1 1 números reales

S i s t e m a  d e  n Ăş m e r o s  r e a l e s  |  1  Â

1.1  Sistema  de  nĂşmeros  reales  NĂšMEROS  REALES.  Los  nĂşmeros  reales  es  el  conjunto  de  nĂşmeros  con  los  que  se  trabaja  en  ålgebra  y  aunque  se  usan  de  manera  cotidiana  para  describir  tan  diversas  cantidades  como  temperatura,  salario,  longitud,  calificaciones,  etc.,  bien  vale  la  pena  hacer  una  rĂĄpida  revisiĂłn  de  su  estructura  y  sobre  todo  de  sus  propiedades.  Los  nĂşmeros  reales  estĂĄn  conformados  por  diferentes  tipos  de  nĂşmeros,  comenzaremos  con  los  nĂşmeros  naturales,  tambiĂŠn  llamados  enteros  positivos.  đ?‘ = 1,2,3, ‌   Al  aĂąadir  el  cero  y  los  negativos  de  los  nĂşmeros  naturales  se  obtiene  el  conjunto  de  los  nĂşmeros  enteros  đ?‘? = â‹Ż − 3, −2, −1,0,1,2,3, â‹Ż   Los  nĂşmeros  enteros  son  insuficientes  porque  en  ocasiones  se  requiere  hacer  referencia  a  la  parte  de  un  todo  o  a  la  fracciĂłn  de  un  total;  es  por  eso  que  se  considera  al  conjunto  de  los  racionales  đ?‘„ .  !

Formalmente  un  número  real  se  llama   número  racional  si  puede  ser  escrito  como  el  cociente  de  dos  enteros    !

donde  � ≠0.  Por  ejemplo  2=

2 , 1

1 Â , 3

3 , 4

−

12 , 5

0 0 = Â Â 7

En  contraparte  al  conjunto  đ?‘„  de  nĂşmeros  racionales  existen  otro  tipo  de  nĂşmeros  reales  que  no  se  pueden  expresar  como  cociente  de  dos  nĂşmeros  enteros,  es  el  llamado  conjunto  de  nĂşmeros  irracionales  đ?‘„′.  Por  ejemplo  2, đ?œ‹,  etc.  !

Hay  que  precisar  que  no  todas  las  fracciones  son  números  racionales,  tal  es  el  caso  de  la  fracción   que  no  es  un  !

número  racional.   Todo  número  real  tiene  una  representación  decimal  y  bajo  esa  representación  se  revela  una  característica  distintiva  entre  los  racionales  e  irracionales.  Un  número  racional  se  puede  representar  como  un  decimal  con  una  cantidad  de  cifras  finita  o  como  un  decimal  periódico.  Cantidad  de  cifras  finita   ! !" = 0.25, = 2.125   !

Periódico  = 0.166666 ⋯ = 0.16   !  !

!

!"#

= 1.31717171 â‹Ż = 1.317 Â Â Â !" = 2.285714285714 â‹Ż = 2. 285714 Â Â !"#

!

2  |  S i s t e m a  d e  n ú m e r o s  r e a l e s    En  su  representación  decimal  un  número  irracional  no  presenta  una  cantidad  de  cifras  finita  y  ni  siquiera  es  periódico,  es  por  eso  que  al  hacer  operaciones  con  números  irracionales  en  su  representación  decimal  siempre  se  estå  trabajando  con  aproximaciones,  no  importa  cuåntos  decimales  se  utilicen,  no  dejarån  de  ser  valores  aproximados  redondeados.  Por  ejemplo  ! !

≈ 0.6667     y     đ?œ‹ = 3.1416 Â

Todos  estos  nĂşmeros  de  los  que  hemos  estado  hablando  forman  parte  del  conjunto  de  los  nĂşmeros  reales,  asĂ­  llamados  para  distinguirlos  de  los  nĂşmeros  complejos,  otra  clase  de  nĂşmeros  que  no  ocuparemos  en  este  repaso  de  ålgebra.  El  siguiente  esquema  muestra  las  relaciones  que  se  establecen  entre  los  diferentes  tipos  de  nĂşmeros  reales  mencionados Â

 Como  se  puede  apreciar,  el  conjunto  de  los  nĂşmeros  racionales  junto  con  todos  los  nĂşmeros  irracionales  conforman  el  llamado  conjunto  de  nĂşmeros  reales  â„?.  â„? = đ?‘„ âˆŞ đ?‘„′  Los  nĂşmeros  reales  se  pueden  combinar  usando  las  conocidas  operaciones  de  suma  y  multiplicaciĂłn.  Estamos  tan  acostumbrados  a  estas  operaciones  que  aplicamos  las  propiedades  de  los  nĂşmeros  reales  sin  percatarnos  de  ello  Propiedad Â

Â

Ejemplo Â

Propiedades  conmutativas  đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? + đ?‘Ž  đ?‘Žđ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž Â

Â

Propiedades  asociativas  đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?)     đ?‘Žđ?‘? đ?‘? = đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘?) Â

Â

7 + 3 = 3 + 7  3 ∙ 5 = 5 ∙ 3 Â

6 + 4 + 1 = 6 + (4 + 1)     3 ∙ 9 ∙ 4 = 3 ∙ (9 ∙ 4) Â

DescripciĂłn   No  importa  el  orden  en  la  suma  No  importa  el  orden  en  la  multiplicaciĂłn   Al  sumar  tres  nĂşmeros  no  importa  cuĂĄl  sea  el  par  que  se  sume  primero   Al  multiplicar  tres  nĂşmeros  no  importa  cuĂĄl  sea  el  par  que  se  multiplique  primero Â

S i s t e m a  d e  n Ăş m e r o s  r e a l e s  |  3   Propiedad  Propiedad  distributiva  đ?‘Ž(đ?‘? + đ?‘?) = đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘?  đ?‘? + đ?‘? đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘? Â

Ejemplo Â

DescripciĂłn Â

 5 ∙ 4 + 2 = 5 ∙ 4 + 5 ∙ 2  4 + 2 ∙ 5 = 4 ∙ 5 + 2 ∙ 5 Â

Se  obtiene  el  mismo  resultado  si  primero  sumamos  los  tĂŠrminos  y  despuĂŠs  se  hace  la  multiplicaciĂłn  a  que  si  primero  multiplicamos  cada  tĂŠrmino  y  despuĂŠs  se  hace  la  suma.  Â

 La  propiedad  distributiva  describe  la  manera  en  que  la  suma  y  la  multiplicaciĂłn  interactĂşan  una  con  otra.  La  operaciĂłn  de  resta  se  define  en  tĂŠrminos  de   la  suma,  asĂ­  đ?‘Ž − đ?‘? = đ?‘Ž + (−đ?‘?)  de  manera  anĂĄloga,  la  operaciĂłn  de  divisiĂłn  se  define  en  tĂŠrminos  de  la  multiplicaciĂłn  đ?‘Ž 1 =đ?‘Ž  đ?‘? đ?‘?

Las  propiedades  de  los  nĂşmeros  reales  son  poco  valoradas  por  los  alumnos  principiantes,  no  logran  entender  que  en  ellas  se  basa  la  aritmĂŠtica.  AĂşn  mĂĄs,  junto  con  la  generalizaciĂłn  del  concepto  de  cantidad,  son  el  fundamento  de  todo  procedimiento  algebraico,  de  ahĂ­  la  importancia  de  entender  el  correcto  significado  de  cada  una  de  ellas. Â

EXPONENTES  ENTEROS.  Usualmente  el  producto  repetido  de  un  nĂşmero  real  se  escribe  en  notaciĂłn  exponencial.  Por  ejemplo,  5 ∙ 5 ∙ 5  se  escribe  en  forma  abreviada  como  5! .  En  general  se  tiene  la  siguiente  definiciĂłn  NotaciĂłn  Si  đ?‘Ž  es  un  nĂşmero  real  y  đ?‘›  es  un  entero  positivo,  entonces  la  expresiĂłn  exponencial  đ?‘Ž !  (se  lee  “đ?‘Ž  elevado  a  la  đ?‘›â€?)  se  define  como  el  nĂşmero   đ?‘Ž ! = đ?‘Ž ∙ đ?‘Ž ∙ đ?‘Ž â‹Ż đ?‘Ž  !  !"#$%&'(

 donde  al  número  �  se  le  llama  base  y  al  superíndice  �  se  le  denomina  exponente  o  potencia.   EJEMPLO  Desarrolle  las  potencias  indicadas  ! !  a)  !

Â

b)

2 3

−3 !  −3

Â

c) −3! Â

!

!

=

2 3

2 3

2 8 = Â 3 27

= −3 −3 −3 −3 = 81 Â

−3! = − 3 3 3 (3) = −81 Â

4  |  S i s t e m a  d e  n Ăş m e r o s  r e a l e s   CUIDADO Â

Note  la  diferencia  entre  −3 !   y   −3! .  En  −3 !   la  potencia  afecta  al  signo  negativo,  pero  en  −3!  el  exponente  solo  afecta  al  3.  Similarmente  5đ?‘Ľ !    la  potencia  aplica  tanto  al  5  como  a  la  đ?‘Ľ     5đ?‘Ľ !     la  potencia  aplica  solo  sobre  la  đ?‘Ľ Â

 Se  pueden  establecer  algunas  reglas  para  trabajar  con  exponentes,  por  ejemplo  en  la  multiplicaciĂłn  5! ∙ 5! = (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5)  5 ∙ 5 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5! = 5!!!  !  !"#$%&'(

! Â !"#$%&'( Â Â

! Â !"#$%&'(

Ello  indica  que  al  multiplicar  dos  cantidades  con  la  misma  base  se  suman  los  exponentes.  En  general  đ?‘Ž ! ∙ đ?‘Ž ! = đ?‘Ž !!!  Si  esta  sencilla  regla  ha  de  ser  vĂĄlida  incluso  para  potencias  negativas  o  nulas  se  encuentra  que  2! ∙ 2! = 2!!! = 2!  lo  cual  es  cierto  solo  si  2! = 1.  De  igual  manera  4! ∙ 4!! = 4!!

Lo  cual  es  cierto  solo  si  4!! =

! !!

!!

= 4! = 1 Â

 .  Estas  observaciones  son  importantes  y  se  remarcan  a  continuaciĂłn Â

Exponente  cero  Si  đ?‘Ž ≠0  es  cualquier  nĂşmero  real   y   đ?‘›  es  un  entero  positivo,  entonces  y  negativos   ! đ?‘Ž ! = 1        y        đ?‘Ž !! = !  !  La  expresiĂłn   0!  no  esta  definida   EJEMPLO  Â

a) đ?œ‹ ! = 1  ! !

b)

−

Â

c)

−2

Â

d) đ?‘Ľ !! =

!

= 1 Â

!!

= !

!!

! !! !

=

! !!

!

= −  !

!

= Â !

 Estas  y  otras  propiedades  son  esenciales  para  trabajar  con  bases  y  potencias.  En  la  tabla  que  se  presenta  a  continuaciĂłn  las  bases  đ?‘Ž  y  đ?‘?  son  nĂşmeros  reales  y  los  exponentes  đ?‘š  y  đ?‘›  son  enteros.   Â

S i s t e m a  d e  n Ăş m e r o s  r e a l e s  |  5   đ?‘Ž ! ∙ đ?‘Ž ! = đ?‘Ž !!! Â

Ley Â

Ejemplo Â

DescripciĂłn Â

3! ∙ 3! = 3!!! = 3! Â

Al  multiplicar  dos  potencias  de  igual  base  se  suman  los  exponentes Â

đ?‘Ž! = đ?‘Ž !!! Â đ?‘Ž!

3! = 3!!! = 3! Â 3!

3! ! = 3!∙! = 3!" Â

Al  dividir  dos  potencias  de  igual  base  se  restan  los  exponentes Â

đ?‘Ž! đ?‘Žđ?‘?

!

!

đ?‘Ž đ?‘?

= đ?‘Ž !" Â = đ?‘Ž ! đ?‘? ! Â

!

=

3∙4

đ?‘Ž! Â đ?‘?!

3 4

Â

!

Al  elevar  una  potencia  a  otra  potencia  se  multiplican  los  exponentes Â

= 3! ∙ 4! Â

Al  elevar  un  producto  a  una  potencia,  cada  factor  se  eleva  a  esa  potencia Â

3! Â 4!

Al  elevar  un  cociente  a  una  potencia,  el  numerador  y  el  denominador  se  elevan  a  esa  potencia. Â

!

=

EJEMPLO  Simplifique  la  expresiĂłn  escribiendo  el  resultado  solo  con  exponentes  positivos   a) 2đ?‘Ľ ! 3đ?‘Ľ !  2đ?‘Ľ ! 3đ?‘Ľ ! = 2 ∙ 3 đ?‘Ľ !!! = 6đ?‘Ľ !  Â

Â

Â

b)

c)

d)

!!! !!!

 2 !!! 2 !!

2 đ?‘š = đ?‘š = Â 3 3 3đ?‘š !

!"! ! ! !! !! !! !

! !! !

Â

!!

12đ?‘Ž ! đ?‘? !! 12 !! = ∙đ?‘Ž 4đ?‘Ž !! đ?‘?

4

!!

∙ đ?‘? (!!!!) = 3đ?‘Ž ! đ?‘? !! =

3đ?‘Ž ! Â đ?‘?!

 !

� 3� !

!!

=

1 � 3� !

=

3� ! �

!

=

9� !  �!

 Conforme  adquiera  habilidad  podrĂĄ  realizar  mentalmente  algunos  de  los  pasos  intermedios. Â

NOTACIĂ&#x201C;N  CIENTĂ?FICA.  En  ocasiones  en  ciencias  o  ingenierĂ­a  es  necesario  trabajar  con  nĂşmeros  demasiado  grandes  o  demasiado  pequeĂąos,  tales  nĂşmeros  son  complicados  de  escribir  y  de  leer.  Por  ejemplo  una  gota  de  agua  contiene  algo  asĂ­  como  33,000,000,000,000,000,000  molĂŠculas,  la  masa  de  un  åtomo  de  hidrĂłgeno  tiene  un  valor  aproximado  de  0.00000000000000000000000166  g.  Una  notaciĂłn  abreviada  es  muy  conveniente  para  escribir  y  tratar  con  este  tipo  de  nĂşmeros  NotaciĂłn  Se  dice  que  un  nĂşmero  (positivo)  estĂĄ  escrito  en  notaciĂłn  cientĂ­fica  cientĂ­fica  cuando  se  expresa  de  la  siguiente  manera  đ?&#x2018;&#x17D;Ă&#x2014;10!  donde  1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; < 10   y  đ?&#x2018;&#x203A;  es  un  entero.  Â

6  |  S i s t e m a  d e  n Ăş m e r o s  r e a l e s   Por  consiguiente  cualquier  nĂşmero  de  valor  absoluto  mayor  de  10  se  puede  escribir  utilizando  notaciĂłn  cientĂ­fica  al  recorrer  el  punto  decimal  hacia  la  izquierda  hasta  que  đ?&#x2018;&#x17D; < 10.  AdemĂĄs   đ?&#x2018;&#x203A;  tendrĂĄ  un  valor  positivo  igual  a  los  lugares  que  se  haya  recorrido  el  punto  decimal.  EJEMPLO   Â

a) 33,000,000,000,000,000,000. Â 3. 3000000000000000000 = 3.3Ă&#x2014;10!" Â â&#x2020;?!" Â !"#$%&'

b) 35748 Â

3. 5748 = 3.5748Ă&#x2014;10! Â â&#x2020;?! Â !"#$%&'

Â

c) â&#x2C6;&#x2019;263.7 Â

â&#x2C6;&#x2019;2. 63 7 = â&#x2C6;&#x2019;2.637Ă&#x2014;10! Â â&#x2020;?! Â !"#$%&'

 En  contraparte,  cualquier  nĂşmero  de  valor  absoluto  menor  de  1  se  puede  escribir  en  notaciĂłn  cientĂ­fica  al  recorrer  el  punto  decimal  hacia  la  derecha  hasta  que  đ?&#x2018;&#x17D; > 1.  AdemĂĄs  đ?&#x2018;&#x203A;  tendrĂĄ  un  valor  negativo  igual  a  los  lugares  que  se  haya  recorrido  el  punto  decimal.  EJEMPLO   Â

a) 0.0049 Â

0 004 . 9 = 4.9Ă&#x2014;10!! Â ! Â !"#$%&'â&#x2020;&#x2019;

b) 0.0000705 Â

0 00007 . 05 = 7.05Ă&#x2014;10!! Â ! Â !"#$%&'â&#x2020;&#x2019;

 La  notaciĂłn  cientĂ­fica  junto  con  las  leyes  de  los  exponentes  permiten  efectuar  operaciones  con  relativa  rapidez,  estudie  los  siguientes  ejemplos  EJEMPLO  EfectĂşe  las  siguientes  operaciones  y  proporcione  el  resultado  en  notaciĂłn  cientĂ­fica   a) 5.23Ă&#x2014;10! + (4.08Ă&#x2014;10! )  = 5.23Ă&#x2014;10! + 40.8Ă&#x2014;10! = 5.23 + 40.8 Ă&#x2014;10!  = 46.03Ă&#x2014;10! = 4.603Ă&#x2014;10!  Para  sumar  cantidades  en  notaciĂłn  cientĂ­fica  se  debe  procurar  que  ambas  estĂŠn  escritas  con  igual  potencia. Â

Â

Â

b)

Â

c)

3.5Ă&#x2014;10! â&#x2C6;&#x2122; (4Ă&#x2014;10! ) Â

!"Ă&#x2014;!"! !Ă&#x2014;!"!

= 3.5Ă&#x2014;4 â&#x2C6;&#x2122; 10! Ă&#x2014;10! = 14Ă&#x2014;10!!! Â = 14Ă&#x2014;10! = 1.4Ă&#x2014;10! Â

 15Ă&#x2014;10!

15 10! = = Ă&#x2014; = 5Ă&#x2014;10!!! = 5Ă&#x2014;10!! Â 3Ă&#x2014;10!

3 10!

S i s t e m a d e n ú m e r o s r e a l e s | 7

En la actualidad la mayoría de las calculadoras que utilizan los estudiantes de ingeniería cuentan con una función que ajusta los resultados de las operaciones efectuadas a la notación científica, solo es cuestión de especificar las cantidad de cifras significativas que se desean. Se le recomienda que se familiarice con su calculadora leyendo el instructivo.

Ahora es tiempo de que practiques resolviendo los ejercicios de la ACTIVIDAD 1.1