Unidad 2 funciones

UNIDAD 2 CALCULO DIFERENCIAL DEFINICION DE FUNCIÓN: una función es una expresión matemática en la que aparecen variables y constantes relacionadas.

Las variables en este curso serán dos: Una llamada variable dependiente y otra variable independiente.

Una función puede ser expresada de cuatro formas 1.-En palabras 2.-Por medio de una formula 3.-Por medio de una tabla de valores 4.-Por medio de una grafica EJEMPLO 1 Un vendedor de enciclopedias en CD (5 discos) en ventas casa por casa, recibe $15.00 diarios más $4.00 por cada enciclopedia vendida El enunciado anterior nos muestra una función en la que las variables son el sueldo “S” y el numero “X” de enciclopedias vendidas por día, encontramos además en el enunciado dos constantes, que son el 15 y el 4.

S = Variable Dependiente: VARIABLE, Porque no todos los vendedores ganaran lo mismo DEPENDIENTE, Porque depende del no. de enciclopedias que venda X = Variable Independiente: VARIABLE, Porque no todos los vendedores acomodan el mismo no. de artículos por día.

INDEPENDIENTE, Porque se requiere primero que existan ventas para que el sueldo varíe.

El enunciado del ejemplo 1 puede ser representado por medio de una expresión matemática o formula, como se muestra a continuación: SIENDO: S = sueldo de un empleado X = N° de enciclopedias vendidas por día S = 15 + 4 x = F(X) El sueldo como una función de la venta X También podemos mostrar el enunciado por medio de una tabla de valores S = sueldo diario de un empleado X = no de enciclopedias vendidas por un día

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

S

15

19

23

27

31

35

39

43

47

51

En forma grafica podemos representar el enunciado del ejemplo 1 donde podremos observar el comportamiento de las ventas en una semana y que repercuten en el sueldo S

100 80 60 40 20 DIAS 0 L

M

M

J

V

S L

2.- Una compañía aérea con aviones de J50 plazas, cobra en cierta ruta $ 60 por persona para grupos de un mínimo de 35 personas. Por cuestiones de competencia ofrece un descuento de $ 1 menos por persona, por cada persona que sobrepase a los 35.

El enunciado del ejemplo 2 involucra el ingreso (I) de la compañía como variable dependiente del no. X de pasajeros extra que es la variable independiente.

Lo anterior se puede expresar de la siguiente manera: Si X = N° de pasajeros extra; I = Ingreso de la compañía X = 0 ; I = (35) (60) X = 1 ; I = (36) (59) X = 2 ; I = (37) (58)

 

I = ( 35+ X ) (60 - X) = f (x)

También en forma de tabla tendríamos

Que también podríamos graficar X

I($)

0

2100

1

2124

2

2146

y

2100 x 0

1

2

3

4

5

3

2166

4

2184

5

2200





EJEMPLO 3.- Expresar el área de un triangulo equilátero como una función de uno de sus lados.

A= 2x 2x

2 x.y  xy 2

Del triangulo

2x

y

y

x

x

x 2x

2x  x2  y2  2



A  x .x

A  x

2

3

3 

f ( x )

y 

4x2  x2

y 

3x 2

y  x 3



EJEMPLO 4.- Expresar la longitud de una cuerda de circunferencia de radio=8 como una función de la distancia de esta al centro.

Del triangulo 8

l 2

C x



2

 l  2 2    x  8  2  l2  x 2  64 4 l 2  ( 64  x 2 ) 4 l  l  2

4 ( 64  x 64  x

2

2

) 

 =Longitud de la cuerda. x = Distancia del centro a la cuerda.

CLASIFICACION DE FUNCIONES: Las funciones por los elementos que las constituyen reciben un nombre: Así encontramos las funciones algebraicas Ejemplo: y  3 x 2  7 x  8  polinomica x 2  5x  racional 3x  1 y  3 x  12  raiz y

y  ( x  3)(2 x  5)  producto

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejemplos: Y  SENX Y  COSX Y  TAN (3 X  1) FUNCIONES EXPONENCIALES Ejemplos: Y=2x Y= (0.5) x

f (x)

FUNCIONES LOGARITMICAS Ejemplos: ln=logaritmo natural, base e y  ln x Log=logaritmo decimal, base 10 y  log x FUNCION INVERSA Si y = x + 3 es

y = f (x)

Método para encontrar la inversa y = f 1 (x) 1.- Dada y = f(x) 2.- Despejar x para obtener x= f(y) 3.- Para expresar f 1 como una función de x; Intercambiar x por y  el resultado es la función inversa y= f 2.3.-

x= y -3 y = x-3= f

Ejemplo:

1

y=x

2.- x 3 = y – 2

(x) 3

+ 2 = f(x)  función 

1

3.- f (x)= 3 x  2 Ejemplo: 2.3.-

3.-

3 y2

 inversa de la función

1  x = f(x)



la función

y 2 = -1 –x  x= -y 2 -1 y= -x 2 -1  f 1 (x)= -x 2 -1

Ejemplo: 2.-

y=

x=

y = e x = f(x)



 inversa de la función

función

ln y = ln e x  ln y = x .ln e ; ln e = 1   x= ln y y = ln x = f 1 (x)  función inversa:

Ejercicios: calculable f 1 (x) Y = 2x +1 ; y= 2 x  3 Una función por partes: 1-x si x  1 Sea: y = F(x)= x 2 si x > 1

1

(x)

Esta función se compone de dos partes: y

Y= 1-x para

Y=x

2

X Y

…

-2 3



-1 2

0 1

16

1 0

9 4

para

X Y

1 1

2 4

3 9

4 16

3 2 1

x -2

-3

Ejemplo: Y= x

-1

1

2

3

x si x  0 x si x < 0

= f(x) =

y

1° parte: y = x 2° parte: y = -x

X Y

1°

2°

X Y

2°

0 0 -2 2

1 1 -1 1

1°

x

2 2

0

0 0

FUNCIONES IMPLICITAS. No siempre encontramos la Y = f (x)  Ejemplos de funciones explícitas: Y= 2 x - 3; y = x 2 + 1; y= Nos encontramos a veces con: a) 2x + y = -3 b) x 2 + y 2 = 16

2x  8 ;

c) x 3 + y

y = tan x

3

=6xy

Estos tres ejemplos anteriores se llaman funciones implícitas en los ejemplos a) y b) podemos despejar la y  a) y = + 2 x -3 = f(x) b) y =  16  x 2 = f(x)

estas funciones se llevaron de la forma implícita a la forma explícita.

Pero en el ejemplo c) no es posible.

Otros ejemplos de este tipo de funciones son: x 2 + 3x + x . y = 5 x y=4 Cos (x - y)= x .e x x sen y + cos 2 y = cos y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 25 (x 2 - y 2 ) Si y = f(x) es una función e I ( a , b) es un intervalo donde la función está definida y además x 1 ; x 2 son dos números dentro de ese intervalo que cumplen con x 1 < x 2 entonces la función es: a) Creciente: si f(x 1 ) < f (x 2 ) y b) decreciente: si f(x 1 ) > f (x 2 ) y= F(X) a) b) x x

x 2

1

x

1

x

2

Función Par: Sea y=f(x) una función que será par si guarda su grafica simetría con el eje Y además si al cambiar “X” por “-X” la función queda igual.

Ej. y= x 2 ; y = -x 2 + 3 ; y= 16  x 2 y

y

y

4 3 x

x

x

0 0

-4

4

Función impar: Si y= F(x) es una función; será impar si tiene una grafica simétrica con respecto al origen y además al cambiar “x” por “-x”; F (-x)= -F(x)

Ejemplo y= x 3 y

x 0

Determinar si las funciones siguientes son par; impar o ninguna de las dos.Y= x 4 - 4x 2 ; y = x2 + x ; y= x 3 - x x por

-x

x

por

-x

x por y  ( x)3  ( x)

y  ( x)  ( x) 2

y = (-x)

4

-4 (-x)

2

y   x3  x

yx x 2

y= x 2  4 x 2  f ( x)  Es par

y  ( ( x 3  x)   f ( x)

 Es impar

Ninguna de las 2 formas

FUNCIONES PERIODICAS

y  senx ; Para x en radianes;   180 ;

-x

 2

 90 ;

y  cos x Son funciones periódicas y su período es 2 

 3

 60...

Sus graficas son: y  senx Un periodo





y

0





2 -1

0 0

 2 1

 0

3



2 -1

2

5

0

1

 2

3 0

… …

1 

y



3

2

 2

5

2

 



 2

x

3

2

-1

y  cos x Un periodo x y





-1

 2

0





2 0

1 1





0

3



2

2 0

-1

1

5

0

 2

3

…

-1

…

y



3



2

x

2

 -1

2

3

 2

5

 2

Este tipo de funciones sirven para representar modelos de fenómenos repetitivos como: Mareas; resortes vibrantes y transmisión de ondas sonoras.Dominio de una función: Sea y= f(x) una función El dominio de la función se representa por Dx acompañado de un intervalo [a;b]; (a,b); [a,) este intervalo se constituye por los valores de x que la función admite y que nos permiten calcular un valor para y Contradominio o rango de una función y = F(x) se representa por Ry y también un intervalo constituido por los valores de y El dominio y el contradominio sirven para elaborar una grafica.

Ry

Gráfica de y = F(x)

Dx 0

a

b

Así en el ejemplo del vendedor de enciclopedias el dominio es: Dx [0; +  ] y además entero:  Ry= rango = Rs = [ 15 ; +  ) y entero

x

Y

0

15

1

19

2

23

3

27

4

31

5

35

 +

 +

S

+

S = F(x)

 la grafica es: R A N G O

30 20 15

X(+  ) 1

2

3

4

En el ejemplo de la compañía aérea: El dominio es Dx [0 ;15]

RI [2, 100; 2124… 2250] I

Grafica de: I =(35 + X) (50-x) = F(x)

2100

X 0

1

2

3

15

En el problema del triángulo encontramos la función de área como: A= 3 x 2 = F(x) ; aquí X es una medida del triangulo X > 0 y puede ser entero o fraccionario  Dx (0; +  )  dominio En el problema de la longitud  de una cuerda de circunferencia de R= 8; encontramos a  como una función de X y se expreso así:



=2

64  x 2 = f(x)

aquí X debe ser >0 (N° positivo) y puede ser entero o fraccionario pero que tanto > 0 puede ser:

 Dx (0; 8) DOMINIO Hay que resolver: 64 – X2 2 > 0 1.- -X2 2 + 64 = 0 2.- X 2 = 64 X=  8 3.-

x

NO

NO

NO

SI

0

-8

7

8

4.-CON X=7 64 – 72 2 > 0 15 > 0 SI

Existen funciones inventadas que sirven para practicar el manejo de las mismas.

Como por ejemplo: a) y = x + 3 d) y= x  2

;

b) y = x  1 e) y 

1 x x 2

c) x 2 - 2

f) -

9  x

2

y el Dominio de ellas es: a) Dx (-  ; +  ) ; Ry (-  ; +  ) b) Dx (-  ; +  ) ; Ry (1 ; +  ) c) Dx (-  ; +  ) ; Ry [-2; +  ) d) Dx [-2 ; +  ) ; Ry [0 ; +  ) e) Dx { x  0 ; 1} f) Dx [-3 ; + 3 ] ; Ry [-3 ; 0] Operaciones con Funciones Sean F(X) y G(X) dos Funciones, con Dx A y B respectivamente 1) F (X) + G (X) Dx  A  B 2) F (X) - G (X) Dx  A  B 3) F (X) . G (X) Dx  A  B 4)

F(X )  Dx  A  B G( X ) SOLO QUE G ( X )

0

Dada las funciones: F ( X )  X 3  2 X 2

 G ( x)  3x 2  1

Encontrar: 1.- F ( X )  G( X )  X 3  2 X 2  3 X 2  1  X 3  6 X 2  1 2.- F ( X )  G ( X )  X 3  2 X 2  (3 X 2  1)  X 3  X 2  1 3.- F ( X )  G ( X )  ( X 3  2 X 2 )(3 X 2  1)  3 X 5  X 3  6 X 4  2 X 4.- F ( X )  G ( X )  ( X 3  2 X 2 )  (3 X 2  1)

2

FUNCIÓN COMPUESTA O FUNCIÓN COMPOSICION Sean F ( X )  G ( X ) Dos funciones F ( X )  G(X )

= Función compuesta

y se obtiene de sustituir en F ( X ) ; la

G ( X ) en el lugar de “x”.

Ejemplo: F(X )  2  X ;

G( X ) 

X 

F ( X )  G( X ) = 2  x

Ejemplo: F ( X )  2 X 2  X ;

G( X )  3 X  2

F ( X )  G ( X ) = 2(3 X  2) 2  (3 X  2)

 2(9 X 2  12 X  4)  3 X  2  18 X 2  24 X  8  3 X  2

 18 X 2  21 X  6

TRASLACION DE UNA FUNCIÓN: Si Y  F ( X )  Es una función con una cierta grafica entonces es interesante saber que pasa con la grafica de la función, si se le suma o resta alguna constante.

Ejemplo X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Si y  x 2  parabola

y

Y

16 9

V

x

x 0

4

1

0

1

4

9

16

y  x2  2

y 

x 2 2

y

y

v 2 x

v x

0

0

y  x2  2

y

y  x2  2x  4 y  x2  2x  1  3

x

y  ( x  1) 2  3

0

v ( 1;3) V -2

y  2x 2

y y

3

x

x

v

-1

0

a) y  b) y  

x x

c) y 

 x

d)y 

x2

e) y 

x2

f )y  

c)

a)

x2

b)

d)

-2

f)

e)

0

0

2

y   x3 5

y

5

-3

2

y  senx 1



2

0

-1

y  sen2 x

2

y  senx 2

y  2senx

y



sen



x 2



2

2

-2



2

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.

El perímetro total de una hoja rectangular será de 16 mts. Esta hoja se usará para formar un tubo circular enrollándola. Expresar el volumen del tubo como una f(x); siendo x= largo; y=ancho de la hoja. ¿Cuál es el dominio? radio y y x

v  R 2 h  v    2x   8  x 

2R  x

2

R

2 x  2 y  16 y  1622 x y 8 x  Dx(0;8)

v  x (48x)  f (x) 2

2.- Calcular la función inversa de

y  ( x3  1)2  7

X3 1 Y 7 X3 Y 7 1

X 3 Y 7 1Y 3 X 7 1  F1(X) 3.- Encontrar el Dx; Ry y la gráfica de: Y=(x-1) 2 ; y  2x  6  1 ;

4.- Dadas F(x)= 3x  1 Calcular: F(X) - G(X)= ; G(X)  F(X) = ; F(X)  G(X) =

x 2

5.- Si Y= F(X)= X 2 + 1 TIENE LA GRÁFICA

1 0

Y = G(X) = (X+3) 2 -1 ¿Qué gráfica tendrá?