Unidad 4 derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL UNIDAD 4: DERIVADA Un problema geométrico como el siguiente da origen al cálculo diferencial.¿Cuál es la ecuación de la recta tangente, a la curva y  x 2 en el punto T (2; 4)

y

RECTA TANGENTE T 4

0

2

1ra forma de solución (gráfica) m

y 2  y1 x 2  x1

40  21.2 

4 0.8

 5

y  y1  m( x  x1 )  y  4  5( x  2) y  4  5x  10 y  5x  6

2da Forma: Suponiendo un punto Q Cercano A (T (2; 4)  Q2.1 ; 4.41

m

4.414 2.12

 4.1

Ecuación de la recta Tangente (NO SIRVE)

 y  y1  m x  x1   y  4  4.1x  2  y  4.1x  8.2  4 y  4.1x  4.2 Ecuación de la recta Tangente (no sirve) es Secante

3ra Forma: suponer a Q tan cerca de T 2;4 que la x de Q  2

Q x; x   m  xx 24  Lim 

 T 2;4 y

2

x 2 4 x 2

2

x2

m=

( x  2)( x  2) ( x  2)

 x2  22  4

x2 La ecuación será:  si y= x 2 = f(x)  dy y-4 = 4(x-2)  2 x ; evaluada en x  2 dx y=4x-8+4 Nos da la pendiente de la recta tangente

m

y=4x-4

m4

 2(2) 

dy dx

EJERCICIOS DE LA DERIVADA 1. CALCULAR LA DERIVADA DE:

Y

Y  X 3  8 X  10

Y Y



3 X  SEN 6 X

Y  8e 5 x

3



4

Y  3 2 X 5

y  7( x

Y  3X 

y

5X

4x

Y  e2 x x3x



Y  1  2 X  3X 2 5

2  9 X 3 5 17 14 X 105

y  ( x 3  2x  3) 6

7

5X 2 3 X 9

2



y

8) 7

tan 3x sen 5x

y  54

3 x2

4 1 3 7x   e x x2

2

Y  log 8 7 x  tan 4x 

3

y  (1 

2 4 ) 2x

y  6 sec 5x

y  e8 x y  ln(5x 2  10x)

y  ln ( x 2  1)(cos8x 2 ) y  ln 4

y  cot 3 4 5x  e 3 x  ln10x 2.-CALCULAR LA 2° DERIVADA. Y  ( X 2  3X ) 3

Y  COS 7 X

Y  e4x

2

y  4 x3

y  510 x

2

2 7x x2  3x

3.-CALCULAR LA DERIVADA IMPLICITA DE: 2 3 2 5 X 2 y 3  xy 2  12e x  y x 2  ln y 3  3 x y x 2  y 3  ln(2x  y 2 ) 2

2x y  5 y 3 x  x 2  y 3

DIFERENCIALES Sea y  F x  una función; entonces: dy  diferencial de la funcion ; un diferencial es un N° ≠ 0 (por lo general pequeño).dx  diferencial de x

dy  f x  dx

El diferencial de la función se obtiene multiplicando la derivada de la función por dx.-

y  F  x 



y

 x  x ; f  x  x 



  



y

x ; y 

dy dx  x

0

x

 x  x 

x

Calcular los diferenciales de las funciones siguientes.

y x3

4 x

y 

3x 2  4 x

y   Sen 2 x

y   2 Cos 10 x

y  4Tan 10 x

y  Sen 1 4 x 2  6

y5

3



x2

y  Tanh 3x  2 

  2x  3  y  ln    5x 



y  ln x  2x 3

y  2 x 

m  2t



ln 5 x

y  7 x  Sec 4 x

y

3

2



R  S  ln S 2

Q  R  Sen R 2





ln 5

5 Sen 7 x   x  ln 5x

1  6 t   1  y  Cos  3 2  



S  C R2  t 2





Ctes.

Ejercicios de diferenciación 1) Calcular el diferencial de las funciones siguientes.

y  x2 

4 x

y  x 3  3x 

y

2 x4



3x  1

2

y  3x x 2  5 

P  50 x  0.5x 2  1.73 E

1 9T  3T 2  T 3  27

  





y  3 5x  4 

y  7x  1



 

y  ln5x 



y  ln x 3x  6

y  ln x 2 

4



x2 1 5x  3

y  ln



 

y3



2x

x 2

y  

y  3x 

yx

y  x 3  8x  10

y 

2 5x

y 

y









Tan 3x Sen 5x 2 x 5

5x 2 7 3x  9

y  Cot



y  x3  2x  3

5



3x2

y  3x 

5x

8



7

7 x  Tan 4 x 

y

5x    ln10x

y

2

  10x  8

x  3x2  7 x 3

3x 3  7 x  10 4

6

 

 

y  54

2



y  1  2 x  3x 2

y  7 x

3

3x

x 2

y

y  ln 5x

34



 y  6 Sec 5x

4 1 y   2  3 7x x x y  log

T  2T  7

2  3  R  T  8 



y  8 5 x 4 x

3

4 2

3 x 1

y  8 x

8

S 

y  2 x 

4

105

y3

2 x

  



y

3   y  1    2 x 

29x  35 17  4x



 1 2 Q  T  2T  2  T 

2



 3x  Sen 6x 

4



y  x 2x

y  ln 4

3x

2

2 7x x 2  3x

y  0.25x 2  1.75x  10.48

 





y   2x 2  33x 17 x  11

y  14 8x 2  5x  3

y  3x 4  5x 2  7 x  102

y

2  4x 3x  5





y  ln x 2  1Cos 8x 2  y



7 2x  x 3 

 

y 



5x 2  11x 7x  1

y   5x  3

y  2x  15  3x  3

8  7  y   9 x  3 

y  5x  7

y  4x 2  7 x  9

y

3 x 7

3 x 2 5 x

y4

y  ln 5x 2  4x  18  y  log4x

 

3

2  5x  8  y   3 

y 8



y   7 x  6 

4

2

 7 x 



y  log 7 5x 2  8x

5x  8 5

y  5x

5

2

7 x

y  ln  4x 3  11x 2 

y   7 x  5x 



  9  y  log   3x  5 

6

y  ln 3x  7

2



 

2)

Calcular el diferencial de:

y  4x  7 x  10 2



y  ln 7 x

2





y  7 x

2

y  Cos 7 x y  510 x

y  5x 2  3

y  4 x

2

2

3) Calcular el diferencial de las funciones implícitas:



y  ln3x  4 



y  x 2  3x

y  4 x3



3

x2  y3  8 x 2  y 3  5x  3 y 2

x 2 y 3  xy 2  12 x

2

 y3



 2

2x y  5 y 3 x  x 2  y 3

xy 2  4

x 3  2 x3 y 4  7x  2 y

x2  4 x  5 y 2  10 3 y

x

x 2  ln y 3  3 x

2 5

y

2

 y3



 ln x 3  4 y



x 2  y 3  ln 2x  y 2 