1 6 ecuaciones

E c u a c i o n e s  |  1  Â

1.6  Ecuaciones  LAS  ECUACIONES  Y  SUS  PROPIEDADES.  Una  ecuaciĂłn  es  una  igualdad  entre  dos  expresiones  algebraicas  en  donde  existe  un  valor  desconocido.  Al  valor  desconocido  se  le  llama  incĂłgnita  y  representa  un  nĂşmero  real.  EJEMPLO  Los  siguientes  son  ejemplos  de  ecuaciones   a. 3đ?‘Ľ + 2 = 9   b. đ?‘Ś + 1 = 4  Â

  c.

! !!!

=

!!!! !!!!

Â

Las  letras  đ?‘Ľ , đ?‘Ś, đ?‘Ą  son  las  incĂłgnitas. Â

 Al  valor  o  conjunto  de  valores  de  la  incĂłgnita  para  los  que  se  cumple  o  satisface  la  ecuaciĂłn  se  le  llama  soluciĂłn  o  raĂ­ces  de  la  ecuaciĂłn.  Por  ejemplo  đ?‘Ľ = 3  es  la  soluciĂłn  de  la  ecuaciĂłn  4đ?‘Ľ + 7 = 19  por  que  al  hacer  la  sustituciĂłn  encontramos  que  la  ecuaciĂłn  se  satisface  4 3 + 7 = 19      12 + 7 = 19  Resolver  una  ecuaciĂłn  es  sinĂłnimo  de  determinar  su  soluciĂłn.  La  estrategia  para  resolver  una  ecuaciĂłn  consiste  en  cambiarla  por  otra  ecuaciĂłn  equivalente  que  sea  mĂĄs  sencilla  que  la  original.  Las  siguientes  propiedades  de  los  nĂşmeros  reales  se  pueden  aplicar  para  producir  ecuaciones  que  tengan  exactamente  la  misma  soluciĂłn  que  la  original.  Propiedades  de  đ??´ = đ??ľ  â&#x;ş đ??´ + đ??ś = đ??ľ + đ??ś  igualdad  de  los  nĂşmeros  reales Â

Las  soluciones  de  una  ecuaciĂłn  no  se  alteran  si  se  le  suma  o  resta  la  misma  cantidad  en  ambos  lados Â

 đ??´ = đ??ľ  ⇔  đ??śđ??´ = đ??śđ??ľ;   đ??ś ≠0  Las  soluciones  de  una  ecuaciĂłn  no  se  alteran  si  se  multiplica  en  ambos  lados  por  la  misma  cantidad  Â

SOLUCIĂ“N  DE  ECUACIONES  DE  PRIMER  GRADO  Y  DE  SISTEMAS  LINEALES.  Comenzaremos  por  explicar  como  resolver  las  ecuaciones  mĂĄs  sencillas,  las  llamadas  ecuaciones  de  primer  grado.  EcuaciĂłn  Una  ecuaciĂłn  lineal  (o  de  primer  grado)  en  la  variable  đ?‘Ľ  es  una  ecuaciĂłn  lineal  que  puede  ser  llevada  a  la  forma  (en  una  variable)  đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? = 0   donde  đ?‘Ž , đ?‘?  son  nĂşmeros  reales  con  đ?‘Ž ≠0. Â

2 |E c u a c i o n e s

Observe que la principal característica de las ecuaciones de primer grado es que la incógnita 𝑥 necesariamente !

esta elevada a la primer potencia. Unas ecuaciones como − 3 = 9 y 𝑥 4 − 𝑥 = 10 ¿son lineales?. !

EJEMPLO

Resolver 7𝑥 − 4 = 3𝑥 + 8 7𝑥 − 4 − 3𝑥 = 3𝑥 + 8 − 3𝑥 propiedad 1, se resta −3𝑥 en ambos lados 4𝑥 − 4 = 8 simplificando 4𝑥 − 4 + 4 = 8 + 4 propiedad 1, se suma 4 en ambos lados 4𝑥 = 12 ! ! !

4𝑥 = 12 propiedad 2, se multiplican ambos lados por ! ! ! 𝑥 = 3

Un método más eficiente se basa en la transposición de términos: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un lado a otro de la ecuación cambiándole su signo.

La trasposición de términos se aplica reiteradamente hasta llevar a la ecuación a la forma 𝑎𝑥 = 𝑏 para finalmente aplicar la propiedad 2.

EJEMPLO Resolver 8𝑥 − 3 = 2𝑥 + 9

8𝑥 − 2𝑥 = 9 + 3 transponiendo: incógnitas a la izquierda y constantes a la derecha 6𝑥 = 12 ! !

6𝑥 = 12 propiedad 2 ! ! 𝑥 = 2

En ocasiones es necesario remover los signos de agrupación antes de transponer los términos.

EJEMPLO Resolver 6 𝑥 − 1 + 4 = 3(7𝑥 + 1)

6𝑥 − 6 + 4 = 21𝑥 + 3 propiedad distributiva 6𝑥 − 21𝑥 = 3 + 6 − 4 transponiendo: incógnitas a la izquierda, constantes a la derecha −15𝑥 = 5 ! ! − −15𝑥 = − 5 propiedad 2 !" !"

1 𝑥 = − 3

Resolver ecuaciones fraccionarias no tiene porque ser más complicado y menos si se dispone de una calculadora que opere con fracciones.

E c u a c i o n e s  |  3    EJEMPLO  Resolver   Â

!!!!

!

!

!

!

! !

! !

! !

! !

! !

− = Â

! !

!

          đ?‘˜ + − đ?‘˜ =                 propiedad  distributiva  !

!

!

!

                đ?‘˜ − đ?‘˜ = −           transponiendo  tĂŠrminos  !

                                        Â

!"

!" !

!

!"

đ?‘˜=

!

!" !"

đ?‘˜ =

  !

!

       propiedad  2 Â

!"

                             đ?‘˜ = 1   Â

Si  las  ecuaciones  fraccionarias  contienen  incógnitas  en  el  denominador  no  son  lineales,  pero  algunas  de  ellas  se  pueden  simplificar  a  una  lineal  si  la  multiplicamos  por  el  mínimo  común  múltiplo  de  los  denominadores.  !

!

!!!

EJEMPLO  Resolver   !!! + !!! = ! ! !!!!  Â

                                 Â

!

!!! !

đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’2

+

+

!!!

! !!! !

!!!

=

!!! !!! !!!

                                                      factorizando Â

= đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’2

!!! !!! !!!

                     multiplicando  por  el  mcm Â

                  đ?‘Ľ − 2 + đ?‘Ľ + 1 = đ?‘Ľ + 3                                   đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 3 + 2 − 1                                                       transponiendo  tĂŠrminos                                                   đ?‘Ľ = 4   CUIDADO Â

Â

Multiplicar  una  ecuación  por  una  expresión  que  contenga  a  la  incógnita  puede  conducir  a  soluciones  extraùas.   Por  eso  es  importante  verificar  la  respuesta.   !

!!!

EJEMPLO  Resolver   2 + !!! = !!!  Â

đ?‘Ľâˆ’4

2+

! !!!

=

!!! !!!

đ?‘Ľ − 4                 multiplicando  por  el  mcm Â

             2 đ?‘Ľ − 4 + 5 = đ?‘Ľ + 1                    2đ?‘Ľ − 8 + 5 = đ?‘Ľ + 1                       propiedad  distributiva                           2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 1 + 8 − 5                transponiendo  tĂŠrminos                                     đ?‘Ľ = 4                               simplificando   Pero  al  sustituir  “la  soluciĂłnâ€?  en  la  ecuaciĂłn  original  el  denominador  se  hace  cero.  AsĂ­  que  đ?‘Ľ = 4  es  una  soluciĂłn  extraĂąa  y  la  ecuaciĂłn  no  tiene  soluciĂłn.  Â

Â

4  |E c u a c i o n e s  Â

DESPEJE  DE  UNA  VARIABLE.  Muchas  fĂłrmulas  en  ciencias  e  ingenierĂ­a  implican  mĂĄs  de  una  variable  y  a  veces  es  necesario  despejar  una  de  ellas,  es  decir  expresar  una  de  las  variables  en  tĂŠrminos  de  las  demĂĄs.  Para  efectuar  el  despeje  pensamos  en  las  demĂĄs  variables  (diferentes  a  la  que  se  despeja)  como  constantes.  EJEMPLO Â

 Â

La  ecuaciĂłn  đ??´ = đ?‘ƒ + đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą  proporciona  la  relaciĂłn  entre  el  valor  đ??´  de  una  inversiĂłn  por  una  cantidad  đ?‘ƒ  despuĂŠs  de  đ?‘Ą  aĂąos,  cuando  la  inversiĂłn  gana  un  interĂŠs  simple  con  una  tasa  de  đ?‘&#x;  por  ciento  por  aĂąo.  Despejar  a) đ?‘ƒ  b) đ?‘Ą  c) đ?‘&#x;   a) đ?‘ƒ  es  la  incĂłgnita,  hay  que  centrar  la  atenciĂłn  en  đ?‘ƒ     −đ?‘ƒ − đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą = −đ??´                        transponiendo:  incĂłgnitas  a  la  izquierda,  constantes  a  la  derecha  −đ?‘ƒ 1 + đ?‘&#x;đ?‘Ą = −đ??´                        factorizando  !!                    đ?‘ƒ =                  propiedad  2  ! !!!" đ??´                   đ?‘ƒ =  1 + đ?‘&#x;đ?‘Ą

Â

b) đ?‘Ą  es  la  incĂłgnita         đ??´ = đ?‘ƒ + đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą  −đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą = đ?‘ƒ − đ??´                            transponiendo  tĂŠrminos  !!!         đ?‘Ą =                                 propiedad  2  !!" đ??´âˆ’đ?‘ƒ         đ?‘Ą =  đ?‘ƒđ?‘&#x;

Â

c) đ?‘&#x;  es  la  incĂłgnita          đ??´ = đ?‘ƒ + đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą   −đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘Ą = đ?‘ƒ − đ??´                            transponiendo  tĂŠrminos  !!!         đ?‘&#x; =                                 propiedad  2          đ?‘&#x; =

!!" !!! !"

Â

Â

SISTEMAS  DE  ECUACIONES  LINEALES  2X2.  Considere  un  conjunto  de  dos  ecuaciones  lineales  con  dos  incĂłgnitas  đ?‘Ž! đ?‘Ľ + đ?‘?! đ?‘Ś = đ?‘?!  đ?‘Ž! đ?‘Ľ + đ?‘?! đ?‘Ś = đ?‘? !

En  donde  đ?‘Ľ, đ?‘Ś  representan  los  mismos  nĂşmeros  en  ambas  ecuaciones,  por  esta  razĂłn  se  dice  que  forman  un  sistema  de  ecuaciones  lineales  simultĂĄneas.  La  soluciĂłn  del  sistema  es  el  par  de  nĂşmeros  {đ?‘Ľ, đ?‘Ś}  que  satisfacen  a  ambas  ecuaciones. Â

E c u a c i o n e s  |  5   Aunque  existen  varios  mĂŠtodos  para  resolver  un  sistema  de  ecuaciones  lineales,  explicaremos  solo  el  llamado  mĂŠtodo  de  reducciĂłn.  A  grandes  rasgos  el  mĂŠtodo  consiste  en  combinar  ambas  ecuaciones  para  obtener  una  nueva  ecuaciĂłn  lineal  pero  con  una  solo  incĂłgnita;  el  siguiente  ejemplo  describe  el  procedimiento.  Â

4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 4 EJEMPLO  Resolver    đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 15  Â

Se  elige  la  incĂłgnita  a  ser  eliminada,  digamos  la  đ?‘Ś.  Entonces  las  ecuaciones  se  multiplican  por  los  coeficientes  “cruzadosâ€?  de  la  incĂłgnita  elegida   3(4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 4)  +2(đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 15)  Observe  que  a  uno  y  solo  a  uno  de  los  coeficientes  por  los  que  se  estĂĄ  multiplicando  se  le  cambia  el  signo.  Las  nuevas  ecuaciones  obtenida  se  suman  12đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś = 12 2đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś = 30  14đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 42   Esta  última  ya  es  una  ecuaciĂłn  con  una  sola  incĂłgnita  fĂĄcil  de  resolver              14đ?‘Ľ = 42  42                 đ?‘Ľ = = 3  14 Ahora  que  ya  conocemos  el  valor  de  đ?‘Ľ  lo  podemos  usar  en  cualquiera  de  las  ecuaciones  del  sistema  original;  por  ejemplo  en  la  primera      4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 4  4 3 − 2đ?‘Ś = 4        12 − 2đ?‘Ś = 4             −2đ?‘Ś = 4 − 12             −2đ?‘Ś = −8                   đ?‘Ś = 4   Por  lo  que,  como  se  podrĂĄ  comprobar,  la  soluciĂłn  del  sistema  es  {đ?‘Ľ = 3, đ?‘Ś = 4}. Â

 En  algunos  sistemas  la  eliminaciĂłn  de  una  de  las  incĂłgnitas  es  mĂĄs  directa.  2đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = 10 EJEMPLO  Resolver   đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 11  Â

Sumando  directamente  las  dos  ecuaciones  se  elimina  la  đ?‘Ś  2đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = 10 đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 11  3đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 21            3đ?‘Ľ = 21              đ?‘Ľ = 7 Â

6  |E c u a c i o n e s   Sustituyendo  el  valor  de  đ?‘Ľ  en  la  segunda  đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 11  7 + 5đ?‘Ś = 11          5đ?‘Ś = 11 − 7  4            đ?‘Ś =  5 !

La  solución  del  sistema  es  {� = 7, � = }.  !

Â

SOLUCIĂ“N  DE  ECUACIONES  DE  SEGUNDO  GRADO.  Ahora  se  revisaran  algunos  de  los  mĂŠtodos  para  resolver  ecuaciones  de  segundo  grado  en  una  incĂłgnita.  EcuaciĂłn  Una  ecuaciĂłn  cuadrĂĄtica  en  đ?‘Ľ  es  una  ecuaciĂłn  que  puede  ser  escrita  en  cuadrĂĄtica  su  forma  canĂłnica  đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0   donde  đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?  son  nĂşmeros  reales  con  đ?‘Ž ≠0.  A  estas  ecuaciones  tambiĂŠn  se  les  llama  ecuaciones  polinĂłmicas  de  segundo  grado  en  đ?‘Ľ .  Â

SOLUCIĂ“N  POR  FACTORIZACIĂ“N.  Algunas  ecuaciones  cuadrĂĄticas  se  pueden  resolver  factorizando  y  recurriendo  a  la  siguiente  propiedad  bĂĄsica  de  los  nĂşmeros  reales  Propiedad  del   producto  nulo  de  los   nĂşmeros  reales Â

đ??´đ??ľ = 0    si  y  solo  si    đ??´ = 0    o    đ??ľ = 0 Â

 En  palabras:  si  el  producto  de  dos  cantidades  es  igual  a  cero  es  porque  al  menos  una  de  esas  cantidades  es  igual  a  cero.  Entonces  la  estrategia  consiste  en  llevar  la  ecuaciĂłn  cuadrĂĄtica  a  su  forma  canĂłnica,  factorizar  su  lado  izquierdo  y  finalmente  aplicar  la  propiedad  del  producto  nulo  sobre  cada  uno  de  los  factores.  EJEMPLO  Â

Resuelva  por  factorizaciĂłn  las  siguientes  ecuaciones   a) 2đ?‘Ľ ! − 7đ?‘Ľ + 6 = 0   factorizando  đ?‘›! = −3 12  đ?‘›! = −4           −7     Â

E c u a c i o n e s | 7

entonces

1 2𝑥 − 3 2𝑥 − 4 = 0 2

de donde

2𝑥 − 3 = 0 ó 2𝑥 − 4 = 0 3 4 𝑥 = 𝑥 = = 2 2 2

!

Por lo que las soluciones son 𝑥 = , 2 ! b) 6𝑥 ! − 3𝑥 = 0

Aquí la factorización es más directa 3𝑥 2𝑥 − 1 = 0 De donde 3𝑥 = 0 ó 2𝑥 − 1 = 0 1 𝑥 = 0 𝑥 = 2 !

Las soluciones son 𝑥 = 0, . !

c) 9𝑥 ! + 1 = 6𝑥

Antes de factorizar la escribimos en su forma canónica 9𝑥 ! − 6𝑥 + 1 = 0 Ahora se factoriza 𝑛! = −3 9 𝑛! = −3 −6 entonces 1 9𝑥 − 3 9𝑥 − 3 = 0 9 De donde 9𝑥 − 3 = 0

! ! 𝑥 = = ! !

! entonces la única solución es 𝑥 = . !

Cuando la ecuación cuadrática solo tiene una solución se dice que presenta una raíz doble. Acordemos que en caso de obtener más de una solución las escribiremos en orden creciente

Los ejemplos anteriores han mostrado la utilidad de la propiedad del producto nulo, que como su nombre lo indica solo se aplica cuando el producto es igual a cero.

CUIDADO

El siguiente es un razonamiento equivocado Si 𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 8 entonces

𝑥 − 5 = 8 ó 𝑥 + 2 = 8 “error”

8 |E c u a c i o n e s

La solución por factorización funciona bastante bien cuando se cuenta con habilidad para factorizar trinomios, un tema ya estudiado. Pero es importante tener presente que no todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por factorización. Si la ecuación en cuestión no posee raíces racionales el método fracasará.

El siguiente método tiene a su favor que siempre nos conduce a la solución, sin importar si las raíces son racionales o irracionales (¡incluso si no son reales!).

SOLUCIÓN MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA. Utilizando la técnica para completar cuadrados es posible deducir una fórmula general que se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Fórmula La soluciones de la ecuación Cuadrática 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0 están dadas por −𝑏 ± 𝑏 ! − 4𝑎𝑐 𝑥=

2𝑎

La fórmula cuadrática es una de las más importantes fórmulas del álgebra, procure memorizarla y aplicarla correctamente.

EJEMPLO Use la fórmula cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones

a) 2𝑥 ! + 5𝑥 = 12

2𝑥 ! + 5𝑥 − 12 = 0 se escribe en forma canónica 𝑎 = 2, 𝑏 = 5, 𝑐 = −12 se identifican los valores de los parámetros

𝑥=

!!± !! !! ! !!" ! !

se aplica la fórmula cuadrática 𝑥=

!!± !"! !

𝑥=

−

!" ! ! !

=

!!±!!

= −4 =

!

!

la ecuación tiene 2 raíces reales distintas

!

b) 𝑥 ! = −3𝑥 + 8

𝑥 ! + 3𝑥 − 8 = 0 se escribe en forma canónica 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = −8 se identifican los valores de los parámetros

𝑥=

!!± !! !! ! (!!) !(!)

se aplica la fórmula cuadrática 𝑥=

!!± !" !

E c u a c i o n e s  |  9    !!! !" ! !!! !"

đ?‘Ľ=

!

Â

≈ 1.70

≈ −4.70

                                 las  raĂ­ces  son  irracionales Â

 c) 4đ?‘Ľ ! + 12đ?‘Ľ + 9 = 0   đ?‘Ž = 4, đ?‘? = 12, đ?‘? = 9   đ?‘Ľ=

!!"Âą !"! !! ! (!) !(!)

Â

=

!!"Âą ! !

 Â

!

đ?‘Ľ = −                                                      la  ecuaciĂłn  tiene  una  raĂ­z  doble  !

Â

!

d) 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ + 4 = 0   đ?‘Ž = 2, đ?‘? = −3, đ?‘? = 4   đ?‘Ľ=

!Âą

!! ! !! ! (!) !(!)

=

!Âą !!" !

           la  raĂ­z  cuadrada  de  un  nĂşmero  negativo Â

                                                                        no  esta  definida Â

 đ?‘Ľ = ∅                                                       la  ecuaciĂłn  no  tiene  soluciones  reales  Â

e) 16.3đ?‘Ľ ! − 197.6đ?‘Ľ + 7.042 = 0   đ?‘Ž = 16.3, đ?‘? = −197.6, đ?‘? = 7.042   đ?‘Ľ=

!"#.!Âą

!!"#.! ! !! !".! (!.!"#) !(!".!)

       mientras  los  coeficientes  sean  reales  la  fĂłrmula Â

                                                                          cuadrĂĄtica  sigue  siendo  vĂĄlida Â

 �=

!"#.!Âą !"#"$.! !".!

=

0.036 Â Â 12.09

 CUIDADO Â

Un  error  muy  comĂşn  es  pasar  por  alto  que  el  factor  2đ?‘Ž  divide  a  todo  el  numerador  de  la  fĂłrmula  cuadrĂĄtica   Â

đ?‘Ľ = −đ?‘? Âą

 El  siguiente  teorema  es  importante  Â

Â

! ! !!!" !!

     “error  frecuenteâ€? Â

10  |E c u a c i o n e s    Teorema  Si  đ?‘&#x;  es  una  raĂ­z  de  la  ecuaciĂłn  entera  đ?‘? đ?‘Ľ = 0,  entonces  đ?‘Ľ − đ?‘&#x;   es  un  del  factor  factor  del  polinomio  đ?‘?(đ?‘Ľ),  y  viceversa.   De  alguna  manera  el  teorema  nos  indica  que  factorizar  y  encontrar  raĂ­ces  son  problemas  equivalentes:  si  factorizar  ayuda  a  encontrar  las  raĂ­ces  de  la  ecuaciĂłn   đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0,  entonces  encontrar  las  raĂ­ces  ayuda  a  factorizar  el  trinomio  đ?‘Ž đ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?.   El  procedimiento  es  sencillo,  Si   đ?‘&#x;! , đ?‘&#x;!   son  las  raĂ­ces  de  đ?‘Ž đ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0  entonces  ! đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = đ?‘Ž đ?‘Ľ − đ?‘&#x;! (đ?‘Ľ − đ?‘&#x;! ) Â

Â

Si  la  factorizaciĂłn  de  đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?  se  torna  complicada  entonces  eche  mano  de  la  fĂłrmula  cuadrĂĄtica  para  encontrar  las  raĂ­ces,  el  resto  serĂĄ  sencillo.  EJEMPLO  Factorice  20đ?‘Ľ ! + 7đ?‘Ľ − 6   con  ayuda  de  la  fĂłrmula  cuadrĂĄtica    Usando  la  fĂłrmula  cuadrĂĄtica       đ?‘&#x;! = −

!

20đ?‘Ľ + 7đ?‘Ľ − 6 = 0 Â

đ?‘&#x;! =

 entonces  20 đ?‘Ľ − −

! !

 4 5 Â

đ?‘Ľ+

! !

đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Ľâˆ’

! !

! !

!

! !

 Â

!

  =

4

đ?‘Ľ+

! !

(5) đ?‘Ľ −

! !

 Â

4đ?‘Ľ + 3 (5đ?‘Ľ − 2)   Â

DOMINIO  DE  EXPRESIONES  RACIONALES.  Ahora  que  hemos  aprendido  a  resolver  ecuaciones  podemos  retomar  el  estudio  de  las  expresiones  racionales  y  hacer  un  anĂĄlisis  de  su  dominio.  Dominio  de  El  conjunto  de  todos  los  nĂşmeros  reales  para  los  cuĂĄles  una  expresiĂłn  una  expresiĂłn  algebraica  esta  definida  se  llama  domino  de   la  expresiĂłn.  Son  los  valores  de  la  variable  para  los  que  las  operaciones  implĂ­citas  en  la  expresiĂłn  tienen  sentido.  Â

E c u a c i o n e s  |  11   En  particular,  en  el  dominio  de  una  expresiĂłn  racional  no  se  incluyen  los  valores  que  conducen  a  una  divisiĂłn  por  cero.  EJEMPLO  Determine  el  dominio  de  las  siguientes  expresiones  !!!  a)  !!!!  Hay  que  evitar  la  divisiĂłn  por  cero,  ello  equivale  a  averiguar  para  cuales  valores  de  đ?‘Ľ  el  denominador  2đ?‘Ľ + 4  se  hace  cero:   2đ?‘Ľ + 4 = 0  2đ?‘Ľ = −4  ! đ?‘Ľ = − = −2   !  este  es  el  valor  que  hay  que  omitir  del  dominio.  Entonces  el  dominio  es  â„? − −2 ,  “todos  los  nĂşmeros  reales  excepto  el  dos  negativoâ€?.  Â

b)

! ! ! !!!!!

Â

 Los  valores  para  los  que  el  denominador  se  hace  cero  se  pueden  encontrar  con  la  fĂłrmula  cuadrĂĄtica  đ?‘&#x; =2 đ?‘Ľ ! − 5đ?‘Ľ + 6 = 0 !  đ?‘&#x;! = 3  Estos  son  los  valores  que  hay  que  omitir  del  dominio,  entonces  el  dominio  es  â„? − {2,3}.         Â

Â

Â

Ahora  es  tiempo  de  que  practiques  resolviendo  los  ejercicios  de  la  ACTIVIDAD  1.6 Â

Â