1 2 polinomios

P o l i n o m i o s  |  1  Â

1.2  Polinomios  DEFINICIONES.  La  principal  característica  del  ålgebra  es  el  uso  de  letras  para  representar  cantidades.  En  este  curso  las  cantidades   (y  por  tanto  las  letras)   estarån  asociadas  exclusivamente  a  números  reales.  Cuando  una  letra  no  representa  un  número  real  en  específico  se  llama  variable.  A  diferencia   de  una  variable,  una  constante  es  un  número  o  letra  cuyo  valor  se  conserva  durante  todo  un  anålisis  en  particular;  por  ejemplo  en  la  expresión  1 ! ��  2

g   representa  la  constante   de  la  aceleraciĂłn  debida  a  la  gravedad  con  un  valor  fijo  de  9.8  m/s2,  mientras  que  la  letra  t  es  una  variable  que  toma  cualquier  valor  no  negativo.  Al  combinar  las  variables  y  constantes   obtenemos  expresiones  algebraicas.  Algunos  ejemplos  de  expresiones  algebraicas  son  3đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś,

2đ?‘Ľ ! − đ?‘Ś +

1 , đ?‘Ľđ?‘Ś

đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘? , 1 − đ?‘Ľ!

3đ?‘Ľđ?‘Ś !! + đ?œ‹  đ?‘Ľ! + đ?‘Ś! + đ?‘§!

donde  đ?‘Ž , đ?‘?  representan  constantes  y  đ?‘Ľ , đ?‘Ś, đ?‘§  son  variables.  ExpresiĂłn  Es  una  colecciĂłn  de  variables  y  constantes  que  se  combinan  usando  las  algebraica  operaciones  de  suma,  resta,  multiplicaciĂłn,  divisiĂłn,  potenciaciĂłn  y  extracciĂłn  de  raĂ­ces.   Una  de  las  mĂĄs  simples,  comunes  e  importantes  tipos  de  expresiones  algebraicas  son  los  polinomios,  y  de  entre  ellos  los  mĂĄs  sencillos  comprenden  una  sola  variable.  He  aquĂ­  algunos  ejemplos  2đ?‘Ľ + 5,

Â

3đ?‘Ľ ! − 7đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ + 4,

−5đ?‘Ľ ! + 1 Â

Polinomio  Sean   đ?‘Ž! , ‌ , đ?‘Ž! , đ?‘Ž! , đ?‘Ž!   nĂşmeros  reales  y  sea   đ?‘›  un  entero  no  negativo.  Un  en   x  polinomio  en  đ?’™  es  una  expresiĂłn  de  la  forma   đ?‘Ž! đ?‘Ľ ! + â‹Ż + đ?‘Ž! đ?‘Ľ ! + đ?‘Ž! đ?‘Ľ + đ?‘Ž!   donde  đ?‘Ž! ≠0.  El  polinomio  es  de  grado  đ?‘›,  las  expresiones   đ?‘Ž! đ?‘Ľ !  de  la  suma  son  los  tĂŠrminos  del  polinomio  y  el  nĂşmero  đ?‘Ž!  es  el  coeficiente  principal.  El  nĂşmero  đ?‘Ž!  se  llama  tĂŠrmino  constante. Â

Una  expresiĂłn  como   3đ?‘Ľ ! + đ?‘Ľ   no  es  un  polinomio  por  que  el  signo  radical  implica  una  potencia  no  entera.  Una  expresiĂłn  como  đ?‘Ľ ! + exponente  negativo. Â

!" !

  no  es  un  polinomio  por  que  puede  ser  reescrita  como   đ?‘Ľ ! + 10đ?‘Ľ !!   y  contiene  un Â

2  |  P o l i n o m i o s   EJEMPLO  Polinomio  coeficientes  ‌principal  Grado  ! !  3,5,-­â€?7,4  3  4  3đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ − 7đ?‘Ľ + 4  ! !  1,6,-­â€?2  1  8  đ?‘Ľ + 6đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ   -­â€?9,1  -­â€?9  2  −9đ?‘Ľ ! + 1   15  15  15  0   Polinomios  con  uno,  dos  y  tres  tĂŠrminos  se  llaman  monomios,  binomios  y  trinomios  respectivamente.  AdemĂĄs  un  polinomio  que  solo  consta  de  un  tĂŠrmino  constante,  como  el  último  del  ejemplo  anterior,  se  llama  polinomio  constante.  TambiĂŠn  existen  polinomios  en  mĂĄs  de  una  variable  2đ?‘Ľ ! đ?‘Ś ! − 3đ?‘Ľđ?‘Ś ! + 8đ?‘Ľđ?‘Ś ! − 3đ?‘Ś + 4  en  estos  casos  el  grado  de  un  tĂŠrmino  se  obtiene  sumando  las  potencias  de  todas  las  variables  que  aparecen  en  ese  tĂŠrmino  y  el  grado  del  polinomio  esta  dado  por  el  tĂŠrmino  de  mĂĄximo  grado.  El  polinomio  anterior  tiene  cinco  tĂŠrminos  de  grado  7,  4,  3,  1  y  0  respectivamente,  de  modo  que  el  grado  del  polinomio  es  7. Â

SUMA  Y  RESTA  DE  POLINOMIOS.  Los  tĂŠrminos  semejantes  son  aquĂŠllos  tĂŠrminos  que  tengan  las  mismas  variables  con  las  mismas  potencias.  Es  posible  simplificar  o  reducir  los  tĂŠrminos  semejantes  sumando  o  restando  sus  coeficientes;  por  ejemplo  2đ?‘š + 9đ?‘š = 2 + 9 đ?‘š = 11đ?‘š        (los  coeficientes  se  suman)  −3đ?‘Ľ ! + 5đ?‘Ľ ! = −3 + 5 đ?‘Ľ ! = 2đ?‘Ľ !        (los  coeficientes  se  restan)  la  propiedad  distributiva  de  los  nĂşmeros  reales  justifica  el  procedimiento  anterior.   Se  pueden  sumar  y  restar  polinomios  de  manera  muy  sencilla:  primero  se  eliminan  los  parĂŠntesis,  luego  se  agrupan  los  tĂŠrminos  semejantes  y  finalmente  se  simplifica.  a. (3đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ ! − 4đ?‘Ľ + 5) + (−2đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľ ! − 2)  = 3đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ ! − 4đ?‘Ľ + 5 − 2đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľ ! − 2  = 3đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľ ! − 4đ?‘Ľ + (5 − 2)  = đ?‘Ľ ! − 4đ?‘Ľ + 3 Â

EJEMPLO Â Â Â

 b.

!

!

!

!

7đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ + 2 − (3đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ)  = 7đ?‘Ľ ! − đ?‘Ľ ! − 4đ?‘Ľ + 2 − 3đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ ! − 3đ?‘Ľ  = 7đ?‘Ľ ! − 3đ?‘Ľ ! + −đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ ! + (−4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ) + 2  = 4đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ ! − 7đ?‘Ľ + 2 Â

 Se  eliminan  los  parĂŠntesis  Se  agrupan  los  tĂŠrminos  semejantes  Se  simplifica Â

  Se  eliminan  los  parĂŠntesis  Se  agrupan  los  tĂŠrminos  semejantes  Se  simplifica Â

 Por  supuesto  que  conforme  se  adquiera  habilidad  algunos  de  los  pasos  se  pueden  hacer  mentalmente.  CUIDADO Â

Â

Un  error  muy  comĂşn  es  olvidar  cambiar  el  signo  de  cada  uno  de  los  tĂŠrminos  dentro  de  un  parĂŠntesis  precedido  por  un  signo  negativo   − 4đ?‘Ľ ! − 3đ?‘Ľ ! + 12 = −4đ?‘Ľ ! − 3đ?‘Ľ ! + 12      “error  frecuenteâ€?  Â

P o l i n o m i o s  |  3  Â

MULTIPLICACIĂ“N  DE  POLINOMIOS.  En  general  para  determinar  el  producto  de  dos  polinomios  se  utiliza  la  propiedad  distributiva  de  los  nĂşmeros  reales.  En  el  caso  particular  del  producto  monomio-­â€?binomio  como  por  ejemplo  2đ?‘Ľ(5đ?‘Ľ − 6)  el  factor  2đ?‘Ľ  se  distribuye  sobre  cada  uno  de  los  tĂŠrminos  del  factor  (5đ?‘Ľ − 6)  2đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ − 6 = 2đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ −6             = 10đ?‘Ľ ! − 12đ?‘Ľ  El  producto  de  dos  binomios  se  resuelve  con  una  aplicaciĂłn  sucesiva  de  la  propiedad  distributiva;  por  ejemplo  si  visualizamos  (5đ?‘Ľ + 4)  como  una  sola  cantidad  entonces  el  producto  2đ?‘Ľ − 3 (5đ?‘Ľ + 4)  es  como  sigue  2đ?‘Ľ − 3 5đ?‘Ľ + 4 = 2đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ + 4 − 3 5đ?‘Ľ + 4                  distributiva  por  la  izquierda                                    = 2đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ 4 − 3 5đ?‘Ľ − 3 4    distributiva  por  la  derecha                                                = 10đ?‘Ľ ! + 8đ?‘Ľ − 15đ?‘Ľ − 12                      se  desarrollan  las  multiplicaciones  El  procedimiento  anterior  se  puede  representar  en  forma  esquemĂĄtica. Â

 Finalmente  se  simplifica  el  resultado  reduciendo  los  tĂŠrminos  semejantes  2đ?‘Ľ − 3 5đ?‘Ľ + 4 = 10đ?‘Ľ ! − 7đ?‘Ľ − 12  En  general  una  expresiĂłn  algebraica  esta  simplificada  cuando  no  contiene  tĂŠrminos  semejantes  sin  reducir.  EJEMPLO  Calcule  los  siguientes  productos   a.                                       1           2           3         4  2đ?‘Ľ − 4 đ?‘Ľ + 5 = 2đ?‘Ľ ! + 10đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ − 20                                  = 2đ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľ − 20   b.                                                    1                       2                          3                         4  3đ?‘Ľ − đ?‘Ś 4đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ −2đ?‘Ś + −đ?‘Ś 4đ?‘Ľ ! + −đ?‘Ś −2đ?‘Ś                                          = 12đ?‘Ľ ! − 6đ?‘Ľđ?‘Ś − 4đ?‘Ľ ! đ?‘Ś + 2đ?‘Ś !   Note  que  aunque  en  el  último  ejemplo  se  multiplicaron  polinomios  en  mĂĄs  de  una  variable  el  procedimiento  sigue  siendo  bĂĄsicamente  el  mismo.  Casos  mĂĄs  generales  de  multiplicaciĂłn  se  resuelven  aplicando  la  propiedad  distributiva  de  manera  reiterada. Â

PRODUCTOS  NOTABLES.  Algunos  productos  ocurren  de  manera  tan  frecuente  y  son  tan  fĂĄciles  de  desarrollar  que  se  les  dedica  particular  atenciĂłn,  la  siguiente  tabla  muestra  varios  de  ellos Â

4  |  P o l i n o m i o s   Producto  notable  Cuadrado  de  un  binomio  đ?‘Ž + đ?‘? ! = đ?‘Ž ! + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? !  đ?‘Ž − đ?‘? ! = đ?‘Ž ! − 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? !   Binomios  conjugados  đ?‘Ž + đ?‘? đ?‘Ž − đ?‘? = đ?‘Ž ! − đ?‘? !   Cubo  de  un  binomio  đ?‘Ž + đ?‘? ! = đ?‘Ž ! + 3đ?‘Ž ! đ?‘? + 3đ?‘Žđ?‘? ! + đ?‘? !  đ?‘Ž − đ?‘? ! = đ?‘Ž ! − 3đ?‘Ž ! đ?‘? + 3đ?‘Žđ?‘? ! − đ?‘? ! Â

Ejemplo   đ?‘Ľ + 3 ! = đ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľ + 9  3đ?‘Ľ − 2 ! = 9đ?‘Ľ ! − 12đ?‘Ľ + 4   2đ?‘Ľ + 5 2đ?‘Ľ − 5 = 4đ?‘Ľ ! − 25   đ?‘Ľ + 2 ! = đ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľ ! + 12đ?‘Ľ + 8  đ?‘Ľ − 4 ! = đ?‘Ľ ! − 12đ?‘Ľ ! + 48đ?‘Ľ − 64 Â

 Es  importante  aprender  a  interpretar  los  sĂ­mbolos  algebraicos  y  no  solo  verlos  como  “un  montĂłn  de  garabatosâ€?,  por  ejemplo  la  fĂłrmula  para  el  cuadrado  de  un  binomio  se  puede  leer  asĂ­  đ?‘Ž+đ?‘?

!

!

!

= đ?‘Ž + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? Â

El  cuadrado  de  un  binomio  es  igual  a  la  suma  del  cuadrado  del  primer  tĂŠrmino  mas  el  doble  producto  del  primero  por  el  segundo  mas  el  cuadrado  del  segundo  tĂŠrmino. Â

 Note  que  esta  interpretaciĂłn  contiene  las  instrucciones  que  se  deben  seguir  para  aplicar  la  fĂłrmula.  IntĂŠntelo  con  los  demĂĄs  productos  notables.  CUIDADO Â

Â

Un  error  muy  comĂşn  es  el  incorrecto  desarrollo  de  los  productos  notables   đ?‘Ľ + đ?‘Ś ! = đ?‘Ľ ! + đ?‘Ś !      “error  frecuenteâ€?  Â

3đ?‘Ľ + 2 ! = 3đ?‘Ľ ! + 3 3đ?‘Ľ ! 2 + 3 3đ?‘Ľ 2 ! + 2!                  el  cubo  de  un  binomio                      = 27đ?‘Ľ ! + 54đ?‘Ľ ! + 36đ?‘Ľ + 8   b. 3đ?‘Ľ + 7 3đ?‘Ľ − 7 = 3đ?‘Ľ ! − 7 !                                                producto  de  binomios  conjugados                                     = 9đ?‘Ľ ! − 49 Â

EJEMPLO Â Â

a.

 EJEMPLO  Una  caja  sin  tapa  se  construye  cortando  pequeĂąos  cuadrados  de  cada  una  de  las  esquinas  de  una   lĂĄmina  metĂĄlica  de  dimensiones  16  cm  por  20  cm  y  doblando  el  sobrante  de  los  lados  como  se  muestra  en  la  figura.  Si  todos  los  cuadrados  que  se  recortan  tienen  lados  de  longitud  đ?‘Ľ  encuentre  una  expresiĂłn  para  calcular  el  volumen  de  la  caja  que  resulta.    Â

 Â

 Â

Â

P o l i n o m i o s  |  5   SOLUCIĂ“N  Para  una  caja  rectangular  đ?‘‰đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› = đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘œ       donde Â

đ?‘‰ = đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘›  đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ = 20 − 2đ?‘Ľ  đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘œ = 16 − 2đ?‘Ľ  đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘œ = đ?‘Ľ Â

Entonces                    đ?‘‰ = 20 − 2đ?‘Ľ 16 − 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ                        = 320 − 72đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ ! đ?‘Ľ                        = 320đ?‘Ľ − 72đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ !   AsĂ­  por  ejemplo  si  se  recortan  cuadrados  de  đ?‘Ľ = 2  cm  de  lado  entonces  el  volumen  de  la  caja  es  đ?‘‰ = 320 2 − 72 2 ! + 4 2 ! = 384  đ?‘?đ?‘š ! .          Â

Â

Â

Ahora  es  tiempo  de  que  practiques  resolviendo  los  ejercicios  de  la  ACTIVIDAD  1.2 Â

Â