Unidad 5 la elipse

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 5.- LA ELIPSE Es el luga r g eométrico de los puntos del p la no cuya suma de d ista ncia s a dos puntos fijos lla ma dos foco s es constante.

1Fo cos: Son los punto s fijo s F y F'. 2Eje fo cal: Es la re cta q ue pa sa por los focos. 3Eje secund ario: E s la med ia tri z de l se gmento FF'. 4Ce ntro: Es e l pun to de intersecc ió n d e los e je s. 5Ra dio s vec tores: Son los se gmentos qu e van desde un pu nto de la elip se a lo s foc os: PF y PF'. 6Distanc ia focal: Es el se gmento de lo ngitu d2c, c es el va lor de la semidista ncia foca l. 7Vértice s: S on lo s puntos de intersecc ión d e la el ipse c on los e je s: A, A', B y B' . 8Eje m ayo r: Es e l se gmento

d e lon gitud 2a , aes el va lo r del

semieje ma yo r. 9Eje menor: Es e l se gmento

d e lon gitud 2b , b es e l v a lor del

semieje menor. 10E jes d e sime tría : Son la s recta s qu e contie nen a l eje ma yor o a l eje me nor. 11Centro de sim etría: Co inc id e con el centro de la el ip se, que es e l punto de inte rsecc ión de los e jes d e simetr ía .


Relaci贸n entre la distancia fo cal y los sem iejes

La ex cen tric id ad de la e lipse e s ig ua l a l co ciente e ntre su se mid is ta ncia foca l y su semieje ma yor.

Ecua c iones de la elip se


EJERCICIOS RESUELTOS

Obténganse las ecuaciones de las elipses en las condiciones siguientes: 1.- 2ª=8, f´(-2,0), f(2,0), c(0,0) Primer paso. Determinar a y a 2 2 a= 8

a2 = (4)2

A= 8/2

a2 = 16

A=4 Segundo paso. Determinar c y c 2 c2 = 4

C =2 C2 = (2)2

Tercer paso. Determinar b y b 2 c2 = a 2 – b 2

b = 2√3

b2 = a 2 – c 2 b2 = 16 -4 b2 = 12 Cuarto paso. Sustituyendo los datos obtenidos en la ecuación de la elipse con centro en el origen X2/a 2 + y2/b2 = 1 Entonces la ecuación es:

X2/16 + y2/12 = 1


2.- 2b = 8, F´(0,3), C(0,0) Primer paso: Determinar b y b 2 b2 =(4)2

2b =8 b = 8/2 b2 = 16 b =4

Segundo paso. Determinar c y c 2 C2 =(3)2

C=3

C2 = 9 Tercer paso. Determinar a y a2. c2 = a 2 – b 2

a2 = 25

a2 = c 2 + b2

a = √ 25

a2 = 9 + 16

a=5

a2 = 25 Cuarto paso. Sustituyendo los datos obtenidos en la ecuación de la elipse con centro en el origen. X2/a 2 + y2/b2 = 1 Entonces la ecuación es

X2/25 + y2/9 =1


LA ELIPSE TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X”,”Y” ELEVADAS AL CUADRADO, CON COEFICIENTES DIFERENTES Y POSITIVOS ES UNA ELIPSE. ECUACION GENERAL

(

)

=

(

=

(

+

(

)

=1 ,

( , )

)

)

a

a

b b

>

<

EJEMPLOS DE ECUACIONES QUE REPRESENTAN ELIPSES. )2 )

+ 16

=4

+4 +3

)3

+

− 18 = 2

−8 = 0

2.- DADA LA ECUACION DE UNA ELIPSE, OBTENER SUS ELEMENTOS Y SU GRAFICA. )2 + +

+ 16 = =1

=4

DIVIDIMOS TODO ENTRE 4

SIMPLIFICAMOS


+

=1

DIVIDIMOS NUMERADOR Y DENOMINADOR ENTRE CUATRO PARA EL TERMINO CON

( − 0) ( − 0) + =1 , 1 2 4

=2

=

= ±√2

(0,0)

ENTONCES COMO =±

>

1 1 =± 4 2

+

+√2

)

+4 +3

− 18 = 2

)

+ 4 + (2) + 3(

− 6 + (3) = 2 + 4 + 27

A LOS TERMINOS CON “X” SE COMPLETO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. A LOS TERMINOS CON “Y” TAMBIEN SOLO QUE SE FACTORIZO EL COEFICIENTE “3” DE LA “Y” CUADRADA. ( + 2) + 3( − 3) = 33 FACTORIZAMOS. (

)

+

(

)

+

(

)

= 1 SE SIMPLIFICO.

(

)

+

(

)

= 1 FORMA DE LA ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE.

(

)

(−2,3)

=

DIVIDIMOS TODO ENTRE 33.

= 33 → >

,

= √33 ≅ 5.74 ,

= 11 →

= √11 ≅ 3.32 .


Y

-2

b 3 C

a

0 X

)3

+

−8 = 0

3

+

− 8 + (4) − 16 = 0 , SE COMPLETO T.C.P.

3

+

− 8 + 16 = 16

3( + 0) + ( − 4) = 16 (

)

+

(

)

=

3 ( 3 + 0) + ( − 4) = 1 16 16 3

( − 4) 3( + 0) + =1 16 16 3

,

, SE FACTORIZO SE DIVIDE TODO ENTRE 16


(0,4),

≈ 2.31

CON

=

16 , 3

= 16

<

=4

8

4

4

2.31

3.- UNA PISTA PARA PATINETA EXTREMA, TENDRA LA FORMA DE MEDIA ELIPSE HORIZONTAL, SU EJE MAYOR MEDIRA 10m. SU SEMIEJE MENOR MEDIRA 3m. OBTENGA LA ECUACION DE LA PISTA. a).- SI EL CENTRO ESTA EN EL ORIGEN

(0,0), Y

=5

= 3 ENTONCES LA ECUACION SERIA:

(

)

+

(

)

= 1 FORMA DE LA ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE.

(

)

+

(

)

=1

-5 +

= 1 ESTA SERIA LA ECUACION.

5

0

-3


b).- SI EL CENTRO ESTA EN

(0,3), ENTONCES

( − 0) ( − 3) + =1 5 3

+

(

)

= 1 ESTA SERIA LA ECUACION, PERO AL ESTAR EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN SE COMPLICA UN

POCO EN LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA O INTEGRAL.


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