INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 4.- LA PARABOLA La pa rábola e s el luga r geomé tric o d e los puntos del plano que equidista n de un pun to fijo lla mado foco y de u na re cta fija l la ma da direc triz .
Ele mentos de la p ará bola: 1Fo co: Es el p unto fijo F. 2Dire ctriz: Es la re cta f ija d. 3Pa rám e tro: Es la dista ncia del foco a la dire ctriz, se des ign a por la letra p. 4Eje: Es la recta perpen dicula r a la directriz qu e pa sa p or el foc o. 5Vé rtice: Es e l punto de inte rse cción de la pa rá bo la c on su eje. 6Ra dio v ector: Es un se gmento que une un punto cua lquie ra de la pa rábo la con el foco . Ecuaciones de la parábola
EJERCICIOS RESUELTOS Obténgase, sin aplicar fórmulas que preceden, la ecuación de la parábola en las condiciones siguientes. 1.- V (0,0), F (0, ¼) Primer paso. Determinar el parámetro 2p P/2 = ¼
y= -1/4
P = 2/4 P=½ 2p = 1 Segundo paso. Aplicando la fórmula de la parábola que tiene su vértice en el centro del eje de coordenadas, abre en el eje de las equis y 2p=1. x2 = 2py x2 = 1 (y) x2 = y
2.- V (0,0), F (1/4, 0) Primer paso. Determinar el parámetro 2p P/2 = ¼ P = 2/4 P = (2/4)2 2 P = 4/4 2p = 1
y = -1/4
Segundo paso. Aplicando la fórmula de la parábola que tiene su vértice en el centro del eje de coordenadas, abre en el eje de las yes y 2p=1. y2 = 2px y2 = 1 (x) y2 = x 3.- V (2,3), F (5,3) Primer paso. Determinar el parámetro 2p P/2 = 3
x= -1
P = 3(2) P=6 (p = 6)2 2 p=12 Segundo paso: Aplicando la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen, α = 2, B = 3 (La parábola abre en x) y 2p = 12. (y - B)2 = 2p(x - α) (y - 3)2 = 12 (x - 2) (y-3)2= 12(x-2) 2 (y - 3) = 12 (x - 2)
4.- V (1,4), F (1,6) Primer paso: Determinar 2p P/2 = 2 P = 2(2) P=4 (P = 4)2 2P = 8 Segundo paso: Aplicando la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen (la parábola abre en y), α = 1, B = 4 y 2P = 8
(x - α) = 2P (y - B)
(X - 1)2 = 8 (Y - 4)
5.- V (1,3), P = 3/2, eje de simetría paralelo a X 1 X, y se extiende indefinitivamente en dirección de las equis positivas. Primer paso: Determinar 2P
P/2 = ¾
x = 1/4
(P/2 = ¾)2 P = 3/2 2P = 3 Aplicando la ecuación de la parábola que abre en X, α = 1, B = 3 Y 2P = 3, (y - B)2 = 2P (x - α) (Y - 3)2 = 3(X - 1)
6.- V (-1,2), P = 4/3 eje de simetría paralelo a y1 y y se extiende indefinidamente en la dirección de las yes negativas. Primer paso: Determinar 2P P/2 = 2/3 P = 4/3 (P = 4/3)2 y = 2/3 2P = 8/3 Segundo paso: Aplicando la ecuación de la parábola que abre en Y, α = -1, B = 2, 2p = 8/3 y (x α)2 = 2p (y - B) [ x - (-1)]2 = 8/3(y - 2) (Y + 2)2 = 8/3 (y - 2)
LA PARABOLA TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X” , “Y” QUE SE ENCUENTREN SUMANDO O RESTANDO Y SOLO UNA ELEVADA AL CUADRADO, REPRESENTA UNA CURVA LLAMADA PARABOLA. EJEMPLOS. )
+
)
=5
) 2
=
) 4
−3 = 1
− 8 = 28 + 16
) −
+4 =
−7
2.- ECUACION GENERAL DE LAS PARABOLAS VERTICALES. ( − ) = ±4 ( − ), DONDE ( , ) =
.
EJE DE SIMETRIA VERTICAL PASANDO POR “ ” =
P=PARAMETRO EL FOCO SIEMPRE ESTA DENTRO DE LA CURVA !
=
(
,
!
=
)
F
0 !
D
ESTA GRAFICA ES CUANDO SE TOMA EL SIGNO (+), CUANDO SE TOMA EL SIGNO (-) SE INVIERTE. 3.- ECUACION GENERAL DE LAS PARABOLAS HORIZONTALES. ( − ) = ±4 ( − ) AHORA EL EJE DE SIMETRIA ES HORIZONTAL Y PASA POR “ ” SI LA ECUACION TIENE
, ES PARABOLA VERTICAL
SI LA ECUACION TIENE
, ES PARABOLA HORIZONTAL
4.- DADA LA ECUACION DE LA PARABOLA, OBTENER SUS ELEMENTOS Y SU GRAFICA. ) + = 5 COMO LA ECUACION TIENE ES PARABOLA VERTICAL, ENTONCES HAY QUE LLEVAR ( ) LA ECUACION A LA FORMA GENERAL. − = ±4 ( − ) =− +5
( − 0) = −1( − 5 ) ( − ) = −4 ( − ) POR EL SIGNO MENOS, LA CURVA VA HACIA ABAJO. (0, 5) ESTAS SON LAS COORDENADAS DEL VERTICE, EN ESTE EJEMPLO EL EJE DE SIMETRIA COINCIDE ! CON ELE EJE DE LAS EL FOCO ESTA DENTRO DE LA CURVA A UNA DISTANCIA “p” Y LA DIRECTRIZ ESTA TAMBIEN A UNA DISTANCIA “p” FUERA DE LA CURVA (SOBRE EL EJE DE SIMETRIA) . −4 = −1
=
=
Y !
D p
5 p F
0
) 2 2
− 3 = 1 ESTA ECUACION TAMBIEN ES PARABOLA VERTICAL.
=3 +1 =
3 +1 2
=
+
( − 0) =
=( +
)( )
=
ESTA ES PARABOLA VERTICAL HACIA ARRIBA POR EL (+) DE 4p.
( − ) = +4 ( − )
X
(0, − ) , 4 =
,
=
=
Y
X F 3/8
1 − 3
V
!
)
=
3/8 D
ESTA ES LA ECUACION DE UNA PARABOLA HORIZONTAL POR TENER
DANDOLE FORMA ( − 0) = +1( − 0) ( − ) = +4 ( − ) FORMA DE LA PARABOLA HORIZONTAL QUE CRECE HACIA LA DERECHA Y EMPIEZA EN EL ORIGEN (0, 0) 4 = 1
=
D
F 0
) 4 4
− 8 = 28 + 16 ,
− 16 = 28 + 8
1/4ESTA ES UNA PARABOLA TAMBIEN HORIZONTAL POR LA AGRUPANDO TERMINOS CON “Y” EN EL PRIMER MIEMBRO.
4(
− 4 ) = 28 + 8
FACTORIZAR EL COEFICIENTE DE
SI ES DIFERENTE DE “1”
−4 = + +4
−4 +4 =
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.)
( − 2) = 7 + 6
FACTORIZAR EL T.C.P
( − 2) = +7( + )
FACTORIZAR EL COEFICIENTE DE “X”
( − ) = +4 ( − )
FORMA DE LA EC. DE LA PARABOLA HORIZONTAL DERECHA.
(− , 2) , 4 = 7 ,
=
LA GRAFICA QUEDA ASI:
Y
p 2 EJE DE SIMETRIA
-6/7
) − (−
+4 = +4 =
X
0
−7
ESTA ES UNA PARABOLA VERTICAL POR TENER
− 7)(−1)
MULTIPLICAMOS TODO POR (-1), PARA QUE LA
−4 =− +7 −4 +4= − +7+4
SE COMPLETO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
( − 2) = −1( − 11) ( − ) = −4 ( − ) (2,
11),
− 4 = −1 ,
ECUACION DE LA PARABOLA VERTICAL HACIA ABAJO. =
−1 1 = −4 4
SEA POSITIVA.
GRAFICA
p
V
11 p F
0
X
2
5.-DADOS LOS ELEMENTOS DE UNA PARABOLA, OBTENER SU ECUACION. (−1, −4) , a) (−1,1) AL GRAFICAR EL VERTICE Y EL FOCO NOS DAREMOS CUENTA QUE EL EJE DE SIMETRIA ES VERTICAL Y QUE PASA POR ESTOS DOS PUNTOS, ADEMAS COMO EL VERTICE ES EL PRIMER PUNTO DE LA CURVA Y QUE EL FOCO SIEMPRE QUEDA DENTRO DE LA CURVA, TENEMOS UNA PARABOLA VERTICAL POSITIVA. TAMBIEN POR LA GRAFICA OBSERVAREMOS QUE LA DISTANCIA VERTICAL DEL VERTICE AL FOCO ES =5 ( ). ( − ) = +4 ( − )
ESTA ES LA FORMA DE ESTE TIPO DE ECUACIONES.
SUSTITUYENDO EN ELLA LAS COORDENADAS DEL VERTICE Y “p”, ENCONTRAMOS: ( + 1) = +4(5)( + 4) + 2( )(1) + (1) = 20( + 4) DESARROLLANDO + 2 + 1 = 20 + 80 +
b)
=
+
REDUCIENDO, ESTA ES LA ECUACION BUSCADA.
(5, −2)
=8
APOYANDOSE EN LA GRAFICA Y SABIENDO QUE EL EJE DE SIMETRIA PASA POR EL VERTICE Y ES SIEMPRE PERPENDICULAR A LA DIRECTRIZ, SE CONCLUYE QUE ES UNA PARABOLA HORIZONTAL IZQUIERDA YA QUE SIEMPRE LA DIRECTRIZ QUEDA FUERA DE LA CURVA, ADEMAS LA DISTANCIA DEL VERTICE A LA DIRECTRIZ ES TAMBIEN LA DISTANCIA DEL VERTICE AL FOCO, IGUAL A “p” OBTENEMOS ENTONCES QUE p=3. ( − ) = −4 ( − ) FORMA DE LA ECUACION DE ESTE TIPO. ( + 2) = −4(3)( − 5) SUSTITUYENDO ( + 2) = −12( − 5) ( + 2) = −12 + 60
+ 4 + 4 = −12 + 60 DESARROLLANDO +
=−
+
ECUACION BUSCADA.
SI A PARTIR DE LA ECUACION ( + 2) = −12 + 60
DESPEJAMOS “Y” OBTENEMOS
+ 2 = ±√−12 + 60 = − + √−
+
= − − √−
+
6.- AHORA CALCULAREMOS LA ECUACION DE UNA PARABOLA CONOCIENDO EL VERTICE ( , ) (LO CUAL ES SIEMPRE NECESARIO), TAMBIEN SE REQUIERE SABER SI VA PARA ARRIBA, PARA ABAJO A LA IZQUIERDA O A LA DERECHA Y ADEMAS UN PUNTO QUE LLAMAREMOS ( , ) QUE SEA DE UNA DE LAS DOS HOJAS. EJEMPLO: CALCULAR LA ECUACION DE LA PARABOLA QUE TIENE SU VERTICE EN ABAJO Y PASA POR EL PUNTO (5, −6). ( − ) = −4 ( − )
(3,2), CRECE HACIA
ESTA ES LA FORMA DE LA ECUACION BUSCADA.
SUSTITUYENDO EN ELLA LAS COORDENADAS DEL “V” Y DEL PUNTO “Q”PODREMOS ENCONTRAR EL VALOR DE “p”. (5 − 3) = −4 (−6 − 2) (2) = −4 (−8) 4 = 32
=
4 32
=
AHORA USAREMOS EL VERTICE Y “p” PARA ENCONTRAR LA ECUACION. ( − 3) = −4( )( − 2) 1 ( − 3) = − ( − 2) 2 ( − 3) = −
2
2
+1
= 1 − ( − 3) = 2[1 − ( − 3) ] =2 1−(
− 6 + 9)
= 2(1 −
+ 6 − 9)
=2−2
+ 12 − 18
=2−2
+ 12 − 18
=−
+
−
ECUACION BUSCADA
1 8
EJEMPLO: ENCONTRAR LA ECUACION DE LA PARABOLA QUE TIENE SU VERTICE EN DERECHA Y SU HOJA SUPERIOR CORTA AL EJE DE LAS “X” EN X=6.
(4, −3) CRECE A LA
POR LOS DATOS PROPORCIONADOS, TENEMOS QUE (6,0) Y LA FORMA DE LA ECUACION BUSCADA ES: ( − ) = +4 ( − ) AHORA AL IGUAL QUE EN EL PROBLEMA ANTERIOR SUSTITUIMOS “V” Y “Q” PARA OBTENER “p”. [0 − (−3)] = 4 (6 − 4) (3) = 4 (2) ,
9=8
,
AHORA CONOCIENDO “p” Y [ − (−3)] = 4 ( + 3) =
=
9 8
(4, −3) SUSTITUIMOS NUEVAMENTE EN LA ECUACION GENERAL Y:
9 ( − 4) 8
36 ( − 4) 8
9 ( + 3) = ( − 4) 2 ( + 3) =
9 − 18 2
( + 3) = ±
=− ±
9 − 18 2 −
QUE ES LA ECUACION BUSCADA
SEPARANDO QUEDA ASI: =− +
−
=− −
−
EJEMPLO: SE CONSTRUIRA DE ACERO SALIDO UNA PIEZA COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.
1m 3m 1m
LAS CURVAS “A” Y “B” SERAN HOJAS DE PARABOLA VERTICALES POSITIVAS Y PARA FUTURAS APLICACIONES (AREA LATERAL O VOLUMEN DEL SOLIDO, ASI COMO LONGITUD DE LA CURVA).
VISTA LATERAL DE LA PIEZA.
1 CURVA “A”
-1/2
CURVA “B”
1/2
FORMA DE LAS ECUACIONES DE LAS CURVAS: CURVA GENERAL “A” − ,0
,
(0,1)
CALCULO DE “p” 0+
= +4 (1 − 0)
=4 ,
=
ECUACION BUSCADA + =
( − ) = +4 ( − ) CURVA GENERAL “B” + ,0
,
(0,1)
CALCULO DE “p” = +4 (1 − 0)
0− =4
,
=
ECUACION BUSCADA
= ( − 0)
−
+
=
= ( − 0) −
EJEMPLO: UN PUENTE TENDRA UNA ESTRUCTURA DE SOPORTE EN FORMA DE PARABOLA CON LAS MEDIDAS INDICADAS, ENCONTRAR LA ECUACION DE LA CURVA.
20
20m
50m (0,20) ,
-25
0
25
(25,0) FORMA DE LA ECUACION BUSCADA ( − ) = −4 ( − )
(25 − 0) = −4 (0 − 20) 625 = 80
,
( − 0) = −4 =−
−
=
625 125 = 80 16
125 ( − 20) 16
125 ( − 20) 4
125 ( − 20) = 4
( − 20) = −
4 125
ECUACION BUSCADA =−
+
EJEMPLO: UNA RAMPA PARA SALTO CON ESQUIES, TENDRA FORMA DE PARABOLA VERTICAL POSITIVA CON LAS MEDIDADS QUE SE INDICAN EN METROS, OBTENER LA ECUACION DE LA CURVA.
20
5
0
10
15
ECUACION DE LA CURVA BUSCADA ( − ) = +4 ( − )
(10,0)
,
(15,5)
(15 − 10) = +4 (5 − 0)
=
5 4
( − 10) = +4
5 ( − 0) 4
ECUACION DE LA CURVA. =
( −
)