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3.-CALCULAR LA DERIVADA IMPLICITA DE: 2 3 2 5 X 2 y 3 + xy 2 = 12e x + y x 2 + ln y 3 = 3 x y x 2 + y 3 = ln(2x + y 2 ) 2
2x y + 5 y 3 x = x 2 + y 3
DIFERENCIALES Sea y = F (x ) una función; entonces: dy = diferencial de la funcion ; un diferencial es un N° ≠ 0 (por lo general pequeño).dx = diferencial de x
dy = f ′(x )⋅ dx
El diferencial de la función se obtiene multiplicando la derivada de la función por dx.-
y = F (x ) y
[( x + ∆x ) ; f ( x + ∆x )] ∆y
(x ; y )
dy dx = ∆x
0
x
( x + ∆x )
x
Calcular los diferenciales de las funciones siguientes.
y= x+3
4 x
y=
ln 5 3x 2 + 4 x
y = l Sen 2 x
y = l 2 Cos 10 x
y = 4Tan 10 x
y = Sen −1 4 x 2 + 6
y=5
3
x2
y = Tanh (3x + 2 )
⎛ 2x + 3 ⎞ y = ln ⎜ ⎟ ⎝ 5x ⎠
(
y = ln x 3 + 2x
y = (2 x )
m = 2t
)
ln 5 x
y = 7 x ⋅ Sec 4 x 2
y=
−5 Sen 7 x + l x − ln 5x
3
2
R = S − ln S 2
Q = R ⋅ Sen R 1 ⎛ 6π (t ) − 1 ⎞ y = Cos⎜ ⎟ 3 2 ⎝ ⎠
(
S = C R2 − t 2
)
Ctes.
Ejercicios de diferenciación 1) Calcular el diferencial de las funciones siguientes.
y = x2 −
4 x
y = x 3 − 3x −
y=
2 x4
π
(3x + 1)
2
y = 3x (x 2 + 5 )
P = 50 x − 0.5x 2 − 1.73 E=
1 (9T + 3T 2 − T 3 ) 27
y = 7x − 1
y = 3 (5x + 4 )
y = ln(5x )
y = ln x 3x + 6
(
y = (ln x 2 )
4
y=3
y=l
y = 3x l
y=x
y = x 3 − 8x + 10
y=
2 5x
y=
y=
105
Tan 3x Sen 5x
y=3
−x 2
2 x +5
)
S=
4 T + 2T + 7 2
2
⎛ 3 ⎞ R=⎜ ⎟ ⎝T − 8 ⎠
y=l
2 x
−
x 2
y = (2 x )
3 x +1
5x 2 +7 3x − 9
3 ⎞ ⎛ y = ⎜1 + ⎟ ⎝ 2x ⎠
2(9x − 3)5 17 + 4x
)
x2 +1 5x − 3
y = ln
2x
(
⎛ 1 ⎞ Q = T 2 − 2T ⎜ 2 ⎟ ⎝T ⎠
2
4
(
y = x3 − 2x + 3
−5
(
y=
y = 7 (x
y = 54
3x2
5x
−8
)
7
y = 8l 5 x +4 x
y = (3x )
4 −1 y = + 2 − 3 l7x x x
y = ln (5x + 10x )
y =l x
y = log
y = Cot
8
34
2
(7 x + Tan 4 x )
y=
5x + l − ln10x
y=
3
3x
8 x + 3x2 + 7 x 3
3x 3 + 7 x − 10 −4
( )
3x + Sen 6x
y = l8 x
3
6
y = (1 + 2 x ) 3x 2
y = 6 Sec 5x 2
)
2x
y = ln 4
3x
)
4
2
2 7x x 2 + 3x
y = 0.25x 2 + 1.75x + 10.48
[
]
y = (− 2x 2 + 33x )(17 x − 11)
y = 14 8x 2 + 5x − 3
y = −3x 4 + 5x 2 − 7 x + 102
y=
y=
5x 2 − 11x 7x + 1
⎛ 5x + 8 ⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
y = (− 5x + 3)
2
y = 5x − 7
y =8
2 + 4x 3x − 5
y=
]
−7 (2x + x 3 )
y = (− 7 x + 6 )
4
3
y = [(2x + 1)(5 − 3x )] 3
⎛ 7 ⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ 9x + 3 ⎠
y = 4x 2 − 7 x + 9
y=
3 x+ 7
3 x 2 +5 x
[
y = ln (x 2 + 1)(Cos 8x 2 )
y=4
(5x + 8 )5
y = l5x
5
−8
2
+7 x
y = ln (5x 2 − 4x + 18 )
y = ln (− 4x 3 + 11x 2 )
y = (l 7 x + 5x )
y = log(4x 2 − 7 x )
y = ln 3x + 7
⎛ −9 ⎞ y = log⎜ ⎟ ⎝ 3x + 5 ⎠
y = ln (7 x 2 )
y = ln(3x + 4 )
y = 5x 2 + 3
y = x 2 + 3x
[(
y = log 7 5x 2 − 8x
2)
6
2
)]
Calcular el diferencial de:
y = 4x 2 − 7 x + 10
y = l7x
2
y = Cos 7 x y = 510 x
y = l 4x
2
2
3) Calcular el diferencial de las funciones implícitas:
(
y = 4 x3
)
3
x2 + y3 = 8 x 2 + y 3 = 5x − 3 y 2
x 2 y 3 + xy 2 = 12l x 2
2
+ y3
2x y + 5 y 3 x = x 2 + y 3
xy 2 = 4
x 3 + 2 x3 y 4 = 7x + 2 y
x2 = 4 x − 5 y 2 + 10 3 y
lx
x 2 + ln y 3 = 3 x
2 5
y
2
+ y3
(
= ln x 3 + 4 y
x 2 + y 3 = ln (2x + y 2 )
)