INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 2.- LA RECTA Definimos una rec ta r c omo el co njunto d e los p untos del pla no, a linea dos c on un punto P y con una d irecc ión dada
.
ECUACIONES DE LA RECTA Ec uac ió n c on pen die nte y orden ada al origen . E cuac ió n con pun to y pen die nte .
Ec uac ió n general d e la recta
E l coe ficiente de la x es la pen diente , m .
E l térm ino independiente, b, se lla ma orden ada en el orige n de un a recta, sie ndo (O , b) el punto de corte co n el eje OY
Pendie nte d ado el á ngulo
Pendie nte d ado el v ector dire cto r de la rec ta
Pendie nte d ados d os puntos
Si el á n gulo que forma la re cta con la pa rte positiv a d el eje O X es a gudo , la pend ien te es positiva y crec e a l crece r el á ngulo. S i el á ngulo que forma la rec ta con la pa rte posit iv a del e je OX es ob tuso, la pend ie nte es n ega tiva y dec rec e a l cre cer e l á ngulo.
EJE RCICIO S R ESUE LTOS 1) Obténgase la ecuación de la recta que pasa por P (2,3) y tiene una inclinación de 45°. PRIMER PASO: Obtener la pendiente de la recta. m = tan 45° = 1 :. m = 1 SEGUNDO PASO: Aplicar la fórmula de la recta-pendiente, donde x1 = 2, y1 = 3, m =1 y realizando operaciones: y - y1 = m (x - x1) y - 3 = 1 (x - 2) y-3=x-2 x-y–2+3=0 Ecuación general x - y + 1= 0 Despejando y y=x+1
2) Pasa por Q (5,-2) y de pendiente igual a -2. Aplicar la fórmula de la recta-pendiente con x1 = 5, y1 = -2, m = -2 y realizando operaciones. y- y1 = m (x - x 1) y - (-2) = -2(x - 5) y + 2 = -2x + 10 2x + y + 2 – 10 = 0 Ecuación general 2x + y – 8 = 0 Despejando y y = - 2x + 8
3) Tiene una pendiente igual a -3 y ordenada al origen igual a -2/3. Aplicar la ecuación pendiente y ordenada al origen, con m = -3, b = -2/3 y realizando operaciones. y - y1 = m (x - x1) y = mx + b y = -3x - 2/3 (3x + y + 2/3 = 0)3 9x + 3y + 2 = 0 Despejando y y = (- 9x – 2) / 3
4) Pasa por el punto P (-4,1) y forma con x’x un ángulo tal que α= arc. tan 5. PRIMER PASO: Obtener la pendiente de la recta. m = tan α tan a = 5, entonces m = 5 SEGUNDO PASO: Aplicar la fórmula de la recta-pendiente donde x1 = -4, y1 = 1, m = 5 y realizando operaciones. y - y1 = m (x - x1) y - 1 = 5 (x + 4) y - 1 = 5x + 20 5x - y + 1 + 20 = 0
5x – y + 21 = 0 Despejando y y = 5x + 21
5) Pasa por el punto P (3/5, -7) y de pendiente cero. Aplicar la ecuación pendiente y ordenada al origen con, x = 5/3, b = -7, m = 0 y realizando operaciones. y = mx + b y = 0 (5/3) - 7 y = -7
LA RECTA TODA ECUACION DE PRIMER GRADO CON LAS VARIABLES “X”, “Y” QUE ESTEN SUMANDO O RESTANDO REPRESENTA UNA RECTA. EJEMPLOS:
2 +
=6
EN GENERAL: AX+BY=C
−
+
=4
4 −
= −20
DONDE A, B, C SON NUMEROS REALES.
2.- PARA GRAFICAR LAS ECUACIONES ANTERIORES PODEMOS: a).- HACER UNA TABULACION DANDOLE VALORES A LA “X” Y LUEGO CALCULANDO LOS DE “Y”, EN ESTE CASO CON DOS VALORES ES SUFICIENTE, YA QUE UNA RECTA SE DEFINE CONOCIENDO DOS DE SUS PUNTOS. 2X+Y=6 SI X=-1
2(-1)+Y=6
SI X=2
2(2)+Y=6
-2+Y=6 Y=2+6 Y=8 UN PUNTO A= (-1; 8) 4+Y=6 Y=6-4 Y=2 UN PUNTO B= (2; 2)
GRAFICANDO LOS PUNTOS Y UNIENDO OBTENEMOS LA RECTA.
A
B
b).- OTRA FORMA DE GRAFICAR UNA RECTA ES CALCULAR LAS INTERSECCIONES O CRUCES CON LOS EJES. PARA ESTO, SI QUEREMOS CONOCER EL VALOR DE “X” DONDE LA RECTA CORTA A ESE EJE, HACEMOS Y=0 (TODOS LOS PUNTOS SOBRE EL EJE “X” TIENEN Y=0). POR OTRO LADO SI QUEREMOS CONOCER EN QUE VALOR DE “Y” LA RECTA CORTA A ESE EJE, HACEMOS X=0 2 +
=6
PARA EL CRUCE CON “X” HACER Y=0
; 2 +0 =6 ;
PARA EL CRUCE CON “Y” HACER X=0
; 2(0) +
2 =6 ;
=6 ;
= =3
=6
6
3
3.- ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMPLIFICADA. =
+ =
=
=
(
=
" "
X
)
( ) ( )
DESPEJANDO LA “Y” DE LA ECUACION 2 +
=6
= −2 + 6
ENTONCES b= 6 Y LA RECTA CORTA AL EJE “Y” EN Y=6 Y TENIENDO UNA PENDIENTE 2 −2 2 = −2 = − = = 1 1 −1
AHORA PARA GRAFICAR MEDIMOS A PARTIR DE Y=6 DOS UNIDADES HACIA ABAJO (-2) Y LUEGO 1 A LA DERECHA (+1), O BIEN:
A PARTIR DE “b” (Y=6) 2 HACIA ARRIBA (+2) Y 1 A LA IZQUIERDA (-1). UNIENDO b=6 CON EL FINAL DE ESTE TRAZO OBTENEMOS LA GRAFICA DE LA RECTA.
8
6
6 4
1
-1
4.- ECUACION DE LA RECTA A POYADA EN DOS PUNTOS. (
PODEMOS CONOCER DOS PUNTOS POR DONDE PASA UNA RECTA
,
)
(
CON ESTO PODEMOS CALCULAR SU ECUACION, UTILIZANDO LA FORMULA SIGUIENTE. − −
− −
=
,
,
EJEMPLO: CALCULAR LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR: (2, −3) (
)
=
(
(4, 7)
)
+3 7+3 = −2 2
B
+ 3 10 = −2 2 + 3 = 5( − 2) = 5 − 10 − 3 = 5 − 13
A
,
)
5.- ECUACION DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE. SI CONOCEMOS UN PUNTO (
,
) DE UNA RECTA Y SU PENDIENTE O INCLINACION “m”. −
PODEMOS CALCULAR SU ECUACION UTILIZANDO LA FORMULA
EJEMPLO: (−3, 4)
OBTENER
LA
ECUACION
− 4 = 6[ − (−3)]
− 4 = 6( + 3)
= 6 + 18 + 4
=
6( 1(
DE LA =6
= 6 + 22
RECTAN
=
QUE
( −
).
PASA
− 4 = 6 + 18 .
) )
1 6 P
4
-3
6.- ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA.
+
=1
DONDE: a=CRUCE CON EL EJE DE LAS “X” B=CRUCE CON EL EJE DE LAS “Y”. LLEVANDO LA ECUACION DE UNA RECTA A ESTA FORMA SE FACILITA SU GRAFICACION. EJEMPLO:
POR
EL
PUNTO
2 +
= 6 COMO EN EL SEGUNDO MIEMBRO DEBE DE HABER UN 1, DIVIDIMOS TODO ENTRE 6
+ =
,
.
2 2 + =1 6 6 2
6 3
3
+
6
=1
EJEMPLO: −3 + 5 = 2
−3 5 2 + = 2 2 2
2/5
5 −3 −3 + 5 = 1 2 2 −3 5
2 −3
+
2 5
-2/3
=1
7.- CALCULO DE LA PENDIENTE “m” DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS POR DONDE PASA. (
,
)
(
,
) ;
=
− −
EJEMPLO: UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (3, −1) (3, −1),
=
(−5, 7)
7+1 8 = = −1 −5 − 3 −8
(−5, 7), ¿QUE PENDIENTE TIENE?
SI “m” ES POSITIVA, LA RECTA FORMA CON LA PARTE POSITIVA DEL EJE “X” MEDIDO CONTRARELOJ UN ANGULO MENOR DE 90 °
SI “m” ES NEGATIVA, LA RECTA FORMA CON LA PARTE POSITIVA DEL EJE “X” MEDIDO CONTRARELOJ UN ANGULO MAYOR DE 90° PERO MENOS DE 180°
m=+
m=-
UNA RAMPA TENDRA 4 METROS DE LONGUITUD Y UN ANGULO RESPECTO A LA HORIZONTAL DE 45°¿CUAL ES SU ECUACION? LA ECUACION VARIA, DEPENDIENDO DE DONDE SE UBIQUE EL ORIGEN, PERO LA PENDIENTE “m” ES CONSTANTE. = tan 45° = 1
= tan
4
4 45°
45° = ,
sin 45° = =
4 45°
,
+ 2.83
=
= 4 sin 45° = 2.83
8.- PROPIEDAD DE LAS RECTAS PARALELAS. DOS RECTAS SON PARALELAS SI SUS PENDIENTES SON IGUALES. =
EJEMPLO, LAS RECTAS
+ 5,
=
− 3 SON PARALELAS YA QUE
=
=
ESTO SE DEMUESTRA GRAFICANDO.
5
-3
9.- PROPIEDAD DE LAS RECTAS PERPENDICULARES. SUS PENDIENTES SON RECIPROCAS Y DE SIGNO CONTRARIO, DE TAL FORMA QUE: RECTA 1
=
RECTA 2
=−
=
2 3
−
+4
=
−6
=−
3 −1 2
LA COMPROBACION SE HACE GRAFICANDO:
4
-6
= −1
LAS DOS RECTAS AL CRUZARSE FORMAN UN ANGULO DE 90° .
10.- ANGULO ENTRE DOS RECTAS. SE REQUIEREN LAS PENDIENTES DE LAS RECTAS Y SE LLAMARA RECTA 1 ( ) A LA QUE FORME EL MENOR ANGULO CON LA PARTE POSITIVA DEL EJE DE LAS “X” Y RECTA 2 ( ) A LA QUE FORME CON LA PARTE POSITIVA DEL EJE DE LAS “X” EL MAYOR ANGULO.
= tan
− 1+
EJEMPLO: ENCONTRAR EL MENOR ANGULO ENTRE LAS RECTAS: =
−1
;
= + 1 PRIMERO GRAFICAREMOS PARA DEFINIR QUIEN SERA LA RECTA 1 Y LA 2.
1
-1
DE ACUERDO AL DIBUJO LA RECTA QUE CORTA AL EJE “Y” EN Y=1, TIENE AL EJE DE LAS “Y” EN Y=-1, TIENE
= tan
1−
1 2
1 1 + (1) 2
= tan
=1
1 2 = 18.43° 3 2
=
Y LA RECTA QUE CORTA
CALCULAR LOS ANGULOS INTERIORES, EL PERIMETRO Y EL AREA DEL TRIANGULO DEFINIDO POR LOS PUNTOS DADOS. (−4, 3)
(5, 6)
(8, −1)
B
PARA LOS ANGULOS CALCULAMOS LAS PENDIENTES DE LOS LADOS DEL TRIANGULO.
A
=
6−3 1 = 5+4 3
=
1 −1 − 3 −4 = =− 12 3 8+4
=
−1 − 6 −7 7 = =− 8−5 3 3
C
ANGULO “A”
=
=
;
=
=−
; “A”=tan
= 36.89°
ANGULO “B”
=
=
;
=
=−
; “B”=tan
= 180° − 85.24° = 94.76°
ANGULO “C”
=
=−
;
=
=−
; “C”=tan
= 48.37°
COMPROBACION, SUMA DE ANGULOS INTERIORES: A+B+C=180° PARA EL PERIMETRO: =
(5 + 4) + (6 − 3) = 9.49
= (8 + 4) + (−1 − 3) = 12.65 = (8 − 5) + (−1 − 6) = 7.62 PERIMETRO=29.76U.L.
PARA EL AREA PODEMOS USAR LAS COORDENADAS (VISTO EN HOJAS ANTERIORES) O USAR LA FORMULA SIGUIENTE: =
sin
SIENDO b=
= 9.49 Y SIENDO c=
= 12.65
1 = (9.49)(12.65) sin(36.87° ) = 36.02 2