INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 5.- LA ELIPSE Es el luga r g eométrico de los puntos del p la no cuya suma de d ista ncia s a dos puntos fijos lla ma dos foco s es constante.
1Fo cos: Son los punto s fijo s F y F'. 2Eje fo cal: Es la re cta q ue pa sa por los focos. 3Eje secund ario: E s la med ia tri z de l se gmento FF'. 4Ce ntro: Es e l pun to de intersecc ió n d e los e je s. 5Ra dio s vec tores: Son los se gmentos qu e van desde un pu nto de la elip se a lo s foc os: PF y PF'. 6Distanc ia focal: Es el se gmento de lo ngitu d2c, c es el va lor de la semidista ncia foca l. 7Vértice s: S on lo s puntos de intersecc ión d e la el ipse c on los e je s: A, A', B y B' . 8Eje m ayo r: Es e l se gmento
d e lon gitud 2a , aes el va lo r del
semieje ma yo r. 9Eje menor: Es e l se gmento
d e lon gitud 2b , b es e l v a lor del
semieje menor. 10E jes d e sime tría : Son la s recta s qu e contie nen a l eje ma yor o a l eje me nor. 11Centro de sim etría: Co inc id e con el centro de la el ip se, que es e l punto de inte rsecc ión de los e jes d e simetr ía .
Relaci贸n entre la distancia fo cal y los sem iejes
La ex cen tric id ad de la e lipse e s ig ua l a l co ciente e ntre su se mid is ta ncia foca l y su semieje ma yor.
Ecua c iones de la elip se
EJERCICIOS RESUELTOS
Obténganse las ecuaciones de las elipses en las condiciones siguientes: 1.- 2ª=8, f´(-2,0), f(2,0), c(0,0) Primer paso. Determinar a y a 2 2 a= 8
a2 = (4)2
A= 8/2
a2 = 16
A=4 Segundo paso. Determinar c y c 2 c2 = 4
C =2 C2 = (2)2
Tercer paso. Determinar b y b 2 c2 = a 2 – b 2
b = 2√3
b2 = a 2 – c 2 b2 = 16 -4 b2 = 12 Cuarto paso. Sustituyendo los datos obtenidos en la ecuación de la elipse con centro en el origen X2/a 2 + y2/b2 = 1 Entonces la ecuación es:
X2/16 + y2/12 = 1
2.- 2b = 8, F´(0,3), C(0,0) Primer paso: Determinar b y b 2 b2 =(4)2
2b =8 b = 8/2 b2 = 16 b =4
Segundo paso. Determinar c y c 2 C2 =(3)2
C=3
C2 = 9 Tercer paso. Determinar a y a2. c2 = a 2 – b 2
a2 = 25
a2 = c 2 + b2
a = √ 25
a2 = 9 + 16
a=5
a2 = 25 Cuarto paso. Sustituyendo los datos obtenidos en la ecuación de la elipse con centro en el origen. X2/a 2 + y2/b2 = 1 Entonces la ecuación es
X2/25 + y2/9 =1
LA ELIPSE TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X”,”Y” ELEVADAS AL CUADRADO, CON COEFICIENTES DIFERENTES Y POSITIVOS ES UNA ELIPSE. ECUACION GENERAL
(
)
=
(
=
(
+
(
)
=1 ,
( , )
)
)
a
a
b b
>
<
EJEMPLOS DE ECUACIONES QUE REPRESENTAN ELIPSES. )2 )
+ 16
=4
+4 +3
)3
+
− 18 = 2
−8 = 0
2.- DADA LA ECUACION DE UNA ELIPSE, OBTENER SUS ELEMENTOS Y SU GRAFICA. )2 + +
+ 16 = =1
=4
DIVIDIMOS TODO ENTRE 4
SIMPLIFICAMOS
+
=1
DIVIDIMOS NUMERADOR Y DENOMINADOR ENTRE CUATRO PARA EL TERMINO CON
( − 0) ( − 0) + =1 , 1 2 4
=2
=
= ±√2
(0,0)
ENTONCES COMO =±
>
1 1 =± 4 2
+
+√2
)
+4 +3
− 18 = 2
)
+ 4 + (2) + 3(
− 6 + (3) = 2 + 4 + 27
A LOS TERMINOS CON “X” SE COMPLETO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. A LOS TERMINOS CON “Y” TAMBIEN SOLO QUE SE FACTORIZO EL COEFICIENTE “3” DE LA “Y” CUADRADA. ( + 2) + 3( − 3) = 33 FACTORIZAMOS. (
)
+
(
)
+
(
)
= 1 SE SIMPLIFICO.
(
)
+
(
)
= 1 FORMA DE LA ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE.
(
)
(−2,3)
=
DIVIDIMOS TODO ENTRE 33.
= 33 → >
,
= √33 ≅ 5.74 ,
= 11 →
= √11 ≅ 3.32 .
Y
-2
b 3 C
a
0 X
)3
+
−8 = 0
3
+
− 8 + (4) − 16 = 0 , SE COMPLETO T.C.P.
3
+
− 8 + 16 = 16
3( + 0) + ( − 4) = 16 (
)
+
(
)
=
3 ( 3 + 0) + ( − 4) = 1 16 16 3
( − 4) 3( + 0) + =1 16 16 3
,
, SE FACTORIZO SE DIVIDE TODO ENTRE 16
(0,4),
≈ 2.31
CON
=
16 , 3
= 16
<
=4
8
4
4
2.31
3.- UNA PISTA PARA PATINETA EXTREMA, TENDRA LA FORMA DE MEDIA ELIPSE HORIZONTAL, SU EJE MAYOR MEDIRA 10m. SU SEMIEJE MENOR MEDIRA 3m. OBTENGA LA ECUACION DE LA PISTA. a).- SI EL CENTRO ESTA EN EL ORIGEN
(0,0), Y
=5
= 3 ENTONCES LA ECUACION SERIA:
(
)
+
(
)
= 1 FORMA DE LA ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE.
(
)
+
(
)
=1
-5 +
= 1 ESTA SERIA LA ECUACION.
5
0
-3
b).- SI EL CENTRO ESTA EN
(0,3), ENTONCES
( − 0) ( − 3) + =1 5 3
+
(
)
= 1 ESTA SERIA LA ECUACION, PERO AL ESTAR EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN SE COMPLICA UN
POCO EN LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA O INTEGRAL.