Micro L2 05/06

Chapitre 1. La théorie du consommateur 1.1 Préférence et utilité Le consommateur est supposé rationnel : il vise à retirer la plus grande satisfaction possible de ses achats compte tenu du revenu dont il dispose et des prix des différents biens disponibles.

L’analyse des choix du consommateur nécessite de définir ses préférences et sa contrainte de budget.

1.1.1 Préférence et fonction d’utilité Nous notons xi la quantité de bien i consommée par le consommateur.

Nous supposons qu’il existe n biens différents dans l’économie considérée.

Le consommateur doit choisir un panier, c’est-à-dire un vecteur x = (x1, , xi , , xn) ∈ Rn+ où chaque coordonnée i correspond à la quantité de bien i que le consommateur consomme.

1

1.1.1.1 La fonction d’utilité Une première façon de formaliser les préférences d’un agent consiste à supposer que le consommateur peut attribuer un nombre à la satisfaction que lui procure la consommation d’un bien (ou d’un panier de biens).

Nous notons U la fonction d’utilité. Nous avons U : X → R, U : x U (x). Ici x correspond au vecteur choisi par le consommateur et U (x) correspond au niveau de satisfaction obtenu par l’agent lorsqu’il consomme le panier de bien x.

Nous supposerons que la fonction d’utilité est croissant par rapport à chacun de ses arguments : Ui′ > 0 pour tout i ∈ J1, nK. Économiquement cette hypothèse signifie que la satisaction de l’agent augmente lorsqu’il augmente la quantité de biens qu’il consomme.

2

1.1.1.2 L’utilité marginale

Grâce à la fonction d’utilité nous pouvons définir une notion clé en microéconomie : l’utilité marginale.

Définition 1. L’utilité marginale d’un bien, ou d’un panier de bien, correspond à l’accroissement d’utilité obtenu par la consommation d’une unité supplémentaire du bien, les quantités consommées des autres biens étant inchangées.

Afin de saisir cette notion, nous allons traiter de la situation d’un bien indivisible. Dans ce cas les quantités de biens consommés par le consommateur peuvent prendre des valeurs discrètes : 0, 1, 2, Exemple 2. Supposons que la satisfaction d’un consommateur associée à la consommation de poires soit donnée par le tableau suivant : 3

Quantités de poires : x 0 1 2 3

Utilité associée à la consommation de x poires 0 12 20 27 Tableau 1.

L’utilité marginale associée à la consommation de la première poire est 12. L’utilité marginale associée à la consommation de la deuxième poire est 8. L’utilité marginale associée à la consommation de la troisième poire est 7.

Lorsque les biens sont divisibles c’est-à-dire lorsque les quantités de biens consommées varient de façon continue, la compréhension de la notion d’utilité marginale est plus délicate.

Afin de saisir cette notion dans de tels cas, nous allons recourir au calcul différentiel. Ceci suppose que les fonctions d’utilité auxquelles nous nous intéressons sont non seulement continues mais aussi différentiables.

Nous contextualisons notre propos en supposant que l’agent consomme du soda.

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Plus précisément, nous supposons que l’agent a consommé 25 unités (cl) de soda, et nous cherchons à connaître la satisfaction apportée à l’agent par la consommation d’une unité supplémentaire de soda.

La différentielle de la fonction d’utilité s’écrit : dU (x) = U ′(x)dx. Étant donné que la variation du bien considéré est faible (une unité : passage de 0,25 à 0,26) la variation obtenue sur la courbe est très proche de celle obtenue grâce au calcul différentiel.

Les économistes considèrent que l’erreur commise suite à l’utilisation du calcul différentiel est suffisamment faible pour que cette méthode puisse être considérée comme valide.

5

Exemple 3. Supposons un agent qui consomme 25 cl de Soda et dont la fonction d’utilité est donnée par U (x) = ln(1 + x). L’utilité marginale du 26ème cl de Soda est égale à : ∆U = U (26) − U (25) = ln(27) − ln(26) = 0, 03774.

Si nous utilisons le calcul différentiel, nous obtenons : dU (25) = 1/26 = 0, 03846.

L’erreur absolue commise est :

0, 03846 − 0, 03774 = 0, 00072.

L’erreur relative commise est :

0, 03846 − 0, 03774 = 0, 01912.

0, 03774 L’erreur est négligeable puisque inférieure à 10% (ici elle est inférieure à 2%).

Une hypothèse est posée concernant les utilités marginales : Elles sont décroissantes.

6

La dérivée seconde de la fonction d’utilité est négative. Économiquement cette hypothèse signifie que plus l’agent augmente sa consommation d’un bien, moins la dernière unité consommée lui apporte une utilité importante.

L’hypothèse d’utilité marginale décroissante correspond à l’idée de satiété subie par l’agent.

7

1.1.1.3 Le taux marginal de substitution Nous supposerons pour simplifier qu’il n’y a que deux biens 1 et 2 et que la fonction d’utilité est U : (x1, x2) U (x1, x2).

Nous cherchons à connaître la manière dont le consommateur doit effectuer des échanges entre les biens pour préserver sa satisfaction.

Autrement dit, de quelle quantité le consommateur doit faire varier le quantité de biens 2 qu’il consomme s’il décide de consommer une unité de bien 1 en moins et de laisser sa satisfaction inchangée ?

Formellement, l’utilité du consommateur ne varie pas donc : dU Variation d’utilité totale

=0=

U1′ dx1 Variation d’utilité liée à la variation de bien 1 8

+

U2′ dx2 Variation d’utilité liée à la variation de bien 2

Ce qui nous amène à : dx2 U1′ − = = k. dx1 U2′ Nous pouvons interpréter cette dernière équation. −

Le côté gauche de l’équation correspond à la variation de x2 nécessaire à la préservation de la satisfaction du consommateur lorsque la quantité de bien 1 consommée varie d’une unité.

−

Le côté droit de l’équation correspond au rapport entre la satisfaction associée à la dernière unité de bien 1 consommée et la satisfaction associée à la dernière unité de bien 2 consommée. En d’autres termes, la dernière unité de bien 1 apporte une satisfaction égale à k fois la satisfaction apportée par le bien 2.

Ces deux quantités doivent évidemment être égales.

L’opposé du terme à droite de l’égalité correspond au taux marginal de substitution (TMS). dx TMS = − 2 . dx1 9

Le TMS est appelé rapport d’échange subjectif puisqu’il correspond au taux d’échange du consommateur (du sujet). Il est supposé décroissant. β Exemple 4. Calcul du TMS de la fonction U (x1, x2) = A xα 1 x2 . Le TMS correspond au rapport des utilités marginales. En conséquence :

A α xα−1 x2β αx2 1 TMS = = . α β −1 β x1 A β x 1 x2 L’interprétation de ce résultat est la suivante. Si l’agent consomme le panier de biens (x1, x2) et décide de baisser d’une unité la quantité de bien 2 qu’il conαx somme, il devra augmenter de β x2 unités la quantité de bien 2 qu’il consomme 1 pour conserver le même niveau de satisfaction.

10

1.1.1.4 Représentation graphique : les courbes d’indifférence Nous allons tracer les courbes de niveau de la fonction d’utilité. Rappelons qu’une courbe de niveau est obtenue en reliant l’ensemble des points ayant la même image.

En microéconomie une courbe de niveau associée à la fonction d’utilité s’appelle une courbe d’indifférence. Elle regroupe l’ensemble des points, i.e. des paniers de biens qui apportent la même satisfaction à l’agent.

Plus une courbe d’indifférence est éloignée de l’origine (au nord-est), plus la satisfaction du consommateur est importante.

Dans la situation où le consommateur doit choisir entre des paniers de biens comportant deux biens, les courbes d’indifférence sont tracées dans le plan (O, x1, x2).

11

Exemple 5. Supposons que la fonction d’utilité du consommateur est : U (x1, x2) = x21 x22.

Nous souhaitons trace la courbe d’indifférence associée à une satisfaction égale à 4. Nous avons : 4 = x21 x22, Nous pouvons écrire x2 en fonction de x1 : x2 =

2 . x1

Nous pouvons maintenant tracer la courbe d’indifférence associée à un niveau de satisfaction de 4.

12

Les Courbes d’indifférence ont les propriétés suivantes. −

Elles ne se croisent pas sinon deux paniers situés sur deux courbes d’indifférence différentes apporteraient le même niveau de satisfaction.

−

Elles sont décroissantes. Dans le cas contraire, un panier permettant de consommer plus des deux biens apporterait la même utilité qu’un panier qui permettrait de consommer de plus petites quantités de chacun des deux biens.

−

La pente de la tangente à une courbe d’indifférence est donnée par le TMS (par définition de ce dernier).

−

Elles sont convexes. Nous allons examiner la signification de cette hypothèse.

Prenons deux points qui appartiennent à la même courbe d’indifférence, A(x1, x2) et B(x1′ , x2′ ) avec x1 < x1′ et x2 > x2′ .

Supposons que la quantité de biens 1 consommé par l’agent diminue de ∆x1 entre ces deux points.

Nous cherchons à évaluer la quantité de biens 2 permettant au consommateur de conserver la même utilité.

Au point A la quantité de bien 2 doit augmenter de ∆Ax2 > 0 et cette 13

quantité doit augmenter de ∆Bx2 > 0 au point B. Graphiquement, nous remarquons que pour compenser la perte de la quantité ∆x1 au point A, nous devons ajouter plus de biens 2 qu’au point B. L’interprétation de ce résultat est la suivante. Au point A la quantité de bien 1 consommé est plus faible que la quantité de bien 1 consommé au point B. Dans cette situation, le consommateur retire plus de satisfaction du bien 1 au point A qu’au point B. En conséquence, la préservation de son niveau satisfaction nécessite l’emploi d’une plus grande quantité de biens 2 au point A relativement au point B. Cette hypothèse indique que le consommateur a une préférence pour les mélanges puisqu’il faut plus de biens 2 pour compenser la perte d’une unité de bien 1 lorsque l’agent consomme peu de biens 1 que lorsque l’agent consomme beaucoup de biens 1.

14

1.1.2 La contrainte budgétaire Nous supposons que l’agent dispose d’un revenu R et que le prix associé à chacun des biens i est noté pi.

Nous pouvons définir le vecteur p = (p1, , pi , , pn) ∈ Rn+ comme le vecteur des prix de l’économie considérée.

L’ensemble des paniers de biens qui ont un coût inférieur ou égal au revenu du consommateur appartiennent à l’ensemble de consommation de ce dernier. Formellement, un panier de biens, x, apartient à l’ensemble de consommation de l’agent si : X p·x ≤R⇔ pi xi ≤ R ⇔ p1 x1 + + pi xi + + pn xn ≤ R. (1) i∈J1,nK

L’équation (1) correspond à la contrainte de budget du consommateur.

15

Nous supposons que le consomateur sature (impossibilité d’épargne dans ce modèle) cette contrainte ce qui nous conduit à l’équation : p · x = R ⇔ p1 x1 + + pi xi + + pn xn = R.

(2)

Nous allons maintenant tracer la contrainte de budget. Nous allons à nouveau supposer que le consommateur choisit des paniers de biens qui ne contiennent que deux biens. Dans ce cas la contrainte budgétaire s’écrit : p1 x1 + p2 x2 = R ⇒ x2 =

R − p 1 x1 . p2

La contrainte budgétaire est donc une droite de pente l’ordonnée à l’orgine est égale à R/p2.

16

− p1/p2 et dont

1.1.3 Équilibre du consommateur 1.1.3.1 Méthode connue Pour obtenir l’équilibre du consommateur, nous allons utiliser le fait que le consommateur cherche à maximiser sa satisfaction (sa fonction d’utilité) sous sa contrainte de budget.

Pour simplifier nous supposons que les paniers de biens entre lesquels le consommateur doit choisir contiennent deux biens. Formellement, nous cherchons le vecteur x = (x1, x2) tel que :   2 {U (x1, x2)}  argmax(x1,x2)∈R+   sous contrainte : p x + p x = R 1

1

2

Nous résolvons de manière géométrique le problème.

17

2

Nous cherchons la courbe d’indifférence la plus éloignée de l’origine qui vérifie la contrainte budgétaire de l’agent.

Il est clair que la courbe d’indifférence contenant le couple solution doit être en tangence avec la droite de budget. Ceci signifie qu’au point de tangence, la tangente de la courbe d’indifférence considérée est confondue avec la droite de budget. Évidemment, la pente de la tangente à la courbe est identique à la pente de la droite de budget. Nous avons : dx2 dx1

=

pente de la tangente à la courbe

−

p2 . p1

pente de la droite de budget

Par ailleurs, nous savons que : dU Variation d’utilité totale

=

U1′ dx1 Variation d’utilité liée à la variation de bien 1 18

+

U2′ dx2 Variation d’utilité liée à la variation de bien 2

Puisque nous souhaitons connaître la pente de la tangente à la courbe d’indifférence à un point donné, nous supposons que la variation d’utilité est nulle. Dans ce cas, nous avons : dx2 U1′ ′ ′ U1 dx1 + U2 dx2 = 0 ⇒ − = . dx1 U2′ Ceci nous conduit à : U1′ p1 , ′= U2 p2 puisque dx2 U1′ = − ′.

U2 dx1

Économiquement cette égalité se comprend facilement.

Supposons que le consommateur dépense une unité monétaire supplémentaire en bien 1. Il augmentera la quantité de bien 1 qu’il consommera de 1/p1 unités : nous avons dx1 = 1/p1.

19

Puisque le consommateur a augmenté sa consommation de bien 1 de 1 unité monétaire, il doit dépenser une unité monétaire en moins pour la consommation de bien 2, il doit donc réduire (à l’équilibre) sa consommation de bien 2 de 1/p2.

Nous obtenons la variation d’utilité suivante : U1′ U2′ dU = − . p1 p2 Cette opération sera profitable pour le consommateur si U1′/p1 > U2′/p2.

Si cette inégalité est vérifiée, nous ne sommes pas à l’équilibre puisque le consommateur a intérêt à modifier sa consommation.

Ce raisonnement reste valide si le consommateur choisit d’augmenter sa consommation de bien 2. En conséquence, la seule situation candidate à l’équilibre est la situation où : U1′ U2′ = . p1 p2 Au final, nous obtenons la quantité consommée à l’équilibre par le consommateur, c’est-à-dire la demande pour chaque bien du consommateur considéré.

20

1.1.3.2 La méthode du Lagrangien Nous allons considérer cette méthode dans un cas très particulier. Cette méthode est valide dans de nombreuses autres situations. Le cours de mathématique vous permettra d’appréhender le Lagrangien dans une formulation beaucoup plus générale.

Nous avons vu dans le paragraphe précédent qu’à l’équilibre le rapport des dérivées partielles de la fonction d’utilité (la fonction à maximiser) était égal au rapport des dérivées partielles de la contrainte budgétaire (la contrainte).

Nous avons donc : U1′ U2′ = . p1 p2 Nous notons − λ la valeur de ces rapports, λ sera par la suite appelé multiplicateur de Lagrange. Nous avons : U1′ = − λ ⇒ U1′ + λ p1 = 0, p1 21

et U2′ = − λ ⇒ U2′ + λ p2 = 0. p2 Ce système de deux équation à deux inconnues est obtenue lorsque nous désirons trouver la condition de premier ordre permettant de trouver un extremum à la fonction suivante : L(x1, x2, λ) = U (x1, x2) + λ (p1 x1 + p2 x2 − R).

La condition de premier ordre conduit effectivement aux équations :  ′ U1 + λ p1 = 0      U2′ + λ p2 = 0      p1 x1 + p2 x2 = R

La dernière équation ne nous apporte pas d’information puisqu’elle nous redonne la contrainte de budget.

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Exemple 6. Soit X ⊂ R2+ l’ensemble des paniers disponibles. Soit la fonction β d’utilité donnée par U : X → R, x = (x1, x2) A xα 1 x2 .

Le problème du consommateur consisite à résoudre le programme suivant :

 β  x  argmax(x1,x2)∈R 2+{A xα 1 2}

  sous la contrainte : p x + p x = R 1

1

2

2

En utilisant la méthode du Lagrangien, le programme d’optimisation est équivalent à la maximisation de la fonction β L(x1, x2, λ) = A xα 1 x2 + λ (p1 x1 + p2 x2 − R).

Cette maximisation nécessite l’annulation des dérivées premières :   x2β + λp1 = 0  L1′ (x1, x2, λ) = αA xα−1 1   L ′ (x , x , λ) = βA xα x β −1 + λp = 0 2

1

2

1

23

2

2

Ceci nous conduit au fait que le couple (x1, x2) d’équilibre doit vérifier simultanément les deux équations suivantes :   x2β = λp1  αA xα−1 1   βA xα x β −1 = λp 1

2

2

En conséquence, en divisant la première équation par la seconde, nous obtenons :

α β

x2 p = 1. x1 p2

Nous savons, par ailleurs, que le choix du consommateur doit vérifier la contrainte budgétaire à l’équilibre. Le panier d’équilibre vérifie donc simultanément les deux équations suivantes :   α x2 p   = 1  β x1 p2     p1 x 1 + p2 x 2 = R 24

Résolvons ce système. Nous avons :

x2 p α β p1 = 1 ⇒ x2 = x1. x1 p2 β α p2

Nous introduisons cette dernière équation dans la contrainte pour obtenir le résultat souhaité :

p 1 x1 + p 2

β p1 β α x1 = R ⇒ p1 x1 1 + = R ⇒ x1 = α p2 α α+β

et :

x2 =

β p1 α p2

α α+β

R β ⇒ x2 = p1 α+β

25

R . p2

R , p1

Dans cette exemple, la demande optimale du consommateur en bien 1 est :

R α , p1 α+β alors que la demande optimale du consommateur en bien 2 est égale à :

β R . α+β p2

Nous pouvons noter que dans le cas des fonctions de ce type, la demande en bien i ∈ {1, 2} ne dépend pas du prix de l’autre bien.

26

1.2 La demande du consommateur L’objet de cette section concerne les conséquences d’une modification des prix ou du revenu sur la demande optimale du consommateur.

1.2.1 Variation du revenu du consommateur Nous nous intéressons à une variation du revenu du consommateur. Ceci induit que la contrainte de budget évolue.

Dans le cas de paniers de biens constitués de deux biens, la pente de la droite de budget reste constante alors que l’ordonnée à l’origine de cette droite évolue.

27

Rappelons que l’équation de la droite de budget dans ce cas est donnée par : x2 =

R − p 1 x1 . p2

Il est clair que lorsque le revenu augmente, la droite de budget se déplace vers la droite.

Du fait de la translation de la droite de budget, les couples (x1, x2) solutions changent.

Pour chaque niveau de revenu, et donc pour chaque droite de budget, nous obtenons un couple solution (compte tenu des préférences du consommateur).

Si nous relions les différents couples solutions, nous obtenons une courbe appelée courbe de consommation-revenu.

28

Nous pouvons établir la typologie des biens suivante. −

Si la courbe de consommation-revenu est croissante, les biens sont dits normaux : les consommations des biens 1 et 2 augmentent lorsque le revenu augmente.

−

Si les consommations des deux biens augmentent mais la part du revenu allouée au bien 1 augmente, alors que la part du revenu allouée au bien 2, alors le bien 2 est appelé un bien prioritaire et les biens 1 sont appelés des biens de luxe. Les premiers correspondent à des biens de premières nécessités.

−

Si la consommation d’un bien diminue lorsque le revenu augmente, alors ce bien est un bien inférieur. En général, il s’agit de biens tels qu’il existe des substituts de meilleurs qualité.

29

1.2.2 Variation du prix d’un bien Nous supposons à nouveau que les paniers de biens entre lesquels le consommateur doit choisir comportent uniquement deux biens.

Ici, seul le prix d’un des biens varie : disons le prix du bien 1. Dans ce cas, la droite de budget conserve la même ordonnée à l’origine mais sa pente est modifiée : plus le prix augmente, plus la valeur absolue de la pente de la droite de budget augmente.

Pour chaque niveau de prix, et donc pour chaque droite de budget, nous obtenons un couple solution (compte tenu des préférences du consommateur).

Si nous relions les différents couples solutions, nous obtenons une courbe appelée courbe de consommation-prix.

Nous pouvons dès lors nous examiner les conséquences d’une augmentation ou d’une diminution du prix du bien 1 sur les demandes optimales du consommateur.

30

1.2.3 Effet de substitution et effet de revenu Supposons, sans perte de généralité, que le prix du bien 1 augmente.

Dans la suite, le panier choisi par le consomateur, avant l’augmentation du prix, est appelé panier initial tandis que le panier choisi par le consommateur, après l’augmentation du prix, est appelé panier terminal.

Nous souhaitons savoir comment les demandes des deux biens vont évoluer.

La réponse à cette question devrait prendre en compte deux effets, −

l’effet de substitution : le fait que le prix du bien 1 augmente conduit le consommateur à remplacer une partie de sa demande de bien 1 par une demande supplémentaire en bien 2 ;

−

l’effet revenu : l’augmentation du prix du bien 1 rend mécaniquement l’individu moins « riche » dans le sens où il accède à un ensemble de paniers de biens plus restreint que celui auquel il accédait avant l’augmentation du prix.

31

Notre objectif est de quantifier chacun de ces deux effets. Pour cela, nous allons construire un panier fictif qui vérifie deux propriétés. −

Le panier fictif appartient à la courbe d’indifférence, notée C1, à laquelle le panier solution appartient avant l’augmentation du prix du bien 1.

−

Le panier fictif est un point de tangence entre la courbe C1 et une droite de budget fictive dont la pente est donnée par l’opposé du nouveau rapport des prix.

Autrement dit, le panier fictif est une solution optimale pour le nouveau rapport des prix (le rapport des prix après l’augmentation du prix du bien).

32

Expliquons maintenant le choix de cette construction en répondant aux deux questions suivantes.

1. Comment interpréter le fait que le panier fictif appartienne à la courbe d’indifférence originelle C1 ?

2. Pourquoi le panier fictif est-il une solution optimale pour le nouveau rapport des prix ?

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Nous allons répondre successivement à ces deux questions.

1. Le fait que le panier fictif appartienne à la courbe d’indifférence signifie que le panier fictif et le panier initial correspondent à une situation où le consommateur dispose du même revenu.

En effet, si le consommateur disposait d’un revenu plus important, il pourrait choisir une courbe d’indifférence lui apportant un niveau de satisfaction plus élevé (et donc une courbe d’indifférence plus éloignée de l’origine) et inversement.

2. Le fait que le panier fictif soit une solution optimale pour le nouveau rapport des prix signifie que si le consommateur dispose du même revenu qu’avant l’augmentation du prix et qu’il fait face au nouveau rapport des prix, alors il choisit le panier fictif.

34

Mettons en relation le panier fictif et la quantification des effets de substituion et de revenu. −

Le panier intial et le panier fictif se situe sur la même courbe d’indifférence. D’après l’interprétation précédente, ceci signifie que les deux paniers sont choisis dans des situations où le consommateur dispose d’un revenu identique.

Par contre, le panier intial est choisi par le consommateur lorsque le rapport des prix auquel il est confronté est donné par le rapport des prix initial tandis que le panier fictif est choisi lorsque le consommateur fait face au nouveau rapport des prix.

En conséquence, les différences de consommation qui existent entre ces deux paniers ne sont pas liées au revenu mais uniquement au changement du rapport des prix.

Les différences de consommation entre les deux paniers capturent donc uniquement un effet substitution lié à la modification du rapport des prix.

35

−

Le panier terminal et le panier fictif se situent sur des courbes d’indifférence différentes, mais appartiennent à des droites de budget de même pente.

Ces paniers correspondent à des choix effectués alors que les rapports des prix sont identiques et que le consommateur dispose de quantités de ressources différentes.

En conséquence, les différences de consommation qui existent entre ces deux paniers ne sont pas liées aux différences de prix mais uniquement aux différences de revenu.

Les différences de consommation entre ces deux paniers capturent donc uniquement un effet revenu lié à la modification du revenu.

36

Exemple 7. Supposons que la fonction d’utilité soit donnée par U : (x1, x2) 0,5 x0,5 x 1 2 .

Le prix initial, pi1, du bien 1 est égal à 1 et le prix terminal, pt1, du bien 1 est égal à 2 alors que le prix initial et terminal, pi2 = pt2 du bien 2 est égal 1, le revenu est R = 4.

Clairement l’équilibre initial (xi1, xi2) = (2, 2) et l’équilibre final est (xt1, xt2) = (1, 2).

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Le panier fictif, (x1f , x2f ) vérifie les deux conditions suivantes : q 1. U (xi1, xi2) = U (x1f , x2f ) ⇒ 2 = x1fx2f : le panier initial et le panier fictif appartiennent à la même courbe d’indifférence, ils doivent donc rapporter la même satisfaction.

2. U1′(x1f , x2f )/U2′(x1f , x2f ) = pt1/pt2 ⇒ x2f /x1f = 2 : le panier fictif est une solution optimale lorsque le rapport des prix est donné par pt1/pt2.

38

À partir de ces deux conditions nous obtenons :   f f f f   √ x2 /x1 = 2 ⇒ 2 x1 = x2   f     x1 = 2 4 q ⇒ 2 x1f = f ⇒ √ 4   x f  1 2 = x1fx2f ⇒ f = x2f    x2 = 2 2   x1

39

Nous calculons l’effet de substitution et l’effet de revenu.

−

Effet de substitution. Il correpond à la différence entre le panier fictif et le panier initial : √ √ f f i i (x1 , x2 ) − (x1, x2) = ( 2 − 2, 2( 2 − 1)).

L’effet de subsitution est à l’origine d’une variation (diminution) de la √ √ consommation de bien 1 égale à 2 − 2 (respectivement | 2 − 2|).

L’effet de subsitution est√à l’origine d’une augmentation de la consommation de bien 2 égale à 2( 2 − 1).

40

−

Effet de revenu. Il correpond à la différence, en terme de consommation entre le panier terminal et le panier fictif : √ √ f f t t (x1, x2) − (x1 , x2 ) = (1 − 2 , 2 − 2 2 ).

L’effet de revenu est à l’origine de la consom√ √ d’une variation (diminution) mation de bien 1 égale à 1 − 2 (respectivement |1 − 2 |).

L’effet de subsitution est à l’origine√d’une variation (diminution) de la √ consommation de bien 2 égale à 2 − 2 2 (|2 − 2 2 |).

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Nous pouvons faire deux remarques.

•

•

La première concerne le fait que par définition la variation totale correspond à la somme des variations dues aux effets de subsitution et de revenu : (x1f , x2f ) − (xi1, xi2) + (xt1, xt2) − (x1f , x2f ) = (xt1, xt2) − (xi1, xi2). √ √ Ici la variation du bien 1√ est égale à 2 − √2 + 1 − 2 = − 1, et la variation du bien 2 est égale à 2( 2 − 1) + 2 − 2 2 = 0.

La seconde concerne le fait que l’effet de substition et l’effet de revenu sont identiques en valeur absolue dans l’exemple.

Les deux effets se compensent. Ceci est vrai pour toute fonction de ce type.

Nous comprenons désormais le résultat obtenu en terme de demande optimale pour ce type de fonction : la demande de bien 1 ne dépend pas du prix du bien 2 et réciproquement.

42

Les effets de substitution et de revenu vont nous permettre de définir la substituabilité brute entre deux biens.

La substituabilité brute apparaît lorsque l’effet de substitution domine l’effet revenu, une hausse du prix du bien 1 conduit à une augmentation de la consommation du bien 2.

43

1.3 Le surplus du consommateur Dans cette section, nous allons supposer que le bien i considéré ne constitue qu’une petite part des dépenses du consommateur.

Dans cette situation, la perte en terme de consommation (et donc de satisfaction) de biens autres que i de l’agent, consécutive à l’augmentation de la consommation de bien i de ce dernier, est négligeable.

Cette perte de bien-être n’est alors pas prise en considération par le consommateur.

Dans une telle situation, le prix de réserve peut être interprété comme la contrepartie en terme monétaire de la satisfaction apportée par l’unité consommée.

Rappelons que le prix de réserve correpond au prix maximum que le consommateur est prêt à payé un bien.

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Dans la situation décrite au-dessus, la consommation du bien considéré n’a pas d’effet sur la satisfaction que le consommateur éprouve du fait de la consommation des autres biens.

En conséquence la variation d’utilité est totalement expliquée par la variation de la consommation du bien i.

Si l’utilité marginale du bien considéré est inférieure au prix de réserve, nous obtenons une contradiction : l’agent est prêt à payer le bien plus cher.

Nous obtenons le même type de contradiction si l’utilité marginale du bien considéré est supérieur au prix de réserve.

45

1.3.1 Exemple introductif : les biens indivisibles Supposons une situation où le bien consommé est indivisible.

Nous supposons que le consommateur n’achète aucun bien si le prix est supérieur à 100.

Il achète une unité si le prix est compris entre 80 et 100, deux unités si le prix est compris entre 30 et 80 et trois unités si le prix est compris entre 0 et 30.

Supposons que le prix du bien soit égal à 50.

Dès lors, nous pouvons nous poser deux questions : − −

Quelle quantité de biens le consommateur va-t-il consommer ?

Quelle satisfacton va-t-il retirer de la consommation de ces biens ?

46

La réponse à la première question est évidente, le consommateur va choisir de consommer deux unités du bien considéré.

La réponse à la deuxième question fait intervenir la notion de prix de réserve.

Ici, le consommateur est prêt à supporter • •

un prix de 100 pour acquérir la première unité ; un prix de 80 pour acquérir la deuxième unité.

Le prix de réserve de chacune des unités correspond, par définition, à l’utilité marginale exprimée en terme monétaire que cette unité apporte à l’agent.

Il suit que la première unité lui apporte une satisfaction correspondant à 100 unités monétaires et la deuxième unité lui apporte une satisfaction correspondant à 80 unités monétaires.

47

Le consommateur paie chacune de ces unités 50 unités monétaires. En conséquence, il obtient un gain net en terme de satisfaction, un surplus, égal à 50 pour la première unité et à 30 unités monétaires pour la seconde.

Finalement, la satisfaction du consommateur suite à la consommation des deux biens aura augmenté de 50 + 30 = 80 unités monétaires.

48

1.3.2 Des biens indivisibles au biens divisibles : le cas d’une fonction d’utilité linéaire Nous allons généraliser le raisonnement précédent dans le cas des biens divisibles lorsque la fonction d’utilité est linéaire. Nous supposons ici que le prix du marché est égal à 4.

1. Supposons que le consommateur achète un type de bien qui ne soit vendu que par lots de 10 unités.

Le prix de réserve (unitaire) de l’agent pour les 10 premières unités est égal à 10, le prix de réserve des 10 suivantes est égal à 5 et le prix de réserve des 10 suivantes est égal à 0.

Dans ce cas, le consommateur obtient un surplus égal à 10 × 10 + 5 × 10 − 20 × 4 = 70.

49

2. Supposons un bien tel que les lots puissent désormais contenir 5 unités de bien.

Le prix de réserve des 5 premières unités est égal à 12,5, le prix de réserve des 5 unités suivantes est égal à 10, le prix de réserve des 5 unités suivantes est égal à 7,5 unités, le prix de réserve des 5 unités suivantes est égal à 5, et le prix de réserve des 5 unités suivantes est égal à 0.

Dans ce cas le consommateur obtient un surplus égal à 5 × 12, 5 + 5 × 10 + 5 × 7, 5 + 5 × 5 − 4 × 20 = 175 − 80 = 95.

50

3. Supposons que les lots puissent désormais contenir 1 unité de bien. Le prix de réserve associé à la consommation de la i + 1ème unité, pour i ∈ J1, 29K, est donné par la suite pi+1 = pi − 1/2 avec p1 = 14, 5.

Le prix de réserve associé à la nième unité consommée de bien est égal à : pn = pn−1 − 1/2

1 = (pn−2 − 1/2) − 1/2 = pn−2 − 2 2

1 1 = pn−3 − 3 = (pn−3 − 1/2) − 2 2 2 =

1 = pn−k − k , 2 51

en posant k = n − 1, nous obtenons :

pn = p1 − (n − 1) 1/2 = 14, 5 − (n − 1) 1/2.

Nous cherchons la quantité de biens achetés par le consommateur. Il faut : pn ≥ 4 ⇒ 14, 5 − (n − 1) 1/2 ≥ 4 ⇒ n ≤ 22 Nous calculons la somme des utilités marginales (i.e. des prix de réserve) obtenue par le consommateur :

22 X 22 × ( − 1/2) = 319 − 115, 5 = 203, 5. pi = 14 , 5 × 22 + 21 2 i=1

Le coût pour le consommateur est égal à : 88.

Au final, le surplus perçu par le consommateur est égal à 115,5.

52

Pour comprendre ce qui se passe lorsque nous nous plaçons dans le cadre de biens divisibles, nous posons la fonction d’utilité suivante : U = 15q − 1/4 q 2 + M , où M correspond à la quantité de monnaie que le consommateur réserve à la consommation des autres biens.

Le consommateur choisit la quantité q qui maximise sa satisfaction sous contrainte. argmax{15q − 1/4 q 2 + M } sous contrainte : R = p q + M , Nous devons maximiser : v(q) = 15q − 1/4 q 2 + R − p q.

53

Nous obtenons v ′(q) = 0 ⇒ 15 − 1/2 q − p = 0 ⇒ p = 15 − 1/2 q.

Cette dernière fonction est appelée fonction de demande inverse.

Elle donne pour chaque prix la quantité de bien demandée.

Comme l’utilité marginale et le prix coïncide nous avons également : U ′(q) = 15 − (1/2) q.

Comme le prix est égal à 4, le consommateur choisit une quantité q telle que u ′(q) = 4 ⇔ 15 − 1/2 × q = 4 ⇔ q = 22.

54

Le triangle a une aire égale à (15 − 4) (22/2) = 11 × 11 = 121. Nous notons que plus le lot peut être divisé en petites quantités, plus le suplus du consommateur tend vers cette aire.

Ceci n’est pas étonnant car il sera toujours possible de trouver une subdivision de l’ensemble des quantités telle que l’aire obtenue en sommant les rectangles soit aussi proche que l’on souhaite de l’aire du triangle.

55

1.3.3 Calcul du surplus du consommateur dans le cas général Dans cette section, nous donnons une justification théorique en définissant au préalable une forme particulière à la fonction d’utilité.

Nous verrons que cette forme de fonction d’utilité est restrictive.

Supposons que le consommateur consomme une quantité xi de bien i au prix pi.

Le consommateur dispose d’un montant monétaire égal à M = R − pi xi disponible pour l’ensemble des autres biens.

Nous ne nous intéressons pas à la manière dont le consommateur répartit ses ressources entre les autres biens.

Nous pouvons maintenant aborder les hypthèses concernant la forme de la fonction d’utilité.

56

Nous supposons que la fonction d’utilité dépend à la fois de la quantité de bien i consommée et du montant de ressources disponibles pour les autres biens. En particulier la fonction d’utilité devra avoir la forme suivante : U (M , xi) = M + u(xi), où u est une fonction d’utilité croissante et concave.

En d’autres termes, nous avons : U (M , xi) = R − pi xi + u(xi).

Nous notons que cette forme implique que l’utilité marginale du revenu est constante : chaque unité supplémentaire de revenu apporte au consommateur une utilité supplémentaire égale à 1.

57

Nous pouvons connaître la quantité de bien i que le consommateur va demander.

La CPO nous conduit à : U2′(M , xi) = u ′(xi) − pi = 0 ⇒ u ′(xi) = pi.

Le consommateur choisit une quantité xi telle que u ′(xi) = pi : l’utilité marginale est égale au prix du bien.

Dans le cas de notre fonction d’utilité, la quantité de bien i choisie par le consommateur dépend uniquement du prix du bien i.

Remarque 8. L’hypothèse concernant la forme de la fonction d’utilité conduit à l’égalité entre le prix de réserve du consommateur et l’utilité marginale.

58

Calcul du surplus du consommateur : Nous devons faire la différence entre l’utilité du consommateur obtenue lorsque ce dernier consomme la quantité optimale de bien i et son utilité lorsqu’il ne consomme pas de bien i.

Nous devons donc connaître l’utilité obtenue par le consommateur lorsqu’il consomme la quantité de bien optimale et lorsquil ne consomme pas de bien i.

Lorsque le consommateur ne consomme aucun bien i, son utilité est égale à R + u(0).

S’il consomme une quantité xi de bien i sa satisfaction est R − pi xi + u(xi).

En conséquence, le surplus du consommateur est : SC = R − pi xi + u(xi) − R + u(0) = u(xi) − pi xi − u(0).

59

Par ailleurs, par définition de l’intégrale de la fonction u, nous avons : Z xi u ′(x)dx = u(xi) − u(0).

Nous concluons que :

0

SC =

Z xi 0

u ′(x)dx − pi xi.

Remarque 9. Le surplus du consommateur évolue négativement avec le prix du bien i.

60

Exemple 10. Un même bien est vendu sur deux îles. Sur la première île, le prix de ce bien est p1 = n1/(n1 + k1), n1, k1 > 0. Sur la seconde île, le prix de ce bien est 1/2. La demande sur l’île i = 1, 2 est Di = ni (1 − pi).

1. Calculez le surplus des consommateurs sur chacune des îles.

2. Supposons que le prix sur la première île passe à n2/n2 + k1, avec n2 > 0.

Commentez la variation du bien-être des consommateurs en fonction de la valeur de n2 (relativement à n1).

61

Solution : 1. Nous calculons le surplus des consommateurs dans l’île 1.

La première étape consisite à tracer la fonction de demande inverse dans le plan (O, q, p). La demande du bien sur la marché 1 est donné par D1 = n1 (1 − p) avec p∗ = n1/(n1 + k1), k1 > 0.

Nous commençons par calculer la fonction de demande inverse afin d’obtenir le prix en fonction des quantités. Nous avons : D1 = n1 (1 − p) ⇒ p = 1 −

D1 . n1

Cette fonction de demande inverse est une fonction affine.

62

p p(0)

p∗ D1∗

D1

Figure 1. Aire associée au surplus.

Le surplus des consommateurs est égal à l’aire du triangle délimité par p(0), p∗ et D1∗.

Nous pouvons donner l’interprétation suivante.

Chaque point de la droite correspond à un consommateur.

L’utilité nette que chaque consommateur retire est la différence entre l’utilité marginale du bien (qui correspond à son prix de réserve) et le prix du bien.

63

Pour calculer cette aire, il nous faut connaitre p(0) et D1∗ : p(0) = 1 −

0 = 1, n1

D1∗ = n1 (1 − p∗) = n1

n k n1 n1 (n1 + k1) − n21 = 1 1 .

1− = n1 + k 1 n1 + k1 n1 + k 1

Nous calculons l’aire du triangle, A1 :

1 n1 n1 k 1 A1 = 1− 2 n1 + k 1 n1 + k 1 =

=

1 2

n1 2

k1 n1 + k1

2 .

k1 n1 + k 1

n1 k 1 n1 + k1

Le surplus des consommateurs, SC , correspond à cette aire.

64

Nous avons : SC1=A1 =

n1 2

k1 n1 + k 1

2

.

Nous calculons le surplus des consommateurs dans l’île 2.

L’exercice est similaire au précédent, il faut simplement remplacer p∗ = n1/n1 + k1 par p∗ = 1/2. Par symétrie, nous trouvons que p(0) = 1. Nous cherchons la valeur de D2∗ : n D2∗ = n2 (1 − p∗) = 2 .

2 Nous calculons l’aire A2 :

1 1 n2 n 1− = 2.

A2 = S C 2 = 2 2 2 8

65

2. Le prix sur la première île passe à n2/n2 + k1.

Puisque le prix d’équilibre a changé la quantité d’équilibre change :

n (n + k1) − n2 n1 n2 n k = 1 2 D1∗∗ = n1 (1 − p∗∗) = n1 1 − = 1 1 . n2 + k 1 n 2 + k1 n2 + k 1 Au final, la nouvelle aire, A1′ a une surface égale à :

1 n2 n1 k 1 A1′ = 1− 2 n2 + k 1 n2 + k 1 =

1 k1 2 n2 + k 1

=

2 .

n1 2

k1 n2 + k1

66

n1 k 1 n2 + k1

Nous comparons les aires A1 et A1′ :

2 , 2 2 ′ k1 n1 k1 n1 + k 1 A1 n1 = = > 1.

2 n1 + k1 n2 + k 1 2 n2 + k 1 A1 Comme tous les paramètres sont positifs, nous pouvons écrire :

n1 + k 1 > 1 ⇒ n1 + k1 > n2 + k1 ⇒ n1 > n2. n2 + k 1 En conclusion, si n1 > n2, alors le surplus des consommateurs augmente et réciproquement.

67

1.4 L’arbitrage travail-loisir du consommateur 1.4.1 Cadre du modèle Jusqu’à présent, nous avons supposé que le consommateur disposait d’un revenu qui lui permettait d’acquérir différents biens.

Nous n’avons pas expliqué les déterminants du revenu du consommateur.

Ici, nous allons nous centrer sur une partie des revenus de l’agent : les revenus de l’agent issus de son travail.

Ceci nous permettra de connaître la répartition du temps de l’agent entre travail et loisir.

Nous supposons que le consommateur ne peut avoir que deux types d’activité entre lesquelles il doit partager le temps total dont il dispose.

Ces deux activités sont les loisirs et le travail.

68

Le loisir inclut ici de nombreuses activités que nous pourrions classer comme appartenant au travail puisque toutes les activités productives n’impliquant pas des échanges marchands seront considérées comme des loisirs.

Posons H le temps total (en heures) dont dispose l’agent pendant une période donnée. Ce temps total se répartit entre le temps de travail, noté T , et le temps de loisir, noté L. Nous avons : L + T = H. Soit w le taux de salaire horaire : les ressources salariales de l’agent sont donc égale à w T .

Par ailleurs, l’individu dispose de revenus non salariaux du fait de ses propriétés mobilières et immobilières et des transferts en provenance de l’État.

Nous noterons R le montant des revenus non salariaux.

Pour simplifier, nous supposons que l’agent acquiert un bien de consommation unique, noté C, au prix unitaire p.

69

Ce bien représente l’ensemble des biens achetés par l’agent et p peut être interprété comme un niveau général des prix. La contrainte budgétaire s’écrit : p C = w T + R. Cette contrainte signifie que les dépenses du consommateur, p C, doivent être égales à la valeur des ressources du consommateur, c’est-à-dire w T (ressources salariales) plus R (ressources non salariales). Nous pouvons écrire :

autrement dit,

p C + w (H − T ) = w H + R, p C + w L = w H + R.

Cette équation nous permet de connaître l’arbitrage effectué par l’agent.

Le terme de droite correspond aux ressources potentielle de l’agent si celui-ci ne consacre pas de temps au loisir.

Dans ce cas, il travaille pendant H heures et ses ressources salariales sont w H.

70

Ces ressources potentielles w H + R peuvent être consacrées soit à des dépenses de consommation p C, soit à utiliser une partie du temps total H sous forme de loisir.

Cette équation nous montre que tout se passe comme si l’agent achetait le temps de loisir L à un prix horaire égale à w.

Chaque heure de loisir correspond en effet à un coût égal aux ressources salariales dont l’agent se prive du fait du temps consacré aux loisirs.

Il s’agit d’un coût d’opportunité, c’est-à-dire d’une perte de ressources potentielles dû au fait que l’agent dépense une partie de son temps dans des activités de loisir.

71

1.4.2 Équilibre du consommateur Si les préférences du consommateur sont représentées par une fonction d’utilité U (C , L) le choix optimal (C ∗, L∗) s’obtient en résolvant le programme suivant : argmax{U (C , L)} s.c. pC +wL=wH +R En utilisant la méthode du Lagrangien, le couple solution maximise la fonction suivante : V (C , L) = U (C , L) + λ (p C + w L − w H − R).

En conséquence, le maximum est atteint pour le consommateur lorsque les conditions suivantes sont respectées: U1′ + λ p = 0 U2′ + λ w = 0

  

⇒

U1′ = − λ p U2′ = − λ w 72

 

U2′ w U1′ p = ⇒ ′= . ⇒ U1 p  U2′ w

Le terme de gauche correspond au taux marginal de substitution de la consommation au loisir, c’est-à-dire l’augmentation de la consommation qui permet de compenser une réduction unitaire du temps de loisir, la satisfaction de l’agent restant inchangée.

Ce taux marginal de substitution représente la désutilité marginale du travail (évaluée en terme réel), c’est-à-dire l’augmentation de consommation qui compenserait une augmentation unitaire du temps de travail.

A l’optimum, le taux marginal de substitution est égal au taux de salaire réel.

73

Chapitre 2. Choix de la firme en situation de concurrence pure et parfaite Nous définissons la production comme l’activité qui transforme des biens et services (qui pré-éxistent dans l’économie considérée) en d’autres biens.

Une firme est alors un agent qui transforme les “facteurs de production” en production.

En général, les firmes utilisent plusieurs facteurs de production. Ces derniers peuvent être divisés en deux types : −

Les facteurs fixes qui sont des facteurs dont la quantité ne peut être modifiée au cours de la période étudiée.

−

Les facteurs variables qui sont des facteurs de production dont la quantité varie au cours de la période étudiée.

74

La conséquence de cette définition est que suivant la période étudiée, les facteurs fixes peuvent devenir des facteurs variables : il suffit pour cela de supposer que la période étudiée est suffisamment longue.

Il est notable que la production de biens et services nécessite généralement l’emploi de plusieurs facteurs de production.

Ces facteurs de production doivent être combinés (dans des proportions variables) pour obtenir une production.

Nous dirons que deux facteurs de production sont substituables lorsqu’il est possible de remplacer une quantité de l’un des facteurs de production par une quantité supplémentaire de l’autre facteur tout en préservant le niveau de production.

Si les facteurs de production ne peuvent être combinés que dans des proportions fixes pour obtenir un certain niveau de production, alors ils sont complémentaires.

75

2.1 Le choix de la combinaison productive optimale 2.1.1 Définitions préliminaires 2.1.1.1 La fonction de production

Dans la suite, nous allons considérer une entreprise qui produit un bien en quantité y.

Elle utilise pour cela m types de facteurs variables et ℓ types de facteurs fixes.

Nous notons z1, , zm les quantités de facteurs variables utilisées et zm+1, , zm+ℓ les quantités de facteurs fixes utilisées.

76

Nous définissons une fonction de production f qui décrit la relation technique existant entre la quantité produite et les quantités des différents facteurs de production utilisés.

Si une entreprise utilise les quantités de facteurs z1, , zm+ℓ, nous supposerons qu’elle peut produire au maximum une quantité y définie par : y = f (z1, , zm+ℓ).

La fonction de production définit les contraintes techniques de l’entreprise dans le sens où elle indique le montant maximum de production qu’une firme peut produire compte tenu de l’état technique de ses équipements.

77

Dans la suite, nous supposerons que les facteurs variables varient de manière continue alors que les facteurs fixe sont des paramètres. Évidemment, suivant la période considérée, les facteurs fixes peuvent devenir des facteurs variables et dans ce cas ils sont assimilés à des variables et non pas à des paramètres.

78

En économie, nous utilisons principalement trois types de fonction de production.

Nous les formulons dans le cas où l’entreprise utilise deux facteurs de production. −

Les fonctions de production Cobb-Douglas sont du type y = f (z1, z2) = a z1αz2β , a, α, β > 0.

−

Les fonctions de production à facteurs complémentaires. Ces fonctions induisent que les facteurs de production sont parfaitement complémentaires.

Supposons que la production de y biens nécessite l’emploi a y unités de facteur 1 et b y unités de facteur 2. Dans une telle situation, une entreprisse qui dispose de z1 facteurs 1 et z2 facteurs 2 pourra produire y = min {z1/a, z2/b} unités de biens.

La fonction de production est donc donnée par : y = f (z1, z2) = min {z1/a, z2/b}.

−

Les fonctions de production C.E.S. ont la forme suivante : y = f (z1, z2) = (a z1ρ + b z2ρ)1/ρ , avec a, b > 0, ρ ∈ R. 79

2.1.1.2 Les productivités moyennes et marginales La productivité moyenne correspond à la moyenne de biens produits par chaque facteur de production.

Formellement, la productivité moyenne du facteur de production k correspond au rapport y/zk.

80

La productivité marginale correspond à la production associée à la dernière unité de facteur de production.

En considérant que la fonction f est différentiable, la productivité marginale du facteur de production k correspond à la dérivée partielle de f par rapport à k : fk′ .

Cette définition formelle se comprend facilement puisque lorsque les facteurs de production varient dans de faibles proportions, la quantité produite varie de : ′ dy = f1′dz1 + + fm dzm ,

comme nous supposons que les facteurs de production autres que k ne varie pas nous avons : dy = fk′ dzk.

81

En conséquence, si la variation du facteur de production n’est pas trop élevée, nous avons : ∆y ≃ fk′ ∆zk.

Puisque nous nous intéressons à une variation d’une unité du facteur de production k (∆zk = 1), nous obtenons effectivement : ∆y ≃ fk′ .

La productivité marginale vérifie la loi de décroissance de la la productivité marginale.

82

Cette loi implique les propriétés suivantes pour les fonctions Cobb-Douglas et CES. −

La décroissance des productivités marginales imposent la condition suivante pour les fonctions de production Cobb-Douglas : α et β sont inférieurs à 1. En effet, nous avons : f1′(z1, z2) = α a z1α−1z2β , et donc : ′′ f11 (z1, z2) = (α − 1) α a z1α−2z2β < 0 ⇒ α − 1 < 0.

83

−

L’hypothèse de décroissance des productivités marginales impliquent que dans les fonctions CES ρ < 1, car : f1′ = 1/ρ (ρ a z1ρ−1)(a z1ρ + b z2ρ)(1−ρ)/ρ = a z1ρ−1(a z1ρ + b z2ρ)(1− ρ)/ρ

= a z1ρ−1 z1ρ a + b

= a z1ρ−1 z1ρ×

(1−ρ)/ρ

ρ (1−ρ)/ρ z2 z1ρ

= a z1ρ−1 z1−ρ+1 a + b

= a a+b

a+b

ρ (1− ρ)/ρ z2 z1ρ

ρ (1−ρ)/ρ z2 z1ρ

ρ (1−ρ)/ρ z2 . ρ z1

84

La dérivée seconde, est égale à : ′′ f11 = a×

(1 − 2ρ) z × − ρ b z2 z1−2 2 ρ z1

= − a × (1 − ρ) × b z2ρ z1−ρ−1 ×

ρ−1

× a+b

1 ρ ρ ρ (a z1 + b z2 ) z1

ρ (1−2 ρ)/ρ z2 z1ρ

(1−2 ρ)/ρ

= − a × (1 − ρ) × b z2ρ × z1−ρ−1 × z12ρ−1(a z1ρ + b z2ρ)(1−2 ρ)/ρ = − a × (1 − ρ) × b z2ρ × z1ρ−2(a z1ρ + b z2ρ)(1−2ρ)/ρ. ′′ > 0.

En conséquence ρ < 1 sinon f11

85

2.1.1.3 Les rendements d’echelle Comme nous l’avons vu à long terme tous les facteurs de production sont variables.

Dans une telle situation une problématique intéressante consiste à étudier les conséquences, sur la production, d’une modification des quantités de facteurs de production.

En particulier, nous pouvons nous demander comment varie la production si les facteurs de production varient dans les mêmes proportions.

Cette étude nous conduira à comparer, pour λ > 1, f (λz1, , λzm), i.e. la production associée à une augmentation de (λ − 1) × 100 % de tous les facteurs de production et λ f (z1, , zm), i.e. situation où la production a augmenté de (λ − 1) × 100 %.

Lorsque f (λz1, , λzm) > ( = , < )λ f (z1, , zm) les redements d’echelle sont croissants (constants, décroissants).

86

Exemple 11. Établir le type de rendement d’échelle suivant les paramètres α et β dans le cadre d’une fonction de production Cobb-Douglas. Une fonction de type Cobb-Douglas s’écrit : f (z1, z2) = a z1αz2β .

Nous avons : f (λ z1, λ z2) = λα+β a z1αz2β , et λf (z1, z2) = λ a z1αz2β , en conséquence, α + β > ( = , < )1 ⇒ f (λ z1, λ z2) > ( = , < )λf (z1, z2).

87

Exemple 12. Établir le type de rendement d’échelle associé à une fonction de production à facteurs complémentaires. Une fonction de production à facteurs complémentaires s’écrit : f (λz1, λz2) = min {λ z1/a, λ z2/b},

et Nous avons :

λf (z1, z2) = λ min { z1/a, z2/b}.

f (λz1, λz2) = min {λ z1/a, λ z2/b} = λ min { z1/a, z2/b} = λf (z1, z2).

Les rendements d’échelle sont donc constants.

88

Exemple 13. Établir le type de rendement d’échelle associé à une fonction de production de type CES. Une fonction de production de type CES s’écrit : f (z1, z2) = (a z1ρ + b z2ρ)1/ρ , avec a, b > 0, ρ ∈ R.

Il en résulte que :

f (λ z1, λ z2) = λ (a z1ρ + b z2ρ)1/ρ , et λ f (z1, z2) = λ (a z1ρ + b z2ρ)1/ρ.

Les rendements d’échelle sont donc constants.

Dans la suite de ce cours, nous supposerons que les fonctions de production étudées sont des fonctions homogènes : elles vérifient pour tout λ > 1, f (λx, λy) = λ pf (x, y).

89

2.1.2 Choix des techniques et demande de facteurs de production Dans cette section, nous nous intéressons aux choix de l’entreprise en situation de concurrence pure et parfaite.

La concurrence pure et parfaite est définie grâce à 5 hypothèses.

Hypothèses de concurrence pure : −

Homogénéité des produits : tous les biens sont homogènes.

−

Transparence ou information parfaite : les consommateurs connaissent parfaitement le prix proposé par les différentes firmes.

−

Atomicité : les acteurs du marché sont de masse nulle, i.e. aucun d’entre eux ne peut influencer le prix.

Conséquence de ces hypothèses : L’entreprise ne peut pas proposer un prix supérieur au prix de marché sinon aucun consommateur ne s’adresse à la firme considérée.

90

Hypothèses de concurrence parfaite : −

Mobilité des facteurs de production : les facteurs de production peuvent passer librement d’un secteur de l’économie à un autre.

−

Libre-entrée sur le marché : les firmes peuvent librement entrer sur le marché considéré.

Conséquence de ces hypothèses : Les entreprises ne peuvent pas faire de (sur)profit à long terme.

91

2.1.2.1 Maximisation du profit et demande de facteurs de production Dans un premier temps nous allons supposer que la quantité que la firme doit produire est une donnée.

Dans ce cas, la maximisation du profit correspond à une minimisation un coût de production associé à l’utilisation des facteurs de production nécessaires à l’obtetion de la production désirée.

Formellement, la firme cherche à résoudre le programme suivant :   {z1 π1 + + zmπm }  argmin(z1, zm)∈R m +   sous contrainte : y = f (z1, , zm)

Évidemment les inconnues de ce système sont les quantités de facteurs de production que la firme doit demander.

Dans la suite, nous allons résoudre ce problème lorsque la firme doit utiliser deux facteurs de production. Ceci nous permettra d’utiliser une méthode géométrique.

92

Méthode de résolution géométrique.

Pour pouvoir utiliser cette méthode, nous devons définir deux concepts importants : les isoquantes et les droites d’iso-coût.

Les isoquantes correspondent aux courbes d’indifférence dans le cadre du consommateur.

Il s’agit des courbes de niveaux de la fonction de production.

En conséquence, une isoquante est constituée de l’ensemble des couples de quantités de facteurs de production qui permettent d’obtenir la même quantité produite.

Les droites d’iso-coût correspondent aux droites de budget dans le cadre du consommateur.

Elles sont constituées de l’ensemble des points qui coûtent la même somme à l’entreprise.

93

Étant donnée que la firme se trouve dans une situation où elle connaît la quantité qu’elle doit produire, son objectif consiste à trouver le couple de facteurs de production lui permettant d’atteindre cette production pour un coût minimal.

Géométriquement, ce problème se traduit de la manière suivante. La firme sait sur quelle isoquante elle doit se situer et cherche donc le couple qui appartient à cette courbe qui se situe sur une droite d’iso-coût la plus proche de l’origine. Évidemment, le couple recherché constitue un point de tangence entre la droite d’iso-coût et l’isoquante.

94

De manière analogue à la situation du consommateur, nous cherchons à connaître la pente de la tangente aux isoquantes.

Nous savons que sur une isoquante la production ne varie pas : df (z1, z2) = f1′ dz1 + f2′ dz2 = 0, ce qui conduit à : dz2 f1′ = − ′. f2 dz1 L’interprétation de ce résultat est analogue à celle proposée dans le chapitre concernant les consommateurs.

Par ailleurs, la droite d’iso-coût est obtenue de la manière suivante : z1 π1 + z2 π2 = C ⇒ π2 = Cette droite a une pente égale à − π1/π2.

95

C − z1 π1 . z2

Le choix de la firme conduit donc à l’égalité : f1′ π1 = . f2′ π2 Cette égalité signifie que le rapport des productivités marginales est égal au rapport des prix.

Le raport des productivité marginales est appelé le taux marginal de substitution technique.

Il correspond à la quantité de biens qu’une unité supplémentaire de facteur 1 permet de produire par rapport à la quantité de biens qu’une unité supplémentaire de facteur 2 permet de produire.

Si nous supposons que la quantité de facteur 2 varie d’une unité, la quantité de facteur 1 supplémentaire produit f1′/f2′ fois plus de quantité de biens que le facteur 2.

96

Cette égalité se comprend de la même manière que dans le cadre du consommateur.

En particulier, il est évident que le TMST doit être égal au rapport des prix.

Supposons sans perte de généralité que f1′ π1 ′ = k > k = , f2′ π2 dans ce cas la dernière unité de facteur 1 permet de produire k fois plus que la dernière unité de facteur 2 alors que le facteur 1 est seulement k ′ fois plus coûteux que le facteur 2.

En conséquence, la firme doit échanger du facteur 2 contre du facteur 1 qui dispose dun rapport productivité/coût plus avantageux.

97

Méthode du Lagrangien. L’objectif de la firme, lorsqu’elle doit choisir une combinaison de facteurs de production contenant seulement deux facteurs de production, est de résoudre le programme suivant :    argmin(z1,z2)∈R 2+{z1 π1 + z2 π2}   sous contrainte : y = f (z1, z2)

Nous écrivons le Lagrangien associé à ce système : Nous avons :

L(z1, z2, λ) = z1 π1 + z2 π2 + λ(y − f (z1, z2)). 

L1′ = π1 − λf1′ = 0 

L2′ = π2 − λf2′ = 0

98

f1′ π1 ⇒ = .  f2′ π2

Exemple 14. Supposons que la firme considérée dispose d’une fonction de production donnée par f (z1, z2) = a z1α z2β , α, β > 0.

Cette firme souhaite choisir la quantité de facteurs de production optimale sachant qu’elle doit atteindre un niveau de production égale à y.

Elle doit résoudre le programme suivant :    argmin(z1,z2)∈R 2+{z1 π1 + z2 π2}   sous contrainte : y = a z α z β 1

99

2

Nous savons qu’à l’équilibre les quantités de facteurs de production optimales doivent vérifier simultanément :

a α z1α−1 z2β z2 π1 α β π1 = z1, ⇒ z2 = β −1 = z z1 π2 β α π2 a β z1α 2z 2 et y = a z1α z2β .

Nous avons : y = a z1α autrement dit : z1 =

β π1 z 1 α π2

β

⇒

y β π −β

y 1 β π − α+β β α+ β

a

1

α π2

1

a

α π2

= z1α+ β ,

α y 1 α π − α+ β α+ β 2 , z2 = . a β π1

100

2.1.2.2 Élasticité de substitution Dans ce pararaphe, nous allons étudier les relations qui existent entre la variation du rapport des prix des facteurs de production et les rapports des demandes optimales en facteurs de production de la firme.

Cette problématique est centrale lors de l’étude de la relation entre la substitition travail et capital et rapport salaire/rémunération du capital.

101

Nous allons utiliser un outil pour mesurer la substituabilité des facteurs de production : l’élasticité de substitution.

Cette élasticité est définie comme le rapport entre la variation relative de la demande de facteur z2/z1 et la variation relative des prix π1/π2. d(z2/z1) z /z σ = d(π2 /π1 ) .

1 2 π1/π2

Cette formule s’interprète de la façon suivante.

Si le rapport des prix des facteurs (π1/π2) augmente 1 % alors le rapport des quantités de facteurs (z2/z1) augmente de σ %.

102

Exemple 15. Nous allons commencer par traiter une fonction Cobb-Douglas paramétrée : y = f (z1, z2) = z11/2 z21/2.

Calculons le TMST, puisque à l’équilibre nous avons égalité entre le TMST et le rapport des prix. −1/2 1/2 1/2 z1 z2 z2 π1 TMST = = = .

1/2 −1/2 z π2 1 1/2z z 1

2

À l’équilibre, z2/z1 est fonction de π1/π2 :

z2 π1 π =f = 1. z1 π2 π2 Rappelons que : d(z2/z1) z /z σ = d(π2 /π1 ) .

1 2 π1/π2 z

nous Nous connaissons déja la valeur de z2 . Nous calculons d(z2/z1) : 1

d(z2/z1) = d(π1/π2).

103

Nous remplaçons les différentes valeurs par celles obtenues : nous avons : d(π1/π2) π /π σ = d(π1 /π2 ) = 1.

1 2 π1/π2

Exemple 16. Élasticité de substitution et fonction Cobb-Douglas. Soit la fonction de poduction suivante : y = f (z1, z2) = a z1α z2β .

Nous savons que dans le cadre d’une fonction Cobb-Douglas l’égalité entre le TMST et le rapport des prix conduit à

α z2 π1 z β π1 π = ⇒ 2= =k 1 . z1 α π2 π2 β z 1 π2 À l’équilibre, nous avons donc :

π1 z2 =f π2 z1

π =k 1 . π2

104

105

Nous remarquons que : d(z2/z1) = f ′(π1/π2)d(π1/π2) = k d(π1/π2)

donc : d(z2/z1) (π /π ) kd(π1/π2) (π1/π2) k z /z σ = d(π2 /π1 ) = 1 2 = = 1.

1 2 d(π1/π2)(z2/z1) k(π1/π2) π1/π2

106

2.2 Choix de la quantité optimale et fonction d’offre 2.2.1 Choix de la quantité optimale Le but de la firme est de maximiser son profit.

En situation de concurrence pure, elle ne peut pas choisir son prix : elle prend le prix du marché comme une donnée.

En conséquence, elle doit maximiser son profit en fonction des quantités. Pour chaque quantité produite y, la firme utilise une certaine combinaison de facteur de production (celle qui permet de minimiser le coût associé à la mise en place de la production y).

Cette combinaison est fonction de la quantité y. En conséquence, nous pouvons associer à chaque quantité y un coût minimal.

107

Exemple 17. Dans la section 2.1.2.1, nous avons calculé les demandes opimales de facteurs de productions lorsque la firme voulait atteindre un niveau de production y : z1 =

y 1 β π − α+β β α+ β

a

1

α π2

α y 1 α π − α+ β α+ β 2 , z2 = . a β π1

108

La fonction de coût se déduit très simplement : y 1 β π − α+β β

C(π1, π2, y) = π1

1

α+ β

a

β 1− α+ β

= π1

α π2

β α+ β

π2

α 1− α+ β

+ π2

+ π2

α+ β

a

y 1 β − α+β β α+ β

a

α α+ β

π1

α y 1 α π − α+ β

α

α y 1 α − α+ β α+ β

a

β

y 1 β − α+β β α+ β = a α β α+ β

+ π2

α α+ β

π1

α y 1 α − α+ β α+ β

a

β

109

2

β π1

La fonction de coût s’écrit :   β α

− α+ β − α+ β α β 1 β α y α+ β  .

C(π1, π2, y) = π2α+ β π1α+ β + α β a Les prix des facteurs de production étant donnés, nous associons à chaque y le coût minimal permettant de produire cette quantité y.

Nous notons C(y) la fonction de coût.

La fonction de coût est supposée croissante et convexe : plus l’entreprise produit, plus son coût est important en outre la dernière unité produite est toujours plus coûteuse que l’avant-dernière.

Nous pouvons noter que la fonction de coût peut être, en toute généralité, divisée en deux termes : un terme qui dépend de la quantité produite par la firme, le coût variable noté CV(y) et un terme qui ne dépend pas des quantités produites appelé le coût fixe et noté CF. Ceci n’est pas vrai pour la fonction de coût précédente.

110

La fonction de profit s’écrit : Π(y) = p y − C(y).

La condition de premier ordre nous conduit à : p = C ′(y).

À l’équilibre la firme choisit la quantité qui permet d’égaliser le prix et le coût marginal. Économiquement, cette égalité se comprend facilement. Si le prix est supérieur (inférieur) au coût de la dernière unité produite alors la firme a intérêt à produire une quantité plus (moins) élevée.

111

2.2.2 La Fonction d’offre À partir des choix optimaux de la firme, il est possible de définir l’offre de l’entreprise, c’est-à-dire la quantité choisie par la firme pour chaque prix p.

Toutefois, nous devons nous assurer que la firme a intérêt à produire une quantité non nulle.

S’il existe un coût fixe, la firme doit obtenir un profit, lorsqu’elle produit une quantité non nulle, supérieur au profit qu’elle obtient lorsqu’elle ne produit pas.

112

Si la firme ne produit pas, alors elle obtient un profit égal à l’opposé du coût fixe.

En conséquence, la firme produit si : Π(y) = p y − C(y) ≥ − CF ⇒ p y − CV(y) − CF ≥ − CF ⇒ y ≥ CVM(y), où CVM(y) désigne le coût variable moyen.

Lorsque la firme produit, nous savons qu’elle choisit une quantité y telle que : C ′(y) = p.

Graphiquement, la courbe d’offre correspond à la courbe de coût marginal située au-dessus du point où la quantité est égale au coût variable moyen.

113

2.3 Choix intertemporels de la firme Notre analyse de la firme (comme celle du consommateur) n’a pas pris en considération le fait que les choix des entreprises s’effectuent dans un cadre temporel.

Dans de nombreuses situations, les investissements effectués par une firme à la période t sont à l’origine des profits engrangés à la période t + 1.

Les entreprises doivent donc comparer des coûts engagés à une période t avec des bénéfices obtenues à la période t + 1.

Un problème apparaît du fait qu’une même somme monétaire ne « vaut » pas la même chose à la période t et à la période t + 1.

Pour faire la comparaison entre des sommes obtenues à des périodes différentes, nous devons mettre en oeuvre une opération : l’actualisation.

114

2.3.1 Le principe d’actualisation Considérons un individu i qui a le choix entre recevoir 1000 € aujourd’hui ou recevoir 1100 € dans un an.

Supposons que i ait la possibilité de prêter et d’emprunter de l’argent à un taux de 12 %. Quelle alternative i choisira-t-il ?

115

La réponse est la suivante : il préférera recevoir 1000 € puisque, en plaçant cette somme, il disposera dans un an d’une somme de 1200 €.

La première alternative permet donc d’obtenir une somme de 1200 € dans un an et elle est supérieure à la seconde alternative qui ne permettait d’obtenir que 1100 € à cette date.

Ce calcul élémentaire montre que c’est le taux d’intérêt qui permet de comparer les deux montants disponibles.

Nous venons de calculer la somme disponible pour i dans un an, équivalente aux 1000 € payable aujourd’hui, et nous l’avons comparé à la deuxième alternative.

116

Nous aurions pu procéder de manière inverse et calculer la somme disponible aujourd’hui qui serait équivalente aux 1100 € payable dans un an dans la seconde alternative.

Dans la seconde alternative, pour que i puisse disposer de A € aujourd’hui il doit les emprunter et être en mesure de les rembourser dans un an, intérêt compris, avec les 1100 € qui lui seront versés dans un an.

Quelle somme peut-il emprunter s’il n’a aucun autre apport que les 1100 € ?

117

S’il emprunte A €, il devra rembourser A × 1, 12 €. Nous avons : ce qui implique :

A × 1, 12 = 1100,

A=

1100 ≃ 982 €.

1, 12

La deuxième alternative permet donc de recevoir 982 € aujourd’hui et cette somme est inférieure aux 1000 € payable aujourd’hui dans la première alternative.

Pour comparer des revenus disponibles à des dates différentes, on les ramène à des montants payables aujourd’hui.

Cette opération s’appelle l’actualisation.

118

Soient At le paiement perçu par l’agent à la période t et At+1 le paiement perçu par l’agent à la période t + 1.

Si nous suivons le raisonnement employé dans l’exemple précédent, nous avons (pour que l’agent soit indifférent entre les gains perçus au cours de deux périodes) : At+1 = (1 + i) At. Autrement dit, At =

1 At+1.

(1 + i)

Nous appellerons le rapport 1/(1 + i) le facteur d’escompte.

119

2.3.2 Une représentation des choix intertemporels de la firme Dans la suite, nous supposons un cadre temporel comportant trois périodes : t ∈ {0,1,2}.

Pour tenir compte du décalage entre l’achat des facteurs de production et la vente des biens produits à l’aide de ces facteurs, nous supposerons que les dépenses relatives à la période t se font lors de cette période tandis que les recettes relatives à cette période apparaissent en t + 1.

Nous supposons, en outre, que la firme dispose d’un seul type d’équipement (appelé aussi capital).

120

C(y, k) donne le coût variable minimal supporté par la firme lorsque celle-ci met en place une production d’un montant y et utilise une quantité d’équipement (de capital) égal à k.

Évidemment, nous avons : C1′ (y, k) > 0, C2′ (y, k) < 0.

121

Par ailleurs, nous supposons que les équipements achetés en t (payés en date t) n’entre dans le processus de production que lors de la période t + 1 du fait de délais d’installation.

Si kt représente la quantité de capital (d’équipement) dont l’entreprise dispose à la période t et It l’investissement de la firme à la période t, nous avons : kt+1 = (1 − δ) kt + It , avec δ le taux de dépréciation physique du capital de l’entreprise.

Le coût de l’investissement sera noté : πt It + Φ(It), avec πt le prix unitaire de l’équipement et Φ(It) les coûts d’ajustement liés à l’installation des nouveaux équipement dans l’entreprise.

122

Pour financer ses investissements, la firme peut emprunter de l’argent au taux d’intérêt i (les emprunts sont remboursés une période plus tard).

Si la firme emprunte une somme At à la période t, alors elle devra rembourser (1 + i) At à la période t + 1. À chaque date t, l’entreprise distribue des dividendes à ses actionnaires qui correspondent à la différence entre les ressources disponibles de l’entreprise et les emplois de l’entreprise.

123

Les ressources disponibles de l’entreprise sont : − −

la valeur de la production réalisée pendant la période t − 1, vendue à la période t : pt × yt−1; les emprunts souscrits à la date t : At.

Les emplois de l’entreprise sont : −

le coût des facteurs variables nécessaires à la production à la période t : C(yt , kt);

−

le coût de l’investissement de la période t : πt It + Φ(It);

−

la charge de la dette issue des emprunts précédents : (1 + i) At−1.

Les dividendes redistribuables aux actionnaires correspondent à : Rt = pt × yt−1 + At − (C(yt , kt) + πt It + Φ(It) + (1 + i) At−1).

124

2.3.3 La valeur boursière de l’entreprise et la neutralité de la politique de financement Dans cette section, nous exprimons la fonction objectif de l’entreprise.

Nous supposons que la firme vise à satisfaire ses actionnaires.

En conséquence, la firme vise à maximiser la somme actualisée des dividendes distribués.

Nous supposons que les actionnaires peuvent réaliser des placements et des emprunts au taux d’intérêt i.

125

Dans ce cas, la somme actualisée des dividendes, notée W s’écrit : W = R0 +

R1 R2 + , 1 + i (1 + i)2

où W est la valeur boursière de l’entreprise.

La valeur boursière de l’entreprise correspond à la somme totale qu’un individu serait prêt à débourser pour acquérir l’intégralité des actions de la firme considérée sachant les dividendes futures que cette dernière va verser à ses actionnaires.

126

Comme l’entreprise ne poursuivra pas son activité après la date 2, elle n’investira pas à la période 1 puisque les recettes associées à cet investissement devraient apparaitre à la période 3 (les investissements sont assimilés aux facteurs de production lors de la période 2), I1 = 0.

Plus précisément, l’investissement effectué lors de la période 1, devient un facteur de production lors de la période 2 et permet donc l’augmentation de la production lors de cette période.

Cette production est vendue lors de la période 3, période où la firme n’est plus sur le marché.

Comme la firme ne survit pas à la période 2, elle n’engage plus de frais pour des productions ultérieures et n’emprunte plus.

127

Par ailleurs, la différence p0 y−1 − (1 + i) A−1 dépend des investissements passés effectués par la firme.

Nous notons cette différence D.

128

En utilisant la formule des dividendes redistribuables, nous avons : R0 = A0 + D − (C(y0, k0) + π0 I0 + Φ(I0)), R1 = p1 × y0 + A1 − (C(y1, k1) + (1 + i) A0) R2 = p2 y1 − (1 + i) A1 Nous avons en conséquence : W = A0 + D − (C(y0, k0) + π0 I0 + Φ(I0))

1 + (p1 × y0 + A1 − (C(y1, k1) + (1 + i) A0)) 1+i

1 + 1+i

2 (p2 y1 − (1 + i) A1).

129

Nous utilisons dans l’expression précédente le fait que k1 = (1 − δ) k0 + I0 pour obtenir : p × y0 W = 1 − (C(y0, k0) + π0 I0 + Φ(I0)) + D 1+i +

1 1+i

p2 × y1 − C(y1, (1 − δ) k0 + I0) .

1+i

Nous notons que la valeur boursière de l’entreprise ne dépend pas de la politique de financement choisie par la firme (qui dépend de A0 et A1) : il y a neutralité de la politique de financement.

Cette conclusion tient à l’identité du taux d’intérêt sur le marché des fonds prétables et du taux d’intérêt pris en considération dans le calcul d’actualisation.

130

2.3.4 L’investissement optimal Nous avons supposé que le but de la firme consistait à maximiser sa valeur boursière.

Elle doit donc choisir I0, y0 et y1 de manière à maximiser W .

Nous avons : W (y0, y1, I0) =

p1 × y0 − (C(y0, k0) + π0 I0 + Φ(I0)) + D 1+i +

1 1+i

p2 × y 1 − C(y1, (1 − δ) k0 + I0) .

1+i

131

En conséquence, W1′ =

p1 − C1′ (y0, k0) = 0 (1 + i)

W2′ =

1 1+i

p2 − C1′ (y1, (1 − δ) k0 + I0) = 0 (1 + i)

W3′ = − π0−Φ ′(I0) −

1 C2′ (y1, (1 − δ) k0 + I0) = 0 1+i

132

Les deux premières égalités sont standards puisqu’elles expriment l’égalité entre le coût marginal et le prix (ici actualisé) du bien.

La troisième égalité nous donne la condition permettant de réaliser l’investissement optimal.

Elle peut s’écrire de la manière suivante : π0 + Φ ′(I0) coût additionnel associé à l’investissement

= −

1 C2′ (y1, (1 − δ) k0 + I0) 1+i

valeur actualisée additionnelle associée à l’investissement

Le choix optimal est obtenu lorsque le coût additionnel et le bénéfice additionnel associés à l’investissement s’égalisent.

133

Chapitre 3. Équilibre en situation de concurence pure et parfaite 3.1 Équilibre sur un marché Nous rappelons que le marché est l’institution de base en microéconomie.

Il s’agit du lieu où les vendeurs d’un bien rencontrent les acheteurs de ce bien.

Les caractéristiques du bien considéré doivent être précisées.

Par exemple, un même bien disponible à deux moments différents (ou dans deux localisations différentes) correspond à deux biens (et donc à deux marchés) différents.

134

3.1.1 L’équilibre à court terme d’un marché : situation de concurrence pure Rappel : Un marché est en situation de concurrence pure lorsqu’il vérifie les trois hypothèses suivantes : atomomicité, homogénéité, transparence.

Ces hypothèses conduisent à une situation où les firmes prennent le prix comme une donnée.

Ces hypothèses n’excluent pas la possibilité pour les firmes d’obtenir des (sur)profits.

En effet, les hypothèses de libre-entrée sur le marché et de mobilité des facteurs de production ne sont pas vérifiées : d’autres firmes ne peuvent pas entrer sur le marché considéré.

135

Ceci s’explique par le fait que nous nous plaçons dans une perspective de court terme.

Dans ce cadre, les firmes n’ont pas, en général, la capacité de pénétrer un marché rapidement car il faut un savoir-faire, des machines spécifiques et des travailleurs dotés de qualifications spécifiques.

136

3.1.1.1 L’offre des entreprises Supposons que l’économie dispose de n entreprises qui produisent le bien considéré.

L’entreprise j a une offre, notée y j , qui est fonction du prix y j = y j (p).

Nous supposons que l’offre de l’entreprise j croît avec le prix p.

L’offre totale des entreprises, notée Y , correspond à la somme des offres individuelles : n X Y = Y (p) = y j (p), Y ′(p) > 0. j =1

137

3.1.1.2 La demande des consommateurs Supposons que l’économie dispose de m consommateurs qui consomment le bien considéré.

Le consommateur i consomme une quantité xi de biens, qui est fonction du prix xi = xi(p).

Nous supposons que le bien considéré n’est pas un bien Giffen (prix dont la consommation augmente lorsque son prix augmente), en conséquence la demande du consommateur décroît avec le prix.

La demande totale correspond à la somme des consommations individuelles : D = D(p) =

m X i=1

138

xi(p).

3.1.1.3 Détermination du prix d’équilibre

L’équilibre est obtenu sur le marché lorsque l’offre et la demande de biens s’égalisent.

Ceci nous conduit à trouver le prix tel que : Y =D⇒

n X

y j (p) =

j =1

n X i=1

139

xi(p).

Exemple 18. Pour produire y unités d’un bien, chaque entreprise placée sur un marché de concurrence pure et parfaite supporte la même fonction de coût total, C (y), suivante : C (y) = y 2 + 1

1. Déterminez algébriquement le coût marginal, C ′(y), le coût variable moyen, C V M (y). Trouvez le seuil de fermeture.

C ′(y) = 2 q, CVM(y) = q. La courbe de C ′(y) coupe la courbe de CVM(y) en 0 (seuil de fermeture).

2. Construisez la fonction d’offre, y = f (p) d’une firme, appelée firme représentative (on note p le prix de marché s’imposant à chaque entreprise).

Nous savons que la quantité offerte par la firme doit vérifier C ′(y) = p. La fonction d’offre vérifie donc l’équation suivante : p y = , p ≥ 0.

2 140

3. Si le nombre d’entreprises est n, donnez l’équation de la fonction d’offre globale (offre de l’ensemble des firmes), Y = g(p).

Comme les firmes sont identiques, la quantité globale produite est : Y=

np , p ≥ 0.

2

4. On suppose que les firmes sur ce marché font face à une demande globale, dG, suivante : 200

D = h(p) = p .

5. Exprimez, en fonction de n et de p, l’équilibre sur ce marché. −

−

Déterminez le prix d’équilibre, p∗, si n = 64. À ce prix d’équilibre, quel est le niveau de production de chaque firme, q ∗, et quel est son profit, Π∗.

141

Nous trouvons l’équilibre sur le marché au moment où qG = dG. r n p 200 400 20 = ⇒p= =√ .

2 p n n Si n = 64, alors p∗ = 5/2 = 2, 5. La quantité produite par chaque entreprise est q∗ = 5/4. Le profit de la firme est 5/4 × 5/2 − 25/16 + 1 = 41/16.

142

3.1.1.4 Stabilité de l’équilibre Ici, nous cherchons à savoir s’il est possible à partir d’un prix, différent du prix d’équilibre, de converger vers le prix d’équilibre.

Nous proposons un cadre qui illustre la possibilité de convergence (mais aussi de divergence) vers le prix d’équilibre : le modèle de “Cobweb” (Kaldor, 1934).

Ce modèle montre que le marché peut conduire à une grande instabilité des quantités offertes et des prix sur les marchés.

143

Dans ce modèle, nous supposons que l’offre ne peut pas s’adapter immédiatement à la demande : le processus d’adaptation est asynchrone.

Ce type de situation apparaît, par exemple, sur le marché du cochon où la hausse du prix du cochon n’induit pas une augmentation immédiate de la quantité de cochons offerts. −

Nous définissons une séquence de périodes t, t = 0, 1, 2, ...

−

Les décisions de demande du bien se prennent en référence au prix affiché à la période présente, on a : Dt = D(pt).

−

Les décisions d’offre se prennent en référence à la période précédente. On a donc : Ot = O(pt−1).

−

Nous notons Dt et Qt, les fonctions d’offre et de demande à la période t.

La dernière condition implique que les producteurs anticipent que les prix à la période t seront les mêmes que ceux de la période précédente : les anticipations des producteurs sont myopes.

144

Pour simplifier, nous supposons que les fonctions d’offre et de demande sont affines : Ot ≡ Ot(pt−1) = a pt−1, Dt ≡ Dt(pt) = b − c pt , avec a, b, c, des paramètres positifs.

Le marché est à l’équilibre en t, si : Ot = Dt ⇔ O(pt−1) = D(pt) ⇔ a pt−1 = b − c pt ⇔ b a pt = − pt−1. c c

145

(3)

Nous souhaitons savoir si nous convergeons ou non vers le prix d’équilibre. Pour cela, nous devons définir la notion d’état stationnaire.

Le marché est dans un état stationnaire si le prix d’équilibre reste constant de période en période. Dans ce cas, les quantités produites et achetées sont également constantes de période en période.

Notons pe le prix de l’état stationnaire. Nous devons obtenir pt−1 = pt = pe. À l’état stationnaire nous avons : b a Ot(pe) = Dt(pe) ⇔ a pe = b − c pe ⇔ pe = − pe c c

146

(4)

Remarque 19. Le fait qu’à la période t, le prix de marché, pt, est pt = pt−1 = pe, signifie que la quantité offerte par les producteurs en t correspond pour eux à la quantité optimale étant donné le prix d’équilibre de marché en t.

Si à la période t, pt = pe, les producteurs anticipent qu’à la période suivante, t + 1, le prix sera le même : pt+1 = pt = pe. Alors, en t + 1, les producteurs vont offrir la même quantité qu’en t. Nous obtiendrons pt+1 = pt.

Dans ce cas, comme la fonction de demande ne change pas, le prix d’équilibre reste identique de période en période, ainsi que les quantités offertes et demandées.

147

Convergence (et divergence) vers (de) l’équilibre.

Supposons qu’à la période initiale du processus, disons t0, pt0 pe.

Les producteurs vont alors procéder à un réajustement de leur offre. Nous pouvons nous demander si ce réajustement va conduire pt0 +1 à se rapprocher de pe.

Plus généralement, nous souhaitons savoir si les réajustements définis précédemment vont permettre de converger vers l’état stationnaire.

Autrement dit, nous souhaitons connaître l’évolution de la différence pt0 +k − pe lorsque k augmente.

En soustrayant (4) à (3), nous obtenons : a pt − pe = − (pt−1 − pe), ∀t = 1, c Cette équation définit une suite (pt − pe) géométrique de raison

148

a −c .

Étude de cette suite. a

Nous avons posé a et c positif. En conséquence, − c est négatif, donc la suite (pt − pe) oscille autour de pe : si en t − 1, le prix est supérieur au prix stationnaire, pe, alors en t le prix sera inférieur à ce prix pe et réciproquement.

Nous exprimons pt en fonction du premier élément de la suite pt0. Nous obtenons : a t pt − pe = − (pt0 − pe). c La question de la convergence (divergence) du prix d’équilibre à la période t vers le prix de l’état stationnaire, pe est traitée à travers 3 cas.

149

Cas 1 : a < c. Dans ce cas, les oscillations du prix d’équilibre autour de pe sont amorties. Le processus converge puisque a t limt→∞ (pt − pe) = limt→∞ − c (p0 − pe) = 0

Remarque : a < c signifie que la valeur de la pente de la fonction d’offre (|a|) est inférieure à la valeur de la pente de la fonction de demande (|c|) en valeurs abolues.

Dans un tel cas, le fonctionnement du marché permet au prix de tendre vers pe et les fluctuations de l’offre et de la demande de période en période sont de plus en plus faibles.

Le prix pe est un équilibre stable, car si pour une raison quelconque (intempéries dans l’agriculture) à une période donnée le prix s’écarte de pe, le fonctionnement du marché va faire converger le prix d’équilibre vers le prix pe.

150

Cas 2 : a > c. Dans ce cas, les oscillations du prix d’équiilbre autour de pe sont amplifiées.

Remarque : a > c siginifie que la pente de la fonction d’offre est supérieure à la pente de la fonction de demande en valeur absolue. Dans ce cas, le fonctionnement du marché conduit à éloigner le prix de pe et les fluctuations de l’offre et de la demande de période en période sont de plus en plus fortes.

On dit que le prix pe est un équilibre instable.

Cas 3 : a = c. Dans ce cas, les oscillations du prix d’équiilbre autour de pe de période en période sont d’une ampleur constante.

151

3.1.2 Équilibre à long terme d’un marché en concurrence pure et parfaite Nous nous plaçons dans une situation où les entreprises peuvent entrer librement sur le marché considéré et où les facteurs de production peuvent circuler librement.

Ces deux hypothèses sont réalisées lorsque nous nous situons sur le long terme.

En effet, les entreprises peuvent effectuer les investissements nécessaires à leur entrée sur le marché considéré.

Dans ce cas, les entreprises ne peuvent plus obtenir de sur-profits sur ce marché : l’existence de tels sur-profits conduiraient d’autres firmes à entrer sur le marché.

En conséquence, la condition suivante doit forcément être vérifiée à long terme : Π(y) = p y − C(y) = 0 ⇒ p = CTM(y).

152

Exemple 20. Considérons un marché où les entreprises ont une même fonction de coût total : C(y) = y 1/2 + y 3/2, et où la demande est donnée par : D(p) =

1600 . p2

Pour obenir l’équilibre de court terme, nous devons maximiser le profit de la firme.

1. Puisque nous sommes en CPP, nous savons que la firme doit choisir y de manière à ce que C ′(y) = p ⇒ 1/2 y −1/2 + 3/2 y 1/2 = p.

2. Nous calculons le seuil de fermeture : la production telle que C ′(y) = CVM(y) ⇒ 1/2 y −1/2 + 3/2 y 1/2 = y −1/2 + y 1/2 ⇒ y −1/2 = y 1/2 ⇒ y = 1.

Comme nous savons que le choix de la fie s’effectue au seuil de fermeture selon la règle C ′(y) = p, nous avons y = 1 ⇒ p = 2.

3. Nous concluons que la firme ne produit pas si p < 2 et la firme produit si p ≥ 2. Dans ce dernier cas, la quantité offerte par la firme est alors donnée par : 1/2 y −1/2 + 3/2 y 1/2 = p.

153

4. A long terme, nous savons que les firmes présentes sur le marché font des profits nuls. Le prix est donc égal au coût total moyen. En outre, les firmes maximisent leur profit. En conséquence, le prix est égal au coût marginal. Nous avons 1/2 y −1/2 + 3/2 y 1/2 = y −1/2 + y 1/2.

En conséquence, y = 1.

Pour cette quantité le prix est égal à 2.

Nous cherchons le nombre de firmes n permettant d’obtenir l’égalité entre l’offre totale et la demande totale.

La demande totale est égale à : D(2) =

1600 = 400.

22

Chaque firme produit 1 unité de bien. Pour obtenir l’équilibre, il faut n = 400.

154

3.1.3 Le surplus collectif sur un marché 3.1.3.1 Le surplus des consommateurs, des entreprises et surplus collectif Nous avons vu dans le cadre du td que lorsque les fonctions d’utilité étaient quasi-linéaires, le surplus du consommateur permet d’évaluer sous forme monétaire le supplément de bien-être obtenu par l’agent lorsque ce dernier acquiert le bien considéré.

Le passage au surplus des consommateurs peut s’effectuer de deux façons du point de vue de l’interprétation. −

Soit nous supposons que tous les consommateurs sont identiques. Dans ce cas, le surplus des consommateurs peut être identifié, à un facteur multiplicatif près correspondant au nombre de consommateurs présents sur le marché, au surplus d’un consommateur.

155

−

Soit nous supposons que tous les consommateurs sont différents. La fonction de demande est alors construite en classant les consommateurs en fonction de leur prix de réserve et en supposant que chacun d’eux achète une unité de bien. Dans ce cas, le surplus obtenu par chacun des consommateurs correspond à la différence entre son prix de réserve et le prix de marché.

Dans les deux cas, le surplus des consommateurs correspond à l’aire située sous la courbe de demande moins l’aire du rectangle correspondant au coût collectif supporté par les consommateurs.

Le surplus des entreprises correspond au profit total, c’est-à-dire à la somme des profits des firmes. Le profit de chaque entreprise correspond à la différence entre leur recette et leur coût de production.

Le surplus collectif correspond à la somme des surplus des consommateurs et des entreprises.

156

3.1.3.2 Application de la méthode des surplus : le coût d’un droit de douane pour la collectivité.

Nous allons nous intéresser aux effets de la mise en place d’un droit de douane spécifique.

Nous remarquons que la taxe joue un rôle qui est, d’un point de vue formel, identique à celui joué par le coût de transport : le droit de douane va augmenter le prix du bien importé sur le marché domestique.

Si le pays que nous considérons est suffisamment petit, c’est-à-dire que ce pays ne peut pas influencer la demande mondiale, le prix domestique va être égal au prix mondial plus le montant du droit de douane.

Nous pouvons, maintenant, traiter graphiquement la situation qui nous intéresse.

La mise en place du droit de douane conduit à l’augmentation du prix donc à une diminution du surplus du consommateur qui correspond au trapèze indiqué sur la figure.

157

De manière symétrique, les entreprises voient leur profit total augmenté d’une valeur qui correpond au trapèze indiqué sur la figure (ce trapèze est inclu dans le trapèze indiquant la variation du surplus des consommateurs).

Enfin, l’État perçoit un supplément de recette fiscale. Pour déterminer ce supplément, il faut se souvenir que le prix des biens exportés a baissé suite à la mise en place de la taxe.

Au total le montant de la taxe que les entreprises de F supporte est la différence entre Pt et PtF .

La quantité de biens concernés par cette taxe correspond à la différence entre la demande intérieure et l’offre intérieure de H. Le surplus collectif diminue donc d’un montant égal à la somme des aire des deux triangles du graphique.

158

3.2 Équilibre général Nous divisons notre analyse concernant l’équilibre général en deux sections.

La première section aborde le cas simple d’une économie d’échange à deux agents.

La seconde section traite d’une économie de production avec un facteur de production.

159

3.2.1 Une économie d’échange avec deux agents et deux biens : le diagramme d’Edgeworth Dans ce type d’économie, il faut allouer un certain montant de ressources entre deux agents.

Nous ne nous intéressons pas à la manière dont ces ressources ont été (ou sont) produites.

Pour simplifier nous considérons uniquement l’échange entre deux agents économiques.

Ces deux agents sont désignés par i, i ∈ {1, 2}. Chaque agent i dispose originellement d’un montant de ressources en bien h, h ∈ {1, 2}, égal à ωih.

160

Le diagramme d’Edgeworth est construit grâce à un double système d’axes (O, x11, x21) et (O, x12, x22).

Le premier systéme d’axe permet de rendre compte des consommations de l’agent 1, alors que le second permet de rendre compte des consommations de l’agent 2.

Ces consommations sont liées, il est donc possible de représenter ces axes grâce à la figure suivante, appelée boite d’Edgeworth. Évidemment la norme de chacun des vecteurs canoniques est égale à ω11 + ω21, et ω21 + ω22.

161

Nous pouvons représenter les courbes d’indifférence des agents à l’intérieur du diagramme d’Edgeworth.

Il existe deux courbes d’indifférence singulières : celles associées au panier initial de chacun des agents.

Ces deux courbes d’indifférences permettent “d’encadrer” la solution choisie par les deux agents.

Aucun agent n’acceptera un panier qui lui procure après échange une satisfaction moins élevée que celle qu’il obtient avant échange : un panier d’équilibre doit donc se situer dans l’ensemble composé des courbes d’indifférence intiales et des axes.

162

Un point qui ne correspond pas à un point de tangence entre une courbe d’indifférence de l’agent 1 et une courbe d’indifférence de l’agent 2 ne correspond pas à un équilibre.

En effet, si le panier choisi ne constitue pas un point de tangence, alors il est possible d’améliorer la situation d’un agent sans détériorer celle de l’autre : les agents ont alors intérêt à procéder à des échange.

La région permettant aux individus d’améliorer leur situation initiale est appelée la région d’avantage mutuel.

Nous remarquons en outre que les points qui constituent des équilibres sont aussi des optima au sens de Pareto : il n’est pas possible d’améliorer la situation d’un agent sans détériorer celle de l’autre.

163

La courbe qui permet de relier les différents paniers optimaux est la courbe des contrats.

L’ensemble des couples qui appartiennent simultanément à la région d’avantage mutuel et à la courbe des contrats est appelé noyau.

Le fait que les équilibres de marché et les optima de Pareto soient reliés est repris dans la littérature à travers deux théorèmes : −

Le premier théorème du bien-être : tout équilibre de marché est un optimum de Pareto.

−

Le second théorème du bien-être : il existe un système de transfert tel que tout optimum de Pareto soit un équilibre de marché.

Nous ne démontrons pas ces théorèmes qui dépassent l’objet de ce cours. Toutefois, nous les illustrons à travers différents exemples et exercices de TD.

164

Exemple 21. Nous notons U 1 et U 2 les fonctions d’utilité des agents 1 et 2 : x11 x12 x21 x22 2 U = 1 ,U = 2 . x1 + 4 x22 x1 + x12 1

En outre, les dotations initiales sont données par ω11 = 1/2, ω21 = 3/2, ω21 = 5/2, ω22 = 1/2.

Méthode permettant d’obtenir les points appartenant à la courbe des contrats.

Nous savons que sur la courbe des contrats; les deux courbes d’indifférence sont tangentes.

165

En conséquence, les pentes des tangentes aux courbes d’indifférence aux points appartenant à la courbe des contrats sont identiques.

Nous savons que les pentes des tangentes aux courbes d’indifférence sont données par les TMS. Le TMS de l’agent 1 est donné par le rapport entre les dérivées premières de U .

Nous avons :

x12 (x11 + x12) − x11 x12 (x12)2 1 ′ U 1= = 1 , (x11 + x12)2 (x1 + x12)2 donc,

(x11)2 x11 (x11 + x12) − x11 x12 1 ′ = 1 , U 2= (x1 + x12)2 (x11 + x12)2

1 ′ U 1 (x12)2 . ′ = 1 2 1 (U )2 (x1)

166

De même, nous avons :

4 (x22)2 x22 (x21 + 4 x22) − x21 x22 2 ′ U 1= = 2 , (x21 + 4 x22)2 (x1 + 4 x22)2

donc,

x21 (x21 + 4 x22) − 4x21 x22 (x21)2 2 ′ U 2= = 2 , (x21 + 4 x22)2 (x1 + 4 x22)2

2 ′ U 1 4 (x22)2 . ′ = 2 2 2 (x1) (U )2

167

L’égalité entre les TMS permet d’obtenir l’égalité suivante : 1 2 2 2 2 x2 x12 2x22 (x12)2 4 (x22)2 x2 = ⇒ 1= 2 . = ⇒ 2 1 2 2 2 1 x1 x1 (x1) (x1) x1 x1 Par ailleurs, nous savons que les agents utilisent l’intégralité des ressources. − −

Ils ne peuvent, évidemment pas consommer davantage de ressources.

Ils ne peuvent pas laisser de ressources inutilisées puisque dans ce cas il serait possible d’améliorer la situation d’un agent sans détériorer celle de l’autre.

En conséquence, sur la courbe de contrat, nous avons :    x11 + x21 = ω11 + ω12 = 3,   x1 + x2 = ω 1 + ω 2 = 2.

2

2

2

168

2

Nous avons un système de quatre équations à trois inconnues. Ceci va nous permettre d’écrire x12 en fonction de x11 et donc de connaitre l’équation de la courbe des contrats. Nous avons :    x21 = 3 − x11,   x2 = 2 − x1.

2

Nous obtenons donc :

2

x12 2 (2 − x12) 1 1 1 1 1 1 1 1 = ⇒ (3 − x ) x = 2 (2 − x ) x ⇒ x (3 − x + 2 x ) = 4 x 1 2 2 1 2 1 1 1.

1 1 x1 3 − x1 Autrement dit, x12 = g(x11) =

4 x11 1.

3 + x1

Interprétation : g est la fonction qui sous-tend la courbe des contrats : les optima de Pareto réalisent tous cette condition.

Nous notons que de manière indirecte les niveaux de satisfaction des agents sont interdépendants (plus un agent consomme d’un bien, moins l’autre agent peut consommé de ce bien).

169

Nous avons : 1 1 1 x11 x12 ⇒ = + .

U = 1 1 1 1 1 U x 1 x2 x1 + x2 1

Nous avons montré que : x12 = donc c’est-à-dire :

4 x11 , 3 + x11

1 3 + x11 1 7 + x11 1 1 1 1 = + ⇒ = ⇒ 4 x = (7 + x ) U , 1 1 1 1 1 U 1 x11 U 4 x1 4 x1 (4 − U

) x11 = 7 U 1 ⇒

1

x11 =

7 U1 .

4 − U1

De la même manière, nous avons :  2 1 2 1  3 − x = x x = 3 − x ,  1, 1 1 1       4 (3 − x21) 12 − 4 x21 4 x11 4 x11 2 2 1 1 ⇒ x2 = ⇒ 2 − x2 = ⇒ x2 = 2 − , x2 = 2 2 1 1  3 + (3 − x ) 6 − x 3 + x1 3 + x1 1 1        x2 = 2 − x1 .

2 − x22 = x12.

2 2 170

Autrement dit, 2x21 12 − 2x21 12 − 4 x21 2 x2 = − = .

2 2 2 6 − x1 6 − x1 6 − x1 x21

2x21 6 − x21

x21 x22 2 (x21)2 2 x21 2 2 = U = 2 ⇒U = = .

2 2 2 2 2 2x 1 2 (6 − x1)x1 + 8x1 (6 − x1) + 8 x1 + 4 x2 x +4 2

1

6 − x21

Nous déduisons : 2 2 x21 14 U 2 2 2 2 U = ⇒ x1(2 + U ) = 14 U ⇒ x1 = .

14 − x21 2 + U2 2

Nous savons que x21 = 3 − x11, donc : 14 U 2 7 U1 14 U 2 12 − 10 U 1 =3− ⇒ = .

2 + U2 4 − U1 2 + U2 4 − U1

171

En conséquence, nous avons : 14 U 2(4 − U 1) = (12 − 10 U 1)(2 + U 2) ⇒ U 2(14 × 4 − 4 × U 1 − 12 + 10 × U 1) = 2(12 − 10 U 1) ⇒ U 2(44 + 6U 1) = 2(12 − 10 U 1) Nous passons, à présent, à l’équilibre de marché dans cette situation.

172

Nous avons deux biens. L’un d’eux servira de numéraire (de monnaie). Sans perte de généralité, nous supposons que le bien 1 est le numéraire : p1 = 1.

L’objectif du consommateur 1 est de maximiser son utilité sous sa contrainte de revenu : 1 1 x x argmax(x11 ,x12)∈R 2+ 1 1 2 1 x1 + x2 s.c. :

x11 + p2 x12 = ω11 + p2 ω21 emploi

ressources

Nous calculons les demandes optimales : (x12)2 1 x11 1 = ⇒ x2 = √ , p2 (x11)2 p2

d’où :

et

√ ω11 + p2 ω21 1/2 + p2 (3/2) 1 1 1 1 1 1 x1 + p2 x1 = ω1 + p2 ω2 ⇒ x1 = ⇒ x = , √ √ 1 1 + p2 1 + p2 x11 =

1 + 3p2 1 + 3p2 √ , x12 = √ .

2 p2 + 2 p2 2 + 2 p2 173

Pour le deuxième consommateur, nous avons : 2 2 x x argmax(x21 ,x22)∈R 2+ 2 1 2 2 x1 + 4 x2 s.c. :

x21 + p2 x22 = ω12 + p2 ω22 emploi

ressources

Nous calculons les demandes optimales : 4 (x22)2 1 x21 2 2 2 = p ⇒ x2 = 2√p , (x1) 2 2

d’où, x21 + et

√

p2 2 ω12 + p2 ω22 5/2 + p2 1/2 2 2 2 2 √ √ x1 = ω1 + p2 ω2 ⇒ x1 = ⇒ x = , 1 p p2 2 2 1+ 1+ 2

x21 =

5 + p2 5 + p2 √ √ , x22 = .

2 (2 p2 + p2) 2 + p2

174

2

Nous devons trouver p2 pour cela nous utilisons l’information sjuivante : la somme des consommations de bien 2 sont égales aux dotations initiales en bien 2: 1 + 3p2 5 + p2 =2 √ + √ 2 p2 + 2 p2 2 (2 p2 + p2) ⇒ √ √ 2 (2 p2 + p2)(1 + 3p2) + (5 + p2 )(2 p2 + 2 p2 ) =2 √ √ 2 (2 p2 + p2)(2 p2 + 2 p2 ) donc, √ √ √ √ 2 (2 p2 + p2)(1 + 3p2) + (5 + p2 )(2 p2 + 2 p2 ) = 4(2 p2 + p2)(2 p2 + 2 p2 ).

Autrement dit en divisant par 2 (2 +

√

p2 :

√ √ √ √ p2 )(1 + 3p2) + (5 + p2 )(2 p2 + 2 ) = 4(2 + p2 )(2 p2 + 2 p2 ).

175

Nous développons cette expression : 3/2 1/2 3/2 4 + 12 p2 + 2p1/2 + 6p + 10p + 10 + 2p 2 2 2 2 + 2p2 = 3/2 16 p2 + 16p1/2 + 8p 2 2 + 8p2

Nous simplifions : 3/2

1/2

3/2

1/2

8p2 + 14p2 + 12p2 + 14 = 8p2 + 24p2 + 16p2 .

Nous obtenons l’équation suivante : 10p2 + 4p1/2 2 − 14 = 0 Nous posons X = p1/2 et nous obtenons : 2 10 X 2 + 4 X − 14 = 0.

Il y a une racine évidente : X = 1. Par division, nous obtenons : 10 X 2 + 4 X − 14 = (X − 1)(10 X + 1).

La dernière racine √ est X = − 1/10 qui n’appartient pas au domaine de définition.

Nous avons p2 = 1 = 1.

176

Au final l’expression initiale a deux racines candidates : 0 et 1. Les demandes ne sont pas définie pour p2 = 0 (elles deviennent infinies). En conséquence le prix d’équilibre p2 = 1.

Les quantités consommées à l’équilibre par les agents sont : x11 = 1, x12 = 1, x21 = 2, x22 = 1.

177

Nous vérifions algébriquement que l’équilibre obtenu est un optimum de Pareto.

Nous savons que la courbe des contrats qui contient l’ensemble des optima de Pareto vérifie : 4 x11 1 1 x2 = g(x1) = .

3 + x11 Comme 4×1 1= , 3+1 l’équilibre de marché est bien un optimum de Pareto.

178

3.2.2 Exemple d’un équilibre général avec production Dans la suite, nous nous proposons de traiter du calcul d’un équilibre général avec production. Pour cela, nous travaillons sur un exemple.

Une économie comprend deux biens de consommation h = 1, 2, deux facteurs de production k = 1, 2, m consommateurs et 2 N entreprises. Les entreprises se répartissent en deux secteurs.

Dans le secteur h (avec h = 1, 2), N entreprises identiques produisent le bien h avec les deux facteurs. Elles ont pour fonction de production : 1

1

yh = (z1h) 3 (z2h) 3 , h = 1, 2, yh, z1h, et z2h désignant la production de bien h et les quantités de facteurs 1 et 2 pour une entreprise du secteur h.

179

Les m consommateurs ont des préférences identiques représentées par la fonction d’utilité : U i = (xi1)2 xi2, i = 1, , m, pour le consommateur xi1, et xi2 désignant respectivement les consommations de biens 1 et 2.

On note p1 et p2 les prix des biens 1 et 2, π1 et π2 les prix des facteurs 1 et 2, Ri le revenu du consommateur i et R = R1 + ... + Rm le revenu global des consommateurs. ωh unités de facteur h sont disponibles dans l’économie, réparties entre les m consommateurs.

Chaque consommateur possède une certaine fraction des droits de propriété sur les entreprises, le revenu Ri comprend la valeur des facteurs de production possédés par l’individu i ainsi que la part des profits qui lui revient (distribuée au prorata des droits de propriété possédés).

180

Nous allons résoudre cette équilibre général par étapes successives.

1) Détermation des demandes de biens 1 et 2 du consommateur i, en fonction de son revenu Ri et des prix p1 et p2.

Le consommateur i maximise son utilité sous sa contrainte budgétaire : i 2 i argmax(x11 ,x12)∈R 2+ (x1) x2 s.c. :

p1 xi1 + p2 xi2 =

Ri

emploi

ressources

Nous connaissons l’équilibre de ce type de fonction : 2 Ri i Ri i x1 = ,x = .

3 p1 1 2p2

181

2) Détermation des demandes totales de biens 1 et 2, en fonction du revenu Ri et des prix p1 et p2.

Tous les consommateurs sont supposés identiques dans l’exercice. En conséquence, la demande totale de bien j ∈ {1, 2}, notée X j , correspond à la somme des demandes individuelles de bien j. Nous avons Pm m i i X 2 2R 2R i=1 R = = , X1 = 3 p1 3 p1 3 p1 i=1 et Pm m i X Ri R R i=1 X2 = = = .

2 p1 3 p2 3 p2 i=1

182

3) Détermation des offres de bien h et détermination de la demande de facteurs k = 1, 2 pour une entreprise du secteur h, en fonction des prix ph, π1 et π2.

Chaque firme du secteur h souhaite maximiser son profit Πh. Nous avons : Πh = ph yh − π1 z1h − π2 z2h 1

= Nous maximisons ce profit :

1

ph(z1h) 3 (z2h) 3 − π1 z1h − π2 z2h

1 − (Πh)1′ = ph(z1h) 3 (z2h) 3 − π1 = 0 2

1

3

1 − (Πh)2′ = ph(z2h) 3 (z1h) 3 − π2 = 0 2

1

3

Nous divisons ces deux dernières équations et nous obtenons : z2h π1 π1z1h h = ⇒ z2 = . h π2 z1 π2 183

Au final, par substitution nous avons !1 1 h 3 2 1 π1z1 1 π1 3 1 h −3 h −3 ph(z1 ) − π1 = 0 ⇒ ph(z1 ) − π1 = 0, 3 π2 π2 3 autrement dit : z1h =

p3h .

27π12π2

z2h =

p3h .

27π22π1

Par symétrie :

Nous connaissons les quantités de facteurs de production que chaque firme choisit de demander en fonction du prix du bien h et des prix des facteurs de production π1 et π2. Ceci nous permet d’obtenir la quantité de bien h offerte par chaque firme. Nous avons :

1/3 1/3 3 3 1 1 ph ph p2h h 3 h 3 yh = (z1 ) (z2 ) ⇒ yh = = .

2 2 9π1π2 27π1 π2 27π2 π1 184

Après calcul, nous obtenons les quantités totales de biens 1 (et 2) offerts et les demandes totales de facteurs de production respectivement : Y1, Y2, Z1, Z2 : N p21 Y1 = N y 1 = , 9π1π2 N p22 Y2 = N y 1 = , 9π1π2 p31 + p32 1 2 Z1 = N (z1 + z1 ) = N × , 2 27π1 π2 p31 + p32 1 2 .

Z2 = N (z2 + z2 ) = N × 27π1π22

185

4)Détermination du revenu global R en fonction des prix p1, p2, π1 et π2.

Le revenu total d’un agent correspond à la somme des revenus qu’un agent obtient en tant que facteur de production et des revenus q’il obtient en tant que propriétaire des entreprises.

En tant que facteur de production l’agent i obtient π1 zi1 + π2 zi2, où zi1 (zi2) correspond à la quantité de facteurs de production 1 (2) demandée à l’agent i.

En tant que propriétaire des firmes l’agent reçoit un montant Πi.

Le revenu de l’agent i s’écrit donc : Ri = π1 zi1 + π2 zi2+Πi.

Le revenu total dont dispose les agents est : R=

m X

Ri = π1 Z1 + π2 Z2+Π,

i=1

avec Π =

Pm

i Π la somme des profits. i=1

186

Nous savons que les profits sont égaux à la différence entre la valeur de la production et le coût des facteurs. Pour l’ensemble des entreprise, nous avons : en conséquence

Π = p1 Y1 + p2 Y2 − (π1 Z1 + π2 Z2),

R = π1 Z1 + π2 Z2+p1 Y1 + p2 Y2 − (π1 Z1 + π2 Z2) = p1 Y1 + p2 Y2.

Nous déduisons que N (p31 + p32) R= .

9π1π2

187

5) Détermination de l’équilibre général.

Pour faciliter la résolution de l’équilibre général, nous normalisons le prix d’un des biens. Généralement, le bien choisi comme numéraire est un facteur de production (le travail, lorsqu’il est présent); nous choisissons le facteur 1 : π1 = 1.

Nous savons qu’à l’équibre l’offre et la demande doivent être égales.

Pour le bien 1, nous avons : 2R N p21 2 N (p31 + p32) N p21 X1 = Y1 ⇒ = ⇒ = .

3 p1 9π1π2 27p1π2 9π2 Cette égalité implique : 2 N (p31 + p32) = 3 N p31 ⇒ p31 = 2 p32.

Pour le bien 2, nous avons : R N p22 N (p31 + p32) N p22 X2 = Y2 ⇒ = ⇒ = .

3 p2 9π1π2 27 p2 π2 9π2 188

Cette égalité implique également : p31 = 2 p32.

Pour le facteur de production 1 : p31 + p32 3 3 Z1 = ω1 ⇒ N × = ω ⇒ N (p + p 1 1 2) = 27 π2 ω1.

27π12π2

(5)

Pour le facteur de production 2 : p31 + p32 Z2 = ω2 ⇒ N × = ω2 ⇒ N (p31 + p32) = 27 π22 ω2.

2 27π1π2 Nous divisons l’équation 6 par l’équation 5; nous obtenons : π2 =

ω1 . ω2

Nous trouvons une deuxième équation qui lie p1 et p2 : 2 ω1 27 ω1 N (p31 + p32) = 27 ⇒ p31 = − p32.

N ω2 ω2 189

(6)

Ceci nous permet d’obtenir les valeurs de p1 et p2 :  3 3  p1 = 2 p2   27 ω1 ⇒ 2 p32 = − p32.

27 ω1 N ω2  p31 = − p32   N ω2

Au final, nous obtenons :

p2 =

p1 =

9 ω1 N ω2

1/3

.

18ω1 N ω2

1/3

.

De même; nous avons :

190

Chapitre 4. Concurrence imparfaite l'entreprise a le choix de définir le prix. elle va essayer de trouver le prix-quantité de maximiser son profit. pour autant elle ne peut pas choisir l'importe quelle combinaison. il faut analyser pour maximiser le profit.

4.1 Le monopole 4.1.1 Le modèle de base

Dans le cadre du monopole, le prix n’est pas une donnée pour la firme : elle peut fixer le prix qui lui permet de maximiser son profit.

En conséquence, le monopole dispose de deux variables : la quantité et le prix.

Le monopole doit respecter une contrainte : il faut que la quantité qu’il offre sur le marché soit égale à la quantité demandée par les consommateurs.

La fonction de demande des consommateurs dépend du prix, nous la notons D(p). Elle associe à chaque prix p une quantité q demandée par les consommateurs.

191

Par ailleurs, la techonologie de la firme est résumée grâce à une fonction de coût. Nous notons C(q) la fonction qui associe le coût minimum que la firme doit supporter pour atteindre un niveau de production q.

Formellement, le monopole doit résoudre le programme :    argmax(p,q)∈R 2+{Π(p, q)}   s.c. : q = D(p).

Nous pouvons aussi réécrire le programme en utilisant la demande inverse comme contrainte :    argmax(p,q)∈R 2+{Π(p, q)}   s.c. : p = p(q) = D −1(q).

Nous notons que la contrainte permet de mettre en relation la quantité et le prix puisque l’offre est égale à la demande et la demande dépend du prix.

192

Le profit de l’entreprise correspond à la différence entre la recette totale et le coût.

La recette totale de la firme correspond au produit entre le prix et la quantité vendue par la firme considérée.

Nous pouvons utiliser la fonction de demande inverse pour mettre en relation le prix et la quantité vendue.

Ceci nous permet d’obtenir la recette totale obtenue par le monopole, RT(q) : RT(q) = p(q) q.

Le profit de l’entreprise est donné par : Π(q) = RT(q) − C(q) = p(q) q − C(q). Évidemment à long terme cette condition n’est valide que si le profit obtenu par la firme est positif, dans le cas contraire le monopole se désengage du marché considéré et produit donc une quantité nulle.

193

Le monopole doit maximiser ce profit : Π ′(q) = 0 ⇒ RT ′(q) = C ′(q).

Ceci signifie que nous obtenons une égalité entre la recette marginale et le coût marginal.

Résolution graphique du monopole.

194

Exemple 22. Supposons que la fonction de demande inverse à laquelle le monopole est confrontée soit donnée par : p(q) = a − b q, et que le coût de production du monopole soit : C(q) = F + c q 2.

Nous savons que le monopole choisit une quantité telle que la recette marginale est égale au coût marginal :  ′ ′ RT (q) = p (q) q + p(q) = − b q + a − b q = a − 2 b q  ⇒ a − 2 b q = 2 c q,  C ′(q) = 2 c q

autrement dit,

a = 2 c q + 2 b q ⇒ a = 2 (c + b) q ⇒ q =

195

a .

2 (c + b)

Dans ce cas, le prix du monopole est :

2 (c + b) a − a b a (2 c + b) a = p(q) = a − b = .

2 (c + b) 2 (c + b) 2 (c + b) Le profit du monopole est alors donné par :

2 a (2 c + b) a a Π = −F −c 2 (c + b) 2 (c + b) 2 (c + b) =

=

a 2 (c + b)

a 2 (c + b)

a (2 c + b) ac − 2 (c + b) 2 (c + b)

a (c + b) −F 2 (c + b)

a2 = −F. 4(c + b)

196

−F

Si le profit est positif : a2 >F, 4(c + b) alors le monopole produit une quantité q = a/2 (c + b), au prix a (2 c + b)/2 (c + b).

197

4.1.2 Monopole et bien-être Les systèmes juridiques européens et américains punissent la mise en place de monopole : Every person who shall monopolize, or attempt to monopolize, or combine to conspire with any other person or persons, to monopolize any part of the trade or commerce ..., shall be deemed guility of a felony.

–Sherman Antitrust Act 1890.

198

Pour expliquer la violence des politiques envers les monopoles, nous allons présenter l’argument le plus conventionnel.

Il concerne la détérioration du bien-être induit par l’existence d’un monopole.

Nous avons Surplus(Bien-être)

Niveau de satisfaction de consommateurs

surplus de firme

W (Q) = u(Q) − p Q + p Q − C(Q) = u(Q) − C(Q).

Nous maximisons cette fonction. Nous avons :

W ′(Q) = u ′(Q) − C ′(Q) = 0 ⇒ u ′(Q) = C ′(Q)

u est une fonction concave et C est une fonction convexe. En conséquence, W est une fonction concave.

Nous savons que le consommateur maximise son utilité sous sa contrainte de budget : u'(Q)<p, on a pas intérêt de consommer. et inversement, on a U (Q) = u(Q) + λ(R − p Q), intérêt de consommer plus. donc seulement u'(Q)=p est le cas.

Nous avons : U ′(Q) = u ′(Q) − p = 0 ⇒ u ′(Q) = p Nous concluons que le bien-être est maximisé lorsque u ′(Q) = p = C ′(Q). Condition remplie dans le cadre de la concurrence pure et parfaite.

199

Au-delà de cet argument, d’autres auteurs en particulier Posner, ont insisté sur d’autres effets négatifs induits par l’existence d’un monopole.

Ainsi, les monopoles peuvent être amenés à supporter des coûts qui n’ont pour seule raison que le maintien de leur position dominante.

Ces coûts n’ont aucun intérêt d’un point de vue social. Il constitue donc un coût du point de vue du bien-être collectif.

Nous pouvons donner les exemples suivants.

Publicité pour empêcher de nouveaux entrants, investissements en R&D excessifs, ressources pour faire du lobbying auprès des politiques afin de conserver leur position dominante.

Il est notable que le monopole modifie la répartition des ressources (par exemple dans le cas du lobbying).

200

4.2.3 Monopole discriminant Nous nous intéressons à des situations où l’entreprise (le monopole) peut mettre en place des procédures permettant de différencier les différents consommateurs.

Ce type de procédure est utilisé par exemple par la SNCF qui propose des offres différentes aux voyageurs selon leur âge ou leur activité.

201

Dans la suite, nous supposons qu’il existe deux types de demande que le monopole peut distinguer.

La quantité demandée par le premier type de demande sera noté q1 et la quantité demandée par le second type de demande sera noté q2.

Le profit du monople s’écrit : Π(q1, q2) = p1 q1 + p2 q2 − C(q1 + q2), où pi correspond au prix du bien vendu à la demande i ∈ {1, 2} et C corespond à la fonction de coût de l’entreprise.

202

Pour simplifier, nous supposons que : −

la fonction de coût est linéaire avec la somme des qauntités produites : x=q1+q2 C(x) = c x ;

−

la première fonction de demande inverse est de la forme : p1(q1) = α1 − q1 ;

−

la seconde fonction de demande inverse est de la forme : p2(q2) = α2 − q2.

Sans perte de généralité, nous supposons que α1 > α2.

203

La fonction de profit est donc égale à : Π(q1, q2) = (α1 − q1) q1 + (α2 − q2) q2 − c(q1 + q2).

Le monopole doit maximiser ce profit : Π1′ = α1 − 2 q1 − c = 0, et Π2′ = α2 − 2 q2 − c = 0.

Autrement dit, nous avons : q1 = et p1 = α 1 −

α1 − c α −c , q2 = 2 , 2 2

α1 − c α1 − c α − c α2 − c = , p2 = α2 − 2 = .

2 2 2 2

204

Au final la quantité fournie à la première demande par le monopole est supérieur à la quantité fournie à la seconde demande par le monopole.

De même, le prix proposé à la première demande est plus grand que le prix proposé à la seconde demande.

Étudions dans le cadre d’un cas polaire (monopole parfaitement disciminant) la relation entre monopole discriminant et le profit total.

205

4.2 Duopoles avec biens homogènes Nous allons utiliser dans cette section la notion d’équilibre de Nash pour étudier les situations d’interactions stratégiques entre les firmes.

Il existe trois types de duopole avec biens homogènes (identiques) : −

le duopole à la Cournot : les firmes se concurrencent simultanément en quantités ;

−

le duopole à la Bertrand : les firmes se concurrencent simultanément en prix ;

−

Le duopole à la Stackelberg : les firmes se concurrencet en quantités, mais l’une (le leader) d’entre elles « joue » avant l’autre (le follower).

206

4.2.1 Duopole à la Cournot et équilibre de Nash Dans ce modèle, initié par Cournot en 1838, les firmes utilisent les quantités commes variables.

Cette stratégie ne semble pas très naturelle pour les firmes. En effet, intuitivement, il semble que la variable sur laquelle les firmes jouent est la variable prix.

Toutefois, dans le cadre de certains secteurs : les secteurs d’extraction de charbon, de pétrole ou le secteur agricole, les entreprises ne peuvent pas modifier les prix qui sont fixés au niveau mondial. Par contre, les entreprises de ces secteurs peuvent fixer les quantités qu’elles souhaitent.

207

On considère deux firmes, 1 et 2, qui produisent le même bien et qui décident indépendamment de leur niveau de production (aucune collusion entre les deux firmes n’est autorisée).

Plus précisément, chacune des firmes i = 1, 2 choisit une quantité qi ∈ [0, + ∞).

Soit q = (q1, q2) le vecteur où la première coordonnée est la quantité produite par la firme 1 et où la deuxième coordonnée est la quantité produite par la firme 2.

On suppose que la fonction de demande inverse est :

α − (q1 + q2), si q1 + q2 ≤ α, p(q) = 0, si q1 + q2 ≥ α.

De plus, les deux firmes ont un coût marginal constant c et il n’y a pas de coût fixe. Le coût total de la firme i s’écrit donc : C(qi) = c qi , ∀i ∈ N .

208

Chaque firme i ∈ {1, 2} visent à maximiser son profit πi qui s’écrit : πi(qi , q−i) = (α − (qi + q−i) − c) qi.

Nous supposons que α > c, sinon le profit est toujours négatif et la solution de ce problème est triviale, puisque la firme i ne doit pas produire.

La maximiation réalisée par la firme i nous conduit à

et,

∗ ∂ πi(qi , q−i) α − q−i −c ∗ ∗ = 0 ⇒ qi = , si α − c > q−i . ∂ qi 2

∂ 2 πi(qi , q−i) =−2. ∂ qi2 équilibre nash: le joueur 1 vas envoyer sa meileure réponse au joueur 2, et inversement.

209

Il suit qu’il existe une seule meilleure réponse donnée par :   α − q−i − c ∗ , si α − c > q−i ; ∗ qi (q−i) = 2 0 sinon.

L’équilibre est par construction le couple (q1, q2) qui vérifie les deux équations suivantes :    q1∗ = α − q2 − c 2 α − q1 − c   q2∗ = 2

Ces deux équations sont les correspondances (ici des fonctions) de meilleures réponses des deux firmes 1 et 2. En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, nous trouvons l’équilibre de Cournot-Nash :

α−c ∗ α−c q1∗ = , q2 = .

3 3

210

Nous cherchons, à présent, le prix d’équilibre :

1 α−c α−c 2 = α + c. p∗ = α − + 3 3 3 3 Pour finir, nous calculons le profit d’équilibre :

2 2 α−c 1 α−c α+ c−c π1∗ = π2∗ = = .

3 3 3 3 Pour interpréter ce résultat, nous allons dans un premier temps le comparer à la solution obtenue lorsqu’une seule entreprise est présente sur le marché, c’est-àdire à la situation obtenue en monopole.

211

Dans ce cas, le monopoleur a la fonction de demande suivante :

α − q, si q ≤ α, p(q) = 0 si q ≥ α, où q est la quantité produite par le monopoleur.

Le profit de la firme est : π(q) = (α − q − c) q.

Le monopole maximise son profit, ce qui conduit à la production d’une quantité q∗ et à l’établissement du prix p∗ : q∗ =

α+c α−c et p∗ = , 2 2

Le profit en situation de monople est donc :

2 α−c π∗ = .

2

212

Il suit que la concurrence en quantité conduit à un équilibre qui est sous-optimal pour les deux firmes.

En effet, la somme des profits obtenus par les deux firmes est inférieure au profit obtenu par le monopole puisque : 2 2

2 α−c 1 α − c = (α − c)2 < (α − c)2 = .

2 9 3 4 2 Il suit qu’un accord entre les deux firmes permettrait d’accroître les gains de ces deux firmes.

Les firmes guidées uniquement par leur intérêt individuel aboutissent à une situation néfaste d’un point de vue collectif.

213

4.3 Duopoles à la Bertrand et équilibre de Nash Bertrand, en 1883, n’est pas satisfait par le modèle de Cournot qui suppose que la variable sur laquelle s’appuie les firmes est la quantité.

Pour Bertrand, l’hypothèse la plus réaliste est que les firmes choisissent comme variable le prix.

Autrement dit, les ensembles de stratégies sont P1 = P2 = [0, + ∞)

214

Rappelons deux hypohèses importantes qui sont restées plus ou moins implicites dans le paragraphe précédent.

D’une part, nous avons vu que les biens étaient homogènes, c’est-à-dire identique du point de vue de tous les consommateurs.

D’autre part, l’information est parfaite, ce qui induit que les consommateurs sont informés des prix pratiqués par chacune des firmes du marché.

Ces deux hypothèses conduisent à la situation suivante. Si une firme établit un prix plus faible que l’autre firme, elle obtient l’intégralité de la demande, puisque tous les consommateurs vont acheter le produit à cette entreprise.

215

Nous utilisons la même fonction de demande que celle utilisée dans le duopole de Cournot, autrement dit :

α − p si p ∈ [0, a], q(p) = 0 si p > a.

Par ailleurs, nous supposons que si les deux firmes établissent le même prix, elle se partage la demande équitablement.

Pour finir, la fonction de coût de chacune des entreprises i est : Ci(qi) = c qi , ∀i ∈ N .

La fonction de demande de l’entreprise i est :   (α − pi) si pi < p−i ,        di(pi , p−i) = (α − pi) si pi = p−i ,   2    0 si pi > p−i.    216

Toute la demande va vers la firme i

La demande est partagée entre les 2 firmes car leurs prix sont identiques

La fonction de profit de la firme i s’écrit en conséqence :

  (pi − c) (α − pi) si pi < p−i ,            πi(pi , p−i) = (pi − c) (α − pi) si pi = p−i ,   2          0 si pi > p−i.

217

Ici, il existe un unique équilibre qui peut paraître surprenant : p1 = p2 = c.

L’obtention de cet équilibre s’explique de la manière suivante.

218

Supposons que les prix choisis par les firmes vérifient pi = p−i > c.

Dans ce cas, la firme i a intérêt à fixer un prix p ′ ∈ (p−i − ε) puisque dans ce cas, elle obtient : (pi − c) (α − pi) (pi − c − ε) (α − pi − ε) > .

5

219

Supposons que les prix choisis par les firmes vérifient pi > p−i = c.

Dans ce cas, la firme − i a intérêt à établir un prix p ′′ ∈ (pi , c) puisque dans ce cas, elle obtient un profit positif alors qu’avec le prix p−i, elle obtient un profit nul.

220

Calculons le profit de la firme i dans le modèle de Bertrand.

Nous avons πi(c, c) = 0.

Nous pouvons faire plusieurs remarques à propos de ce résultat.

La première remarque concerne le fait que les firmes sont dans une situation plus néfaste que dans le cadre d’un Cournot.

En effet, le profit de chaque firme dans le duopole à la Cournot est strictement positif alors que le profit dans le duopole à la Bertrand est nul. Évidemment, le profit en Bertrand est plus faible que celui obtenu par les firmes si elles mettaient en place une collusion.

221

La seconde remarque concerne la proximité entre ce résultat et le résultat obtenu dans le cadre de la concurrence pure et parfaite.

En effet, dans les deux cas les entreprises fixent un prix égal à leur coût marginal ce qui minimise leur profit mais maximise le bien-être social.

222

4.3 Duopole de Stackelberg Le duopole de Stackelberg est proche du duopole de Cournot : les firmes choisissent les quantités qu’elles vont mettre en place sur le marché.

Toutefois, à la différence du duopole à la Cournot, les firmes n’agissent pas simultanément.

Une firme (1) choisira en premier la quantité qu’elle souhaite mettre en oeuvre, l’autre firme (2) choisira en second la quantité qu’elle souhaite mettre en place sur le marché.

La firme 1 est appelée dominante (leader) alors que la firme 2 est qualifiée de suiveuse (follower).

La situation modélisée correspond au cas où la firme 1 choisit en premier sa capacité de production et où cette capacité de production n’est pas modifiable à court terme.

223

On suppose que la fonction de demande inverse est :

α − (q1 + q2), si q1 + q2 ≤ α, p(q) = 0, si q1 + q2 ≥ α.

De plus, les deux firmes ont un coût marginal constant c et il n’y a pas de coût fixe.

Le coût total de la firme i s’écrit donc : C(qi) = c qi , ∀i ∈ N .

224

Le profit de la firme 2 est donné par : Π2(q1, q2) = (α − (q1 + q2))q2 − C(q2).

La firme 2 maximise son profit : Π2′ = α − q1 − 2 q2 − c = 0.

La fonction de meilleure réponse (réaction) de l firme 2 est : q2 =

α − q1 − c .

2

Cette fonction de réaction permet de savoir pour toute valeur de q1 la quantité q2 qui va être choisie par la firme 2.

225

La firme 1 sait que la firme 2 est rationnelle, et connaît la fonction de production de la firme 2.

En conséquence, elle connaît la fonction de réaction de la firme 2 et peut anticiper le choix de cette dernière.

Ainsi, lorsque la firme 1 maximise son profit, elle intègre le fait que la quantité de la firme 2 est donnée par la fonction de réaction précédente.

226

Nous avons : Π1(q1, q2) = (α − (q1 + q2))q1 − C(q1), avec q2 =

α − q1 − c .

2

Nous substituons et nous obtenons une fonction de profit qui dépend exclusivement de q1 :

α − q1 − c Pro(q1) = α − q1 + q1 − c q1 2 =

2 α − (α + q1 − c) q1 − c q1 2

=

α − q1 + c q1 − c q1.

2

227

La maximisation de la firme 1 conduit à : α c Pro ′(q1) = − q1 + − c = 0, 2 2 nous obtenons : c α−c α − q1 − = 0 ⇒ q1 = .

2 2 2 Nous pouvons déduire q2 : α−c α− 2 −c α−c q2 = = .

2 4 Le profit de la firme 1 dans ce cadre est :

α−c α−c α−c α−c α−c α−c α−c− = . + = 2 2 2 8 4 4

228

Le profit de la firme 2 est :

α−c α−c α−c α−c + = α−c− .

2 4 16 4 Nous remarquons que le profit de la firme 2 a régressé par rapport au duopole de Cournot alors que la firme 1 a augmenté par rapport au duopole de Cournot.

229

Ces variations de profit illustrent le fait que la firme 1 a un avantage par rapport à la firme 2 : elle sait comment la firme 2 va réagir lors de la seconde période.

En conséquence, elle peut ajuster a stratégie (ici sa quantité) afin de faire en sorte de maximiser son propre profit.

En d’autres termes, la firme 1 profite d’un avantage informationnel..

230