2 1 conceptos básicos

C o n c e p t o s  b ĂĄ s i c o s  d e  T r i g o n o m e t r Ă­ a  |  1  Â

2.1  Conceptos  bĂĄsicos  de  TrigonometrĂ­a  Comenzamos  un  repaso  de  TrigonometrĂ­a  describiendo  los  ångulos,  y  dos  mĂŠtodos  para  medirlos:  en  grados  y  radianes;  mĂĄs  adelante  aprenderemos  a  resolver  triĂĄngulos  rectĂĄngulos  y  oblicuĂĄngulos.  Un  ångulo  estĂĄ  determinado  por  la  rotaciĂłn  de  una  semirecta  respecto  a  su  punto  inicial  o  vĂŠrtice.  La  posiciĂłn  inicial  de  la  semirecta  es  el  lado  inicial  del  ångulo,  y  la  posiciĂłn  de  la  semirecta  despuĂŠs  de  la  rotaciĂłn  es  el  lado  terminal.  Se  genera  un  ångulo  positivo  cuando  la  semirecta  gira  en  sentido  anti-­â€?horario,  y  se  genera  un  ångulo  negativo  cuando  la  semirecta  gira  en  sentido  horario.  Â

  La  medida  de  un  ångulo  es  la  cantidad  de  rotaciĂłn  necesaria  para  llevar  a  la  semirecta  desde  su  posiciĂłn  inicial  hasta  el  lado  terminal,  intuitivamente  esto  corresponde  a  que  tanto  “se  abre  el  ånguloâ€?.  Existen  dos  unidades  de  mediciĂłn  ampliamente  difundidas  para  los  ångulos,  los  grados  y  los  radianes.  !

Un  grado  es  igual  a  la  fracciĂłn   de  una  rotaciĂłn  !"# completa  o  revoluciĂłn,  o  equivalentemente  1  rev = 360°.  La  figura  muestra  los  valores  de  los  ångulos  que  corresponden  a  diferentes  fracciones  de  una  revoluciĂłn.  El  ångulo  que  corresponde  a  un  cuarto  de  revoluciĂłn,  es  decir  a  90°,  recibe  un  nombre  especial:  ångulo  recto. Â

  Cuando  dos  rectas  se  interceptan  de  manera  que  el  ångulo  formado  entre  ellas  es  recto  se  dice  que  son  perpendiculares,  simbĂłlicamente  se  indica  asĂ­  đ?‘™! ⊼ đ?‘™!  .  Mientras  que  cuando  las  rectas  nunca  se  interceptan  por  mĂĄs  que  se  prolonguen  se  les  llama  paralelas  y  se  simboliza  đ?‘™! âˆĽ đ?‘™! . Â

paralelas Â

perpendiculares Â

đ?‘™! ⊼ đ?‘™! Â

Â

 đ?‘™! âˆĽ đ?‘™! Â

Â

2  |  C o n c e p t o s  b ĂĄ s i c o s  d e  T r i g o n o m e t r Ă­ a   En  geometrĂ­a  plana  existen  tres  sencillas  reglas  que  son  de  gran  utilidad  Regla  1  Cuando  dos  rectas  se  intersecan,  los  ångulos  opuestos  que  se  forman  son  ångulos  opuestos  iguales:  ångulos  opuestos  por  un  mismo  vĂŠrtice  son  de  igual  magnitud. Â

Â

Â

Regla  2  Cuando  una  recta  interseca  a  un  par  de  rectas  paralelas  los  ångulos  ångulos  alternos  alternos  internos  son  de  igual  magnitud.   đ??´ = đ??ˇ  đ??ľ = đ??ś    Regla  3  ångulos  En  cualquier  tipo  de  triĂĄngulo,  la  suma  de  sus  ångulos  internos  es  igual  a  internos  de  un  180°.  triĂĄngulo  đ??´ + đ??ľ + đ??ś = 180°   EJEMPLO  Calcule  el  valor  del  ångulo  D  por  medio  de  la  geometrĂ­a  Â

Â

Â

 Por  la  regla  3  đ??´ + 30° + 90° = 180°  đ??´ = 180° − 30° − 90° = 60°  Por  la  regla  1  đ??ľ = đ??´ = 60°  Por  la  regla  2  đ??ś = đ??ľ = 60°  Luego,  de  la  figura  đ??ś + đ??ˇ = 180°  đ??ˇ = 180° − 60° = 120° Â

  Â

C o n c e p t o s  b ĂĄ s i c o s  d e  T r i g o n o m e t r Ă­ a  |  3  Â

RADIANES  Una  segunda  unidad  de  mediciĂłn  para  los  ångulos  son  los  radianes,  este  tipo  de  unidad  es  particularmente  útil  en  cĂĄlculo.  Para  definir  el  radian  es  conveniente  utilizar  un  cĂ­rculo  unitario  Radian  Si  en  una  circunferencia  de  radio  1  se  dibuja  un  ångulo  con  vĂŠrtice  en  el  centro,  entonces  la  medida  de  ese  ångulo  en  radianes  (se  abrevia  rad)  es  igual  a  la  longitud  del  arco  đ?‘  sustendido  por  el  ångulo. Â

Â

đ?œƒ = đ?‘  Â

La  circunferencia  completa  cubre  un  ångulo  de  đ?œƒ = 360°,  y  cuando  la  circunferencia  es  unitaria  su  perĂ­metro  tiene  un  valor  de  đ?‘ = 2đ?œ‹.  Esto  nos  proporciona  un  factor  de  conversiĂłn  360° = 2đ?œ‹  .  ConversiĂłn  grados-­â€?radianes Â

180 180° = đ?œ‹  rad         1  rad = đ?œ‹

Â

°

    1° =

đ?œ‹ rad  180

1. Para  convertir  de  grados  a  radianes  multiplique  por    2. Para  convertir  de  radianes  a  grados  multiplique  por  Â

! !"# !"# !

 Â

 EJEMPLO  Convierta  entre  grados  y  radianes   a) Exprese  135°  en  radianes   135° = 135 Â

đ?œ‹ 135 3 = đ?œ‹ = đ?œ‹  rad  180 180 4

!

b) Exprese  đ?œ‹  en  grados  !

9 9 đ?œ‹= đ?œ‹ 2 2

180 9 = ∙ 180 = 810°  đ?œ‹ 2

 Una  circunferencia  completa  cubre  2đ?œ‹  radianes  y  un  perĂ­metro  igual  a  2đ?œ‹đ?‘&#x;,  mientras  que  un  ångulo  de  đ?œƒ  radianes  solo  sustenta  una  fracciĂłn  đ?‘  del  perĂ­metro  total  de  la  circunferencia.  Proporcionalmente  se  tiene:  đ?œƒ đ?‘ =  2đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?‘&#x; donde  đ?‘  es  la  longitud  de  arco Â

4  |  C o n c e p t o s  b ĂĄ s i c o s  d e  T r i g o n o m e t r Ă­ a   Longitud  de  En  una  circunferencia  de  radio  đ?‘&#x;;  la  longitud  đ?‘  de  un  arco  que  es  arco  circular  sustendido  por  un  ångulo  central  de  đ?œƒ  radianes  es.   đ?‘ = đ?‘&#x;đ?œƒ   EJEMPLO  Â

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a) Encuentre  la  longitud  de  arco  de  un  cĂ­rculo  de  radio  10  m  y  que  es  sustendido  por  un  ångulo  central  de  30°.   SegĂşn  los  datos  ! đ?‘&#x; = 10  m   y   đ?œƒ = 30° =  rad   !

Entonces  đ?œ‹ đ?‘ = 10 ≈ 5.24  m  6 b) Un  arco  circular  de  una  circunferencia  de  radio  4  m  tiene  una  longitud  de  6  m.  Encuentre  el  valor,  en  grados,  del  ångulo  central.   SegĂşn  los  datos  đ?‘&#x; = 4  m   y   đ?‘ = 6  m  Entonces  đ?‘ 6 3 3 180 đ?œƒ = = = rad = ≈ 85.9°  đ?‘&#x; 4 2 2 đ?œ‹

 CUIDADO  Al  utilizar  la  fĂłrmula  đ?‘ = đ?‘&#x;đ?œƒ  asegĂşrese  de  que  el  ångulo  se  mida  en  radianes.  Â

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Ahora  es  tiempo  de  que  practiques  resolviendo  los  ejercicios  de  la  ACTIVIDAD  2.1 Â

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