se escreve 46. R: 8.

04. Escreva o número (2416)3 na base 10. R: 99.

08. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do sistema decimal se escreve 337. Solução: Seja x a base desejada, então temos: (337)x = 223.

05. Escreva o número (465205)7 na base 10. R: 83452. Escreva o número (2001)2 na base 10. R: 17. 2.6 PASSAR UM NÚMERO DO SISTEMA DE BASE QUALQUER PARA UM SISTEMA DE BASE QUALQUER Como fazer: Passamos o número para a base decimal e, em seguida, passamos o número obtido para a base desejada.

A base procurada é 8. 09. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema decimal se escreve 123. R: 5.

01. Escreva o número (213)4 na base 5.

10. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do sistema decimal se escreve 145. R: 9

Solução: (i) Passamos (213)4 para a base decimal;

11. Um número de dois algarismos, escritos na base 7, escreve-se na base 9 com os algarismos e ordem inversa. Determinar esse número na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.

(213)4 = 3 x 40 + 1 x 41 + 2 x 42 = 3 + 4 + 32 = 39 (ii) Agora, passamos o número 39, que está escrito na base 10, para a base pedida, nesse caso, a base 5.

Solução: Seja ab o número. Então: (ab)7 = (ba)9. (ab)7 = (ba)9 b x 70 + a x 71 = a x 90 + b x 91 b + 7a = a + 9b 6a = 8b 3a = 4b Para que a igualdade desses produtos exista, devemos ter: a = 4 e b = 3. Logo, o número será: (43)7 ou (34)9 Na base 10 teremos: (43)7 = 3 x 70 + 4 x 71 = 3 + 28 = 31 ou (34)9 = 4 x 90 + 3 x 91 = 4 + 27 = 31.

R: (124)5. 02. Escreva o número (2132)3 na base 4. R: (422)4. 03. Escreva o número (1212)5 na base 2. R: (1001010)2. 04. Escreva o número (102)5 na base 4. R: (122)4. 05. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do sistema decimal se escreve 32.

12. Um número de dois algarismos, escritos na base 3, escreve-se na base 5 com os algarismos e ordem inversa. Determinar esse número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5. R: 7. ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Solução: Seja x a base desejada, então temos: (32) x = 23

06. Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do sistema decimal se escreve 63. 9

3. NÚMEROS INTEIROS As operações fundamentais com os números inteiros são quatro:  Adição  Subtração  Multiplicação  Divisão 3.1 Adição: é a operação que tem por fim reunir vários números homogêneos em um só. Os números que compõe a SOMA são as PARCELAS e o resultado da operação chama-se SOMA. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: a) Elemento neutro: O ZERO é o elemento neutro da adição nos números naturais. 5 + 0 = 5; 0 + 7 = 7. b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sempre um número natural. 2 + 5 = 7;2 + 8 + 5 = 15 c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. 3 + 5 + 2 = 10 5 + 2 + 3 = 10 10

2 + 3 + 5 = 10 d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma. 5 + 3 + 7 + 2 = (5 + 3 ) + (7 + 2) = 8 + 9 = 17. 5 + 3 + 7 + 2 = (5 + 3 + 7) + 2 = 15 + 2 = 17.

-4 � 4 + 2 � - 6 8 6 �6 =8-2

b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará aumentado desse número. 16 16 -6 � 6 - 2 � - 4

Obs1.: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantidade, a soma fica aumentada dessa quantidade. Obs1.: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantidade, a soma fica diminuída dessa quantidade.

10 12 � 12 = 10 + 2 (vii) Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses números. 20 � 20 + 6 = 26 -8 � 8 - 5 � - 3

3.2 Subtração: a operação que tem por fim tirar um número MENOR, chamado SUBTRAENDO, de outro número MAIOR, chamado MINUENDO; e cujo resultado chama-se DIFERENÇA ou RESTO.

23 � ( 23 - 12 ) = 11 = 6 + 5

(viii) Diminuindo certo número do minuendo e aumentando-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma desses números. 20 � 20 - 6 = 14

Observação: (i) A subtração não é comutativa, nem associativa e nem possui elemento neutro.

-8 � 8 + 2 � -10

(ii) O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto. 17 � Minuendo � � -5 � subtraendo � 17 = 5 + 12 � 12 � resto � (iii) A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é igual ao dobro do minuendo. 17 � Minuendo � � -5 � subtraendo � 17 + 5 + 12 = 34 � 34 = 2 x17 � 12 � resto �

4 � ( 12 - 4 ) = 8 = 6 + 2

Questões: 01. Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o subtraendo 115. R: 130. 02. Numa subtração, o dobro do minuendo é 160. Calcule o resto, sabendo que o subtraendo vale 20. R: 60. 03. Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, no minuendo um erro de 20, para mais e no subtraendo um erro de 10 para mais. Calcule a diferença. R: 110.

(iv) Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do minuendo e do subtraendo, o resto não se altera. 17 � Minuendo � 17 + 2 = 19 � -5 � subtraendo �5 + 2 = -7 � 12 � resto 12 �

04. Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, no minuendo um erro de 50, para mais e no subtraendo um erro de 30 para mais. Calcule a diferença. R: 160.

(v) O resto varia no mesmo sentido que varia o minuendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará aumentado desse número. 17 � Minuendo � 17 + 2 = 19 � -5 � subtraendo � -5 � 12 � resto 14 � 14 = 12 + 2 �

05. A soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números. R: 3746, 154 e 3592.

b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará diminuído desse número. 17 � Minuendo � 17 - 2 = 15 � -5 � subtraendo � -5 � 12 � resto 10 � 10 = 12 - 2 �

06. Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é igual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e o resto. R: 258 e 129.

(vi) O resto varia em sentido contrário ao que varia o subtraendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará diminuído desse número.

3.3 Multiplicação: Multiplicar é repetir um número chamado MULTIPLICANDO, tantas vezes quantas são 11

as unidades de MULTIPLICADOR.

outro

número,

chamado

k) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica dividido por esse número. 15 � 15 / 3 = 5 x4 x4

Obs.: Na multiplicação, os termos são os FATORES e o resultado é o PRODUTO.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

Questões:

a) Elemento neutro: o Um (1) é o elemento neutro da multiplicação.

01. O produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador. R: 15 e 8;

b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um número natural.

02. O produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores. R: 18 e 33.

c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto. d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir dois ou mais deles pelo seu produto.

03. O produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador. R: 8.

e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e soma-se os produtos.

04. O produto de dois números é 248. Multiplicandose em deles por 2 e o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números. R: 1488. 3.4 Divisão: É a operação que tem por fim achar quantas vezes um número contém outro. Os números que entram na formação de uma divisão são:

f) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma diferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por esse número e, a seguir, subtrai-se os produtos. g) Elemento nulo: Quando um dos fatores é ZERO, o produto é ZERO.

a) Dividendo: É o número que há de ser dividido; b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá ser dividido o dividendo; c) Quociente: É o resultado da divisão; d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata.

5 x 0 = 0; 3 x 5 x 7 x 0 x 8 = 0 h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto fica aumentado de uma quantidade igual ao número multiplicado pelo outro fator. 5 �5+2 = 7 x4 x4 20

ATENÇÃO!

28 � 28 - 20 = 8 = 2 x4

i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produto fica subtraído de uma quantidade igual ao número, multiplicado pelo outro fator. 5 �5-2 = 3 x4 x4 20

(ii) O maior resto de uma divisão é o divisor menos uma unidade:

12 � 20 - 12 = 8 = 2 x 4

j) Quando se multiplica um do fatores por um número, o produto fica multiplicado por esse número. 5 � 5 x 2 = 10 x4 x4 20

20 � 20 = 60 / 3

Obs1.: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas, o resto fica multiplicado ou dividido por esse número.

40 � 40 = 20 x 2

R: 832. Obs2.: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é:

09. Numa divisão, o quociente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 311.

a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica multiplicado por esse número. b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica dividido por esse número.

10. Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 185. Calcule o divisor. R: 347.

Obs3.: O quociente varia em sentido contrário ao que varia o divisor, isto é:

11. Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o resto é o maior possível. Determine o dividendo. R: 266.709.

a) Multiplicando-se o divisor por um número, o quociente fica dividido por esse número. b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multiplicado por esse número.

12. Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 254.

Questões:

01. Calcule o maior número que dividido por 11 dê um resto igual ao quociente. R: 120. 02. Calcule o quociente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quociente e o resto não se alteram. R: 13.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marçal de Carvalho

4. NÚMEROS FRACIONÁRIOS Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto, necessários dois números inteiros: a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração; b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração. Exemplos:

03. Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule o dividendo. R: 11. 04. O dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o menor possível, calcule o quociente. R: 13. 05. Numa divisão, o divisor é 257, o quociente é 59 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 15.419. 06. Numa divisão, o divisor é 12, o quociente é 10 e o reto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 131. 07. Numa divisão, o divisor é 28, o quociente é o quádruplo do divisor e o resto é o maior possível. Calcular o dividendo. R: 3.163. 08. Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quociente e é o maior possível. Calcule o dividendo.

4.1 Nomenclaturas das frações 1 – Frações com denominadores de 1 a 10: 13

Enuncia-se: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos, nonos e décimos. Exemplos:

o resultado pelo numerador (número de partes tomadas). Assim, podemos concluir: -- Se o numerador é zero, a fração é igual a zero: -- Se o denominador é um, a fração é igual ao numerador: --) Se o denominador é zero, a fração não tem sentido (a divisão por zero é impossível). --) Se o numerador e o denominador são iguais, a fração é igual à unidade.

2 – Frações com denominadores potências de 10: Enuncia-se: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, centésimos de milésimos etc. Exemplos:

4.4 Números mistos São números compostos por uma parte inteira e outra parte fracionária. Podemos transformar uma fração imprópria na forma mista, ou vice-versa, sem recorrer a desenhos ou figuras. Exemplos:

3 – Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o denominador seguido da palavra “avos”. Exemplos:

4.5 Frações equivalentes Duas ou mais frações que representam a mesma parte da unidade são chamadas frações equivalentes (têm o mesmo valor). Quando multiplicamos ou dividimos os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.

4.2 Tipos de frações a) Frações próprias: São aquelas em que o numerador é menor que o denominador. Exemplos:

Exemplos:

b) Frações impróprias: São aquelas em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Exemplos:

4.6 Frações irredutíveis São todas as frações em que o numerador e o denominador são números primos entre si. Exemplos:

c) Frações aparentes: São aquelas cujo numerador é múltiplo do denominador. Elas pertencem ao grupo das frações impróprias. Exemplos:

4.7 Comparação e simplificação de fração a) Comparação Quando duas frações têm denominadores iguais, a maior das frações é aquela que tem o maior numerador.

4.3 Frações particulares Para formar uma fração de uma grandeza, dividimos a grandeza pelo denominador (número de partes iguais) e multiplicamos 14

primeiro reduzi-las ao mesmo denominador e depois aplicar a regra anterior. Exemplo:

Quando vamos comparar duas frações que têm denominadores diferentes, reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra. Exemplo: Comparar as frações 5/6 e 5/7 entre si.

mmc (6, 9, 12, 18) = 36, portanto o denominador comum será 36.

Como as frações têm denominadores diferentes, reduzindo-as ao mesmo denominador.

b) Multiplicação: O produto de duas frações é outra fração, cujo numerador é o produto dos numeradores dados e o denominador é o produto dos denominadores dados. Exemplo:

mmc (6, 7) = 42, daí:

Lembrando que: 5/6 é equivalente a 35/42 e 5/7 é equivalente a 30/42.

c) Divisão: O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração. Exemplo:

Assim sendo, observamos que o numerador da primeira fração é maior que o numerador da segunda fração, portanto: 4.8 Simplificação Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo número e obter termos menores que os iniciais, formando outra fração equivalente à primeira. Exemplo: Vamos simplificar pelo método das divisões sucessivas até obter a forma irredutível (numerador e denominador primos entre si) da fração 120/440.

4.10 Números decimais e frações decimais O sistema de numeração decimal apresenta a seguinte ordem posicional dos algarismos locados no número:    

Unidades simples (1) Dezenas (10) Centenas (100) Unidade de milhar (1000)

4.9 Operações com frações a) Adição e subtração: A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas. Exemplo: Eis alguns numerais e como devem ser lidos:

A diferença entre duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores. Exemplo:

 0,9: nove décimos  0,17: dezessete centésimos  0,254: duzentos e cinquenta e quatro milésimos  5,6: cinco inteiros e seis décimos  7,18: sete inteiros e dezoito centésimos  27,391: vinte e sete inteiros, trezentos e noventa e um milésimos

Ao somar ou subtrair frações que têm denominadores diferentes, devemos 15

 472,1256: quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, duzentos, cinquenta e seis décimos-milésimos.

Para dividir um numeral decimal por 10, 100 ou 1.000 etc., basta deslocar a vírgula uma, duas ou três etc. casas decimais para a esquerda. 5,196 ÷ 10 = 0,5196 6,4 ÷ 1 000 = 0,0064 67 ÷ 10 000 = 0,0067

4.11 Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa a) Representação fracionária

4.12 Dízimas compostas

Exemplo: Vamos transformar os números decimais 0,097 e 5,691 na forma fracionária.

periódicas

simples

a) Decimais exatos: Decimais exatos são numerais decimais obtidos a partir de frações irredutíveis. Vamos, por exemplo, transformar em numerais decimais as frações irredutíveis a seguir: Exemplos:

Note-se que o numeral decimal 0,097 representa 97 milésimos e o numeral decimal 5,691, representa cinco inteiros e seiscentos e noventa e um milésimos. Para transformar um numeral decimal em fração decimal, escreve-se uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Para transformar uma fração decimal em número decimal, escreve-se o numerador da fração com tantas ordens (ou casas) decimais forem os zeros do denominador.

b) Dízimas periódicas simples: Uma dízima periódica é simples quando seu período tem início logo após a vírgula (na ordem décimo de unidade). Exemplos:

Exemplo: Vamos transformar os números fracionários 37/100 e 2.417/1000 na sua forma decimal.  37 ocupará duas casas decimais após a vírgula, pois está dividido por 100 (2 zeros), então: 0,37  2.417 ocupará três casas decimais após a vírgula, pois está dividido por 1.000 (3 zeros), então: 2,417. b) Representação propriedades

c) Dízimas periódicas compostas: Uma dízima periódica é composta quando existir(em) algarismo(s) na ordem dos décimos, centésimos, milésimos, etc. que não faz(em) parte do período. Exemplos: 1,8333..........................parte inteira: 1 parte periódica ou período: 3 parte não periódica: 8 29,31727272............... parte inteira: 29 parte periódica ou período: 72 parte não periódica: 31 341,834751751751..... parte inteira: 341 parte periódica ou período: 751 parte não periódica: 834.

decimal:

Um numeral decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros à direita da parte decimal. 2,51 = 2,510 = 2,5100 = 2,51000... Para multiplicar um numeral decimal por 10, 100 ou 1.000 etc. basta deslocar a vírgula uma, duas, três, etc. casas decimais para a direita.

Fração geradora da dízima periódica ou geratriz da dízima Quando dividimos o numerador de uma fração irredutível pelo denominador, obtemos uma dízima

12,7 × 10 = 127 132,85 × 100 = 13 852 1,345 × 10 000 = 13 450 16

periódica (simples ou composta) e dizemos que a fração primitiva é chamada de geratriz da dízima periódica. Exemplo: 5/11 é a geratriz da dízima 0,454545... OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ: Chama-se fração geratriz de uma dízima periódica a fração que deu origem a essa dízima, isto é, aquela que gerou a dízima.

5; e terá 3 casas decimais já que 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5.

Conceito: A geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração na qual o numerador é igual ao período da dízima e o denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período.

Exemplo: Converter números decimais.

7 = 0, 028 250 Veja:

Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador não contém o fator 2 e nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples. as

frações

2 5 5 , e 3 3 11 em

Solução: Como os denominadores das frações não contém os fatores 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples. 2 5 5 =, 666..., = 1, 666... e = 0, 454545... 3 3 11 Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismos da parte não periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5.

Exemplos:

Conceito: A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração na qual: – O numerador é formado escrevendo-se a parte não periódica seguida do período. Do número formado, subtrai-se a parte não periódica.

7 Exemplo: Converter a fração 12 em um número

– O denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período e por tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. Exemplos:

decimal. Solução: Converte-se em dízima periódica composta 7 7 = 2 pois, 12 2 .3 além do fator 2 aparece o fator 3; e a

parte não periódica terá dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2. 7 = 0,58333... Veja: 12 Exercício 01. Em que espécie de número decimal se convertem as frações. 89 409 232 60 95 ( a) ( b) ( c) ( d) ( e) 160 420 231 210 180

4.13 CARACTERÍSTICA DE CONVERTIBILIDADE Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5

(a) Decimal exata (b) Dízima Periódica Composta (c) Dízima Periódica Simples (d) Dízima Periódica Simples (e) Dízima Periódica Composta

5 5 = 4 Ex1.: 16 2 como o denominador não contém outro

02. Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,636363...

fator diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4.

19 R: 99 3

03. 3,(18) + 1,(45) + 0,(27) + 5,090909... R: 10

5 = 0,3125 16 Veja: 7 7 = 3 Ex2.: 250 2.5 converte-se em um número decimal exato, pois não contém outros fatores além do 2 e do

04. (0,5 + 0,333...x 1,25) / (0,8333... – 1,25) R: 1 17

05. R: 2

( 0, 75 + 0,8333...) ( 1,166... + 0, 625) Se S for a soma dos três resultados apresentados na coluna X ÷ Y, é correto afirmar que S: a) é divisível por 3; b) é múltiplo de 5; c) é um número par; d) é uma dízima periódica sem representação decimal finita; e) não pode ser calculado porque não podemos somar dízimas periódicas. Resolução: Lembramos, inicialmente, que os valores indicados na coluna X ÷ Y correspondem ao resultado da divisão do valor presente na coluna X pelo correspondente na coluna Y, na mesma linha. Logo, a soma dos três resultados apresentados na coluna X ÷ Y poderá ser representada pela soma a seguir: mmc (2; 3; 6) = 6.

Exercícios resolvidos 1. (FCC) João tinha uma caixa com pregos, mas perdeu 3 11

5 da quantidade inicial. Depois, ele usou 8 do que

sobrou na caixa. Qual fração representa a parte de pregos que sobrou na caixa?

Resolução: A quantidade inicial de pregos será representada pela fração inteira, igual a 1. Ao perder uma quantidade equivalente a 3/11 de 1-

3 11 - 3 8 = = 11 11 11 de pregos

pregos, João ficou com: A seguir, João usou 5/8 do que sobrou, ou seja, 5/8 de

De acordo com o valor encontrado, a soma “S” é representada por um número natural e par. (c). 10 - 3, 2 x1, 7 4. (FEC) Ache o valor de 0,8 - 1 .

5 8 5 x = . 8/11 resultando em: 1 8 11 11

A fração que representa a parte de pregos que sobrou na caixa, após João usar a quantidade anterior, será de: 8 5 8-5 3 - = = . 11 11 11 11 2. (FEC) Ana comeu 2/3 da quantidade total de bombons de uma caixa, e sua irmã comeu 1/4 da mesma quantidade total. A fração correspondente à quantidade de bombons que as duas comeram juntas é de:

a) –28,4. b) 2,28. Resolução:

d) 28,4. e) 0,228.

c) –22,8.

5. (FEC) Calcule:

Resolução: Inicialmente, determinaremos a fração do número de bombons consumidos por Ana e sua irmã:

Letra (e). 6.

(FGV) Ordenando os números 13 2 5 p= ,q= er= 24 3 8 , obtemos: a) p < r < q. d) q < r < p. b) q < p < r. e) r < q < p. c) r < p < q. Letra (b).

A seguir, determinaremos a fração que corresponde à quantidade de bombons que sobrou na caixa: Letra (b). 3. (FCC) Observe os dados apresentados na tabela: 18

racionais

7. (FGV) A soma da dízima periódica 0,444... com o número decimal exato 0,21 é igual à seguinte fração:

Letra (b). 8. (NCE) Ao fazer uma divisão entre dois números inteiros numa calculadora, Josimar obteve como resultado: 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a divisão feita por Josimar:

REFERENCIAS Cabral, Luiz Cláudio. Matemática básica explicada passo a passo [recurso eletrônico] / Luiz Cláudio Durão Cabral, Mauro César de Abreu Nunes. - Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. Recurso digital (Provas e concursos). Góes, Hilder Bezerra. Góes, Ubaldo Teixeira. Matemática para Concurso. 7ª ed., São Paulo: ABC Editora, 2004.

Letra (e). 9. (CFC) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0,12555...

Letra (c). 10. (NCE) As dízimas periódicas simples formadas por apenas um algarismo equivalem a frações ordinárias, conforme exemplificado a seguir: , , , Portanto, o valor de (0,666...) × (0,666...) + (0,333...) × (0,333...) é igual a: a) 0,111... c) 0,333... b) 0,222... . d) 0,444... e) 0,555... Letra (e). 11 (FCC) Cristina foi passear e gastou 1/4 do dinheiro que levou para comprar o ingresso para um show e do que restou no restaurante que foi depois do espetáculo. Se, ao final, Cristina ficou com R$24,00, com que quantia ela saiu de casa? Considere a quantia inicial como sendo: “x” reais. a) R$ 64,00. d) R$ 256,00. b) R$ 96,00. e) R$ 320,00. c) R$ 160,00. Letra (c).

Exemplos: a) 5.400 é divisível por 4? Resposta: SIM. 5.400 é um número divisível por 4, pois termina em 00. b) 653.524 é divisível por 4? Resposta: SIM. 653.524 termina em 24, que é um número divisível por 4 (pois 24 ÷ 4 = 6, número natural);

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c) 1.749.836 é divisível por 4? Resposta: SIM. 1.749.836 termina em 36, que é um número divisível por 4 (pois 36 ÷ 4 = 9, número natural).

5. DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL: D(N) 5.1. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Os critérios de divisibilidade são constituídos por regras práticas que nos possibilitam dizer se um determinado número natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja preciso efetuar essa divisão.

5.2.4 Divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) 13.245 é divisível por 5? Resposta: SIM. 3245 é divisível por 5, pois o número termina em 5.

5.1.1 Divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando é par, isto é, quando termina em 0; 2; 4; 6; 8.

b) 678.940 é divisível por 5? Resposta: SIM. 678940 é divisível por 5, pois o número termina em 0.

Exemplos: Os números 3990, 9892, 43314, 132546, 752418 são números divisíveis por 2, porque terminam em, respectivamente: 0; 2; 4; 6; 8.

5.2.5 Divisibilidade por 6:

5.1.2 Divisibilidade por 3:

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 (número par) e por 3, simultaneamente.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos forma um número divisível por 3, ou seja, um múltiplo de 3.

Exemplos: a) 72.450 é divisível por 6? Resposta: SIM. 72.450 é um número par, logo é divisível por 2; 72 450 = 7 + 2 + 4 + 5 + 0 = 18, que é divisível por 3 (pois 18 ÷ 3 = 6, número natural), logo o número 72.450 é divisível por 2 e 3, simultaneamente, então, ele é divisível por 6.

Exemplos: a) 1.104 é divisível por 3? Resposta: SIM. É divisível por 3, pois seus algarismos quando somados: 1 + 1 + 0 + 4 = 6, que é um número divisível por 3 (porque 6 ÷ 3 = 2, que é um número natural). b) 2.791.035 é divisível por 3? Resposta: SIM. 2.791.035 é constituído de algarismos que somados: 2 + 7 + 9 + 1 + 0 + 3 + + 5 = 27, gera um número divisível por 3 (pois 27 ÷ 3 = 9, número natural).

b) 112.704 é divisível por 6? Resposta: SIM. 12.704 é um número par, logo é divisível por 2; 12.704 = 1 + 1 + 2 + 7 + 0 + 4 = 15, que é divisível por 3 (pois 15 ÷ 3 = 5, número inteiro), logo o número 72.450 é divisível por 2 e 3, simultaneamente, então, ele é divisível por 6.

5.2.3 Divisibilidade por 4:

5.2.6 Divisibilidade por 7:

Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou formam outro número natural que é divisível por 4. 20

Um número natural é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.

477 = 4 + 7 + 7 = 18, como 18 é divisível por 9 (pois 18 ÷ 9 = 2, número natural), logo o número 477 é divisível por 9.

Exemplos: a) 819 é divisível por 7? Resposta: SIM. 81 – (2 × 9) = 81 – 18 = 63, que é um número divisível por 7 (pois 63 ÷ 7 = 9, número natural), então, o número 819 também é divisível por 7. b) 5.404 é divisível por 7? Resposta: SIM. 540 – (2 × 4) = 540 – 8 = 532. 53 – (2 × 2) = 53 – 4 = 49, que é um número divisível por 7 (pois 49 ÷ 7 = 7, número natural), então, número 5.404 também é divisível por 7.

b) 4.698 é divisível por 9? Resposta: SIM. 4.698 = 4 + 6 + 9 + 8 = 27, como 27 é divisível por 9 (pois 27 ÷ 9 = 3, número natural), logo o número 4.698 é divisível por 9.

c) 47.768 é divisível por 7? Resposta: SIM. 4.776 – (2 × 8) = 4.776 – 16 = 4.760 476 – (2 × 0) = 476 – 0 = 476 47 – (2 × 6) = 47 – 12 = 35, que é um número divisível por 7 (pois 35 ÷ 7 = 5, número natural), então, número 47.768 também é divisível por 7.

Exemplos: a) 320 é divisível por 10, pois o número termina em 0.

5.2.9 Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível por 10 se for divisível por 2 (número par) e também por 5, simultaneamente. Assim sendo, um número divisível por 10 termina obrigatoriamente em 0 (algarismo das unidades é 0).

b) 12.700 é divisível por 10, pois o número termina em 0. c) 459.000 é divisível por 10, pois o número termina em 0.

5.2.7 Divisibilidade por 8:

5.2.10 Divisibilidade por 11:

Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou esses três últimos algarismos formarem um número também divisível por 8.

Um número natural é divisível por 11 quando o valor absoluto entre a diferença da soma dos algarismos de ordem ímpar para a soma dos algarismos de ordem par for 0 ou um número divisível por 11.

Exemplos: a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.

Exemplos: a) 8591 é divisível por 11? Resposta: SIM.

b) 67024 é divisível por 8, porque seus três últimos algarismos formam o número 024, que é divisível por 8 (pois 24 ÷ 8 = 3, número natural).

 Soma dos algarismos de ordem ímpar (1ª ordem + 3ª ordem): 1 + 5 = 6;  Soma dos algarismos de ordem par (2ª ordem + 4ª ordem): 9 + 8 = 17;  Diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par: 6 – 17 = –11;  Valor absoluto dessa diferença: 11, que é um número divisível por 11 (pois 11 ÷ 11 = 1, número natural), logo o número 8.591 também é divisível por 11.

c) 34.125 não é divisível por 8, porque seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8 (pois 125 ÷ 8 = 15,625, que não é um número natural). 5.2.8 Divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma de todos os seus algarismos formam um número que é divisível por 9. Exemplos: a) 477 é divisível por 9? Resposta: SIM.

b) 953.876 é divisível por 11? Resposta: SIM. 21

Um número natural é divisível por 12 quando for divisível por 3 e 4, simultaneamente. Exemplos: a) 231.456 é divisível por 12? Resposta: SIM. 231.456 = 2 + 3 + 1 + 4 + 5 + 6 = 21, que é um número divisível por 3 (pois 21 ÷ 3 = 7, número natural); 231.456 termina em 56, que é um número divisível por 4 (pois 56 ÷ 4 = 14, número natural). Logo, o número 231.456 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e 4, simultaneamente (231.456 ÷ 12 = 19.288). b) 674.952 é divisível por 12? Resposta: SIM. 674.952 = 6 + 7 + 4 + 9 + 5 + 2 = 33, que é um número divisível por 3 (pois 33 ÷ 3 = 11, número natural); 674.952 termina em 52, que é um número divisível por 4 (pois 52 ÷ 4 = 13, número natural). Logo, o número 674.952 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e 4, simultaneamente (674.952 ÷ 12 = 56.246).

 Soma dos algarismos de ordem ímpar (1ª ordem + 3ª ordem + 5ª ordem): 6 + 8 + 5 = 19;  Soma dos algarismos de ordem par (2ª ordem + 4ª ordem + 6ª ordem): 7 + 3 + 9 = 19;  Diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par: 19 – 19 = 0;  Valor absoluto dessa diferença: 0, que é um número divisível por 11 (pois 0 ÷ 11 = 0, número natural), logo o número 953.876 também é divisível por 11. c) 181.907 é divisível por 11? Resposta: SIM.

c) 573.900 é divisível por 12? Resposta: SIM. 573.900 = 5 + 7 + 3 + 9 + 0 + 0 = 24, que é um número divisível por 3 (pois 24 ÷ 3 = 8, número natural); 573.900 termina em 00, logo trata-se de um número divisível por 4. Logo, o número 573.900 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e 4, simultaneamente (573.900 ÷ 12 = 47.825).

 Soma dos algarismos de ordem ímpar (1ª ordem + 3ª ordem + 5ª ordem): 7 + 9 + 8 = 24;  Soma dos algarismos de ordem par (2ª ordem + 4ª ordem + 6ª ordem): 0 + 1 + 1 = 2; diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par: 24 – 2 = 22;  Valor absoluto dessa diferença: 22, que é um número divisível por 11 (pois 22 ÷ 11 = 2, número natural), logo o número 181.907 também é divisível por 11.

5.2.12 Divisibilidade por 13: Um número natural é divisível por 13 quando a soma da sua quantidade de dezenas com o quádruplo do valor do seu algarismo das unidades dá origem a um número divisível por 13.

Obs.: Outra forma de determinar se um número natural é divisível por 11 é isolar o algarismo que representa a unidade, tomar o número formado pelos demais algarismos e subtrair desse algarismo que isolamos, inicialmente, da seguinte forma:

Exemplos: a) 481 é divisível por 13? Resposta: SIM. 48 + (4 × 1) = 48 + 4 = 52, que é um número divisível por 13 (pois 52 ÷ 13 = 4, número natural), logo o número 481 é divisível por 13.

Exemplos: a) 671 é divisível por 11? Resposta: SIM. 67 – 1 = 66, que é um número divisível por 11 (pois 66 ÷ 11 = 6, número natural);

b) 2.847 é divisível por 13? Resposta: SIM. 284 + (4 × 7) = 284 + 28 = 312; 31 + (4 × 2) = 31 + 8 = 39 (pois 39 ÷ 13 = 3, número natural), logo o número 2.847 é divisível por 13 (2.847 ÷ 13 = 219).

b) 5.962 é divisível por 11? 5.962 = 596 – 2 = 594 594 = 59 – 4 = 55, que é um número divisível por 11 (pois 55 ÷ 11 = 5, número natural). 5.2.11 Divisibilidade por 12: 22

5.2.13 Divisibilidade por 14: Um número natural é divisível por 14 quando for divisível por 2 (número par) e por 7, simultaneamente. Exemplo: a) 938 é divisível por 14? Resposta: SIM. 938 é um número par, logo é divisível por 2; 93 – (2 × 8) = 93 – 16 = 77, que é um número divisível por 7 (pois 77 ÷ 7 = 11, número natural), então o número 938 também é divisível por 7; logo, 938 é divisível por 2 e 7, simultaneamente, então ele é divisível por 14, logo: 938 ÷ 14 = 67. b) 26.376 é divisível por 14? Resposta: SIM. 26.376 é um número par, logo é divisível por 2; 2637 – (2 × 6) = 2637– 12 = 2625; 262 – (2 × 5) = 262 – 10 = 252 25 – (2 × 2) = 25 – 4 = 21, que é um número divisível por 7 (pois 21 ÷ 7 = 3, número natural), então o número 26.376 também é divisível por 7. Logo, 26.376 é divisível por 2 e 7, simultaneamente, então ele é divisível por 14 (26.376 ÷ 14 = 1.884). 5.2.14 Divisibilidade por 15: Um número natural é divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5, simultaneamente. Assim sendo, um número divisível por 15 termina obrigatoriamente em 0 (algarismo das unidades é 0) ou 5 (algarismo das unidades é 5). Exemplos: a) 3.720 é divisível por 15? Resposta: SIM. 3.720 é divisível por 3, pois 3 + 7 + 2 + 0 = 12, que é um número divisível por 3 (pois 12 ÷ 3 = 4, número natural); 3.720 é divisível por 5, pois o número termina em 0, logo o número 3.720 é divisível por 3 e 5, simultaneamente, então ele é divisível por 15 (3.720 ÷ 15 = 248). b) 81.345 é divisível por 15? Resposta: SIM. 81.345 é divisível por 3, pois 8 + 1 + 3 + 4 + 5 = 21, que é um número divisível por 3 (pois 21 ÷ 3 = 7, número natural); 81.345 é divisível por 5, pois o número termina em 5, logo, 81.345 é divisível por 3 e 5, simultaneamente, então ele é divisível por 15 (81.345 ÷ 15 = 5.423).

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Multiplicamos, agora, cada um dos fatores primos seguintes pelos divisores obtidos que estiverem à direita do traço vertical e acima desses fatores, colocando o produto nas linhas correspondentes, sem repetir os produtos.

6. MDC E MMC 6.1 CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Um número natural não nulo b é divisor do número natural a quando a é divisível por b. O conjunto dos divisores do número natural a é o conjunto D(a) formado por todos os números naturais que são divisores de a. 6.2 DISPOSITIVO PRÁTICO O dispositivo prático permite encontrar o conjunto dos divisores de um número.

O próximo fator primo, 3, multiplicará, além da unidade, todos os valores obtidos anteriormente pela multiplicação do fator primo de número 2, ou seja, multiplicará os valores 1, 2, 4, 8 e 16.

Vamos explicar esse dispositivo, aplicando-o ao número 144. Decompomos o número 144 em fatores primos.

Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. À direita desse traço, numa linha acima do primeiro fator primo, colocamos o número 1, que é divisor natural de todos os números.

A seguir, o próprio fator primo 3, que se repete, multiplicará apenas os valores obtidos pela linha anterior, ou seja, pelos números 3, 6, 12, 24 e 48, obtendo, finalmente, os seguintes divisores:

Multiplicamos o primeiro fator primo pelo divisor 1 e colocamos o resultado na linha correspondente a ele.

D(144) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144} Total de divisores de 144: 15 divisores. a) Quais e quantos são os divisores de 360?

O número de divisores de “N”, ou seja, o número de elementos (n) pertencentes ao conjunto D(N) é calculado através da fórmula: n(N) = (p + 1) × (q + 1) × (r + 1) × .... × (s + 1) × (t + 1) Exemplo: a) Quantos divisores tem o número 540? Decompomos o número 540 em fatores primos:

D(360) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 60; 72; 90; 120; 180; 360} Total de divisores de 360: 24 divisores. 6.3 PROPRIEDADE DOS DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Tomemos como exemplo os valores encontrados para os divisores de 144.

Exercícios resolvidos 1. (CFC) O número de divisores naturais de 80, que são múltiplos de 5, é: a) 4. d) 7. b) 5. e) 8. c) 6.

Os divisores, na ordem em que aparecem, são: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144.

Resolução: Pelo método da fatoração, temos os seguintes divisores de 80:

Ao determinarmos os divisores de um número natural, os valores encontrados, na ordem em que aparecem, formam a seguinte relação: se multiplicarmos o 1° divisor (“1”) com o último (“144”), o 2° divisor (“2”) com o penúltimo (“72”), o 3° divisor (“4”) com o antepenúltimo (“36”) e, assim, sucessivamente, encontraremos sempre, do resultado obtido do produto entre eles, o valor correspondente a “144”, então veja:

D(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80} Desses divisores, os que são múltiplos de 5 serão: M(5) = {5; 10; 20; 40; 80}. Portanto, temos 5 divisores de 80 que são múltiplos de 5. Gabarito: B. 2. (CFC) No maior número natural de três algarismos, divisível por 2 e por 3, simultaneamente, a diferença entre os valores absolutos dos algarismos das dezenas e das unidades é: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. Resolução:

6.4 QUANTIDADE OU TOTAL DE DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO NATURAL COMPOSTO Considere um número natural composto “N” com a sua seguinte decomposição em fatores primos naturais: a; b; c; ...; j; k; sejam seus respectivos expoentes os números naturais: p; q; r; ....... s; t. Assim podemos escrever que “N” vale: N = ap x bq x cr x ... x js x kt

Inicialmente, devemos lembrar que um número será divisível por 2 quando for par e, por 3, quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. 25

Assim, deduziremos, em ordem crescente, os números de três algarismos que são divisíveis por 2 e 3, ao mesmo tempo, iniciando-se pelo número 999. 999 não é divisível por 2, já que não é par. É divisível por 3, já que a soma de seus algarismos (9 + 9 + 9 = 27) é um número divisível por 3. 998 é divisível por 2, já que é par. Não é divisível por 3, já que a soma de seus algarismos (9 + 9 + 8 = 26) não resulta em um número divisível por 3. 997 não é divisível por 2, já que o mesmo não é par. Não é divisível por 3, já que a soma de seus algarismos (9 + 9 + 7 = 25) não resulta em um número divisível por 3. 996 é divisível por 2, já que é par. É divisível por 3, já que a soma de seus algarismos (9 + 9 + 6 = 24) é um número divisível por 3.

7. (FEC) Qual o menor inteiro positivo pelo qual devemos dividir 2.016 para que tenhamos um inteiro quadrado perfeito? a) 30. d) 21. b) 2. e) 14. c) 3. Gabarito: E Resolução: Chamaremos de “x” o menor inteiro positivo pelo qual devemos dividir 2.016 para que tenhamos um número inteiro quadrado perfeito que denominaremos de “y”. Assim, podemos escrever a seguinte relação:

2106 =y x , onde “x” é um número inteiro e “y” é um

número inteiro e quadrado perfeito. Obs.: Lembramos que um número é dito quadrado perfeito quando sua raiz quadrada for um número inteiro exato. Observe, pela relação anterior, que além de “x”, “y” também é um divisor de 2.016, ou seja, dividindo-se

Portanto, o maior número de 3 algarismos que é divisível por 2 e 3, simultaneamente, é o 996. Assim, a diferença entre o número que representa o algarismo da casa das dezenas (9) pelo número que representa o algarismo das casas das unidades (6) vale: 9 – 6 = 3 Gabarito: C.

2106 =x y 2.016 por “y” encontramos o valor de “x”: ,ou ainda: 2.106 = ×.y Determinando os divisores de 2.016, obtemos:

3. (CFC) É divisível, simultaneamente, por 6 e por 9 o número: a) 732. d) 738. b) 734. e) 740. c) 736. Gabarito: D 4. (FCC) Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é: a) 24. d) 32. b) 28. e) 36. c) 30. Gabarito: D

Em ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1.008, 2.016 Assim, os possíveis valores de “y” (um quadrado perfeito) serão determinados pela divisão entre 2.016 e seus divisores. Veja os possíveis valores na tabela a seguir.

5. (CESd) O número de divisores naturais do número 720 é: a) 15. d) 60. b) 20. e) 72. c) 30. Gabarito: C 6. (CFC) Três divisores comuns de 120 e 60, diferentes de 1, são: a) 10, 12 e 120. d) 10, 15 e 30. b) 0, 60 e 120. e) 10, 15 e 40. c) 3, 4 e 8. Gabarito: D

Portanto, o menor valor de “x” pelo qual devemos dividir 2.016 para que tenhamos um inteiro quadrado perfeito “y” é o valor 14, pois 2.016/14=144 que um número quadrado perfeito. 26

8. (FCC) Seja X um número qualquer, inteiro e positivo, e seja Y o inteiro que se obtém invertendo a ordem dos algarismos de X. Por exemplo, se X = 834, então Y = 438. É correto afirmar que a diferença X – Y é sempre um número: a) par. d) divisível por 9. b) positivo. e) múltiplo de 6. c) quadrado perfeito. Gabarito: D Resolução: Seja um número qualquer de três algarismos “X”, do tipo: “abc”. Então, um número “Y”, invertendo-se a ordem dos algarismos de “X” será dado por: “cba”. Decompondo em unidade, dezena e centena, teremos, para cada número: abc = 100a + 10b + c cba = 100c + 10b + a Subtraindo-se “abc” de “cba”, teremos: (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 100a – a + 10b – 10b + c – 100c = 99a – 99c = 99(a – c) Observando-se o resultado anterior “99(a – c)”, podemos verificar que o mesmo é múltiplo de 9, portanto, será divisível por 9.

c) quadrado perfeito. Resolução: Seja o maior número de quatro algarismos, todos distintos entre si: 9876 Seja, agora, o maior número inteiro com três algarismos: 999 Determinando “X”, que representa a diferença entre esses dois números, teremos: 9876 – 999 = 8877 Observando-se a soma de seus algarismos: 8 + 8 + 7 + 7 = 30, logo, concluímos que esse número será divisível por 3. Gabarito: B 11. (PMB) Sendo A = 2 × 3 × 52 e B = 22 × 33, então, o número de divisores de A × B é: a) 60. d) 90. b) 70. e) 95. c) 80. Resolução: Determinando o produto A × B: A × B = (2 × 3 × 52) × (22 × 33) ⇒ A × B = 21 + 2 × 31 + 3 × 52 ⇒ A × B = 23 × 34 × 52. Calculando o número de divisores de “A × B”, tomando os expoentes encontrados: n(A × B) = (3 + 1) × (4 + 1) × (2 + 1) = 4 × 5 × 3 = 60 Gabarito: A

9. (FCC) Das alternativas a seguir, o único número ímpar entre 100 e 200, que é divisível por 7 é: a) 107. d) 163. b) 133. e) 185. c) 141.

6.5 MÁXIMO DIVISOR COMUM – MDC O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores comuns.

Resolução: Lembramos que um número natural é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7. Assim, testando essa definição para cada alternativa, teremos: 107: 10 – 2 × 7 = 10 – 14 = –4; como –4 não é divisível por 7, então 107 também não será. 133: 13 – 2 × 3 = 13 – 6 = 7; como 7 é divisível por 7, então 133 também será. 141: 14 – 2 × 1 = 14 – 2 = 12; como 12 não é divisível por 7, então 141 também não será. 163: 16 – 2 × 3 = 16 – 6 = 10; como 10 não é divisível por 7, então 163 também não será. 185: 18 – 2 × 5 = 18 – 10 = 8; como 8 não é divisível por 7, então 185 também não será. Logo, Gabarito: B

6.5.1 PROCESSOS PARA DETERMINAR O MDC Utilizaremos três processos, mostrados a seguir, para determinar o MDC entre dois ou mais números e, por último, utilizaremos o algoritmo de Euclides, outro processo prático, para determinar o máximo divisor comum. a) Por intersecção (U = N*) Qual o máximo divisor comum (MDC) entre 18, 27 e 45? Primeiro determinamos os divisores dos números 18, 45 e 27. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; D(27) = {1, 3, 9, 27}; D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}. Fazendo a intersecção entre D(18), D(27) e D(45), temos: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; D(27) = {1, 3, 9, 27}; D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}. D(18) ∩D(27) ∩D(45) = {1, 3, 9} Dentre os divisores comuns achados, consideramos que o maior deles corresponde ao MDC: MDC (18, 27, 45) = 9.

10. (FCC/2007) Seja X a diferença entre o maior número inteiro com quatro algarismos distintos e o maior número inteiro com três algarismos. Assim sendo, é correto afirmar que X é um número: a) par. d) múltiplo de 5. b) divisível por 3. e) primo. 27

5ª propriedade: Todo número que divide dois outros, divide também seu MDC; 6ª propriedade: Todos os divisores comuns de dois ou mais números são também divisores do seu MDC.

b) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa): Achar o máximo divisor comum (MDC) dos números 54 e 405. Para isso, basta tomar os fatores comuns aos dois ou mais números naturais com seu menor expoente. Decompondo os números em fatores primos, obtemos: 54 = 2.33 e 405 = 34.5 O fator comum a 54 e 405 com menor expoente é 3 3. Logo o MDC (54, 405) = 33 = 27.

6.5.3.1 OUTRAS PROPRIEDADES DO MDC 1ª propriedade: Dividindo-se dois números pelo máximo divisor comum entre eles, os quocientes obtidos são números primos entre si:

Logo, “a” e “b” são primos entre si.

c) Pelo processo prático: Achar o máximo divisor comum (MDC) dos números 180, 240 e 270. Fatorando-se, simultaneamente, os três valores anteriores:

Exemplo: MDC (18; 42) = 6 (A = 18 e B = 42)

Logo, 3 e 7 são primos entre si. 2ª propriedade: Dividindo-se a soma de dois ou mais números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual à soma de dois ou mais números primos entre si. 6.5.2 ALGORITMO DE EUCLIDES

Onde, “a” e “b” são primos entre si.

Use o algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessivas) para calcular o MDC (16, 24). Resolução: O algoritmo de Euclides é descrito a seguir.

Exemplo: MDC (18; 42) = 6 (A = 18 e B = 42)

3ª propriedade: Dividindo-se a diferença de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual à diferença de dois números primos entre si. Logo, temos que MDC (16,24) = 8 (último resto não nulo).

Onde, “a” e “b” são primos entre si.

6.5.3 PROPRIEDADES BÁSICAS DO MDC

Exemplo: MDC (18; 42) = 6 (A = 18 e B = 42)

1ª propriedade: se o MDC (a; b) = 1 então, a e b são denominados primos relativos ou primos entre si. Exemplo: MDC (8; 15) = 1, então 8 e 15 são primos entre si. 2ª propriedade: se MDC (a; b) = q, então MDC (k × a; k × b) = kq, com k ≠ 0. Exemplo: MDC (5; 11) = 1. Então, MDC (30; 66) = 6, pois: MDC (6 × 5; 6 × 11) = 6 × 1 = 6 3ª propriedade: dois números consecutivos são sempre primos entre si, ou seja: MDC (k; k + 1) = 1 Exemplo: MDC (21; 22) = 1. 4ª propriedade: Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um terceiro diferente se zero, o seu MDC ficará multiplicado ou dividido por esse terceiro número;

4ª propriedade: Dividindo-se o produto de dois números pelo quadrado do máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si. Onde, “a” e “b” são primos entre si. Exemplo: MDC (18; 42) = 6 (A = 18 e B = 42)

servidores da casa, o presidente determine que os motoristas e os auxiliares sejam divididos em equipes. Cada equipe deve ser formada apenas por profissionais do mesmo cargo, deve ter o mesmo número de elementos e esse número de elementos deve ser o maior possível. Nessa situação, o número de equipes de motoristas, o número de equipes de auxiliares administrativos e o número de elementos em cada equipe serão, respectivamente, iguais a: a) 4, 6 e 6. d) 8, 12 e 3. b) 6, 9 e 4. e) 8, 9 e 2. c) 2, 3 e 12.

Exercícios resolvidos 1. (CFC) O máximo divisor comum entre 11, 18 e 25 é: a) 5. d) 2. b) 4. e) 1. c) 3. Resolução: Neste exercício, devemos observar, inicialmente, se os números são primos entre si. Analisando os divisores de cada número: D(11) = {1; 11} D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} D(25) = {1; 5; 25} Como o único divisor comum é o número 1, então os números 11; 18 e 25 são primos entre si; então, neste caso: MDC (11; 18; 25) = 1 Gabarito: E. 2. (CESd) O MDC (420, 480, 600) é um número múltiplo de: a) 12. d) 25. b) 16. e) 36. c) 18. Resolução: Pelo método das fatorações simultâneas:

Resolução: Se cada equipe deve ser formada apenas por profissionais do mesmo cargo, deve ter o mesmo número de elementos, o qual deve ser o maior possível, então determinaremos máximo divisor comum entre essas duas quantidades. MDC (24; 36) = MDC (12 × 2; 12 × 3) = 12, sendo 2 e 3 primos entre si, teremos o número 12 como maior divisor comum entre esses valores. Assim, o número de elementos em cada equipe será igual a 12. Para o número de equipes de motoristas, o número de equipes de auxiliares administrativos, teremos, respectivamente:

Portanto, teremos duas equipes de motoristas, três equipes de auxiliares administrativos e 12 elementos por equipe. Gabarito: C.

Das alternativas apresentadas, verificamos que 60 é múltiplo de 12. Gabarito: A.

5. (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? a) 33. d) 99. b) 48. e) 165. c) 75.

3. (EsSA) O MDC de dois números “A” e “B” é 2 5 × 32 × 54 × 7. Sendo “A” = 2x × 34 × 5z × 7 e “B” = 26 × 3y × 55 × 7, então “xyz” é igual a: a) 20. d) 40. b) 80. e) 11. c) 60. Resolução:

Seja o MDC (A; B) = 25 ×32 × 54 × 7 O MDC entre dois ou mais números, em suas formas fatoradas, é dado pelos menores expoentes de seus fatores comuns, então, comparando os valores, podemos deduzir que: x = 5, y = 2 e z = 4 Fazendo x.y.z = 5 × 2 × 4 = 40 Gabarito: D.

Resolução: Se o auxiliar colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar, sabendo-se que ele deve usar a menor quantidade de gavetas, ou seja, o maior número de frascos possível em cada gaveta? Como devemos dividir três quantidades distintas em partes iguais e de maior valor possível, então devemos determinar o máximo divisor comum entre essas quantidades.

4. (Cespe/UnB) Considere que um tribunal tenha 24 motoristas e 36 auxiliares administrativos e que, para agilizar o atendimento aos magistrados e demais 29

Utilizando-se o método das fatorações simultâneas:

tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é: a) 8. b) 10. c) 12.

Logo, o total de gavetas utilizadas será determinado pela divisão entre o total de medicamentos pela quantidade de medicamentos que serão acomodadas em cada gaveta.

d) 14. e) 16.

Resolução: Se a divisão conterá apenas canetas com tinta de uma mesma cor e se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, contendo a menor quantidade de pacotes possível, ou seja, contento o maior número de canetas possível em cada pacote, então determinaremos o máximo divisor comum entre essas quantidades de canetas: Utilizando-se o método das fatorações simultâneas:

120 + 150 + 225 495 = = 33 gavetas. 15 15

Gabarito: A. 6. (FCC) Uma Repartição Pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados deverá ser: a) 8. d) 20. b) 11. e) 21. c) 19.

Para a menor quantidade de pacotes, teremos:

Resolução: Se esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos e, se em cada lote deve ter um único tipo de aparelho, então para o menor número de lotes formados, deveremos ter o máximo de aparelhos acomodados em cada lote. Assim, determinando o máximo divisor comum entre essas quantidades: Utilizando-se o método das fatorações simultâneas:

Portanto, teremos 5 + 7 = 12 pacotes de canetas. Gabarito: C. 6.6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – MMC Minimação (operação), menor múltiplo comum (resultado). Minimação é a operação que associa a dois ou mais números naturais o seu menor múltiplo, comum, cuja abreviatura é mmc, excluindo-se o zero. 6.6.1 PROCESSOS PARA DETERMINAR O MMC

Para o número de lotes de aparelhos, teremos:

MMC (4; 6; 8) = ? ou 4 M 6 M 8 = ? a) Por intersecção (U = N*): M4 = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; ...} M6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; ...} M8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; ...} M4 ∩ M6 ∩ M8 = {24, 48, ...}

Portanto, teremos 8 + 11 = 19 lotes de aparelhos. Gabarito: C. 7. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com

O MMC de dois ou mais números é dado pelo menor valor da intersecção dos conjuntos dos múltiplos desses números. 30

Portanto: mmc (4; 6; 8) = 24 ou 4 M 6 M 8 = 24 1. (Cesgranrio) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13. d) 26. b) 16. e) 27. c) 21. 2. (PMB) O maior múltiplo comum de 12 e 60 que está entre 100 e 200 é: a) 60. d) 180. b) 120. e) 200. c) 150.

b) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa): 4 = 22 6=2×3 8 = 23 O MMC de dois ou mais números é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um deles tomado com o seu maior expoente. Portanto: 4 = 22, 6 = 2 × 3, 8 = 23. MMC (4; 6; 8) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

3. (NCE) A soma de três múltiplos consecutivos de 7 é 210. A soma dos valores absolutos dos algarismos do maior desses números é: a) 7. d) 14. b) 9. e) 15. c) 11.

c) Pelo processo tradicional:

4. Se “x” é um número natural múltiplo de 3 e de 5, tal que 50 < x < 100, então a soma dos valores que “x” pode assumir é: a) 225. d) 315. b) 280. e) 341. c) 310.

6.6.2. PROPRIEDADES DO MMC 1a propriedade: O mmc de dois números primos entre si é o produto deles. Exemplo: MMC (6; 11) = 6 × 11 = 66. 2a propriedade: O mmc de dois números em que o maior é divisível pelo menor é o maior deles. Exemplo: MMC (4; 12) = 12. 3ª propriedade: Multiplicando ou dividindo dois números por um outro número diferente de zero, o mmc aparece multiplicado ou dividido por esse outro. Exemplo: MMC (12; 18) = 36, assim, MMC (12 × 2; 18 × 2) = 36 × 2 4ª propriedade: Dividindo-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.

5. Qual destes números não é múltiplo de 12 nem de 16? a) 84. d) 192. b) 80. e) 98. c) 48. 6. (TRT) No almoxarifado de certa Repartição Pública há três lotes de partas iguais: o primeiro com 60, o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Nestas condições, o menor número de pilhas que ele poderá obter é: a) 3 b) 15 c) 20 d) 60 e) 100

mmc( A, B ) = a .b MDC ( A, B ) Onde “a” e “b” são primos entre si.

7. (TRT) A associação de funcionários de certa empresa promove palestras regularmente: Uma a cada 3 meses, outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses. Se, em 1990, as três palestras foram dadas de, julho, a próxima coincidência de época das palestras será em: a) junho de 1991 b) julho de 1991 c) abril de 1992 d) junho de 1992 e) julho de 1992.

Exemplo: Sejam os números A = 12, B = 18, o MDC (12; 18) = 6 e o MMC (12; 18) = 36.

�a = 2 mmc(12,18) 36 = = 6 = 2 . 3� b=3 MDC (12,18) 6 �

5a propriedade: Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.

8. (TRT) Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o segundo 360; o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotos em pacotes contendo todos a

mmc( A, B ) . MDC ( A, B ) = A . B

mmc( A, B ) . MDC ( A, B ) = A . B � 36.6 { = 12.18 { 216

216

QUESTÕES DE CONCURSOS 31

mesma quantidade de pastas e a maior quantidade de pastas possíveis. O número de pacotes que ele fará é: a) 6 d) 15 b) 10 e) 18. c) 13. 9. (TTN) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída? a) 66, 60 e 55 b) 62, 58 e 54 c) 60, 55 e 50 d) 50, 45 e 40 e) 40, 36 e 32. 10. (TRE) Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamente, horas-extras de trabalho, inclusive aos sábados ou domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez em que irão cumpri-las num mesmo dia será daqui a: a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano. 11. (TRE) Sabe-se que o MDC dos números A = 2 x x 33 x 54; B = 23 x 3y x 52 e C = 24 x 34 x 5z é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. (TRT) Seja A7B um número inteiro e positivo, de três algarismos, no qual B e A representam os algarismos das unidades e das centenas, respectivamente. Para que esse número seja divisível por 15, calcule quantas possibilidades de escolha temos para A7B. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

MATEMร TICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marรงal de Carvalho

01. O número 2 é raiz da equação 3x – 1 = 5, pois substituindo x por 2 a sentença aberta 3x – 1 = 5 se transforma em 3 . 2 – 1 = 5, que é uma sentença verdadeira.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marçal de Carvalho

8. EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 8.1 EQUAÇÃO

02. O número 4 não é raiz da equação 3x – 1 = 5, pois, substituindo x por 4, a sentença aberta 3x – 1 = 5 se transforma em 3 . 4 – 1 = 5, que é uma sentença falsa.

8.1.1 SENTENÇA ABERTA E EQUAÇÃO Analisando as sentenças (I) 2 . 6 – 1 = 13 (II) 2 . 7 – 1 = 13

8.2. EQUAÇÃO DO 1° GRAU

(III) 2 . x – 1 = 13

Equação do 1° grau é toda equação da forma ax + b = 0, com a ≠ 0.

Podemos fazer as seguintes considerações:

8.2.1 CÁLCULO DE UMA EQUAÇÃO DO 1° GRAU

A sentença (I) é falsa, pois 2 . 6 – 1 = 12 – 1 = 11 13;

1º) Resolva as equações abaixo: a) 2x - 4 = x - 7

A sentença (II) é verdadeira, pois 2 . 7 – 1 = 14 – 1 = 13;

Resolução: 2x - 4 = x - 7 2x - x = -7 + 4 x = - 3. SE LIGA! Quando mudamos o número ou expressão de um membro, trocamos a operação: soma pela subtração, subtração pela soma e multiplicação pela divisão.

A sentença 2x – 1 = 13 não é verdadeira nem falsa, pois x, chamado variável, representa qualquer número. Este tipo de sentença é um exemplo de sentença aberta. Equação é toda sentença aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equi, que em latim significa igual.

b) 4. (x - 3) = 5x – 6 Resolução: 4(x - 3) = 5x - 6 obs.: 4 (x - 3) = 4.x - 4.3 = 4x - 12. 4x - 12 = 5x - 6 4x - 5x = - 6 + 12 -x = 6 (-1) obs.: O coeficiente de x não pode ser negativo, por isso multiplicamos por -1 a expressão. x = 6.

Substituindo x por 7, a sentença aberta 2x – 1 = 13 se transforma em 2 . 7 – 1 = 13, que é uma sentença verdadeira. Dizemos então que 7 é uma raiz (ou uma solução) da equação 2x – 1 = 13. Substituindo x por 6 a sentença aberta 2x – 1 = 3 se transforma em 2 . 6 – 1 = 13 que é falsa. Dizemos então que 6 não é raiz da equação 2x – 1 = 13.

8.2.2 PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÃO DO 1. ° GRAU Uma das maiores dificuldades do concursando é interpretar o problema e reconhecer o assunto. Toda questão que envolve uma equação informará uma quantidade desconhecida.

Exemplos: a) 2x - 8 = 0 b) 4x (x - 9) = 22 8.1.2 RAIZ E CONJUNTO VERDADE Raiz (ou solução) de uma equação é um número que transforma a sentença aberta em sentença verdadeira. Conjunto verdade ou conjunto solução de uma equação é o conjunto de todas, e somente, as raízes. Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade.

LINGUAGEM ALGÉBRICA

x 2x 3x 4x x 2

Exemplos:

x 3 34

LINGUAGEM CORRENTE Número desconhecido O dobro de um número O triplo de um número O quádruplo de um número A metade de um número A terça parte de um número

x, x + 1, x + 2, ... 2n 2n + 1 2n + 1, 2n + 4, 2n + 6, ... 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... 1 x

 A idade no futuro é x + 8.

Números consecutivos Número par Número ímpar Números pares consecutivos Números ímpares consecutivos O inverso se um número

A questão informa que a idade do futuro é o triplo da idade do passado: Futuro = 3. Passado x + 8 = 3 . (x – 8) x + 8 = 3x – 24 x – 3x = - 24 + 8 -2x = -16 (-1) 2x = 16

Exemplo 01. A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse mesmo número é 187. Esse número é: (A) primo (B) múltipla de 11 (C) múltiplo de 3 (D) divisível por 4 (E) múltiplo de 5

Cuidado: a idade no passado é x - 8, por isso ficou 3(x - 8). Lembre-se de que é o triplo da idade no passado e por isso são obrigatórios os parênteses. 8.3 SISTEMA DE GRAU

RESOLUÇÃO:

x = 187 3

8.3.1 Cálculo de um sistema equação com duas variáveis

3.4x – x = 187.3 12x - x = 561 11x = 561 561 x= 11 � x = 51 51 é múltiplo de 3, pois 51 é divisível por 3. Resposta: letra C.

Obs.: Você deve ser perguntar: qual o melhor método? Depende do formato da questão. Por hora vamos treinar o método da adição. Exemplos: Resolva os sistemas abaixo:

Exemplo 2. Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos? (A) 15 anos. (B) 16 anos. (C) 24 anos. (D) 30 anos. (E) 32 anos. RESOLUÇÃO: Questão que envolve tempo: passado, presente e futuro. É importante fazer a tabela abaixo. Presente x

1°

Os métodos são: adição, substituição e comparação.

SE LIGUE! As expressões do e em matemática têm a função de multiplicação.

Passado x-8

EQUAÇÕES DO

O sistema de equação do 1º grau com duas variáveis possui a mesma solução para as duas equações.

x = Quádruplo: 4x e terça parte 3 4x -

16 x = 8. 2

O processo da adição somente pode ser utilizado quando somarmos as duas equações e uma variável desaparecer. Nesse caso é possível, pois y somado com y é igual a zero.

Subsistindo o valor de x = 8 na primeira equação para encontrar a outra variável. (Podemos escolher a primeira ou a segunda equação).

Futuro x+8

FIQUE ESPERTO!  A idade no passado é x - 8.  A idade no presente é x. 35

Nesse caso não podemos somar as equações direto, pois nem x nem y irão desaparecer. Quando isso acontecer devemos realizar o seguinte processo: 1º Passo: Escolher uma variável para ser anulada; nesse caso, escolheremos a variável x. 2º Passo: Multiplicar as equações pelos coeficientes invertidos de x. Na primeira equação temos 2x, logo o coeficiente de x é 2. A segunda equação será multiplicada por 2. Na segunda equação temos 3x, logo o coeficiente de x é 3. A primeira equação será multiplicada por 3. 3º Passo: Como os coeficientes são 2 e 3, na hora de multiplicar devemos escolher um dos números para ser negativo. Lembre-se: se os coeficientes tiverem sinais iguais, o produto deve conter; um número negativo e outro positivo; se os coeficientes tiverem sinais diferentes, os números do produto devem ter sinais iguais. Não se esqueça de olhar o sinal!

Escolhendo a primeira equação temos:

Exercícios 01. Resolva os sistemas método da ADIÇÃO

abaixo,

pelo

�x + y = 32 a) � �x - y = 10 �x + 2 y = 27 c) � �x - y = -3

�3 x - y = 1 b) � �x + 2 y = 5 �x + y = 6 d) � 3 x - 2 y = 13 �

�x + 2 y = 3 e) � 3x + y = 4 � �x + 3 y = -4 g) � 2x - y = 6 � 2 x + 5 y = 17 � i) � 3 x - 2 y = 16 �

2x + 3y = 7 � f) � �4 x + y = 9 �x + y = 5 h) � �x - y = 1 �x + 2 y = 7 j) � �x - 2 y = 3

produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial. Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo. Acompanhe o raciocínio:

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Prof. Ulisses Marçal de Carvalho

8. MATEMÁTICA COMERCIAL

FINANCEIRA

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo - sexto tutorial serão tratados assuntos sobre noções básicas com operações comerciais de lucros e prejuízos, descontos por dentro, desconto por fora, uma vez que no tutorial anterior, foi visto o assunto juros. Também serão abordados cálculos financeiros, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Através de um cálculo da regra de três (já estudado anteriormente), temos: R$ 200,00 --------------100% X --------------30% X = 200 . 30 100 X = 6000 100 X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação) Em toda operação, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, as partes obrigatórias de cálculos na operação são: » Venda » Custo » Lucro (ou prejuízo, conforme operação) Para que haja uma memorização melhor sobre estes elementos fundamentais de cálculo sobre porcentagem de custo, observe:

OPERAÇÕES COMERCIAIS – LUCROS E PREJUÍZOS * Noção de compra e venda de mercadoria Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. Em tutoriais anteriores, estudamos sobre porcentagem e juros, e agora iremos aplicar alguns conhecimentos para tratar deste assunto. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos: » Porcentagem (%) sobre venda » Porcentagem (%) sobre custo E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro.

C V L P

= CUSTO = VENDA = LUCRO = PREJUÍZO Exercícios para fixar conteúdo sobre CUSTO, VENDA, LUCRO E PREJUÍZO

Para uma melhor compreensão do tema acima, veremos como resolver os problemas abaixo. Vale lembrar que estes exercícios são base para estudos para provas em concursos. É necessário exercitar os fundamentos aprendidos para uma melhor performance, ainda mais em se tratando de matemática, onde a prática é essencial.

PORCENTAGEM SOBRE O PREÇO DE CUSTO Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do 38

Para poder resolver os problemas citados com facilidade, basta saber as seguintes questões: - O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 100% (cem por cento) - A venda do produto (com prejuízo na operação) é sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da seguinte forma: C–P=V =C–P 100% 70% 30%

X = 25.000 . 20 120 X = 500.000 / 120 = R$ 4.166,67 (valor arredondado) O lucro da operação foi de R$ 4.166,67 c) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação foi de R$ 250,00. Solução: C + L = V - à 100% + 35% = 135% 250 ---------35% (lucro da operação) X ---------135% (venda da operação) X = 135 . 250 35 X = 33.750 / 35 = R$ 964,29 (valor arredondado) O valor da venda foi de R$ 964,29 d) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida em sucessivos negócios com lucros sequentes de 15%, 25% e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da casa?? Solução: 1ª operação de venda (15% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 15% = 115% 20.000 ----- 100% (custo da operação) X ----- 110% (venda da operação) X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00 2ª operação de venda (25% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 25% = 125% (valor da casa R$ 22.000,00) 22.000 ----- 100% (custo da operação) X ----- 125% (venda da operação) X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00 3ª operação de venda (30% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 30% = 130% (valor da casa R$ 27.500,00) 27.500 ----- 100% (custo da operação) X ----- 130% (venda da operação) X = 27.500 . 130 / 100 = R$ 35.750,00 O valor final da casa foi de R$ 35.750,00 e) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o prejuízo desta operação?? Solução: 1.200 ----- 100% (custo da operação) X ----40% (prejuízo da operação) X = 1.200 . 40 100 X = 48000 / 100 = R$ 480,00 O prejuízo desta operação foi de R$ 480,00.

30% = 70% = 100% -

- a venda do produto (com lucro na operação) é sempre igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: C + L = V V=C+L 100% + 30% = 130% 130% = 100% + 30%

a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%? Solução: C*L=V » 100% + 15% = 115% R$ 700,00 ---------100% (custo da operação) X ---------115% (venda da operação) X = 115 . 700 100 X = 10.500/100 = R$ 805,00 O valor do produto será de R$ 805,00 b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? Solução: C*L=V » 100% + 50% = 150% R$ 300,00 ---------100% (custo da operação) X ---------150% (venda da operação) X = 150 . 300 100 X = 45000/100 = R$ 450,00 O valor do produto será de R$ 450,00 c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação? Solução: C + L = V » 100% + 20% = 120% 25.000 ---------120% (venda da operação) X ---------20% (lucro da operação)

1 PORCENTAGEM Denominamos razões percentuais as razões cujos consequentes sejam iguais a 100. 39

percentual de aumento? 5) Em certo país, a Paraisolândia, o salário mínimo, após sofrer um aumento de 4%, passou a ser de R$ 312,00. Qual era o valor do salário mínimo nesse país?

Exemplo: 30/100(trinta por cento); 20/100 (vinte por cento) 30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%. Exemplo:

6) Certa mercadoria custava R$ 24,00 e passou a custar R$ 30,00. Qual a taxa percentual de aumento?

1) Em uma classe de 30 alunos, 15 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação? 30 - 100 onde: 30x = 100 X 15 15 - X 30x = 1500 x = 1500/30 = 50%

7) Da 1ª fase de um concurso participaram 20 mil candidatos, dos quais 74% não foram aprovados para a 2ª fase. Dos participantes da 2ª fase, 64% não conseguiram aprovação. a) Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso? b) Qual a taxa de reprovados?

2) Ao comprar um livro, obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro sabendo que a taxa de desconto foi de 5%? 3 – 5 5x = 300 x - 100 x = 300/5 = 60

8) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.

Agora responda os testes a seguir: 1. Em uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes em porcentagem? a) 30% b) 70% c) 25% d) 35%

a) um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor, determine o valor da comissão.

2.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de 20% sobre o custo? a) R$ 170,00 b) R$ 180,00 c) R$ 185,00 d) R$ 190,00

9) O preço de um produto é de R$ 50,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 20%. Diante da insistência de um cliente, o comerciante concede, então um desconto de 20% sobre o novo preço do produto. Ao final dessas transações, haveria alteração no preço original do produto? Quem levaria vantagem: o comerciante ou o cliente? 10) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água. a) qual a taxa percentual de leite na mistura? E de água?

Resolva os problemas abaixo: 1) De um exame para habilitação de motorista participaram 380 candidatos, sabe – se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual o número de aprovados e reprovados?

b) Adicionando-se 10 ml de água à mistura, qual será a participação percentual de água na mistura?

2) Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se o seu preço fosse aumentado em 20% Quanto passaria a custar?

c) Retirando-se 10 ml de água da mistura original, qual será a participação percentual de água na mistura?

3) O preço de venda de um compact disc é de R$ 22,00. Quanto passará a custar o compact disc se a loja anunciar:

11) O Sr. Mathias tem R$ 12.000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido, e o restante numa outra aplicação B, que dá um rendimento

a) um desconto de 12% b) um acréscimo de 5% 4) Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90. Qual é a taxa 40

de 20% sobre o valor investido. Qual o rendimento anual esperado se ele aplicar R$ 7.000,00 em A e R$ 5.000,00 em B?

C – 500 P – 15% do preço de custo – R$ 75,00 V =? V=C–P V = 500 – 75 V = 425 O preço de venda será R$ 425,00

2 TRANSAÇÕES COMERCIAIS – LUCRO E PREJUÍZO Em qualquer transação comercial pode haver lucro ou prejuízo.

4) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo. Quanto eu havia pago por ele? V = 300 P = 25% do custo (que não temos) logo 25/100 de C = 0,25C C =? V=C–P 300 = C – 0,25C 300 = 0,75C C = 300/0,75 C = 400, Paguei R$ 400,00 por ele.

FÓRMULAS Para transações comerciais com lucro: V=C+L Onde V – Preço de venda; C – Preço de custo; L – Lucro. Transações comerciais com prejuízo: V =C–P Onde V – Preço de venda; C – Preço de custo; P – Prejuízo

EXERCÍCIOS 1) Natália quer vender um apartamento que custou R$ 160.000,00 lucrando 30% do preço de custo. Qual será o preço de venda do apartamento de Natália? 2) Luís comprou um carro por R$ 25.000,00 e vendeu-o por R$ 30.000,00. Calcule qual a porcentagem de lucro em relação ao: a) Preço de Custo b) Preço de Venda

Exemplos práticos 1) Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deverá ser vendido a que preço, para que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de venda? Temos: C – R$ 3.0000,00 L – 25% do preço de compra – ou seja L = 25/100.3000 = 750,00 Portanto o equipamento deverá ser vendido por: V=C+L V = 3000 + 750 V = 3750

3) Nilva vendeu seu terreno por R$ 30.000,00 com um prejuízo de 20% em relação ao preço de custo. Quanto ela havia pago pelo terreno? OUTROS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

2) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00 tendo um lucro nessa transação de 30% sobre a venda. Quanto pagou pela bicicleta? V – 300 L – 30% sobre a venda, ou seja 30/100.300 = 90 Como: V = C + L 300 = C + 90 C = 300 – 90 C = 210 Pagou R$ 210,00 pela bicicleta.

1) Paguei com multa R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00. Qual a taxa percentual da multa? 2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15.000,00 e vendeu-o um ano depois por R$ 18.750,00, qual o lucro em porcentagem do preço de custo? 3) Manuel compra 100 caixas de laranja por R$ 2.000,00. Havendo aumento de 25% no preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia? ATIVIDADE PARA CLASSE

3) Um comerciante vai vender seus produtos que custaram R$ 500,00 com um prejuízo de 15% do preço de custo. Nestas condições qual será o preço de venda de seus produtos?

1) Efetue as porcentagens abaixo: c) 20% de 45 d) 75% de 500 41

b) 33 representa 5,5% c) 280 representa 8% d) 320 representa 1,25% e) meio representa quanto por cento de 5/8?

2) No Brasil os inúmeros problemas sociais pertencem a 80% da população. Sabendose que 30 milhões de pessoas não sofrem com estas questões sociais, quantos são os menos favorecidos?

12) Uma nota promissória cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250. Qual a taxa de desconto?

3) Nas eleições de 07 de Outubro de 1990 em uma urna para 415 votantes havia apenas 332 votos. Qual o percentual de eleitores que deixaram de votar?

13) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em 3 prestações de 160 e uma de 180. Qual o preço da mercadoria?

4) Numa indústria trabalham 323 homens. As mulheres representam 66% dos empregados. Quantos funcionários trabalham nessa indústria?

14) Em quanto por cento aumentou o a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes?

5) Segundo dados de 1995, apenas 0,8% da população brasileira possuía microcomputadores. Numa cidade com 3000 habitantes, onde se aplicou este índice, o número de pessoas que possuía microcomputadores é: (10%)² é igual a:

15) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?

6) Num exame de seleção do CDT/ETEP na prova de matemática de 15 exercícios, com 4 perguntas cada um, um candidato acertou 48 itens. Qual foi a porcentagem de erros desse candidato?

16) Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço? 17) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?

7) No primeiro dia de um certo mês, uma ação estava cotada em R$ 20,00. Do dia 1º até o dia 10 deste mês sofreu um aumento de 10% e do dia 11 até o dia 20 sofreu novo aumento de 20%. A quanto foi cotada essa ação no dia 20 deste mês?

18) Uma pessoa tendo adquirido um relógio por R$ 125,00 só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio?

8) Um investidor aplicou R$ 5.000,00 em caderneta de poupança no dia 01/09, em 01/10 foi creditado o rendimento referente ao mês de Setembro, que foi de 3,5% e, em 01/11 foi creditado o rendimento do mês de Outubro. Se após esse último crédito o saldo passou a ser de R$ 5.392,35, determine o rendimento do mês de Outubro em %?

19) Um objeto que custou R$558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? 20) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto?

9) Em um colégio estudam 750 alunos. Desses 52% estudam no período da tarde. Quantos estudam no período da tarde? 10) No fim de uma temporada, uma equipe de basquete havia ganho 25 jogos dos 40 disputados. Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo clube no final da temporada?

21) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00 sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? 22) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado?

11) calcule a quantia da qual: A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de

a) 42 representa 5% 42

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

CAPITAL O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

TAXA DE JUROS A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS Representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS: O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = C . i.n

O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Onde: J = juros C = Capital i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Capital + Juros Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos) M = C . (1 + i . n) Aí teríamos:

Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, 43

M = 1000 + 160 = 1160 Ou M = 1000. (1+8/100.2) M = 1160

0,08 x 30 = 2,4 % ao mês.

1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?

3 – Calcule a taxa anual proporcional a 8 % ao trimestre. Resolução Em um ano temos quatro trimestres – JAN/FEV/MAR; ABR/MAI/JUN; JUL/AGO/SET; OUT/NOV/DEZ. 8 x 4 = 32% ao ano Resolva os exercícios abaixo:

2 – Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?

1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% a.t. (ao trimestre) b) 24% a.s. (ao semestre) c) 0,04%a.d. (ao dia)

3 – Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres?

2) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5%a.m. (ao mês) b) 8% a.t. (ao trimestre) c) 21% a.s. (ao semestre) d) 0,05% a.d. (ao dia)

EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES:

4 – Um capital de R$ 56.800 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido.

Agora resolva os problemas abaixo: 1) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.

5 – Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8 meses no regime de juro simples à taxa de 1,5% ao mês.

2) Calcule o correspondente a um capital de R$ 18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. OBS: Transformar a taxa e o tempo ambos em dias. – Considerar o ano comercial que é de 360 dias)

6 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 ,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos as elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Para resolvermos qualquer problema é necessária que tempo e taxa estejam na mesma unidade por exemplo taxa ao mês e tempo em meses, taxa ao ano e tempo também ao ano, taxa ao bimestre e tempo ao bimestre.

3) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.

Exemplos:

6) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples.

4) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000, em regime de juro simples, durante 2 anos 4 meses, à taxa de 24% ao ano. 5) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 durante 15 meses à taxa de 3% ao mês.

1 – Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Resolução Em um ano temos 12 meses então: 30/12 = 2,5% ao mês 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês.

7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000, à taxa de 2,5 % ao mês, durante 2 anos. 8) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000. Qual foi a taxa anual?

2 – Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Resolução Em um mês temos 30 dias logo: 44

Ou então substituindo d pelo seu valor obtido vem: A = N (1 – i x n)

DESCONTO SIMPLES Se uma pessoa deve uma quantia de dinheiro numa data futura, é normal que se entregue ao devedor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com esse abatimento denominado desconto. Exemplos de títulos de crédito: a) Nota promissória: é um comprovante de aplicação de um capital com vencimento pré-determinado. É um título muito usado entre pessoas físicas e uma instituição financeira. b) Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes (pessoa física ou jurídica) , para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. c) Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória , é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado ; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. d) Desconto: é a quantia a ser abatida ao valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

EXEMPLOS: 1 - Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1 % ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) O valor do desconto comercial Resolução: Temos: N = 6.000; n = 45 dias; i = 2,1%ao mês fazemos a conversão para taxa ao dia: em um mês temos 30 dias então: 2,1/30 = 0,07%ao dia Usando a fórmula: d = N . i . n d = 6000. 0,07/100 . 45 d = 189 (desconto comercial) b) O valor atual comercial A=N–d A = 6000 – 189 A = 5.811 O valor atual comercial é de r$ 5.811 Obteríamos o mesmo resultado usando a formula abaixo: A = N (1-i.n) e d = N-A A = 6000 (1 – 0,0007 . 45) = 5811 d = N – A = 6000 – 5811 = 189

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.

2) Uma duplicata de R$ 6.900 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 6.072. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Temos: N = 6.900; A = 6.072; i = 4% ao mês 4/100 = 0,04 A = N ( 1 –i .n) 6072 = 6900 (1- 0,04.n) 6072 = 6900 - 276n 276n = 6900-6072 276n = 828 n = 828/276 n = 3 meses

DESCONTO COMERCIAL Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a à taxa fixada. Termos que são usados no Valor do desconto comercial: d – o valor do desconto comercial N – o valor nominal do título A – O valor atual comercial ou valor descontado comercial n – O tempo (nº de períodos) i – Taxa de desconto Fórmula d = N . i . n Valor atual comercial O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A=N–d

O problema poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto d = N.i.n, lembrando que: d=N–A d = 6900 – 6072 = 828 d = N.i.n 828 = 6900 . 0,04. N 828 = 276n n = 828/276 n = 3 meses 45

b) 53 dias antes do vencimento EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS 1) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000 foi resgatado 2 meses antes do vencimento à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do diaa-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

2) Um título no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10 é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratado foi de 54%ao ano, qual o valor comercial descontado?

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

3) Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 4.476, sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?

1º mês: M =C.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M =C . (1 + i)n

4) Determine o desconto de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento. 5) Um título de valor nominal de R$ 900,00com vencimento para 150 dias será descontado em um banco que opera coma taxa de desconto de 6% ao mês: Calcule: a) O prazo de antecipação é de 3 meses. Qual o desconto?

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

b) Calcule o valor atual

Exemplo:

c) Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento, qual será o desconto?

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: C = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M =?

J=M–C

d) Qual o valor atual? 6) Qual o desconto experimentado por um título de R$ 1.500, à taxa de desconto de 10% ao mês, se o resgate é feito: a) um mês antes do vencimento b) 60 dias antes do vencimento.

Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00

7) Um título de R$ 420,00 é descontado 45 dias antes do vencimento à taxa de 3% ao mês. Qual é o valor do resgate? 8) Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição, qual seria o valor de um título de R$ 20.000,00 descontado 4 meses antes do vencimento? 9) O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% ao mês é R$ 700,00. Calcule o valor atual da duplicata, se for descontado: a) 12 dias antes do vencimento

EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS 1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% am e 6 meses 46

b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses

de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do segundo pagamento.

2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?

13 - (média) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses.

3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am

14 - (média) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. O primeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.

4 - (fácil) Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ 120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha? 5 - (fácil) Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa?

15 - (média) Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

6 - (fácil) A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$ 27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00, quanto tempo o capital ficará aplicado?

16 - (difícil) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos, resgatouse a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 102,30 no prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

7 - (fácil) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am? 8 - (fácil) Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a 4/10?

17 - (média) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante que excede em R$ 500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% am.

9 - (fácil) Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (Considere ano civil entre as datas). 10 - (fácil) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?

18 - (média) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido?

11 - (média) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada?

19 - (média) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se

12 - (média) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for 47

igualam, parcela.

determinar

valor

cada

20 - (fácil) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? 21 - (fácil) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00 contratado à taxa efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.